Véges csoportok mint belső szimmetriák kvantumtérelméleti rács modellekben. Témavezető: Szlachányi Kornél, KFKI RMKI

V´eges csoportok mint bels˝ o szimmetri´ak kvantumt´erelm´eleti r´acs modellekben Bal´ azs M´ arton V. fizikus, ELTE TTK T´emavezet˝ o: Szlach´ anyi Korn´el, KFKI RMKI

Bevezet´es A fizik´ aban rendk´ıv¨ ul fontos a csoportok szerepe, a ´ltal´ aban szimmetri´ ak fel´ır´ as´ an´ al. A szimmetri´ ak gyakran lesz˝ uk´ıtik elm´eleti lehet˝ os´egeinket, ´ıgy seg´ıtve u ´j elm´eletek keres´es´enek ir´ any´ at, egyszer˝ ubb´e teszik sz´ amol´ asainkat, s˝ ot n´eha konkr´et j´ oslatok alapj´ at is adj´ ak. Nincs ez m´ ask´epp a kvantumt´erelm´eletekben sem. Ezeket az elm´eleteket sokszor relativisztikus alakban fogalmazzuk meg, ´ıgy m´ ar fel´ır´ asukkor megjelenik a Poincar´e-csoport, mint alapvet˝ o szimmatriacsoport (illetve n´eha ennek alacsonyabb dimenzi´ os megfelel˝ oi). Az elm´eletek egy m´ asik jelent˝ os r´esz´et adj´ ak a konform t´erelm´eletek, melyekben a Poincar´e-csoport helyett k´et dimenzi´ os konform csoportok jelennek meg. ´ jelens´egek le´ır´ Uj as´ an´ al bizonyos bels˝ o szimmetri´ ak seg´ıtenek a tapasztalatok ´ertelmez´es´eben, oszt´ alyoz´ as´ aban, kezelhet˝ ov´e t´eve k´ıs´erleti eredm´enyeinket. Term´eszetesen ezen szimmetri´ ak k´es˝ obb megjelennek a jelens´egre kidolgozott elm´eletekben is. Ilyenek p´eld´ aul az izospin, a parit´ as, a t¨ olt´eskonjug´ aci´ o, a lepton- ´es barionsz´ ammegmarad´ as. A jelens´egek h´ atter´et le´ır´ o m´ert´ekelm´eleti le´ır´ asokban pedig m´ert´ekszimmetri´ ak jelennek meg, alapj´ at adva az elm´elet fel´ep´ıt´es´enek. Ebben a dolgozatban a szuperszelekci´ os szektorok (??) elm´elet´eben fontos szerepet j´ atsz´ o n´eh´ any alapfogalmat ismerhet¨ unk meg. Ezeket a fogalmakat r´ acsmodellek p´eld´ aj´ an kereszt¨ ul mutatjuk be. Vizsg´ aljuk ezen modellekben v´eges szimmetri´ ak hat´ as´ at, valamint az e hat´ asokra invari´ ans (azaz szimmetrikus) kombin´ aci´ okat. K´et modellel foglalkozunk: az els˝ o egy egy dimenzi´ os Ising-spin modell, melyben a szimmetriacsoportnak a Z2 k´et elem˝ u csoport felel meg, m´ asik modell¨ unk pedig egy hasonl´ o algebr´ ara ´ep¨ ul˝ o spin-modell, melyen az S 3 csoport hat (ennek k´et gener´ atora egy harmadrend˝ u forgat´ asnak illetve egy t¨ ukr¨ oz´esnek felel meg). B´ ar a dolgozatban csak v´eges csoportok fordulnak el˝ o, a bemutatott m´ odszerek alkalmasak Hopf-algebrai vagy a ´ltal´ anosabb szimmetri´ aj´ u modellek tanulm´ anyoz´ as´ ara is. A dolgozat els˝ o r´esz´eben r¨ ovid a ´ttekint´est ny´ ujtunk a felhaszn´ alt matematikai appar´ atusr´ ol. ´Igy az els˝ o fejezet a v´eges csoportok a ´ltal´ anos tulajdons´ agair´ ol ´es a ´br´ azol´ asukr´ ol sz´ ol, a m´ asodik fejezetben az a ´br´ azol´ asok ´es a k¨ oz¨ ott¨ uk val´ oa ´tt´er´esek rendszerez´es´er˝ ol esik sz´ o. Az itt bemutatott fogalmakat a harmadik fejezetben az S3 csoporton mutatjuk be, eljutva egy fontos egy´ertelm˝ us´egi a ´ll´ıt´ ashoz e csoport a ´br´ azol´ asi rendszer´enek strukt´ ur´ aj´ aval kapcsolatban. A m´ asodik r´eszben r´ acst´erelm´eleti alkalmaz´ asokr´ ol esik sz´ o. A negyedik fejezetben e v´eges csoportok szimmetriak´ent val´ o fel´ır´ as´ anak m´ odj´ at vizsg´ aljuk r´ acst´erelm´eletek oper´ atoralgebr´ aj´ an. Az o ¨t¨ odik fejezetben az Ising-spin modellen, a hatodik fejezetben pedig egy hasonl´ o algebr´ an fel´ırt S 3 -spin modellen mutatjuk be eddig fel´ep´ıtett fogalmainkat. A szimmetri´ ak hat´ as´ anak fel´ır´ as´ an t´ ul megkeress¨ uk e modellekben a szimmetriatranszform´ aci´ okra invari´ ans u ´n. megfigyelhet˝ o r´esz´et a modellek oper´ atoralgebr´ aj´ anak.

1

1. V´eges csoportok Ebben a fejezetben n´eh´ any sz¨ uks´eges alapismeretet foglalunk o ¨ssze a v´eges csoportokkal ´es a ´br´ azol´ asaikkal kapcsolatban. Az itt szerepl˝ o levezet´esek k¨ oz¨ ul n´eh´ any egyszer˝ ubb o ¨nn´ all´ oan lett kidolgozva, az a ´ll´ıt´ asok egy r´esz´enek bizony´ıt´ as´ at viszont nem k¨ oz¨ olj¨ uk. 1.1. A csoportalgebra 1.1.1 Defin´ıci´ o. A (G, ·) p´ art csoportnak nevezz¨ uk, ha G halmaz, · pedig egy asszociat´ıv, egys´egelemes ´es inverzelemes m˝ uvelet rajta. A tov´ abbiakban a ´ltal´ aban v´eges csoportokkal (Card(G) ∈ N) foglalkozunk. A csoport tulajdons´ again t´ ul c´elszer˝ u bevezetni elemeinek sz´ ammal val´ o szorz´ as´ at ´es o ¨sszead´ as´ at is. 1.1.2 Defin´ıci´ o. A CG csoportalgebra a csoport elemeinek komplex arkombin´ aci´ oja a k¨ ovetkez˝ o P line´ P tulajdons´ agokkal (g, g 0 ∈ G ; c1 (g), c2 (g) ∈ C): ha CG 3 a1 = c1 (g)g ´es CG 3 a2 = c2 (g)g, g

akkor

g




P (i) a1 + a2 = c1 (g) + c2 (g) g ; Pg (ii) a1 · a2 = c1 (g)c2 (g)g · g 0 . g,g 0

1.2. Modulusok 1.2.1 Defin´ıci´ o. Legyen (G, ·) csoport, (V, +) pedig kommutat´ıv csoport (p´eld´ aul V lehet egy vektort´er). Ekkor G V : G ×V → V ; (g, v) 7→ gv bal G-modulus V -n, ha minden g, h ∈ G ; v, u ∈ V re ´es az e ∈ G csoportegys´egre (i) (g · h)v = g(hv) ; (ii) ev = v ; (iii) g(u + v) = gu + gv . Szokt´ ak a csoport-modulust csoport-´ abr´ azol´ asnak is h´ıvni. C´elszer˝ u volna ezt az a ´br´ azol´ ast kiterjeszteni a csoportalgebr´ ara is. Ehhez defini´ aljuk a gy˝ ur˝ u majd az algebra fogalm´ at, illetve ezek hat´ as´ at a (V, +) kommutat´ıv csoporton. 1.2.2 Defin´ıci´ o. R a rajta ´ertelmezett szorz´ as ´es o ¨sszead´ as m˝ uveletekkel gy˝ ur˝ u, ha (R, +) kommutat´ıv csoport, ´es minden r, s, t ∈ R elemre (i) (r · s) · t = r · (s · t) ; (ii) r · (s + t) = r · s + r · t ; (iii) (s + t) · r = s · r + t · r . A tov´ abbiakban egys´egelemes gy˝ ur˝ ur˝ ol fogunk besz´elni, ahol teh´ at l´etezik 1 ∈ R, melyre 1 · r = r · 1 = r. 1.2.3 Defin´ıci´ o. Legyen R gy˝ ur˝ u, (V, +) pedig kommutat´ıv csoport. Egy R V : (R × V ) → V ; (r, v) 7→ rv lek´epz´est bal R-modulusnak h´ıvunk, ha minden r, s ∈ R ; u, v ∈ V elemre ´es az 1 ∈ R egys´egre (i) (r + s)v = rv + sv ; (ii) r(u + v) = ru + rv ; (iii) r(sv) = (r · s)v ; (iv) 1v = v . 1.2.4 Defin´ıci´ o. Legyenek R ´es A gy˝ ur˝ uk, R kommutat´ıv. Az A gy˝ ur˝ u centruma Centr(A) := {z ∈ A | (∀a ∈ A) a · z = z · a}. Azt mondjuk, hogy A algebra R felett, ha adva van egy i : R → Centr(A) nem nulla ´es egys´eg˝ orz˝ o (azaz i : 1R 7→ 1A ) gy˝ ur˝ u-homomorfizmus. 2

1.2.5 Megjegyz´ es. Gyakran el˝ ofordul, hogy az R gy˝ ur˝ u egyben test is (p´eld´ aul R = C). Ekkor az el˝ obbi i homomorfizmus sz¨ uks´egk´eppen injekt´ıv, azaz r 6= 0-ra i(r) 6= 0. Ugyanis i(r) = 0 ´es r 6= 0 eset´en r −1 l´etez´ese miatt 0 = i(r −1 ) · i(r) = i(r−1 · r) = i(1R ) teljes¨ ulne, ezt pedig kiz´ arja i egys´eg˝ orz˝ o tulajdons´ aga. 1.2.6 Defin´ıci´ o. Legyen A algebra az R gy˝ ur˝ u felett, V pedig egy bal R-modulus. V -t bal algebramodulusnak h´ıvjuk az A algebra felett, ha V bal modulus az A gy˝ ur˝ u felett is u ´gy, hogy az A- ´es R-hat´ as az i homomorfizmussal kompatibilis: (∀r ∈ R, v ∈ V ) rv = i(r)v. Ha i injekt´ıv (p´eld´ aul R test volta miatt), akkor ez egyszer˝ uen azt jelenti, hogy az R-beli skal´ arokkal val´ o szorz´ as kiterjed az A-beli skal´ arokra is. A k¨ ovetkez˝ okben B alatt a csoport, gy˝ ur˝ u vagy algebra egyik´et, a B V moduluson pedig a megfelel˝ o csoport-, gy˝ ur˝ u-, vagy algebramodulus egyik´et ´ertj¨ uk. 1.2.7 Defin´ıci´ o. Legyen (V1 , +) ´es (V2 , +) k´et kommutat´ıv csoport. A direkt¨ osszeg¨ uk (V1 ⊕ V2 , +) a V1 × V2 halmaz, ell´ atva a

+ : V1 ⊕ V2 × V1 ⊕ V2 → V1 ⊕ V2 ; (u1 ⊕ u2 ), (v1 ⊕ v2 ) → 7 (u1 + v1 ) ⊕ (u2 + v2 )

m˝ uvelettel, ´ıgy (V1 ⊕ V2 , +) is kommutat´ıv csoport. A B V 1 ´es B V 2 modulusok direkt¨ osszege BV 1

⊕ B V 2 : (B, V1 ⊕ V2 ) → V1 ⊕ V2 ; (b, v1 ⊕ v2 ) 7→ bv1 ⊕ bv2 ,

szint´en modulus. A B V modulus r´eszmodulusa a B V 1 modulus, ha V1 ⊂ V . 1.2.8 Defin´ıci´ o. A B V modulus egyszer˝ u vagy irreducibilis, ha nincs nemtrivi´ alis r´eszmodulusa. 1.2.9 Defin´ıci´ o. A B V modulus indekompon´ alhat´ o, ha minden B V 1 ´es B V 2 modulusra B V ´es aj´ ab´ ol B V 1 = 0 vagy B V 2 = 0 (azaz (V1 , +) vagy (V2 , +) trivi´ alis, egy elem˝ u B V 1 ⊕ B V 2 ekvivalenci´ csoport) k¨ ovetkezik. Ekkor teh´ at B V nem bonthat´ o fel nemtrivi´ alis direkt¨ osszegre. 1.2.10 Defin´ıci´ o. A B V modulus f´elegyszer˝ u, ha izomorf v´eges sok egyszer˝ u modulus direkt¨ osszeg´evel. Nyilv´ anval´ o, hogy ha B V egyszer˝ u, akkor indekompon´ alhat´ o. Azonban ennek megford´ıt´ asa nem igaz: 1.2.11 P´ elda. Legyen A=



a b 0 c



| a, b, c ∈ C



;

a szok´ asos m´ atrixszorz´ assal ez algebra C felett. V´ alasszuk benne a k¨ ovetkez˝ o b´ azist: e1 :=



1 0 0 0



,

e2 :=



0 0 0 1



,

f :=

´Irjuk fel ezen b´ azisok szorz´ ot´ abl´ aj´ at:

e1 e2 f

e1 e1 0 0

e2 0 e2 f 3

f f 0 0



0 1 0 0



.

Legyen V1 := Ce1 ; V2 := Span{e2 , f } ; U := Cf . Most tekints¨ uk a szok´ asos m´ atrixszorz´ ast, mint A A modulust, azaz A hat´ as´ at o ¨nmag´ an. Ekkor A V 1 , A V 2 ´es A U r´eszmodulusai A A-nak, ´es A A = A V 1 ⊕ A V 2 , ´ıgy A A dekompon´ alhat´ o. A V 1 ´es A U egydimenzi´ osak, ´ıgy term´eszetesen egyszer˝ uek. A V 2 -nek azonban r´eszmodulusa A U , ez´ert nem egyszer˝ u, azonban indekompon´ alhat´ o: k¨ onnyen bel´ athat´ o, hogy A V 2 -nek A U -n k´ıv¨ ul nincs m´ as nemtrivi´ alis r´eszmodulusa, teh´ at nem a ´ll´ıthat´ o el˝ o nemtrivi´ alis direkt¨ osszeg form´ aj´ aban.  1.2.12 P´ elda. Legyen G a Z2 k´et elem˝ u csoport: Z2 e f

e e f

f f e

.

Tekints¨ uk a CG csoportalgebra hat´ as´ at o ¨nmag´ ara, azaz a CG CG modulust. Ez a modulus felbonthat´ o k´et egy dimenzi´ os (ez´ert egyszer˝ u) modulus direkt¨ osszeg´ere, vagyis f´elegyszer˝ u. A k´et modulus V1 := C(e + f ) ´es V2 := C(e − f ) . Az e-vel val´ o szorz´ as term´eszetesen mindk´et vektort´eren az identit´ as lek´epz´es, f hat´ asa pedig V 1 -en az identit´ as, V2 -n a m´ınusz identit´ as. Ha ezeket a kombin´ aci´ okat R2 -n a ´br´ azoljuk     0 1 ´es e − f ≡ e+f ≡ 1 0 form´ aj´ aban, akkor az e ´es f elemeket hat´ asuk alapj´ an 2 × 2-es m´ atrixokkal reprezent´ alhatjuk ezen az R2 t´eren, ´es ´ıgy kapjuk a csoport egy m´ atrixreprezent´ aci´ oj´ at:     1 0 1 0 e≡ , f≡ . 0 1 0 −1 Ezen m´ atrix´ abr´ azol´ ason is j´ ol l´ atszik, hogy modulusunk k´et egy dimenzi´ os modulus direkt¨ osszege lett: a m´ atrix k´et 1 × 1-es blokkb´ ol a ´ll, a V1 ´es V2 tereket nem keveri.  1.2.13 P´ elda. Legyen G az S3 csoport az e egys´eggel ´es a c, t gener´ atorokkal: S3 e c c2 t tc tc2 Az

CS3 CS3

e e c c2 t tc tc2

c c c2 e tc tc2 t

c2 c2 e c tc2 t tc

t t tc2 tc e c2 c

tc tc t tc2 c e c2

tc2 tc2 tc t c2 c e

.

modulus is f´elegyszer˝ u. Legyen C 3 ω 6= 1; ω 3 = 1, ´es

1 (e + c + c2 + t + tc + tc2 ) 6 1 v 0 := (e + c + c2 − t − tc − tc2 ) 6 1 1 2 2 2 u1 := (e + ωc + ω c + t + ω tc + ωtc2 ) u2 := (e + ω 2 c + ωc2 + t + ωtc + ω 2 tc2 ) 6 6 1 1 u01 := (e + ωc + ω 2 c2 − t − ω 2 tc − ωtc2 ) u02 := (e + ω 2 c + ωc2 − t − ωtc − ω 2 tc2 ) 6 6 v :=

alak´ u. Ekkor V := Cv, V 0 := Cv 0 , U := Span(u1 , u2 ), U 0 := Span(u01 , u02 ) r´eszmodulusok, CS3 CS3 = V ⊕V 0 ⊕U ⊕U 0, ´es itt mindegyik tag egyszer˝ u, azaz CS3 CS3 f´elegyszer˝ u. A fenti hat vektor line´ arisan 4

f¨ uggetlen ´es bel˝ ol¨ uk S3 minden eleme kifejezhet˝ o, ´ıgy a fenti hat vektor u ´j b´ azisnak tekinthet˝ oa CS3 a ´br´ azol´ asi t´eren. Ezen (a fenti sorrendnek megfelel˝ o) b´ azisrendszeren a csoportelemek hat´ asa a k¨ ovetkez˝ o m´ atrixokkal a ´br´ azolhat´ o: 

   e≡   

   c2 ≡   



   tc ≡   

1



1 0 0 1



1

1 

ω 0

0 ω2



1

−1 

0 ω2

ω 0









1

       c≡      1 0  0 1   

ω 0

0 −ω 2

1 



     −ω 

   2 tc ≡   

0

ω2 0

0 ω





1

   t≡  

     0  ω2 



1

−1 

0 1 1 0



1 −1 

0 ω

ω2 0

     0 

ω2 0

 

ω

0 −1





     −1  0

0 −ω



      2 −ω 0

Az els˝ o 1 × 1-es blokk a trivi´ alis a ´br´ azol´ as V -n, a m´ asodik 1 × 1-es blokkban csak a t csoportelem a ´br´ azol´ odik V 0 -n, a k´et 2 × 2-es blokkban pedig h˝ uen a ´br´ azol´ odik a teljes S3 csoport U -n ´es U 0 -n.  A fenti p´eld´ akban a G CG modulus m´ atrix´ abr´ azol´ as´ anak f˝ oa ´tl´ oj´ aban irreducibilis a ´br´ azol´ asok jelentek meg. Egydimenzi´ os blokkokn´ al ez trivi´ alis, az S3 csoport U ´es U 0 modulus´ anak pedig k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o m´ odon nincs egydimenzi´ os r´eszmodulusa. 1.2.14 Defin´ıci´ o. Legyen (V, +) kommutat´ıv csoport ´es R gy˝ ur˝ u. Az R V modulus szabad, ha izomorf R R modulusok direkt¨ osszeg´evel. Az izomorfia seg´ıts´eg´evel a direkt¨ osszegben szerepl˝ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o R-ek gener´ atorai a ´thozhat´ ok V -re, ´ıgy azon is megjelenik egy gener´ atorrendszer. Specia ´lisan ha R egy CG csoportalgebra, akkor a csoportelemeknek megfelel˝ o b´ azisokat tudunk kijel¨ olni V -n. 1.2.15 Defin´ıci´ o. Legyen CG csoportalgebra. A ∗ antiline´ aris invol´ uci´ o egy CG → CG m˝ uvelet; X g

c(g)g

∗

:=

X

c(g)g −1 .

g

altj´ at jel¨ oli. Itt c(g) c(g) ∈ C komplex konjug´ 1.2.16 Defin´ıci´ o. Legyen a CG V a ´br´ azol´ asban a V a ´br´ azol´ asi t´er Hilbert-t´er, azaz vektort´er C felett, ´es legyen ´ertelmezve rajta egy ( , ) skal´ arszorz´ as (V × V → C nem degener´ alt, els˝ o v´ altoz´ oj´ aban konjug´ alt line´ aris, m´ asodik v´ altoz´ oj´ aban line´ aris, pozit´ıv definit lek´epz´es, u ´gy, hogy ∀u, v ∈ V : (u, v) = (v, u)). Ha minden a ∈ CG; u, v ∈ V elemre (u, av) = (a∗ u, v) teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy CG V unit´er-, vagy ∗-´ abr´ azol´ as. 1.2.17 Defin´ıci´ o. K´et a ´br´ azol´ as D ´es D 0 m´ atrixreprezent´ aci´ oja egym´ assal ekvivalens, ha l´etezik olyan A invert´ alhat´ o m´ atrix, hogy D = AD 0 A−1 . 5

Az 1.2.13 ald´ aban a G U ´es G U 0 a ´br´ azol´ asok m´ atrixreprezent´ aci´ oja ekvivalens (p´eld´ aul az A :=  p´  1 0 unit´er m´ atrix seg´ıts´eg´evel). 0 −1 1.2.18 T´ etel. V´eges csoport minden a ´br´ azol´ asa ekvivalens unit´er a ´br´ azol´ assal. 

1.2.19 Megjegyz´ es. Ha a CG V unit´er, akkor f´elegyszer˝ u (p´eld´ aul az´ert, mert egyszer˝ u). Legyen ugyanis CG V1 r´eszmodulusa CG V -nek, ekkor V1 ´es V1⊥ := {u ∈ V | (∀v ∈ V1 ) (u, v) = 0} szint´en Hilbert-t´er, CG V1⊥ szint´en r´eszmodulusa CG V -nek ( g ∈ G-vel hatva u ∈ V1⊥ -re minden v ∈ V1 -re g ∗ v ∈ V1 miatt (gu, v) = (u, g ∗ v) = 0, ´ıgy gu is eleme V1⊥ -nek), ´es CG V = CG V1 ⊕ CG V1⊥ . Amenynyiben CG V1 vagy CG V1⊥ valamelyike nem egyszer˝ u, akkor azt az el˝ obbi elj´ ar´ ast megism´etelve u ´jra dekompon´ alhatjuk, eg´eszen addig folytatva, am´ıg minden r´eszmodulusunk egyszer˝ u lesz. Ilym´ odon felbontottuk CG V -t egyszer˝ u r´eszmodulusok direkt¨ osszeg´ere, azaz megmutattuk, hogy f´elegyszer˝ u. 1.2.20 Megjegyz´ es. Az 1.2.12 ´es 1.2.13 p´eld´ akban megfelel˝ o kombin´ aci´ okkal u ´j b´ azisvektorokat jel¨ olt¨ unk ki az a ´br´ azol´ asi t´eren, melyeket R2 -n illetve R6 -on reprezent´ altunk. Ennek sor´ an hallgat´ olagosan feltett¨ uk, hogy ezek az u ´j b´ azisok ortogon´ alisak egym´ asra. Mivel az a ´br´ azol´ asi t´er minden vektora kifejthet˝ o e b´ azisok szerint, ezzel a l´ep´essel egy skal´ arszorz´ ast ´ertelmezt¨ unk e vektorok felett. A csoport elemeinek hat´ asa, illetve a megfelel˝ o m´ atrixok unit´erek ezen skal´ arszorz´ as szerint. Az 1.2.11 p´eld´ aban viszont tal´ altunk nem egyszer˝ u, de indekompon´ alhat´ o modulust (V 2 -t). Azonban ne felejts¨ uk el, hogy ott A nem volt csoportalgebra, a ´br´ azol´ asai nem biztos, hogy ekvivalensek unit´er a ´br´ azol´ assal. Az e1 , e2 , f vektorok a ´ltal meghat´ arozott b´ azisokon p´eld´ aul az egyes algebraelemeknek megfelel˝ o m´ atrixok nem lesznek unit´erek (s˝ ot m´eg invert´ alhat´ oak sem). A tov´ abbiakban a ´br´ azol´ as vagy modulus alatt unit´er a ´br´ azol´ ast fogunk ´erteni. 1.2.21 Defin´ıci´ o. Legyen U ´es V vektort´er C felett, CG U ´es CG V k´et modulus. (Ekkor az U ⊗ V tenzorszorzat egy olyan vektort´er C felett, hogy l´etezik egy b : U × V → U ⊗ V ; (u, v) 7→ u ⊗ v biline´ aris lek´epz´es u ´gy, hogy b´ armilyen c : U × V → W vektort´erbe ´erkez˝ o biline´ aris lek´epz´eshez l´etezik egyetlen L : U ⊗ V → W f¨ uggv´eny, hogy c = L ◦ b. Az U ⊗ V vektort´er elemei teh´ at u ⊗ v alak´ u vektorok line´ arkombin´ aci´ oi. Ha U, V Hilbert-terek a ( , ) U ´es ( , )V skal´ arszorzatokkal, akkor az U ⊗ V × U ⊗ V → C ; u1 ⊗ v1 × u2 ⊗ v2 7→ (u1 ⊗ v1 , u2 ⊗ v2 )U ⊗V := (u1 , u2 )U (v1 , v2 )V lek´epz´es skal´ arszorzat lesz tenzorszorzatukon.) K´et csoport-modulusnak l´etezik a szorzata. Ez a CG (U

lek´epz´es a

X g

c(g)g, u ⊗ v

⊗ V ) : CG × (U ⊗ V ) → U ⊗ V 

7→

X g



c(g)g (u ⊗ v) :=

X g

c(g)(gu ⊗ gv)

lek´epz´es line´ aris kiterjeszt´ese az eg´esz U ⊗ V -re, szint´en modulus. 1.2.22 Megjegyz´ es. Az el˝ obbi konstrukci´ o sor´ an fontos volt, hogy legyen a csoportalgebr´ aban egy meghat´ arozott gener´ atorrendszer (nevezetesen a csoport elemei), hiszen a tenzorszorzat bilinearit´ asa miatt ezzel tudtuk csak fel´ırni az algebra hat´ as´ at. Ilyen rendszert egy a ´ltal´ anos algebra eset´en o ¨nk´enyesen tudn´ ank csak kijel¨ olni, ´ıgy nem csoportalgebr´ ak modulusainak szorzata nem egy´ertelm˝ u. Hilbert t´eren val´ oa ´br´ azol´ as eset´en k´et v´eges dimenzi´ os modulus szorzata is v´eges dimenzi´ os modulus lesz, az 1.2.18 t´etel alapj´ an teh´ at a szorzat is ekvivalens unit´er a ´br´ azol´ assal. Azt pedig 6

l´ attuk, hogy unit´er a ´br´ azol´ as mindig f´elegyszer˝ u. Felmer¨ ul teh´ at az a fizikai alkalmaz´ asokban is fontos k´erd´es, hogy adott csoport irreducibilis a ´br´ azol´ asainak szorzata mely irreducibilisekre bonthat´ o fel. 1.2.23 P´ elda. N´ezz¨ uk meg az S3 csoport h´ arom k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o irreducibilis a ´br´ azol´ as´ anak lehets´eges szorzatait. (Az U 0 a ´br´ azol´ as ekvivalens U -val, ez´ert nem tekintj¨ uk k¨ ul¨ on a ´br´ azol´ asnak.) A k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyszer˝ u r´eszmodulusok b´ azisvektorainak tenzorszorzat´ at k´epezve rajtuk egyszer˝ uen vizsg´ alhat´ o a csoport elemeinek hat´ asa. Ebb˝ ol a szempontb´ ol v ⊗ v ≡ v , v ⊗ v0 ≡ v0 ⊗ v ≡ v0 , v0 ⊗ v0 ≡ v , v ⊗ u 1 ≡ u1 ⊗ v ≡ u 1 , v ⊗ u 2 ≡ u2 ⊗ v ≡ u 2 , v 0 ⊗ u1 ≡ u1 ⊗ v 0 ≡ u01

v 0 ⊗ u2 ≡ u2 ⊗ v 0 ≡ u02

,

ad´ odik. Kiss´e bonyolultabb a helyzet, amikor az U r´eszmodulus vektorainak szorzat´ at n´ezz¨ uk. Rajtuk a csoportgener´ atorok m´ atrix´ abr´ azol´ asa a k¨ ovetkez˝ o:   1 0 u1 ⊗ u 2 ≡   0 0 eset´en   e≡ 

1 0 0 1





´ erve a Att´



  1 0  0 1



 c≡ 

1 0 0 1





  1 0 u1 ⊗u2 +u2 ⊗u1 ≡   0 0

  0 1 u1 ⊗u2 −u2 ⊗u1 ≡   0 0

b´ azisra 



 e≡ 

1 0 0 1

ad´ odik, amib˝ ol





  1 0  0 1



 c≡ 

  0 0 u1 ⊗ u 1 ≡   0 1

  0 0 u2 ⊗ u 2 ≡   1 0

  0 1 u2 ⊗ u 1 ≡   0 0

1 0 0 1





u1 ⊗ u 2 + u 2 ⊗ u 1 ≡ v , u2 ⊗ u 2 ≡ u 1 ,

2

ω 0



  0  ω



 t≡ 

  0 0 u2 ⊗u2 ≡   1 0

2

ω 0



  0  ω



 t≡ 

0 1 1 0







  . 0 1  1 0

  0 0 u1 ⊗u1 ≡   0 1 1 0 0 −1







  0 1  1 0

u 1 ⊗ u2 − u2 ⊗ u1 ≡ v 0 u1 ⊗ u 1 ≡ u 2 .

Megjelent teh´ at U ⊗ U -ban V, V 0 ´es U is. Mindezek alapj´ an (´es U -t U 0 -vel azonos´ıtva) fel´ırhat´ o az S3 csoport f´ uzi´ os gy˝ ur˝ uje, melynek gener´ atorai G V , G V 0 ,G U , az o ¨sszead´ as a ⊕ m˝ uvelet, ´es a szorz´ as a ⊗ a k¨ ovetkez˝ o szorz´ ot´ abl´ aval: ⊗ V V0 U

V V V0 U

V0 V0 V U

U U U V ⊕V0⊕U 7

.

Ennek a gy˝ ur˝ unek egys´egeleme V , azonban pl. az U elem nem invert´ alhat´ o.  1.3. Karakterek 1.3.1 Defin´ıci´ o. Legyen a G csoport egy a ´br´ azol´ asa G V , ezen a csoportelemek m´ atrixreprezent´ aci´ oja D. Az ehhez tartoz´ o χ karakter a G → C ; g 7→ trD(g) lek´epz´es. Ha G V r a csoport r-edik irreducibilis a ´br´ azol´ asa, ´es annak m´ atrixreprezent´ aci´ oja D r , akkor a hozz´ a tartoz´ o karaktert χr -el jel¨ olj¨ uk. A tr alatti ciklikus permut´ alhat´ os´ ag miatt ekvivalens m´ atrixreprezent´ aci´ okhoz tartoz´ o karakterek megegyeznek. ´ ıt´ 1.3.2 All´ as. Az a lek´epz´es, amely a G csoport R f´ uzi´ os gy˝ ur˝ uj´eb˝ ol minden G V r modulushoz hozz´ arendeli a hozz´ a tartoz´ o χr karaktert egy gy˝ ur˝ u-homomorfizmus, ha a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o karakterek felett az o ¨sszead´ ast ´es a szorz´ ast pontonk´ent ´ertelmezz¨ uk. Bizony´ıt´ as. Legyen G V r ´es G V q ∈ R, a hozz´ ajuk tartoz´ o m´ atrixreprezent´ aci´ ok pedig Dr ´es Dq . A modulusok direkt¨ osszeg´enek m´ atrixreprezent´ aci´ oja (minden g csoportelemen) Dr ⊕ Dq :=



(Dr ) 0 0 (Dq )



,

ennek tr-e a hozz´ a tartoz´ o karakter: χr⊕q = tr(Dr ⊕ Dq ) = trDr + trDq = χr + χq . L´ atjuk teh´ at, hogy a modulusok direkt¨ osszeg´en ´ertelmezett karakter a modulusok karakter´enek o ¨sszege. A szorzat vizsg´ alat´ ahoz v´ alasszunk egy (ei )i=1..nr illetve (fj )j=1..nq ortonorm´ alt b´ azist Vr -en illetve Vq -n. Ekkor (ei ⊗ fj ) i=1..nr b´ azis Vr ⊗ Vq -n, ´es j=1..nq

χr⊗q = tr(Dr ⊗ Dq ) =

X i,j


X (ei ⊗ fj ), (Dr ⊗ Dq )(ei ⊗ fj ) = (ei , Dr ei ) (fj , Dq fj ) = i,j

= trDr trDq = χr χq .

A modulusok direktszorzat´ anak karaktere teh´ at a karakterek pontonk´enti szorzat´ aval egyenl˝ o.  ´ ıt´ 1.3.3 All´ as. (I. Schur-lemma) Legyen G V egy egyszer˝ ua ´br´ azol´ as a V komplex vektort´eren. Ha A olyan V → V line´ aris lek´epz´es, hogy minden g csoportelemre Ag = gA teljes¨ ul, akkor valamilyen λ ∈ C sz´ amra A = λ1, ahol 1 a V → V identit´ as lek´epz´es. Ekkor A m´ atrixreprezent´ aci´ oja λ-szor az egys´egm´ atrix. Bizony´ıt´ as. Az anal´ızis eszk¨ ozeivel bel´ athat´ o, hogy az A folytonos line´ aris oper´ atornak van saj´ atvektora, λ saj´ at´ert´ekkel. Ekkor a V1 := {y ∈ V | Ay = λy} line´ aris alt´er nem u ¨res. Ha x ∈ V1 , akkor minden g ∈ G-re A(gx) = (Ag)x = (gA)x = gAx = gλx = λ(gx) , azaz gx is eleme V1 -nek. Ez´ert G V 1 a G V a ´br´ azol´ as r´eszmodulusa. Mivel G V egyszer˝ u volt, ez´ert V1 csak trivi´ alis alt´er lehet; V1 6= 0 miatt V1 = V , azaz A az eg´esz V t´eren λ1 alakban hat.  ´ ıt´ 1.3.4 All´ as. (II. Schur-lemma) Legyen G V r ´es G V q k´et egyszer˝ u modulus, melyek g-hat´ as´ at gr (·)-tal illetve gq (·)-tal jel¨ olj¨ uk. Ha A olyan Vr → Vq line´ aris lek´epz´es, hogy minden g ∈ G-re gq A = Agr , akkor A = 0 vagy a k´et modulus ekvivalens egym´ assal. 8

Bizony´ıt´ as. Azt kell megmutatnunk, hogy A 6= 0 eset´en A bijekci´ o, teh´ at invert´ alhat´ o. A 6= 0 miatt AhV1 i-nak van nem nulla eleme. Legyen egy ilyen elem x, ´es legyen y ∈ V1 olyan, hogy Ay = x. Ekkor minden ilyen y-ra gq x = gq (Ay) = (gq A)y = (Agr )y = A(gr y) ∈ AhV1 i , hiszen gr y ∈ V1 . Ez azt jelenti, hogy a G V q egyszer˝ u modulusnak AhV1 i invari´ ans altere ´es nem u ¨res, teh´ at AhV1 i = V2 . Ez´ert A sz¨ urjekt´ıv. Most megmutatjuk, hogy A injekt´ıv, azaz ker A = {0}. Indirekt tegy¨ uk fel, hogy 0 6= y ∈ ker A. Ekkor 0 = gq (Ay) = (gq A)y = (Agr )y = A(gr y) , azaz gr y ∈ ker A is teljes¨ ul, ez´ert ker A invari´ ans altere a G V r egyszer˝ u modulusnak, ´es az indirekt feltev´es szerint nem u ¨res, teh´ at ker A = V1 , ami viszont ellentmond az A 6= 0 felt´etelnek.  ´ ıt´ 1.3.5 All´ as. Legyen Dr ´es Dq k´et inekvivalens G V r ´es G V q modulushoz tartoz´ o unit´er m´ atrixreprezent´ aci´ o. Ezek m´ atrixelemeire igaz a k¨ ovetkez˝ o ortogonalit´ as: X

Dr (g)

g∈G




lm

Dq (g)




kj

=0

(a von´ as a m´ atrixelem komplex konjug´ altj´ at jelenti). Bizony´ıt´ as. Legyen M egy Vq → Vr line´ aris lek´epz´es m´ atrixa, ´es A :=

1X 1X Dr (h−1 )M Dq (h) = Dr (h)∗ M Dq (h) , n n h∈G

h∈G

ahol n a csoport rendje (elemeinek sz´ ama). Ekkor minden g csoportelemre 1X 1X Dr (h−1 )M Dq (h) = Dr (gh−1 )M Dq (h) = n n h h 1X 1X −1 −1 0 −1 0 = Dr (gg h )M Dq (h g) = Dr (h0 )M Dq (h0 )Dq (g) = ADq (g) , n 0 n 0

Dr (g)A = Dr (g)

hg

h

ez´ert a II. Schur-lemma alapj´ an ´es az a ´br´ azol´ asok inekvivalenci´ aja miatt A = 0. Ennek m´ atrixelemeit ki´ırva:

1X 0= Dr (h)∗ ma Mab Dq (h) bj . n h∈G

(l,k)

Adott l, k indexekre v´ alasszuk az Mab 0=

= δla δbk alakot:





1X 1X Dr (h)∗ ml Dq (h) kj = Dr (h) lm Dq (h) kj . n n h∈G



h∈G

´ ıt´ 1.3.6 All´ as. Legyen D egy G V unit´er, egyszer˝ u modulus m´ atrixreprezent´ aci´ oja. Ennek m´ atrixelemeire igaz a k¨ ovetkez˝ o ortonorm´ alts´ ag: 1 1X D(g)ik D(g)lm = δil δkm , n g d ahol n a csoport rendje, d pedig V dimenzi´ oja. 9

Bizony´ıt´ as. Az el˝ obbi bizony´ıt´ ashoz hasonl´ oan egy V → V line´ aris lek´epz´es M m´ atrix´ aval vezess¨ uk be a 1X 1X D(h−1 )M D(h) = D(h)∗ M D(h) A := n n h∈G

h∈G

m´ atrixot, melyre D(g)A = D(g)

1X 1X D(h−1 )M D(h) = D(gh−1 )M D(h) = n n h h 1X 1X −1 −1 0 −1 = D(gg h )M D(h0 g) = D(h0 )M D(h0 )D(g) = AD(g) n 0 n 0 hg

h

szint´en teljes¨ ul g ∈ G eset´en. Az I. Schur-lemma miatt van olyan λ ∈ C, melyre A = λ1, amit indexesen ki´ırva 1X (D(h)∗ )ka Mab D(h)bm . λδkm = n h∈G

(i,l)

Adott i, l indexre Mab

= δai δbl v´ alaszt´ as´ aval

λ(i,l) δkm =

(1.3.1)

1X 1X D(h)ik D(h)lm . (D(h)∗ )ki D(h)lm = n n h∈G

h∈G

Ha most o ¨sszeejtj¨ uk a k ´es m indexeket, akkor λ(i,l) d =

1X 1X 1X D(h)ik D(h)lk = D(h)ik (D(h))∗kl = D(h)ik D(h−1 )kl = n n n h∈G h∈G h∈G 1X 1X D(hh−1 )il = 1il = δil , = n n h∈G

h∈G

´ıgy minden i, l indexre λ(i,l) = 1d δil . Ezt (1.3.1)-be be´ırva 1 1X D(h)ik D(h)lm . δil δkm = d n



h∈G

¨ Osszefoglalva teh´ at a Dr ´es Dq unit´er irreducibilis m´ atrixreprezent´ aci´ okra 1X 1 Dr (h)ik Dq (h)lm = δrq δil δkm , n dr

(1.3.2)

h∈G

illetve

1 1X χr (h)χq (h) = δrq δil δil = δrq n dr h∈G

teljes¨ ul. ´ ıt´ 1.3.7 All´ as. A

CG Vr

egyszer˝ u dr dimenzi´ os modulusokhoz tartoz´ o er :=

dr X χr (h) h n h∈G

csoportalgebra-elemek centr´ alis projektorok, ´es k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o r indexek eset´en egym´ asra ortogon´ alisak. 10

Bizony´ıt´ as. A karakterek tr-k´epz´essel defini´ altak, ez´ert csoportelemek szorzatai a karakterek argumentum´ aban ciklikusan permut´ alhat´ ok. Ezt figyelembe v´eve ´es az o ¨sszegz´es v´ altoz´ oj´ anak cser´eivel er g =

dr X dr χr (h) hg = n n h∈G

X

h0 g −1 ∈G

χr (h0 g −1 ) h0 =

dr X χr (g −1 h0 ) h0 = n 0 h ∈G

dr X dr X = χr (h00 ) gh00 = g χr (h00 ) h00 = g er , n 00 n 00 gh ∈G

h ∈G

teh´ at er val´ oban centr´ alis eleme az algebr´ anak. Ha er ´es eq a k´et egyszer˝ ua ´br´ azol´ ashoz tartoz´ o kifejez´es, akkor er eq =

dr dq X X dr dq X X χr (h)χq (h0 ) hh0 = 2 χr (h)χq (h−1 g) g = 2 n n 0 −1 h∈G h ∈G

h∈G h

g∈G

dr dq X X dr dq X X = 2 χr (h)χq (h−1 g) g = 2 χr (h)χq (h−1 g) g . n n h∈G g∈G

g∈G h∈G

Az itt megjelen˝ o X

χr (h)χq (h−1 g) =

X

Dr (h)ii Dq (h−1 g)jj =

h∈G

h∈G

=

X

Dr (h)ii (Dq

h∈G

(h)∗ )

jk

!

X

Dr (h)ii Dq (h−1 )jk

h∈G

Dq (g)kj =

X

!

Dq (g)kj =

Dr (h)ii Dq (h)kj

h∈G

!

Dq (g)kj

alak az (1.3.2) ortogonalit´ ast felhaszn´ alva egyszer˝ us´ıthet˝ o: X

χr (h)χq (h−1 g) =

h∈G

´Igy er eq =

n n n δrq δik δij Dq (g)kj = δrq δkj Dq (g)kj = δrq χq (g) . dr dr dr

X dq dr dq X X χr (h)χq (h−1 g) g = δrq χq (g) g = δrq eq , 2 n n g∈G

g∈G h∈G

ami egyszerre bizony´ıtja er ´es eq projektor volt´ at valamint ortogonalit´ asukat. 

1.3.8 Megjegyz´ es. Ezek a projektorok r´eszmodulusokra vet´ıtenek, hiszen b´ armilyen g ∈ G elem hat´ asa nem visz ki az o ˝ alter¨ ukb˝ ol: gher CGi = ger hCGi = er ghCGi = er hCGi = her CGi . ´ ıt´ 1.3.9 All´ as. Az r-edik irreducibilis a ´br´ azol´ ashoz tartoz´ o er projektor CG-b˝ ol ´eppen a Vr r´eszmodulusok direkt¨ osszeg´ere vet´ıt. Bizony´ıt´ as. Az er projektor m´ atrixa a CG algebr´ aban (er )ab =

µqN µq1 µr M M M
dr X Dr ) ⊕ . . . ⊕ ( DqN ) ab , Dq 1 ) ⊕ . . . ⊕ ( (Dr (h))ii ( n h∈G

´br´ azol´ ast. Az (1.3.2) ortogahol az G CG direkt¨ osszeg µqi -szer tartalmazza a qi -edik irreducibilis a onalit´ as alapj´ an az a ´es b index azon ´ert´ekeire lesz az (er )ab m´ atrixelem 1, ahol a = b ´es ezek az indexek ´eppen az r-edik egyszer˝ u modulus m´ atrix´ at jel¨ olik ki az G CG direkt¨ osszegben.  11

1.3.10 Defin´ıci´ o. A G v´eges csoport konjug´ aci´ os oszt´ alya egy olyan A ⊂ G halmaz, hogy minden g ∈ G elemre gAg −1 = A teljes¨ ul, ´es minden h, h0 ∈ A tagj´ ahoz van olyan g ∈ G elem, hogy h0 = ghg −1 . A karakterek tr-sz´ armaztat´ as´ ab´ ol nyilv´ anval´ o, hogy egy karakter ´ert´eke egy konjug´ aci´ os oszt´ aly elemeire ugyanaz. ´ ıt´ 1.3.11 All´ as. A G v´eges csoportnak pontosan annyi inekvivalens irreducibilis a ´br´ azol´ asa van, mint ah´ any konjug´ aci´ os oszt´ alya. Bizony´ıt´ as. A CG csoportalgebra centrum´ at azok az elemek alkotj´ ak, melyek kommut´ alnak minden csoportelemmel, azaz az I. Schur-lemma alapj´ an minden egyszer˝ u moduluson a centrum elemei az identit´ as sz´ amszorosak´ent hatnak. N darab inekvivalens egyszer˝ u modulus eset´en pontosan N darab ilyen k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ amszorz´ o l´etezik, azaz a centrum dimenzi´ oja N . Legyenek A1 , . . . , AK a csoport konjug´ aci´ os oszt´ alyai. Ezek diszjunkt felbont´ as´ at alkotj´ ak G-nek, ez´ert a X h σ(Ai ) := h∈Ai

elemek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o i = 1 . . . K eset´en line´ arisan f¨ uggetlenek. Adott g ∈ G eset´en a A i → Ai ; h 7→ ghg −1 lek´epz´es bijekci´ o, ez´ert X X X gσ(Ai )g −1 = ghg −1 = ghg −1 = h0 = σ(Ai ) , h∈Ai

ghg −1 ∈Ai

h0 ∈Ai

azaz gσ(Ai ) = σ(Ai )g. A σ(Ai ) teh´ at K darab line´ arisan f¨ uggetlen elem a csoportalgebra centrum´ aban, ez´ert annak dimenzi´ oja = N ≥ K. Most azt is megmutatjuk, hogy N ≤ K. A K darab konjug´ aci´ os oszt´ alyon bel¨ ul a ´lland´ oG →C f¨ uggv´enyek tere K dimenzi´ os, ´es tudjuk, hogy a χ karakterek ilyen f¨ uggv´enyek. Azt is tudjuk viszont, hogy az N darab inekvivalens irreducibilis a ´br´ azol´ ashoz tartoz´ o karakter egym´ asra ortogon´ alis (az (1.3.2)-n´el karakterekkel fel´ırt kifejez´es skal´ arszorzata a karaktereknek). Ez´ert N ≤ K.  A Z2 csoportnak {e} ´es {f } a k´et konjug´ aci´ os oszt´ alya, S 3 -nak pedig {e}, {c, c2} ´es {t, tc, tc2 } az oszt´ alyai, teh´ at k´et illetve h´ arom inekvivalens irreducibilis a ´br´ azol´ asuk van. Ezeket az 1.2.12 ´es 1.2.13 p´eld´ akban meg is tal´ altuk. 1.3.12 T´ etel. (Burnside-t´etel) Legyen G v´eges csoport. Ekkor a G CG modulus fel´ırhat´ o egy olyan direkt¨ osszeg alakj´ aban, mely a G csoport o ¨sszes irreducibilis a ´br´ azol´ as´ at annyiszor tartalmazza, amennyi az adott a ´br´ azol´ as dimenzi´ oja. Bizony´ıt´ as. Sz´ amozzuk be a csoport elemeit az α eg´esz indexekkel, ´es vezess¨ uk be R n -en a hα ∈ G(α) nek megfelel˝ o fi := δαi b´ azisvektorokat. Ebben a b´ azisban a G CG modulus igen egyszer˝ uen a ´br´ azolhat´ o. Amennyiben g ∈ G nem a csoport e egys´egeleme, akkor az o ˝t a ´br´ azol´ o m´ atrixnak ebben a b´ azisban nem lesz diagon´ alis eleme, hiszen az azt jelenten´e, hogy van olyan h α elem a csoportban, hogy ghα = hα , ´es hα invert´ alhat´ os´ aga miatt ezt kiz´ arja, hogy g 6= e. Ha viszont g = e, akkor a ´br´ azol´ asi m´ atrixa az n × n-es egys´egm´ atrix, ahol n a csoport rendje. Ez´ert a G CG modulus karaktere χ(g) = nδe,g alak´ u. A G CG modulus v´eges dimenzi´ os, ez´ert f´elegyszer˝ u, azaz minden a ´br´ azol´ asa ekvivalens a (

µq1 M

Dq 1 ) ⊕ . . . ⊕ (

µr M

µqN

Dr ) ⊕ . . . ⊕ (

M

Dq N )

direkt¨ osszeggel, melyben a qi -edik illetve r-edik irreducibilis a ´br´ azol´ as µqi -szer illetve µr -szer szerepel. Ezek alapj´ an (´es az 1.3.2 a ´ll´ıt´ as szerint) a G CG modulus karaktere (mely minden m´ atrix´ abr´ azol´ as´ ara ugyanannyi) χ(g) = µq1 χq1 (g) + · · · + µr χr (g) + · · · + µqN χqN (g) , 12

´es ez megegyezik nδe,g -vel: µq1 χq1 (g) + · · · + µr χr (g) + · · · + µqN χqN (g) = nδe,g . ¨sszegezz¨ unk g-re: Szorozzuk be ezt az egyenl˝ os´eget χr (g)-al ´es o X g


X χr (g) µq1 χq1 (g) + · · · + µr χr (g) + · · · + µqN χqN (g) = χr (g)nδe,g . g

A bal oldalon a szoroz´ ast elv´egezve ´es alkalmazva az (1.3.2) ortonorm´ alts´ agot nµr = χr (e)n = χr (1dr ×dr )n = dr n , ´ıgy µr = dr -szer szerepel a Dr irreducibilis a ´br´ azol´ as a G CG modulusban.  Az 1.2.12 ´es 1.2.13 p´eld´ ak sz´epen illusztr´ alj´ ak ennek a t´etelnek a megval´ osul´ as´ at. Az eddigiek alapj´ an teh´ at nem t´ ul nagy v´eges csoportok eset´en meg lehet n´ezni a konjug´ aci´ os oszt´ alyokat, abb´ ol az inekvivalens irreducibilis a ´br´ azol´ asok sz´ am´ at, az a ´br´ azol´ asok dimenzi´ oinak n´egyzet¨ osszege kiadja G CG dimenzi´ oj´ at, azaz a csoport rendj´et. Ebb˝ ol a t´enyb˝ ol ´es a karakterek ortogonalit´ as´ ab´ ol az irreducibilis a ´br´ azol´ asok karaktereire lehet k¨ ovetkeztetni, amelyek seg´ıts´eg´evel el˝ oa ´ll´ıthat´ ok az er centr´ alis projektorok. Ezek m´ ar az egyes irreducibilis a ´br´ azol´ asok ”µ r ”-szeres direkt¨ osszegeinek alter´ere vet´ıtenek, ahol a ´ltal´ aban m´ ar nem t´ ul neh´ez meghat´ arozni mag´ at az irreducibilis a ´br´ azol´ ast.

13

2. Reprezent´aci´ oelm´elet Bizonyos matematikai eszk¨ oz¨ ok alapvet˝ o tulajdons´ agait a kateg´ ori´ ak foglalj´ ak o ¨ssze. Mi itt a kateg´ ori´ ak fogalm´ at nem defini´ aljuk, mindazon´ altal a csoport´ abr´ azol´ asokr´ ol c´elszer˝ u n´eh´ any fontos tulajdons´ agot ezen a nyelven megfogalmazni. 2.1. A reprezent´ aci´ os kateg´ oria 2.1.1 Defin´ıci´ o. Legyen G v´eges csoport, A a csoportalgebra (egy K test felett). A ModA kateg´ ori´ at az objektumok, nyilak, ´es a kompoz´ıci´ o m˝ uvelet alkotj´ ak, ahol – az objektumok a v´eges dimenzi´ os bal A-modulusok; – az A V ´es A W modulusok k¨ ozti nyilak vagy intertwinerek T : V → W homomorfizmusok u ´gy, hogy minden a ∈ A ´es v ∈ V elemre T (av) = aT v teljes¨ ul; ez ut´ obbi felt´etel azt jelenti, hogy m´ atrix´ abr´ azol´ as eset´en T DV (a) = DW (a)T ; – a T : U → V ´es S : V → W nyilak kompoz´ıci´ oja S ◦ T : U → W a szok´ asos f¨ uggv´enykompoz´ıci´ o, szint´en ny´ıl. Minden A V modulushoz l´etezik az 1V egys´egny´ıl, amely a V a ´br´ azol´ asi t´er identit´ asa, ´ıgy b´ armely V -r˝ ol indul´ o ny´ıllal jobbr´ ol kompon´ alva, illetve V -be ´erkez˝ o ny´ıllal balr´ ol kompon´ alva nem v´ altoztat azokon. 2.1.2 Defin´ıci´ o. K´et objektum monoid´ alis szorzat´ anak nevezz¨ uk a k´et modulus tenzorszorzat´ at. 2.1.3 Defin´ıci´ o. Legyen T1 : V1 → W1 ´es T2 : V2 → W2 ny´ıl. Ekkor e nyilak monoid´ alis szorzata T1 ⊗ T2 : V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2 ; v1 ⊗ v2 7→ T v1 ⊗ T v2 szint´en ny´ıl. 2.1.4 Megjegyz´ es. A monoid´ alis szorzatokra igazak a k¨ ovetkez˝ o egyszer˝ u tulajdons´ agok ( A V , A U, A W objektumok): (i) (asszoci´ aci´ o) U ⊗ (V ⊗ W ) = (U ⊗ V ) ⊗ W illetve T1 ⊗ (T2 ⊗ T3 ) = (T1 ⊗ T2 ) ⊗ T3 . (ii) (interchange law) Ha T1 , T2 , S1 , S2 nyilak olyan terek k¨ oz¨ ott hatnak, hogy T1 ◦S1 ´es T2 ◦S2 ´ertelmes, akkor (T1 ⊗ T2 ) ◦ (S1 ⊗ S2 ) is ´ertelmes ´es megegyezik (T1 ◦ S1 ) ⊗ (T2 ◦ S2 )-vel. (iii) 1V ⊗ 1W = 1V ⊗W . (iv) Ha A I a monoid´ alis egys´eg, az a modulus, ami minden a ∈ A elemhez az 1 ∈ C sz´ amot rendeli, ´es 1I az o ˝ egys´egnyila, akkor I ⊗ V = V ⊗ I = V ´es minden T ny´ılra 1I ⊗ T = T ⊗ 1I = T . A tov´ abbiakban a modulusok a ´br´ azol´ asi tere Hilbert-t´er, ´es az a ´br´ azol´ asok unit´erek lesznek: 2.1.5 Defin´ıci´ o. A reprezent´ aci´ o kateg´ oria RepA ModA unit´er modulusaib´ ol, azok nyilaib´ ol ´es a kompoz´ıci´ o m˝ uveletb˝ ol a ´ll. 2.1.6 Defin´ıci´ o. A V feletti ( , )V illetve W feletti ( , )W skal´ arszorz´ asok seg´ıts´eg´evel egy T : V → W ny´ıl adjung´ altja legyen az a T ∗ : W → V lek´epz´es, amelyre minden v ∈ V, w ∈ W eset´en (T ∗ w, v)V = (w, T v)W teljes¨ ul. ´ ıt´ 2.1.7 All´ as. T ∗ is intertwiner, ´es az S, T nyilakra (i) ha T ◦ S ´ertelmes, akkor (T ◦ S)∗ = S ∗ ◦ T ∗ ; (ii) (T ⊗ S)∗ = T ∗ ⊗ S ∗ ; (iii) 1∗V = 1V . Bizony´ıt´ as. T ∗ intertwiner volt´ ahoz meg kell mutatni, hogy line´ aris, illetve hogy az a algebra-elem hat´ as´ aval felcser´elhet˝ o. u ∈ U ; v, v1 , v2 ∈ V ; w, w1 , w2 ∈ W ; z ∈ Z eset´en T ∗ (λ1 w1 + λ2 w2 ), v




V

= (λ1 w1 + λ2 w2 ), T v




W

= λ1 (w1 , T v)W + λ2 (w2 , T v)W =

= λ1 (T ∗ w1 , v)V + λ2 (T ∗ w2 , v)V = (λ1 T ∗ w1 + λ2 T ∗ w2 , v)V , 14

ami a skal´ arszorzat nem degener´ alts´ aga miatt T ∗ linearit´ as´ at jelenti. Kihaszn´ alva a modulusok unit´ers´eg´et

T ∗ (aw), v V = (aw, T v)W = (w, a∗ T v)W = w, T (a∗ v) W = (T ∗ w, a∗ v)V = (aT ∗ w, v)V , teh´ at T ∗ felcser´el az a-hat´ assal. (i) S : U → V ; T : V → W eset´en minden u ∈ U -ra
(T ◦ S)∗ w, u U = (w, T ◦ Su)W = (T ∗ w, Su)V = (S ∗ ◦ T ∗ w, u)U .

(ii) S : U → Z ; T : V → W eset´en

(T ⊗ S)∗ (w ⊗ z), v ⊗ u V ⊗U = w ⊗ z, (T ⊗ S)(v ⊗ u) =
= w ⊗ z, (T v) ⊗ (Su) W ⊗Z = (w, T v)W (z, Su)Z = (T ∗ w, v)V (S ∗ z, u)U =

= (T ∗ w) ⊗ (S ∗ z), v ⊗ u V ⊗U = (T ∗ ⊗ S ∗ )(w ⊗ z), v ⊗ u V ⊗U . (iii)

(1∗V v1 , v2 )V = (v1 , 1V v2 )V = (v1 , v2 )V = (1V v1 , v2 )V .



2.1.8 Defin´ıci´ o. T : V → W – monomorfizmus, ha minden S : U → V ny´ılra T ◦ S = 0 ⇒ S = 0; – epimorfizmus, ha minden S : W → U ny´ılra S ◦ T = 0 ⇒ S = 0; – izomorfizmus, ha l´etezik S : W → V ny´ıl, hogy T ◦ S = 1W ´es S ◦ T = 1V . Ekkor azt mondjuk, hogy A V ´es A W izomorfak. ModA-ban az a ´br´ azol´ asok ekvivalenci´ aja intertwiner l´etez´es´et jelentette a modulusok k¨ oz¨ ott. Azonban ha ModA-nak ”unit´er r´esz´et”, azaz RepA-t n´ezz¨ uk, ott az unit´erekvivalencia lesz fontos, amikor a k´et modulus k¨ oz¨ otti intertwiner unit´er. A k¨ ovetkez˝ oa ´ll´ıt´ as szerint ez a k´et fogalom nem k¨ ul¨ onb¨ ozik egym´ ast´ ol: ´ ıt´ 2.1.9 All´ as. Ha RepA-ban k´et modulus ekvivalens, akkor unit´erekvivalens is. Bizony´ıt´ as. Legyen T : U → V invert´ alhat´ o intertwiner. Megmutatjuk, hogy ekkor l´etezik S : U → V unit´er intertwiner is. A skal´ arszorz´ as ´es az adjung´ al´ as defin´ıci´ oja valamint T invert´ alhat´ os´ aga alapj´ an k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy Y := T ∗ T : U → U pozit´ıv line´ aris lek´epz´es. Ez´ert elk´esz´ıthet˝ o a gy¨ oke, melyet u ´gy kapunk, hogy m´ atrix´ at egy O b´ azistranszform´ aci´ oval diagonaliz´ aljuk, a kapott pozit´ıv elemekb˝ ol gy¨ ok¨ ot vonunk, majd O −1 -el az eredeti b´ azisba visz1 szatranszform´ aljuk. Az ´ıgy kapott Y 2 : U → U pozit´ıv lek´epz´es invert´ alhat´ o. Most meg1 mutatjuk, hogy az invert´ al´ as ut´ an kapott Y − 2 lek´epz´es intertwiner. Tudjuk, hogy az U → U folytonos line´ aris lek´epz´esek L(U ) halmaz´ anak b´ armilyen (oper´ atornorma szerint) korl´ atos r´esz´en 1 az L(U ) → L(U ) ; X 7→ X − 2 lek´epz´es egyenletesen k¨ ozel´ıthet˝ o valamilyen Pn : L(U ) → L(U ) n1 edfok´ u polinommal. Ha L(U )-nak ebbe a korl´ atos r´esz´ebe Y is beleesik, akkor az Y − 2 − Pn (Y ) oper´ ator norm´ aja tart null´ ahoz, ahogy n tart v´egtelenhez. Ha a a csoportalgebra elem´enek hat´ asa (U → U folytonos line´ aris lek´epz´es), akkor az el˝ obbi oper´ ator norm´ aja a-val kompon´ alva is tart null´ ahoz. Az oper´ atornorma h´ aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´eg´eb˝ ol kaphatjuk, hogy minden n ∈ N-re
1 1 ||[a, Y − 2 ]|| ≤ ||[a, Y − 2 − Pn (Y ) ]|| + ||[a, Pn (Y )]|| . A jobb oldalon a m´ asodik tag minden n-re nulla, hiszen Y intertwiner, ´es minden v´eges polinomja is az, az els˝ o tag pedig az el˝ obbiek alapj´ an tart null´ ahoz, ha n 7→ ∞. Ez´ert elv´egezve ezt a 1 1 hat´ ar´ atmenetet azt kapjuk, hogy a felcser´el Y − 2 -vel, azaz Y − 2 intertwiner. Pn seg´ıts´eg´evel azt is − 12 k¨ onnyen megkaphatjuk, hogy Y o ¨nadjung´ alts´ aga miatt Y is o ¨nadjung´ alt oper´ ator. 1 1 Legyen most S := T Y − 2 = T (T ∗ T )− 2 . Az eddigiek alapj´ an teh´ at ez U → V intertwiner. S ugyanakkor unit´er is: 1

1

S S ∗ = T (T ∗ T )− 2 (T ∗ T )− 2 T ∗ = T (T ∗ T )−1 T ∗ = T T −1 (T ∗ )−1 T ∗ = 1U 15



2.2. A 3j- ´ es a 6j-szimb´ olumok A fizik´ aban o ¨sszetett rendszerek eset´en gyakran el˝ ofordul, hogy sz¨ uks´eg¨ unk van annak ismeret´ere, hogyan hat´ arozhat´ o meg a rendszer egy szimmetri´ aval kapcsolatos fizikai mennyis´ege r´eszrendszereinek hasonl´ o mennyis´egeib˝ ol. Ilyen eset p´eld´ aul t¨ obbr´eszecsk´es rendszerek spinj´enek (vagy ak´ ar izospinj´enek, sz´ın´enek, ´ız´enek...) fel´ır´ asa. Ekkor azt a feladatot kell megoldanunk, hogy a r´eszrendszereknek megfelel˝ o szimmetriacsoport-modulusok tenzorszorzataiban az eg´esz rendszer egy bonyolultabb modulus´ anak vektorait azonos´ıthassuk viselked´es¨ uk alapj´ an. Az itt szerepl˝ o f´elegyszer˝ u modulusok dekompon´ al´ asa ut´ an a feladat egyszer˝ u modulusok tenzorszorzata vektorainak m´ as egyszer˝ u modulusok vektoraival val´ o megfeleltet´es´ere korl´ atoz´ odik. Az ilyen megfeleltet´eseket ´ırj´ ak le a 3j-szimb´ olumok, melyek tartalmazz´ ak az u ´n. Klebsh-Gordan egy¨ utthat´ okat. 2.2.1 Defin´ıci´ o. Legyenek {Vα }N u a ´br´ azol´ asainak terei. A α=1 a G csoport inekvivalens egyszer˝ γ Vγ → Vα ⊗ Vβ intertwinerek Tαβ halmaz´ an tekints¨ uk a γ γ Tαβ × Tαβ → End(Vγ ) ; (T1 ; T2 ) 7→ T1∗ ◦ T2

lek´epz´est. Mivel Vγ egyszer˝ ua ´br´ azol´ asi t´er ´es rajta a T1∗ ◦ T2 intertwiner kommut´ al minden g ∈ G csoportelem hat´ as´ aval, ez´ert az I. Schur-lemma alapj´ an T1∗ ◦ T2 = λ1γ . Jel¨ olj¨ uk ezt a λ ∈ C sz´ amot (T1 , T2 )-vel. Ekkor a γ γ Tαβ × Tαβ → C ; (T1 ; T2 ) 7→ (T1 , T2 ) lek´epz´es – els˝ o v´ altoz´ oj´ aban konjug´ alt line´ aris, m´ asodikban line´ aris; – v´ altoz´ oinak felcser´el´es´ere ´ert´eke komplex konjug´ al´ odik; γ – nem degener´ alt, hiszen ha minden T ∈ Tαβ -re (T1 , T ) = 0, akkor T := T1 -re ´es minden v ∈ Vγ vektorra

0 = (v, v)Vγ (T1 , T1 ) = v, (T1 , T1 )1Vγ · v Vγ = v, (T1∗ ◦ T1 )v Vγ = (T1 v, T1 v)Vγ , teh´ at T1 v = 0, azaz T1 = 0; – pozit´ıv definit, mert minden v ∈ Vγ vektorra

(v, v)Vγ (T1 , T1 ) = v, (T1 , T1 )1Vγ · v Vγ = v, (T1∗ ◦ T1 )v Vγ = (T1 v, T1 v)Vγ ≥ 0 .

γ γ γ Ez´ert a fenti lek´epz´es egy skal´ arszorzat Tαβ -n. ´Igy Tαβ Hilbert-t´er, dimenzi´ oja legyen Nαβ , ´es γi γ legyen rajta (Tαβ )i=1..Nαβ ortonorm´ alt b´ azis, melynek vektorait 3j-szimb´ olumoknak is nevezik. Ezeket a b´ azisokat egy a ´br´ aval is szokt´ ak reprezent´ alni:

γ i α

β

δ ´ ıt´ 2.2.2 All´ as. A Vδ → Vα ⊗ Vβ ⊗ Vγ intertwinerek Tαβγ tere az el˝ obbi konstrukci´ ohoz hasonl´ oan szint´en Hilbert-t´er, melyen ortonorm´ alt b´ azis a  εi δj ε δ (Tαβ ⊗ 1γ ) ◦ Tεγ | ε = 1..N, i = 1..Nαβ , j = 1..Nεγ

rendszer, valamint egy m´ asik ortonorm´ alt b´ azis a  εi δj ε δ (1α ⊗ Tβγ ) ◦ Tαε | ε = 1..N, i = 1..Nβγ , j = 1..Nαε 16

rendszer (N az inekvivalens irreducibilis a ´br´ azol´ asok sz´ ama). Azonban az ε index nem mindig fut v´egig az o ¨sszes irreducibilis a ´br´ azol´ ason, hiszen lehet, hogy az ε ´es γ illetve az ε ´es α a ´br´ azol´ asok szorzat´ aban nem jelenik meg a δ a ´br´ azol´ as. Bizony´ıt´ as. Legyenek u, v ∈ Vδ , ekkor 

(2.2.1)

εi δj (Tαβ ⊗ 1γ ) ◦ Tεγ


∗

 0
ε0 i 0 ◦ (Tαβ ⊗ 1γ ) ◦ Tεδj0 γ v , u = Vδ   00 0 εi εi δj = (Tαβ ⊗ 1γ )(Tεδj0 γ v) , (Tαβ ⊗ 1γ )(Tεγ u)

Vα ⊗Vβ ⊗Vγ

0

δj ok A Tεδj0 γ v illetve Tεγ u Vε0 ⊗ Vγ illetve Vε ⊗ Vγ -beli elemek kifejthet˝

P ab

za0 ⊗ wb0 illetve

alakban, ahol minden a, b, c, d indexre za0 ∈ Vε0 ; zc ∈ Vε ; wb0 , wd ∈ Vγ , ´ıgy (2.2.1) X

=

abcd

=

0 0

εi εi (Tαβ za0 ) ⊗ wb0 , (Tαβ zc ) ⊗ w d

X

0 0

εi εi Tαβ za0 , Tαβ zc

abcd



Vα ⊗Vβ



Vα ⊗Vβ ⊗Vγ

(wb0 , wd )Vγ =

P cd

.

zc ⊗ w d

=

X

abcd

0 0

εi ∗ εi za0 , (Tαβ ) ◦ Tαβ zc



Vε 0

(wb0 , wd )Vγ .

0 0

εi ∗ εi onnyen bel´ athat´ o, hogy a magja A megjelen˝ o (Tαβ ) ◦ Tαβ kombin´ aci´ o egy Vε → Vε0 intertwiner. K¨ 0 0 εi ∗ εi Vε -ben illetve a (Tαβ ) ◦ Tαβ hVε i halmaz Vε0 -ben invari´ ans alterek a csoporthat´ asra n´ezve, melyek trivialit´ as´ at kihaszn´ alva kider¨ ul, hogy ez az intertwiner vagy a nulla lek´epz´es, vagy bijekci´ o. Az εi b´ azis ut´ obbi esetben a II. Schur-lemma alapj´ an Vε ´es Vε0 ekvivalensek, azaz ε = ε0 . Ez´ert a Tαβ ortogonalit´ as´ at is felhaszn´ alva 0 0

0

εi ∗ εi εi ∗ εi (Tαβ ) ◦ Tαβ = δεε0 (Tαβ ) ◦ Tαβ = δεε0 δii0 1ε .

Ezzel (2.2.1) =

X

δεε0 δii0 (za0 , zc )Vε (wb0 , wd )Vγ =

abcd

=δ

εε0

δ

ii0

X

abcd

 0  δj δj Tεγ v , Tεγ u

Vε ⊗Vγ

δεε0 δii0 (za0 ⊗ wb0 , zc ⊗ wd ) =

  δj 0 ∗ δj ) Tεγ u = δεε0 δii0 v , (Tεγ

Vδ

= δεε0 δii0 δjj 0 (v , u)Vδ ,

ami a skal´ arszorzat tulajdons´ agai alapj´ an ekvivalens az εi δj (Tαβ ⊗ 1γ ) ◦ Tεγ


∗

0
ε0 i 0 ◦ (Tαβ ⊗ 1γ ) ◦ Tεδj0 γ = δεε0 δii0 δjj 0 1δ

egyenl˝ os´eggel. Eg´eszen hasonl´ o m´ odon bizony´ıthat´ o az a ´ll´ıt´ asban szerepl˝ o m´ asik t´ıpus´ u b´ azis ortogonalit´ asa is.  Ezekhez a b´ azisokhoz szint´en egyszer˝ ua ´br´ akat tudunk rendelni: δ

ε

δ j

γ

j

α

i α

ε i

β

β

εi δj (Tαβ ⊗ 1γ ) ◦ Tεγ

εi δj (1α ⊗ Tβγ ) ◦ Tαε

17

γ

δ 2.2.3 Megjegyz´ es. A k´etfajta b´ azis szerint a Tαβγ Hilbert-t´er dimenzi´ oja k´etf´elek´eppen ´ırhat´ o fel, amib˝ ol X X ε δ ε δ Nβγ Nαε . Nαβ Nεγ = ε

ε

2.2.4 Defin´ıci´ o. A k´etfajta b´ azisb´ ol o ¨ssze´ all´ıthat´ o εi δj (Tαβ ⊗ 1γ ) ◦ Tεγ


∗

ηk δl ◦ (1α ⊗ Tβγ ) ◦ Tαη




Vδ → Vδ intertwiner az I. Schur-lemma alapj´ an megint csak az identit´ as sz´ amszorosa lehet. (G¨ or¨ og bet˝ uk jel¨ olik az egyes inekvivalens irreducibilis a ´br´ azol´ asokat, a latin indexek pedig a megfelel˝ oT intertwiner-terek b´ azisait indexelik.) Ez´ert defini´ alhatjuk az F 6j-szimb´ olumot a k¨ ovetkez˝ ok´eppen: 1δ · F


δ ik η αβγ ε jl

εi δj = (Tαβ ⊗ 1γ ) ◦ Tεγ


∗

ηk δl ◦ (1α ⊗ Tβγ ) ◦ Tαη




.

Ez a 6j-szimb´ olum teh´ at r¨ ogz´ıtett δ, α, β, γ mellett egy komplex elemekb˝ ol a ´ll´ o m´ atrixk´ent k´epzelhet˝ o el, melynek ”els˝ o indexe” az i, ε, j h´ armas, ”m´ a sodik” a k, η, l h´ a rmas. Mivel k´et ortonorm´ alt
b´ azisrendszer tagjaib´ ol raktuk o ¨ssze, F αδβγ unit´er m´ atrix (azon az alt´eren, ahol az ε ´es η indexekben nem nulla). ´ 2.2.5 P´ elda. Legyen G az n elem˝ u Abel-csoport: G = {gj }j=0..n−1

;

gj · gk = gk · gj = gj+k

(Mod n)

;

g0 := e .

´ (Abel-csoport eset´en az elemek kommut´ al´ asa miatt minden elem o ¨nmag´ aban egy-egy konjug´ aci´ os oszt´ alyt alkot, ez´ert a csoportnak annyi inekvivalens irreducibilis a ´br´ azol´ asa van, mint amennyi a ´ rendje. Az a ´br´ azol´ asok dimenzi´ oinak n´egyzet¨ osszege kiadja a csoport rendj´et, ez´ert Abel-csoport minden irreducibilis a ´br´ azol´ asa egydimenzi´ os, vagyis megegyezik a karakter´evel.) A csoport γ-adik irreducibilis a ´br´ azol´ asa – jelen esetben a γ-adik karaktere legyen (γ = 0..n − 1 ; j = 0..n − 1 ; i a komplex egys´eggy¨ ok) i2π χγ : G → C ; gj 7→ e n γj . Ezek a karakterek annyian vannak, amennyi a csoport rendje, azaz konjug´ aci´ os oszt´ alyainak sz´ ama, ´es tudj´ ak a megfelel˝ o (1.3.2) ortonorm´ alts´ agi rel´ aci´ okat: n−1 X

χγ (gj )χδ (gj ) =

j=0

n−1 X

i2π e n (δ−γ)j

j=0

  n, = e2iπ(δ−γ) − 1  2iπ = 0, e n (δ−γ) − 1

ha δ = γ, ha δ 6= γ.

K´et a ´br´ azol´ as tenzorszorzata ekvivalens egy harmadikkal: χα ⊗ χβ : gj 7→ e

2iπ αj n

⊗e

2iπ βj n

=e

2iπ (α+β)j n

= χα+β (gj ) .

γ Ez´ert azt v´ arjuk, hogy a Tαβ intertwiner akkor nem lesz nulla, ha α + β = γ (Mod n). Val´ oban, a γ Tαβ : C → C line´ aris lek´epz´esnek az intertwinerek defin´ıci´ oja szerint x ∈ C eset´en ki kell el´eg´ıtenie a γ γ γ (χα ⊗ χβ )(gj ) Tαβ (x) = χα+β (gj ) Tαβ (x) = Tαβ (χγ (gj ) x) ,

azaz az e

2iπ (α+β)j n

γ γ Tαβ (x) = Tαβ (e

2iπ γj n

x) = e

2iπ γj n

γ Tαβ (x)

γ γ egyenl˝ os´eget (az utols´ o l´ep´esben kihaszn´ alva T linearit´ as´ at). Ez´ert T αβ (x) = δα+β · uγαβ · x alak´ u, γ ahol T norm´ alts´ aga miatt az uαβ komplex sz´ am egys´egnyi abszol´ ut ´ert´ek˝ u. (Term´eszetesen az

18

γ α + β-hoz hasonl´ oo ¨sszegek Mod n ´ertend˝ ok.) J´ ol l´ athat´ o, hogy a T αβ t´er csak egydimenzi´ os, ´ıgy ezen intertwiner teret indexel˝ o latin indexre nincs sz¨ uks´eg¨ unk. γ N´ezz¨ uk meg most a Tαβε t´er feljebb defini´ alt b´ azisait:


η γ γ γ η γ (x) = uηαβ δα+β uγηε δη+ε x = uηαβ uγηε δα+β+ε δη+ε x , (Tαβ ⊗ 1ε ) ◦ Tηε

´es


γ γ γ γ ν ν (1α ⊗ Tβε ) ◦ Tαν x = uνβε uγαν δα+β+ε δα+ν x . (x) = uνβε δβ+ε uγαν δα+ν

γ A Tαβε t´er is egydimenzi´ os, hiszen az els˝ o b´ azisban η, a m´ asodikban ν csak egyetlen ´ert´ek´ere lesz a b´ azisvektor null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o. Ez´ert trivi´ alis m´ odon teljes¨ ul a fenti b´ azisok ortonorm´ alts´ aga. A megfelel˝ o 6j-szimb´ olum defin´ıci´ oja szerint

1γ · F

γ
ην αβε

η γ = (Tαβ ⊗ 1ε ) ◦ Tηε


∗


γ γ γ ν γ δη+ε δα+ν ◦ (1α ⊗ Tβε ) ◦ Tαν = 1γ · uηαβ uγηε uνβε uγαν δα+β+ε

egy 1 × 1-es m´ atrix (amikor η = γ − ε ´es ν = γ − α), ´es az u szorz´ ok unit´ers´ege miatt ezen az alt´eren unit´er.  δ A Tαβγ t´er b´ azisaihoz hasonl´ oan 6j-szimb´ olumait is a ´br´ akkal reprezent´ aljuk. Ha

1δ · F akkor F


δ ik η αβγ ε jl


δ ik η αβγ ε jl

δj εi = (Tαβ ⊗ 1γ ) ◦ Tεγ


∗

ηk δl ◦ (1α ⊗ Tβγ ) ◦ Tαη




,

-hoz a b´ azisvektor konjug´ al´ as´ at ford´ıtott a ´ll´ as´ ua ´br´ aval figyelembe v´eve a k¨ ovet-

kez˝ ot rendelj¨ uk:

δ l α

η k

β

γ

i ε

j δ

δ A tov´ abbiakban a Tαβγ t´er b´ azisainak ´es az F δ 


i k

δ η αβγ ε jl

m´ atrixnak m´ asfajta a ´br´ ait fogjuk haszn´ alni: δ  I 6@

6 α

γ

@ε @

α

@

η ?





β (1α ⊗

ηk Tβγ )

@

γ @

@ @ ?

β ◦

δl Tαη

εi (Tαβ

Az ezekb˝ ol o ¨sszerakhat´ o F m´ atrix a ´br´ aja pedig 19

δj ⊗ 1γ ) ◦ Tεγ

δ

 I 6@ α

@ε @

@

η  F


i k

δ η αβγ ε jl

@

γ @

@ @ ?

β

εi δj = (Tαβ ⊗ 1γ ) ◦ Tεγ


∗

ηk δl ◦ (1α ⊗ Tβγ ) ◦ Tαη




δj Ezekben az a ´br´ akban teh´ at pl. a Tεγ intertwinernek egy h´ aromsz¨ og felel meg δ, ε, γ jel˝ u oldalakkal, melyek nyilaz´ asa mindk´et u ´ton a δ oldal egyik v´egpontj´ at´ ol a m´ asik fel´e mutat. Az intertwiner j index´et az eg´esz h´ aromsz¨ og viseli. E rajzok szerint is szeml´eletes az F m´ atrix hat´ asa: a bal oldali a ´bra u ´gy kaphat´ o, hogy a jobb oldalit (jobbr´ ol) szorzzuk az F m´ atrixnak megfelel˝ o a ´br´ aval, ´es o ¨sszegz¨ unk az a ´br´ akb´ ol elt˝ un˝ o ε indexre, valamint az ε oldal elt˝ un´es´evel megsz˝ un˝ o k´et h´ aromsz¨ og latin index´ere. ε Ilyen a ´br´ ak seg´ıts´eg´evel ´ırhat´ ok fel az u ´gynevezett pentagon-egyenletek. Tekints¨ uk a T αβγδ Vε → Vα ⊗ Vβ ⊗ Vγ ⊗ Vδ intertwinerek ter´et. Ebben t¨ obbfajta b´ azis ´ep´ıthet˝ o fel eddigi egyszer˝ u b´ azisainkb´ ol. A kiindul´ asunk legyen az ε  B  B    B    B  α µ Bδ η   B     B   = BN    H Y   HH 

 HH   β HH  γ 

intertwiner (az egyes h´ aromsz¨ ogek latin indexeit nem ´ırtuk ki). Ez megegyezik az ε  B  B   B    B  µ α Bδ   B    B  = ν BN   H YH  HH  γ β HHH   µ
intertwiner ´es az F β γδ νη m´ atrix szorzat´ aval, o ¨sszegezve a ν indexre, ´es F ν alatt ´es felett ki nem ´ırt latin indexeire. Ebben a l´ep´esben teh´ at a µ β γ δ n´egysz¨ ognek megfelel˝ o F m´ atrixszal t´ert¨ unk µ a ´t az egyik fajta Tβγδ -beli b´ azisr´ ol a m´ asik fajt´ ara. Az elj´ ar´ ast u ´jabb n´egysz¨ ogekre alkalmazva az eredeti intertwiner tov´ abb egyenl˝ o

20

  α   







ε } Z

Z

B B

Z %Z

B

B ·F Bδ Z Z B Z B ν  BN   Y H  HH  HH  β HH   γ 

·F

%
ϕν αβγ

·F

µ
νη β γδ

=

ε

B B }  MB Z Z B  B Z B ·F %  Z B α Bδ Z  B ϕ Z B  B Z B  B BN  B  H Y  HH B  HH   γ β HH   




ε %µ ανδ




ε %µ ανδ

·F

µ
νη β γδ

.

Azonban az eredeti intertwinert m´ as u ´ton is alak´ıthatjuk; ´ıgy az = ε  B  B  BM  B 
B  B ·F αεβη ϕµ = α δ B  B  ϕB η B  B  B  B  BN   H YH B    HH B

  H  β HH  γ  

ε

B B }  MB Z Z B  B Z B ·F %Z B α Bδ Z  B Z ϕ B  B Z B  B BN  B  YH H  B HH   H  γ β HH   

ε
%η ϕγδ

·F

ε
ϕµ αβη

.

A k´etf´ele eredm´eny o ¨sszehasonl´ıt´ as´ ab´ ol F

%
ϕν αβγ

·F




ε %µ ανδ

·F

µ
νη β γδ

=F

ε
%η ϕγδ

·F

ε
ϕµ αβη

,

ezt h´ıvj´ ak pentagon-egyenletnek. Az elj´ ar´ as sor´ an ´es ´ıgy a pentagon-egyenletben is o ¨sszegezni kell a ν k¨ ozben megjelent majd elt˝ unt ´elre, valamint az a ´ltala keletkezett u ´j majd elt˝ un˝ o h´ aromsz¨ ogek ki nem ´ırt latin indexeire. 21

2.3. A rigidit´ as intertwinerek 2.3.1 Defin´ıci´ o. A (C, ◦, ⊗) reprezent´ aci´ o kateg´ ori´ aban legyen V ´es Vb objektum. Ha I a monoid´ alis egys´eg (2.1.4), ´es l´etezik egy d b RV : I → Vb ⊗ V ´es egy R V : I →V ⊗V

intertwiner u ´gy, hogy

∗

∗

RV ) ◦ (RV ⊗ 1Vb ) = 1Vb , (d RV ⊗ 1V ) ◦ (1V ⊗ RV ) = 1V ´es (1Vb ⊗ d

akkor Vb a V objektum konjug´ altja vagy du´ alisa, ´es RV a rigidit´ as intertwiner.

2.3.2 P´ elda. Legyen ubi illetve ui a Vb illetve V egyforma dimenzi´ os terek b´ azisa, ´es X b RV : I → V ⊗ V ; λ 7→ λ ubi ⊗ ui . i

Koordin´ at´ azzuk le a V ´es Vb tereket, ´ıgy megkaphatjuk a G V modulus DV m´ atrix´ abr´ azol´ as´ at, ˆ ˆ at´ azott alakj´ an) bevezetvalamint R koordin´ at´ azott alakj´ at: R ii = δ ii . Vb -n (pontosabban koordin´ j¨ uk DV kontragradiens a ´br´ azol´ as´ at: −1 | ^ DVb : g 7→ D ) , V (g) := DV (g

ahol D| a m´ atrix transzpon´ altj´ at jel¨ oli. K¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy ez val´ oban a ´br´ azol´ asa a csoportnak. Legyen tov´ abb´ a a G I monoid´ alis egys´eg a trivi´ alis (minden csoportelemhez egyet rendel˝ o) a ´br´ azol´ as C-n. Ekkor !ˆjj X
ˆji
ji ˆ jj (DVb ⊗V (g) R) = DVb (g)ubi ⊗ DV (g)ui = DVb (g) DV (g) = i

= DV (g −1 )


iˆj

DV (g)


ji

= DV (gg −1 )


jˆj

ˆ

ˆ

ˆ

= δ j j = Rjj = Rjj · DI (g) ,

d ez´ert ez a lek´epz´es intertwiner. L´etezik hozz´ a a megfelel˝ oR V intertwiner is: X d b RV : I → V ⊗ V ; λ 7→ λ ui ⊗ ubi , i

mert

∗

(d RV ⊗ 1V ) ◦ (1V ⊗ RV )

X

λi ui

i

!

∗

= (d RV ⊗ 1V ) ◦ (1V ⊗ RV )

X i

   X X = (d RV ⊗ 1 V )  ui ⊗ λi ubj ⊗ uj  = ∗

i

=

XX i

j

j

∗

d λi R bj ) ⊗ uj = V (ui ⊗ u

´es hasonl´ o m´ odon a m´ asik megk¨ ovetelt egyenl˝ os´eg is teljes¨ ul. 

ui ⊗ λ i

XX i

j

!

=

λi δij uj =

X

λi ui ,

i

´ ıt´ c1 ´es V c2 is konjug´ c1 ´es V c2 ekvivalensek.  2.3.3 All´ as. Ha a V modulusnak V altja, akkor V

´ ıt´ 2.3.4 All´ as. Egy v´eges dimenzi´ os a ´br´ azol´ asokat tartalmaz´ o reprezent´ aci´ o kateg´ ori´ aban ha a csoport kompakt (pl. v´eges), akkor minden V objektumnak l´etezik konjug´ altja.  b∗ ◦ R b = dV · 1I teljes¨ 2.3.5 Megjegyz´ es. A rigidit´ as intertwinerekre RV∗ ◦ RV = R ul, ahol dV a V V a ´br´ azol´ asi t´er dimenzi´ oja. A 2.3.2 p´eld´ aban szerepl˝ o R-ek m´ atrixalakjaira ez az a ´ll´ıt´ as k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o. Ez a t´eny lehet˝ ov´e teszi, hogy a reprezent´ aci´ o kateg´ ori´ ak absztrakt elm´elet´eben az objektumok dimenzi´ oj´ at a rigidit´ as intertwinerek megfelel˝ o v´ alaszt´ asa ut´ an seg´ıts´eg¨ ukkel defini´ alj´ ak. Az ´ıgy defini´ alt dimenzi´ ok az eddig megszokott m´ odon, addit´ıvan illetve multiplikat´ıvan viselkednek direkt¨ osszeg- illetve direktszorzatk´epz´es eset´en, valamint a monoid´ alis egys´eg dimenzi´ oj´ ara egyet adnak. 22

3. Az S3 csoport 6j-szimb´ olumai Az eddig elmondottak sz´epen illusztr´ alhat´ ok az S3 csoporttal kapcsolatban, mivel az egy nem t´ ul bonyolult, de m´ ar nem a ´beli csoport. Ebben a fejezetben v´ alaszt keres¨ unk arra a k´erd´esre, hogy mennyire hat´ arozz´ ak meg a csoportot pentagon-egyenletei. 3.1. A 6j-szimb´ olumok

Az 1.2.13 p´eld´ aban l´ attuk az S3 csoport irreducibilis a ´br´ azol´ asait. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert nevezz¨ uk az ottani V a ´br´ azol´ ast V0 -nak, V 0 -t V1 -nek, ´es U -t V2 -nek. (Az ottani U 0 a ´br´ azol´ as V2 -vel ekvivalens.) Legyen V0 b´ azisa {v0 }, V1 -´e {v1 } ´es V2 -´e {u1 , u2 }. Az 1.2.23 p´eld´ aban pedig a csoport f´ uzi´ os gy˝ ur˝ uj´et ´ırtuk fel: ⊗ V0 V1 V2

V0 V0 V1 V2

V1 V1 V0 V2

V2 V2 V2 V0 ⊕ V 1 ⊕ V 2

.

α Ez alapj´ an a Tβγ t´er minden α, β, γ = 0, 1, 2 eset´en legfeljebb egydimenzi´ os, hiszen b´ armelyik fenti szorzatban egy irreducibilis a ´br´ azol´ as legfeljebb egyszer fordul el˝ o. Ez´ert nincs sz¨ uks´eg a b´ azisok latin bet˝ us indexeire. A k¨ ovetkez˝ o b´ azisok nem lesznek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ok null´ at´ ol (λ, a, b ∈ C):

0 T22

0 T00 : λv0 7→ λv0 ⊗ v0 0 T11 : λv0 7→ λv1 ⊗ v1 λ : λv0 7→ √ (u1 ⊗ u2 + u2 ⊗ u1 ) 2 1 T10 : λv1 7→ λv1 ⊗ v0

1 T01 : λv1 7→ λv0 ⊗ v1 λ 1 T22 : λv1 7→ √ (u1 ⊗ u2 − u2 ⊗ u1 ) 2 2 T02 : au1 + bu2 7→ av0 ⊗ u1 + bv0 ⊗ u2

2 T20 : au1 + bu2 7→ au1 ⊗ v0 + bu2 ⊗ v0 2 T12 : au1 + bu2 7→ av1 ⊗ u1 − bv1 ⊗ u2

2 T21 : au1 + bu2 7→ au1 ⊗ v1 − bu2 ⊗ v1 2 T22 : au1 + bu2 7→ au2 ⊗ u2 + bu1 ⊗ u1

Ezeket az eredm´enyeket az 1.2.23 p´eld´ aban kaptuk; az ottani u 01 -t U ´es U 0 azonos´ıt´ asa miatt u1 -nek, 0 u2 -t −u2 -nek kell tekinten¨ unk. Ezekb˝ azisokb´ o
lumokat a k¨ o
vetkez˝ ok k¨ u
l¨ onb¨ oznek null´ ol:
ol a b´
ol fel´ep´ıtve
a 6j-szimb´
at´ 00 = F 1 01 = F 1 11 = F 1 10 = F 0 10 = F 0 11 = F 0 01 = 1 = F 0000 001 010 100 011 101 110






= F 1111
00 = F 0202
02 = F 0212
12 = F 1202
12 = F 1212
02 = F 0220
22 = F 0221
22 = = F 1220
22 = F 1221
22 = F 2200
20 = F 2201
21 = F 2210
21 = F 2211
20 = F 0022
20 = = F 0122
21 = F 0222
22 = F 1022
21 = F 1122
20 = F 2002
22 = F 2102 22 = F 2202 22 = = F 2212 22
= F 2020 02
= F 2120 12
= F 2220 22
= F 2022 22
;

−1 = F 1222 22 = F 2012 22 = F 2112 22 = F 2021 12 = F 2121 02 = F 2221 22 = F 2122 22 ; F




2 αβ 222




(α,β=0,1,2)



 = 23

1 2 1 2 √1 2

− 12 − 12 √1 2

√1 2 − √12

0



  .

3.2. Az S3 csoport pentagon-egyenletei

Felmer¨ ul a k´erd´es, vajon teljes´ıtik-e ezek a 6j-szimb´ olumok a pentagon-egyenleteket, illetve az S3 csoportra fel´ırt pentagon-egyenleteknek van-e a fentin k´ıv¨ ul m´ as megold´ asuk a 6j-szimb´ olumokra n´ezve. A csoport f´ uzi´ os gy˝ ur˝ uj´et vizsg´ alva k¨ onnyed´en meg´ allap´ıthat´ o, hogy h´ arom irreducibilis a ´br´ azol´ as szorzat´ aban melyek direkt¨ osszege tal´ alhat´ o meg, illetve hogy az F szimα b´ olumoknak megfelel˝ oa ´tt´er´esek sor´ an az egyes n´egysz¨ ogek milyen T βγ -beli b´ azisoknak megfelel˝ o h´ aromsz¨ ogekre bonthat´ ok. Ilym´ odon a 6j-szimb´ olumok ismerete n´elk¨ ul tudhatjuk, melyek lesznek biztosan null´ ak. (Ezen ul m´eg kider¨ ulhet egyes F m´ atrixok bizonyos elemeinek nullas´ aga,
fel¨ gondoljunk csak F 2222 22 -re.) Ilyen elvek alapj´ an ´ırhat´ o fel ´es oldhat´ o meg az S3 csoport 250 darab pentagon-egyenlete. A megold´ as az A, B, C, D, E, F, G, H nyolc darab tetsz˝ oleges egys´egnyi hossz´ us´ ag´ u komplex sz´ am seg´ıts´eg´evel adhat´ o meg (a komplex konjug´ al´ ast ∗ jel¨ oli):






+1 = F 2022 22 = F 0000 00 = F 0110 11 = F 0220 22 = F 0221 22 = F 0222 22 = F 1220 22 =

= F 2220 22 = F 1221 22 ;


−1 = F 1222 22 = F 2221 22 = F 2122 22 ;
0 = F 2222 22 ;

A = F 0101 01 = F 0011 10 ∗ ;

B = F 0202 02 = F 0022 20 ∗ ;


C = −F 2112 22 = −F 2012 22 = F 2212 22 ;

D = F 2200 20 = F 2020 02 ∗ ;
E = F 1212 02 ;
F = F 1022 21 ;

G = F 1010 01 = F 1100 10 ∗ ;
√1 H = F 2 02 ; 222 2

A∗ B = F 0212 12 = F 0122 21 ∗ ;


BD = F 2102 22 = F 2002 22 = F 2202 22 ;

GD = F 2210 21 = F 2120 12 ∗ ;

AG∗ = F 1001 11 = F 1111 00 ∗ ;
BG∗ = F 1202 12 ;
AD = F 2201 21 ;
C ∗ A∗ BF E = −F 2121 02 ;
C 2 D∗ B ∗ E ∗ = F 2211 20 ;
C ∗ F ∗ = −F 2021 12 ;
GB ∗ E ∗ F ∗ = F 1122 20 ;
1 ∗ ∗ 2 00 ; 2 D B = F 222
1 2 01 ∗ ; 2 F C E = −F 222
1 ∗ ∗ ∗ ∗ 2 10 D B E F = F ; 2
222 1 ∗ 2 11 ; 2 C = −F 222
1 ∗ ∗ √ HE F = −F 2 12 ; 222 2
√1 D ∗ B ∗ H ∗ = F 2 20 ; 222 2
√1 F C ∗ EH ∗ = F 2 21 . 222 2 Az S3 csoport feljebb kapott 6j-szimb´ olumai term´eszetesen megold´ asok, r´ ajuk A = B = C = D = α E = F = G = H = 1 ´erv´enyes. A Tβγ b´ azisok f´ azisa nem r¨ ogz´ıtett, b´ armelyiket megszorozhatjuk 24

egy egys´egnyi komplex szorz´ oval. Att´ ol f¨ ugg˝ oen, hogy egyes 6j-szimb´ olumokban mely b´ azisok szerepelnek, ezek az egys´egnyi szorz´ ok megjelennek a 6j-szimb´ olumok el˝ ott is. Ha ezek a szorz´ ok k´et 6jszimb´ olum el˝ ott ugyanolyanok, akkor az a k´et szimb´ olum tetsz˝ oleges b´ azisv´ alaszt´ as eset´en meg kell, hogy egyezzen. Hasonl´ oan l´ athat´ o, hogy mely szimb´ olumoknak kell b´ armely b´ azis eset´en r¨ ogz´ıtett sz´ amoknak lenni¨ uk (pl. 1, -1 vagy 0), ´es hogy mely szimb´ olumok szorzata adhat ki tetsz˝ oleges b´ azisban egy u ´jabb szimb´ olumot. Ha mindezt az S3 csoportra figyelembe vessz¨ uk, akkor az el˝ oz˝ o pentagon-megold´ asokhoz nem kapunk u ´jabb egyenleteket, ami azt jelenti, hogy az S 3 csoport 6j-szimb´ olumainak o ¨sszet´etel´et a pentagon-egyenletek (a fenti unit´er b´ azistranszform´ aci´ o erej´eig) r¨ ogz´ıtik.

25

4. V´eges csoportszimmetri´ak a kvantumelm´eletben Kvantumt´erelm´eletben a fizik´ at oper´ atorokkal ´ırjuk le, melyek egy algebr´ at alkotnak. Az elm´elet diszkr´et szimmetri´ ait v´eges csoportokkal modellezz¨ uk, melyek valamilyen m´ odon hatnak ezen az algebr´ an. Ebben a fejezetben az ilyen szimmetri´ akkal kapcsolatos n´eh´ any alapfogalmat ismertet¨ unk. 4.1. Az invari´ ans r´ eszalgebra 4.1.1 Defin´ıci´ o. Legyen M ∗-algebra, azaz algebra C felett egy ∗ : M → M ; a 7→ a ∗ antiline´ aris invol´ uci´ oval, azaz olyan antiline´ aris lek´epz´essel, melynek n´egyzete az identit´ as, ´es a, b ∈ M eset´en (ab)∗ = b∗ a∗ . (M-et C∗ -algebr´ anak nevezz¨ uk, ha mindezeken k´ıv¨ ul norma is adott rajta, ´es teljes e norma szerint.) Ha G v´eges csoport, ´es AutM az M ∗-automorfizmusainak csoportja (olyan automorfizmusok, melyek felcser´elhet˝ ok a ∗ lek´epz´essel), akkor egy γ : G → AutM ; g 7→ γ g lek´epz´est a G csoport hat´ as´ anak h´ıvunk M-en, amennyiben minden h, g ∈ G elemre γ g ◦ γh = γgh . 4.1.2 Defin´ıci´ o. Legyen M ∗-algebra, γ pedig a G csoport hat´ asa rajta. Ekkor az M algebra γ-invari´ ans r´eszalgebr´ aja vagy fixpont algebr´ aja az  Mγ := a ∈ M | (∀g ∈ G) γg (a) = a

halmaz az M algebra m˝ uveleteinek lesz˝ uk´ıt´eseivel ell´ atva.

A kvantumt´erelm´eletekben M – melyet n´eha F-el fogunk jel¨ olni – felel meg az elm´elet t´eralgebr´ aj´ anak, ´es G-t a term´eszet egy szimmetri´ ajak´ent ´ertelmezve M γ – a tov´ abbiakban n´eha A – felel meg az elm´elet G-szimmetrikus megfigyelhet˝ o r´esz´enek. 4.1.3 Defin´ıci´ o. Az eddigi jel¨ ol´esekkel az a ´tlagol´ as az E : M → Mγ ; m 7→

1X γg (m) n g∈G

lek´epz´es (n a csoport rendje). ´ ıt´ 4.1.4 All´ as. a, b ∈ Mγ ; m ∈ M eset´en az E a ´tlagol´ asra (i) EhMi = Mγ ; (ii) E ◦ E = E ; (iii) E(amb) = aE(m)b ; (iv) egys´egelemes M algebra eset´en E(1) = 1 teljes¨ ul. Bizony´ıt´ as. (i) m ∈ M , h ∈ G eset´en

1X 1X 1X 1 X γg0 (m) = γh E(m) = γh γg (m) = γhg (m) = γg0 (m) = E(m) , n n n −1 0 n 0 g∈G

g∈G

h

g

g

ez´ert EhMi ⊂ Mγ . Ford´ıtva, a ∈ Mγ ⊂ M eset´en a=

1X 1X a= γg (a) = E(a) , n n g∈G

g∈G

ez´ert Mγ ⊂ EhMi. (ii) Az im´ent l´ attuk, hogy a ∈ Mγ eset´en E(a) = a, ez´ert E(m) ∈ EhMi = Mγ miatt E(m)-re hatva E identit´ ask´ent viselkedik. 26

(iii) γg homomorfizmus volt´ at felhaszn´ alva E(amb) =

1X 1X 1X γg (amb) = γg (a)γg (m)γg (b) = aγg (m)b = aE(m)b . n g n g n g

(iv) ism´et γg homomorfizmuss´ ag´ at kihaszn´ alva γg (1) = 1, ez´ert 1 ∈ Mγ , ´ıgy E(1) = 1.  4.1.5 Defin´ıci´ o. A G v´eges csoportnak H norm´ alis r´eszcsoportja, ha r´eszcsoportja, ´es minden g ∈ G elemre gH = Hg. A G/H faktorcsoport a gH alak´ u halmazok halmaza, amikor g befutja a csoportot. A H halmaz ´es a csoport b´ armely g elem´enek ”kommut´ al´ asa” miatt ez val´ oban csoport lesz: gH · g 0 H = gg 0 H · H = (gg 0 )H. A gH ´es g 0 H halmazok megegyeznek vagy diszjunktak, ´es az eg´esz csoport lefedhet˝ o gH alak´ u halmazokkal, ez´ert a csoport rendje oszthat´ o H rendj´evel, ´es h´ anyadosuk a faktorcsoport rendje. Legyen H a G csoport norm´ alis r´eszcsoportja, ´es γ a csoport hat´ asa az M algebr´ an. Jel¨ olj¨ uk a G csoportra invari´ ans r´eszalgebr´ at MG -vel, a H-ra invari´ ans r´eszalgebr´ at MH -val. Ekkor MG ⊂ MH ⊂ M. Defini´ aljuk a faktorcsoport hat´ as´ at MH -n: γgH : MH → AutM ; a 7→ γg (a). Ez a defin´ıci´ o konzisztens γ csoporthat´ as-tulajdons´ ag´ aval, hiszen M H -n a H r´eszcsoport b´ armely h elem´ere γh identit´ ask´ent viselkedik. γgH seg´ıts´eg´evel a faktorcsoport a ´tlagol´ asa is bevezethet˝ o: EG/H : MH → MH ; m 7→

X

1 nG/H

γgH (m) .

gH∈G/H

´ ıt´ 4.1.6 All´ as. Az el˝ obbi jel¨ ol´esek mellett ha EH a H norm´ alis r´eszcsoport szerinti ´es EG a teljes csoport szerinti a ´tlagol´ as, akkor EG/H ◦ EH = EG . Bizony´ıt´ as. m ∈ M eset´en (EG/H ◦ EH )(m) =

1 nG/H

X

gH∈G/H

1


γgH EH (m) =

1 = nG/H nH

X

X

1 nG/H

gH∈G/H h∈H

X

gH∈G/H


γg EH (m) =


1 X γg γh (m) = γgh (m) = EG (m) .  nG gh∈G

4.1.7 Defin´ıci´ o. Legyen Γ az M algebra automorfizmusa. Γ -t bels˝ onek nevezz¨ uk, ha l´etezik olyan u ∈ M elem, melyre uu∗ = u∗ u = 1, ´es Adu (m) := u m u∗ = Γ (m) minden m ∈ M-re. Ha egy automorfizmus nem bels˝ o, akkor k¨ uls˝ onek nevezz¨ uk. 4.1.8 Defin´ıci´ o. Ha γ a G csoport hat´ asa M-en, akkor ezt a hat´ ast k¨ uls˝ onek nevezz¨ uk, amennyiben a γg automorfizmus pontosan akkor bels˝ o, ha g = e. 4.1.9 Megjegyz´ es. Ha az M algebra a ´beli, azaz b´ armely k´et eleme kommut´ al egym´ assal, akkor minden bels˝ o automorfizmusa az identit´ as lek´epz´es. Egy ilyen algebr´ an teh´ at a γ csoporthat´ as k¨ uls˝ o volta pontosan azt jelenti, hogy g 6= e eset´en γg 6= idM . 4.1.10 P´ elda. Legyen M := C ⊕ C = ´es Γ :





a 0 0 b

a 0 0 b



7→

27





| a, b ∈ C

b 0 0 a



.



,

Az M algebra kommutat´ıv, ´es Γ nem az identit´ as rajta, teh´ at Γ nem bels˝ o automorfizmus.   Azon0 1 ban M r´esze az M2 (C) 2 × 2-es komplex m´ atrixok algebr´ aj´ anak. Ezen az u = m´ atrix 1 0 seg´ıts´eg´evel defini´ alva a Γ0 := Adu automorfizmust azt l´ atjuk, hogy Γ = Γ0 |M . Itt teh´ at azt a gyakran el˝ ofordul´ o esetet tapasztaltuk, hogy egy nagyobb algebra bels˝ o automorfizmusa lesz˝ uk´ıtve egy r´eszalgebr´ ara k¨ uls˝ ov´e v´ alik.  4.1.11 T´ etel. (Skolem-Noether t´etel) Teljes m´ atrixalgebra minden automorfizmusa bels˝ o.  4.1.12 P´ elda. Legyen M teljes m´ atrixalgebr´ ak direkt¨ osszege, ´es rajta Γ automorfizmus. Amenynyiben Γ bels˝ o, akkor nyilv´ anval´ o, hogy Γ |centrM = 1centrM . Ford´ıtva, ha Γ az algebra centrum´ an identit´ ask´ent viselkedik, akkor Γ nem keveri egym´ assal a direkt¨ osszegben szerepl˝ o m´ atrixalgebr´ ak elemeit, hiszen M centruma az egyes m´ atrixalgebr´ ak egys´egm´ atrixai sz´ amszorosainak direkt¨ oszszeg´eb˝ ol a ´ll. Ez´ert ekkor Γ el˝ oa ´ll´ıthat´ o az egyes m´ atrixalgebr´ akon hat´ o automorfizmusok kompoz´ıci´ ojak´ent, melyek viszont az el˝ obbi t´etel alapj´ an biztosan bels˝ ok.  4.2. A kvantumt´ erelm´ elet megfigyelhet˝ o algebr´ aja

Most ahhoz a k´erd´eshez pr´ ob´ alunk k¨ ozel´ıteni, hogyan lehet a szimmetriacsoportra k¨ ovetkeztetni puszt´ an az invari´ ans, azaz megfigyelhet˝ o algebra ismeret´eben. Ezt az els˝ o pillanatban meglep˝ o elj´ ar´ ast az teszi lehet˝ ov´e, hogy a megfigyelhet˝ o algebr´ anak lok´ alis szerkezete van. Az al´ abbiakban 1 t´erdimenzi´ os r´ acs t´erelm´eletben illusztr´ aljuk csoportok hat´ as´ at, ´es a megfigyelhet˝ o algebra strukt´ ur´ aj´ at. Egydimenzi´ os modellekben a megfigyelhet˝ o mennyis´egek oper´ atorai egy A C ∗ -algebr´ at (4.1.1), a megfigyelhet˝ o algebr´ at alkotj´ ak, amely az egydimenzi´ os t´ernek megfelel˝ oen lok´ alis szerkezettel is rendelkezik. Ha I ⊂ R illetve r´ acsmodellek eset´en I ⊂ Z a t´er egy intervallum´ anak felel meg, akkor ezekben a modellekben ehhez l´etezik A(I) ⊂ A lok´ alis algebra (r´ acsmodellek eset´en) a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ aS gokkal: A(I) = A; (i) I⊂Z

(ii) (izot´ onia) ha J ⊂ Z is intervallum, ´es I ⊂ J, akkor A(I) ⊂ A(J); (iii) (lokalit´ as) ha I∩J u ¨res, akkor A(I) ⊂ A(J)0 , ahol A(J)0 az A(J) r´eszalgebra kommut´ ansa, az a halmaz, amelynek minden eleme A(J)-vel kommut´ al (n´eha el˝ ofordul, hogy I ∩ J = ∅n t´ ul azt is meg kell k¨ oveteln¨ unk, hogy I ´es J bizonyos t´ avols´ agn´ al messzebb legyenek egym´ ast´ ol); (iv) (transzl´ aci´ o kovariancia) egy x ∈ Z elemhez l´etezik az A algebr´ anak egy α x automorfizmusa u ´gy, hogy αx hA(I)i = A(I + x) ´es αx |A(I) bijekci´ o; (v) A(I) ⊂ A(I 0 )0 , ahol I 0 ⊂ Z \ I azon pontok halmaza, amely I-t˝ ol egy adott t´ avols´ agn´ al messzebb van (ez m´ ar nem egy intervallum), ´es A(I 0 )0 ism´et A(I 0 ) kommut´ ans´ at jel¨ oli. Mi a tov´ abbiakban meg fogjuk k¨ ovetelni az algebrai Haag-dualit´ ast is, vagyis az el˝ obbi tartalmaz´ as helyett az egyenl˝ os´eg teljes¨ ul´es´et.

Ha A a megfigyelhet˝ o algebra, H0 Hilbert-t´er, B(H0 ) pedig annak korl´ atos oper´ atorait jel¨ oli, akkor egy π0 : A → B(H0 ) ∗-´ abr´ azol´ assal jel¨ olj¨ uk ki a rendszer v´ akuum-´ abr´ azol´ as´ at. Legyen H egy m´ asik Hilbert-t´er, azon egy m´ asik π : A → B(H) ∗-´ abr´ azol´ as. Ezt akkor nevezz¨ uk π 0 -hoz k´epest lokaliz´ altnak, ha valamilyen I ⊂ Z intervallumra π|A(I 0 ) ´es π0 |A(I 0 ) ekvivalensek (l´etezik egy UI : H0 → H izometria, melyre a ∈ A(I 0 ) eset´en π(a)UI = UI π0 (a)). Ez teh´ at azt jelenti, hogy az I t´err´eszen k´ıv¨ ul m´er´est v´egezve nem d¨ onthet˝ o el, hogy az algebr´ at π vagy π 0 seg´ıts´eg´evel a ´br´ azoltuk-e. A v´ akuum-´ abr´ azol´ as hat´ arozza meg tulajdonk´eppen ”az elm´elet fizik´ aj´ at”, pl. a csatol´ asi a ´lland´ okat (pontosabban az azokat tartalmaz´ o dimenzi´ otlan kombin´ aci´ ok sz´ am´ert´ek´et). Az ehhez k´epest lokaliz´ alt π a ´br´ azol´ asok ´ırhatnak le pl. egy r´eszecsk´es a ´llapotokat. Ekkor a lokaliz´ alts´ ag szeml´eletesen azt jelenti, hogy a r´eszecsk´et˝ ol el´eg t´ avol (I-n k´ıv¨ ul) v´egezve m´er´eseket nem tudjuk eld¨ onteni, hogy val´ oban jelen van-e a r´eszecske, vagy a r´eszecskementes v´ akuumban 28

v´egezt¨ unk m´er´est, azaz hogy a π0 -hoz k´epest lokaliz´ alt valamilyen π a ´br´ azol´ asban vagyunk-e, vagy π0 -ban. Az ilyen π a ´br´ azol´ asokat Doplicher, Haag ´es Roberts ut´ an a π 0 DHR-´ abr´ azol´ asainak nevezz¨ uk. 4.2.1 T´ etel. Legyen π0 v´ akuum-´ azol´ as, melyre teljes¨ ul a Haag-dualit´ as: minden I interval
0 abr´ lumra π0 hA(I)i = π0 hA(I 0 )i . Ennek minden π DHR-´ abr´ azol´ as´ ahoz l´etezik olyan % : A → A endomorfizmus, hogy π0 ◦ % ' π, ´es % lokaliz´ alt: l´etezik olyan I intervallum, hogy %|A(I 0 ) = 1A(I 0 ) ; minden J ⊂ I intervallumra %hA(J)i ⊂ A(J).  Ez teh´ at azt jelenti, hogy a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o π a ´br´ azol´ asok helyett a ´ltal´ aban elegend˝ o az A algebra Endloc A lokaliz´ alt endomorfizmusait vizsg´ alnunk. 4.2.2 Defin´ıci´ o. Az A ∗-algebra EndA endomorfizmus kateg´ ori´ aj´ anak – objektumai % : A → A ∗-homomorfizmusok; – nyilai vagy intertwinerei endomorfizmusok k¨ oz¨ ott a ´tviv˝ o A-beli T elemek: T : % 1 → %2 ; T %1 (a) = %2 (a)T (a ∈ A). Ebb˝ ol k¨ ovetkeznek a kateg´ oria axi´ om´ ak: – ha T1 : %1 → %2 ´es T2 : %2 → %3 , akkor ezek kompoz´ıci´ oja T2 ◦ T1 := T2 T1 ∈ A is intertwiner %1 ´es %3 k¨ oz¨ ott; – minden % endomorfizmusra 1% := 1 ∈ A az egys´egny´ıl; – ha T : %1 → %2 ny´ıl, akkor az algebra invol´ uci´ oj´ aval T ∗ : %2 → %1 ny´ıl. 4.2.3 Defin´ıci´ o. Ha A megfigyelhet˝ o algebra, akkor az Endloc A lok´ alis endomorfizmusok kateg´ oria ´ja EndA-b´ ol azokat az objektumokat tartalmazza, melyekhez van olyan I intervallum, hogy I 0 -n az objektumok identit´ ask´ent hatnak, nyilai pedig az objektumai k¨ oz¨ ott hat´ o nyilak EndA nyilai k¨ oz¨ ul. Egy r¨ ogz´ıtett I intervallumhoz legyen  EndI A := % ∈ Endloc A %|A(I 0 ) = 1A(I 0 ) . ´ ıt´ 4.2.4 All´ as. Ha %1 ´es %2 ∈ EndI A, akkor egy k¨ ozt¨ uk hat´ o T : %1 → %2 ny´ıl eleme A(I)-nek. Bizony´ıt´ as. a ∈ A(I 0 ) eset´en %1 ´es %2 is identit´ ask´ent hat a-n, ez´ert a nyilak defin´ıci´ oja alapj´ an T a = a T . Ez´ert T ∈ A(I 0 )0 , ami az algebrai Haag-dualit´ as miatt T ∈ A(I) teljes¨ ul´es´et jelenti. 

4.2.5 Defin´ıci´ o. Az endomorfizmus kateg´ ori´ aban az objektumok ´es nyilak tenzorszorzata j´ ol defini´ alhat´ o. Ha %1 ´es %2 objektumok, akkor %1 ⊗ %2 := %1 ◦ %2 , amit n´eha csak %1 %2 -el fogunk jel¨ olni. Ha T1 : %1 → σ1 ´es T2 : %2 → σ2 intertwinerek, akkor T1 ⊗ T2 := T1 %1 (T2 ) ∈ A. ´ ıt´ 4.2.6 All´ as. Az el˝ obb defini´ alt T1 ⊗ T2 szorzat %1 ⊗ %2 → σ1 ⊗ σ2 intertwiner. Bizony´ıt´ as. a ∈ A eset´en



(T1 ⊗ T2 ) (%1 ⊗ %2 )(a) = T1 %1 (T2 ) %1 %2 (a) = T1 %1 T2 %2 (a) = T1 %1 σ2 (a)T2 =

= T1 %1 σ2 (a) %1 (T2 ) = σ1 σ2 (a) T1 %1 (T2 ) = (σ1 ⊗ σ2 )(a) (T1 ⊗ T2 ) . 

´ ıt´ 4.2.7 All´ as. A nyilak tenzorszorz´ asa asszociat´ıv, ´es az 1A intertwiner a tenzorszorz´ as egys´ege: 1A ⊗ T = T ⊗ 1 A = T . Bizony´ıt´ as. Ha Tα : %α → σα intertwinerek (α = 1, 2, 3), akkor


(T1 ⊗ T2 ) ⊗ T3 = T1 %1 (T2 ) %1 %2 (T3 ) = T1 %1 T2 %2 (T3 ) = T1 ⊗ (T2 ⊗ T3 ) .

Az 1A intertwiner azaz az 1 egys´egoper´ ator b´ armilyen objektumnak egys´egnyila, ´ıgy az id A -nak is. Ez´ert 1A ⊗ T1 = 1A idA (T1 ) = T1 ´es

T1 ⊗ 1A = T1 %(1A ) = T1 1A = T1 . 29



5. Az Ising-spin modell Az Ising-spin modell a fizik´ aban gyakran el˝ ofordul´ o jelens´egek le´ır´ as´ ara alkalmas. Sz´epen illusztr´ alja ezenk´ıv¨ ul a megfigyelhet˝ o algebr´ ar´ ol ´es az invari´ ans r´eszalgebr´ ar´ ol alkotott fogalmainkat. A modellben a teret (egyel˝ ore) az [1, N ] ⊂ Z intervallum modellezi (2 ≤ N ∈ N). Minden i ∈ [1, N ] indexre a modell B ∗-algebr´ aj´ anak gener´ atorai Ui ´es Vi , a k¨ ovetkez˝ o szab´ alyokkal (i, j ∈ [1, N ]): (i) Ui2 = Vi2 = 1B ; (ii) Ui Uj = Uj Ui ; Vi Vj = Vj Vi ; (iii) Ui Vj = (−1)δij Vj Ui ; (iv) Ui∗ = Ui ; Vi∗ = Vi . A modellben a G = Z2 = {e, z} csoport γ hat´ asa a gener´ atorokon mindegyik i indexre γe = Q idB , γz (Ui ) = −Ui , γz (Vi ) = Vi . A γz hat´ as fel´ırhat´ o Adu alakban az u := Vi elem i=1..N

seg´ıts´eg´evel, ez´ert ez egy bels˝ o automorfizmus, a csoporthat´ as teh´ at nem k¨ uls˝ o (4.1.8).

Azonban v´ altoztassunk most egy kicsit a B algebr´ an, ´es a tov´ abbiakban is ezt az u ´j algebr´ at haszn´ aljuk. Legyenek az i indexek [1, N ] helyett Z-ben, ´es a ´lljon az algebra az el˝ obbi U, V gener´ atorokb´ ol fel´ep´ıthet˝ o v´eges polinomokb´ ol. (Ez a ∗-algebra Hilbert-t´er oper´ atoraik´ent h˝ uen a ´br´ azolhat´ o, ´es ennek seg´ıts´eg´evel norm´ alhat´ o, majd teljess´e tehet˝ o, azaz C ∗ -algebr´ av´ a kiterjeszthet˝ o.) Ekkor az el˝ obbi u szorzat nem v´eges, teh´ at nem lesz eleme az algebr´ anak. L´etezhet-e m´ as olyan u ∈ B elem, mellyel γz = Adu alak´ u? Egy ilyen elem csak v´eges darab k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o index˝ u gener´ atort tartalmazhat, ez´ert mindig tal´ alhat´ o (v´egtelen sok) olyan j ∈ Z index, hogy ilyen index˝ u gener´ ator nem szerepel u-ban. Az algebra kommut´ aci´ os tulajdons´ agai alapj´ an ekkor Adu (Uj ) = u Uj u∗ = u u∗ Uj = Uj 6= −Uj = γz (Uj ), teh´ at γz nem lehet bels˝ o. Ezen az u ´j algebr´ an teh´ at a γ csoporthat´ as k¨ uls˝ o lett. (Ha B-t C∗ -algebr´ av´ a kiterjesztve megengedn´enk v´egtelen polinomokat is, az n 7→ wn := V−n V−n+1 . . . Vn sorozat akkor sem lenne konvergens n → ∞ eset´eben, hiszen m 6= n eset´en wn − wm -nek az a ´br´ azol´ as Hilbert ter´en a 2 is saj´ at´ert´eke, teh´ at a norm´ aja legal´ abb 2; a sorozat nem Cauchy-sorozat. A megfelel˝ o u elem teh´ at ilyen v´eges elemekkel ekkor sem k¨ ozel´ıthet˝ o.) 5.1. Az invari´ ans r´ eszalgebra Az A Z2 -invari´ ans r´eszalgebra olyan szorzatokb´ ol ´es azok o ¨sszeg´eb˝ ol a ´ll, melyek p´ aros darab us´ıt´esek a gener´ atorok U gener´ atort tartalmaznak (k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o indexekben). Az Ui2 = 1B egysz´er˝ sz´ am´ anak p´ aross´ ag´ at term´eszetesen nem befoly´ asolj´ ak. Az invari´ ans algebra gener´ alhat´ o az eddigi Vi gener´ atorok ´es l ∈ Z + 21 eset´en a Wl := Ul− 12 Ul+ 12 elemek seg´ıts´eg´evel. I ⊂ 21 Z, i, j ∈ Z ∩ I at A(I) a Vi ´es Wl a ´ltal gener´ alt v´eges polinomok C∗ -algebr´ aja a ´es l, k ∈ Z + 12 ∩ I eset´en teh´ k¨ ovetkez˝ o szab´ alyokkal: (i) Wl2 = Vi2 = 1B ; (ii) Wl Wk = Wk Wl ; Vi Vj = Vj Vi ; δ

1

+δ

1

(iii) Wl Vj = (−1) l,j− 2 l,j+ 2 Vj Wl ; (iv) Wl∗ = Wl ; Vi∗ = Vi . A tov´ abbiakban a ∈ I eset´en Xa -val fogjuk jel¨ olni a Va gener´ atort amennyiben a eg´esz, illetve a Wa gener´ atort, ha a f´eleg´esz. Az ´ıgy defini´ alt A(I) egy megfigyelhet˝ o algebra; az izot´ onia nyilv´ anval´ oan teljes¨ ul r´ a, amenynyiben az I ´es J intervallumok k¨ ozti t´ avols´ ag legal´ abb 1, akkor A(I) ⊂ A(J) 0 teljes¨ ul, ´ıgy a lokalit´ as is fenn´ all, a transzl´ aci´ o kovarianci´ at x ∈ 12 Z eset´en az αx : Xa 7→ Xa+x a ´ltal gener´ alt automorfizmus biztos´ıtja, amennyiben I 0 -t az I intervallumt´ ol legal´ abb 1 t´ avols´ agra es˝ o pontok halmaz´ anak defini´ aljuk 12 Z-ben, akkor az algebrai Haag-dualit´ as is teljes¨ ul. egy

Keress¨ unk az A algebr´ aban egy ponton lokaliz´ alt endomorfizmusokat, azaz olyanokat, melyek 1 Z-beli pont komplementum´ a hoz tartoz´ o algebr´ an identit´ ask´ent hatnak. Egy ilyen a ∈ 12 Z 2 30

pontban lokaliz´ alt %a endomorfizmus csak az Xa gener´ atort v´ altoztathatja meg: megszorozhatja egy komplex sz´ ammal. Azonban az Xa2 = 1A egyenletre hattatva %a -t, l´ athat´ o, hogy ez a (nem trivi´ alis) sz´ am csak a -1 lehet. A %a endomorfizmus teh´ at az Xa gener´ atort a m´ınusz egyszeres´ebe viszi a ´t, mely m˝ uvelet az algebr´ at defini´ al´ oo ¨sszes rel´ aci´ ot invari´ ansul hagyja. Legyenek a > b 12 Z-beli elemek, ´es I = [a, b]. Ekkor %a , %b ∈ EndI A, ez´ert a 4.2.4 a ´ll´ıt´ as alapj´ an ha van k¨ ozt¨ uk Tab intertwiner, akkor az eleme A(I)-nek. Azonban egy ilyen intertwiner a teljes A(Z \ I) algebr´ aval kommut´ al, hiszen ezen az algebr´ an %a ´es %b is identit´ ask´ent viselkedik, ul (ha ilyen Tab intertwiner l´etezik). Ebb˝ ol b = a + 12 eset´ere ez´ert Tab ∈ [a + 12 , b − 21 ] is teljes¨ oz¨ ott nincs intertwiner, ez a k´et endomorfizmus azonnal k¨ ovetkezik, hogy %a ´es %a+ 12 szomsz´edja k¨ nem lehet ekvivalens. Ha azonban b − a ∈ Z, akkor a Tab := Xa+ 21 Xa+ 32 . . . Xb− 21 elem %a → %b intertwiner, azaz eg´esz k¨ ul¨ onbs´eg˝ u indexekkel rendelkez˝ o endomorfizmusok ekvivalensek. K¨ onnyen bel´ athat´ o, hogy az ´ıgy defini´ alt ekvivalencia val´ oban ekvivalencia-rel´ aci´ o az egy pontban lokaliz´ alt endomorfizmusok halmaz´ an. Ha b ´es a k¨ ul¨ onbs´ege f´eleg´esz, akkor % a ´es %b− 12 ekvivalensek, viszont %b− 21 ´es %b nem ekvivalensek, ez´ert %a ´es %b sem lehetnek ekvivalensek. Azt l´ atjuk teh´ at, hogy intertwiner pontosan akkor l´etezik %a ´es %b k¨ oz¨ ott, ha b − a eg´esz sz´ am. aljuk a %I := Legyenek J, I ∈ 21 Z v´eges intervallumok, ´es defini´

N

%i =

i∈I

Q

%i , illetve hasonl´ oan

i∈I

a %J endomorfizmust. Ezek teh´ at az o ¨sszes I-beli illetve J-beli index˝ u gener´ atort m´ınusz eggyel szorozz´ ak. Keress¨ uk a %I → %J intertwinereket. Az I ´es J intervallumok eg´esz ´es f´eleg´esz sz´ amokat tartalmaznak, melyeket a k¨ ovetkez˝ okkel fogunk jel¨ olni: I = {i1 , . . . , ip ∈ Z ; l1 , . . . , lt ∈ Z + 12 }

J = {j1 , . . . , jr ∈ Z ; k1 , . . . , ku ∈ Z + 21 } . Az a ´ltal´ anoss´ ag megszor´ıt´ asa n´elk¨ ul feltehetj¨ uk, hogy r ≤ p ´es u ≤ t. Legyen i 0 eg´esz sz´ am, ´es l0 f´eleg´esz. A TIJ := Ti1 j1 ⊗ . . . ⊗ Tip jp ⊗ Tl1 k1 ⊗ . . . Tlt kt ⊗ Ti0 jp+1 ⊗ . . . ⊗ Ti0 jr ⊗ Tl0 kt+1 ⊗ . . . ⊗ Tl0 ku elem a nyilak tenzorszorzat´ anak defin´ıci´ oja alapj´ an intertwiner lesz % I ⊗%i0 ⊗. . .⊗%i0 ⊗%l0 ⊗. . .⊗%l0 ´es %J k¨ oz¨ ott. Amennyiben r − p ´es u − t is p´ arosak, akkor %I mellett p´ aros darab %i0 ´es p´ aros darab %l0 jelenik meg, melyek p´ aros darab m´ınusz el˝ ojelet adnak minden i0 -beli illetve l0 -beli gener´ ator el´e, azaz olyan, mintha ott sem lenn´enek. Ha teh´ at k¨ ul¨ on az eg´eszek ´es k¨ ul¨ on a f´eleg´eszek sz´ am´ anak k¨ ul¨ onbs´ege a k´et intervallumban p´ aros, akkor a fenti TIJ elem %I → %J intertwiner. Most indirekt m´ odon megmutatjuk, hogy ha az el˝ obbi p´ aross´ agi felt´etel nem a ´ll fenn, akkor % I ´es %J inekvivalensek, azaz nincs k¨ ozt¨ uk a ´tviv˝ o intertwiner. Vegy¨ unk el ugyanis ekkor J-b˝ ol egy eg´esz vagy egy f´eleg´esz elemet (vagy mindkett˝ ot) u ´gy, hogy a kapott J 0 halmaz intervallum legyen, ´es benne az eg´esz illetve f´eleg´esz elemek sz´ am´ anak k¨ ul¨ onbs´ege I eg´eszeinek illetve f´eleg´eszeinek sz´ am´ at´ ol p´ aros legyen. Az el˝ oz˝ oek szerint ekkor l´etezik T IJ0 , melyre A ∈ A eset´en %J0 (A) TJ0 I = TJ0 I %I (A) teljes¨ ul. Indirekt tegy¨ uk fel, hogy l´etezik a TIJ intertwiner is. Ekkor TJ0 I TIJ %J (A) = TJ0 I %I (A) TIJ = %J0 (A) TJ0 I TIJ , azaz TJ0 I TIJ : %J → %J0 intertwiner. Ennek az intertwinernek kommut´ alnia kell minden A(Z\J)beli elemmel, mert itt mindk´et endomorfizmus az identit´ as, de kommut´ alnia kell minden A(J0 )-beli elemmel is, mert itt a k´et automorfizmus ugyan´ ugy hat. Az algebrai Haag-dualit´ as alapj´ an ez az intertwiner (melynek v´eges polinomnak kell lennie) teh´ at olyan gener´ atorokb´ ol ´ep¨ ulhet fel, melyek indexei Z \ J-t˝ ol ´es J0 -t´ ol is legal´ abb 1 t´ avols´ agra esnek, ilyen index azonban nem l´etezik. Mivel %J 6= %J0 , ez az intertwiner az 1A elem sem lehet, teh´ at az indirekt feltev´esb˝ ol ellentmond´ asra jutottunk. 31

Eddig a B algebr´ ab´ ol kiindulva egy Z2 -invari´ ans algebrak´ent kaptuk A-t. Ezen egy pontban lokaliz´ alt endomorfizmusokat ´ırtunk fel, melyek azonban k¨ uls˝ o endomorfizmusok, hiszen b´ armilyen A-beli v´eges polinom ha antikommut´ al valamelyik gener´ atorral, akkor legal´ abb m´eg egy m´ asikkal is antikommut´ alnia kell, viszont %a csak egyetlen gener´ ator el´e ad m´ınusz egy szorz´ ot. Ez´ert most keress¨ uk azt a kiterjesztett F algebr´ at, aminek A r´esze, ´es amiben % a bels˝ o automorfizmus. Eg´esz u %l -hez pedig Zl elem kell i indexekre Ui elemeket keres¨ unk, melyekre %i = AdUi . F´eleg´esz l index˝ az F algebr´ aban, amivel %l = AdZl . ´Irjuk fel teh´ at amit az automorfizmusok bels˝ o volta ´es az A algebra alapj´ an a gener´ atorokr´ ol tudunk (i, j ∈ Z; l, k ∈ Z + 12 ): (5.1.1) (5.1.2)

Ui Vj = (−1)δij Vj Ui Ui Wl = W l Ui

(5.1.3) (5.1.4)

Z l Vj = V j Z l Zl Wk = (−1)δlk Wk Zl

(5.1.5) (5.1.6)

Vi Wl = (−1) i+ 2 ,l i− 2 ,l Wl Vi [Vi , Vj ] = [Wl , Wk ] = 0 .

δ

1

+δ

1

Tudjuk m´eg, hogy V ´es W egy n´egyzet˝ u, o ¨nadjung´ alt elemek. Mindezek mellett keress¨ uk a legkisebb F C∗ -algebr´ at, azaz azt az algebr´ at, amely a V, W, U, Z gener´ atorok k¨ oz¨ ott a legt¨ obb o ¨sszef¨ ugg´est tartalmazza. (5.1.1) ´es (5.1.2) szerint Ui2 , (5.1.3) ´es (5.1.4) szerint pedig Zl2 kommut´ al a teljes A algebr´ aval. Feltessz¨ uk, hogy a teljes A algebra kommut´ ansa F-ben trivi´ alis, azaz C · 1F . Ez´ert az U, Z elemek n´egyzete is 1F sz´ amszorosa. A fenti rel´ aci´ ok k¨ oz¨ ott sehol sem szerepel utal´ as e gener´ atorok ”nagys´ ag´ ara”, ez´ert feltehetj¨ uk, hogy U i2 = Zl2 = 1F . Hasonl´ oan Ui∗ Ui -vel ∗ illetve Zl Zl -el is kommut´ al a teljes A algebra, ´ıgy ezek az elemek ±1F -vel egyezhetnek. Ez az el˝ ojelv´ alaszt´ as a gener´ atorok o ¨nadjung´ alts´ ag´ at illetve anti¨ onadjung´ alts´ ag´ at jelenti. Mi most a fels˝ o lehet˝ os´eget v´ alasztjuk, azaz U -t ´es Z-t o ¨nadjung´ altnak tessz¨ uk fel. Mindegyik gener´ ator k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ok´eppen kommut´ al, ez´ert U ´es Z nem egyezhet meg V -vel vagy W -vel. Azonban k´et gener´ ator szorzata viselkedhet u ´gy, mint egy harmadik gener´ ator. Ezeket a lehet˝ os´egeket megvizsg´ alva azt kapjuk, hogy (5.1.7)

Ul− 12 Ul+ 12 = Wl , Zi− 21 Zi+ 21 = Vi .

Ezt elfogadva kapjuk, hogy [Ui , Uj ] = [Zl , Zk ] = 0. Ezzel a l´ep´essel az A algebr´ at fel´ep´ıtett¨ uk az U ´es Z gener´ atorok seg´ıts´eg´evel, s˝ ot mivel az eredeti B algebra U oper´ atorai megegyeznek a most bevezetett F algebra U oper´ atoraival, ez´ert a B algebra is kifejezhet˝ ou ´j gener´ atorainkkal. Ahhoz, hogy ezt a fel´ep´ıt´est teljess´e tegy¨ uk, hi´ anyzik m´eg az U ´es Z gener´ atorok kommut´ aci´ os rel´ aci´ oja. A kiindul´ asi rel´ aci´ okat tekintve feltehetj¨ u k, hogy az U Z elem a Z U elem sz´ a mszorosa: i l l i
Ui Zl = K(i, l) Zl Ui K(i, l) ∈ C . Ezt, valamint V ´es W (5.1.7) alakj´ at (5.1.1)-be ´es (5.1.4)-be helyettes´ıtve 1 1 K(i, j − ) K(i, j + ) = (−1)δij , 2 2 1 1 K(k + , l) K(k − , l) = (−1)δkl , 2 2 amib˝ ol valamilyen y ∈ C-re K(i, l) = y · sgn(i − l). Mivel Ui2 = 1F , rajta Zl a ´tkommut´ al, ez´ert y = ±1. A k´et lehets´eges F± algebra teh´ at az egys´egnyi n´egyzet˝ u, o ¨nadjung´ alt Ui ´es Zl elemekb˝ ol a ´ll, melyekre Ui Zl = ±sgn(i − l) Zl Ui , [Ui , Uj ] = [Zl , Zk ] = 0 . 32

´ Erdemes megjegyezni, hogy az AdUi ´es AdZl endomorfizmusok ugyan bels˝ ok lettek az F± algebr´ an, azonban nem lok´ alisak az F± -on, csak annak A r´eszalgebr´ aj´ an. A G illetve Ge k´et elem˝ u csoportoknak legyen a k¨ ovetkez˝ o hat´ asuk F ± = hU, Zi-n: γ ez : Zi 7→ −Zi

illetve γz : Ui 7→ −Ui ,

a ki nem ´ırt gener´ atorokat pedig hagyj´ ak invari´ ansan. Ekkor az erdeti B = hU, V i algebra, illetve e e a teljesen hasonl´ o tulajdons´ ag´ u B = hZ, W i algebra lesznek az invari´ ans r´eszalgebr´ ak G-ra illetve e e G-re n´ezve. B-n a G csoport, B-n a G csoport invari´ ans algebr´ aj´ at elk´esz´ıtve A = hV, W i-t kapjuk: e G F± = hU, Zi −−−−→ B = hU, V i     Gy yG

Be = hZ, W i −−−−→ A = hV, W i e G

5.2. A megfigyelhet˝ o algebra lok´ alis szerkezete

Ha J I-n´el egy indexszel b˝ ovebb intervallum, akkor A(I) be van a ´gyazva A(J)-be. Ezen be´ agyaz´ asok mik´entje a ´br´ azolhat´ o egy diagramon, melynek egy sor´ aba azonos sz´ amoss´ ag´ u intervallumhoz tartoz´ o algebr´ ak tartoznak, ´es egy ferde vonala az algebra be´ agyaz´ as´ at jelk´epezi az eggyel nagyobb indexhalmaz´ u algebr´ aba. Egy ilyen be´ agyaz´ ast a ´br´ azol az u ´n. Bratteli-diagram, a fenti diagram teh´ at sok Bratteli-diagram o ¨sszess´ege. Ilyen be´ agyaz´ as t¨ obbf´ele lehet, ez´ert a diagram a be´ agyaz´ ast csak egy olyan izomorfia erej´eig hat´ arozza meg, amely k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o be´ agyaz´ asok k´ep´et egym´ asba viszi. A diagram fel´ır´ as´ ahoz m´ atrixok seg´ıts´eg´evel h˝ uen a ´br´ azoljuk az A(I) invari´ ans algebr´ at. ´ ıt´ am, akkor A(I) h˝ ua ´br´ azol´ asa 5.2.1 All´ as. Legyen I ⊂ 12 Z intervallum. Ha I hossza n eg´esz sz´ atrixok algebr´ aja, m´ıg Card(I) = n − 12 eset´en az M2n teljes m´ atrixalgebra. az M2n ⊕ M2n -beli m´ Bizony´ıt´ as. I = {i} eset´en az algebra 1-et ´es a Vi gener´ atort tartalmazza, az algebra kommutat´ıv. Hogy az egys´eg ´es Vi megk¨ ul¨ onb¨ oztethet˝ o legyen, az a ´br´ azol´ as legyen k´etdimenzi´ os, de blokkdiagon´ alis. Vi a ´br´ azol´ as´ ahoz egy olyan m´ atrixot kell tal´ alnunk, mely o ¨nadjung´ alt, ´es n´egyzete (1 2 ). Ilyen m´ atrix a   1 0 σ3 = . 0 −1

Ai a ´br´ azol´ asi tere teh´ at az egys´egm´ atrixot is figyelembe v´eve C ⊕ C. ´br´ azol´ asa legal´ abb k´etdimenzi´ os. V i -nek ´es Wi+ 12 Ai,i+ 21 eset´en az algebra nem kommutat´ıv, a nek olyan m´ atrixokat kell megfeleltetn¨ unk, melyek o ¨nadjung´ altak, n´egyzet¨ uk egy, ´es egym´ assal antikommut´ alnak. Ilyenek a Pauli-m´ atrixok. Legyen Vi ≡ σ 3 =



1 0 0 −1



,

W

i+ 12

≡ σ1 =



0 1 1 0



.

Az 1A -nak megfelel˝ o egys´egm´ atrixszal egy¨ utt a gener´ atorok m´ atrixai illetve szorzatuk kifesz´ıtik a teljes M2 (C) 2 × 2-es m´ atrixok ter´et (amit a tov´ abbiakban csak M2 -nek fogunk nevezni). Az ua ´br´ azol´ asa teh´ at M2 . Ai,i+ 21 algebra h˝ Ai,i+ 12 ,i+1 a ´br´ azol´ as´ ahoz nyilv´ an nagyobb m´ atrixokra lesz sz¨ uks´eg¨ unk. Dupl´ azzuk meg az eddigi a ´br´ azol´ ast. Ha egy A ∈ Ai,i+ 12 elem m´ atrixa M2 -ben (A) volt, akkor u ´j a ´br´ azol´ asunkban legyen A≡



(A) (A) 33



4 × 4-es m´ atrix. Nyilv´ anval´ o, hogy ezzel a l´ep´essel nem rontottuk el A i,i+ 12 a ´br´ azol´ as´ at. Tudjuk aval, ez´ert csak az (12 ) 2 × 2-es viszont, hogy a Vi Vi+1 elem kommut´ al a teljes Ai,i+ 21 algebr´ egys´egm´ atrix sz´ amszorosainak blokkjaib´ ol a ´llhat. V´ alasszuk a   (12 ) Vi Vi+1 ≡ −(12 ) lehet˝ os´eget, amit Vi -vel szorozva  (σ3 ) Vi Vi Vi+1 = Vi+1 ≡

(σ3 )

  (12 ) ·

−(12 )



=



(σ3 ) −(σ3 )



.

Ez egy o ¨nadjung´ alt m´ atrix, n´egyzete az egys´egm´ atrix, ´es megfelel˝ oen kommut´ al az eddigi gener´ a´ a torok m´ atrixaival. Uj ´br´ azol´ asunk a 4 × 4-es (14 ) egys´egm´ atrix seg´ıts´eg´evel kifesz´ıti M2 ⊕ M2 -t. ´br´ azol´ as´ ahoz olyan 4×4-es m´ atrixot kell keresn¨ unk Az a ´ltal´ anos´ıt´ as el˝ otti utols´ o l´ep´esk´ent Ai...i+ 32 a atoraink k¨ oz¨ ul csak Vi+1 m´ atrix´ aval antikommut´ al. Ilyen m´ atrix Wi+ 23 szerep´ebe, mely eddigi gener´ a   (12 ) Wi+ 32 ≡ . (12 ) Ez is o ¨nadjung´ alt m´ atrix, n´egyzete egy, ´es vele egy¨ utt A i...i+ 32 a ´br´ azol´ asa m´ ar a teljes M4 teret kifesz´ıti. u Most indukci´ os m´ odon folytatjuk az elj´ ar´ ast. Tegy¨ uk fel, hogy (1 ≤ n ∈ N-re) A i...i+n− 12 h˝ a ´br´ azol´ asa kifesz´ıti az M2n teret. n = 1-re ´es n = 2-re err˝ ol meggy˝ oz˝ odt¨ unk. Dupl´ azzuk meg most eddigi a ´br´ azol´ asunkat: ha Ai...i+n− 21 ∈ Ai...i+n− 12 a atrix ´br´ azol´ asa eddig a (Ai...i+n− 12 ) ∈ M2n m´ volt, akkor most legyen   (Ai...i+n− 12 ) Ai...i+n− 12 ≡ . (Ai...i+n− 12 ) Az Ai...i+n algebra a ´br´ azol´ as´ ahoz meg kell tal´ alnunk az u ´j Vi+n gener´ ator m´ atrix´ at. Tudjuk, hogy a Vi Vi+1 . . . Vi+n elem kommut´ al a teljes Ai...i+n− 21 algebr´ aval, legyen teh´ at Vi Vi+1 . . . Vi+n ≡



(12n ) −(12n )



.

obbi Ha eddig Vi Vi+1 . . . Vi+n−1 a ´br´ azol´ asa M2n -ben (Vi Vi+1 . . . Vi+n−1 ) volt, akkor ezzel az el˝ egyenl˝ os´eget megszorozva kapjuk, hogy   (Vi Vi+1 . . . Vi+n−1 ) , Vi+n ≡ −(Vi Vi+1 . . . Vi+n−1 ) ´ıgy Ai...i+n a ´br´ az´ alosa (12n+1 ) seg´ıts´eg´evel kifesz´ıti M2n ⊕ M2n -t. Tov´ abbmenve Ai...i+n+ 21 a ´br´ azol´ as´ ahoz meg kell keresn¨ unk a Wi+n+ 12 gener´ ator m´ atrix´ at. Ez a gener´ ator az Ai...i+n− 12 algebr´ aval kommut´ al, csak a Vi+n gener´ atorral antikommut´ al. Ilyen m´ atrix a   (12n ) Wi+n+ 21 ≡ , (12n ) hiszen ha egy Ai...i+n ∈ Ai...i+n elem a ´br´ azol´ as´ aban a k´et blokkdiagon´ alis M2n -beli blokkm´ atrix egym´ as ellentettje, az azt jelenti, hogy Vi+n szerepel Ai...i+n -ben szorz´ ok´ent, ´es Wi+n+ 12 pontosan atrixot hozz´ av´eve m´ ar ekkor antikommut´ al vele. Az Ai...i+n -t a ´br´ azol´ o M2n ⊕ M2n -hez ezt a m´ a teljes M2n+1 m´ atrixteret kapjuk Ai...i+n+ 12 a ´br´ azol´ asi terek´ent. Ezzel eljutottunk a kiindul´ asi felt´etel¨ unkh¨ oz, de n hely´ebe most m´ ar n + 1-et ´ırva. Az eg´esz elj´ ar´ as V ↔ W cser´evel teljesen hasonl´ oan m˝ uk¨ od¨ ott volna, ha i ∈ Z helyett egy l ∈ Z + 21 indexr˝ ol ind´ıtjuk az A(I) algebr´ at. L´ atjuk teh´ at, hogy ha I hossza n − 21 , akkor A(I) ua ´br´ azol´ as tere.  a ´br´ azol´ asi tere M2n , m´ıg ha I hossza n, akkor M2n ⊕ M2n lesz a h˝ 34

Mindezek alapj´ an k´esz´ıthet˝ o el az algebr´ at a ´br´ azol´ o diagram (sok Bratteli-diagram o ¨sszess´ege): M8 • M4 ⊕ M 4 • • M4 • M2 ⊕ M 2 • • M2 •

•• •

•• •

• ••

•

•• •

•

•• •• •• •• •• C⊕C • • 3 1 i+1 i+ 2 i+2 i + 25 i i+ 2 Ebben a diagramban minden sor megfelel az I intervallum egy sz´ amoss´ ag´ anak; a legals´ o sornak csak egy gener´ ator´ u algebra felel meg. B´ armely pont algebr´ aj´ aban az onnan ferd´en lefel´e el´erhet˝ o legals´ o pontoknak megfelel˝ o gener´ atorok tal´ alhat´ ok meg. Az egyes pontoknak megfelel˝ o algebr´ at a sor elej´en l´ athat´ o t´erben a ´br´ azoltuk. A diagram vonalai a ´br´ azol´ asok egym´ asba a ´gyaz´ as´ at jelk´epezik; egy-egy dupla vonal felel meg egy Bratteli-diagramnak.

35

6. Egy S3 -spin modell Ebben a fejezetben az Ising-spin modell valamilyen I ⊂ Z v´eges indextartom´ anyon adott B(I) algebr´ aj´ at fogjuk vizsg´ alni, azonban az eddigi Z2 -hat´ as helyett az S3 csoport hat´ asa alapj´ an. E csoporthat´ as fel´ır´ as´ ahoz a csoport ´es az algebra Uj , Vj gener´ atorainak k´etdimenzi´ os m´ atrix´ abr´ azol´ asait h´ıvjuk seg´ıts´eg¨ ul. Legyen most i ∈ I eset´en     0 1 1 0 . ´es Vj ≡ σ1 = Uj ≡ σ 3 = 1 0 0 −1 Ezek a m´ atrixok antikommut´ alnak egym´ assal, n´egyzet¨ uk az egys´egm´ atrix, ´es szorzatukkal egy¨ utt kifesz´ıtik M2 -t, u ´gy viselkednek teh´ at, mint az algebra gener´ atorai. M´ as indexekre fel´ırt gener´ atorok ezekkel kommut´ alnak, teh´ at a B algebra m´ atrix´ abr´ azol´ asa egym´ ast´ ol f¨ uggetlen M 2 terekb˝ ol a ´ll minden I-beli indexre. Az S3 csoport k´etdimenzi´ os irreducibilis a ´br´ azol´ asa (1.2.13) szerint (1 6= ω ∈ C; ω 3 = 1)  2    ω 0 0 1 c≡ ´es t ≡ . 0 ω 1 0 E csoportgener´ atorok m´ atrixainak adjung´ alt hat´ as´ at az algebra gener´ atorainak m´ atrix´ an fel´ırva kapjuk, hogy αc : Vj 7→ ω Uj Vj αt : Vj 7→ Vj

;

2

(Uj2 = 1B miatt ω = ei 3 π eset´en ω Uj = − 21 1B + i

;

Uj 7→ Uj ;

Uj 7→ −Uj .

√ 3 2

Uj .)

6.1. Az invari´ ans r´ eszalgebra Keress¨ uk az erre a hat´ asra invari´ ans  A(I) := A ∈ B(I)|(∀g ∈ S3 ) αg (A) = A

megfigyelhet˝ o algebr´ at. Minthogy α csoporthat´ as ´es minden csoportelem fel´ırhat´ o c ´es t szorzataival, elegend˝ o az αc ´es αt algebra-homomorfizmusokra invari´ ans kifejez´eseket megkeresni A(I) fel´ır´ as´ ahoz. Defini´ aljuk minden i ∈ I indexre a k¨ ovetkez˝ o kifejez´eseket: 1 − Ui 2 1 + Ui + − := σi σi = 2

Pi+

1 + Ui , 2 1 − Ui := σi− σi+ = . 2

σi− := Vi

σi+ := Vi

Pi−

K¨ onnyen bel´ athat´ o, a B(I) algebra U, V gener´ atorai, ´ıgy minden eleme is kifejezhet˝ o e σ-k seg´ıts´eg´evel, ez´ert a tov´ abbiakban A(I) ⊂ B(I) elemeit is σ-kb´ ol fel´ep¨ ul˝ o polinomok alakj´ aban tekintj¨ uk. Fontosak lesznek a k¨ ovetkez˝ o egyszer˝ u azonoss´ agok: (6.1.1)

Pi+ σi+ = σi+ Pi− = σi+ σi− σi+ = σi+ , σi+ σi+ = 0 .

Pi− σi− = σi− Pi+ = σi− σi+ σi− = σi− , σi− σi− = 0 ,

Defini´ aljuk tov´ abb´ a (Card(I) = 2 illetve 3 eset´en) minden i, j, k ∈ I indexre az 1 − U i Uj = σi+ σj− + σi− σj+ , 2 1 + U i Uj + U i Uk + U j Uk = σi+ σj+ σk+ + σi− σj− σk− := Vi Vj Vk 4 Xij := Vi Vj

Yijk

36

B(I) algebra-beli elemeket. ´ ıt´ 6.1.1 All´ as. Az A(I) algebra minden eleme fel´ırhat´ o olyan polinomok alakj´ aban, melyeknek (i) minden tagj´ ahoz tal´ alhatunk a polinomban egy ”ellenkez˝ o” tagot is amit u ´gy kapunk, hogy minden i ∈ I indexre az adott tagban v´egrehajtjuk a σi− ↔ σi+ (´es ´ıgy a Pi+ ↔ Pi− ) cser´et; (ii) minden tagj´ aban az o ¨sszes indexre o ¨sszeadva a σ + -ok darabsz´ am´ at, ´es ebb˝ ol kivonva a σ − -ok darabsz´ am´ at h´ arommal oszthat´ o sz´ amot kapunk eredm´eny¨ ul. 2 Bizony´ıt´ as. N´ezz¨ uk meg a c, t csoportgener´ atorok hat´ as´ at a σ + ´es a σ − elemekre (k ∈ I, ω = ei 3 π ): αc (σk+ ) = αc (Vk )

αc (σk− ) = αc (Vk )

1 − αc (Uk ) 1 − Uk ω −Uk − ω −Uk Uk = ω U k Vk = Vk = 2 2 2 √ √ √ (− 1 − i 23 Uk ) − (− 12 Uk − i 23 ) 1 1 − Uk 3 = (− + i )Vk = ωσk+ , ´es = Vk 2 2 2 2 2 1 + αc (Uk ) 1 + Uk ω −Uk + ω −Uk Uk = ω U k Vk = Vk = 2 2 2 √ √ √ (− 21 − i 23 Uk ) + (− 21 Uk − i 23 ) 1 1 + Uk 3 = (− − i )Vk = ω 2 σk− ; = Vk 2 2 2 2

1 + Uk 1 − αt (Uk ) = Vk = σk− , 2 2 1 + αt (Uk ) 1 − Uk αt (σk− ) = αt (Vk ) = Vk = σk+ . 2 2

αt (σk+ ) = αt (Vk )

A σ kifejez´esekkel a B(I) algebra U, V gener´ atorai, ´ıgy minden eleme is kifejezhet˝ o, ez´ert az A(I) ⊂ B(I) algebra minden eleme is fel´ırhat´ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o σ-k polinomjak´ent. Az (6.1.1) o ¨szszef¨ ugg´esek seg´ıts´eg´evel ´es a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o index˝ u σ-k kommut´ al´ asa miatt el´erhet˝ o, hogy egy adott i ∈ I indexre ezen polinomok minden tagja legfeljebb egy darab σi+ -t ´es egy darab σi− -t tartalmazzon. (i) Az αt homomorfizmus egy tagot ´eppen annak ”ellenkez˝ oj´ebe” visz a ´t, hiszen minden indexben v´egrehajtja a σ + ↔ σ − cser´et. Ez´ert ha egy polinom erre invari´ ans, akkor minden tagj´ ahoz szerepelnie kell a megfelel˝ o ”ellenkez˝ o” tagnak is. (ii) Az αc homomorfizmus pedig minden tagot a polinomban csak egy sz´ ammal szoroz, ha a-val jel¨ olj¨ uk a tagban tal´ alhat´ o σ + -ok ´es b-vel a σ − -ok sz´ am´ at, akkor ez a sz´ amszorz´ o ω (a+2b) = ω (a−b) (a−b) alak´ u. Ez´ert az invari´ ans polinom minden tagj´ aban ω = 1, azaz a − b = 0| mod3 , teh´ at a σ + -ok − ´es σ -ok sz´ am´ anak k¨ ul¨ onbs´ege h´ arommal oszthat´ o.  ´ ıt´ 6.1.2 All´ as. A fent defini´ alt Xij ´es Yijk alak´ u kifejez´esek (i, j, illetve k ∈ I eset´en) elemei az A(I) megfigyelhet˝ o algebr´ anak, ´es A(I) minden eleme fel´ırhat´ o Xij ´es Yijk alak´ u elemek algebrai kombin´ aci´ ojak´ent. Bizony´ıt´ as. Xij ´es Yijk σ-kkal kifejezett alakjaib´ ol nyilv´ anval´ o, hogy megfelelnek az el˝ oz˝ oa ´ll´ıt´ as k¨ ovetelm´enyeinek, ez´ert elemei (I-beli indexek eset´en) A(I)-nek. Az a ´ll´ıt´ as m´ asodik r´esz´et Card(I) szerinti teljes indukci´ oval bizony´ıtjuk. A csoporthat´ as a tagok foksz´ am´ at nem v´ altoztatja, ez´ert az A(I)-beli invari´ ans polinomok minden homog´en valamilyen fok´ u polinomja is invari´ ans; elegend˝ o teh´ at az ilyen homog´en polinomokat el˝ oa ´ll´ıtanunk X ´es Y seg´ıts´eg´evel. Egy homog´en polinomon bel¨ ul (i) ´ertelm´eben minden taghoz tal´ alunk megfelel˝ o ”ellenkez˝ o” tagot. Egy tag ´es az ”ellenkez˝ o” tagja egy¨ utt o ¨nmag´ aban is invari´ ans, ez´ert csak olyan kifejez´esekkel kell foglalkoznunk, melyek valah´ any σ szorzat´ anak ´es ugyanezen szorzat σ + ↔ σ − cser´elt v´ altozat´ anak o ¨sszeg´eb˝ ol a ´llnak. (ii) alapj´ an egy tagban a σ + -ok ´es σ − -ok darabsz´ am´ anak k¨ ul¨ onbs´ege h´ arommal oszthat´ o, mik¨ ozben (6.1.1) miatt egy tagban minden i ∈ I-re legfeljebb egy darab σi+ ´es legfeljebb egy darab σi− tal´ alhat´ o. A tov´ abbiakban az invari´ ans tag+”ellenkez˝ o” tag o ¨sszeget P (n) -el jel¨ olj¨ uk, amennyiben a benne szerepl˝ o σ-k n db k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o indexet viselnek. 37

Card(I) = 1 eset´en P (1) -ben σi+ -t (ii) miatt σi− -al is szorozni kell, az egyetlen invari´ ans polinom P (1) = σi+ σi− + σi− σi+ = Pi+ + Pi− = 1 . Card(I) = 2 eset´en a mindk´et indexet tartalmaz´ o kifejez´esek: P (2) = σi+ σj− + σi− σj+ = Xij vagy 2 P (2) = σi+ σi− σj− σj+ + σi− σi+ σj+ σj− = Pi+ Pj− + Pi− Pj+ = Xij vagy 2 P (2) = σi+ σi− σj+ σj− + σi− σi+ σj− σj+ = Pi+ Pj+ + Pi− Pj− = 1 − Xij .

Card(I) = 3-ra a h´ aromindexes megfelel˝ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o alak´ u homog´en polinomok: P (3) = σi+ σj+ σk+ + σi− σj− σk− = Yijk vagy 2 P (3) = σi− σi+ σj+ σk− + σi+ σi− σj− σk+ = Pi− σj+ σk− + Pi+ σj− σk+ = Xij Xjk vagy 2 P (3) = σi+ σi− σj+ σj− σk+ σk− + σi− σi+ σj− σj+ σk− σk+ = Pi+ Pj+ Pk+ + Pi− Pj− Pk− = Yijk vagy 2 2 P (3) = σi+ σi− σj+ σj− σk− σk+ + σi− σi+ σj− σj+ σk+ σk− = Pi+ Pj+ Pk− + Pi− Pj− Pk+ = Xik Xjk .

Most megmutatjuk, hogy ha A(I)-re az a ´ll´ıt´ as igaz, ´es n = Card(I) ≥ 3, akkor az a ´ll´ıt´ as A(J)-re is igaz, ahol Card(J) = Card(I) + 1 = n + 1 ´es I ⊂ J. Legyen i, j ∈ I, k ∈ J \ I. Ekkor az A(J)-beli P (n+1) -ben a k indexet Pk+ , Pk− (a.) eset), vagy σk+ , σk− (b.) eset) tartalmazhatja. a.) Az el˝ obbi k´et esetben (i) miatt (n) P − P (n+1) = C (n) Pk+ + Cg k

alakban ´ırhat´ o, ahol C (n) n darab k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o indexet hordoz´ o σ-szorzat (n ≥ 3 miatt ez l´etezik ´es g + − (n) nem trivi´ alis), C pedig ennek σ ↔ σ cser´elt v´ altozata. Pk+ ´es Pk− nem v´ altoztatja a σ + -ok ´es − (n) σ -ok sz´ am´ anak k¨ ol¨ onbs´eg´et, ez´ert (ii) miatt a C szorzatban is h´ arommal oszthat´ o lesz a σ + -ok − ´es σ -ok sz´ am´ anak k¨ ul¨ onbs´ege. Ez´ert a (n) P (n) := C (n) + Cg

o ¨sszeg eleme lesz A(I)-nek, az indukci´ os feltev´es szerint ´ıgy az a ´ll´ıt´ as P (n) -re igaz. C (n) a j indexet − + + − σj , Pj , illetve σj , Pj alakban tartalmazhatja, ez´ert az els˝ o k´et esetben P (n+1) = P (n) (Pj+ Pk+ + − − (n) 2 asodik k´et lehet˝ os´eg eset´en P (n+1) = P (n) (Pj− Pk+ + Pj+ Pk− ) = Pj Pk ) = P (1 − Xjk ), m´ıg a m´ 2 P (n) Xjk , ez´ert az a ´ll´ıt´ as P (n+1) -re is igaz. b.) Ekkor (i) miatt (n) σ − P (n+1) = C (n) σ + + Cg k

k

alak´ u. N´egy aleset lehets´eges: b/1.) aleset: valamelyik j ∈ I indexre C (n) = C (n−1) Pj+ alakban ´ırhat´ o, ahol C (n−1) -ben az o ¨sszes I-beli index szerepel j kiv´etel´evel. (n ≥ 3 miatt ez l´etezik ´es nem trivi´ alis.) Ekkor teh´ at (n−1) P − σ − . P (n+1) = C (n−1) Pj+ σk+ + C^ j k

A (6.1.2)

(n−1) σ − C (n−1) σj+ + C^ j

kifejez´es olyan, hogy nyilv´ anval´ oan tudja az (i) tulajdons´ agot; els˝ o tagj´ aban a σ + -ok ´es σ − -ok (n+1) sz´ am´ anak k¨ ul¨ onbs´ege pedig ugyanannyi, mint P els˝ o tagj´ aban, ´ıgy P (n+1) ∈ A(J) miatt erre a kifejez´esre az (ii) tulajdons´ ag is igaz. A (6.1.2) kifejez´es teh´ at A(I)-nek eleme, ez´ert az indukci´ os 38

feltev´es ´ertelm´eben X ´es Y alak´ u elemek algebrai kombin´ aci´ oja, ´es X jk = σj− σk+ + σj+ σk− -al jobbr´ ol szorozva ´epp P (n+1) -et kapjuk. b/2.) aleset: valamelyik j ∈ I indexre C (n) = C (n−1) Pj− alakban ´ırhat´ o, ahol C (n−1) -ben ism´et az o ¨sszes I-beli index szerepel j kiv´etel´evel. Ekkor (n−1) P + σ − . P (n+1) = C (n−1) Pj− σk+ + C^ j k

Most az el˝ obbi (6.1.2) kifejez´est Xjk = σj− σk+ + σj+ σk− -al balr´ ol szorozva kapjuk P (n+1) -et, teh´ at (n+1) az a ´ll´ıt´ as P -re ism´et igaz. b/3.) aleset: valamelyik j ∈ I indexre C (n) = C (n−1) σj− alakban ´ırhat´ o, ahol C (n−1) -ben ism´et az o ¨sszes I-beli index megtal´ alhat´ o j kiv´etel´evel. Most (n−1) σ + σ − . P (n+1) = C (n−1) σj− σk+ + C^ j k

A (6.1.3)

(n−1) C (n−1) + C^

kifejez´es nyilv´ anval´ oan tudja az (i) tulajdons´ agot, ´es els˝ o tagj´ aban a σ + -ok ´es σ + -ok k¨ ul¨ onbs´ege (n+1) ugyanannyi, mint P els˝ o tagj´ aban. Ez´ert (6.1.3) az (ii) tulajdons´ agot is kiel´eg´ıti, vagyis (6.1.3)∈ A(I \ {j}), r´ a az indukci´ os feltev´es vonatkozik. n ≥ 3 miatt (6.1.3) nem trivi´ alis (hiszen p´eld´ aul n = 2-re csak az egys´egelem lehetne), ez´ert n´ezhetj¨ uk az i ∈ I \ {j} index˝ u szorz´ otagot 2 C (n−1) -ben. Amennyiben ez a tag σi− vagy Pi+ , u Xjk = Pi+ σj− σk+ + Pi− σj+ σk− -al, ha pedig ´gy Xij 2 = Pi− σj− σk+ + Pi+ σj+ σk− -al szorozva kapjuk P (n+1) -et. ez a tag σi+ vagy Pi− , u ´gy Xjk Xij (n) b/4.) aleset: C -re az eddigi b/1.) , b/2.) , b/3.) esetek k¨ oz¨ ul egyik sem alkalmazhat´ o, azaz (n) + C csupa σ -t tartalmaz. Ilyenkor n − 2 ≥ 1 h´ arommal oszthat´ o, ´es P (n+1) = σa+1 . . . σa+n−2 σi+ σj+ σk+ + σa−1 . . . σa−n−2 σi− σj− σk− , ahol a1 , . . . an−2 , i, j k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o indexek I-ben ´es k ∈ J \ I. P (n+1) mindk´et tagj´ ab´ ol az utols´ o + h´ arom σ-t elv´eve a σ -ok illetve σ − -ok sz´ ama modulo 3 nem v´ altozik, ez´ert a σa+1 . . . σa+n−2 + σa−1 . . . σa−n−2 kifejez´es eleme A(I \ {i, j})-nek, r´ a az indukci´ os feltev´es szerint az a ´ll´ıt´ as igaz. A kifejez´est Y ijk = σi+ σj+ σk+ + σi− σj− σk− -al szorozva P (n+1) + σa−1 . . . σa−n−2 σi+ σj+ σk+ + σa+1 . . . σa+n−2 σi− σj− σk− -t kapjuk. Az utols´ o k´et tag o ¨sszege a b/3.) alesetbe tartozik (az ott szerepl˝ o C (n−1) hely´ebe most + + − − ul; n ≥ 3 ´es n − 2 h´ arommal oszthat´ os´ aga miatt n ≥ 5, teh´ at ez l´etezik), σa1 . . . σan−3 σi σj ker¨ (n+1) r´ ola teh´ at kor´ abban l´ attuk, hogy az a ´ll´ıt´ as r´ a igaz. P -et teh´ at ism´et megkaptuk X ´es Y alak´ u elemek algebrai kombin´ aci´ oj´ aval.  A B algebra gener´ atorai a ´br´ azolhat´ ok egy Hilbert-t´eren hat´ o oper´ atorokk´ent. U i2 = 1B miatt az Ui -t h˝ uen a ´br´ azol´ o oper´ ator saj´ at´ert´eke ±1. A k´et saj´ atvektor legyen | ↑i ´es | ↓i, melyeket a fizik´ aban spin´ all´ asoknak feleltetnek meg. Ha |ai Ui saj´ atvektora valamilyen saj´ at´ert´ekkel, akkor az antikommut´ aci´ os szab´ aly miatt Vi |ai saj´ atvektor ellentett saj´ at´ert´ekkel. Ez´ert Vi | ↑i = | ↓i ´es Vi | ↓i = | ↑i. Mindezek alapj´ an k¨ ovethet˝ o σi± hat´ asa ezeken az a ´llapotokon. σi+ csak a | ↓i − obb index˝ u vektoron lesz nem nulla, ´es bel˝ ole | ↑i-t csin´ al, σi pedig ´epp ford´ıtva dolgozik. Xij t¨ elem; mivel a B algebr´ aban a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o indexekhez tartoz´ o gener´ atorok egym´ ast´ ol f¨ uggetlenek, ez´ert minden indexre megism´etelhet˝ o a fenti a ´br´ azol´ as, vagyis a k´etindexes X ij oper´ ator a k´et ny´ıllal 39

jellemezhet˝ oa ´llapotokon hathat. Mivel ez az oper´ ator a k´et index´eben ellenkez˝ o σ ± -t tartalmaz, hat´ asa csak a | ↑↓i ´es a | ↓↑i vektorokon lesz null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o, ezeket a vektorokat megcser´eli. Hasonl´ oan Yijk a |↑↑↑i ´es |↓↓↓i vektort cser´eli fel egym´ assal, ´es m´ as h´ armas elrendez´est a null´ aba 2 2 visz a ´t. Az Xij egy egyszer˝ u projektor, az ellent´etes a ´ll´ as´ u spinp´ arok alter´ere vet´ıt, 1 B − Xij az azonos a ´ll´ as´ u spin´ allapotokra projekt´ al. Mindezek alapj´ an elk´esz´ıthet¨ unk az Aijk h´ arom pont-algebr´ aban az X elemek seg´ıts´eg´evel egy m´ atrixegys´eg a ´br´ azol´ ast. Legyen ugyanis   1 |↓↑↑i ≡  0  0 ekkor   1 0 0 2 2  0 0 0  ≡ Xij (1B − Xjk ) 0 0 0 

0 0 0  0 0 0

 1 0 2 0 0  ≡ Xij Xjk 0 0  0 0 2 0 1  ≡ Xij Xjk 0 0

,

,

,

  0 |↑↓↑i ≡  1  0

,

,

 0 0 0 2 2  0 1 0  ≡ Xij Xjk 0 0 0 



0 0 0  0 0 1

 0 1 0 0  ≡ Xij Xjk 0 0  0 0 0 0  ≡ Xjk Xij 0 0

  0 |↑↑↓i ≡  0  , 1

,

,

,

K¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ ok a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ agok:

 0 0 0 2 2  0 0 0  ≡ Xjk (1B − Xij ) , 0 0 1 



0 1 0  0 0 0

 0 0 2 0 0  ≡ Xjk Xij 0 0  0 0 2 0 0  ≡ Xjk Xij 1 0

,

.

Xij Xjk Xij = Xjk Xij Xjk = 0 ; 2 2 [Xij , Xjk ]=0; 2 Xij = {Xij , Xjk }; 3 Xij = Xij .

K´erd´es, hogy ezek a rel´ aci´ ok minden inform´ aci´ ot tartalmaznak-e az X A-gener´ atorok egym´ as k¨ oz¨ otti viselked´es´er˝ ol. A fenti m´ atrixegys´eg a ´br´ azol´ as m´ atrixainak szorz´ asi szab´ aly´ at megkaphatjuk a m´ atrixokhoz tartoz´ o kifejez´esek szorz´ asaib´ ol. Ezek elv´egz´es´ehez pedig elegend˝ oek az el˝ obb felsorolt rel´ aci´ ok. Eszerint teh´ at az algebra X elemeinek viselked´es´et (a h˝ u a ´br´ azol´ asukat alkot´ o oper´ atorok saj´ atvektorain) meghat´ arozz´ ak a fenti rel´ aci´ ok. Az algebra fel´ır´ asakor lehet˝ oleg szomsz´edos i, j, k indexekkel dolgozunk, ez´ert kev´esb´e jelent˝ os a k¨ ovetkez˝ o rel´ aci´ o, mellyel nem szomsz´edos indexekre t´erhet¨ unk a ´t: Xik = {Xij , Xjk } . Tov´ abbi n´eh´ any rel´ aci´ oval le´ırhatjuk az Y elemek viselked´es´et is: 3 Yijk = Yijk ; Yijk Xij = 0 ;

{Yijk , Xkl } = Yijl ; 2 {Yijk , Xkl } = Yijk ;

[Yijk , Yijl ] = [Xjk , Xjl ] + [Xik , Xil ] , 40

6.2. Az invari´ ans algebra amplimorfizmusai

Keress¨ unk az A invari´ ans algebr´ aban olyan % lok´ alis endomorfizmust, amely kiterjed B egy %e lok´ alis endomorfizmus´ av´ a is. 6.2.1 Lemma. Legyen I ⊂ Z v´eges intervallum, A pedig a teljes invari´ ans algebra. Ekkor A 0 ∩ B(I) = C · 1B . Q Q −Ui Vi elemek ω illetve Bizony´ıt´ as. Az S3 csoport hat´ asa bels˝ o hat´ as B(I)-n, melyet induk´ al´ o i∈I

i∈I

gener´ alj´ ak az S3 (I) algebr´ at. Ez az algebra minden indexben ugyanolyan elemeket tartalmaz. A B(I) teljes M2 m´ atrixalgebr´ ak tenzorszorzat´ aban S3 (I)00 ∩B(I) = S3 (I) teljes¨ ul [GHJ], ´es a csoport 0 adjung´ alt hat´ asa miatt S3 (I) ∩ B(I) ´epp az invari´ ans A(I) algebra. Ez´ert A(I)0 ∩ B(I) = S3 (I). Ekkor A(I) ⊂ A miatt A0 ⊂ A(I)0 , ´ıgy A0 ∩ B(I) ⊂ A(I)0 ∩ B(I) = S3 (I). A0 ∩ B(I) teh´ at S3 (I)nek az a r´esze, amelyik kommut´ al A-val. Nyilv´ anval´ o, hogy az A(I)-vel val´ o kommut´ al´ as nem ad megszor´ıt´ ast a keresett algebr´ ara; azok az A-beli elemek lesznek ´erdekesek, melyek egyik indexe tal´ alhat´ o csak I-ben. Legyen j ∈ I index u ´gy, hogy j + 1 m´ ar nem esik I-be. Ekkor X j,j+1 ∈ A, teh´ at egy A0 ∩ B(I)-beli elem vele kommut´ al. Nyilv´ anval´ oan S3 (I) j-n´el kisebb index˝ u r´esz´evel Xj,j+1 kommut´ alni fog. A cj ≡ ω −Uj ´es tj ≡ Vj csoportgener´ atorokkal elv´egezve a kommut´ aci´ ot, azt kapjuk, hogy cj +c2j illetve tj +tj cj +tj c2j a kommut´ al´ o kombin´ aci´ ok. Az els˝ o kombin´ aci´ o −1Bj , a m´ asodik pedig nulla. Ha egy S3 (I)-beli elem teh´ at kommut´ al Xj,j+1 -el, akkor ez az elem olyan kombin´ aci´ oj´ u, hogy nem tartalmazza a j indexet (azaz kommut´ al B j -vel). Ne felejts¨ uk el, hogy S3 (I) egy eleme minden index´eben ugyanolyan alak´ u kifejez´esek szorzat´ ab´ ol a ´ll. Ez azt jelenti, hogy ha a fentiek szerint Xj,j+1 -el kommut´ al´ o elem a j indexet nem tartalmazza, akkor semelyik i ∈ I indexet sem tartalmazza, azaz kommut´ al B(I)-vel. A0 ∩ B(I) teh´ at olyan elemekb˝ ol a ´ll, 0 melyek B(I)-ben ´es B(I) -ben is benne vannak, ezek pedig csak az egys´eg sz´ amszorosai lehetnek.  ´ ıt´ 6.2.2 All´ as. Csak egy nem trivi´ alis lok´ alis endomorfizmusa l´etezik az A algebr´ anak u ´gy, hogy az B-re kiterjesztve is lok´ alis endomorfizmus maradjon, ´es ez a k¨ ovetkez˝ o: % : V i 7→ −Vi ´es Ui 7→ Ui , vagyis Yijk 7→ −Yijk ; Xij 7→ Xij . Bizony´ıt´ as. A kiterjesztett %e endomorfizmus a teljes m´ atrixalgebr´ ak tenzorszorzat´ ab´ ol a ´ll´ o B(I)-n a Skolem-Noether t´etel (4.1.11) alapj´ an bels˝ o: l´etezik B ∈ B, hogy %e(x) = B x B −1 ∀x ∈ B eset´en. Amennyiben % = %e|A az A-nak automorfizmusa, u ´gy x ∈ A eset´en B x B −1 ∈ A, ez´ert a g ∈ S3 csoportelemet hattatva B x B −1 = αg (B x B −1 ) = αg (B) x αg (B −1 ) = αg (B) x αg (B)−1 ,

azaz [x, B −1 αg (B)] = 0 minden x ∈ A-re. Mivel %e lokaliz´ alt, van olyan I intervallum, hogy B ∈ B(I). Ez´ert B −1 αg (B) ∈ A0 ∩ B(I). Az el˝ oz˝ o lemma alapj´ an van olyan cg ∈ C sz´ am, hogy B −1 αg (B) = cg · 1B . A g 7→ cg lek´epz´es a csoport egy egydimenzi´ os a ´br´ azol´ asa. A trivi´ alis (V 0 ) a ´br´ azol´ as a mi szempontunkb´ ol ´erdektelen. A m´ asik lehet˝ os´eg a V 1 a ´br´ azol´ as, ekkor a B elem ´epp az U gener´ atorok szorzat´ aval egyezik meg az I intervallumon, ´es %e ´eppen az a ´ll´ıt´ asban szerepl˝ o csoporthat´ as. 

Ha endomorfizmusokat nem tal´ altunk a megfigyelhet˝ o algebr´ aban, c´elszer˝ u egy t´ agabb lehet˝ os´egeket tartalmaz´ o konstrukci´ ot, amplimorfizmust keresni. 6.2.3 Defin´ıci´ o. A B algebra amplifik´ altj´ anak nevezz¨ uk az Mn (B) n-szer n-es m´ atrixok ter´et, melyek m´ atrixelemei nem sz´ amok, hanem B elemei. Mn (B) egy egys´egelemes ∗-algebra, melyen a szorz´ ast az Mn -beli m´ atrixok szorz´ asak´ent ´ertelmezz¨ uk, m´ atrixelemenk´ent a B algebra szorz´ as´ at v´egezve. Mn (B)-t B ⊗ Mn (C)-vel is jel¨ olj¨ uk. B amplimorfizmusainak nevezz¨ uk a B → Mn (B) ∗homomorfizmusokat. Egy µ : B → Mm (B) amplimorfizmus bels˝ o, ha valamilyen n-re l´etezik olyan F m-szer n-es amplifik´ alt elem Mmn (B)-ben, hogy minden x ∈ B elemre µ(x) = F (x ⊗ 1n ) F ∗ teljes¨ ul, ´es F ∗ F = 1n . (n < m eset´en ilyenkor a ´ltal´ aban F F ∗ = µ(1B ) 6= 1m , az amplimorfizmus teh´ at nem egys´eg˝ orz˝ o.) 41

Nyilv´ anval´ o, hogy Mn (B) ”t´ agabb” B-n´el, hiszen azt B ⊗ 1n form´ aban tartalmazza. Az el˝ oz˝ o a ´ll´ıt´ as bizony´ıt´ as´ ahoz hasonl´ o gondolatmenet seg´ıts´eg´evel fontos tulajdons´ agokat tudhatunk meg a A algebra olyan µ amplimorfizmusair´ ol, melyek kiterjeszthet˝ ok a B
algebra µ e lok´ alis amplimorfizmusaiv´ a. Az amplifik´ al´ as ut´ an tov´ abbra is igaz lesz, hogy M n B(I) minden amplimorfizmusa bels˝ o. ´ ıt´ 6.2.4 All´ as. A fentiek szerinti µ e : B → Mm (B) ; x 7→ F (x ⊗ 1n ) F ∗ amplimorfizmust gener´ al´ o F ∈ Mmn (B) elem minden sora a m´ atrixelemenk´ent k¨ ul¨ on hat´ o αg S3 csoporthat´ asra n´ezve egy D-multiplett, azaz αg (F ) = F (1B ⊗ Dg ), ahol Dg ∈ Mn a g csoportelem m´ atrix´ abr´ azol´ asa. Bizony´ıt´ as. x ∈ A eset´en µ e(x) ∈ Mm (A) teljes¨ ul´es´et k¨ ovetelj¨ uk meg, ez´ert az amplifik´ alt tereken
F (x ⊗ 1n ) F ∗ = αg F (x ⊗ 1n ) F ∗ = αg (F ) (x ⊗ 1n ) αg (F ∗ ) .

Ezt balr´ ol F ∗ -al, jobbr´ ol αg (F )-el szorozva, ´es felhaszn´ alva, hogy F ∗ F = 1n valamint a B-n hat´ o S3 hat´ as automorfizmus volt´ at F ∗ F (x ⊗ 1n ) F ∗ αg (F ) = F ∗ αg (F ) (x ⊗ 1n ) αg (F ∗ ) αg (F ) ;   (x ⊗ 1n ) , F ∗ αg (F ) = 0 .

A (6.2.1) lemma szerint ez azt jelenti, hogy



0

F ∗ αg (F ) ∈ B(I) ⊗ Mn ∩ A(I) ⊗ 1n = B(I) ⊗ Mn ∩ A(I)0 ⊗ Mn =
= B(I) ∩ A(I)0 ⊗ Mn = 1B ⊗ Mn .

Minden g ∈ G elemhez teh´ at van olyan Dg ∈ Mn m´ atrix, hogy F ∗ αg (F ) = 1B ⊗ Dg . Balr´ ol F -el ∗ szorozva ´es kihaszn´ alva, hogy F F = µ e(1B ) invari´ ans a csoport hat´ as´ ara F F ∗ αg (F ) = αg (F F ∗ F ) = αg (F ) = F (1B ⊗ Dg ) .

A jobb oldalon megjelen˝ o Dg m´ atrixok a csoport egy a ´br´ azol´ as´ at adj´ ak, ugyanis az el˝ obbiek alapj´ an

F (1B ⊗ Dhg ) = αhg (F ) = αh αg (F ) = αh F (1B ⊗ Dg ) = αh (F ) (1B ⊗ Dg ) =

= F (1B ⊗ Dh ) (1B ⊗ Dg ) = F 1B ⊗ (Dh Dg )




.

Az αg (F ) = F (1B ⊗ Dg ) o ¨sszef¨ ugg´es pedig pontosan azt jelenti, hogy F minden sora egy Dmultiplett.  B-re is lok´ alisan kiterjed˝ o A-ban lok´ alis amplimorfizmusok megtal´ al´ as´ ahoz teh´ at az o ˝ket gener´ al´ o F m´ atrixokat kell megtal´ alnunk. Ezek m´ atrixelemei B(I)-ben vannak, sorai D-multiplettek, ´es r´ ajuk F ∗ F = 1n teljes¨ ul. Az egyik legegyszer˝ ubb
lehet˝ os´eg D hely´ebe a V2 k´etdimenzi´ os iro el˝ obbi reducibilis a ´br´ azol´ ast ´ırni, ´es F ∈ M2×2 B(i, i + 1) elemet keresni. Az F -re vonatkoz´ felt´etelek fel´ır´ asa azonban egym´ asnak ellentmond´ o egyenleteket eredm´enyez, k´et elem˝ u intervallumon lokaliz´ alt, M2 (B)-be ´erkez˝ o amplimorfizmus teh´ at csak a trivi´ alis ´es a 6.2.2 a ´ll´ıt´ asban szerepl˝ o endomorfizmusb´ ol rakhat´ oo ¨ssze. Azonban V2 multiplettekb˝ ol a ´ll, ´es kiel´eg´ıti az F ∗ F = 12 felt´etelt a k¨ ovetkez˝ o F m´ atrix:   − − Pi σj Pi+ σj+ F =  σi− σi+  . − + + + σi σj σi σj L´enyeg´eben u ´j A → M3 (A), B-re is kiterjed˝ o, k´et ponton lokaliz´ alt amplimorfizmust kaptunk teh´ at ezen F seg´ıts´eg´evel x 7→ F (x ⊗ 12 ) F ∗ alakban fel´ırva.

42

Irodalomjegyz´ek [1] R. Haag: Local Quantum Physics, Springer, 1995(??) [2] C. W. Curtis, I. Reiner: Representation Theory of Finite Groups and Associate Algebras, Interscience, New York, 1966 [3] E. P. Wigner: Csoportelm´eleti m´ odszerek a kvantummechanik´ aban (??) [4] K. Szlach´ anyi, P. Vecserny´es: Quantum Symmetry and Braid Group Statistics in G-Spin Models, Commun. Math. Phys. 156, 127-168 (1993) [GHJ] (??)

43

Tartalom Bevezet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. V´eges csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. A csoportalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Modulusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Karakterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Reprezent´ aci´ oelm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1. A reprezent´ aci´ os kateg´ oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. A 3j-´es a 6j-szimb´ olumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. A rigidit´ as intertwinerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Az S3 csoport 6j-szimb´ olumai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1. A 6j-szimb´ olumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Az S3 csoport pentagon-egyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4. V´eges csoportszimmetri´ ak a kvantumelm´eletben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1. Az invari´ ans r´eszalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2. A kvantumt´erelm´elet megfigyelhet˝ o algebr´ aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5. Az Ising-spin modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.1. Az invari´ ans r´eszalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2. A megfigyelhet˝ o algebra lok´ alis szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6. Egy S3 -spin modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.1. Az invari´ ans r´eszalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2. Az invari´ ans algebra amplimorfizmusai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Irodalomjegyz´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

44