Utolsó bölcsességek Forrás: http://mediak.ektf.hu/?p=7621 1, Írd föl mindig, hogyha valamilyen konkrét tétellel számolsz, látszódjon, hogy melyik lépésnél mit használtál föl. Az se baj, ha egy picit túlmagyarázod. Pl. írd föl, hogy „Az ABC háromszög itt derékszögű, ezért Pitagorasz tétele alapján:….” A végén mindig írj SZÖVEGES VÁLASZT Nem kell túlrizsázni, csak egyértelmű legyen. 2, Egyenleteknél, szövegeseknél ELLENŐRZÉS! Mindig a legeredetibb egyenletbe kell helyettesíteni. A legtisztábbb, ha külön előbb a bal oldalt számolod ki, aztán a jobbat. Ne tűnjön kamunak az ellenőrzés, látszódjon, hogy végigszámoltad! Gyökös, négyzetreemelős, logaritmusos, exponenciális, stb egyenleteknél simán lehet egy hamis gyök (ami kijött, de nem jó az egyenletbe visszahelyettesítve). Ilyenkor írd mellé, hogy ez nem ad megoldást. Szöveges feladatoknál ne az általad kitalált egyenletbe helyettesíts be, hanem magába a szövegbe, ezt írd le! Pl „Tehát 6 cica és 4 madár volt, ez összesen 24+8=32 láb, ami megegyezik a szövegben írottakkal.” Egyenlőtlenségnél 1-2 értéket helyettesíts be és úgy ellenőrizz! Ne felejts el, hogy néha nem csak x, hanem y is kérdés! Mindig nézd meg, hogy arra válaszoltál-e tényleg, amit kérdeztek Ha útközben bevezettél egy új változót (pl sinx=y vagy 3x=y), és arra felírtál egy másodfokút mondjuk, akkor előbb kijön valami y-ra, de ne hagyd itt abba - ne felejtsd el, hogy téged eredetileg x érdekelt, tehát azt kell megadni a végén! 3, Gyökös, négyzetreemelős, logaritmusos, törtes egyenletnél ÉRDEMES LEHET kitételt írni: pl ha x 9 van az egyenletben, akkor leírod, hogy x-9>=0, tehát x>=9. Ezért már magában kapsz pontot, akkor is, ha elbénáztad a többit. Ha kijön egy eredmény, azt ezzel kell összevetni. (DE: nem baj, ha nincs kitétel, ha ellenőrzés viszont van! A kettő közül elég az egyik kell csak!) 4, Ahol jól lehet a józan eszet keverni a képletekkel: -sorozatok: kis vonalkákra felírhatod a tagokat, kiszámolhatod az összegeket magadnak, ellenőrzésre (ill ha nem jön ki számolásra, ezért is kaphasz kamupontot) -koordinátageometriai feladatoknál rajzolj is és számolj is, a rajzot ellenőrzésre és tervezésre használ. Ha kijön egy egyenlet, pl x+y=8, rendezd y-ra és ábrázold, hogy le tudd ellenőrizni, jó jött-e ki!! -kombinatorika, valszám: ha érzed, hogy kevés eset van, felsorolhatod, sőt van, hogy ez kevésbé kockázatos, mint képletekkel bűvészkedni. -geo feladatoknál jól jön egy kicsi becslés ellenőrzésképp -függvényeknél: használd a transzformációról tanultakat (mikor merre tolódik), de mindig számolj is utána jónéhány pontnál! Ne kapkodd el, legalább 4-5 pontra nézd meg, hogy OK-e! 4, „Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont.” TEHÁT: Ha nincs meg valamilyen részeredmény, akár egy kitalált számmal is számolhatsz jobb híján tovább!
5, Kötözködések, amik pontba kerülhetnek: Mondd ki a tétel/módszer nevét lehetőleg Ellenőrzés általában 1-2 pont! Egymondatos válasz megintcsak 1 pont!!! Ha képletezés helyett logikázva/találgatva adsz meg egy választ, írd le, hogy más megoldás nincs (már ha tényleg ezt gondolod)! Figyelj a mértékegységre és hogy kérnek-e kerekítést! Útközbeni számításokhoz legalább 3 tizedessel számolj, a végeredmény 1-2 tizedes! Ha diagramot rajzolsz, legyen neve a tengelyeknek és jelölve a mértékegység! Valszám/kombinatorikai feladatoknál számold ki a konkrét értéket és válaszolj ott is persze egy mondattal! Az értelmezési tartományra mindig figyelj! Ha csak a [-3;4] intervallumon (x-tengely!) kell felrajzolni egy függvényt, ne szaladj ki belőle, mert levonást kapsz! Az egyenleteknél is megszívathatnak azzal, hogy azt mondják: az alaphalmaz az N, tehát csak természetes számokat szabad elfogadni! Ha mondjuk 1,5 jön ki, mondd azt, hogy ez nem tartozik az alaphalmazba. Legtöbbször persze R=valós számok=minden szám az alaphalmaz, ilyenkor nincs gond.
Ötven pici dolog egyben 1, Kombinatorikában kicsit butított szabály: ha ÉS van, akkor szorzás, ha pedig VAGY, akkor összeadás. Pl: 10 fiú és 6 lányból kell 1 fiú és 1 lány: 10∙6 féleképp. Ha viszont 1 fiú vagy 1 lány kell, akkor nyilván 10+6 féleképp. Egyébként maradjon meg az agyadban az „első helyre…” logika, ha kell, írd nyugodtan föl az összeset ellenőrzésképp. 2, Ne bonyolítsd túl mindig a valszámot. 2 pontért valószínűleg elég egyszerűt kérdeznek, a durva binomiális vagy hipergeometriai eloszlás 5-6 pont lehet! 100 0 ,15 0 ,9 95 (binomiális: P(selejt)= 0,1. Ekkor P(100-ból 5 selejt)= 5 20 80 1 5 hipergeo: 20 kék és 80 piros zokni. P(6-ot húzok visszatevés nélkül, ebből 5 piros)= . 100 6 Benne van a képlet a fvtáblában, csak nehéz értelmezni) 3, Mi mikor nem értelmezhető? Törtnél a nevező nem lehet 0, gyök alatt 0 lehet, de negatív nem, hatványozásnál kitevőben lehet bármi, logaritmusnál a nagy szám mindig pozitív.
4, k-szoros hasonlóságnál(nagyításnál) a területek aránya k2, a térfogatoké k3. 5, Ha x2<16, akkor nem x<4 a megoldás, hanem -4<x<4! Ugyanígy x2>16 megoldása x>4 vagy x<-4. Rajzold föl a parabolát és látod, miért is! Hasonlóképp működik abszolútértéknél is: |x|<16 megoldása -16<x<-16. |x|>16 megoldása x<-16 vagy x>16. 6, Másodfokúra visszavezethető egyenlet, ha 3x és 32x is van benne! Ugyanígy, ha pl x és 1/x vagy sinx és sin2x van benne. 7, A hatványozásnál a mínusz kitevő reciprokot (1/x) jelent, a törtkitevő számlálója hatványozást, a nevezője gyökvonást. Minden szám nulladik hatványa 1.
8, Amikor a logaritmust változtatgatod vagy eltűnteted egyenletmegoldás közben, írd oda, hogy „a logarimtmusról tanultak alapján”. 9, Az f(x)=-(x+3)2-4 képe parabola, ami lefel fordul a – miatt, lefelé tolódik néggyel és balra 3-mal ! (a zárójelen belül +3 van, ezért -3 felé megy el!) 10, 3x=7 megoldása: x=log37, amit úgy számolsz ki, hogy lg7/lg3 a számológéppel 11, Ha a kamat 6%, akkor tíz év múlva az eredeti x-ből x∙1,0610 pénzed lesz! 12, Hol metszi egymást két egyenes? Írd föl egymás alá az egyenleteket, kapsz egy egyenletrendszert, amit úgy oldhatsz meg, hogy az egyikből kifejezed x-et és a másikba behelyettesíted…. 13, y=-2/3 x +8: 8-nál metszi az y-tengelyt, 3-at jobbra 2-t le. 14, Rajta van egy pont egy körön/egyenesen? Csak helyettesítsd be a koordinátáit x és y helyére, ha egyenlőséget kapsz, akkor rajta volt! 15, Ha így kapod meg egy kör egyenletét. x2+y2+2x-6y=15, akkor felezd meg az x meg y előtti számot (2x->1,-6y->-3), ezek lesznek zárójelben (x+1)2+(y-3)2, a másik oldalhoz meghozzá kell adni ezek négyzetét!! (12+32=10-et). Tehát (x+1)2+(y-3)2 =25, innen már leolvasható a középpont meg a sugár : O(-1;3), r=5. 16, A szórás: az átlagtól való eltéréseket négyzetre emeljük, ezeket átlagoljuk, utána ebből az átlagból gyököt vonunk 17, Relatív prímek: ha nincs más közös osztójuk, csak az 1. Például: 9 és 20. 18, ÉT: milyen x-ekre lehet kiszámolni. Az x-tengelyen kell leolvasni. 19, ÉK: milyen y-ok, azaz függvényértékek jönnek ki. Az y-tengelyen kell leolvasni. 20, Derékszögű háromszögnél a köréírható kör középpontja épp az átmérő felezőpontja. Thalesz tétel is erről szól. 21, Páros függvény: Olyan függvény, ami szimmetrikus az y-tengelyre. Páratlan függvény:Olyan függvény, ami szimmetrikus az origóra. a legtöbb függvény se nem páros, se nem páratlan. 22, „Minden…” tagadása „Van olyan, ami nem” 23, A matekban a „vagy” nem kizáró, tehát nem azt jelenti, hogy az egyik teljesülhet csak a kettő közül, hanem hogy legalább az egyik. A „szép VAGY okos ” tagadása „nem szép ÉS nem okos”.!!! A „szép ÉS okos” tagadása „nem szép VAGY nem okos”. !!! 24, Normálalak: Felírom a számot egy 1 és 10 közötti szám (pl 2,34) és egy 10-hatvány szorzataként. Pl. 2300=2,3∙103
25, Relatív gyakoriság: Megmutatja, hogy egy adathalmazban mennyi az aránya valamelyik adatnak.pl K, K, K, P, P esetén a K rel. gyakorisága 2/5. 26, Minimumhely: az az x-érték, ahol a függvény a legkisebb értéket veszi föl.A minimumérték ez a legkisebb érték. Mindig, ha helyről van szó, akkor egy x-értéket kérnek. 27, Zérushely. az az x, ahol a függvényérték épp nulla. 28, 10 dolgot 10! féleképp lehet sorbaállítani. Ha van közte 3 egyforma, akkor 10!/3! féleképp. Ha egy körasztalnál ül 10 ember, akkor csak 9! féle sorrend van. 29, 10 ember között 10∙9/2 kézfogás, meccs, stb. 10 pontú teljes gráfban 10∙9/2 él. 30, 10 dologból kiválasztok 4-et: ezt 10 alatt a 4 féleképp tehetem meg. Számológéppel 10, nCr gomb, 4 beírásával számolhatom ki, vagy 10∙9∙8∙7 osztva 4∙3∙2∙1, 31, Irracionális szám: Olyan szám, ami nem írható fel tört alakban. pl π, gyök2. Ez egy tizedestört, ami végtelen hosszú és nem szakaszok ismétlődéséből áll. 32, A sinx=0,5 megoldása? Számológép szerint az egyik mo: 30°, a másik 180°-30°=150°, ezekhez kell a periódust (360°) hozzáírni: x1=30°+k∙360°, x2=150°+k∙360. Ugyanezt radiánban:x1=π/6+2kπ, x2=5π/6+2lπ (k, l egész – ez 1 pontot érhet!) 33, Ha sima kis elsőfokú egyenlőtlenséged van, dolgozz ugyanúgy, mintha = lenne, de negatívval szorzáskor/osztáskor megfordul a kacsacsőr. Ha log vagy 3x van az egyenletben mindkét oldalon, eltűntetéskor marad a kacsacsőr, ha az alpszám >1 volt, ha <1, akkor megfordul! Négyzetes, abszértékes, szinuszos egyenletnél ennél bonyolább a helyzet. 34, Ne szorozz föl egyenlőtlenségnél ismeretlenes kifejezéssel, mert nem tudod, hogy ez a kifejezés pozitív-e vagy negatív, tehát meg kell-e fordítani a kacsacsőr van nem! 35, Ha olyan egyenlettel találkozol, aminek a két oldalán két teljesen különböző kifejezés van, esélytelen megoldani algebrailag, akkor grafikusan csinálod meg. felrajzolod a két görbét és megnézed, milyen x-nél metszik egymást, ez az x a megoldás. Egyenlőtlenségnél is működik! 36, Ha az abc háromjegyű számról van szó, írd így föl: 100a+10b+c 37, Számtani sorozatnál három szomszédos tag közül a középső a két másik átlaga 38, Mértani sorozatnál a középső a két szélső mértani közepe, tehát a szorzatuk gyöke. 39, LNKO=legnagyobb közös osztó. Felbontjuk a két számot prímtényezőire és minden közös prímtényezőt a kisebbik kitevővel vesszük, így szorozzuk össze. Pl 26∙5 és 25∙52∙7 LNKO-ja: 25∙5 40, LKKT=legkisebb közös többszörös. Most minden tényezőt a nagyobb kitevővel vesszük. Pl 26∙5 és 25∙52∙7 LKKT-ja: 26∙52∙7 41, 3x+2=3x∙32=9∙3x. Ugyanígy: 3x-1=3x∙3-1=1/3∙3x. Egy nagyon egyszerű exponenciális egyenlet: 3x+3x+1=12. Ekkor átírom úgy, hogy 3x+3∙3x=12, azaz összesen 4∙3x=12, innen 3x=3, azaz x=1.
42, 32x=9x=(3x)2. Tehát ha egy egyenletben van 32x és 3x is, abból nagyon szép másodfokú egyenlet lesz, ha y=3x helyettesítést csinálsz. Kijön két megoldás y-ra, utána már könnyű x-et kitalálni. 42, Mennyi volt az izé, ha 20%-kal emelve 2400 lett? Ilyenkor NE vond ki a 2400-ból az ő 20%-át, mert nem jót kapsz! jó gondolat: x=100%, 2400=120%, vagy egyenlettel: x∙1,2=2400, x=2400:1,2. 43, Ha valami csúnya egyenletrendszert kapsz, ne ijedj meg! Az egyik egyenletből fejezd ki az x-et vagy y-t és ezt helyettesítsd be a másik egyenletbe! x-et és y-t is, 44, Akkor se parázz, ha nagyon csúnya, sokbetűs szociológiai/kémiai/fizikai stb képletet adnak meg. Ilyenkor általában csak intelligensen be kell helyettesítgetni és megoldani a kapott, szokásos stílusú egyenletet. 45, Másodfokú függvényről tudnivalók: f(x)= ax2+bx+c alak esetén akkor néz felfele a parabolánk, ha „a” pozitív, akkor le, ha „a” negatív. A két zérushelyet megkapod a megoldóképlettel. A minimumhely épp a két megoldás átlaga lesz! Ha nincs megoldás, akkor az egész parabola az x-tengely fölött lesz. Ha egy megoldás van, akkor pont érintkezik az x-tengellyel. f(x)= -(x-3)2+5 alak esetén a szokásos parabolát kell lefele fordítanod és eltolnod jobbra 3-hoz és fel 5-höz. (A vízszintes tolás mindig „nemlogikus” -3 van a képletben, mégis +3hoz kell tolni) f(x)=(x-4)(x+2) alak esetén már tudjuk is a két zérushelyet: 4 és -2! A minimumhely félúton lesz, tehát 1-nél.A függvényérték itt -9, kiszámolható, ha behelyettesítesz. 46, Az 5x+4y=10 és mondjuk az 5x+4y=20 párhuzamosak. Olyan egyenes, ami párhuzamos ezekkel és átmegy a (8;9) ponton: 5x+4y=5∙8+4∙9. 47, Ha koordinátageoban az ABC szög kell, akkor írd föl a BA és a BC vektorok skaláris szorzatát kétféleképpen (benne van a fvtáblában, két helyen!), az egyetlen ismeretlen a szög koszinusza lesz, így az kiszámolható! 48, A logaritmus a hiányzó kitevő. Ne felejtsd el, a mutogatást, hogy hogy írod át hatványozásra a logaritmust: log232=5, mert 2 az 5-ödiken az 32. Extra érdekesség 1: log2210=10, csak gondold végig, miért. 2, log2x20=20∙log2x, tehát a kitevőt a log elé lehet vinni. 3, bármilyen új alapra át lehet állni úgy, ahogy a 10-esre tettük, amikor számológéppel számoltunk, keresd a fvtáblában… 49, Egyenlőtlenségnél a kacsacsőr megfordul, ha a hatvány vagy a logaritmus alapszáma 1-nél kisebb! 0,5x>2, azaz 0,5x>0,5-2 megoldása x<-2 !!! log0,5x>2 megoldása x<0,52=0,25 !!! 50, Kéthalmazos példánál: |A|+|B| - |AmetszetB|=|A unio B| használható, keresd a fvtáblában!
