Rok / Year: 2010
Svazek / Volume: 12
Číslo / Number: 1
Výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek; Tlumivky v silnoproudé elektrotechnice (Část 3) Calculating the Self and Mutual Inductance of Coaxial Coils in air; Power Inductors (Part 3) Vítězslav Pankrác
[email protected] Katedra elektromagnetického pole ČVUT v Praze
Abstrakt: Článek popisuje ověřenou metodu pro přesný výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek libovolných rozměrů v obecné vzájemné poloze a předkládá vytvořený počítačový program pro řešení této úlohy.
Abstract: This article describes the method for calculation of the self and mutual inductance of coaxial cylindrical air coils of any sizes in any axial position. The computer program for rapid and accurate calculation of this problem was submitted.
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
TLUMIVKY V silnoproudé elektrotechnice – část 3 Výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek Ing. Vítězslav Pankrác, CSc. Katedra elektromagnetického pole České vysoké učení technické v Praze Technická 2, 166 27 Praha 6 Email:
[email protected] Článek popisuje ověřenou metodu pro přesný výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek libovolných rozměrů v obecné vzájemné poloze a předkládá vytvořený počítačový program pro řešení této úlohy.
rovnoměrným rozložením proudové hustoty v celém průřezu vinutí. Reálné cívky v podobě šroubovic však mají vlivem stoupání vinutí v různých místech nestejnou výšku, diskové cívky mají z podobného důvodu nestejný vnější průměr. Ani další předpoklad, kterým je rovnoměrné rozložení proudové hustoty, není dokonale splněn. Mezi závity je vložena izolace nebo chladící kanály, proud se může rozdělit nerovnoměrně i vlivem skinefektu nebo vlivem vyrovnávacích proudů paralelně spojených částí vinutí.
1. ÚVOD Cílem článku je popsat konkrétní osvědčenou metodu pro přesný výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek libovolných rozměrů v obecné vzájemné poloze. Tato metoda byla použita pro sestavení počítačového programu, který umožňuje pomocí rychlých algoritmů tyto indukčnosti přesně určit. Program je předložen v [1] k posouzení a volnému použití. K dispozici jsou i moduly sestavené v matematickém programu Mathcad a Matlab, na kterých byly porovnávány a posuzovány vlastnosti zvolených algoritmů a doba trvání výpočtu.
Ve značné části případů je vliv těchto faktorů málo podstatný, popřípadě je možné vinutí rozdělit na části, u kterých jsou uvedené podmínky dobře splněny. Výpočet indukčností a magnetických polí koaxiálních válcových vzduchových cívek je tak v technické praxi jedním z problémů, který je možné dobře matematicky popsat. Přes poměrně komplikované výsledné matematické vztahy souhlasí naměřené hodnoty velice dobře s vypočtenými. Lze očekávat tolerance v řádu jednotek procent, což není vždy zcela obvyklé.
Počítačový program používá pro výpočet indukčností metodu postupné integrace vektorového potenciálu buzeného tenkým kruhovým závitem. Pro dílčí integrace je použito řešení zapsané pomocí obecných eliptických integrálů {odst.4.1}, pro finální integraci je použita Rombergova metoda {odst.4.2}. Podobný postup je popsán v [2] a [3]. Ve [2] je však počítána pouze vzájemná indukčnost elementárních závitů a vlastní indukčnost tenké cívky. Ve [3] je alternativní postup výpočtu vzájemné indukčnosti tenkých cívek bez rozšíření pro cívky konečných rozměrů v radiálním i axiálním směru.
U cívek pro transformátory a tlumivky, které jsou umístěny na feromagnetických obvodech, to s přesností výpočtu indukčností a rozptylových reaktancí většinou tak dobře neplatí, vždy zbývá velké množství faktorů, které není tak snadné výpočtově podchytit. Projevují se zde nelineární vlastnosti magnetického obvodu a celý problém již není s ohledem na tvar magnetického obvod válcově symetrický.
V následujícím textu je detailně popsán celý postup výpočtu včetně výsledných vztahů a algoritmů pro numerické řešení.
Indukčnosti a magnetická pole vzduchových cívek je samozřejmě možné úspěšně počítat i ryze numerickými metodami – například metodou konečných prvků. Ve srovnání s analyticko-numerickými metodami je však toto řešení náročné jak z hlediska času potřebného pro vytvoření zadání, tak z hlediska doby výpočtu. Pokud má být dosaženo srovnatelně přesných výsledků, vyžaduje řešení volbu rozsáhlé výpočtové sítě s velkým počtem výpočtových elementů. To je dáno tím, že magnetické pole v okolí vzduchových cívek zasahuje ve vztahu k rozměrům cívek do dosti velké vzdálenosti. Celé řešení
V původní verzi lišící se pouze programovacím prostředím byl tento program po řadu let používán pro návrhy a praktické výpočty indukčností vzduchových cívek velkých rozměrů v zařízeních silnoproudé elektrotechniky. Správnost výpočtu a přesnost výsledků byla mnohokrát prakticky ověřena měřením na cívkách v nejrůznějších konfiguracích. Použité vztahy jsou odvozeny za ideálních předpokladů, které nejsou ve skutečnosti nikdy dokonale splněny. Uvažují se dokonalé válcové cívky s 10-1
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
způsobem je možné přizpůsobit výpočet požadavkům na přesnost v konkrétním geometrickém uspořádání.
je tak málo operativní. V případech, kdy je třeba vypočítat vzájemné indukční vazby desítek nebo stovek elementů, jak je tomu například při výpočtu rozložení napětí mezi částmi vinutí při přechodových dějích, nebo při propočítávání velkého množství variant v návrhových programech, by byl podobný způsob výpočtu nepoužitelný. Jiná situace nastává v případě, kdy je ideá1lní válcová symetrie vlivem dalších přidaných prvků podstatným způsobem narušena. Vztahy uvedené v dalším textu potom platí pouze omezeně a ryze numerické řešení je obvykle jedinou možností.
Program je dobře použitelný pro všechny druhy cívek od tenkých válcových (solenoidů), pro které je zadán stejný vnitřní a vnější průměr, až po cívky s velkou tloušťkou stěny v radiálním směru. Je dobře použitelný i pro cívky v podobě plochých disků. Kromě celého programu je možno využít i výpočtové moduly (procedury a funkce z tohoto programu), které je možné začlenit do jiných počítačových programů a použít je pro řešení návazných problémů, jako tomu je například v [7]. Podobné aplikace budou popsány v samostatných navazujících částech.
Detailní porovnání výsledků metody popsané v tomto textu s jinými způsoby výpočtu ( i ryze numerickými) bude uvedeno v další návazné části věnované této problematice. Počítané hodnoty indukčností budou porovnány s naměřenými pro několik charakteristických modelů válcových cívek s rozdílnými rozměrovými parametry a geometrickým uspořádáním vinutí.
V následujícím textu jsou pro úplnost popsány a odvozeny všechny důležité vztahy, na základě kterých počítačový program vyčísluje hodnoty vlastních a vzájemných indukčností tlumivek.
3. VLASTNÍ A VZÁJEMNÁ INDUKČNOST 2. POČÍTAČOVÝ PROGRAM PRO VÝPOČET
VÁLCOVÝCH KOAXIÁLNÍCH CÍVEK VE VZDUCHU
VLASTNÍCH A VZÁJEMNÝCH INDUKČNOSTÍ
3.1. DEFINIČNÍ VZTAHY
Na (Obr.1) je vyobrazena vstupní a výstupní obrazovka počítačového programu pro výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek. Ve vstupním poli je možné současně zadávat hodnoty pro jednu, dvě nebo tři cívky. Počet cívek ve vstupním poli byl volen s ohledem na jednoduchost a přehlednost programu, odpovídá častému geometrickému uspořádání tlumivek v třífázové soustavě.
Vlastní indukčnost cívky (induktoru) je podle statické definice stanovena jako konstanta úměrnosti mezi elektrickým proudem tekoucím touto cívkou a takzvaným spřaženým magnetickým tokem vlastního vybuzeného magnetického pole ψ c , což je součet magnetických toků
Φ i procházejících všemi závity N i této cívky: N
ψc =
∑
Φ i = L⋅ I
(1)
i =1
Podobně je vzájemná indukčnost dvou cívek (induktorů) podle statické definice definována jako konstanta úměrnosti mezi elektrickým proudem tekoucím v jedné cívce a spřaženým magnetickým tokem procházejícím druhou cívkou. Protéká-li cívkou 1 na (Obr.2) elektrický proud I, vybudí se v této cívce i jejím okolí magnetické pole s magnetickou indukcí B, jejíž velikost je v libovolném místě obecně dána vztahem: B=
µ0 I 4π
∫
d l × r0 x2
(2)
l1
Obr.1) Vstupní a výstupní okno výpočtového počítačového programu
Každá z cívek je popsána vnitřním a vnějším průměrem, počtem závitů a výškou. Vzájemná axiální poloha cívek je dána jejich středovou roztečí {odst.3.10}. Výsledkem výpočtu jsou vlastní a vzájemné indukčnosti všech zadaných cívek. Přesnost integrace v radiálním směru {odst.4.2} je nastavitelná pomocí volitelného integračního koeficientu n pro Rombergovu integraci. Tímto 10-2
dl
je vektorový element vodiče cívky - vektor v každém místě tečný k vodiči, jehož absolutní hodnota je rovna skutečné délce elementu vodiče a smysl je totožný se smyslem protékajícího elektrického proudu
r0
je jednotkový vektor směřující po spojnici od elementu d l k místu, ve kterém se určuje magnetická indukce B
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
x
vzdálenost od elementu vodiče k místu, ve kterém se určuje magnetická indukce B
l1
integrační dráha po celé délce vodiče první cívky
Vzájemná indukčnost cívek 1 a 2 M ( 21) je dána podílem magnetického toku spřaženého se všemi závity cívky 2 a elektrického proudu v cívce 1: N2
M (21) =
ψ ( 21) I
∑ =
Φ j (2 )
j =1
I
(7)
počet závitů druhé cívky
N2
Pro skutečný výpočet magnetického toku není magnetická indukce příliš vhodná, častěji se s výhodou používá vektorový potenciál definovaný rovnicí: B = rot A
Magnetický tok je potom možné stanovit pomocí alternativního vztahu, ve kterém se místo magnetické indukce na ploše závitu integruje vektorový potenciál po obvodě daného závitu:
Obr.2) Vlastní a vzájemná indukčnost cívek
Pro magnetické pole vybuzené první cívkou, jehož magnetická indukce B je popsána vztahem (2), je magnetický tok procházející i_tým závitem první cívky: Φi (1) =
∫∫
Φ=
∫
A⋅dl
(9)
l
B ⋅d S
(3)
Pokud je vhodně zvoleno geometrické uspořádání, spočívá hlavní výhoda použití vektorového potenciálu v tom, že má při řešení problémů ve válcové symetrii pouze jednu složku. Je možné s ním pracovat jako se skalární veličinou. Stejný postup bude využit i v dalším textu.
S i (1)
S i (1)
(8)
průřez i-tého závitu první cívky
Celkový magnetický tok (spřažený magnetický tok) se všemi závity cívky 1 je: N1
ψ c(1) =
∑
Φ i (1)
(4)
i =1
3.2. VEKTOROVÝ POTENCIÁL BUZENÝ TENKÝM
počet závitů první cívky
N1
KRUHOVÝM ZÁVITEM
Pro vektorový potenciál buzený tenkým proudovým vláknem platí obecně vztah, který vychází z (2) a (8):
Vlastní indukčnost cívky 1 je tedy podle statické definice (1) dána vztahem:
A=
N1
L (1)=
ψ c (1) I
∑
= i =1
Φ i (1)
I
µ0 I 4π
∫
dl x
(10)
l
(5)
Význam všech použitých symbolů je stejný jako ve vztahu (2).
Podobně platí pro magnetický tok Φ j (21) procházející j_tým závitem cívky 2, který je vybuzen proudem I procházejícím závity cívky 1:
Při řešení obecného problému ve válcové souřadné soustavě má vektorový potenciál složku v radiálním, tangenciálním i axiálním směru (viz Obr.3): A = ( Ar , Aϕ , Az )
Φ j (21) =
∫∫ B d S ⋅
Při popisu problému je nutné nezávisle sledovat souřadnice určující polohy jednotlivých míst na vodiči a souřadnice určujících místo, ve kterém se počítají veličiny magnetického pole. Místa na vodiči protékaném budícím proudem jsou popsána na (Obr.3) i v celém dalším textu
(6)
S j (2 )
S j ( 2)
průřez j-tého závitu druhé cívky 10-3
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
pomocí „čárkované“ soustavy souřadnic (r ′ , ϕ ′ , z ′) . Polohy míst, ve kterých je počítáno magnetické pole, jsou popsány „nečárkovanou“ soustavou souřadnic (r , ϕ , z ) .
Radiální složky jednotlivých elementů se navzájem odečtou. Uplatní se pouze průmět do tangenciálního směru Aϕ (r , ϕ , z ) ≠ 0 . Příspěvek k vektorovému potenciálu od proudového elementu bude tedy podle (Obr.4): d Aϕ = d A cos ϕ ′ =
každého
µ I dl µ0 I d l cos ϕ ′ = 0 cos ϕ ′ (12) 4π x 4π x
Obr.3) Vektorový potenciál buzený tenkým vodičem protékaným proudem
Pokud bude budící smyčka tvořena kruhovým závitem o poloměru R1 ležícím v rovině ( z ′ = konst) , která je kolmá na osu válcové symetrie z (Obr.4),(Obr.5), problém se zjednoduší. Všechny proudové elementy d l leží v této rovině a vektorový potenciál buzený každým z elementů bude mít s ohledem na (10) stejný směr jako tento vektorový element. Vektorový potenciál proto nemá složku v axiálním směru: Az (r , ϕ , z ) = 0 .
Obr.5) Vektorový potenciál kruhového tenkého závit Ve (12) je možné dosadit za element d l : d l = R1 d ϕ ′
Příspěvek k vektorovému potenciálu od libovolného elementu vodiče d l (viz Obr.4) bude podle (10): dA=
µ0 I d l 4π x
(13)
poloměr budícího závitu
R1
Podle (Obr.5) je délka průvodiče x1 nejméně vzdáleného elementu pro ϕ ′ = ϕ :
(11)
x1 = (r − R1 ) 2 + ( z − z ′) 2
Délka průvodiče ϕ ′ = ϕ + π je:
x2
(14)
nejvzdálenějšího elementu pro
x2 = (r + R1 ) 2 + (z − z ′)
2
(15)
Délka průvodiče pro libovolný úhel ϕ ′ (Obr.5) je potom:
x = (r − R1 cos ϕ ′) 2 + R12 sin 2 ϕ ′ + (z − z ′)2 = = r + R1 2
z
Obr.4) Kruhový tenký závit umístěný v rovině ( z ′ = konst) , složky vektorového potenciálu
2
− 2 r R1 cos ϕ ′ + (z − z ′)2
(16)
axiální poloha místa, ve kterém je počítán vektorový potenciál
z ´ axiální poloha roviny, ve které leží kruhový budící závit
Pro budící závit umístěný v libovolné rovině (z ′ = konst ) (Obr.4) existuje ke každému elementu symetricky orientovaný element, který vybudí vektorový potenciál d A′′ stejně velký ale opačně orientovaný. Z (Obr.4) je patrné, že vektorový potenciál nebude mít v libovolném bodě prostoru [r , ϕ , z ] ani radiální složku: Ar (r , ϕ , z ) = 0 .
Výsledný vektorový potenciál, buzený tenkým proudovým závitem o poloměru R1 v libovolném místě o souřadnicích (r , ϕ , z ) , bude mít hodnotu:
10-4
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
Aϕ (r , ϕ , z ) = =
µ0 I R1 4π
∫
2π
0
cos ϕ ′ r + R1 − 2 r R1 cos ϕ ′ + (z − z ′)2 2
2
Axiálním rozměrem α může být podle typu problému axiální vzdálenost od závitu k místu, kde je počítáno magnetické pole, rozteč závitů, rozteč cívek. Parametr δ (rx , r y , α ) a v něm obsažené veličiny mohou být rovněž
dϕ′
(17)
při jednom výpočtu konstantní a při jiném budou vystupovat jako proměnné veličiny při integraci.
Vektorový potenciál má v tomto případě pouze tangenciální složku a ta je z důvodu symetrie konstantní pro libovolnou souřadnici ϕ .
Poslední parametrem je modul eliptických integrálů k ( ρ , δ ) , který v sobě zahrnuje parametr ρ (rx , ry ) i
δ (rx , ry , α ) :
3.3. VYJÁDŘENÍ VZTAHŮ POMOCÍ ELIPTICKÝCH INTEGRÁLŮ
Integrál ve vztahu (17) je možné pomocí eliptických integrálů definovaných v {odst.4.1} zapsat jako: 2π
∫ 0
=
r 2 + R12 − 2 r R1 cos ϕ ′ + (z − z ′)2 2 R1r
dϕ′ =
(21)
2 2 k − k K (k ) − k E (k )
ρ = ρ ( R1 , r ) =
(R1 + r )2
(22)
2 R1r
δ = δ (R1 , r , ( z − z ′) ) =
(18)
2rx ry
cos ϕ ′
je úplný eliptický integrál prvního a kde K (k ), E (k ) druhého druhu modulu k {odst.4.1}. Podle {odst.3.3} jsou ve vztahu obsaženy přímo či nepřímo tyto parametry:
závislý pouze na podílech poloměrů v daném válcovém uspořádání: y
(20)
(rx + ry )2 + α 2
ZÁVITU ZAPSANÝ POMOCÍ ELIPTICKÝCH INTEGRÁLŮ
Parametr ρ (rx , ry ) udává poměrné hodnoty poloměrů, je
x
4rx ry
3.4. VZTAH PRO VEKTOROVÝ POTENCIÁL KRUHOVÉHO
Před zavedením eliptických integrálů je užitečné definovat parametry, které v sobě zahrnují geometrické uspořádání daného problému ve válcové soustavě. Tyto parametry se budou neustále opakovat ve všech dalších vztazích s eliptickými integrály.
(rx + ry ) 2 ρ (r , r ) =
2 = ρ +δ
k (ρ,δ ) =
Pro integrál ve vztahu (17), a také další integrály podobného typu uvedené pro složitější případy níže, není možné nalézt explicitní řešení v podobě elementárních funkcí. Existuje pouze řešení zapsané v podobě řad nebo numerické řešení. V technických problémech se tyto integrály často vyskytují, proto byla jejich klasifikaci a vyčíslení věnována v minulosti zvláštní pozornost. Byly specifikovány tři základní typy obecných integrálů tohoto druhu {odst.4.1}, které se nazývají eliptické. Všechny ostatní typy je možné po určitých úpravách a substitucích převést na tyto základní. Řešení eliptických integrálů se zapisuje v symbolické podobě {odst.4.1} a tím se formálně zjednoduší vztahy, ve kterých se tyto integrály vyskytují. Jsou stanovena pravidla, která platí pro matematické operace s těmito integrály, i speciální numerické metody, které slouží k jejich vyčíslení.
( z − z ′) 2 2 R1r
(23)
kde O jaké poloměry
rx , ry
se bude jednat, závisí na
R1
konkrétním problému. Při výpočtu vektorového potenciálu bude jeden poloměr dán poloměrem budícího závitu, druhý radiální souřadnicí místa, ve kterém se počítá magnetické pole. Při výpočtu vzájemné indukčnosti to budou poloměry závitů, popřípadě poloměry cívek. Pro jeden výpočet to budou konstanty a pro druhý proměnné veličiny při integraci. Parametr
δ (rx , ry , α ) ,
udává
poměrnou
r radiální souřadnice místa, ve kterém se počítá vektorový potenciál
z − z′ = d Obr.5)
α2 2rx r y
axiální vzdálenost závitu a místa výpočtu (viz
Modul eliptických integrálů pro dosazení do vztahu (21),(25) je:
axiální
vzdálenost, která je opět vztažena k poloměrům ve výpočtovém uspořádání: δ (rx , ry , α ) =
je poloměr budícího závitu
k = k (ρ ,δ ) =
(19)
10-5
2 = ρ +δ
4 R1r (R1 + r )2 + (z − z′)2
(24)
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
Pro vektorový potenciál buzený kruhovým závitem v libovolném místě (r , ϕ , z ) podle (Obr.5) potom platí výsledný vztah:
Aϕ (r , ϕ , z ) =
µ0 I 2π
R1 2 2 − k K (k ) − E (k ) r k k
(28) Pro parametry definované v {odst.3.3}, které jsou přímo či nepřímo obsaženy v (28) v tomto případě platí : ρ = ρ ( R1 , R2 ) =
(R1 + R2 )2 2 R1R2
(25)
δ = δ ( R1 , R2 , z − z ′) =
( z − z ′) 2 2 R1R2
(29)
3.5. PRVNÍ INTEGRACE : VZÁJEMNÁ INDUKČNOST DVOU TENKÝCH KRUHOVÝCH ZÁVITŮ
(z − z ′ ) = d
Pokud bude koaxiálně se závitem o poloměru R1 , který leží na axiální souřadnici z‘ a je protékaný proudem I , umístěn druhý závit o poloměru R2 na souřadnici z viz (Obr.6), bude druhým závitem procházet podle (9) magnetický tok:
Modul eliptických integrálů pro dosazení do vztahu (28) je potom podle {odst.3.3}:
k = k (ρ, δ ) =
2π
Φw / w =
∫
µ0 I 2
R1R2
∫
2π
0
cos ϕ ′ R12 + R2 2 − 2 R1 R2 cos ϕ ′ + (z − z ′)2
2
ρ +δ
=
4 R1 R2
(R1 + R2 )2 + (z − z ′)2
(30)
Lineární kombinaci eliptických integrálů prvního a druhého druhu ve vztahu (28) je možné vyjádřit pomocí obecného úplného eliptického integrálu {odst.4.1.4}. Pro vzájemnou indukčnost dvou koaxiálních závitů platí výsledný vztah:
Aϕ (r = R2 , ϕ , z ) d ϕ = 2π R2 Aϕ (r = R2 , ϕ , z ) =
0
=
je rozteč závitů podle (Obr.6)
dϕ′
(26) M w / w ((R1 , z '), (R2 , z )) = µ 0 R1 R2 ⋅ Cel(k ,1,−k , k )
(31)
Cel(k ,1,− k , k ) je obecný eliptický integrál popsaný v {odst.4.1.4}, k je modul eliptických integrálů podle (30).
Příklad 1: Vzájemná indukčnost dvou koaxiálních závitů, které jsou částí cívek na (Obr.7): Poloměry závitů: R1 = 150 mm R2 = 250 mm Axiální vzdálenost(rozteč závitů):
d = ( z − z ′) = 700 mm Obr.6) Koaxiální tenké kruhové závity Vzájemná indukčnost koaxiálních závitů M w / w (Obr.6) potom bude: M w / w ((R1 , z '), (R2 , z )) = 2π
µ = 0 R1 R2 2 0
∫
Počítaná hodnota vzájemné indukčnosti po dosazení do (27) ,(28) nebo (31) je: M w / w = 6,4178 ⋅10 −9 H
podle
Φw / w = I cos ϕ ′
R12 + R2 2 − 2 R1 R2 cos ϕ ′ + ( z − z ′)2
dϕ′
(27) a při vyjádření pomocí eliptických integrálů: 2 2 M w / w ((R1 , z '), (R2 , z )) = µ 0 R1 R2 − k K (k ) − E (k ) k k
Obr.7) Příklad – vzájemná indukčnost dvou závitů
10-6
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
Alternativně při integraci vztahu (28) pro vzájemnou indukčnost dvou závitů vyjádřenou pomocí eliptických integrálů:
3.6. DRUHÁ INTEGRACE: VZÁJEMNÁ INDUKČNOST ZÁVITU A TENKÉ CÍVKY
M C / w ((R1 , N1 , z11 , z12 ), (R2 , z )) =
Na (Obr.8) je umístěna mezi axiálními souřadnicemi z11 , z12 tenká cívka s poloměrem R1 , s počtem závitů N1 a výškou h1 = z12 − z11 . Koaxiálně
z ′= z12
∫
N = µ 0 R1R2 1 h1
s touto cívkou je
na axiální souřadnici z umístěn tenký kruhový závit o poloměru R2 .
z′= z11
2 2 − k K (k ) − E (k ) d z ′ k k
(33)
Řešení integrálu ve vztahu (33) je možné opět zapsat pomocí eliptických integrálů {odst.4.1}:
Pro výpočet jejich vzájemné indukčnosti je možné použít integraci vztahu (27),(28) – vzájemná indukčnost dvou tenkých závitů.
∫
2 2 k − k K (k ) − k E (k ) d z ' = ( R1 + R2 )Q(k , ρ )
(34)
kde nově definovaná funkce Q(k , ρ ) je
Q(k , ρ ) =
2 K (k ) − E (k ) ρ − 2 + ( K (k ) − Π ( , k ) 2 2 ρ − k2 k ρ (35) 2
Π (n, k ) je úplný eliptický integrál třetího {odst.4.1.3} pro parametry podle {odst.3.3}: ρ = ρ ( R1 , R2 ) =
Obr.8) Tenká cívka a tenký kruhový závit
(R1 + R2 )2
Elementární část cívky vytknutá na souřadnici
z '∈ z11 , z12 podle (Obr.8) bude mít počet závitů
(36)
2 R1 R2
δ = δ ( R1 , R1 , z − z ′) =
druhu
(z − z ′)2
(37)
2 R1 R2
kde
N1 d z' h1 kde h1 je výška cívky: h1 = z12 − z11
z
je poloha místa, kde leží tenký závit
z′
integrační proměnná za kterou budou dosazeny integrační meze
k(ρ,δ ) =
Po dosazení do (27),(28) bude vzájemná indukčnost mezi elementem cívky a závitem o poloměru R2 :
2
ρ +δ
=
4 R1 R2
(R1 + R2 )2 + (z − z ′)2
(38)
N d M C / w ((R1 , N1 , z11 , z12 ), (R2 , z )) = M w / w ((R1 , z '), (R2 , z )) ⋅ 1 d z ' h1
Po dosazení za integrál ve vztahu (33) pomocí nově definovanou funkce Q(k ) v (35) bude pro stanovené meze integrace:
Po integraci bude vzájemná indukčnost tenké cívky a závitu M C / w :
M C / w ((R1, N1, z11, z12 ), (R2 , z )) = µ0 R1R2 ( R1 + R2 )
M C / w ((R1 , N1 , z11 , z12 ), (R2 , z )) =
= µ0 R1R2 ( R1 + R2 )
z '= z12
=
∫M
w/ w
( R1 , z' , R2 , z) d z ' =
N1 k2 ⋅ Q(k , ρ ) k1 = h1
N1 [Q(k2 , ρ ) − Q(k1, ρ )] h1
z ' = z11
=
µ0 N1 2 h1
z ' = z11
z ' = z12
R1 R2 ⋅
∫ ∫
2π
0
Výsledný vztah pro vzájemnou indukčnost tenkého závitu d ϕ ′ d z ' a cívky podle (obr.8) je tedy: 2 2 2 R2 + R1 − 2 R2 R1 cosϕ ′ + ( z − z') cosϕ ′
(32) 10-7
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
M C / w ((R1, N1, z11, z12 ), (R2 , z )) = = µ0 R1R2 ( R1 + R2 )
N1 [Q(k2 , ρ ) − Q(k1, ρ )] h1
3.7. TŘETÍ INTEGRACE – VZÁJEMNÁ INDUKČNOST
(39)
TENKÝCH CÍVEK
Na (Obr.10) je koaxiálně s tenkou cívkou o poloměru R1
V tomto vztahu je parametr ρ stejný jako v (36) a modul eliptických integrálů po dosazení mezí do (38) s ohledem na(39) : k1 =
4 R1 R2 (R1 + R2 )2 + (z − z11 )2
(40)
k2 =
(R1 + R2 )2 + (z − z12 )2
4 R1 R2
(41)
a počtu závitů N 1 umístěna druhá tenká cívka
o
poloměru R2 a počtu závitů N 2 . Pro výpočet jejich vzájemné indukčnosti je možné použít integraci vztahu (32),(39) – vzájemná indukčnost tenké cívky a závitu.
Podle (Obr.8) je patrné, že
z − z11 = d1
je vzdálenost závitu k spodnímu okraji
cívky
z − z12 = d 2
je vzdálenost závitu k hornímu okraji
cívky Lineární kombinaci eliptických integrálů ve vztahu (35) je možno i zde vyjádřit pomocí obecného eliptického integrálu {odst.4.1.4}, a zapsat funkci Q(k , ρ ) ve tvaru:
(
)
Cel k ,1,0, k 2 ρ − 2 ρ − 2 2 + Cel k , ,0, 2 2 Q(k , ρ ) = −k 2 ρ ρ k ρ 2
Obr.10)
Dvě tenké cívky
Elementární část druhé cívky vytknutá na souřadnici
(42)
z ∈ z 21 , z 22 bude mít počet závitů
Příklad 2:
N2 dz h2
Vzájemná indukčnost tenké cívky a koaxiálního závitu, které jsou částí cívek na (Obr.9):
a její vzájemná indukčnost s první cívkou bude podle (32),(39):
Poloměr cívky: R1 = 150 mm . Počet závitů cívky : N 1 = 500 .
d M C / C ((R1 , N1 , z11 , z12 ), (R2 , N 2 , z 21 , z 22 )) =
Výška cívky h1 = z12 − z11 = 500 mm
= M C / w ((R1 , N1 , z11 , z12 ), (R2 , z )) ⋅
Rozteče (Obr.8) d1 = 700 mm d 2 = 200 mm
N2 dz h2
Po integraci přes celou výšku cívky 2: z ∈ z 21 , z 22 bude vzájemná indukčnost první a druhé tenké cívky M C / C dána vztahem:
Poloměr závitu: R2 = 250 mm Počítaná hodnota vzájemné indukčnosti po dosazení do (32) ,(39): M C / C = 1,2753 ⋅10 −5 H
Obr.9) Příklad – vzájemná indukčnost cívky a závitu 10-8
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
MC / C ((R1, N1, z11, z12 ), (R2 , N2 , z21, z22 )) = z=z22
N = 2 h2 =
∫
z=z21
µ0 N1 N2 2 h1 h2
z=z22 z′=z12
⋅
Po dosazení za funkci X (k ) do (44) s ohledem na integrační meze bude platit:
MC / w ((R1, N1, z11, z12 ), (R2 , z)) d z =
z=z21 z′=z11
z = z 22
∫
R1R2 ⋅ 2π
∫ ∫ ∫
0
cosϕ′ R12
+ R2 − 2 R1 R2 cosϕ′ + (z − z′) 2
2
dϕ′ d z′ d z
(Q(k 2 ) − Q(k1 )) d z =
z = z 21
=
4 R1R2 z z X (k 2 ) z22 − X (k1 ) z22 = 21 21 3 R1 + R2
4 R1 R2 ( X (k11 ) − X (k 22 ) − X (k33 ) + X (k 44 )) 3 R1 + R2 (48)
(43) Při integraci vztahu (39) vyjádřeného pomocí eliptických integrálů bude platit:
V těchto vztazích je dosazeno za modul eliptických integrálů:
M C / C ((R1 , N1 , z11 , z12 ), (R2 , N 2 , z 21 , z 22 )) = z = z 22
N N = µ 0 R1 R2 ( R1 + R2 ) 1 2 h1 h2
∫
(Q(k 2 ) − Q (k1 )) d z
z = z 21
k11 =
4 R1 R2 = (R1 + R2 )2 + (z 22 − z11 )2
k 22 =
(R1 + R2 )2 + (z 22 − z12 )2
=
(R1 + R2 )2 + d 22 2
k 33 =
4 R1 R2 = (R1 + R2 )2 + (z 21 − z11 )2
4 R1 R2 (R1 + R2 )2 + d 33 2
k 44 =
(R1 + R2 )2 + (z 21 − z12 )2
(44) Naznačenou integraci funkce Q(k ) podle (35) ve vztahu (44) je také ještě možné zapsat obecně pomocí eliptických integrálů:
∫
Q(ki ) d z =
∫
1 1 − k ⋅ 2 k k
2
2
(K (k ) − E(k )) + 3ρ − 4 E(k ) − 3 ρ (1 − k 2 )Π( ρ k 2
2
−2
ρ− 2
2
4 R1 R2
, k ) =
4 R1R2 = X (k ) 3 R1 + R2
h1 h2 − 2 2 h h =d− 1 − 2 2 2
z 21 − z12 = d 44
Pro parametr ρ platí v tomto případě:
(R1 + R2 )2
(46)
2 R1R2
Funkci X (k ) , která je definována v (45), je možné dále zapsat pomocí obecného eliptického integrálu takto: X (k) =
(
)
(
4 R1 R2
(R1 + R2 )2 + d 44 2
(49)
z 21 − z11 = d 33 = d +
(45)
ρ = ρ ( R1 , R2 ) =
=
4 R1 R2
Axiální vzdálenosti ve vztazích (49) s ohledem na označení podle (Obr.11) jsou: h h z 22 − z11 = d11 = d + 1 + 2 2 2 h h z 22 − z12 = d 22 = d − 1 + 2 2 2
K (k ) − E ( k ) ρ − 2 2 + ( K (k ) − Π , k 2 = −k 2 k ρ d z = ρ 4 R1R2 = ⋅ 3 R1 + R2 2
4 R1 R2
4 R1 R2 (R1 + R2 )2 + d112
)
1 3ρ (3ρ − 2) k 2 −1 − 3 ρ (1− k 2 ) Celk,− ρ k 2 −1 ,1,1 = Cel k,1, − 2,− 2 k 2 2 ρ −2
(47) Obr.11) Integrační elementy 10-9
(50)
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
lim Π (
ρ →2+
Pro vzájemnou indukčnost tenkých cívek M C / C podle (Obr.10) potom platí výsledný vztah:
ρk2 −2 , k) = 0 ρ−2
Přímé dosazení za ρ = 2 nulou.
by způsobilo chybu dělení
M C / C ((R1, N1 , z11, z12 ), (R2 , N 2 , z 21, z 22 )) = 3 N N 4 µ0 (R1R2 ) 2 1 2 ⋅ [X (k11) − X (k 22 ) − X (k33 ) + X (k44 )] 3 h1 h2
Velikost první a druhé části ve vztahu (45) bude závislá na velikosti modulu eliptických integrálů k pro příslušné hodnoty mezí ve vztazích(49),(50):
(51)
Pro:
Příklad 3:
z 21 − z11 = z 22 − z12 = 0 ⇒ k 22 = k33 = 1
Vzájemná indukčnost dvou tenkých cívek : První cívka:
1− k 2
lim
k2
(K ( k ) − E ( k ) ) = 0
R1 = 150 mm , h1 = 500 mm , N1 = 500 záv.
k →1
Druhá cívka:
3ρ − 4 3ρ − 4 E (k ) = =1 2 k →1 2 lim
R2 = 150 mm , h2 = 300 mm , N 2 = 300 záv. Středová rozteč cívek:
X (k 22 ) = X (k33 ) =
d = 600 mm
Pro:
Počítaná hodnota vzájemné indukčnosti po dosazení do (43) ,(51) : M C / C = 1,983 ⋅10 −3 H
3ρ − 4 =1 2
z22 − z11 = z21 − z12 = h ⇒ k11 = k44 = k =
X (k11 ) = X (k 44 ) = X (k ) =
4R1R2
(R1 + R2 )2 + h2
1 1 − k 2 2 (K ( k ) − E ( k ) ) + E ( k ) k k
Po dosazení do (51) a úpravě je vlastní indukčnost tenké cívky LC / C :
LC / C (R, N , d ) = 8 N 2 1 1 − k 2 µ0 R3 2 ⋅ 2 (K (k ) − E(k )) + E (k ) − 1 3 h k k
Příklad 3 – vzájemná indukčnost dvou tenkých cívek
(52)
3.8. VLASTNÍ INDUKČNOST TENKÉ CÍVKY Při zápisu pomocí obecného eliptického integrálu bude obdobně limitně platit:
Vlastní indukčnost tenké cívky je možno počítat jako speciální případ vzájemné indukčnosti dvou tenkých cívek se stejnými poloměry a nulovou středovou roztečí (stejnolehlé cívky). Pro výpočet platí zcela stejný matematický vztah (51) , pouze je nutné v tomto krajním případě limitně dodefinovat vlastnosti funkce X (k ) ze vztahu (45),(47).
(
Pro nestejné poloměry je parametr ρ podle (46) vždy větší než 2:
R1 ≠ R2
X (k ) =
⇒ ρ>2
[ (
(
(53)
)]
1 Cel k , 1, 1, − 2 k 2 −1 k
X (k = 1) =
Pro poloměry limitující ke stejné hodnotě bude platit
R1 → R2
)
ρ k 2 − 1 lim Cel k ,− ,1,1 = 0 ρ −2 ρ →2 +
1 [Cel(1, 1, 1, 0)] = 1 k
Po dosazení do (51) pro vlastní indukčnost tenké cívky:
⇒ ρ → 2+
Třetí část vztahu (45) nabude nulové hodnoty pro všechna k, protože platí: 10-10
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
(
( )
3.10. ČTVRTÁ A PÁTÁ INTEGRACE – VZÁJEMNÁ
8 N 2 1 LC / C (R, N, d ) = µ0 R3 ⋅ Cel k,1,1,−2 k 2 −1 −1 2 3 h k
INDUKČNOST DVOU MASIVNÍCH VÁLCOVÝCH CÍVEK
3.9. POROVNÁNÍ VÝSLEDNÝCH VZTAHŮ Vzájemnou indukčnost dvou koaxiálních válcových cívek je možné zapsat jako lineární kombinaci vzájemných indukčností stejně dlouhých koncentrických válcových cívek, které vzniknou fiktivním doplněním skutečných cívek. Pro cívku U a cívku W na (Obr.12) bude platit:
Obr.13) Masivní koaxiální válcové cívky
Na Obr.13 jsou znázorněny dvě koaxiální cívky A a B s těmito parametry
Obr.12) Kombinace cívek
R1 A , R1B
vnitřní poloměry cívek
R2 A , R2 B
vnější poloměry cívek
h A , hB
délky cívek
N A , NB
počty závitů cívek
d
středová rozteč cívek
Pro výpočet jejich vzájemné indukčnosti je možné integrovat vztah pro vzájemnou indukčnost tenkých cívek (43),(51):
M(U+V +W, u+v+w) = M(U, u) + M(U, v) + M(U, w) + + M(V, u) + M(V, v) + M(V, w) +
Elementární část cívky A v podobě tenké cívky vytknutá na souřadnici:
M(W, u) + M(W, v) + M(W, w)
rA ∈ ( R1 A , R2 A )
M(U+V,u+v) = M(U,u) + M(U,v) + M(V,u) + M(V,v)
(55)
bude mít počet závitů
NA d rA R2 A − R1 A
M(V +W, v+w) = M(V, v) + M(V, w) + M(W, v) + M(W, w)
(56)
a elementární část cívky B vytknutá na souřadnici: Po dosazení bude vzájemná indukčnost dvou koncentrických cívek vyjádřená pomocí kombinace vzájemných indukčností dvojic koncentrických stejně dlouhých cívek:
rB ∈ ( R1B , R2 B ) bude mít počet závitů
NB d rB R2 B − R1B
M (U +V +W , u + v + w) = M (U +V , u + v ) + M (V +W , v + w) + 2 ⋅ M (U , w ) − M (V , v ) M (U , w) =
(
1 M (U +V +W , u + v + w) − M (U +V , u + v ) − M (V +W , v + w) + M (V , v ) 2
(57)
)
(58)
Vzájemná indukčnost těchto elementárních částí jako část celkové indukčnosti M AB bude po dosazení do (51):
(54)
d M AB ((R1A , R2 A , hA , N A ), (R1B , R2 B , hB , N B )) = Po srovnání vztahu (54),(Obr.12) a vztahu (51)(Obr.11)
NA NB = M C / C rA , d rA , z11, z12 , rB , d rB , z 21, z22 R − R R − R 2A 1A 2B 1B
je patrné, že rovnice obsahují podobné členy s identickým významem.
(59) 10-11
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
A výsledná celková indukčnost po integraci:
se jedná o často se vyskytující integrály v různých technických problémech, bylo jejich vyčíslení v minulosti usnadněno tím, že byly jejich hodnoty tabelovány. V současné době to již nemá význam, stále je však výhodné postupovat při řešení těchto integrálů specifickým způsobem, protože pro jejich řešení byly vytvořeny speciální numerické metody, které vedou k cíli často podstatně rychleji, než jiné standardní metody numerické integrace. Eliptické integrály se při klasifikaci rozdělují na eliptické integrály prvního, druhého a třetího druhu. Existuje také obecný eliptický integrál, který v sobě obsahuje všechny předchozí typy. Pojem „úplný“
M AB ((R1 A , R2 A , h A , N A ), (R1B , R2 B , hB , N B )) = =
NA NB R2 A − R1 A R2 B − R1B
rB = R2 B
∫
rB = R1 B
r r
d M AB ⋅ d rA d rB =R
A = R2 A
A
∫
(60)
1A
Integraci ve vztahu (60) již není možné provést jiným způsobem, než numericky. Metoda integrace použitá v uvedeném počítačovém programu je popsána v {odst.4.2}.
π
souvisí s integrací v intervalu ϕ ∈ (0, ) . 2
4.1.1. Ú PLNÝ ELIPTICKÝ INTEGRÁL PRVNÍHO DRUHU Příklad 4: Vzájemná indukčnost cívek(Obr.14):
dvou
masivních
Úplný eliptický integrál prvního druhu modulu k je definován vztahem:
válcových
π /2
K (k ) =
První cívka:
R1A = 150 mm , R2 A = 150 mm , h A = 500 mm ,
∫ 0
dϕ 1 − k 2 sin 2 ϕ
(61)
Použitím substituce t = sin(ϕ ) přejde tento integrál do takzvaného normovaného tvaru:
N A = 500 záv. Druhá cívka:
1
R1B = 250 mm , R2 B = 400 mm , hB = 300 mm ,
K (k ) =
N B = 300 záv.
∫ 0
dt 1− t
2
1 − k 2t 2
(62)
Středová rozteč cívek:
d = 600 mm
V intervalu k ∈ 0,1 nabývá řešení reálných hodnot,
Počítaná hodnota vzájemné indukčnosti po dosazení do (60): M C / C = 3,6193 ⋅10 −3 H
V krajních bodech intervalu nabývá hodnot : K (0) = π / 2 , K (1) → ∞
4.1.2. Ú PLNÝ ELIPTICKÝ INTEGRÁL DRUHÉHO DRUHU Úplný eliptický integrál druhého druhu modulu k je definován vztahem: π /2
E (k ) =
∫
1 − k 2 sin 2 ϕ d ϕ
(63)
0
Použitím substituce t = sin(ϕ ) přejde tento integrál do takzvaného normovaného tvaru:
Obr.14) Příklad 4 – Vzájemná indukčnost dvou masivních cívek
1
E (k ) =
∫ 0
1 − k 2t 2 dt 1− t 2
(64)
4. MATEMATICKÉ FUNKCE A NUMERICKÉ
V intervalu k ∈ 0,1 nabývá řešení reálných hodnot,
ŘEŠENÍ
V krajních bodech intervalu :
4.1. ELIPTICKÉ INTEGRÁLY
E (0) = π / 2 , E (1) = 1
Ve vztazích v tomto textu se vyskytuje speciální typ určitých integrálů, které se nazývají eliptické. Jejich řešení není možné nalézt explicitně. Je možné jej zapsat pomocí řad nebo vyčíslit některou z numerických metod. Protože
4.1.3. Ú PLNÝ ELIPTICKÝ INTEGRÁL TŘETÍHO DRUHU Úplný eliptický integrál druhého druhu modulu k je definován vztahem: 10-12
2010/10 – 19. 2. 2010 π /2
Π (n, k ) =
∫ 0
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
1 1 − n sin 2 ϕ 1 − k 2 sin 2 ϕ
dϕ
Počítačové programy pro řešení matematických problémů mají v sobě eliptické integrály obvykle vestavěné jako speciální funkce. V programu MATHCAD jsou předdefinovány v symbolické podobě a následně řešeny standardní numerickou integrací. V počítačovém program MATLAB jsou definovány funkcemi:
(65)
Použitím substituce t = sin(ϕ ) přejde tento integrál do takzvaného normovaného tvaru: 1
Π (k ) =
1
∫ (1 − n t ) (1 − t )(1 − k t ) d t 2
2
K (k ) = mfun(' EllipticK ' , k )
(66)
2 2
E (k ) = mfun(' EllipticE' , k )
0
(73)
Π (n, k ) = mfun(' EllipticPi' , k )
Pro počítačový program v programovacím jazyce PascalDelphi, který byl popsán v tomto článku, byl použit algoritmus založený na Bartkyho transformaci [4],[5]. Tato transformace je zobecněním dříve popsané Landenovy transformace, která je v tomto případě aplikována na obecný eliptický integrál (67),(68). Pomocí této transformace lze řešit integrály typu:
Pro důležité hraniční hodnoty platí: Π (n → −∞, k ) → 0 , Π (n = 0, k ) = K (k ) , Π (n → 1, k ) → 0
4.1.4. O BECNÝ ÚPLNÝ ELIPTICKÝ INTEGRÁL
π /2
Někdy se zavádí pojem obecný eliptický integrál. Pomocí tohoto integrálu je možné zapsat všechny ostatní druhy eliptických integrálů a současně vyjádřit i jejich lineární kombinace, které se často vyskytují v aplikačních vztazích. Jeho hlavní výhodou však je, že je jeho integraci možné řešit speciální metodou v jednom numerickém kroku. Obecný eliptický integrál je zaveden vztahem:
dϕ
∫ F ( R(ϕ )) R(ϕ )
(74)
0
ve kterém F a R(ϕ ) je reálná funkce: R(ϕ ) = m 2 cos 2 ϕ + n 2 sin 2 ϕ
(75)
Pomocí transformačního vzorce π /2
∫
Cel (k , p, a, b) =
0
π /2
a cos 2 ϕ + b sin 2 ϕ 1 dϕ cos 2 ϕ + p sin 2 ϕ 1 − k 2 sin 2 ϕ
∫ 0
Použitím substituce t = sin(ϕ ) přejde tento integrál do tzv. normovaného tvaru: Cel (k , p, a, b) =
(
∫( ) 0
)
a 1− t2 + bt 2 1− t2 + p t2
1
(1 − t )(1 − k t ) 2
2 2
dt
∫
F1 ( R1 (ϕ ))
0
dϕ =K= R1 (ϕ )
π /2
dϕ
∫ F ( R (ϕ )) R (ϕ ) i
i
i
0
se původní integrál postupně převede do tvaru, který má elementární řešení. Pro hodnoty v každém kroku platí vztahy:
(68)
Úplný eliptický integrál prvního druhu:
ni =
1 [ni −1mi −1 ] 2
n0 = n ≠ 0
mi =
1 [mi −1 + ni −1 ] 2
m0 = m ≠ 0
(69) Ri (ϕ ) = mi cos 2 ϕ + ni sin 2 ϕ
(77)
R0 (ϕ ) = m 2 cos 2 ϕ + n 2 sin 2 ϕ
(78)
2
Úplný eliptický integrál druhého druhu: E (k ) = Cel (k , 1, 1, 1 − k 2 )
π /2
(76)
Řešení eliptických integrálů ostatních druhů je možné pomocí obecného eliptického integrálu vyjádřit takto: K (k ) = Cel (k , 1, 1, 1)
dϕ = R(ϕ )
i = 1,2Ln
(67)
1
F ( R(ϕ ))
(70)
2
Úplný eliptický integrál třetího druhu: Π (n, k ) = Cel (k , 1 − n, 1, 1)
Fi ( Ri (ϕ )) =
Lineární kombinace eliptických integrálů: λ K (k ) + µ E (k ) = Cel (k , 1, λ + µ , λ + µ (1 − k 2 ) )
(71)
λ K (k ) + µ Π(k ) = Cel ( k , 1 − n, λ + µ , λ (1 − n) + µ )
(72)
1 2 2 2 2 Fi −1 Ri + Ri − ni + Fi −1 Ri − Ri − ni 2
F0 = F ( R(ϕ ))
(79)
Princip spočívá v tom, že hodnoty mi , ni , které jsou počítané aritmeticko-geometrickými průměry z předchozího kroku, velice rychle konvergují ke společné hodnotě. V k-tém kroku potom platí :
4.1.5. N UMERICKÉ VYČÍSLENÍ ELIPTICKÝCH INTEGRÁLŮ
mk = nk = g = AGM (m, n)
10-13
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
Reálná funkce F přejde do tvaru:
aplikovaná Rombergova metoda. Je to standardní metoda, která se velice často používá pro svůj efektivní algoritmus [6].
Rk (ϕ ) = g 2 cos 2 ϕ + g 2 sin 2 ϕ = g = AGM (m, n)
Tato metoda je založena na tom, že se v n+1-krocích i = 0,1,2...n vypočte přibližná hodnota integrálu I i ,0
a řešení původního integrálu se snadno najde ve tvaru: π /2
dϕ
π /2
dϕ
∫ F ( R(ϕ )) R(ϕ ) = ∫ F ( R (ϕ )) R (ϕ ) = k
0
k
k
0
(například obdélníkovým pravidlem). Integrační interval je v každém následném kroku dělen na dvojnásobně větší počet úseků (Obr.15).
F (g) π g 2
Délka úseku v každém kroku je: (80)
hi =
Efektivitu uvedeného postupu je možné ukázat na jednoduchém výpočtu úplného eliptického integrálu prvního druhu, který se dá převést do podoby vhodné pro transformaci (74) následovně: π /2
K (k ) =
∫ 0
π /2
dϕ 1 − k sin ϕ 2
2
=
∫ 0
(b − a) 2 ⋅ 2i
i = 0,1,2...n
dϕ cos ϕ + (1 − k 2 ) sin 2 ϕ 2
potom
Obr.15) Dělení integračního intervalu.
F ( R (ϕ )) = F1 ( R1 (ϕ )) = L = Fi ( Ri (ϕ )) = 1
Velikost n je závislá na požadované přesnosti a charakteru integrované funkce.
m0 = 1
Tímto postupem se získá posloupnost, která pro n → ∞ konverguje ke skutečné hodnotě integrálu:
n0 = 1 − k 2
Například při výpočtu K (k = 0.7) dále:
b
m0 = 1
∫
n0 = 1 − 0.7 = 0.714143 2
m1 =
m0 + n0 = 0.857071 2
n1 = m0 n0 = 0.845070
m2 =
m1 + n1 = 0.851071 2
n2 = m1n1 = 0.851049
m3 =
m 2 + n2 = 0.851060 2
n3 = m2 n2 = 0.851060
f ( x) d x =
lim (I n ,0 )
n→ ∞
a
Hodnoty f ( x) jsou dopočítávány pouze v bodech vzniklých novým dělením, pro ostatní body jsou použity hodnoty f ( x) z předchozího kroku (Obr.15). Posloupnost je vynesena v prvním sloupci trojúhelníkového diagramu (Obr.16). Sloupec je označen indexem j = 0 . V další fázi se postupnou Richardsonovou extrapolací v následujících m-krocích j = 1,2...m , m ≤ n získají další posloupnosti, které rychleji konvergují ke správné hodnotě integrálu .
Hodnoty koeficientů se po třech krocích dostaly na stejnou hodnotu aritmeticko geometrického průměru: m3 = n3 = g = AGM = 0.851060
A hodnota hledaného řešení eliptického integrálu je:
I i, j =
1 π K (0.7) = = 1.845694 0.851060 2
4 j I i , j −1 − I i −1, j −1 4 j −1
Tyto posloupnosti jsou v jednotlivých trojúhelníkového diagramu. V [4] je obdobně ukázáno převedení vztahu pro obecný úplný eliptický integrál do formy vhodné pro transformaci a je zde podrobně popsán algoritmus pro vyčíslení. Ve srovnání s uvedeným příkladem je řešení samozřejmě komplikovanější.
4.2. NUMERICKÁ INTEGRACE PRO VÝPOČET INDUKČNOSTI MASIVNÍCH VÁLCOVÝCH CÍVEK Pro výpočet vzájemné indukčnosti masivních válcových cívek {odst.3.10} se při integraci vzájemné indukčnosti tenkých cívek v radiálním směru dobře osvědčila dvakrát 10-14
sloupečcích
2010/10 – 19. 2. 2010
VOL.12, NO.1, FEBRUARY 2010
Literatura
Obr.16) Trojúhelníkové schéma integrace Rombergovou metodou.
[1] PANKRÁC,V.: Počítačový program pro výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových cívek obecných rozměrů ve vzduchu. Dostupný z WWW:
V m-tém kroku se potom získá hodnota I n , m , která je
nejlepší možnou aproximací daného integrálu pro zvolené n .
I n,m =
[2] KULDA,J.: Magnetické pole v elektrotechnice, Academia Praha 1974
4 m I n, m −1 − I n −1, m −1 4m −1
[3] HAAS,H.: Ein Beitrag zur Berechnung der Gegeninduktivität koaxialer Zylinderspulen, Electrical Engineering (Archiv fur Elektrotechnik), Volume 57, Number 1 / January, 1975
Pro ilustraci platí pro první aproximaci integrálu (Obr.14) pro i = 0 :
I 0, 0 =
h h h f (a) + f (b) = ( f (a) + f (b) ) 2 2 2
[4] SAUER,R.,SZABO,I.: Mathemtische Hilfsmittel des Ingenieurs, 3.Teil, Berlin,Heidelberg,New York: Springer 1968
pro i = 1
h h h h h h h f (a) + 2 f a + + f (b) = ( f (a) + f (b) ) + f a + = 4 4 2 4 4 2 2 I h h = 0, 0 + f a + 2 2 2 pro i = 2 I1, 0 =
I 2,0 =
I1, 0 h h h 3 + f a + + f a + h 2 4 4 4 4
I n −1,1 b − a + n 2 2
2 n−1
∑ f a + (2k − 1) k =1
[5] BULIRSH,R.: Handbook Series Special Functions: Numerical Calculation of Elliptic Integrals and Elliptic Functions , Numerische Mathematik,7,1965 [6] WON Y. YANG,W., CAO,W., CHUNG.T., MORRIS,J.: Applied Numerical Methods Using MATLAB, 2005 ,John Wiley & Sons, Inc., [7] PANKRÁC,V.: Rozdělení proudu ve vinutí tlumivek a transformátorů, disertační práce, FEL ČVUT 1992
a obecně pro i = 1,2...n
I n,0 =
silnoproudé
b−a 2n
Ze vztahů i z (Obr.15) je vidět, že pro výpočet integrálu v každém dalším kroku je možné využít vypočtených hodnot z předchozího kroku.
5. ZÁVĚR V článku je popsána konkrétní metoda pro výpočet vlastních a vzájemných indukčností válcových vzduchových cívek obecných rozměrů. Na základě této metody byl sestaven počítačový program, který je předložen k volnému použití [1]. Metoda je založena na integraci vektorového potenciálu buzeného tenkým kruhovým závitem v postupných krocích, ze kterých vyplývají vztahy pro vzájemnou indukčnost dvou tenkých závitů, tenké cívky a závitu, dvou tenkých cívek. Řešení všech dílčích úloh je zapsáno pomocí obecného eliptického integrálu s odkazy na algoritmus pro jeho numerické řešení. Následnou numerickou integrací ve dvou krocích je tato úloha rozšířena na výpočet vzájemné indukčnosti cívek konečných radiálních rozměrů. Ke každé části jsou připojeny jednoduché číselné příklady pro demonstraci daného výpočtu. V další samostatné části budou porovnány výsledky prezentované analyticko numerické metody s metodou čistě numerickou (metoda konečných prvků) pro reálné cívky skutečných rozměrů.
10-15
