Využití fuzzy logiky při hodnocení

Využití fuzzy logiky při hodnocení Václav Bezděk Fakulta aplikované informatiky Universita Tomáše Bati ve Zlíně Nad Stráněmi 4511, 760 05 Zlín [email protected], Abstrakt: Příspěvek ukazuje jak při hodnocení využít fuzzy logiku, či alespoň její principy. Ukazuje, že hodnocení, srovnání či pouhé porovnání pomocí tradičních metod má určité negativní vlastnosti a ne vždy vede k nejlepším výsledkům. Naproti tomu hodnocení pomocí fuzzy logiky se všech příkladech jeví jako lepší, výhodnější metoda. Klíčová slova: Fuzzy logika, hodnocení, Abstract: The paper shows how to use the evaluation of fuzzy logic, or at least its principles. It shows that the assessment, alignment or mere comparison with traditional methods has certain negative characteristics and does not always lead to the best results. In contrast, using the fuzzy logic evaluation of the examples appear to be better, more convenient method. Keywords: Fuzzy logic, evaluation,

1. Úvod V běžném životě porovnáváme, srovnáváme, hodnotíme prakticky denně. Jsou k tomu používány nejrůznější metody. V situacích, kdy je sledovaná pouze jedna položka, je řešení jednoduché. Data se porovnají podle velikosti a vyhodnotí se nejlepší. Pokud je sledovaných hodnot více jak jedna je řešení problematické. Situace může být navíc komplikovaná i tím, že některé sledované položky mohou být charakteru „čím větší hodnota tím lépe“, jiné zase charakteru „čím menší hodnota tím lépe“. V popsaných situacích tohoto příspěvku bude ukázáno, jak pomocí fuzzy logiky konkrétní problémy vyřešit a vybrat, vyhodnotit vždy ten nejlepší objekt.

2. Fuzzy logika Fuzzy logika se poprvé objevila v článku [5] , kde byl definován základní pojem fuzzy logiky, a to fuzzy množina. Motivací pro zavedení byla potřeba nějakým způsobem postihnout částečné členství v množině. Doposud buď prvek do množiny patřil, nebo nepatřil. Buď platila pravda, nebo nepravda (černá nebo bílá viz Obrázek 1-1).

Obrázek 2.1

116

SYSTÉMOVÁ INTEGRACE 4/2012

Využití fuzzy logiky při hodnocení

Ale i v reálném životě platí, že nic není jen černé nebo bílé. Mezi černou a bílou totiž existuje řada odstínů šedé (viz.Obrázek 1-2).

Obrázek 2.2 Fuzzy logika je tedy podobor matematické logiky, v němž se logické výroky ohodnocují mírou pravdivosti. Liší se tak od klasické výrokové logiky, která používá pouze dvě logické hodnoty - pravdu a nepravdu, obvykle zapisované jako 1 a 0. Fuzzy logika může operovat se všemi hodnotami z intervalu <0; 1>, kterých je nekonečně mnoho. Fuzzy logika náleží mezi vícehodnotové logiky a může být pro řadu reálných rozhodovacích úloh vhodnější než klasická logika, protože usnadňuje návrh složitých řídicích systémů. Tvorba systému s fuzzy logikou obsahuje nejen podle [1], [2], [3], [4], tři základní kroky: fuzzifikaci, fuzzy inferenci a defuzzifikaci. Fuzzifikace První krok znamená převedení reálných proměnných na jazykové proměnné. Definování jazykových proměnných vychází ze základní lingvistické proměnné, např. u proměnné „výkon“ lze zvolit následující atributy: špatný, průměrný, výborný. Obvykle se používá tří až sedmi atributů základní proměnné. Stupeň členství atributů proměnné v množině je vyjadřován matematickou funkcí, tzv. funkcí příslušnosti, kterou dle [3] máme volit co možná nejjednodušší, což znamená pokud možno funkci složenou z lineárních úseků (L-funkce, -funkce atd.)

L-funkce

Obrázek 2.3 L-funkce


117

Václav Bezděk

-funkce

Obrázek 2.4 -funkce Fuzzy inference Druhý krok definuje chování systému pomocí pravidel typu , na jazykové úrovni. V těchto algoritmech se objevují podmínkové věty, vyhodnocující stav příslušné proměnné. Fuzzy logika používá odlišných postupů při vyhodnocování logických operátorů , , . Výsledkem fuzzy inference je jazyková proměnná. Defuzzifikace Defuzzifikací rozumíme převod výsledku předchozí operace fuzzy inference na reálné hodnoty. Cílem je převedení fuzzy hodnoty výstupní proměnné tak, aby slovně co nejlépe reprezentovala výsledek fuzzy výpočtu. Defuzzifikačních metod existuje velké množství a lze je najít v citované literatuře.

3. Výběr nejlepšího auta z nabídky 3.1 Formulace problému Snahou je, z nabídky aut vyhovující vstupním požadavkům vyhodnotit, vybrat to nejlepší. Pro hodnocení byla použita reálná data ze serveru www.yauto.cz, kde dne 20.9.2012 bylo v nabídce 94966 aut. Do zúženého výběru se dostala auta, které vyhovují požadavkům : Výrobce – Škoda, Model vozu – Superb, Palivo – nafta, Cena – do 500000,- Rok výroby – od 2008. Ostatní položky nebyly vyplněny. Všech 55 aut, které vyhověly, jsou v tabulce 3.1.

118



Tabulka 3.1 – Data 55 hodnocených aut

· ID · Cena - Rok - Km -*

- Identifikační číslo auta. - Cena auta. Čím menší, tím lepší. - Rok výroby auta. Čím mladší, tím lepší. - Počet najetých kilometrů. Čím méně tím lepší. - Typ karosérie. K/H/S/L – Combi / Hatchback / Sedan / Liftback

- **

- Výkon motoru - 1.6/1.9/2.0

3.2 Vyhodnocení pomocí tradičních metod Existuje několik tradičních metod, jak z nabízených aut vybrat nejlepší. Jako nejlepší auto může být pro hodnotitele to nejlevnější.


119

Václav Bezděk

Tabulka 3.2 – Nejlepší auto podle ceny Pořadí 001 002 003 004 005

ID. 9 50 49 21 51

Cena 119 900 209 000 210 000 215 000 229 800

Km * Rok 2010 30 000 K 2008 97 000 S 2008 106 601 S 2008 218 000 S 2008 93 000 S

** 2.0 2.0 2.0 2.0 1.9

Za nejlepší může být považováno auto, které má najeto nejméně kilometrů. Tabulka 3.3– Nejlepší auto podle najetých km Pořadí 001 002 003 004 005

ID. 19 38 52 54 9

Cena 370 000 499 166 483 250 469 000 119 900

Rok 2012 2011 2010 2010 2010

Km 5 200 11 920 21 256 26 000 30 000

* K K K S K

** 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0

Nebo může být zvolena kombinace těchto dvou parametrů. Srovnat auta podle ceny, přiřadit pořadí, srovnat auta podle kilometrů, přiřadit pořadí a jako nejlepší auto zvolit to, které bude mít součet těchto pořadí nejmenší hodnotu. Tabulka 3.4 – Nejlepší auto kombinací ceny a počtu najetých km Pořadí ID. 001 002 003 004 005

9 50 51 49 31

Pořadí Pořadí Součet Cena Rok Km Cena Km Pořadí 1 5 6 119 900 2010 30 000 2 22 24 209 000 2008 97 000 5 21 26 229 800 2008 93 000 3 25 28 210 000 2008 106 601 7 23 30 250 000 2008 99 279

*

**

K S S S S

2.0 2.0 1.9 2.0 1.9

Do těchto tradičních metod porovnání však není vůbec započítané další sledované vlastnosti hodnocených aut a to typ karosérie, výkon motoru, rok výroby atd. Vybrané auto tak nemusí v dalších kategoriích vůbec vyhovovat požadavkům uživatelům. A to i přesto, že při tomto výběru auta bylo již potřeba hodně práce se srovnáváním a porovnáváním.

3.3 Vyhodnocení pomocí fuzzy logiky Místo seřazení podle jedné (či dvou) vlastností (čímž by této vlastnosti byla dána absolutní přednost před všemi ostatními) bere hodnocení pomocí fuzzy logiky v úvahu všechny sledované vlastnosti hodnocených aut. Nejprve jsou všechny možné hodnoty daných vlastností rozděleny (Tabulka 3.5) a přiřazeny jim preference (Tabulka 3.6). Preference přiřazuje uživatel na základě svých priorit.

120



Tabulka 3.5 Popis transformační matice 3.3.1

Cena

3.3.2

Rok

0-62500

3.3.7

2012

3.3.8

3.3.11 62501125000

3.3.12

2011

3.3.16 125001187500

3.3.17

3.3.21 187501250000 3.3.26 250001312500

3.3.6

3.3.3

Km

3.3.4

*

3.3.5

**

0-12500

3.3.9

K 3.3.10

2.0

3.3.13 1250125000

3.3.14

H 3.3.15

1.9

2010

3.3.18 2500137500

3.3.19

L

3.3.20

3.3.22

2009

3.3.23 3750150000

3.3.24

S

3.3.25

3.3.27

2008

3.3.28 5000162500

3.3.29

3.3.30

3.3.31 312501375000

3.3.32

3.3.33 6250175000

3.3.34

3.3.35

3.3.36 375001437500

3.3.37

3.3.38 7500187250

3.3.39

3.3.40

3.3.41 437501500000

3.3.42

3.3.43 87251100000

3.3.44

3.3.45

Tabulka 3.6 Transformační matice 3.3.46

Cena 3.3.47

Rok 3.3.48

Km

3.3.49

*

3.3.50

**

3.3.51

10

3.3.52

10

3.3.53

10 3.3.54

10 3.3.55

10

3.3.56

8

3.3.57

8

3.3.58

8

3.3.59

8

3.3.60

5

3.3.61

6

3.3.62

6

3.3.63

6

3.3.64

4

3.3.65

3.3.66

4

3.3.67

4

3.3.68

4

3.3.69

0

3.3.70

3.3.71

3

3.3.72

2

3.3.73

3

3.3.74

3.3.75

3.3.76

2

3.3.77

3.3.78

2

3.3.79

3.3.80

3.3.81

1

3.3.82

3.3.83

1

3.3.84

3.3.85

3.3.86

0

3.3.87

3.3.88

0

3.3.89

3.3.90

Tímto přístupem je možné určit, která z vlastností je důležitější, ale také která hodnota je preferovanější. Každé auto získá u každé sledované vlastnosti určitý počet „preferenčních“ bodů, které se jednoduše sečtou (Tabulka 3.7).


121

Václav Bezděk

Tabulka 3.7 Výsledné skóre pomocí fuzzy logiky

Nejlepší auto pak bude to s největším skóre. Tabulka 3.8 Nejlepší auto podle Fuzzy logiky 3.3.91 Pořadí 3.3.92 001 3.3.94 3.3.95 003 3.3.96 004 3.3.97 005 3.3.98

ID. 3.3.93 Skóre 19 42 9 42 38 38 52 34 5 32

Cena 370 000 119 900 499 166 483 250 457 500

Rok 2012 2010 2011 2010 2011

Km 5 200 30 000 11 920 21 256 40 735

* K K K K K

** 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0

Auta s identifikačním číslem 9 a 19 jsou podle nastavených preferencí uživatele ty, které mu nejvíce vyhovují a jsou tak pro něj nejlepší.

3.4 Srovnání tradičních metod a hodnocení pomocí fuzzy logiky Tabulka 3.9 Srovnání výsledků jednotlivých metod Cena Km Cena a Km Fuzzy RANK ID RANK ID RANK ID RANK ID 001 001 19 001 001 3.4.1 9 9 002 50 002 38 002 50 3.4.2 003 49 003 52 003 51 003 3.4.3 004 21 004 54 004 49 004 3.4.4 005 51 005 9 005 31 005 3.4.5

19 9 38 52 5

Nyní bude provedeno srovnání výsledků Fuzzy s jednotlivými metodami, pomocí tzv. Head-to-head srovnání. Budou se porovnávat jednotlivé auta na příslušných pozicích v jednotlivých parametrech podle uživatelem nastavených preferencí. Srovnání na pátém místě vybraného auta podle ceny (ID. 51) a podle Fuzzy (ID.5) by dopadlo následovně :

122



Tabulka 3.10 Srovnání aut ID. 51 a ID. 5 ID. 51 5

Cena +1

Rok

KM

Karosérie

Výkon motoru

+1

+1

+1

+1

Celkem 1 4

Z tabulky vyplývá, že auto na páté pozici vybrané podle Fuzzy je lepší, než auto na páté pozici vybrané pomocí kritéria ceny. Takto bude provedeno srovnání všech metod s metodou fuzzy. Fuzzy a kritérium Ceny. (Jako nejlepší auto vybrané fuzzy metodou je bráno auto ID. 9 – je levnější) Tabulka 3.11 Srovnání metody podle ceny a podle Fuzzy ID. podle ceny

9 50 49 21 51

ID. podle Fuzzy

3.4.6 3.4.7 3.4.8 3.4.9 3.4.10 CELKEM

9 19 38 52 5

výsledek

vítěz

5:5 2:4 2:4 2:4 1:4 9:21

remíza Fuzzy Fuzzy Fuzzy Fuzzy

Fuzzy a kritérium KM. (Jako nejlepší auto vybrané fuzzy metodou je bráno auto ID. 19 – méně najetých Km) Tabulka 3.12 Srovnání metody podle Km a podle Fuzzy ID. podle KM ID. podle Fuzzy 19 3.4.11 19 38 3.4.12 9 52 3.4.13 38 54 3.4.14 52 9 3.4.15 5 CELKEM

výsledek 5:5 4:3 3:4 3:4 4:3 19:19

vítěz Remíza Tradiční Fuzzy Fuzzy Tradiční

Fuzzy a kritérium ceny i Km (Jako nejlepší auto vybrané fuzzy metodou bráno auto ID. 9) Tabulka 3.13 Srovnání metody podle (Km a ceny) a podle Fuzzy ID. podle KM a ceny ID. podle Fuzzy 9 3.4.16 9 50 3.4.17 19 51 3.4.18 38 49 3.4.19 52 31 3.4.20 5 3.4.21 CELKEM


výsledek 5:5 2:4 1:4 2:4 1:4 11:21

vítěz Remíza Fuzzy Fuzzy Fuzzy Fuzzy

123

Václav Bezděk

Ve dvou ze tří srovnání vychází jako jednoznačně lepší metoda využívající Fuzzy, v jednom případě nastala remíza. Tzn. že metoda fuzzy nabízí, vybírá lepší auta z nabídky, než tradiční metody.

3.5 Závěr výběru nejlepšího auta z nabídky Již z pouhého srovnání vybraných aut je patrné, že metoda založená na Fuzzy logice poskytuje lepší, kvalitnější auta, než tradiční metoda pouhého srovnání. Navíc se díky Fuzzy metodě mohou do výběru zahrnout všechny náročné požadavky uživatele. Auta tak hodnotíme realističtěji. Výsledné skóre pak daleko lépe a vystihuje uživatelovu představu o nejlepším autě.

4. Vyhodnocení nejlepšího sportovce 4.1 Formulace problému Cílem je vyhodnotit nejlepšího sportovce – fotbalistu na základě testovaných 4 disciplín. Ty jsou různého charakteru. Běh 4 x 9 metrů (v sekundách, kdo rychleji, ten lépe), slalom (v sekundách, kdo rychleji, ten lépe), žonglování (počet dotyků s míčem, aniž by spadl na zem – kdo více ten lépe), skok z místa (v centimetrech, kdo dále ten lépe). Testováno bylo 18 fotbalistů, kteří měli stejné podmínky a vždy 2 pokusy, ten nejlepší se započítal. Testy mají ukázat, jak dobře jsou na tom fotbalisti po silové, koordinační a technické stránce. Tabulka 4.1 Výsledky testů ze dne 16.3.2011 Jméno Michal B. Radek B. Lukáš B. Jan D. Michal F. Lukáš J. Jakub J. Radim J. David J. Michal K. David K. Jakub K. Erik L. Jiří S. Albert Š. Patrik Š. Radek Š. Miroslav T.

5 x 9 slalom žonglování skok 11,67 15,78 348 165 11,69 19,31 9 199 12,15 17,78 98 155 11,72 18,06 192 165 11,78 20,89 20 144 11,89 16,48 380 180 12,45 18,56 25 147 11,89 17,84 145 185 11,96 15,02 615 169 11,37 17,38 72 170 12,42 16,83 81 170 12,13 19,17 79 182 12,53 18,07 9 151 12,19 18,89 8 168 11,65 16,79 36 179 11,81 16,77 57 161 12,15 18,53 34 160 12,20 18,39 119 160

4.2 Vyhodnocení pomocí tradičních metod Tradiční metoda vyhodnotí sportovce v jednotlivých kategoriích a pořadí v kategoriích sečte. Z výsledného součtu udělá opět pořadí 124



Tabulka 4.2 Výsledky podle metody součtu pořadí Jméno

5x9

Michal B. Radek B. Lukáš B. Jan D. Michal F. Lukáš J. Jakub J. Radim J. David J. Michal K. David K. Jakub K. Erik L. Jiří S. Albert Š. Patrik Š. Radek Š. Miroslav T.

11,67 11,69 12,15 11,72 11,78 11,89 12,45 11,89 11,96 11,37 12,42 12,13 12,53 12,19 11,65 11,81 12,15 12,20

pořadí 3 4 13 5 6 9 17 9 10 1 16 11 18 14 2 7 13 15

slalom 15,78 19,31 17,78 18,06 20,89 16,48 18,56 17,84 15,02 17,38 16,83 19,17 18,07 18,89 16,79 16,77 18,53 18,39

pořa- žonglo- pořadí dí vání 2 348 3 17 9 16 8 98 7 10 192 4 18 20 15 3 380 2 14 25 14 9 145 5 1 615 1 7 72 10 6 81 8 16 79 9 11 9 16 15 8 18 5 36 12 4 57 11 13 34 13 12 119 6

skok pořadí součet pořadí pořadí 165 11 19 2 199 1 38 11 155 15 43 13 165 11 30 7 144 18 57 16 180 4 18 1 147 17 62 18 185 2 25 6 169 9 21 3 170 7 25 6 170 7 37 10 182 3 39 12 151 16 61 17 168 10 57 16 179 6 25 6 161 13 35 8 160 14 53 14 160 4 37 10

Podle této metody je nejlepším Lukáš J; jako druhý v pořadí Michal B; třetí David J.Při hlubší analýze metody pořadí z pořadí lze najít některé negativní vlastnosti tohoto vyhodnocování. Tato metoda totiž pracuje pouze s pořadími a nikterak nezohledňuje samotnou kvalitu výkonů. Při hodnocení dvou siláků můžeme dojít k následujícímu. První uzvedne levou rukou 30 kg, pravou taktéž 30 kg. Druhý by uzvedl levou rukou 29 kg a pravou 40 kg. Závěr metody pořadí z pořadí by bylo, že oba jedinci jsou na tom stejně. A to i přesto, že druhý uzvedne o 9 kg celkem více. Toto negativum ukázáno na testovaných disciplínách. Tabulka 4.3 Negativum součtu pořadí Jméno

5x9

František B. Václav B. Milan E.

slalom

11,70

pořadí 1

11,70 11,70

1 1

22,00 15,00

20,00

pořa- žonglodí vání 2 352 3 1

351 350

pořadí

skok 180

pořa dí 1

součet pořadí 5

pořadí 1

1 2 3

179 180

3 1

7 5

3 2

Jak František B. tak Milan E. vyhráli jednu z disciplín. František B. žonglování (porazil Milana E. o 2 doteky – při tomto počtu zanedbatelný rozdíl), Milan E. slalom (porazil Františka B. o 5 sekund – rozdíl velmi značný). Podle metody pořadí z pořadí je však nejlepší František B. Dalším velkým negativem je neporovnatelnost dvou skupin při stejném testování. Výsledky nejsou totiž na první pohled porovnatelné. Pouze říkají, kdo je v dané skupině výkonnostně lepší než ostatní. Pokud bychom chtěli porovnat dvě skupiny, museli bychom znovu přepočítávat pořadí.


125

Václav Bezděk

4.3 Vyhodnocení pomocí fuzzy logiky Pro hodnocení jednotlivých sportovců bude zavedena fuzzy logika. Všechny výkony budou přepočteny přes funkci příslušnosti zvolenou ke každému testu zvlášť. 5x9 – L-funkce (Obrázek 2.3) (čím kratší čas, tím lépe) s parametry a=11,5; b=13 slalom – L-funkce (Obrázek 2.3) (čím kratší čas, tím lépe) s parametry a=15,1; b=22 žonglování – -funkce (Obrázek 2.4) (čím více, tím lépe) s parametry a=10; b=100 skok – -funkce -(Obrázek 2.4) (čím více, tím lépe) s parametry a=150; b=190 Parametry jednotlivých funkcí byly zvoleny na základě rozhovorů s dlouholetými trenéry této věkové kategorie. Tabulka 4.4 Výsledky hodnoty podle Fuzzy Jméno 5 x 9 - fuzzy slalom - fuzzy žonglování - fuzzy skok - fuzzy Michal B. 0,89 0,89 1,00 0,38 Radek B. 0,87 0,38 0,00 1,00 Lukáš B. 0,57 0,60 0,98 0,13 Jan D. 0,85 0,56 1,00 0,38 Michal F. 0,81 0,16 0,11 0,00 Lukáš J. 0,74 0,79 1,00 0,75 Jakub J. 0,37 0,49 0,17 0,00 Radim J. 0,74 0,59 1,00 0,88 David J. 0,69 1,00 1,00 0,48 Michal K. 1,00 0,66 0,69 0,50 David K. 0,39 0,74 0,79 0,50 Jakub K. 0,58 0,40 0,77 0,80 Erik L. 0,31 0,56 0,00 0,03 Jiří S. 0,54 0,44 0,00 0,45 Albert Š. 0,90 0,74 0,29 0,73 Patrik Š. 0,79 0,75 0,52 0,28 Radek Š. 0,57 0,50 0,27 0,28 Miroslav T. 0,53 0,52 1,00 0,75 Tyto fuzzy hodnoty, jsou již jednoduše porovnatelné s druhou tréninkovou skupinou, pokud ta má stejné parametry u jednotlivých funkcí příslušnosti. Pro výslednou fuzzy hodnotu se nabízejí následující varianty: Maximum - vzít ze všech čtyř hodnot jako výslednou tu maximální se jeví jako špatná myšlenka, jelikož bychom tak porovnávali pouze nejlepší výkony jednotlivých sportovců. Minimum - ze všech čtyř fuzzy hodnot se jako výsledná vezme ta minimální (podle rčení „řetěz je tak silný jako je silný jeho nejslabší článek“). Nevýhodou této metody

126



může být případ, kdy více jedinců má stejnou (třeba i nulovou) nejnižší fuzzy hodnotu. Průměr - ze všech čtyř metod udělat průměr. Pokud se objeví stejné průměry (z čísel 1 a 0 je stejný průměr jako ze dvou fuzzy hodnot 0,5), lepší pořadí přiřadit jedinci s větší minimální hodnotou. Průměr je však silně ovlivněn odlehlými hodnotami. Součet - pořadí založené na součtu všech čtyř fuzzy hodnot poskytuje stejné výsledky jako pořadí založené na průměru, což plyne z definice průměru. Výsledky jsou stejné, ať se za výslednou hodnotu vezme průměr či součet. Medián - jako výslednou fuzzy hodnotu vzít medián těchto hodnot, což v případě 4 pozorování znamená aritmetický průměr prostředních dvou hodnot. Argumentem pro zvolení mediánu je, že je méně ovlivnitelný extrémními hodnotami než aritmetický průměr. Všechny možné výsledné hodnoty poskytují jiné pořadí, každá z nich má své výhody a nevýhody. Pro srovnání s tradiční metodou, se v úvahu vezme medián jednotlivých fuzzy hodnot. Z tabulky 4.5 pak vyplývá, že nejlepší je Michal B., druhý David J., třetí Radim J. Tabulka 4.5 Výsledky testování podle Fuzzy Jméno medián - fuzzy pořadí jméno medián - fuzzy pořadí Michal B. 0,89 1 Michal K. 0,67 7 Radek B. 0,63 11 David K. 0,62 12 Lukáš B. 0,58 13 Jakub K. 0,67 8 Jan D. 0,71 6 Erik L. 0,17 17 Michal F. 0,13 18 Jiří S. 0,45 14 Lukáš J. 0,77 4 Albert Š. 0,73 5 Jakub J. 0,27 16 Patrik Š. 0,63 10 Radim J. 0,81 3 Radek Š. 0,38 15 David J. 0,85 2 Miroslav T. 0,64 9

4.4 Srovnání tradičních metod a hodnocení pomocí fuzzy logiky


127

Václav Bezděk

Tabulka 4.6 Srovnání výsledků součtu pořadí a fuzzy fuzzy medián

pořadí z pořadí

5x9

slalom

žongl.

skok

výsledek

Michal B.

Lukáš J.

1:0

1:0

0:1

0:1

2:2

remíza

David J.

Michal B.

0:1

1:0

1:0

1:0

3:1

fuzzy

Radim J.

David J.

1:0

0:1

0:1

1:0

2:2

remíza

Lukáš J.

Radim J.

1:1

1:0

1:0

0:1

3:2

fuzzy

Albert Š.

Michal K.

0:1

1:0

0:1

1:0

2:2

remíza

Jan D.

Albert Š.

0:1

0:1

1:0

0:1

1:3

pořadí

Michal K.

Jan D.

1:0

1:0

0:1

1:0

3:1

fuzzy

Jakub K. Miroslav T. Patrik Š.

Patrik Š.

0:1

0:1

1:0

1:0

2:2

remíza

David K.

1:0

0:1

1:0

0:1

2:2

remíza

Miroslav T.

1:0

1:0

0:1

1:0

3:1

fuzzy

Radek B.

Radek B.

1:1

1:1

1:1

1:1

4:4

remíza

David K.

Jakub K.

0:1

1:0

1:0

0:1

2:2

remíza

Lukáš B.

Lukáš B.

1:1

1:1

1:1

1:1

4:4

remíza

Jiří S.

Radek Š.

0:1

0:1

0:1

1:0

1:3

pořadí

Radek Š.

Michal F.

0:1

1:0

1:0

1:0

3:1

fuzzy

Jakub J.

Jiří S.

0:1

1:0

1:0

0:1

2:2

remíza

Erik L.

Erik L.

1:1

1:1

1:1

1:1

4:4

remíza

Michal F.

Jakub J.

1:0

0:1

0:1

0:1

1:3

pořadí

Celkem

44 : 41

Bylo provedeno srovnání sportovců na odpovídajících pozicích tzn. jedinců, kteří se umístili na stejném místě. (Tabulka 4.6). Prvního z fuzzy metody (Michal B.) byl porovnáván s prvním z metody pořadí z pořadí (Lukáš J.). Srovnáme jejich výkony v jednotlivých disciplínách. Lepší výsledek bude ohodnocen 1, horší 0, pokud mají oba stejné výkony , bude situace označena 1 : 1. Výsledný poměr 44 : 41 ukazuje na lepší určení pořadí pro fuzzy metodu. Ta v 5 případech má na konkrétním umístění lepšího jedince než metoda pořadí z pořadí, která lepšího jedince umístila podobně pouze ve třech případech. Ve zbylých umístěních mají obě metody jedince, kteří při porovnání mají shodný počet lepších výkonů.

128



4.5 Závěr vyhodnocení nejlepšího sportovce I zde dopadlo vyhodnocování pomocí metody založené na fuzzy logice lépe, než vyhodnocování tradičními metodou. Navíc porovnání na základě součtu pořadí nevyužívá všechny možné informace, které ze změřených údajů lze získat, úplně opomíjí kvalitu výkonů. Fuzzy logika tak dává lepší přehled o testovaných vlastnostech, poskytuje totiž komplexnější přehled o testovaných objektech. Další výhodou fuzzy metody je lepší a snadnější vzájemná porovnatelnost více skupin, což je u tradičních metod prakticky nemožné, pokud se znovu neprovede celkové srovnání. S tím souvisí i situace přidání jednoho či více osob do skupiny. Všechny výsledky v jednotlivých disciplínách přepočítávat, provádět znovu pořadí v disciplínách a přepočítávat. U metody využívající fuzzy logiku nikoliv. Spočítá se výsledná fuzzy hodnota přidaného jedince a hned se ukáže jak na tom testovaný jedinec je v porovnání s ostatními.

5. Hodnocení studentů 5.1 Formulace problému Úkolem je ohodnotit studenty, kteří mají z předmětu, Matematické základy řízení rizik v letním semestru akademického roku 2011/2012, vyučovaného na FAI UTB ve Zlíně, skládat zápočet a zkoušku. Výsledná známka z předmětu však nemá být jen hodnocením výkonu u zkoušky ale má zahrnout i celoroční snažení studenta v předmětu tak, aby je to pokud možno motivovalo k práci po celý semestr. Sledované položky u jednotlivých studentů jsou : zápočtová práce psaná v půlce semestru. V 7 příkladech šlo získat max. 20 bodů, přičemž za zvládnutí v prvním termínu bonifikace 40 bodů, v druhém termínu 20 bodů, třetí termín bez bonifikace. seminární práce - pomocí fuzzy logiky vyřešit jakýkoliv rozhodovací problém z praxe. Hodnocena volba problému, volba zpracování, styl zpracování. Maximální počet udělených bodů byl 60. aktivita na hodinách – za aktivní přístup na cvičení mohli studenti získat až 60 bodů. výkon u zkoušky – student si vylosoval 6 otázek ze 49. Každá správná odpověď bodována 10 body, maximum tedy 60. Výsledným hodnocením bude udělený zápočet a hodnocení A až E. Snahou tedy bylo navrhnout systém závěrečného hodnocení studenta, který bude zahrnovat všechny hodnocené položky u studenta. -

5.2 Vyhodnocení pomocí fuzzy logiky V daném semestru předmět absolvovalo celkem 30 studentů. Bodové hodnocení prvních pěti je v následující tabulce.


129

Václav Bezděk

Tabulka 5.1 Bodové hodnocení studentů

Student Písemka Práce Aktivita Zkouška 001 54 59 47 55 002 56 50 10 45 003 59 57 56 58 004 51 38 12 60 005 56 55 57 42 Fuzzifikace Nejprve budou vyhodnoceny zápočty. Pro jejich vyhodnocení budou použity funkce příslušnosti. Písemná práce: Slabá – L(x, 0, 20), Průměrná – П(x, 10, 30, 30, 50), Výborná - (x, 40, 60) Zápočtová práce: Slabá – L(x, 0, 20), Průměrná – П(x, 10, 30, 30, 50), Výborná - (x, 40, 60) Aktivita: Slabá – L(x, 0, 20), Průměrná – П(x, 10, 30, 30, 50), Výborná - (x, 40, 60) Příslušné hodnoty pro zápočet, se kterými se bude pracovat : Tabulka 5.2 Fuzzy hodnoty pro zápočet studentů Student 001 002 003 004 005

Slabá 0 0 0 0 0

Písemka Průměrná Výborná 0 0,7 0 0,8 0 0,95 0 0,55 0 0,8

Slabá 0 0 0 0 0

Práce Průměrná 0 0 0 0,6 0

Výborná 0,95 0,5 0,85 0 0,75

Slabá 0 0,5 0 0,4 0

Aktivita Průměrná 0,15 0 0 0,1 0

Výborná 0,35 0 0,8 0 0,85

Do příslušných fuzzy hodnot se pro potřeby fuzzy zpracování převedou i data získaná ze zkoušky : -

Zkouška: Slabá – L(x, 30, 45), Průměrná – П(x, 40, 45, 45, 50), Výborná 45, 60):

(x,

Tabulka 5.3 Fuzzy hodnoty zkoušky studentů

Student 001 002 003 004 005

130

Slabá Průměrná Výborná 0,00 0,00 0,67 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,87 0,00 0,00 1,00 0,20 0,40 0,00



Fuzzy inference Nyní je potřeba definovat pravidla podle kterých bude vyhodnocena „kvalita“ zápočtu. Jelikož jsou tři podmínky k zápočtu a každá má tři možné charakteristiky, pravidel bude celkem 27, definované v podobě : Jestliže je PÍSEMKA slabá a PRÁCE slabá a AKTIVITA slabá potom je ZÁPOČET slabý. Každý přednášející si může pravidla zvolit podle svých preferencí a zkušeností. Přehled všech pravidel podle kterých byli studenti hodnoceni : Tabulka 5.4 Fuzzy pravidla pro hodnocení zápočtu 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

PÍSEMKA Slabá Slabá Slabá Slabá Slabá Slabá Slabá Slabá Slabá Průměrná Průměrná Průměrná Průměrná Průměrná Průměrná Průměrná Průměrná Průměrná Výborná Výborná Výborná Výborná Výborná Výborná Výborná Výborná Výborná

PRÁCE Slabá Slabá Slabá Průměrná Průměrná Průměrná Výborná Výborná Výborná Slabá Slabá Slabá Průměrná Průměrná Průměrná Výborná Výborná Výborná Slabá Slabá Slabá Průměrná Průměrná Průměrná Výborná Výborná Výborná

AKTIVITA Slabá Průměrná Výborná Slabá Průměrná Výborná Slabá Průměrná Výborná Slabá Průměrná Výborná Slabá Průměrná Výborná Slabá Průměrná Výborná Slabá Průměrná Výborná Slabá Průměrná Výborná Slabá Průměrná Výborná

ZÁPOČET Slabý Slabý Průměrný Slabý Slabý Průměrný Průměrný Průměrný Průměrný Slabý Průměrný Průměrný Průměrný Průměrná Výborný Průměrný Průměrný Výborný Průměrný Průměrný Výborný Průměrný Výborný Výborný Průměrný Výborný Výborný

Pro prvního studenta jsou aktivní pravidla 26 a 27 které mu silou (vahou) 0,6 a 0,67 přiřazují kvalitu zápočtu : výbornou. Pokud pravidla přiřazují stejnou kvalitu zápočtu, tak síla se bere toho silnějšího pravidla. Výsledek tedy pro studenta číslo 1 zní. Kvalita zápočtu výborná s vahou 0,67. Kvalita zápočtů studentů a tedy výsledky první fuzzy inference ukazuje :


131

Václav Bezděk

Tabulka 5.5 Kvalita zápočtů studentů

Student 001 002 003 004 005


Další fuzzy inference bude provedena na kvalitu zápočtu a kvalitu zkoušky. Postupuje se podle pravidel, které si každý zkoušející volí podle svých preferencí a zkušeností. Jelikož „spojujeme“ dva atributy a to zápočet a zkoušku, obě nabývajících tří možných charakteristik, pravidel je devět. Např.:

Tabulka 5.6 Fuzzy pravidla pro závěrečné hodnocení ZÁPOČET 1. Slabý 2. Slabý 3. Slabý 4. Průměrný 5. Průměrný 6. Průměrný 7. Výborný 8. Výborný 9. Výborný

ZKOUŠKA VÝSLEDEK Slabá Slabý Průměrná Slabý Výborná Průměrný Slabá Slabý Průměrná Průměrný Výborná Průměrný Slabá Průměrný Průměrná Výborný Výborná Výborný

Pro studenta 001 je aktivní pravidlo číslo 9, které mu vahou 0,67 přiřazuje výborný výsledek (spočítaný jako aritmetický průměr váhy zápočtu a váhy zkoušky). Aplikovaní těchto devíti pravidel, na soubor studentů, poskytuje následující data : Tabulka 5.7 Fuzzy hodnota výsledku

Student 001 002 003 004 005


Defuzzifikace Výsledky z poslední tabulky budou převedeny do finální známky, která bude studentovi udělena. Výsledná známka bude spočítána následovně : pokud má student přidělenou pouze jednu hodnotu, dostane danou známku (Slabá – E, Průměrná C, Výborná –A). Pokud se v jeho výsledku vyskytují dvě hodnoty, potom bude výsledná známka D nebo B (D v případě hodnot slabého výsledku a

132



průměrného, B v případě průměrného a výborného). Studenti tedy budou ohodnoceni následujícími známkami : Tabulka 5.8 Výsledné hodnocení studentů

Student 001 002 003 004 005

Výsledná známka A C A B B

5.3 Srovnání tradičních metod a hodnocení pomocí fuzzy logiky Na závěr semestru bylo všech 30 studentů osloveno dotazníkem jehož otázky se týkaly fuzzy logiky a hodnocení pomocí fuzzy logiky. Znali jste před začátkem semestru fuzzy logiku ? (ANO-NE-Částečně) Považujete fuzzy logiku za přínosnou ? (ANO-NE-Částečně) Je možné, že uplatníte fuzzy logiku při hodnocení v běžném životě ? (ANO-NEČástečně) Hodnocení pomocí fuzzy logiky považujete za spravedlivější ? (ANO-NEČástečně) Z odpovědí studentů mimo jiné vyplývá : Před semestrem fuzzy logiku neznalo 24 studentů (80 %) – (3 - 10 % připouští částečnou znalost a 3 – 10 % studenti fuzzy logiku znali). Po semestru 27 studentů (90 %) hodnotí jako přínosnou, 3 studenti (10 %) hodnotí fuzzy logiku jako přínosnou částečně. Žádný student fuzzy logiku tak nehodnotí jako nepřínosnou ! 14 studentů (46,7 %) připouští že fuzzy logiku částečně uplatní při hodnocení v běžném životě, 16 studentů ( 53,3 %) je o tom zcela přesvědčena. Každý student tak fuzzy logiku využije při hodnocení v běžném životě ! Hodnocení, využívající fuzzy logiku, není nespravedlivé. 19 studentů (63,3 %) považuje takový systém za spravedlivější a 10 studentů (36,7 %) jej považuje spravedlivější částečně. Žádný student tak tento systém nehodnotí jako nespravedlivý!

5.4 Závěr hodnocení studentů Dané hodnocení studentů, využívající fuzzy logiku, je komplexnější. Zahrnuje totiž jak rozdílný přístup studentů ke svým povinnostem u zápočtu tak jejich výkonu u zkoušky. Tento systém tedy „nutí“ studenty pracovat svědomitě po celý semestr nejen u zkoušky. Dané hodnocení, využívající fuzzy logiku, je výhodnější než pouhý aritmetický průměr dat Do tohoto hodnocení může být promítnuty preference a zkušenosti hodnotitelů (viz. Tabulka 5.4 a Tabulka 5.6) což by aritmetický průměr nedokázal. Dané hodnocení, využívající fuzzy logiku, není složité, jelikož hodnotící systém lze například jednoduše nasimulovat pomocí programu Excel. Systém pak lze použít SYSTÉMOVÁ INTEGRACE 4/2012

133

Václav Bezděk

v dalším akademickém roce (při zachování stejných hodnotících pravidel) nebo v kterémkoliv jiném předmětu. Na všechny studenty tak budou kladeny stejné požadavky a budou hodnoceni podle stejných pravidel.

6. Souhrn V prvém příkladě fuzzy logika umožnila do hodnotícího systému zahrnou všechny sledované vlastnosti hodnocených objektů. Nejlepší objekt se vybere podle všech, pro uživatele důležitých, vlastností, aniž by to nějak zpomalilo hodnotící systém. Navíc fuzzy systém jednoznačně hodnotil lépe, než systém založený na tradičních metodách.

V druhém příkladě díky fuzzy logice hodnotilo podle všech naměřených dat, navíc se dohodnocení zahrnula i kvalita dat (výkonů), což je velmi důležité a pro hodnocení přínosné. To tradiční metody založené jen na součtu pořadí nedokáží. Navíc je možné, u systému s fuzzy, rychlé a jednoduché přidání hodnoceného prvku (sportovce) do systému a taky jednoduché porovnání dvou testovaných skupin. To tradiční metody bez celkového přepočítávání nedokáží. Ty navíc dopadly hůře při porovnávání samotných výsledku hodnocení. V závěrečném příkladě se díky fuzzy hodnotilo podle všech dat, zohlednila se kvalita výkonů a navíc se do hodnocení promítly preference a zkušenosti hodnotitele. Ten může upravit pravidla pro závěrečné hodnocení ke své spokojenosti. Sami hodnocení, v našem příkladě, pak samotný systém považují za spravedlivější. Ve všech předkládaných příkladech hodnocení pomocí fuzzy logiky tak prokázalo svoje opodstatnění a smysl. Předkládalo lepší výsledky než tradiční systémy, bylo lehce uplatnitelným, rychlým a i spravedlivějším systémem.

Literatura [1]

[2]

[3] [4] [5]

DOSTÁL, P., 2008: Pokročilé metody analýz a modelování v podnikatelské a veřejné správě. První vydání. Brno: AKADEMICKÉ NAKLADATELSTVÍ CERM, 340 s. ISBN 978-80-7204-605-8 DOSTÁL, P., RAIS, K., SOJKA, Z., 2005: Pokročilé metody manažerského rozhodování: konkrétní příklady využití metod v praxi. 1. vyd. Praha: Grada, 166 s. ISBN 80-247-1338-1 JURA, P., 2003: Základy fuzzy logiky pro řízení a modelování. První vydání. Brno: VUITUM, 132 s. ISBN 80-214-2261-0 NOVÁK, V., 2000: Základy fuzzy modelování. 1. vydání. Praha: BEN – technická literatura, 161 s. ISBN 80-7300-009-1 ZADEH, L.A., 1965: Fuzzy Sets. Information and Control, 8 (3), pp. 338-353

JEL: C02, D81

134


Využití fuzzy logiky při hodnocení

Recommend Documents