Valószínűségszámítás összefoglaló I. Fejezet Kombinatorika Permutáció a) Ismétlés nélküli n különböző elem lehetséges sorrendje Pn = n! b) Ismétléses n nem feltétlenül különböző elem összes különböző sorrendje n! Pnk1 ,k2 ,...,kn = , ahol k i az azonos elemek gyakorisága k1!k 2 !...k n !
Kombináció a) Ismétlés nélküli n különböző elemből k különböző elem kiválasztása, ahol nem számít a sorrend (1 ≤ k ≤ n ) n! n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) ⎛ n ⎞ C nk = = = ⎜⎜ ⎟⎟ k!(n − k )! k! ⎝k ⎠ b) Ismétléses n különböző elemből k elem kiválasztása (egy elemet többször is választhatunk), ahol nem számít a sorrend ( k ≥ 1 és k lehet nagyobb is n nél) ⎛ n + k − 1⎞ (n + k − 1)! (n + k − 1)(n + k )...n ⎟⎟ = = C nk ,i = ⎜⎜ k! ⎝ k ⎠ k!(n − 1)!
Variáció a) Ismétlés nélküli n különböző elemből k különböző elem kiválasztása, tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére (1 ≤ k ≤ n ) n! Vnk = = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) (n − k )! b) Ismétléses n különböző elemből k elem kiválasztása (egyet többször is választhatunk), tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére ( k ≥ 1 és k lehet nagyobb is n -nél) Vnk ,i = n k
Axiómák: ⎛ n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝0⎠
0!= 1
⎛ n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝ n⎠
⎛0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝0⎠
Binomiális-tétel:
(a + b )n = a n + ⎛⎜⎜
n n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ n− 2 2 ⎛ n ⎞ n −1 ⎛n⎞ ⎟⎟a b + ⎜⎜ ⎟⎟a b + ... + ⎜⎜ ⎟⎟ab + b n = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟a n −k b k k =0 ⎝ k ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n − 1⎠
Polinomiális-tétel: k n! a1j1 a 2j2 ...a kjk , ahol ∑ ji = n j1! j 2 !... j k ! i =1 A felbontás elég csak a j1 ≥ j2 ≥ ... ≥ jn esetre elvégezni.
(a1 + a2 + ... + an )n = ∑
A j -k szerinti felbontást a k -nak minden j szerinti kombinációjára meg kell nézni.
A binomiális együtthatók tulajdonságai ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎟⎟ a) ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝k ⎠ ⎝n − k ⎠ ⎛ n + 1⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ b) ⎜⎜ ⎝ k + 1⎠ ⎝ k + 1⎠ ⎝ k ⎠ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛ n⎞ n ⎛ n⎞ c) ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + K + ⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 n ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ n ⎠ v =0 ⎝ v ⎠
⎧ n ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎪1, n ⎛n⎞ v ⎛ n⎞ d) ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ + K + (− 1) ⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ (− 1) ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎨ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ n ⎠ v =0 ⎝ v ⎠ ⎪⎩0,
ha n = 0 ha n > 0
Binomiális együtthatók Cauchy-féle tulajdonsága ⎛ m + n ⎞ ⎛ m ⎞⎛ n ⎞ ⎛ m ⎞⎛ n ⎞ ⎛ m ⎞⎛ n ⎞ k ⎛ m ⎞⎛ n ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + K + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ , ahol m, n, k ∈ Z + ⎝ k ⎠ ⎝ 0 ⎠⎝ k ⎠ ⎝ 1 ⎠⎝ k − 1⎠ ⎝ k ⎠⎝ 0 ⎠ v =0 ⎝ v ⎠⎝ k − v ⎠
Stirling-formula:
2
n!≈ n n e − n 2πn
II. Fejezet Eseményalgebra Teljes eseményrendszer 1) Bi B j = 0 n
2)
UB
i
i = 1,2,K, n
j = 1,2,K, n
=I
i =1
H eseménytér, amely n számú elemi eseményt tartalmaz: ⎛n⎞ n ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ Lehetséges események száma: s n = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + K + ⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 n ⎝ n ⎠ v =0 ⎝ v ⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ Összetett események száma: s ' n = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + K + ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 n − ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 n − n − 1 ⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝n⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠
Műveletek eseményekkel a) A ⊂ B A⊂ B A⊂ B b) A
A és és A
esemény maga után vonja B eseményt A⊃ B ⇒ A= B B⊂C ⇒ A⊂C esemény ellentettje
A= A A = B ⇒ A = B akkor és csak akkor, ha A és B is ugyanahhoz az eseménytérhez tartoznak I = 0 és 0 = I ( A ∪ B ) A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik c) A + B A+ B = B + A kommutatív ( A + (B + C )) = (( A + B ) + C ) asszociatív (A ∩ B) A és B esemény is bekövetkezik d) AB AB = BA kommutatív A(BC ) = ( AB )C asszociatív A esemény bekövetkezik, de B nem e) A − B A − b = AB
A Borel-féle halmazalgebra ( σ -algebra) 3 tulajdonsága: 1) Bármely A elemének komplementerét is tartalmazza, beleértve I = 0 is. 2) Bármely A és B elemének az unióját is tartalmazza. 3) Elemei bármely végtelen sorozatának egyesítését is tartalmazza (összegét és ∞
szorzatát), általánosan:
∞
IA =UA i
i =1
i
i =1
Az 1) és a 2) feltétel meghatározza az általános halmazalgebra fogalmát.
3
Összefüggések
a) AB = 0 ⇔ A és B kizárják egymást b) Minden olyan esemény, amely nem lehetetlen és nem elemi esemény, egyértelműen felírható meghatározott elemi események összegeként. c) A biztos esemény egyenlő az elemi események összegével: I = A1 + A2 + K d) A szorzás az összeadásra nézve disztributív és fordítva: A(B + C ) = AB + AC A + (BC ) = ( A + B )( A + C ) e) A szorzás és az összeadás idempotens művelet: A+ A = A AA = A f) A + 0 = A A0 = 0 g) A + I = I AI = A h) A + A = I AA = 0 i) De Morgan-azonosságok ∞
A + B = AB
∞
UA =IA i
általános alak:
i
i =1
i =1
∞
∞
i =1
i =1
I Ai = U Ai
AB = A + B
A + ( AB ) = A A( A + B ) = A k) Tetszőleges A és B eseményekre igaz az összeadandókra bontás: A = ( AB ) + A B , ha ( AB ) AB = 0 l) Ha Bi (i = 1,2,K, n ) teljes eseményrendszer és A tetszőleges esemény, akkor:
j)
( )
( )
A = ( AB1 ) + ( AB2 ) + K + ( ABn ) és ( ABi )(AB j ) = 0 (i = 1,2,K, n ) ( j = 1,2,K, n )
4
III. Fejezet Valószínűség Kolmogorov-féle axiómák:
0 ≤ P ( A) ≤ 1 P (I ) = 1 de P( A) = 1 ≠> A = I P( A1 + A2 + K + An + K) = P( A1 ) + P( A2 ) + K + P( An ) + K
I. II. III.
i = (1,2,K, n )
ha Ai A j = 0
j = (1,2,K, n )
A valószínűség klasszikus képlete P ( A) =
k , ahol k a kedvező esetek száma, n az összes eset száma. n
Geometriai valószínűségi képlet m , M ahol M a kísérlettel kapcsolatban szóba jövő teljes geometriai alakzat mértéke, m az A eseménynek megfelelő részalakzat mértéke. P ( A) =
Tételek
()
a) P( A) + P A = 1
b) P(0) = 0 , de P(0 ) = 0 ≠> A = 0 c) P( A1 ) + P( A2 ) + K + P( An ) = 1 ha A1 , A2 ,K, An teljes eseményrendszert alkotnak d) P ( A − B ) = P ( A) − P( AB ) e) Ha B ⊂ A , akkor P ( A − B ) = P ( A) − P (B )
P ( B ) ≤ P ( A) f) P( A + B ) = P ( A) + P (B ) − P ( AB ) g) Poincaré-tétel n −1 P ( A1 + A2 + K + An ) = S1(n ) − S 2(n ) + S 3(n ) − K + (− 1) S n(n ) , ahol
S1(n ) = P( A1 ) + P( A2 ) + K + P( An )
S 2(n ) = S 3(n ) = M
∑ P (A A ) ∑ P (A A A ) i
1≤i < j ≤ n
1≤i < j < k ≤ n
M
j
i
j
S n = P( A1 A2 K An ) (n )
k
M
5
h) Jordan-tétel Annak valószínűsége, hogy n eseményből k következik be: ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 2⎞ ⎛n⎞ ⎟⎟ S k +1 + ⎜⎜ ⎟⎟ S k + 2 − K + (− 1)n− k ⎜⎜ ⎟⎟ S n , ahol Pk = S k − ⎜⎜ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝k ⎠
S1(n ) = P( A1 ) + P( A2 ) + K + P( An )
S 2(n ) = S 3(n ) = M
∑ P (A A ) ∑ P (A A A ) i
1≤i < j ≤ n
1≤i < j < k ≤ n
j
i
j
M
k
M
S n(n ) = P( A1 A2 K An ) A1 , A2, K, An tetszőleges események és k ≥ 1
k = 0 esetén S 0 = 1 i) j)
∞
A1 ⊃ A2 ⊃ K ⊃ An ⊃ An+1 ⊃ K és
IA
i
=A
⇒
lim P( An ) = P ( A)
A1 ⊂ A2 ⊂ K ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ K és
UA
1
=A
⇒
lim P( An ) = P( A)
i =1 ∞
i =1
n →∞
n →∞
Mintavétel a) Visszatevés nélküli mintavétel Függetlenül attól, hogy egyszerre vagy egyenként emeltük ki az elemeket. ⎛ s ⎞⎛ N − s ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟ k ⎠⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ (k = 1,2,K, n ) P( Ak ) = ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠ b) Visszatevéses mintavétel k n−k ⎛ n ⎞⎛ s ⎞ ⎛ N − s ⎞ ⎛ n⎞ k n−k (k = 1,2,K, n) P( Ak ) = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p ) k k n N ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ahol: N a termékhalmaz elemeinek a száma s a selejtes termékek száma n a minta elemszáma k a mintában lévő selejtes elemek száma s p= a selejtarány N Ak az az esemény, amikor az n elemű mintában k számú selejtes van
Feltételes valószínűség 1. A esemény bekövetkezésének valószínűsége, feltéve, hogy B esemény bekövetkezetta 2. A esemény B -re vonatkoztatott feltételes valószínűsége: P( AB ) P( A B ) = , ahol P (B ) ≠ 0 P (B ) 3. A feltételes valószínűségekre vonatkozó Kolmogorov-axiómák:
6
a) 0 ≤ P ( A B ) ≤ 1
P( AB ) P(B ) = = 1 , mivel ha B ⊂ A ⇒ A B = I ⇒ AB = I P (B ) P ( B ) P(( A1 + A2 K)B ) c) P( A1 + A2 + K B ) = , ahol A1 , A2 ,K egymást páronként P(B ) kizáró események 4. A feltételes valószínűségekre igaz minden általános valószínűségszámítási tétel. P A B + P(A B ) = 1 Pl.: P( A1 + A2 B ) = P( A1 B ) + P( A2 B ) − P( A1 A2 B ) b) P( A B ) =
( )
5. Valószínűségek szorzási szabálya: P ( AB ) = P( A)P (A B ) ⎛ n ⎞ P⎜⎜ I Ai ⎟⎟ = P ( A1 )P ( A2 A1 )P ( A3 A1 A2 )K P (An A1 A2 K An−1 ) ⎝ i =1 ⎠
Teljes valószínűség tétele n
P ( A) = P ( A B1 )P (B1 ) + P (A B2 )P (B2 ) + K + P ( A Bn )P(Bn ) = ∑ P ( A Bi )P(Bi ) , i =1
ahol B1 , B2 ,K, Bn teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi ) ≠ 0
Bayes-tétel P(Bi A) =
P ( A Bi )P(Bi )
∑ P(A B )P(B ) n
j =1
j
(i = 1,2,K, n) .
(i = 1,2,K, n ) , ahol
j
B1 , B2 ,K, Bn teljes eseményrendszert alkotnak (i = 1,2,K, n) P(Bi ) ≠ 0 P ( A) ≠ 0 A tetszőleges esemény
Események függetlensége 1. Két esemény független , ha a) P ( AB ) = P( A)P(B ) b) P (A B ) = P ( A) c) P (B A) = P (B )
2. A biztos esemény és a lehetetlen esemény minden más eseménytől független. 3. Ha A és B események függetlenek egymástól, akkor függetlenek a) A és B b) A és B c) A és B
7
események is. 4. Az A1 , A2 ,K, An események páronként függetlenek, ha minden i ≠ j -re fennáll:
P (A i A j ) = P ( A i )P (A j )
(i , j = 1, 2 , K , n )
5. Az A1 , A2 ,K, An események teljesen függetlenek, ha közülük bárhogyan (k = 1,2,K, n ) számú Ai1 , Ai2 ,K, Aik eseményeket, ezekre fennáll: kiválasztva k
(
) ( )( )
( )
P Ai1 , Ai2 ,K, Aik = P Ai1 P Ai2 K P Aik
n
⎛n⎞
∑ ⎜⎜ k ⎟⎟ = 2
− n −1 ⎝ ⎠ 7. Ha A1 , A2 ,K, An események (teljesen) függetlenek, akkor függetlenek azok az események is, amelyeket ezekből úgy nyerünk, hogy közülük néhányat (akár mindet) a komplementerükkel kicserélünk. 6. A teljes függetlenséghez szükséges követelmények száma:
n
k =2
8. Ha A1 , A2 ,K, An események (teljesen) függetlenek, akkor annak valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik: P ( A1 + A2 + K An ) = 1− P A1 P A 2 K P A n
( )( ) ( )
9. Ha a fenti események ugyanazzal a p = P( Ai ) valószínűséggel következnek be: P ( A1 + A2 + K An ) = 1 − (1 − p )
n
10. Ha A1 , A2 ,K, An események (teljesen) függetlenek, akkor annak valószínűsége, hogy közülük pontosan k számú következik be: ⎛n⎞ Pk = ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p ) n− k (k = 1,2,K, n ) ⎝k ⎠ 12. Független kísérlet: P( A1 A2 K An ) = P( A1 )P( A2 )K P( An ) 13. Bernoulli-tétel n számú független kísérlet esetén, ha minden kísérletnél az érdekel, hogy p = P( A) valószínűségű esemény megvalósul-e vagy sem, akkor annak valószínűsége, hogy A esemény pontosan k -szor következik be: ⎛n⎞ p k = ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p) n− k (k = 1,2,K, n ) ⎝k ⎠
8
IV. Fejezet Bevezetés a valószínűségi változók elméletébe Eloszlásfüggvény
1. F ( x) = P(ξ < x) (−∞ < x < +∞) , ahol x tetszőleges valós szám 2. Tulajdonságai: a) Monoton növekvő, azaz x1 < x 2 ⇒ F ( x1 ) < F ( x 2 ) b) Balról folytonos, azaz tetszőleges a helyen F (a ) = lim F ( x ) c) F (− ∞ ) = lim F ( x ) = 0 és F (+ ∞ ) = lim F ( x ) = 1 x → −∞
x→a −0
x →∞
3. Minden a fenti jellemzőkkel bíró függvény tekinthető egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének 4. Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye lépcsős függvény. 4. Ha F ( x ) a ξ valószínűségi változó eloszlás függvénye és a < b , akkor P (a ≤ ξ < b ) = F (b ) − F (a ) 5. Ha az F ( x ) eloszlásfüggvény az x = a helyen folytonos, akkor P (ξ = a ) = 0 6. Ha a ξ folytonos valószínűségi változó, akkor P (a ≤ ξ ≤ b ) = P (a < ξ ≤ b ) = P(a < ξ < b ) = P (a ≤ ξ < b )
Sűrűségfüggvény
1. f ( x ) = F ' (x ) 2. Tulajdonságai: a) f (x ) ≥ 0 mindenütt, ahol értelmezve van. b) F ( x ) =
x
∫ f (t )dt
−∞ +∞
c)
∫ f (x )dx = 1
−∞
b
d) P(a ≤ ξ < b ) = ∫ f ( x )dx a
3. Minden olyan nemnegatív f (x ) valós függvény, amely a (− ∞,+∞ ) +∞
intervallumon integrálható, és eleget tesz a
∫ f (x )dx = 1 egyenlőségnek, egy
−∞
valószínűségi változó sűrűségfüggvényének tekinthető.
Várható érték 1. Diszkrét valószínűségi változó várható értéke: ξ lehetséges értékei x1 , x2 ,K és az ehhez tartozó valószínűségek rendre p1 , p 2 ,K és
∞
∑p i =1
i
= 1 , akkor ξ várható értéke: ∞
M (ξ ) = ∑ xi pi , i =1
9
ha ez a végtelen sor abszolút konvergens, azaz
∞
∑x i =1
i
pi konvergens
2. Folytonos valószínűségi változó várható értéke: ξ sűrűségfüggvénye f (x ) , akkor ξ várható értéke: M (ξ ) =
+∞
∫ xf (x )dx
−∞
+∞
ha ez az integrál abszolút konvergens, azaz
∫ x f (x )dx
konvergens
−∞
3. Ha az abszolút konvergenciára tett kritériumok nem teljesülnek, akkor ξ -nek nincs várható értéke 4. Ha ξ tetszőleges valószínűségi változó, akkor η = aξ 2 + bξ + c várható értéke:
(
)
( )
M η = aξ 2 + bξ + c = aM ξ 2 + bM (ξ ) + c feltéve, hogy M (η ) létezik.
Szórás
(
)
1. D(ξ ) = M (ξ − M (ξ )) , 2
ha ξ -nek és (ξ − M (ξ )) -nek van várható értéke 2
(
D 2 (ξ ) = M (ξ − M (ξ ))
2. Szórásnégyzet:
2
( )
)
( )
D (ξ ) = M ξ − (M (ξ )) = M ξ 2 − M 2 (ξ ) 3. Ha η = aξ + b , ahol a és b tetszőleges valós számok, akkor: D (η ) = D (aξ + b ) = a D (ξ ) 2
2
2
4. Ha ξ lehetséges értékei 1,2,K, n , és ezek mindegyikét egyenlő valószínűséggel veszi fel, akkor: n 1 n +1 M (ξ ) = ∑ k = n 2 k =1 n2 −1 D (ξ ) = 12 2
Várható eltérés
a) d (ξ ) = M (ξ − M (ξ ) ) , ha M (ξ ) létezik
b) d (ξ ) ≤ D(ξ ) c) Ha η = aξ + b , akkor d (aξ + b ) = a d (ξ )
10
V. Fejezet Nevezetes valószínűségeloszlások Diszkrét valószínűségi változók eloszlása a) Karakterisztikus eloszlás:
0 és 1 Lehetséges értékei: Valószínűségeloszlása: P(ξ = 1 ) = p, P(ξ = 0 ) = 1 − p = q M (ξ ) = p
Várható értéke:
D 2 (ξ ) = pq = p(1 − p )
Szórásnégyzete:
b) Hipergeometriai eloszlás: 1. Lehetséges értékei:
0, 1, 2, 3, …, n
2. Valószínűségeloszlása:
⎛ s ⎞⎛ N − s ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ k ⎠⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ P(ξ = k ) = ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠
(k = 1,2,K, n )
⎛ Np ⎞⎛ N (1 − p )⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ k ⎠⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ P(ξ = k ) = ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠
vagy
ahol:
N a vizsgált dolgok darabszáma s a bizonyos tulajdonsággal bíró elemek száma n a minta elemszáma k a mintában lévő bizonyos tulajdonsággal bíró elemek száma 3. Várható értéke:
M (ξ ) = np
4. Szórásnégyzete:
D 2 (ξ ) = npq
s N −n , ahol q = 1 − p és p = N N −1
c) Binomiális eloszlás: 1. Lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3, …, n 2. Valószínűségeloszlása: 3. Várható értéke:
⎛n⎞ P(ξ = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p) n− k (k = 1,2,K, n ) ⎝k ⎠ M (ξ ) = np
D 2 (ξ ) = npq , ahol q = 1 − p
4. Szórásnégyzete:
d) Geometriai eloszlás 1. Valószínűségeloszlása:
P (ξ = x k ) = p k = pq k −1 = p (1 − p ) 1 M (ξ ) = 2. Várható értéke: p
k −1
3. Szórása:
D(ξ ) =
(k = 1,2,K)
q 1− p = p p
e) Poisson-eloszlás
11
1. Lehetséges értékei: nemnegatív egészek 2. Valószínűségeloszlása:
P (ξ = k ) =
3. Várható értéke:
M (ξ ) = λ
4. Szórásnégyzete:
λk k!
e −λ (k = 1, 2, …, n) és λ > 1
D 2 (ξ ) = λ
f) Diszkrét egyenletes eloszlás 1. Valószínűségeloszlása:
P(ξ = xk ) =
(k = 1,2,K, n )
1 n
n
2. Várható értéke:
M (ξ ) =
∑x i =1
i
n
⎛ n ⎞ n ∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ D 2 (ξ ) = i =1 n2 n
2
2 i
3. Szórásnégyzete:
Folytonos valószínűségi változók eloszlása a) Egyenletes eloszlás
⎧ 0, ha x≤a ⎪ ⎪x − a , ha a< x≤b 1. Eloszlásfüggvénye: F (x ) = ⎨ b − a ⎪ ⎪ 1, ha b<x ⎩ 1 ⎧ a< x
x
∫e
−
(t − m )2 2σ 2
dt
−∞
( x − m )2
− 1 2 (− ∞ < x < ∞ ) , ahol σ > 0 és e 2σ 2. Sűrűségfüggvénye: f ( x ) = σ 2π m tetszőleges valós szám ⎛ x−m⎞ 3. F (x ) = Φ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ 4. Várható értéke: M (ξ ) = m 5. Szórása: D(ξ ) = σ 1 ⎛ x−m⎞ 6. f ( x ) = ϕ ⎜ ⎟ σ ⎝ σ ⎠
12
⎛ x−m⎞ ⎟ ⎝ σ ⎠ c) Standard normális eloszlás 7. F ( x ) = Φ⎜
1 1. Eloszlásfüggvénye: Φ( x ) = 2π
x
∫e
−
−∞
t2
1 −2 e 2π
2. Sűrűségfüggvénye: ϕ ( x ) = 3. Φ (− x ) = 1 − Φ( x )
t2 2
(− ∞ < x < ∞ ) , ahol σ = 1 és m = 0
4. ϕ (− x ) = 1 − ϕ ( x )
5. P (− x < ξ ≤ x ) = Φ (x ) − Φ(− x ) = Φ ( x ) − (1 − Φ( x )) = 2Φ ( x ) − 1
6. P (M ( x ) − a < ξ ≤ M ( x ) + a ) = 2Φ (a ) − 1
d) Exponenciális eloszlás
⎧ ⎪1 − e −λx ,
1. Eloszlásfüggvénye: F ( x ) = ⎨
⎪⎩ 0, ⎧ − λx ⎪λe , 2. Sűrűségfüggvénye: f ( x ) = ⎨ ⎪⎩ 0 , 3. Várható értéke:
M (ξ ) =
4. Szórása:
D(ξ ) =
ha x ≥ 0 ha x < 0 ha x > 0 ha x < 0
, ahol λ pozitív valós szám
1
λ 1
λ
13
VI. Fejezet Kétdimenziós valószínűségi (vektor)változók Kétdimenziós diszkrét valószínűségi vektorok valószínűségeloszlása pik = P(ξ = xi ,η = yk )
η
ξ
∑∑ p k
(i, k = 1,2,K) y1
y2
K
x1
p11
p12
K
x2
p 21
p 22
K
M
M
M
ik
=1
i
Permeloszlások
Ha pik = P(ξ = xi ,η = y k ) (i, k = 1,2,K) (ξ ,η ) -nak ξ -hez tartozó peremeloszlása:
pi = P(ξ = xi ) = ∑ P(ξ = xi ,η = y k ) = ∑ pik k
k
(ξ ,η ) -nak η -hez tartozó peremeloszlása: q k = P(η = y k ) = ∑ P(ξ = xi ,η = y k ) = ∑ pik i
η
ξ
i
ξ peremeloszlása
y1
y2
K
x1
p11
p12
K
∑p
x2
p 21
p 22
K
∑p
M
M
M
O
M
K
1
η peremeloszlása
∑p
∑p
i1
i
i2
i
Valószínűségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye
1k
k
2k
k
1. A (ξ ,η ) valószínűségi vektor eloszlásfüggvénye: F (x, y ) = P(ξ < x,η < y ) (− ∞ < x < ∞,−∞ < y < ∞ ) 2. Ha (ξ ,η ) diszkrét, és ( xi , yk ) -val ennek lehetséges megvalósulásait jelöljük (i = 1,2,K; k = 1,2,K) , akkor (ξ ,η ) eloszlásfüggvénye:
F ( x, y ) =
∑∑ P(ξ = x ,η = y )
yk < y xi < x
14
i
k
3. A kétdimenziós (ξ ,η ) eloszlásfüggvényének főbb tulajdonságai: a) Az F ( x, y ) eloszlásfüggvény a 0 -hoz tart, ha bármelyik változója (akár mind a kettő) a − ∞ -be tart.
F (x,−∞ ) = lim F ( x, y ) = 0 y →−∞
F (− ∞, y ) = lim F ( x, y ) = 0 x →−∞
F (− ∞,−∞ ) = b) c)
lim
( x , y )→( −∞ , −∞ )
F ( x, y ) = 0
Az F ( x, y ) eloszlásfüggvény mindkét változójában legalább balról folytonos. Az F ( x, y ) eloszlásfüggvény határértéke 1, ha mindkét változója a + ∞ -be tart.
F (+ ∞,+∞ ) =
lim
( x , y )→( + ∞ , +∞ )
F ( x, y ) = 1
4. Ha F ( x, y ) a (ξ ,η ) eloszlásfüggvénye, akkor: P(a1 ≤ ξ < a 2 , b1 ≤ η < b2 ) = F (a 2 , b2 ) + F (a1 , b1 ) − F (a 2 , b1 ) − F (a1 , b2 )
Valószínűségi vektorváltozók sűrűségfüggvénye
1. Ha F ( x, y ) a (ξ ,η ) eloszlásfüggvénye és létezik olyan f (x, y ) függvény, amely az egész [x, y ] síkon integrálható, és amellyel minden x -re és y -ra F ( x, y ) =
x y
∫ ∫ f (u, v )dvdu
− ∞−∞
fennáll, akkor (ξ ,η ) folytonos és sűrűségfüggvénye: F ' ' xy ( x, y ) = F ' ' yx ( x, y ) = f ( x, y )
2. A kétdimenziós (ξ ,η ) sűrűségfüggvényének főbb tulajdonságai: a) Az f (x, y ) sűrűségfüggvény sehol sem negatív, azaz az értelmezési tartományának minden pontján f ( x, y ) > 0 . b) Az f (x, y ) sűrűségfüggvényre nézve mindig teljesül, hogy: +∞+∞
∫ ∫ f (x, y )dxdy = 1
− ∞− ∞ b2 a2
3. P (a1 ≤ ξ < a 2 , b1 ≤ η < b2 ) =
∫ ∫ f (x, y )dxdy
b1 a1
Perem-eloszlásfüggvény és perem-sűrűségfüggvény
1. Ha a (ξ ,η ) valószínűségi vektor eloszlásfüggvénye F ( x, y ) , a ξ eloszlásfüggvénye F1 (x ) , az η eloszlásfüggvénye F2 ( y ) , akkor: F1 (x ) = F (x,+∞ ) = lim F (x, y ) y →∞
F2 ( y ) = F (+ ∞, y ) = lim F (x, y ) x →∞
Ekkor F1 (x ) és F2 ( y ) (ξ ,η ) perem-eloszlásfüggvényei, függetlenül attól, hogy ξ és η diszkrét vagy folytonos valószínűségi változó.
15
2. Ha a (ξ ,η ) valószínűségi vektor sűrűségfüggvénye f (x, y ) , a ξ sűrűségfüggvénye f1 (x ) , az η sűrűségfüggvénye f 2 ( y ) , akkor:
f1 ( x ) =
+∞
∫ f (x, y )dy
−∞
f2 (y) =
+∞
∫ f (x, y )dx
−∞
Ekkor f1 (x ) és f 2 ( y ) (ξ ,η ) perem-sűrűségfüggvénye, ha ξ és η folytonos valószínűségi változók.
Valószínűségi változók függetlensége
1. A ξ és η valószínűségi változók (egymástól) függetlenek, ha minden x és y értékre fennáll, hogy: P(ξ < x,η < y ) = P(ξ < x )P(η < y ) 2. F ( x, y ) = F1 ( x )F2 ( y ) 3. Ha a ξ és η valószínűségi változók (egymástól) függetlenek, akkor bárhogy is választjuk ki az (a, b ) és (c, d ) intervallumokat, az a ≤ ξ < b és c ≤ η < d események szorzatának valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségének szorzatával: P(a ≤ ξ < b, c ≤ η < d ) = P(a ≤ ξ < b )P(c ≤ η < d ) 4. Szükséges és elégséges feltétel függetlenséghez: a) Diszkrét eset ξ és η függetlenségének szükséges és elégséges feltétele, hogy pik = P(ξ = xi ,η = y k ) = P(ξ = xi )P(η = yk ) = pi qk , ahol xi és y k végigfutnak ξ és η összes lehetséges értékén. b) Folytonos eset ξ és η függetlenségének szükséges és elégséges feltétele, hogy f ( x, y ) = f 1 ( x ) f 2 ( y ) egyenlőség minden x -re és y -ra teljesüljön.
Valószínűségi változók függvényeinek eloszlása a)
b)
c)
Ha ξ1 és ξ 2 függetlenek és binomiális eloszlásúak n1 és p , illetőleg n 2 és p paraméterekkel, akkor ξ1 + ξ 2 is binomiális eloszlású, amelynek paraméterei: n1 + n2 és p . Ha ξ1 és ξ 2 függetlenek és Poisson-eloszlásúak λ1 és λ 2 paraméterekkel, akkor ξ1 + ξ 2 is Poisson-eloszlású, amelynek paramétere λ1 + λ2 . Ha ξ1 és ξ 2 függetlenek és geometriai eloszlásúak n1 és p , illetőleg n 2 és p paraméterekkel, akkor ξ1 + ξ 2 is binomiális eloszlású, amelynek paraméterei: n1 + n2 és p .
Kétdimenziós valószínűségi változók várható értéke és szórása
1. Ha (ξ1 , ξ 2 ) diszkrét valószínűségi vektor, és y = r ( x1 , x 2 ) tetszőleges függvény, akkor az η = r (ξ1 , ξ 2 ) várható értéke:
16
(
)(
M (η ) = ∑∑ r xi(1) , x (j2 ) P ξ1 = xi(1) , ξ 2 = x (j2 ) j
)
i
Az (xi(1) , x (j2 ) ) számpárok (ξ1 , ξ 2 ) lehetséges értékeit jelentik.
2. Ha (ξ1 , ξ 2 ) folytonos valószínűségi vektor, amelynek sűrűségfüggvénye f ( x1 , x2 ) , továbbá y = r ( x1 , x 2 ) folytonosan differenciálható függvény, akkor az η = r (ξ1 , ξ 2 ) várható értéke: M (η ) =
+∞+∞
∫ ∫ r (x , x ) f (x , x )dx dx 1
2
1
2
1
2
,
− ∞− ∞
3. 4. 5. 6.
M (ξ + η ) = M (ξ ) + M (η ) M (aξ + b ) = aM (ξ ) + b M (aξ + bη ) = aM (ξ ) + bM (η ) D 2 (aξ + b ) = a 2 D 2 (ξ ) ⇒ D (aξ + b ) = a D (ξ )
7. Ha a ξ és η valószínűségi változók függetlenek, akkor M (ξη ) = M (ξ )M (η ) , ahol a függetlenség nem szükséges, de elégséges feltétele a képlet teljesülésének. 8. Ha a ξ1 , ξ 2 ,K, ξ n valószínűségi változók függetlenek, akkor
D 2 (ξ1 + ξ 2 + K + ξ n ) = D 2 (ξ1 ) + D 2 (ξ 2 ) + K + D 2 (ξ n )
D(ξ1 + ξ 2 + K + ξ n ) = D 2 (ξ1 ) + D 2 (ξ 2 ) + K + D 2 (ξ n )
A sztochasztikus kapcsolat mérése 1. Kovariancia a) A ξ és η kovarianciája: cov(ξ ,η ) = M ((ξ − M (ξ ))(η − M (η ))) b) cov(ξ ,η ) = cov(η , ξ ) c) Ha a ξ és η valószínűségi változók kovarianciája létezik, akkor így is kiszámítható:
cov(ξ ,η ) = M (ξη ) − M (ξ )M (η ) d) cov(ξ ,η ) ≤ D (ξ )D (η )
e) Ha a ≠ 0 és η = aξ + b , akkor cov(ξ ,η ) = D (ξ )D (η )
f) cov(ξ + a,η + b ) = cov(ξ ,η ) g) cov(aξ , bη ) = ab cov(ξ ,η )
2. Korrelációs együttható a) A ξ és η valószínűségi változók korrelációs együtthatója: cov(ξ ,η ) M (ξη ) − M (ξ )M (η ) = corr (ξ ,η ) = D(ξ )D(η ) D(ξ )D(η ) b) A ξ és η valószínűségi változók korrelációs együtthatója mindig − 1 és + 1 közé esik:
− 1 ≤ corr (ξ ,η ) ≤ +1 Az corr (ξ ,η ) akkor és csak akkor egyenlő + 1 -gyel vagy − 1 -gyel, ha ξ és η között lineáris kapcsolat áll fenn, azaz, ha létezik olyan a ≠ 0 és b
17
szám, hogy az η = aξ + b egyenlőség 1 valószínűséggel teljesül. Ez esetben corr (ξ ,η ) = 1 , ha a > 0 , és corr (ξ ,η ) = −1 , ha a < 0 . c) Ha ξ és η függetlenek, akkor: corr (ξ ,η ) = 0 d) Ha corr (ξ ,η ) = 0 , akkor ξ és η korrelálatlanok, de nem feltétlenül függetlenek. M (ξη ) = M (ξ )M (η ) e) Ha ξ és η korrelálatlanok, akkor:
D 2 (ξ + η ) = D 2 (ξ ) + D 2 (η ) f) Ha ξ és η korrelálatlanok, akkor: g) corr (aξ , bη ) = ab ⋅ corr (ξ ,η ) h) Ha ξ és η korrelálatlanok, és együttes eloszlásuk normális eloszlás, akkor ξ és η függetlenek is.
18
