„védőernyő az ismeretlenek záporában„
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR
www.matektanitas.hu
© www.matektanitas.hu
[email protected]
1
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Kombinatorika Permutáció Ismétlés nélküli permutáció P n=n !=1⋅2⋅...⋅n Ismétléses permutáció n! k k ..., k (i) Pn = k 1 !⋅k 2 !⋅...⋅k r ! 1,
2,
n⩾k i
r
Variáció Ismétlés nélküli variáció n! k V n= n⩾k (n−k )! Ismétléses variáció V nk(i) =n k n: jelek száma; k: helyek száma Kombináció Ismétlés nélküli kombináció n! C kn = = n n⩾k (n−k )!⋅k ! k
()
Ismétléses kombináció ( n+k −1)! n+k−1 C kn (i)= = (n−1)!⋅k ! k
(
)
1, 2, 3 fontos kérdés 1.
Számít a sorrend
P
Van kiválasztás
V C
2.
ismétléses
ismétlés nélküli
3.
ÉS=szorzás
VAGY=összeadás
© www.matektanitas.hu
[email protected]
2
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Binomiális tétel
()
()
()
( )
()
n
()
n a n b 0+ n a n−1 b1+ n a n−2 b2+...+ n a1 b n−1 + n a 0 bn= n a n− k b k =(a+b)n ∑ 0 1 2 n−1 n k=0 k
n , k ∈ℕ; a , b∈ℝ Binomiális együtthatók tulajdonságai a.) szimmetriatulajdonság n = n k n−k
()( )
n , k ∈ℕ; 0⩽k ⩽n
b.) összegtulajdonság
(kn)+( k +1n )=( n+1 k+1 )
n , k ∈ℕ; 0⩽k
c.)
(n0)+(n1)+( n2)+...+(nn)=2
n
n∈ℕ
Eseményalgebra Tetszőleges A , B , C⊂H eseményeknél : A∪ A= A
A∩A= A
A∪ B=B∪ A
(idempotencia)
A∩B= B∩ A
A∪( B∪C )=( A∪B)∪C
A∩(B∩C )=( A∩B)∩C
A∩( B∪C )=( A∩B)∪( A∩C) A∪( A∩B)= A
A∩( A∪B)= A
A∪ A=H
A∩ A=∅
A∪ H =H
A∩H = A
A∪∅=A
A∩∅=∅
(kommutativitás) (asszociativitás)
A∪(B∩C)=( A∪B)∩(A∪C )
(disztributivitás)
(abszorptivitás=beolvasztás)
De-Morgan azonosságok A∪B= A∩B A∩B= A∪B
© www.matektanitas.hu
[email protected]
3
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Valószínűségszámítás Axiómák A⊂ H esetén:
I. Minden
0⩽P ( A)⩽1 II. P ( H )=1 A∩ B=∅
III. Ha
P ( A∪B)=P ( A)+P (B) Tételek 1. Ha az akkor:
A esemény valószínűsége
P ( A) és
A az ellentett (komplementer) esemény,
P ( A)=1− P( A) 2. A lehetetlen esemény valószínűsége 0. P (∅)=0 3. Ha az A1, A2, ... A n események egymást páronként kizárják, azaz i≠ j , akkor:
Ai ∩A j=∅ és
P ( A1 )+P ( A2)+...+P (An )=1
4. Ha
A és
B két tetszőleges esemény, akkor:
P ( A∪B)=P ( A)+P (B)−P ( A∩B) 5. Ha
A⊂ B , akkor:
P ( A)⩽P ( B) 6. Ha
A és
B két tetszőleges esemény, akkor:
P ( A∖ B)=P ( A)−P ( A∩B) Klasszikus képlet k kedvező esetek száma P (A)= = n összes eset száma
© www.matektanitas.hu
[email protected]
4
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Mintavétel N = az alapsokaság elemszáma M = az alapsokaságban a jelzettek száma N-M = az alapsokaságban a nem jelzettek száma n = a minta elemszáma k = a mintában a jelzettek száma n-k = a mintában a nem jelzettek száma p = a jelzettek aránya q= a nem jelzettek aránya p+q=1 Visszatevéses mintavétel
()
P k = n p k q n−k k p=
M N −M ; q= ; p+q=1 ; k=0 ; 1 ; 2 … n N N
Általános formában Pk
1,
k 2, ..., k r
p i=
=
n! ⋅p k ⋅p k ⋅...⋅pkr k 1 !⋅k 2 !⋅...⋅k r ! 1 2 1
2
r
r r Mi ; i=1... r ; ∑ k i=n ; ∑ pi=1 N i=1 i=1
Visszatevés nélküli mintavétel M ⋅ N −M ( k ) ( n−k ) P = ( Nn ) k
k =0 ; 1 ; 2 … n
Általános formában
Pk
1,
k 2, ..., k r
=
( )( ) ( ) M 1 ⋅ M 2 ⋅...⋅ M r k1 k2 kr
© www.matektanitas.hu
( Nn )
r
r
i=1
i=1
∑ k i =n ;∑ M i=N
[email protected]
5
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Feltételes valószínűség P ( A∣B)=
P ( A∩B) P ( B)
P (B)≠0
Szorzási szabály P (A∩B)=P (A∣B)⋅P ( B)
P (B)≠0
Általános szorzási szabály Ha A1 , A2 , ... , An a H eseménytér tetszőleges eseményei és akkor:
P ( A1∩ A2∩...∩ An )≠0 ,
P (A1∩ A2∩...∩ An )=P ( A)⋅P (A2∣ A1)⋅P ( A3∣ A1∩A2 )⋅...⋅P ( An∣ A1∩ A2 ∩...∩ An−1) Teljes valószínűség tétele Ha B1 , B 2 , ... Bn teljes eseményrendszert alkotnak és akkor
P ( B k )>0
( k=1, 2,... , n) ,
n
P (A)=∑ P( A∣B k )⋅P( Bk ) k =1
Bayes-tétel Ha B1 , B 2 , ... Bn teljes eseményrendszert alkotnak, valamint P ( A)>0 (k=1, 2, ... , n) , akkor P (B k∣A)=
P ( A∣B k )⋅P (B k ) n
=
∑ P ( A∣B i)⋅P( Bi )
P (B k )>0 és
P ( A∣ Bk )⋅P (B k ) P (A)
i=1
Független események Két esemény esetén P ( A∩B)=P ( A)⋅P ( B) Három esemény esetén P (A∩B)=P (A)⋅P ( B) P ( A∩C)=P (A)⋅P (C) P (B∩C)=P (B)⋅P (C ) P ( A∩B∩C )= P( A)⋅P( B)⋅P (C)
© www.matektanitas.hu
[email protected]
6
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Valószínűségi változó Általános eset I. Diszkrét: ha a ξ valószínűségi váltózó értékeinek száma megszámolható, vagy megszámolhatóan végtelen. n
∑ pi=1
Valószínűség eloszlása
i=1
ξ =x i
x1
x2
x3
...
xn
pi
p1
p2
p3
...
pn
Eloszlásfüggvény 0 p1 p 1+ p2 p 1+ p2+ p3 . . 1
F ( x)=
Várható érték (átlag)
x⩽ x 1 x 1< x⩽x 2 x 2< x⩽x 3 x 3< x⩽x 4 . . x n <x
Második momentum
n
n
M (ξ )=∑ x i⋅pi
M (ξ )=∑ xi2⋅p i
D( ξ )= √ M ( ξ 2)−(M (ξ )) 2
D(ξ )= √ M [ξ −M (ξ )]2
2
i=1
i=1
Szórás
Szórásnégyzet (variancia) D2 (ξ )=M (ξ 2)−( M ( ξ ))2
D 2 (ξ )=M [ξ −M (ξ )]2
II. Folytonos: a ξ valószínűségi változó folytonos, ha létezik véges számú pont kivételével folytonos f függvény, ahol az x
F (x)=∫ f (t )dt a folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. −∞
Szemléletesen, de nem matematikailag megfogalmazva: a ξ folytonos valószínűségi változó értékei intervallumokat, vagy intervallumok unióját alkotják a számegyenesen!
© www.matektanitas.hu
[email protected]
7
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Sűrűségfüggvény (f) Tulajdonságai: f (x )⩾0
1.
∞
∫ f ( x ) dx=1
2.
−∞ x
∫ f (t) dt=F (x )
3.
x ∈ℝ
−∞ b
∫ f (x )dx=P ( a⩽ξ
4.
a
Ha egy f folytonos függvény az 1. és 2. tulajdonsággal rendelkezik, akkor egy folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényének tekinthető! Eloszlásfüggvény (F) Tegyük fel, hogy minden x ∈ℝ értékhez ki lehet számítani a P (ξ < x) értéket. Így egy valós-valós függvényt definiálunk, amelynél minden x valós számhoz hozzá lehet rendelni a P (ξ < x) valószínűséget, jelölése F(x): F (x)=P (ξ < x)
x ∈ℝ
Tulajdonságai: 1. F (x)⩾0 2. F monoton növekvő, azaz minden a ,b esetén, ha a
x→ ∞
4. F balról folytonos lim F ( x)=F ( a) x→ a −0
Várható érték (átlag)
Második momentum
∞
∞
M (ξ )=∫ x⋅f (x )dx
M (ξ )=∫ x 2⋅ f (x ) dx 2
−∞
−∞
Szórás D( ξ )= √ M ( ξ 2)−(M (ξ )) 2 Szórásnégyzet (variancia) D2 (ξ )=M (ξ 2)−( M ( ξ ))2 Összefüggések M (a n⋅x n+a n−1⋅x n−1+...+a 1⋅x+a 0 )=a n⋅M (ξ n )+a n−1⋅M (ξ n−1)+...+a 1⋅M (ξ )+a 0 2
2
2
D (aξ +b)=a ⋅D ( ξ )
© www.matektanitas.hu
[email protected]
8
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Nevezetes eloszlások Diszkrét nevezetes eloszlások Karakterisztikus eloszlás ξ =1, ha az Aesemény következik be ξ =0, ha az Aesemény következik be P (ξ =1)= p
P (ξ =0)=q
M (ξ )= p
p+q=1 ; 0⩽ p⩽1
D(ξ )= √ p⋅q
Diszkrét egyenletes eloszlás p k =P (ξ = x k )=
1 n
+
n∈ℕ ; x 1 , x 2 ,... , x k ∈ℝ ; k =1 ; 2 … n
√
n
1 M (ξ )= ∑ x k n k=1
(
n
n
1 1 D(ξ )= ∑ x 2− ∑ x n k=1 k n k=1 k
2
)
Binomiális eloszlás
()
p k =P (ξ =k )= n pk qn− k k M (ξ )=n⋅p
n∈ℕ + ; p+q=1 ; 0< p<1 ; k =0 ; 1 ; 2 … n
D(ξ )= √ n⋅p⋅q
Hipergeometrikus eloszlás M ⋅ N −M ( k ) ( n−k ) p =P (ξ =k )= ( Nn ) k
√
M (ξ )=n⋅p
n ; M ; N ∈ℕ+ ; k =0 ; 1 ; 2… n ; 0
(
D(ξ )= n⋅p⋅q⋅ 1−
n−1 N −1
)
Poisson eloszlás k
λ p k =P (ξ =k )= ⋅e−λ k! M (ξ )=λ
© www.matektanitas.hu
+
λ∈ℝ ; k =0 ; 1 ; 2 …
D(ξ )= √ λ
[email protected]
9
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Geometriai eloszlás p k =P (ξ =k )=q
M (ξ )=
k−1
p+q=1 ; 0< p<1 ; k =1 ; 2…
⋅p
1 p
D(ξ )=
√
q p2
Folytonos nevezetes eloszlások Aranyszabály P (ξ < x)= F ( x) P (a<ξ
x)=1−P (ξ < x)=1−F (x) P (ξ = x)=0 Folytonos egyenletes eloszlás Sűrűségfüggvény 1 b−a
a< x⩽b
f (x )=
x ∈ℝ 0
egyébként
Eloszlásfüggvény
F (x)=
M (ξ )=
© www.matektanitas.hu
a+b 2
0
x⩽a
x−a b−a
a< x⩽b
1
b<x
D( ξ )=
x ∈ℝ
b−a √12
[email protected]
10
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Exponenciális eloszlás Sűrűségfüggvény 0
x⩽0
f (x )=
x ∈ℝ ; λ∈ℝ
+
x ∈ℝ ; λ∈ℝ
+
0<x
−λ⋅x
λ⋅e Eloszlásfüggvény 0
x⩽0
F (x)= 0<x
1−e−λ⋅x M (ξ )=
1 λ
D(ξ )=
1 λ
Normális eloszlás Sűrűségfüggvény 2
1 f ( x )= e σ √ 2π
−( x−m) 2σ2
x , m∈ℝ ; σ>0
Eloszlásfüggvény x
− 1 F (x)= e ∫ σ √ 2π −∞
2
(t −m) 2σ2
M (ξ )=m
dt
x ∈ℝ
D( ξ )=σ
Aranyszabály a standard normális eloszláshoz P (ξ < x)= F ( x)=Φ
( x−m σ )
P (a<ξ
P (ξ > x)=1−P (ξ < x)=1−F ( x)=1−Φ
a−m −Φ ( ( b−m ) σ σ )
( ) x−m σ
P (ξ = x)=0 Megjegyzés: Φ (−z)=1−Φ (z )
© www.matektanitas.hu
[email protected]
11
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Csebisev egyenlőtlenség Normál alak P (∣ξ −M (ξ )∣ ⩾t⋅D(ξ ))⩽
1 t2
M (ξ )−t⋅D( ξ )
legfeljebb
1 t2
M (ξ )
t>0
M (ξ )+t⋅D( ξ )
Komplementer alak P (∣ξ −M (ξ )∣
1 t2
M (ξ )−t⋅D( ξ )
M (ξ )
legalább
1−
1 t2
t>0
M (ξ )+t⋅D( ξ )
Nagy számok törvénye Normál alak ha p, q ismert k pq P − p ⩾ε ⩽ 2 n ε n
ha p, q nem ismert k 1 P − p ⩾ε ⩽ 2 n 4ε n
Komplementer alak ha p, q ismert k pq P − p <ε ⩾1− 2 n ε n
ha p, q nem ismert k 1 P − p <ε ⩾1− 2 n 4ε n
(∣ ∣ ) (∣ ∣ )
© www.matektanitas.hu
[email protected]
(∣ ∣ ) (∣ ∣ )
12
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ Kétdimenziós eloszlás (diszkrét) Várható érték (ξ) (átlag)
Várható érték (η) (átlag)
n
m
M (ξ )=∑ x i⋅pi
M (η)=∑ y j⋅q j
Második momentum (ξ)
Második momentum (η)
i=1
j=1
n
m
M (ξ 2 )=∑ xi2⋅p i
M (η 2)=∑ y 2j⋅q j
i=1
j=1
Szórás (ξ) D(ξ )= √ M ( ξ 2)−(M (ξ )) 2
Szórás (η) D(η)=√ M (η2 )−(M (η))2
Együttes várható érték n
m
M (ξ⋅η)=∑ ∑ x i⋅y j⋅p ij i=1 j=1
Kovariancia cov ( ξ ; η)=M (ξ⋅η)−M (ξ )⋅M ( η) Korrelációs együttható cov (ξ ; η) R( ξ ; η)= D(ξ )⋅D(η)
−1⩽R⩽1 Összeg várható értéke M (ξ +η)=M ( ξ )+M ( η) Összeg varianciája D2 (ξ +η)= D2 (ξ )+D2 (η)+2⋅cov (ξ ; η)
© www.matektanitas.hu
[email protected]
13
„védőernyő az ismeretlenek záporában„ A standard normális eloszlású változó eloszlásfüggvényének értékei z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997
0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997
0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997
0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997
0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997
0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997
0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997
0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997
0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997
0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998
Megjegyzés: Φ (−z)=1−Φ ( z )
© www.matektanitas.hu
[email protected]
14
