Výpočtové nadstavby pro CAD
4. přednáška
Teplotní úlohy v MKP
Michal Vaverka, Martin Vrbka
Přenos tepla
Př: Uvažujme pro jednoduchost spalovací motor chlazený vzduchem. Spalováním vzniká teplo, které se z horkých stěn válce předává okolnímu vzduchu. Teplo se přenáší z místa s vyšší teplotou do místa s nižší teplotou. Přenos tepla: vedením – kondukce (u našeho příkladu teplo přechází z vnitřního prostoru válce na vnější povrch válce vedením ve stěně) prouděním – konvekce (v našem příkladu horké plyny proudí okolo vnitřních stěn válce a předávají jim teplo a z vnějších stěn válce přejde teplo do okolního vzduchu také konvekcí) zářením – radiace (u našeho příkladu objem horkého plynu vyzařuje teplo do okolních stěn) – jde o elektromagnetické vlny – není třeba medium Tyto mechanismy byly vysvětleny v Termomechanice
Veličiny
Teplo – (heat) označujeme Q [J] Tepelný tok – (heat flow) označujeme po který toto teplo prochází
Q& [W], je to diferenciální podíl tepla a času,
dQ Q& = dt
stěna
Chladnější povrch
Teplejší povrch
Teplota – (temperature) označujeme T [K], [°C]
Kondukce Přenos tepla vedením Fourierův zákon Měrný tepelný tok je přímoúměrný velikosti teplotního gradientu a má opačné znaménko
q = − k .grad (T )
záporné znaménko vyjadřuje orientaci toku energie ve směru poklesu teploty
tepelná vodivost (vlastnost látky) [W/mK]
Měrný tepelný tok (hustota tepelného toku, heat flux) [W/m2] – vyjadřuje, jak teplo teče po tělese, je to vektor
Např. pro 1D vedení tepla:
q = −k .
dT dx
Přenos tepla vedením
Kondukce
Měrný tepelný tok je přímoúměrný velikosti teplotního gradientu a má opačné znaménko
q = − k .grad (T )
záporné znaménko vyjadřuje orientaci toku energie ve směru poklesu teploty
Chladnější povrch
Teplejší povrch
stěna
Chladnější povrch
Měrný tepelný tok (hustota tepelného toku, heat flux) [W/m2] – vyjadřuje, jak teplo teče po tělese, je to vektor
Teplotní gradient [K/m]
stěna
tepelná vodivost (vlastnost látky) [W/mK]
Teplejší povrch
Fourierův zákon
Kondukce
q = − k .grad (T ) Tepelná vodivost - v ANSYSu KXX (thermal conductivity) Materiálová vlastnost, konstanta úměrnosti ve Fourierově zákoně Dá se najít ve strojnických tabulkách Může záviset na teplotě Tepelná vodivost vzduchu je o 4 řády menší jak např. u mědi nebo hliníku – přítomnost plynů v tuhých látkách vytváří tepelné izolanty
V Material Properties můžeme zadat závislost veličin (např. KXX) na teplotě:
Konvekce Přenos tepla prouděním Př 1: V našem příkladu motoru chlazeného vzduchem je teplo odnášeno proudem vzduchu. Rychlost proudění media a druh media (voda, vzduch) ovlivní hodnotu přenosu tepla. Rychlost proudění media = rychlost s níž je teplo odváděno pryč Př. 2 Rozžhavenou kovovou desku rychleji ochladíme proudem vzduchu z ventilátoru (nucená konvekce) než v klidném nehybném vzduchu (volná, přirozená konvekce) Je-li deska umístěna v nehybném vzduchu, dá se vzduch do přirozeného pohybu okolo horké desky působením vztlaku vlivem rozdílných hustot vzduchu – lehčí vzduch u desky začne stoupat nahoru a vznikne cirkulace - přirozená konvekce Mechanismus konvekce byl vysvětlen v termomechanice, základ konvektivního přenosu tepla je již v mechanice tekutin
Konvekce Přenos tepla prouděním Pro vyjádření účinku konvekce se používá Newtonův ochlazovací zákon. Má-li deska z Př.2 teplotu T a okolní vzduch teplotu T0, pak pro tepelný tok platí:
Q& = h.S .(T − T0 ) Plocha povrchu
Teplota povrchu
Koeficient přestupu tepla [Wm-2K-1] – film coefficient -může být funkcí teploty nebo času
Pro měrný tepelný tok:
q = h.(T − T0 )
Okolní teplota
Rovnice vedení tepla Stacionární vedení tepla – ustálený stav
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T k .( 2 + 2 + 2 ) + Q = 0 ∂x ∂y ∂z Nestacionární vedení tepla
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ∂T k .( 2 + 2 + 2 ) + Q = ρ .c. ∂t ∂x ∂y ∂z tepelná vodivost [Wm-1K-1]
teplota [K]
měrný tepelný výkon [Wm-3] (zdroj tepla)
Měrná tepelná kapacita [Jkg--1K-1] Hustota [kgm-3]
Rovnici je třeba doplnit okrajovými podmínkami
Čas [s]
Okrajové podmínky Rovnici vedení tepla je třeba doplnit okrajovými podmínkami, nejčastěji: 1. Předepsaná teplota na části povrchu (na hranici) T = T* 2. Předepsaný tepelný tok na části povrchu (na hranici) q = q* 3. Konvekci na části povrchu tělesa (na hranici) - tepelný tok na hranici je předepsán pomocí koeficientu přestupu tepla a okolní teploty T0, a vyhovuje rovnici:
q = h.(T − T0 )
(smíšená okrajová podmínka)
Okrajové podmínky 3. Konvekci na části povrchu tělesa (na hranici) - tepelný tok na hranici je předepsán pomocí koeficientu přestupu tepla a okolní teploty T0, a vyhovuje rovnici:
q = h.(T − T0 )
Počáteční podmínky
U nestacionární úlohy, kdy je teplotní pole časově proměnné je nutno zadat počáteční rozložení teplot (v čase 0) homogenní: ve všech bodech stejná teplota nebo nehomogenní: nehomogenní teplotní pole se získá řešením předchozí stacionární úlohy a výsledek se použije jako startovní teplotní pole
Teplotní úloha v MKP
-Vedle napěťově-deformační analýzy je druhá nejrozšířenější -Primární neznámou veličinou při řešení teplotního pole je teplota, která je při diskretizaci nad konečnými prvky aproximována -Teplota jako skalární veličina je narozdíl od posuvu plně popsána jedním neznámým parametrem v uzlu - počet neznámých je ve 3D zhruba třetinový -Prvky mají v každém uzlu jako stupeň volnosti (DOF) teplotu
Teplotní úloha v MKP Sestavením celkového funkcionálu součtem příspěvků od jednotlivých prvků a využitím podmínky stacionární hodnoty pomocí podobného postupu, který byl uveden u statických úloh dostaneme výslednou diskrétní podobu rovnice vedení tepla ve tvaru
& T + K T .U T = FT C T .U kde CT je globální matice tepelné kapacity KT je globální matice tepelné vodivosti FT je globální matice tepelného zatížení UT je matice neznámých uzlových teplot. Stacionární, časově neproměnný problém vedení tepla získáme vypuštěním pravé strany rovnice vedení tepla:
KT . UT = FT Jedná se o soustavu obdobnou lineárnímu statickému problému pružnosti.
Teplotní úloha v MKP
& T + K T .U T = FT C T .U
&& + K.U = F M.U
Povšimněme si následujících analogií: teplotní analýza matice tepelné kapacity CT matice tepelné vodivosti KT matice tepelného zatížení FT neznámé UT: teploty T v uzlech gradient teploty T’ měrný tepelný tok q
deformačně-napěťová analýza matice hmotnosti M matice tuhosti K matice mechanického zatížení F neznámé U: posuvy u,v,w v uzlech přetvoření ε napětí σ
Obdobná je i pásová struktura jednotlivých matic
Teplotní úloha v MKP
Analogie se týká i odpovídajících okrajových podmínek: Pokud při teplotní analýze pomocí MKP na části povrchu nepředepíšeme nic, je zde implicitně zadána podmínka q = 0, povrch je tedy dokonale tepelně izolován ! Stejně je tomu i u deformačně-napěťových problémů, kde je na volném povrchu automaticky zadána podmínka nulového normálného a smykového napětí
Analogie v MKP Všechny procedury řešení teplotního problému lze při odpovídající záměně materiálových konstant a proměnných veličin použít i k řešení jiných, vzájemně analogických fyzikálních dějů. V komerčních systémech MKP se této analogie skutečně využívá a tytéž části programů jsou používány pro řešení odlišných problémů (průsak kapaliny porézním materiálem, elektromagnetismus, … …).
