Országos felmérés a középiskolások harmadik osztályaiban
Vizsgakatalógus matematikából
2007/2008-as iskolaév
2008. február 1
A matematikai érettségi vizsgát kidolgozó szakcsoport
2
Tartalom 1. Matematikai vizsga leírása 2. Felszerelés 3. A tantárgy általános céljai 4. A felmérés általános céljai 5. Az anyagrészek részaránya 6. A pontozás és az osztályozás leírása 7. A felsző szint anyagrészeinek részaránya 8. A felső szintű felmérés mintatesztje 9. A felső szint képletei 10. Megoldások és pontozási rendszer (felső szint) 11. Az alsó szint anyagrészeinek részaránya 12. Az alsó szintű felmérés mintatesztje 13. Az alsó szint képletei 14. Megoldások és pontozási rendszer (alsó szint)
4 4 4 4 5 6 7 8 19 22 25 26 38 39
3
1. Matematikai vizsga leírása Matematikai felmérésen két szinten lehet vizsgázni, alsó és felső szinten. A felmérés egységes és a tervezett időtartamot a következő táblázat mutatja: Felső szint Alsó szint
180 perc 150 perc
Zárt (választási lehetőséggel rendelkező feladatok) és nyitott (tövid vagyí hosszabb válaszú feladatok) típusú feladatokat is tartalmaz. A zárt tipusú feladatok választási lehetőséget kínálnak. A tanuló a négy lehetséges válasz előtti megfelelő betűt keretezi be. A nyitott típusú feladatok egyszerű vagy összetett megoldást követelnek. Az egyszerű feladatok esetében a tanuló a feltett kérdésre válaszol, még az összetettebb megoldású feladatoknál a tanuló leírja a megoldás folyamatát és válaszol a feltett kérdésre.
2. Felszerelés A matematikai érettségin a tanuló grafit ceruzát és radírt használhatnak, de a feladatok megoldásait a megfelelő lapra csak kék vagy fekete golyóstollal írhatják be. Szükségük lesz mértani felszerelésre (háromszögvonalzó és körző) és zsebszámológépre (matematikai funkciókkal ellátott). Használhatják azokat a képleteket is, amelyek az alsó és felső szintű érettségin is mellékelve lesznek.
3. A tantárgy általános céljai A matematika tanításának általános céljai 1. a logikai gondolkodás és következtetés, a matematikai intuíció és kreativitás fejlesztése 2. a probléma felállításának, formulációjának és megoldásának képessége matematikai összehasonlítások és megoldás-elemzések segítségével 3. az egyszerűbb matematikai alkalmazások képességének fejlesztése, valamint a feltételezésekhez viszonyuló kritikai hozzáállás 4. a racionális és hatékony technológiai képesség fejlesztése 5. a rendszeresség, kitartás és a pontosság képességének elsajátítása
4. A felmérés általános céljai Ezzel az országos vizsgával a harmadik középiskolás osztályok tanulóinak tudásszintjét és az eddig elért kompetencióját mérjük fel.
4
A vizsga felméri: • a matematikai nyelv használati szintjét a feladatok megoldásánál • az analitikus, táblázati és grafikus formában megadott feladatok alkalmazási szintjét és s kapott eredmények logikus értelmezését • az adott probléma matematikai felírásának képességét, valamint a kapott eredmény helyességének felismerését • a matematika különböző ágazatai közötti össefüggések felismerését • a feladatok megoldásánál alkalmazható különböző matematikai technikák használatát • a zsebszámológép használatát
5. Az anyagrészek részaránya A felső szintű matematikai vizsgában szereplő anyagrészek részarányát a következő táblázat mutatja: Felmérési egységek Számok és algebra Függvények Egyenletek és egyenlőtlenségek Geometria Alkalmazás Összesen
Százalékarány (%) 20 25 20 25 10 100
Az alsó szintű matematikai vizsgában szereplő anyagrészek részarányát a következő táblázat mutatja: Felmérési egységek Számok és algebra Függvények Egyenletek és egyenlőtlenségek Geometria Alkalmazás Összesen
Százalékarány (%) 45 10 15 15 15 100
Az egyes felmérési egységek szézalékaránya az összpontszámhoz viszonyul. Lehetséges ±10%-os eltérés.
5
6. A pontozás és az osztályozás leírása A választási lehetőséggel rendelkező feladatoknál minden helyesen megoldott feladat egy pontot ér. A pontatlan válaszokra nem jár negatív pont. Az egyszerűbb feladatok mindegyike egy pontot ér. Ha a feladat több egyszerűbb részből áll, akkor mindegyik egy pontot ér. Az összetettebb feladatoknál a feladat felállítását, eljárását és feleletét a megadott pontozási rendszer szerint értékeljük.
6
7. A felsző szint anyagrészeinek részaránya Számok és algebra 20% • az N, Z, Q, R és C halmazok megkülönböztetése • alapműveletek (+, -, ·, :, gyökvonás, hatványozás, abszolút értékek meghatározása, kerekítés) • százalékok és arányok használata • hatványokkal és gyökökkel való műveletek • műveletek algebrai kifejezésekkel és algebrai törtekkel • zsebszámológép használata • hossz-, terület-, térfogat mértékegységgel, valamint az idő, tömeg és pézegységgel való számolás
Függvények 25% •
•
• • •
•
•
a függvény fogalma és megadásának módja, valamint a fügvényekkel való műveletek (+, -, ·, :) a függvény növekedése/csökkenése, párossága/páratlansága és periodikussága a lineáris függvény és grafikonja a másodfokú függvény és grafikonja az abszolút értékes függvény és négyzetgyökös függvény ismerete és grafikonja az exponencionális és logaritmus függvény és grafikonja trigonometrikus függvények ismerete és grafikonjai
Egyenletek és egyenlőtlenségek 20% • lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása • másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása • az abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek, valamint a négyzetgyökös egyenletek megoldása • egyszerűbb polinomos és racionális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása • exponencionális és logaritmus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása • trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása • a fenti egyenletekből alkotott rendszerek megoldása
Geometria 25% o •
•
o •
• •
o •
•
•
•
Elemi geometria az alapvető síkbeli alakzatok geometriájának ismerete hasáb, gúla, henger, kúp és a gömb ismerete Trigonometria a derékszögű háromszög trigonometriájának ismerete sinus- és cosinustétel ismerete a trigonometria alkalmazása síkbeli és térbeli feladatokban
Alkalmazás 10% feladatok megoldása a • számok, • algebra, • geomeria, • függvények, • egyenletek, • egyenlőtlenségek • grafikus bemutatások alkalmazásával
Koordináta geometria az egyenesen elhelyezkedő és a síkbeli koordináta rendszer alkalmazása a vektor fogalma és műveletek alkalmazása az egyenes egyenletének ismerete az elemi másodrendű görbék fogalmainak, egyenleteinek és vázlatainak ismerete
7
8. A felső szintű felmérés mintatesztje Az 1-11-ig terjedő feladatokban keretezd be a helyes választ
1. Az állítás
másodfokú egyenletre érvényes a következő
A. az egyenletnek két (különböző) valós megoldása van B. az egyenletnek nincsenek valós megoldásai C. az egyenletnek csak egy (kétszeres) megoldása van D. az egyenlet nem megoldható
2.
8
3. Egy tablettában 5.2·107 hasznos baktérium van. A 10 éves gyermek legtöbb két ilyen tablettát vehet be naponta háromszor. Legtöbb hány hasznos baktériumot vihet be a gyermek a szervezetébe egy nap?
4. A
egyenlet irracionális megoldása:
5. Az iskolai étterebmen felszolgált szendvicsben a szénhidrátok és a fehérjék aránya 20:3. Ha a szendvics 87.6g szénhidrátot tartalmaz, akkor mennyi fehérje van benne?
9
6. Ha
és
akkor
7. Az ábrán bejelölt K, L, M, N, P pontok abszcisszái a következő egyenlet megoldásai:
8. Az
vektor felírható:
10
9. A felsorolt számok közűl melyik nem egyenlő
-dal?
10. Az egyenlő szárú trapéz alapjainak hossza 20cm és 6cm, területe pedig 31.2cm2. A trapéz szárának hossza:
A. 14cm B. 13cm C. 7.4cm D. 3.6cm
11. A gáz 15%-kal drágult. Mennyivel kell leárazni, hogy a végső ára 5.5%kal legyen több mint az eredeti ár?
A. 7.80 % B. 8.26% C. 8.96% D. 9.50%
11
Válaszolj a 12-22-ig terjedő feladatokra 1 pont 12. Az a mely valós értékére nincs megoldása a rendszernek?
Válasz:______________________________ 13. Vázold sík azon pontjait melyek az x2+y2+6x-8y+9=0 egyenlettel vannak megadva.
1 pont
12
14. A 100m-es síkfutás világcsúcsa 9.73s. Fejezd ezt ki km/h-ban.
1 pont
Válasz:______________________________ 15. Az f és g függvények grafikonjai az alábbi ábrán láthatók:
1 pont
Az f(x)≥g(x) egyenlőtlenség megoldása a következő intervallum:_______________
16. A (-1+2i)3 számot írd fel a+bi alakban.
1 pont
Válasz:______________________________
13
17. Határozd meg az összes valós számot melyre az adott függvény értelmezve van f(x)=log(3x-1)
1 pont
Válasz:______________________________ 18. Határozd meg annak a szögnek a nagyságát melyet az y=2x+3 egyenes az x tengely pozitív irányításával zár be.
1 pont
Válasz:____________°________'__________" 19. A 36π cm3 térfogatú fémgömböt hengerbe olvasztjuk át. Határozzátok meg a henger magasságát, ha a henger alapjának sugara egyenlő a gömb sugarával.
1 pont
Válasz:______________________________
14
20. Rajzold le a függvények grafikonjait!
2 pont
21. Az x-2y+8=0 egyenessel párhuzamosan érintőket húzunk az x2+(y1)2=20 körvonalra. Határozd meg az érintők egyenleteit.
2 pont
Válasz:______________________________ ______________________________
15
2 pont 22. Írjátok le a megoldását melyek az
egyenlet összes
intervallumban vannak.
Válasz:______________________________ 23. A futballmérkőzésen a kapus kirúgja a labdát. A labda útját a h=0.0126x2+0.635x egyenlet írja le, ahol h a labda magassága, x a kirúgés helyszínétől való vízszintes távolság. A h és x nagyságok méterekben vannak kifejezve.
a) Milyen magasan van a labda ha horizontális távolsága a kirúgás helyszínétől 15m?
1 pont
Válasz:______________________________ b) A kirúgás helyszínétől mekkora távolságon ér földet a labda?
1 pont
Válasz:______________________________ c) Mekkora a labda legnagyobb elérhető magassága?
1 pont
Válasz:______________________________
16
Oldjátok meg a 24 és 25-ös feladatokat és vezessétek le a megoldást.
24. Adott az
függvény.
a) Határozd meg a függvény kilengését és alapperiódusát Válasz: Kilengés:______________________________ Alapperiódus:__________________________ 2 pont b) Razoljátok le a függvény grafikonját a
intervallumon
17
25. Dubravka és Ivána egy 500m hatósugarú elektronikus készüléken keresztül kommunikálnak. Dubravla egyhelyben áll Ivána pedig az ábrán látható módon mozog. Hány métert tud Ivána megtenni a kapcsolat megteremtésétől a kapcsolat megszünéséig?
4 pont
Válasz:______________________________m
18
9. A felső szint képletei
•
Komplex szám:
•
•
Másodfokú egyenlet:
•
Viéte szabályok:
•
A parabola csúcspontja:
•
A háromszög területe:
•
Egyenlőoldalú háromszög: magasság:
•
Paralelogramma területe:
•Trapéz területe:
•
Kör területe:
•Kör kerülete:
•
Körcikk területe:
•Körív hossza:
•
Hasáb és henger térfogata:
• Hasab és henger felszíne:
•
Gúla és kúp térfogata:
•
, terület:
Gúla felszíne:
19
• Kúp felszíne: •
Gömb térfogata:
• Gömb felszíne:
A derékszögű háromszögben: szemközti befogó szögmelletti befogó sinα = ————————— , cosα = —————————, átfogó átfogó •
•
Sinustétel
szemközti befogó tgα = ————————— szögmelletti befogó
cosinustétel:
•
•
Két pont közötti távolság:
•
A szakasz felezőpontjának koordinátái:
•
Háromszög területe:
•
Vektor:
•
Vektorok skaláris szorzata
•
Egyenes egyenlete:
•
két egyenes közötti szög
•
A
pont távolsága a
egyenestől:
20
Másodrendű görbék
Egyenlet
A görbe egy pontjában húzott érintő
Az y=kx+l egyenes és a görbe érintési feltétele
Körvonal köréppontja S(p,q) Ellipszis fókuszai F1,2(±e,0) Hiperbola fókuszai F1,2(±e,0) Parabola fókusza
•
Számtani sorozat:
•
Mértani sorozat:
•
Mértani sor:
•
Szorzat derivltja:
•
A függvény grafikonjára húzott érintő egyenlete az adott T pontban:
•
Derivációk:
hányados deriváltja:
21
10. Megoldások és pontozási rendszer (felső szint)
22
24. a) kilengés 1, alapperiódus 2π
23
Az összetett feladatok pontozási rendszere Általános megjegyzések: 1. A különböző módon kapott megoldásokat ismerjük el. 2. A tévesen átírt feladat elismerhető: PP="Tévesen átírt feladat" - megengedhető ha nem változtat és nem egyszerűsíti le a feladat értelmét - az előrelátott pontszámból 1 pont levonást idéz elő (csak egyszer a feladat végén) 3. Az összetett feladatokban elismerhető a kisebb hiba: SG="Kövesd a hibát" - kisebb hiba esetén alkalmazható akkor ha nem változtat a feladat lényegén és nem egyszerűsíti le azt, a levezetésben pedig megtalálható a feladat követeltménye. - az előrelátott pontszámból 1 pont levonást idéz elő (csak egyszer a feladat végén) Feladatok: 20. feladat: 21. feladat: 22. feladat: 24. feladat:
25. feladat:
a) pontosan lerajzolt grafikon - 1 pont b) pontosan lerajzolt grafikon - 1 pont egy pontos egyenlet - 1 pont második pontos egyenlet - 1 pont mindhárom megoldás helyes - 2 pont pontos általános megoldás - 1 pont egy vagy két pontos megoldás - 1 pont a) pontos kilengés - 1 pont pontos alapperiódus - 1 pont b) pontosan lerajzolt grafikon - 2 pont pontatlanság a grafikonon - 1 pont (lehetséges a "Kövesd a hibát" alkalmazása a 24.a feladatból) a probléma pontos felállítása (alkalmazása) - 1 pont a trigonometria helyes alkalmazása - 1 pont a zsebszámológép helyes használata - 1 pont pontos végeredmény - 1 pont (alkalmazható a "Kövesd a hibát")
24
11. Az alsó szint anyagrészeinek részaránya Számok és algebra 45%
• •
• •
• •
megkülönböztetni az N, Z, Q, R halmazokat alapműveletek (+, -, ·, :, gyökvonás, hatványozás, abszolút értékek meghatározása, kerekítés) százalékok és arányok használata műveletek algebrai kifejezésekkel és algebrai törtekkel zsebszámológép használata hossz-, terület-, térfogat mértékegységgel, valamint az idő, tömeg és pézegységgel való számolás
Függvények 10%
•
•
•
•
Egyenletek és egyenlőtlenségek 15% a függvény • lineáris fogalma és egyenletek és megadásának egyenlőtlensé módja gek megoldása a linéáris függvény és • másodfokú grafikonja egyenletek megoldása a másodfokú függvény és • egyszerűbb grafikonja exponencionál is egyenletek az megoldása exponencionál is függvény és • a fenti grafikonja egyenletekből alkotott egyszerűbb rendszerek megoldása
Geometria 15%
•
•
•
•
az alapvető síkbeli alakzatok geometriájá nak ismerete hasáb, gúla, henger, kúp és a gömb ismerete az egyenesen elhelyezked ő és a síkbeli koordináta rendszer alkalmazása az egyenes egyenleténe k ismerete
Alkalmazás 15% Feladatok megoldásai • a számok • algebra • geomeria • függvények • egyenletek • egyenlőtlenségek • grafikus bemutatások alkalmazásával
25
12. Az alsó szintű felmérés mintatesztje Az 1-11-ig terjedő feladatokban keretezzétek be a helyes megoldást. 1. Az ábrán látható zárt intervallumok közös részében:
A. 5 egész szám B. 4 egész szám C: 3 egész szám D. 2 egész szám van
2. Ugyanannak a könyvnek Márkó 2/3, Anna 7/11, Pero 5/6 és Visnya 1/2-ed részét olvasta el. Melyikük olvasott el legtöbbet?
A. Márkó B. Anna C. Pero D. Visnya
3. A matematika vizsgán Luka a lehetséges 35 pontól 21 pontot kapott. A vizsga hány százalékát oldotta meg eredményesen?
A. 14% B. 21% C. 40% D. 60%
26
4. Ha x-y-3=0 akkor y egyenlő:
5. A 3-2x<0 egyenlőtlenség megoldás halmazába a következő szám tartozik:
6. A képen látható egyeneshez a következő pont tartozik
7.
27
8. 12.3 óra:
A. 12 óra és 3 perc B. 12 óra és 18 perc C. 12 óra és 20 perc D. 12 óra és 30 perc
9. Egy tablettában 5.2·107 hasznos baktérium van. A 10 éves gyermek legtöbb két ilyen tablettát vehet be naponta háromszor. Legtöbb hány hasznos baktériumot vihet be a gyermek a szervezetébe egy nap?
28
10. Melyik ábra mutatja az
függvény grafikonját?
11. A derékszögű háromszög oldalhosszúságai 3cm, 4 cm és 5cm. A háromszög területe egyenlő:
29
Felelj a 12-22-ig terjedő feladatokra
12. Oldd meg az egyenlőtlenséget: -5+4(x-2)=19-4x
1 pont
Válasz: x=_____________________________ 1 pont 13. A 250 17%-a egyenlő__________________________________
14. Végezd el a szorzást és hozd egyszerűbb alakra: (x-4)(3+x)
1 pont
Válasz:______________________________
30
2 pont 15. Oldd meg a rendszert:
Válasz: x=____________________________ y=____________________________ 16. Oldd meg az egyenletet: 10x2-3x-1=0
2 pont
Válasz: x1=____________________________ x2=____________________________
31
17. A mandarin ára egyenesen arányos a tömegével: Tömeg
3 kg
Ár
13.5 kn
18. Töltsd ki az üres helyeket:
2 pont 2.5 kg
56.25 kn
2 pont
32
19. Oldd meg az egyenletet:
1 pont
Válasz: x=____________________________ 20. Határozd meg a képen látható alakzat kerületét
1 pont
Válasz: ____________________________cm
33
21. Zavizani hótakaró A grafikon a Zavizanon egy hét alatt lemért hótakaró vastagságát mutatja:
hótakaró vastagsága (cm)
mérés időpontja a) Mekkora a vasárnap 6:00 órakor mért hótakaró vastagsága 1 pont
Válasz: ____________________________cm b) A hótakaró vastagsága két alkalommal nőtt. Összesen hány centiméter hó esett e két alkalommal?
1 pont
Válasz: ____________________________cm 22. Hűtőszekrény A hűtőszekrényben lévő T hőmérséklet és a hűtőszekrény bekapcsolása utáni t idő összefüggését a következő képlet mutatja: T(t)= -1.2t+22. A hőmérséklet °C-ban, az idő pedig percekben van kifejezve.
34
a) Mekkora a hőmérséklet fél órával a hűtőszekrény bekapcsolása után?
1 pont
Válasz: ____________________________ °C b) A bekapcsolás után hány perccel lesz a hűtőszekrény 1 pont hőmérséklete 0°C?
Válasz: ____________________________ min
35
Oldd meg a 23. és 24-es feladatot és vezesd le a megoldást 23. Adottak f(x)=x2-2x-3 és g(x)=-x-1 függvények. Rajzoljátok le mindkét függvény grafikonját ugyanabba a koordináta rendszerbe.
3 pont
36
24. Egészséges táplálkozás Egy felnőtt személy napi szénhidrát szükséglete 250g, fehérje szükséglete pedig 45g. Az A táplálék kilogrammonként 10g szénhidrátot és 160g fehérjét tartalmaz, a B táplálék kilogrammonként pedig 220g szénhidrátot és 20g fehérjét. Legkevesebb hány kilogramm A és B táplálékot kell elfogyasztani, hogy kielégítsük a napi szénhidrát és fehérje szükségletet?
3 pont
Válasz: A táplálék____________________________ kg B táplálék____________________________ kg
37
13. Az alsó szint képletei
•
A másodfokú egyenlet megolgása
•
Parabola csúcspontja
•
Háromszög területe
•
Paralelogramma területe
•
Kör területe
• Kör kerülete
B=alapterület, P=oldallap terület, h=magasság hossza •
Hasáb és henger térfogata
• Hasáb felszíne
•
Gúla és kúp térfogata
• Gúla felszíne
•
Gömb térfogata
•
Két pont közötti távolság:
•
Egyenes egyenlete:
•
Az egyenesek párhuzamossági feltétele
38
14. Megoldások és pontozási rendszer (alsó szint)
17. Tömeg Ár
3 kg 13.5 kn
12.5 kg 56.25 kn
2.5 kg 11.25 kn
20. A kerület
39
24. A táplálék 0.14 kg, B táplálék 1.13 kg.
40
Az összetett feladatok pontozási rendszere Általános megjegyzések: 1. A különböző módon kapott megoldásokat ismerjük el. 2. A tévesen átírt feladat elismerhető: PP="Tévesen átírt feladat" - megengedhető ha nem változtat és nem egyszerűsíti le a feladat értelmét - az előrelátott pontszámból 1 pont levonást idéz elő (csak egyszer a feladat végén) 3. Az összetett feladatokban elismerhető a kisebb hiba: SG="Kövesd a hibát" - kisebb hiba esetén alkalmazható akkor ha nem változtat a feladat lényegén és nem egyszerűsíti le azt a levezetésben pedig megtalálható a feladat követeltménye. - az előrelátott pontszámból 1 pont levonást idéz elő (csak egyszer a feladat végén) Feladatok: 15. feladat: 16. feladat: 17. feladat: 18. feladat: 23. feladat:
24. feladat:
Pontosan kiszámolt x ismeretlen - 1 pont Pontosan kiszámolt y ismeretlen - 1 pont Egy pontos eredmény kiszámítása - 1 pont Második pontos eredmény kiszámítása - 1 pont A mandarin pontos tömege - 1 pont A mandarin pontos ára - 1 pont Pontosan kitöltött 3 négyzet - 2 pont Pontosan kitöltött 2 négyzet - 1 pont A g lineáris függvény pontos grafikonja - 1 pont Az f másodfokú függvény pontos grafikonja (pontos alak és pontos zérushelyek) - 2 pont Az f másodfokú függvény pontatlanul lerajzolt grafikonja - 1 pont (Alkalmazható a "Kövesd a hibát") A probléma pontos felállítása (alkalmazása) - 1 pont Az A táplálék pontos tömege - 1 pont A B táplálék pontos tömege - 1 pont (Alkalmazható a "Kövesd a hibát")
41
