VÍZGAZDÁLKODÁS GÉPEI

SZENT ISTVÁN EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR, GÖDÖLLŐ RENDSZERTECHNIKA INTÉZET

ÁRAMLÁSTECHNIKA ÉS VÍZGAZDÁLKODÁS GÉPEI TANSZÉK

Dr. Szlivka Ferenc

VÍZGAZDÁLKODÁS GÉPEI

Gödöllő 2002 .

TARTALOMJEGYZÉK

SZLIVKA FERENC : VÍZGAZDÁLKODÁS GÉPEI

TARTALOMJEGYZÉK

Előszó.....................................................................................................................................7 felvíz

1. Áramlástani alapok ..........................................................................

alvíz

...........8

1.1. Nyugvó folyadék egyensúlya..................................................................................................8 1.1.1. A nyomás fogalma........................................................................................................8 1.1.2 A nyomóerő számítása a nyomásból..............................................................................8 1.1.3. Hidrosztatika alapegyenlete..........................................................................................9 1.1.3.1. Hidrosztatika alapegyenlete nehézségi erőtérben .....................................10 1.1.3.2. Hidrosztatikai feladat megoldásáról általában............................................11 1.1.4. Hidrosztatikai nyomásból származó erő számítása, Hoover-gát ...............................12 1.1.5. Nyomásmérés és nyomásmérő eszközök ..................................................................15 1.1.5.1. Abszolút és túlnyomás ...............................................................................15 1.1.5.2. Higanyos barométer ...................................................................................16 1.1.5.3. U cső, mint manométer ..............................................................................17 1.1.5.4. Rugós nyomásmérő műszerek ..................................................................17 1.1.5.5. Nyomástávadók .........................................................................................17 1.2. Kinematika és a folytonosság tétele .....................................................................................17 1.2.1. A folyadékmozgás leírása ..........................................................................................17 1.2.1.1. Áramvonal, pálya, nyomvonal, stacioner áramlás ....................................17 1.2.2. A folytonosság tétele ...................................................................................17 1.2.3. A Bernoulli-egyenlet és alkalmazásai .......................................................................20 1.2.3.1. Kiömlés tartályból, Torricelli-képlet .........................................................21 1.2.3.2. Kiömlés tartályból nem időálló áramlás esetén ........................................22 1.2.3.3. Vízemelő kos ............................................................................................17 1.2.3.4. Venturi-cső ................................................................................................17 1.3. Euler-turbinaegyenlet Szivattyúk esetében .........................................................................31 1.4. Szivattyúk ideális jelleggörbéje ...........................................................................................17

2. Csővezetékek, csatornák ....................................................................

……….......37

2.1. Csővezetékekben fellépő nyomásveszteségek meghatározása..............................,..............37 2.1.1. Darcy-formula ...........................................................................................................37 2.1.2. A Moody-diagram .....................................................................................................38 2.1.3. Csőáramlási probléma három típusa .........................................................................39 2.1.3.1. I. feladat: Számítsuk ki a nyomásesést! ..................................................39 2.1.3.2. II. feladat: Keressük meg az átlagsebességet! .........................................40 2.1.3.3. III. feladat: Csőátmérő számítása és kiválasztása .....................................41 2.1.4. A gazdaságos csőátmérő kiválasztása .......................................................................43 2

TARTALOMJEGYZÉK


2.1.5. Nem körkeresztmetszetű vezetékek áramlási vesztesége ..........................................44 2.2. Csőidomok és szerelvények veszteségének számítása .........................................................46 2.2.1. Karimás, tokos, menetes csőkötések ..........................................................................46 2.2.2. Szerelvények, idomdarabok kialakítása és áramlási vesztesége ................................48 2.2.2.1 Hirtelen keresztmetszet ugrás .....................................................................48 2.2.2.2. Szelepek, csapok , tolózárak ......................................................................50 2.2.2.3. Könyökök, ívek ..........................................................................................51 2.3. Esőztető berendezést üzemeltető hidraulikai rendszer méretezése .......................................52 2.4. Nyílt felszínű csatorna ..........................................................................................................59

ω

3. Örvényszivattyúk ........................................................................................

..........63

3.1. Örvényszivattyúk jellemzői...................................................................................................63 3.1.1. Örvényszivattyú veszteségei és hatásfoka .................................................................64 3.1.2. Örvényszivattyú üzemi jellemzői ..............................................................................65 3.1.3. Örvényszivattyú jellegörbéi .......................................................................................66 3.1.4. Kisminta törvények ....................................................................................................66 3.1.5. Affinitás törvénye, kagylódiagram, normál és tervezési pont ...................................68 3.1.6. Kavitáció, szívóképesség, geodetikus szívómagasság ..............................................70 3.1.7. Dimenziótlan szivattyújellemzők ...............................................................................72 3.2. Az örvényszivattyúk néhány tÍpusa .....................................................................................73 3.2.1. szivattyúk csoportosítása ...........................................................................................73 3.2.2. Az egyfokozatú csigaházas szivattyú ........................................................................75 3.2.3. Kettős beömlésű spirálházas centrifugálszivattyúk ...................................................75 M

[Nm]

Mmot= f(n)

Munkapont

Mgy

4. Örvényszivattyúk üzemviteli kérdései ..................................................

Msz= f(n)

n

n [1/perc]

….......78

4.1. Szivattyú és csővezeték közös munkapontja ........................................................................78 4.2. A szivattyúk indítása ............................................................................................................79 4.3. Szivattyúk hajtása .................................................................................................................82 4.3.1. Villanymotoros hajtás ................................................................................................82 4.3.2. A szivattyúk belsőégésű motoros hajtása ..................................................................84 4.3.3. A hajtómotor teljesítményének megválasztása, motor hatásfoka ..............................85 4.4. Szivattyúk és csővezeték együttműködése ...........................................................................87 4.4.1. A redukált jelleggörbe ...............................................................................................87 4.4.1.1. Szivattyúk soros és párhuzamos kapcsolása...............................................87 4.4.1.2. csővezetékek soros és párhuzamos kapcsolása .........................................88 4.4.1.3. Szivattyú és csővezeték sorbakapcsolása .….............................................89 4.4.2. Örvényszivattyúk soros üzeme ..................................................................................90 4.4.3. Az örvényszivattyúk párhuzamos üzemben ..............................................................92 4.5. Örvényszivattyúk szabályozása ...........................................................................................94 4.5.1. Szabályozás fojtással ….............................................................................................94 3

TARTALOMJEGYZÉK


4.5.2. Szabályozás az előperdület változtatásával ...............................................................95 4.5.3.Szabályozás fordulatszám-változtatással ...................................................................98 4.5.4. Szabályozás megcsapolással .....................................................................................99 4.5.5. Szabályozás lapátszög változtatással ......................................................................100 4.5.6. Szakaszos szabályozás ............................................................................................102

5. Szivattyútelepek .......................................................................

….......103

5.1. Szivattyútelep fő részei .....................................................................................................103 5.2. Vízkivételi szivattyútelepek ..............................................................................................104 5.3. Belvíz-szivattyútelepek osztályai .....................................................................................105 5.4. Öntöző szivattyútelep ........................................................................................................106 5.4.1. Öntöző szivattyútelepek kialakítása ........................................................................106 5.5. Esőztető öntöző-szivattyútelep és segédberendezései .......................................................109 5.5.1. Tolózár ....................................................................................................................111 5.5.2. Gyűrűszár ................................................................................................................112 5.5.3. Pillangószelep (csapózár) ........................................................................................113 5.5.4. Visszacsapószelep, végcsappantyú .........................................................................113 5.5.5. A csőelzáró szerkezetek működtetése .....................................................................114 5.5.6. A légüst ...................................................................................................................114 5.6. A szivattyútelepek irányítása .............................................................................................115 5.6.1. Nyomásról szabályozás ...........................................................................................116 5.6.2. Szabályozás vízhozam-érzékeléssel ........................................................................117 5.6.3. A vízhozam által korrigált nyomásszabályozás ......................................................118 5.6.4. Szabályozás villamos jellemzőkkel .........................................................................119

6. Vízenergia hasznosítás gépei...............................................................

...............120

6.1. Vízienergia hasznosítás általános kérdései ........................................................................120 6.1.1. A vízerőhasznosítás alapképlete ..............................................................................120 6.1.2. A vízerőkészlet ........................................................................................................122 6.1.3. A teljesítménygörbe szerkesztése ............................................................................122 6.2. Vízierőművek, vízerőtelepek ..............................................................................................123 6.3. A vízturbinák ......................................................................................................................125 6.3.1. Szabadsugaras (akciós) turbinák: a Bánki- és a Pelton-turbina ..............................127 6.3.2. Reakciós turbinák .....................................................................................................127 6.4. A szivattyús energiatározók ................................................................................................131 6.5. Hazai vízenergia hasznosítás néhány adata .......................................................................133

4

TARTALOMJEGYZÉK

SZLIVKA FERENC : VÍZGAZDÁLKODÁS GÉPEI c

7. Csővezetékekben fellépő tranziens jelenségek.................................

..........136

7.1. A hirtelen záráskor fellépő nyomáslengések.......................................................................136 7.2. A vízoszlop rövidülése ........................................................................................................137 7.3. A nyomásnövekedés kiszámítása ........................................................................................139 7.4. A hullám terjedés sebessége ...............................................................................................140 7.5. Nyomáslengések szivattyúval működő rendszerben ...........................................................141 (2)

8. Csőhálózatok számítása......................................................................

(1)

(3)

2

5

6

(5)

(6) Q6

Q5

(4)

8 III

7

II

I 4

Q4

Q 3

Q2

1

Q1

3

..........146

8.1. A hurkolt hálózatok ............................................................................................................147 8.1.1. A Csomóponti törvény .............................................................................................148 8.1.1.1. Csomóponti egyenletek ............................................................................150 8.1.1.2. Redukált csomóponti egyenlet .................................................................151 8.1.2. A huroktörvény ........................................................................................................151 8.1.2.1. a hurokmátrix: B ; hurokegyenletek ........................................................152 8.1.3. A Hardy Cross-módszer ...........................................................................................153 8.1.3.1.A korrekció kiszámítása ............................................................................154 8.1.3.2. Az egyes lépések közötti korrekció nagysága: .........................................155 8.1.3.3. Egyszerű, hurkolt vízellátó hálózat ellenőrzése .......................................156 8.2. Csőhálózat gazdaságos méretezése szakaszos módszerrel .................................................159 8.2.1. A beruházási és veszteségmagasság értékek szakaszonként ....................................161 8.2.2. A 2-es és a 3-as csőszakasz sorba kapcsolása ..........................................................162 8.2.3. A 2-es és a 3-as eredőjével párhuzamos az 1-es ......................................................164 8.2.4. Az 123 eredője és a 4-es sorba kapcsolása ..............................................................165 8.2.5. A megfelelő csövek kiválasztása: ............................................................................166 8.2.6. Eredmények összefoglalása .....................................................................................168

9. Öntözés gépei ......................................................................................…

…...........169

9.1. Az esőszerű öntözőberendezések .......................................................................................170 9.1.1. Hosszirányban és keresztirányban áttelepíthető szárnyvezetékek ...........................171 9.1.2. Tömlős csévélhető tömlős öntözőberendezések ......................................................171 9.1.3. Körbenjáró (center pivot) és frontálisan mozgó (lineár) öntözőberendezések ........173 9.2. Szárnyvezeték méretezése ..................................................................................................174 9.2.1. A szórófejek áramlási jellemzői ...............................................................................174 9.2.2. Szárnyvezeték méretezése T-45 szórófejjel .............................................................177 9.2.3. Szárnyvezeték méretezése Tisza II. szórófejjel ......................................................180 r

τ R

10. Nem-newtoni közegek áramlása ...............................................................

rm

v

r

v

max

z

τ

...............182

10.1. Nem-newtoni közegek csoportosítása ...............................................................................182 10.2. Nem-newtoni közegek áramlása hengeres csőben ............................................................186 5

TARTALOMJEGYZÉK


10.2.1. A sebességprofil meghatározása ............................................................................186 10.2.1.1. Newtoni közeg sebességprofilja .............................................................186 10.2.1.2. Nem-newtoni közeg sebességprofilja .....................................................188 10.2.2. Az átlagsebesség és a térfogatáram meghatározása ................................................189 10.2.3. Bingham-közeg nyomásveszteségének számítása ..................................................190 10.2.3. Hatványfüggvény közeg csőáramlása ....................................................................191 10.3. Hígtrágya csőáramlásának számítása ................................................................................193 10.3.1. Nyomásveszteség számítása kis szárazanyag tartalomnál.......................................195 10.3.2. Nyomásveszteség számítása közepes szárazanyag tartalomnál..............................196

Irodalomjegyzék…………………………………………………………….…………...199

6

felvíz


1. ÁRAMLÁSTANI ALAPOK

alvíz

ELŐSZÓ A jegyzet elsősorban azoknak a szakmérnök hallgatóknak készült, akik érdeklődést mutatnak a vízgazdálkodás iránt, azon belül is a vízgazdálkodás gépészeti eszközei, berendezései és üzemeltetésük kérdései iránt. De természetesen mások számára is igen hasznos, akik a gépészetnek ezzel az ágával kívánnak megismerkedni, és az ismereteiket alkalmazni is szeretnék az ipari gyakorlatban. A jegyzet alapja a Gödöllői Agrártudományi Egyetem Mezőgazdasági Gépészmérnöki Karán, a mai Szent István Egyetem Gépészmérnöki Karán folyó évtizedes szakmai tapasztalat, amelyet ma a Rendszertechnika Intézet és azon belül az Áramlástechnika és Vízgazdálkodás Gépei Tanszék képvisel. A jegyzet támaszkodik a megelőző időszakban kiadott írásművekre, könyvekre, jegyzetekre és egyéb segédanyagokra. A téma igen szerteágazó. A jegyzet összeállításakor nem törekedtem a teljességre. Igyekeztem a nagy és fontosnak tartott témaköröket áttekintő jelleggel érinteni, és néhány általam fontosnak vélt területet kiemelten kezelni, és a részleteket is ismertetni. De tisztában vagyok azzal, hogy mások számára igen fontos területek kimaradtak a jegyzetből, de a terjedelmi korlátok és egyéb lehetőségeim behatárolták a tananyag témaköreit. Az egyes fejezeteket megjelöltem a fejezetre leginkább jellemző kicsinyített ábrával, ikonnal. Az alkalmazási példákat pedig szintén kiemeltem, egymással össze nem téveszthető ábrával. Remélhetően ezek a jelölések a gyorsabb és pontosabb eligazodást teszik lehetővé az olvasó számára az anyagban. Megköszönöm a Rendszertechnika Intézet kollektívájának a jegyzet elkészítésében nyújtott segítségét. Kiemelten köszönöm Dr. Kiss Ottó és Dr. Sassy László kollégáimnak, a rendelkezésemre bocsátott szakirodalmi anyag felkutatásában nyújtott segítségüket. Külön köszönettel tartozom Dr. Török Sándor kollégámnak, aki a lektorálás során értékes észrevételeivel segítette a hibák kijavítását.

Gödöllő 2002 Szerző

7

felvíz



alvíz

1. ÁRAMLÁSTANI ALAPOK A vízgazdálkodásban használt gépek és berendezések, szivattyúk, turbinák, csővezetékek, segédberendezések mindegyike alapvető áramlástani elvek alapján működik. Működésük megértéséhez elengedhetetlen az áramlástan alapelveinek ismerete. Ha a kedves olvasó ezekkel tisztában van, akkor ezt a fejezetet minden további nélkül átlapozhatja. Az áramlástan első fő fejezete a nyugvó folyadék egyensúlyát tárgyalja. A gátak, medencék, tartályok méretezésénél és üzemeltetésénél van nagy jelentősége a mozdulatlan, de súlyánál fogva jelentős erőket létrehozó statikus erők ismeretének és számításának. 1.1. NYUGVÓ FOLYADÉK EGYENSÚLYA 1.1.1. A NYOMÁS FOGALMA

Nyugvó folyadékokban alapvető jellemző a bennük uralkodó nyomás. A nyomás az egységnyi felületre eső, a felületre merőleges nyomóerő, vagy másként fogalmazva, a merőleges nyomóerő és a felület hányadosa.

p2 ∆F

p1

∆A 1.1. ábra Nyomásból származó erő hatása

1.2. ábra Folyadékhenger egyensúlya

p=

F . A

Két fontos alapelvet fogalmazott meg Blaise Pascal, (1623-1662) francia matematikus és filozófus a nyomással kapcsolatban (a nyomás SI alapegysége róla kapta nevét): -Egy adott pontban a nyomás azonosan hat minden irányban, ezt szemlélteti a 1.1. ábra. -A folyadékot határoló szilárd falra a nyomás ill. a nyomásból származó erő merőlegesen hat (1.2. ábra). Ezeket a megállapításokat gyakran Pascal törvényeknek is hívják. A nyugvó folyadékokban csúsztató feszültségek csak igen ritkán lépnek fel, newtoni folyadékok esetében, pedig soha. Nyugvó folyadékban csak nyomásból származó feszültségek fordulnak elő. A nyomás skalár mennyiség, amely általánosan a hely és az idő függvénye. 1.1.2. A NYOMÓERŐ SZÁMÍTÁSA NYOMÁSBÓL

A nyomásból származó nyomóerőt legáltalánosabb esetben az

F = − ∫∫ p ⋅ dA A

8

felvíz



alvíz

kifejezéssel adhatjuk meg. "A" felületi normális " dA " a felületből kifelé mutat a nyomóerő, pedig csak nyomni tudja a felületet, tehát a felületre merőlegesen befelé irányul, ezért kell a negatív előjel az integráljel elé. Bizonyos esetekben a folyadék súlyából eredő nyomásváltozás elhanyagolható a folyadék belsejében uralkodó nyomáshoz képest. Határoljunk el gondolatban, a folyadék belsejében egy henger alakú részt. A henger helyzete tetszőleges. Vizsgáljuk a henger tengelye irányába eső nyomóerők eredőjét. Az alsó és felső lapon ható erők ellentétes irányúak, de az egyensúly miatt egyenlő nagyságúak, azaz. Könnyen belátható, hogy a p1 = p 2 feltételnek kell teljesülnie. Miután a henger helyzete és magassága tetszés szerinti volt, így súlytalan összefüggő nyugvó folyadéktérben a nyomás mindenütt ugyanakkora. Ezt hasznosítják a hidraulikus sajtók és emelők. A szerkezetük lényege, egy kis és egy nagy keresztmetszetű dugattyú, mely közös folyadéktérbe nyúlik. A folyadék nyomása minden pontban ugyanakkora, így a kis dugattyúra ható erőt a szerkezet a dugattyúk arányában megnöveli. Ezen elven kis szerkezettel 100-szoros, vagy akár 1000-szeres erőnövekedés is könnyen elérhető. A nyomás egyenletes eloszlását használják ki a légnyomásos gumiabroncsok is. Ezek benyomódásánál a nyomás gyakorlatilag nem növekszik, a támasztó erő a felfekvő felülettel arányosan nő. Kisebb nyomású abroncsnak nagyobb felfekvő felületre van szüksége, ezért jobban belapul. 1.1.3. HIDROSZTATIKA ALAPEGYENLETE

Amennyiben a folyadék súlyát nem hanyagolhatjuk el a benne uralkodó nyomás mellett, akkor a nyomás eloszlása a folyadékban nem lesz állandó. A nyugalomban lévő víz esetében általában ez az eset áll elő. Vizsgáljuk az előbbi folyadék-hengerünket a nehézségi erőtérben az alábbi 1. 3. ábra szerint. A folyadék sűrűsége, " ρ ", a nehézségi gyorsulás, "g", amely a lefelé mutató "z" tengellyel egy irányba mutat. Felírva a hengerre ható függőleges erőket, a következő egyenletet kapjuk: 1.1

p ⋅ ∆A + ∆z ⋅ ∆A ⋅ ρ ⋅ g − (p + ∆p ) ⋅ ∆A = 0

A nyomóerőkön kívül a hengerbe zárt folyadék súlyát is figyelembe kellett vennünk, amely a második tag. Egyszerűsítve és rendezve kapjuk, hogy 1.2

∆p = ρ⋅g . ∆z Amennyiben, akkor a

1 p

2

z z ∆ z

p+ ∆ p

Ο

g

∆A

1.3. ábra Egyensúly nyugvó folyadékban

9

felvíz



alvíz

∆p dp = = ρ⋅g ∆z dz lim∆z → 0 kifejezést kapjuk. Könnyen belátható, hogy általános helyzetű koordináta-rendszer, vagy általános helyzetű térerő vektor esetén a fenti kifejezés átírható a 1.3

gradp = ρ ⋅ g

vektoregyenletté, amelyet a hidrosztatika alapegyenletének nevezünk. A 1.3 hidrosztatika alapegyenlete kimondja, hogy a - nyomás legnagyobb változása a térerő vektor irányába mutat, valamint - a változás nagysága arányos a térerő vektor és a sűrűség szorzatával. 1.1.3.1. HIDROSZTATIKA ALAPEGYENLETE NEHÉZSÉGI ERŐTÉRBEN

Fizikából ismert, hogy ha egy erőtér konzervatív, akkor létezik potenciálja "U", amely a következő kapcsolatban áll a térerő vektorral (a negatív előjel megállapodás eredménye):

g = −grad U

1.4

Mint tudjuk a konzervatív erőtérben egy zárt görbén vett integrálja a térerő-vektornak zérus eredményt ad. Az egységnyi tömegen, bármely zárt görbén ( Γ ) végzett munka zérus, matematikai kifejezéssel

∫ g ⋅ ds = 0 l

Ezzel egyenértékű matematikai feltétele a potenciál létezésének, hogy

rot g ≡ 0 Hidrosztatikai egyensúly csak konzervatív erőterekben képzelhető el. (Többek között a földi légkör azért van állandó mozgásban, mert létezik a Föld forgása következtében a Coriolis-erőtér, amely nem örvénymentes.) Helyettesítsük a 1.4 egyenletet a 1.5 egyenletbe, ekkor 1.5

gradp = −ρ ⋅ grad U

kifejezést kapjuk. Belátható, hogy az állandó potenciálú felületek egybeesnek az állandó nyomású felületekkel. (A bizonyítást mellőzzük, de a [Gruber-Blahó; 1973] irodalomban megtalálható.) Ha a ρ = áll. , vagyis a sűrűség állandó, abban az esetben a sűrűséggel elosztva és betéve a gradiens jel mögé, majd átrendezve a

grad

p + grad U = 0 ρ

összefüggésre jutunk. Hozzuk közös gradiens jel mögé a skalár értékeket, így kapjuk a

⎛p ⎞ grad⎜⎜ + U ⎟⎟ = 0 ⎝ρ ⎠

10

kifejezést.

felvíz



alvíz

Valamely skalár mennyiség változása akkor lehet nulla, ha maga a mennyiség mindenütt a térben állandó, tehát

p + U = állandó ρ

A folyadéktér bármely két tetszőleges pontja között is fennáll az összefüggés, tehát pl. a 1.3. ábrán a felszínen lévő 1 pont és a henger felső lapján lévő 2 pontok között is felírható, behelyettesítve kapjuk a

p1 p + U 1 = 2 + U 2 kifejezést. ρ ρ Gyakran ez utóbbi egyenletet is nevezik a hidrosztatika alapegyenletének. Természetesen csak állandó sűrűségű közegre alkalmazható a folyadéktér két olyan pontja között, amelyeket egy folytonos vonallal össze lehet kötni. Más megfogalmazásban a

p + U = állandó , ρ

1.6

ami annyit jelent, hogy egy folyadéktérben, ha a potenciál nő, akkor a nyomás csökken, és ha a potenciál csökken, akkor a nyomásnak nőnie kell. Mint tudjuk a nehézségi erőterében a potenciál a térerő ellenében egységnyi tömegen végzett munka. Tehát ha felfelé haladunk, akkor a potenciál nő, ha lefelé haladunk, akkor csökken. A 1.3. ábrán lefelé mutató koordináta-rendszer esetén a potenciált a U = −gz + U 0 kifejezés adja meg. Válasszuk az U 0 = 0 értéket, amit minden további nélkül megtehetünk, mert az egyenletben amúgy is csak potenciál különbségekkel fogunk számolni. Behelyettesítve a 1.6 egyenletbe és felhasználva, hogy az 1 pontban a "z" koordináta zérus, a következőt kapjuk:

p1 p + 0 = 2 −g⋅z , ρ ρ

1.7

amelyből az a jól ismert kifejezés adódik, hogy a nyomás a folyadék felszínétől lefelé haladva lineárisan nő:

p 2 = p1 + ρ ⋅ g ⋅ z . 1.1.3.2. HIDROSZTATIKAI FELADAT MEGOLDÁSÁRÓL ÁLTALÁBAN

A hidrosztatikai feladatokat viszonylag jól meghatározott lépések szerint lehet megoldani: -

1. Elsőként megfelelő koordináta-rendszert választunk, amelyben a potenciál függvényt fel tudjuk írni.

-

2. Alkalmas pontokat (legalább kettő) kiválasztunk. Az egyik pont, amelyben ismerjük az adatokat, a másik, amelyben keressük, pl. a nyomást.

-

3. A potenciál függvény felírása a következő lépés, majd a

-

4.

p1 p + U 1 = 2 + U 2 egyenlet alkalmazása, ha a sűrűség állandó, vagy a ρ ρ gradp = −ρ ⋅ grad U egyenlet használata, ha a sűrűség változik. Ez utóbbi esetben a sűrűség

változására egyéb, kiegészítő egyenlet, vagy egyenletek is szükségesek. A hidrosztatikai nyomás a vízgazdálkodásban a gátak, zsilipek, duzzasztók, csővezetékek és egyéb berendezések falaira gyakorolnak hatást. Igen sokan és sokféle tekintetben foglalkoztak a nyomásból 11

felvíz



alvíz

származó erő számításával és szerkesztésével, pl. [Mott; 1990], [ Duncan;1971] , valamint nagyon sokan a vízépítés területén dolgozó hazai szerzők, néhányat említek [Hamvas,1990], [Kertai, 1969],[Kozák; 1977], [Starosolszky; 1973]. A sok lehetséges példa közül egy nem magyar vonatkozású példát mutatunk be.

1.1.4. HIDROSZTATIKAI NYOMÁSBÓL SZÁRMAZÓ ERŐ SZÁMÍTÁSA, HOOVER-GÁT

felvíz H

alvíz

1.4 ábra Hoover-gát

1.5.ábra Gát metszete

A Kolorádó folyón 1930-tól 1936-ig épült a Hoover-gát. Az Egyesült Államok elnöke Herbert Hoover élénk érdeklődéssel követte az építés menetét, a gát róla kapta a nevét. Az alsó és a felső vízszint között "H" a szintkülönbség. Monumentális mérnöki alkotás, alapzata 201 méteres, magassága 221 méter. Ez egy hetvenemeletes felhőkarcoló magasságának felel meg. A felső rész 379 méter hoszszú és itt 14 méter széles. Csaknem 200m vízszintkülönbséget létesít. Méltán tartják a XX. század egyik legnagyobb építészeti alkotásának. A gát felduzzasztott vízmennyiségével alakították ki a világ egyik legnagyobb mesterséges tavát, a Mead-tavat (Lake Mead). Nézzük meg, hogy mekkora erőt fejt ki a hatalmas felduzzasztott víztömeg a gátra, és próbáljuk megbecsülni, hogy mekkora energiát rejt a víztömeg. További adatokat a [R. Burton-R. Cavendish; 1991] irodalomban találunk. A gát "Z" szélességű. A gát mögött felduzzasztott víz térfogatát közelítsük egy "H x Z" téglalap alapú és "L" magasságú gúlával. A gát mögötti mesterséges tározóban V = 35km 3 víz szabálytalan alakú mederben 184 km hosszon terül el. Legnagyobb szélessége 13 km. Az "L" méret tehát nagymértékben eltér a valódi hossztól, de mint látni fogjuk a tárolt energia becslésére alkalmas. A gát a felvíz irányában domború héjszerkezet. A felvíz oldali kontúr sem függőleges, hanem, kihasználja a felette lévő víz súlyának stabilizáló hatását is. (A geometria egyszerűsítet és az adatok közelítőek, így az eredmények is csak nagyságrendi becslésre alkalmasak.) adatok: H ≅ 200m ; L ≈1380km ; Z ≅ 380m

Kérdések: a./ Mekkora a gátfalra ható vízszintes nyomóerő és milyen magasságban van a támadáspontja? b./ Körülbelül mekkora a gát mögötti víztömegben tárolt helyzeti energia? Az alvízszint felszínét tekintse vonatkoztatási szintnek.

Megoldás: a./ A gátra ható túlnyomás lineárisan növekszik a "H" mélységig, lefelé lineárisan növekvő meg-

oszló erőrendszer eredője hat, ezért az ebből származó erő támadáspontja 2 ⋅ H mélységben ébred, s

3

nagysága:

12

felvíz


V = ρ⋅g


alvíz

H 200 ⋅ H ⋅ Z = 10 3 ⋅ 9.81 ⋅ ⋅ 200 ⋅ 380 = 74.5 ⋅ 10 9 N 2 2

L

x H xo

Z

1.6. ábra Víztérfogat közelítő ábrája

gátat, mert kisebb forgatónyomatékot ad át az alapzatnak, mintha csak a vízszintes "V" erő hatna. b./ Az 1.6. ábrán a víztömeg egy azonos "x" magasságú rétegét tüntettük fel, amely legyen "dx" magasságú. Egy ilyen trapéz alakú réteg területe: 2

Z⋅L ⎛H − x⎞ Z⋅L −⎜ ⎟ ⋅ 2 2 ⎝ H ⎠ A réteg súlyát megszorozva az alvízszínttől mért magassággal és integrálva kapjuk az összes helyzeti energiát:

⎡ Z ⋅ L ⎛ H − x ⎞2 Z ⋅ L⎤ Z⋅L⋅H 5 E =ρ⋅g⋅∫⎢ ⋅ ⋅g⋅H −⎜ ⎟ ⋅ ⎥ ⋅ x ⋅ dx = ρ ⋅ 2 ⎥⎦ 3 8 ⎝ H ⎠ ⎢ 2 0 ⎣ H

A végképletben megjelent a gát mögött tárolt víz térfogata, V

5 5 E = ρ ⋅ V ⋅ ⋅ g ⋅ H = 10 3 ⋅ 35 ⋅10 9 ⋅ ⋅ 9.81 ⋅ 200 = 4.29 ⋅1016 Ws = 11.9 TWh 8 8 Az 5 -os szorzó nyilván a felvett gúla alak következménye, a valóságban ez a szorzó változhat,

8

de a kapott eredmény nagyságrendi becslésre alkalmas. 1.1.5. NYOMÁSMÉRÉS ÉS NYOMÁSMÉRŐ ESZKÖZÖK

A nyomásmérés az áramlástanban éppolyan alapvető fontosságú, mint az elektromosságtanban a feszültség és az áramerősség mérése. A legtöbb esetben nem abszolút nyomásértéket (vákuumtól számított értéket ), hanem nyomáskülönbséget mérünk. A nyomáskülönbség mérésére a következő két legfontosabb alapelvet használjuk: a./ a nyomással egyensúlyt tartó folyadékoszlop magasságából a hidrosztatika törvénye alapján, b./ a nyomás hatására alakját rugalmasan változtató szilárd test alakváltozásának méréséből határozzuk meg a nyomás nagyságát. Elsőként vizsgáljuk meg, hogy mi az abszolút és túlnyomás fogalma. 1.1.5.1. ABSZOLÚT ÉS TÚLNYOMÁS

Ha számolunk, vagy mérünk nyomás értékekkel tudnunk kell, hogy a számításban, vagy a méréskor mi volt a nyomás referencia értéke. Legtöbb esetben a referencia nyomás az atmoszférikus nyomás 13

felvíz



alvíz

és a mért vagy számított nyomás értéke "túlnyomás". Az abszolút vákuumhoz képest mért nyomást "abszolút nyomásnak" hívjuk. Minden esetben fontos tudni a nyomás értékről, hogy abszolút, vagy túlnyomás. A kétféle nyomás között igen egyszerű kapcsolat áll fenn: 1.8

p abs = p túl. + p atm

300

200

kPa

kPa

200

100 pozitív túlnyomás

100

légköri nyomás

részleges vákuum

0 negativ túlnyomás

0

-100

abszolút vákuum

abszolút vákuum

abszolút nyomás

túlnyomás

1.7. ábra abszolút és túlnyomás

-

1. Az abszolút vákuum a lehetséges legkisebb nyomás, ezért az abszolút nyomás mindig pozitív.

-

2. A túlnyomás lehet negatív is, ha az atmoszféra alatti a nyomás, ezt vákuumnak is hívják.

-

3. Az atmoszférikus nyomás változik a hely az idő és az időjárási viszonyok függvényében, nem egy állandó érték.

-

4. Az atmoszférikus nyomás változása a földfelszín közelében 95 kPa (absz.) és 105 kPa (absz.) között változik. A normál atmoszférikus nyomás 101.3 kPa (absz.).

1.1.5.2. HIGANYOS BAROMÉTER

Súlyánál fogva a légkör a benne levő testekre nyomást fejt ki. Az előző alkalmazási példában a nyomás változását határoztuk meg. A légköri nyomás mérésére a legegyszerűbb eszköz a higanyos barométer. A légnyomást ezzel az eszközzel először Evangelist Torricelli (1608-47) olasz fizikus mérte meg 1643-ban. Kb. 1m hosszú, egyik végén zárt üvegcsövet színültig töltünk higannyal, majd a cső végét befogva lefelé fordítva higanyt tartalmazó edénybe állítjuk. Ha a befogott véget szabaddá tesszük, a higany csak részben folyik ki. A higany a csőben kb. 760 mm-el magasabban áll meg, mint a külső edényben lévő higany felszíne. A tenger szintjén a normál légköri nyomás p 0 = 101 350 Pa , ρ Hg = 13600

kg m és g = 9.81 2 , 3 m s

így a barométerben a higanyszál magassága h = 0. 761m vagy 761 mm. (Egy vizes manométer 10.35 mt mutatna. Azért használnak higanyt, mert ez a legnehezebb könnyen hozzáférhető folyadék. A nyomás egységeként a "torr" is használatos Torricelli emlékére, bár az SI mértékrendszernek ez nem alapegysége.

1torr = 1Hgmm= 9.81 ⋅13.6 = 133.4Pa A vérnyomást a mai napig is "torr"-ban adják meg, pl.: 120/80 torr valakinek a vérnyomása. 14

felvíz



alvíz

1.1.5.3. U CSŐ, MINT MANOMÉTER

A legegyszerűbb folyadékoszlopos nyomásmérő eszköz az U-cső. Működése a hidrosztatikai egyensúly elvén alapszik. A 1.8. ábrán látható két tartály közötti nyomáskülönbséget kell meghatározni, p1 − p 2 -t. A tartályokban lévő közeg (víz) sűrűsége " ρ ". Ez teljesen kitölti az U-csőben lévő mérőfolyadék fölötti teret és a mérővezetéket. A " ρ m " sűrűségű mérőfolyadék nem keveredik a " ρ " sűrűségűvel, ezért az érintkezési helyen határozott felszín választja el azokat egymástól. Ha a mérőfolyadék két felszínére ugyanakkora nyomás hat és a két felszínen a felületi feszültség hatása azonos, akkor a két felszín a vízszintes alapfelszínben van. Ha a manométer két bekötésére különböző nyomást vezetünk, akkor az "U"-csőben lévő mérőfolyadék kitér. Az "U"-csőre a hidrosztatika alaptörvényét kell alkalmazni

p + U = állandó ρ

1.9

Alkalmasan választott pontok között kell az egyenletet felírnunk. A folyadékok határfelületein keresztül nem szabad az egyenletet alkalmazni, hiszen akkor a sűrűség ugrásszerűen megváltozik, tehát nem állandó. A határfelületeken segédpontokat kell felvenni és a nyomások azonosságát kell feltételezni. Az 1.8. ábrán látható két tartályban, különböző magasságban áll a víz és különböző a tartályokban a víz felett lévő levegő nyomása is. A tartályok aljáról nyomásvezetékeken egy higanyos "U"-csöves manométerhez vezetjük a nyomást. A nyomásvezetékek és az "U"-cső higany feletti része teljes mértékben vízzel telített. Kérdések: a./ Mekkora a két tartályban uralkodó nyomások különbsége ?

adatok: ρ víz = 10 3

kg m3

;

ρHg = 13.6 ⋅103

kg ; p0 = 105 Pa 3 m

Megoldás: A megoldáshoz az állandó sűrűség esetében használatos

p + U = áll. összefüggést kell alkalmazρ

ni. Figyelembe véve, hogy az összefüggés csak egy közegen belül érvényes. A közeghatáron csak a nyomások azonosságát szabad feltételezni. Az U potenciálfüggvény (nem összetévesztendő az „U”cső alakjának megnevezésével) egyszerűen felírható egy olyan koordináta-rendszerben, amelynek „z” tengelye függőlegesen felfelé mutat és origója az "U"-cső aljával egy magasságban található. a./ Alkalmazzuk a statika alaptörvényét a következő pontok között: 1-A pontok között vízben p1 p + g ⋅ z1 = A + g ⋅ z A ρ víz ρ víz

A-B pontok között higanyban pA p + g ⋅ zA = B + g ⋅ z B ρ Hg ρ Hg

B-2 pontok között vízben

15

felvíz



alvíz

pB p + g ⋅ z B = 2 + g ⋅ z2 ρ víz ρ víz

p1

p2 h=0.5 m

1

2

légtelenítő

D C

z

A alapszint

120 mm

B

Higany

o

1.8. ábra U-csöves manométer

U = g ⋅ z + áll. A "z" koordináták a nulla szinttől mért magasságokat jelölik. Fejezzük ki a fenti egyenletekből a nyomáskülönbségeket, ekkor

p1 − p A = g ⋅ ρ v’z ⋅ (z A − z1 ) p A − p B = −g ⋅ ρ Hg ⋅ (z A − z B )

p B − p 2 = g ⋅ ρ víz ⋅ (z 2 − z B )

majd adjuk össze a három egyenletet, így a keresett nyomáskülönbséget kapjuk:

p1 − p 2 = g ⋅ ρ víz ⋅ (z A − z B ) − g ⋅ ρ Hg ⋅ (z A − z B ) + g ⋅ ρ víz ⋅ (z 2 − z1 ) . Behelyettesítve a példa adatait, az eredmény a következő:

p 1 − p 2 = 9.81 ⋅10 3 ⋅ 0.12 − 9.81 ⋅13.6 ⋅10 3 ⋅ 0.12 + 9.81 ⋅10 3 ⋅ 0.5 = − 9.9276 kPa Célszerűbb a pozitív nyomáskülönbséget megadni, ami

p 2 − p 1 = 9.927kPa .

16

1.10

felvíz



alvíz

1.1.5.4. RUGÓS NYOMÁSMÉRŐ MŰSZEREK

Bourdon-cső

mutató

erőátvitel

1.9 ábra Bourdon-csöves manométer

Talán a legelterjedtebb nyomásmérő műszer a Bourdon-csöves nyomásmérő (ld. 1.9. ábra). Nevét Eugéne Bourdon (1808-1884) francia mechanikusról, feltalálójáról kapta. A körívre, vagy spirálra hajlított cső egyik végét behegesztik, és egy mutatóhoz csatlakoztatják. A másik vége kapcsolódik a nyomásmérési helyhez. A cső belsejébe jutó nyomás kiegyenesíteni igyekszik a csövet. A cső szabad végét egy szerkezet felnagyítva juttatja a mutatóhoz, amelyet elmozdít. A mutató alatti skálát megfelelően kalibrálják. A műszer széleskörű elterjedését egyszerű szerkezete és könnyű kezelhetősége magyarázza. 1.1.5.5. NYOMÁSTÁVADÓK

Az elektromos kimenetet adó eszközök elterjedése egyre szélesebb körben jelentkezik az ipari, laboratóriumi felhasználásban. Ennek oka a számítógépes adatfeldolgozás, irányítás és vezérlés rohamos terjedése. Az elektromos kimeneti jellel rendelkező nyomásmérő eszközök különböző elven működhetnek. Az egyik fajtájuk az, amelynél az előző fejezetben ismertetett folyadékos mikromanométerek folyadék-szint érzékelését elektromos jellé alakítják, és ezt lehet azután megfelelő átalakítással felhasználni. Az elektronikus nyomásmérők egy további csoportja az amelynél a nyomás hatására egy rugalmas elem deformálódik és a létrejött deformáció érzékelésével kapott elektromos feszültség, vagy áram szolgál kimenőjelként. Leggyakrabban deformálódó elemnek membránt használnak kis nyomások érzékelésére. A membrán anyagától, geometriai méreteitől függ a nyomásmérő érzékenysége, pontossága. A membrán anyaga nagyban befolyásolja a mérés pontosságát, a nyomásmérő nullhibáját, karakterisztikájának linearitását. Léteznek még piezoelektromos elven, mágneses elven működő nyomásmérő eszközök is, ezeket itt nem ismertetjük. 1.2. KINEMATIKA ÉS A FOLYTONOSSÁG TÉTELE 1.2.1. A FOLYADÉKMOZGÁS LEÍRÁSA

Szilárd testek mozgásának leírására elegendő a súlypontjának helyzetét, valamint a súlyponton átmenő három egymásra merőleges tengely körüli elfordulását megadni. A test többi pontjának helyzetét ezek ismeretében bármely helyen és időben meg tudjuk kapni, hiszen a test mozgás közben az alakját nem változtatja meg. A folyadékban az egyes részecskék egymáshoz képest szabadon elmozdulhatnak, minden egyes ré17

felvíz



alvíz

szecske mozgását külön kell figyelemmel kísérni. A rendszer szabadságfoka végtelen. Ezt a módszert csak bizonyos speciális esetekben célszerű használni. Nehézkessége miatt általánosan a folyadékok mozgásának leírására nem használják. Euler-féle leírási mód, amely a térben rögzített pontban uralkodó sebességet, gyorsulást stb. írja le az idő függvényében, tehát a szilárd testek leírási módjától lényegesen különbözik. A továbbiakban ezt a módszert alkalmazzuk 1.2.1.1. ÁRAMVONAL, PÁLYA, NYOMVONAL, STACIONER ÁRAMLÁS

A térben és időben változó sebességtér szemléltetésére a folyadéktérben a következő görbéket használják. - A pálya egy kiszemelt pontszerű folyadékrész által befutott út. Pályák, pl. a hosszú exponálási idővel készült éjszakai felvételeken látható autók helyzetjelzői által létrehozott fényes vonalak, vagy a magasban szálló repülőgép kondenzcsíkja. -

Az áramvonal olyan görbe, amelyet egy adott pillanatban a sebességvektor minden pontjában érint: v × ds = 0 , ahol ds az áramvonal elemi hosszúságú darabját jellemző vektor. Az áramvonal egy adott pillanatban a sebességvektorok burkoló görbéje, így általában időben változó görbe.

-

A nyomvonal a tér egy pontján egymás után áthaladó folyadékrészeket egy adott pillanatban összekötő görbe. (Ilyen nyomvonal, pl. a hamutartóra tett cigarettáról felszálló füstcsík. Az áramlások igen fontos sajátossága időfüggésük, azaz, hogy jellemzőik (sebesség, nyomás, sűrűség) függnek-e az időtől. Stacioner, időálló az áramlás, ha jellemzői nem függnek az időtől. Ha a sebesség a tér bármely pontjában az időtől független, a fenti három vonal egybe esik, mert ezeknél egy részecske mindig az időben állandó áramvonal érintője irányában halad, és így egy ponton áthaladó részecskék mind ugyanazon áramvonalon sorakoznak. Az ilyen áramlást tehát, időálló, vagy stacioner áramlásnak nevezzük. Stacioner áramlásban, pontszerű forrásokban bejuttatott füsttel, festett vízzel stb.-vel, a nyomvonalak segítségével az áramvonalak is láthatóvá tehetők. Az áramlás időállósága általában nem független a koordináta-rendszer választásától. Például a folyóban lévő hídpillér a hídról nézve stacioner, az ennek megfelelő áramvonalakat a 1.10. ábra alsó részén láthatjuk. A folyóhoz rögzített koordináta-rendszerből nézve nem stacioner, mert a folyónak a pillértől távolabb lévő részei a folyóhoz rögzített koordináta-rendszerhez viszonyítva nyugalomban vannak, míg a pillér közelében lévő részek elmozdulnak (kitérnek a pillér elöl), majd helyükre visszatérve ismét nyugalomba jutnak. Ennek megfelelő áramvonalakat a 1.10. ábra felső részén láthatjuk. Ez az áramkép a folyóhoz viszonyítva, a pillérrel együtt halad. 1.2.2. A FOLYTONOSSÁG TÉTELE

A továbbiakban csak olyan áramlásokkal foglalkozunk, amelyekben a folyadék nem tűnik el, és nem keletkezik. Ezt a tulajdonságot a folyadék folytonosságának nevezzük. Áramlásban előforduló kémiai reakcióknál, fázis-átalakulásoknál (pl. forrás, lecsapódás) a folyadék egy része eltűnhet, vagy keletkezhet. Ha pl. gőz áramlik egy csővezetékben, akkor a vezeték falára kicsapódó vízpára a gőzfázisból eltűnik. Ilyen típusú áramlásokkal jelen jegyzetben nem foglalkozunk. Elsőként vizsgáljunk egy időálló, stacioner áramlást. Egy sík felületdarab kerülete mentén megrajzoljuk az áramvonalakat, amikből egy áramcsövet kapunk. Az áramcső palástját áramvonalak alkotják, így azon keresztül nem tud a folyadék átlépni, hiszen a sebesség mindenütt érintője a falat alkotó áramvonalaknak. Az "1" felületen belépő tömegáramot a

18

felvíz



alvíz

Folyóval együtt mozgó megfigyelő

Álló térbeli megfigyelő 1.10. ábra Áramlás a hídpillér körül

q m = ∫∫ ρ⋅ v⋅ d A

1.11

A1

kifejezésből kapjuk. Amennyiben a sűrűség és sebesség közel állandó az " A1 " felület mentén, valamint a felületre merőleges a sebesség, abban az esetben a tömegáramot egyszerűbben számíthatjuk, mégpedig a három mennyiség egyszerű szorzatából: 1.12

q m = A 1 ⋅ ρ1 ⋅ v 1

Az " A 2 " felületen ugyanekkora tömegáramnak ki is kell áramlani, mert a folyadék nem tűnhet el, ill. nem keletkezhet a csőben. Tehát a kontinuitás tétele kimondja, hogy a belépő és a kilépő tömegáram azonos, így: 1.13 ⎡ kg ⎤ A 1 ⋅ ρ1 ⋅ v 1 = A 2 ⋅ ρ 2 ⋅ v 2 ⎢ ⎥ .

⎣ s ⎦

2

1 1.11. ábra Áramcső

Amennyiben a sűrűség állandó, akkor a kontinuitás tétele áramcsőre tovább egyszerűsíthető, mégpedig a térfogatáramok egyenl őségét kell csak felírni a két keresztmetszet között, mert a sűrűséggel egyszerűsíthetünk, tehát a belépő és a kilépő térfogatáram azonossága áll fenn: 19

felvíz



⎡ m3 ⎤ A1 ⋅ v1 = A 2 ⋅ v 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ s ⎥⎦

alvíz

1.14

Csővezetékek esetében használjuk a 1.13 és 1.14 kifejezéseket, stacioner áramlásokra. A kontinuitás tétele instacionárius áramlásra a következő alakot ölti:

∂ρ + div(ρ ⋅ v) = 0 ∂t

1.15

Amennyiben az áramlás stacionárius a sűrűség egy adott pontban nem függ az időtől, tehát

∂ρ = 0 , ebben az esetben a folytonosság tétele leegyszerűsödik a ∂t div(ρ ⋅ v) = 0

1.16

alakra.

A divergencia fizikai jelentése térfogati forrás erősség, amennyiben ennek értéke mindenütt zérus, az annyit jelent, a ρ⋅ v vektortér forrásmentes. A divergencia egy skalár-vektor függvény akárcsak a nyomás eloszlás, vagy a hőmérséklet eloszlás a térben. 1.2.3. A BERNOULLI-EGYENLET ÉS ALKALMAZÁSAI

.A 1.17 egyenletet, megalkotójáról, Bernoulli-egyenletnek nevezzük. (Daniel Bernoulli 1700-1782 svájci tudós.) Az egyenletet annak idején energetikai megfontolások alapján hozta létre. (Manapság szokás a Bernoulli-egyenletet az Euler-féle mozgásegyenlet vonal menti integráljaként is előállítani [Szlivka; 1999]. v12 p v2 p + 1 + h1 = 2 + 2 + h 2 2⋅g ρ⋅g 2⋅g ρ⋅g

1.17

Az egyenlet egyégnyi súlyú anyag mozgási, nyomásban tárolt és helyzeti energiáját tartalmazza. A vízzel foglalkozók ezt magasságokkal szokták kifejezni. A

v2 2⋅g

tagot sebesség-magasságnak;

a

p ρ⋅g

tagot nyomás-magasságnak és

a h tagot geodetikus, vagy egyszerűen magasságnak nevezik. (Itt megjegyezzük, hogy a „h”-val jelölt tag nem csak a Föld nehézségi erőterében, hanem pl. forgó térben is értelmezhető, és az erőtér egységnyi súlyra vonatkozó potenciálját jelenti. Ezt a későbbiekben fel fogjuk használni a szivattyúk működésének tárgyalásakor.) Kimondja, hogy egy áramvonalon fekvő 1-es és 2-es pontokban a három energiafajta összege állandó. Az egyenlet ebben a formájában azonban csak bizonyos feltételek esetében használható. Az alkalmazhatóságának feltételei, összefoglalva a következők:

20

-

az áramlás stacionárius,

-

örvénymentes az áramlás, vagy áramvonalon integrálunk, stb.

-

az erőtér potenciálos (legtöbbször a Föld nehézségi erőtere hat csupán, akkor ez a feltétel automatikusan teljesül)

felvíz


-


alvíz

a sűrűség állandó, (víz esetében ez gyakorlatilag mindig fennáll)

-

és a súrlódás elhanyagolható (bizonyos áramlások ezt a feltételt jó közelítéssel teljesítik, ilyen, pl. a következőkben tárgyalásra kerülő néhány példa is). A Bernoulli-egyenlet alkalmazásakor a következő szempontokat célszerű betartani:

-

1./ Elsőként el kell dönteni, hogy az alkalmazás feltételei megvannak-e. A feltételek összefoglalását megismételjük: az áramlás stacionárius, a rotációs tag zérus, örvénymentes az áramlás, vagy áramvonalon integrálunk, stb., a folyadékra ható erőtér potenciálos (legtöbbször a Föld nehézségi erőtere hat), a sűrűség állandó és a súrlódás elhanyagolható.

-

2./ A következő lépésben alkalmas koordináta-rendszert kell választani, amelyben egyrészt az áramlás jól leírható, pl. az áramlás stacionárius, másrészt az erőtér potenciálja egyszerűen felírható

-

3./ A folyadéktérben alkalmas pontokat kell választani, legalább kettőt, de bizonyos esetekben, pl. ha többfajta folyadék található a rendszerben, akkor kettőnél több pontot. A pontok kiválasztásánál a következőket célszerű szem előtt tartani: Az egyik pontban lehetőleg minden mennyiséget ismerjünk, a másik pontban pedig csak egy ismeretlen, a keresett mennyiség legyen. A célszerű pontok: szabad felszínen, nagy térben, kiömlő sugárban, két folyadék határfelületén stb. De a kontinuitás tétel használatakor lehet két ismeretlen is.

-

4. Az erőtér potenciál felírása után alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlet megfelelő alakját. 1.2.3.1. KIÖMLÉS TARTÁLYBÓL, TORRICELLI-KÉPLET

p

1 Levegő

p

1

0

h

2

1.12. ábra víz kiömlése tartályból

A víz áramlásának tárgyalásakor igen gyakran használjuk a következő példában levezetett Torricelli-képletét, amely egy szabad felszínű tartályból kifolyó víz sebességét adja meg. Ennek egy kissé bonyolultabb esetét tárgyaljuk a példában. A tartály keresztmetszete a kifolyó nyíláshoz képest végtelen nagynak vehető, így a felszín süllyedési sebessége elhanyagolható. A vizsgálat ideje alatt a jelenség stacionáriusnak tekinthető. adatok: h = 5m Kérdések: a./ Mekkora a kifolyás sebessége, ha p 1 = 3bar (absz.) ? b./ Mekkora a kifolyás sebessége, ha p 1 = p 0 , vagyis nyitott a tartály?

Megoldás: Az áramlás nyugvó térből indul és gyakorlatilag veszteségmentesen áramlik a kifolyónyílásig. Az 21

felvíz



alvíz

"1" pont a nyugalomban lévő folyadék felszínén helyezkedik el, a "2" pont a kifolyás helyén. A kifolyó sugárban a környezeti nyomás uralkodik. A magasságok számítása szempontjából célszerű a "2" pont magasságában megválasztanunk a nulla szintet. Ekkor ott a magasság nulla. p p v2 02 + 1 +h= 2 + 0 +0 2⋅g ρ⋅g 2⋅g ρ⋅g

Alkalmazva a Bernoulli-egyenletet Ebből kifejezhetjük a keresett sebességet:

⎛ p − p0 ⎞ ⎟ v 2 = 2 ⋅ g ⋅ ⎜⎜ h + 1 ρ ⋅ g ⎟⎠ ⎝ a./ Behelyettesítve az értékeket

⎛ 3 ⋅ 10 5 − 1 ⋅ 10 5 ⎞ m ⎟⎟ = 22.31 v 2 = 2 ⋅ 9.81 ⋅ ⎜⎜ 5 + 1000 ⋅ 9.81 ⎠ s ⎝

1.18

b./ Amikor a tartályban a túlnyomást megszüntetjük, akkor a kifolyás sebessége a v 2 = 2 ⋅ g ⋅ h kifejezésből számítható, ezt Torricelli-formulának is szokták nevezni felfedezőjéről, Torricelliről. Bár meg kell jegyezni, hogy az összefüggést már az ókorban is ismerték A kifolyási sebesség ebben az esetben éppen akkora, mintha a folyadék "h" magasságból szabadon esett volna. Helyzeti energiája teljes mértékben mozgási energiává alakul. 1.2.3.2. KIÖMLÉS TARTÁLYBÓL NEM IDŐÁLLÓ ÁRAMLÁS ESETÉN

Az előző példában egy végtelen nagy tartályból történő kiömlést vizsgáltunk. A tartályhoz csatlakoztassunk egy viszonylag hosszú csövet (a cső hoszsza több nagyságrenddel nagyobb, mint az átmérője), amelynek végén egy csap található. A csapot nagyon gyorsan ki lehet nyitni, mint pl. egy golyós csapot. Lezárt csővég esetén a víz áll a csőben, a nyomás pedig a cső mentén állandó és megegyezik a tartályban lévő vízoszlop nyomásának és a tartályban lévő túlnyomásnak az összegével. A csap hirtelen nyitásakor a nyomás a csap mögött leesik a légköri nyomásra, majd a csökkenő nyomás egy hullám formájában beterjed a cső többi keresztmetszetébe. A csőben lévő folyadékrészecskékre a nyomás csökkenése folytán gyorsító erő hat, amely megindítja a folyadékoszlopot. A kinyitás pillanatában azonban a folyadék a csőben még áll. A folyadék sebessége a fokozatosan nő, majd elér egy maximális értéket, mégpedig a stacioner sebességet, amennyiben nincs súrlódás a rendszerben. adatok: p 1 = 3bar (absz.) ; p 0 = 1bar ; h = 5m ; l = 15m p

1

Levegõ 1

z

p

0

l

h

O

A 2 1.13. ábra Instacioner kiömlés tartályból

22

felvíz



alvíz

Kérdések: a./ Határozzuk meg a kiömlés sebességét állandósult állapotban. b./ Határozzuk meg a folyadék sebességét és gyorsulását az idő függvényében a csőben. c./ Kb. mennyi idő alatt áll be a stacioner sebesség a fent megadott adatokkal? d./ Rajzoljuk fel a nyomás megoszlását a cső mentén

t = 1 értéknél! τ

a./ Stacioner megoldás

Viszonylag hosszú idő elteltével a csőben a sebesség eléri a stacionárius, vagy állandósult sebességet (a tartályban a vízfelszín süllyedése még ekkor is elhanyagolható). A csőben elhanyagolható a súrlódási veszteség, így az előző példában kapott eredmény itt is alkalmazható. Veszteségmentes esetben ugyanis egy vízszintes, állandó keresztmetszetű csőben, stacioner esetben a nyomás nem változik, tehát a cső végén uralkodó nyomás a tartályig állandó. A légköri nyomás a tartály kiömlő keresztmetszetében is megjelenik, hasonlóan az előbbi feladathoz. Így a cső végén a stacionárius sebesség a 1.19 egyenlet szerint (jelöljük v st -vel):

p − p0 ⎛ v st = v 2 = 2 ⋅ g ⋅ ⎜⎜ h + 1 ρ⋅g ⎝

⎛ ⎞ (3 − 1) ⋅10 5 ⎞⎟ = 22.31m ⎟⎟ = 2 ⋅ 9.81 ⋅ ⎜⎜ 5 + ⎟ s ⎠ ⎝ 1000 ⋅ 9.81 ⎠

1.19

Fejezzük ki a sebesség négyzetét az egyenletből, mert a további megoldáshoz szükségünk lesz rá:

p − p0 ⎛ v st2 = 2 ⋅ g ⋅ ⎜⎜ h + 1 ρ⋅g ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

1.20

b./ Instacioner megoldás A példában mindazok a feltételek teljesülnek, amely a stacioner tartályból való kifolyás esetében, kivéve, hogy itt a jelenség a csőben időben változik, tehát instacioner, ezért a Bernoulli-egyenletnek azt a formáját kell választanunk, amelyben még nem kötöttük ki az időállóság feltételét. Az egyenlet egy további taggal bővül, amelyik a csőben kialakuló gyorsulást veszi számításba. Az egyenlet első tagja a lokális gyorsulás vonalintegrálja egy adott időpillanatban az"1" és "2" pontok közt felvett út mentén.

v2 p v2 p 1 2 ∂v 1.21 ⋅ ∫ ds + 2 + 2 + h 2 = 1 + 1 + h 1 g 1 ∂t 2⋅g ρ⋅g 2⋅g ρ⋅g Az ábrába berajzolt útvonal egyben áramvonal is minden egyes időpillanatban, így a haladási út és a gyorsulás egyirányúak, egyszerű skalár számok szorzatával helyettesíthető az integranduszban lévő skaláris szorzat. A gyorsulás vonalintegrálját az alábbi megfontolások alapján fejezzük ki. Ha a tartály elegendően nagy, akkor benne a sebesség elhanyagolható, de akkor a gyorsulás is jó közelítéssel zérus. Ezért az integrálási útvonalat két részre osztjuk: "1-A" és "A-2" szakaszra: 1 2 ∂v 1 A ∂v 1 2 ∂v ⋅ ∫ ds = ⋅ ∫ ds + ⋅ ∫ ds . g 1 ∂t g 1 ∂t g A ∂t A jobb oldal első tagja 0, mert a végtelen nagynak tekintett tartályban a közeg gyorsulását elhanyagolhatjuk. Az integrálunk következő egyszerűbb alakot ölti: 1 2 ∂v 1 2 ∂v ⋅ ∫ ds = ⋅ ∫ d s g 1 ∂t g A ∂t

1.22

Az integrál elvégzéséhez a lokális gyorsulás változását kell ismerni a cső hossza mentén. Ha 23

felvíz



alvíz

állandó a kontinuitásból következik, hogy a cső bármely keresztmetszetében egy adott pillanatban azonosnak kell lennie a térfogatáramnak, mert ellenkező esetben a folyadék vagy összenyomódna, vagy szétszakadna:

v1A1 = v 2 A 2 . Feltétel az is, hogy a cső keresztmetszete nem tágul, ill. nem szűkül össze. A fenti egyenletet idő szerint deriválva csak a sebességek függhetnek az időtől, így

∂v 1 ∂v ⋅ A1 = 2 ⋅ A 2 ∂t ∂t Jelöljük a sebességek idő szerinti deriváltjait "a"-val, ekkor

a 1A1 = a 2 A 2

1.23

Ebből következik, hogy állandó sűrűségű közeg lokális gyorsulása állandó keresztmetszetű csőben nem változik a cső hossza mentén. Ezért a 1.22 összefüggés az alábbiak szerint alakítható át:

1 2 ∂v 1 2 a ⋅∫ ds = ⋅ ∫ a ds = ⋅ l . g g 1 ∂t g A

1.24

Írjuk fel ezek után a Bernoulli-egyenlet 1.21 egyenlet többi tagját is az "1" és a "2" pontok között. p v2 p a ⋅ l + 2 + 0 = 1 +h . g 2⋅g ρ⋅g ρ⋅g

1.25

Vezessük be a következő jelöléseket: v 2 = v és a = dv . Azért használhatunk idő szerinti teljes dt deriváltat, mert a sebesség a csőben csak az időtől függ a helytől nem. Rendezzük át az egyenletet 2⋅l

⎛ p − p0 ⎞ dv + v 2 = 2 ⋅ g ⋅ ⎜⎜ 1 + h ⎟⎟ dt ⎝ ρ⋅g ⎠

1.26

Vegyük észre, hogy az egyenlet jobb oldala éppen a "„ stacioneracioner sebesség négyzete (1.20 egyenlet). Ezt behelyettesítve és szétválasztva a következő differenciálegyenletet kapjuk:

dv dt . = 2 2⋅ l v −v

1.27

2 st

A stacioner sebességgel dimenziótlanítva és kijelölve az integrált: v d v v st v st v t = st ∫ dt . ∫ 2 2l 0 0 ⎛ v ⎞ ⎜ ⎟ 1− ⎜ ⎟ ⎝ v st ⎠ Integrálás után az artanh

τ=

t ⋅v st v összefüggés adódik, pl. integrál táblázatból. Vezessük be a = v st 2⋅ l

2⋅ l időt, ahol -t a rendszer saját idejének is nevezhetjük. A sebességfüggvényt ezek után úgy v st

kapjuk, hogy mindkét oldalra alkalmazzuk a "tangens hiperbolikusz" függvényt. 24

1.28

felvíz


v v st a a0


alvíz

1.2

v t = v st tanh τ

1 0.8 0.6

1 a a 0 =cosh2 t τ

0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t τ

3

1.14. ábra A sebesség és a gyorsulás időbeli függvényei

v = v st ⋅ tanh

t τ

1.29

A gyorsulás függvény a sebesség függvénynek az idő szerinti deriváltja a =

a0 t cos h τ

,

2

p

kPa

p

0

250

A1

200 150

ρ vτ2 2

100

A2

t= τ

50 0

t=0

t=3τ 0

2

4

6

8

10

12

14

m

l

16

1.15. ábra A nyomáslefutás a cső hossza mentén

ahol a 0 =

v st2 a kezdeti időpillanatban érvényes gyorsulás. (a "cosh" függvény pedig a koszinusz τ

hiperbolikusz függvény). c./ A 1.15. ábrából látható, hogy kb.

t = 3 esetén már a stacioner sebességgel áramlik a csőben a τ

közeg. A konkrét idő kiszámításához a "τ" saját időt kell először meghatározni

τ=

2⋅ l 2⋅15 v = = 1.34s A három saját idő értéke 4 s, amikor = 0.995 . v st v st 22.31

d./ A

t = 1 esetén mind a sebességet, mind a gyorsulást meg tudjuk határozni a 1.14. ábrából. Pélτ

dául a diagramból kiolvashatjuk az értékeket.

v st2 m A sebesség v τ = 0.78 ⋅ v st = 0.78 ⋅ 22.31 = 17.4 ,a gyorsulás pedig a τ = 0.4 ⋅ a 0 = 0.4 ⋅ s 2⋅l 2 22.31 m a τ = 0.4 ⋅ = 6.6 2 . 2 ⋅15 s 25

felvíz



alvíz

A gyorsulást más módon is meg lehet határozni. Írjuk fel a 1.25 egyenletet egy τ időpontra. aτ v2 p p ⋅ l + τ + 0 = 1 +h g 2⋅g ρ⋅g ρ⋅g és fejezzük ki belőle a gyorsulást 2 22.312 17.4 2 p0 v 2τ v st v 2τ p1 − +h − − − ρ⋅g ρ⋅g 2⋅g 2⋅g 2⋅g m 2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 9,81 aτ = g ⋅ =g⋅ = 9.81 ⋅ = 6.5 15 l l s2

Az eltérés a leolvasás pontatlansága miatt adódott. A nyomásfüggvény meghatározásához alkalmazzuk az instacioner Bernoulli-egyenletet (1.21 v2 p v2 p 1 2 ∂v ⋅ ∫ ds + 2 + 2 + h 2 = 1 + 1 + h 1 g 1 ∂t 2⋅g ρ⋅g 2⋅g ρ⋅g egyenlet) az "A" pont és a "2" pontok között. Az "A" pont elhelyezkedésére ugyanaz érvényes, mint a szivornya belépő keresztmetszetében, vagyis a beáramlás helyén lévő bonyolult áramlás miatt itt is a sebesség nagyon rövid szakaszon igen gyorsan változik. Az " A 2 " pontot most is a csőben a belépés

után helyezzük el, az " A 1 " pedig a belépés előtt legyen. Az integrál megint helyettesíthető a gyorsulás és a hossz szorzatával, a két sebesség és a két magasság, pedig azonos, így aτ p p ⋅ l + 0 = A adódik, amelyből a nyomáskülönbség g ρ⋅g ρ⋅g

(p A − p 0 )τ = ρ ⋅ a τ ⋅ l = 1000 ⋅ 6.5 ⋅15 = 97.5 kPa A nyomás lefutását a 1.15. ábra mutatja a t = τ időpillanatban, a cső mentén lineárisan változik. Az ábrában feltüntettük a t = 0 (piros) és a t = 3 ⋅ τ (zöld), amely megfelel a végtelen idő eltelte után érvényes állapotnak. 1.2.3.3. VÍZEMELŐ KOS

A vízemelő kos (vízkos) (1.16. ábra), a folyadék mozgási energiáját hasznosító, a folyadéklengés alapján működő vízemelő szerkezet. A szívócsövön át beáramló folyadék sebessége folyamatosan növekszik az előző példában levezetett és a 1.17 ábrán is ábrázolt 1.32 kifejezés szerint. Az indítószelepet egy adott sebesség elérésekor lezárja. Legyen ez a sebesség az előbbiekben tárgyalt stacioner sebességnek 90%-ánál, tehát v 0 = 0. 9 ⋅ v st . A hirtelen lezáró indítószelep megállítja a folyadékoszlopot, emiatt a szivattyútérben a nyomás megnő (ld. Allievi-elmélet) és keletkező túlnyomás nyitja a nyomószelepet, és a h2 szintre szállítja a folyadékot. A folyadékszállítás a nyomócsőben addig tart, amíg a h2 vízoszlopnak megfelelő nyomás ellenében végzett munka a folyadékáram mozgási energiáját fel nem emészti. A sebesség időbeli csökkenését a 1.17 ábrán a 1.30 összefüggés mutatja. (Ez a függvény hasonló módon vezethető le, mint az előző példában a nyitásnál fellépő sebességfüggvény [Szlivka; 1998].) Ekkor a nyomószelepen a sebesség nullára csökken, és a szelep bezár. A megfelelő nyomásra beállított indítószelep ekkor kinyit és a víz azon keresztül a szabadba áramlik. A szívócsőben a sebesség folyamatosan növekszik és a folyamat kezdődik elölről. A szállítás folyamatosságát légüst biztosítja.

v = v st ⋅ tanh

26

t τ

1.30

felvíz



alvíz

1.31

v 0 = 0. 9 ⋅ v st

v st = 2 ⋅ g ⋅ h1

⎛ v t ⎞ v = v *st ⋅tg⎜ arctg 0 − ⎟ ⎜ v*st τ* ⎟⎠ ⎝

1.32

A szállító vízmennyiség az (1.30 egyenlet) egyenlettel leírható görbe alatti területtel, a szállított víz mennyisége a (32) görbe alatti, vonalkázott területtel arányos. Minél nagyobb a v *st , azaz a h 2 − h1 különbsége, annál meredekebb a (1.32 egyenlet) görbe és így annál kisebb a szállított vízmennyiség.

h

2

légüst

h1 szívócső indítószelep nyomószelep

szivattyú

1.16. ábra Vízemelő kos

3.5 3 v0 2.5

30

30

2 v [m/s] 1.5

32

32

1 0.5 0

0

5

10

15

20 t [s]

1.17. ábra Vízemelő kos

27

felvíz



alvíz

1.2.3.4. VENTURI-CSŐ

A Ventuti-cső szabványosított mérőeszköz. Az ábrán látható vízszintes tengelyű Venturi-csővel térfogatáramot mérünk. A csőben a folyadék balról jobbra áramlik. Az áramlás stacionárius és gyakorlatilag veszteségmentesnek tekinthető. Az 1-es és 2-es pontok nyomáskülönbségét mérjük U-csőves higanyos manométerrel. h = 500mm ; ∆h = 360mm ; D = 200mm ; d = 100mm ; adatok: kg kg ρ víz = 10 3 ; ρ Hg = 13.6 ⋅10 3 3 m m3 Kérdés: Mekkora a csővezetéken átáramló víz térfogatárama? Megoldás: A Venturi-csőben az áramlás veszteségmentesnek vehető azon a szakaszon, ahol az áramlás gyorsul. Az 1-es és a 2-es pontokat a manométer megcsapolásának magasságában választottuk. A feladat megoldásához elsőként meg kell állapítani, hogy a higanyos U-cső által mutatott kitérésből hogyan lehet kiszámítani a p1 − p 2 nyomáskülönbséget. Tudjuk, hogy az U-cső jobb oldali szárában a higanyszint magasságában lévő nyomás megegyezik a baloldali szárban az ugyanilyen magasságban lévő pontban uralkodó nyomással. (Közlekedő edény két szárában azonos sűrűségű folyadék esetén azonos a nyomás azonos magasságban.) Felírva az ábra jelöléseivel a bal és a jobb oldali szárban a nyomásokat a következő egyenletet kapjuk: p1 + ρ víz ⋅ g ⋅ (h + ∆h ) = p 2 + ρ víz ⋅ g ⋅ h + ρ Hg ⋅ g ⋅ ∆h p1 − p 2 -re, a következőt kapjuk.

Amelyből kifelezve a

Torok átmérõ 2

Csõvezeték eredeti átmérõje 1

Csõvezeték eredeti átmérõje 3

α1

D

d

h

α2

Áramlás D

víz o o α 1 = 21 + 2 ∆

o o α 2 = 5 - 15

h Hg

1.18. ábra Venturi-cső

(

)

p1 − p 2 = ρ Hg − ρ viz ⋅ g ⋅ ∆h

(

)

p1 − p 2 = 13.6 ⋅ 10 3 − 10 3 ⋅ 9.81 ⋅ 0.36 = 4.49 ⋅ 10 4 Pa Ezt követően alkalmazhatjuk a feladatra a Bernoulli-egyenletet

28

1.33

felvíz



alvíz

2

⎡ v2 ⎤ p + + h⎥ = 0 ⎢ ⎢⎣ 2 ⋅ g ρ ⋅ g ⎥⎦1 az 1-es és a 2-es pontok között. Behelyettesítve: v12 p1 v2 p2 + = 2 + 2 ⋅ g ρ víz ⋅ g 2 ⋅ g ρ víz ⋅ g Fejezzük ki a nyomáskülönbséget

(

ρ p1 − p 2 = víz v 22 − v12 2

)

1.34

Az 1.33 és a 1.34. egyenlet összevetéséből adódik, hogy

(

) (

)

ρ víz 2 v 2 − v12 = ρ Hg − ρ víz ⋅ g ⋅ ∆h 2

A kapott kifejezésben mind a v1 , mind v2 ismeretlen, ezért további egyenlet felírása szüksége. A kontinuitás adja a további összefüggést, mely szerint: v1 ⋅

D2 ⋅ π d2 ⋅ π = v2 ⋅ , 4 4

ahol A1 és A 2 a Venturi-cső keresztmetszetei az 1-es és a 2-es pontoknál. A két egyenletet összevonva és rendezve v 2 -re a következőt kapjuk: v2 =

(

)

2 ⋅ ρ Hg − ρ víz ⋅ g ⋅ ∆h ρ víz

1 ⎛d⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝D⎠

4

=

(

)

2 ⋅ 13.6 ⋅ 10 3 − 10 3 ⋅ 9.81 ⋅ 0.36 10 3

1 ⎛ 0 .1 ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ 0 .2 ⎠

4

= 9.74

m s

Érdemes megfigyelni, hogy a kapott kifejezésben "h" nem szerepel, ami annak köszönhető, hogy a nyomásközlő vezetékekben lévő víz hidrosztatikus nyomása egymást kompenzálja. Amennyiben a Venturi-cső ferdén, vagy függőlegesen helyezkedik el, akkor is a fenti képletnek megfelelően kell a sebességet kiszámítani A kapott sebességet megszorozva a hozzá tartozó A 2 keresztmetszettel megkapjuk a keresett térfogatáramot, amely Q = v2 ⋅

d2 ⋅ π 0.12 ⋅ π m3 = 9.74 ⋅ = 7.65 ⋅ 10 − 2 4 4 s

29

felvíz



alvíz

korrekciós tényezõ, C 1 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 0.93 10 4

5

10 Csõre vonatkozó Reynolds-szám, Re

10

6

1.19. ábra Venturi-cső korrekciós tényezője

Érdemes még a v 2 -vel kapcsolatban megjegyezni, hogy a sebesség és így természetesen a térfogatáram is a nyomáskülönbség négyzetgyökével arányos. Az arányossági tényezőt geometriai és anyagjellemzők határozzák meg. A Venturi-csőben a valóságos áramláskor fellép egy csekély mértékű áramlási veszteség, Amelyet egy „C” korrekciós tényezővel szoktak figyelembe venni.

v1 = C ⋅

2 ⋅ (p1 − p 2 ) ⋅ ρ víz

1 ⎛d⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝D⎠

4

Ha a térfogatáramot fejezzük ki a fenti képlettel, akkor be kell szorozni az A2 keresztmetszettel. Q =C⋅

d 2 ⋅ π 2 ⋅ (p1 − p 2 ) ⋅ ⋅ ρ víz 4

1 ⎛d⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝D⎠

4

A „C” korrekciós tényezőt az 1.19. ábra szemlélteti a Reynolds-szám függvényében. A korrekciós tényező nagyon közel van az egyhez, ami annyit jelent, hogy a Venturi-cső vesztesége igen kicsi, alig 2%. Szűkítőelemeknél, így a Venturi-csőnél is szokásos az α átfolyási szám bevezetése, amely tartalmazza a súrlódás okozta veszteséget, a sugárösszehúzódást és a keresztmetszetviszonyt is. Az átfolyási szám értékét szabványban rögzített táblázatokból lehet meghatározni a különböző szűkítőelemek esetében. Szabványosított szűkítőelemek a Venturi-cső, mérőperem, mérőszáj stb. Q=α⋅

30

d 2 ⋅ π 2 ⋅ (p1 − p 2 ) ⋅ 4 ρ víz

felvíz



alvíz

1.3. EULER-TURBINAEGYENLET SZIVATTYÚK ESETÉBEN

A 1.20. ábra egy radiális szivattyú vázlatát mutatja. A víz szívócsonkon jut be a gépbe, majd a forgó járókerékhez, amelyet egy elektro-, vagy belsőégésű motor tengelyen keresztül hajt meg. A víz radiális irányba fordul és áthalad a járókerék lapátjai között. A motor nyomatékot fejt ki a forgó járókerékre. E nyomaték hatására a járókeréken áthaladó közeg forgás irányában eltérül. Bejut a csigaházba, majd a nyomócsonkon keresztül hagyja el a gépet. A motor felöl érkező energia a szivattyú járókerekén adódik át az áramló közegnek. A szivattyú működésének megértéséhez a járókerékben lejátszódó folyamatokat kell elsősorban megvizsgálni. A szivattyúk a vizet, vagy más folyadékot kisebb nyomású helyről nagyobb nyomású helyre szállítják. A szivattyú a hajtására fordított teljesítmény árán egyrészt nyomáskülönbség ellenében végez munkát, másrészt megnöveli a szállított víz mozgási energiáját, harmadrészt felemeli azt. Ha a szívócsonk és a nyomócsonk között összehasonlítjuk a sebességmagasság, a nyomásmagasság és a geodetikus magasság összegét akkor azt tapasztaljuk, hogy a nyomóoldali összeg mindig nagyobb, mint a szívóoldali összeg. A szivattyúba bevezetett energia a nyomóoldalon távozó közeg összenergiáját növeli. v12 p v2 p + 1 + h1 < 2 + 2 + h 2 2⋅g ρ⋅g 2⋅g ρ⋅g Ha nyomóoldal és a szívóoldal egységnyi súlyra vonatkoztatott összenergiáinak képezzük a különbségét, akkor kapjuk meg a szivattyú szállítómagasságát, (H-t). Mértékegysége méter. Gyakran nevezik a szivattyú szállítómagasságát szivattyú nyomásának is, annak ellenére, hogy magasság dimenziójú mennyiség. A szállított térfogatáram mellett (Q) a másik legfontosabb jellemzője egy szivattyúnak. A 1.21. ábra radiális hátrahajló lapátozású szivattyú járókereket mutat. A szivattyúk és a ventilátorok járókerekeinek elvi felépítése nem különbözik egymástól. A szivattyúk járókerekei a nagyobb erőhatások és jobb hatásfok érdekében általában öntött kivitelben és profilos lapátokkal készülnek.

⎡ v2 ⎤ ⎡ v2 ⎤ p p H = ⎢ 2 + 2 + h 2 ⎥ − ⎢ 1 + 1 + h1 ⎥ ⎢⎣ 2 ⋅ g ρ ⋅ g ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⋅ g ρ ⋅ g ⎥⎦

1.35

Ideális, veszteségmentes esetben a Bernoulli-egyenletettel is meg lehet határozni a szállítómagasságot (H). Vizsgáljuk meg közelebbről a járókereket. Sémáját a 1.22. ábrán láthatjuk. Válasszunk ki egy lapátot a járókerékből. Tételezzük fel, hogy a járókerékben olyan sok lapátot építettek be (végtelen sűrűlapátozás modellje), hogy az áramlás teljesen hengerszimmetrikusnak vehető. A lapátokkal párhuzamosan tud a közeg áramlani, így a lapát is tekinthető egy áramvonalnak. (Az ábrán csak nyolc lapátot tüntettünk fel.) Az "1" pont a lapátok előtt, a belépésnél a "2" pont a lapátok után a kilépésnél található. A "v" abszolút, "w" relatív és "u" szállító (kerületi) sebesség vektorokat felrajzoltuk egy lapát belépő és kilépő élénél. A három sebességet a v = w + u vektoregyenlet kapcsolja össze. A felrajzoláskor ügyelni kell arra, hogy fennálljon a következő összefüggés a kerületi sebességek között

u1 u 2 = = ω ,amely a szilárd testként történő forgás feltétele, valamint arra is kell ügyelni, hogy a r1 r2 megfelelő kerületi sebességek merőlegesek legyenek az adott ponthoz tartozó sugárra.

31

felvíz


nyomócsonk


alvíz

járókerék lapátok

csigaház csapágyak tengely szívócsonk

tömszelence

1.20. ábra Radiális örvényszivattyú metszete

Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet a belépésnél lévő "1" és a kilépésnél lévő "2" pontok között a kerékkel együttforgó rendszerben. Az áramlás stacionárius, de nem örvénymentes. A forgás következtében a Bernoulli-egyenlet módosul. A folyadékrészecskékre nemcsak a nehézségi erő, hanem a centrifugális erőtér is hat a forgás következtében. Ezért az egyenlet felírásakor ezt is figyelembe kel venni w 12 p r 2 ω 2 w 22 p r 2 ω2 + 1 + h1 − 1 = + 2 + h2 − 2 2⋅g ρ⋅g 2⋅g 2⋅g ρ⋅g 2⋅g r 2 ⋅ ω2 tagok a forgás 2⋅g következtében fellépő centrifugális erő munkáját veszik figyelembe, egységnyi súlyra vonatkoztatva. Íjuk fel a relatív sebességet az abszolút és a szállító sebesség vektorok különbségeként (ld. 1.22. ábra) w = v − u , amiből következik, négyzetre emelés után, hogy

A sebességeknek, most a relatív sebességet, "w"-t kell behelyettesíteni. Az

w 2 = v 2 + u 2 − 2u ⋅ v . Helyettesítsük ezt a kifejezést”1" és "2" indexekkel az előző egyenletbe v12 u2 v u r 2 ω2 p v2 u2 r 2 ω2 p 2 v u + 1 − 1 1 + h1 − 1 + 1 = 2 + 2 + h2 − 2 2 − 2 + 2⋅g 2⋅g g 2⋅g ρ⋅g 2⋅g 2⋅g g 2⋅g ρ⋅g

.

32

1.36

felvíz



alvíz

ω w u1

1 v1

v

w

2

u 2

2

1.21. ábra Radiális szivattyú járókereke

. Tudjuk, hogy u 1 = r1 ω és u 2 = r2 ω a fenti egyenletbe helyettesítve és egyszerűsítve, a következőt kapjuk: ⎡ v12 ⎤ v u ⎡ v2 ⎤ v u p p + 1 + h1 ⎥ − 1 1 = ⎢ 2 + 2 + h 2 ⎥ − 2 2 ⎢ g g ⎢⎣ 2 ⋅ g ρ ⋅ g ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⋅ g ρ ⋅ g ⎥⎦

1.37

Vezessük be a következő jelölést: v 2 u 2 = v 2u u 2 , ahol v 2 u a v 2 vektornak a kerületi sebesség irányába eső vetülete. Beírva az egyenletbe

⎤ v ⋅u ⎤ ⎡ v2 ⎡ v 22 v ⋅u p p + 2 + h 2 ⎥ − ⎢ 1 + 1 + h 1 ⎥ = 2u 2 − 1u 1 ⎢ g g ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⋅ g ρ ⋅ g ⎢⎣ 2 ⋅ g ρ ⋅ g kifejezést kapjuk. A baloldalon szereplő kifejezés az előbb bevezetett szállítómagasság. Jelen esetben ez egy súrlódásmentes áramlást feltételező levezetés, ezért ezt a szállítómagasságot összes ideális szállítómagas33

felvíz



alvíz

0

β 2< 90 w2

2

u

1

1

2

v1

w1 β

v2

u1

ω ságnak (Htid) nevezik. 1.22. ábra Sebességi háromszögek

⎛ p2 ⎞ ⎛ p1 ⎞ v 2 u ⋅ u 2 − v 1u ⋅ u 1 v 22 v 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + z − + = H tid 2 ⎟ ⎜ρ⋅g 2⋅g ⎜ ρ ⋅ g 2 ⋅ g + z 1 ⎟= g ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ H t id =

1.38

2 ⋅ π (v 2 u ⋅ r2 − v1u ⋅ r1 ) ω Γ ⋅ = ⋅n , 2⋅π ρ⋅g ρ⋅g

ahol "Γ" járókerék által keltett cirkuláció, vagy más néven perdület, "n" pedig a kerék fordulatszáma. A járókerék a cirkuláció növelése révén hoz létre nyomásnövekedést. A 2 ⋅ π ⋅ v 2 u ⋅ r2 a járókerék külső kerületén elvégzett cirkuláció-számítás eredménye. A belépésnél legtöbbször nincs kerület irányú sebessége a közegnek, ekkor v 1u = 0 . Ekkor

Γ = 2 ⋅ π ⋅ v 2 u ⋅ r2 . Az Euler-turbinaegyenlet nemcsak radiális, de axiális átömlésű áramlástechnikai gépekre is érvényes. Ha a szivattyú előtt a víz nem forog a csőben, vagy a szivattyú a szabadból szív, akkor a lapátokat a belépésnél pontosan sugár irányból éri el a víz abszolút rendszerből nézve. A 1.20. ábra éppen ilyen állapotot mutat. Most nincsen a belépő abszolút sebességnek kerület irányú komponense, tehát a 1.38 egyenlet egyszerűsíthető ⎡ v2 ⎤ ⎡ v2 ⎤ v ⋅u p p H tid = ⎢ 2 + 2 + h 2 ⎥ − ⎢ 1 + 1 + h 1 ⎥ = 2 u 2 g ⎢⎣ 2 ⋅ g ρ ⋅ g ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⋅ g ρ ⋅ g ⎥⎦

34

1.39

felvíz



alvíz

1.4. SZIVATTYÚK IDEÁLIS JELLEGGÖRBÉJE

A kapott ideális nyomásnövekedés a megadott sebességeknél, illetve ehhez tartozó (Q) térfogatáramhoz tartozik. Ha a sebességek nagysága, vagyis a (Q) térfogatáram valamilyen ok miatt megváltozik, nő vagy csökken, akkor az ideális nyomásnövekedés is más lesz. A következőkben megvizsgáljuk, hogy milyen módon alakul a térfogatáram (Q) függvényében az ideális nyomásnövekedés Htid. A függvénykapcsolat adja a szivattyú ideális jelleggörbéjét. Jelöljük a járókerék szélességét " b1 "-el és "b2"-vel (a rajz síkjára merőleges méret). A sugár irányú sebesség az "1" és "2" helyeken rendre " v r1 " és " v r2 ", amelyek a kerék kilépő és belépő felületével és a térfogatárammal Q kifejezhetők. Használjuk a kontinuitás-tételt a belépő és a kilépő keresztmetszetekre: v 2r =

Q 2 ⋅ π ⋅ r2 ⋅ b 2

A kilépő sebességi háromszögből

v1r = v1 =

Q . 2 ⋅ π ⋅ r1 ⋅ b1

1.40

v 2u = u 2 − w 2 ⋅ cos β 2 és 1.41

w 2 ⋅ sin β 2 = v 2r , így a kilépő sebesség kerület irányú komponense: v 2u = u 2 − v 2 r ⋅ ctgβ 2 = u 2 −

Q ⋅ ctgβ 2 2π ⋅ r2 ⋅ b 2

1.42

A 1.39 egyenletet átrendezve megkapjuk az ideális szállítómagasság szokásos képletét, amelyben a kilépő abszolút sebesség a járókerék által okozott eltérítése és a kerületi sebesség szorzata adják meg az elméleti szállítómagasságot. v ⋅u H tid = 2 u 2 g

1.43

Ebbe a kifejezésbe behelyettesítve a 1.42. egyenletbe és átrendezve adódik az ideális jelleggörbe számítására alkalmas kifejezés: u2 u2 H tid = 2 − ⋅ ctg β 2 ⋅ Q . g 2π ⋅ r2 ⋅ b 2 ⋅ g

1.44

Eszerint az ideális nyomásnövekedés lineáris függvénye a szállított térfogatáramnak. Amennyiben a kilépés szöge kisebb, mint kilencven fok, ctg β 2 > 0 , akkor hátrahajló lapátozású szivattyúról beszélünk. A hátrahajló lapátozású szivattyú ideális jelleggörbéjét a 1.23. ábra mutatja. Ha a kilépés szöge kilencven fok, ctg β 2 = 0 , akkor radiális lapátozású szivattyúnak nevezzük. A radiális lapátozású szivattyú ideális jelleggörbéjét a 1.24. ábra mutatja. A jelleggörbe vízszintes egyenes. És végül, ha a kilépés szöge nagyobb kilencven foknál, ctg β 2 < 0 , akkor előrehajló lapátozású szivattyúnak hívjuk. Az előrehajló lapátozású szivattyú ideális jelleggörbéjét a 1.25. ábra mutatja. Növekvő térfogatárammal a nyomásnövekedés is nő. Az előrehajló lapátozású járókerék hajlamos az instabil működésre, valamint a hatásfoka sem a legjobb, így nem terjedt el széles körben. Ventilátorok esetében előszeretettel használják, mivel kisebb méretben lehet relatíve nagy teljesítményt beépíteni.

35

felvíz



alvíz

A B

0

Η

tid

β 2< 90 w2

u2 2

g

u

A B

v1

w1

ω

u1 Q 1.23. ábra Hátrahajló lapátozású járókerék ideális jelleggörbéje

B Η

tid

A

β2 = 900 v2

w

u2

2

2

g

u2 A

B

ω

w1

v1 u1

Q 1.24. ábra Radiális lapátozású járókerék ideális jelleggörbéje

Η

tid

v2

B

u2 2

B

g

β 2 > 90

A w2

A

ω

u2

v1

w1 u1

Q 1.25. ábra Előrehajló lapátozású járókerék ideális jelleggörbéje

36

v2

0

2

VÍZGAZDÁLKODÁS GÉPEI

Recommend Documents