Ústav teorie informace a automatizace. Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT

ˇ e republiky Akademie vˇed Cesk´ ´ Ustav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation

RESEARCH REPORT

Lubom´ır Nevaˇril, Ludv´ık Tesaˇr Odhadov´ an´ı d´ elky fronty vozidel na kˇriˇ zovatce na z´ akladˇ e mˇ eˇren´ı pomoc´ı indukˇ cn´ıch detektor˚ u

No. 2137

October 20, 2005

´ ˇ P.O.Box 18, 182 08 Prague, Czech Republic UTIA AV CR, Tel: (+420)266052422, Fax: (+420)286890378, Url: http://www.utia.cas.cz, E-mail: [email protected]

This report constitutes an unrefereed manuscript which is intended to be submitted for publication. Any opinions and conclusions expressed in this report are those of the author(s) and do not necessarily represent the views of the institute.

1

Contents Pˇ redmluva

3

´ 1 Uvod 1.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 6

2 Metody odhadov´ an´ı d´ elky kolony 2.1 Metoda odhadován´ı délky kolony pomoc´ı lineárn´ı regrese 2.2 Metoda odhadován´ı pozice kolony v˚ uˇci detektoru . . . . ´ 2.2.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Varianta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Varianta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Varianta 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Varianta 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Metoda odhadován´ı délky kolony pomoc´ı “pln´ıc´ıho ˇcasu”

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

8 8 11 11 12 13 15 17 25 26

3 Z´ avˇ er

29

4 Pˇ r´ılohy

31

5 Podˇ ekov´ an´ı

43

2

Pˇ redmluva Tato práce vznikla jako souˇcást studia prvn´ıho z autor˚ u na Fakultˇe jaderné a fyzikálnˇe ˇ inˇzen´ yrské, CVUT. Tato v´ yzkumná zpráva je draft verz´ı reˇserˇsn´ı práce, a protoˇze shrnuje ˇcást práce obou spoluautor˚ u, rozhodli jsme se ji podat jako spoleˇcnou v´ yzkumnou zprávu. Prvn´ı autor je autorem reˇserˇsn´ı práce, jej´ıˇz fináln´ı verze bude podána na FJFI ˇ CVUT, druh´ y z autor˚ u je ˇskolitelem. Lubom´ır Nevaˇril Ludv´ık Tesaˇr

3

´ 1 Uvod V posledn´ıch letech u nás, ale i v jin´ ych zem´ıch celého svˇeta prudce vzr˚ ustá poˇcet osobn´ıch i nákladn´ıch vozidel a s t´ım souvisej´ıc´ı intenzita provozu na pozemn´ıch komunikac´ıch. Problémy dopravn´ı zácpy se pak negativnˇe projevuj´ı zejména v centrech velk´ ych mˇest, kde hustota provozu ˇcasto i mnohonásobnˇe pˇrevyˇsuje kapacitu, na kterou byly tyto oblasti p˚ uvodnˇe dimenzovány. Vznikaj´ı tak v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech i mnohasetmetrové kolony, které jsou psychologickou zátˇeˇz´ı nejen pro ˇridiˇce, ale také m´ıstn´ı obyvatele. Ti jsou vystavováni nadmˇernému hluku a zhorˇsenému ˇzivotn´ımu prostˇred´ı zp˚ usobenému ˇskodliv´ ymi exhalacemi z vozidel. Jedn´ım ze zp˚ usob˚ u sn´ıˇzen´ı automobilového provozu v dané oblasti je postaven´ı alternativn´ıho spojen´ı, které se j´ı vyh´ ybá. Takovéto ˇreˇsen´ı je vˇsak obvykle velice nákladné a ne vˇzdy dostateˇcnˇe u ´ˇcinné. Nav´ıc m˚ uˇze b´ yt v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech neuskuteˇcnitelné. Jinou moˇznost´ı je zaveden´ı hromadné dopravy. I zde se vˇsak ukazuje, ˇze navzdory jej´ım v´ yhodám je stále mnoho ˇridiˇc˚ u, kteˇr´ı dávaj´ı pˇrednost osobn´ım automobil˚ um. Hromadná doprava na sebe nem˚ uˇze pˇrevz´ıt funkci nákladn´ı dopravy a má nˇekterá dalˇs´ı omezen´ı, popsaná je detailnˇeji napˇr´ıklad v [1] nebo [9]. Zcela jin´ y pˇr´ıstup nab´ız´ı myˇslenka pokusit se zv´ yˇsit p˚ uvodn´ı kapacitu pozemn´ıch komunikac´ı v zat´ıˇzen´ ych oblastech zaveden´ım efektivnˇejˇs´ıho zp˚ usobu ˇr´ızen´ı dopravy. Prvn´ım krokem k tomu bylo zaveden´ı svˇeteln´ ych signalizaˇcn´ıch zaˇr´ızen´ı (neboli “semafor˚ u”) na kˇriˇzovatkách. V prvn´ı fázi se pouˇz´ıvaly signály s ˇcasov´ ymi intervaly nemˇenné délky. Pozdˇeji se zaˇcalo vyuˇz´ıvat moˇznosti mˇenit délku signál˚ u v rámci nˇekolika pˇrednastaven´ ych hodnot v závislosti na denn´ı dobˇe, podle informac´ı z´ıskan´ ych dlouhodob´ ym sledován´ım dopravn´ıho provozu na daném m´ıstˇe. V dneˇsn´ı dobˇe se pak stále ˇcastˇeji zaˇc´ınaj´ı prosazovat systémy (napˇr´ıklad MOTION1 , TRANSIT, SCATS a dalˇs´ı), které upravuj´ı délky signál˚ u semaforu podle potˇreby aktuáln´ıho stavu dopravy, k jehoˇz zjiˇstˇen´ı pouˇz´ıvaj´ı odhad˚ u zaloˇzen´ ych na datech z´ıskan´ ych z r˚ uzn´ ych dopravn´ıch detektor˚ u. O problémech ˇr´ızen´ı dopravy tˇemito, ale i jin´ ymi modern´ımi zp˚ usoby existuje velké mnoˇzstv´ı literatury, obecnˇejˇs´ı jsou [1], [9], [10], [11]. Pˇritom pro nás se jako d˚ uleˇzité jev´ı systémy zaloˇzené na soustavách mikroregion˚ u [12], [13], [14], [15], [16], neboˇt se pouˇz´ıvaj´ı v ˇradˇe evropsk´ ych mˇest, mezi nimiˇz figuruje také Praha. Pro tyto metody má velk´ y v´ yznam odhad délky kolon na kˇriˇzovatkách, kter´ ym se zab´ yvá napˇr´ıklad [6], [13], [14]. Pˇritom ˇcást v dneˇsn´ı dobˇe pouˇz´ıvan´ ych a pomˇernˇe dobˇre funguj´ıc´ıch metod je 1

Method for the Optimalisation of Traffic signals In Online controlled Networks

4

zaloˇzena na klasickém Kalmanovˇe filtru [7]. Vyskytuj´ı se vˇsak také jiné pˇr´ıstupy, neboˇt v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech se závislost délky kolony na mˇeˇren´ ych datech ukazuje b´ yt silnˇe nelineárn´ı. ´ Ukolem popsat nebo navrhnout metodu na odhadován´ı délky kolony se zab´ yvá také tato práce. Ve zbytku u ´vodn´ı ˇcásti jsou zm´ınˇeny nˇekteré pojmy d˚ uleˇzité pro pochopen´ı dalˇs´ıho textu. Druhá ˇcást se zab´ yvá vlastn´ım odhadován´ım délek kolon, pˇriˇcemˇz prvn´ı a druhá popisovaná metoda byly navrˇzeny tak, aby byly pouˇzitelné na systému sledován´ı a ˇr´ızen´ı dopravy pouˇz´ıvaném v Praze. V ˇcásti pˇr´ılohy jsou pak uvedeny nˇekteré grafy, obrázky a tabulky, které nebylo moˇzno kv˚ uli jejich velikosti um´ıstit pˇr´ımo do textu.

5

1.1

Z´ akladn´ı pojmy

V této ˇcásti je uveden pˇrehled pojm˚ u, které se budou vyskytovat dále v textu a jejichˇz znalost je d˚ uleˇzitá k pochopen´ı popisovan´ ych princip˚ u. Definice 1 (Délka kolony) Pod pojmem aktuáln´ı délka kolony vozidel v daném j´ızdn´ım pruhu (nˇekdy struˇcnˇeji pouze “délka kolony” nebo “kolona”) budeme rozumˇet vzd´ alenost konce posledn´ıho stoj´ıc´ıho vozidla v tomto pruhu od hranice kˇriˇzovatky, v daném libovolném ˇcasovém okamˇziku. Pokud pˇr´ıjezdové rameno kˇriˇzovatky m´ a v´ıce neˇz jeden j´ızdn´ı pruh, pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze délky kolon v kaˇzdém z nich jsou pˇribliˇznˇe stejné. Pro nˇekteré u ´ˇcely budeme délku kolony vztahovat pouze k urˇcitým zvoleným ˇcasovým okamˇzik˚ um, tato skuteˇcnost bude vˇzdy na daném m´ıstˇe zd˚ uraznˇena. Definice 2 (Detektory) Pojem detektory (nebude-li uvedeno jinak) bude oznaˇcovat indukˇcn´ı smyˇcky um´ıstˇené v pozemn´ı komunikaci a napojené na dopravn´ı poˇc´ıtaˇc. Tyto smyˇcky jsou schopné detekovat pˇr´ıtomnost vozidla nacházej´ıc´ıho se nad nimi na principu elektromagnetické indukce. Um´ıstˇen´ı tˇechto detektor˚ u pro kˇriˇzovatku 084 je schematicky zn´ azornˇeno na obr´ azku 4.18. Kˇriˇzovatky jsou vybaveny vˇetˇsinou dvˇema detektory v kaˇzdém j´ızdn´ım pruhu. Prvn´ı bývá um´ıstˇen bl´ıˇze k hranici kˇriˇzovatky (obvykle 20 – 50 metr˚ u) a nazývá se “prodluˇzovac´ı detektor”. Druhý, vzd´ alenˇejˇs´ı, býv´ a um´ıstˇen ve vzd´ alenosti 100 – 200 metr˚ u od hranice kˇriˇzovatky a nazýv´ a se “strategický detektor”. Definice 3 (Obsazenost) Obsazenost detektoru (nebo také pouze obsazenost) je veliˇcina mˇeˇren´ a automaticky pomoc´ı indukˇcn´ıch detektor˚ u a poskytovan´ a dopravn´ım poˇc´ıtaˇcem v 90 sekundových intervalech. Vyjadˇruje pomˇer ˇcasu, kdy se nad detektorem vyskytovalo vozidlo, k celkové dobˇe intervalu a je udávána v procentech. Definice 4 (Intenzita) Intenzita dopravn´ıho proudu (zkrácenˇe intenzita) je veliˇcina mˇeˇren´ a automaticky pomoc´ı indukˇcn´ıch detektor˚ u a poskytovaná dopravn´ım poˇc´ıtaˇcem v 90 sekundových intervalech. Vyjadˇruje poˇcet vozidel, které projely nad detektorem bˇehem uplynulého intervalu. Ud´ avá se ve v jednotkách [vozidla · hodina−1 ]. Definice 5 (Data) Pro u ´ˇcely navrˇzen´ı a otestován´ı metod na odhadov´ an´ı délek kolon byla provedena mˇeˇren´ı nˇekterých veliˇcin, v této práci souhrnnˇe oznaˇcovaných pojmem data. Jedn´ a se o mˇeˇren´ı na kˇriˇzovatce ulic Vltavská a Hoˇrejˇs´ı n´ abˇreˇz´ı v dopravn´ıch schématech oznaˇcované ˇc´ıslem 084 (viz obrázek 4.18), v pˇr´ıjezdovém rameni leˇz´ıc´ım v ulici Hoˇrejˇs´ı n´ abˇreˇz´ı. Automaticky (tj. pomoc´ı indukˇcn´ıch detektor˚ u) byly mˇeˇreny veliˇciny obsazenost a intenzita, ruˇcnˇe délky kolon a ˇcasy zeleného a ˇcerveného sign´ alu semaforu. Ruˇcn´ı mˇeˇren´ı bylo provedeno ve dnech 4. 8. 2003 aˇz 8. 8. 2003 (tj. pondˇel´ı aˇz p´ atek) v dopoledn´ıch hodin´ ach 6

(pˇribliˇznˇe od 6. do 10. hodiny dopoledn´ı). Podle dne, ve kterém byla data namˇeˇrena, na nˇe bude pozdˇeji v textu odkazováno jako na “pondˇeln´ı” aˇz “p´ ateˇcn´ı” mˇeˇren´ı. Hodnoty délek kolon byly zaznamenávány v 60 sekundových intervalech. Definice 6 (Kongesce) Kongesce nebo také dopravn´ı kongesce je pouze jiný výraz pro dopravn´ı z´ acpu. Form´ alnˇe lze ˇr´ıci, ˇze u ´sek pozemn´ı komunikace je ve stavu kongesce, pokud ˇcas j´ızdy t´ımto u ´sekem významnˇe pˇrevyˇsuje ˇcas j´ızdy za bˇeˇzných podm´ınek. Definice 7 (Znaˇcen´ı) Mˇejme x, y náhodné veliˇciny, f(x,y) sdruˇzenou hustotu pravdˇepodobnosti. Potom stˇredn´ı hodnotu n´ ahodné veliˇciny y budeme znaˇcit E(y), podm´ınˇenou hustotu pravdˇepodobnosti y za pˇredpokladu pevné hodnoty x = x0 oznaˇc´ıme jako f (y|x0 ) nebo f (y|x = x0 ).

7

2 Metody odhadov´ an´ı d´ elky kolony 2.1

Metoda odhadov´ an´ı d´ elky kolony pomoc´ı line´ arn´ı regrese

Anal´ yzy závislosti délky kolony na obsazenosti a intenzitˇe ukazuj´ı, ˇze tento vztah sice nen´ı lineárn´ı, ale ˇze se v urˇcitém omezeném rozmez´ı dá lineárn´ı závislost´ı nahradit. Proto se m˚ uˇzeme pokusit vyuˇz´ıt k pˇribliˇznému odhadnut´ı délky kolony lineárn´ı regrese. Obecná teorie regrese se zab´ yvá u ´lohou pˇredpovˇedi hodnot jedné nebo v´ıce náhodn´ ych veliˇcin y1 , ..., ym na základˇe mˇeˇren´ı hodnot jin´ ych náhodn´ ych veliˇcin x1 , ..., xn . Pro snazˇs´ı pochopen´ı v´ yznamu pˇredchoz´ı vˇety ho m˚ uˇzeme ilustrovat následuj´ıc´ım pˇr´ıkladem. Mˇejme kovovou tyˇc délky l0 za teploty t0 a sledujme zmˇenu jej´ı délky pˇri r˚ uzn´ ych náhodn´ ych teplotách. Z fyziky v´ıme, ˇze mezi zmˇenou délky tyˇce ∆l a zmˇenou teploty ∆t existuje funkˇcn´ı závislost ve tvaru ∆l = l0 α · ∆t

(2.1)

kde α je koeficient délkové teplotn´ı roztaˇznosti. Na tento experiment se m˚ uˇzeme d´ıvat také jako na pozorován´ı dvojice náhodn´ ych veliˇcin “prodlouˇzen´ı tyˇce” a “zmˇena teploty”. Pro u ´ˇcely pˇredpovˇedi prodlouˇzen´ı tyˇce na základˇe znalosti zmˇeny teploty tedy staˇc´ı nalézt funkˇcn´ı závislost (tj. urˇcit α) ∆l na ∆t, o n´ıˇz jsme vˇedˇeli, ˇze existuje. ´ Uloha regrese je ovˇsem obecnˇejˇs´ı. M˚ uˇzeme se totiˇz pokusit pˇredpov´ıdat hodnoty náhodné veliˇciny y na základˇe mˇeˇren´ı x1 , ..., xn , aniˇz bychom pˇredpokládali existenci funkˇcn´ı závislosti2 y = y(x1 , ..., xn ). Mˇejme napˇr´ıklad naklonˇenou rovinu se “zvlnˇen´ ym” povrchem parametrizovan´ ym veliˇcinou θ ∈ {1, 2, ..., n}. Pouˇstˇejme vˇzdy z jednoho m´ısta na povrchu naklonˇené roviny kuliˇcku, která nakonec spadne do jedné z n + 2 krabic um´ıstˇen´ ych v jedné ˇradˇe pod touto rovinou. Aˇt povrch roviny je konstruován tak, aby pro kaˇzdou z moˇzn´ ych hodnot θ vˇzdy kuliˇcka skonˇcila se stejnou pravdˇepodobnost´ı v nˇekteré trojici sousedn´ıch krabic. Potom náhodnou veliˇcinu “poˇrad´ı krabice, ve které skonˇcila kuliˇcka” urˇcitˇe nelze povaˇzovat za funkci parametru θ. Pˇritom se ale tato závislost dá do urˇcité m´ıry aproximovat funkˇcn´ı závislost´ı. To je právˇe u ´kolem regrese. Máme tedy náhodnou veliˇcinu y, jej´ıˇz hodnoty chceme odhadovat z mˇeˇren´ı hodnot x1 , ..., xn pomoc´ı odhadnut´ı funkce y = y(x1 , ..., xn ) . Otázkou z˚ ustává, jak´ ym zp˚ usobem tuto funkci naj´ıt. Následuj´ıc´ı definice a vˇety jsou pˇrevzaty z literatury [4], kde lze také 2

Takováto snaha nemus´ı b´ yt nutnˇe nelogická, jak by se mohlo na prvn´ı pohled zdát.

8

naj´ıt jejich d˚ ukazy. V praxi velmi ˇcast´ ym zp˚ usobem je hledán´ı odhadu s minimáln´ı stˇredn´ı kvadratickou chybou. Oznaˇcme jeˇstˇe (x1 , ..., xn ) = x a f (x ) odhadovanou funkci. Vˇ eta 1 Aˇt M(x) znaˇc´ı podm´ınˇenou stˇredn´ı hodnotu E(y|x). Potom výraz E[y − f (x)]2 je minim´ aln´ı, právˇe kdyˇz f (x) = M (x). Definice 8 Funkci M (x) z vˇety 1 nazýv´ ame regresn´ı funkci y na x1 , ..., xn a jej´ı stˇredn´ı kvadratick´ a chyba je rovna právˇe E[y − f (x)]2 . Poˇzadavek, aby byla stˇredn´ı kvadratická chyba minimáln´ı ovˇsem nen´ı jediné kritérium, podle kterého lze stanovit funkci f (x ). Oznaˇcme %(y, f ) =

cov(y, f ) σf σy

(2.2)

korelaci náhodn´ ych veliˇcin y a f (σf a σy znaˇc´ı odmocniny rozptyl˚ u pˇr´ısluˇsn´ ych veliˇcin, cov(y, f ) jejich kovarianci). Potom m˚ uˇzeme na hledanou funkci f poloˇzit podm´ınku, aby maximalizovala v´ yraz 2.2. Vˇ eta 2 Mˇejme funkci M (x) z vˇety 1. Potom %(y, M ) ≥ 0 %(y, M ) ≥ %(y, f )

kde f je libovolný jiný odhad

(2.3)

Z d˚ ukazu pˇredchoz´ı vˇety (uveden´ y v [4], str. 303) plyne, ˇze korelace %(y, f ) nab´ yvá svého maxima pokud %(M, f ) = 1, tedy pokud je f lineárn´ı funkc´ı M , ˇcili i pro samotnou funkci M . Tedy regresn´ı funkce nejen minimalizuje stˇredn´ı kvadratickou chybu, ale zároveˇ n i maximalizuje korelaci %(y, f ) pˇres vˇsechny odhady f . Je-li regresn´ı funkce lineárn´ı, potom ji lze urˇcit pomˇernˇe snadno, staˇc´ı k tomu znát stˇredn´ı hodnoty, rozptyly a kovariance náhodn´ ych veliˇcin y, x1 , ..., xn . Lze ji zapsat ve tvaru M (x) = a + b1 · x1 + ... + bn · xn , aby platilo Cb = c a = E(y) − bT E(x)

(2.4)

Pˇritom b = (b1 , ..., bn ), C je kovarianˇcn´ı matice promˇenn´ ych x1 , ..., xn a c je vektor kovarianc´ı y s x1 , ..., xn . V takovém pˇr´ıpadˇe mluv´ıme (podle definice v [4], str. 304) o lineárn´ı regresi. Regresn´ı funkce m˚ uˇze b´ yt ovˇsem sloˇzitˇejˇs´ı a v takovém pˇr´ıpadˇe je jej´ı nalezen´ı podstatnˇe obt´ıˇznˇejˇs´ı. M˚ uˇzeme se vˇsak spokojit s t´ım, ˇze nebudeme hledat pˇr´ımo regresn´ı funkci, ale pouze jej´ı nejlepˇs´ı odhad mezi lineárn´ımi funkcemi. Návod k tomu dává následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 3 Lineárn´ı funkce definovaná v 2.4 minimalizuje výraz E[y − f (x)]2 mezi vˇsemi line´ arn´ımi funkcemi. Zároveˇ n maximalizuje výraz 2.2 (opˇet mezi line´ arn´ımi funkcemi). 9

Otázkou ale nadále z˚ ustává, jak´ ym zp˚ usobem z namˇeˇren´ ych dat urˇcit koeficienty a a b. Pro pˇr´ıpad lineárn´ı regrese je tento problém detailnˇeji popsán v [2], parametry se odhaduj´ı metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. My vyuˇzijeme následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Vˇ eta 4 Mˇejme matici ˇc´ısel X ∈ Rn,k , n > k, vektor Y ∈ Rn . Potom výraz (Y − −Xb)T (Y − Xb) nabývá svého minima pˇres b ∈ Rk pr´ avˇe kdyˇz b = (XT X)−1 XT Y

(2.5)

Za urˇcit´ ych dalˇs´ıch pˇredpoklad˚ u se dá ukázat, ˇze vektor b z v´ yrazu 2.5 je nestrann´ ym odhadem parametru b z rovnic 2.4, popˇr´ıpadˇe dalˇs´ı zaj´ımavé vlastnosti. Ty pro nás ovˇsem nejsou tolik d˚ uleˇzité, neboˇt v naˇsem pˇr´ıpadˇe o regresn´ı funkci v´ıme, ˇze by mohla b´ yt alespoˇ n “ˇcásteˇcnˇe lineárn´ı”, a proto budou vˇsechna tato tvrzen´ı platit pouze pˇribliˇznˇe. Nyn´ı uˇz m˚ uˇzeme vyzkouˇset metodu na reáln´ ych datech. Jako matici X zvol´ıme data z detektor˚ u, za vektor Y ale dosad´ıme délky kolon vyhlazené pomoc´ı exponenciáln´ıho zapom´ınán´ı podle vztahu Y¯1 = Y1 Y¯k+1 = αYk + (1 − α)Y¯k

(2.6)

(kde jsme zvolili α = 0, 5 a index k prob´ıhá pˇres vˇsechny namˇeˇrené délky kolon) neboˇt odhad parametr˚ u touto metodou je znaˇcnˇe citliv´ y na náhlé zmˇeny v délce kolony, které nav´ıc mohou b´ yt zp˚ usobeny nepˇresnost´ı ruˇcn´ıho mˇeˇren´ı. Grafy pr˚ ubˇeh˚ u odhadnuté délky kolony a kolony vyhlazené exponenciáln´ım zapom´ınán´ım jsou uvedeny v pˇr´ıloze na obrázc´ıch 4.13, 4.14, 4.16 a 4.17. M˚ uˇzeme si na nich vˇsimnout, ˇze pro pondˇel´ı a pátek, kdy byly kolony krátké, se odhady pomˇernˇe dobˇre shoduj´ı se skuteˇcnost´ı, zat´ımco ve ˇctvrtek a stˇredu m˚ uˇzeme pozorovat v´ yznamnˇejˇs´ı odchylky, zejména pro dlouhé kolony. To je ovˇsem v´ ysledek, kter´ y se oˇcekával, neboˇt samotné hodnoty obsazenosti a intenzity na detektorech nenesou informaci o stavu kolony, která sahá daleko za tyto detektory. Tyto grafy ovˇsem zobrazuj´ı odhady délky kolony, které byly provedeny na stejné mnoˇzinˇe dat, na kter´ ych byly odhadnuty také parametry pro lineárn´ı regresi. Obrázek 4.15 zobrazuje pr˚ ubˇeh délky páteˇcn´ı kolony a jej´ıho odhadu pomoc´ı parametr˚ u “nauˇcen´ ych” na pondˇelku. V [2] je popsaná konstrukce testu, kter´ y se pouˇz´ıvá k testován´ı hypotézy H0 (promˇenná y nezávis´ı na veliˇcinˇe xi , ve smyslu znaˇcen´ı z rovnice 2.4), oproti alternativˇe H1 (promˇenná y závis´ı na veliˇcinˇe xi ). Tento test je zaloˇzen na testovac´ı statistice ti = q

|bi |

i ∈ {2, 3, ..., n}

s2 · vi,i

(2.7)

kde n je poˇcet nezávisle promˇenn´ ych (xi , i ∈ n ˆ ), ze kter´ ych odhadujeme funkci y, bi jsou sloˇzky vektoru b z rovnice 2.5, vi,i jsou diagonáln´ı prvky matice (XT X)−1 a s2 = P 2 P P P = Yi − b1 Yi − b2 Xi,2 Yi − ... − bn Xi,n Yi , vˇsechno znaˇcen´ı ve smyslu rovnice 10

2.5. Pˇritom z toho, jak je test konstruován se dá volnˇe ˇr´ıci, ˇze ˇc´ım vˇetˇs´ı je hodnota ti , t´ım vˇetˇs´ı je pravdˇepodobnost, ˇze y závis´ı na xi (neboˇt pro niˇzˇs´ı hladinu v´ yznamnosti testu se kvantil studentova rozdˇelen´ı, se kter´ ym je hodnota ti srovnávána, posouvá po reálné ose smˇerem doprava). Vzhledem k naˇsim pˇredpoklad˚ um o závislosti délky kolony na mˇeˇren´ ych datech bude tento test platit pouze pˇribliˇznˇe, nemá proto smysl testovat závislost jednotliv´ ych dat z detektor˚ u pro r˚ uzné hladiny v´ yznamnosti testu. M˚ uˇzeme ale vyuˇz´ıt pˇredchoz´ıho poznatku a sledovat, pro která data bude pˇr´ısluˇsná hodnota statistiky ti nejvˇetˇs´ı. Ukazuje se, ˇze pro stˇredu a ˇctvrtek, kdy kolony byly nejdelˇs´ı, jsou z tohoto hlediska nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ımi daty obsazenosti strategick´ ych detektor˚ u. Celkovˇe lze ˇr´ıci, ˇze tato metoda splnila oˇcekáván´ı nenároˇcného zp˚ usobu odhadován´ı délky kolony. Na obrázku 4.15 vid´ıme pomˇernˇe dobrou shodu odhadu se skuteˇcn´ ym pr˚ ubˇehem kolony, a to i v pˇr´ıpadˇe, ˇze parametry pouˇzité pro tento odhad byly z´ıskány pomoc´ı mˇeˇren´ı z jiného dne s podobn´ ym pr˚ ubˇehem délky kolony. Lze tedy usuzovat, ˇze pˇredpoklad pˇribliˇznˇe lineárn´ı závislosti délky kolony na mˇeˇren´ ych datech je oprávnˇen´ y a ˇze metodu lze pouˇz´ıt s pomˇernˇe uspokojiv´ ymi v´ ysledky.

2.2 2.2.1

Metoda odhadov´ an´ı pozice kolony v˚ uˇ ci detektoru ´ Uvod

Jeden z ne pˇr´ıliˇs komplikovan´ ych zp˚ usob˚ u je odhadovat, zda kolona aut konˇc´ı jeˇstˇe pˇred dan´ ym detektorem, nebo aˇz za n´ım. Protoˇze jsou v Praze kˇriˇzovatky vybaveny vˇetˇsinou dvˇema detektory (v r˚ uzné vzdálenosti od hranice kˇriˇzovatky) v kaˇzdém pˇr´ıjezdovém rameni, bude se jednat o metodu, která rozliˇsuje tˇri stupnˇe délky kolony. Základn´ı myˇslenka této metody je následuj´ıc´ı. Pokud kolona aut sahá aˇz po detektor, mˇelo by nˇekteré auto stát pˇr´ımo nad n´ım a detektor pak vykáˇze vysokou obsazenost. Skuteˇcnost je vˇsak trochu komplikovanˇejˇs´ı a pro vyuˇzit´ı je potˇreba tuto myˇslenku trochu upravit. Uˇz ze zbˇeˇzné anal´ yzy dat z detektor˚ u si lze povˇsimnout, ˇze i v pˇr´ıpadˇe, kdy kolona aut sahá daleko za detektor, nemus´ı b´ yt obsazenost nutnˇe 100%. Data jsou totiˇz poskytována detektorem pravidelnˇe v 90 sekundov´ ych intervalech, které nejsou nijak synchronizovány se svˇeteln´ ymi signály na kˇriˇzovatce. M˚ uˇze pak nastat situace, kdy se auta ze ˇ zadn´ı ˇcásti kolony pˇremistuj´ı pˇres detektor smˇerem ke kˇriˇzovatce, aby zaplnily m´ısto po autech, která odjela na zelenou. Situace je naznaˇcena na obrázku 2.1. Tedy namˇeˇrená obsazenost bude odpov´ıdat proj´ıˇzdˇej´ıc´ım vozidl˚ um a bude oproti maximáln´ı moˇzné hodnotˇe o nˇeco niˇzˇs´ı. Dále pak m˚ uˇze nastat situace, kdy kolona aut sice sahá aˇz za detektor, ale kdy dvˇe sousedn´ı auta, která stoj´ı nejbl´ıˇze k detektoru, maj´ı mezi sebou pˇr´ıliˇs velk´ y rozestup a ani jedno nestoj´ı nad detektorem. V takovém pˇr´ıpadˇe detektor zaznamená n´ızkou obsazenost zkresluj´ıc´ı v´ ysledek metody. Tato situace je naznaˇcena na obrázku 2.2. Tyto a dalˇs´ı náhodné jevy pak mohou m´ıt vliv na data pˇricházej´ıc´ı z detektor˚ u. 11

Figure 2.1: Zmˇena obsazenosti zp˚ usobená pˇresunem vozidel v rámci kolony

Figure 2.2: Zkreslen´ı obsazenosti zp˚ usobené velk´ ym odstupem dvou vozidel Metoda se bude rozhodovat na základˇe obsazenosti, kterou bude porovnávat s urˇcitou v´ yznaˇcnou hodnotou (z pˇredchoz´ıho odstavce lze usuzovat, ˇze bude pravdˇepodobnˇe menˇs´ı neˇz 100%). Je tedy nutné tuto v´ yznaˇcnou hodnotu vhodn´ ym zp˚ usobem urˇcit. Pojmenujme dále tuto hodnotu “mezn´ı hodnotou obsazenosti” nebo také “mezn´ı obsazenost´ı”.

2.2.2

Varianta 1

Prvn´ı z moˇznost´ı, které se nab´ızej´ı, je pokusit se tuto hodnotu naj´ıt v literatuˇre. V [1] je zhruba nast´ınˇena metoda detekce kongesc´ı, která se rozhodne signalizovat dopravn´ı zácpu, pokud hodnota obsazenosti detektoru v daném ˇcasovém intervalu pˇrekraˇcuje 70%. Zkusme tedy tuto hodnotu pˇrevz´ıt a otestovat metodu na skuteˇcn´ ych datech ze stˇredeˇcn´ıho mˇeˇren´ı. Nejprve se pod´ıvejme na u ´daje z prodluˇzovac´ıch detektor˚ u, vzdálen´ ych 41 metr˚ u od hranice kˇriˇzovatky. Jsou dva, pro kaˇzd´ y j´ızdn´ı pruh jeden, proto jako obsazenost uvaˇzujme pr˚ umˇer jimi udávan´ ych hodnot. Nyn´ı uˇz jen staˇc´ı spoˇc´ıtat, v kolika pˇr´ıpadech by metoda rozhodla správnˇe. Jsou to pˇr´ıpady, kdy: • obsazenost je nad a vˇcetnˇe 70% a zároveˇ n kolona je delˇs´ı neˇz 41 metr˚ u, • obsazenost je pod 70% a zároveˇ n délka kolony je kratˇs´ı neˇz 41 metr˚ u. Ostatn´ı pˇr´ıpady povaˇzujeme za nesprávné rozhodnut´ı. Uˇcin´ıme-li tak, zjist´ıme ˇze: • pro obsazenost nad a vˇcetnˇe 70% je 40 ze 40 pˇredpovˇed´ı správn´ ych (tj. kolona delˇs´ı neˇz 41 m), u ´spˇeˇsnost 100%,

12

• pro obsazenost pod 70% je 9 z 88 pˇredpovˇed´ı správn´ ych (tj. kolona kratˇs´ı neˇz 41 m), u ´spˇeˇsnost pˇribliˇznˇe 10%. Celková u ´spˇeˇsnost metody na tˇechto datech z prodluˇzovac´ıch detektor˚ u pak vycház´ı pˇribliˇznˇe 38% (49 správn´ ych pˇredpovˇed´ı ze 128 celkem). Nyn´ı si vezmˇeme strategické detektory a zopakujme pro nˇe cel´ y postup. Jako v´ ysledek pak dostaneme: • pro obsazenost nad a vˇcetnˇe 70% je 1 z 1 pˇredpovˇedi správná (tj. kolona delˇs´ı neˇz 146 m), u ´spˇeˇsnost 100%, • pro obsazenost pod 70% je 22 ze 127 pˇredpovˇed´ı správn´ ych (tj. kolona kratˇs´ı neˇz 146 m), u ´spˇeˇsnost pˇribliˇznˇe 17%. Celková u ´spˇeˇsnost metody na tˇechto datech ze strategick´ ych detektor˚ u pak vycház´ı pˇribliˇznˇe 18% (23 správn´ ych pˇredpovˇed´ı ze 128 celkem). Metoda tedy sice funguje, ale jiˇz na základˇe zde uveden´ ych v´ ysledk˚ u lze usuzovat, ˇze lze jej´ı odhady zpˇresnit. Chyby mohou b´ yt zp˚ usobeny napˇr´ıklad pr˚ umˇerován´ım dat ze dvou detektor˚ u vˇzdy do jedné hodnoty. Dalˇs´ım zdrojem chyb m˚ uˇze b´ yt skuteˇcnost, ˇze v p˚ uvodn´ı metodˇe uvedené v literatuˇre [1] byla kˇriˇzovatka vybavena takzvan´ ymi “kongescenˇcn´ımi detektory” speciálnˇe upraven´ ymi tak, aby eliminovali nedostatky bˇeˇzn´ ych detektor˚ u, projevuj´ıc´ı se v situaci znázornˇené na obrázku 2.2. V neposledn´ı ˇradˇe pak mus´ıme uváˇzit, ˇze p˚ uvodn´ı metoda je urˇcena pouze k detekci kongesce, nikoli k odhadován´ı délky kolony. Jak si lze snadno vˇsimnout, je hodnota 70% silnˇe nadhodnocena. Podle tabulek 4.2 na stranˇe 32 a 4.3 na stranˇe 33 sahá kolona za detektor uˇz pˇri mnohem niˇzˇs´ıch hodnotách obsazenosti.

2.2.3

Varianta 2

Jak bylo naznaˇceno ve shrnut´ı pˇredchoz´ı metody, velká ˇcást jej´ıch nesprávn´ ych rozhodnut´ı spoˇc´ıvala v pˇr´ıliˇs hrubém odhadu hodnoty mezn´ı obsazenosti. M˚ uˇzeme tedy vyuˇz´ıt poznatku, ˇze hodnota obsazenosti 70% byla nadsazená a pokusit se ji urˇcit lépe. M˚ uˇzeme se napˇr´ıklad pokusit seˇradit obsazenosti podle velikosti a pak z nich vybrat nejniˇzˇs´ı moˇznou, pro kterou jeˇstˇe podle namˇeˇren´ ych dat sahala kolona aˇz za detektor. Popˇr´ıpadˇe aˇz druhou nejniˇzˇs´ı, abychom ˇcásteˇcnˇe eliminovali náhodné chyby. Vezmˇeme nyn´ı tuto upravenou metodu a otestujme ji nejprve na stejn´ ych datech jako pˇredchoz´ı. Pro prodluˇzovac´ı detektor m˚ uˇzeme z tabulky 4.2 vyˇc´ıst mezn´ı hodnotu obsazenosti 42,5% (tj. nejniˇzˇs´ı hodnota pˇri které kolona sahá za detektor z takov´ ych hodnot, pro které existuje právˇe jedna vyˇsˇs´ı hodnota obsazenosti, pro kterou kolona konˇc´ı uˇz pˇred detektorem). Uvaˇzujme nyn´ı obdobnˇe jako v prvn´ı variantˇe. Metoda by rozhodla správnˇe, pokud: • obsazenost je nad a vˇcetnˇe 42,5% a zároveˇ n kolona je delˇs´ı neˇz 41 metr˚ u, • obsazenost je pod 42,5% a zároveˇ n délka kolony je kratˇs´ı neˇz 41 metr˚ u.

13

Spoˇcteme-li nyn´ı jednotlivá rozhodnut´ı, dostaneme, ˇze: • pro obsazenost nad a vˇcetnˇe 42,5% je 115 z 1163 pˇredpovˇed´ı správn´ ych (tj. kolona delˇs´ı neˇz 41 m), u ´spˇeˇsnost pˇribliˇznˇe 99%, • pro obsazenost pod 42,5% je 8 z 12 pˇredpovˇed´ı správn´ ych (tj. kolona kratˇs´ı neˇz 41 m), u ´spˇeˇsnost pˇribliˇznˇe 67%. Celková u ´spˇeˇsnost pro prodluˇzovac´ı detektory je pˇribliˇznˇe 96% (123 správn´ ych v´ ysledk˚ u ze 128 celkem). Podobnˇe pro strategické detektory m˚ uˇzeme vyˇc´ıst mezn´ı hodnotu obsazenosti (stejn´ ym postupem jako pro prodluˇzovac´ı detektor) 42%. Spoˇctˇeme opˇet jednotlivá rozhodnut´ı a dostaneme: • pro obsazenost nad a vˇcetnˇe 42% je 82 z 83 pˇredpovˇed´ı správn´ ych (tj. kolona delˇs´ı neˇz 146 m), u ´spˇeˇsnost pˇribliˇznˇe 99%, • pro obsazenost pod 42% je 21 ze 45 pˇredpovˇed´ı správn´ ych (tj. kolona kratˇs´ı neˇz 146 m), u ´spˇeˇsnost pˇribliˇznˇe 47%. Celková u ´spˇeˇsnost pro strategické detektory je pˇribliˇznˇe 80% (103 správn´ ych v´ ysledk˚ u z 128 celkem). Je vidˇet, ˇze takto modifikovaná metoda je zat´ım mnohem u ´spˇeˇsnˇejˇs´ı neˇz jej´ı pˇredchoz´ı varianta. Mus´ıme si vˇsak uvˇedomit, ˇze jsme ji testovali na stejn´ ych datech, na kter´ ych jsme ji “nauˇcili” (tj. ˇze mezn´ı hodnoty obsazenost´ı byly stanoveny podle stejn´ ych dat na kter´ ych jsme metodu pozdˇeji zkouˇseli). Vˇsimnˇeme si jeˇstˇe jednoho faktu: aˇckoli byly mezn´ı hodnoty obsazenosti stanovovány pro prodluˇzovac´ı i strategické detektory zvláˇsˇt, jsou v´ ysledky podobné (42,5% v prvn´ım pˇr´ıpadˇe a 42% ve druhém). To nab´ız´ı myˇslenku, ˇze existuje urˇcitá univerzáln´ı mezn´ı hodnota obsazenosti platná pro tuto metodu nezávisle na konkrétn´ım detektoru, popˇr´ıpadˇe dalˇs´ıch vnˇejˇs´ıch vlivech.4 Abychom tedy mohli metodu lépe zhodnotit, otestujeme ji jeˇstˇe na datech z ostatn´ıch dn˚ u. Pouˇzit´ım mezn´ıch hodnot urˇcen´ ych ze stˇredeˇcn´ıch dat dostaneme pro jednotlivé dny: • Pondˇel´ı: u ´spˇeˇsnost na prodluˇzovac´ıch detektorech pˇribliˇznˇe 65%, na strategick´ ych pˇribliˇznˇe 93%, ´ y: u • Uter´ ´spˇeˇsnost na prodluˇzovac´ıch detektorech pˇribliˇznˇe 60%, na strategick´ ych pˇribliˇznˇe 93%, • Stˇreda: u ´spˇeˇsnost na prodluˇzovac´ıch detektorech pˇribliˇznˇe 96%, na strategick´ ych pˇribliˇznˇe 80%, ˇ je chybná, vypl´ To, ˇze pr´ avˇe jedna pˇredpovˇed yvá pˇr´ımo z volby mezn´ı hodnoty obsazenosti. Stejn´ y pˇr´ıpad nastane i pro strategické detektory. Toto ovˇsem nemus´ı platit, pokud uˇz urˇcenou mezn´ı hodnotu pouˇzijeme na data z jin´ ych dn˚ u. 4 Existence takovéto univerz´ aln´ı hodnoty nen´ı na prvn´ı pohled zˇrejmá. Kaˇzd´ y detektor m˚ uˇze b´ yt ovlivˇ nován hned nˇekolika lok´ aln´ımi vlivy jako napˇr´ıklad kol´ısán´ım intenzity provozu bˇehem dne ˇci bˇehem r˚ uzn´ ych dn˚ u v t´ ydnu, vlastn´ı konstrukc´ı kˇriˇzovatky a pˇrilehl´ ych pozemn´ıch komunikac´ı a podobnˇe. 3

14

ˇ • Ctvrtek: u ´spˇeˇsnost na prodluˇzovac´ıch detektorech pˇribliˇznˇe 80%, na strategick´ ych pˇribliˇznˇe 81%, • Pátek: u ´spˇeˇsnost na prodluˇzovac´ıch detektorech pˇribliˇznˇe 68%, na strategick´ ych pˇribliˇznˇe 90%. Z takov´ ych v´ ysledk˚ u bychom mohli usoudit, ˇze popisovaná metoda je opravdu mnohem lepˇs´ı neˇz pˇredchoz´ı varianta, jednalo by se vˇsak o závˇer pˇredˇcasn´ y. Totiˇz v urˇcen´ı správné mezn´ı hodnoty stále spoˇc´ıvá problém. To, ˇze metoda pouˇz´ıvá druhou nejniˇzˇs´ı obsazenost a ne jinou, je jenom snaha aspoˇ n ˇcásteˇcnˇe eliminovat náhodné vlivy, avˇsak bez matematického podkladu. Skuteˇcnost, ˇze se metoda uˇcila na datech ze stˇredy byla také náhodná, den byl vybrán losem. Pokud by byl vybrán ˇctvrtek nebo pátek, vyˇsla by stejn´ ym zp˚ usobem mezn´ı hodnota rovna pˇribliˇznˇe 60%, pokud by bylo vybráno pondˇel´ı nebo u ´ter´ y, pak by se mezn´ı hodnota pohybovala dokonce kolem 80%. To znamená, ˇze modifikovaná metoda by dávala horˇs´ı v´ ysledky neˇz jej´ı p˚ uvodn´ı verze. Na druhou stranu je vˇsak z tˇechto v´ ysledk˚ u patrné, ˇze poloˇz´ıme-li pevnˇe mezn´ı hodnotu na pˇribliˇznˇe 40% (podobnˇe jako jsme v p˚ uvodn´ı variantˇe metody pˇrevzali z literatury hodnotu 70%), dostaneme celkem pˇresnou metodu na odhadován´ı pozice kolony v˚ uˇci detektoru.

2.2.4

Varianta 3

Opusˇtme nyn´ı na chv´ıli snahy o urˇcen´ı mezn´ı obsazenosti a pod´ıvejme se na problém jin´ ym pohledem. Pro u ´ˇcely této podkapitoly bude vhodnˇejˇs´ı, jak uvid´ıme n´ıˇze, jiná definice kolony, respektive jej´ı délky. Pod pojmem délka kolony zde budeme rozumˇet vzdálenost posledn´ıho auta stoj´ıc´ıho v kolonˇe od hranice kˇriˇzovatky v okamˇziku5 zaˇcátku zeleného signálu, respektive konce ˇcerveného signálu6 . Zkusme situaci na pˇr´ıjezdovém rameni kˇriˇzovatky modelovat následuj´ıc´ım zp˚ usobem. Pˇredpokládejme nejprve, ˇze intervaly zas´ılán´ı dat z detektor˚ u jsou synchronizovány se signáln´ım cyklem semaforu, kter´ y zaˇc´ıná ˇcerven´ ym a konˇc´ı zelen´ ym signálem. Pˇresnˇeji, ˇze data o obsazenosti bˇehem ˇcervené a za n´ı následuj´ıc´ı zelené dostáváme vˇzdy na konci této zelené. Potom celkovou obsazenost detektoru za dan´ y interval m˚ uˇzeme rozdˇelit na následuj´ıc´ı pˇr´ıspˇevky: • pˇr´ıspˇevek od aut proj´ıˇzdˇej´ıc´ıch volnˇe pˇres detektor (bˇehem ˇcervené nebo zelené), • pˇr´ıspˇevek od aut, které se bˇehem ˇcerveného signálu zaˇradily na konec kolony a stoj´ı nad detektorem (kolona pˇresahuje detektor), • pˇr´ıspˇevek od aut, které bˇehem zelené stále jeˇstˇe stoj´ı nad detektorem a ˇcekaj´ı, aˇz auta pˇred nimi uvoln´ı cestu. 5

Tato definice se od p˚ uvodn´ı liˇs´ı pouze jej´ım ˇcasov´ ym urˇcen´ım, ovˇsem i tato malá zmˇena vyˇzaduje opatrnˇejˇs´ı pˇr´ıstup pˇri navrhov´ an´ı a posléze ovˇeˇrován´ı funkˇcnosti metody. 6 Mezi zelen´ ym a ˇcerven´ ym sign´ alem b´ yvá obvykle jeˇstˇe oranˇzov´ y signál, jeho délka je vˇsak v pomˇeru k délce celého sign´ alového cyklu kr´ atk´ a a pro naˇse u ´ˇcely ji lze zanedbat.

15

Tedy m˚ uˇzeme pˇredpokládat obsazenost ve tvaru: obsazenost =

c¯ − k1 + k2 · z + k3 + k4 τ

(2.8)

Kde τ je délka intervalu, c¯ je doba ˇcervené, bˇehem které stála kolona za detektor, k1 je funkce délky kolony a konstrukˇcn´ıch vlastnost´ı kˇriˇzovatky (napˇr´ıklad vzdálenost detektoru od semaforu) souvisej´ıc´ı s pˇresunem aut v rámci kolony na zaˇcátku ˇcervené, k2 a k3 jsou opˇet funkce konstrukˇcn´ıch vlastnost´ı kˇriˇzovatky souvisej´ıc´ı s voln´ ym pr˚ ujezdem vozidel bˇehem zeleného a ˇcerveného signálu (v tomto poˇrad´ı) a funkce intenzity pˇr´ıjezdu vozidel do kˇriˇzovatky, z znaˇc´ı délku zelené a k4 je opˇet funkce konstrukˇcn´ıch vlastnost´ı kˇriˇzovatky souvisej´ıc´ı s opoˇzdˇen´ ym odjezdem vozidla stoj´ıc´ıho nad detektorem v˚ uˇci poˇcátku zeleného signálu. Urˇcen´ı koeficient˚ u k1 aˇz k4 by mohlo vést k dalˇs´ı modifikaci metody, popˇr´ıpadˇe ke zpˇresnˇen´ı v´ ysledk˚ u metody n´ıˇze popsané. Jak ovˇsem uvid´ıme dále, jsou data jeˇz máme k dispozici pro tento u ´ˇcel nevhodná. Pro dalˇs´ı u ´vahy tyto koeficienty zanedbáme. Pokud tedy namˇeˇrená obsazenost za interval je vˇetˇs´ı neˇz pomˇer doby ˇcervené k celému intervalu, m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze po celou dobu ˇcervené stálo nad detektorem auto a tedy kolona sahá aˇz za detektor uˇz na konci zelené. Oznaˇcme jeˇstˇe c dobu ˇcervené. Potom rozhodnut´ı metody vypadá následovnˇe: namˇeˇrená obsazenost ≥

c ⇒ Kolona konˇc´ı za detektorem c+z

Podobnˇe, i kdyˇz nepˇresnˇe, m˚ uˇzeme pro rozhodován´ı metody pouˇz´ıt i opaˇcn´ y smˇer implikace: c ⇒ Kolona konˇc´ı pˇred detektorem namˇeˇrená obsazenost < c+z Bohuˇzel ve skuteˇcnosti intervaly signáln´ıho plánu semaforu a intervaly zas´ılán´ı dat z detektor˚ u jsou na sobˇe nezávislé a ani nen´ı moˇzné zaˇr´ıdit, aby tomu bylo jinak7 . Proto se mus´ıme spokojit s t´ım, ˇze si zvol´ıme vlastn´ı ˇcasov´ y interval, pokud moˇzno dostateˇcnˇe dlouh´ y, aby se v nˇem vystˇr´ıdalo alespoˇ n nˇekolik ˇcerven´ ych a zelen´ ych signál˚ u. Nerovnosti pro rozhodován´ı metody staˇc´ı pozmˇenit tak, ˇze do ˇcitatele dáme souˇcet vˇsech délek ˇcerven´ ych v rámci tohoto dlouhého intervalu a do jmenovatele jeho délku. Potom m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze informace od cel´ ych pár˚ u “ˇcervená - zelená” bude m´ıt vˇetˇs´ı váhu neˇz od signál˚ u, které byly na konc´ıch naˇseho intervalu oˇr´ıznuty. Zároveˇ n vˇsak tento interval nesm´ı b´ yt pˇr´ıliˇs dlouh´ y, neboˇt metoda pak pr˚ umˇeruje délku kolony pˇres vˇsechny okamˇziky poˇcátk˚ u ˇcerveného signálu. Pokud by délka kolony bˇehem tohoto intervalu silnˇe kol´ısala, metoda by nebyla schopna tyto v´ ykyvy zachytit. Jeˇstˇe pˇredt´ım, neˇz metodu otestujeme na reáln´ ych datech si mus´ıme uvˇedomit, ˇze z mˇeˇren´ı máme k dispozici pouze délky kolon v ˇcasov´ ych odstupech 60 sekund. Uˇz samotné toto mˇeˇren´ı je dosti nepˇresné, neboˇt je provedeno ve smyslu naˇs´ı p˚ uvodn´ı definice délky kolony (tedy vzdálenost posledn´ıho stoj´ıc´ıho auta od kˇriˇzovatky v daném okamˇziku bez ohledu na poˇcet aut mezi kˇriˇzovatkou a t´ımto autem). Abychom mˇeli 7

Takov´ yto z´ asah do funkce jiˇz nainstalovaného ˇr´ıd´ıc´ıho systému na kˇriˇzovatkách pˇredstavuje z hlediska správce tohoto systému vˇetˇsinou nepˇrijatelné finanˇcn´ı v´ ydaje

16

v´ ysledky metody s ˇc´ım porovnat, mus´ıme tyto nepˇr´ıliˇs pˇresné u ´daje jeˇstˇe dále pˇrepoˇc´ıtat do okamˇzik˚ u konce zeleného signálu a dále pak zpr˚ umˇerovat pˇres vˇsechny takové okamˇziky v rámci naˇseho intervalu. Abychom data u ´plnˇe neznehodnotili, pouˇzijeme pˇri pˇrepoˇctu délek z minutov´ ych odstup˚ u váˇzeného pr˚ umˇeru podle vzdálenosti od nejbliˇzˇs´ıch znám´ ych hodnot. Tedy pro d1 délku kolony v ˇcase t1 a d2 délku kolony v ˇcase t2 = t1 + 60 sekund, vypoˇc´ıtáme neznámou délku kolony d v ˇcase t jako d=

(t − t1 ) (t2 − t) · d1 + · d2 60 60

(2.9)

Z tˇechto hodnot jiˇz pak spoˇc´ıtáme obyˇcejn´ y pr˚ umˇer v rámci kaˇzdého intervalu. Jako data z detektor˚ u v daném intervalu budeme brát pr˚ umˇer z obsazenost´ı v okamˇzic´ıch, které spadaj´ı do tohoto intervalu. Stanovme nyn´ı délku intervalu na 360 sekund (ˇctyˇrikrát déle neˇz je základn´ı interval pˇr´ıchodu dat z detektor˚ u) a pod´ıvejme se na v´ ysledky metody na datech z u ´tern´ıho mˇeˇren´ı a prodluˇzovac´ıch detektor˚ u. V tabulce 4.1 vid´ıme, ˇze 17 z 22 pˇredpovˇed´ı, tj. pˇribliˇznˇe 77% bylo správn´ ych. Zároveˇ n vid´ıme, ˇze vˇsechny chyby kter´ ych se metoda dopustila, nastaly pˇri kolonˇe sahaj´ıc´ı za detektor, aˇckoli právˇe za pˇredpokladu kolony za detektor (kv˚ uli zanedbán´ım) by mˇela metoda dávat pˇresnˇejˇs´ı v´ ysledky, neˇz pokud tento pˇredpoklad splnˇen nen´ı. To by mohlo znamenat, ˇze koeficient k1 v rovnici 2.8 je d˚ uleˇzitˇejˇs´ı neˇz ostatn´ı zanedbané koeficienty. Nen´ı ovˇsem moˇzné tuto domnˇenku ovˇeˇrit, neboˇt k tomu je k dispozici málo vhodn´ ych dat.

2.2.5

Varianta 4

V této ˇcásti se opˇet vrát´ıme k pokus˚ um o urˇcen´ı mezn´ı hodnoty obsazenosti, na základˇe které bychom mohli urˇcit, zda kolona sahá aˇz za detektor, nebo konˇc´ı-li uˇz pˇred n´ım. V kapitole 2.2.3 jsme uˇz uvedli, ˇze hodnota 40% vyhovuje celkem dobˇre, zároveˇ n vˇsak v´ıme, ˇze zp˚ usob nalezen´ı této hodnoty byl pˇr´ıliˇs citliv´ y na v´ ychylky v namˇeˇren´ ych datech a v praxi velice obt´ıˇznˇe pouˇziteln´ y. Zde se pokus´ıme navrhnout spolehliv´ y zp˚ usob, jak´ ym tuto hodnotu urˇcit, popˇr´ıpadˇe ji jeˇstˇe zpˇresnit. Teorie Abychom lépe pochopili, jak metoda funguje, projdˇeme si nejprve nˇekteré základn´ı pojmy, které budeme potˇrebovat. Pˇredstavme si následuj´ıc´ı pokus. Mˇejme krabici s barevn´ ymi kuliˇckami z nichˇz nˇekteré jsou b´ılé. Pˇredpokládejme ˇze v´ıme, ˇze pravdˇepodobnost ˇ 0,2 nebo 0,8. Po vytaˇzen´ı 4 koul´ı (s vracen´ım, tj. tahy vytaˇzen´ı b´ılé koule je bud jsou nezávislé) jsme zjistili, ˇze jen jedna z nich byla b´ılá, ostatn´ı mˇeli jinou barvu. Náhodná veliˇcina “vytaˇzen´ı k b´ıl´ ych koul´ı v n taz´ıch” má binomické rozdˇelen´ı s hustotou pravdˇepodobnosti P (k): !

n k P (k) = p (1 − p)n−k k 17

(2.10)

Dosazen´ım do tohoto vzorce pak spoˇc´ıtáme, ˇze pro p = 0, 2 by pravdˇepodobnost naˇseho v´ ysledku byla pˇribliˇznˇe 40%, zat´ımco pro p = 0, 8 pouze 3%. Rozhodnut´ı pˇriklonit se k variantˇe, ˇze p = 0, 2 je celkem rozumné, neboˇt pˇredpokládáme, ˇze ze vˇsech moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u pokusu sp´ıˇse nastane ten s nejvˇetˇs´ı pravdˇepodobnost´ı. Pozmˇen ˇme jeˇstˇe pˇredpoklad pokusu tak, ˇze na zaˇcátku pouze v´ıme, ˇze p ∈ (0, 1). Nyn´ı nem˚ uˇzeme za p postupnˇe dosazovat tak jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe, neboˇt moˇzn´ ych hodnot je nespoˇcetnˇe mnoho. Zato vˇsak m˚ uˇzeme na pravdˇepodobnost P pohl´ıˇzet jako na funkci parametru p za pˇredpokladu, ˇze k = 1 (a dalˇs´ıch podm´ınek dan´ ych pokusem, zde n = 4). Problém se tedy redukuje na nalezen´ı extrému funkce P vzhledem k promˇenné p. Pokud funkce P je diferencovatelná, staˇc´ı vyˇreˇsit rovnici ∂P (p, n = 4, k = 1) =0 ∂p

(2.11)

ysledek, kter´ y jsme oˇcekávali. Rovnici Uˇcin´ıme-li tak, dostaneme ˇze p = 41 . To je ovˇsem v´ 2.11 se také ˇcasto ˇr´ıká vˇerohodnostn´ı rovnice8 . Princip odhad˚ u parametr˚ u zaloˇzen´ y na hledán´ı takové hodnoty parametru, která maximalizuje pravdˇepodobnost z´ıskaného v´ ysledku experimentu, se naz´ yvá metoda maximáln´ı vˇerohodnosti, v literatuˇre téˇz ˇcasto oznaˇcovaná zkratkou “MLE”. Metoda maximáln´ı vˇerohodnosti je jednou z nejˇcastˇejˇs´ıch metod uˇz´ıvan´ ych pˇri hledán´ı ˇ odhad˚ u, proto si uvedme alespoˇ n nˇekteré jej´ı základn´ı vlastnosti, tak jak jsou popsány v literatuˇre [2],[3],[4],[5]. Definice 9 Mˇejme X = (X1 , ..., Xn ) realizaci n´ ahodné veliˇciny, f (x, θ) sdruˇzenou hustotu pravdˇepodobnosti, θ parametr, c ∈ (0, 1) re´ alnou konstantu. Potom funkci definovanou jako L(θ|x = X) = c · f (X, θ) (2.12) nazveme vˇerohodnostn´ı funkc´ı a odhad θˆ parametru θ definovaný jako θˆ = arg sup L(θ|x = X)

(2.13)

θ

nazveme maximálnˇe vˇerohodným odhadem parametru θ. M˚ uˇze se stát, ˇze supremum nen´ı dosaˇzitelné, v takovém pˇr´ıpadˇe lze definovat “témˇeˇr ˆ pro které plat´ı maximálnˇe vˇerohodn´ y odhad” jako takové θ, ˆ = X) ≥ c · sup L(θ|x = X) L(θ|x

(2.14)

θ

Ani existenci tohoto odhadu nelze vˇzdy zaruˇcit, to se vˇsak stává jen ve v´ yjimeˇcn´ ych pˇr´ıpadech. 8

Pokud by odhadovan´ y parametr byl v´ıcerozmˇern´ y, ˇreˇsili bychom soustavu rovnic z´ıskan´ ych derivac´ı apriorn´ı hustoty pravdˇepodobnosti podle jednotliv´ ych sloˇzek vektoru parametru.

18

Vˇ eta 5 Mˇejme f (x, θ) hustotu pravdˇepodobnosti, θ parametr. Existuje-li eficientn´ı9 odhad parametru θ, pak je tento odhad koˇrenem vˇerohodnostn´ı rovnice. To v praxi znamená, ˇze pokud hledáme eficientn´ı odhad, m˚ uˇzeme se omezit na hledán´ı jen v mnoˇzinˇe koˇren˚ u vˇerohodnostn´ı rovnice. Definice 10 Mˇejme parametr θ z parametrického prostoru. Aˇt n´ ahodný vektor X = = (X1 , ..., Xn ) má hustotu pravdˇepodobnosti f (x, θ). Statistiku S = (S1 , ..., Sk ); k ≤ n nazveme postaˇcuj´ıc´ı pro parametr θ, pr´ avˇe kdyˇz existuje takov´ a nez´ aporn´ a mˇeˇritelná funkce g(s, θ) promˇenných s = (s1 , ..., sk ) a takov´ a nez´ aporn´ a mˇeˇriteln´ a funkce h(x), ˇze skoro vˇsude vzhledem k dané m´ıˇre plat´ı f (x, θ) = g(S(x), θ) · h(x)

(2.15)

Z této definice je zˇrejmé, ˇze postaˇcuj´ıc´ı statistika existuje vˇzdy, cenná je ale taková, která má poˇcet sloˇzek co nejmenˇs´ı. Vˇ eta 6 Odhad metodou maximáln´ı vˇerohodnosti je vˇzdy funkc´ı postaˇcuj´ıc´ı statistiky. Volnˇe bychom tedy mohli ˇr´ıct, ˇze pˇri maximálnˇe vˇerohodn´ ych odhadech neztrác´ıme ˇzádnou informaci z pozorován´ı namˇeˇren´ ych pˇri provádˇen´ı experimentu. Vˇ eta 7 Nechˇt je vˇerohodnostn´ı funkce diferencovateln´ a a aˇt jsou splnˇeny jeˇstˇe nˇekteré dalˇs´ı pˇredpoklady (pˇresnˇe viz [4] str. 406). Potom vˇerohodnostn´ı rovnice m´ a pro n → ∞ s pravdˇepodobnost´ı 1 ˇreˇsen´ı, které je konzistentn´ım odhadem10 . Tedy maximálnˇe vˇerohodné odhady by mˇely odhadovan´ y parametr aproximovat pomˇernˇe dobˇre, nen´ı to vˇsak zaruˇceno pro malá n. Vˇ eta 8 Aˇt θˆ je konzistentn´ı ˇreˇsen´ı vˇerohodnostn´ı rovnice, θ0 je skuteˇcn´ a hodnota parametru, ˇ a at jsou splnˇeny pˇredpoklady pˇredchoz´ı vˇety. Potom pro n → ∞ √ h 1 dl i n (θˆ − θ0 )i(θ0 ) − → 0 podle pravdˇepodobnosti n dθ0

(2.16)

kde i(θ) znaˇc´ı Fisherovu informaci o parametru θ obsaˇzenou v jednom pozorov´ an´ı. Pˇredchoz´ı vˇeta tedy ˇr´ıká, ˇze maximálnˇe vˇerohodné odhady jsou asymptoticky normáln´ı a asymptoticky eficientn´ı11 . Nˇekteré dalˇs´ı zaj´ımavé vlastnosti maximálnˇe vˇerohodn´ ych odhad˚ u, které vˇsak pˇresahuj´ı rámec tohoto textu, lze rovnˇeˇz naj´ıt v literatuˇre uvedené v pˇredchoz´ıch odstavc´ıch. 9

Odhad parametru nazveme eficientn´ım právˇe kdyˇz má ze vˇsech ostatn´ıch odhad˚ u minimáln´ı rozptyl. Tj. ˇze konverguje podle pravdˇepodobnosti ke skuteˇcné hodnotˇe odhadovaného parametru. 11 V´ıce o eficienci a asymptotické eficienci odhad˚ u se lze doˇc´ıst v [4] str. 388–392. 10

19

1 0.9

P(kolona za detektor)

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.2

0.4

0.6

obsazenost

0.8

1

Figure 2.3: Tvar závislosti pravdˇepodobnosti, ˇze kolona sahá za detektor, na obsazenosti detektoru Aplikace Maximálnˇe vˇerohodné odhady se tedy jev´ı jako dobr´ y zp˚ usob odhadu parametr˚ u a mohli bychom se pokusit je vyuˇz´ıt k urˇcen´ı mezn´ı hodnoty obsazenosti pro naˇs´ı metodu. K tomu vˇsak mus´ıme nejprve vytvoˇrit model situace na pˇr´ıjezdovém rameni kˇriˇzovatky a zavést do nˇej parametr, kter´ y se pak pokus´ıme odhadnout. ˇ Provedme následuj´ıc´ı u ´vahu. Ze zkuˇsenosti oˇcekáváme, ˇze pokud detektor vykáˇze n´ızkou obsazenost, bude s velkou pravdˇepodobnost´ı kolona konˇcit uˇz pˇred detektorem. Pro velice malé obsazenosti bychom mohli pˇredpokládat, ˇze kolona jistˇe nedosahuje detektoru. Jev´ı se vˇsak rozumnˇejˇs´ı nepovaˇzovat jev, kdy kolona i pˇri n´ızké obsazenosti sahá za detektor za jev nemoˇzn´ y, neboˇt t´ımto zp˚ usobem bychom pˇredem vylouˇcili nˇekteré nepˇredv´ıdané události jako napˇr´ıklad poruchu detektoru anebo prosté náhodné chyby mˇeˇren´ı. Dále pak jistˇe m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze s rostouc´ı hodnotou obsazenosti bude r˚ ust pravdˇepodobnost toho, ˇze kolona sahá aˇz za detektor, a to aˇz do okamˇziku, kdy obsazenost dosáhne hodnoty 100%. Tedy kˇrivka, popisuj´ıc´ı závislost pravdˇepodobnosti jevu, kdy kolona sahá za detektor, v závislosti na obsazenosti detektoru, bude m´ıt tvar kˇrivky znázornˇené na obrázku 2.3. Moˇzn´ ych popis˚ u kˇrivky s takov´ ymto tvarem je v´ıce, pro naˇse u ´ˇcely jsme zvolili funkci P (x) definovanou jako P (x) = 1 + tanh[b + a(tan(πx − P (0) = 0,

π ))] 2

∀x ∈ (0, 1)

(2.17)

P (1) = 2

která vznikla zkombinován´ım vhodného tvaru funkce hyperbolického tangens a zmˇenou jej´ıho definiˇcn´ıho oboru na interval h0, 1i pomoc´ı funkce tangens. Pˇritom a ≥ 0 a b jsou reálné parametry. Jak je dále vidˇet z konstrukce funkce P , parametr a souvis´ı s jej´ı “strmost´ı”, zat´ımco parametr b ovlivˇ nuje polohu inflexn´ıho bodu, tedy vlastnˇe kˇrivku “posouvá” doprava(b < 0) nebo doleva(b > 0). Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze vˇzdy, kdyˇz se v následuj´ıc´ım textu budeme odkazovat na funkci obsahuj´ıc´ı v´ yraz tanh[b + a(tan(πx − 20

π ))] 2

(2.18)

budeme m´ıt na mysli funkci dodefinovanou hodnotou 0 pro x = 0 a hodnotou 2 pro x = 1. Nyn´ı je na ˇradˇe rozhodnout, podle jakého kritéria budeme ze znalost´ı funkce P (tj. znalost´ı hodnot parametr˚ u a a b) urˇcovat hodnotu mezn´ı obsazenosti. I zde máme v´ıce moˇznost´ı. Jak uˇz bylo ˇreˇceno, hodnota funkce P pˇri hodnotˇe obsazenosti x vlastnˇe popisuje, jak moc je pˇri dané obsazenosti pravdˇepodobné, ˇze kolona sahá za detektor. Tud´ıˇz jedna z moˇznost´ı je stanovit urˇcitou hodnotu pravdˇepodobnosti (napˇr´ıklad 90%), která bude vyjadˇrovat naˇsi m´ıru jistoty12 , a k n´ı potom naj´ıt hodnotu obsazenosti x tak, aby P (x) = 0, 9 (2.19) maxx∈h0,1i P (x) Postupme dále, k samotnému hledán´ı hodnot parametr˚ u. K vyuˇzit´ı metody maximáln´ı vˇerohodnosti budeme muset funkci P definovanou vztahem 2.17 upravit tak, aby splˇ novala podm´ınky na hustotu pravdˇepodobnosti. Tvar funkce P , tak jak je nakreslen na obrázku 2.3, se dá chápat také jako pravdˇepodobnost jevu, ˇze detektor vykáˇze danou obsazenost za pˇredpokladu, ˇze kolona sahá za detektor. To nemus´ı b´ yt na prvn´ı pohled tak jasné, staˇc´ı si ale pˇredstavit situaci, ˇze bychom provedli dostateˇcnˇe velk´ y poˇcet mˇeˇren´ı dvojic obsazenost - pozice kolony. Pˇredpokládejme, ˇze ˇzádná hodnota obsazenosti nenastává ˇcastˇeji neˇz jiná13 . Nyn´ı pro kaˇzdou hodnotu obsazenosti vynesme do jednoho grafu ˇcetnosti pˇr´ıpad˚ u, kdy kolona sahala za detektor a do druhého grafu pˇr´ıpady, kdy kolona konˇcila pˇred detektorem. Protoˇze zároveˇ n pro kaˇzdou hodnotu obsazenosti je pravdˇepodobnost kolony sahaj´ıc´ı za detektor u ´mˇerná funkci P , bude prvn´ı graf vˇernˇe popisovat funkci P , zat´ımco druh´ y funkci 1 − P . Na tyto grafy se pak (po pˇrenásoben´ı vhodnou konstantou) m˚ uˇzeme také d´ıvat jako na pravdˇepodobnosti urˇcit´ ych hodnot obsazenosti podm´ınˇen´ ych stavem kolony (tj. pˇred nebo za detektor). Jako základ pro hledanou hustotu pravdˇepodobnosti bychom tedy mohli vz´ıt funkci f (x, y) s definiˇcn´ım oborem {0, 1} × h0, 1i, kde x ∈ h0, 1i, y ∈ {0, 1}, f (x, 0) = P (x), f (x, 1) = 1 − P (x). To je vˇsak témˇeˇr zbyteˇcné, staˇc´ı si zapamatovat, ˇze funkce je dvourozmˇerná, ale pracovat pouze s jednou jej´ı sloˇzkou14 . Máme tedy funkci P (x) definovanou vztahem 2.17. Abychom z n´ı vyrobili hustotu pravdˇepodobnosti, potˇrebujeme ji nanormovat, tedy naj´ıt konstantu K (která m˚ uˇze b´ yt funkc´ı parametr˚ u a a b) tak aby platilo Z1

K(a, b) · 1 + tanh [b + a(tan(πx −

0

π ))] dx 2

(2.20)

12 Hodnota 90% znamen´ a, ˇze pro nalezenou mezn´ı hodnotu a vˇsechny vyˇsˇs´ı obsazenosti (z monotonie funkce P ) bude pravdˇepodobnost ˇspatného rozhodnut´ı jen 10%. 13 Tento pˇredpoklad nemus´ı b´ yt spr´ avn´ y, pokud se jedná o kˇriˇzovatky extrémnˇe zat´ıˇzené, nebo naopak málo pouˇz´ıvané, neboˇt pak se obsazenosti pohybuj´ı ˇcastˇeji v nˇekter´ ych vysok´ ych nebo n´ızk´ ych hodnotách. V takovém pˇr´ıpadˇe bychom vˇsak mohli na základˇe dlouhodob´ ych pozorován´ı odhadnout rozdˇelen´ı hodnot obsazenosti jakoˇzto n´ ahodné veliˇciny, ze kterého bychom pak uˇz snadno urˇcili rozdˇelen´ı podm´ınˇené stavem kolony pˇred nebo za detektorem 14 Práce s dvourozmˇernou hustotu by se projevila pouze jin´ ym normalizaˇcn´ım faktorem (aby hustota pravdˇepodobnosti po integraci d´ avala jedniˇcku), v tomto pˇr´ıpadˇe poloviˇcn´ım, postup v´ ypoˇctu by z˚ ustal stejn´ y.

21

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −15

hodnoty integrálu 1 + tanh(b/7) −10

−5

0

parametr b

5

10

15

Figure 2.4: Numericky spoˇc´ıtané hodnoty integrálu v 2.21 a jejich aproximace Tedy staˇcilo by poloˇzit konstantu K rovnou K(a, b) =

1 R1 0

(2.21)

1 + tanh [b + a(tan(πx − π2 ))] dx

Explicitn´ı vyjádˇren´ı integrálu ve vzorci 2.21 v závislosti na parametrech a, b se nám vˇsak nepovedlo nalézt. M˚ uˇzeme ale zkusit napoˇc´ıtat tento integrál numericky pro nˇekteré hodnoty parametr˚ u. Parametr a nen´ı pro naˇsi metodu tak d˚ uleˇzit´ y jako parametr b, m˚ uˇzeme se proto spokojit s t´ım, ˇze si zvol´ıme hodnotu parametru a pevnˇe. Hodnota a = 3 se jev´ı z hlediska “strmosti” funkce P (x) jako vhodná. Zobrazme si hodnoty integrálu ze vzorce 2.21 pro nˇekteré hodnoty parametru b (a = 3 pevnˇe) do grafu. Mohli bychom se pokusit tyto hodnoty proloˇzit napˇr´ıklad polynomem, ovˇsem jak vid´ıme na obrázku 2.4, závislost integrálu na parametru b pˇripom´ıná funkci hyperbolick´ y tangens. M˚ uˇzeme se proto pokusit aproximovat integrál právˇe v tomto tvaru. Pokud pro rozmez´ı b ∈ h−15, 15i 15 pouˇzijeme jako aproximaci integrálu v 2.21 funkci b I(b) = 1 + tanh( ) 7

(2.22)

zjist´ıme, ˇze Z1 π ≤ 0, 1 1 + tanh [b + 3(tan(πx − ))] dx − I(b) 0

2

∀b ∈ h−15, 15i

(2.23)

To m˚ uˇzeme tvrdit, neboˇt integrál v 2.21 je spojitou a monotónn´ı (rostouc´ı) funkc´ı parametru b. Spojitost plyne ihned z vlastnosti integrálu. Monotonie plyne z následuj´ıc´ıho. Hyperbolick´ y tangens je rostouc´ı funkc´ı, proto pro libovolné b1 < b2 plat´ı π π 1 + tanh [b1 + 3(tan(πx − ))] < 1 + tanh [b2 + 3(tan(πx − ))] ∀x ∈ h0, 1i (2.24) 2 2 15

Tento interval byl zvolen podle tvaru kˇrivky P (x) z 2.17. Pro krajn´ı body intervalu je “posunut´ı” kˇrivky takové, ˇze mezn´ı hodnoty jim odpov´ıdaj´ıc´ı by byly velmi nepravdˇepodobné. Nicménˇe pokud by parametr náhodou pˇrekroˇcil tento interval, nen´ı to problém. Aproximace bude stále pomˇernˇe dobˇre fungovat, pouze s trochu menˇs´ı pˇresnost´ı.

22

35

max[ abs(1/K’ − 1/K) ]

30 25 20 15 10 5 0 −15

−10

−5

0

parametr b

5

10

15

Figure 2.5: Odchylka odhadu normovac´ı konstanty K’ od skuteˇcné hodnoty K Tedy integrand obsahuj´ıc´ı b1 je menˇs´ı neˇz integrand obsahuj´ıc´ı b2 v celém oboru integrace, z ˇcehoˇz uˇz jasnˇe plyne monotonie integrálu z 2.21. Kdybychom m´ısto funkce I(b) pouˇzili jako aproximaci polynom, dostali bychom sice na intervalu b ∈ h−15, 15i o nˇeco menˇs´ı odchylku (0.08 pro polynom 7. stupnˇe), avˇsak uˇz pˇri malém pˇrekroˇcen´ı tohoto intervalu by odchylka naopak prudce vzrostla. Nyn´ı se pod´ıvejme trochu bl´ıˇze, jak chyba aproximace integrálu ovlivn´ı v´ ypoˇcet. Zjistili jsme uˇz, ˇze pro b ∈ h−15, 15i nepˇresáhne rozd´ıl integrálu a jeho aproximace hodnotu 0,1. Zároveˇ n vˇsak tyto funkce vystupuj´ı jako jmenovatel zlomku, proto v´ ysledná chyba v urˇcen´ı konstanty K ze vzorce 2.21 bude záviset také na hodnotˇe integrálu z 2.21. Tento integrál nab´ yvá hodnot bl´ızk´ ych nule pro malá b, pro které bude chyba nejvˇetˇs´ı. To je d˚ usledek skuteˇcnosti, ˇze derivace K podle svého jmenovatele je pro jmenovatele bl´ızkého nule velmi velká, a i malé zmˇeny tohoto jmenovatele se projev´ı jako velká zmˇena hodnoty K. Nav´ıc podle pr˚ ubˇehu odchylky funkce I(b) od skuteˇcné hodnoty integrálu, znázornˇené v grafu na obrázku 4.12 vid´ıme, ˇze tato odchylka je velká právˇe pro malé hodnoty parametru b. Z obrázku 2.5, kter´ y popisuje odchylku normovac´ı konstanty K od skuteˇcné hodnoty, lze vyˇc´ıst, ˇze pro kladné hodnoty parametru b bude tato odchylka zanedbatelná. Naopak pro záporné hodnoty parametru b (pˇribliˇznˇe pro b = −6 a niˇzˇs´ı), kde funkˇcn´ı hodnoty I(b) jsou niˇzˇs´ı neˇz skuteˇcná hodnota integrálu, dostaneme konstantu K mnohem vˇetˇs´ı, neˇz by ve skuteˇcnosti mˇela b´ yt. T´ım ale vlastnˇe umˇele “zv´ yˇs´ıme pravdˇepodobnost” vˇsech jev˚ u popisovan´ ych funkc´ı P (x) z 2.17. Protoˇze se ale metoda maximáln´ı vˇerohodnosti snaˇz´ı vˇzdy maximalizovat pravdˇepodobnost namˇeˇreného v´ ysledku experimentu, m˚ uˇze se pro dostateˇcnˇe malá b stát, ˇze metoda bude “navyˇsovat pravdˇepodobnost” v´ ysledku ne na základˇe informace mˇeˇren´ı, ale prost´ ym sniˇzován´ım hodnoty parametru b a t´ım pádem zvyˇsován´ım hodnoty konstanty K. Metoda má tedy tendenci pro dostateˇcnˇe malá b preferovat niˇzˇs´ı hodnoty tohoto parametru. Vezmˇeme tedy nyn´ı jako hledanou hustotu pravdˇepodobnosti funkci f (x, b) =

π 1 · 1 + tanh [b + 3(tan(πx − ))] 2 1 + tanh( 7b )

(2.25)

Potom uˇz staˇc´ı pouze vz´ıt jednotlivé namˇeˇrené hodnoty obsazenosti xi , postupnˇe je dosa23

dit do vztahu 2.25 a souˇcinem tˇechto funkc´ı vytvoˇrit sdruˇzenou hustotu pravdˇepodobnosti. Jen si jeˇstˇe mus´ıme uvˇedomit, ˇze pro pˇr´ıpad kolony sahaj´ıc´ı pˇred detektor má hustota pravdˇepodobnosti tvar 1 − f (x, b). Tedy pro sdruˇzenou hustotu pravdˇepodobnosti plat´ı F (b) = F1 (b) · F2 (b), kde F1 = F2 =

Y

f (xi , b)

Y

[1 − f (xi , b)]

∀xi ∈ M1 ∀xi ∈ M2

(2.26) (2.27)

kde M1 je mnoˇzina vˇsech namˇeˇren´ ych obsazenost´ı, pro které kolona sahala za detektor, obdobnˇe M2 mnoˇzina obsazenost´ı, pro které kolona konˇcila pˇred detektorem. Poté mus´ıme naj´ıt maximum funkce F (b). Vzhledem ke sloˇzitosti jej´ıho zápisu se pˇriklon´ıme k numerickému ˇreˇsen´ı. Jakmile nalezneme hodnotu parametru b, ve kterém se toto maximum nab´ yvá, dosad´ıme ho do funkce f (x, b). Poté nalezneme (dosazen´ım za x hodnotu 1) maximum funkce f a z nˇej vypoˇc´ıtáme 90%. Potom uˇz pouze staˇc´ı vypoˇc´ıtat, opˇet jen numericky, ve kterém bodˇe funkce f (x, b) dosáhne 90% svého maxima a tuto hodnotu oznaˇcit za mezn´ı obsazenost. My jsme tyto v´ ypoˇcty provedli pro u ´ter´ y na prodluˇzovac´ıch detektorech, ve stˇredu a ve ˇctvrtek na prodluˇzovac´ıch i strategick´ ych detektorech a v pondˇel´ı na prodluˇzovac´ıch detektorech. V´ ysledky odhad˚ u mezn´ıch obsazenost´ı byly následuj´ıc´ı: ´ y, prodluˇzovac´ı detektory, odhad mezn´ı obsazenosti: 40%, • Uter´ • Stˇreda, prodluˇzovac´ı detektory, odhad mezn´ı obsazenosti (redukovaná data): 56%, • Stˇreda, strategické detektory, odhad mezn´ı obsazenosti (redukovaná data): 33%, ˇ • Ctvrtek, prodluˇzovac´ı detektory, odhad mezn´ı obsazenosti (redukovaná data): 35%, ˇ • Ctvrtek, strategické detektory, odhad mezn´ı obsazenosti (redukovaná data): 22%, • Pondˇel´ı, prodluˇzovac´ı detektory, odhad mezn´ı obsazenosti: 36%. Pˇritom v´ ypoˇcty ze stˇredeˇcn´ıch a ˇctvrteˇcn´ıch dat byly provedeny zkuˇsebnˇe na zredukovan´ ych datech (byla pouˇzita pˇribliˇznˇe tˇretina vˇsech namˇeˇren´ ych dat). Pro tyto dny byly v´ ypoˇcty provedeny jeˇstˇe jednou na kompletn´ıch datech s tˇemito v´ ysledky: • Stˇreda, prodluˇzovac´ı detektory, odhad mezn´ı obsazenosti: 49%, • Stˇreda, strategické detektory, odhad mezn´ı obsazenosti: 32%, ˇ • Ctvrtek, prodluˇzovac´ı detektory, odhad mezn´ı obsazenosti: 34%, ˇ • Ctvrtek, strategické detektory, odhad mezn´ı obsazenosti: 38%.

24

Zde vid´ıme, ˇze odhady z prodluˇzovac´ıch detektor˚ uvu ´ter´ y a ze strategick´ ych detektor˚ u ve stˇredu, které se p˚ uvodnˇe podstatnˇe liˇsily od ostatn´ıch odhad˚ u, se pˇri pouˇzit´ı v´ıce dat zlepˇsily. Tento jev by se dal spojovat s faktem, ˇze vˇetˇsina “dobr´ ych” vlastnost´ı maximálnˇe vˇerohodn´ ych odhad˚ u, jak jsou popisovány v prvn´ı ˇcásti této sekce je pouze asymptotická, tj. plat´ı pro dostateˇcnˇe velk´ y poˇcet mˇeˇren´ı. Dále si m˚ uˇzeme povˇsimnout, ˇze vˇetˇsina odhad˚ u se pohybuje v rozmez´ı 30% aˇz 40%, coˇz je v´ ysledek, kter´ y odpov´ıdá oˇcekáván´ım, které jsme zm´ınili uˇz na konci sekce 2.2.3. Zároveˇ n je vidˇet, ˇze metoda odhadla témˇeˇr ve vˇsech pˇr´ıpadech, nezávisle na pouˇzit´ ych datech, podobné mezn´ı obsazenosti, a to i v pˇr´ıpadech, kdy zp˚ usob navrhovan´ y v sekci 2.2.3 selhal. M˚ uˇzeme tedy tvrdit, ˇze tato verze metody je odolnˇejˇs´ı v˚ uˇci chybám mˇeˇren´ı nebo jin´ ym náhodn´ ym vliv˚ um. Z v´ ypoˇct˚ u na prodluˇzovac´ıch detektorech z u ´ter´ y a stˇredy a na strategick´ ych detektorech ze stˇredy jsou v pˇr´ıloze zobrazeny grafy pr˚ ubˇeh˚ u funkc´ı F (b) a f (x, b = arg maxb∈R (F )) (obrázky 4.8, 4.9, 4.10, 4.11, 4.6, 4.7). Na grafu na obrázku 4.6 z v´ ypoˇctu z u ´ter´ y si m˚ uˇzeme povˇsimnout následuj´ıc´ı skuteˇcnosti. Funkce nemá ˇzádné v´ yrazné maximum a má pomˇernˇe “exotick´ y” pr˚ ubˇeh. Normálnˇe bychom oˇcekávali jedno v´ yrazné maximum a funkˇcn´ı hodnoty v ostatn´ıch bodech bl´ızké nule. Fakt, ˇze tomu tak nen´ı, m˚ uˇzeme povaˇzovat jednak za známku nepˇresnosti u ´tern´ıch dat, ale také za varován´ı, ˇze se v nˇekter´ ych dopravn´ıch situac´ıch nedá spoléhat na mezn´ı obsazenost jako jediné kritérium pozice kolony.

2.2.6

Shrnut´ı

Jak je vidˇet z principu metody, je pouˇzitelná nejen pro sadu dvou detektor˚ u, ale pro jakoukoli kˇriˇzovatku s alespoˇ n jedn´ım detektorem. Pouˇzit´ı vˇetˇs´ıho poˇctu detektor˚ u v kratˇs´ıch vzájemn´ ych vzdálenostech by pomohlo zpˇresnit v´ ysledky této metody (ve smyslu poˇctu rozeznávan´ ych vzdálenost´ı konce kolony od hranice kˇriˇzovatky), ovˇsem z praktického (zejména finanˇcn´ıho) hlediska je tato myˇslenka nerealizovatelná. Nav´ıc pˇridán´ı dalˇs´ıch detektor˚ u by byl i po technologické stránce nároˇcn´ y zákrok do systém˚ u na kˇriˇzovatce jiˇz nainstalovan´ ych, pˇritom vˇsak existuj´ı dalˇs´ı pˇribliˇznˇe stejnˇe nároˇcné zásahy (napˇr´ıklad zmˇena frekvence nebo obsahu informac´ı dodávan´ ych detektory), které by pomohli metodu zpˇresnit v´ıce, popˇr´ıpadˇe by vedli na pˇresnˇejˇs´ı modifikaci. Zároveˇ n lze konstatovat, ˇze v´ ysledky dávané touto metodou jsou pomˇernˇe spolehlivé. Jak si m˚ uˇzeme povˇsimnout, poˇcet správn´ ych odhad˚ u pozice kolony ve shrnut´ı druhé varianty se pohyboval mezi 60% aˇz 93%. To se m˚ uˇze v porovnán´ı s v´ ysledky metody zaloˇzené na Kalmanovˇe filtru [7] a uveden´ ymi v [13] nebo [14] zdát jako pomˇernˇe ˇspatná shoda s reáln´ ymi daty, ovˇsem nahlédnut´ım do této literatury lze zjistit, ˇze metoda pˇredpokládá znalost nˇekter´ ych dalˇs´ıch veliˇcin, pouˇz´ıvá jin´ y pˇredpoklad fyzické konstrukce kˇriˇzovatky a je testována na jin´ ych datech, neˇz metoda popisovaná v této práci. Dále se nám ve ˇctvrté variantˇe nakonec podaˇrilo naj´ıt zp˚ usob odhadován´ı mezn´ı hodnoty obsazenosti pro pˇr´ıpady, ˇze by hodnota 40% byla pro nˇekterou kˇriˇzovatku shledána jako nevyhovuj´ıc´ı. Skuteˇcnosti, ˇze ne pˇri vˇsech odhadech odpov´ıdaly v´ ysledky naˇs´ım oˇcekáván´ım nemus´ı b´ yt nutnˇe zp˚ usobeny nepˇresnostmi metody. Je potˇreba si 25

uvˇedomit, ˇze samotné z´ıskáván´ı ruˇcnˇe mˇeˇren´ ych dat jak´ ymi jsou délka kolony nebo ˇcasy ˇcerveného signálu je pomˇernˇe nároˇcn´ yu ´kol a tud´ıˇz jsou tato data zat´ıˇzena chybami.

2.3

Metoda odhadov´ an´ı d´ elky kolony pomoc´ı “pln´ıc´ıho ˇ casu”

V tomto odd´ıle se zm´ın´ıme o dalˇs´ım zp˚ usobu odhadován´ı délek kolon, tak jak je popsán v literatuˇre [6]. Tato metoda se zamˇeˇruje na problém detekce dopravn´ı kongesce, k jehoˇz ˇreˇsen´ı vyuˇz´ıvá právˇe odhady o délkách kolony. Od ostatn´ıch metod detekce dopravn´ı zácpy se liˇs´ı pˇredevˇs´ım t´ım, ˇze se snaˇz´ı odhadovat délku kolony na kˇriˇzovatkách, kde detektory jsou um´ıstˇeny pouze bl´ızko k hranici kˇriˇzovatky (ve vzdálenosti pˇribliˇznˇe 10 aˇz 50 metr˚ u) a z jejichˇz dat je tud´ıˇz obt´ıˇzné rekonstruovat dopravn´ı situaci ve vzdálenostech zhruba 100 metr˚ u od kˇriˇzovatky a dále, jej´ıˇz urˇcen´ı je k detekci kongesce kl´ıˇcové. Dále se tato metoda dá vyuˇz´ıt k urˇcen´ı saturaˇcn´ıho toku nebo v´ yznamn´ ych odchylek v propustnosti kˇriˇzovatky zp˚ usoben´ ych náhodn´ ymi poruchami zvnˇejˇsku. Kl´ıˇcov´ ym pro tyto aplikace vˇsak z˚ ustává zp˚ usob, kter´ ym metoda na základˇe dat z detektor˚ u odhaduje kolonu, jej´ıˇz délka nˇekolikrát pˇrevyˇsuje vzdálenost tˇechto detektor˚ u od kˇriˇzovatky. Metoda vycház´ı z pˇredstavy, ˇze dopravn´ı proud v oblasti detektoru je silnˇe ovlivnˇen aktuáln´ım signálem na kˇriˇzovatce. Pro popis tohoto proudu se jev´ı jako vhodné následuj´ıc´ı dvˇe veliˇciny: • “Pln´ıc´ı ˇcas” (vzhledem k detektoru), definovan´ y jako ˇcas, kter´ y ubˇehne od zaˇcátku ˇcerveného signálu do okamˇziku, kdy je detektor nepˇretrˇzitˇe obsazen, • Délka obsazenosti detektoru bˇehem zeleného signálu. Zp˚ usob odhadován´ı délky kolony je zaloˇzen na pˇredpokladu jej´ı souvislosti s pln´ıc´ım ˇcasem podle následuj´ıc´ı myˇslenky. Pokud kolona sahá dostateˇcnˇe daleko za detektor, napln´ı se na zaˇcátku ˇcerveného signálu prostor mezi kˇriˇzovatkou a detektorem auty mnohem rychleji, neˇz by tomu bylo v pˇr´ıpadˇe náhodnˇe pˇrij´ıˇzdˇej´ıc´ıch aut. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe bude tedy pln´ıc´ı ˇcas kratˇs´ı neˇz urˇcitá doba, která je konstantou pro danou kˇriˇzovatku, závis´ı na jej´ı fyzické konstrukci a dá se experimentálnˇe urˇcit. Nechˇt dt0 znaˇc´ı tuto konstantu, dt aktuálnˇe namˇeˇren´ y pln´ıc´ı ˇcas. Potom situaci, kdy pln´ıc´ı ˇcas byl kratˇs´ı neˇz dt0 lze popsat pomoc´ı δ = 1 pro dt ≤ dt0 δ = 0 pro dt > dt0

(2.28)

¯ n pro n-t´ Dále lze zavést veliˇciny δ¯n a L y ˇcasov´ y okamˇzik jako δ¯n = aδ · δn + (1 − aδ ) · δ¯n−1 ¯ n = aL · Ln + (1 − aL ) · Ln−1 L

26

(2.29)

vyhlazen´ım pr˚ ubˇeh˚ u charakteristiky δ a délek kolon L pomoc´ı exponenciáln´ıho zapom´ınán´ı pˇres sledované ˇcasové okamˇziky t1 aˇz tn . Pˇritom aδ a aL jsou vhodnˇe zvolené konstanty z intervalu (0,1). Ukazuje se, ˇze existuje souvislost mezi frekvenc´ı jevu, kdy ¯ n na δ¯n lze pomˇernˇe dobˇre aproximovat δ = 1 a délkou kolony, neboˇt závislost veliˇciny L pˇr´ımkou ¯ n = m · δ¯n L (2.30) kde m je koeficient z´ıskan´ y lineárn´ı regres´ı. Experimenty ukazuj´ı, ˇze se tento koeficient mus´ı stanovit pro kaˇzd´ y detektor zvláˇsˇt. Nen´ı ovˇsem nutné ho pro kaˇzd´ y detektor 16 napoˇc´ıtávat dopˇredu. Za urˇcit´ ych podm´ınek je moˇzné, aby metoda sama vhodnˇe upravovala hodnotu koeficientu m podle aktuáln´ı dopravn´ı situace. Princip u ´pravy spoˇc´ıvá v následuj´ıc´ı myˇslence. Aˇt qn znaˇc´ı poˇcet vozidel, které opustily kˇriˇzovatku bˇehem intervalu (tn−1 , tn ). Pokud pro ˇcasov´ y okamˇzik tn je δn = 1, existuje velká pravdˇepodobnost, ˇze auta, která naplnila prostor mezi detektorem a kˇriˇzovatkou, byla souˇcást´ı skupiny vozidel pˇresouvaj´ıc´ı se v rámci kolony. V tom pˇr´ıpadˇe vˇsak musela tato skupina ˇc´ıtat nejménˇe qn vozidel. Pro Lav pr˚ umˇern´ y poˇcet vozidel mezi kˇriˇzovatkou a detektorem mus´ı platit Ln ≥ Lav + qn

(2.31)

Tato nerovnost obsahuje dalˇs´ı informaci o délce kolony, která m˚ uˇze ale nemus´ı b´ yt v souladu s rovnic´ı 2.30. Koeficient m se pak poˇc´ıtá ze vzorce mn =

an bn

(2.32)

kde se v pˇr´ıpadˇe neshody obou vztah˚ u 2.30 a 2.31 klade an−1 · (k − 1) + (Lav + qn ) · δ¯n k bn−1 · (k − 1) + δ¯n2 = k

an = bn

(2.33)

V pˇr´ıpadˇe shody se ponechává an = an−1 a bn = bn−1 , tedy koeficient m z˚ ustává beze zmˇeny. Pˇritom k je vhodnˇe zvolená konstanta, udávaj´ı se dobré v´ ysledky pro hodnotu k = 100. Dalˇs´ı vyuˇzit´ı metody spoˇc´ıvá v moˇznosti odhadovat saturaˇcn´ı tok kˇriˇzovatkou, tedy maximáln´ı mnoˇzstv´ı vozidel které m˚ uˇze kˇriˇzovatkou za dan´ y ˇcas projet. K odstranˇen´ı v´ ychylek ve vstupn´ıch datech a zahrnut´ı pouze tˇech odhad˚ u u kter´ ych je jisté, ˇze kolona nestihne bˇehem jednoho zeleného signálu projet kˇriˇzovatkou celá, je pak pro tento u ´ˇcel 17 vhodné pouˇz´ıt nˇekter´ y druh filtrace, napˇr´ıklad Kalman˚ uv filtr , nebo nˇekteré jeho modifikace. V´ yjimeˇcné dopravn´ı situace a poruchy plynulosti dopravy zp˚ usobené náhodn´ ymi vlivy se pak daj´ı sledovat pomoc´ı mˇeˇren´ı dob obsazenosti bˇehem zeleného signálu a 16 17

Pokud jsou mˇeˇreny poˇcty vozidel, které odjely z kˇriˇzovatky bˇehem pˇredchoz´ıho ˇcasového intervalu. V´ıce o tomto filtru se lze doˇc´ıst napˇr´ıklad v [7] nebo [8].

27

porovnáván´ım, do jaké m´ıry souhlas´ı s hodnotami odpov´ıdaj´ıc´ımi odhadnut´ ym délkám kolon. Zp˚ usob odhadován´ı délky kolon pouˇz´ıvan´ y touto metodou je zaj´ımav´ y zejména svou nenároˇcnost´ı na vstupn´ı data a dále pak schopnost´ı odhadovat délku kolony nˇekolikrát pˇrevyˇsuj´ıc´ı vzdálenost detektoru od kˇriˇzovatky. Naneˇstˇest´ı jsme nemˇeli moˇznost otestovat metodu na vlastn´ıch datech, neboˇt bylo provedeno pˇr´ıliˇs málo ruˇcn´ıch mˇeˇren´ı pln´ıc´ıch ˇcas˚ u. Myˇslenka této metody nebyla dále rozv´ıjena také z d˚ uvodu, ˇze aˇckoli se automatické mˇeˇren´ı pln´ıc´ıch ˇcas˚ u jev´ı jako nepˇr´ıliˇs sloˇzitá záleˇzitost, stav´ı se firmy spravuj´ıc´ı techniku t´ ykaj´ıc´ı se detektor˚ u a jejich monitorován´ı k moˇznosti pˇreprogramovat ˇradiˇce detektor˚ u k poskytován´ı nov´ ych veliˇcin negativnˇe.

28

3 Z´ avˇ er Tato práce pojednává o uˇzˇs´ım oboru dopravn´ı problematiky, souvisej´ıc´ım s ˇr´ızen´ım provozu na svˇetelnˇe ˇr´ızen´ ych kˇriˇzovatkách pomoc´ı systému mikroregion˚ u, pro kter´ y je odhad aktuáln´ı délky kolony na kˇriˇzovatce nezbytn´ ym. Je v n´ı popsáno nˇekolik principielnˇe odliˇsn´ ych zp˚ usob˚ u, jak´ ymi se lze k problému odhadován´ı délky kolony stavˇet. Pˇritom u kaˇzdého z nich jsou uvedeny jeho klady i zápory, kde jako kritérium k hodnocen´ı slouˇzila nejen pˇresnost metody pˇri testován´ı na reáln´ ych datech, ale také nároˇcnost na mˇeˇrená data, s ohledem na systém mˇeˇren´ı veliˇcin dopravn´ıho proudu pouˇz´ıvan´ yv Praze. K u ´ˇcelu odhadován´ı délky kolony pouze ze znalosti obsazenosti a intenzity v 90 sekundov´ ych intervalech18 byly postupnˇe navrˇzeny tˇri metody. Prvn´ı z nich byla metoda zaloˇzená na lineárn´ı regresi. Jak uˇz plyne pˇr´ımo z jej´ıho principu, tato metoda nedokáˇze zachytit nelineárn´ı ˇcást závislosti délky kolony na mˇeˇren´ ych veliˇcinách obsazenosti a intenzity. M˚ uˇze b´ yt ovˇsem pouˇzita sice jako ponˇekud hrub´ y, zato vˇsak velmi nenároˇcn´ y zp˚ usob odhadu délky kolony. Popˇr´ıpadˇe ji m˚ uˇzeme s v´ yhodou vyuˇz´ıt v pˇr´ıpadech, kdy máme k dispozici mˇeˇren´ı také jin´ ych veliˇcin a snaˇz´ıme se ovˇeˇrit, zda tato nová mˇeˇren´ı pˇrináˇsej´ı nˇejakou informaci o délce kolony. Druhá metoda (popsaná v kapitole 2.2.4) neodhaduje pˇr´ımo délku kolony, ale jej´ı pozici v˚ uˇci detektoru. K tomu vyuˇz´ıvá modelu vycházej´ıc´ıho z pˇredstavy o pˇredpokládané dobˇe stán´ı vozidla nacházej´ıc´ıho se v kolonˇe nad detektorem, v pomˇeru k délce zvoleného ˇcasového intervalu a v závislosti na délce ˇcerveného signálu. Jak bylo naznaˇceno uˇz v 2.2.4, v´ ysledky této metody by se mohli jeˇstˇe zpˇresnit, pokud by bylo k dispozici dostateˇcné mnoˇzstv´ı mˇeˇren´ı k urˇcen´ı parametr˚ u pouˇzitého modelu, které byly ˇ prozat´ım zanedbány. Cásteˇcnou nev´ yhodou této metody je ovˇsem potˇreba znalosti délky ˇcerveného signálu, která nen´ı bˇeˇznˇe mˇeˇrená automaticky a kterou by bylo nutno v pˇr´ıpadˇe, ˇze by ji nebylo moˇzno do automatického mˇeˇren´ı zahrnout, nˇejak´ ym zp˚ usobem odhadovat. Tˇret´ı metoda (kapitola 2.2.3) opˇet odhaduje pozici kolony v˚ uˇci detektoru, v tomto pˇr´ıpadˇe na základˇe mezn´ı obsazenosti, jiˇz se pokouˇs´ı odhadnout na základˇe vytvoˇren´ı parametrického modelu, jehoˇz parametr je pak odhadován metodou maximáln´ı vˇerohodnosti. Tato metoda je velmi nenároˇcná na vstupn´ı data, neboˇt vyuˇz´ıvá pouze hodnoty obsazenosti. Zároveˇ n, jak se ukazuje podle v´ ysledk˚ u testován´ı na reáln´ ych datech, dává velice spolehlivé v´ ysledky. 18

To jsou jediné automaticky mˇeˇrené veliˇciny systémem pouˇz´ıvan´ ym v Praze.

29

Dalˇs´ım c´ılem do budoucna je zpˇresnit odhady délky kolony pomoc´ı vytvoˇren´ı vhodného modelu, do nˇehoˇz budou vhodn´ ym zp˚ usobem zahrnuty vˇsechny mˇeˇrené veliˇciny19 . Dále by bylo moˇzné pokusit se, vzhledem k nelineárn´ım vztah˚ um mezi pouˇz´ıvan´ ymi veliˇcinami, nahradit ˇcasto pouˇz´ıvan´ y lineárn´ı Kalman˚ uv filtr nˇekterou z nelineárn´ıch metod, napˇr´ıklad Bayesovsk´ ym “bootstrap” filtrem.

19

Existuj´ı studie, které ukazuj´ı, ˇze délka kolony je závislá na vˇsech mˇeˇren´ıch, jeˇz máme k dispozici a jejich nevyuˇzit´ım se pˇripravujeme o informaci v nich obsaˇzenou

30

4 Pˇ r´ılohy Table 4.1: Vstupn´ı hodnoty a v´ ysledky odhadu metody zaloˇ zen´ e na porovn´ av´ an´ı obsazenosti detektor˚ u s pod´ılem d´ elky ˇ cerven´ eho sign´ alu k celkov´ e d´ elce intervalu pr˚ umˇ ern´ a obsazenost [%] 35,5 38,6 34,3 26,8 48,0 34,6 36,8 73,1 67,5 65,5 36,3 51,9 36,3 48,4 54,4 33,8 30,8 20,9 34,4 65,1 38,1 20,1

pod´ıl ˇ cerven´ eho sign´ alu [%] 38,3 48,9 49,2 53,9 51,9 48,3 60,8 60,0 56,9 54,2 61,1 55,8 68,9 51,1 56,4 51,7 58,1 52,8 55,0 49,4 61,1 46,4

31

pr˚ umˇ ern´ a d´ elka kolony [m] 50,0 6,0 14,8 26,2 23,8 2,3 28,3 83,3 68,7 67,5 16,2 47,7 78,8 43,1 40,0 34,1 11,9 17,7 59,9 60,5 11,0 6,3

spr´ avn´ y odhad? ne ano ano ano ano ano ano ano ano ano ano ne ne ne ano ano ano ano ne ano ano ano

Table 4.2: Sestupnˇ e seˇ razen´ e obsazenosti prodluˇ zovac´ıch detektor˚ u a jim odpov´ıdaj´ıc´ı d´ elky kolon ze stˇ redeˇ cn´ıho mˇ eˇ ren´ı obsazenost [%] 87,5 84,5 84 82,5 82 82 81 79,5 79 79 78,5 78,5 78 78 78 77,5 77 77 76,5 76,5 76 76 76 75,5 75,5 75 74 74 73 73 73 72 71,5 71,5 71 71 70,5 70,5 70,5 70,5 69,5 69,5 69 68,5 68,5 68,5 68 67,5 67 66,5 66,5 66,5 66,5 66,5 66 66 65,5 65,5 65,5 65 65 63,5 63 63

d´ elka kolony [m] 880 460 815 550 330 330 140 825 560 655 140 660 430 895 550 185 85 430 400 490 550 530 775 675 815 380 270 450 580 400 850 430 550 230 350 635 200 550 630 670 215 415 400 285 200 500 230 415 750 505 490 650 405 850 220 605 230 600 780 650 530 550 600 830

obsazenost [%] 63 62,5 62,5 62,5 62,5 62,5 62,5 62 62 61,5 61,5 61,5 61 61 61 61 60 60 60 59,5 59,5 59,5 58,5 58 58 57,5 57 56 55,5 55 55 55 54 54 54 53,5 53,5 53 53 51 49,5 49,5 49 48 48 48 47 45,5 45,5 45,5 43 42,5 41 41 39,5 37 36,5 36 34,5 34 29 29 23 15,5

32

d´ elka kolony [m] 470 220 655 555 500 505 750 475 55 500 550 185 880 900 415 430 470 825 850 510 540 395 420 360 465 900 650 15 330 80 690 400 80 430 390 650 120 560 760 870 585 950 530 60 375 510 70 180 520 305 65 860 50 30 150 0 0 10 90 20 50 40 26 20

Table 4.3: Sestupnˇ e seˇ razen´ e obsazenosti strategick´ ych detektor˚ u a jim odpov´ıdaj´ıc´ı d´ elky kolon ze stˇ redeˇ cn´ıho mˇ eˇ ren´ı obsazenost [%] 85 67,5 64,5 63,5 63 62 62 61 61 60,5 59 59 58,5 57,5 57,5 57,5 57 56,5 54 53,5 53 53 53 53 52,5 52,5 52,5 52 52 51,5 51,5 51,5 51,5 50,5 50,5 50,5 50,5 50 50 50 49,5 49,5 49 49 49 48,5 48,5 48,5 48,5 48 48 47,5 47,5 47,5 47,5 47,5 47 47 47 46,5 46 46 46 45,5

d´ elka kolony [m] 880 900 655 285 550 490 825 815 895 330 530 550 760 330 550 550 550 200 470 775 605 400 830 430 375 560 415 555 500 660 860 400 430 430 650 580 690 350 670 750 550 585 650 475 900 230 600 390 395 430 400 505 450 470 500 850 650 635 305 510 220 600 870 550

obsazenost [%] 45,5 45,5 45 44,5 44,5 44 43,5 43,5 43,5 43,5 43,5 43 43 43 42,5 42,5 42,5 42 42 41,5 41,5 41 41 40,5 40 40 39,5 39 39 38,5 38 38 36,5 35 34,5 34 33,5 33,5 33,5 31,5 31 30 23,5 22,5 18 16,5 14 12 11,5 10 10 9,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8 8 8 8 8 8 6 5,5

33

d´ elka kolony [m] 420 185 815 415 460 230 185 230 510 405 650 360 750 380 140 270 850 415 825 675 120 500 400 540 655 850 505 630 530 140 330 950 880 490 780 220 520 530 55 215 560 465 430 200 70 15 65 40 85 180 50 80 80 10 150 0 50 60 26 0 20 90 30 20

−13

1

x 10

0

−1

−2

F(b)

−3

−4

−5

−6

−7

−8 −6

−4

−2

0

parametr b

2

4

6

8

Figure 4.6: Závislost sdruˇzené hustoty pravdˇepodobnosti na parametru b, data z u ´ter´ y, prodluˇzovac´ı detektory

1.6

1.4

1.2

f(x,b=2.0639)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 obsazenost

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 4.7: Pr˚ ubˇeh pravdˇepodobnosti jevu, ˇze kolona konˇc´ı pˇri dané obsazenosti za detektorem, data z u ´ter´ y, prodluˇzovac´ı detektory

34

10

14

x 10

12

10

F(b)

8

6

4

2

0

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

parametr b

Figure 4.8: Závislost sdruˇzené hustoty pravdˇepodobnosti na parametru b, data ze stˇredy, prodluˇzovac´ı detektory

2 1.8 1.6 1.4

f(x,b=0.5356)

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

obsazenost

Figure 4.9: Pr˚ ubˇeh pravdˇepodobnosti jevu, ˇze kolona konˇc´ı pˇri dané obsazenosti za detektorem, data ze stˇredy, prodluˇzovac´ı detektory

35

12

10

F(b)

8

6

4

2

0

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

parametr b

Figure 4.10: Závislost sdruˇzené hustoty pravdˇepodobnosti na parametru b, data ze stˇredy, strategické detektory

1.5

f(x,b=2.9023)

1

0.5

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

obsazenost

Figure 4.11: Pr˚ ubˇeh pravdˇepodobnosti jevu, ˇze kolona konˇc´ı pˇri dané obsazenosti za detektorem, data ze stˇredy, strategické detektory

36

0.1 0.09

absolutní hodnota odchylky I(b) od integrálu

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 −15

Figure 0

4.12:

−5

Absolutn´ı

0 parametr b

hodnota

5

odchylky

10

15

funkce

I(b)

od

1 + tanh [b + 3(tan(πx − π2 ))] dx

250 kolona odhad

200

délka kolony [m]

R1

−10

150

100

50

0

0

10

20

30

40 t [s/90]

50

60

70

80

Figure 4.13: Pondˇel´ı: skuteˇcná a odhadnutá délka kolony

37

integrálu

200 kolona odhad

180 160

délka kolony [m]

140 120 100 80 60 40 20 0

0

10

20

30

40 t [s/90]

50

60

70

80

Figure 4.14: Pátek: skuteˇcná a odhadnutá délka kolony

250

kolona odhad

délka kolony [m]

200

150

100

50

0

0

10

20

30

40 t [s/90]

50

60

70

80

Figure 4.15: Pátek: skuteˇcná a odhadnutá délka kolony za pomoc´ı parametr˚ u ˇ “nauˇcen´ ych” na pondelku

38

700

kolona odhad

600

délka kolony [m]

500

400

300

200

100

0

0

10

20

30

40 t [s/90]

50

60

70

80

Figure 4.16: Stˇreda: skuteˇcná a odhadnutá délka kolony

700

kolona odhad

600

délka kolony [m]

500

400

300

200

100

0

0

10

20

30

40 t [s/90]

50

60

70

80

ˇ Figure 4.17: Ctvrtek: skuteˇcná a odhadnutá délka kolony

39

Figure 4.18: Polohopis kˇriˇzovatky 084

40

Bibliography ˇ ıd´ıc´ı systémy silniˇcn´ı dopravy, vydavatelstv´ı CVUT, ˇ [1] Pˇribyl P., Mach R.: R´ Praha, 2003 [2] Andˇel J.: Matematická statistika, SNTL, Praha,1978 [3] Andˇel J.: Statistické metody, MATFYZPRESS, Praha, 1998 [4] Rao C. R.: Lineárn´ı metody statistické indukce a jejich aplikace, Academia, Praha, 1978 ˇ ˇ [5] Kvˇetoˇ n K., Militk´ y J.: Nelineárn´ı regrese, CSVTS CVUT, Praha, 1984 [6] M¨ uck J.: “Using detectors near the stop-line to estimate traffic flows”, TEC, no. December, pp. 429–434, 2002 [7] Peterka V.: “Bayesian approach to system identification”, in Trends and progress in system identification (P. Eikhoff ed.), pp. 239–304, Pergamon Press, Oxford, 1981 ˇ ˇ [8] Havlena V., Stecha J.: Modern´ı teorie ˇr´ızen´ı, vydavatelstv´ı CVUT, Paha, 1996 [9] Pˇribyl P., Sv´ıtek M.: Inteligentn´ı dopravn´ı systémy, BEN – technická literatura, Praha, 2001 [10] Jirava P., Slab´ y P.: Pozemn´ı komunikace 10 – dopravn´ı inˇzen´ yrstv´ı, vydavatelˇ stv´ı CVUT, Praha, 1997 [11] Kratochv´ılová J., Nagy I.: “Bibliographic search for optimization methods of ˇ Praha, 2003 signal traffic control”, Tech. Rep. 2081, UTIA AV CR, [12] Kratochv´ılová J., Nagy I.: “Traffic control of microregion”, in CMP’04: Multiple participant decision making; Theory, algorithms, software and applications, Andr´ ysek J., Kárn´ y M., Krac´ık J., Eds., Adelaide, May 2004, pp. 161–171, Advanced knowledge international [13] Kratochv´ılová J., Nagy I.: “Model dopravn´ı mikrooblasti”, Automatizace, vol. 47, no. 12, pp. 752 – 758, 2004 41

[14] Kratochv´ılová J., Nagy I.: “Traffic model of a microregion”, in IFAC world congress, Preprints, IFAC, Ed. IFAC, Praha, 2005 [15] Kratochv´ılová J., Nagy I.: “Lokáln´ı ˇr´ızen´ı mˇestské dopravy”, Tech. Rep 2101, ˇ Praha, 2004 UTIA AV CR, [16] Kratochv´ılová J., Nagy I.: “Sestaven´ı obecné metodologie pro zadáván´ı ˇ 2004 lineárn´ıho modelu dopravn´ı mikrooblasti”, Tech. Rep. 2105, UTIA AV CR

42

5 Podˇ ekov´ an´ı Práce byla podporována projektem ministerstva dopravy 1F43A/003/120 a grantem ˇ MSMT 1M0572.

43

Ústav teorie informace a automatizace. Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT

Recommend Documents