Valasek Gábor

Sz´am´ıt´og´epes Grafika Valasek G´abor [email protected] E¨ otv¨ os Lor´ and Tudom´ anyegyetem Informatikai Kar

2013/2014. ˝ oszi f´el´ev

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

1 / 23

Tartalom

1

Line´aris algebra eml´ekeztet˝ o Vektorterek, vektorok M´atrixok

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

2 / 23

Tartalom

1

Line´aris algebra eml´ekeztet˝ o Vektorterek, vektorok M´atrixok

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

3 / 23

Vektort´er - o¨sszead´as

A V 6= ∅ halmazt a T test feletti vektort´ ernek nevezz¨ uk, ha a k¨ovetkez˝o vektort´eraxi´om´ak teljes¨ ulnek: A V halmaz elemein ´ertelmezve van egy +:V ×V →V o¨sszead´as m˝ uvelet, amely ∀u, v ∈ V -hoz egy´ertelm˝ uen hozz´arendeli az u + v ∈ V elemet. Ezen ¨ osszead´as m˝ uveletre igaz, hogy I I I I

asszociat´ıv: ∀u, v, w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w) kommutat´ıv: ∀u, v : u + v = v + u l´etezik nullelem, azaz ∃0 ∈ V : ∀u ∈ V : 0 + u = u minden elemre l´etezik ellentett, azaz ∀u ∈ V : ∃(−u) ∈ V : u + (−u) = 0

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

4 / 23

Vektort´er - skal´arral szorz´as A V 6= ∅ halmazt a T test feletti vektort´ ernek nevezz¨ uk, ha a k¨ovetkez˝o vektort´eraxi´om´ak teljes¨ ulnek: A T test ´es a V halmaz k¨ oz¨ ott pedig ´ertelmezve van egy ·:V ×T →V skal´arral szorz´as m˝ uvelet: b´armely λ ∈ T ´es u ∈ V p´arhoz egy´ertelm˝ uen hozz´arendel¨ unk egy λ · u -val jel¨ olt, V -beli elemet. Erre a skal´arral szorz´as m˝ uveletre teljes¨ ul, hogy I I I I

∀α, β ∈ T , ∀u ∈ V : (α + β) · u = α · u + β · u ∀α ∈ T , ∀u, v ∈ V : α · (u + v) = α · u + α · v ∀α, β ∈ T , ∀u ∈ V : (αβ) · u = α · (β · u) 1-gyel jel¨ olve a T test egys´egelem´et ∀u ∈ V : 1 · u = u

Axi´ om´ak k¨ovetkezm´enyei: ld. linalg! Megjegyz´es: a tov´abbiakban nem ´ırjuk ki a · m˝ uveleti jelet Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

5 / 23

Vektort´er: s´ık; Helyvektorok

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

6 / 23

Vektort´er: s´ık; Helyvektorok

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

6 / 23

Vektorok o¨sszead´asa: a + b

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

7 / 23

Vektorok o¨sszead´asa: a + b

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

7 / 23

Vektorok o¨sszead´asa: a + b

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

7 / 23

Vektorok o¨sszead´asa: a + b

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

7 / 23

Vektorok o¨sszead´asa: a + b

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

7 / 23

Vektorok o¨sszead´asa: a + b

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

7 / 23

Vektorok kivon´asa: a + (−b)

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

8 / 23

Vektorok kivon´asa: a + (−b)

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

8 / 23

Skal´arral szorz´as: λa

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

9 / 23

Skal´arral szorz´as: λa

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

9 / 23

Skal´arral szorz´as: λa

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

9 / 23

M˝uveletek vektorokkal

Vektor hossza: |a| = ||a||2 =

qP n−1 i=0

ai2

P Skal´aris szorzat (val´os sz´amtest felett): ha, bi = n−1 i=0 ai bi p Vektor hossza skal´aris szorzattal: |a| = ha, ai (induk´alt norma)

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

10 / 23

M˝uveletek vektorokkal

  q a Vektor hossza s´ıkban: |a| = | x | = ax2 + ay2 ay Skal´aris szorzat s´ık helyvektorai k¨ oz¨ ott: ha, bi = ax bx + ay by Skal´aris szorzat vektor hosszakkal: ha, bi = |a||b| cos α, ahol α az a ´es b vektorok ´altal bez´art sz¨ og A fenti kett˝o ugyanazt adja: ax bx + ay by = |a||b| cos α T´erben: ugyan´ıgy!     1 1 K´erd´es: mekkora sz¨oget z´arnak be egym´assal az , vektorok? 0 −1

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

11 / 23

M˝uveletek vektorokkal

Vektori´alis szorzat s´ıkban: a × b egy olyan vektor, amely mer˝oleges a-ra ´es b-re, jobbsodr´as´ u rendszert alkot a ´es b vektorokkal ´es |a × b| = |a||b| sin α, ahol α az a ´es b vektorok ´altal bez´art sz¨og T´erben k´et vektor vektori´alis szorzata       ay bz − az by bx ax a × b = ay  × by  = −ax bz + az bx  ax by − ay bx bz az T¨obbi: k´es˝obb

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

12 / 23

Tartalom

1

Line´aris algebra eml´ekeztet˝ o Vektorterek, vektorok M´atrixok

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

13 / 23

M´atrix

Legyen T egy kommutat´ıv test ´es k, n adott pozit´ıv eg´eszek. Ekkor a T test feletti k × n-es m´atrixon egy olyan t´eglalap alak´ u t´abl´azatot ´ert¨ unk, amelynek k sora ´es n oszlopa van ´es minden eleme T -b˝ol val´o.   a0,0 a0,1 ... a0,n−1  a1,0 a1,1 ... a1,n−1   A=  ... ... ... ...  ak−1,0 ak−1,1 ... ak−1,n−1

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

14 / 23

M´atrixok o¨sszead´asa

Legyen A, B ∈ T k×n . Ekkor 

a0,0 a0,1  a1,0 a1,1 A+B =  ... ... ak−1,0 ak−1,1  a0,0 + b0,0  a1,0 + b1,0 =  ... ak−1,0 + bk−1,0

  ... a0,n−1 b0,0 b0,1  b1,0 ... a1,n−1  b1,1 +   ... ... ... ... ... ak−1,n−1 bk−1,0 bk−1,1 a0,1 + b0,1 a1,1 + b1,1 ... ak−1,1 + bk−1,1

 ... b0,n−1 ... b1,n−1   ... ...  ... bk−1,n−1 

... a0,n−1 + b0,n−1 ... a1,n−1 + a1,n−1    ... ... ... ak−1,n−1 + bk−1,n−1

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

15 / 23

M´atrixok skal´arral szorz´asa

Legyen A ∈ T k×n , λ ∈ T . Ekkor 

a0,0 a0,1  a1,0 a1,1 λA = λ   ... ... ak−1,0 ak−1,1  λa0,0 λa0,1  λa1,0 λa1,1 =  ... ... λak−1,0 λak−1,1

 ... a0,n−1 ... a1,n−1   ... ...  ... ak−1,n−1  ... λa0,n−1 ... λa1,n−1    ... ... ... λak−1,n−1

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

16 / 23

M´atrixok o¨sszead´asa ´es skal´arral szorz´asa

T´ etel A k × n-es m´atrixok ¨ osszead´asa asszociat´ıv, kommutat´ıv, l´etezik nullelem ´es minden elemnek l´etezik inverze. A T sz´amtest elemeivel val´o skal´aris szorz´assal pedig ∀A, B ∈ T k×n , ∀α, β ∈ T : (α + β)A = αA + βA α(A + B) = αA + αB (αβ)A = α(βA) 1-gyel jel¨olve a T test egys´egelem´et 1A = A A k × n-es m´atrixok halmaza a m´atrixok ¨ osszead´as´anak ´es m´atrixok T -beli skal´arral val´o szorz´as´anak m˝ uvelet´evel vektorteret alkot T felett.

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

17 / 23

M´atrixok szorz´asa egym´assal

Legyen A ∈ T k×n ´es B ∈ T n×r . Ekkor C = AB ∈ T k×r m´atrix i-edik sor´anak j-edik eleme cij =

n−1 X

ais bsj

s=0

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

18 / 23

M´atrixok szorz´asa egym´assal

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

19 / 23

M´atrixok szorz´asa egym´assal

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

19 / 23

M´atrixok szorz´asa egym´assal

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

19 / 23

M´atrixok szorz´asa egym´assal

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

19 / 23

M´atrixok szorz´asa egym´assal

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

19 / 23

M´atrixok szorz´asa egym´assal

Legyenek A, B, C tetsz˝oleges olyan m´atrixok, amelyeken a k¨ovetkez˝o szorz´asm˝ uveletek ´ertelmezve vannak ´es legyen λ ∈ T . Ekkor a m´atrixok szorz´asa asszociat´ıv: A(BC ) = (AB)C disztribut´ıv az ¨osszead´asra: A(B + C ) = AB + AC ´es (A + B)C = AC + BC λ(AB) = (λA)B = A(λB) Fontos: a m´atrix szorz´as nem kommutat´ıv!

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

20 / 23

M´atrixok, determin´ans Az n × n-es m´atrixok egys´egelemes gy˝ ur˝ ut alkotnak T felett. Az egys´egelemet (egys´egm´atrixot) I -vel jel¨ olj¨ uk Egy A m´atrixnak l´etezik (k´etoldali) inverze, ha van olyan A−1 m´atrix, amelyikre teljes¨ ul, hogy AA−1 = A−1 A = I . Figyelj¨ unk: (ABC )−1 = C −1 B −1 A−1 (ha l´etezik) T´ etel Az A n´egyzetes m´atrixnak pontosan akkor l´etezik k´etoldali inverze, ha det(A) 6= 0 H´azi feladat: Hogyan sz´amoljuk egy m´atrix determin´ans´at? Mik a tulajdons´agai? Aldetermin´ansok, kifejt´esek. Hogyan ´ırhatjuk fel egy m´atrix inverz´et determin´ans ´es adjung´altakkal?

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

21 / 23

M´atrixok determin´ansai

2x2-es m´atrix determin´ansa:   a b c d = ad − bc 3x3-as m´atrix  a d g

determin´ansa:  b c e f  = a(ei − fh) − b(di − fg ) + c(dh − eg ) h i

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

22 / 23

M´atrixok inverzek

2x2-es m´atrix inverze: 

a b c d

−1

  1 d −b = ad − bc −c a

3x3-as m´atrix inverze: HF! −1 a b c d e f  =? g h i 

Valasek G´ abor [email protected] ( E¨ otv¨ os Lor´ andSz´ Tudom´ am´ıt´ og´ aenyegyetemInformatikai pes Grafika Kar)

2013/2014. ˝ oszi f´ el´ ev

23 / 23