Végeselem analízis (óravázlat) Készítette: Dr. Pere Balázs
Széchenyi István Egyetem Alkalmazott Mechanika Tanszék
2011. december 8.
1
Copyright
©
2011 Dr. Pere Balázs. Minden jog fenntartva.
Ez a dokumentum szabadon másolható és terjeszthet®. Módosítása és kereskedelmi forgalomba kerülése csak a szerz® írásbeli engelyével lehetséges. (e-mail:
[email protected])
2
Tartalomjegyzék
1. Rugalmasságtani alapok 1.1.
1.2.
1.3. 1.4.
5
Deformálható test kinematikája
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1.
Az elmozdulások leírása
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2.
Az alakváltozások leírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.3.
Kompatibilitási egyenlet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.1.
Test egyensúlya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.2.
Bels® er®k (Cauchy-hipotézis)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.3.
Feszültség tenzor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2.4.
Egyensúlyi egyenletek
Feszültségi állapot
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Anyagegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3.1.
19
Hooke-törvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A rugalmasságtani feladat kit¶zése
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.4.1.
Skaláris egyenletek
1.4.2.
Ismeretlen függvények
1.4.3.
Peremfeltételek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2. A rugalmasságtani feladat közelít® megoldása 2.1.
2.2.
2.3.
Alapfogalmak
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.
Kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®
2.1.2.
Statikailag lehetséges feszültségmez®
2.1.3.
Virtuális elmozdulásmez®
2.1.4.
Az elmozdulásmez® variációja
A rugalmasságtan energia elvei
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.1.
A virtuális munka elve
2.2.2.
Virtuális elmozdulás elve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2.3.
Potenciális energia minimuma elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2.4.
Lagrange-féle variációs elv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
A Ritz-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3. Elmozdulásmez®n alapuló végeselem módszer felépítése
38
3.1.
Végeselem csomópontjainak lokális sorszámozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2.
Lineáris közelít® függvények
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2.1.
Négy csomópontú elem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2.2.
Nyolc csomópontú elem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.3.
Az elmozdulásmez® közelítése egy végeselemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.4.
Az alakváltozások közelítése egy végeselemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.5.
A feszültségmez® közelítése egy végeselemen
45
3.6.
Az alakváltozási energia közelítése egy végeselemen
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Küls® er®k munkájának közelítése egy végeselemen
3.7.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.7.1.
Felületi er®k munkája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.7.2.
Térfogati er®k munkája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.7.3.
Küls® er®k munkája
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.8.
Egy végeselem potenciális energiája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.9.
Csomópontok globális sorszámozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3
3.10. A teljes szerkezet csomóponti elmozdulásvektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.11. A teljes szerkezet merevségi mátrixa és tehervektora
. . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.12. Kinematikai peremfeltételek gyelembevétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.12.1. Megfogások
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.2. Kinematikai terhelés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13. A csomóponti elmozdulásvektor meghatározása
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Kiegészítések: numerikus integrálás 4.1.
Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra
5.2.
Speciális terhelések
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
56
56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.1.1.
Rugalmas ágyazás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.1.2.
H®mérséklet-változásból származó terhelés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.2.1.
Rúdszerkezetek
Bernoulli-féle rúdelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.2.2.
Elmozdulás állapot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.2.3.
Alakváltozás állapot
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.2.4.
Feszültségi állapot
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.2.5.
Anyagtörvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.2.6.
Húzott-nyomott hajlított-nyírt és csavart rúd-végeselem . . . . . . . . . . . .
59
5.2.7.
Csomóponti elmozdulás vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.2.8.
Alakfüggvények meghatározása
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.2.9.
Egy végeselem alakváltozási energiája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.2.10. Küls® er®k munkája egy végeselemen
5.3.
55
56
5. Mechanikai modellek a végeselem módszerben 5.1.
53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.2.11. Végeselemek összekapcsolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.2.12. A teljes szerkezet potenciális energiája
73
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A rugalmasságtan 2D-s feladatai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.3.1.
Sík alakváltozás feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.3.2.
Általánosított síkfeszültség feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.3.3.
Tengelyszimmetrikus feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4
1. Rugalmasságtani alapok
1.1. Deformálható test kinematikája 1.1.1. Az elmozdulások leírása A kinematika a testek mozgását, alakváltozását írja le, és nem keresi a mozgást vagy alakváltozást létrehozó okokat.
Olyan alapvet® kinematikai összefüggéseket próbálunk megfogalmazni
a matematika eszközeivel, amelyek alkalmazásánál teljesen lényegtelen a vizsgált test mérete és alakja. Tekintsünk egy tetsz®leges felületekkel határolt testet, amely a kezdeti helyzetéhez képest elmozdult, alakja megváltozott (lásd 1. ábra). Az ábrán az alábbi jelöléseket használtuk:
χ ~ (~r)
kezdeti helyzet
pillanatnyi helyzet
Q
~u
~r
˜ Q
~r˜ ~ez
~ex
~ey
O
1. ábra. Test pontjainak elmozdulása
~r
a deformálatlan test pontjaiba mutató vektor
~r = x~ex + y~ey + z~ez ~r˜
a deformált test pontjaiba mutató vektor
~r˜ = x˜~ex + y˜~ey + z˜~ez ahol
x˜ = x˜ (x, y, z) y˜ = y˜ (x, y, z) z˜ = z˜ (x, y, z)
5
~u
elmozdulás vektor, a deformálatlan test egy anyagi pontjából (Q) a deformált test ugyanazon
˜ ) mutató vektor. anyagi pontjába (Q
~u = ~r˜ − ~r = (˜ x − x) ~ex + (˜ y − y) ~ey + (˜ z − z) ~ez = u~ex + v~ey + w~ez ahol
u = u (x, y, z) v = v (x, y, z) w = w (x, y, z) χ ~ (~r)
egy vektor-vektor függvény, amely megadja a deformálatlan test pontjainak leképezését a deformált test pontjaira. Ez a függvény nem feltétlenül lineáris!
χ ~ (~r) = χ ~ (x, y, z) = ~r˜ Megjegyzés: a vektor-vektor függvény egy vektort egy másik vektorra képez le.
1.1.2. Az alakváltozások leírása χ ~ (~r)
~u + ∆~u
P
P˜ ∆~r˜
∆~r ~u
˜ Q
Q
~r
~r˜ ~ez
~ex
~ey
O
2. ábra. A test alakváltozása
Az alakváltozás értelmezése ∆~r
A deformálatlan testen értelmezett vektor, a
Q
pontból a
Q
pont elemi környezetében lév®
P
pontba mutató vektor
∆~r˜
˜ pontból a Q ˜ pont elemi környezetében lév® P˜ pontba Q ˜ a P és P ugyanannak az anyagi pontnak a helyét jelöli a
A deformált testen értelmezett vektor, a mutató vektor, ahol a
Q
és
˜ Q
valamint
deformálatlan és deformált testeken. Például:
χ ~ (~rP ) = ~r˜P˜ 6
vagy ugyan ez másként
Kérdés: Mekkora a
χ ~ (~rQ + ∆~r) = ~r˜Q˜ + ∆~r˜ ∆~u,
ha
~r
és
∆~r
tetsz®leges? Az 2. ábrából leolvasható, hogy
~r + ∆~r + (~u + ∆~u) = ~r˜ + ∆~r˜ χ (~r + ∆~r) − χ ~ (~r)] ~r + ∆~r + (~u + ∆~u) = χ ~ (~r) + [~ {z } | {z } | ~ r˜
∆~ r˜
~ (~r + ∆~r) ~r| {z + ~u} +∆~r + ∆~u = χ ~ r˜
Sorfejtés a lineáris tagokig bezárólag
∂~ χ ∂~ χ ∂~ χ ~r˜ + ∆~r + ∆~u ≈ χ ~ (~r) + ∆x + ∆y + ∆z + · · · | {z } ∂x ∂y ∂z ~ r˜
A továbbiakban feltételezzük, hogy az alakváltozást elegend® lesz a lineáris tagokig bezárólag leírni.
Ez azt jelenti, hogy az egymástól távolabb lév® pontok alakváltozása nem befolyásolja
egymást. Emiatt a közelít®leg egyenl® (≈) jelet elhagyva egyszer¶en csak egyenl®séget írunk.
∆~r + ∆~u = =
∂~ χ ∂~ χ ∂~ χ ∆x + ∆y + ∆z = ∂x ∂y ∂z
∂~ χ ∂~ χ ∂~ χ (~ex · ~ex ) ∆x + (~ey · ~ey ) ∆y + (~ez · ~ez ) ∆z = ∂x ∂y ∂z
∂~ χ ∂~ χ ∂~ χ ◦ ~ex · ~ex ∆x + ◦ ~ey · ~ey ∆y + ◦ ~ez · ~ez ∆z = ∂x ∂y ∂z ∂~ χ ∂~ χ ∂~ χ = ◦ ~ex · ~ex ∆x + ◦ ~ey · ~ey ∆y + ◦ ~ez · ~ez ∆z ∂x ∂y ∂z =
1. feladat. Bizonyítsuk be, hogy
∂~ χ ∂~ χ ∂~ χ ◦ ~ex · ~ex ∆x + ◦ ~ey · ~ey ∆y + ◦ ~ez · ~ez ∆z = ∂x ∂y ∂z ∂~ χ ∂~ χ ∂~ χ = ◦ ~ex + ◦ ~ey + ◦ ~ez · (∆x ~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez ) ∂x ∂y ∂z ♣
∂~ χ ∂~ χ ∂~ χ ∆~r + ∆~u = ◦ ~ex + ◦ ~ey + ◦ ~ez · (∆x ~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez ) = ∂x ∂y ∂z ↓ ↓ ∂ ∂ ∂ =χ ~◦ ~ex + ~ey + ~ez · (∆x ~ex + ∆y ~ey + ∆z ~ez ) = χ ~ ◦ ∇ · ∆~r | {z } ∂x ∂y ∂z | {z } ∆~ r ∇
7
ahol a
χ ~ ◦∇
a
χ ~
1
vektormez® gradiense . Mivel
χ ~ (~r) = ~r˜
↓ ∂ ∂~r ∂~u ∂~r˜ ˜ · ∆~r = (~r + ~u) · ∆~r = + · ∆~r = ∆~r + ∆~u = ~r ◦ ∇ · ∆~r = ∂~r ∂~r ∂~r ∂~r =
∂~r ∂~u ∂~u ·∆~r + · ∆~r = ∆~r + · ∆~r ∂~r ∂~r ∂~r |{z} I
azaz
∆~r + ∆~u = ∆~r +
∂~u · ∆~r ∂~r
Az egyszer¶sítés után marad a
∆~u =
∂~u · ∆~r ∂~r
1. de níció. Az elmozdulás függvény gradiensét
nak nevezzük.
deriválttenzor
∂~u = ~u ◦ ∇ = D ∂~r D=
∂~u ∂~u ∂~u ◦ ~ex + ◦ ~ey + ◦ ~ez ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v D = ∂x ∂y ∂z ∂w ∂x
(xyz) Az
D
∂w ∂y
∂w ∂z
felbontása szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részre.
D=
1 1 D + DT + D − DT {z } |2 {z } |2 A
Ψ
1. tétel (bizonyítás nélkül). Ha u, v, w 1, azaz az elmozdulások nagyon kicsik, akkor az A jó közelítéssel az alakváltozást írja le, a Ψ pedig a tengely körüli szögelfordulást. A az alakváltozási tenzor, Ψ a forgató tenzor. A deriválttenzor szemléltetése ∆~u = D · ∆~r = A · ∆~r + Ψ · ∆~r
A
∆~r helyére írjuk be a Q pont elemi környezetében lév® ~ex , ~ey
és
~ez
egységvektorokat (lásd 3. ábra).
∆~ux = A · ~ex + Ψ · ~ex = α ~ x + β~x 1 Egy
~v vektormez® gradiensére szokásos jelölések még a grad~v = ~v ◦ ∇ =
8
∂~v . ∂~r
egymásra páronként mer®leges
∆~uy = A · ~ey + Ψ · ~ey = α ~ y + β~y ~ z + β~z ∆~uz = A · ~ez + Ψ · ~ez = α A
∆~ux , ∆~uy
és
∆~uz
vektorok az
~ex , ~ey
és
~ez
egységvektorok végpontjainak elmozdulását jelentik.
β~z
α ~z
∆~uz
~ez
Q β~x
β~y
∆~uy
∆~ux ~ey
~ex
α ~y
α ~x 3. ábra. Deriválttenzor szemléltetése: egységvektorok végpontjainak elmozdulása
A forgás szemléltetése
A merev test szer¶ elfordulás nem befolyásolja sem a testen belül
ébred® bels® er®ket (lásd a (9) Hooke-törvényt), sem a test alakváltozási energiáját (lásd 3. tétel). Szemléltessük a tengely körüli forgást.
β~z
ψy
−ψx ~ez
ϕx ϕy ϕy
Q
β~x
−ψy
ϕz
ψz
ϕx
~ex
ϕz
ψx ~ey
β~y −ψz
4. ábra. Forgás szemléltetése Egy
Q
adódóan
pontból induló tetsz®leges
~n
irányú egységvektor végpontjának elmozdulása a forgásból
β~n = Ψ · ~n, 9
ahol
Ψ = (xyz)
0 −ψz ψy 1 ∂v 1 ∂v ψz 0 −ψx − ∂u 0 − ∂w = 2 ∂x ∂y 2 ∂z ∂y 1 ∂w ∂v −ψy ψx 0 1 ∂w − ∂u − ∂z 0 2 ∂x ∂z 2 ∂y 1 2
0
∂u ∂y
Könnyen belátható, hogy
Amennyiben a kezdeti
xyz
−
∂v ∂x
1 2
∂u ∂z
−
∂w ∂x
~ × ~n. β~n = Ψ · ~n = ψ és a test egy anyagi pontjának elemi környezetével együtt forgó
x0 y 0 z 0
koordináta-rendszerek tengelyei csak kicsit térnek el egymástól, azaz
1 ψx = 2
1 ψy = 2
1 ψz = 2
∂w ∂v − ∂y ∂z
∂u ∂w − ∂z ∂x
∂v ∂u − ∂x ∂y
1 1 1
akkor
ψx = sin (ϕx ) ≈ ϕx ψy = sin (ϕy ) ≈ ϕy ψz = sin (ϕz ) ≈ ϕz vagyis
β~n ≈ ϕ ~ × ~n
ahol
ϕ ~ = ϕx~ex + ϕy~ey + ϕz~ez a merevtest szer¶ elfordulást leíró vektor.
A
ϕ ~
abszolút értéke a szögelfordulás nagyságát adja
meg
ϕ = |~ ϕ|
Az alakváltozások szemléltetése A = (xyz)
A továbbiakban csak az alakváltozásokkal foglalkozunk.
∂u ∂x 1 2 1 2
1 2
∂v ∂x
+
∂u ∂y
∂w ∂x
+
∂u ∂z
vagy tömörebben
A=
∂u ∂y
+
∂v ∂x
∂v ∂y 1 2
∂w ∂y
+
1 2 1 2
∂v ∂z
1 (~u ◦ ∇ + ∇ ◦ ~u) 2
∂u ∂z
∂v ∂z
+ ∂w ∂y +
∂w ∂x
∂w ∂z
(1)
Ezt az egyenletet szokás kinematikai vagy geometriai egyenletnek is nevezni. Ez az egyenlet teremt kapcsolatot az elmozdulások és az alakváltozások között. Szemléltessük az alakváltozásokat.
10
α ~z
εy
1 γ 2 yz
1 γ 2 xz
~ez
Q
1 γ 2 zx
α ~x
1 γ 2 xz
α ~y
~ey
~ex
1 γ 2 zy
εx
1 γ 2 yx
εy
5. ábra. Alakváltozás szemléltetése
Ha a kezdetben egységnyi hosszúságú szakaszok hossza csak kis mértékben változik meg és a koordináta-tengelyek kezdetben kilencven fokos szöge csak kis mértékben csökken vagy növekszik, azaz
és
∂v ∂w 1 1 ∂y ∂z 1 ∂v ∂w 1 ∂w ∂u + + 1 1 2 ∂z ∂y 2 ∂x ∂z
∂u 1 ∂x 1 2
∂u ∂v + ∂y ∂x
1
akkor a fajlagos nyúlások az
∂u ∂x ∂v εy ≈ ∂y ∂w εz ≈ ∂z εx ≈
összefüggésekkel, a szögtorzulások pedig a
1 1 γxy = γyx = arc tg 2 2
1 2
∂u ∂v + ∂y ∂x
1 1 γyz = γzy 2 2
1 2
∂v ∂w + ∂z ∂y
1 2
∂w ∂u + ∂x ∂z
1 1 γzx = γxz 2 2
1 ∂u ∂v + ≈ 2 ∂y ∂x 1 ∂v ∂w = arc tg + ≈ 2 ∂z ∂y 1 ∂w ∂u = arc tg + ≈ 2 ∂x ∂z
összefüggésekkel kaphatók.
εx A ≈ 12 γyx 1 (xyz) γ 2 zx 11
1 γ 2 xy
εy 1 γ 2 zy
1 γ 2 xz 1 γ 2 yz
εz
Mivel az általunk vizsgált esetekben mindig kis alakváltozások fognak el®fordulni, a ≈ közelít®leg
egyenl® jel helyett az = egyenl®ség jelet használjuk.
εx A = 12 γyx 1 (xyz) γ 2 zx
1 γ 2 xy
εy 1 γ 2 zy
1 γ 2 xz 1 γ 2 yz
εz
2. feladat. Ismerjük egy test pontjainak elmozdulását leíró χ ~ (~r) függvényt. χ ~ (~r) = (x + γy) ~ex + y~ey + z~ez
ahol γ egy skalár paraméter. 1. Szemléltesse az elmozdulást egy egységnyi oldalú kockán. Rajzolja meg a deformálatlan és deformált kockát el®l-, oldalt- és felülnézetben. (Segítség: legyen a kocka egyik csúcsa a koordinátarendszer orrigója, három ebb®l a csúcsból induló éle pedig legyen a koordinátarendszer három tengelye. 2. Határozza meg az alakváltozási tenzort és írja fel az xyz koordinátarendszerben a tenzor mátrixát. Milyen összefüggés található a γ paraméter és a szögtorzulások között? 3. Határozza meg a forgató tenzort és írja fel az xyz koordinátarendszerben a tenzor mátrixát. Milyen összefüggés található a γ paraméter és a merevtest szer¶ elmozdulást leíró ϕ szög között?
♣
1.1.3. Kompatibilitási egyenlet Szorozzuk meg a kinematikai egyenletet jobbról és balról is vektoriálisan a nabla operátorral
∇×A×∇=∇×
=
1 (~u ◦ ∇ + ∇ ◦ ~u) × ∇ = 2
1 × ∇} ◦~u × ∇ = 0 ∇ × ~u ◦ ∇ × ∇} + ∇ | {z | {z 2 ~0
~0
Az
∇×A×∇=0
(2)
egyenletet kompatibilitási egyenletnek nevezzük. Az alakváltozási mez® kompatibilis, ha teljesíti a kompatibilitási egyenletet. Az (1) kinematikai egyenlettel el®állított alakváltozási mez® mindig kompatibilis, azaz a (2) kompatibilitási feltétel automatikusan teljesül.
Megjegyzés: Az euklideszi teret az jellemzi, hogy benne egy test párhuzamos eltolása (transzláció) független az útvonaltól. Ha nem-euklideszi térben próbálnánk az alakváltozásokból visszaállítani az elmozdulásokat, nem kapnánk egyértelm¶ eredményt. Ezért nem engedjük meg, hogy a tér, amelyben az elmozdulásokat és alakváltozásokat leírjuk nem-euklideszi legyen. Ezt a feltételt a kompatibilitási egyenlettel tudjuk biztosítani.
12
1.2. Feszültségi állapot 1.2.1. Test egyensúlya Er®k egyensúlya
Nyugalom esetén a testre ható er®k egyensúlyban vannak, azaz ered®jük nulla.
F~ = ~0 A testre ható er®ket két csoportra lehet osztani (lásd: 6. ábra). Az egyik csoportba azok az er®k
A ~n
V
p~ (~r) dA
dV
f~ (~r) 6. ábra. Test felületi és térfogati terhelése. tartoznak, amelyek a testre a felületén keresztül hatnak.
Ezek a koncentrált, vonal mentén és
felületen megoszló terhelések. Mivel a valóságban a pontszer¶ és vonal mentén megoszló terhelések mindig a pont és a vonal kis környezetében fellép® felületen megoszló terhelések mechanikai modelljei (ered®i), mondhatjuk hogy a test felületére ható er®k mind felület mentén megoszló er®t
ˆ
jelentenek.
F~A =
p~ (~r) dA (A)
ahol
p~ (~r)
az
tenzitása),
A
~r
helyvektorú egységnyi felületre jutó terhelés (felület mentén megoszló terhelés in-
a test felülete. A másik csoportot a térfogati terhelések jelentik, amikor az er® nem
a test felületén, hanem közvetlenül a test belsejében hat.
ˆ F~V =
f~ (~r) dV
(V )
f~ (~r) az ~r helyvektorú egységnyi térfogatra jutó terhelés (térfogaton megoszló terhelés intenzitása), V a test térfogata. Ilyen például a gravitációs er®, vagy a tehetetlenségi er®k. Az egyensúlyt matematikailag a ˆ ˆ ~ ~ ~ F = FA + FV = p~dA + f~dV = ~0 (3)
ahol
(A)
(V )
képlettel tudjuk leírni, amit tekinthetünk az egyensúlyi egyenlet integrál alakjának is.
13
Nyomatékok egyensúlya tetsz®leges pont az
O
P
Ha egy test egyensúlyban van, akkor a testre ható er®knek a tér egy
pontjára felírt nyomatéka nulla. Az egyszer¶ség kedvéért legyen most a tetsz®leges
ˆ
origó.
ˆ
~O = M
~r × p~dA + (A)
~r × f~dV = ~0
(4)
(V )
Ezt tekinthetjük úgy mint a nyomatékok egyensúlyának integrális alakja.
1.2.2. Bels® er®k (Cauchy-hipotézis) Egy testet, amelyre küls® er®k hatnak, képzeletben vágjunk ketté egy tetsz®leges
P
anyagi ponton átmen® síkkal (lásd 7. ábra).
rész egyensúlyát.
~n
normálisú,
Vizsgáljuk meg a kettévágás után kapott két
Belátható, hogy az elmetszett felületen fellép® er®k nagysága és iránya függ
az elmetszett felület normálisától.
Ha az egész test egyensúlyban volt, akkor az egyes részei is
ρ~ (~n) ~n
dA P
dA P
−~n ρ~ (−~n)
7. ábra. egyensúlyban vannak, azaz az egész testre ható er®k és az egyes részekre ható er®k összege különkülön is nulla. Ebb®l következik, hogy az elmetszett felületen az egyik és a másik testre ható er®k összege nulla.
ˆ
ˆ ρ~ (~r, −~n) dA = ~0
ρ~ (~r, ~n) dA + (As ) ahol a
(5)
(As )
ρ~ (~r, ~n) vagy egyszer¶bb jelöléssel ρ~n (~r) az egységnyi felületen fellép® bels® er®t jelenti.
Mivel
az egyes részek egyensúlyban vannak, azaz a testeket alkotó összes anyagi pont is egyensúlyban
14
van, az (5) összefüggésnek minden egyes, az
As
felületen lév® anyagi pontra is teljesülnie kell.
ˆ (~ ρ (~r, ~n) + ρ~ (~r, −~n)) dA = ~0
⇒
ρ~ (~r, ~n) = −~ ρ (~r, −~n)
(As )
1.2.3. Feszültség tenzor Most nézzük meg, hogy egy test egy elemi térfogatának egyensúlya milyen feltételekkel teljesül. Továbbra is mondhatjuk, hogyha egy test egyensúlyban van, akkor az ®t alkotó elemi térfogatok is külön-külön egyensúlyban vannak. Metszünk ki a testb®l egy elemi térfogatot úgy, hogy az elemi térfogat felületének egy része legyen a test küls® felülete. A számítások elvégzéséhez célszer¶ úgy megválasztani az elemi térfogatot, hogy az tetraéder alakú legyen (8. ábra).
A ~n
V
p~ (~r) dA
8. ábra. térfogatra ható küls® és bels® er®k egyensúlyát (lásd 9. ábra).
z
ρ~(−~ex )
dV ~n p~(~n) y
ρ~(−~ey )
h dA x
ρ~(−~ez ) 9. ábra.
p~ dA + ρ~ (−~ex ) dAx + ρ~ (−~ey ) dAy + ρ~ (−~ez ) dAz + f~ dV = ~0 p~ dA − ρ~ (~ex ) dAx − ρ~ (~ey ) dAy − ρ~ (~ez ) dAz + f~ dV = ~0
15
Írjuk fel az elemi
Az egyszer¶ség kedvéért használjuk a következ® jelöléseket:
ρ~x := ρ~ (~ex )
ρ~y := ρ~ (~ey )
ρ~z := ρ~ (~ez )
ρ (~n · ~e ) dA −~ ρ (~n · ~e ) dA +f~ dV = ~0 p~ dA − ρ~x (~n · ~ex ) dA −~ | {z } y | {zy } z | {zz } dAx
dAz
dAy
p~ dA − ρ~x (~ex · ~n) dA −~ ρ (~e · ~n) dA +f~ dV = ~0 ρ (~e · ~n) dA −~ | {z } y | y {z } z | z {z } dAx
dAz
dAy
p~ dA − ρ~x ◦ ~ex · ~ndA − ρ~y ◦ ~ey · ~ndA − ρ~z ◦ ~ez · ~ndA + f~ dV = ~0 p~ dA − (~ ρx ◦ ~ex + ρ~y ◦ ~ey + ρ~z ◦ ~ez ) · ~ndA + f~ dV = ~0
A
dV
elemi térfogatot ki tudjuk fejezni a
dA
elemi felület és a tetraéder
ségével
dV = dA
h
magasságának a segít-
h 3
Ezzel az elemi térfogat egyensúlya így írható
h p~ dA − (~ ρx ◦ ~ex + ρ~y ◦ ~ey + ρ~z ◦ ~ez ) · ~ndA + f~ dA = ~0 3 Osszuk el mindkét oldalt a
dA
elemi felülettel (dA
6= 0)
h p~ − (~ ρx ◦ ~ex + ρ~y ◦ ~ey + ρ~z ◦ ~ez ) · ~n + f~ = ~0 3 Tartsunk a tetraéder
h
magasságával nullához:
h → 0.
Ami marad:
p~ − (~ ρ ◦ ~e + ρ~y ◦ ~ey + ρ~z ◦ ~ez ) ·~n = ~0 {z } | x x F
ahol
F
a feszültségi tenzor.
F = ρ~x ◦ ~ex + ρ~y ◦ ~ey + ρ~z ◦ ~ez vagy
F (~r) = ρ~x (~r) ◦ ~ex + ρ~y (~r) ◦ ~ey + ρ~z (~r) ◦ ~ez vagyis a feszültségi tenzor a hely függvénye. Az elemi
dA
felületre ható terhelés így kifejezhet® a
feszültségi tenzorral
p~ (~r) = F (~r) · ~n
Feszültségtenzor szemléltetése
Szorozzuk meg az
egységvektorokkal.
16
F
(6)
feszültségtenzort rendre az
~ex , ~ey
és
~ez
1.2.4. Egyensúlyi egyenletek Térjünk vissza ismét az er®k egyensúlyának (3) integrál alakjához
ˆ
ˆ
f~dV = ~0
p~dA + (A)
(V )
Helyettesítsük be ebbe a feszültségi tenzorra kapott (6) összefüggést
ˆ
ˆ F · ~ndA +
f~dV = ~0
(V )
(A) Alkalmazzuk az els® tagra a Gauss-tételt
ˆ
ˆ F · ∇dV +
f~dV =
(V )
(V )
ˆ
~ F · ∇ + f dV = ~0
(V )
Mivel az integrálási tartomány tetsz®leges, az integrál csak akkor lehet nulla, ha a zárójeles kifejezés mindig nullával egyenl®.
F · ∇ + f~ = ~0
(7)
Ezt nevezzük az er®kre vonatkozó egyensúlyi egyenletnek.
F · ∇ + f~ = (~ ρx ◦ ~ex + ρ~y ◦ ~ey + ρ~z ◦ ~ez ) ·
∂ ∂ ∂ ~ex + ~ey + ~ez ∂x ∂y ∂z
+ (fx~ex + fy~ey + fz~ez ) =
ρy ∂~ ρz ∂~ ρx ∂~ + + + fx~ex + fy~ey + fz~ez = ∂x ∂y ∂z ∂τxy ∂σx ∂τyx ∂τzx ∂σy ∂τzy = ~ex + ~ey + ~ez + ~ex + ~ey + ~ez + ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂τxz ∂τyz ∂σz + ~ex + ~ey + ~ez + fx~ex + fy~ey + fz~ez = ∂z ∂z ∂z ∂σx ∂τxy ∂τxz ∂τyx ∂σy ∂τyz + + + fx ~ex + + + + fy ~ey + = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂τzx ∂τzy ∂σz + + + + fz ~ez = ~0 ∂x ∂y ∂z =
Ez egyenérték¶ a
∂σx ∂τxy ∂τxz + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τyx ∂σy ∂τyz + + + fy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τzx ∂τzy ∂σz + + + fz = 0 ∂x ∂y ∂z
skalár egyenletrendszerrel.
17
Most vizsgáljuk meg a nyomatékok (4) egyensúlyát.
ˆ
ˆ
~r × f~dV = ~0
~r × p~dA + (A)
(V )
Szintén helyettesítsük be a (6) összefüggést
ˆ
ˆ
~r × F · ~ndA +
~r × f~dV = ~0
(V )
(A) és alkalmazzuk a Gauss-tételt
ˆ
ˆ
↓
~r × F · ∇dV +
~r × f~dV =
(V )
(V )
ˆ
! ~r × F · ∇ + ~r × f~ dV = ~0 ↓
(V )
Mivel az integrálási tartomány tetsz®leges, az integrál csak akkor lehet nulla, ha a zárójeles kifejezés mindig nullával egyenl®.
↓
~r × F · ∇ + ~r × f~ = ~0 Alakítsul át az els® tagot a szorzat deriválási szabályának felhasználásával
↓
↓
~r × F · ∇ + ~r × F · ∇ + ~r × f~ = ~0 Emeljük ki az
~r
vektorral történ® vektoriális szorzást
↓
↓ ~r × F · ∇ + ~r × F · ∇ + f~ = ~0 | {z } ~0
A zárójeles kifejezés a (7) egyenletnek megfelel®en nulla. Alakítsuk tovább a maradék egyenletet
↓
↓
~r × F · ∇ = (x~ex + y~ey + z~ez ) × (~ ρx ◦ ~ex + ρ~y ◦ ~ey + ρ~z ◦ ~ez ) ·
∂ ∂ ∂ ~ex + ~ey + ~ez ∂x ∂y ∂z
=
= ~ex × ρ~x ◦ ~ex · ~ex +~ey × ρ~x ◦ ~ey · ~ey +~ez × ρ~x ◦ ~ez · ~ez = ~ex × ρ~x + ~ey × ρ~x + ~ez × ρ~x = | {z } | {z } | {z } 1
1
1
= ~ex × (σx~ex + τyx~ey + τzx~ez ) + ~ey × (τxy~ex + σy~ey + τzy~ez ) + ~ez × (τxz~ex + τyz~ey + σz~ez ) = = (τyx~ez − τzx~ey ) + (−τxy~ez + τzy~ex ) + (τxz~ey − τyz~ex ) = = (τzy − τyz ) ~ex + (τxz − τzx ) ~ey + (τyx − τxy ) ~ez = ~0
vagyis
τzy = τyz τxz = τzx τyx = τxy Ez egyben azt is jelenti, hogy a feszültségi tenzor szimmetrikus.
A nyomatékok egyensúlyának
dierenciális alakját ezek alapján az
F = FT egyenl®séggel fejezhetjük ki.
18
(8)
1.3. Anyagegyenlet 1.3.1. Hooke-törvény Az anyagegyenlet a szilárd test küls® behatásokkal szembeni viselkedését írja le. Itt csak mechanikai hatásokat tárgyaljuk. Legyen olyan az anyagegyenlet, hogy:
a vizsgált test viselkedése legyen izotrop,
az anyagtörvény csak kis alakváltozások mellett adja meg kell® pontossággal a testben keletkezett feszültségeket,
az alakváltozások és bels® er®k (feszültségek) között a kapcsolatot írja le lineáris függvény.
A fenti tulajdonságokat a Hooke-féle anyagtörvény teljesíti
2. tétel (bizonyítás nélkül). Ha egy anyag izotop tulajdonságú, csak kis alakváltozásoknak van kitéve (ε 1 és γ 1) és a keletkezett feszültség arányos az alakváltozással, akkor az alakváltozási tenzor és a feszültségi tenzor kapcsolatát a E F = 1+ν
A+
ν AI I 1 − 2ν
(9)
un. Hooke-törvény adja meg, ahol E az anyag rugalmassági- vagy Young-modulusza, ν a Poissontényez®, AI az alakváltozási tenzor els® skalárinvariánsa, I pedig az egységtenzor. Írjuk fel a Hooke-törvényt derékszög¶ Descartes-féle koordinátarendszerben.
1 γ 2 xy
σx τxy τxz εx τyx σy τyz = E 1 γyx 2 1+ν 1 τzx τxy σz γ 2 zx
εy 1 γ 2 zy
1 γ 2 xz 1 γ 2 yz
εz
1 0 0 + ν (εx + εy + εz ) 0 1 0 1 − 2ν 0 0 1
Ha a vizsgált test egyensúlyban van, akkor a feszültségi tenzor (8) miatt csak 6 db független skalár koordinátát jelent.
ν εx + (εx + εy + εz ) 1 − 2ν ν E εy + (εx + εy + εz ) σy = 1+ν 1 − 2ν E ν σz = εz + (εx + εy + εz ) 1+ν 1 − 2ν
E σx = 1+ν
τxy =
E γxy 2 (1 + ν)
τyz =
E γyz 2 (1 + ν)
τzx =
E γzx 2 (1 + ν)
19
1.4. A rugalmasságtani feladat kit¶zése A rugalmasságtani peremérték feladat kit¶zéséhez az alábbi egyenletekre van szükség:
Kinematikai egyenlet
A=
Egyensúlyi egyenletek
1 (~u ◦ ∇ + ∇ ◦ ~u) 2 F · ∇ + f~ = ~0 F = FT
Anyagegyenlet (Hooke-törvény)
E F = 1+ν
ν A+ AI I 1 − 2ν
1.4.1. Skaláris egyenletek Nézzük meg a fenti egyenletek skalár koordinátáit.
Kinematikai egyenletek
∂u ∂x ∂v εy = ∂y
εx =
∂w ∂z ∂u ∂v = + ∂y ∂x
εz = γxy
Egyensúlyi egyenletek
γyz =
∂v ∂w + ∂z ∂y
γzx =
∂w ∂u + ∂x ∂z
∂σx ∂τxy ∂τxz + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τyx ∂σy ∂τyz + + + fy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τzx ∂τzy ∂σz + + + fz = 0 ∂x ∂y ∂z
20
Anyagtörvény
ν (εx + εy + εz ) 1 − 2ν E ν σy = εy + (εx + εy + εz ) 1+ν 1 − 2ν E ν σz = εz + (εx + εy + εz ) 1+ν 1 − 2ν
E σx = 1+ν
εx +
τxy =
E γxy 2 (1 + ν)
τyz =
E γyz 2 (1 + ν)
τzx =
E γzx 2 (1 + ν)
Összesen 15 db skalár egyenlet.
1.4.2. Ismeretlen függvények Elmozdulás koordináták
u (x, y, z) ,
v (x, y, z) ,
w (x, y, z) ,
εx (x, y, z) ,
εy (x, y, z) ,
εz (x, y, z) ,
γxy (x, y, z) ,
γyz (x, y, z) ,
γzx (x, y, z) ,
σx (x, y, z) ,
σy (x, y, z) ,
σz (x, y, z) ,
τxy (x, y, z) ,
τyz (x, y, z) ,
τzx (x, y, z) .
fajlagos nyúlások
szögtorzulások
normálfeszültségek
csúsztató feszültségek
Összesen 15 db skalás fügvény.
1.4.3. Peremfeltételek Osszuk fel a vizsgált test felületét két részre (lásd 10. ábra). Az egyik felületen (Au ) legyen adott az elmozdulás, míg a másik felületen (Ap ) legyen ismert a terhelés. A két felületre történ® felosztás legyen olyan, hogy
Au ∪ Ap = A
és
Au ∩ Ap = ∅.
A peremfeltételeket a felosztásnak megfelel®en tudjuk el®írni:
Kinematikai peremfeltétel
~u (~r) = ~u0 (~r)
~r ∈ Au
Dinamikai peremfeltétel
F (~r) · ~n = p~0 (~r) 21
~r ∈ Ap
Ap Au
~n
11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 10. ábra. Peremfeltételek
2. A rugalmasságtani feladat közelít® megoldása
2.1. Alapfogalmak 2.1.1. Kinematikailag lehetséges elmozdulásmez® 2. de níció. Egy elmozdulásmez®t kinematikailag lehetségesnek nevezünk, ha folytonos függvény, elegend®en sokszor deriválható a hely szerint a test V térfogatán, kielégíti a kinematikai peremfeltételeket a test Au felületén. Jele: ~u∗ = ~u∗ (~r) = ~u∗ (x, y, z) Kinematikailag lehetséges alakváltozás:
1 ∗ (~u ◦ ∇ + ∇ ◦ ~u∗ ) 2
A∗ = Peremfeltételek:
~u∗ = ~u0
~r ∈ Au
Kinematikailag lehetséges feszültségmez®:
E F = 1+ν ∗
A∗ +
ν A∗I I 1 − 2ν
A kinematikailag lehetséges feszültségmez® az egyensúlyi egyenleteket és a dinamikai peremfeltételt általában nem elégíti ki. A
V
térfogaton általában:
F ∗ · ∇ + f~ 6= ~0 és az
Ap
felületen általában:
F ∗ · ~n 6= p~0 .
Ha az egyensúlyi egyenletek és a dinamikai peremfeltétel is kielégülnek, akkor az ~ u∗ a tényleges megoldás (~ u∗ = ~u). Egy peremérték feladatnál végtelen sok kinematikailag lehetséges elmozdulásmez® állítható el®, azonban ezek közül csak egy van, amely a peremérték feladat tényleges megoldását adja.
22
2.1.2. Statikailag lehetséges feszültségmez® 3. de níció. Egy feszültségmez®t statikailag lehetségesnek nevezünk, ha kielégíti az egyensúlyi egyenleteket a test V térfogatán szimmetrikus kielégíti a dinamikai peremfeltételeket a test Ap felületén Jele: F¯ = F¯ (~r) = F¯ (x, y, z) Peremfeltételek:
F¯ · ~n = p~0
Az egyensúlyi egyenlet:
F¯ · ∇ + ~q = ~0
Statikailag lehetséges alakváltozási mez®:
¯ = 1+ν A E
F¯ −
ν ¯ FI I 1+ν
A statikailag lehetséges alakváltozási mez® és a bel®le számítható statikailag lehetséges elmozdulásmez® a kompatibilitási egyenleteket és a kinematikai peremfeltételeket általában nem elégíti ki.
¯ ×∇= 6 0 ∇×A
és
~u¯ 6= ~u0
Ha a kompatibilitási egyenlet és a kinematikai peremfeltételek is teljesülnek, akkor
F (x, y, z)
a feladat tényleges megoldása.
F¯ (x, y, z) =
Egy peremérték feladatnál végtelen sok statikailag le-
hetséges feszültségmez® állítható el®. Ezek közül csak egy van, amely a peremérték feladatnak a tényleges megoldása.
2.1.3. Virtuális elmozdulásmez® 4. de níció. Legyen ~u∗1 és ~u∗2 két kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®. Virtuális elmozdulásmez®nek nevezzük a különbséggel de niált függvényt.
δ~u := ~u∗1 − ~u∗2
A 2. de nícióból következ®en a virtuális elmozdulásmez® az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik
folytonos függvény,
elegend®en sokszor deriválható,
a kinematikai peremen az értéke nulla.
23
2.1.4. Az elmozdulásmez® variációja 5. de níció. Legyen ~u a rugalmasságtani feladat egzakt megoldása és ~u∗ egy kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®. Az elmozdulásmez® variációjának nevezzük a δ~u := ~u∗ − ~u
különbséggel de niált függvényt. A 2. de nícióból következ®en az elmozdulásmez® variációja az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik
folytonos függvény,
elegend®en sokszor deriválható,
a kinematikai peremen az értéke nulla.
2.2. A rugalmasságtan energia elvei 2.2.1. A virtuális munka elve Az
F¯
statikailag lehetséges feszültségmez® a de níciójából adódóan kielégíti az egyensúlyi egyen-
Ap ~n Au
11. ábra. A rugalmas test peremfeltételei: megfogások és terhelések. letet:
Szorozzuk meg ezt az egyenletet az ráljuk a test V térfogatán.
~u∗
F¯ · ∇ + f~ = ~0 kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®vel, majd integ-
ˆ ↓ ~u∗ · F¯ · ∇ + ~u∗ · f~ dV = 0 (V )
ahol lefelé mutató nyíllal jelöltük, hogy a nabla operátor melyik tagra hat. A szorzat deriválási szabályának felhasználásával, azaz hogy
↓
↓
↓
~u∗ · F¯ · ∇ = ~u∗ · F¯ · ∇ + ~u∗ · F¯ · ∇
24
a fenti integrál átalakítható.
ˆ ↓ ↓ ∗ ¯ ∗ ~ ∗ ¯ ~u · F · ∇ − ~u · F · ∇ + ~u · f dV = 0 (V ) Végezzük el a középs® tagon a deriválást
↓ ∗
↓ ∗
~u · F¯ · ∇ = ~u · ρ~¯x ◦ ~ex + ρ~¯y ◦ ~ey + ρ~¯z ◦ ~ez · =
∂ ∂ ∂ ~ex + ~ey + ~ez ∂x ∂y ∂z
=
∂~u∗ ¯ ∂~u∗ ¯ · ρ~x ◦ ~ex + ρ~¯y ◦ ~ey + ρ~¯z ◦ ~ez · ~ex + · ρ~x ◦ ~ex + ρ~¯y ◦ ~ey + ρ~¯z ◦ ~ez · ~ey + ∂x ∂y ∂~u∗ ¯ · ρ~x ◦ ~ex + ρ~¯y ◦ ~ey + ρ~¯z ◦ ~ez · ~ez = + ∂z ∂~u∗ ¯ ∂~u∗ ¯ ∂~u∗ ¯ = · ρ~x + · ρ~y + · ρ~z ∂x ∂y ∂z
Az utolsó sor egyszer¶bb felírása érdekében egy új szorzás m¶veletet de niálunk
6. de níció. Tenzorok kétszeres skaláris szorzásán a következ® m¶veletet értjük2 : A · ·B := tr AT · B
Következmény.
B · ·A = tr B T · A = tr AT · B = A · ·B
Következmény.
A · ·B = tr AT · B = tr A · B T = AT · ·B T
Következmény.
~a ◦ ~b · · ~c ◦ d~ = tr ~b ◦ ~a · ~c ◦ d~ = tr ~b ◦ (~a · ~c) ◦ d~ = ~ ~ ~ ~ = (~a · ~c) tr b ◦ d = (~a · ~c) b · d Ezek alapján írhatjuk, hogy
∂~u∗ ∂x
∂~u∗ ∂x
∂~u∗ ∂x
= = +
∂~u∗ ¯ ∂~u∗ ¯ ∂~u∗ ¯ · ρ~x + · ρ~y + · ρ~z = ∂x ∂y ∂z ∗ ∗ ∂~u ¯ ∂~u ¯ ¯ · ρ~x (~ex · ~ex ) + · ρ~y (~ey · ~ey ) + · ρ~z (~ez · ~ez ) = ∂y ∂z ∗ ∗ ∂~u ¯ ∂~u ¯ ¯ · ρ~x (~ex · ~ex ) + · ρ~y (~ey · ~ey ) + · ρ~z (~ez · ~ez ) + ∂y ∂z ∗ ∗ ∂~u ¯ ∂~u ¯ ¯ · ρ~y (~ex · ~ey ) + · ρ~z (~ey · ~ez ) + · ρ~x (~ez · ~ex ) + ∂y ∂z
2A
tr (. . . ) (trace) tenzorokon értelmezett függvény a tenzor f®átlójában lév® elemeinek összegét adja meg. Például tr A = AI . 25
∗ ∗ ∂~u ¯ ∂~u ¯ ∂~u∗ ¯ · ρ~x (~ey · ~ex ) + · ρ~y (~ez · ~ey ) + · ρ~z (~ex · ~ez ) = + ∂y ∂z ∂x ∗ ∂~u ∂~u∗ ∂~u∗ = ◦ ~ex + ◦ ~ey + ◦ ~ez · · ρ~¯x ◦ ~ex + ρ~¯y ◦ ~ey + ρ~¯z ◦ ~ez = ∂x ∂y ∂z = D∗ · ·F¯ = F¯ · ·D∗
Az
D∗
kinematikailag lehetséges deriválttenzor felbontható egy szimmetrikus és egy ferdén szim-
metrikus részre.
D ∗ = A∗ + Ψ ∗ Ezt felhasználva kapjuk, hogy
F¯ · ·D∗ = F¯ · · A∗ + Ψ∗ = F¯ · ·A∗ + F¯ · ·Ψ∗ A második tagban használjuk ki hogy
F¯
szimmetrikus,
T F¯ · ·Ψ∗ = F¯ · · Ψ∗
T
Ψ∗
pedig ferdén szimmetrikus
= −F¯ · ·Ψ∗
Ha egy skalár szám egyenl® saját maga mínusz egyszeresével, akkor ez a skalár szám a nulla, vagyis
F¯ · ·Ψ∗ = 0 Ezek alapján
F¯ · ·D∗ = F¯ · ·A∗
Visszatérve a virtuális munka elvéhez írhatjuk, hogy
ˆ ↓ ~u∗ · F¯ · ∇ − F¯ · ·A∗ + ~u∗ · f~ dV = 0 (V ) Bontsuk fel a zárójelet
ˆ
ˆ
↓
~u∗ · F¯ · ∇dV − (V )
ˆ F¯ · ·A dV + ∗
(V )
~u∗ · f~dV = 0
(V )
Alkalmazzuk az els® tagra a Gauss-tételt
ˆ
ˆ
ˆ ~u · F¯ · ~n dA − ∗
(A)
F¯ · ·A dV + ∗
(V )
(V )
Ez a virtuális munka elvének általános alakja.
~u∗ · f~dV = 0
Azért
virtuális
munka elv, mert nem egy valódi
elmozduláson végzett munkát ad meg. Alkalmazzuk a virtuális munka elvét a rugalmasságtani peremérték feladatra. A vizsgált test felülete két részb®l áll: az
Au
felületen az elmozdulás adott, az
Ap
felületen pedig a terhelés. Ennek
megfelel®en bontsuk két részre a felületi integrált.
ˆ
ˆ F¯ · ·A∗ dV −
(V )
ˆ ~u0 · F¯ · ~n dA −
(Au )
~u · p~0 dA − (Ap )
26
ˆ ∗
(V )
~u∗ · f~dV = 0
2.2.2. Virtuális elmozdulás elve Az el®z®ekben levezetett virtuális munka elvét írjuk fel két különböz® kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®re.
ˆ
ˆ
ˆ ~u0 · F¯ · ~n dA −
F¯ · ·A∗1 dV − (Au )
(V )
F¯ ·
·A∗2 dV
(Au )
(V )
~u∗1 · f~dV = 0
(V )
ˆ
~u0 · F¯ · ~n dA −
−
· p~0 dA −
(Ap )
ˆ
ˆ
ˆ ~u∗1
ˆ
~u∗2
· p~0 dA −
(Ap )
~u∗2 · f~dV = 0
(V )
majd vonjuk ki ®ket egymásból.
ˆ
ˆ ˆ ∗ ∗ ∗ ∗ ¯ (~u1 − ~u2 ) · p~0 dA − (~u∗1 − ~u∗2 ) · f~dV = 0 F · · A1 − A2 dV − (Ap )
(V )
(V )
ahol
~u∗1 − ~u∗2 = δ~u
a virtuális elmozdulásmez®,
1 1 ∗ (~u1 ◦ ∇ + ∇ ◦ ~u∗1 ) − (~u∗2 ◦ ∇ + ∇ ◦ ~u∗2 ) = 2 2 1 1 = ((~u∗1 − ~u∗2 ) ◦ ∇ + ∇ ◦ (~u∗1 − ~u∗2 )) = (δ~u ◦ ∇ + ∇ ◦ δ~u) = δA 2 2 A∗1 − A∗2 =
pedig a virtuális alakváltozás. Így a virtuális elmozdulás elve a következ® alakú lesz
ˆ
ˆ
F¯ · ·δAdV − (V )
ˆ
δ~u · p~0 dA −
(Ap )
δ~u · f~dV = 0
(V )
3
Ezt szokás a feladat gyenge alakjának is nevezni .
2.2.3. Potenciális energia minimuma elv 7. de níció. Egy test potenciális munkájának a különbségét. ahol
energiá
U az alakváltozási energia,
ján értjük az alakváltozási energiájának és a küls® er®k
Πp := U − Wk
Wk a küls® er®k munkája. 3. tétel (bizonyítás nélkül). Ha egy V térfogatú testben csak kis alakváltozások lépnek fel, és test anyaga lineárisan rugalmas, akkor az alakváltozási energia az 1 U= 2
ˆ
F · ·AdV (V )
összefüggéssel számítható, ahol
F a feszültségi tenzor, A pedig az alakváltozási tenzor.
3A
1.4. fejezetben felírt parciális dierenciál-egyenletrendszer pedig az er®s alak. A gyenge alakban csak azt követeljük meg, hogy az egyenlet integrál értelemben teljesüljön. 27
4. tétel. Ha egy V térfogatú testben csak kis elmozdulások lépnek fel, akkor a testen a által végzett munka az alábbi módon számítható ˆ
ˆ
~u · p~0 dA +
Wk = (Ap )
ahol
küls® er®k
~u · f~ dV
(V )
p~0 az Ap felület pontjaiban az egységnyi felületre jutó terhelés, f~ a V térfogaton belül az egységnyi térfogatra jutó terhelés, ~u az anyagi pont elmozdulása.
Vagyis
1 Πp = Πp [~u (~r)] = 2
ˆ
ˆ
ˆ
F · ·AdV −
~u · p~0 dA − (Ap )
(V )
~u · f~ dV
(V )
Vegyük észre, hogy a potenciális energia egy másik függvénynek, az
~u (~r) elmozdulás függvénynek a
függvénye, értékkészlete pedig a valós számok halmaza. Az olyan függvényeket, amelyek változója egy másik függvény, értékük pedig egy skalár szám,
funkcionál nak
nevezzük.
A funkcionálok
matematikai vizsgálatával a funkcionál analízis foglalkozik.
5. tétel. Az összes kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®t vizsgálva a tényleges megoldás esetében a teljes potenciális energiának minimuma van. Πp [~u∗ ] = Πp [~u]
Bizonyítás.
Induljunk ki az virtuális elmozdulásmez® de níciójából
δ~u = ~u∗2 − ~u∗1
~u∗2 = ~u∗1 + δ~u
⇒
Mivel a kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®k szabadon megválaszthatók, legyen az egzakt megoldás és az ~ u∗2 egy tetsz®leges kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®.
~u = ~u∗1
és
~u∗1
az
~u∗ = ~u∗2
⇓
~u∗ = ~u + δ~u Az így kapott
δ~u virtuális elmozdulásmez®
megegyezik az
elmozdulásmez® variációjával.
Az egye-
zést a kés®bbiekben fel fogjuk használni. Számítsuk ki a kinematikailag lehetséges alakváltozási tenzort
1 ∗ 1 (~u ◦ ∇ + ∇ ◦ ~u∗ ) = ((~u + δ~u) ◦ ∇ + ∇ ◦ (~u + δ~u)) = 2 2 1 1 = (~u ◦ ∇ + ∇ ◦ ~u) + (δ~u ◦ ∇ + ∇ ◦ δ~u) = A + δA 2 2 1 δA = 2 (δ~u ◦ ∇ + ∇ ◦ δ~u) tagot az alakváltozási tenzor variációjának nevezzük. A∗ =
A
meg a kinematikailag lehetséges feszültség tenzort a Hooke-törvény segítségével
E F = 1+ν ∗
A∗ +
ν A∗ I 1 − 2ν I
E ν ∗ ∗ = A + A · ·I I = 1+ν 1 − 2ν 28
Határozzuk
ahol az
E ν A + δA + A + δA · ·I I = = 1+ν 1 − 2ν E E ν ν = A+ A · ·I I + δA + δA · ·I I = 1+ν 1 − 2ν 1+ν 1 − 2ν E ν E ν = A+ AI I + δA + δAI I = F + δF 1+ν 1 − 2ν 1+ν 1 − 2ν E ν δA + 1−2ν δF = 1+ν δAI I a feszültségi tenzor variációja. Helyettesítsük be
a kinemati-
kailag lehetséges elmozdulásmez®t a potenciális energiába
Π∗p
∗
Π∗p
[~u ] =
1 [~u + δ~u] = 2
ˆ
ˆ ∗
∗
F · ·A dV −
~u · p~0 dA −
(Ap )
(V )
ˆ
F + δF · · A + δA dV − (V )
= 1 + 2
1 2
ˆ
F · ·AdV − (V )
ˆ
ˆ
~u · p~0 dA − (Ap )
F · ·δA + δF · ·A dV − +
1 2
ˆ
(V )
~u · f~ dV +
(V )
ˆ
(V )
(~u + δ~u) · f~ dV =
(~u + δ~u) · p~0 dA −
(Ap )
ˆ
~u∗ · f~ dV =
(V )
ˆ
ˆ
1 = 2
ˆ ∗
ˆ
δ~u · p~0 dA −
(Ap )
δ~u · f~ dV +
(V )
δF · ·δA dV (V )
Alakítsuk át a
δF · ·A
szorzatot
E δF · ·A = 1+ν
δA +
ν δAI I 1 − 2ν
· ·A =
E E ν δA · ·A + δAI I · ·A = 1+ν 1 + ν 1 − 2ν | {z }
=
AI
=
E E ν δA · ·A + δA · ·I AI = 1+ν 1 + ν 1 − 2ν | {z } δAI
= δA · ·
E 1+ν
A+
ν IAI 1 − 2ν
= δA · ·F = F · ·δA
Helyettesítsük be ezt a kinematikailag lehetséges potenciális energia képletébe. Ha megvizsgáljuk az így kapott összefüggést, érdekes dolgot vehetünk észre.
Π∗p
∗
[~u ] =
Π∗p
ˆ ˆ ˆ 1 [~u + δ~u] = F · ·AdV − ~u · p~0 dA − ~u · f~ dV + 2 (V ) (Ap ) (V ) | {z } Πp
29
ˆ
ˆ
ˆ
F · ·δAdV −
+ (V )
δ~u · p~0 dA −
(Ap )
|
δ~u · f~ dV +
(V )
{z
}
δΠp =0
ˆ 1 + δF · ·δA dV 2 (V ) | {z } δ 2 Πp
Az els® sor a potenciális energiát adja az egzakt megoldás esetére. A második sort a
energia els® variációjá nak
potenciális
is szokás nevezni, ami tulajdonképpen megegyezik a virtuális elmoz-
4
dulás elvében szerepl® kifejezéssel , ezért az értéke nulla.
potenciális energia második variációja
A harmadik sorban lév® mennyiség a
nevet viseli, ugyanis ebben el®fordulnak az elmozdulásmez®
variációjának második hatványai is. Határozzuk meg az el®jelét.
E δF · ·δA = 1+ν =
δA +
ν δAI I 1 − 2ν
· ·δA =
E E ν δA · ·δA + δAI I · ·δA = 1+ν 1 + ν 1 − 2ν | {z } δAI
E (δ~ αx ◦ ~ex + δ~ αy ◦ ~ey + δ~ αz ◦ ~ez ) · · (δ~ αx ◦ ~ex + δ~ αy ◦ ~ey + δ~ αz ◦ ~ez ) + 1+ν E ν (δAI )2 = + 1 + ν 1 − 2ν E E ν = (δ~ αx · δ~ αx + δ~ αy · δ~ αy + δ~ αz · δ~ αz ) + (δAI )2 1+ν 1 + ν 1 − 2ν hogy ez a kifejezés nagyobb vagy egyenl® mint nulla, amennyiben E = 0 és 0 < ν < 0,5, ˆ 1 2 δF · ·δA dV = 0 δ Πp = 2 =
Látható, azaz
(V ) Ebb®l következik, hogy igaz a
Πp [~u∗ ] = Πp [~u] vagy
Π∗p = Πp egyenl®tlenség, vagyis a potenciális energiának az egzakt megoldás esetén minimuma van.
Megjegyzés:
A potenciális energia minimuma elv csak abban az esetben használható, ha a
vizsgált rendszerben nem lép fel disszipáció.
4 Az
egzakt (tényleges) feszültségmez® egyben statikailag lehetséges feszültségmez® is.
30
2.2.4. Lagrange-féle variációs elv A Lagrange-féle variációs elv a teljes potenciális energia minimuma elv variációs megfogalmazása.
6. tétel. A teljes potenciális energiának az egzakt megoldás esetében széls® értéke (minimuma) van. 1. A széls® érték (minimum) létezésének szükséges feltétele a teljes potenciális energia els® variációjának elt¶nése. δΠp = 0
2. A széls® érték (minimum) létezésének elégséges feltétele az, hogy a teljes potenciális energia második variációja nagyobb mint nulla. δ 2 Πp > 0 Egy funkcionál els® illetve második variációját például a Gâteaux-féle (ejtsd: gató) deriválttal tudjuk kiszámítani.
Legyen
F [f (x)]
egy funkcionál, amelynek változója az
f (x)
függvény.
f (x) egy kis δf (x) megváltozását (variációját), szorozzuk be az α valós számmal és adjuk hozzá az f (x)-hez. Az így kapott függvényt helyettesítsük be a funcionálba. Ezek után fejtsük sorba az F [f (x) + αδf (x)] funkcionált az f (x) körül. d αδf (x) + F [f (x) + αδf (x)] F [f (x) + αδf (x)] = F [f (x) + αδf (x)]|α=0 + d (f (x) + αδf (x)) α=0 1 d2 + α2 δf (x)2 + · · · = 2 F [f (x) + αδf (x)] 2 d (f (x) + αδf (x)) α=0 d dα = F [f (x)] + F [f (x) + αδf (x)] αδf (x) + dα d (f (x) + αδf (x)) α=0 1 d d dα + F [f (x) + αδf (x)] α2 δf (x)2 + · · · = 2 d (f (x) + αδf (x)) dα d (f (x) + αδf (x)) α=0 d F [f (x) + αδf (x)] α+ = F [f (x)] + dα α=0 1 d d dα + F [f (x) + αδf (x)] α2 δf (x) + · · · = 2 dα dα d (f (x) + αδf (x)) α=0 d 1 d2 = F [f (x)] + F [f (x) + αδf (x)] α+ F [f (x) + αδf (x)] α2 + · · · 2 dα 2 dα Vegyünk az
α=0
α=0
ahol kihasználtuk, hogy
dα = d (f (x) + αδf (x))
d (f (x) + αδf (x)) dα
−1
= (δf (x))−1 =
1 δf (x)
8. de níció. Egy F függvény (vagy funkcionál) Gâteaux-féle n-edik deriváltján a dn D F [x, δx] = F (x + αδx) dαn α=0 n
kifejezést értjük. 31
9. de níció. Egy F funkcionál els® variációja megegyezik a Gâteaux-féle els® deriváltjával. d F (x + αδx) δF := DF [x, δx] = dα α=0
10. de níció. Egy F funkcionál második variációja megegyezik a Gâteaux-féle második deriváltjával. 2 d F (x + αδx) 2 dα α=0
δ 2 F := D2 F [x, δx] =
Ezek alapján könnyen belátható, hogy
ˆ
ˆ
F · ·δAdV −
δΠp = DΠp [~u, δ~u] =
δ~u · p~0 dA − (Ap )
(V ) és
1 δ Πp = D Πp [~u, δ~u] = 2 2
ˆ
δ~u · f~ dV
(10)
(V )
ˆ
2
δF · ·δA dV
(11)
(V )
3. feladat. Számítsuk ki az els® és második Gâteaux derivált segítségével a potenciális energia els® és (11) második variációját.
(10)
♣ A 6. tétel bizonyítása hasonlóan végezhet® el, mint a 5. tétel bizonyítása. Felmerülhet a kérdés, hogy a potenciális energia minimuma elvb®l kapott megoldás kielégíti-e a rugalmasságtan egyenletrendszerét? A kérdés megválaszolásához alakítsuk át a
ˆ
ˆ F · ·δAdV −
δΠp = ˆ
F · ·δDdV − (V )
(V )
ˆ
δ~u · p~0 dA −
(Ap )
ˆ
↓
(Ap )
ˆ
↓
δ~u · F · ∇dV −
δ~u · p~0 dA −
ˆ
δ~u · F · ~ndA − (Ap )
ˆ (Ap )
ˆ δ~u · p~0 dA −
(Ap ) ↓
δ~u · F · ∇dV −
(V )
ˆ (V ) 32
δ~u · f~ dV =
(V )
ˆ
δ~u · F · ~n − p~0 dA −
=
δ~u · f~ dV =
ˆ
↓
δ~u · F · ∇dV − ˆ
(V )
(V )
(V )
(V )
ˆ
(Ap )
(V )
=
δ~u · f~ dV =
(V )
δ~u · F · ∇dV −
=
=
ˆ
↓ ˆ ˆ F · · δ~u ◦ ∇ dV − δ~u · p~0 dA − δ~u · f~ dV =
=
ˆ
(V )
ˆ
=
δ~u · f~ dV =
δ~u · p~0 dA −
(Ap )
(V )
ˆ
ˆ
δΠp = 0 kifejezést.
ˆ
δ~u · p~0 dA − (Ap )
δ~u · f~ dV =
(V )
δ~u · F · ∇ + f~ dV = 0
A számítás során felhasználtunk néhány korábban már elvégzett átalakítást. Mivel a vizsgált test
V
térfogata,
A felülete valamint az elmozdulásmez® δ~u variációja tetsz®leges,
a fenti kifejezés csak
akkor nulla, ha a zárójelben álló mennyiségek nullával egyenl®ek.
F · ∇ + f~ = ~0
és
F · ~n = p~0
Ezek alapján megkaptuk, hogy a potenciális energia minimuma elv tartalmazza az egyensúlyi egyenletet és a dinamikai peremfeltételt.
Ha a kinematikailag lehetséges elmozdulások közül a
szóba jöhet® összes függvényt gyelembe vesszük, akkor
egzakt megoldást
kapunk, mert
A kinematikailag lehetséges elmozdulásmez® kielégíti a kinematikai egyenletet és a kinematikai peremfeltételeket.
A
δΠp = 0 Lagrange-féle variációs elv pedig tartalmazza az egyensúlyi egyenletet, a dinamikai
peremfeltételt, valamint az anyagtörvényt. Az az
~u,
amelynél a
egzakt megoldás.
Π-nek
minimuma van, kielégíti a rugalmasságtan egyenletrendszerét, tehát
Ha a kinematikailag lehetséges elmozdulások közül nem vesszük gyelembe a
szóba jöhet® összes függvényt, akkor
közelít® megoldást
kapunk.
Annál jobb a közelítés, minél
több szóba jöhet® függvényt vesszünk gyelembe. * * * Egy
f = f (x1 , x2 , x3 , . . . , c1 , c2 , c3 , . . . )
következ®t értjük
df =
függvény megváltozásán vagy teljes dierenciálján a
∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + dx3 + · · · ∂x1 ∂x2 ∂x3
ugyanezen függvény variációja pedig a
δf = kifejezés, ahol
x1 , x2 , x3 , . . .
∂f ∂f ∂f δc1 + δc2 + δc3 + · · · ∂c1 ∂c2 ∂c3
a függvény változói,
c1 , c2 , c3 , . . .
pedig a függvény paraméterei.
A
függvény dierenciálját a változók kis megváltozásával kapjuk, míg a variációt a paraméterek kis megváltoztatásával állíthatjuk el®.
Azokban a pontokban, ahol az
f
függvény értéke adott, a
variációnak el kell t¶nnie.
Például a kinematikailag lehetséges elmozdulásmez® esetét tekintve és
~u∗ = ~u0
~r ∈ Au
δ~u∗ = 0
~r ∈ Au
2.3. A Ritz-módszer A rugalmasságtani feladat egy lehetséges közelít® megoldását kapjuk, ha az számú paramétert®l tesszük függ®vé.
~u∗ = ~u∗ (c1 , c2 , c3 , . . . , cn )
33
~u
elmozdulásmez®t
n
n véges szám, akkor nem biztos hogy az összes szóba jöhet® kinematikailag lehetséges elmozdu~u∗ kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®t Πp potenciális energiába, a potenciális energia a c1 , c2 , c3 , . . . paraméterek függvénye lesz.
Ha
lásmez®t gyelembe vettük. Ha behelyettesítjük az a
Π∗p = Π∗p (c1 , c2 , c3 , . . . ) Képezzük ezek után a
Π∗p
potenciális energia variációját.
δΠ∗p
∂Π∗p ∂Π∗p ∂Π∗p = δc1 + δc2 + δc3 + · · · ∂c1 ∂c2 ∂c3
A Lagrange-féle variációs elv szerint a
Πp
potenciális energia els® variációja nulla.
Ha a
Π∗p
ki-
nematikailag lehetséges potenciális energiára írjuk el®, hogy az els® variációja legyen nulla, akkor az ~ u∗ kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®t csak közelít®leg kapjuk meg. Minél több paramétert alkalmazunk, annál jobb lesz ez a közelítés. Mivel a
c1 , c2 , c3 , . . .
paraméterek egymástól
függetlenek, a
δΠ∗p = 0 egyenlet csak úgy áll fenn, ha
Ez a
c1 , c2 , c3 , . . .
paraméterekre
∂Π∗p =0 ∂ci egy n darab
i = 1, 2, 3, . . . egyenletb®l álló algebrai egyenletrendszert jelent.
4. feladat. Határozzuk meg az 12. ábrán látható befogott tartó középvonalának alakját, a nyíróer®t és a hajlítónyomatékot a z koordináta függvényében másodfokú közelítés alkalmazásával. (l, Ix , E és fy adott) y Ix , E
fy A
B
z
l
12. ábra. Befogott tartó alakváltozásának és igénybevételeinek számítása.
Megoldás:
Írjuk fel a tartó potenciális energiáját. Az alakváltozási energia kiszámításánál elhanyagoljuk a nyírásból
származó tagot (lásd: Mechanika-Szilárdságtan tankönyv).
U=
1 2
ˆ σz εz dV = (V )
1 2
ˆ (V )
y y 1 E dV = R R 2 |{z} |{z} σz
εz
ˆ (l)
E R2
ˆ y 2 dA dz = (A)
| {z } Ix
=
1 2
ˆ EIx κ2 dz (l)
1 ahol κ = R a rúd görbülete. Geometriából ismert, hogy egy görbe görbülete arányos a görbe ívkoordináta szerinti második deriváltjával. Itt a kérdéses görbe a rúd alakváltozott középvonala lesz, amelyet a v = v (z) elmozdulás
34
koordinátával tudunk matematikailag leírni, az ív-koordinátának pedig közelít®leg a alakváltozási energiája így írható
1 U= 2
ˆ
EIx
d2 v dz 2
z
koordináta felel meg. A rúd
2 dz
(l)
A vonal mentén megoszló terhelés munkájára a
ˆ Wk = (l)
adódik.
ˆ (v (z) ~ez ) · (−fy ~ez ) dz = − | {z } | {z } ~ u
f~dV
A támasztó er®nek nincs munkája a befogás miatt (v (z
v (z) fy dz (l)
= 0) = 0).
Közelítsük a tartó középvonalának
elmozdulását a
v ∗ (z) = c0 + c1 z + c2 z 2 polinommal. A kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®nek ki kell elégítenie a kinematikai peremfeltételeket, azaz a befogásnál a rúd nem mozdulhat el függ®legesen
v ∗ (z = 0) = c0 + c1 0 + c2 02 = 0
⇒
c0 = 0
illetve a rúd középvonalának érint®je a befogásnál vízszintes kell hogy maradjon
dv ∗ = c1 + 2c2 0 = 0 dz z=0
⇒
c1 = 0
Ezek alapján a kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®re
v ∗ (z) = c2 z 2 adódik. Helyettesítsük be ezt a potenciális energiába.
Π∗p A
c2
∗
=U −
Wk∗
1 = 2
ˆl
ˆl
2
c2 z 2 fy dz
EIx (2c2 ) dz + 0
0
paramétert abból a feltételb®l tudjuk meghatározni, hogy a potenciális energia els® variációja nulla.
δΠ∗p = 0 ami egyenérték¶ a
dΠ∗p =0 dc2 Mivel a c2 paraméter
egyenlettel. Végezzük el a kijelölt m¶veleteket.
és a
z
koordináta egymástól függetlenek, a
deriválás és az integrálás sorrendje felcserélhet®. Célszer¶bb el®bb a deriválást elvégezni.
dΠ∗p =2 dc2
ˆl
ˆl
0
0
ˆl = 4EIx c2
ˆl
c2
z 2 dz = 4EIx c2 l + fy
dz +fy 0
0
| {z }
| {z }
l
Ebb®l a
z 2 fy dz =
EIx 2c2 dz +
l3 3
kifejezhet®.
c2 = −
fy l 2 12EIx
A rúd középvonalának elmozdulása
v ∗ (z) = −
fy l 2 2 z 12EIx
35
l3 =0 3
Ismert, hogy (lásd: Mechanika-Statika és Mechanika-Szilárdságtan tankönyvek)
dMhx = −Ty dz
dTy = fy dz
Mhx E = = Eκ Ix R A hajlítónyomaték függvényre kapjuk a ∗ Mhx (z) = −EIx
fy l2 d2 v ∗ = 2 dz 6
konstans függvényt, ami nyilvánvalóan nem igaz, mivel itt másodfokú függvénynek kellett volna kijönni. A nyíróer®re a
Ty∗ (z) = − a vonal mentén megoszló terhelésre pedig az
fy∗ (z) =
∗ dMhx =0 dz
dTy∗ =0 dz
azonosan nulla függvényeket kapjuk, pedig az fy 6= 0 terhelés adott volt. Az igénybevételekre és terhelésre vonatkozó egyenletek azért nem teljesültek, mert az általunk választott másodfokú polinomot tartalmazó kinematikailag lehetséges megoldás nem tartalmazta az egzakt megoldást. Ezért csak
közelít®
megoldást kaptunk.
♣
5. feladat. Oldjuk meg a 4. feladatot harmadfokú illetve negyed fokú közelítéssel is! Ábrázoljuk mindegyik v (z), Ty (z) és Mhx (z) függvényt!
♣
6. feladat. Határozzuk meg az 13. ábrán látható kéttámaszú tartó középvonalának alakját, a nyíróer®t és a hajlítónyomatékot a z koordináta függvényében másod- és harmadfokú (esetleg még magasabb fokú) közelítés alkalmazásával (l, Ix , E, F0 és M0 adott). (A nyírásból származó alakváltozási energiát hanyagoljuk el.) Ábrázoljuk mindegyik v (z), Ty (z) és Mhx (z) függvényt! y F0 A
Ix , E C
B l
l
M0 z l
D
13. ábra. Kéttámaszú tartó alakváltozásának és igénybevételeinek számítása.
Megoldás:
Másodfokú közelítés
v ∗ (z) = c0 + c1 z + c2 z 2
A kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®nek ki kell elégítenie a kinematikai peremfeltételeket, azaz a csuklós és görg®s támasznál a rúd nem mozdulhat el függ®legesen
v ∗ (z = 0) = c0 + c1 0 + c2 02 = 0 v ∗ (z = 2l) = c1 2l + c2 4l2 = 0
⇒ ⇒
Ezek alapján a kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®re
v ∗ (z) = c2 (z − 2l) z 36
c0 = 0 c1 = −2lc2
a keresztmetszetek szögelfordulására pedig a
ϕ∗x ≈ −
d ∗ v (z) = −2c2 (z − l) dz
(4)
adódik. Az alakváltozási energiát hasonlóan számíthatjuk mint a
1 U = 2
ˆl
feladatban.
2
∗
EIx (2c2 ) dz 0
A küls® er®k munkáját síkbeli rúdszerkezeteknél általában a
Wk =
n X
Fyi vi +
i=1
m X
Mxj ϕxj
j=1
Fyi az i-edik er®, vi az i-edik er® támadáspontjának az er® irányával párhuzamos j -edik koncentrált nyomaték, ϕxj a j -edik koncentrált nyomaték támadáspontjánál a rúd keresztszögelfordulása, n a koncentrált er® száma és m pedig a koncentrált nyomatékok száma. Behelyettesítve
összefüggéssel kaphatjuk meg, ahol elmozdulása, metszetének
Mxj
a
a kinematikailag lehetséges elmozdulásmez®t a küls® er®k munkájára az
Wk∗ = c2 (l − 2l) l (−F0 ) −2c2 (3l − l) M0 {z } |{z} | {z } | {z } | vB
FBy
ϕDx
MDx
mennyiség adódik. Helyettesítsük be az így kapott alakváltozási energiát és küls® er®k munkáját a potenciális energiába.
Π∗p A
c2
∗
=U −
Wk∗
1 = 2
ˆl 0
2
EIx (2c2 ) dz + c2 (l − 2l) lF0 + 2c2 (3l − l) M0
paramétert abból a feltételb®l tudjuk meghatározni, hogy a potenciális energia els® variációja nulla.
δΠ∗p = 0 ami egyenérték¶ a
dΠ∗p =0 dc2
c2 paraméter és a z koordináta egymástól függetlenek, a deriválás és az integrálás sorrendje felcserélhet®. Célszer¶bb el®bb a deriválást elvégezni.
egyenlettel. Végezzük el a kijelölt m¶veleteket. Mivel a
dΠ∗p =2 dc2
ˆ3l 0
EIx 2c2 dz − l2 F0 + 4lM0 =
ˆ3l = 4EIx c2 0
dz −l2 F0 + 4lM0 = 12EIx c2 l − l2 F0 + 4lM0 = 0
| {z } 3l
Ebb®l a
c2
kifejezhet®.
c2 = A rúd középvonalának elmozdulása
v ∗ (z) =
lF0 − 4M0 12EIx
lF0 − 4M0 (z − 2l) z 12EIx
A hajlítónyomaték függvényre kapjuk a ∗ Mhx (z) = −EIx
d2 v lF0 − 4M0 =− 2 dz 6 37
konstans függvényt, ami nyilvánvalóan nem igaz, mivel itt szakaszonként lineáris függvénynek kellett volna kijönni. A nyíróer®re a
Ty∗ (z) = − a vonal mentén megoszló terhelésre pedig az
fy∗ (z) =
dMhx =0 dz dTy =0 dz
azonosan nulla közelít® függvényeket kapjuk. Harmad- és negyedfokú közelítés:. . .
♣
7. feladat. Számítsuk ki B, C, D keresztmetszetek súlypontjainak az elmozdulását és a keresztmetszetek szögelfordulását a 4. és 6. feladatoknál a Betti- vagy Castigliano-tétel alkalmazásával! Hasonlítsuk össze az eredményeket a Ritz-módszerrel kapott megoldásokkal! ♣ 3. Elmozdulásmez®n alapuló végeselem módszer felépítése
3.1. Végeselem csomópontjainak lokális sorszámozása 4
8 5 6
7
3 4 1
3
1 2
2 14. ábra.
3.2. Lineáris közelít® függvények Az elmozdulásokat közelít® függvények megválasztásának szempontjai
Az ismeretlen paraméterek legyenek a csomópontokban lév® elmozdulás koordináták.
Ez
azt jelenti, hogy annyi függvényt kell el®állítani, ahány paraméterünk van. Ezen belül egy függvénynek úgy kell kinézni, hogy egy adott csomópontban az értéke legyen egy, a többiben viszont nulla.
Így a hozzá tartozó csomóponti elmozdulás koordináta nem befolyásolja a
többi csomópont elmozdulását.
Ugyanezekkel a függvényekkel legyen leírható a test geometriája is, ahol a paraméterek szerepét a csomópontok koordinátái játsszák (izoparametrikus végeselem).
38
A közelít® függvények legyenek könnyen (numerikusan) integrálhatók. Az integráláshoz az un. Gauss-kvadratúrát (lásd 4.1. fejezet) fogjuk használni, ami a adott függvényekre alkalmazható.
(−1; 1) intervallumon meg-
Ez azt jelenti, hogy a közelít® függvények értelmezési
tartománya is ez az intervallum kell hogy legyen.
3.2.1. Négy csomópontú elem 3.2.2. Nyolc csomópontú elem Ha a fenti feltételekhez még azt is hozzávesszük, hogy a közelít® függvények legyenek lineárisak, a függvényeket el® tudjuk állítani.
Ni (ξ, η, ζ)-val.
Jelöljük az
i-edik
csomóponthoz tartozó közelít® függvényt
Ha a függvény lineáris, akkor
Ni (ξ, η, ζ) = ai1 + ai2 ξ + ai3 η + ai4 ζ + ai5 ξη + ai6 ηζ + ai7 ζξ + ai8 ξηζ alakban írható.
A csomópontok legyenek rendre a
pontokban. Nézzük meg példaként a
ξ = 1, η = 1
és
ξ = ±1, η = ±1 és ζ = ±1 koordinátájú ζ = 1 koordinátájú, nyolcadik csomóponthoz
tartozó függvényt. A 3.2. fejezetben megadott feltételeket az alábbi módon tudjuk teljesíteni.
N8 (ξ = −1, η = −1, ζ = −1) = a81 − a82 − a83 − a84 + a85 + a86 + a87 − a88 = 0 N8 (ξ = 1, η = −1, ζ = −1) = a81 + a82 − a83 − a84 − a85 + a86 − a87 + a88 = 0 N8 (ξ = 1, η = 1, ζ = −1) = a81 + a82 + a83 − a84 + a85 − a86 − a87 − a88 = 0
N8 (ξ = −1, η = 1, ζ = −1) = a81 − a82 + a83 − a84 − a85 − a86 + a87 + a88 = 0
N8 (ξ = −1, η = −1, ζ = 1) = a81 − a82 − a83 + a84 + a85 − a86 − a87 + a88 = 0 N8 (ξ = 1, η = −1, ζ = 1) = a81 + a82 − a83 + a84 − a85 − a86 + a87 − a88 = 0 N8 (ξ = 1, η = 1, ζ = 1) = a81 + a82 + a83 + a84 + a85 + a86 + a87 + a88 = 0 N8 (ξ = −1, η = 1, ζ = 1) = a81 − a82 + a83 + a84 − a85 + a86 − a87 − a88 = 1 Írjuk fel ezt az egyenletrendszert mátrixos alakban.
1 1 1 1 1 1 1 1
−1 1 1 −1 −1 1 1 −1
−1 −1 1 1 −1 −1 1 1
−1 −1 −1 −1 1 1 1 1
1 −1 1 −1 1 −1 1 −1
1 1 −1 −1 −1 −1 1 1
1 −1 −1 1 −1 1 1 −1
−1 1 −1 1 1 −1 1 −1
a81 a82 a83 a84 a85 a86 a87 a88
=
0 0 0 0 0 0 0 1
A megoldás:
1 1 1 1 1 1 1 1 a81 = , a82 = − , a83 = , a84 = , a85 = − , a86 = , a87 = − , a88 = − 8 8 8 8 8 8 8 8 A
N8 (ξ, η, ζ)
függvény így írható.
N8 (ξ, η, ζ) =
1 (1 − ξ + η + ζ − ξη + ηζ − ζξ − ξηζ) 8 39
Kis átalakítás után
N8 (ξ, η, ζ) =
1 (1 − ξ) (1 + η) (1 + ζ) 8
Hasonló gondolatmenettel kapható a többi függvény is. Itt csak a végeredményt közöljük.
N1 (ξ, η, ζ) = N2 (ξ, η, ζ) = N3 (ξ, η, ζ) = N4 (ξ, η, ζ) = N5 (ξ, η, ζ) = N6 (ξ, η, ζ) = N7 (ξ, η, ζ) = N8 (ξ, η, ζ) =
1 (1 − ξ) (1 − η) (1 − ζ) 8 1 (1 + ξ) (1 − η) (1 − ζ) 8 1 (1 + ξ) (1 + η) (1 − ζ) 8 1 (1 − ξ) (1 + η) (1 − ζ) 8 1 (1 − ξ) (1 − η) (1 + ζ) 8 1 (1 + ξ) (1 − η) (1 + ζ) 8 1 (1 + ξ) (1 + η) (1 + ζ) 8 1 (1 − ξ) (1 + η) (1 + ζ) 8
3.3. Az elmozdulásmez® közelítése egy végeselemen Els® lépésben az elmozdulásmez®t egy elemen közelítjük. A vizsgált elem sorszáma legyen e, térfoe gata pedig V . A számítások elvégzéséhez célszer¶bb lesz az elmozdulásvektort oszlopmátrixként felírni.
~r ∈ V e
~u (~r) = u (x, y, z) ~ex + v (x, y, z) ~ey + w (x, y, z) ~ez ⇓
ue (xe , y e , z e ) ue (xe , y e , z e ) = v e (xe , y e , z e ) we (xe , y e , z e ) {z } | (3×1)
Az egyszer¶ség és célszer¶ség kedvéért az elmozdulás leírásához a végeselemhez kötött koordináta-rendszert fogjuk használni. Ehhez szükségünk lesz az
xyz
és
ξηζ
ξηζ
koordináta-rendszerek
közötti transzformáció (átmenet) leírására. Használjuk a leíráshoz a 3.2. fejezetben tárgyalt közelít® függvényeket.
xe (ξ, η, ζ) =
n X
Ni (ξ, η, ζ) xei
(12)
Ni (ξ, η, ζ) yie
(13)
Ni (ξ, η, ζ) zie
(14)
i=1 e
y (ξ, η, ζ) =
n X i=1
e
z (ξ, η, ζ) =
n X i=1 40
ahol
xei , yie
és
zie
az
e-edik
végeselem
i-edik
csomópontjának
x, y
és
z
koordinátája.
A rugalmasságtani feladat megoldásához valamilyen variációs elvet vagy gyenge alakot fogunk használni, amelyben az elmozdulásmez® az els®dleges ismeretlen.
Az elmozdulásmez®t szintén
a 3.2. fejezetben tárgyalt közelít® függvényekkel írhatjuk le.
e
e
e
e
e
e
e
e
n X
e
u (x , y , z ) = u (x (ξ, η, ζ) , y (ξ, η, ζ) , z (ξ, η, ζ)) = u (ξ, η, ζ) =
e Ni (ξ, η, ζ) qxi
i=1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
v (x , y , z ) = v (x (ξ, η, ζ) , y (ξ, η, ζ) , z (ξ, η, ζ)) = v (ξ, η, ζ) =
n X
e Ni (ξ, η, ζ) qyi
i=1 e
e
e
e
e
e
e
e
e
w (x , y , z ) = w (x (ξ, η, ζ) , y (ξ, η, ζ) , z (ξ, η, ζ)) = w (ξ, η, ζ) =
n X
e Ni (ξ, η, ζ) qzi
i=1 e e e ahol qxi , qyi és qzi az e-edik végeselem i-edik csomópontjának vagy elmozdulás paramétere. Ezt mátrixos alakban a
ue N1 0 0 N2 0 0 ··· v e = 0 N1 0 0 N2 0 · · · we 0 0 N1 0 0 N2 · · · | {z } | {z
ue (ξ,η,ζ)
N (ξ,η,ζ)
(3×1)
(3×3n)
x, y
Nn 0 0 Nn 0 0
illetve
z
irányú elmozdulása
e qx1 e qy1 e qz1 e qx2 e qy2 e qz2
0 0 Nn .. } . e qxn e qyn e qzn | {z qe
}
(3n×1)
vagy röviden az
ue (ξ, η, ζ) = N (ξ, η, ζ) q e kifejezéssel írhatjuk.
3.4. Az alakváltozások közelítése egy végeselemen
εx A (~r) = 21 γyx 1 (xyz) γ 2 zx
1 γ 2 xy
εy 1 γ 2 zy
1 γ 2 xz 1 γ 2 yz
εz
~r ∈ V e
⇒
e e e e ε (x , y , z ) = |
41
εex (xe , y e , z e ) εey (xe , y e , z e ) εez (xe , y e , z e ) e γxy (xe , y e , z e ) e γyz (xe , y e , z e ) e γzx (xe , y e , z e ) {z (6×1)
}
εex εey εez e γxy e γyz e γzx {z
|
=
∂ue ∂x ∂v e ∂y ∂we ∂z e ∂ue + ∂v ∂y ∂x e ∂v e + ∂w ∂z ∂y e ∂we + ∂u ∂x ∂z
∂ ∂x
0 0 = ∂ ∂y 0 ∂ ∂z
}
|
εe (xe ,y e ,z e )
0 ∂ ∂y
0 ∂ ∂x ∂ ∂z
0 {z
0 0 ∂ ∂z 0 ∂ | ∂y
ue (xe ,y e ,z e )
∂ ∂x
(3×1)
}
∂
(6×1)
ue ve we {z }
(6×3)
Az egyszer¶ség kedvéért a deriválások jelölésénél elhagytuk az
x, y
és
z
koordináták fels® indexét,
ami a végeselem sorszámára utalna. Ez nem okoz gondot, mivel ennek a jelölésnek csak a közelítés el®állításánál van jelent®sége.
(Nyilván mindegyik végeselemhez ugyan az a globális koordináta
tartozik.) A (12)-(14) transzformációs függvényeket felhasználva fel tudjuk írni az alakváltozásokat úgy is mint a
ξηζ
koordináták függvényeit.
εex εey εez e γxy e γyz e γzx {z
|
= }
εe (xe ,y e ,z e ) (6×1)
|
εex εey εez e γxy e γyz e γzx {z
∂ ∂x
0 0 = ∂ ∂y 0 ∂ ∂z
}
εe (ξ,η,ζ)
|
0 ∂ ∂y
0 ∂ ∂x ∂ ∂z
0 {z
0 0 ∂ ∂z 0 ∂ | ∂y
ue (ξ,η,ζ)
∂ ∂x
∂
(6×1)
ue ve = we {z }
(3×1)
}
(6×3)
∂ ∂x
0 0 = ∂ ∂y 0 ∂ ∂z
|
0 ∂ ∂y
0 ∂ ∂x ∂ ∂z
0 {z ∂
0 0 N1 0 0 N2 0 0 ··· ∂ ∂z 0 N1 0 0 N2 0 · · · 0 0 0 N1 0 0 N2 · · · ∂ | {z ∂y
∂ ∂x
N (ξ,η,ζ) (3×3n)
}
(6×3)
Nn 0 0 Nn 0 0
e qx1 e qy1 e qz1 e qx2 e qy2 e qz2
0 0 Nn .. } . e qxn e qyn e qzn | {z qe
(3n×1)
42
= }
∂N1 ∂x
0 0 = ∂N1 ∂y 0 ∂N1 ∂z
0 ∂N1 ∂y
0 ∂N1 ∂y ∂N1 ∂z
0
0 0 ∂N1 ∂z
0
∂N1 ∂y ∂N1 ∂x
∂N2 ∂x
0
0 0
∂N2 ∂y
∂N2 ∂y
∂N2 ∂y ∂N2 ∂z
0 ∂N2 ∂z
··· ··· ··· ··· ··· ···
0 0 ∂N2 ∂z
0
0
∂N2 ∂y ∂N2 ∂x
0 {z
|
∂Nn ∂x
0
0 0
∂Nn ∂y
∂Nn ∂y
∂Nn ∂y ∂Nn ∂z
0
0 ∂Nn ∂z
0
B e (ξ,η,ζ) (6×3n)
e qx1 e qy1 e qz1 e qx2 e qy2 e qz2
0 0 ∂Nn ∂z 0 ∂Nn .. . ∂y e ∂Nn qxn ∂x } e qyn e qzn | {z qe
}
(3n×1)
e
εe (ξ, η, ζ) = ∂ue (ξ, η, ζ) = ∂N (ξ, η, ζ) q e = B (ξ, η, ζ) q e | {z } B e (ξ,η,ζ)
Az
N (ξ, η, ζ)
mátrix elemeinek
xyz
koordináták szerinti deriváltjait a láncszabály alkalmazásával
kaphatjuk meg.
∂Ni (ξ, η, ζ) ∂ξ ∂Ni (ξ, η, ζ) ∂η ∂Ni (ξ, η, ζ) ∂ζ ∂Ni (ξ, η, ζ) = + + ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ζ ∂x ∂Ni (ξ, η, ζ) ∂Ni (ξ, η, ζ) ∂ξ ∂Ni (ξ, η, ζ) ∂η ∂Ni (ξ, η, ζ) ∂ζ = + + ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ζ ∂y ∂Ni (ξ, η, ζ) ∂Ni (ξ, η, ζ) ∂ξ ∂Ni (ξ, η, ζ) ∂η ∂Ni (ξ, η, ζ) ∂ζ = + + ∂z ∂ξ ∂z ∂η ∂z ∂ζ ∂z vagy tömörebben, mátrixok segítségével írva
∂Ni (ξ,η,ζ) ∂x ∂Ni (ξ,η,ζ) ∂x ∂Ni (ξ,η,ζ) ∂x
=
∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂z
∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ∂z
ahol a
∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂z
Je
−1
=
∂ζ ∂x ∂ζ ∂y ∂ζ ∂z
∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ∂z
∂ζ ∂x ∂ζ ∂y ∂ζ ∂z
∂Ni (ξ,η,ζ) ∂ξ ∂Ni (ξ,η,ζ) ∂η ∂Ni (ξ,η,ζ) ∂ζ
ξ , η és ζ x, y és z szerinti deriváltjait közvetlenül nem tudjuk kiszámítani, mivel az x (ξ, η, ζ), y (ξ, η, ζ) és z (ξ, η, ζ) függvényeket ismerjük. (A ξ (x, y, z), η (x, y, z) és ζ (x, y, z) függvények egyes esetekben nem biztos hogy felírhatók, ezért ne is vizsgáljuk ®ket.) Ha az xyz és ξηζ közötti leképezés nem elfajuló, akkor a Jacobi mátrix az un. Jacobi mátrix inverze. Problémát jelenthet, hogy a
invertálható. Bizonyítható, hogy
Je =
∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ζ
8. feladat. Számítsa ki a J · J −1 szorzatot.
∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ζ
∂z ∂ξ ∂z ∂η ∂z ∂ζ
♣
43
A
Je
mátrix elemeit az
számítani.
e-edik
végeselemen a (12)-(14) képletek felhasználásával ki tudjuk
n
∂xe (ξ, η, ζ) X ∂Ni (ξ, η, ζ) e = xi ∂ξ ∂ξ i=1 n
∂xe (ξ, η, ζ) X ∂Ni (ξ, η, ζ) e = xi ∂η ∂η i=1 n
∂xe (ξ, η, ζ) X ∂Ni (ξ, η, ζ) e = xi ∂ζ ∂ζ i=1 n
∂y e (ξ, η, ζ) X ∂Ni (ξ, η, ζ) e = yi ∂ξ ∂ξ i=1 n
∂y e (ξ, η, ζ) X ∂Ni (ξ, η, ζ) e = yi ∂η ∂η i=1 n
∂y e (ξ, η, ζ) X ∂Ni (ξ, η, ζ) e = yi ∂ζ ∂ζ i=1 n
∂z e (ξ, η, ζ) X ∂Ni (ξ, η, ζ) e = zi ∂ξ ∂ξ i=1 n
∂z e (ξ, η, ζ) X ∂Ni (ξ, η, ζ) e = zi ∂η ∂η i=1 n
∂z e (ξ, η, ζ) X ∂Ni (ξ, η, ζ) e = zi ∂ζ ∂ζ i=1
9. feladat. Számítsa ki a 15. ábrán látható egységnyi oldalhosszúságú, kocka alakú végeselem Jacobi mátrixát a ξ = 0, η = 0, ζ = 0, a ξ = 1, η = 0, ζ = 0 és a ξ = 1, η = 1, ζ = 0 koordinátájú pontokban. Jelölje meg ezeket a pontokat az ábrán. 8
z
ζ 6
5
7 y
4
η ξ 3
1 2
x
15. ábra. Egységnyi oldalhosszúságú, kocka alakú végeselem.
♣ 44
10. feladat. A 15. ábrán látható egységnyi oldalhosszúságú, kocka alakú végeselem 7-es számú 1 = 0,01mm, 6-os számú csomópontjának x és y irányú csomópontjának z irányú elmozdulása qz7 1 1 elmozdulása qx6 = −0,02mm és qy6 = 0,03mm, a többi csomóponti elmozduláskoordináta pedig nulla. Számítsa ki az ε1 oszlopvektor elemeit a ξ = 0, η = 0, ζ = 0, a ξ = 1, η = 0, ζ = 0 és a ξ = 1, η = 1, ζ = 0 koordinátájú pontokban. ♣
3.5. A feszültségmez® közelítése egy végeselemen e σ (x, y, z) =
σ τ τ x xy xz F (~r) = τyx σy τyz (xyz) τzx τzy σz
~r ∈ V e
⇒
| |
σxe σye σze e τxy e τyz e τzx {z
=
E 1+ν E 1+ν E 1+ν
εex + εey + εez +
ν εex + εey 1−2ν ν εex + εey 1−2ν ν εex + εey 1−2ν E γe 2(1+ν) xy E γe 2(1+ν) yz E γe 2(1+ν) zx
+ εez + εez + εez
E 1 1+ν 1−2ν E 1 1+ν 1−2ν 1 E 1+ν 1−2ν
=
σxe (x, y, z) σye (x, y, z) σze (x, y, z) e τxy (x, y, z) e τyz (x, y, z) e (x, y, z) τzx {z
(6×1)
(1 − ν) εex + νεey + νεez νεex + (1 − ν) εey + νεez νεex + νεey + (1 − ν) εez E γe 2(1+ν) xy E γe 2(1+ν) yz E γe 2(1+ν) zx
} =
}
σ e (x,y,z) (6×1)
E = 1+ν
1−ν e ε 1−2ν x ν εe 1−2ν x ν εe 1−2ν x
+ + +
ν εe 1−2ν y 1−ν e ε 1−2ν y ν εe 1−2ν y 1 e γ 2 xy 1 e γ 2 yz 1 e γ 2 zx
+ + +
ν εe 1−2ν z ν εe 1−2ν z 1−ν e ε 1−2ν z
= E 1+ν
1−ν 1−2ν ν 1−2ν ν 1−2ν
|
0 0 0
ν 1−2ν 1−ν 1−2ν ν 1−2ν
0 0 0
ν 1−2ν ν 1−2ν 1−ν 1−2ν
0 0 0
{z Ce
e 0 0 0 εx 0 0 0 εey e 0 0 0 εez 1 0 0 γxy 2 e 1 0 2 0 γyz e γzx 0 0 12 } | {z
(6×1)
σ e (x, y, z) = σ e (ξ, η, ζ) = C e εe (ξ, η, ζ) = C e B (ξ, η, ζ) q e
3.6. Az alakváltozási energia közelítése egy végeselemen F · ·A = σx εx + σy εy + σz εz + τxy γxy + τyz γyz + τzx γzx valamint
σ T ε = εT σ = σx εx + σy εy + σz εz + τxy γxy + τyz γyz + τzx γzx ˆ ˆ T 1 1 e U = F · ·AdV = εe σ e dV = 2 2 1 = 2
(V e )
ˆ1 ˆ1 ˆ1 T T qe B e (ξ, η, ζ) C e B e (ξ, η, ζ) q e det J e dξdηdζ = | {z }
−1 −1 −1
dV
45
}
εe (ξ,η,ζ)
(6×6)
(V e )
1 e T q = 2
ˆ1 ˆ1 ˆ1 B e (ξ, η, ζ)
T
C e B e (ξ, η, ζ) det J e dξdηdζ q e
−1 −1 −1
{z
|
}
Ke
Ue =
1 e T e e q K q 2
Osszuk a merevségi mátrixot és a csomóponti elmozdulásvektort elemeit blokkokra aszerint, hogy melyik csomóponthoz tartoznak.
e qx1 e qy1 e qz1 e qx2 e qy2 e qz2
=
e q = .. . e qxn e qyn e qzn
qe 1 qe 2 qe 3 qe 4 . . . e
q
n (3n×1)
(3n×1) ahol
e qxi e q e = qyi i e qzi
(3×1) Hasonló jelöléssel a merevségi mátrix is felírható
e Kxx11 e Kyx11 e Kzx11 e Kxx21
e Kxz11 e Kyz11 e Kzz11 e Kxz21
e Kxy11 e Kyy11 e Kzy11 e Kxy21
e Kxx12 e Kyx12 e Kzx12 e Kxx22
··· ··· ··· ···
e Kxy1n e Kyy1n e Kzy1n e Kxy2n
e Kxz1n e Kyz1n e Kzz1n e Kxz2n
Ke = .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . e e e e e e Kyxn1 Kyyn1 Kyzn1 Kyxn2 · · · Kyynn Kyznn e e e e e e Kzxn1 Kzyn1 Kzzn1 Kzxn2 · · · Kzynn Kzznn (3n×3n)
=
ahol
K e11 K e12 K e13 · · · K e21 K e22 K e23 · · · K e31 K e32 K e33 · · ·
. . . K en1
. . . K en2
. . . K en3 (3n×3n)
..
.
···
K e1n K e2n K e3n
. . . K enn
e e e Kxxij Kxyij Kxzij e e e Kyyij Kyzij K eij = Kyxij e e e Kzxij Kzyij Kzzij
(3×3) 46
=
Ezzel az alakváltozási energia az
1 e T e e q K q = U = 2 e
h i T T T T T 1 e e e e e = q q q q ··· q 2 1 2 3 4 n
K e11 K e12 K e13 · · · K e21 K e22 K e23 · · · K e31 K e32 K e33 · · ·
. . . K en1
. . . K en2
. . . K en3
..
K e1n K e2n K e3n
. . . K enn
.
···
qe 1 qe 2 qe 3 qe 4 . . . e
q
n
alakban is írható.
3.7. Küls® er®k munkájának közelítése egy végeselemen 3.7.1. Felületi er®k munkája Könnyen
p~0 (~r) = p0x (x, y, z) ~ex + p0y (x, y, z) ~ey + p0z (x, y, z) ~ez
~r ∈ Ap
⇓
p0x (x, y, z) p (x, y, z) = p0y (x, y, z) 0 p0z (x, y, z) {z } | (3×1)
belátható, hogy
~u · p~0 = up0x + vp0y + wp0z valamint
uT p = up0x + vp0y + wp0z 0
ζ=1 ˆ ˆ = ~u · p~0 dA =
Tegyük fel, hogy a terhelés a végeselem
Wke p
(Aep )
felületén lép fel. A felületi er®k munkája
T ue (x, y, z) p (x, y, z) dA = 0
(Aep )
ˆ1 ˆ1 T T = qe N (ξ, η, ζ) p (ξ, η, ζ) JA (ξ, η, ζ = 1) dξdη = | {z } 0 −1 −1
dA
T ˆ1 ˆ1 T = qe N (ξ, η, ζ) p (ξ, η, ζ) JA (ξ, η, ζ = 1) dξdη 0
−1 −1
|
{z fe
}
p
ahol
∂~r ∂~r ∂~r ∂~ r dξdη = dA = |dξ~eξ × dη~eη | = dξ × dη = × ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 47
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ~ex + ~ey + ~ez × ~ex + ~ey + ~ez dξdη = = ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η ∂η ∂x ∂y ∂y ∂x ∂z ∂x ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂y = − ~ez + − ~ey + − ~ex dξdη = ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η s 2 2 2 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂z ∂x ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂y = − + − + − dξdη = ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η = JA (ξ, η, ζ = 1) dξdη A felületi er®k tehervektorát az egyes csomópontokhoz tartozó elemeit csoportosítva szét lehet bontani blokkokra.
Wke p
fe
pe 1 f p2 e ˆ T h T T T T T i fp3 e e e e e e e = ~u · p~0 dA = q f = q q q q ··· q fe p 1 2 3 4 n p4 . (Aep ) .. fe
pn
3.7.2. Térfogati er®k munkája f~ (~r) = fx (x, y, z) ~ex + fy (x, y, z) ~ey + fz (x, y, z) ~ez
Könnyen
~r ∈ V
⇓
fx (x, y, z) f (x, y, z) = fy (x, y, z) 0 fz (x, y, z) | {z } (3×1)
belátható, hogy
~u · f~ = ufx + vfy + wfz
valamint
uT f = ufx + vfy + wfz 0
Ezért a térfogati er®k munkája
ˆ
Wke f
=
~u · f~dV =
(V e )
ˆ ue (x, y, z)
T
f (x, y, z) dV = 0
(V e )
ˆ1 ˆ1 ˆ1 T T = qe N (ξ, η, ζ) f (ξ, η, ζ) det J e dξdηdζ = 0 | {z } −1 −1 −1
dV
T ˆ1 ˆ1 ˆ1 T = qe N (ξ, η, ζ) f (ξ, η, ζ) det J e dξdηdζ 0
−1 −1 −1
|
{z fe
f
48
}
A térfogati er®k tehervektorát az egyes csomópontokhoz tartozó elemeit csoportosítva szét lehet bontani blokkokra.
Wke f
fe
fe 1 f f2 e ˆ h T T T T i T T ff 3 e e e = ~u · f~dV = q f = qe qe qe qe · · · qe f p 1 2 3 4 n f4 (V e ) . .. fe
fn
3.7.3. Küls® er®k munkája ˆ
Wke
ˆ
T T e e ~ ~u · f dV = q f + qe f e =
~u · p~0 dA +
= (Aep )
p
f
(V e )
T T e e e = q = qe f e = f +f p f | {z } f
h T T T T T i = qe qe qe · · · qe qe 1 2 3 4 n
fe 1 fe 2 fe 3 fe 4 . . . e
f
n
3.8. Egy végeselem potenciális energiája Πep = U e − Wke =
1 e T e e e T e q K q − q f 2
3.9. Csomópontok globális sorszámozása 3.10. A teljes szerkezet csomóponti elmozdulásvektora
qx1 qy1 qz1 qx2 qy2 qz2
q= .. . qx˜n qy˜n qz˜n
q 1 q 2 = . .. q n ˜
49
8
8
5
5
7
6
7
6 2
1
4
4 3
1
3
1
2
2 16. ábra.
3 7
4 8
11
1
12 2 2
6 1
10 5 9 17. ábra.
ahol
n ˜
a teljes szerkezet csomópontjainak száma.
3.11. A teljes szerkezet merevségi mátrixa és tehervektora
m X
m X
m X
Ke Ke · · · K eik e=1 ii e=1 ij e=1 m m m X X e X e m i h X K · · · K ejk K T T T 1 ji jj e Πp = Πp = e=1 q q ··· q e=1 e=1 2| 1 2 n ˜ . . . .. {z } e=1 . . . . . . . qT m m m X X X (1×3˜ n) K eki K ekj · · · K ekk e=1
|
e=1
|
e=1
{z K
(3˜ n×3˜ n)
50
q 1 q 2 − . . . q {zn˜ } q
(3˜ n×1)
}
m X
e
f e=1 i m X e i h T T T f − e=1 j = q q ··· q 1 2 n ˜ . | {z } . . T q m X (1×3˜ n) e f k
e=1
|
{z f
}
(3˜ n×1)
K 11 K 12 · · · K 1˜n h i T T T 1 K 21 K 22 · · · K 2˜n = .. q q ··· q . . .. . . 2| 1 2 n ˜ . . . {z } . T K n˜ 1 K n˜ 2 · · · K n˜ n˜ q | {z (1×3˜ n) K
q 1 q 2 − . .. q } | {zn˜ } q
(3˜ n×3˜ n)
(3˜ n×1)
f 1 h T T T i f 2 − q ··· q q .. 1 2 n ˜ | {z } . qT f (1×3˜ n) | {zn˜ }
f
(3˜ n×1)
1 Πp = q T Kq − q T f 2 Ennek alkalmazását egy konkrét végeselem felosztásra az alábbi példa szemlélteti.
11. feladat. Írja fel a 17. ábrán látható szerkezet globális merevségi mátrixát. Megoldás: K=
K 111 K 141 K 181 K 151 K 121 K 124 K 128 K 125 0 0 0 0
K 114 K 144 K 184 K 154 K 131 K 134 K 138 K 135 0 0 0 0
K 118 K 148 K 188 K 158 K 171 K 174 K 178 K 175 0 0 0 0
K 115 K 145 K 185 K 155 K 161 K 164 K 168 K 165 0 0 0 0
K 112 K 142 K 182 K 152 1 K 22 + K 211 K 132 + K 241 K 172 + K 281 K 162 + K 251 K 221 K 224 K 228 K 225
K 113 K 143 K 183 K 153 1 K 23 + K 214 K 133 + K 244 K 173 + K 284 K 163 + K 254 K 231 K 234 K 238 K 235
Pl.:
K 14 =
m X
K 117 K 147 K 187 K 157 1 K 27 + K 218 K 137 + K 248 K 177 + K 288 K 167 + K 258 K 271 K 274 K 278 K 275
K eij = K 115
e=1
51
K 116 K 146 K 186 K 156 1 K 26 + K 215 K 136 + K 245 K 176 + K 285 K 166 + K 255 K 261 K 264 K 268 K 265
0 0 0 0 K 212 K 242 K 282 K 252 K 222 K 232 K 272 K 262
0 0 0 0 K 213 K 243 K 283 K 253 K 223 K 233 K 273 K 263
0 0 0 0 K 217 K 247 K 287 K 257 K 227 K 237 K 277 K 267
0 0 0 0 K 216 K 246 K 286 K 256 K 226 K 236 K 276 K 266
Ennek jelentése: a globális sorszámozás szerinti 1. és 4. csomóponthoz tartozó merevségi mátrix (3
× 3-as
méret¶
× 3-as
méret¶
almátrix) a lokális (elemhez kötött) számozás szerint az els® végeselem 1. és 5. csomópontjához tartozik.
K 56 =
m X
K eij = K 123 + K 214
e=1
Ennek jelentése: a globális sorszámozás szerinti 5. és 6. csomóponthoz tartozó merevségi mátrix (3
almátrix) a lokális (elemhez kötött) számozás szerint az els® végeselem 2. és 3. valamint a második végeselem 1. és 4.
csomópontjához tartozó mátrixok összege.
K 3 11 =
m X
K eij = 0
e=1
Ennek jelentése: a globális sorszámozás szerinti 3. csomópont csak az els® elemhez tartozik, a globális sorszámozás szerinti 11. csomópont pedig csak a második elemhez tartozik.
Emiatt sem az els®, sem a második végeselem
merevségi mátrixában nem található olyan almátrix, amely egyszerre tartozna a globális számozás szerinti 3. és 11. csomóponthoz. Ezért a
K 3 11
mátrix értéke nulla (3
×3
darab nullát tartalmaz).
♣
12. feladat. Írja fel a 18. ábrán látható szerkezet globális tehervektorát. 3 7
4 8
11
1
12 2 2
6 1
10 5 9 18. ábra.
Megoldás: fT =
h
0
0
f1 8
f1 5
0
0
f1 + f2 7
8
f1 + f2 6
5
0
0
f2 7
f2
i
6
♣
52
3.12. Kinematikai peremfeltételek gyelembevétele 3.12.1. Megfogások A teljes szerkezet potenciális energiája (lásd 3.11. fejezet)
Πp =
m X
Πep =
e=1
1h T T q q ··· 2 2| 1 {z qT
(1×3˜ n)
qT
n ˜
m X
m X
K eii
m X
K eij
K eik
··· e=1 e=1 e=1 m m m X X e X e i K K · · · K ejk ji jj e=1 e=1 e=1 . . . } .. . . . . . . . m m m X X X K eki K ekj · · · K ekk e=1
e=1
|
e=1
{z
|
q 1 q 2 − . . . q {zn˜ } q
(3˜ n×1)
}
K
(3˜ n×3˜ n)
−
h
qT qT · · · 1 2 | {z
qT
n ˜
qT
(1×3˜ n)
m X
e
f e=1 i m X e i f e=1 j . } . . m X e f e=1
|
k
{z
}
f
(3˜ n×1)
Legyen
q =0 l
vagyis
qxl = qyl = qzl = 0 Ekkor a potenciális energia így írható
Πp =
m X e=1
Πep =
1 h ··· 2|
qT
l−1
0 qT l+1 {z qT
(1×3˜ n)
m X
K eii
m X
K eij
m X
K eik
··· e=1 e=1 e=1 m m m X X e X e i K K · · · K ejk ji jj ··· e=1 e=1 e=1 . . . } .. . . . . . . . m m m X X X K ekj · · · K ekk K eki e=1
|
e=1
e=1
{z K
(3˜ n×3˜ n)
53
.. . q l−1 0 − q l+1 . . . | {z } } (3˜nq×1)
−
h
···
qT
0 qT l+1 {z
l−1
|
qT
(1×3˜ n)
m X
e
f e=1 i m X e i f ··· e=1 j = . } . . m X e f e=1
|
k
{z
}
f
(3˜ n×1)
1 h ··· = 2|
qT l−1
m X
K eii
m X
m X
K eij
K eik
··· e=1 e=1 e=1 m m m X X e X e i K jj · · · K ji K ejk ··· e=1 e=1 e=1 . . . } .. . . . . . . . m m m X X X K eki K ekj · · · K ekk
qT l+1
{z ˜ qT
(1×3(˜ n−1))
e=1
e=1
|
. . . q l−1 q l+1 . . . | {z ˜ q
e=1
{z
− }
(3(˜ n−1)×1)
}
˜ K
(3(˜ n−1)×3(˜ n−1))
−
h
···
qT
|
l−1
qT
l+1
{z ˜ qT
(1×3(˜ n−1))
m X
e
f e=1 i m X e i f ··· e=1 j . } . . m X e f e=1
|
k
{z
}
f˜
(3(˜ n−1)×1)
ahol a az
f
K
merevségi mátrix l -edik sorát és oszlopát, valamint a
q
csomóponti elmozdulásvektor és
tehervektor l -edik sorát kitöröltük.
13. feladat. Írja fel a 18. ábrán látható szerkezet globális merevségi mátrixát és tehervektorát a kinematikai peremfeltételek gyelembevételével.
54
Megoldás: ˜ K=
A 11. feladat megoldását felhasználva
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 K 122 + K 211 K 132 + K 241 K 172 + K 281 K 162 + K 251 K 221 K 224 K 228 K 225
0 0 0 0 K 123 + K 214 K 133 + K 244 K 173 + K 284 K 163 + K 254 K 231 K 234 K 238 K 235
0 0 0 0 K 127 + K 218 K 137 + K 248 K 177 + K 288 K 167 + K 258 K 271 K 274 K 278 K 275
0 0 0 0 K 126 + K 215 K 136 + K 245 K 176 + K 285 K 166 + K 255 K 261 K 264 K 268 K 265
0 0 0 0 K 212 K 242 K 282 K 252 K 222 K 232 K 272 K 262
0 0 0 0 K 213 K 243 K 283 K 253 K 223 K 233 K 273 K 263
0 0 0 0 K 217 K 247 K 287 K 257 K 227 K 237 K 277 K 267
0 0 0 0 K 216 K 246 K 286 K 256 K 226 K 236 K 276 K 266
valamint a 12. feladat megoldásából T f˜ =
h
0
0
0
0
0
f1 + f2
0
7
8
f1 + f2 6
0
0
5
f2 7
f2
i
6
♣
3.12.2. Kinematikai terhelés Legyen
q =q l
l0
egy adott elmozdulás. Ekkor a potenciális energia így írható
Πp =
m X e=1
Πep =
1 h ··· 2|
qT
l−1
qT qT l0 l+1 {z qT
(1×3˜ n)
m X
m X
m X
Ke Ke · · · K eik e=1 ii e=1 ij e=1 m m m X X e X e i K ji K jj · · · K ejk · · · e=1 e=1 e=1 . . . } .. . . . . . . . m m m X X X K ekj · · · K ekk K eki e=1
e=1
e=1
|
{z K
(3˜ n×3˜ n)
−
h |
···
qT
l−1
qT qT l0 l+1 {z qT
(1×3˜ n)
m X
fe e=1 i m X e i f ··· e=1 j = . } . . m X fe e=1
|
k
{z f
(3˜ n×1)
55
}
| }
. . .
q
l−1
q l0 q
l+1 . . .
{z q
(3˜ n×1)
− }
m X
1 h ··· = 2|
qT l−1
qT l+1
{z ˜ qT
(1×3(˜ n−1))
K eii
m X
m X
K eij
K eik
··· e=1 e=1 e=1 m m m X X e X e i K jj · · · K ji K ejk ··· e=1 e=1 e=1 . . . } .. . . . . . . . m m m X X X K ekj · · · K eki K ekk e=1
e=1
|
. . . q l−1 q l+1 . . . | {z ˜ q
e=1
− }
(3(˜ n−1)×1)
{z
}
˜ K
(3(˜ n−1)×3(˜ n−1))
−
h |
···
qT
l−1
qT
l+1
{z ˜ qT
(1×3(˜ n−1))
m X
e
f e=1 i m X e i h f ··· e=1 j + · · · | . } . . m X e f e=1
|
qT
l−1
f˜
l+1
{z ˜ qT
(1×3(˜ n−1))
k
{z
qT
m X
K eil q l0
e=1 m X e i K q ··· e=1 jl l0 . } . . m X K ekl q
l0
e=1
|
}
{z
(3(˜ n−1)×1)
}
(3(˜ n−1)×1)
3.13. A csomóponti elmozdulásvektor meghatározása 4. Kiegészítések: numerikus integrálás
4.1. Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra 5. Mechanikai modellek a végeselem módszerben
5.1. Speciális terhelések 5.1.1. Rugalmas ágyazás 5.1.2. H®mérséklet-változásból származó terhelés
5.2. Rúdszerkezetek 5.2.1. Bernoulli-féle rúdelmélet Csak kezdetben egyenes középvonalú rudakat vizsgálunk. Feltételezések (Bernoulli hipotézisek):
A rúd keresztmetszetei az alakváltozás után is síkok maradnak.
A rúd keresztmetszetei mer®legesek maradnak a rúd alakváltozott középvonalára.
A Bernoulli-féle rúdelmélet nem veszi gyelembe
a nyírásból származó alakváltozást.
56
5.2.2. Elmozdulás állapot A rúd tetsz®leges pontjának elmozdulása meghatározható, ha ismerjük a rúd középvonalának elmozdulását
~uS (ζ) = uS (ζ) ~eξ + vS (ζ) ~eη + wS (ζ) ~eζ
(15)
és a rúd keresztmetszeteinek szögelfordulását
ϕ ~ (ζ) = ϕξ (ζ) ~eξ + ϕη (ζ) ~eη + ϕζ (ζ) ~eζ ahol
ϕξ (ζ) = − ϕη (ζ) =
(16)
dvS (ζ) dζ
(17)
duS (ζ) dζ
(18)
Egymástól független skalár mennyiségek:
uS (ζ) ,
vS (ζ) ,
wS (ζ) ,
ϕζ (ζ)
(19)
Tetsz®leges pont elmozdulása:
~u (ξ, η, ζ) = (uS (ζ) − ϕζ (ζ) η) ~eξ + (vS (ζ) + ϕζ (ζ) ξ) ~eη + (wS (ζ) + ϕξ (ζ) η − ϕη (ζ) ξ) ~eζ = | {z } | {z } | {z } u(η,ζ)
v(ξ,ζ)
w(ξ,η,ζ)
= u (η, ζ) ~eξ + v (ξ, ζ) ~eη + w (ξ, η, ζ) ~eζ
5.2.3. Alakváltozás állapot A fajlagos nyúlásokat és a szögtorzulásokat a szokásos módon számíthatjuk.
εζ (ξ, η, ζ) = =
dwS (ζ) dϕξ (ζ) dϕη (ζ) ∂w = + η− ξ= ∂ζ dζ dζ dζ
dwS (ζ) d2 vS (ζ) d2 uS (ζ) − η − ξ ≈ εN ζ + κξ η + κη ξ | {z } dζ dζ 2 dζ 2 εH ζ
ahol
κξ ≈ −
d2 vS (ζ) dζ 2
κη ≈ −
d2 uS (ζ) dζ 2
és
a rúd középvonalának
ηζ
és
ξζ
síkban fellép® görbületei.
γξη = γηζ (ξ, ζ) =
∂u ∂v + = −ϕζ (ζ) + ϕζ (ζ) = 0 ∂η ∂ξ
∂v ∂w dvS (ζ) dϕζ (ζ) dϕζ (ζ) + = + ξ + ϕξ (ζ) = ξ = ϑ (ζ) ξ ∂ζ ∂η dζ dζ dζ | {z } −ϕξ (ζ)
57
γζξ (ξ, η, ζ) =
∂w ∂u duS (ζ) dϕζ (ζ) dϕζ (ζ) − + = −ϕη (ζ) + η=− η = −ϑ (ζ) η ∂ξ ∂ζ dζ dζ dζ | {z } ϕη (ζ)
ahol
ϑ (ζ)
a fajlagos szögelfordulás. Összefoglalva
εζ = γξη = 0,
dwS (ζ) d2 vS (ζ) d2 uS (ζ) − η − ξ, dζ dζ 2 dζ 2 γηζ =
dϕζ (ζ) ξ, dζ
γζξ = −
(20)
dϕζ (ζ) η. dζ
(21)
5.2.4. Feszültségi állapot A rúdban feszültségek a húzó-nyomó, hajlító és csavaró igénybevételek hatására keletkeznek. Az egyes feszültségek kiszámítási módja a Szilárdságtan (Alkalmazott mechanika) cím¶ tantárgyból már ismert.
Húzás-nyomás
σζN = ahol
N
a rúder®,
A
pedig a rúd keresztmetszetének területe.
Hajlítás
σζH = σζH1 + σζH2 = ahol
Mhη
és
Mhξ
a
η
N A
és
ξ
Mhη Mhξ ξ+ η Iη Iξ
tengelyek körüli hajlító nyomatékok,
f® tehetetlenségi nyomatékai (feltételezzük, hogy a
η
és
ξ
Iη
és
Iξ
pedig a keresztmetszet
tengelyek tehetetlenségi f®tenge-
lyek).
Csavarás
Mc η Ic Mc = ξ Ic
C τξζ =− C τηζ ahol
Mc
a csavaró nyomaték
Ic
pedig a keresztmetszet csavarási másodrend¶ nyomatéka.
5.2.5. Anyagtörvény Egyszer¶ Hooke-törvény
σζ = Eεζ τξζ =
E γξζ = Gγξζ 2 (1 + ν)
τηζ =
E γηζ = Gγηζ 2 (1 + ν)
58
Húzás-nyomás
σζN = EεN ζ dwS (ζ) N = EεN ζ = E A dζ N = AEεN ζ = AE
Hajlítás
σζH = EεH ζ σζH1 =
dwS (ζ) dζ
Mhη 1 ξ = EεH ζ = Eκη ξ Iη
σζH2 =
Mhξ 2 η = EεH ζ = Eκξ η Iξ
Mhη ξ = Iη Eκη ξ
⇒
Mhη = Iη Eκη = −Iη E
d2 uS (ζ) dζ 2
Mhξ η = Iξ Eκξ η
⇒
Mhξ = Iξ Eκξ = −Iξ E
d2 vS (ζ) dζ 2
Csavarás
C τξζ =−
Mc η = Gγξζ = −Gϑ (ζ) η Ic
C τηζ =
Mc ξ = Gγηζ = Gϑ (ζ) ξ Ic
Mc η = Ic Gϑ (ζ) η
⇒
Mc = Ic Gϑ = Ic G
dϕζ (ζ) dζ
Mc ξ = Ic Gϑ (ζ) ξ
⇒
Mc = Ic Gϑ = Ic G
dϕζ (ζ) dζ
vagyis mindkét egyenlet ugyanarra az eredményre vezetett.
5.2.6. Húzott-nyomott hajlított-nyírt és csavart rúd-végeselem Az el®z® fejezetben leírtak alapján egy rúdelemet négy skalár koordinátával jellemezhetünk.
A
továbbiakban minden rúddal kapcsolatos mennyiséget a rúd középvonalában értelmezettnek tekintünk, ezért a (19) mennyiségek alsó indexéb®l elhagyjuk a súlypontot jelent®
S
bet¶ket.
Az
egyszer¶ség kedvéért elhagyjuk a szögelfordulás alsó indexét is. Írjuk be ezeket a skalár koordinátákat egy oszlopvektorba.
ue (ζ) v e (ζ) ue (ζ) = we (ζ) ϕe (ζ)
(4×1)
59
5.2.7. Csomóponti elmozdulás vektor Egy rúdelem rendelkezzen kett® csomóponttal, és egy csomóponthoz rendeljük hozzá a csomópont
ξ , η és ζ
irányú elmozdulását valamint a
ξ , η és ζ
tengelyek körüli szögelfordulását. Így egy rúdelem
csomóponti elmozdulásvektora a következ® lesz
T q e = uei vie wie ϕeξi ϕeηi ϕeζi uej vje wje ϕeξj ϕeηj ϕeζj
(22)
(1×12) Ez 12 db paramétert jelent. Válasszuk meg a közelít® függvényeket olyanra, hogy azok is 12 db paramétert tartalmazzanak, így a paraméterek a csomópontok elmozdulásából és szögelfordulásából meghatározhatók.
ue (ζ) v e (ζ) we (ζ) ϕe (ζ)
= = = =
ae1 + ae2 ζ + ae3 ζ 2 + ae4 ζ 3 ae5 + ae6 ζ + ae7 ζ 2 + ae8 ζ 3 ae9 + ae10 ζ ae11 + ae12 ζ
Kés®bb látni fogjuk, hogy miért így célszer¶ a paramétereket megválasztani.
5.2.8. Alakfüggvények meghatározása Az
aei
paramétereket a csomóponti elmozdulás és szögelfordulás koordinátákon keresztül próbáljuk
meghatározni. Tudjuk korábbról ((17) és (18)), hogy a ue (ζ) és v e (ζ) függvények deriváltjaiból állíthatjuk el®.
ϕξ (ζ) = − ϕη (ζ) = Legyen a végeselem hossza
L.
ξ
és
η
tengelyek körüli elfordulásokat az
dv (ζ) dζ
du (ζ) dζ
Ha a csomóponti elmozdulás paraméterek adottak, akkor
ue (ζ = 0) = ae1 + ae2 0 + ae3 0 + ae4 0 = uei v e (ζ = 0) = ae5 + ae6 0 + ae7 0 + ae8 0 = vie we (ζ = 0) = ae9 + ae10 0 = wie −
dv (ζ = 0) = −ae6 − 2ae7 0 − 3ae8 0 = ϕeξi dζ du (ζ = 0) = ae2 + 2ae3 0 + 3ae4 0 = ϕeηi dζ ϕe (ζ = 0) = ae11 + ae12 0 = ϕeζi
ue (ζ = L) = ae1 + ae2 L + ae3 L2 + ae4 L3 = uej v e (ζ = L) = ae5 + ae6 L + ae7 L2 + ae8 L3 = vje we (ζ = L) = ae9 + ae10 L = wje 60
−
dv (ζ = L) = −ae6 − 2ae7 L − 3ae8 L2 = ϕeξj dζ du (ζ = L) = ae2 + 2ae3 L + 3ae4 L2 = ϕeηj dζ ϕe (ζ = L) = ae11 + ae12 L = ϕeζj
Írjuk fel ezt mátrixokkal
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 L L L3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2L 3L2 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L3 1 L L2 0 0 0 0 0 −1 −2L −3L2 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 L 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L
ae1 ae2 ae3 ae4 ae5 ae6 ae7 ae8 ae9 ae10 ae11 ae12
=
(12×1)
1 0 − L32 2 L3
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 − L32 2 L3
0 0 0 0
=
(12×1)
(12×12) Az együttható mátrix invertálása után az
ae1 ae2 ae3 ae4 ae5 ae6 ae7 ae8 ae9 ae10 ae11 ae12
aei (i = 1, 2, . . . , 12)
0 0 0 0 0 0 0 0 − L1 1 0 0 L2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 L 1 0 − L2 0 0 0 0 1 0 0 L 0 0 0 0 0 0
(12×12)
azaz
ae1 = uei ae2 = ϕeηi 3 e 2 e 3 e 1 e − + u ϕ u − ϕ i ηi L2 L L2 j L ηj 2 1 2 1 ae4 = 3 uei + 2 ϕeηi − 3 uej + 2 ϕeηj L L L L e e a5 = v i ae6 = −ϕeξi 61
(12×1)
paraméterek kifejezhet®k.
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 0 0 −L 0 0 L2 1 2 0 0 0 − L3 0 L2 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 L L2 0 − L12 0 0 0 − L23 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − L1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 − L1 0 0
ae3 = −
uei vie wie ϕeξi ϕeηi ϕeζi uej vje wje ϕeξj ϕeηj ϕeζj
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 L
uei vie wie ϕeξi ϕeηi ϕeζi uej vje wje ϕeξj ϕeηj ϕeζj (12×1)
3 e 2 e 3 1 vi + ϕξi + 2 vje + ϕeξj 2 L L L L 2 1 2 1 ae8 = 3 vie − 2 ϕeξi − 3 vje − 2 ϕeξj L L L L ae9 = wie ae7 = −
1 1 ae10 = − wie + wje L L e e a11 = ϕζi 1 1 ae12 = − ϕeζi + ϕeζj L L Helyettesítsük vissza a paramétereket a közelít® függvénybe.
e
u (ζ) = v e (ζ) = we (ζ) = ϕe (ζ) =
3 e 2 e 3 e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 + − 2 ui − ϕηi + 2 uj − ϕηj ζ + + ζ3 u + ϕ − u + ϕ L L L L L3 i L2 ηi L3 j L2 ηj 3 e 2 e 3 e 1 e 1 e 2 e 1 e 2 e e e 2 vi − ϕξi ζ + − 2 vi + ϕξi + 2 vj + ϕξj ζ + v − ϕ − v − ϕ ζ3 L L L L L3 i L2 ξi L3 j L2 ξj 1 e 1 e e wi + − wi + wj ζ L L 1 e 1 e e ϕζi + − ϕζi + ϕζj ζ L L uei
ϕeηi ζ
Kis átalakítás után kapjuk, hogy
2 2 ζ3 2ζ 3 ζ3 3ζ 2 2ζ 3 2ζ 2 3ζ ζ e e e + 2 ϕηi + − 3 uj + − + 2 ϕeηj u (ζ) = 1 − 2 + 3 ui + ζ − L L L L L2 L L L | | | | {z } {z } {z } {z } e
A1 (ζ)
A2 (ζ)
3
A3 (ζ)
A4 (ζ)
2 2 2ζ 2 3ζ ζ 2ζ ζ3 2ζ 3 ζ3 3ζ e e e e − 2 ϕξi + − 3 vj + − 2 ϕeξj v (ζ) = 1 − 2 + 3 vi + −ζ + L L L L L2 L L L | | | | {z } {z } {z } {z } 2
A1 (ζ)
we (ζ) =
ζ ζ wie + wje 1− L L |{z} | {z } A6 (ζ)
A5 (ζ)
ϕe (ζ) =
−A2 (ζ)
ζ ζ 1− ϕeζi + ϕeζj L L |{z} | {z } A5 (ζ)
A6 (ζ)
62
A3 (ζ)
−A4 (ζ)
Elhagyva a függvények argumentumának jelölését írjuk fel ugyan ezt mátrixos alakban is.
uei vie wie ϕeξi ϕeηi ϕeζi uej vje wje ϕeξj ϕeηj ϕeζj {z
ue ve we ϕe {z
|
ue (ζ)
A1 0 0 0 A2 0 A3 0 0 0 A4 0 0 A1 0 −A2 0 0 0 A3 0 −A4 0 0 = 0 0 A5 0 0 0 0 0 A6 0 0 0 0 0 0 0 0 A5 0 0 0 0 0 A6 } | {z A(ζ)
(4×1)
(4×12)
} |
qe
}
(12×1)
Tömörebben:
ue (ζ) = A (ζ) q e
5.2.9. Egy végeselem alakváltozási energiája ˆ
1 U = 2 e
= 1 = 2
ˆ (V e )
1 2
σξ εξ + ση εη +σζ εζ + τξη γξη +τηζ γηζ + τζξ γζξ dV = |{z} |{z} | {z }
(V e )
ˆ
0
0
σζN + σζH1 + σζH2
0
H1 H2 εN + τηζ γηζ + τζξ γζξ dV = ζ + εζ + εζ
(V e )
N Mhη Mhξ + ξ+ η A Iη Iξ
1 = 2
ˆ ˆ
E εN ζ
2
εN ζ
+ κη ξ + κξ η +
Mc Mc ξ ϑξ + − η (−ϑη) dV = Ic Ic
+ E (κη )2 ξ 2 + E (κξ )2 η 2 + Gϑ2 ξ 2 + η 2
dAdζ =
(le ) (Ae )
=
1 2
ˆ
EA εN ζ (le )
=
1 2
2
+ EIη (κη )2 + EIξ (κξ )2 + G Ip ϑ2 dζ = |{z} ≈Ic
ˆ
N εN ζ + Mhη κη + Mhξ κξ + Mc ϑ dζ = (le )
1 = 2
ˆ (le )
|
Mhη
Mhξ N Mc {z } T (σ e ) | (4×1)
κη κξ εN ζ ϑ {z εe
(4×1)
63
dζ = 1 2
ˆ σe (le )
}
T
εe dζ
(23)
ahol kihasználtuk, hogy
ˆ
ˆ ξdA = 0
ηdA = 0
(A)
ξηdA = 0
(A)
ˆ
és
ˆ (A)
ˆ
ˆ
2
2
ξ dA = Iη
ξ 2 + η 2 dA = Ip
η dA = Iξ
(A)
(A)
(A)
továbbá bevezettük a következ® jelöléseket
Mhη Mhξ σe = N Mc
κη κξ εe = εN ζ ϑ
és
(4×1)
(4×1)
A (23) összefüggésnek megfelel®en megfogalmazhatunk egy anyagtörvényt is:
|
EIη 0 0 0 0 EIξ 0 0 = 0 0 EA 0 0 0 0 GIc } | {z }|
Mhη Mhξ N Mc {z
Ce
σe
(4×1)
κη κξ εN ζ ϑ {z
}
εe
(4×1)
(4×4)
vagyis
σ e = C e εe εe
A (20)-(21) kinematikai egyenleteknek megfelel®en az is.
|
κη κξ εN ζ ϑ {z
= }
εe
|
2
− dζd 2 0 2 0 − dζd 2 0 0 0 0 {z
0 0 d dζ
0
kifejezhet® az elmozdulás koordinátákkal
0 0 0 d dζ
∂
(4×1)
(4×4)
}|
ue ve we ϕe {z ue
}
(4×1)
Az új jelölésekkel az alakváltozási energia tömörebben írható
ˆ T 1 σ ε C ε dζ = ∂ue C e ∂ue dζ = 2 | {z } (l) (l) (l) T e (σ ) ˆ ˆ 1 e e T e 1 e T e T e e e e e = ∂A q C ∂A q dζ = q B C B q dζ = 2 2 |{z} |{z}
1 U = 2 e
ˆ
(l)
e T
Be
1 ε dζ = 2
ˆ
e
e T
e e
(l)
Be
ˆ 1 e T e T e e 1 e T e e e q B C B dζ q = q K q = 2 2 (l) | {z } Ke
64
ahol
∂ A (ζ) = e
|
2
− dζd 2 0 2 0 − dζd 2 0 0 0 0 {z ∂
0 0
0 0 0
d dζ
d dζ
0
A1 0 0 0 A2 0 A3 0 0 0 A4 0 0 A1 0 −A2 0 0 0 A3 0 −A4 0 0 0 0 A5 0 0 0 0 0 A6 0 0 0 0 0 0 0 0 A5 0 0 0 0 0 A6 {z }|
=
2
0 − ddζA21 d 2 A1 0 − dζ 2 0 0 0 0
0 0 dA5 dζ
0
=
A(ζ)
e
(4×12)
(4×4)
0 d 2 A2 dζ 2
0 0
2
− ddζA22 0 0 0
2
− ddζA23 0 d2 A3 0 − dζ 2 0 0 dA5 0 0 dζ {z 0 0 0
|
B(ζ)
0 0 dA6 dζ
0
0 d2 A4 dζ 2
0 0
2
− ddζA24 0 0 0
0 0 0 dA6 dζ
= B (ζ) }
(4×12)
és
e
K =
ˆ
Be
T
C e B e dζ
(l) a merevségi mátrix.
14. feladat. Az Ai (ζ) alakfüggvények ismeretében számítsa ki a merevségi mátrix elemeit.
wxMaxima nev¶ számítógépes program segítségével végezzük el. A1:1-3*x^2/L^2+2*x^3/L^3; A2:x-2*x^2/L+x^3/L^2; A3:3*x^2/L^2-2*x^3/L^3; A4:-x^2/L+x^3/L^2; A5:1-x/L; A6:x/L; B: matrix( [-di(A1,x,2),0,0,0,-di(A2,x,2),0,-di(A3,x,2),0,0,0,di(A4,x,2),0], [0,-di(A1,x,2),0,di(A2,x,2),0,0,0,-di(A3,x,2),0,di(A4,x,2),0,0], [0,0,di(A5,x),0,0,0,0,0,di(A6,x),0,0,0], [0,0,0,0,0,di(A5,x),0,0,0,0,0,di(A6,x)] ); C: matrix( [E*Ieta,0,0,0], [0,E*Ixi,0,0], [0,0,E*A,0], [0,0,0,G*Ic] ); BCB:transpose(B).C.B; K1:ratsimp(integrate(BCB, x)); subst(L, x, K1);
Megoldás: A számítást az ingyen elérhet®
65
}
A végeredmény:
12Iη E L3
0 0 0 6Iη E L2 0 e K = − 12Iη E L3 0 0 0 − 6Iη2E L 0 |
0 12Iξ E L3
0 −
6Iξ E L2
0 0 0
12I E − Lξ3
0
−
6Iξ E L2
0 0
0 0 AE L
0 −
6Iξ E L2
6Iη E L2
0 0 0
0
0 0 0 0 0
4Iξ E L
− AE L 0 0 0
0
0 0 0
4Iη E L
2Iξ E L
0 0
6I E − Lη2
2I E − Lη
− IcLG
0
0 −
0 0 0
0 0
12Iξ E L3
6Iη E L2
0 0 0 0
0 0 0 0
12Iξ E L3
6Iη E L2
0 0
0 6Iξ E L2
0
0
− AE L
6Iξ E L2
12Iη E L3
0 0 0 0 0
0 0 0
12Iη E L3
−
Ic G L
0
6Iξ E L2
−
0 0 0 0 0
−
6Iξ E L2
6Iη E L2
−
2Iη E L
0
0 0 0 0 0
2Iξ E L
AE L
0
0 0 0 6Iξ E L2 4Iξ E L
0 0 0
−
0 0
0 0 0 0
6Iη E L2
0 0 0 4Iη E L
0
0 0 0 0 0 − IcLG 0 0 0 0 0 Ic G L
{z
}
(12×12)
♣ A merevségi mátrixot osszuk négy részre olymódon, hogy az egyes részek egy-egy csomóponti elmozdulásoknak és szögelfordulásoknak feleljenek meg.
" Ke = ahol
K eii = K ejj
=
12Iη E L3
0 0 0 6Iη E L2
0
és
e e K ij = K ji =
K eii K eij K eji K ejj 0
0 0
12Iξ E L3
0 −
AE L
0
6I E − Lξ2
6Iξ E L2
0
4Iξ E L
0 0 0
0 0
#
0 0
0 0 − 12ILη3 E 12Iξ E 0 − L3 0 0 0 − AE L 6Iξ E 0 − L2 0 − 6ILη2E 0 0 0 0 0
0 6Iξ E L2
0
2Iξ E L
0 0
6Iη E L2
0 0 0 0 0
0 0 0 4Iη E L
0
Ic G L
− 6ILη2E 0 0 0 0 0 0 0 2Iη E − L 0 0 − IcLG
5.2.10. Küls® er®k munkája egy végeselemen A küls® er®ket és nyomatékokat két csoportra tudjuk bontani. Az els® csoportba tartoznak a rúd hossza mentén megoszló er®k és nyomatékok. A második csoportba tartozó koncentrált er®ket és nyomatékokat külön tárgyaljuk, mert azokat nem elemszinten, hanem a teljes szerkezet vizsgálatakor kell majd gyelembe venni. A küls® er®k munkájának számításakor problémát jelenthet az, hogy a terheléseket általában a globális
xyz
koordinátarendszerben ismerjük, míg a végeselemek csomópontjainak elmozdulását és
szögelfordulását az elemhez kötött koordinátarendszerben írtuk fel. Koordináta transzformáció segítségével át lehetne számolni a terheléseket a helyi
ξηζ
koordinátarendszerbe, de célszer¶bb inkább
az elmozdulásokat és szögelfordulásokat áttranszformálni a globális
66
xyz
koordinátarendszerbe.
Koordináta transzformáció
A transzformációt egy adott
e
sorszámú végeselemre a
valósítja meg. Határozzuk meg ezt a tenzort. A rúd végeselem térbeli irányát az keresztmetszet f®tengelyeinek irányát az
~eξ
és
~eη
~eζ
e T˜
tenzor
vektor, míg a
vektorok adják meg. Ezek a vektorok a szerkezet
geometriájának ismeretében meghatározhatók.
15. feladat. Írja fel az 19. ábrán megjelölt 1-es, 2-es és 3-as számú rúdelemekhez kötött ξηζ koordinátarendszerek egységvektorait az ~ex , ~ey és ~ez egységvektorok segítségével, ha ~eη1 és ~ey párhuzamosak, illetve ~eξ3 párhuzamos az xy síkkal. Az x, y és z tengelyekkel párhuzamos rúdelemek hossza legyen egységnyi. ~eξ3
~ez
~eη3
~eζ1
3
~eξ2
~eη2
~eζ3
2 ~eζ2
O
~eξ1
~ex
~ey
1 ~eη1
19. ábra. Térbeli rácsos tartók
Megoldás: ~eξ1 =
~eξ3
√
√ 2 2 ~ex + ~ez , 2 2
~eη1 = ~ey ,
~eζ1 = −
√
√ 2 2 ~ex + ~ez , 2 2
~eξ2 = −~ex , ~eη2 = ~ez , ~eζ2 = ~ey , √ √ √ √ √ √ 6 6 6 3 3 3 3 3 ~eη = − ~ex + ~ey + ~ez , ~eζ = − ~ex + ~ey − ~ez . 6 6 3 3 3 3
√
√ 2 2 =− ~ex − ~ey , 2 2
♣ Tudjuk, hogy ha egy
~a
vektor az
xyz
koordinátarendszerben az
~a = ax~ex + ay~ey + az~ez alakban írható, akkor az
x, y
és
z
irányú vetületei az
ax = ~a · ~ex
ay = ~a · ~ey
összefüggéssel számíthatóak. Írjuk vissza a vetületeket az
az = ~a · ~ez ~a
vektorba
~a = ax~ex + ay~ey + az~ez = (~a · ~ex ) ~ex + (~a · ~ey ) ~ey + (~a · ~ez ) ~ez ~eζe vektorokat fel lehet írni az alábbiak szerint is e e e ~eξe = ~eξe · ~ex ~ex + ~eξe · ~ey ~ey + ~eξe · ~ez ~ez = cos αξx ~ex + cos αξy ~ey + cos αξz ~ez
Ennek mintájára az
~eξe , ~eηe
és
67
(24)
e e e ~eηe = ~eηe · ~ex ~ex + ~eηe · ~ey ~ey + ~eηe · ~ez ~ez = cos αηx ~ex + cos αηy ~ey + cos αηz ~ez e e e ~eζe = ~eζe · ~ex ~ex + ~eζe · ~ey ~ey + ~eζe · ~ez ~ez = cos αζx ~ex + cos αζy ~ey + cos αζz ~ez ahol például az
e αηx
szög az
e-edik
végeselem
η
tengelyének a globális
xyz
(25) (26)
koordinátarendszer
x
tengelyével bezárt szögét jelenti. Helyettesítsük be a transzformációt leíró (24)-(26) összefüggéseket a (15) elmozdulás és (16) szögelfordulás vektorokba.
e e e ~uSe (ζ) = ueS (ζ) ~eξe + vSe (ζ) ~eηe + wSe (ζ) ~eζe = ueS (ζ) cos αξx ~ex + cos αξy ~ey + cos αξz ~ez + e e e e e e e ~ez ~ey + cos αζz ~ex + cos αζy ~ez +wS (ζ) cos αζx ~ey + cos αηz +vSe (ζ) cos αηx ~ex + cos αηy
e e e ϕ ~ e (ζ) = ϕeξ (ζ) ~eξ + ϕeη (ζ) ~eη + ϕeζ (ζ) ~eζ = ϕeξ (ζ) cos αξx ~ex + cos αξy ~ey + cos αξz ~ez + e e e e e e e +ϕeη (ζ) cos αηx ~ex + cos αηy ~ey + cos αηz ~ez +ϕζ (ζ) cos αζx ~ex + cos αζy ~ey + cos αζz ~ez Átrendezés után kapjuk hogy
e e e ~ueS (ζ) = ueS (ζ) cos αξx + vSe (ζ) cos αηx + wSe (ζ) cos αζx ~ex + {z } | USe (ζ)
e e e + ueS (ζ) cos αξy + vSe (ζ) cos αηy ~ey + + wSe (ζ) cos αζy {z } | VSe (ζ)
e e e + ueS (ζ) cos αξz ~ez = + vSe (ζ) cos αηz + wSe (ζ) cos αζz {z } |
WSe (ζ)
= USe (ζ) ~ex + VSe (ζ) ~ey + WSe (ζ) ~ez = e e e e e e e e e = ueS (ζ) cos αξx ~eξ · ~eξ + vSe (ζ) cos αηx ~eη · ~eη + wSe (ζ) cos αζx ~eζ · ~eζ ~ex + e e e + ueS (ζ) cos αξy ~eξe · ~eξe + vSe (ζ) cos αηy ~eηe · ~eηe + wSe (ζ) cos αζy ~eζe · ~eζe ~ey + e e e e e e e e e + ueS (ζ) cos αξz ~eξ · ~eξ + vSe (ζ) cos αηz ~eη · ~eη + wSe (ζ) cos αζz ~eζ · ~eζ ~ez = e e e ~ex ◦ ~eζe + = cos αξx ~ex ◦ ~eξe + cos αηx ~ex ◦ ~eηe + cos αζx e e e + cos αξy ~ey ◦ ~eξe + cos αηy ~ey ◦ ~eηe + cos αζy ~ey ◦ ~eζe + e e e ~ez ◦ ~eζe · ueS (ζ) ~eξe + vSe (ζ) ~eηe + wSe (ζ) ~eζe = + cos αξz ~ez ◦ ~eξe + cos αηz ~ez ◦ ~eηe + cos αζz e = T˜ · ~ueS (ζ)
A szögelfordulásokra hasonlóan az kapjuk, hogy
e e e ϕ ~ e (ζ) = ϕeξ (ζ) cos αξx + ϕeη (ζ) cos αηx + ϕeζ (ζ) cos αζx ~ex + | {z } Φex (ζ)
e e e + ϕeξ (ζ) cos αξy + ϕeη (ζ) cos αηy + ϕeζ (ζ) cos αζy ~ey + | {z } Φey (ζ)
68
(27)
e e e ~ez = + ϕeξ (ζ) cos αξz + ϕeη (ζ) cos αηz + ϕeζ (ζ) cos αζz {z } | Φez (ζ)
= Φex (ζ) ~ex + Φey (ζ) ~ey + Φez (ζ) ~ez = e e e e e e e e e = ϕeξ (ζ) cos αξx ~eξ · ~eξ + ϕeη (ζ) cos αηx ~eη · ~eη + ϕeζ (ζ) cos αζx ~eζ · ~eζ ~ex + e e e + ϕeξ (ζ) cos αξy ~eξe · ~eξe + ϕeη (ζ) cos αηy ~eηe · ~eηe + ϕeζ (ζ) cos αζy ~eζe · ~eζe ~ey + e e e e e e e e e + ϕeξ (ζ) cos αξz ~eξ · ~eξ + ϕeη (ζ) cos αηz ~eη · ~eη + ϕeζ (ζ) cos αζz ~eζ · ~eζ ~ez = e e e = cos αξx ~ex ◦ ~eξe + cos αηx ~ex ◦ ~eηe + cos αζx ~ex ◦ ~eζe + e e e + cos αξy ~ey ◦ ~eξe + cos αηy ~ey ◦ ~eηe + cos αζy ~ey ◦ ~eζe + e e e ~ez ◦ ~eζe · ϕeξ (ζ) ~eξe + ϕeη (ζ) ~eηe + ϕeζ (ζ) ~eζe = + cos αξz ~ez ◦ ~eξe + cos αηz ~ez ◦ ~eηe + cos αζz e = T˜ · ϕ ~ e (ζ)
(28)
e
˜ tenzor a ξηζ és xyz koordinátarendszerek Vagyis összefoglalva azt állapíthatjuk meg, hogy a T e ˜ tenzor különlegessége abban áll, hogy bázisa, a ~ei ◦ ~e e közötti transzformációt valósítja meg. A T k (i
= x, y, z
tenzor
tartalmazza a ξηζ és xyz bázisvektorait is. Az ilyen tenzorokat ˜ e tenzor mátrixa ebben a bázisban a következ® lesz oknak nevezzük. A T és
k = ξ, η, ζ ),
e e e e ~ e · ~ e cos αξx cos α cos α h ei x ηx ξ ζx e e e = ~eξe · ~ey cos α cos α T˜ = cos αξy ηy ζy e e e cos αξz cos αηz cos αζz ~eξe · ~ez
~eηe · ~ex ~eηe · ~ey ~eηe · ~ez
~eζe · ~ex ~eζe · ~ey ~eζe · ~ez
kétpont
(29)
A (27) és (28) egyeneltek, vagyis az
illetve
e ~ueS (ζ) = T˜ · ~ueS (ζ)
(30)
e ~ e (ζ) ϕ ~ e (ζ) = T˜ · ϕ
(31)
jobb és bal oldalát összehasonlítva az adódna, hogy a oldal nem ugyan abban a bázisban van felírva, akkor
e T˜ egységtenzor. Ha azonban a jobb és bal e T˜ a (35) alakú lesz. Ezek alapján a (27) és
(28) mátrixokkal így írható
e e e e cos αξx cos αηx cos αζx USe (ζ) uS (ζ) e e e VSe (ζ) = cos αξy vSe (ζ) cos αηy cos αζy e e e e WS (ζ) wSe (ζ) cos αξz cos αηz cos αζz
(32)
e e e e cos αξx cos α cos α ϕ (ζ) Φex (ζ) ηx ζx ξ e e e Φey (ζ) = cos αξy ϕeη (ζ) cos α cos α ηy ζy e e e Φez (ζ) ϕeζ (ζ) cos αξz cos αηz cos αζz
(33)
illetve
Nekünk viszont a feni két összefüggés inverzére van szükségünk. ˜ e inverze belátható, hogy a T
e T˜
−1
Az el®z®ekkel analóg módon
e e e e e e ~eξ ◦ ~ey + cos αξz ~eξ ◦ ~ez + = cos αξx ~eξ ◦ ~ex + cos αξy 69
e e e e e e + cos αηx ~eη ◦ ~ex + cos αηy ~eη ◦ ~ey + cos αηz ~eη ◦ ~ez + e T e e e e e e + cos αζx ~eζ ◦ ~ex + cos αζy ~eζ ◦ ~ey + cos αζz ~eζ ◦ ~ez = T˜
(34)
vagy mátrixos alakban
A
T˜
T
e
e −1
e e e e cos αξx cos α cos α · ~ e ~ e x ξ ξy ξz e e e = ~eηe · ~ex cos α cos α = cos αηx ηy ηz e e e ~eζe · ~ex cos αζz cos αζy cos αζx
~eξe · ~ey ~eηe · ~ey ~eζe · ~ey
~eξe · ~ez e T ~eηe · ~ez = T˜ ~eζe · ~ez (35)
inverzének segítségével az elmozdulás és szögelfordulás végeselemhez kötött lokális koordinátái
kifejezhet®k
e e e e cos α cos α cos αξx ueS (ζ) U (ζ) ξz ξy S e e e vSe (ζ) = cos αηx VSe (ζ) cos αηz cos αηy e e e WSe (ζ) wSe (ζ) cos αζz cos αζy cos αζx
(36)
e e e e cos αξx cos α cos α ϕeξ (ζ) (ζ) Φ ξy ξz x e e e Φey (ζ) ϕeη (ζ) = cos αηx cos α cos α ηy ηz e e e Φez (ζ) ϕeζ (ζ) cos αζx cos αζy cos αζz
(37)
és
e e 16. feladat. Számítsa ki a T˜ · T˜
T
szorzatot. ♣
17. feladat. Számítsa ki a 19. ábrán látható rúdszerkezet 1-es, 2-es és 3-as számokkal jelölet rúdjaihoz tartozó transzformációs mátrixot. ♣ Egy rúd végeselem kapjuk meg, hogy a
ζ
i
és
j
csomópontjaihoz tartozó elmozdulás és szögelfordulás értékeket úgy
koordináta helyére nullát vagy
L-et
írunk.
e e e e e cos αξx cos α cos α ui ueS (ζ = 0) Ui ξy ξz e e e e vSe (ζ = 0) = vie = cos αηx cos α cos α V ηy ηz i e e e Wie wie wSe (ζ = 0) cos αζx cos αζy cos αζz
e ϕeξ (ζ = 0) ϕξi ϕeη (ζ = 0) = ϕeηi ϕeζ (ζ = 0) ϕeζi e e uj uS (ζ = L) vSe (ζ = L) = vje wSe (ζ = L) wje e e ϕξ (ζ = L) ϕξj ϕeη (ζ = L) = ϕeηj ϕeζ (ζ = L) ϕeζj
e e cos αξx cos α ξy e e = cos αηx cos α ηy e e cos αζx cos αζy e e cos αξx cos α ξy e e = cos αηx cos α ηy e e cos αζx cos αζy e e cos αξx cos α ξy e e = cos αηx cos α ηy e e cos αζx cos αζy
Összefoglalva ezeket egy közös mátrix egyenletben
70
e cos αξz e cos αηz e cos αζz e cos αξz e cos αηz e cos αζz e cos αξz e cos αηz e cos αζz
Φexi Φeyi Φezi Uje Vje Wje Φexj Φeyj Φezj
|
uei vie wie ϕeξi ϕeηi ϕeζi uej vje wje ϕeξj ϕeηj ϕeζj {z qe
= }
(12×1)
e −1 T˜
0
0
e T˜
0
−1
0
0
0
0
0
T˜
e −1
0
|
{z Te
e Ui Vie e Wi e Φxi e Φyi 0 e Φzi e Uj e Vj e W 0 j Φe xj Φe yj Φe −1 | {zzj } e T˜ Qe } (12×1) 0
(12×12)
e végeselemhez tartozó lokális csomóponti elmozdulásvektor, Q az e-edik végese elemhez tartozó globális csomóponti elmozdulásvektor és T a kett® közötti kapcsolatot leíró transzahol
qe
az
e-edik
formációs mátrix. Röviden így is írhatjuk
q e = T e Qe
A munka számítása az elemhez kötött (lokális) koordinátarendszerben
(38)
Tételezzük fel,
hogy a rudakon vonal mentén megoszló nyomaték nem hat. Így a küls® er®k munkája
ˆ Wke
=
~uS (ζ) · f~0 (ζ) dζ
(le ) ahol
f~0 (ζ)
a vonal mentén megoszló terhelés intenzitása. Írjuk fel a vektorokat sor- és oszlopmátue oszlopvektort használni az elmozdulás
rixok segítségével. Célszer¶ az egyszer már bevezetett
számításánál. Ekkor megjelenik az ismeretlenek között egy szögelfordulás koordináta is, emiatt az er® koordinátákat tartalmazó oszlopvektorban is szerepeltetni kell egy plusz tagot, amit nullának választunk.
ueS vSe ⇒ u= wSe ϕeζ f0ξ f0η ⇒ f = f0ζ 0 0
~uS
f~0
71
f 0ξ ˆ ˆ e f0η e e T e e e uS vS wS ϕζ Wk f = f (ζ) dζ = dζ = u f0ζ 0 (le ) (le ) 0 ˆ T ˆ T T e e qe A (ζ) q Ae (ζ) f (ζ) dζ = = f (ζ) dζ = 0
(le )
0
(le )
T ˆ = qe
Ae (ζ)
T
T f (ζ) dζ = q e f e
f
0
(le )
|
{z
}
fe
f
f
e
a vonal mentén megoszló er®kb®l származó tehervektor a lokális, elemhez kötött koordif nátarendszerben felírva.
ahol
18. feladat. Határozzuk meg az f e tehervektort, ha egy végeselemen a megoszló terhelés intenzitása f állandó. Megoldás: A számítást a wxMaxima nev¶ számítógépes program segítségével végezzük el. A1:1-3*x^2/L^2+2*x^3/L^3; A2:x-2*x^2/L+x^3/L^2; A3:3*x^2/L^2-2*x^3/L^3; A4:-x^2/L+x^3/L^2; A5:1-x/L; A6:x/L; A:matrix([A1,0,0,0,A2,0,A3,0,0,0,A4,0],[0,A1,0,-A2,0,0,0,A3,0,-A4,0,0],[0,0,A5,0,0,0,0,0,A6,0,0,0], [0,0,0,0,0,A5,0,0,0,0,0,A6] ); f0: matrix( [fxi], [feta], [fzeta], [0] ); Af0:transpose(A).f0; f1:ratsimp(integrate(Af0, x)); subst(L, x, f1); Az eredmény:
f
e f
T =
h
f0ξ L 2
f0η L 2
f0ζ L 2
−
f0η L2 12
f0ξ L2 12
f0ξ L 2 (1×12)
0
f0η L 2
f0ζ L 2
f0η L2 12
−
f0ξ L2 12
0
i
♣
A munka számítása a globális koordinátarendszerben
A (38) transzformáció segítségével
áttérhetünk a globális koordinátarendszerre.
Wke f
T T T e T e e e e e e T e e f = T Q = q f = Q T f = Qe fˆ f f f | {z f} e fˆ
f
ahol
e fˆ
f felírva.
a vonal mentén megoszló er®kb®l származó tehervektor a globális koordinátarendszerben
72
5.2.11. Végeselemek összekapcsolása Tekintsünk két végeselemet. Az els® sorszáma legyen
e,
i
csomópontjainak lokális sorszáma legyen
és
és
j.
q.
A második végeselem sorszáma legyen
Tegyük fel, hogy az
e-edik
elem
j -edik
e + 1,
csomópontjainak lokális sorszáma legyen
csomópontja az
(e + 1)-edik
elem
p
p
csomópontjával
kapcsolódik össze. A végeselemek összekapcsolásának lehet®ségei az következ®k:
Csuklós kapcsolat esetén két szomszédos végeselem közös csomópontjában csak az elmozdulás koordináták azonosak, a szögelfordulások különbözhetnek.
Uje = Upe+1 Vje = Vpe+1 Wje = Wpe+1 Φexj 6= Φe+1 xp Φeyj 6= Φe+1 yp Φezj 6= Φe+1 zp
Ezt gömbcsuklónak is nevezzük.
Merev kapcsolat esetén a két szomszédos végeselem közös csomópontjában az elmozdulások és szögelfordulások is megegyeznek.
Uje = Upe+1 Vje = Vpe+1 Wje = Wpe+1 Φexj = Φe+1 xp Φeyj = Φe+1 yp Φezj = Φe+1 zp Speciális esetekben lehetséges az is, hogy csak egyes koordináták egyeznek meg, mások nem.
5.2.12. A teljes szerkezet potenciális energiája Πp =
m X e=1
ahol
m
a végeselemek száma,
munkája.
Wk F
Πep − Wk F
pedig a csomópontokban ható koncentrált er®k és nyomatékok
Ha a teljes szerkezet összesen
n
darab csomópontból áll, akkor az összes csomóponti
elmozdulást és szögelfordulást tartalmazó csomóponti elmozdulás vektor
6n
sorból fog állni.
T Q = Uie Vie Wie Φexi Φeyi Φezi Uje Vje · · ·
Une Vne Wne Φexn Φeyn Φezn
n
részre aszerint, hogy az egyes elemei
(1×6n)
ahol
a csomópontok száma. Osszuk fel ezt a mátrixot
n
melyik csomóponthoz tartoznak.
T T T Q = Q Q ··· i
j
73
Q
n
T
ahol
Q
T
k
=
Uke Vke Wke Φexk Φeyk Φezk
(1×6)
19. feladat. Oldjuk meg a 4. feladatot végeselem módszerrel. Vegyünk fel a rúdon kett® egyenl® hosszúságú végeselemet. Használjuk ki az azzal járó egyszer¶sítéseket, hogy a feladat síkbeli feladat. Megoldás: Az alábbi egyszer¶sítésekkel élhetünk:
A rúdra nem hat rúder®, emiatt a rúd keresztmetszeteinek rúdirányú elmozdulását nullának vehetjük.
wSe (ζ) = 0
A rúdra nem hat csavaró nyomaték, emiatt a rúd keresztmetszeteinek elfordulása nullának vehet®.
ϕeζ (ζ) = 0
A rúd terhelése síkbeli, ezért a rúd középvonalának
Emiatt a
q
e
e q = ξηζ
és
xyz
irányú elmozdulása nem lesz.
ueS (ζ) = 0
csomóponti elmozdulásvektor a
alakra egyszer¶södik. Mivel a
x
0 vie 0 ϕeξi 0 0 0 vje 0 ϕeξj 0 0
koordinátarendszerek tengelyei páronként párhuzamosak, a transzformációs
mátrix diagonális mátrix lesz a f®átlójában csupa egyesekkel, a globális csomóponti elmozdulásvektor pedig a globális
xyz
koordinátarendszerben értelmezett elmozdulás és szögelfordulás koordinátákat fogja tartalmazni.
Qe =
0 Vie 0 Φexi 0 0 0 Vje 0 Φexj 0 0
Qe
csomóponti elmozdulás vektorban lév® nullákkal történ® szorzás miatt a merevségi e mátrix 1., 3., 5., 6., 7., 9., 11. és 12. sorait és oszlopait, valamint a Q csomóponti elmozdulás vektor ugyanezen Az alakváltozási energiában a
74
sorait kitörölhetjük. Így az egy elemre számított alakváltozási energia
Ue =
1 2
Qe
T
K e Qe =
1 e Vi 2
A megoszló terhelésnél tudjuk hogy
Φexi
Vje
Φexj
(1×4)
12Iξ E L3 6I E − Lξ2 12I E − Lξ3 6I E − Lξ2
6Iξ E 12I E − Lξ3 L2 4Iξ E 6Iξ E L L2 6Iξ E 12Iξ E 2 L L3 2Iξ E 6Iξ E L L2 (4×4)
6Iξ E L2 2Iξ E L 6Iξ E L2 4Iξ E L
−
f0ξ = f0x = 0, f0η = f0y = −fy
és
−
f0ζ = f0z = 0,
Ve ie Φxi e Vj Φexj
(4×1)
valamint itt is a
Qe
csomóponti elmozdulás vektorban lév® nullákkal történ® szorzás miatt a tehervektor 1., 3., 5., 6., 7., 9., 11. és e 12. sorait, valamint a Q csomóponti elmozdulás vektor ugyanezen sorait kitörölhetjük.
Wke f =
Vie
Φexi
Vje
Φexj
(1×4)
−fy L 2 fy L2 12 f L − y2 f L2 − y12 (4×1)
A teljes szerkezet potenciális energiája: 12Iξ E L3 6I E − Lξ2 12I E − Lξ3 6I E − Lξ2
Πp =
2 X
Πep =
e=1
1 V1 2
Φx1
V2
V3
Φx2 (1×6)
Φx3
0 0
6Iξ E L2 4Iξ E L 6Iξ E L2 2Iξ E L
12Iξ E L3 6Iξ E L2 12Iξ E L3 6Iξ E L2
−
−
0 0
0 0
6Iξ E L2 2Iξ E L 6Iξ E L2 4Iξ E L
−
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
V1 Φx1 V2 Φx2 V3 Φx3
1 V1 + 2
V2
Φx1
Φx2 (1×6)
V3
Φx3
− V1
Φx1
V2
Φx2 (1×6)
V3
Φx3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
fy L 2 fy L2 12 f L − y2 fy L2 − 12
0 0
0 0
12Iξ E L3 6I E − Lξ2 12I E − Lξ3 6I E − Lξ2
0 0
6Iξ E L2 4Iξ E L 6Iξ E L2 2Iξ E L (6×6)
0 0
12Iξ E L3 6Iξ E L2 12Iξ E L3 6Iξ E L2
−
−
6Iξ E L2 2Iξ E L 6Iξ E L2 4Iξ E L
−
−
0 0
Φx1
V2
Φx2 (1×6)
V3
Φx3
(6×1)
1 V1 = 2
Φx1
V2
Φx2 (1×6)
V3
Φx3
12Iξ E L3 6I E − Lξ2 12I E − Lξ3 6I E − Lξ2
0 0
V1 Φx1 V2 Φx2 V3 Φx3
−
(6×1)
− V1
+
(6×1)
(6×6)
0 0
fy L − 22 fy L 12 − fy2L f L2 − y12
=
(6×1)
6Iξ E L2 4Iξ E L 6Iξ E L2 2Iξ E L
−
0 0
75
12Iξ E 6I E − Lξ2 L3 6Iξ E 2Iξ E L2 L 12Iξ E 12Iξ E 6Iξ E 6Iξ E + − 3 3 2 L L L L2 6Iξ E 6Iξ E 4Iξ E 4Iξ E − + L2 L2 L L 12I E 6Iξ E − Lξ3 2 L 6I E 2Iξ E − Lξ2 L (6×6)
−
0 0
0 0
12I E − Lξ3 6Iξ E L2 12Iξ E L3 6Iξ E L2
6I E − Lξ2 2Iξ E L 6Iξ E L2 4Iξ E L
V1 Φx1 V2 Φx2 V3 Φx3 (6×1)
−
fy L 2 fy L2 12 f L f L − y2 − y2 f L2 f L2 − y12 + y12 f L − y2 f L2 − y12 (6×1)
− V1
Mivel tudjuk, hogy a befogás miatt
Πp =
1 V2 2
Φx2
V3
(1×4)
Φx1
V2
V3
Φx2 (1×6)
Φx3
V1e = 0 és Φex1 = 0 12I E 12Iξ E ξ L3 + L3 6Iξ E 6Iξ E L2 − L2 Φx3 12Iξ E − L3 6I E − Lξ2
− V2
Φx2
V3
(1×6)
6Iξ E 6Iξ E L2 − L2 4Iξ E 4Iξ E L + L 6Iξ E L2 2Iξ E L (4×4)
Φx3
−
f L
12Iξ E L3 6Iξ E L2 12Iξ E L3 6Iξ E L2
6Iξ E L2 2Iξ E L 6Iξ E L2 4Iξ E L
−
f L
− y2 − y2 f L2 f L2 − y12 + y12 f L − y2 f L2 − y12
V2 Φx2 V3 Φx3
−
−
(4×1)
(6×1)
A megvalósuló elmozdulásnál a potenciális energiának minimuma van, azaz
∂Πp =0 ∂V2
∂Πp =0 ∂Φx2
∂Πp =0 ∂V3
∂Πp =0 ∂Φx3
ami egyenérték¶ a
12Iξ E 12Iξ E L3 + L3 6Iξ E 6Iξ E L2 − L2 12I E − Lξ3 6I E − Lξ2
6Iξ E 6Iξ E L2 − L2 4Iξ E 4Iξ E L + L 6Iξ E L2 2Iξ E L (4×4)
12Iξ E L3 6Iξ E L2 12Iξ E L3 6Iξ E L2
6Iξ E L2 2Iξ E L 6Iξ E L2 4Iξ E L
−
−
V2 Φ x2 V3 Φx3
=
(4×1)
f L
f L
− y2 − y2 f L2 f L2 − y12 + y12 f L − y2 f L2 − y12
(6×1)
egyenletrendszerrel. Ennek a megoldása
V2 = −
17fy L4 17fy l4 =− 24Iξ E 384Iξ E
V3 = −
2fy L4 fy l 4 =− Iξ E 8Iξ E
Φx2 =
Φx3 =
7fy L3 7fy l3 = 6Iξ E 48Iξ E
4fy L3 fy l3 = 3Iξ E 6Iξ E ♣
5.3. A rugalmasságtan 2D-s feladatai 5.3.1. Sík alakváltozás feladat 5.3.2. Általánosított síkfeszültség feladat 5.3.3. Tengelyszimmetrikus feladat
76
