Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TECHNICKÁ MECHANIKA. pro bakaláře Fakulty elektrotechniky a informatiky. Jan Ondrouch Jiří Kaňák

Vysoká škola báňská –Technická univerzita Ostrava ───────────────────────────────────

TECHNICKÁ MECHANIKA pro bakaláře Fakulty elektrotechniky a informatiky

Jan Ondrouch Jiří Kaňák

─────────────────────────────────── Ostrava 2007

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ───────────────────────────────────────────────────

Obsah Předmluva

..………………………………………………………………………………………

3

1. 1.1. 1.2. 1.2.1. 1.2.1.1. 1.2.1.2 1.2.2. 1.2.2.1. 1.2.2.2. 1.2.3. 1.4.

Uložení a rovnováha tělesa v rovině …………………………………………… Těleso volné ….………………………………………………………………………. Těleso vázané .………………………………………………………………………. Těleso vázané v jednom bodě …………………………………………………. Bod tělesa vázán ke křivce – vazba obecná …………………………………….. Bod tělesa nepohyblivý – vazba rotační …………………………………………….. Těleso vázané ve více bodech ……………………………………………………….. Pohyblivá uložení ……………………………………………………………………. Nepohyblivá uložení, základní staticky určité případy i = 0; m = 3 ……………. Vazbová závislost ………………………………………………………………………. Uvolnění tělesa ………………………………………………………………………..

4 4 4 5 5 6 6 6 9 12 12

2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Statika rovinných soustav těles ……………………………………………………. Základní poznatky, vazby ………………………………………………………………. Pohyblivost a statická určitost rovinných soustav těles … ………………………….. Početní řešení sil ve vazbách nepohyblivých soustav staticky určitých ………….. Početní řešení sil ve vazbách a přídavných rovnovážných účinků pohyblivých soustav staticky určitých …………………………………………………

12 12 14 15

3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2.

Prutové soustavy rovinné …………………………………………………………… Základní poznatky ………………………………………………………………………. Statická a tvarová určitost …………………………………… ……………………… Početní řešení …………………………………………………………………………… Metoda styčníková ……………………………………………………………………… Metoda průsečná ………………………………………………………………………

18 18 19 20 20 22

4. 4.1. 4.2.

23 23

4.3. 4.3.1. 4.3.2 4.3.3.

Nosníky …………………………………………………………………………………. Rovnováha části tělesa, vnitřní statické účinky ……………………………………… Závislost mezi spojitým zatížením, posouvající silou a ohybovým momentem, Schwedlerova věta ……………………………………………………………………… Řešení nosníků ………………………………………………………………………… Základní poznatky ……………………………………………………………………… Jednoduché případy zatížení ………………………………………………………… Kombinované zatížení ……………………………………………………………………

5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.3.1. 5.3.2. 5.4. 5.5. 5.6.

Pasívní odpory v reálných vazbách ………………………………………………… Obecná vazba ………………………………………………………………………… Posuvná vazba …………………………………………………………………………… Rotační vazba …………………………………………………………………………… Ložisko radiální ………………………………………………………………………… Ložisko axiální (patní) ………………………………………………………………… Valivá vazba ……………………………………………………………………………. Pohyb vlákna po drsné ploše ………………………………………………………… Vliv tuhosti lan a řemenů ………………………………………………………………

30 30 31 32 33 33 35 36 37

6. 6.1. 6.2. 6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4 6.2.5. 6.2.5.1 6.2.5.2.

Kinematika posuvného pohybu tělesa (rovinný případ) ………………………… Základní poznatky ………………………………………………………………………… Řešení pohybu bodu v rovině ………………………………………………………… Přirozená souřadnicová soustava …………………………………………………… Pravoúhlá souřadnicová soustava …………………………………………………… Polární souřadnicová soustava ………………………………………………………… Vyšetřování pohybu bodu ……………………………………………………………… Zvláštní případy pohybu ………………………………………………………………… Přímočarý pohyb ………………………………………………………………………… Podle vlastností tečného zrychlení ……………………………………………………

37 37 38 38 40 40 42 42 42 42

1

17

24 25 25 26 29

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── 7. 7.1.

Dynamika posuvného pohybu tělesa (rovinný případ) ………………………… Základní poznatky ………………………………………………………………………

43 43

7.2. 7.3. 7.3.1. 7.3.2.

Sestavování pohybové rovnice d´Alembertovým způsobem ……………………… Věta o změně hybnosti, věta o změně kinetické energie …………………………… Věta o změně hybnosti ………………………………………………………………… Věta o změně kinetické energie …………………………………………………………

44 45 45 46

8. 8.1 8.2.

Kinematika rotačního pohybu tělesa ……………………………………………… Základní poznatky ………………………………………………………………………… Vektorové vyjádření kinematických veličin ……………………………………………

47 47 48

9. 9.1. 9.2. 9.2.1. 9.2.2. 9.3. 9.3.1. 9.3.2.

Dynamika rotačního pohybu tělesa ………………………………………………… Základní poznatky ……………………………………………………………………… Věta o změně momentu hybnosti, věta o změně kinetické energie ………………… Věta o změně momentu hybnosti ……………………………………………………… Věta o změně kinetické energie ………………………………………………………… Výsledné doplňkové síly, výpočet reakcí (rovinný případ) ………………………… Výsledné doplňkové síly ……………………………………………………………… Výpočet reakcí …………………………………………………………………………

48 48 49 49 50 50 50 52

10. 10.1. 10.2. 10.3.

Kinematika obecného rovinného pohybu tělesa ………………………………… Definice, pohyblivost …………………………………………………………………… Základní rozklad ………………………………………………………………………… Vyšetření rychlosti a zrychlení …………………………………………………………

52 52 53 54

11. 11.1. 11.2. 11.3.

Dynamika obecného rovinného pohybu tělesa ………………………………… Pohybové rovnice ……………………………………………………………………… Kinetická energie ………………………………………………………………………… Doplňkové účinky ………………………………………………………………………

56 56 57 57

12. 12.1. 12.1.1. 12.1.2. 12.1.3. 12.2.

Kinematika mechanismů ……………………………………………………………… Mechanismy s konstantními převody ………………………………………………… Jednoduchý převod ……………………………………………………………………… Složený převod ………………………………………………………………………… Planetový převod ………………………………………………………………………… Mechanismy s proměnlivými převody …………………………………………….……

59 59 59 60 60 61

13.

Dynamika mechanismů ……………………………………………………………….

63

14. 14.1. 14.1.1. 14.1.2. 14.1.3. 14.2. 14.2.1 14.2.2. 14.2.3. 14.2.3.1. 14.2.3.2 14.2.4. 14.3.

Základy technického kmitání …………………………………………………… …… Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti ………………………………………… Volné netlumené kmitání ……………………………………………………………… Volné tlumené kmitání …………………………………………………………………… Kmitání vynucené budící silou harmonického průběhu ……………………………… Kmitání lineárních soustav s více stupni volnosti …………………………………… Pohybové rovnice ………………………………………………………………………. Volné kmitání netlumené soustavy …………………………………………………… Kmitání vynucené budícími silami harmonického průběhu ………………………… Netlumená soustava ………………………………………………………………..……. Tlumená soustava ………………………………………………………………………… Kroutivé kmitání …………………………………………………………………………… Krouživé kmitání hřídelů – kritické otáčky ………………………………………………

68 68 68 69 70 73 73 74 74 74 75 76 77

Literatura ……………………………………………………………………………………………….

79

2


Předmluva Tento text je určen studentům vybraných oborů bakalářského studia Fakulty elektrotechniky a informatiky Vysoké školy báňské – Technické univerzity Ostrava. Má sloužit jako základní učební pomůcka ke studiu vybraných kapitol ze statiky, kinematiky a dynamiky, které jsou důležité a prospěšné pro ucelené vzdělání bakalářů elektrotechnického zaměření a potřebné v technické praxi. Při výkladu se předpokládají základní vědomosti z mechaniky získané v přednáškách z fyziky. Učební text obsahuje látku, kterou by jinak museli studenti pracně vyhledávat z několika učebnic, kterých je navíc nedostatek. Autoři věří, že učební text usnadní studium předmětu Technická mechanika a hlavně přispěje ke zvýšení úrovně znalostí studentů.

3


1. Uložení a rovnováha tělesa v rovině Množství praktických technických problémů lze s úspěchem modelovat a formulovat jako rovnováhu tělesa v rovině. Základním předpokladem je skutečnost, že síly na těleso působící (akční a reakční), tvoří rovinnou soustavu sil.

1.1. Těleso volné Volné těleso může konat tři nezávislé pohyby: posuv ve směru osy x, posuv ve směru osy y, a pohyb rotační.

y

Fi αi (xi, yi)

x

0

Obr. 1.1. Volné těleso (obr. 1.1 má tedy tři stupně volnosti, i = 3. Působící akční síly Fi tvoří obecnou rovinnou soustavu, takže musí splňovat tři podmínky rovnováhy: n

∑ Fix

=0

i=1 n

∑ Fiy

=0

(1.1)

i=1 n

∑ Mi = 0 i=1

kde Fix = Fi ⋅ cos α i , Fiy = Fi ⋅ sin α i a Mi = x i ⋅ Fiy − y i ⋅ Fix

1.2 Těleso vázané Vázané těleso je takové těleso, které se stýká s rámem, čímž je jeho pohyb omezen. Omezení pohybu se realizuje tzv. vazbami. V této kapitole se budeme zabývat ideálními vazbami, u kterých se zanedbávají pasívní odpory.

4


1.2.1. Těleso vázané v jednom bodě 1.2.1.1. Bod tělesa vázán ke křivce – vazba obecná Základní typy provedení vazby jsou na obr. 1.2.

Fi

n

n

n

Fi

Fi •

t

t

•

t

•

k

N

N

N Obr. 1.2. Obecná vazba neumožňuje tělesu pohyb ve směru normály n, odebírá mu jeden stupeň volnosti (m = 1). V tomto směru na těleso působí rám reakcí, normálovou silou která představuje jednu statickou neznámou (jeden neznámý statický parametr). Těleso má dva stupně volnosti (i = 2), posuv ve směru tečny t a rotaci kolem dotykového bodu. Takto uložené těleso musí splňovat následující podmínky rovnováhy: n

∑ Fit

=0

i=1 n

∑ Fin + N = 0

(1.2)

i=1 n

∑ Mi = 0 i=1

Kde Fit a Fin jsou průměty akčních sil Fi do směrů tečny t a normály n, Mi je moment Fi k momentovému bodu na normále n. První a třetí rovnice vyjadřuje podmínku rovnováhy akčních sil Fi· (neobsahuje reakce). Takovéto rovnice se nazývají vlastní rovnovážné rovnice. Druhá rovnice umožňuje výpočet normálové reakce N.

5


1.2.1.2 Bod tělesa nepohyblivý – vazba rotační Vazba rotační neumožňuje posuv ve dvou směrech, odebírá dva stupně volnosti (m = 2), obr. 1.3.

y

Fi

Ry 0

Rx

0 … nepohyblivý bod

(xi; yi) x

Obr. 1.3. Ve směrech zamezených posuvů (např. x, y) působí na těleso reakce Rx a Ry, které představují dva neznámé statické parametry. Těleso má jeden stupeň volnosti (i = 1), rotaci kolem nepohyblivého bodu. Podmínky rovnováhy: n

∑ Fix + R x

=0

i=1 n

∑ Fiy + R y

=0

(1.3)

i=1 n

∑ M i0 = 0 i=1

Momentovou rovnici rovnováhy sestavíme s výhodou k momentovému bodu 0. Rovnice pak neobsahuje reakce a je vlastní rovnovážnou rovnicí. Složkové rovnice rovnováhy umožňují výpočet složek Rx, Ry výsledné reakce R, jejíž velikost R = R 2x + R 2y .

1.2.2. Těleso vázané ve více bodech 1.2.2.1. Pohyblivá uložení Dvě obecné vazby (m = 2), obr. 1.4

6


n1 ≡ y

n2

P≡0

•

α x (xi; yi)

N1

Fi

N2

Obr. 1.4.

Těleso může konat elementární rotační pohyb kolem okamžitého středu otáčení, pólu P (i = 1). Pro zvolenou souřadnou soustavu budou platit rovnovážné rovnice: n

∑ Fix − N 2 ⋅ cos α = 0 i=1 n

∑ Fiy + N1 + N 2 ⋅ sin α = 0

(1.4)

i=1 n

∑ MiP = 0 i=1

Momentová rovnice rovnováhy k pólu P neobsahuje reakce, je vlastní rovnovážnou rovnicí. Složkové rovnice rovnováhy umožňují výpočet normálových reakcí N1 a N2.

Posuvná vazba Umožňuje pouze posuv (i = 1), tělesu odebírá druhý posuv a rotaci (m = 2). Základní typy provedení, vznikající reakční účinky a rovnovážné rovnice jsou uvedeny níže.

a) vazba jednostranná, první způsob zavedení reakčních účinků (N, xN), obr. 1.4.

7


y

Fi

N (xi; yi)

0

x xN

Obr. 1.4. Podmínky rovnováhy: n

∑ Fix

=0

(vlastní rovnovážná rovnice)

i=1 n

∑ Fiy + N = 0

k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N; xN)

i=1 n

∑ Mi + N ⋅ x N = 0 i=1

Platí pouze pro: N ≥ 0 Jednostranná vazba vyžaduje silový styk.

b) vazba oboustranná, druhý způsob zavedení reakčních účinků (N; MN), obr. 1.5.

y

(N)

Fi

(xi; yi) 0

x

MN

N Obr. 1.5.

8

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Podmínky rovnováhy: n

∑ Fix = 0

(vlastní rovnovážná rovnice)

i=1 n

∑ Fiy + N = 0

k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N; MN)

(1.6)

i=1 n

∑ Mi + MN = 0

n=1

U oboustranných vazeb platí pro: N ≥ 0 a také N < 0

1.2.2.2. Nepohyblivá uložení, základní staticky určité případy i = 0; m = 3 a) rotační a obecná vazba, obr. 1.6.

y

t

Fi

Ay

n

Ax

0

(xi; yi) l

αB

x

B

Obr. 1.6.

Podmínky rovnováhy: n

∑ Fix + A x − B ⋅ cos α B = 0 i=1 n

∑ Fiy + A y + B ⋅ sin α B = 0

k výpočtu neznámých parametrů reakcí (Ax; Ay; AZ)

i=1 n

∑ Mi + B ⋅ sin α B ⋅ l = 0 i=1

Mi je moment síly Fi k bodu 0.

9

(1.7)

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── b) tři obecné vazby, obr. 1.7.

Fi

•

p1

O23

N1 O12

O13

N2

p2

N3

p3

•

•

Obr. 1.7. Složkové podmínky rovnováhy s výhodou nahradíme momentovými podmínkami rovnováhy. Momentové podmínky rovnováhy k bodům O23, O31 a O23 pak budou: n

∑ Mi23 + N1 ⋅ p1 = 0 i=1 n

∑ Mi13 − N 2 ⋅ p 2 = 0

k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N1, N2, N3)

i=1 n

∑ Mi12 + N3 ⋅ p 3 = 0 i=1

c) posuvná + obecná vazba, obr. 1.8.

y

N1 α 0

N2

Fi x

(xi; yi)

xN

Obr. 1.8.

10

(1.8)

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Podmínky rovnováhy: n

∑ Fix + N1 ⋅ cos α = 0 i=1 n

∑ Fiy − N1 ⋅ sin α + N 2 = 0

k výpočtu neznámých parametrů reakcí (N1, N2, xN)

(1.9)

i=1 n

∑ Mi + N 2 ⋅ x N = 0 i=1

d) vetknutí tělesa do rámu, obr. 1.9

y

Fi

Ry Rx

0

(xi; yi)

x

MV Obr. 1.9.

Při vetknutí tělesa do rámu je tělesu zamezen posuv ve dvou směrech i rotace. Tomu odpovídají reakce Rx, Ry a moment vetknutí MV. Podmínky rovnováhy: n

∑ Fix + R x

=0

i=1 n

∑ Fiy + R y

=0

k výpočtu neznámých parametrů reakcí (Rx, Ry, MV)

i=1 n

∑ Mi + M V

=0

i=1

11

(1.10)


1.3. Vazbová závislost Pro uložení tělesa platí vazbová závislost:

i = 3−m kde i … počet stupňů volnosti, počet vlastních rovnovážných rovnic. Pokud akční síly Fi nesplňují vlastní rovnovážné rovnice, je i rovno počtu tzv. přídavných rovnovážných účinků (síly na daných nositelkách nebo silové dvojice). m … počet odebraných stupňů volnosti, počet neznámých parametrů reakcí Podle počtu stupňů volnosti dělíme uložení tělesa na : i > 0 … případy staticky určité, pohyblivé i = 0 … případy staticky určité, nepohyblivé i < 0 … případy staticky neurčité, nepohyblivé Případy staticky neurčité nemůžeme prostředky statiky řešit.

1.4. Uvolnění tělesa Nahrazením vazeb příslušnými reakčními účinky provedeme uvolnění tělesa. Tím převádíme úlohu o rovnováze tělesa na úlohu o rovnováze silové soustavy akčních a reakčních sil, která uvolněním vznikla.

2. Statika rovinných soustav těles 2.1. Základní poznatky, vazby Soustava těles je seskupení nejméně tří těles (členů) včetně rámu spojených vzájemně vazbami. Síly, působící mezi tělesy, jsou vždy stejně velké a opačně orientované a budeme je označovat jako síly vnitřní (S). Ideální (dokonale hladké) vazby mezi tělesy „a“ a „b“, jejich schéma, stupně volnosti (i), počty odebraných stupňů volnosti (m) a uvolnění jsou uvedeny v tabulce 2.1.

12


Tabulka 2.1 Název

Schéma

Označ.

i

m

Uvolnění těles

n

sa a obecná

o

sb

2

b

r

t

t

Sy

ψ

a

1

n

b Sx

a

2

1

b

S

b rotační

S

a

1

Třída

Sx Sy

b posuvná

p

a

valivá

1

s

s

v s

n 2

Ms

a

Ms S

P

a 1

2

b

b

n

2

S

a P Sy

Sy Sx

Sx P

b

Obecná vazba je realizována bodovým dotykem dvou křivek. Ve zvláštním případě může jedna z křivek degenerovat v bod. Umožňuje relativní posuv ve směru tečny a rotaci kolem dotykového bodu. K určení vzájemné polohy těles je třeba dvou nezávislých souřadnic sa, sb. Tomu odpovídají dva stupně volnosti (i = 2). Vazba nedovolí vzájemný pohyb ve směru normály, odebírá jeden stupeň volnosti (m = 1) a v tomto směru působí vnitřní síly S, které představují statický parametr. Rotační vazba umožňuje rotaci kolem otočného bodu. K určení vzájemné polohy postačuje jedna nezávislá souřadnice ψ (i = 1). Vazba nedovolí vzájemný pohyb ve dvou směrech, vznikají složky Sx a Sy výsledné vnitřní síly S = S x2 + S y2 , které představují dva neznámé statické parametry.

13

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Posuvná vazba umožňuje vzájemný přímočarý pohyb těles. K určení vzájemné polohy těles postačuje jedna nezávislá souřadnice s (i = 1). Vazba nedovolí posuv ve směru normály k možnému pohybu a vzájemnou rotaci těles (m = 2). Výsledkem vzájemného působení je pak vnitřní síla S působící ve směru normály a vnitřní silová dvojice MS, které představují dva neznámé statické

parametry. Valivá vazba neumožňuje na rozdíl od obecné vazby vzájemný prokluz ve směru tečny t, sa = sb = s. V dané okamžiku je možná pouze rotace kolem okamžitého středu otáčení, pólu pohybu P.

Z hlediska statiky má tedy stejné vlastnosti jako vazba rotační.

2.2. Pohyblivost a statická určitost rovinných soustav těles S výjímkou zvláštních případů určíme pohyblivost rovinné soustavy těles z následující úvahy. Má-li soustava n členů včetně rámu, je počet stupňů volnosti volných těles 3·(n - 1). Spojením dvou těles vazbou druhé třídy se sníží počet stupňů volnosti o dva, vazbou první třídy o jeden stupeň volnosti. Počet stupňů volnosti je tedy dán vzorcem i = 3 · (n - 1) - 2·(r + p + v) - 1·o

(2.1)

kde n … je počet členů soustavy včetně rámu r … je počet rotačních vazeb p … je počet posuvných vazeb v … je počet valivých vazeb o … je počet obecných vazeb

Je-li počet stupňů volnost

i > 0 jde o soustavu staticky určitou pohyblivou i = 0 jde o soustavu staticky určitou nepohyblivou i < 0 jde o soustavu staticky neurčitou nepohyblivou

Příklad staticky určité pohyblivé soustavy je uveden na obr. 2.1.a, staticky určité nepohyblivé soustavy na obr 2.1.b a staticky neurčité soustavy na obr 2.1.c.

14


2 3

1 4

2

4

3

2 1

3

1

1

1

1

1

a) kulisový mechanismus

b) trojkloubový nosník

c) stavební konstrukce

i = 3 · 3 – 2 (3 + 1) = 1

i =3·2–2·3=0

i = 3 · 3 – 2 · 5 = -1

Obr. 2.1. Prostředky statiky umožňují pouze řešení staticky určitých soustav.

2.3. Početní řešení sil ve vazbách nepohyblivých soustav staticky určitých Obecnou metodou řešení je metoda uvolňování . Metoda uvolňování vychází z úvahy, že má-li být v rovnováze soustava těles, musí být v rovnováze každý její člen. Postup řešení 1. Formulace řešení a návrh mechanického modelu 2. Určení statické určitosti a nepohyblivosti soustavy 3. Uvolnění jednotlivých těles 4. Sestavení rovnovážných rovnic, tj. vytvoření matematického modelu 5. Rozbor řešitelnosti a řešení soustavy rovnovážných rovnic 6. Diskuse získaných výsledků Postup řešení aplikujeme na konkrétní úlohu. Př. 2.1. Určete reakce a vnitřní sílu trojkloubového nosníku zatíženého silami F1 a F2 zakresleného na

obr. 2.2.

15


F2

F2

F3 2

3

F3 3

2

1

1

1

1

a) trojkloubový nosník

b) mechanický model

Obr. 2.2. Určení statické určitosti a nepohyblivosti bylo provedeno v kapitole 2.2., i = 0. Uvolnění těles člen 3

člen 2

Sy

F2

h Ay

Sx

2

Ax

O1

Sx Sy

F3 By

3

b

Bx

a

c

d O2

Obr. 2.3. Rovnice rovnováhy

O1:

Ax + F2 + Sx = 0

Bx – Sx

Ay + Sy

By – Sy – F3 = 0

=0

Sy · a – Sx · h – F2 · b = 0

O2:

=0 (2.2)

Sx · h + Sy · c + F3 · d = 0

Rozbor řešitelnosti a řešení rovnovážných rovnic Soustava rovnic 2.2 představuje 6 lineárních algebraických rovnic pro 6 neznámých statických parametrů Ax, Ay, Bx, By, Sx, Sy. Řešení můžeme provést v maticovém tvaru

A·x=b Ax ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0

Ay 0 1 0 0 0 0

(2.3) Sx 1 0 −h −1 0 h

Sy 0 1 a 0 −1 c

Bx 0 0 0 1 0 0

By 0 ⎤ ⎡ A x ⎤ ⎡ − F2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎢ A y ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ S x ⎥ ⎢ F2 ⋅ b ⎥ ⎥ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢S y ⎥ ⎢ 0 ⎥ 1 ⎥ ⎢B x ⎥ ⎢ F3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎦ ⎢⎣B y ⎥⎦ ⎢⎣− F3 ⋅ d⎥⎦

16

(2.4)

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Pak sloupcová matice neznámých (det A ≠ 0)

x = A-1 · b

(2.5)

Z matice x odečteme neznámé parametry. Diskuse získaných výsledků Pokud je řešení správné, musí platit pro celou soustavu podmínky rovnováhy vnějších sil (akcí a reakcí). F2 + Ax + Bx = 0 Ay + By -F3 = 0 O1:

(2.6)

-F2 . b – F3 · (a + c –d) + By · (a + c) = 0

2.4. Početní řešení sil ve vazbách a přídavných rovnovážných účinků pohyblivých soustav staticky určitých

Postup řešení metodou uvolňování je stejný jako u soustav nepohyblivých, pouze pro dosažení rovnováhy zavádíme tolik přídavných rovnovážných účinků, kolik má soustava stupňů volnosti. Přídavnými rovnovážnými účinky jsou buď hledaná rovnovážná síla na dané nositelce nebo rovnovážný moment. Př. 2.2. Určete rovnovážný moment, reakce a vnitřní síly u klikového mechanismu ztíženého silou F

s uvážením tíhových sil, obr. 2.4. Mechanický model

A T3

T2 2

3

G2

G3

O

T4 ≡

1

F

B

4

1

G4

Obr. 2.4. Určení statické určitosti a pohyblivosti i = 3 · (4 – 1) – 2 · (3 + 1) = 1

17

α

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Pro rovnováhu zaveden jeden přídavný rovnovážný účinek, rovnovážný moment na klice 2. Uvolnění těles člen 2

člen 3

SAy Mr T2

SAy

2

T3 c

RxO2 Ry

SAx

SAx

člen 4

3

G2

O3

G3

SBx

4

N α

F

O4

G4

e

b

SBx

f

SBy

d

a

MN

SBy

g

Rovnice rovnováhy Rx + SAx = 0

SBx – SAx =0

-SBx – F · cosα = 0

Ry – G2 + SAy = 0

SBy – G3 – SAy = 0

N – SBy – G4 – F · sinα = 0

O2: SAy · b – G · a – SAx · c + Mr = 0

O3: SAx · c + SAy · e + G3 · d = 0

(2.7)

O4: MN – F · f = 0

Rozbor řešitelnosti a řešení rovnovážných rovnic Soustava rovnic (2.7) představuje 9 lineárních algebraických rovnic pro 9 neznámých statických parametrů Rx, Ry, SAx, SAy, SBx, SBy, N, MN, Mr. Řešení můžeme provést opět v maticovém tvaru. Diskuse získaných výsledků Správnost řešení překontrolujeme z podmínky rovnováhy vnějších silových účinků. Rx – F · cosα = 0 Ry – G2 – G3 – G4 + N – F · sinα = 0 O2:

(2.8)

Mr – G2 · a – G3 ·(b + e – d) + (N – G4) ·(b + e) – F · sinα· (b + e + g) + MN = 0

3. Prutové soustavy rovinné 3.1. Základní poznatky Prutové soustavy jsou speciální soustavy těles,které umožňují ekonomickou konstrukci rozměrných útvarů, jako jsou např. mosty, jeřáby, sloupy elektrického vedení a pod. Příklad mechanického modelu prutové konstrukce je na obr. 3.1.

18


vícenásobný styčník prut

C

E

4

2

G

8

7

5

3

trojný styčník

11

9

A 1

D

6

F

10

dvojný styčník B

Obr. 3.1.

Tělesa prutové soustavy jsou štíhlá (mají mnohem větší délku než příčný rozměr) a nazýváme je pruty. Pruty jsou spojeny svými konci ve styčnících. Podle počtu prutů spojených ve styčnících označujeme styčníky jako dvojné, trojné a vícenásobné. Má-li být namáhání prutů jen osové (tahové, nebo tlakové), musí vnější síly působit pouze ve styčnících. Takovému zatížení říkáme styčníkové. Mechanický model má následující podstatné vlastnosti. a) Jednotlivá tělesa jsou pruty, tj. štíhlá tělesa navzájem spojená jen koncovými body. b) Konce prutů jsou spojeny rotačními vazbami, ideálními klouby. c) Vnější síly působí pouze ve styčnících, tj. zatížení soustavy je styčníkové (vlastní tíhu prutů zanedbáváme). Pruty označujeme čísly, styčníky velkými písmeny. Síly, působící na uvolněné pruty a z uvolněných prutů na styčníky při tahovém a tlakovém namáhání, jsou zakresleny na obr. 3.2.

tah

tlak

Obr. 3.2.

3.2. Statická a tvarová určitost Soustava je staticky určitá, je-li počet neznámých veličin roven počtu rovnovážných rovnic. Neznámými veličinami jsou síly v prutech a složky reakcí. Počet rovnovážných rovnic ve styčnících se

19

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── rovná dvojnásobku počtu styčníků, protože síly působící na uvolněný styčník tvoří rovinnou soustavu sil o společném působišti, která má dvě rovnovážné rovnice. Nutná podmínka statické určitosti je tedy 2s = p + m

(3.1)

kde s je počet styčníků, p je počet prutů, m je počet neznámých složek reakcí. Při rozboru statické určitosti je vhodné zavést pojem tvarové určitosti. Tvarově určitá je taková prutová konstrukce, která po odpojení od rámu tvoří tuhý celek, tzv. prutové těleso. Reakce ve vazbách nepohyblivě uloženého tělesa představují tři neznámé statické parametry m = 3 (kap. 1.). Pro staticky a tvarově určitou soustavu platí: 2s = p + 3

resp.

2s – p = 3

(3.2)

V případě, že 2s – p > 3, je soustava tvarově neurčitá. Je-li 2S – p < 3, jedná se o tvarově určitou, ale (vnitřně) staticky neurčitou soustavu.

3.3. Početní řešení 3.3.1. Metoda styčníková Postata této metody spočívá v uvolnění jednotlivých styčníků a řešení rovnováhy sil, které působí na každý uvolněný styčník pomocí dvou rovnovážných rovnic. Postup řešení je ukázán na následujícím příkladu.

Př. 3.1. Určete reakce a síly v prutech konzoly pro uchycení izolátorů elektrického vedení. Tíhy vodičů, připadající na konzolu, jsou G1 a G2, obr. 3.3.

Mechanický model

D 6

E

7

2

5

C

4

3

B

α

1

A

β l

G2

G1

l

Obr. 3.3.

20

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Statická a tvarová určitost p + 3 = 2S 7 + 3 = 2 ·5 10 = 10 … staticky a tvarově určitá soustava Uvolnění jednotlivých styčníků Styčníky uvolníme zavedením reakcí od rámu RC, RDx, RDy a vnitřních sil Si (i = 1 až 7) přímo v mechanickém modelu, obr. 3.4. Vnitřní síly předpokládáme jako tahové.

D

RDx S7

RDy S6 S6

S7 S5 S5

C

RC

S2

S3 S3

α

S4

E

S4

β

α

B S1

S2

A

S1

G2

G1

Obr. 3.4.

Rovnovážné rovnice Výhodné je vyjít od dvojného styčníku a dále řešit styčníky pouze se dvěma neznámými statickými parametry. Takto lze postupně jednoduše vypočítat hledané neznámé. Styčník A:

Styčník B:

Styčník E:

Styčník C:

Styčník D:

-S1 – S2·cosα = 0

⇒ S1

S2·sinα – G1 = 0

⇒ S2

S1 – S4 = 0

⇒ S4

S3 – G2 = 0

⇒ S3

S2·cosα – S6·cosα –S5·cosα = 0 S6·sinα – S2·sinα – S5·sinα –S3 = 0

⇒ S5 ,S 6

S4 + S5·cosα + RC·sinβ = 0

⇒ RC

S7 + S5·sinα + RC·cosβ = 0

⇒ S7

S6·cosα + RDx = 0

⇒ RDx

RDy – S7 – S6·sinα = 0

⇒ RDy

21

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Diskuse získaných výsledků Pokud vyjdou síly v prutech záporné, znamená to, že jsou namáhány tlakem. Pro kontrolu správnosti řešení je možno opět využít podmínky rovnováhy vnějších sil: RDx + RC·sinβ = 0 RDy + RC·cosβ –G1 – G2 = 0 -G1·2l – G2·l - RDx·2l·sinα = 0

C:

3.3.2. Metoda průsečná Je výhodná, chceme-li určit osové síly jen v některých prutech. Její princip spočívá v následující úvaze: Je-li v rovnováze celá soustava, musí být v rovnováze i její části, vzniklé rozdělením soustavy myšleným řezem. Postup řešení: Myšleným řezem přerušíme tři pruty soustavy neprocházející jedním bodem. Přerušené pruty nahradíme osovými silami a řešíme rovnováhu vnějších sil a vnitřních osových sil působících na oddělenou část.

Př. 3.2. Určete osové síly v prutech 4, 5, 6 konzoly z příkladu 3.1. průsečnou metodou.

Myšleným řezem přerušíme pruty 4, 5, 6 a zakreslíme síly působící na pravou oddělenou část, obr. 3.5. Síly v prutech předpokládáme tahové.

S6

E

S5 α

B

C S4 l

G2

A

G1

l

Obr. 3.5.

Pro výpočet osových sil využijeme s výhodou tři momentové podmínky rovnováhy ke vhodně zvoleným momentovým bodům. E: -S4·l·sinα – G1·l = 0

⇒ S4

A: G2·l + S5·2l·sinα = 0

⇒ S5

C: S6·2l·sinα – G2·l – G1·2l = 0

⇒ S6

22


4. Nosníky 4.1. Rovnováha části tělesa, vnitřní statické účinky Budeme předpokládat rovinné zatížení tělesa. K určení vnitřních sil ve vyšetřovaném místě C použijeme metodu myšleného řezu, obr. 4.1.

F1

Fi

Fn

C

x

II

I R1

F1

y

C

Fi T

Mo

Rm

Rj

myšlený řez

Mo

N

Fn

T

N

I

II

T

R1

x

T

C

„odstraněná“ část

Rj

Rm

„uvolněná“ část

Obr. 4.1.

Myšleným řezem, vedeným ve vyšetřovaném místě C kolmo k ose x, rozdělíme těleso na dvě části I a II. jednu část, např. I myšleně odstraníme a její účinek v místě těžiště plochy řezu na zbývající část II nahradíme vnitřními silami. Tento účinek je dán působením obecné rovinné soustavy sil na odstraněné části a lze jej nahradit dvěma složkami N a T výslednice sil a momentovou výslednicí Mo. Síla N působí ve směru osy x kolmo k průřezu a nazývá se normálová síla. Namáhá materiál tělesa tahem nebo tlakem. Síla T působí ve směru osy y v ploše průřezu a nazývá se posouvající síla. Tato síla namáhá těleso smykem. Moment Mo působí v rovině xy a nazývá se ohybový moment. Materiál tělesa namáhá ohybem. Velikost těchto vnitřních statických účinků stanovíme jako při obecném nahrazování silové soustavy na odstraněné části. Normálová síla N je ve vyšetřovaném průřezu dána algebraickým součtem průmětů vnějších sil do směru kolmého k rovině řezu na odstraněné části tělesa.

23

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Tečná síla T je ve vyšetřovaném průřezu dána algebraickým součtem průmětů vnějších sil do roviny řezu na odstraněné části tělesa. Ohybový moment je ve vyšetřovaném průřezu dán algebraickým součtem momentů vnějších sil na odstraněné části tělesa. Kladné smysly vnitřních sil N, T a momentu Mo jsou dána znaménkovým pravidlem a jsou zavedeny podle obr. 4.1. Podle principu akce a reakce působí v daném průřezu obě části I a II na sebe stejně velkými, avšak opačně orientovanými účinky N, T, MO.

4.2. Závislost mezi spojitým zatížením, posouvající silou a ohybovým momentem, Schwedlerova věta Elementární část tělesa délky dx je vytknuta z tělesa zatíženého spojitým zatížením q(x), obr. 4.2.

T N

q(x)

Mo

Mo+dMo q(x)dx dx

N+dN T+dT

Obr. 4.2.

Síly působící na uvolněnou část musí splňovat podmínky rovnováhy: −N + (N + dN) = 0

T − (T + dT ) − q(x ) ⋅ dx = 0

dN = 0

dT = −q(x ) dx

(a)

M o + dM o − M o − (T + dT ) ⋅ dx − q(x ) ⋅ dx ⋅

(b)

(4.1)

dx =0 2

Po zanedbání nekonečně malých veličin 2. řádu obdržíme: dMo =T dx

(c)

Z rovnic 4.1b a 4.1c obdržíme závislost − q(x ) =

2 dT d Mo = dx dx 2

(4.2)

která je matematickou formulací Schwedlerovy věty.

24


4.3. Řešení nosníků Při řešení nosníků budeme určovat průběh vnitřních statických účinků po celé jejich délce.

4.3.1. Základní poznatky Nosník je nejčastější prvek strojů a konstrukcí. Je to těleso podélného tvaru sloužící k přenosu akčních sil do podpor. Druhy podpor, tab. 4.1 Název

obecná

Schéma

p

m

B 1

Uvolnění

B

p •

RB

rotační

A

2

RAx A RAy

vetknutí

C

3

Rx C

Mv

Ry

Názvy a vlastnosti podpor odpovídají příslušným vazbám. Druhy nosníků podle provedení jsou uvedeny na obr. 4.3. prostý nosník na dvou podporách s převislými konci

nosník jednostranně vetknutý

Obr. 4.3

25

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Druhy zatížení jsou na obr. 4.4.

F1

F2

osamělé síly

M1

M2

silové dvojice

spojité zatížení

q(x)

F1

kombinované zatížení

M F2

q(x)

Obr. 4.4

4.3.2 Jednoduché případy zatížení Nosník zatížený osamělou silou, obr. 4.5. Nejprve

x

RAx

R Ax − F ⋅ cos α = 0

b

RB

l

RAx

nulová čára

-

uvolníme,

F·cosα

A:

R B ⋅ l − F ⋅ sin α ⋅ a = 0

B:

−R Ay ⋅ l + F ⋅ sin α ⋅ b = 0

R Ax = F ⋅ cos α RB =

F ⋅ sin α ⋅ a l

R Ay =

(4.3)

F ⋅ sin α ⋅ b l

Kontrola: R Ay + R B − F ⋅ sin α = 0

T RAy

Nx

Nosník

Z rovnovážných rovnic:

B

α

C a

N

reakce.

zavedeme reakce RAx, RAy, RB.

F

RAy A

vypočteme

Tx

+

Prokreslení průběhu vnitřních statických účinků

-

F·sinα

RB

provedeme podle kapitoly 4.1. K prokreslení průběhu nejdříve vypočteme vnitřní

Mo

statické účinky v řezu ve vzdálenosti x od levé

MOx

+ MOC = MOmax

Obr. 4.5

podpory. Nx = -RAx platí pro 0 ≤ x < a

(4.4)

Zakreslíme tzv. nulovou čáru a vyneseme v řezu x = 0 velikost RAx ve zvoleném měřítku od nulové čáry dolů

26

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── (Nx = -RAx). Až do působiště síly F bude N konstantní. V řezech x > a bude N = -RAx + F·cosα = 0

(4.5)

Část nosníku a bude namáhána tlakem - , v části b je normálová síla nulová. Tx = RAy platí pro 0 ≤ x < a Zakreslíme nulovou čáru a pro x = 0 vyneseme velikost RAy ve zvoleném měřítku od nulové čáry nahoru (Tx = RAy). Až do působiště síly F bude T konstantní. V řezech x > a bude T = RAy - F·sinα

(4.6)

Pro x = l bude T = RAy - F·sinα + RB = 0

(4.7)

MOx = RAy·x … rovnice přímky K určení průběhu stačí určit velikosti Mo v místech působení vnějších sil. MoA = MoB = 0

MoC = RAy·a = Mo max

(4.8)

Stejné výsledky bychom obdrželi při volbě x od pravé podpory. Této skutečnosti je možno využít pro kontrolu. Nosník zatížený silovou dvojicí, obr. 4.6 x

RAx

M

RAy A

b l

N

RAx = 0

B

C a

RB

Tx

T

Reakce M l

A:

RB ⋅ l − M = 0

RB =

B:

−R Ay − M = 0

R Ay = −

M l

(4.9)

Vnitřní statické účinky

RAy

-

RB

Nx = -RAx = 0

(4.10)

Nosník není namáhán normálovou silou. pro 0 ≤ x < l

Tx = RAy

Mo

M -

Tx = RAy + RB = 0

+

Nosník

Moa

po

celé

délce

(4.11) namáhán

konstantní

posouvající silou. M Ox = R Ay ⋅ x = −

Obr. 4.6

K prokreslení průběhu stačí určit dva body této přímky. Řez A: MoA = 0

je

pro x = l

Řez B: MoB = 0

27

M ⋅ x … rovnice přímky l

(4.12)

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Řez C: M Oa = R Ay ⋅ a = −

M ⋅ a (nekonečně blízko vlevo od M) l

M ob = R Ay ⋅ a + M = −

M ⋅ a + M (nekonečně blízko vpravo od M) l

Pro a > b bude M oa = M o max Nosník zatížený spojitým zatížením, obr. 4.7 Reakce

x

RAx

Pro výpočet reakcí můžeme spojité zatížení nahradit

Q

A

q B

Qx

RAy

myšlenou

l

RB

N T

RAy

+ Mo max

osamělou

silou

Q,

působící

v těžišti

spojitého zatížení. Q = q·l Pak: RAx = 0 l =0 2

A:

RB ⋅ l − Q ⋅

B:

l Q ⋅ − R Ay ⋅ l = 0 2

RB

RB =

Q 2

R Ay =

Q 2

(4.14)

Kontrola: RAy + RB – Q = 0

+

Mo

Vnitřní statické účinky

Obr. 4.7

Nx = RAx = 0 Nosník není namáhán normálovou silou.

Pro výpočet posouvající síly nahradíme spojité zatížení osamělou silou Qx = q·x Pak Tx = RAy – Qx = RAy- q·x … rovnice přímky Pro prokreslení průběhu stačí dva body této přímky. TA = RAy

pro x = 0

TB = -RB

pro x = l

M ox = R Ay ⋅ x − Q x ⋅

(4.15)

x x2 = R Ay ⋅ x − q ⋅ … rovnice paraboly 2 2

⎛ dM o ⎞ l = 0 ⎟⎟ , tj. pro x = Podle Schwedlerovy věty bude maximum v místě, kde T = 0 ⎜⎜ 2 ⎝ dx ⎠

M o max =

q⋅l2 q⋅l2 q⋅l2 − = 4 8 8

(4.16)

28


4.3.3. Kombinované zatížení Nosník zatížený kombinovaně, obr. 4.8 Reakce RAx – F1·cosα1 = 0 ⇒ RAx

l/2

l/2

M

F1

RAx C

A RAy

α1

D

a

F2

q

B

A:

E

RB ⋅ l − q ⋅

RB

b

c

l2 − M − F1 ⋅ sin α ⋅ a − F2 ⋅ (l + c ) = 0 2 ⇒ RB

B:

N -

RAx

q⋅l2 − R Ay ⋅ l − M + F1 ⋅ sin α 1 ⋅ b − F2 ⋅ c = 0 2

F1x

⇒ RAy

xm

T RAy

+

+ TD F1y

(4.17)

Kontrola RAy + RB – F1 · sinα1 – F2 = 0

F2

RB

-

Vnitřní statické účinky Pro zakreslení průběhu je určíme v místech působení vnějších sil z odstraněné levé nebo

M

Mo

+

+

Mo ext

MoD

pravé části nosníku. MoB

NA = -RAx

ND = -RAx + F1·cosα1 = 0

TA = RAy

TD = RAy - q·a

TE = F2

TB = F2 - RB

MoA = 0

MoE = 0

-

Obr. 4.8

M0C

⎛ l2 ⎜ ⎜2 l ⎝ M oC = R Ay ⋅ − q ⋅ 2 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

M oD = R B ⋅ b − F2 ⋅ (b + c ) − q ⋅

(nekonečně blízko od M)

MoB = -F2·c

Extrém může být i v místě, kde T = 0 RAy - q·xm = 0

xm =

x2 M oext = R Ay ⋅ x m − q ⋅ m 2

R Ay q

29

b2 2

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── V řešeném případě by byl maximální ohybový moment v řezu C: Mo max = MoC + M

5. Pasívní odpory v reálných vazbách Na rozdíl od ideálních (dokonale hladkých) vazeb vznikají u reálných (drsných) vazeb i tečné složky reakcí. Při vzájemném pohybu těles působí tyto složky proti smyslu relativní rychlosti. Při vyšetřování rovnováhy těles s reálnými vazbami budeme řešit dva typy úloh. 1. Vyšetřování rovnováhy za pohybu 2. Vyšetřování podmínek, za kterých mohou být pohyblivě uložená tělesa v rovnováze za klidu.

5.1. Obecná vazba Uvolnění obecné vazby za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.1.

φa

φ

φa

φ

α Ra

R

R

N

N vA

vA = 0 Ta

T0 A

Neznámé parametry:

T A T0, N ( T0 ≤ Ta ) nebo R, α (α ≤ ϕa ) φa = arctg fa

N nebo R (φ = arctgf)

Pasívní odpory: −

T = N·f

a)

b)

Obr. 5.1

V případě, že nedochází k pohybu (obr. 5.1a), může působit tečná složka v obou smyslech a její velikost musí splňovat podmínku T0 ≤ Ta , kde Ta = N ⋅ f a (fa je součinitel adheze). Výsledná reakce za klidu R představuje dva neznámé parametry N, T0, nebo R, α, kde α ≤ ϕ a (φa = arctgfa). Při relativním pohybu bude třecí reakce rovna třecí síle a bude působit proti smyslu relativní rychlosti. Třecí síla T představuje pasívní odpor a její velikost vypočteme podle Coulombova zákona T = = N·f, kde f je součinitel smykového tření. Výsledná reakce R představuje pouze jeden neznámý

30

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── parametr, velikost normálové složky N, nebo velikost reakce R, která leží na nositelce dané třecím úhlem φ = arctgf. Počet neznámých parametrů při pohybu je stejný jako u vazby ideální.

5.2. Posuvná vazba Uvolnění vazby za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.2.

N

N

T0 MN Neznámé parametry:

v

T

v=0

MN

T0, N, MN

N, MN

T0 ≤ Ta

Pasívní odpory: −

T = N·f

a)

b)

Obr. 5.2

Reakce v klidu představují tři neznámé, za pohybu dva neznámé parametry. Za pohybu je počet neznámých parametrů opět stejný, jako u vazby ideální. Důležitým případem technické praxe je tření v klínové drážce. Při řešení pasívních odporů budeme předpokládat symetrickou drážku, obr. 5.3.

y

2T

α

v

T

F

x

N

y

α z

T

N G

G Obr. 5.3

Rovnovážné rovnice: F – 2T = 0 2N·sinα – G = 0

T = N·f

N·cosα - N·cosα = 0

31

(5.1)

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Řešením dostaneme: F = G ⋅ kde fk =

f sin α

f = G ⋅ fk sin α

je součinitel tření v klínové drážce.

Skutečnost, že fk > f se využívá např. u klínových drážek řemenic převodů s klínovými řemeny.

5.3. Rotační vazba 5.3.1. Ložisko radiální Síly působící na čep jsou uvedeny na obr. 5.4a, jejich nahrazení pro početní řešení je na obr. 5.4b.

ω = konst.

ω = konst.

φ

R

Fv

rč

S φ

R

S N

Fv ρ

Mč •

rč

A

T

A

a)

b)

Obr. 5.4

Výsledná akční síla Fv je v rovnováze s reakcí R. reakce R má dvě složky, normálovou N a tečnou T. Pro početní řešení je výhodné přeložit reakci R do středu čepu S, čímž vzniká silová dvojice Mč = R·ρ, kterou nazýváme čepovým třením. Působí proti smyslu relativní úhlové rychlosti ω. Dosadíme-li podle obrázku ρ = rč · sinφ a za

sin ϕ =

tgϕ 2

1 + tg ϕ

=

f 1+ f 2

= fč

(5.2)

dostaneme Mč = R·rč·fč

32

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── kde fč je součinitel čepového tření. Pro praktické výpočty se součinitel čepového tření vyhledá v tabulkách.

Uvolnění rotační vazby za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.5.

ω=0

ω≠0

Ry

Ry

Mo

ω

Rx Neznámé parametry:

Mč

Rx, Ry, Mo

Rx Rx, Ry

Mo ≤ R ⋅ rč ⋅ f ča

fča …součinitel čepové adheze Pasívní odpory:

Mč = R · rč · fč

− b)

a) Obr. 5.5

Za pohybu je počet neznámých parametrů stejný jako u ideální vazby. Poznámka: Vztah pro výpočet výsledné reakce R = R 2x + R 2y je nelineární vzhledem ke složkám Rx, Ry. Tím je porušena linearita rovnovážných rovnic a tím komplikuje jejich řešení. Z tohoto důvodu

často provádíme linearizaci pomocí Ponceletova vztahu

nebo

R 2x + R 2y = 0,96 ⋅ R y + 0 ,4 ⋅ R x

pro R y > R x

R 2x + R 2y = 0,96 ⋅ R x + 0 ,4 ⋅ R y

pro

Rx > Ry

(5.3)

5.3.2. Ložisko axiální (patní) Nejběžnější provedení ložiska je na obr. 5.6. Čep ložiska je zatížen silou Q a hnací silovou dvojicí M, jejíž velikost je třeba určit. Pro zaběhaný čep působí elementární normálová reakce v dotykové ploše

33

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── S na kružnici o středním poloměru rS =

r1 + r2 . V důsledku drsnosti stykových ploch budou mít 2

elementární reakce i tečné složky dT.

Elementární reakce dN a dT nahradíme výslednou

Q

silou N a výslednou silovou dvojicí Mč. N = ∫ dN

M N

(5.4)

S

M č = ∫ rs dT = rs ⋅ f ⋅ ∫ dN = N ⋅ rs ⋅ f

dN

S

S

kde Mč je moment čepového tření, působící proti smyslu ω. Z podmínek rovnováhy plyne

r1 r2

N = Q,

M = Mč

(5.5)

ω = konst.

dT

M

Mč

Rovnováha za klidu je možná jen tehdy, splňuje-li moment akční silové dvojice podmínku

rs

Mo ≤ Ma

(5.6)

kde Ma = rs· fa · N je moment adhezní silové dvojice.

Obr. 5.6

Uvolnění čepu axiálního ložiska za klidu a za pohybu je uvedeno na obr. 5.7.

ω=0

ω

Mč

Mo

N Neznámé parametry:

N N

N, Mo Mo ≤ Ma

Pasívní odpory:

Mč = N · rs · f

−

Obr. 5.7

34


5.4. Valivá vazba Odpor při valení vzniká v důsledku nerovnoměrné deformace tělesa (válce) a podložky. Působiště výslednice R elementárních reakcí se posouvá z pólu P o rameno valivého odporu ξ ve smyslu pohybu do bodu A, obr. 5.8a. Výslednou reakci rozkládáme na normálovou N a tečnou složku Tv. Nemá-li dojít k prokluzu, musí být splněna podmínka valení Tv ≤ N ⋅ f a , kde fa je součinitel adheze.

Pro dosažení rovnováhy za pohybu při zatížení silou G, musíme na těleso působit silou F = Tv.

G F

G

r

R

S

vS

F

N

N

Tv

P

vS

S

Tv

ξ a)

P

Mv

b)

Obr. 5.6

Přesuneme-li složku reakce N do bodu P, obr. 5.8b, musíme připojit moment valivého odporu. Mv = ξ · N

(5.7)

Způsoby uvolnění valivé vazby za klidu a za pohybu jsou na obr 5.9.

S N

vS = 0

S N

vS

N

To P Neznámé parametry:

Mo

vS

S

Tv

N, To, Mo To ≤ f a ⋅ N

ξ

A

Tv

P

Mv

N, Tv

N, Tv

Tv ≤ f a ⋅ N

Tv ≤ f a ⋅ N

Mv = ξ · N

Mv = ξ · N

Mo ≤ ξ ⋅ N

Pasívní odpory :

−

Obr. 5.9

35


5.5. Pohyb vlákna po drsné ploše S úlohami, které souvisí s pohybem vlákna po drsné ploše, se setkáváme např. u řemenových převodů a pásových brzd. Při pohybu vlákna po drsné ploše budeme hledat vztah mezi silami S1 a S2. Vlákno se stýká s válcovou plochou v oblouku daném úhlem opásání α, (obr. 5.10), součinitel tření mezi vláknem a plochou je f.

n f

dψ 2

dψ

ψ

α

dψ 2

dN

v

dT

S+dS

S

S

t

dψ

S2

S1

S Obr. 5.10

Na uvolněný element vlákna působí normálová reakce dN, třecí síla dT a síly S a S+dS na koncích elementu. Rovnovážné rovnice: t: (S + dS ) ⋅ cos

dψ dψ − S ⋅ cos − dT = 0 2 2

dT = dN· f n: 2S ⋅ sin

(5.8)

dψ dψ + dS ⋅ sin − dN = 0 2 2

Úhel dψ je nekonečně malý, proto cos

dψ d ψ dψ = 1 a sin . Po dosazení a zanedbání nekonečně = 2 2 2

dψ ⎞ ⎛ malé veličiny 2. řádu ⎜ dS ⋅ ⎟ dostaneme: 2 ⎠ ⎝ dS = f·dN Po úpravě

dS = f ⋅ dψ S

S2

Po integraci

a

S· dψ = dN

α

dS ∫ S = f ⋅ ∫ dψ S1 0

dostaneme ln

S 2 = S 1 ⋅ e fα

S2 = f ⋅α S1

(5.9)

36

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Má-li být vlákno v rovnováze za klidu, musí být splněny podmínky S2 ≤ e fa α S1

resp.

S1 ≤ e faα S2

a

e − faα ≤

S2 ≤ e faα S1

(5.10)

5.6. Vliv tuhosti lan a řemenů Lana a řemeny nejsou dokonale ohebné. Náhlá změna křivosti při jejich navíjení nebo odvíjení z kladky je provázena pasívními odpory. V důsledku těchto odporů nebudou lana a řemeny přesně sledovat tvar kladky, což lze charakterizovat rameny neohebnosti ξ1 a ξ2, obr. 5.11. Vztah mezi silami S1 a S2 dostaneme z momentové podmínky rovnováhy

ω

k otočnému bodu O.

ξ2

O r ξ1

S1 ⋅ (r + ξ1 ) − S 2 ⋅ (r − ξ 2 ) = 0

S2 S 2 = S1 ⋅

S1

r + ξ1 r − ξ2

Obr. 5.11

6. Kinematika posuvného pohybu tělesa (rovinný případ) 6.1. Základní poznatky Těleso koná posuvný pohyb,jestliže libovolná přímka nemění při pohybu svůj směr. Příklady přímočarého a křivočarého posuvného pohybu tělesa jsou uvedeny na obr. 6.1.

Obr. 6.1

37

(5.11)


V základním prostoru zvolíme souřadnicovou soustavu 0, x, y, v pohybujícím se tělese Ω, ξ, η a libovolný bod L, obr. 6.2. η

y

Ω

r LΩ

L ξ

rL rΩ x

0

Obr. 6.2

Trajektorie bodu L: r L = r Ω + r LΩ

(6.1)

Těleso považujeme za dokonale tuhé, nemění se velikost vektoru r LΩ a podle definice úsečka ΩL nemění svůj směr. Vektor r LΩ je stálý co do velikosti i směru. Trajektorie všech bodů tělesa jsou shodné, navzájem posunuté křivky. Derivací rovnice (6.1) obdržíme rychlost vL =

drL dr Ω = = vΩ dt dt

(6.2)

a další derivací zrychlení aL =

dv L dv Ω = = aΩ dt dt

(6.3)

V dané poloze jsou rychlosti a zrychlení všech bodů stejné. Pohyb je určen pohybem jednoho bodu.

6.2. Řešení pohybu bodu v rovině 6.2.1. Přirozená souřadnicová soustava Bod L se pohybuje po křivce kL, obr. 6.3. Na křivce zvolíme počátek 0L. Polohu bodu pak určuje křivočará (oblouková) souřadnice s, jeho pohyb rovnice s = s(t).

38


s

L 0L

jn

it ds

ρ

r

n

t

L'

kL

dφ it di t

t'

it ′

dφ

n

n'

SL

0 a)

b)

Obr. 6.3.

Za čas dt přejde bod z polohy L do polohy L', urazí dráhu ds = dr a normála se kolem středu křivosti SL pootočí o úhel dφ. V bodě L sestrojíme tečnu t a normálu n a zavedeme jednotkové vektory i t a j n . Rychlost v =

dr ds dr = ⋅ = v ⋅it dt dt ds

Rychlost má velikost v = Zrychlení a =

(6.4) ds a leží na tečně ke křivce. dt

di dv dv = ⋅it + v ⋅ t dt dt dt

Podle obr. 6.3b

(6.5)

i t ⋅ dϕ di t v 1ds = ⋅ jn = ⋅ jn = ⋅ jn dt dt ρdt ρ

(6.6)

Po dosazení do (6.5) kde ρ je poloměr křivosti křivky kL a = a t ⋅ i t + a n ⋅ jn

kde tečné zrychlení a t =

(6.7)

v2 dv a normálové zrychlení a n = . Složky zrychlení jsou vzájemně kolmé dt ρ

(obr. 6.4), takže výsledné zrychlení a = a 2t + a n2

(6.8) at

•

a

an

Obr. 6.4

39


6.2.2. Pravoúhlá souřadnicová soustava V základním prostoru zvolíme pravoúhlou soustavu s jednotkovými vektory i , j , obr. 6.5. Pohyb bodu je pak určen následujícími

y

rovnicemi.

L

Trajektorie

kL

r = x ⋅i + y ⋅ j

(6.9)

kde x = x(t) a y = y(t)

y

r

jsou parametrické rovnice dráhy s=

t

∫

x& 2 + y& 2 dτ kde τ je čas.

t0

0

x

x

Obr. 6.5

Rychlost v=

dy dy dr dx dx = ⋅i + ⋅ j = v x ⋅ i + v y ⋅ j , kde v x = ; vy = dt dt dt dt dt

(6.10)

Velikost rychlosti podle obr. 6.6 vy

v

v = v 2x + v 2y

•

(6.11)

vx

Obr. 6.6

Zrychlení a=

dv y dv y dv x dv dv x = ⋅i + ⋅ j = a x ⋅ i + a y ⋅ j , kde a x = ; ay = dt dt dt dt dt

(6.12)

Velikost zrychlení podle obr. 6.7

ay

a = a 2x + a 2y

a

(6.13)

•

ax Obr. 6.7

6.2.3. Polární souřadnicová soustava Pro vyjádření trajektorie a zrychlení využijeme s výhodou komplexní proměnnou, podle obr. 6.8.

40


kL

σρ

Im r

Trajektorie

iρ

jϕ

r = ρ ⋅ e iϕ

L

i = −1

(6.14)

kde ρ = ρ(t) a φ = φ(t) jsou parametrické rovnice dráhy.

r ρ

θφ φ

•

0

Re r

Obr. 6.8

Rychlost v=

⋅ ⋅⎞ ⎛⋅ dr = r = ⎜⎜ ρ+ i ⋅ ρ ⋅ ϕ ⎟⎟ ⋅ e iϕ = v ρ ⋅ i ρ + v ϕ ⋅ j ϕ dt ⎝ ⎠

⋅

(6.15)

⋅

kde v ρ = ρ , v ϕ = ρ ⋅ ϕ a velikost rychlosti (obr. 6.9)

v

⋅ 2

⎛ ⋅⎞ v = ρ + ⎜⎜ ρ ⋅ ϕ ⎟⎟ ⎝ ⎠ vϕ

2

vρ •

Obr. 6.9

Zrychlení ⋅ ⎞ ⋅ ⎡⎛ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⎞⎤ ⎛ ⋅⋅ a = v = ⎢⎜ ρ− ρ ⋅ ϕ 2 ⎟ + i ⋅ ⎜⎜ ρ ⋅ ϕ+ 2 ⋅ ρ⋅ ϕ ⎟⎟⎥ ⋅ e iϕ = a ρ ⋅ i ρ + a ϕ ⋅ j ϕ ⎟ ⎢⎜ ⎠⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎣⎝

⋅

⋅⋅

⋅⋅

(6.17)

⋅ ⋅

kde a ρ = ρ− ρ ⋅ ϕ 2 , a ϕ = ρ ⋅ ϕ+ 2 ρ⋅ ϕ a velikost zrychlení (obr. 6.10)

a

2

2 ⋅ ⎞ ⎛ ⋅⋅ ⎛ ⋅ ⋅⎞ 2⎟ ⎜ a = ρ− ρ ⋅ ϕ + ⎜⎜ 2 ρ⋅ ϕ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

aϕ

aρ •

Obr. 6.10

41

(6.18)


6.2.4 Vyšetřování pohybu bodu Při vyšetřování pohybu bodu je základním krokem získání rovnic pohybu. Využíváme diferenciálních závislostí mezi kinematickými veličinami. v=

ds dt

at =

( )

dv d 2 s dv d v 2 = =v = dt dt 2 ds 2ds

(6.19)

Mezi dvojicemi kinematických veličin existuje šest závislostí: s = f1(t)

v = f4(s)

(6.20 a, d)

v = f2(t)

at =f5(s)

(6.20 b, e)

at = f3(t)

at = f6(v)

(6.20 c, f)

Je-li známa některá z funkcí (6.20a, b, c), získáme zbývající dvě derivacemi, případně integrací pro zadané počáteční podmínky. Ostatní závislosti získáme vyloučením času z vhodných dvou rovnic(a) až (c). Je-li známa některá z funkcí (6.20d, e, f), využíváme vhodnou substituci z rovnic (6.19) a provedeme příslušné derivace nebo integrace pro zadané počáteční podmínky.

6.2.5. Zvláštní případy pohybu 6.2.5.1 Přímočarý pohyb (obr. 6.11) Přímočarý pohyb můžeme považovat za zvláštní případ

v L

a

p

křivočarého pohybu bodu s poloměrem křivosti ρ = ∞. Pak a n = 0 ;

at = a .

Rychlost i zrychlení leží na společné nositelce, přímce p.

Obr. 6.11

6.2.5.2. Podle vlastností tečného zrychlení at = 0, v = konst. ……………………………. pohyb rovnoměrný at = ± konst. …………………………………. pohyb rovnoměrně zrychlený/zpožděný at ≠ konst. ……………………………………. pohyby nerovnoměrné

42


7. Dynamika posuvného pohybu tělesa (rovinný případ) 7.1. Základní poznatky Na těleso působí vnější síly Fi a těleso si představíme složené z elementárních hmotných bodů dm, obr. 7.1. Při odvození základních závislostí využijeme poznatku z kinematiky, že v každém okamžiku jsou rychlosti a zrychlení všech bodů stejné. Kinetická

energie

je

dána

součtem

kinetických energií elementárních hmotných

y

v

dm

a

D

T

bodů.

H

r iT

Fi

rT

1 v2 1 dm ⋅ v 2 = ⋅ ∫ dm = m ⋅ v 2 2 m 2 m 2

Ek = ∫

r

(7.1)

ri

x

0

Obdobně budeme postupovat při dalších výpočtech.

Obr. 7.1

Hybnost: H = ∫ dm ⋅ v = v ⋅ ∫ dm = m ⋅ v

(7.2)

Moment hybnosti: L = ∫ r × dm ⋅ v = r T × m ⋅ v = r T × H

(7.3)

m

m

m

Vzhledem k těžišti T: L T = 0

(7.4)

Na základě vět o změně hybnosti a momentu hybnosti soustavy hmotných bodů odvodíme pohybové rovnice. Pohybové rovnice

dH = ∑ Fi dt i

dL T = ∑ r iT × F i dt i

m ⋅ dv = ∑ Fi dt i

0 = ∑ r iT × F i

(7.6)

i

m ⋅ a = ∑ Fi

(7.5)

i

43

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Rovnice (7.6) vyjadřuje tzv. podmínku posuvného pohybu tělesa: Algebraický součet momentů vnějších sil k těžišti je roven nule.

Při řešení pohybové rovnice (7.5) a (7.6) rozepíšeme do tří skalárních rovnic, dvou složkových a jedné momentové rovnice. Zvolíme-li jednu osu souřadnicové soustavy ve směru pohybu, pak příslušná složková rovnice bude při ideálních vazbách vlastní pohybovou rovnicí, u reálných vazeb tzv. hlavní pohybovou rovnicí. Tuto převedeme na vlastní pohybovou rovnici vyloučením tečných složek reakcí. Vlastní pohybová rovnice neobsahuje reakce slouží pro určení hnací síly při předepsaném pohybu. (úloha 1. druhu, algebraická rovnice), nebo pro určení pohybu při zadaných silách (úloha 2. druhu, diferenciální rovnice 2. řádu). Obecně platí, že počet stupňů volnosti je roven počtu vlastních pohybových rovnic.

7.2. Sestavování pohybové rovnice d´Alembertovým způsobem Formálním přepisem rovnice (7.5) obdržíme:

∑ F i + (− m ⋅ a) = 0 i

∑ Fi + D = 0

(7.7)

i

kde D = −m ⋅ a je myšlená doplňková (setrvačná) síla, která je s vnějšími silami v rovnováze Vzhledem k platnosti rovnice (7.6) musí působit v těžišti tělesa T. Aplikací dÁlembertova principu vyřešíme následující příklad (viz obr. 7.1).

Př.: 7.1.

Vypočtěte maximálně dosažitelné zrychlení a vozidla (obr. 7.2) se zadní hnací nápravou. Při řešení zanedbejte pasívní odpory. Součinitel adheze mezi kolem a vozovkou je f0.

T

a

h l2

l1 l

Obr. 7.2

44

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Řešení:

y

D T

a

G

h

T0 N2

x

l2

l1 l

N1

Podle dÁlembertova principu musí být tíha vozidla G , reakce N1 , N 2 hnací síla adheze T 0 a doplňková síla D v rovnováze. T0 – D = 0

D=m·a

N1 + N2 – G = 0

G=m·g

G· l1 + D· h – N2·l = 0 Maximální dosažitelné zrychlení vypočteme z adhezní síly na mezi prokluzu. T0 = N2 · f0 Výpočtem obdržíme f ⋅l a = g⋅ 0 1 l − f0 ⋅ h

Poznámka: Řešení platí pokud N1 ≥ 0.

7.3. Věta o změně hybnosti, věta o změně kinetické energie Při řešení posuvného pohybu můžeme ve vybraných případech s výhodou využít větu o změně hybnosti, případně větu o změně kinetické energie.

7.3.1. Věta o změně hybnosti Při odvození vyjdeme z pohybové rovnice (7.5).

45

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── m⋅

dv =F dt

kde F = ∑ F i i

Separací proměnných obdržíme m ⋅ dv = F ⋅ dt

a po integraci za počáteční podmínky t = 0, v = v 0 t

m ⋅ v − m ⋅ v 0 = ∫ F i dt

(7.8)

0

Zkráceně H − H 0 = IF

(7.9) t

kde H = m ⋅ v je hybnost v čase t, H 0 = m ⋅ v 0 je hybnost v čase t = 0 a IF = ∫ Fdt je impuls síly. 0

Aplikací věty získáme závislost v = f2(t).

7.3.2. Věta o změně kinetické energie Opět vyjdeme z pohybové rovnice (7.5). m⋅

dv =F dt

Po skalárním vynásobení hodnotou dr , představující diferenciál rádiusvektoru, určujícího polohu bodu, dostáváme: m⋅

dr ⋅ dv = F ⋅ dr dt

Uvážíme-li, že

( )

dr d v2 = v a v ⋅ dv = , pak bude dt 2

⎛1 ⎞ d⎜ m ⋅ v 2 ⎟ = F ⋅ dr ⎝2 ⎠ Definujeme-li skalární veličinu E K =

1 m ⋅ v 2 a nazveme ji kinetickou energií, po integraci 2

obdržíme r

1 1 m ⋅ v 2 − m ⋅ v 02 = ∫ F ⋅ dr 2 2

(7.10)

r0

Zkráceně EK − EK0 = A

(7.11)

46

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── r

kde A = ∫ F ⋅ dr představuje práci, kterou vykonají působící síly mezi polohami r 0 a r . r0

Aplikací věty získáme závislost v = f4(s). Poznámka: Všechny poznatky z kapitoly 7. je možno aplikovat v dynamice tělesa

zanedbatelných rozměrů – hmotného bodu.

8. Kinematika rotačního pohybu tělesa 8.1 Základní poznatky Těleso koná rotační pohyb, jestliže jedna jeho přímka zůstává trvale v klidu. Tato přímka je osou rotace o, obr. 7.3.

Trajektorií libovolného bodu L je kružnice se středem na ose rotace, ležící v rovině χ ┴ o.

L

•

0

Dále budeme sledovat pohyb bodu L v této rovině, obr. 7.4. K řešení použijeme polární

k

souřadnice ρ = r = konst. a φ = φ(t). Druhou χ ┴o

o

závislost

nazýváme

rovnicí

rotačního

pohybu.

Kinematické

veličiny

odvodíme

podle poznatků z kapitoly 6.2.

Obr. 7.3

t

Elementární dráha

dφ

v

ds ·

ds = r · dφ

L

(8.1)

φ Rychlost

L0 φ0

v=

dϕ ds =r⋅ = r ⋅ω dt dt

x

r

kde ω =

dϕ [rad.s-1] je úhlová rychlost (8.3) dt

k Zrychlení

Obr.7.4

47

(8.2)

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── at =

at

dv dω =r⋅ = r ⋅ε dt dt

kde ε =

a

an =

•

(8.4)

dω [rad.s-2] je úhlové zrychlení (8.5) dt

v2 = r ⋅ ω2 r

(8.6)

an Obr. 7.5

Výsledné zrychlení podle obr. 7.5: a = a t2 + a n2 = r ⋅ ε 2 + ω 4

(8.7)

8.2. Vektorové vyjádření kinematických veličin Úhlová rychlost je vektor ležící na ose rotace o.

o

Pak rychlost bodu L určeného průvodičem r je dána

•

ρ

ω

ε

L

vzorcem v = ω× r

r

(8.8)

a zrychlení vzorcem a=

dv dω dr = × r + ω× = ε × r + ω× v = a t + an dt dt dt

(8.9)

kde ε je vektor ležící rovněž na ose o. Obr. 7.6

9. Dynamika rotačního pohybu tělesa 9.1. Základní poznatky S rotačním pohybem se nejčastěji v praxi setkáváme při staticky určitém uložení tělesa ve dvou ložiskách, z nichž ložisko A je radiální a ložisko B radiálně - axiální. Na těleso působí vnější síly F i a toto je složeno z nekonečného počtu elementárních hmotných bodů, obr. 9.1.

48


B

Fi

Ek =

•

dH

v

ri

r

kde J 0 = ∫ r 2 dm je osový moment setrvačnosti

•

m

A

ω

Moment hybnosti

ε

o

1 1 ω2 2 dm ⋅ v = ⋅ ∫ r 2 dm = J 0 ⋅ ω 2 (9.1) ∫2 2 m 2 m

•

dm •

Kinetická energie

L = ∫ r ⋅ dH = ∫ r ⋅ dm ⋅ v = ω ⋅ ∫ r 2 dm = J 0 ⋅ ω m

m

(9.2)

m

Obr.9.1

Pohybová rovnice Aplikací věty o změně momentu hybnosti k ose rotace o: dL = ∑ Mio , kde Mio je moment síly F i dt i

Po dosazení za L obdržíme pro konstantní J0 J0 ⋅

a

dω = M 0 , kde M0 je výsledný moment všech sil F i dt

J0 · ε = M0

(9.3)

Zanedbáme-li pasívní odpory je rovnice (9.3) vlastní pohybovou rovnicí a umožňuje určit potřebný silový účinek pro předepsaný pohyb nebo řešit pohyb při zadaných silových účincích.

9.2. Věta o změně momentu hybnosti, věta o změně kinetické energie 9.2.1. Věta o změně momentu hybnosti Z rovnice (9.3) J0 ⋅

dω = M0 dt

po separaci proměnných J 0 ⋅ dω = M 0 ⋅ dt

Po integraci pro počáteční podmínky t = 0, ω = ω0 obdržíme t

J 0 ⋅ ω − J 0 ⋅ ω 0 = ∫ M 0 ⋅ dt

(9.4)

0

Zkráceně L - L0 = IM

(9.5)

49


Kde L = J0 · ω je moment hybnosti v čase t, L0 = J0 · ω0 je moment hybnosti v čase t = 0 a t

IM = ∫ M 0 dt je tzv. impulsmoment. 0

Aplikací věty získáme závislost ω = f2(t).

9.2.2. Věta o změně kinetické energie Z rovnice (9.3) po skalárním vynásobení dφ, kde φ je úhlová dráha, obdržíme J0 ⋅ Jelikož

dϕ ⋅ dω = M 0 ⋅ dϕ dt

( )

d ω2 dϕ je ω a ωdω = , bude dt 2d ϕ

⎛1 ⎞ d⎜ J 0 ⋅ ω 2 ⎟ = M 0 ⋅ dϕ ⎝2 ⎠

Označíme-li

1 J 0 ⋅ ω 2 = E k a nazveme kinetickou energií, po integraci dostáváme 2 ϕ

1 1 J 0 ⋅ ω 2 − J 0 ⋅ ω 02 = ∫ M 0 dϕ 2 2 ϕ0

(9.6)

Zkráceně Ek − Ek0 = A

(9.7)

ϕ

kde A = ∫ M 0 dϕ představuje práci momentu M0 mezi polohami φ a φ0. ϕ0

9.3. Výsledné doplňkové síly, výpočet reakcí (rovinný případ) 9.3.1. Výsledné doplňkové síly Rovinný případ nastane, má-li těleso rovinu symetrie σ kolmou na osu rotace o, obr. 9.2. Výsledné doplňkové účinky pak leží v rovině symetrie a můžeme je určit podle obr. 9.3.

50


dDn

v

dm

at

dD t

•

an T rT •

T

r

0

rT dMD

σ ┴o

0

dD t

o

ε Obr. 9.2

ω

Obr. 9.3

Na elementární hmotný bod dm budou působit doplňkové síly dDn = dm·an

a

dDt = dm·at Síly dDn tvoří rovinnou soustavu sil o společném působišti v otočném bodě O. Nahradíme ji v tomto bodě výslednicí. D n = ∫ dm ⋅ a n = ω 2 ∫ rdm = m ⋅ rT ⋅ ω 2 = m ⋅ a Tn m

(9.8)

m

a nazveme ji odstředivou silou. Síly dDt tvoří rovinnou soustavu sil o různých působištích. Síly přeložíme do otočného bodu 0 a připojíme silové dvojice dMD = dDt·r. Síly působící v bodě 0 nahradíme výslednicí D t = ∫ dm ⋅ a t = ε ∫ rdm = m ⋅ rT ⋅ ε = m ⋅ a Tt m

(9.9)

m

a nazveme ji tečnou doplňkovou silou. Elementární silové dvojice nahradíme výsledným momentem MD = ∫ dD t ⋅ r = ε ∫ r 2 dm = J 0 ⋅ ε m

(9.10)

m

kde J0 je osový moment setrvačnosti k ose rotace o a nazveme jej (moment MD) doplňkový moment. Výsledné doplňkové účinky jsou zakresleny na obr. 9.4.

51


Dn

T rT MD 0

ε

•

Dt

ω

Obr. 9.4.

9.3.2. Výpočet reakcí K výpočtu reakcí využijeme dÁlembertův princip. K vnějším silám připojíme doplňkové síly a sestavíme podmínky fiktivní rovnováhy. Na uvolněné těleso pak působí akční síly Fi, složky reakce v rotační vazbě Rx, Ry, a doplňkové účinky Dn, Dt, MD, obr. 9.5.

y

Podmínky rovnováhy

Fi

R x + D nx − D tx + ∑ Fix = 0 ⇒ R x

Dn

i

R y + D ny − D ty + ∑ Fiy = 0 ⇒ R y

(9.11)

i

Ry

∑ M i − MD = 0

T(xT,yT)

kde

rT

MD •

0 ε ω

Dt

… vlastní pohybová rovnice

i

Rx

x

D nx = m ⋅ x T ⋅ ω 2

D tx = m ⋅ y T ⋅ ε

D ny = m ⋅ y T ⋅ ω 2

D ty = m ⋅ x T ⋅ ε

Výsledná reakce R = R 2x + R 2y

MD = J 0 ⋅ ε

(9.12)

Obr. 9.5

10. Kinematika obecného rovinného pohybu tělesa 10.1. Definice, pohyblivost Obecný rovinný pohyb je pohyb, při kterém trajektorie jednotlivých bodů tělesa jsou rovinné křivky, ležící v navzájem rovnoběžných rovinách (roviny σ1, σ2 na obr. 10.1). Body, ležící v daném

52

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── okamžiku na kolmicích k těmto rovinám, (např. A1, A2) se pohybují po stejných, navzájem posunutých trajektoriích (kA1, kA2). Mají tedy totožný průmět do libovolné z trajektorií a můžeme proto vyšetřovat pohyb tělesa jako pohyb rovinného obrazce – průmětu tělesa (obr. 10.2).

nA1 ≡ nA2

y

A1

kA1

p

σ1

L Ω

A2

kA2

σ2

φ

yΩ 0

Obr. 10.1

xΩ

x

Obr. 10.2

Poloha volného tělesa je určena třemi nezávislými souřadnicemi (např. xΩ, yΩ, φ, kde Ω je referenční bod a φ úhel, který svírá přímka tělesa p s kladnou poloosou x. Má tedy tři stupně volnosti. Těleso

s jednou obecnou vazbou má dva stupně volnosti, těleso se dvěma obecnými vazbami, nebo jednou valivou vazbou má jeden stupeň volnosti.

10.2. Základní rozklad Přemístění tělesa do libovolné polohy za čas ∆t je dáno přemístěním úsečky ΩL do polohy Ω1L1 , obr. 10.3.

L1 L L'1 Ω

Ω1

Obr. 10.3

53

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Do libovolné polohy Ω1L1 se těleso přemístilo pohybem posuvným do polohy Ω1L1′

a pohybem

rotačním kolem referenčního bodu Ω1. Snížíme- li časový interval na nekonečně malou hodnotu dt, budou oba pohyby probíhat současně. Z výše uvedené úvahy můžeme definovat základní rozklad obecného rovinného pohybu. Základní rozklad obecného rovinného pohybu tělesa je rozklad na unášivý pohyb posuvný, určený pohybem referenčního bodu a na druhotný pohyb rotační kolem tohoto bodu.

10.3. Vyšetření rychlosti a zrychlení Vyšetření rychlostí a zrychlení libovolného bodu L provedeme pomocí základního rozkladu podle obr. 10.4. Trajektorie y

r L = r Ω + r LΩ

Rychlost

ω Ω

r LΩ

⋅

L

⋅

(10.1)

⋅

rL

kde v Ω = r Ω je rychlost unášivého pohybu

rΩ

posuvného,

v LΩ = ω × r LΩ

je

rychlost

druhotného pohybu rotačního a ω je jeho

x

0

⋅

v L = r L = r Ω + r LΩ = v Ω + v LΩ

úhlová rychlost.

Obr. 10.4

Zrychlení ⋅

⋅

⋅

⋅

a L = v L = v Ω + ω× r LΩ + ω × r LΩ = a Ω + a LΩ

(10.2)

a Ω je zrychlení unášivého pohybu posuvného a LΩ = a LΩt + a LΩn je zrychlení druhotného pohybu rotačního

kde a LΩ = ε × r LΩ je tečné zrychlení druhotného pohybu rotačního a ε je jeho úhlové zrychlení a LΩn = ω × v LΩ je normálové zrychlení druhotného pohybu rotačního

Rychlost, resp. zrychlení libovolného bodu je dána vektorovým součtem rychlosti, resp. zrychlení unášivého pohybu posuvného a rychlosti, resp. zrychlení druhotného pohybu rotačního. Vyšetření rychlosti a zrychlení pomocí základního rozkladu bude využito v následujícím příkladě.

54

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Př:. 7.1.

Pohyb tělesa je určen vazbou dvou jeho bodů A a B ke dvěma na sebe kolmým přímkám pA a pB základního prostoru, obr. 10.5. Určete rychlost a zrychlení bodu B pro polohu určenou úhlem α a známou rychlost a zrychlení bodu A.

vA pA

aA

A l

α pB

B

Obr. 10.5

Řešení:

vA pA

aA

A l

vA α

•

vB

•

α

α

aBAn aA

•

aB

α •

Obr. 10.5a

aBAt

B

pB

Obr. 10b

v BA

Zvolíme bod A jako referenční bod a bod B jako libovolný bod. Pro názornost provedeme grafickopočetní řešení. Pro rychlost budu B platí: v B = v A + v BA Rozbor řešitelnosti: v A známe co do velikosti i směru, označíme podtržením v B známe směr (pB), označíme podtržením se šipkou

55

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── v BA známe směr ( v BA ┴ AB ), označíme podtržením se šipkou

Vektorová rovnice je řešitelná, viz obr. 10.5a. Z obrázku vypočteme: v tgα = B vA

cos α =

v B = v A ⋅ tgα

vA v BA

v BA =

vA cos α

Pro zrychlení bodu B platí: a B = a A + a BAt + a BAn Rozbor řešitelnosti provedeme analogicky jako u rychlosti. v2 a BAn = BA a směřuje z bodu B do bodu A. Grafické řešení je na obr. 10.5b. l

Z obrázku vypočteme: 0 = a A + a BAn ⋅ sin α − a BAt ⋅ cos α ⇒ a BAt a B = a BAn ⋅ cos α + a BAt ⋅ sin α ⇒ a B

11. Dynamika obecného rovinného pohybu tělesa 11.1. Pohybové rovnice Při sestavení pohybových rovnic vyjdeme ze základního rozkladu obecného rovinného pohybu pro referenční bod v těžišti tělesa, obr. 11.1. y

Fi

p

ω ε

vT

Ω≡T •

yT

m; JT

0

φ

aT x

xT

Obr. 11.1

Na těleso působí vnější síly Fi, jeho poloha je určena souřadnicemi xT, yT a úhlem φ, z kinematického hlediska je pohyb určen rychlostí a zrychlením těžiště vT, aT a úhlovou rychlostí a zrychlením druhotného pohybu rotačního ω, ε. Pak pohybové rovnice budou dány pohybovými rovnicemi pro unášivý pohyb posuvný, daný pohybem těžiště

56

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── 1) m ⋅ &x& T = ∑ Fix

(11.1a)

2) m ⋅ &y& T = ∑ Fiy

(11.1b)

i

i

a pohybovou rovnicí druhotného pohybu rotačního kolem těžiště && = ∑ M Ti 3) J T ⋅ ϕ

(11.1c)

i

V rovnicích značí m hmotnost tělesa, JT moment setrvačnosti k ose procházející těžištěm a MTi momenty vnějších sil k těžišti. Počet vlastních pohybových rovnic je dán počtem stupňů volnosti. U vázaného tělesa se získají vyloučením reakcí. Při řešení úloh 1. druhu se z nich určují silové účinky pro předepsaný pohyb (algebraické rovnice), při řešení úloh 2. druhu pro dané silové účinky řešíme pohyb (diferenciální rovnice 2. řádu).

11.2. Kinetická energie Kinetickou energii opět získáme ze základního rozkladu součtem kinetické energie unášivého pohybu posuvného a druhotného pohybu rotačního.

Ek =

1 1 m ⋅ v T2 + J T ⋅ ω 2 2 2

(11.2)

11.3. Doplňkové účinky Pro řešení dynamiky vázaných těles s výhodou aplikujeme dÁlembertův princip. Pro referenční bod v těžišti (obr. 11.2) přísluší unášivému pohybu posuvnému doplňková síla D = m ⋅aT

(11.3)

a druhotné rotaci pouze doplňkový moment MD = J T ⋅ ε

( Dn = D T = 0 )

(11.4)

57

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── ω

D

vT ε aT

Ω≡T

MD

Obr. 11.2

Pohybové rovnice pak po uvolnění tělesa dostaneme z podmínek fiktivní rovnováhy vnějších sil (akčních a reakčních) a výše uvedených doplňkových účinků. (11.3 a 11.4). Na závěr kapitoly vypočteme příklad na kinetickou energii obecného rovinného pohybu tělesa. Př.: 10.1

Sochory kruhového průřezu se valí po nakloněné rovině bez prokluzu, obr. 11.3. Na počátku dráhy je rychlost těžiště nulová. Zanedbejte pasívní odpory a určete rychlost těžiště po uražení dráhy s.

T s

T α vT = ?

Řešení: Valivou vazbou vzniká obecný rovinný pohyb. Rychlost těžiště na konci dráhy s vypočteme podle věty o změně kinetické energie. EK − EK0 = A 1 1 m ⋅ v T2 + J T ⋅ ω 2 = G ⋅ h 2 2

h … rozdíl výšky těžiště v počáteční a konečné poloze m … hmota tělesa G … tíha tělesa

Moment setrvačnosti k ose rotační souměrnosti J T = Výpočtem obdržíme v T =

4 g ⋅ s ⋅ sin α 3

58

m⋅r 2 2


12. Kinematika mechanismů Jako mechanismy označujeme pohyblivé soustavy těles s jedním a více stupni volnosti. Zde budeme řešit pouze mechanismy s jedním stupněm volnosti.

12.1. Mechanismy s konstantními převody Základními představiteli mechanismů s konstantními převody jsou řemenové převody a převody ozubenými koly. Jako převod definujeme poměr mezi rychlostmi hnaného a hnacího členu mechanismu.

12.1.1. Jednoduchý převod Kinematické schéma jednoduchého řemenového převodu je na obr. 12.1, jednoduchého převodu s ozubenými koly na obr. 12.2.

v

ε21 ω21

r2

2

r3

3

1

1

z3

z2

v

ε21

ω31

ω21

r2

2

ε31

r3

3

ω31

A 1

v

Obr.12.1

1

ε31

Obr. 12.2

Převod řemenového převodu vypočteme za předpokladu, že řemen po řemenicích neprokluzuje. Pak obvodová rychlost obou řemenic je stejná. v = r2 ⋅ ω 21 = r3 ⋅ ω 31

(12.1)

pak převod p 2 ,3 =

ω 31 r2 D 2 ε 31 = = = ω 21 r3 D 3 ε 21

(12.2)

kde D2, D3 jsou průměry řemenic. Převod mechanismu s ozubenými koly vypočteme z rovnosti obvodových rychlostí v dotykovém bodě A valivých kružnic, z tzv. podmínky valení. Předpokládáme stejný smysl úhlových rychlostí ω21 a ω31. v = r2 ⋅ ω 21 = −r3 ⋅ ω 31

(12.3)

pak převod p 2 ,3 =

ε ω 31 r D z == − 2 = − 2 = − 2 = 31 ω 21 r3 D3 z 3 ε 21

59

(12.4)

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── kde z2, z3 je počet zubů hnacího a hnaného kola. Záporné znaménko převodu vyjadřuje skutečnost, že hnané kolo 3 se otáčí v opačném smyslu.

12.1.2. Složený převod Složený převod vznikne spojením jednoduchých převodů. Příklad dvojnásobného převodu s ozubenými koly je na obr. 12.3. z3

z2

z4

Z3

ε21 ω21

3

2

4

ω41

A 1

1

ε31

ε41

1

ω31

Obr. 12.3.

Celkový převod p 2 ,4 =

⎛ z ω 41 ω 31 ω 41 = p 2 ,3 ⋅ p 3,4 = ⎜⎜ − 2 ⋅ = ω 21 ω 21 ω 31 ⎝ Z3

⎞ ⎛ z3 ⎟⋅⎜− ⎟ ⎜ z 4 ⎠ ⎝

⎞ z 2 ⋅ z3 ⎟⎟ = ⎠ Z3 ⋅ z 4

(12.5)

kde p2,3 je jednoduchý převod mezi koly 2 a 3 a p3,4 je jednoduchý převod mezi koly 3 a 4. Výsledek lze zobecnit i na vícenásobné převody: Složený převod je dán součinem jednoduchých převodů.

12.1.3. Planetový převod Planetový převod se skládá z ozubeného kola s vnitřním ozubením, tzv. korunového kola 1, centrálního kola 2, satelitu 3 a unášeče 4, obr. 12.4.

60

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── A 3

3

ω3 4

r3

ω21

4

4

B 2

ω41 r1

ω2 1

2

ω4 1

r2

1 1

Obr. 12.4

V tomto provedení je korunové kolo 1 spojeno s rámem, centrální kolo 2 je naklínováno na vstupním hřídeli a satelit 3 je volně otočný na unášeči 4, který je součástí výstupního hřídele. Převod vypočteme z podmínek valení v bodech A a B. Výsledná rychlost kola 3 v bodech valení je dána součtem rychlosti relativního pohybu 34 a unášivého pohybu 41. A: 0 = ω 34 ⋅ r3 + ω 41 ⋅ r1

(12.6)

B: ω 21 ⋅ r2 = −ω 34 ⋅ r3 + ω 41 ⋅ r2

(12.7)

Po sečtení obdržíme: ω 21 ⋅ r2 = ω 41 ⋅ (r1 + r2 )

z toho převod p 2 ,4 =

r ω 41 = 2 ω 21 r1 + r2

(12.8)

Úhlovou rychlost relativního pohybu satelitu vypočteme z rovnic (12.6) a (12.8). ω 34 = −

r1 r1 ⋅ r2 2r ⋅ r ⋅ ω 41 = − ⋅ ω 21 = − 1 2 ⋅ ω 21 (r1 + r2 )⋅ r3 r3 r12 − r22

(12.9)

12.2. Mechanismy s proměnlivými převody V následující kapitole se omezíme na jednoduché rovinné mechanismy, jejichž hlavními představiteli jsou vačkový mechanismus (obr. 12.5a), čtyřkloubový mechanismus (obr. 12.5b), kulisový mechanismus (obr. 12.5c) a klikový mechanismus (obr. 12.5d).

61

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── 1

1

4

1

3

3

3

2

2

4

φ21

φ41

O 1

3

2

2

φ21

1

1

a)

4

s41

1

b)

1

c)

d)

obr. 12.5

Vzhledem k tomu, že mechanismy mají 1º volnosti odpovídá poloze vstupního členu poloha výstupního členu. Např. u čtyřkloubového mechanismu je úhlem φ21 jednoznačně určen úhel φ41. Tuto závislost můžeme vyjádřit funkcí φ41 = z(φ21), kterou nazýváme zdvihová závislost. U členů mechanismů, konajících posuvný pohyb, je poloha určena délkovou souřadnicí, např. s41. Pro zobecnění vztahů k vyjádření kinematických závislostí zavedeme zobecněné souřadnice qij. Pak pro výstupní člen platí: zdvihová závislost

q n1 = z(q 21 )

rychlost

q& n1 =

dz(q 21 ) ⋅ q& 21 = p(q 21 ) ⋅ q& 21 dq 21

kde p(q 21 ) =

zrychlení

&q& n1 =

(12.10)

dz(q 21 ) dq 21

je převod

dp(q 21 ) 2 ⋅ q& 21 + p(q 21 ) ⋅ &q& 21 = b(q 21 ) ⋅ q& 221 + p(q 21 ) ⋅ &q& 21 dq 21

kde b(q 21 ) =

dp(q 21 ) je derivace převodu. dq 21

(12.11) (12.12)

(12.13)

(12.14)

Zdvihovou závislost, převod a derivaci převodu označujeme jako převodové funkce. Univerzální metodou pro určení zdvihových závislostí je vektorová metoda. Kinematické schéma mechanismu nahradíme uzavřenými vektorovými obrazci a sestavíme podmínky uzavřenosti. Vyloučením pomocných souřadnic získáme zdvihovou závislost.

Př. 12.1.

Určete zdvihovou závislost klikového mechanismu. Zdvihovou závislost určíme nahrazením kinematického schématu uzavřeným vektorovým obrazcem (trojúhelníkem) podle obr. 12.6.

62


Podmínky uzavřenosti r ⋅ sin ϕ 21 − l ⋅ sin ψ = 0 r

2 3

φ21

l ψ

r ⋅ cos ϕ 21 + l ⋅ cos ψ − s 41 = 0 4 1

r sin ψ = ⋅ sin ϕ 21 l

s 41 1

2

⎛r ⎞ cos ψ = 1 − ⎜ ⎟ ⋅ sin 2 ϕ 21 ⎝l⎠

Obr. 12.6 2

⎛r ⎞ s 41 = r ⋅ cos ϕ 21 + l ⋅ 1 − ⎜ ⎟ ⋅ sin 2 ϕ 21 = z(ϕ 21 ) ⎝l⎠

Př. 12.2

Vypočtěte rychlost a zrychlení kulisy kulisového mechanismu, jehož kinematické schéma je na obr 12.7. Je dána úhlová rychlost hnací kliky ω21 a úhlové zrychlení ε21.

Zdvihová závislost 4

a 41

r ⋅ cos ϕ 21 − s 41 = 0

v 41

s 41 = r ⋅ cos ϕ 21 = z(ϕ 21 )

r

ε21 ω21

r

3 2

φ21

O

φ21

h

převod p(ϕ 21 ) =

•

s41

s41

dz(ϕ 21 ) = −r ⋅ sin ϕ 21 dϕ 21

derivace převodu b(ϕ 21 ) =

Obr.12.7

dp(ϕ 21 ) = −r ⋅ cos ϕ 21 dϕ 21

rychlost v 41 = p(ϕ 21 ) ⋅ ϕ& 21 = −r ⋅ sin ϕ 21 ⋅ ω 21

zrychlení && 21 = −r ⋅ cos ϕ 21 ⋅ ω 221 − r ⋅ sin 21 ⋅ ε 21 a 41 = b(ϕ 21 ) ⋅ ϕ& 221 + p ⋅ (ϕ 21 ) ⋅ ϕ

13. Dynamika mechanismů Pohybovou rovnici mechanismu odvodíme metodou redukce. Podstata metody spočívá v tom, že reálný mechanismus redukujeme na výpočtový model sestávající z rotujícího nebo posouvajícího se tělesa , obr. 13.1. Jako člen redukce volíme hnací nebo hnaný člen mechanismu.

63

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Výpočtový model (člen redukce) qr =sr

Jr

Mr •

ar

qr =φr

vr Fr

mr

ωr εr a) člen redukce koná

b) člen redukce koná

rotační pohyb

posuvný pohyb Obr. 13.1

Ve výpočtovém modelu je: φr, ωr, εr … úhlová dráha rychlost a zrychlení členu redukce Mr … redukovaný moment (vyjadřuje silové účinky) Jr … redukovaný moment setrvačnosti (vyjadřuje hmotnostní veličiny) sr, vr, ar … dráha, rychlost a zrychlení členu redukce Fr … redukovaná síla (vyjadřuje silové účinky) mr … redukovaná hmotnost (vyjadřuje hmotnostní veličiny) Redukci silových účinků provádíme na základě rovnosti výkonů na mechanismu a na výpočtovém modelu.

∑ F i ⋅ v i + ∑ M j ⋅ ω j = Mr ⋅ ω r i

∑ F i ⋅ v i + ∑ M j ⋅ ω j = Fr ⋅ v r

j

i

(13.1a, b)

j

z toho Mr = ∑ F i ⋅ i

ωj vi + ∑Mj ⋅ ωr ωr j

Fr = ∑ F i ⋅ i

ωj vi + ∑Mj ⋅ vr vr j

(13.2a, b)

V rovnicích značí F i , Mj síly a momenty působící na mechanismus, v i rychlosti působišť sil a ωj úhlové rychlosti momentů. Redukci hmotnostních veličin provádíme na základě rovnosti kinetické energie mechanismu a výpočtového modelu. 1

1

1

∑ 2 m i ⋅ v i2 + ∑ 2 J j ⋅ ω 2j = 2 Jr ⋅ ωr2 i

j

1

1

1

∑ 2 m i ⋅ v i2 + ∑ 2 J j ⋅ ω 2j = 2 m r ⋅ v r2 i

(13.2a, b)

j

z toho ⎛v Jr = ∑ m i ⋅ ⎜⎜ i ⎝ ωr i

2 ⎛ ωj ⎞ ⎟⎟ + ∑ J j ⎜ ⎜ω ⎠ j ⎝ r

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⎛ vj mr = ∑ mi ⋅ ⎜ ⎜v i ⎝ r

2

⎞ ⎛ω ⎟ + ∑ Jj ⋅⎜ j ⎟ ⎜v j ⎠ ⎝ r

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

(13.3a, b)

V rovnicích značí mi, Jj hmotnosti a momenty setrvačnosti členů, kterým přísluší rychlosti vi a úhlové rychlosti ωj. Členům mechanismu, konajícím obecný rovinný pohyb, přísluší kinetická energie od posuvého i rotačního pohybu.

64

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Pohybové rovnice U mechanismů s proměnlivými převody jsou převody

vi ω v ω , i , i , i funkcí obecné souřadnice, ωr ωr v r v r

takže i redukovaný moment setrvačnosti Jr a redukovaná hmotnost mr jsou funkcí ϕ r , resp. sr. Jr = Jr (ϕ r )

m r = m r (s r )

(14.a, b)

Pohybovou rovnici odvodíme z diferenciálního tvaru věty o změně kinetické energie. dA = dE k

(A … mechanická energie)

(14.5)

Při redukci na rotující člen obdržíme ⎛1 ⎞ Mr ⋅ dϕ r = d⎜ Jr ⋅ ωr2 ⎟ ⎝2 ⎠ Mr =

dω 1 dJr d ⎛1 1 2 ⎞ 1 dJr ⋅ ωr2 + Jr ⋅ 2ωr ⋅ r = ⋅ ωr2 + Jr ⋅ ε r ⎜ Jr ⋅ ωr ⎟ = 2 dϕ r ⎝ 2 d d d 2 2 ϕ ϕ ϕ ⎠ r r r

jelikož ωr ⋅

(14.6)

dω r = εr dϕ r

Při redukci na posouvající člen analogicky odvodíme Fr =

1 dm r 2 ⋅ v r + mr ⋅ ar 2 ds r

(14.7)

V obecném tvaru můžeme pohybovou rovnici zapsat Qr =

1 dμ r & 2 ⋅ ⋅ qr + μ r ⋅ &q& r2 2 dq r

(14.8)

kde Qr je obecná redukovaná síla, μr je obecná redukovaná hmotnost a qr je obecná souřadnice. U mechanismů s proměnlivými převody se při řešení pohybu jedná o nelineární diferenciální rovnici druhého řádu, která je řešitelná pouze numericky. U mechanismů s konstantními převody μr(Jr, mr) je konstantní a pohybová rovnice se zjednoduší na tvar Q r = μ r ⋅ &q& r

(15.9)

Postup odvození pohybové rovnice mechanismu s konstantními převody a mechanismu s proměnnými převody ukážeme na následujících příkladech.

Př. 13.1.

Odvoďte pohybovou rovnici zdvihacího ústrojí, jehož schéma je uvedeno na obr. 13.2. Odpor prostředí a pasívní odpory zanedbejte!

65


V obrázku značí: J2

Mh … hnací moment

Mh •

2

φ21 … obecná souřadnice (úhel natočení bubnu)

φ21

r2, r3 …poloměr bubnu, kladky volné

r2

J2, J3 … momenty setrvačnosti bubnu, kladky volné

1

ε21

G3, G4 … tíhy kladky volné, břemene

ω21

ω21, ε21 … úhlová rychlost, zrychlení bubnu ω31, ε31 … úhlová rychlost, zrychlení druhotného pohybu

r3 3

• G3

J3, m3

rotačního kladky volné

ω31

v, a … rychlost a zrychlení břemene

ε31

4

Kladka volná koná obecný rovinný pohyb, rotaci kolem pólu v

P.

a

Obvodová rychlost a tečné zrychlení bodu na obvodu bubnu

G4

v 21 = 2v 31 = 2v

v 31

v 21

a 21 = 2a 31 = 2a

Obr. 13.2

P

r3

Pak ω 21 = ω 31 =

Redukci provedeme na hřídel bubnu Redukovaný moment (rovnost výkonů) Mh ⋅ ω 21 − (G3 + G 4 ) ⋅ v = Mr ⋅ ω 21

Po dosazení za v = Mr = Mh −

r2 ⋅ ω 21 2

obdržíme

G3 + G 4 ⋅ r2 2

Redukovaný moment setrvačnosti (rovnost kinetických energií) 1 1 1 1 1 2 2 + J 3 ⋅ ω 31 + m 4 ⋅ v 2 = Jr ⋅ ω 221 J 2 ⋅ ω 221 + m 3 ⋅ v 31 2 2 2 2 2

Po dosazení za v31, ω31 a v obdržíme ⎛ r Jr = J 2 + J 3 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎝ 2r3

2

⎞ ⎛r ⎟ + (m 3 + m 4 ) ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

Pohybovou rovnici získáme po dosazení do rovnice (15.9) Mh −

⎡ ⎛r G3 + G 4 ⋅ r2 = ⎢J 2 + J 3 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎢ 2 ⎝ 2r3 ⎣

2

⎞ ⎛r ⎟ + (m 3 + m 4 ) ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠

66

2⎤ ⎞ ⎥ && 21 ⎟⎟ ⋅ ϕ ⎠ ⎥ ⎦

2v 2a ; ε 31 = r2 r2 v a ; ε 31 = r3 r3

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Z pohybové rovnice při řešení úlohy 1. druhu vypočteme Mh při řešení úlohy 2. druhu řešením diferenciální rovnice 2. řádu ϕ 21 = f1 (t ) . Př. 13.2

Odvoďte pohybovou rovnici kulisového mechanismu, jehož schéma je na obr. 13.3. Odpor prostředí a tíhové síly zanedbejte! Mh … hnací moment

F

F … zátěžná síla

v 41

m4

r2 … poloměr hnací kliky

m3

a 41

φ21 … obecná souřadnice (úhel natočení

4

ω21

Obr. 13.3

m3, m4 … hmotnosti ramene, kulisy

2

r2

s41

J2 … moment setrvačnosti kliky

J2

φ21

Ε2 1

kliky)

•

3

ω21, ε21 … úhlová rychlost, zrychlení kliky v41, a41 … rychlost, zrychlení kulisy

1

Mh

Kámen 3 koná posuvný pohyb, jeho rychlost v 31 = r ⋅ ω 21

Rychlost kulisy určíme pomocí převodových funkcí Zdvihová závislost

s 41 = r ⋅ sin ϕ 21 = z(ϕ 21 )

Převod

p(ϕ 21 ) =

Pak

v 41 = p(ϕ 21 ) ⋅ ϕ& 21 = r ⋅ cos ϕ 21 ⋅ ω 21

dz(ϕ 21 ) = r ⋅ cos ϕ 21 dϕ 21

Redukce na hřídel kliky Redukovaný moment (rovnost výkonů) Mh ⋅ ω 21 − F ⋅ v 41 = Mr ⋅ ω 21

Po dosazení za v 41 = r ⋅ cos ϕ 21 ⋅ ω 21 obdržíme Mr = Mh − F ⋅ r ⋅ cos ϕ 21

Redukovaný moment setrvačnosti (rovnost kinetických energií) 1 1 1 1 2 J 2 ⋅ ω 221 + m 3 ⋅ v 31 + ⋅ m 4 ⋅ v 241 = Jr ⋅ ω 221 2 2 2 2

Po dosazení za v31a v41 obdržíme Jr = J 2 + m 3 ⋅ r 2 + m 4 ⋅ r 2 ⋅ cos 2 ϕ 21

Pohybová rovnice 1 dJ r && = Mr ⋅ ϕ& 221 + Jr ⋅ ϕ 2 dϕ 21

Po dosazení za Jr a Mr

67


(

)

&& 21 = Mh − F ⋅ r ⋅ cos ϕ 21 − m 4 ⋅ r 2 ⋅ sin ϕ 21 ⋅ cos ϕ 21 ⋅ ϕ& 221 + J 2 + m 3 ⋅ r 2 + m 4 ⋅ r 2 ⋅ cos 2 ϕ 21 ⋅ ϕ && 21 můžeme určit Mh pro libovolnou polohu danou Z pohybové rovnice pro dané ω 21 = ϕ& 21 a ε 21 = ϕ

úhlem φ21 (úloha 1. druhu), nebo pro zadané F a Mh určit pohyb mechanismu ϕ 21 = f1 (t ) (úloha 2. druhu) řešením nelineární diferenciální rovnice 2. řádu.

14. Základy technického kmitání Problémy kmitání se vyskytují ve všech oborech technické praxe. Náplní této kapitoly bude mechanické kmitání. Přitom se omezíme pouze na lineární kmitání výpočtových modelů se soustředěnými parametry.

14.1. Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti Pohyb celé řady technických aplikací lze znázornit modelem s jedním stupněm volnosti.

14.1.1. Volné netlumené kmitání Mechanický model, popisující volný, netlumený pohyb s jedním stupněm volnosti, je pro přímočarý posuvný pohyb znázorněn na obr. 14.1. l0

x

x& , &x&

Je složen z tuhého tělesa hmotnosti m, které se pohybuje po dokonale hladké podložce a je uchyceno k nehmotné

Fk

m k

pružině, v níž vzniká síla lineárně závislá na její deformaci. Počátek souřadnic je v koncovém bodě nedeformované pružiny. Pak síla v pružině

Obr. 14.1 Fk = k ⋅ x

kde k je tuhost pružiny [N·m-1]

(14.1)

Zanedbáme-li odpor prostředí, bude pohybová rovnice m&x& = −kx

nebo po úpravě &x& + Ω 02 x = 0 kde Ω 0 =

k je vlastní kruhová frekvence [rad·s-1] m

(14.2)

Řešením obdržíme x = A ⋅ cos Ω 0 t + B ⋅ sin Ω 0 t nebo x = C ⋅ sin(Ω 0 t + ϕ 0 )

(14.3)

Rovnice popisují harmonický pohyb. Konstanty A, B resp. C, φ0 jsou integrační konstanty, které se určí z počátečních podmínek. V čase t = 0 je výchylka x0 a rychlost v0. Pro výpočet integračních konstant potřebujeme rychlost pohybu. v = x& = − A ⋅ Ω 0 ⋅ sin Ω 0 t + B ⋅ Ω 0 ⋅ cos Ω 0 t

(14.4)

Po dosazení počátečních podmínek do (14.3) a (14.4) obdržíme

68

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── A = x0 ; B =

v0 Ω0 2

⎛v ⎞ resp. C = x 02 + ⎜⎜ 0 ⎟⎟ , což je amplituda kmitání a ⎝ Ω0 ⎠ ϕ 0 = arctan

(14.5)

Ω0 ⋅ x0 , což je počáteční fáze v0

(14.6)

Grafické znázornění pohybu v čase je na obr. 14.2. Doba kmitu (perioda) je dána vztahem

T0

T0 =

3

C y p

C

φ0

Ω0t p

(14.7)

její převrácená hodnota je kmitočet

3 0

2π , Ω0

40

f0 =

Ω0 2π

(14.8)

Obr. 14.2

14.1.2. Volné tlumené kmitání Z řešení netlumeného kmitání vyplynulo,že tento pohyb se periodicky opakuje nekonečně dlouho s konstantní amplitudou. Ve skutečnosti se amplituda kmitavého pohybu zmenšuje, až zanikne. K zohlednění této skutečnosti zavádíme do soustavy tlumení. Při matematickém modelování se proces tlumení vyjadřuje ekvivalentní tlumící silou lineárně závislou na rychlosti. Fb = b ⋅ x& , kde b je součinitel tlumení [N·s·m-1]

(14.9)

Mechanický model soustavy s tlumením je na obr. 14.3. l0 k b

Obr. 14.3

x

x& , &x&

Fk Fb

Tlumení je modelováno paralelně připojeným tlumičem. Pohybová rovnice

m

m&x& = −bx& − kx

a po úpravě &x& + 2δx& + Ω 02 x = 0

kde δ =

(14.10)

k b je konstanta doznívání a Ω 0 = je vlastní kruhová frekvence netlumených kmitů. m 2m

Rovnice (14.10) je lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty, jejíž řešení lze předpokládat ve tvaru x = C ⋅ e λt . Dosazením do (14.10) a po úpravě dostaneme charakteristickou rovnici λ2 + 2δ ⋅ λ + Ω 02 = 0

jejíž kořeny jsou

69

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── λ 1,2 = −δ ± δ 2 − Ω 02

(14.12)

Podle velikosti δ a Ω0 bude tlumení: δ ≥ Ω 0 … nadkritické, kritické – aperiodický pohyb δ < Ω 0 … podkritické – kmitavý pohyb

Dále se budeme zabývat pouze podkritickým tlumením. Kořeny charakteristické rovnice budou komplexně sdružené. λ 1,2 = −δ ± iΩ , kde Ω = Ω 20 −δ 2 je vlastní kruhová frekvence tlumené soustavy

(14.13)

Dosazením do řešení x = C1 ⋅ e λ1t + C 2 ⋅ e λ 2 t

obdržíme x = e −δt ⋅ (A ⋅ cos Ωt + B ⋅ sin Ωt ) = e −δt ⋅ C ⋅ sin(Ωt + ϕ 0 )

Graf této funkce je zakreslen na obr. 14.4.

T

x

Doba kmitu

C·e-δt

5

xt

(14.14)

T=

xt+T

2π > T0 Ω

(14.15)

y p

0

Ωt -C·e-δt

5 0

Proti netlumené soustavě se prodlužuje doba kmitu. Amplituda tlumeného kmitavého pohybu se

p

40

s časem exponenciálně zmenšuje.

Obr. 14.4

Vyjádřeme poměr výchylky v čase t a v čase t + T xt x t +T

=

e −δt ⋅ C ⋅ sin(Ωt + ϕ 0 )

e −δ(t + T ) ⋅ C ⋅ sin[Ω(t + T ) + ϕ 0 ]

= e δT = konst.

Této skutečnosti využíváme pro vyjádření velikosti tlumení na základě experimentu. Z odečtených hodnot časového průběhu xt a xt+T vypočteme tzv. logaritmický dekrement ϑ . ϑ = ln

xt x t +T

= δ⋅T

(14.16)

Z rovnice (14.4) plyne, že pohyb zanikne teoreticky v čase t = ∞. I když tento výsledek neodpovídá skutečnosti, řešení po kvalitativní stránce vystihuje skutečný pohyb.

14.1.3. Kmitání vynucené budící silou harmonického průběhu U volného kmitání byl pohyb závislý pouze na parametrech soustavy a na počátečních podmínkách.

70

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── V technické praxi se setkáváme s případy, kdy na hmotu působí ještě tzv. budící síla, která je známou funkcí času. Základním případem je budící síla harmonického průběhu F(t ) = F0 ⋅ sin(ωt + ϕ F ) ,

kde F0 je amplituda síly

(14.17)

ω je kruhová frekvence budící síly

φF je počáteční fáze budící síly Mechanický model takové soustavy je na obr. 14.5. l0

Pohybová rovnice

x

k

Fp

F(t )

Po úpravě

m

Fb

b

m&x& = −bx& − kx + F0 ⋅ sin(ωt + ϕF )

x& , &x&

&x& + 2δx& + Ω 02 x = a 0 ⋅ sin(ωt + ϕF )

kde a 0 =

Obr. 14.5

(14.18)

F0 m

Jedná se o lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty s pravou stranou. Řešení můžeme napsat ve tvaru x = xh + xp

(14.19)

kde xh je řešení homogenní rovnice a xp tzv. partikulární integrál, který podle pravé strany rovnice (14.8) budeme hledat ve tvaru x p = s 0 ⋅ sin(ωt + ϕ x )

(14.20)

Po výpočtu první a druhé derivace podle času, dosazením do (14.18) a srovnáním členů u sin(ωt + ϕ x ) a cos(ωt + ϕ x ) obdržíme dvě rovnice pro výpočet neznámých s0 a φx ve tvarech s0 =

a0

(Ω

2 0

−ω

)

2 2

+ (2δ ⋅ ω)

ϕ F − ϕ x = arctan

2

2δ ⋅ ω Ω 02 − ω 2

(14.21a,

b) Podle rovnice (14.19) bude řešení x = e −δt ⋅ C ⋅ sin(Ωt + ϕ 0 ) + s 0 ⋅ sin(ωt + ϕ x )

(14.22)

Z rovnice je patrno, že po dostatečně dlouhé době se vlastní kmitání, které odpovídá homogennímu řešení utlumí a zůstává pouze partikulární řešení s amplitudou s0 a kruhovou frekvencí budící síly ω. Této fázi říkáme ustálené vynucené kmitání. Cenné informace o ustáleném vynuceném kmitání lze získat ve frekvenční oblasti z amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky. Amplitudová frekvenční charakteristika Rovnici pro výpočet amplitudy s0 ustáleného vynuceného kmitání (14.21a) upravíme na bezrozměrový tvar pomocí vztahů pro statickou výchylku sst = br =

F0 ω , činitele naladění η = , a poměrný útlum Ω0 k

δ . Ω0

71

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── s0 = s st

(1 − η )

2 2

1 + (2b r ⋅ η)

(14.23) 2

Grafické znázornění závislosti poměrné amplitudy

s0 na činiteli naladění η pro několik hodnot s st

poměrného útlumu br je na obr. 14.6 a nazývá se amplitudová frekvenční charakteristika. U netlumeného pohybu (br = 0) přejde rovnice

s0 6 s st

(14.23) na tvar

5

s0 1 = s st 1 − η 2

br = 0

4

br = 0,2

3

(14.24)

Bude-li v tomto případě ω = Ω 0 a tedy η = 1 ,

br = 0,4

bude poměrná amplituda nekonečná. Tomuto

2

jevu se říká rezonance a pro práci většiny

1

strojních a elektro zařízení je nežádoucí. 0

1

η

3

2

Zvýšením

tlumení

(br)

je

možno

tento

nežádoucí jev částečně potlačit.

Obr. 14.6

Fázová frekvenční charakteristika Podobně můžeme upravit do bezrozměrového tvaru rovnici (14.21b) pro výpočet fázového úhlu výchylky. ϕ F − ϕ x = arctan

2b r ⋅ η

(14.25)

1− η2

Průběh opožďování fázového úhlu výchylky v závislosti na činiteli naladění η pro různé hodnoty poměrného útlumu br je na obr. 14.7 a nazývá se fázová frekvenční charakteristika.

(φF – φx)

br = 0 br = 0,2

180º 90º

br = 0,4

Z fázové frekvenční charakteristiky je patrno, že do rezonance je výchylka netlumené soustavy ve fázi s budící silou, nad rezonancí je v protifázi. Při

0

1

2

η

3

rezonanci se výchylka opožďuje vůči budící síle o 90°.

Obr. 14.7

72


14.2. Kmitání lineárních soustav s více stupni volnosti Přesnější modelování mechanických soustav se vyjadřuje modely s více stupni volnosti. U těchto modelů se předpokládají nehmotné pružiny a tlumiče, hmotnosti soustředěné do jednotlivých těles. Takovéto modely se nazývají modely se soustředěnými parametry. Postup odvození pohybové rovnice v maticovém tvaru si ukážeme na posuvně kmitající soustavě se 2º volnosti, zakreslené na obe. 14.8.

F1

F2

k1

k2 m1

b1

m2

b2

x2

x1

Obr. 14.8

14.2.1. Pohybové rovnice Obecné souřadnice x1, x2 jsou výchylky hmot z rovnovážné polohy, F1 a F2 jsou budící síly. Pak pro hmotnosti m1 a m2 platí pohybové rovnice m1&x&1 = −k 1 x 1 + k 2 ⋅ (x 2 − x 1 ) − b1 x& 1 + b 2 ⋅ (x& 2 − x& 1 ) + F1

(14.26)

m 2 &x& 2 = −k 2 ⋅ (x 2 − x 1 ) − b 2 ⋅ (x& 2 − x& 1 ) + F2

Po úpravě m1&x&1 + (b1 + b 2 ) ⋅ x& 1 − b 2 x& 2 + (k 1 + k 2 ) ⋅ x 1 − k 2 x 2 = F1 m 2 &x& 2 − bx& 1 + b 2 x& 2 − k 1 x 1 + k 2 x 2 = F2

(14.27)

a v maticovém tvaru ⎡m1 0 ⎤ ⎡ &x&1 ⎤ ⎡(b1 + b 2 ) − b 2 ⎤ ⎡ x& 1 ⎤ ⎡(k 1 + k 2 ) − k 2 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡ F1 ⎤ ⋅ +⎢ = ⎥⋅ ⎢ 0 m ⎥ ⋅ ⎢&& ⎥ + ⎢ − b k 2 ⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ ⎢⎣F2 ⎥⎦ b 2 ⎥⎦ ⎢⎣ x& 2 ⎥⎦ ⎣ − k 2 2 ⎦ ⎣x 2 ⎦ ⎣ 2 ⎣

(14.28)

Kondenzovaně

[M] {&x&}+ [B] {x& }+ [K ] {x} = {F} kde

[M] [B] [K ]

(14.29)

je matice hmotnosti

{x}

je matice výchylek

je matice tlumení

{F}

je matice budících sil

je matice tuhosti

73

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Pomocí maticového vyjádření je možno popsat jakoukoli soustavu se soustředěnými parametry s nº volnosti.

14.2.2. Volné kmitání netlumené soustavy Pohybové rovnice

[M] {&x&}+ [K ] {x} = {0}

(14.30)

Řešení předpokládáme ve tvaru

{x} = {C} kde

sin Ω 0 t

{C} = ⎡⎢C1 , C 2 , ⎣

(14.31) T

⎤ ... , C n ⎥ a Ci jsou amplitudy kmitání a Ω0 vlastní kruhová frekvence. ⎦

Po výpočtu druhé derivace, dosazením do rovnic (14.30) a po vykrácení sin Ω 0 t obdržíme soustavu homogenních algebraických rovnic.

[[K]− Ω [M]] {C} = {0} 2 0

(14.32)

Pro netriviální řešení musí být determinant soustavy roven nule.

[

]

det [K ] − Ω 02 [M] = 0

(14.33)

Rozvedení determinantu získáme frekvenční rovnici a n Ω 02n + a n−1Ω 02(n−1) + ... + a1Ω 02 + a 0 = 0

(14.34)

Pro pozitivně definitní matice [M] a [K ] jsou kořeny reálné, různé a nezáporné hodnoty, které určují vlastní kruhové frekvence 0 ≤ Ω 01 ≤ Ω 02 ≤ ... ≤ Ω 0n . Znalost vlastních kruhových frekvencí je důležitá z hlediska zabránění rezonančních jevů.

14.2.3. Kmitání vynucené budícími silami harmonického průběhu 14.2.3.1. Netlumená soustava Pohybová rovnice

[M] {&x&}+ [K ] {x} = {F0 } sin ωt

(14.35)

74

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── ⎡ ⎤ kde {F0 } = ⎢F1 ,F2 , ... ,Fn ⎥ ⎣ ⎦

T

je matice amplitud budících sil.

Pro ustálené kmitání odhadneme řešení ve tvaru

{x} = {S} sin ωt ⎡ ⎤ kde {S} = ⎢S1 , S 2. ... , S n ⎥ ⎣ ⎦

T

je matice amplitud ustáleného vynuceného kmitání

(14.36)

Po výpočtu druhé derivace, dosazení do (14.35) a vykrácení sin ωt obdržíme

[− ω [M]+ [K]] {S} = {F } 2 2

(14.37)

0

[D] {S} = {F0 } kde [D] je matice dynamické tuhosti.

(14.38)

Za předpokladu, že det [D] ≠ 0 , můžeme vypočítat inverzní matici [D]−1 , tzv. matici dynamické poddajnosti. S její pomocí vypočteme amplitudy ustáleného vynuceného kmitání

{S} = [D]−1 {F0 } 14.2.3.2 Tlumená soustava Vyjdeme z pohybové rovnice (14.29)

[M] {&x&}+ [B] {x& }+ [K ] {x} = {F} V odhadu partikulárního řešení pro ustálené vynucené kmitání tlumené soustavy musíme respektovat fázové posunutí výchylek za budícími silami φx.

{x} = {S} sin(ωt + φ x ) = {S1 } sin ωt + {S 2 }cos ωt kde

{S1 } = ⎡⎢S11 , S12 , ⎣

⎤ ..., S1n ⎥ ⎦

T

a

{S 2 } = ⎡⎢S 21 , S 22 , ⎣

(14.39) ⎤ ..., S 2n ⎥ ⎦

T

(14.40)

Po výpočtu první a druhé derivace, dosazení do (14.29) a srovnání členů u sin ωt a cos ωt obdržíme dvě maticové rovnice − ω 2 [M] {S1 } − ω[B] {S 2 } + [K ] {S1 } = {F0 } − ω 2 [M] {S 2 } + ω[B] {S1 } + [K ] {S 2 } = {0}

(14.41)

Vyjádřeno jedinou maticí ⎡[K ] − ω 2 [M] ⎢ ⎣⎢ ω[B]

− ω[B] ⎤ ⎧{S1 }⎫ ⎧{F0 }⎫ ⎥⋅⎨ ⎬ ⎬=⎨ [K ] − ω 2 [M]⎦⎥ ⎩{S 2 }⎭ ⎩ {0} ⎭

[D1,2 ] {S1,2 } = {F1,2 } a pro

(14.42)

det [D1,2 ] ≠ 0

75


{S1,2 } = [D1,2 ]−1{F1,2 }

(14.43)

Pak amplitudy ustálených vynucených kmitů budou rovny S i = S12i + S 22i , kde i = 1 až n

(14.44)

14.2.4. Kroutivé kmitání S kroutivým kmitáním se setkáváme u pohonů. Nejjednodušší pohon představuje motor, spojka a rotor strojního zařízení., obr. 14.9a.

J1

φ 2 J2

φ1 M1 a)

kt1

φ3 kt2

J3

M3

b) Obr. 14.9

Mechanický model (obr. 14.9b) je tzv. torzní soustava o 3º volnosti, kde J1 je moment setrvačnosti rotoru motoru, J2 moment setrvačnosti spojky, J3 moment setrvačnosti rotoru strojního zařízení, kt1 torzní tuhost hřídele motor – spojka, kt2 torzní tuhost hřídele spojka – rotor strojního zařízení, M1 a M2 jsou budící momenty.

Pohybové rovnice netlumené soustavy &&1 + k t1 ⋅ (ϕ1 − ϕ 2 ) = M1 J1ϕ && 2 − k t1 ⋅ (ϕ1 − ϕ 2 ) + k t 2 ⋅ (ϕ 2 − ϕ 3 ) = 0 J2 ϕ

(14.45)

&& 3 − k t 2 ⋅ (ϕ 2 − ϕ 3 ) = M3 J3 ϕ

Maticově. ⎡J1 ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0

0 J2 0

&&1 ⎤ ⎡ k t1 0 ⎤ ⎡ϕ ⎥ ⎢ && 2 ⎥ + ⎢− k t1 0 ⎥ ⋅ ⎢ϕ ⎥ ⎢ && 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 J 3 ⎥⎦ ⎢⎣ ϕ

− k t1

(k t1 + k t 2 ) − k t2

0 ⎤ ⎡ ϕ1 ⎤ ⎡M1 ⎤ − k t 2 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ϕ 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ k t 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ϕ 3 ⎥⎦ ⎢⎣M3 ⎥⎦

Kondenzovaně

[J] {ϕ&&}+ [k t ] {ϕ} = {M} kde

(14.46)

[J] je matice momentů setrvačnosti [k t ] je matice torzních tuhostí

{ϕ} je matice natočení {M} je matice budících momentů

76

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── Ze srovnání s pohybovou rovnicí posuvně kmitající soustavy (14.29) plyne, že rovnice jsou analogické. Všechny postupy řešení, uvedené pro posuvně kmitající soustavy, lze rozšířit na kmitání kroutivé.

14.3. Krouživé kmitání hřídelů – kritické otáčky Hřídele i rotory tvoří důležitou součást elektrických rotačních strojů. V této kapitole se budeme věnovat pružným rotorům, u kterých je průhyb hřídele od odstředivých sil nezanedbatelný vzhledem k vyosení těžiště rotoru. Nejjednodušší mechanický model je pružný nehmotný hřídel s kotoučem v polovině jeho délky obr. 14.10.

Po roztočení rotoru v důsledku vyosení těžiště e se působením odstředivé síly hřídel prohne o průhyb y. Pak velikost odstředivé síly bude: Fo = m ⋅ (y + e ) ⋅ ω 2

(14.47)

kde m je hmotnost kotouče a ω úhlová rychlost rotoru. Označíme-li ohybovou tuhost hřídele jako ko, pak pro

m

rovnováhu bude platit

T

•

Fo

Fo = k o ⋅ y

Po dosazení za Fo a úpravě obdržíme y = e⋅

y

•

(14.48)

e

ω2 Ω 02 − ω 2

Ω0 =

kde

k0 je vlastní kruhová frekvence ohybového m

kmitání.

ω

V bezrozměrném tvaru y η2 = e 1− η2

Obr. 14.10

Graficky je tato závislost zakreslena v obr. 14.11.

y e

1

0

1

η

Obr. 14.11

77

, kde η =

ω Ω0

T E C H N I C K Á M E C H A N I K A ─────────────────────────────────────────────────── V podkritické oblasti ω < ωk je těžiště kotouče ve větší vzdálenosti od spojnice ložisek, než osa hřídele. V nadkritické oblasti ω > ωk se situace obrací a těžiště je blíže k ose rotoru, než osa hřídele. Při vysokých úhlových rychlostech se bude těžiště kotouče blížit ose rotace, teoreticky pro ω = ∞ bude na této ose ležet.

78


Literatura 1. Juliš, K.- Tepřík, O.- Slavík-, A.: Statika, Praha, SNTL/ALFA 1987, 265 s. 2. Brát, V.-Rosenberg, J.-Jáč, V.: Kinematika, Praha, SNTL/ALFA 1987, 251 s. 3. Brousil, J.-Slavík, J.-Zeman, V.: Dynamika, Praha SNTL 1989, 328 s. 4. Slavík, J.-Stejskal, V.-Zeman, V.: Základy dynamiky strojů, Praha, Vydavatelství ČVUT, ISBN 80-01-01622-6, 319 s.

79

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TECHNICKÁ MECHANIKA. pro bakaláře Fakulty elektrotechniky a informatiky. Jan Ondrouch Jiří Kaňák

Recommend Documents