V.B. Függvények Megoldások 1.1. Reggel 8 órakor. 1.2. 18 km-t. 1.3. A 12 órás kiránduláson összesen 36 km-t tettek meg. Az 36 km átlagsebességet így számoljuk ki: =3 . 12 h 1.4. Összesen 5 órát pihentek az útjuk során. 1.5. Láthatjuk, hogy induláskor 1 óra alatt 3 km-t tettek meg, az HOV SLKHQpV XWiQ SHGLJ 1 óra alatt 6 km-t. Tehát nem mindig egyforma sebességgel haladtak. )RJODOMXN WiEOi]DWED D] HJ\HV OHKHWVpJHNHW $] DOiEEL WiEOi]DWEDQ D] HOV pV D KDUPDGLN VRU |VV]HJpQHN D]RQRV oszlopban mindig 10-nek kell lennie, hiszen összesen ennyi IHODGDWYROWDYHUVHQ\HQ$PiVRGLNVRUEDQD]HOVVRU|WV]|U|VH található, a negyedik sorban a harmadik sor –3-szorosa. A legalsó sorban a második és a negyedik sor összege található. jó 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 megoldások 0 száma 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 pontszám rossz 8 7 6 5 4 3 2 1 0 megoldások 10 9 száma –30 –27 –24 –21 –18 –15 –12 –9 –6 –3 0 pontszám összesen –30 –22 –14 –6 2 10 18 26 34 42 50 pontszám $] HOV NpUGpVUH D WiEOi]DWEyO OHROYDVKDWy D YiODV] 8 feladatot oldott meg, ha a versenyen nem lehetett kapni részpontszámokat. $PiVRGLNNpUGpVUHHJ\pUWHOP&HQQHPDYiODV]PLYHODWiEOi]DWból is látható, hogy a második sor számainak (ezek éppen a hibaSRQW QpONOL SRQWRN QDJ\ViJ V]HULQWL HOUHQGH]GpVH pSS RO\DQ mint a legalsó soré. A grafikon többféleképpen is kinézhet. Az alábbi egy lehetséges változat.
91
hJ\HOMQN DUUD KRJ\ D] HJ\ HJ\HQHVUH HV KLV]HQ OLQHiULV IJJYpQ\UO YDQ V]y SRQWRNDW QH N|VVN |VV]H PHUW D YHUVHQ\feladatok mennyisége diszkrét mennyiség. )RJODOMXNWiEOi]DWEDDNO|QE|]OHKHWVpJHNHW 2 3 4 5 6 7 8 I 1 ár 400 400 400 400 400 400 400 400 10 11 12 13 14 15 … I 9 ár 800 800 800 800 800 800 800 … 1600GLQiUWDNNRUIL]HWKHWHWWD]RV]WiO\IQ|NKD25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 vagy 32 diák tekintette meg a kiállítást. Ez utóbbi megállapítás az alábbi grafikonon is remekül látszik.
92
7iEOi]DWVHJtWVpJpYHOKDVRQOtWVXN|VV]HDIL]HWHQGN|OFV|Q]psi díjat! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 lemez kölcsön176 192 208 224 240 256 272 288 304 320 336 352 zési díj (1. kt.) kölcsön104 128 152 176 200 224 248 272 296 320 344 368 zési díj (2. kt.) 9OHPH]NLN|OFV|Q]pVpLJDPiVRGLNN|Q\YWiUWNHGYH]EEYiODV]WDni, 10-QpO W|EE N|OFV|Q]pV HVHWpQ SHGLJ D] HOVW (] D] DOiEEL grafikonról is jól leolvasható: a fekete körök egy darabon ( 1 ≤ x < 10 ) a szürke négyzetek fölött helyezkednek el, majd x = 10nél éppen fedik egymást, ezután pedig már a szürke négyzet lesz fölül.
+D FVDN HJpV] V]iPRNNDO SUyEiONR]XQN DNNRU D N|YHWNH] területek adódnak: a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 17 32 45 56 65 72 77 80 81 80 terület Az a sejtésünk támad, hogy a terület akkor lesz a legnagyobb, amikor a téglalap éppen négyzet alakot ölt. A grafikon csak tovább HUVtWL H]W D VHMWpVW hiszen egy parabolát vélünk fölismerni. 9DOyEDQDOJHEUDLODJLVOHYH]HWKHWDSDUDERODNpSOHWH
93
36 − 2 x y = x , 2 azaz y = − x 2 + 18 x . Ez a parabola a maximumát valóban az x = 9 pontban veszi föl, tehát sejtésünk helyes.
A fenti grafikon pontjait szabadkézzel összeköthetjük egy ívelt vonallal, hiszen a téglalap egyik oldalának hossza bármely valós számot fölveheti, így kirajzolódik a parabola folytonos görbéje. A feladatban a téglalap területéül megadott számtól elvonatkoztatva megállapíthatjuk, hoJ\ D] DGRWW NHUOHW& WpJODODSRN N|]O D négyzet területe a legnagyobb. +D FVDN HJpV] V]iPRNNDO SUyEiONR]XQN DNNRU D N|YHWNH] kerületek adódnak: a 1 2 3 4 6 9 12 18 36 36 18 12 9 6 4 3 2 1 b kerület 74 40 30 26 24 26 30 40 74 A táblázat alapján az a sejtésünk támadhat, hogy itt hiperbola egyik ága rajzolódik ki, amelynek a minimuma x = 6 környékén van. Ha elszakadunk az egész számoktól, és például a = 5,9 vagy a = 6,1 pontokban is kiszámoljuk a kerületet, akkor pontosítani tudjuk sejtésünket: éppen x = 6 pontban veszi föl a görbe a minimumát. +D HJ\ NLFVLW PpO\HEEUH V]HUHWQpQN OiWQL DNNRU D] HO] IHODGDWhoz hasonlóan kiszámolhatjuk az alábbi ábrán látható görbe 2 x 2 + 72 36 egyenletét: y = 2 x + 2 ⋅ . Átalakítás után az y = racionáx x lis törtfüggvényt kapjuk. 94
Jól látható, hogy a kerület akkor lesz a legkisebb, amikor a téglalap éppen négyzet alakot ölt. $ IJJYpQ\J|UEH D UDFLRQiOLV W|UWIJJYpQ\HNUO N|]pSLVNROiEDQ tanultak alapján folytonos vonallal megrajzolható. 7. 1. 2. 3. 4. nap napszak – este reggel este reggel este reggel este 5 2 7 4 9 6 szint (m) – 11 A táblázatból leolvasható, hogy a 4. napon kiszabadul a csiga a J|G|UEO(]DJUDILNRQRQLVMyOOiWV]LN
Azt hozzá keOO I&]QQN D PHJROGiVKR] KRJ\ – mint a szöveges föladatokhoz általában – szükség van egy kis természetes matematikai naivitásra. Azaz tételezzük föl, hogy a csiga egyenletesen 95
IJJOHJHVHQ PiV]LN pV XJ\DQtJ\ FV~V]LN YLVV]D QHP SLKHQ nem áll meg enni… Mindezeket a feltéteket megadhattuk volna a föladat szövegében is, de szándékosan nem tettük. A szöveges feladatoknál éppen az a cél, hogy a valóság bizonyos elemeit ILJ\HOHPEHYpYHPiVIRQWRVDEEQDNtWpOWN|UOPpQ\HNHWV]HPHOWW tartva megalkossunk egy matematikai modellt. A feladat megoldásának értelmezésénél tisztában kell lennünk a megoldás és a matematikai modell, illetve a matematikai modell és a valóság kapcsolatával. 8. Készítsünk táblázatot! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 HOWHOWLG s) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 ágak száma 50 100 magassága A fenti táblázatban nem fért el, de jól látható a függvény növekedése a másodperc függvényében. A paszuly 200 m magas a 20. másodperc végén lesz. Addigra éppen 100 ága lesz. Mindezt az alábbi grafikon is jól szemlélteti.
9. Laci és Peti tömege állandó, így összegük is állandó: 80 kg. Nézzük meg, hogy a másik három gyerek tömege mikor lesz 186 kg – 80 kg = 106 kg. 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Zoli 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Tibi 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Laci összes 88 91 94 97 100 103 106 109 112 125 128 131 134 tömeg 96
A vastagon szedett sorban leolvasható, hogy Zoli, Tibi és Laci hány kg súlyúak. 10. mikrobuszok száma mikrobusszal utazók száma autóval utazók száma autók száma
1
2
3
4
5
9
18
27
36
45
78
69
60
51
42
16 14 12 11 9 marad az marad az ez marad az marad az autóban 2 autóban 1 jó autóban 4 autóban 3 üres ülés üres ülés üres ülés üres ülés
mikrobuszok száma mikrobusszal utazók autóval utazók autók száma
6
7
8
9
54
63
72
81
33 24 15 6 7 5 3 2 marad az marad az ez marad az autóban 2 autóban 1 jó autóban 4 üres ülés üres ülés üres ülés $ NpW OHKHWVpJHV HVHWEHQ D MiUP&YHN V]iPD 3 + 12 és 8 + 3. Az utóbbi megoldás a helyes, mivel a legkevesebb jiUP&PHJUHQGHlését jelenti.
97
