Valószínûség számítás

Valószínûség számítás

Glashütter Andrea Fellner Diána

Valószínűségszámítás

I.

Bevezetés a pénzügyi számításokba


A pénz időértékével kapcsolatos számítások A pénz időértékének számítása: eljárások, amelyek során meghatározzuk egy adott időpontbeli pénzösszegnek „r” kamatlábat feltételezve egy másik időpontra számított értékét. A. JÖVŐÉRTÉK SZÁMÍTÁSA: a jelenbeli pénzösszeg valamely jövőbeni időpontra vonatkozó értékének a meghatározása. Kiszámítása a kamatszámítás módszerén alapul.

FV1 = PV ⋅ (1 + r) Kamattényező: azt fejezi ki, hogy a jövőbeni érték hányszorosa egységnyi mai pénzösszegnek. Egyszerű kamatozás: Hosszabb időre vonatkozó befektetés esetén minden periódusban csak a kezdő befektetés kamatozik. Kamatos kamatozás: Hosszabb időre vonatkozó befektetés esetén minden korábbi időszakban kapott kamat újra befektetésre kerül és ez a következő időszakban többletkamatot eredményez. FVn = PV ⋅ (1 + r) n , ahol r: kamatozási periódusra jutó kamatláb n: kamatozási periódusok száma Ha adataink az éves kamatlábról (p), az évenkénti kamatfizetések számáról (m) állnak rendelkezésünkre, akkor a t éven keresztül kamatoztatott pénzünk jövőértéke:

FVn = PV ⋅ (1 +

p m⋅t ) m

Az előző képlettel összehasonlítva általánosságban is elmondható, hogy r =

p és n = m ⋅ t . m

Példa: 1000 Ft-ot helyezünk el bankban. Az éves kamatláb 21% és a kamatjóváírás évente történik. Ekkor 5 év múlva a rendelkezésünkre álló összeg: 0,21 1⋅5 ) = 2593,74 FVn = 1000 ⋅ (1 + 1 Mekkora lenne a jövőértéke ennek az összegnek, ha a kamatjóváírás félévente történik? 0,21 2⋅5 FVn = 1000 ⋅ (1 + ) = 2714,08 2

3

Készítette: Glashütter Andrea és Fellner Diána



B. JELENÉRTÉK SZÁMÍTÁSA: a jövőben esedékes pénzek jelen időpontra vonatkozó értékének a meghatározása. Kiszámítása a diszkontálás módszerén alapul, ami a kamatszámítással ellentétes művelet. Egy periódus esetén: PV = FV1 ⋅

1 1+ r

Általános alak: PV = FVn ⋅

PV = FVn ⋅

1 , vagy (1 + r) n

1 p = FVn ⋅ (1 + ) -m⋅t p m (1 + ) m⋅t m

Diszkontráta: a diszkontálásnál használatos kamatláb. Diszkonttényező: azt fejezi ki, hogy a jelenérték hányszorosa valamely jövőbeni időpontban esedékes egységnyi pénzösszegnek. A kamatláb érvényességi időtartama: az az időtartam, amelyet időegységnek tekintenek. Kamatozási periódus: a kamat-jóváírási vagy kamatfizetési időszak hosszát jelöli. Példa: 7%-os éves kamatláb mellett mekkora összeget kell a bankba tennem, hogy egy év múlva 400000 $ álljon a rendelkezésemre: 1 = 373832($) PV = 400000 ⋅ 0,07 1⋅1 ) (1 + 1 C. ANNUITÁS: a meghatározott ideig esedékes, periódusonként egyenlő nagyságú pénzáramok sorozata. • Szokásos annuitás: a pénzáramok időszak végén jelentkeznek. • Esedékes annuitás: a pénzáramok a periódusok elején esedékesek. Gyűjtőjáradék: Az annuitások jövőértékének számítása olyan típusú kérdésekre ad választ, hogy ha C összeget befektetünk (pl. bankba teszünk) minden év ( hónap, negyedév..) végén/elején n perióduson keresztül, és ha a befektetésünk évi r % hozamot biztosít (a bank r % kamatot fizet), mekkora összeggel rendelkezünk az n. periódus végén? A válasz a jövőérték-számítással oldható meg.

4




Szokásos annuitások jövőértéke(időszak végén): p m⋅t ) −1 m , p m ahol C: pénzáramok összege ( a többi jelölést lsd. fent)

(1 + r) n − 1 S n (= FVAN n ) = C ⋅ = C⋅ r

(1 +

Levezetés: kamatozási periódusok száma 1

n. befizetés kamatozási ideje n-1

n. periódus végén a kamatos kamatokkal növelt összeg n −1 C(1 + r )

2 M n-1 n

n-2 M 1 0 összes befizetések értéke az n. periódus végén:

C(1 + r ) M C(1 + r ) C

S n = C + C(1 + r ) + K + C(1 + r )

[

= C 1 + (1 + r ) + K + (1 + r ) mértani sorozat összegképlete alapján

=

C

n −2

n −2

+ C(1 + r )

+ (1 + r )

n −1

]=

n −1

n −2

Sn

=

(1 + r )n − 1 r

Esedékes annuitások jövőértéke (időszak elején):

Az előzőekhez képest annyiban tér el az összegünk, hogy itt minden egyes befizetett összeg egyel több perióduson keresztül kamatozik. S n (= FVAND n ) = C ⋅ (1 + r) ⋅

(1 + r) n − 1 r

Példa: 200 Ft-ot helyezünk el minden hónap végén a bankban. Az éves kamatláb 21% és a kamatjóváírás minden hónap végén történik. Mekkora az ily módon képzett 5 éves annuitás jövőértéke:

C=200 m=12 p=0,21 t=5

5⋅12

⎛ 0,21 ⎞ ⎟ ⎜1 + 12 ⎠ ⎝ S n = 200 ⋅ 0,21 12

−1 = 20.935,04

5




Törlesztőjáradék:

Az annuitások jelenértéke az n perióduson keresztül, periódusonként egyenlő nagyságú pénzáramlások (kifizetések vagy bevételek) sorozatának jelenértéke. Szokásos annuitások jelenértéke (időszak végén):

1 −1 −n 1 − (1 + r ) 1 (1 + r) n Vn (= PVAN n ) = C ⋅ = C⋅ ⋅ , 1 1+ r r −1 1+ r ahol C: törlesztőrészlet Levezetés: törlesztési n. befizetés hány periódusok száma periódus múlva esedékes

1

1

2

2

M

M

n-1

n-1

n

n

jelenértéke C(1 + r ) = C −1

C(1 + r )

−2

=C

1 1+ r 1

(1 + r )2

M C(1 + r )

− ( n −1)

C(1 + r )

−n

=C =C

1

(1 + r )n −1 1

(1 + r )n

Vn összes befizetések értéke az n. periódus végén: (felvett vagy kölcsönadott hitel összege)

Vn = C

1 1 1 +C +K+ C = 2 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )n

⎡ 1 1 1 ⎤ = C⎢ + +K+ = 2 (1 + r )n ⎥⎦ ⎣ (1 + r ) (1 + r ) n

⎡ 1 ⎤ mértani sorozat ⎢ ⎥ −1 −n összegképlete alapján 1 − (1 + r ) 1 ⎣ (1 + r ) ⎦ = C = C⋅ (1 + r ) 1 − 1 r 1+ r

6




Példa: Egy vállalkozó 5 millió Ft hitelt vett fel 17 %-os kamatláb mellett. A kölcsönt 4 év alatt egyenlő összegekben kell visszafizetnie. Az első törlesztés a kölcsön felvétele után egy évvel esedékes. a.) Mennyi az éves törlesztőösszeg?

Vn=5.000.000 r=0,17 (p=0,17 és m=1) n=4 (t=4)

5.000.000 = C

1 − (1 + 0,17 ) 0,17

−4

⇒ C = 1.822.666 (Ft)

b.) Készítse el a törlesztő tervet? Év vége 0. 1. 2. 3. 4.

Törlesztő összeg

Kamatra

Törlesztésre

1.822.666 1.822.666 1.822.666 1.822.666

850.000 684.647 491.183 265.831

972 .666 1.138.019 1.331.482 1.557.833

Fennálló tartozás 5.000.000 4.027.334 2.889.315 1.557.833 0

Esedékes annuitások jelenértéke(időszak elején): 1 −1 (1 + r) n Vn (= PVANDn ) = C ⋅ 1 −1 1+ r

7



II. A.

Kombinatorika

Kombinatorika

PERMUTÁCIÓ

Ismétlés nélküli permutáció: n különböző elem sorba rendezése.

Az n különböző elem permutációinak száma: Pn = n! Ismétléses permutáció: n elem sorba rendezése, amelyek között megkülönböztethetetlenek (ismétlődők) is vannak.

Az n elem ismétléses permutációinak száma: Pn(k1 , k 2 , ..., k r ) =

n! k1!⋅k 2!⋅... ⋅ k n !

ahol k1, k2, . . ., kn megkülönböztethetetlen elem van. B.

VARIÁCIÓ

Ismétlés nélküli variáció: n különböző elemből k kiválasztása és sorba rendezése, ha minden elem csak egyszer választható.

Az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma: n! Vnk = (n − k)! Ismétléses variáció: n különböző elemből k kiválasztása és sorba rendezése, ha bármely elem többször is választható.

Az n elem k-ad osztályú ismétléses variációinak száma: Vnk (i) = n k C.

KOMBINÁCIÓ

Ismétlés nélküli kombináció: n különböző elemből k kiválasztása, ha a sorrend nem számít és egy elemet csak egyszer választhatunk.

Az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma: ⎛n⎞ n! C kn = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ k ⎠ k!⋅(n − k)!

8



Kombinatorika

Ismétléses kombináció: n különböző elemből k kiválasztása, ha a sorrend nem számít és bármely elem többször is választható.

Az n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációinak száma: ⎛ n + k - 1⎞ ⎟⎟ C kn (i) = ⎜⎜ ⎝ k ⎠ D.

BINOMIÁLIS TÉTEL

Tétel: Tetszőleges kéttagú kifejezés (binom) bármely nemnegatív egész kitevőjű hatványa polinommá alakítható a következő módon:

(a + b )n = ⎛⎜⎜

n ⎞ n ⎛ n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ ⎛n⎞ ⎟⎟ ⋅ a + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ a ⋅ b + . . . + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ a ⋅ b n −1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ b n ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ n − 1⎠ ⎝n⎠

ahol n ∈ N; a, b ∈ R ⎛n⎞ Az ⎜⎜ ⎟⎟ szimbólumot binomiális együtthatónak nevezzük. ⎝k⎠ Tulajdonságok: ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎟⎟ ↦ Szimmetria: ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝k⎠ ⎝n − k⎠ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ k k 1 k 1 + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ↦ Összeg:

⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ 2 n = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + . . . + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝n⎠ ↦ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ↦ ⎝n⎠ ⎝0⎠ ⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = n ⎝1⎠

↦

9



III.

Eseményalgebra

Eseményalgebra

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: véletlen tömegjelenségek vizsgálata, törvényszerűségek keresése. JELENSÉG: • •

(bolygók mozgása, szabadesés), előre meghatározott SZTOCHASZTIKUS : véletlenszerű DETERMINISZTIKUS:

Sztochasztikus a jelenség, ha a megfigyelt jelenségnek azonos körülmények között többféle kimenetele lehet.

TÖMEGJELENSÉG: azonos körülmények között akárhányszor megismételhető. VÉLETLEN KÍSÉRLET: a véletlen tömegjelenség előidézése, megfigyelése. ESEMÉNY: a véletlen jelenség valamely kimenetele. Jelölés: A, B, C, stb.

ESEMÉNYTÉR: események összessége, halmaza. Jelölés: H Esemény:

•

ELEMI ESEMÉNY:

csak egyféleképpen következhet be Példa: kockadobásnál 1-est dobok • ÖSSZETETT ESEMÉNY: többféleképpen is bekövetkezhet Példa: kockadobásnál párosat dobok

LEHETETLEN ESEMÉNY: ami az adott kísérletnél nem következhet be. Jele: ø Példa: kockával 7-est dobok BIZTOS ESEMÉNY: amely az adott kísérletnél biztosan bekövetkezik. Tartalmazza az összes elemi eseményt. Példa: kockával 7-nél kisebbet dobok Műveletek eseményekkel

MAGA UTÁN VONÁS: A B esemény maga után vonja A-t, ha B bekövetkezésével A is bekövetkezik. Jelölés: B ⊂ A Példa:

A: párosat dobok kockával B: 2-est dobok kockával Ekkor B ⊂ A

10



Eseményalgebra

KÉT ESEMÉNY EGYENLŐSÉGE: ha két esemény közül bármelyik bekövetkezik, az maga után vonja a másik bekövetkezését. Jelölés: A = B Példa:

A: 4-nél kisebb párosat dobok kockával B: 2-est dobok kockával Ekkor B = A

KOMPLEMENTER ESEMÉNY: Jelölés: A . A akkor következik be, ha A nem következik be. ÖSSZEADÁS: A+B akkor következik be, ha A és B közül legalább az egyik bekövetkezik. SZORZÁS: A⋅B akkor következik be, amikor A és B egyszerre bekövetkezik. A ÉS B EGYMÁST KIZÁRÓ ESEMÉNYEK, ha egyszerre nem következhetnek be. A ÉS B KÜLÖNBSÉGÉN azt értjük, amikor A bekövetkezik, de B nem. Jelölés: A-B Tulajdonságok: • idempotencia:

• kommutatív:

• asszociatív:

• disztributív:

↦ ↦

A+A = A A⋅A = A

↦ ↦

A+B = B+A A⋅B = B⋅A

↦ ↦

(A+B)+C = A+(B+C) (A⋅B)⋅C = A⋅(B⋅C)

↦ ↦

A⋅(B+C) = A⋅B+A⋅C A+(B⋅C) = (A+B)⋅(A+C)

11



Eseményalgebra

További tulajdonságok: • A⋅H = A • A+H = H • A⋅ø = ø • A+ø = A • A⋅A = ø

• A+A=H • elnyelési tulajdonság: ↦ A+A⋅B = A ↦ A⋅(A+B) = A • de Morgan azonosságok: ↦ A⋅B = A + B ↦ A + B = A⋅B TELJES ESEMÉNYRENDSZER: az A1, A2, . . . , An nem lehetetlen események teljes eseményrendszert alkotnak, ha bármely két esemény páronként kizárják egymást, valamint összegük a biztos esemény. Ai ⋅ A j = ø A1 + A 2 + K + A n = H

12



IV.

RELATÍV

Klasszikus valószínűség

Klasszikus valószínűség

GYAKORISÁG:

Az A eseményt vizsgáljuk. Végezzük el a kísérletet azonos k körülmények között n-szer; a vizsgált A esemény bekövetkezik kA-szor. A -t az A esemény n relatív gyakoriságának, kA-t az A esemény gyakoriságának nevezzük.

kA sztochasztikusan konvergál egy számhoz, amely számot az A esemény n valószínűségének nevezünk.

VALÓSZÍNŰSÉG:

RELATÍV GYAKORISÁG TULAJDONSÁGAI: k • mivel 0 ≤ kA ≤ n ⇒ 0 ≤ A ≤ 1 n • a biztos esemény relatív gyakorisága 1 • Ha A1, A2, . . . , An események páronként kizárják egymást, akkor A1+A2+ . . . +An események relatív gyakorisága az A1, A2, . . . , An események relatív gyakoriságainak összegével egyezik meg. A VALÓSZÍNŰSÉG AXIÓMÁI A H eseménytér minden A eseményéhez hozzárendelünk egy P(A) számot, melyet az A esemény valószínűségének nevezünk, és amely eleget tesz az alábbi axiómáknak: • minden A esemény valószínűségére teljesül, hogy 0 ≤ P(A) ≤ 1 • a biztos esemény valószínűsége : P(H) = 1 • ha A és B egymást kizáró események, akkor P(A+B) = P(A)+P(B) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK: • ha az A esemény valószínűsége P(A), akkor P( A ) = 1 − P(A) • a lehetetlen esemény valószínűsége 0. • ha az A1, A2, . . . , An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A1)+P(A2)+ . . . +P(An) = 1 • P(A-B) = P(A)-P(A⋅B) • ha B maga után vonja A-t, azaz B ⊂ A, akkor P(A-B) = P(A)-P(B) • ha A és B tetszőleges események, akkor P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A⋅B)

KLASSZIKUS KÉPLET: Legyen a H eseménytér elemi eseményeinek száma n és tegyük fel, hogy mindegyik egyenlő valószínűséggel következik be. Ha az A esemény pontosan k elemi esemény összegeként írható fel, akkor k P(A) = n

13



V.

Mintavételek

Mintavételek

Visszatevés nélküli mintavétel:

N elemű mintában van M számú kitüntetett. Egyszerre kiválasztunk n számú elemet.(Vagy egymás után választunk ki n db-ot úgy, hogy a kiválasztottat félretesszük.) Mennyi a valószínűsége, hogy k számú kitüntetett lesz közte? Jelölje Ak azt az eseményt, hogy az n kiválasztott elem közt k kitüntetett van. Ekkor ⎛M ⎞ ⎛N − M ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ k ⎠ ⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ P(A k ) = ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠ Visszatevéses mintavétel:

N elemű mintában van M számú kitüntetett. Kiválasztunk n számú elemet úgy, hogy bármelyiket újra választhatjuk. Mennyi a valószínűsége, hogy k számú kitüntetett lesz közte? Jelölje Ak azt az eseményt, hogy az n kiválasztott elem közt k kitüntetett van. Ekkor ⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ M k ⋅ ( N − M )n − k k n−k k⎠ ⎛n⎞ ⎛ M ⎞ ⎛ N − M ⎞ ⎝ P(A k ) = = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ , Nn ⎝k ⎠ ⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠ M N −M ahol az = p és = q , azaz q = 1 − p . N N ⎛n⎞ azaz P(A k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ q n − k ⎝k ⎠

14



Mintavételek

Példák:

1. Mennyi a valószínűsége, hogy ötös lottón (a) legalább két páros van a kihúzott számok között? P(legalább két páros) = 1 - P(kevesebb, mint kettő páros) = 1 - (P(0 db páros) + P(1 db páros)) = ⎛ ⎛ 45 ⎞ ⎛ 45 ⎞⎛ 45 ⎞ ⎞ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ 1 4 ⎟ ⎜ 5 = 1 − ⎜ ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎟ = 0,8196 90 ⎛ 90 ⎞ ⎟ ⎜ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ 5 ⎟ ⎝5⎠ ⎠ ⎝⎝ ⎠ (b) van a számok között öttel osztható? ⎛ 72 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 5 P(van a számok között öttel osztható) = 1 - P(nincs a számok között öttel osztható) = 1 - ⎝ ⎠ = 0,6816 ⎛ 90 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5⎠ 2. A tapasztalatok szerint egy benzinkúthoz érkező autók 20%-a külföldi. Mennyi a valószínűsége, hogy a következő 10 autó közül (a) nem lesz külföldi? P(nem lesz külföldi) = 0,810 = 0,1073 (b) legfeljebb két külföldi lesz? P(legfeljebb két külföldi lesz) = P(0 vagy 1 vagy 2 külföldi lesz) = ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ = 0,810 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,21 ⋅ 0,8 9 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,2 2 ⋅ 0,88 = 0,6778 ⎝1⎠ ⎝2⎠ P(nem lesz közte magyar) = 0,210 = 1,02 ⋅ 10 −7

15

(c) nem lesz közte magyar?



VI.

Geometriai valószínűség

Geometriai valószínűség

GEOMETRIAI VALÓSZÍNŰSÉGről van szó, ha • a H eseménytér mérhető geometriai alakzat, • az A esemény ennek mérhető részhalmaza • annak a valószínűsége, hogy egy véletlen pont az A-ba esik, arányos az A tartomány mértékével. Ha A ⊂ H ⇒ P(A) =

A tartomány mértéke H tartomány mértéke

Példák:

1. Egy futball labdát találomra nekirúgunk egy házfalnak, amely 10m hosszú és 5m magas. A házon két, 2m x 1,5m-es ablak van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a labdát az ablakba rúgjuk? 6 P(a labdát az ablakba rúgjuk) = = 0,12 50 2. Egy ember elfelejtette este felhúzni az óráját, és reggel 8:00-kor vette észre, hogy az óra megállt. Mennyi a valószínűsége, hogy a nagymutató a hármas és a hatos között állt meg? 2rπ 1 P(a nagymutató a hármas és a hatos között állt meg) = 4 = = 0,25 2rπ 4

16



VII.

Feltételes valószínűség


Feltételes relatív gyakoriság: Elvégzünk egy kísérletet n-szer. Tegyük fel, hogy a B esemény kB-szer, az A⋅B esemény k kA⋅B-szer következik be. Ekkor az A esemény B feltétel melletti relatív gyakorisága A⋅B kB megmutatja, hogy B bekövetkezésének hányadrészében következett be A is. Az A esemény B feltétel melletti FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉGÉN értjük az A⋅B esemény valószínűségének és a B esemény valószínűségének hányadosát (ha P(B) ≠0). Jelölés: P(A | B) A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉGRE IS ÉRVÉNYESEK AZ AXIÓMÁK: • 0 ≤ P(A⎪B) ≤ 1 • P(B⎢B) = 1 • Ha A1, A2, . . ., An egymást páronként kizáró események, akkor P(A1+ A2+ . . .,+An⎢B) =P(A1⎢B)+P(A2⎢B)+ . . .+P(An⎢B). A VALÓSZÍNŰSÉG SZORZÁSI SZABÁLYA: P(A1⋅A2⋅ . . .⋅ An) = P(A1)⋅P(A2⎢A1)⋅P(A3⎪A1⋅A2)⋅ . . .⋅P(An⎮A1⋅A2⋅ . . .⋅ An-1) TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE: Ha B1, B2, . . ., Bn teljes eseményrendszert alkot és A a H eseménytér valamely eseménye, akkor P(A) = P(B1)⋅P(A⎪B1)+P(B2)⋅P(A⎮B2)+ . . .+P(Bn)⋅P(A⎮Bn). BAYES-TÉTELE: Ha B1, B2, . . ., Bn teljes eseményrendszert alkot és A a H eseménytér valamely eseménye, P(B ) ⋅ P(A B k ) akkor P(B k A ) = n k . ∑ P(B i ) ⋅ P(A B í ) i =1

17




Példák:

1. 1000 megvizsgált ember közül 15 színvakot találtak. A megvizsgáltak 3/5 része nő volt, a férfiak 1/40 része színvak. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott (a) nő színvak? (b) színvak férfi? nő férfi színvak 5 10 15 nem színvak 595 390 985 600 400 1000 P(nő és színvak) 5 = P(nő ) 600 P(színvak és férfi) 10 (b) P( színvak férfi) = P(férfi | színvak ) = = P(színvak) 15

(a) P(nő színvak) = P(színvak | nő ) =

2. Vegyszerrel szúnyogirtást végeznek. Az első permetezés után a szúnyogok 80%-a elpusztul, de az életben maradottakban annyi ellenálló képesség fejlődik ki, hogy a második permetezéskor már csak az életben maradt szúnyogok 40%-a pusztul el, a harmadik irtásnál pedig csak a 20%-uk. Mennyi a valószínűsége, hogy (a) egy szúnyog túléli mindhárom permetezést? (b) ha egy szúnyog túlélte a második permetezést, akkor a harmadikat is túléli? (c) feltéve hogy elpusztult, a második permetezésnél pusztult el? I. permetezés II.permetezés III. permetezés elpusztul 0,8 0,08 0,024 0,904 életben marad 0,2 0,12 0,096 – 1 0,2 0,12 (a) P(egy szúnyog túléli mindhárom permetezést) = P(III. permetezést túléli) = 0,096 (b) P(ha egy szúnyog túlélte a második permetezést, akkor a harmadikat is túléli) =

= P(III - at túléli | II - at túlélte) =

P(III − at túléli és II - at túléli) 0,096 = = 0,8 P(II - at túlélte) 0,12

(c) P(feltéve hogy elpusztult, a második permetezésnél pusztult el) = P(II - nál elpusztul | elpusztult ) = P(II - nál elpusztul és elpusztul ) 0,08 = = = 0,088 P(elpusztult ) 0,904

18



VIII.

Független kísérletek


Legyen A és B a H eseménytér két eseménye. Az A és B eseményeket egymástól FÜGGETLENnek (vagy sztochasztikusan függetlennek) nevezzük, ha P(A ⋅ B) = P(A ) ⋅ P(B) azaz akkor, ha A és B együttes bekövetkezésésnek a valószínűsége a A és B események valószínűségének szorzatával egyenlő. Tétel: Ha az A és B események függetlenek, akkor A és B , A és B, valamint A és B is függetlenek. Definíció: Egy eseménytér A, B, C eseményét függetlennek nevezzük, ha a következő összefüggések mindegyike teljesül: P(A ⋅ B) = P(A ) ⋅ P(B) P(A ⋅ C ) = P(A ) ⋅ P(C ) P(B ⋅ C ) = P(B) ⋅ P(C ) P(A ⋅ B ⋅ C ) = P(A ) ⋅ P(B) ⋅ P(C ) Ekkor a három eseményt teljesen függetlennek is szokás nevezni. Definíció: Tekintsünk n számú kísérletet. Ha az első kísérletnél az A1 esemény előfordulásának valószínűsége P(A1), a második kísérletnél az A2 esemény előfordulásának valószínűsége P(A2), …, az n-dik kísérletnél az An esemény előfordulásának valószínűsége P(An), és annak a valószínűsége, hogy az elsőnél A1, a másodiknál A2, …, az n-diknél An következik be, egyenlő az egyes valószínűségek szorzatával, azaz P(A1 ⋅ A 2 ⋅ K ⋅ A n ) = P(A1 ) ⋅ P(A 2 ) ⋅ K ⋅ P(A n ) minden A1, A2, …, An esetén, akkor a kísérleteket FÜGGETLEN KÍSÉRLETEKnek nevezzük. Definíció: Független megismételt kísérletek sorozatát BERNOULLI-KÍSÉRLETSOROZATnak nevezzük, ha az egyes kísérleteknek két lehetséges kimenetele van, az A és A , és ezek valószínűsége a kísérletsorozat során változatlan marad. Tétel: Annak a valószínűsége, hogy függetlenül megismételt kísérletek n hosszúságú sorozatában az A esemény pontosan k-szor következik be ⎛n⎞ Pk = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ q n − k ⎝k⎠

ahol p=P(A) és q=1-p=P( A ) Megjegyzés: Nem független kísérleteknél a feltételes valószínűség általános szorzási szabályát kell alkalmazni.

19




Példák: 1. Megfigyelések szerint az autóversenyzők az esetek 1/5 részében kénytelenek motorhiba miatt kiállni a versenyből. Mi a valószínűsége annak, hogy 7 autóversenyző közül a) senkinek sem kell kiállni? P(senkinek sem kell kiállni) = 0,8 7 = 0,21 b) pontosan háromnak kell kiállni? ⎛7⎞ P(pontosan 3 - nak kell kiállni) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,2 3 ⋅ 0,8 4 = 0,1146 ⎝ 3⎠ c) legalább egynek ki kell állni? P(legalább egynek kell kiállni) = 1 − P(egynek sem kell kiállni) = 1 − 0,8 7 = 0,79 d) legfeljebb kettőnek kell kiállni? ⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎛7⎞ P(legfeljebb kettő áll ki ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,2 0 ⋅ 0,8 7 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,21 ⋅ 0,8 6 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,2 2 ⋅ 0,8 5 = 0,8519 ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ 2. Ötös lottón mi a valószínűsége annak, hogy a) 5 héten keresztül egyszer sem lesz találatunk? 5

⎡ ⎛ 85 ⎞ ⎤ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ 5 P(5 héten keresztül egyszer sem lesz találatunk ) = ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ = 0,2315 ⎢ ⎛ 90 ⎞ ⎥ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ 5 ⎠ ⎦⎥ b) az 5 hétből egyszer lesz 2 találatunk és a többi héten nem lesz találatunk? P(az 5 hétbõl egyszer lesz 2 találatunk és a többi héten nem lesz találatunk ) = 4

⎛ 5 ⎞ ⎛ 85 ⎞ ⎡ ⎛ 85 ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎛ 5 ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎢ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎥ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ = 0,0348 ⎢ ⎛ 90 ⎞ ⎥ ⎝ 1 ⎠ ⎛⎜ 90 ⎞⎟ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎜5⎟ ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠ c) 4 héten keresztül nem lesz találatunk, és az ötödik héten lesz egy hármasunk? 4

⎡ ⎛ 85 ⎞ ⎤ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 85 ⎞ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 5 3 2 P(4 héten keresztül nem lesz találatunk, és az ötödik héten lesz egy hármasunk ) = ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ⎢ ⎛ 90 ⎞ ⎥ ⎛ 90 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦ ⎝5⎠ = 0,00025

20




3. Valaki a céltábla 10-es, 20-as, 30-as, 50-es körgyűrűibe rendre 1/3, 1/6, 1/6, 1/3 valószínűséggel talál bele. Mi a valószínűsége annak, hogy 15 lövésből 5 a 10-esbe, 3 a 20-asba, 4a a 30-asba, 3 az 50-esbe talál? P(15 lövésbõl 5 a 10 - esbe, 3 a 20 - asba, 4 a 30 - asba, 3 az 50 - esbe talál) =

⎛15 ⎞⎛ 1 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠⎝ 3 ⎠

5

⎛10 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 6 ⎠

3

⎛ 7 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠⎝ 6 ⎠

4

3

⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ = 0,0069 ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠

21



IX.

Valószínűségi változók és jellemzőik


A H eseménytér minden elemi eseményéhez rendeljünk hozzá egy valós számot. Az így értelmezett függvényt a ξ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓnak hívjuk. Jelölés: ξ Az elemi eseményekhez rendelt számértékekről azt mondjuk, hogy ezek a ξ valószínűségi változó értékei. Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma véges vagy megszámlálhatóan végtelen, akkor DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓról beszélünk. Ha ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1, x2, . . ., xn, akkor a P(ξ = x1), P(ξ = x2), . . ., P(ξ = xn) valószínűségek halmazát a ξ valószínűségi változó ELOSZLÁSának nevezzük. A ξ valószínűségi változó FOLYTONOS, ha lehetséges értékei egy vagy több intervallumot alkotnak. A.

ELOSZLÁSFÜGGVÉNY ÉS TULAJDONSÁGAI

A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye minden x valós számhoz hozzárendeli az x-nél kisebb értékek felvételének valószínűségét. Jelölés: F(x) = P(ξ < x) Az eloszlásfüggvény tulajdonságai:

• minden eloszlásfüggvény monoton nő • minden eloszlásfüggvény balról folytonos • limF(x) = 0 és lim F(x) =1 . −∞

∞

Egy F(x) függvény akkor tekinthető egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének, ha • monoton nő • minden pontjában balról folytonos • limF(x) = 0 és lim F(x) =1 −∞

∞

MEGJEGYZÉS: Ha F(x) a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és a < b, akkor P(a ≤ ξ < b) = F(b)-F(a). Ha a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye folytonos az a pontban, akkor P(ξ = a) = 0.

22


Valószínűségszámítás B.


SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY ÉS TULAJDONSÁGAI

Ha a ξ folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x), akkor f(x) = F’(x) függvényt a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. A sűrűségfüggvény tulajdonságai:

• f(x) ≥ 0 minden sűrűségfüggvényre. ∞

∫ f(x)dx =1

• −∞ minden sűrűségfüggvényre. • ha F(x) a ξ valószínűségi változó eloszlás-, f(x) x

pedig sűrűségfüggvénye, akkor F(x) = ∫ f(t)dt . −∞

b

• P(a ≤ ξ < b) = F(b)-F(a) = ∫ f(x)dx . a

C.

VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK PONTJELLEMZŐI

Módusz

Jelölés: mod(ξ) Diszkrét eloszlás: ξ valószínűségi változó módusza a ξ legvalószínűbb értéke, ha van. Folytonos eloszlás: ξ valószínűségi változó módusza a sűrűségfüggvény maximumhelye. (Azt mutatja meg, hogy mely értékhez közeli értékeket vesz fel a legnagyobb valószínűséggel.) Medián

Jelölés: med(ξ) Diszkrét eloszlás:Valamely ξ valószínűségi változó mediánja az a valós szám, amelyre P(ξ < med(ξ)) ≤ 0,5 és P(ξ ≤ med(ξ))≥0,5.

a) Ha az eloszlásfüggvény „átugorja” a 0,5 értéket, akkor az az érték lesz a medián, amelynél átugrotta. α+β b) Ha az eloszlásfüggvény értéke az (α;β] intervallumon 0,5, akkor med(ξ) = 2 Folytonos eloszlás: Valamely ξ valószínűségi változó mediánja az a valós szám, amelyre P(ξ < med(ξ)) = 0,5

23




Kvantilis

Jelölés: xq Diszkrét eloszlás:Legyen 0 < q < 1. Azt a számot, amely eleget tesz a P(ξ < xq) ≤ q, P(ξ ≤ xq) ≥ q egyenlőtlenségnek a ξ valószínűségi változó q-kvantilisének nevezzük. Folytonos eloszlás: Legyen 0 < q < 1. Azt a számot, amely eleget tesz a P(ξ < xq) = q egyenletnek a ξ valószínűségi változó q-kvantilisének nevezzük. Várható érték

Jelölés: M(ξ) Diszkrét eloszlás: A ξ valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek x1, x2, . . . , xn, akkor ξ várható értéke a ∑ x i ⋅ p i összeg. i

Folytonos eloszlás: Ha a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x), akkor ξ várható +∞

értéke

∫ x ⋅ f(x)dx .

−∞

Várható értékkel kapcsolatos tételek:

1. Legyen c tetszőleges valós szám. Ekkor M(c⋅ ξ) = c⋅M(ξ). 2. Legyen n pozitív egész. - Ha a ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1, x2, . . . , xn, akkor M(ξn) = ∑ x in ⋅ p i . i

- Ha ξ folytonos valószínűségi változó f(x) sűrűségfüggvénnyel, akkor

M(ξn) =

+∞

∫x

n

⋅ f(x)dx , ha létezik.

−∞

3. M(a n ⋅ ξ n + a n −1 ⋅ ξ n −1 + . . . + a 1 ⋅ ξ + a 0 ) = a n ⋅ M(ξ n ) + a n −1 ⋅ M(ξ n −1 ) + . . . + a 1 ⋅ M(ξ ) + a 0 Szórás

Jelölés: D(ξ) Ha a ξ–M(ξ) valószínűségi változó négyzetének létezik várható értéke, akkor ezt ξ szórásnégyzetének nevezzük. Ennek négyzetgyöke a ξ valószínűségi változó szórása. Szórással kapcsolatos tételek:

1. Ha a ξ valószínűségi változó négyzetének létezik várható értéke, akkor D2(ξ) = M(ξ2)-M2(ξ). 2. Ha a ξ valószínűségi változó szórása létezik, akkor tetszés szerinti a és b valós számok esetén D2(aξ + b) = a2⋅D2(ξ). Példa: 24




Diszkrét valószínűségi változóra:

Egy útvonalon az autókat 3 lámpa állíthatja meg. Bármely időpontban mindegyik 0,5-0,5 valószínűséggel jelez szabad vagy tilos utat. Legyenek ξ valószínűségi változó értékei azon jelzőlámpák száma, amelyek egy autónak az útvonalon tilosat mutatnak. Lehetséges kimenetelek: lehetséges kimenetelek: SSS SST STS TSS STT TST TTS TTT 0 1 1 1 2 2 2 3 ξ: valószínűség: 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 ξ eloszlása:

P(ξ = 0 ) = 0,125 P(ξ = 1) = 0,375 P(ξ = 2 ) = 0,375 P(ξ = 3) = 0,125

mod(ξ)= 1 és 2 ξ eloszlásfüggvénye: F(x ) = P(ξ < x ) x≤0 ⎧ 0 ⎪0,125 0 < x ≤ 1 ⎪⎪ F(x ) = ⎨ 0,5 1 < x ≤ 2 ⎪0,875 2 < x ≤ 3 ⎪ ⎪⎩ 1 3< x

1+ 2 = 1,5 2 Alsó kvartilis: x 0,25 = 1, mert P(ξ < 1) = 0,125 ≤ 0,25, de P(ξ ≤ 1) = 0,5 ≥ 0,25

Medián: med(ξ)=

Felső kvartilis: x 0,75 = 2, mert P(ξ < 2) = 0,5 ≤ 0,75, de P(ξ ≤ 2) = 0,875 ≥ 0,75

Várható érték: M(ξ ) = ∑ x i p i = 0 ⋅ 0,125 + 1 ⋅ 0,375 + 2 ⋅ 0,375 + 3 ⋅ 0,125 = 1,5 Szórás: 25



( )


D(ξ ) = M ξ 2 − M 2 (ξ ) = 3 − (1,5) = 0,866

( )

2

M ξ 2 = ∑ x i2 p i = 0 2 ⋅ 0,125 + 12 ⋅ 0,375 + 2 2 ⋅ 0,375 + 3 2 ⋅ 0,125 = 3 Valószínűségek: P(legalább 2 tilosat kap az autó) = P(ξ ≥ 2) = P(ξ = 2) + P(ξ = 3) = 0,375 + 0,125 = 0,5 P(legfeljebb 2 tilosat kap az autó ) = P(ξ ≤ 2 ) = P(ξ = 0 ) + P(ξ = 1) + P(ξ = 2 ) = = 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875

26



X.

Valószínűségi eloszlások


DISZKRÉT

ELOSZLÁSOK

KARAKTERISZTIKUS

ELOSZLÁS

Legyen A tetszés szerinti esemény. Ha a valószínűségi változó csak a 0 és 1 értékeket veheti fel, mégpedig ha A bekövetkezik ⎧1, ξ=⎨ ha A nem következik be, ⎩0, akkor karakterisztikus valószínűségi változóról beszélünk. Eloszlása:

P(ξ = 1) = p; P(ξ = 0) = 1- p = q; ahol 0 ≤ p ≤ 1.

M(ξ) = p D2(ξ) = p⋅q EGYENLETES

ELOSZLÁS

Ha ξ lehetséges értékei x1,x2,...,xn, akkor a P(ξ = xi) =

1 ; i = 1,2,...,n valószínűségeloszlást n

egyenletes eloszlásnak nevezzük. M(ξ) =

1 n ⋅ ∑ xi n i =1

1 n ⎛1 n ⎞ D (ξ) = ⋅ ∑ x i2 − ⎜ ⋅ ∑ x i ⎟ n i =1 ⎝ n i =1 ⎠

2

2

27


Valószínűségszámítás BINOMIÁLIS


ELOSZLÁS

A ξ valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak mondjuk, ha ξ lehetséges értékei a ⎛n⎞ 0,1,2,...,n és P(ξ = k) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ q n − k ; ahol 0 < p < 1; k = 0,1,2,...,n és q = 1- p. ⎝k⎠ M(ξ) = n⋅p D2(ξ) = n⋅p⋅q mod(ξ) = [(n+1)⋅p] Alkalmazás: visszatevéses mintavétel; független kísérletek; visszatevés nélküli mintavétel ⇐ M ha M és N sokkal nagyobb mint n, valamint az arány állandónak tekinthető a mintavétel N során. Példa:

A tapasztalatok szerint egy főiskolán a matematika szakra jelentkezők 45%-a földrajz szakos is. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a főiskolán 11 egymás után megszólított matematika szakos hallgató közül a) pontosan 7-en földrajzot is tanulnak; b) több, mint 2-en, de legfeljebb 5-en földrajz szakosak is? Megoldás:

Legyen ξ : a földrajzot tanuló hallgatók száma ⎛11⎞ a) P(ξ = 7 ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,457 ⋅ 0,55 4 = 0,1128 ⎝7⎠ b) P(2 < ξ ≤ 5) = P(ξ = 3) + P(ξ = 4) + P(ξ = 5) = ⎛11⎞ ⎛11⎞ ⎛11⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,45 3 ⋅ 0,558 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,45 4 ⋅ 0,55 7 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,45 5 ⋅ 0,55 6 = 0,5678 ⎝3⎠ ⎝4⎠ ⎝5⎠

28


Valószínűségszámítás HIPERGEOMETRIKUS

Valószínűségi eloszlások ELOSZLÁS

⎛M⎞ ⎛ N − M⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ k ⎠ ⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ k = 0,1,2,...,n képlettel értelmezett eloszlást hipergeometrikus A P(ξ = k) = ⎛ N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠ eloszlásnak nevezzük, ha az n, M és N pozitív egész számokra fennáll, hogy n ≤ M ≤ N. M(ξ) = n⋅p

N−n N −1 M + 1⎤ ⎡ mod(ξ) = ⎢(n + 1) ⋅ N + 2 ⎥⎦ ⎣

D2(ξ) = n ⋅ p ⋅ q ⋅

Alkalmazás: visszatevés nélküli mintavétel Példa:

15 üveg bor között 10 üveg vörös és 5 üveg fehér bor található. Találomra kiveszek 6 üveget úgy, hogy a már kiválasztott üveget félreteszem. a) Mennyi a valószínűsége, hogy 2 üveg vörösbor van közte? b) Mennyi a valószínűsége, hogy legalább 3, de kevesebb, mint 5 fehérbor lesz közte? Megoldás:

a) Legyen ξ: vörösboros üvegek száma. ⎛10 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ 2 4 P(ξ = 2) = ⎝ ⎠⎝ ⎠ = 0,0449 ⎛15 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝6⎠ b) Legyen ξ: fehérboros üvegek száma. ⎛ 5 ⎞⎛10 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛10 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ 3 3 4 2 P(3 ≤ ξ < 5) = P(ξ = 3) + P(ξ = 4) = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = 0,2847 ⎛15 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝6⎠

29




POISSON-ELOSZLÁS A ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású, ha lehetséges értékei a 0,1,2,...,n,... számok és λ k −λ valószínűségeloszlása P(ξ = k) = ⋅ e , ahol λ > 0 és k = 0,1,2,...,n,... k! M(ξ) = λ D2(ξ) = λ

⎧[λ ], mod(ξ) = ⎨ ⎩λ és λ − 1,

ha λ nem egész szám ha λ egész szám

Alkalmazása: pontelhelyezkedési problémák Példa:

Az 5-ös főút egyik szakaszán átlagosan 5 naponként történik 1 baleset. Mi a valószínűsége, hogy 20 nap alatt a) 3 baleset történik? b) legalább 2 baleset történik? Megoldás:

5 nap → 1 baleset 20 nap → ? baleset ⇒λ=4 Legyen ξ : a 20 nap alatt történt balesetek száma 43 −4 a) P(ξ = 3) = e = 0,1953 3!

⎛ 40 ⎞ 41 b) P(ξ ≥ 2) = 1 − P(ξ < 2) = 1 − (P(ξ = 0) + P(ξ = 1)) = 1 − ⎜⎜ e − 4 + e − 4 ⎟⎟ = 0,9084 1! ⎝ 0! ⎠

30


Valószínűségszámítás GEOMETRIAI


ELOSZLÁS

A ξ valószínűségi változó geometriai eloszlású, ha lehetséges értékei 1,2,...,n,... természetes számok és P(ξ = k) = qk-1⋅p, ahol 0 < p < 1, q = 1- p, és k = 1,2,..,n,... 1 p q D2(ξ) = 2 p mod(ξ) = 1 M(ξ) =

Alkalmazás: annak a valószínűségét keressük, hogy a független kísérletek elvégzése során az A esemény k-adikra következik be először Példa:

Egy üveg cseresznyebefőttben 0,05 valószínűséggel találunk magot. Megszámoljuk, hányadik üveg befőttben találunk magot először. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a hetedik üvegben találunk magot először? b) Várhatóan hányadik üvegben találunk magot először? Megoldás:

Legyen ξ : hányadik üvegben találunk magot először a) P(ξ = 7 ) = 0,95 6 ⋅ 0,05 = 0,0367 1 = 20 b) M (ξ ) = 0,05

31



FOLYTONOS EGYENLETES


ELOSZLÁSOK

ELOSZLÁS

A ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású az ]a;b[ intervallumban, ha sűrűségfüggvénye ⎧ 1 , ha a < x < b ⎪ f(x) = ⎨ b − a ⎪⎩0, egyébként M(ξ) = D(ξ) =

a+b 2 b−a

2 3 ha x ≤ a ⎧0, ⎪x − a ⎪ F(x) = ⎨ , ha a < x ≤ b ⎪b − a ha x > b ⎪⎩1,

EXPONENCIÁLIS

ELOSZLÁS

A ξ

valószínűségi változót exponenciális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye ⎧λ ⋅ e − λx , ha x ≥ 0 f(x) = ⎨ ha x < 0 ⎩0, 1 λ − λx ⎧1 − e , F(x) = ⎨ ⎩0,

M(ξ) = D(ξ) =

ha x ≥ 0 ha x < 0

Alkalmazás: várható idő, eltelt idő (két bekövetkezés között eltelt idő), élettertam

32




Példa:

Egy légkondicionáló berendezés motorjának élettartama átlagosan 5 év. Jelölje ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó a várható élettartamot években számítva. a) Mi a valószínűsége, hogy egy motort 3 éven belül ki kell cserélni? b) Mi a valószínűsége, hogy egy motor 8 évnél tovább fog működni? Megoldás:

M(ξ) = 5 ⇒ λ=

1 5

a) P(ξ < 3) = F (3) = 1 − e

1 − ⋅3 5

= 0,4512

1 1 − ⋅8 ⎞ − ⋅8 ⎛ b) P(ξ > 8) = 1 − P (ξ ≤ 8) = 1 − P (ξ < 8) = 1 − F (8) = 1 − ⎜⎜1 − e 5 ⎟⎟ = e 5 = 0,2019 ⎝ ⎠

NORMÁLIS

ELOSZLÁS

A ξ valószínűségi változó normális eloszlású, ha sűrűségfüggvénye

f(x) =

− ( x − m )2

1 σ 2π

⋅e

2σ 2

x ∈ R ahol m tetszőleges valós szám, σ > 0.

M(ξ) = m D(ξ) = σ F(x) =

1 σ ⋅ 2π

x

⋅ ∫e

− ( t − m )2

2σ 2

dt x ∈ R

−∞

⎛x −m⎞ F(x) = Φ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ Φ(− x) = 1 − Φ(x) Alkalmazás: természet rendjében bekövetkező események, forgalom, gyártás

33




Példa:

Egy iskolában a gyerekek magasságát normális eloszlású valószínűségi változó jellemzi 160 cm várható értékkel és 30 cm szórással. Mennyi a valószínűsége, hogy egy tetszőlegesen kiválasztott gyermek magassága a) kevesebb 166 cm-nél? b) 150 cm-nél több, de 192 cm-nél kevesebb? Megoldás:

Legyen ξ : kiválasztott gyerek magassága m=160 σ=30 ⎛ 166 − 160 ⎞ a) P (ξ < 166 ) = F (166 ) = Φ⎜ ⎟ = Φ (0,2 ) = 0,5793 30 ⎝ ⎠ ⎛ 175 − 160 ⎞ ⎛ 150 − 160 ⎞ P (150 < ξ < 175) = F (175) − F (150 ) = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟= b) 30 30 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = Φ (0,5) − Φ (− 0,33) = Φ (0,5) − (1 − Φ (0,33)) = 0,6915 − (1 − 0,6293) = 0,3208

34



XI.

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék

I.

Bevezetés a pénzügyi számításokba ................................................. 3

II.

Kombinatorika................................................................................. 8

III.

Eseményalgebra ............................................................................ 10

IV.

Klasszikus valószínűség................................................................. 13

V.

Mintavételek .................................................................................. 14

VI.

Geometriai valószínűség ................................................................ 16

VII.

Feltételes valószínűség................................................................... 17

VIII.

Független kísérletek....................................................................... 19

IX.

Valószínűségi változók és jellemzőik............................................... 22

X.

Valószínűségi eloszlások ................................................................ 27

XI.

Tartalomjegyzék............................................................................. 35

35


Valószínûség számítás

Recommend Documents