Végeselem modellezés Bevezetés
1
2012.02.20.
Számítógéppel segített szerkezettervezés adatbevitel
Szerkezetmegadás, CAD rajzolás módosítás
AutoCAD (műszaki rajzok) ArchiCAD (építészet)
adatbevitel
Méretezés, tervezés VEM
Részletek kidolgozása ellenőrzés
AxisVM (általános VEM) ConSteel (acél méretezése) Ansys Abaqus
Vbexpress (vasalásszerkesztő) Tekla Structures (acél szerkesztése)
Komplex tervezőrendszerek: Nemetschek (műszaki rajzok + építészet + általános VE + vasalásszerkesztés) Fem Design (műszaki rajzok + általános VE + vasalásszerkesztés)
2
2012.02.20.
Bevezetés
Az utóbbi évtizedek nagy hatékonyságú számítástechnikai módszere az ún. végeselem-módszer = finite element method VEM (FEM)
Az építőmérnöki gyakorlaton kívül más műszaki és tudományos területen is alkalmazzák.
A végeselemek módszere bonyolult feladatok megoldását teszi lehetővé.
Végeselem programok:
3
Axis VM
Ansys (Multiphysics, Structural Mechanics, Fluid Dynamics, Explicit Dynamics, Electromagnetics)
Abaqus
FEM design StruSoft
NGSolve
PLAXIS Finite Element Code for Soil and Rock Analys
Oasys GSA
ConSteel
Nemetschek Allplan 2012.02.20.
A végeselem módszer
A végeselem módszerben a vizsgált szerkezetet véges méretű részekre osztjuk elemek.
A feladat típusától és dimenzió számától függően többféle elemet használhatunk.
Az elemek alakját mindig „sarokpontjai”, csomópontjai határozzák meg.
rúd (BAR) elem: 6 szabadságfok 4
2012.02.20.
Példák
5
2012.02.20.
Egyéb alkalmazási példák
6
2012.02.20.
A statikai számítás: modellalkotás + számítás A statikai váz megválasztása, úgy, hogy az a legjobban közelítse a tényleges szerkezetet.
A terhek és hatások figyelembevétele
A statikai váz megoldása a mértékadó teherállásokra. Eredmények: igénybevételek és alakváltozások.
A kapott eredmények kiértékelése.
Méretezés, ellenőrzés
7
Szükség esetén új méretfelvétel.
2012.02.20.
Modellalkotás A számítási modell megalkotását két, ellentétes kívánalom teljesítése befolyásolja:
1. 2.
a modell minél jobban helyettesítse a valóságos testet és annak körülményeit; a mechanikai jellemzők lehetőleg kevés időráfordítással jó közelítéssel meghatározhatók legyenek.
A szerkezet vizsgálata során közelítésekkel élünk = modellezünk Pl. acél gerendarács modellje: általában tengelyvonal geometriai és szilárdsági jellemzőkkel való felruházása. Talajra helyezett gerendarács esetén a fenti modell elhanyagolást jelent. Elhanyagolás: ha a gerendák tengelyvonalát ruházzuk fel a geometriai és szilárdsági tulajdonságokkal, a talpfeszültség számításánál a ténylegesnél nagyobb talpfelületet vennénk számításba.
8
2012.02.20.
Számítás A szerkezeti modell lehet
Folytonos (kontinuum) analitikus megoldás Nem folytonos (diszkrét) numerikus megoldás (mátrixalgebra)
Statikai szerkezetek vizsgálatára két alapvető módszer:
Erőmódszer Elmozdulás módszer
Statikai modell véges méretű, illeszkedő elemekre bontása Átvágási helyeken folytonosság biztosítása folytonossági követelményeket tartalmazó egyenletrendszer.
9
2012.02.20.
Végeselem módszer (VEM) Finite Element Method (FEM)
A vizsgált szerkezetet véges méretű, illeszkedő elemre bontjuk.
Az egyes elemek tulajdonságait az analízis eszközeivel, az elemre vonatkozóan határozzuk meg. A kapcsolási pontokon (a csomópontokon) értelmezett paraméterekkel fejezzük ki. Az elemek rendszerének kapcsolatát a csomóponti mennyiségek azonosságának előírásával biztosítjuk.
10
2012.02.20.
Matematikai alapok MÁTRIXOK - Alapfogalmak
11
2012.02.20.
Matematikai alapok - Mátrixalgebra
A mátrix definíciója: Az m × n méretű mátrixnak m sora és n oszlopa van. a11 a 21 a31 A= . . am1
12
a12 a22 a32
a13 a23 a33
. .
. .
am 2
am 3
. . . a1n . . . a2 n . . . a3n = aij . . . . . . . . . . . amn
[ ] i= 1, 2, 3, ..., n j= 1, 2, 3, ..., m 2012.02.20.
Matematikai alapok - Mátrixalgebra
Például: Adott egy 3 ismeretlenes lineáris egyenletrendszer. a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = 0
ahol
xi = ismeretlenek aij=ismeretlenek együtthatói
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
együttható mátrix
a31 a32 a33 13
2012.02.20.
Matematikai alapok - Mátrixalgebra
Például: Adott egy 3 ismeretlenes lineáris egyenletrendszer. 9 x1 + 10 x2 – 5 x3 = 0 7 x1 – 2 x2 + 12 x3 = 0 -15 x1 + 3 x2 + 8 x3 = 0
9
10
–5
A= 7 –2
12
-15 14
3
ahol
xi = ismeretlenek aij=ismeretlenek együtthatói
3x3-as együttható mátrix
8 2012.02.20.
Nevezetes mátrixok
A sorok és az oszlopok felcserélésével kapott mátrix az eredeti transzponáltja.
a11 A= a21
15
a12 a22
a13 a23
a11 T A = a12 a13
a21 a22 a23
2012.02.20.
Nevezetes mátrixok Az egydimenziós mátrix neve vektor.
a11 a 21 a31 a= . . am1 16
Alaphelyzetben a vektor oszlopvektort jelöl, a sorvektort a (neki megfelelő) oszlopvektor transzponáltjaként értelmezzük.
a T = [a11
a12
a13
. . . a1m ]
2012.02.20.
Nevezetes mátrixok Kvadratikus (négyzetes) mátrix: ha a mátrix sorainak és oszlopainak száma megegyezik. A kvadratikus mátrix sorainak ill. oszlopainak száma a mátrix rendje.
Például: nxn = 3x3-as kvadratikus mátrix: 9 A=
–5
7 – 26 12 -15
17
10
3
8 2012.02.20.
Nevezetes mátrixok Kvadratikus (négyzetes) mátrix: ha a mátrix sorainak és oszlopainak száma megegyezik. A kvadratikus mátrix sorainak ill. oszlopainak száma a mátrix rendje.
Például: nxn = 3x3-as kvadratikus mátrix: 9 A=
–5
FŐÁTLÓ
7 – 26 12 -15
18
10
3
8 2012.02.20.
Nevezetes mátrixok Kvadratikus (négyzetes) mátrix: ha a mátrix sorainak és oszlopainak száma megegyezik. A kvadratikus mátrix sorainak ill. oszlopainak száma a mátrix rendje.
Például: nxn = 3x3-as kvadratikus mátrix: 9 A=
–5
MELLÉKÁTLÓ
7 – 26 12 -15
19
10
3
8 2012.02.20.
Nevezetes mátrixok Diagonális mátrix: ha a kvadratikus mátrixnak csak a főátlójában van zérustól különböző elem a11 0 0 A= . . 0
0 0 a33 . .
0
0
9
Például: A= 20
0 a22 0 . .
0
= aij . . . ann
. . . . .
. . . . .
0 0 0 . .
[ ]
0
0 – 26
0
0
8
0
. . . . .
2012.02.20.
Nevezetes mátrixok Egységmátrix: ha a mátrix főátlójának minden eleme 1, az összes többi zérus. Ezzel szorozva a szorzat mátrix az eredeti tényező-mátrixot adja vissza). 1 0 0 E= . . 0
Például:
21
0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 = [1 ] . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1
1
0
0
E= 0
1
0
0
0
1 2012.02.20.
Egyszerű mátrixműveletek
=
Összeadás-kivonás: a műveleteket rendre a megfelelő elemeken kell végrehajtani! Csak azonos méretű mátrixok vonhatók össze! A±B=C [aij] ± [ bij ] = [ cij] a11 a 21
a12 b11 + a 22 b21
b12 a11 + b11 = b22 a 21 + b21
a12 + b12 a 22 + b22
Mátrix szorzása konstanssal: a konstanssal minden elem külön-külön szorzandó. k×D = [k×dij] 2 3 8 12 Pl:
22
4⋅ = 6 1 24
4
2012.02.20.
Egyszerű mátrixműveletek
Két mátrix szorzata: A mátrix-szorzásban a tényezők nem felcserélhetők! A szorzás csak akkor értelmezhető, ha az első tényező oszlopainak és a második tényező sorainak száma megegyezik. Ilyenkor a szorzatmátrix ij indexű eleme az első tényező i-ik sorának (mint sorvektornak) és a második tényező j-ik oszlopának (mint oszlopvektornak) a skaláris szorzata.
A × B = C (m,r) (r,n) (m,n) 23
r
ckl=Σ Σ (a ×b ) kj jl j=1 2012.02.20.
Egyszerű mátrixműveletek
Sor és oszlopvektor szorzata: Egy sor- és egy oszlopvektor akkor szorozható össze, ha elemszámuk megegyezik. Ilyenkor (skalár)szorzatuk eredménye egy SZÁM. aT
(1,n)
n
Σ (ai×bi) ×(n,1) b =(1,1) c ahol c = i=1
c 24
2012.02.20.
Egyszerű mátrixműveletek
Oszlop- és sorvektor szorzata: Egy oszlop- és egy sorvektor mindenképp összeszorozható, a szorzat egy MÁTRIX, amelyben a sorok száma az első tényező elemszámával, az oszlopok száma a második tényező elemszámával egyezik meg.
T = C ahol c = a ×b a × b i,j i j (m,1) (1,n) (m,n)
25
2012.02.20.
Inverzmátrix
Mátrixokat osztani nem lehet inverzmátrix: A-1 Csak kvadratikus mátrixnak van inverze.
Ha a mátrix determinánsa nem zérus: reguláris a mátrix létezik a mátrix inverze Ha a mátrix determinánsa zérus: szinguláris a mátrix nem létezik inverzmátrix.
az inverzmátrixnak az eredeti mátrixszal képzett szorzata az egységmátrix:
A⋅A-1 = A-1⋅A = E
26
2012.02.20.
Mátrix összeadásának és szorzásának tulajdonságai:
A mátrixok szorzása nem kommutatív!
A⋅B ≠ B⋅A A mátrixok szorzása asszociatív, ha a műveletek mindkét oldalon elvégezhetők!
(A⋅B)⋅C = A ⋅(B ⋅ C ) A mátrixok szorzása disztributív: (A+B)⋅C = A⋅C+B⋅C D⋅(A+B) = DA + DB
27
2012.02.20.
Lineáris egyenletrendszerek mátrixalapú megoldása:
Lineáris egyenletrendszerek mátrixalapú megoldása: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
A⋅x = b A-1⋅A x = A-1 b E E⋅x = A-1 b x = A-1 b
28
2012.02.20.
Rúdelemek modellezése A végeselem módszer lépései
29
2012.02.20.
A végeselemmódszer lépései: 1.
A vizsgált tartomány elemekre osztása (geometriai finitizálás), a kitüntetett pontok (csomópontok) számozása. Az elemekhez lokális koordináta-rendszer választása, az elem csomópontjainak lokális számozása.
2.
Az elemek „ki” merevségi mátrixának előállítása lokális rendszerben, transzformálása a globális rendszerbe.
3.
Az elemekre ható terhek redukálása az elem kitüntetett pontjára a lokális rendszerben, transzformálás globális rendszerbe.
30
2012.02.20.
A végeselemmódszer lépései: 4.
A szerkezet merevségi mátrixának (K) előállítása az elemek merevségi mátrixából a megtámasztások (peremfeltételek) figyelembevételével.
5.
A szerkezet kitüntetett pontjaira redukált teher vektorának (q) összeállítása.
6.
A Kv = q lineáris egyenletrendszer megoldása.
7.
A szerkezet csomópontjainak elmozdulásai (v) ismeretében elemenként a „másodlagos” ismeretlenek meghatározása.
31
2012.02.20.
Az egyensúlyi feltételt biztosító mátrix egyenletrendszer
Végeselem módszer alkalmazásakor a csomóponti elmozdulásokat a potenciális energia szélsőérték tétele alapján határozzuk meg. q – terhelő erő [kN] k – rugó merevsége [kN/m] e – a q hatására keletkező összenyomódás (elmozdulás)
32
2012.02.20.
Az egyensúlyi feltételt biztosító mátrix egyenletrendszer
A rugóban felhalmozott belső energia:
A q terhelő erő helyzeti energiának csökkenése:
A teljes potenciális energiafüggvény:
33
2012.02.20.
Az egyensúlyi feltételt biztosító mátrix egyenletrendszer
Minden folyamat az energia minimális szintjének elérésére irányul:
Szerkezet esetén:
34
Ke=q e = K-1q
Kv=q v = K-1q 2012.02.20.
1. lépés – geometriai finitizálás A szerkezet jellegének megfelelő elemekre bontása! A csomópontokat elfordulás és eltolódás ellen „rögzítjük”. A támaszok kezelése szempontjából kétféleképpen vehetjük fel a tartó modelljét.
35
2012.02.20.
Szerkezetek számítási modelljei a)
A támaszcsomópontokat is besoroljuk a csomópontok közé (csak „befogott” rúdelemek)
b)
A támaszcsomópontok külső csomópontként kezelendők, amelyek nem vesznek részt a számításban. (az ide csatlakozó rudakat a kényszerkapcsolatuknak megfelelően kapcsoljuk a külső csomóponthoz) Hátránya: bonyolult számítási algoritmus, Előny: csomópontok száma kevesebb ismeretlenek száma is kisebb.
36
2012.02.20.
Szerkezetek számítási modelljei Mindkét modellnél betartandó, hogy minden belső csomóponthoz legalább egy rúdnak mereven kell kapcsolódnia, akkor is, ha a csomópontban a rudak csuklóban találkoznak.
37
A csomópontra rajzolt üres négyzetek az elfordulás és eltolódás elleni rögzítést jelentik. (befogás) Minden belső csomópont szerepel a számításban, az ismeretlenek ezek elmozdulás-komponensei. (v) Rúdelemek modelljei: befogott-befogott, befogott-csuklós, csuklósbefogott, csuklós-csuklós. Konzol: a terhet a csatlakozó csomópontra redukáljuk. 2012.02.20.
A csomópontok számozása A csomópontok sorszámozása meghatározza a teljes számítási folyamatot. A rudak számozása: célszerű az általuk összekötött csomópontok számaival jellemezni őket.
Globális koordináta rendszer: xyz Lokális koordináta rendszer: ξηζ A lokális koordinátarendszer origója a rúd kisebbik sorszámú végén lévő km. súlypontjában van. A ξ tengely egybeesik a rúd tengelyével, és a nagyobb sorszámú csp. felé mutat. 38
2012.02.20.
2. lépés: Az elemek „kij” merevségi mátrixának előállítása
A szerkezet (elem) merevsége mindig egy elmozdulás/elmozdítás nyomán keletkező belső erőt, igénybevételt jelent. (a merevség a szerkezet ellenállása az elmozdítással szemben) A merevségi mátrix a két rúdvégen beiktatható három-három elmozdulás-komponensből ébred(het)ő három-három belső dinámot tartalmazza, azaz egy 6×6 méretű mátrix.
k iiij kij = ji k ij
k ijij jj k ij
(négy 3×3-as méretű blokk az egyes rúdvégeken ébredő erőket adja meg, a saját ill. a másik vég lehetséges elmozdulásai hatására.)
A háromféle típusú tartóelem megoldása erőmódszer szerint van végrehajtva (támaszelmozd.). (TS: csomóponti erők, VEM: rúdvégi e.) 39
2012.02.20.
Mindkét végén befogott rúd merevségi reakciói A rúdvégek egységnyi elmozdítása során ébredő rúdvégi erők és nyomatékok:
L
i
η
j
EA
ξ
-EA/L
EA/L
ujξ=1
i
EA
EA/L
-EA/L
EJζ uiη=1 12EJ /L3 ζ 6EJζ/L2
6EJζ/L2 -12EJζ
/L3
-6EJζ/L2 -12EJζ/L3
ϑiζ=1 6EJζ 4EJζ/L 40
/L2
2EJζ/L EJζ uiξ=1 -6EJζ/L2
j
6EJζ/L2 2EJζ/L
EJζ 12EJζ
EJζ
/L3
ujη=1
-6EJζ/L2 ϑjζ=1 4EJζ/L
-6EJζ/L2
Egy síkbeli rúdelem merevségi mátrixa A mindkét végén befogott rúdelem merevségi mátrixa: EA L 0 0 kij = − EA L 0 0 41
0
0
12 EJ ζ
6 EJ ζ
3
L 6 EJ ζ
2
L 4 EJ ζ
2
L
L
0
0
− 12 EJ ζ
− 6 EJ ζ
3
L 6 EJ ζ 2
L
2
L 2 EJ ζ L
− EA L 0 0 EA L 0 0
0 − 12 EJ ζ L3 − 6 EJ ζ L2 0 12 EJ ζ L3 − 6 EJ ζ L2
6 EJ ζ 2 L 2 EJ ζ L 0 − 6 EJ ζ L2 4 EJ ζ L 0
A csuklós-befogott végű rúd merevségi reakciói A rúdvégek egységnyi elmozdítása során ébredő rúdvégi erők és nyomatékok: uiξ=1
i
η
L j
EA
ξ
-EA/L
EA/L
ujξ=1
i
EA
EA/L
-EA/L
EIζ
EIζ 3EJζ/L2
uiη=1 3EJζ/L3 ϑiζ1
j
-3EJζ/L3
EIζ
3EJζ -3EJζ/L3 3EJζ/L2
EIζ
/L3
-3EJζ/L2 ϑjζ=1 3EJζ/L
-3EJζ/L2 42
ujη=1
Egy síkbeli rúdelem merevségi mátrixa A kezdőpontban csuklós, végpontban befogott rúdelem merevségi mátrixa: EA L 0 0 kij = − EA L 0 0 43
0 3EJ ζ
0
− EA L
0 − 3EJ ζ
3
0
0
0
0
0
0
0
EA L
0
L
0 − 3EJ ζ 3
0
0
2
0
0
L 3EJ ζ L
L3
3EJ ζ L3 − 3EJ ζ L2
0 3EJ ζ 2 L 0 0 − 3EJ ζ 2 L 3EJ ζ L
A befogott-csuklós végű rúd merevségi reakciói A rúdvégek egységnyi elmozdítása során ébredő rúdvégi erők és nyomatékok uiξ=1
i
η
L j
EA
ξ
-EA/L
EA/L
ujξ=1
i
EA
EA/L
-EA/L
EJζ
EJζ -3EJζ/L2
uiη=1 3EJζ/L2 3EJζ/L3
-3EJζ/L3
3EJζ/L2 44
-3EJζ/L3
3EJζ
/L3
ujη=1 ϑjζ=1
ϑiζ1 3EJζ/L
j
EJζ
-3EJζ/L2
EJζ
Egy síkbeli rúdelem merevségi mátrixa A kezdőpontban befogott, végpontban csuklós rúdelem merevségi mátrixa: EA L 0 0 kij = − EA L 0 0 45
0
0
3EJ ζ
3EJ ζ
3
L 3EJ ζ 2
L
2
L 3EJ ζ L
0
0
− 3EJ ζ
− 3EJ ζ
− EA L 0 0 EA L
3
L
2
L
0
0
0
0
0 − 3EJ ζ
0
3
0
2
0
0
0
L − 3EJ ζ L
3EJ ζ 3
0
0
0
L
Egy síkbeli rúdelem merevségi mátrixa A mindkét végén csuklós rúdelem merevségi mátrixa: EA L 0 0 kij = − EA L 0 0 46
0
0
− EA L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
EA L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0
A szerkezet „K” merevségi mátrixa
47
A teljes szerkezet merevségi K mátrixát a csomópontok egységnyi elmozdulásaiból keletkező csomóponti erők alkotják. A teljes szerkezet merevségi mátrixa az egyes rúdelemek merevségi mátrixaiból tevődik össze. A szerkezet merevségi mátrix összeállítása előtt az egyes rúdelemek lokális merevségi mátrixait a globális koordináta-rendszerbe kell transzformálni koordinátatranszformáció.
4. lépés: A szerkezet „K” merevségi mátrixának előállítása
A teljes szerkezet merevségi mátrixa az egyes rúdelemek merevségi mátrixaiból tevődik össze. A főátlóban a hely és az ok azonos, tehát itt a csomópontba befutó rudak számával megegyező számú rudankénti merevségi mátrix blokk összege adja a teljes merevségi mátrix elemet (blokkot). A többi (hiper)mátrixelem esetében a hely és az ok nem azonos, tehát a vizsgált helyen (csomópontban) ébredő hatás egy másik csomóponti elmozdulás miatt keletkezik.
48
ha az illető pontpár között nincs rúd zéruselemek ha az illető pontpár között van rúd kij
4. lépés: A szerkezet „K” merevségi mátrixának előállítása
A főátlóban lévő hipermátrix-elemek mindig legalább két blokk összegeként jelennek meg, a többi elem pedig vagy zérus, vagy egyetlen blokk (a csomópontok közötti valós kapcsolat lététől függően)
Σ k 11 k 21 k 31 K= . . . k n1 49
k 12
k 13
.
.
.
Σ k 22 k 32
k 23 Σ k 33
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
k n2
k n3
. .
. .
. .
k 1n k 2 n k 3n . . . Σ k nn
3.lépés: terhek csomópontra redukálása A csomópontokra ható erők a következők lehetnek:
közvetlen csomóponti erő közvetlen csomóponti nyomaték a rúdról (rudakról) a csomópontra átadódó erő (ez származhat a rúd erőterheléséből, a rúd kinematikai terheléséből)
a rúdról (rudakról) a csomópontra átadódó nyomaték (ez származhat a rúd erőterheléséből, a rúd kinematikai terheléséből)
50
3.lépés: terhek csomópontra redukálása
Általános (térbeli) esetben a csomópontra működő erőhatások és a csomópont elmozdulásai (a csomópont elmozdulási szabadságfokának megfelelően) hatfélék lesznek: Fix, Fiy, Fiz, Mix, Miy, Miz, ill. eix, eiy, eiz, φix, φiy, φiz
Síkbeli (pl. xy síkbeli) szerkezet esetében a csomóponti erők-elmozdulások a következők: Fix, Fiy, Miz, ill. eix, eiy, φiz
Ezek az erő- ill. elmozdulás-összetevők vektorokba rendezhetők erő- és elmozdulás vektorok.
51
3.lépés: terhek csomópontra redukálása
A rúdelemekre közvetlenül ható terheket a rúd két végpontjára koncentráljuk, akár erő, akár elmozdulás, vagy alakváltozás jellegű teherről van szól.
Adott esetben a rúdelem tehervektorait a teljes tehervektorba való beillesztés előtt transzformálni kell.
52
3.lépés: terhek csomópontra redukálása
A csomóponti terhek vektora: q, amely az egyes csomópontokhoz tartozó qi tehervektorból tevődik össze: q1 q 2 . q= qi . qn
53
ahol
Fix q i = Fiy M iz
Adott esetben a rúdelem tehervektorait a teljes tehervektorba való beillesztés előtt transzformálni kell.
5. lépés: redukált tehervektor (q) összeállítása.
Az elmozdulás-mentesnek feltételezett csomópontokra összegzett erők és nyomatékok szolgáltatják a csomóponti kiegyensúlyozatlan dinámok vektorát, azaz a tehervektort. q1 q 2 . q= qi . qn
54
Fix q i = Fiy M iz
Tartók Statikája I.
6. lépés: A Kv = q lineáris egyenletrendszer megoldása.
A tehervektor és merevségi mátrix ismeretében felírható a mátrix feltételi egyenletrendszer: Kv=q K: globális merevségi mátrix v: ismeretlen csomóponti elmozdulások q: csomópontokra redukált terhek vektora
v = K-1 q
55
(A megoldási módszerek számos változatát dolgozták már ki) A „v” megoldásvektor elemei az egyensúlyi állapothoz tartozó csomóponti elmozdulás-összetevők lesznek.
7. lépés: Igénybevételek, reakcióerők számítása
A v elmozdulások ismeretében kiszámítható a rúdelemek S igénybevételei és reakcióerői. Ez a rúdelemek kij merevségi mátrixainak felhasználásával történik: S = kij v
56
Ehhez – adott esetben – a csomópontok v elmozdulás-vektorait globális rendszerből lokálisba kell transzformálni.
