S W 80 X
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie
Vernár, 12.-14. 9. 2005
VYUŽITÍ CITLIVOSTNÍ ANALÝZY V ELEKTROTECHNICE A ŘÍDÍCÍ TECHNICE - II KÜNZEL Gunnar Abstrakt Příspěvek navazuje na předchozí autorův článek a rozšiřuje pojetí citlivostní analýzy o stavové citlivostní funkce a Bodeho a Horowitzovu citlivostní funkci ve frekvenční oblasti. Je uvedena analytická metoda výpočtu citlivostní funkce pomocí zpětné Laplaceovy transformace. Metodika určování citlivostních rovnic je prezentována na pěti úlohách z elektrotechniky a řídící techniky a umožňuje získávat citlivostní modely přímo v prostředí MATLAB - Simulink. Klíčová slova Dynamický systém, citlivostní funkce, citlivostní model Úvod Dynamický systém může být charakterizován modelem v časové nebo frekvenční oblasti, případně vhodným kritériem jakosti regulace. Podle této klasifikace uvažujeme citlivostní funkce : a) v časové oblastí (např. ve stavovém prostoru) b) ve frekvenční oblasti c) kritéria kvality regulace Budeme se zabývat pouze případy a), b). Přímá metoda hledání výstupní nebo stavové citlivostní funkce vede ke složitým výpočtům. Proto byla vypracována řada metod, které umožňují nalézt citlivostní funkce jednodušeji – buď řešením pomocí integrální Laplaceovy transformace nebo dříve analogovou a nyní číslicovou simulací pomocí tzv. citlivostního modelu. Pro lineární systémy s jedním vstupem a výstupem, řazené za sebou v kaskádě, platí, že celkový přenos je zachován, i když zaměníme pořadí bloků. To vede k metodě tzv. citlivostních bodů. Nejprve zařadíme celý nominální model, na jeho výstup citlivostní model a „spojky“, které byly mezi nominálním a citlivostním modelem zařadíme mezi vybrané tzv. citlivostní body citlivostního modelu a výstupní „svorky“ pro měření citlivostních funkcí. Vzhledem k neznalosti detailů a konkrétních postupů citlivostní analýzy se při analýze a syntéze regulačních obvodů doporučuje opakovat příslušné výpočty a experimenty několikrát s pozměněnými parametry a sledovat alespoň vliv jejich změn. Vhodnou pomůckou je přitom program sisotool v MATLABu. Materiál a metody Stavová citlivostní funkce je definována obdobně jako výstupní citlivostní funkce [4]. Rovnice (1) x′ = f ( x, u , a , t ) nechť má pro dané vektory u , a a počáteční podmínky x(o) = xo řešení vyjádřené funkcí x = x ( a , t ) . Potom výraz S ax =
∂x ∂a T
pro a 0 = const.
(2)
představuje citlivostní funkci stavové trajektorie, někdy označovanou jako citlivostní matice.
S W 81 X
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie
Vernár, 12.-14. 9. 2005
Zde je vhodné se zmínit o tzv Miller-Murrayově klasifikaci parametrů systémů, která rozlišuje parametry: a.) alfa, což jsou parametry systémů, jejichž uvažovaná změna nezmění řád systému b.) beta, což jsou počáteční podmínky systému c.) lambda, což jsou parametry systému, jehož odchýlení od nominální hodnoty λ = 0 mění řád systému. Takové parametry je vhodné uvažovat např. při zjednodušování modelů, zanedbávání rozptylových indukčností apod. Chyby, způsobené změnou parametrů lambda bývají v literatuře nazývány též singulárními perturbacemi. Citlivostní rovnice a jejich modely byly již definovány v autorově práci [4]. Bližší postupy včetně určování tzv. citlivostních bodů jsou uvedeny např. v [1, 2]. Bodeho citlivostní funkce je typickou funkcí ve frekvenční oblasti. Je definována jako relativní citlivostní funkce přenosu G podle skalárního parametru a. S aG =
∂ ln G ( p, a ) ∂G ( p, a ) a = ⋅ G ( p, a ) ∂ ln a ∂a
pro a0 = konst.
(3)
kde p je operátor Laplaceovy transformace. Tato citlivostní funkce může být obecně rozšířena na citlivostní změny subsystému G1(p), zvaného variabilním komponentem. S GG1 =
∂G G ∂ ln G = ∂ ln G1 ∂ G1 G1
pro G10 = konst.
(4)
Ve frekvenční oblasti je též definována tzv. Horowitzova citlivostní funkce H aG , jež platí pro libovolně velké přírůstky sledovaného přenosu G a jeho parametru a H aG =
∆G a G − G 0 a ⋅ = ⋅ ∆a G a − a 0 G
(5)
Platí věta: Pro konkrétní zpětnovazební systém, který obsahuje variabilní komponent v přímé větvi, je Bodeho a Horowitzova citlivostní funkce totožná! Horowitzova citlivostní funkce přenosu uzavřeného zpětnovazebního obvodu F = G/(1 + GH) vzhledem k přenosu bloku G v přímé větvi (H je přenos zařazený ve zpětné vazbě z výstupu na vstup bloku G) je dána výrazem H GF =
∆F F 1 = ∆ G G 1 + G0 H
(6)
což odpovídá přenosu regulační odchylky. Stejný výraz platí i pro Bodeho citlivostní funkci. Ve funkcích sisitool a rltool v MATLABu je možno vykreslit frekvenční charakteristiku podle rov. (6) pomocí příkazů menu Tools => Loop Responses => Others => Sensitivity. V dalším textu ukážeme analytický výpočet citlivostní funkce pomocí Laplaceovy transformace (za předpokladu nulových počátečních podmínek). Pro lineární systémy pro něž platí y (t , a ) = L- -1 {G ( p, a ) ⋅ U ( p )} (7) kde y (t , a ) je výstupní veličina, G je přenos systému a U(p) je Laplaceův obraz vstupní veličiny. Pro výstupní citlivostní funkci platí S ay =
∂y (t , a ) ∂ = T ⋅L T ∂a ∂a
-1
{G ( p, a ) ⋅ U ( p)}
pro a 0 = konst.
(8)
S W 82 X
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie
Vernár, 12.-14. 9. 2005
Je-li možno zaměnit navzájem operace integrace v inverzní Laplaceově transformaci a parciální derivace, pak ⎫ - -1 ⎧ G ( p, a ) ⋅ U ( p )⎬ = L- -1 S aG ⋅ U ( p ) pro a0 = konst. (9) S ay = L ⎨ T ⎩ a ⎭ Vzhledem k definici přenosu Y(p) = G(p)U(p) je možno pro jediný skalární parametr a vyjádřit citlivostní funkci pomocí Bodeho citlivostní funkce S aG
{
- -1
S ay = L
{S
G a
, Y ( p, a 0 ) / a 0
}
}
(10)
Změnu integrace a derivace je možno provést a.) pro parametry alfa bez omezení b.) pro parametry lambda jen tehdy, mají-li dodatečné kořeny, vzniklé zvětšením řádu záporné reálné části. Pro parametry beta – počáteční podmínky – úloha nemá smysl. Výsledky a diskuse Uvedenou metodiku získávání citlivostních funkcí předvedeme na několika vybraných úlohách z elektrotechniky a z teorie řízení. Úloha 1. Určete výstupní citlivostní funkci, vzhledem a.) k časové konstantě T = RC, b.) k odporu R pro pasivní integrační RC obvod. (Obr. 1) Nejprve určíme přenos Y ( p) 1 G ( p) = = ; absolutní citlivostní funkcí je tedy U ( p) Tp + 1 Obr. 1 Schéma RC obvodu −p S TG = (11) (T0 p + 1) 2
Jde o parametr alfa, je tedy možno zaměnit integraci a parciální derivaci rov. (9). Dosazením obdržíme t − T0 1⎫ −p = − e ⋅ ⎬ ⎨ 2 T02 ⎩ (T0 p + 1) p ⎭
- -1 ⎧
S =L y T
t
(12)
Tuto citlivostní funkci lze též vyjádřit graficky. Podle pravidel pro citlivostní funkce [1] platí, že citlivost vzhledem k R je t
− tC S = S ⋅S = − ⋅ e R0C (13) 2 ( R0 C ) Určete citlivostní rovnici vzhledem k parametru pro Van der Polovu nelineární Úloha 2. diferenciální rovnici II. řádu, popisující např. elektronický oscilátor s kvaziperiodickým chováním. y ′′ − a (1 − y 2 ) ⋅ y ′ + y = 0 (14)
y R
y T
T R
Tento systém má jeden rovnovážný stav v počátku a jedno stabilní řešení, jehož tvar závisí na parametru a. Citlivostní rovnici Van der Polova oscilátoru obdržíme provedením parciálních derivací a dosazením do obecného tvaru (vynecháváme indexy) 2 S ′′ − a 0 (1 − y 0 ) ⋅ S ′ + (2a 0 ⋅ y 0 ⋅ y 0′ + 1) = (1 − y 02 ) ⋅ y 02 (15)
S W 83 X
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie
Vernár, 12.-14. 9. 2005
Obě rovnice (14) a (15) lze řešit v MATLAB-Simulinku a lze tak získat jak řešení y(t,a) tak její citlivostní funkci S ay (t ) Určete citlivost Mathieovy diferenciální rovnice parametrického oscilátoru Úloha 3. vzhledem k úhlovému kmitočtu ω. Zadaná M. diferenciální rovnice je y ′′ + (1 − a cos ωt ) ⋅ y = 0 ; y(0) = b0 , y‘(0) = b1 (16) Po provedení příslušných derivací je citlivostní rovnice S ′′ + (1 − a cos ωt ) ⋅ S = − y 0 (t )at sin ω 0 t (17) Kde y0(t) je řešení Mathieovy rovnice pro nominální hodnotu úhlového kmitočtu ω0 Úloha 4.
Derivační dynamo je charakterizováno rovnicí u ′ = au + bu 3 + c kde u je napětí dynama a, b – konstanty charakteristiky naprázdno c – konstanta úměrná remanentnímu napětí.
(18)
Určete citlivost výstupního napětí u na parametrech a, b. Postup je vidět na obr. 2 a,b „Spojky“ mezi nominálním a citlivostním modelem jsou značeny písmeny
Obr. 2a Blokové schéma pro výpočet výstupu u a Sau
Obr. 2b Blokové schéma pro výpočet výstupu u a Sbu Úloha 5. Určete časové průběhy citlivostních funkcí uaj(t) (j = 0,1,2,3) pro lineární servomechanismus s přenosem
S W 84 X
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie
Vernár, 12.-14. 9. 2005
b0 Y ( p) = 3 E ( p ) a3 p + a 2 p 2 + a1 p + a 0 kde a3 = 0,25, a2 = 1,25, a1 = 1, a0 = b0 = 2,4 Rovněž určete odezvu na jednotkový skok při změně parametru ∆a1 = 0,2. H ( p) =
Diferenciální rovnici původního systému lze přímo zapsat ze zadaného přenosu 0,25 y ′′′ + 1,25 y ′′ + y ′ + 2,4 y = 2,4e
(19)
(20)
Příslušná citlivostní rovnice pro ua0 parametru a0 má stejnou strukturu, ale liší se pravou stranou – tedy (21) 0,25u a′′′0 + 1,25u a′′0 + u a′ 0 + 2,4u = − y (t ) Pro simulaci řešení y (t ) , y (t ) , (které vznikne změnou a1 o ∆a1 = 0,2) a citlivostních funkcí ua0(t) – ua3(t) lze využít blokových schémat, dříve využívaných pro analogové počítače. Převod do SIMULINKu je snadný a umožňuje získat grafické průběhy původního řešení y(t), perturbovaného řešení y (t ) a všech citlivostních funkcí (obr. 3, 4, 5).
Obr. 3 Blokové schéma původní a citlivostní rovnice
Obr. 4 Průběh citlivostních funkcí ua0(t) – ua3(t)
S W 85 X
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie
Vernár, 12.-14. 9. 2005
Obr. 5 Časové průběhy y (t ) , y (t ) a citlivostní funkce ua1(t) Závěr:
Příspěvek zavádí citlivostní funkci ve stavovém prostoru a Bodeho a Horowitzovu citlivostní funkci ve frekvenční oblasti. Ke každé diferenciální rovnici existuje též citlivostní diferenciální rovnice se stejnou strukturou – liší se pouze pravou stranou. V pěti vybraných úlohách z elektrotechniky a řídicí techniky je ukázáno, jak lze určovat citlivostní funkce a citlivostní rovnice. Přístupy citlivostní analýzy budou využity ve výuce při cvičeních předmětu Počítačové modelování dynamických soustav na ČZU TF. Literatura: 1. John, J., Systémy a řízení, ČVUT, Praha 2003, ISBN 80-01-02745-7 2. Frank, P.M., Introduction to Systém Sensitivity Theory, Academic Press, 1978 3. Tomovič, R., Vukobratovič, M., Obščaja teoria čuvstvítělnosti, Moskva, 1972 4. Künzel, G., Citlivostní analýza dynamických systémů I, Konference IKT 2005, SPÚ Nitra, 2005
Ing. Künzel Gunnar TF ČZU Praha – Katedra elektrotechniky a automatizace Kamýcká 872, 16521, Praha 6 – Suchdol
