Unsubscribe

E-Jurnal Matematika

1 of 5

http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/index

E-Jurnal Matematika OPEN JOURNAL SYSTEMS

Flag Counter

N O T I FI CAT I O N S View Subscribe / Unsubscribe

JO U RN A L CO N T EN T Se a rch

All Search

B ro ws e By Issue By Author By Title Other Journals

2/2/2016 2:13 PM

FO N T SI Z E

I N FO RMAT I O N For Readers For Authors For Librarians

KE Y W O RDS ANFIS Chernoff Faces GWPR Granger causality test Heteroscedasticity Joint Life Insurance Median Quantile Regression Monte Carlo

Multicollinearity OLS Optimization Outlier

Overdispersion

Poisson Regression Portmanteau test Value at Risk Vector Autoregression biplot

multicollinearity optimal lag test stationary test

HOME

ABOUT

TEAM

CONTACT

LOG IN

REGISTER

Home

SEARCH

>

CURRENT

Vol 5, No 1 (2016)

E-Jurnal Matematika

ARCHIVES

EDITORIAL

E-Jurnal Matematika

3 of 5


E-Jurnal Matematika is one of the electronic journal at Udayana University, as a medium of communication among enthusiasts in the field of mathematics and its application, such as statistics, financial mathematics, teaching mathematics and other sciences in the field of applied mathematics. This journal was born as one of the real role of the Department of Mathematics UNUD to support the acceleration of the achievement of quality targets UNUD, besides this journal issue is driven by the Director General of Higher Education circular on requirements for the publication of scientific papers in the journal Science Degree program. E-journal Mathematics also received the results of research that is not directly related to the students' final assignment involves research or articles that are scholarly study.

2/2/2016 2:13 PM

E-Jurnal Matematika

4 of 5


Vol 5, No 1 (2016) Table of Contents Articles PERBANDINGAN KEEF ISIENAN MET ODE NEWT ON- RAPHSON, MET ODE SECANT, DAN MET ODE BISECT ION

PDF

DALAM MENGEST IMASI IMPLIED VOLAT ILIT IES SAHAM

IDA AYU EGA RAHAYUNI, KOMANG DHARMAWAN, LUH PUTU IDA HARINI

1-6

ANALISIS P RIORITAS SOLUSI KEMACETAN LALU LINTAS DI KOTA DENPASAR DENGAN MENGGUNAKAN

PDF

MET ODE ANALY T IC NET WORK PROCESS

NI WAYAN NINING ISMIRANTI, I PUTU EKA N. KENCANA, I KOMANG GDE

7-13

SUKARSA PENENT UAN MODEL PREMI T IDAK KONSTAN PADA ASURANSI DANA P ENSIUN

LIA JENITA, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI PENERAPAN BOOT ST RAP DALAM MET ODE MINIMUM COVARIANCE DET ERMINANT (MCD) DAN LEAST

PDF

14-21 PDF

MEDIAN OF SQUA RES (LMS) PADA ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA

NI PUTU IIN VINNY DAYANTI, NI LUH PUTU SUCIPTAWATI, MADE SUSILAWATI PENENT UAN HARGA OPSI DAN NILAI HEDGE MENGGUNAKAN PERSAMAAN NON- LINEAR BLACK- SCHOLES

PUTU AYU DENI, KOMANG DHARMAWAN, G. K. GANDHIADI

22-26 PDF

27-31

2/2/2016 2:13 PM

E-Jurnal Matematika

5 of 5


PENENT UAN CADANGAN PREMI UNT UK ASURANSI JOINT LIFE

PDF

NI LUH PUTU RATNA DEWI, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA

32-37

NILAKUSMAWATI

This work is licensed under a

Crea tive Commons At t ribution 4.0 Int ernat ional Lic ense .

ISSN: 2303-1751

2/2/2016 2:13 PM

Editorial Team

1 of 3

http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/about/editorialTeam

E-Jurnal Matematika OPEN JOURNAL SYSTEMS

Flag Counter

N O T I FI CAT I O N S View Subscribe / Unsubscribe

JO U RN A L CO N T EN T Se a rch

All Search

B ro ws e By Issue By Author By Title Other Journals

2/2/2016 2:14 PM

FO N T SI Z E

I N FO RMAT I O N For Readers For Authors For Librarians

KE Y W O RDS ANFIS Chernoff Faces GWPR Granger causality test Heteroscedasticity Joint Life Insurance Median Quantile Regression Monte Carlo

Multicollinearity OLS Optimization Outlier

Overdispersion

Poisson Regression Portmanteau test Value at Risk Vector Autoregression biplot

multicollinearity optimal lag test stationary test

HOME

ABOUT

TEAM

CONTACT

LOG IN

REGISTER

Home

Editorial Team

>

SEARCH

About the Journal

CURRENT

>

ARCHIVES

Editorial Team

EDITORIAL

Editorial Team

3 of 3

http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/about/editorialTeam

Chief-in-Editor Desak Put u Eka Nilakusumawa ti,

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Indonesia

Associate Editor I Made Eka Dw ipayana ,

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia

Editorial Board Dr. T jokorda Ba gus Oka ,


Dr. Komang Dharmawan ,


Drs. GK Gandhiadi,


Ir. I Komang Gde Sukarsa ,


Ir. I Put u Eka Nila Kenc a na , I Gust i Ayu Made Srinadi, Made Susilawat i,




This work is licensed under a

Crea tive Commons At t ribution 4.0 Int ernat ional Lic ense .

ISSN: 2303-1751

2/2/2016 2:14 PM

E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 1-6

ISSN: 2303-1751

PERBANDINGAN KEEFISIENAN METODE NEWTON-RAPHSON, METODE SECANT, DAN METODE BISECTION DALAM MENGESTIMASI IMPLIED VOLATILITIES SAHAM Ida Ayu Ega Rahayuni§1, Komang Dharmawan2, Luh Putu Ida Harini3 1

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT Black-Scholes model suggests that volatility is constant or fixed during the life time of the option certainly known. However, this does not fit with what happen in the real market. Therefore, the volatility has to be estimated. Implied Volatility is the etimated volatility from a market mechanism that is considered as a reasonable way to assess the volatility's value. This study was aimed to compare the Newton-Raphson, Secant, and Bisection method, in estimating the stock volatility value of PT Telkom Indonesia Tbk (TLK). It found that the three methods have the same Implied Volatilities, where Newton-Raphson method gained roots more rapidly than the two others, and it has the smallest relative error greater than Secant and Bisection methods. Keywords: Black-Scholes, Implied Volatility, Newton-Raphson Method, Secant Method, Bisection Method 1. PENDAHULUAN Salah satu alternatif instrumen investasi yang dapat ditawarkan kepada investor didalam pasar modal adalah opsi (option). Pada tahun 1973, model Black-Scholes dikembangkan oleh Myron Scholes dan Fischer Black. Model ini memberikan solusi untuk penilaian call option dan put option yang tidak memberikan dividen. Pada model Black-Scholes, volatilitas bersifat konstan atau tetap selama usia opsi diketahui pasti. Namun, hal ini tidak sesuai dengan apa yang terjadi pada pasar sebenarnya. Oleh karena volatilitas bergerak secara random dan tidak dapat diobservasi secara langsung, maka harus dilakukan penaksiran nilai volatilitas (Dharmawan & Widana [2]). Nilai volatilitas dapat ditaksir menggunakan Implied Volatility. Implied Volatility adalah volatilitas yang diestimasi dari mekanisme pasar dengan memilih kontrak opsi dengan expiration date yang sama. Berdasarkan keadaan persaingan pasar, Black dan Scholes menunjukkan bahwa harga saham

mengikuti gerak Brown geometrik pada suku bunga dan volatilitas tertentu. Pergerakan harga saham tersebut dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut ( ) dengan : perubahan harga saham yang mengikuti gerak Brown geometric : rata-rata dari pengembalian saham : perubahan waktu : nilai volatilitas : gerak Brownian Menurut Lee [3], keadaan pasar yang demikian dikatakan tidak ada arbitrase. Dengan kata lain, pelaku pasar modal mengasumsikan bahwa harga opsi di pasar modal sama dengan harga teoritis yang dihitung menggunakan formula Black-Scholes, atau dapat ditulis sebagai ( )

( )

dengan menyatakan harga opsi observasi yang diperoleh dari harga pasar sebenarnya,

1

Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I

Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection…

dimana strike price ( ) dan masa jatuh tempo opsi ( ) sama dengan dan saham induk. Dalam hal ini, menyatakan harga opsi teoritis dari formula Black-Scholes yang didefinisikan oleh: (

(

)

)

(

)

( )

Metode Bagi Dua (Bisection) dimulai dengan sebuah interval [ , ], dimana ( ) dan ( ) berbeda tanda (Mathews [4]). Secara sistematis metode Bisection adalah metode pencarian akar dengan mengurangi separuh interval pertama untuk memilih titik ( )

dengan ( )

)(

(

)

√

( ) ( )

√

dengan ( ) adalah fungsi distribusi normal kumulatif standar. Nilai volatilitas selalu positif karena adalah konstan dan monoton naik pada [ ) (Dharmawan & Widana [2]). Pada penelitian ini, solusi dari volatilitas akan diselesaikan menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bagi Dua (Bisection). Penurunan rumus metode Newton Raphson dapat dilakukan secara geometris dan dengan bantuan deret Taylor. Jika adalah hampiran saat ini, maka hampiran selanjutnya adalah yang dapat ditulis sebagai berikut. ( ) ( ( ) , dengan

sampai | | | | dan

|

)

( )

( )

|

(i) Jika ( ) dan ( ) berbeda tanda, ] akar terletak di [ (ii) Jika ( ) dan ( ) berbeda tanda, akar ] terletak di [ ( ) (iii) Jika , diperoleh bahwa akar pada Jika salah satu dari kasus (i) atau kasus (ii) terjadi, diperoleh interval yang merupakan setengah bagian dari interval pertama yang mengurung akar dan mengurangi separuh interval tersebut dengan proses yang sama. Pada proses selanjutnya, separuh interval baru tersebut dinamai [ , ] dan proses diulang sampai | | . Jika kasus (iii) terjadi, maka akar adalah . Selanjutnya membandingkan perhitungan antara metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection dalam mengestimasi nilai volatilitas saham. 2. METODE PENELITIAN A. Jenis dan Sumber Data

.

Metode Secant merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson, yaitu dengan mengganti fungsi turunan yang digunakan pada metode Newton-Raphson menjadi bentuk lain yang ekuivalen. Metode ini dimulai dengan hampiran awal dan untuk solusi . Selanjutnya dihitung sebagai hampiran baru untuk , yaitu

sampai | |

dan kemudian menganalisa kemungkinan yang akan timbul:

( )( ( ) .

(

) )

Jenis data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder yang berupa data numerik. Adapun data yang digunakan terdiri dari strike price, dan harga saham sekarang (15 Mei 2015) dari saham PT Telekomunikasi Indonesia Tbk (TLK) dengan masa jatuh tempo opsi selama tiga bulan yang diperoleh dari http://finance.yahoo.com, data harga observasi call option diperoleh dari http://optiondata.net.

( )

2


B. Algoritma untuk Menaksir Implied Volatility Tahapan-tahapan yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mencari harga observasi call option ( ) yang memiliki masa jatuh tempo dan strike price yang sama dengan saham induk, serta mencari harga saham sekarang dari underlying asset. 2. Menentukan fungsi volatilitas dan mencari turunan pertamanya. 3. Menyelesaikan persamaan dari fungsi volatilitas menggunakan metode numerik, yakni metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection. a. Penyelesaian Menggunakan Metode Newton-Raphson Langkah 1: Tetapkan hampiran awal ( ), , iterasi maksimum ( ) Langkah 2: Menghitung nilai ( ) dan turunan pertama ) fungsinya ( Langkah 3: Menentukan nilai hampiran kedua ( ) yang terletak pada perpotongan garis singgung ( )) dengan di ( sumbu , dapat dihitung menggunakan persamaan (6) Langkah 4: Menghitung | | dengan persamaan (7) Langkah 5: Melakukan pengecekan: (i) Jika | | , maka iterasi selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas ( ) | | (ii) Jika , maka kembali ke langkah 1.

ISSN: 2303-1751

b. Penyelesaian menggunakan metode Secant Langkah 1: Tetapkan hampiran awal dan , , . Langkah 2: Mengitung nilai ( ) dan ( ) Langkah 3: Menentukan hampiran baru dengan persamaan (8) Langkah 4: Menghitung | | dengan persamaan (7) Langkah 5: Melakukan pengecekan (i) Jika | | , maka iterasi selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas ( ) | | (ii) Jika , maka kembali ke langkah 1 dengan menjadikan sebagai dan sebagai . c. Penyelesaian menggunakan metode Bisection Langkah 1: Tetapkan hampiran awal dan , , . ( ) dan Langkah 2: Hitung nilai ( ). Langkah 3: Memeriksa bahwa fungsi berubah tanda sepanjang interval [ ], ini dapat diperiksa dengan: ( ) ( ) . Jika terpenuhi, hampiran awal dapat digunakan untuk iterasi berikutnya, namun jika tidak terpenuhi, pilih hampiran awal baru. Langkah 4: Hampiran ketiga dapat ditentukan menggunakan persamaan (9). ) Langkah 5: Hitung nilai ( Langkah 6: Lakukan evaluasi sebagai berikut untuk menentukan di dalam subinterval mana akar fungsi terletak: ( ) ( ) (i) Jika , maka

3



( ) ( ) (ii) Jika , maka Langkah 7: Menghitung | | dengan persamaan (7) Langkah 8: Melakukan pengecekan. (i) Jika | | , dengan , maka iterasi selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas ( ) (ii) Jika | | , dengan , maka kembali ke langkah 4. 4. Membandingkan nilai taksiran Implied Volatility, kecepatan iterasi, serta membandingkan keakuratan masingmasing metode dengan membandingkan nilai error relatif | | dari masing-masing metode.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi sebagai ( )

volatilitas ( (

dapat ( )

didefinisikan

) (

))

(

)

atau ( ) ( ) ( ) adalah kontinu dan memiliki turunan sebagai berikut: ( ) ( ) √

(

√

)

adalah kontinu. Teorema Eksistensi dan Ketunggalan (Waluya [5]), “Misalkan dan kontinu, maka solusinya ada dan tunggal”. Dalam hal ( )

ini, diperoleh bahwa ( ) dan

kontinu,

maka Teorema Eksistensi dan Ketunggalan terpenuhi, yaitu terdapat solusi tunggal dari persamaan (11). Tabel 1 Iterasi dengan Menggunakan Metode Newton-Raphson (

)

(

| |

)

1

0.060000

0.055815

-6.529788

0.068548

1.246985e-001

2

0.068548

-0.002051

-6.984392

0.068254

4.301345e-003

3

0.068254

-0.000002

-6.971129

0.068254

4.084282e-006

1 2 3 4

0.060000 0.100000 0.067609 0.068209

Tabel 2 Iterasi dengan Menggunakan Metode Secant ( ( ) ) 0.055815 0.100000 -0.237620 0.067609 -0.237620 0.067609 0.004490 0.068209 0.004490 0.068209 0.000312 0.068254 0.000312 0.068254 -0.000001 0.068254

| | 4.791029e-001 8.806070e-003 6.568799e-004 1.393661e-006

4


ISSN: 2303-1751

Tabel 3 Iterasi dengan Menggunakan Metode Bisection 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0.060000 0.060000 0.060000 0.065000 0.067500 0.067500 0.068125 0.068125 0.068125 0.068203 0.068242 0.068242 0.068252 0.068252 0.068252 0.068253

( ) 0.055815 0.055815 0.055815 0.022433 0.005243 0.005243 0.000899 0.000899 0.000899 0.000354 0.000082 0.000082 0.000014 0.000014 0.000014 0.000005

0.100000 0.080000 0.070000 0.070000 0.070000 0.068750 0.068750 0.068438 0.068281 0.068281 0.068281 0.068262 0.068262 0.068257 0.068254 0.068254

( ) -0.237620 -0.084613 -0.012240 -0.012240 -0.012240 -0.003464 -0.003464 -0.001280 -0.000190 -0.000190 -0.000190 -0.000054 -0.000054 -0.000020 -0.000003 -0.000003

0.080000 0.070000 0.065000 0.067500 0.068750 0.068125 0.068438 0.068281 0.068203 0.068242 0.068262 0.068252 0.068257 0.068254 0.068253 0.068254

( ) -0.084613 -0.012240 0.022433 0.005243 -0.003464 0.000899 -0.001280 -0.000190 0.000354 0.000082 -0.000054 0.000014 -0.000020 -0.000003 0.000005 0.000001

| | 2.500000e-001 1.428571e-001 7.692308e-002 3.703704e-002 1.818182e-002 9.174312e-003 4.566210e-003 2.288330e-003 1.145475e-003 5.724098e-004 2.861230e-004 1.430820e-004 7.153588e-005 3.576922e-005 1.788493e-005 8.942384e-006

Tabel 4 Perbandingan Nilai Volatilitas, Error Relatif dan Kecepatan Iterasi dari Metode NewtonRaphson, Metode Secant dan Metode Bisection Metode Newton-Raphson Secant Bisection 6,8254% 6,8254% 6,8254% Implied Volatility ( ) 3 4 16 Berhenti pada Iterasi ke4,084282e-006 1,393661e-006 8,942384e-006 Error Relatif | | Berdasarkan Tabel 1, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-3 yaitu dengan nilai dan error relatif | | . Berdasarkan Tabel 2, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-4 yaitu dengan nilai dan | | error relatif . Berdasarkan Tabel 3, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-16 yaitu dengan nilai % dan error relatif | | . Berdasarkan Tabel 4 diperoleh hasil simulasi menggunakan metode NewtonRaphson, metode Secant, dan metode Bisection dengan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254%. Simulasi berhenti secara berturutturut pada iterasi ke-3; 4; 16 dengan nilai error

relatif secara berturut-turut sebesar 4,084282e006; 1,393661e-006; 8,942384e-006. Implied Volatility yang diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson, Secant, dan Bisection memiliki nilai yang lebih besar dari nilai Implied Volatility di pasar modal, yaitu sebesar 6,25%. Berdasarkan pemaparan pada bab II, Implied Volatility yang tinggi mengakibatkan harga opsi menjadi mahal dan berlaku sebaliknya. Berdasarkan tabel 1, 2, dan 3, diperoleh bahwa pada iterasi ke-3 metode NewtonRaphson, metode Secant dan metode Bisection secara berturut-turut memiliki error relatif sebesar 4,084282e-006; 6,568799e-004; 7,692308e-002. Dalam hal ini, metode NewtonRaphson memiliki error relatif terkecil pada iterasi ke-3 yaitu sebesar 4,084282e-006. Artinya, metode Newton-Raphson lebih akurat 5


dibandingkan metode Secant dan metode Bisection. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson adalah metode terbaik dalam menaksir Implied Volatility saham, karena metode Newton-Raphson konvergen paling cepat dan paling akurat dibandingkan metode Secant dan metode Bisection. 4. KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, estimasi Implied Volatility saham menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bisection dengan hampiran awal 0,06 dan hampiran kedua 0,1 untuk metode Secant dan metode Bisection memiliki perolehan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254% yang nilainya lebih tinggi dari Implied Volatility di pasar modal, yaitu 6,25%. Implied Volatility yang tinggi akan mengakibatkan harga opsi menjadi mahal. Metode NewtonRaphson lebih cepat konvergen, yaitu pada iterasi ke-3 dan menghasilkan nilai error relatif yang lebih kecil dari pada metode Secant dan metode Bisection. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson adalah metode terbaik dalam menaksir Implied Volatility saham, karena metode ini konvergen paling cepat dan paling akurat dibandingkan metode Secant dan metode Bisection..


DAFTAR PUSTAKA [1] Black, F. & Scholes, M., 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, 81(3), PP. 637-659. [2] Dharmawan, Komang & Widana, I Nyoman., 2011. Aplikasi Algoritma Biseksi dan Newon-Raphson dalam Menaksir Nilai Volatilitas Implied. Jurnal Matematika Vol. 2 No. 1, Desember 2011. ISSN: 1693-1394. [3] Lee, Roger. W., 2002. Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilitic Interpretation. Recant Advances in Applied Probability 2005, pp. 241-268. [4] Mathews, John H., 1992. Numerical Methods. For Mathematics, Science, and Engineering. Second edition. USA: Prentice-Hall International, Inc. [5] Waluya, St. Budi., 2006. Buku Ajar Persamaan Diferensial, 21-23.

B. Saran Metode Newton-Raphson, Secant dan Bisection tidak dapat memberikan keputusan di dalam pasar modal, metode ini hanya dapat menaksir nilai Implied Volatility, yang dapat digunakan sebagai gambaran/acuan dalam melakukan suatu keputusan. Implied Volatility juga dapat ditaksir menggunakan metode GARCH (conditional volatility), Monte Carlo dengan simulasi, dan Model Heston dengan stokastik volatilitas.

6


ISSN: 2303-1751

ANALISIS PRIORITAS SOLUSI KEMACETAN LALU LINTAS DI KOTA DENPASAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE ANALYTIC NETWORK PROCESS Ni Wayan Nining Ismiranti§1,I Putu Eka N. Kencana2, I Komang Gde Sukarsa3 1

Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana [email: [email protected]] Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana [email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana [email: [email protected]] § Corresponding Author

2

ABSTRACT The aim of this research is to find the alternative solutions that could be used to handle the traffic congestions in the Denpasar City and the priorities of each alternative. The main problem of this research is determining the appropriateness of alternatives and its criterias that could be used to set the priorities of the alternatives. Based on the interview with the transport experts of Denpasar City, there are three main factors that affect the traffic congestion i.e (1) the ratio of the volume of vehicles on the road capacity, (2) the existing traffic management, and the traffic regulation . The interviewee also suggest that there are six alternatives that can be used to handle traffic congestion. These alternatives are (1)improve the public transport system, (2) use technology to monitor and enforce the rules,(3) create a 3 in 1 rule, (4) create road pricing rule,(5) optimize the existing management in the road, and (6) create rule of road zoning. Based on the calculations by Analytic Network Process (ANP) method, improving the public transport system is the best alternative among others that is appropriate to handle traffic congestion in the Denpasar City. Keywords: Analytic Network Process, Traffic Congestion, Priorities, Denpasar 1. PENDAHULUAN Metode ANP (Analytic Network Process) merupakan pengembangan dari Analytic Hierarcy Process (AHP) yang dikembangkan oleh Thomas L. Saaty yang digunakan untuk memilih alternatif terbaik dari sejumlah alternatif yang ada berdasarkan beberapa kriteria. Metode ANP menguraikan suatu masalah kedalam bentuk jaringan tanpa membuat asumsi elemen yang tingkatnya lebih tinggi dan elemen yang tingkatnya lebih rendah seperti yang terdapat pada AHP (Saaty & Vargas [3]). Pada penelitian ini metode ANP akan digunakan untuk mencari prioritas alternatifalternatif solusi yang bisa digunakan untuk menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar. Alternatif-alternatif solusi serta kriteria-kriteria yang akan digunakan diperoleh dari para narasumber yang merupakan para pengamat transportasi di Kota Denpasar.

Adapun alternatif-alternatif solusi yang akan dipaparkan merupakan alternatif solusi yang termasuk ke dalam manajemen lalu lintas tanpa pembangunan atau perluasan jalan. ANP merupakan suatu teori pengukuran multycriteria yang digunakan untuk mendapat skala prioritas dari suatu penilaian individu yang termasuk ke dalam sebuah skala fundamental (Saaty [1]), seperti yang terdapat pada Tabel 1. Tabel 1. Skala Fundamental Intensitas Kepentingan

Penjelasan

1

Dua aktivitas berkontribusi secara sama besar

3

Kontribusi suatu aktivitas sedikit lebih besar dibandingkan yang lain

5 7

9 2,4,6,8

Kontribusi suatu aktivitas lebih besar dibandingkan yang lain Kontribusi suatu aktivitas jauh lebih besar dibandingkan yang lain, aktivitas ini lebih dominan dilakukan dalam kenyataan Fakta menunjukkan bahwa suatu aktivitas merupakan urutan tertinggi yang mungkin dalam suatu penegasan Untuk kompromi nilai-nilai di atas

7

Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G.

Langkah awal dari penggunaan metode ANP adalah dengan membentuk suatu model yang berbentuk sebuah jaringan yang saling dihubungkan dengan tanda panah. Jaringan tersebut menggambarkan hubungan saling ketergantungan antara komponen satu dan komponen yang lain dimana komponen yang berada di pangkal tanda panah memberikan pengaruh kepada komponen yang berada di ujung tanda panah, seperti Gambar 1. Jaringan timbal balik yang memiliki ketergantungan dari dalam dan luar elemen

C4 ..

C2 ..

C3 ..

Gambar 1. Ilustrasi Jaringan ANP

Selain dengan menggunakan jaringan, hubungan saling ketergantungan juga bisa digambarkan dengan menggunakan matriks seperti matriks berikut:

 c11 c12  c1n  c c22  c2 n  21          cn1 cn 2  cnn 

ci

: nilai perbandingan yang diberikan

n

narasumber ke k , k =1,2,..., n : banyak narasumber

Matriks perbandingan berpasangan merupakan matriks berukuran n n yang berisikan bobot perbandingan yang dilakukan terhadap elemen-elemen dalam suatu komponen dimana elemen-elemen ini memengaruhi suatu elemen lainnya. Misalkan terdapat suatu

C1

e11, e12 ,..., e1n 1

terhadap

komponen c j dan nilai 0 diberikan apabila tidak ada pengaruh yang diberikan komponen ci terhadap komponen c j . Dalam hal ini cij adalah nilai ketergantungan komponen c j

Zk

komponen

Ketergantungan setiap komponen pada suatu sistem dapat dibentuk dalam suatu matriks nol-satu C dengan sifat nilai 1 pada matriks diberikan apabila terdapat pengaruh komponen

(1)

berpasangan kriteria Ai dengan A j

Putaran dalam komponen menunjukan ketergantungan dari elemen elemen dalam suatu komponen

diberikan

aij  ( z1.z 2 ..z n )

1 n

Dengan : nilai rata-rata perbandingan aij

feedback

yang

Pada penelitian menggunakan ANP seringkali digunakan lebih dari satu narasumber sebagai acuan. Hal ini akan memungkinkan diperolehnya pendapat yang berbeda mengenai bobot dari suatu perbandingan, akan tetapi metode ANP hanya memerlukan satu bobot untuk satu perbandingan dalam membentuk suatu matriks perbandingan berpasangan. Apabila hal ini terjadi maka bobot-bobot dari para narasumber harus dirata-ratakan dengan menggunakan persamaan geometric mean (Saaty & Vargas [3]).

Tanda panah dari C4 ke C2 menunjukkan ketergantungan elemen C2 pada elemen yang terdapat pada C4

C1 ..

C nn

Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas…

yang

berisi

elemen

dan elemen-elemen tersebut

memberikan pengaruh terhadap elemen e21 pada

komponen

C2

,

maka

matriks

perbandingan yang terbentuk adalah seperti berikut:

 1 a12 a 1 A   21     an1 an 2

 a1n   a2 n       1 

terhadap

Nilai aij pada perbandingan berpasangan

komponen ci yang berisi nilai 0 atau 1, ci

merepresentasikan nilai kepentingan dari elemen ke i terhadap elemen ke j pada

adalah komponen yang memberikan pengaruh dan c j adalah komponen yang dipengaruhi.

komponen C1 berkaitan dengan e21 sebagai faktor kontrol. Nilai

yang dimasukkan ke

8


ISSN: 2303-1751

dalam perbandingan merupakan nilai yang terdapat pada Tabel 1 dan pengisiannya dilakukan dengan prinsip resiprokal. Maksud dari resiprokal adalah jika diketahui nilai dari aij maka secara otomatis nilai dari a ji akan

langkah selanjutnya adalah membuat suatu supermatriks. Supermatriks berisikan vektorvektor prioritas dari setiap perbandingan. Misalkan suatu sistem memiliki N komponen

sama dengan kebalikan dari aij .

memiliki beberapa elemen. Komponenkomponen tersebut dihubungkan satu sama lain hingga terbentuk suatu model jaringan dari sistem yang diinginkan. Dari model tersebut akan dibentuk matriks-matriks perbandingan berpasangan yang masing-masing akan menghasilkan vektor prioritas. Nilai vektor prioritas dari setiap perbandingan dimasukkan pada kolom blok supermatriks yang bersesuaian. Blok-blok supermatriks tersebut akan disusun menjadi satu supermatriks seperti supermatriks berikut:

Setelah membentuk suatu matriks perbandingan A , selanjutnya akan dilakukan suatu proses pencarian eigen vector. Eigen vector diperoleh dari persamaan (Saaty & Vargas [3]):

A.w  max .w

(2)

dengan

w

: eigen vector

max

: eigen value terbesar

A

: matriks perbandingan berpasangan

Eigen vector yang diperoleh dari proses ini akan menjadi vektor prioritas dari elemenelemen yang dibandingkan dalam matriks A . Konsistensi dari setiap perbandingan berpasangan harus diuji, berikut adalah persamaan untuk menguji konsistensi dari matriks perbandingan berpasangan (Saaty & Vargas [3]). .

CR 

CI RI

(3)

: rasio konsistensi

: index konsistensi : random consistency index RI Index konsistensi diperoleh dengan (Saaty & Vargas [3]):

CI 

rumus

(max  n) (4) n 1

Tabel 2. Tabel Random Consistency Index 1 0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49

Sumber: Saaty & Vargas, 2001, hal.9. [2]

Setiap

matriks

perbandingan

 W11 W12 W W22 W   21     W N 1 W N 2

 W1N   W2 N       WNN 

Keterangan: W : supermatriks yang terbentuk Wij : matriks yang berisi bobot prioritas

Submatriks Wij yang terdapat dalam supermatriks disebut blok supermatriks. sebuah matriks berukuran Wij merupakan

ni  n j seperti yang ditampilkan pada matriks berikut:

Nilai-nilai dari RI dapat dilihat pada Tabel 2

Orde RI

dan setiap komponen

elemen-elemen dalam komponen ke i terhadap elemen-elemen dalam komponen ke j .

Keterangan:

CR CI

yaitu C1 , C2 , , C N

dikatakan

konsisten apabila nilai CR tidak lebih dari 10%. Setelah memastikan bahwa setiap matriks perbandingan berpasangan cukup konsisten,

 w ( j1 )  i(1j ) w 1 Wij   i 2   (j )  wini1

 ( jn )   wi 2 j    ( jn )   wini j  ( jn j )

wi(1j2 )  wi1 wi(2j2 )  ( j2 ) ini

w

Keterangan:

wik( jl ) : nilai prioritas elemen ke k dari komponen ke i terhadap elemen ke l komponen ke j . 9


Setiap perhitungan yang dilakukan pada penelitian ini akan dilakukan dengan bantuan software super decision. Perangkat lunak super decision merupakan perangkat lunak yang digunakan untuk membantu pengambilan keputusan yang mengimplementasikan metode ANP.


8. Ulangi langkah 5, 6, dan 7 pada semua kriteria 9. Buat unweighted supermatrix 10. Buat weighted supermatrix 11. Buat limmiting supermatrix. 12. Ambil nilai dari alternatif yang dibandingkan untuk mengetahui hasil akhir perhitungan.

2. METODE PENELITIAN Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data primer yang diperoleh melalui proses wawancara yang dilakukan terhadap para narasumber. Adapun narasumber yang menjadi acuan dalam penelitian ini adalah anggota satuan lalu lintas, dinas perhubungan serta para pengamat transportasi yang terdapat di Kota Denpasar. Langkah-langkah penelitian yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut (Santoso, et al [4]): 1. Tentukan narasumber yang akan diwawancarai. 2. Melakukan wawancara terhadap narasumber untuk memperoleh kriteria dan alternatif solusi yang sesuai untuk menangani kemacetan yang terjadi di Kota Denpasar. 3. Membentuk model jaringan beradasarkan hasil wawancara yang di peroleh pada poin ke-2 serta menyusun angket beradasarkan model jaringan yang terbentuk. 4. Melakukan wawancara terhadap narasumber untuk mengetahui bobot dari masing-masing kriteria dan alternatif. Wawancara ini merupakan wawancara terstruktur dengan menggunakan angket yang telah dibuat. 5. Membuat matriks perbandingan berpasangan yang menggambarkan pengaruh setiap elemen terhadap kriteria. 6. Setelah semua bobot perbandingan terkumpul, masukkan nilai-nilai kebalikannya serta nilai di diagonal utama kedalam matriks perbandingan berpasangan, cari prioritas masing-masing kriteria dan uji konsistensinya. 7. Cari vektor prioritas dari matriks yang dibuat pada langkah ke-6.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN Tahap awal dari penelitian ini adalah pengambilan data yang menggunakan metode wawancara. Wawancara dilakukan untuk memperoleh faktor-faktor penyebab kemacetan lalu lintas serta solusinya.Wawancara ini dilakukan terhadap para narasumber yang merupakan para pengamat transportasi yang juga merupakan anggota Masyarakat Transportasi Indonesia (MTI) yang berada di Kota Denpasar. Setelah melakukan wawancara terhadap para pengamat transportasi maka diperoleh faktor-faktor penyebab kemacetan serta alternatif solusi yang bisa digunakan untuk menanganinya. Faktor-faktor serta alternatif solusi ini kemudian disusun menjadi suatu jaringan ANP seperti Gambar 2.

Gambar 2. Jaringan ANP yang terbentuk

Hubungan inner dependence dan outer dependence pada jaringan yang terdapat dalam Gambar 2 akan di ilustrasikan dalam matriks pada Gambar 3.

10


Alternatif

Manajemen

A1 A2 A3 A4 A5 A6 MJ

MP

Rasio Regulasi JK JKU JP D PP P 1 1 0 1 1

A1

0

0

0

0

0

0

0

0

A2

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

A3

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

A4

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

A5

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

A6 MJ MP JKP

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 1

1 1 1 0

1 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 1

JKU 1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0 1 1

0 1 1

0 1 1

0 1 1

0 1 1

0 1 1

0 1 1

1 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 1

0 0 1

JP D PP

0 1 1

Gambar 3. Tabel yang Berisi Matriks Ketergantungan

Dari matriks pada Gambar 3 akan dibentuk sebuah angket perbandingan. Angket tersebut digunakan sebagai alat bantu melakukan wawancara untuk memperoleh bobot dari setiap perbandingan. Bobot-bobot tersebut kemudian disusun menjadi matriks-matriks

A1 A2 A3 A4 A5 A6 MJ MP JKP JKU JP D PP

A1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.333 0.667 0.000 0.500 0.500

ISSN: 2303-1751

perbandingan berpasangan sesuai dengan item pertanyaan yang terdapat pada angket. Setiap bobot dimasukkan ke dalam matriks perbandingan berpasangan dengan prinsip resiprokal yang kemudian dicari vektor prioritasnya. Vektor-vektor prioritas tersebut kemudian disusun menjadi sebuah supermatriks. Dalam hal ini terdapat tiga buah supermatriks yang akan terbentuk yaitu: unweighted supermatrix, weighted supermatrix, dan limiting supermatrix. Unweighted supermatrix merupakan supermatriks yang dibuat dengan menyusun setiap vektor prioritas pada kolom yang sesuai, seperti Gambar 4.

A2 A3 A4 A5 A6 MJ MP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.833 0.833 0.833 0.833 0.750 0.800 0.800 0.167 0.167 0.167 0.167 0.250 0.200 0.200 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.50000 0.500 0.50000 0.5000.50000 0.500 0.500 0.50000 0.500 0.50000 0.500

JKP JKU JP D PP 0.206 0.477 0.000 0.047 0.050 0.073 0.047 0.000 0.308 0.355 0.065 0.093 0.000 0.103 0.091 0.166 0.122 0.000 0.224 0.201 0.223 0.111 0.000 0.119 0.155 0.267 0.150 0.000 0.199 0.150 0.500 0.000 0.000 0.000 0.000 0.500 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.500 0.800 0.250 0.000 0.000 0.500 0.200 0.750 0.000 0.000 0.000 0.000 0.750 0.000 0.000 0.000 0.000 0.250 0.50000 0.000 0.50000 0.0000.25000 1.000 0.000 0.00000 0.00000 1.00

Gambar 4. Unwiehted Supermatrix

Tabel ini menunjukan prioritas tiap alternatif terhadap masing masing faktor. Dari tabel pada Gambar 4 diperoleh bahwa berdasarkan faktor JKP alternatif 6 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,267, berdasarkan faktor JKU alternatif 1 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,477, berdasarkan faktor disiplin dan faktor pengawasan alternatif 2 mendapat bobot tertinggi yaitu

0,308 dan 0,355. Gambar 4 ini hanya berisikan bobot perbandingan antar elemen, belum mencangkup perbandingan antar cluster (komponen). Oleh karena itu nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 4 harus dikalikan dengan nilai-nilai pada perbandingan cluster untuk membentuk supermatiks baru yang disebut weighted supermatrix.

11


A1 A2 A3 A4 A5 A6 MJ MP JKP JKU JP D PP

A1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.278 0.556 0.000 0.083 0.083

A2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.694 0.139 0.000 0.083 0.083

A3 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.694 0.139 0.000 0.083 0.083

A4 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.694 0.139 0.000 0.083 0.083

A5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.694 0.139 0.000 0.083 0.083

A6 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.625 0.208 0.000 0.083 0.083


MJ 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.533 0.133 0.000 0.167 0.167

MP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.533 0.133 0.000 0.167 0.167

JKP 0.031 0.011 0.010 0.025 0.034 0.041 0.136 0.136 0.000 0.118 0.354 0.077 0.026

JKU 0.477 0.047 0.093 0.122 0.111 0.150 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

JP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

D 0.004 0.029 0.010 0.021 0.011 0.019 0.000 0.000 0.083 0.083 0.000 0.000 0.740

PP 0.018 0.128 0.033 0.072 0.056 0.054 0.000 0.000 0.512 0.128 0.000 0.000 0.000

Gambar 5. Weighted Supermatrix

Nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 5 merupakan nilai prioritas yang diperoleh dengan menggabungkan hasil perbandingan elemen dan perbandingan clutser. Gambar 5 memperlihatkan bahwa berdasarkan faktor JKP alternatif 6 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,041, berdasarkan faktor JKU alternatif 1 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,477, berdasarkan faktor disiplin dan faktor pengawasan alternatif 2 mendapat bobot tertinggi yaitu 0,029 dan 0,128. Nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 5 digunakan untuk memeperoleh sepermatriks baru yang disebut limitting supermatrix. A1 A2 A3 A4 A5 A6 MJ MP JKP JKU JP D PP

A1 0.091 0.027 0.023 0.037 0.035 0.044 0.039 0.039 0.259 0.150 0.102 0.061 0.096

A2 0.091 0.027 0.023 0.037 0.035 0.044 0.039 0.039 0.259 0.150 0.102 0.061 0.096

A3 0.091 0.027 0.023 0.037 0.035 0.044 0.039 0.039 0.259 0.150 0.102 0.061 0.096

Pada weighted supermatrix yang terdapat pada Gambar 5, alternatif yang mendapat prioritas tertinggi pada setiap faktor masih berbeda beda. Oleh karena itu supermatriks ini terus dipangkatkan sampai setiap kolom yang terdapat pada satu baris yang sama memiliki nilai yang sama dan membentuk supermatriks baru yang disebut limitting supermatrix. Supermatriks pada Gambar 5 dipangkatkan dengan tujuan untuk mencangkup semua hubungan saling memengaruhi yang mungkin terjadi pada setiap elemen dan alternatif, baik itu pengaruh langsung maupun pengaruh tak langsung.

A 4 A 5 A 6 MJ MP JKP 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 Gambar 6. Limiting Supermatrix

Limiting supermatrix akan memperlihatkan prioritas dari masing-masing alternatif beradasarkan seluruh kriteria yang ada. Langkah selanjutnya adalah menyusun alternatif-alternatif tersebut beradasarkan

JKU 0.091 0.027 0.023 0.037 0.035 0.044 0.039 0.039 0.259 0.150 0.102 0.061 0.096

JP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

D 0.091 0.027 0.023 0.037 0.035 0.044 0.039 0.039 0.259 0.150 0.102 0.061 0.096

prioritas yang diperoleh supermatrix, seperti Tabel 3.

dari

PP 0.091 0.027 0.023 0.037 0.035 0.044 0.039 0.039 0.259 0.150 0.102 0.061 0.096

limiting

12


Tabel 3. Prioritas Alternatif Alternatif

Nilai Prioritas

Alternatif 1

0,091

1

Alternatif 6 Alternatif 4 Alternatif 5

0,044 0,037 0,035

2 3 4

Alternatif 2 Alternatif 3

0,027 0,023

5 6

Keterangan: Alternatif 1: Memperbaiki sistem angkutan umum Alternatif 2: Menggunakan teknologi untuk mengawasi dan menegakkan aturan Alternatif 3: Membuat aturan Alternatif 4: Membuat aturan road pricing Alternatif 5: Mengoptimalkan manajemen jalan Alternatif 6: membuat aturan zonasi jalan 4. KESIMPULAN DAN SARAN Beradasarkan hasil yang diperoleh, dapat disimpulan bahwa alternatif-alternatif solusi yang dapat digunakan dalam menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar adalah memperbaiki sistem angkutan umum, menggunakan teknologi untuk mengawasi dan menegakkan aturan, membuat aturan 3 in 1, membuat aturan road pricing, mengoptimalkan manajemen jalan, membuat aturan zonasi jalan. Berdasarkan perhitungan menggunakan Metode ANP, dari keenam alternatif tersebut, alternatif terbaik yang bisa digunakan untuk menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar adalah alternatif memperbaiki sistem angkutan umum. Dalam penelitian ini masih terdapat beberapa kekurangan salah satunya adalah analisis yang digunakan hanya menggunakan aspek traffic management analysis. Oleh karena itu pada penelitian selanjutnya bisa ditambahkan aspek-aspek lain dalam melakukan analisisnya misalnya aspek sosial dan budaya.

ISSN: 2303-1751

DAFTAR PUSTAKA [1] Saaty. 2004. Fundamental of The Analytic Network Process Dependence and Feedback in Decision Making With a Singel Network. Journal of System Science and System Engineering, 129157. [2] Saaty, T.L., & Vargas, L. G. 2001. Models, Methods, Concepts and Applications of the Analytic Hierarchy Process. New York: Springer Science+Business Media New York. [3] Saaty, T.L., & Vargas, L. G. 2006. Decision Making With The Analytic Network Process Economic Political, Social and Technological Applications with Benefits, Opportunities, Cost and Risk (2 ed.). New York: Springer Science+Business Media, LLC. [4] Santoso, Leo Willyanto, Alexander Setiawan & Januar R. Stanley. 2009. Pembuatan Aplikasi Sistem Seleksi Calon Pegawai dengan Metode Analytic Network Process (ANP) di PT X. Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Industri – Universitas Kristen Petra.

13


ISSN: 2303-1751

PENENTUAN MODEL PREMI TIDAK KONSTAN PADA ASURANSI DANA PENSIUN Lia Jenita§1, I Nyoman Widana2, Desak Putu Eka Nilakusmawati3 1

Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:[email protected]] Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:[email protected]] 3 Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:[email protected]] § Corresponding Author

2

ABSTRACT Pension plan is an effort to anticipate the life of old on the day. In the pension program, there are two methods of normal due’s calculation to be paid by the insured each year, the Entry Age Normal method, namely calculation of normal dues with constant premiums and projected unit credit method, namely calculation of normal dues with Premium Increases Each year or is not constant. This paper wants to develop an inconstant premium calculation method with constant premium increase annually. Where the pension plan participants’ age when he joined the pension plan is 19 years and the retirement age on this contract is 55 years, with premium increases of 5% of the normal dues early. The large ratio of premiums is, for dues normal at the age of 19 years until the age of 28 years, but for dues normal at the age of 29 years to the age of 33 years and to normal dues at the age of 34 years old until the age of one year before retirement. Keyword: Entry Age Normal, futures contract, Premium Increases Each, constant premium increase annually 1. PENDAHULUAN Asuransi dana pensiun merupakan salah satu bentuk upaya perencanaan masa tua dengan tujuan menjamin kesejahteraan hidup pada saat memasuki usia pensiun. Program Asuransi adalah suatu program yang mengupayakan sejumlah pertanggungan dengan pihak-pihak yang terlibat, yaitu pihak penanggung (perusahaan asuransi) dan pihak tertanggung (individual atau kelompok sebagai pemegang polis). Pihak penanggung memberikan jaminan suatu pengganti kerugian yang dialami atau diderita tertanggung sesuai perjanjian dan kesepakatan kedua belah pihak. Pihak tertanggung memiliki kewajiban untuk membayarkan sejumlah uang yang disebut dengan premi sesuai polis yang disepakati kedua belah pihak pada awal perjanjian asuransi. Oleh karena itu, Dana pensiun atau sering disebut asuransi hari tua adalah asuransi yang mengupayakan sejumlah nilai manfaat (benefit)

pensiun bagi pesertanya yang bertujuan membentuk sejumlah dana untuk dapat dipergunakan nantinya di hari tua setelah mereka tidak bekerja lagi. Menurut UU No.11 Tahun 1992 yang berisikan tentang hal-hal yang menyangkut tentang dana pensiun. Selain sebagai bentuk jaminan masa tua para pegawai yang bekerja di perusahaannya, dana pensiun juga merupakan salah satu tanggung jawab perusahaan terhadap semua pegawai yang telah bekerja keras selama masa kerjanya di perusahaan itu. Pada asuransi dana pensiun, ada beberapa kesepakatan yang harus disetujui oleh pihak tertanggung dan pihak penanggung. Kesepakatan itu adalah premi dan aktuaria, dimana besar premi yang akan dibayarkan oleh pihak tertanggung (pegawai) asuransi dana pensiun harus disesuaikan dengan penghasilan yang didapatkan, sehingga besar iuran premi yang akan dibayarkan tidak membebani tertanggung. Pembayaran premi akan dilakukan

14

Jenita, L., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E.

Penentuan Model Premi Tidak Konstan pada Asuransi Dana Pensiun

dalam bentuk pembayaran iuran normal dilakukan dalam bentuk pemotongan gaji pegawai. Gaji yang dipotong menjadi investasi selama masa kerja dan akumulasi dana untuk pembayaran manfaat pensiun dalam memelihara kesinambungan penghasilan peserta pada hari tua (Futami [2]). Dalam melakukan perhitungan premi, penulis menggunakan formula baru yaitu perhitungan premi tidak konstan dengan kenaikan premi tiap tahunnya konstan. Metode ini adalah metode perhitungan normal cost dengan mengalokasikan total manfaat pensiun secara merata sejak tanggal perhitungan aktuaria. Metode tersebut menggunakan asumsi skala gaji yang akan diestimasi pada masa depan (future value) dan diasumsikan bahwa gaji mengalami peningkatan. Menurut Futami [3], jika seseorang berinvestasi sebesar Rp.1,- pada saat sekarang dan tingkat bunga yang berlaku sebesar maka total pokok besar bunga sebesar bunga setelah tahun adalah: .

[

] * + [ ]

(4)

Nilai akhir anuitas yang dilakukan selama tahun dengan peningkatan sebesar | sehingga persamaan dinotasikan dengan di atas dapat ditulis menjadi: | .

(5)

Sehingga diperoleh manfaat pensiun tertanggung sampai berusia tahun adalah [

| ]

(6)

Present Value of Future Benefit adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan diterima oleh tertanggung saat memasuki usia pensiunnya atau tahun. Sistem pembayaran manfaat pensiun yang dilakukan tiap tahun sampai tertanggung meninggal.

(1) ̈

r

r-x

[6]

(7)

Besar total manfaat yang didapatkan selama tertanggung aktif bekerja dari umur tahun sampai dengan tahun, dinotasikan sehingga besar manfaat yang akan diterima oleh tertanggung pada tahun dinotasikan (Sembiring [5]). (2) Manfaat yang didapatkan oleh peserta pensiun merupakan proporsi gaji sebesar persen yang kemudian diakumulasikan sesuai waktu yang telah ditentukan selama dan berdasarkan skala gaji berikut: a. Asumsi Gaji Terakhir Gaji terakhir pada usia diharapkan dinotasikan dengan

tahun yang .

Gambar 1. Skema Pembayaran

Keterangan: r

̈

(3)

b. Asumsi Rata-Rata Gaji Selama Bekerja Rata-rata gaji yang diharapkan selama bekerja adalah

r-x

= nilai sekarang dari manfaat pensiun normal di usia x tahun; = besar manfaat pensiun normal; = nilai sekarang dari anuitas seumur hidup di usia pensiun tahun; = faktor diskonto selama tahun; dan = tingkat penyusutan aktuaria total di usia x tahun hingga usia tahun

15


Present value of future normal cost adalah nilai sekarang dari iuran normal yang dibayarkan secara berkala oleh peserta dimulai dari peserta berusia tahun sampai memasuki usia pensiun berusia – tahun, yang dinotasikan dengan r . Besar pembayaran berkala iuran normal yang dilakukan setiap awal tahun sebesar dimulai dari peserta masuk program pensiun (usia tahun) sampai memasuki usia pensiun selang waktu usia tahun dapat dijelaskan dengan skema pembayaran tampak pada Gambar 2.

ISSN: 2303-1751

peserta berusia tahun adalah r sedangkan nilainya akan sama dengan nilai sekarang manfaat pensiun saat tertanggung berusia tahun yaitu r (Nurcahyani & Endang [4]), sehingga diperoleh persamaan: r

r

Sehingga berdasarkan persamaan (7) dan (8), maka nilai NC dapat dirumuskan sebagai berikut: ̈

r-x

∑

∑ ̈ ∑ ̈ ∑ ̈

EAN

Berdasarkan skema pada Gambar 2 pembayaran iuran normal selama masa kerja tertanggung selang waktu usia tahun sampai dengan berusia tahun adalah 2 r-1-a . Sehingga nilai sekarang iuran normal pada saat tertanggung berusia tahun yang dinotasikan dengan r dan dirumuskan sebagai berikut ∑ r (8) 2. Metode Perhitungan Premi Metode Entry Age Normal adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan datang akan sama dengan nilai sekarang iuran normal (premi) yang akan datang pada saat berusia pensiun . Pada dasarnya, iuran normal yang akan dibayarkan oleh tertanggung secara berkala (PVFNC) pada selang usia tahun sampai tahun, dipergunakan untuk melakukan pembayaran manfaat (PVFB) yang nantinya akan diberikan kepada tertanggung pada saat pensiun. Nilai sekarang dari iuran normal saat

r-x ̈

EAN

Gambar 2. Skema Pembayaran Iuran Normal Selama Masa Kerja

r-x

̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(9)

Metode Projected Unit Credit Metode Projected Unit Credit (PUC) adalah merupakan metode perhitungan iuran normal yang membagi total manfaat pensiun pada saat usia pensiun. Dimana total dari masa kerja peserta pensiun menjadi suatu unit manfaat pensiun yang kemudian dialokasikan pada setiap tahun pada masa kerja (Bower,et al. [7]). Iuran normal (NC) seorang peserta yang berusia dan pensiun pada usia didefinisikan sebagai nilai sekarang dari manfaat yang akan terima peserta pensiun dimasa yang akan datang dan akan menyebar secara merata setiap tahunnya selama masa kerja (Futami [3]). Sehingga iuran normal untuk metode ini dapat dirumuskan sebagai berikut: PUC

̈

r-x

3. HASIL DAN PEMBAHASAN Model (formula) Premi Tidak Konstan Pada tahapan ini akan dicari formula premi tidak konstan dengan kenaikan yang konstan setiap tahunnya sebesar . Adapun rincian kontrak dalam program asuransi adalah sebagai berikut, mulai menjadi peserta program pensiun

16



saat berusia tahun dan akan terhitung pensiun pada usia tahun. Misalkan adalah nilai tunai yang harus di bayarkan tertanggung setiap tahunnya. Pada tahun pertama tertanggung membayarkan iuran sebasar dan tahun kedua sebesar dan seterusnya mengalami peningkatan sebesar setiap tahunnya sampai mencapai usia pensiun satu tahun sebelum. Sehingga besar iuran terakhir yang akan dibayarkan tertangngung adalah . Sebaliknya sebagai hak yang akan didapatkan peserta pensiun bila hidup sampai usia , akan mendapatkan tanggungan (uang pensiun) mulai usia tahun sebesar seumur hidup. Apabila peserta pensiun meninggal sebelum mencapai usia , maka peserta pensiun tidak mendapatkan uang tanggungan apapun. Dari kontrak ini maka nilai tunai dari premi yang akan dibayarkan peserta pensiun adalah: [

Berdasarkan prinsip ekuivalensi yang telah dijelaskan terlebih dahulu pada persamaan (9) dimana nilai uang yang masuk kedalam perusahaan harus sama dengan nilai uang yang dikeluarkan perusahaan. Sehingga dengan mengunakan persamaan ekuivalensi dari persamaan (11) dan (12) maka akan diperoleh persamaan: [

]

̈ [

] ̈

[

[ ]

] ̈

̈

Dimana [ ] menyatakan besar iuran normal pada tahun pertama , sehingga besar premi pada tahun ke_ adalah:

]

[

̈

]

[ ] {

[

}

Contoh Kasus Penerapan

]

[ ] [ ] [ ] [ ]

Sehingga diperoleh nilai sekarang dari iuran normal (premi) yang dibayarkan peserta pensiun adalah : [ ]

(11)

Sedangkan untuk nilai tunai dari manfaat pensiun yang akan dibayarkan oleh perusahaan asuransi pensiun bagi peserta pensiun adalah:

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, maka akan diberikan contoh kasus yang berkaitan dengan permasalahan pada penelitian ini (Nurcahyani & Endang [4]). Dalam hal ini, bila seorang karyawan mulai menjadi peserta pensiun semenjak berusia 19 tahun dan akan terhitung pensiun pada usia 56 tahun , dengan gaji pokok terakhir yang diterima karyawan yang diakumulasikan dalam satu tahun adalah sebesar -. Perhitungan (valuasi) dilakukan pada saat peserta berusia 24 tahun. Kemudian untuk tahun berikutnya iuran normal yang akan dibayar ditambahkan dengan sebesar 5% dari besar manfaat pensiun dengan tingkat suku bunga sebesar 11% dan sebesar 2,5% adalah: a. Perhitungan Manfaat Pensiun Seperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, pada penelitian ini perhitungan

17


manfaat pensiun untuk premi tindak konstan dengan peningkatan secara konstan, digunakan asumsi rata-rata gaji yang diperoleh karyawan selama masih aktif bekerja sebagai berikut: Pada contoh kasus yang disajikan telah di ketahui gaji pokok terakhir yang diterima karyawan yaitu sebesar - maka selanjutnya untuk menentukan besar manfaat pensiun berdasarkan besar gaji terakhir dapat menggunakan persamaan(2) sehingga diperoleh:

ISSN: 2303-1751

̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅

Perhitunan Iuran Normal Metode Projected Unit Credit Berdasarkan persamaan (10) diperoleh iuran normal yang akan dibayarkan peserta program dana pensiun adalah: PUC

,b. Perhitungan Nilai Sekarang Manfaat Pensiun (Present Value of Future Benefit)

Perhitungan Nilai Iuran Normal dengan Formula Baru

Pada kasus perhitungan nilai iuran premi tidak konstan dengan kenaikan konstan, pada penelitian ini menggunakan asumsi skala rata rata gaji selama pegawai (peserta pensiun) selama masih aktif bekerja sebagai berikut:

Perhitungan iuran yang harus dibayarkan oleh peserta pensiun pada penelitian ini, dimana pada setiap tahunnya premi yang wajib dibayarkan peserta pensiun bertambah sebesar . Seperti yang telah dijelaskan pada persamaan (12), perhitungan nilai premi yang harus dibayarkan adalah:

56

56-23 ̈

56-23 ̈

[ ] (

) (

(

)

)

(1) Jadi, diperoleh nilai sekarang total manfaat pensiun yang akan di peroleh peserta program pensiun saat mencapai usia 23 tahun sebesar Rp. ,-. Sehingga diperoleh nilai adalah: ( )

c. Perhitungan Iuran Normal (Premi) Perhitunan Iuran Normal Metode Entry Age Normal Berdasarkan persamaan (9) diperoleh iuran normal yang akan dibayarkan peserta program dana pensiun adalah: EAN

Sedangkan untuk perhitungan iuran normal pada usia 24 tahun menggunakan persamaan sehingga diperoleh: [ ]

Berdasarkan perhitungan yang dilakukan pada sub bab sebelumnya, penggunaan asumsi skala gaji terakhir yang diperoleh oleh peserta pensiun digunakan untuk melakukan perhitungan nilai sekarang manfaat pensiun tiap tahun dan disajikan dalam bentuk grafik pada Gambar 3.

̈ ̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅

18



150000000 100000000 50000000 0 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 Gaji Terakhir Gambar 3. Grafik Nilai Sekarang dari Manfaat

Pensiun (Present Value of Future Benefit) dengan Asumsi Skala Gaji Terakhir.

Gambar 3 menunjukkan bahwa penggunaan asumsi gaji terakhir menghasilkan manfaat pensiun yang sangat tinggi. Hal ini menyatakan bahwa penggunaan skala gaji terakhir akan menunjukkan penggunaan asumsi gaji lainnya, mengingat setiap tahun pegawai selalu mendapatkan peningkatan gaji. Tetapi kekurangan saat mengunakan asumsi gaji terakhir adalah perusahaan asuransi dapat saja mengalami kerugian dikarenakan harus melakukan pembayaran kekurangan pembiayaan yang terjadi diawal masa kepesertaan bagi peserta program pensiun yang memperoleh peningkatan penghasilan tiap tahunnya. Sedangkan untuk perbandingan, perhitungan pembiayaan iuran normal ditunjukkan pada Gambar 4. 1400000.00 1200000.00 1000000.00 800000.00 600000.00 400000.00 200000.00 0.00 24 26 28 30 32 34 36 38 40 PUC

ILP

formula Baru

Gambar 4. Grafik Pembiayaan Iuran Normal Mengunakan Metode Projected Unit Credit (PUC), Individual Level Premium (ILP) Berdasarkan Asumsi Gaji Terakhir

Grafik garis berbentuk layang-layang yang ditunjukkan pada gambar 4 menunjukan bahwa

pembiayaan iuran normal (premi) dengan mengunakan metode Projected Unit Credit akan mengalami peningkatan setiap tahunnya. Pada metode ini peningkatan iuran normal yang terjadi setiap tahunnya tidak secara konstan, sehingga pada saat peserta mencapai usia lebih tua peningkatan besar iuran normal yang harus dibayarkan peserta program dana pensiun semakin melonjak tinggi disesuaikan dengan perkiraan besar manfaat yang akan didapatkan peserta pensiun jika membayar iuran normal pada umur tersebut. Peningkatan iuran normal mengunakan metode Projected Unit Credit dapat dilihat dengan grafik garis yang berwarna biru. Sedangkan grafik garis berbentuk pesegi yang ditunjukkan pada gambar 4 menunjukkan pembiayaan iuran normal dengan mengunakan metode Individual Level Premium. Perhitungan iuran normal (premi) dengan mengunakan metode ini cenderung tetap saat pegawai baru menjadi peserta pensiun sampai pegawai memasuki usia pensiun. Hal ini disebabkan karena perhitungan pembiayaan iuran normal dengan metode Individual Level Premium tidak dipengaruhi oleh usia peserta program dana pensiun saat tahun perhitungan aktuaria (saat peserta berusia x tahun), tetapi dipengaruhi oleh usia peserta program dana pensiun saat memasuki program dana pensiun (saat peserta berusia e tahun). Sedangkan Grafik garis berbentuk persegi tiga yang ditunjukkan pada gambar 4 menunjukkan, bahwa pembiayaan iuran normal dengan menggunakan formula baru dengan kenaikan yang terjadi secara konstan. Hal ini disebabkan karena kenaikan iuran normal yang terjadi setiap tahunnya adalah sebesar . Dimana dengan menggunakan formula ini didapatkan iuran normal yang harus dibayarkan peserta pensiun saat baru memasuki program dana pensiun sampai akhir usia pembayaran (satu tahun sebelum usia pensiun) berada di tengah-tengah atau diantara perhitungan iuran normal dengan mengunakan perhitungan dengan metode Projected Unit Credit dan Individual Level Premium.

19


Berdasarkan hasil perhitungan pembiayaan iuran normal setiap tahun, berikut ini diperoleh perbandingan hasil nilai akhir perhitungan iuran normal setiap tahunnya menggunakan tiga formula yang berbeda. Pada perhitungan ini diasumsikan bahwa setiap peserta yang memasuki program dana pensiun pada usia tahun dan masih hidup saat memasuki usia pensiun (berusia tahun). Berdasarkan perhitungan nilai akhir pembiayaan iuran normal, diperoleh total akhir pembiayaan iuran normal dengan Projected Unit Credit adalah sebesar Rp.12.695.636,-, sedangkan total nilai akhir pembiayaan iuran normal dengan mengunakan Entry Age Normal adalah sebesar Rp.5.896.427,-, dan total nilai akhir pembiayaan iuran normal dengan menggunakan formula kenaikan kostan adalah Rp.8.066.992,Penggunaan pembiayaan akhir menggunakan formula kenaikan iuran normal secara konstan, menghasilkan nilai akhir iuran yang lebih tinggi dibandingkan dengan Individual Level Premium dan lebih rendah dari nilai akhir iuran dengan menggunakan metode Projected Unit Credit. Oleh karena itu, perhitungan pembiayaan iuran normal dari sudut pandang peserta asuransi dapat memilih formula kenaikan iuran normal secara konstan. Dengan demikian, peserta pensiun tidak merasa terbebani dengan kenaikan iuran normal setiap tahunnya dikarenakan kenaikan yang terjadi setiap tahunnya selalu konstan.

ISSN: 2303-1751

2. Bilamana usia peserta program dana pensiun saat mengikuti program pensiun adalah 19 tahun dan usia pensiun pada kontrak ini adalah 55 tahun, dengan kenaikan premi sebesar 5% dari iuran normal awal. Adapun besar perbandingan premi adalah sebagai berikut, untuk iuran normal pada saat berusia 19 tahun sampai usia 28 tahun, tetapi untuk iuran normal pada saat berusia 29 tahun sampai usia 33 tahun dan untuk iuran normal pada saat berusia 34 tahun sampai usia satu tahun sebelum pensiun. Adapun saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya agar peneliti selanjutnya menggunakan asumsi tingkat suku bunga pembiayaan investasi yang berbeda. Selain itu, agar kontrak program dana pensiun yang selanjutnya dapat diperbaharui dengan kontrak program dana pensiun dimana peserta program dana pensiun tetap memperoleh pembiayaan usia tua (pensiun) pada saat peserta pensiun mengalami sesuatu kejadian dipertengahan sebelum mencapai usia pensiun. DAFTAR PUSTAKA [1]

Aitken, W. H 1994. A Problem Solving Approach to Pensiun Funding And Valuation. 2nd edition. Winsted: Actex Publications.

[2]

Futami, T. 1993a. Matematika Asuransi Jiwa Bagian I. Herliyanto, Gatot, penerjemah.Tokyo: oriental Life Insurance Cultural Development Center. Terjemahan dari: Seimei Hoken Sugaku, Jokan (“92 revision).

[3]

Futami, T. 1993b. Matematika Asuransi Jiwa Bagian II. Herliyanto, Gatot, penerjemah.Tokyo: oriental Life Insurance Cultural Development Center. Terjemahan dari: Seimei Hoken Sugaku, Jokan (“92 revision).

4. KESIMPULAN DAN SARAN Penelitian ini menunjukkan bahwa: 1. Formula model premi tidak konstan dengan kenaikan konstan pada tahun pertama adalah: ̈

dengan menyatakan besar iuran normal pada tahun pertama, sehingga besar premi pada tahun ke_ adalah:

[4] Nurcahyani, L. dan Endang W. 2014. Penentuan Model Premi dengan Metode Individual Level Premium Pada Asuransi. Jurnal. Fakultas Matematika. Universitas Brawijaya.

20



[5] Sembiring, R.K. 1986. Buku Materi Pokok Asuransi I. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Universitas Terbuka. [6] Winklevoss. 1993. Pengertian Dana Pensiun. http://wisuda.unud.ac.id. Diakses tangal 16 Juni 2015. [7]

Bower,et al.1997. Perhitungan Dana Pensiun dengan Metode Projected Unit Credit. http://download.portalgaruda.org. Diakses tangal 23 juli 2015.

21


ISSN: 2303-1751

PENERAPAN BOOTSTRAP DALAM METODE MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT (MCD) DAN LEAST MEDIAN OF SQUARES (LMS) PADA ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA Ni Putu Iin Vinny Dayanti§1, Ni Luh Putu Suciptawati2, Made Susilawati3 1

Jurusan Matematika Fakultas MIPA Jurusan Matematika Fakultas MIPA 3 Jurusan Matematika Fakultas MIPA 2

Universitas Udayana [Email: [email protected]] Universitas Udayana [Email: [email protected]] Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author

ABSTRACT Ordinary Least Squares (OLS) Method is a good method to estimate regression parameters when there is no violation in classical assumptions, such as the existence of outlier. Outliers can lead to biased parameters estimator, therefore we need a method that can may not affected by the existence of outlier such as Minimum Covariance Determinant (MCD) and Least Median of Squares (LMS). However, the application of this method is less accurate when it is used for small data. To overcome this problem, it was aplicated bootstrap method in MCD and LMS to determine the comparison of bias in parameters which were produced by both methods in dealing outlier in small data. The used bootstrap method in this study was the residual bootstrap that works by resampling the residuals. By using 95% and 99% confidence level and 5%, 10% and 15% outlier percentage, MCD-bootstrap and LMS-bootstrap give value of parameter estimators which were unbias for all percentage of outlier. We also found that the widht of range which produced by MCD-bootstrap method was shorter than LMS-bootstrap method produced. This indicates that MCD-bootstrap method was a better method than LMS-bootstrap method. Keywords: outliers, bias, robust, Minimum Covariance Determinant, Least Median of Squares, bootstrap residual

1.

PENDAHULUAN

Analisis regresi linier berganda merupakan analisis yang digunakan untuk menyelidiki hubungan linier antara dua atau lebih peubah prediktor terhadap peubah respon yang berskala minimal interval (Neter, et al [1]). Metode kuadrat terkecil (MKT) merupakan metode penduga parameter regresi yang baik bila tidak terjadi pelanggaran asumsi klasik, seperti adanya pencilan. Pencilan merupakan data yang pengamatannya berada jauh dari sekelompok data amatan lainnya yang menyebabkan penduga parameter bersifat bias (Neter, et al [1]). Metode yang bisa mengatasi pencilan yaitu Minimum Covariance Determinant (MCD) dan Least Median of Squares (LMS). Namun penggunaan metode MCD dan LMS kurang tepat apabila berhadapan

dengan data berukuran kecil. Penelitian ini dilakukan dengan menerapkan bootstrap pada kedua metode (MCD-bootstrap) dan (LMSbootstrap) untuk mengetahui perbandingan bias pada parameter yang dihasilkan dalam mengatasi pencilan pada data berukuran kecil. Metode bootstrap yang digunakan adalah bootstrap residual yang bekerja dengan meresampling sisaannya (residual) (Efron & Tibshirani [2]). Metode Minimum Covariance Determinant (MCD) memiliki prinsip kerja menggunakan vektor rataan dan matriks kovarians dengan membentuk subsampel yang berukuran dari sampel berukuran amatan yang matriks kovariansnya memiliki determinan terkecil (Hubert & Debruyne [3]). Nilai diperoleh dari: ⌊

⌋

(1)

22

Dayanti, N.P.I.V., Suciptawati, N.L.P., Susilawati, M.

Penerapan Bootstrap dalam Metode Minimum Covariance Determinant (MCD) dan Least Median of Squares…

Selanjutnya dicari vektor rataan dan matriks kovarians serta jarak mahalanobis kekar dengan menggunakan rumus (Hubert & Debruyne [3]): ∑ ∑

(2)

, )

√(

-,

- (3)

(

) (4)

Selanjutnya ditentukan Fast MCD (Rousseeuw [4]) yaitu terlebih dahulu dengan menentukan subsampel yang berukuran kemudian dapat dihitung nilai dan dengan misalkan sebagai dan serta menghitung determinan dari atau ( ). Jika ( ) maka dilanjutkan dengan menghitung nilai yang diurutkan dari terkecil hingga terbesar. Pada iterasi berikutnya yaitu akan diambil sebanyak pengamatan dengan jarak terkecil. Demikian seterusnya hingga mencapai konvergen ( ) ( ). Kemudian pilih himpunan yang memiliki determinan terkecil serta menghitung nilai dan . Maka selanjutnya data dapat diboboti dengan {

(

)

(

)

Sehingga dapat dibentuk matriks [

]

(

) (

) (5)

Least Median of Squares (LMS) merupakan metode yang bekerja dengan meminimalkan median (nilai tengah) dari kuadrat residual ( ) (Rousseeuw [5] yaitu: *

⌉

(7)

Kemudian pada iterasi ke-2 ( ) diambil pengamatan sejumlah dari dengan jarak nilai ( ) yang minimum. Demikian seterusnya sampai iterasi berakhir pada iterasi ke- yaitu saat Selanjutnya dapat dihitung bobot dengan rumus: |

{ dengan ̂

[

+

(6)

dilakukan pada urutan nilai residual kuadrat. Langkah awal metode LMS adalah menentukan kuadrat nilai error dari MKT sehingga diperoleh nilai . Selanjutnya dihitung nilai dengan rumus:

̂|

(8)

]√

maka dapat dibentuk matriks

(9) :

[

]

(10)

dengan entri matriks , dengan . Penduga parameter regresi LMS dapat dihitung dengan menggunakan rumus: ̂

(

) (

)

(11)

Langkah-langkah bootstrap residual (Efron &Tibshirani [2]) adalah menentukan nilai ̂ yang dihasilkan oleh model analisis regresi, selanjutnya dapat diperoleh nilai residual yaitu, ̂ . Selanjutnya mengambil sampel bootstrap berukuran dari secara acak dengan pengembalian, sehingga diperoleh sampel bootstrap pertama ( ). Kemudian hitung nilai bootstrap untuk dengan cara: ̂

Dan diperoleh penduga MCD ̂

⌈

(12)

Lebih lanjut lagi dihitung koefisien regresi untuk sampel bootstrap sehingga diperoleh ̂ . Iterasi terus dilakukan sampai pada batas replikasi yang diinginkan. 2. METODE PENELITIAN Penelitian ini menggunakan data simulasi melalui pembangkitan data berdistribusi normal dengan bantuan software R i386 3.1.3. Data ini terdiri dari sisaan dan dua peubah prediktor yang akan digunakan untuk menentukan peubah responnya. Persentase pencilan yang diberikan

23


sebesar 5%, 10% dan 15%. Serta dengan menggunakan alpha ( ) sebesar 0,05. Langkah pembangkitkan data yaitu dengan membangkitkan nilai sisaan ( ) berdistribusi ( ). Kemudian membangkitkan peubah ( ) dan ( ) sebanyak 40 amatan, dengan memisalkan , dan , akan diperoleh nilai dengan membentuk persamaan

ISSN: 2303-1751

memiliki nilai p-value < α, hal ini menunjukkan data dengan pencilan memiliki sebaran data yang tidak normal. B. Pendeteksian Multikolinearitas Untuk melihat masalah multikolinearitas maka dilakukan dengan melihat nilai korelasi yang dihasilkan antara peubah prediktor. Tabel 2. Korelasi Antarvariabel Variabel

. Pencilan yang dibangkitkan pada data sisaan dengan dan pada tiap persentase pencilan. Selanjutnya menghitung nilai yang sudah terkontaminasi pencilan. Kemudian dilakukan uji kenormalan, pendeteksian multikolinearitas, pemeriksaan pencilan dan dilanjutkan menganalisis dengan MKT. Langkah berikutnya menganalisis dengan metode MCD-Bootstrap yaitu menduga nilai dan dari matriks kovarian robust yang telah diperoleh dari penduga MCD. Resampling sisaan dengan bootstrap residual sebanyak 500 dan 1.000 kali dilakukan dengan menggunakan selang kepercayaan 95% dan 99%. Selanjutnya menganalisis dengan metode LMS-Bootstrap. Resampling sisaan yang diperoleh dari metode LMS dengan bootstrap residual sebanyak 500 dan 1.000 kali dan dilakukan dengan menggunakan selang kepercayaan 95% dan 99%. Kemudian membandingkan hasil yang diperoleh dengan MCD-bootstrap dan LMSbootstrap. 3.

HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Hasil Pengujian Asumsi Kenormalan Data Dengan Uji Anderson-Darling Berdasarkan hasil pengujian asumsi kenormalan dapat dilihat pada tabel 1 berikut: Tabel 1. Uji Kenormalan Data Persentase pencilan Data awal (tanpa pencilan) 5% 10% 15%

p-value

Keterangan

0,780

Normal

0,03635 <0,005 <0,005

Tidak normal Tidak normal Tidak normal

Hasil uji kenormalan pada Tabel 1, data dengan pencilan sebesar 5%, 10% serta 15%

Y 0,309 0,052 0,873 0,000

0,161 0.321

Dari Tabel 2 dapat dilihat bahwa nilai korelasi yang dihasilkan pada dan sebesar -0,161 yang menunjukkan peubah dan memiliki hubungan yang berlawanan arah namun tidak terjadi masalah multikolinearitas. C. Pemeriksaan Pencilan atau Outlier Pemeriksaan pencilan dilakukan dengan menggunakan Robust Distance ( ) lalu membandingkannya dengan nilai chi-square. Dalam pemeriksaan menggunakan diperoleh hasil seperti pada Tabel 3: Tabel 3.

Data 40

Pemeriksaan Pencilan dengan Robust Distance ( )

Persentase pencilan 5% 10% 15%

Data pengamatan keoutlier orthogonal bad leverage 1, 2, 3, 4, 5, 6 31 1, 2, 4, 7, 18, 23, 25 3, 31 3, 7, 18, 23 1, 2, 31

Banyak pencilan 7 9 7

Tabel 3 menunjukkan hasil pemeriksaan pencilan yaitu dengan persentase pencilan 5% terdeteksi 7 pengamatan sebagai pencilan dan 9 pengamatan yang merupakan pencilan pada persentase 10% dan pada peresentase 15% terdeteksi 7 pengamatan sebagai pencilan. Pencilan yang terdeteksi merupakan jenis outlier orthogonal maupun bad leverage. D. Analisis Data dengan Metode Kuadrat Terkecil (MKT) Analisis data dengan MKT akan menggunakan selang kepercayaan 95% dan 99%.

24

Dayanti, N.P.I.V., Suciptawati, N.L.P., Susilawati, M.

Penerapan Bootstrap dalam Metode Minimum Covariance Determinant (MCD) dan Least Median of Squares…

Tabel 4. Penduga Parameter dengan MKT Jumlah Parameter Estimasi Pencilan Data tanpa pencilan 5% 10% 15%

0.9752 1.0608 1.3865 1.0591 1.4079 1.1412 1.4283 1.1854

Selang Kepercayaan 95%

Selang Kepercayaan 99%

Selang Kepercayaan

Selang Kepercayaan

Ket

Ket

0.8514-1.0991 Tidak bias 0.8092-1.1412 Tidak bias 0.9952-1.1265 Tidak bias 0.9729-1.1488 Tidak bias 0.9669-1.1462 Bias 0.9059-1.3255 Bias 0.9641-1.1541 Tidak bias 0.9317-1.1864 Tidak bias 0.9021-1.1182 Bias 0.8286-1.3344 Bias 0.8732-0.9877 Bias 0.8343-1.0229 Bias 0.8549-1.0999 Bias 0.7715-1.3449 Bias 0.8816-1.0114 Bias 0.8375-1.1413 Bias

Karena nilai penduga penduga parameter dan yang dihasilkan oleh MKT bersifat tidak bias hanya saat pencilan 5% untuk , hal ini berarti MKT mengalami bias saat adanya pencilan. Maka akan dilanjutkan dengan menganalisis dengan metode Minimum Covariance Determinant (MCD)-Bootstrap dan Least Median of Squares (LMS)-Bootstrap. E. Analisis Data dengan Metode Minimum Covariance Determinant (MCD)-Bootstrap Berdasarkan hasil analisis dengan metode MCD-bootstrap dengan resampling 500 dan 1000 kali dapat dilihat pada Tabel 5 dan 6 adalah berikut: Tabel 5. Pendugaan parameter dengan metode MCD-bootstrap dengan B=500 kali resampling Selang Kepercayaan 95% Selang Kepercayaan 99% Estimasi Selang Selang Ket Ket Kepercayaan Kepercayaan 1.0929 0.9871-1.1938Tidak bias 1.0908 0.9592-1.2217Tidak bias 0.9676 0.9031-1.0368Tidak bias 0.9693 0.8841-1.0558Tidak bias 1.1929 1.0706-1.3156Tidak bias 1.1958 1.0243-1.3620Tidak bias 0.9065 0.8275-0.9874Tidak bias 0.905 0.7970-1.0179Tidak bias 1.1406 1.0014-1.2722Tidak bias 1.1366 0.9587-1.3149Tidak bias 0.9436 0.8593-1.0355Tidak bias 0.9466 0.8325-1.0623Tidak bias

Jumlah Parameter Estimasi Pencilan 5% 10% 15%

Tabel 6.

Pendugaan parameter dengan metode MCD-bootstrap dengan B=1000 kali resampling

Jumlah Parameter Estimasi Pencilan 5% 10% 15%

1.0897 0.9698 1.1919 0.9074 1.1354 0.9471

Selang Kepercayaan 95% Selang Ket Kepercayaan 0.9879-1.1930 Tidak bias 0.9031-1.0369 Tidak bias 1.0723-1.3139 Tidak bias 0.8287-0.9862 Tidak bias 1.0050-1.2686 Tidak bias 0.8618-1.0330 Tidak bias

Estimasi 1.091 0.9689 1.1937 0.9063 1.1396 0.9443


MCD-bootstrap bersifat tidak bias dengan resampling 500 maupun 1000 kali. Hal ini berarti bahwa penduga parameter dan yang dihasilkan oleh metode bootstrap residual berada di dalam selang kepercayaan 95% dan 99%. F. Analisis Data dengan Metode Least Median of Squares (LMS)-Bootstrap Berdasarkan hasil analisis dengan metode LMS-bootstrap dengan resampling 500 dan 1000 kali dapat dilihat pada Tabel 7 dan 8 adalah berikut: Tabel 7. Pendugaan parameter dengan metode Least Median of Squares (LMS)Bootstrap dengan 500 kali resampling Jumlah Parameter Estimasi Pencilan 5% 10% 15%

0.9122 1.0854 0.908 1.0924 0.9264 1.0827


Estimasi 0.9079 1.088 0.9086 1.0915 0.9334 1.0781


Tabel 8. Pendugaan parameter dengan metode Least Median of Squares (LMS)Bootstrap dengan 1000 kali resampling Jumlah Parameter Estimasi Pencilan 5% 10% 15%

0.9102 1.0866 0.9073 1.0927 0.9314 1.0796

Selang Kepercayaan 95% Selang Kepercayaan 99% Estimasi Selang Selang Ket Ket Kepercayaan Kepercayaan 0.8456-1.0595 Tidak bias 0.9062 0.8174-1.0877 Tidak bias 1.0386-1.1775 Tidak bias 1.0891 1.0201-1.1960 Tidak bias 0.8282-1.0941 Tidak bias 0.9132 0.7947-1.1276 Tidak bias 1.0302-1.2027 Tidak bias 1.0889 1.0086-1.2243 Tidak bias 0.6832-0.9611 Tidak bias 0.9316 0.6341-1.0102 Tidak bias 0.9436-1.1237 Tidak bias 1.0792 0.9122-1.1551 Tidak bias

Dari Tabel 7 dan 8 diperoleh bahwa dengan menganalisis menggunakan metode LMSbootstrap, selang kepercayaan 95% dan 99% dapat mencakup nilai parameternya. Hal ini berarti hasil yang diperoleh dengan metode LMS-bootstrap, nilai penduga parameter dan bersifat tidak bias.

Dari Tabel 5 dan 6 diperoleh bahwa penduga parameter yang dihasilkan oleh metode

25


G. Perbandingan hasil MCD-Bootstrap dan LMS-Bootstrap Perbandingan hasil analisis dengan metode MCD-bootstrap dan LMS-bootstrap dapat dilihat pada Tabel 9 dan 10 adalah berikut: Tabel 9. Lebar selang pada selang kepercayaan 95% untuk dan pada metode MCD-bootstrap dan LMS-bootstrap Parameter

Persentase Pencilan 5% 10% 15% 5% 10% 15%

Metode

MCD-bootstrap B= 500 0.2067 0.2449 0.2707 0.1337 0.1598 0.1762

B= 1000 0.205 0.2415 0.2635 0.1338 0.1574 0.1712

LMS-bootstrap B= 500 B= 1000 0.2102 0.2138 0.2512 0.2658 0.2935 0.2778 0.1367 0.1389 0.1629 0.1725 0.1914 0.18

Tabel 10. Lebar selang pada selang kepercayaan 99% untuk dan pada metode MCD-bootstrap dan LMS-bootstrap Persentase Parameter Pencilan 5% 10% 15% 5% 10% 15%

Metode

MCD-bootstrap B= 500 0.2625 0.3376 0.3562 0.1716 0.2208 0.2297

B= 1000 0.2644 0.3078 0.3588 0.1718 0.2008 0.2333

LMS-bootstrap B= 500 B= 1000 0.2895 0.2703 0.3371 0.3329 0.3737 0.3761 0.1877 0.1759 0.2185 0.2157 0.2419 0.2428

ISSN: 2303-1751

DAFTAR PUSTAKA [1] Neter, J., Wasserman, W., & Kutner, M. 1997. Model Linier Terapan Buku II: Analisis Regresi Linier Sederhana. (Terjemahan Bambang Sumantri). Bandung: Jurusan FMIPA-IPB. [2] Efron, B., & Tibshirani, R.J. 1993. An Introduction to the Bootstrap. New York London: Chapman & Hall. [3] Hubert, M., & Debruyne, M. 2009. Minimum Covariance Determinant. WIREs Computational Statistics 2010, pp 36-43. [4] Rousseeuw, P.J. 1999. Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics, august 1999. Vol. 41, No. 3 American Statistical Association and the American Society for Quality, pp.212-223. [5] _____________,1984. Least Median of Squares Regression. Journal of the American Statistical Association, pp. 871880.

Dari Tabel 9 dan 10 menunjukkan bahwa dengan selang kepercayaan 95% dan 99%, metode MCD-bootstrap menghasilkan nilai lebar selang yang lebih kecil dibandingkan metode LMS-bootstrap untuk semua persentase pencilan pada dan . 4. KESIMPULAN Metode MCD-bootstrap maupun LMSbootstrap merupakan metode yang baik dalam menduga nilai parameter saat data mengandung pencilan. Pada selang kepercayaan 95% dan 99%, metode MCD-bootstrap dan LMSbootstrap menghasilkan nilai penduga parameter yang bersifat tidak bias untuk seluruh persentase pencilan. Karena lebar selang kepercayaan yang dihasilkan metode MCD-bootstrap lebih pendek dibanding metode LMS-bootstrap, maka dapat dikatakan metode MCD-bootstrap lebih akurat.

26


ISSN: 2303-1751

DUL

PENENTUAN HARGA OPSI DAN NILAI HEDGE MENGGUNAKAN PERSAMAAN NON-LINEAR BLACK-SCHOLES Putu Ayu Deni§1, Komang Dharmawan2, G. K. Gandhiadi3 1

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author

2

ABSTRACT Option are contracts that give the right to sell and buy the asset at a price and a certain period of time. In addition investors use option as a means of hedge against asset owned. Many methods are used to determine the price of option, one of them by using the Black-Scholes equation. But its use these in the assumption that the value for the constant volatility. On market assumption are not appropriates, so many researchers proposed using a volatility calculation option that is non-constant Black-Scholes equation modelled using the volatility is not constant in the range so as to produce a non-linear equation of Black-Scholes. In addition to determine the value of hedge ratio. On completions of this study, for the numerical solution of non-linear Black-Scholes equation using method of explicit finite difference scheme. Option use in research us a stock YAHOO!inc. as the underlying asset. The result showed that the price of the option is calculated using non-linear BlackScholes equation price close on the market. Therefore, it can produce hedge ration for a risk-free portfolio containing of the option and stock. Keywords: Black-Scholes, Implied Volatility, non-linear Black-Scholes, hedge ration, finite difference methods, explicit scheme 1. PENDAHULUAN Perkembangan investasi ditunjukan dengan munculnya berbagai macam alternatif instrumen investasi salah satunya adalah opsi. Opsi merupakan kontrak yang memberikan hak untuk membeli atau menjual aset pada harga dan jangka waktu tertentu. Opsi kerap digunakan oleh investor sebagai sarana untuk melakukan lindung nilai (hedging) terhadap aset yang dimiliki. Terdapat berbagai cara yang dapat dilakukan dalam menghitung harga opsi, salah satu cara yang sering digunakan dalam dunia keuangan adalah model Black-Scholes. Dengan asumsi nilai volatilitas yang konstan, penerapan persamaan Black-Scholes ini dianggap belum sesuai dengan keadaan nyata dalam pasar keuangan. Pada pasar, nilai volatilitas memiliki kecenderungan tidak konstan. Sehingga model diturunkan menggunakan persamaan diferensial

stokastik yang mengasumsikan diketahui adanya rentang dalam nilai volatilitas. Model tersebut mengubah asumsi bahwa volatilitas yang dianggap konstan diubah menjadi tidak konstan sehingga dapat ditentukan nilai opsinya. Selanjutnya akan ditentukan nilai hedge ratio menggunakan model Non-Linear Black-Scholes. 2. TINJAUAN PUSTAKA A. Persamaan Klasik Black-Scholes Dalam sebuah opsi terdapat nilai yang merupakan fungsi dari berbagai macam parameter, ditulis . Dengan , merupakan harga dari underlying asset; adalah waktu ; adalah drift dari ; merupakan strike price; adalah batas waktu akhir opsi; dan bunga bebas risiko (Qiu & Lorenz [3]). Asumsi dasar dari model klasik

27

Penentuan Harga Opsi Dan Nilai Hedge Menggunakan…

Deni, P.A., Dharmawan, K., Gandhiadi, G.K.

Black-Scholes mengikuti: 1. Tingkat suku bunga bebas risiko diketahui konstan, harga dari underlying asset mengikuti log-normal random walk 2. Drift dan volatilitas diketahui konstan 3. Saham tidak membayarkan dividen 4. Tipe opsi adalah opsi Eropa Diberikan merupakan portofolio dari nilai opsi dan sebagai ukuran dari underlying asset (1) Dengan mengikuti asumsi bahwa harga dari underlying asset mengikuti log-normal random walk (2) Perubahan harga saham dapat dimodelkan dengan menggunakan lemma Ito. Dimisalkan , suatu peubah yang bergantung pada perubahan harga saham dan waktu. Apabila harga saham mengikuti persamaan (2) maka diperoleh (3) Sehingga portofolio berubah menjadi

(

)

(

)

(8)

Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan sehingga dapat ditulis kembali dengan (9) B. Persamaan Non-Linear Black-Scholes Dalam perkembangannya model dari volatilitas yang tidak pasti sangat populer dan menarik (Zhang & Wang [5]). Asumsi yang mendasari model BlackScholes akan dimodifikasi dalam parameter volatilitas , dalam hal ini akan difokuskan pada asumsi volatilitas yang konstan. Pada volatilitas yang tidak konstan merupakan variabel stokastik yang tidak pasti. Terdapat dua cara untuk mencari nilai volatilitas yaitu dengan cara implied dan historical (Qiu & Lorenz [3]). Misalkan volatilitas terletak dalam rentang (10) Akan diasumsikan bahwa volatilitas terdapat pada selang waktu tertentu yang akan memberikan keuntungan atau kerugian pada batas waktu jatuh tempo.

(4) Selanjutnya diperoleh

Pada persamaan (4) akan mengeleminasi risiko dengan menggunakan delta hedging, sehingga dipilih (5) Dengan menggunakan persamaan (5) maka perubahan nilai portofolio menjadi (

)

(6)

Dengan asumsi dari arbitrage-free market, perubahan akan sama dengan pertumbuhan dari dalam asset yang mendapat bunga bebas risiko sehingga (

)

( (

)

)

Sekarang akan diamati bahwa volatilitas akan dikalikan dengan gamma opsi tersebut. Oleh karena itu nilai akan memberikan nilai minimum atau maksimum tergantung pada nilai gamma. Ketika gamma positif dipilih menjadi nilai terendah dan ketika gamma bernilai negatif dipilih menjadi nilai terbesar . Diperoleh untuk kasus terburuk dengan fungsi memenuhi

(7)

Dengan mensubstitusi persamaan (6) ke dalam (7), didapat persamaan diferensial BlackScholes sebagai berikut

28


dengan

ISSN: 2303-1751

Selanjutnya didefinisikan titik grid sepajang jarak dan pada sumbu waktu un uk un uk

dan {

ka ka

Persamaan (12) dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut

Untuk selanjutnya dapat diperoleh opsi terbaik dengan fungsi dan range yang yang diperoleh memenuhi

(13) Dari persamaan (13), diperoleh (

)

(

)(

)

dengan

Untuk mencegah terjadinya osilasi, kondisi tersebut harus memenuhi dan {

(

ka ka

3. METODE PENELITIAN

C. Solusi Numerik dengan Metode Beda Hingga Pada kasus dengan satu aset akan dicari solusi numerik dengan menggunakan metode beda hingga. Dalam penelitian ini digunakan skema eksplisit dengan pendekatan pada persamaan diferensial Black-Scholes. Selanjutnya dapat ditulis persamaan BlackScholes sebagai berikut (11) untuk

dengan syarat awal

dan syarat batas

Selanjutnya persamaan (11) dapat ditulis sebagai

dengan kondisi awal (

)

) (12)

Jenis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder berupa data harga opsi dari Yahoo! Inc (YHOO) dengan periode pada waktu jatuh tempo pada bulan September 2015. Dalam penelitian ini mengambil data harga opsi dari http://finance.yahoo.com// Metode pengumpulan data yang dilakukan dalam penelitian tugas akhir ini adalah dengan observasi data sekunder harga opsi. Disamping itu, studi literatur juga dilakukan yaitu membaca dan mencatat data serta informasi dari buku, jurnal, dan skripsi guna mendapatkan pengetahuan tambahan mengenai hal-hal yang terkait dalam penyusunan tugas akhir ini. Langkah-langkah penentuan harga opsi dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mencari dan menentukan data opsi Data yang digunakan adalah data harga opsi put dan call dalam periode Juli-Setember 2015. Data opsi tersebut dapat ditemukan dalam alamat web http://finance.yahoo.com/q/op?s=YHOO+O ptions. 2. Menentukan parameter dan variabel. Pada penelitian ini akan digunakan implied volatilitas sebagai parameter volatilitas, yang terdapat pada daftar harga opsi. Langkah selanjutnya mencari variabel-

29

Deni, P.A., Dharmawan, K., Gandhiadi, G.K.

variabel yang diperlukan untuk menghitung opsi, yaitu (harga saham awal), T (waktu jatuh tempo opsi), K (harga eksekusi opsi), r (suku bunga bebas risiko), dan harga maksimum (S plus) dan minimum (S minus) yang diperoleh dari data opsi. 3. Solusi numerik untuk persamaan diferensial Black-Scholes tak linier. Dalam penelitian ini persamaan diferensial akan diselesaikan menggunakan skema eksplisit, dengan kondisi yang bersyarat yaitu (

)

{

dengan gamma

Skema ini akan diselesaikan dengan algoritma dari solusi numerik pada persamaan (11) dan (12) (Dharmawan, K. [1]) Untuk

dan

(1) Masukkan nilai awal {

}

Penentuan Harga Opsi Dan Nilai Hedge Menggunakan…

Untuk menghitung nilai hedge ratio diselesaikan mengikuti langkah berikut untuk i. Lakukan langkah berikut untuk

ii. Lakukan langkah diatas untuk a a engan 4. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Implementasi Persamaan Non-linear Black-Scholes Pada penelitian ini digunakan volatilitas yang tidak konstan. Pada persamaan klasik Black-Scholes dimodelkan kedalam bentuk persamaan non-linear Black-Scholes dengan menggunakan pendekatan solusi numerik. Solusi numerik diselesaikan menggunakan metode beda hingga dengan skema eksplisit. Hasil implementasi berikut menggunakan input yaitu, , , , , , , , , dan . Dengan menggunakan algoritma , diperoleh grafik sbagai berikut

(2) Definisikan titik grid dengan melakukan langkah-langkah berikut untuk i. Masukkan nilai ii. Lakukan langkah berikut untuk a a iii. Cari nilai

dengan

iv. Jika

maka dipilih nilai ⁄ dengan , jika tidak maka dipilih nilai ⁄ dengan nilai v. Selanjutnya hitung nilai

(3) Lakukan langkah yang sama seperti langkah no 2 dengan sampai dengan 4. Mencari hedge ratio Dalam mencari hedge akan digunakan turunan kedua dari persamaan (5) dengan mengikuti algoritma berikut.

Pada gambar di atas dengan harga tebus (K) sebesar 47,00, digunakan nilai opsi dengan volatilitas yang berada pada rentang dengan nilai sebesar 6,032. Dari hasil diatas, dengan harga saham yang ditawarkan sebesar 52 dan para pemegang opsi menyepakati harga tebus atau harga kesepakatan sebesar 47,00 maka diperoleh harga opsi sebesar 6,032. Harga ini dipilih karena harga tersebut didapat dengan

30


ISSN: 2303-1751

menggunakan volatilitas tidak konstan yang sesuai dengan keadaan pasar.

5. KESIMPULAN DAN SARAN

B. Implementasi dalam Penentuan Nilai Hedge Ratio

Perhitungan opsi menggunakan persamaan non-linear Black-Scholes menghasilkan harga opsi yang ideal karena sesuai dengan keadaan pasar yang bergerak dengan volatilitas yang tidak konstan. Dengan menggunakan volatilitas antara 20% dan 30% diperoleh harga opsi sebesar 6,032. Dari perhitungan untuk nilai hedge ratio diperoleh rasio untuk portofolio yaitu proporsi untuk underlying asset dan opsi sehingga diperoleh portofolio yang bebas risiko dengan rasio sebesar 49,6% dan underlying asset 50,4% pada harga tebus sebesar 47.

Hedge ratio adalah tingkat perubahan ratarata nilai opsi terhadap harga saham. Berdasarkan definisi dan dengan menggunakan model Black-Scholes didapat rasio lindung nilai terdapat pada persamaan (5). Dengan nilai adalah total dari nilai opsi dalam portofolio, yaitu jumlah semua nilai opsi dalam portofolio. Hedge ratio menujukkan bahwa ada kemungkinan membuat portofolio yang bebas resiko yang terdiri dari opsi dan saham. Nilai hedge ratio akan hitung menggunakan persamaan non-linear Black-Scholes,yang akan diselesaikan dengan algortima sehingga diperoleh grafik sebagai berikut

A. Kesimpulan

B. Saran Pada penelitian ini menggunakan opsi dengan tipe Eropa, untuk pengembangan penelitian diharapkan dapat menggunakan opsi dengan tipe Amerika dan tipe Barier. Pada penghitungan harga opsi dengan tipe Eropa dapat disertakan deviden. DAFTAR PUSTAKA [1] Dharmawan, K. (2005). Supperreplication Method for Multi-asset Barrier Options. Ph.D. Thesis. University of New South Wales Library, Sydney. [2] Husnan, S. (1998). Dasar-Dasar Teori Portofolio. Yogyakarta: UPP AMP YKPM.

Dari gambar diatas menunjukkan bahwa harga opsi dengan delta hedging diperoleh sebesar 0,496 sehingga diperoleh besaran rasio hedge utuk opsi 49,6% sedangkan untuk saham 50,4% sehingga terbentuk portofolio yang terdiri dari aset yang berisiko dan yang bebas risiko.

[3] Qiu, Y., & Lorenz, J. (2009). A Non-Linier Black-Scholes Equation. Int. J. Business Perform and Supply Chain Modelling, vol.1, pp.33-40. [4] Willmot, P. (1998). The Theory and Practice of Financial Engineering. New York: John Wiley & Sons. [5] Zhang, K., & Wang, S. (2009). A Computational Scheme for Uncertain Volatility Model in Option Pricing. IMACS, 1754-1767.

31


ISSN: 2303-1751

PENENTUAN CADANGAN PREMI UNTUK ASURANSI JOINT LIFE Ni Luh Putu Ratna Dewi§1, I Nyoman Widana2, Desak Putu Eka Nilakusmawati3 1

Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] 3 Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: [email protected]] § Corresponding Author 2

ABSTRACT Premium reserve is a number of fund that need to be raised by insurance company in preparation for the payment of claims. This study aims to get the formula of premium reserve as well as the value of the premium reserve for joint life insurance by using retrospective calculation method. Joint life insurance participants in this study are limited to 2 people. Calculations in this study is using Indonesian Mortality Table (TMI) 2011, joint life mortality tables, commutation tables, value of annuities, value of single premiums and constant annual premium and using constant interest rates of 5%. The results showed that by using age of the participant insurance joint life of x = 50 and y = 45 years and the premium payment period of t = 10 years, we obtained that the value of premium reserve from the end of the first year until the end of the 11th year has increased every year, while the value of premium reserves from the end of the 12th year and so on until a lifetime has decreased every year.

Keywords: Joint Life Insurance, Premium Reserve, Retrospective 1.

PENDAHULUAN

Asuransi jiwa dilihat dari jumlah tertanggungnya dapat dibagi menjadi dua yaitu asuransi jiwa tunggal dan asuransi jiwa gabungan. Asuransi jiwa gabungan salah satunya adalah asuransi joint life. Asuransi joint life merupakan asuransi yang menanggung dua jiwa atau lebih dalam satu polis asuransi. Dalam asuransi jiwa, tertanggung akan diberikan sejumlah uang yang disebut santunan atau uang pertanggungan yang akan diberikan oleh perusahaan asuransi. Tertanggung juga mempunyai kewajiban kepada perusahaan asuransi jiwa untuk membayar premi. Premi yang telah terkumpul di perusahaan asuransi jiwa nantinya akan digunakan oleh perusahaan asuransi jiwa untuk membayar uang pertanggungan. Dalam jangka waktu tertentu, pendapatan yang diperoleh perusahaan asuransi dari premi beserta bunganya biasanya akan jauh lebih besar dari jumlah uang pertanggungan yang harus dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada pihak tertanggung. Kelebihan

dana inilah yang kemudian disimpan sebagai cadangan premi. Cadangan premi ini nantinya akan digunakan untuk membayar uang pertanggungan apabila terjadi klaim dan premi tidak mencukupi untuk membayar uang pertanggungan tersebut sehingga perusahaan asuransi tidak kesulitan untuk membayarnya. Menurut Destriani & Mara [2], perusahaan asuransi jiwa tidak sedikit yang mengalami kerugian yang disebabkan karena perusahaan tersebut tidak tepat dalam mengatur cadangan preminya. Akibatnya, perusahaan asuransi tidak mampu membayar uang pertanggungan kepada pihak tertanggung ketika jumlah klaim yang diajukan pihak tertanggung ternyata melebihi jumlah klaim yang telah diprediksi sebelumnya. Keadaan ini dapat diantisipasi jika perusahaan asuransi jiwa memiliki dana cadangan premi yang telah disiapkan dan dihitung dengan tepat. Salah satu metode perhitungan cadangan premi bersih adalah metode perhitungan secara retrospektif. Perhitungan secara retrospektif

32

Ratna Dewi, N.L.P., Widana, I N., Nilakusmawati, D.P.E.

Penentuan Cadangan Premi Untuk Asuransi Joint Life

merupakan perhitungan cadangan premi berdasarkan jumlah total pendapatan di waktu yang lampau sampai dilakukan perhitungan cadangan, dikurangi dengan jumlah pengeluaran di waktu yang lampau (Futami [3]). Pada penelitian ini, akan dicari formula cadangan premi bersih tahunan pada asuransi joint life dengan menggunakan metode perhitungan cadangan premi secara retrospektif, dan untuk perhitungan premi tahunan pada penelitian ini akan dihitung dengan menggunakan formula premi tahunan konstan untuk asuransi joint life yang telah diteliti oleh (Matvejevs & Matvejevs [5]). Peluang gabungan dari dua orang yang berusia x dan y tahun akan tetap hidup selama t tahun dinotasikan dengan dirumuskan sebagai berikut:

Premi tunggal pure endowment joint life untuk peserta yang berusia x tahun dan y tahun, dengan jangka waktu tertanggung t tahun dan besar uang pertanggungan adalah Rp. 1, dalam (Futami [4]) dirumuskan sebagai berikut:

(1) Peluang dua orang berusia x dan y yang meninggal dalam jangka waktu t tahun dinotasikan dengan , (Futami [4]) dan dirumuskan sebagai berikut:

(5)

⌉

Premi tunggal asuransi berjangka joint life menurut (Matvejevs & Matvejevs [5]) dirumuskan sebagai berikut: ∑ (6) ⌉ Premi tunggal anuitas menaik pada asuransi joint life dalam (Futami [4]) dirumuskan sebagai berikut: (7) ⌉

∑

Menurut (Matvejevs & Matvejevs [5]) nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dirumuskan sebagai berikut: Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan konstan pada joint life dapat dinyatakan sebagai (

Anuitas awal pada anuitas yang ditunda dengan jangka waktu penundaan t tahun, (Futami [3]) dirumuskan sebagai berikut:

| ̈

̈

)

⌉

(8)

Nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dinyatakan sebagai |

∑∑

(3)

Nilai sekarang anuitas awal dari anuitas hidup berjangka joint life apabila x dan y tetap hidup, dalam (Futami [4]) dirumuskan sebagai berikut:

|

∑∑

⌉

| ̈

̅|

| ̈

̈

(9) ⌉

(4)

⌉

∑

Dengan menggunakan prinsip ekivalensi, besar preminya adalah ̈

⌉

⌉

| ̈

| ̈ ⌉

33


sehingga besarnya premi tahunan yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi adalah | ̈

̅̅̅|

̈

⌉

| ̈ ⌉

(10) 2. METODE PENELITIAN Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder yang bersumber dari Matvejevs & Matvejevs [5]. Data sekunder yang digunakan adalah usia awal peserta pada saat mengikuti kontrak asuransi joint life, masa pertanggungan asuransi, tingkat bunga, formula premi tahunan konstan asuransi joint life. Pada penelitian ini juga menggunakan Tabel Mortalitas Indonesia (TMI) 2011. Langkah-langkah dalam proses penelitian ini adalah: (1) Menentukan formula cadangan premi tahunan pada asuransi joint life dengan perhitungan cadangan premi secara retrospektif; (2) Menghitung nilai dari tabel mortalitas joint life berdasarkan Tabel Mortalitas Indonesia (TMI) 2011; (3) Menghitung nilai tunai pembayaran untuk tingkat bunga; (4) Menghitung nilai dari tabel komutasi tunggal; (5) Menghitung nilai anuitas awal dari anuitas hidup yang ditunda; (6) Menghitung nilai premi tunggal pure endowment, nilai premi tunggal asuransi berjangka joint life, nilai premi tunggal anuitas menaik pada asuransi joint life. (7) Menghitung nilai premi tahunan konstan pada asuransi joint life; (8) Menghitung nilai cadangan premi tahunan pada asuransi joint life menggunakan formula yang telah didapat pada langkah pertama. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Formula Cadangan Premi Tahunan Asuransi Joint Life Kontrak asuransi joint life ini melibatkan pasangan suami-istri dengan usia berturutturut x tahun dan y tahun dengan uang pertanggungan sebagai berikut: (a) Apabila kedua peserta asuransi joint life (x dan y)

ISSN: 2303-1751

masih hidup sampai kontrak berakhir maka akan diberikan uang pertanggungan sebesar dan kontrak asuransi berakhir; (b) Apabila salah satu peserta asuransi joint life meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir, misalkan x meninggal, maka pembayaran premi dihentikan dan pada akhir tahun kematian dari x akan diberikan uang sejumlah premi yang telah dibayarkan kepada pasangannya yang masih hidup. Apabila pasangannya yaitu y masih tetap hidup diakhir kontrak, maka y akan diberikan uang sebesar setiap tahunnya selama seumur hidup. Begitu juga sebaliknya, apabila y meninggal dunia maka x yang akan diberikan uang sebesar setiap tahunnya selama seumur hidup. Namun apabila pasangannya juga meninggal sebelum masa kontrak berakhir maka tidak ada pembayaran uang pertanggungan lagi; (c) Apabila x dan y keduaduanya meninggal ditahun yang sama sebelum kontrak berakhir maka uang pertanggungan sejumlah premi yang telah dibayarkan akan diberikan kepada ahli warisnya dan kontrak asuransi berakhir. Berdasarkan kontrak asuransi tersebut maka diperoleh formula cadangan premi untuk asuransi joint life dengan metode perhitungan secara retrospektif adalah sebagai berikut: Cadangan premi akhir tahun pertama adalah sebagai berikut: (

)

dengan merupakan premi bersih tahunan yang dibayarkan pada permulaan tahun pertama yang dibungakan selama setahun kemudian dikurangi dengan yang merupakan uang pertanggungan yang dibayarkan pada akhir tahun pertama. Selanjutnya untuk lebih memudahkan penulisannya, dimisalkan ( ) dengan dan merupakan lamanya masa pembayaran premi atau lamanya kontrak asuransi sehingga cadangan premi akhir tahun kedua adalah sebagai berikut:

34


dengan merupakan seluruh dana yang berasal dari tahun pertama kemudian ditambahkan dengan premi pada tahun kedua yaitu . Keduanya kemudian dibungakan selama setahun lalu dikurangi dengan ( ) yang merupakan uang pertanggungan yang dibayarkan pada akhir tahun kedua. Selisih tersebut kemudian dibagi dengan . Selanjutnya cadangan akhir tahun ketiga sampai akhir tahun kemenggunakan formula yang sama seperti cadangan akhir kedua.

(

)

Selanjutnya cadangan premi akhir tahun keberbeda dengan cadangan premi akhir tahun ke-t karena pada tahun kesudah tidak ada pembayaran premi lagi. Dimisalkan ( ) dengan sehingga cadangan akhir tahun keadalah sebagai berikut (

(

) (

)

meninggal sebelum akhir tahun kedan masih tetap hidup sampai akhir tahun kelalu dibungakan selama setahun. Selisih tersebut kemudian dibagi dengan . Selanjutnya cadangan premi akhir tahun keadalah sebagai berikut: (

) (

(

)

)

dengan merupakan seluruh dana yang berasal dari tahun keyang dibungakan selama setahun lalu dikurangi dengan ( ) yaitu uang pertanggungan yang diberikan apabila meninggal sebelum akhir tahun kedan masih tetap hidup sampai akhir tahun kelalu dibungakan selama setahun, dan ( ) yaitu uang pertanggungan yang diberikan apabila meninggal sebelum akhir tahun kedan masih tetap hidup sampai akhir tahun kelalu dibungakan selama setahun. Selisih tersebut kemudian dibagi dengan . Cadangan premi akhir tahun kedan seterusnya sampai seumur hidup dicari dengan menggunakan formula yang sama seperti pada cadangan premi akhir tahun ke. 3.2 Contoh Kasus

) (


)

dengan seluruh dana yang berasal dari tahun ke-t kemudian dibungakan selama setahun lalu dikurangi dengan ( ) yaitu uang pertanggungan yang diberikan apabila dan masih tetap hidup sampai akhir tahun keyang dibungakan selama setahun. ( ) yaitu uang pertanggungan yang diberikan apabila meninggal sebelum akhir tahun kedan masih tetap hidup sampai akhir tahun kelalu dibungakan selama setahun, ( ) yaitu uang pertanggungan yang diberikan apabila

Usia peserta mulai mengikuti asuransi dalam kasus ini yaitu usia suami adalah 50 tahun sedangkan untuk usia istri adalah 45 tahun dengan masa pembayaran premi adalah tahun. Tingkat suku bunga yang digunakan dalam kasus ini adalah konstan yaitu sebesar 5%. Rincian uang pertanggungan yang diberikan perusahaan asuransi kepada peserta asuransi joint life adalah sebagai berikut: (a) Apabila kedua peserta asuransi joint life (x dan y) masih hidup sampai kontrak berakhir maka akan diberikan uang pertanggungan sebesar Rp.1 dan kontrak asuransi berakhir; (b) Apabila salah satu peserta asuransi joint life meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir, misalkan x meninggal, maka

35


pembayaran premi dihentikan dan pada akhir tahun kematian dari x akan diberikan uang sejumlah premi yang telah dibayarkan kepada pasanganya yang masih hidup. Apabila pasangannya yaitu y masih tetap hidup diakhir kontrak, maka y akan diberikan uang sebesar Rp.1 ( setiap tahunnya selama seumur hidup. Begitu juga sebaliknya, apabila y meninggal dunia maka x yang akan diberikan uang sebesar Rp.1 setiap tahunnya selama seumur hidup. Namun apabila pasangannya juga meninggal sebelum masa kontrak berakhir maka tidak ada pembayaran uang pertanggungan lagi. (c) Apabila x dan y kedua-duanya meninggal ditahun yang sama sebelum kontrak berakhir maka uang pertanggungan sejumlah premi yang telah dibayarkan akan diberikan kepada ahli warisnya dan kontrak asuransi berakhir.

Berdasarkan kontrak asuransi tersebut dan berdasarkan persamaan (10) maka diperoleh nilai premi tahunan konstan untuk asuransi joint life adalah sebagai berikut: | ̈

⌉

̈

⌉

| ̈ ⌉

Selanjutnya nilai cadangan premi untuk asuransi joint life dengan menggunakan formula yang telah diperoleh sebelumnya dapat dilihat pada Tabel 3.1. Dapat dilihat pada Tabel 3.1 hasil perhitungan cadangan premi pada asuransi joint life dengan menggunakan perhitungan secara retrospektif untuk usia peserta dan diperoleh cadangan premi akhir tahun ke-1 sampai dengan akhir tahun ke-11 mengalami peningkatan setiap tahunnya yang disebabkan karena uang yang masuk ke perusahaan asuransi dari pembayaran premi sangat besar dan terus meningkat setiap tahunnya jauh melampaui jumlah uang pertanggungan yang harus dibayarkan

ISSN: 2303-1751

sehingga cadangan premi yang diperoleh juga terus meningkat setiap tahunnya. Tabel 3.1 Nilai Cadangan Premi Asuransi Jiwa Joint Life untuk dan Jangka Waktu (w) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

0.21957 0.44660 0.68084 0.92203 1.16990 1.42415 1.68452 1.95068 2.22234 2.49927 13.67372 13.42691 13.17482 12.91677 12.65248 12.38185 12.10511 11.82236 11.53587 11.24550 10.95207 10.65609 10.35973 10.06286 9.76568 9.46727 9.16836 8.87004 8.57319 8.27878 7.98680 7.69779 7.41078

Jangka Waktu (w) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

7.12545 6.84150 6.55873 6.28404 6.01835 5.75848 5.50432 5.25641 5.00598 4.76813 4.54290 4.33150 4.12583 3.89479 3.65545 3.42292 3.20895 3.03087 2.88485 2.77982 2.64108 2.49038 2.34529 2.20507 2.07042 1.94229 1.82246 1.71290 1.61176 1.51589 1.41525 1.28223 1.00000

Selanjutnya nilai cadangan premi dari tahun ke-12 dan seterusnya mengalami penurunan yang disebabkan karena dari tahun ke-11 sudah tidak ada lagi pembayaran premi sehingga tidak ada lagi uang yang masuk ke perusahaan asuransi sedangkan perusahaan asuransi harus tetap melakukan pembayaran uang pertanggungan setiap tahunnya sehingga cadangan premi yang terdapat diperusahaan asuransi akan terus menurun setiap tahunnya. 4. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dijelaskan, maka dapat disimpulkan bahwa rumusan/formula cadangan premi

36



untuk asuransi joint life dengan perhitungan secara retrospektif adalah sebagai berikut:

peneliti selanjutnya dapat menggunakan tingkat suku bunga yang tidak konstan dan menggunakan metode perhitungan cadangan premi bersih lainnya seperti metode perhitungan secara prospektif.

( (

) )

(

Dimisalkan

)

dengan dan merupakan lamanya masa pembayaran premi atau lamanya kontrak asuransi sehingga cadangan premi akhir tahun kedua sampai akhir tahun keadalah sebagai berikut: (

) (

)

dengan

Selanjutnya dimisalkan ) dengan , sehingga cadangan akhir sampai seterusnya adalah .

(

tahun kesebagai berikut: (

(

) (

)

) (

[1] Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, dan Nesbitt CJ. 1997. Actuarial Mathematics. 2nd ed. Schaumburg : The Society of Actuaries. [2] Destriani, Satyahadewi, N. & Mara, M.N., 2014. Penentuan Nilai Cadangan Prospektif pada Asuransi Jiwa Seumur Hidup Menggunakan Metode New Jersey. Buletin Ilmiah Mat.Stat dan Terapannya (BIMASTER), 03, pp.7-12. [3] Futami, T., 1993. Matematika Asuransi Jiwa Bagian I. Herliyanto G, penerjemah. Tokyo (JP): Oriental Life Insurance Cultural Development Center. Terjemahan dari: Seime Hoken Sugaku Gekan ("92 Revision). [4]

) (

(

DAFTAR PUSTAKA

)

(

)

)

dan seterusnya Berdasarkan formula cadangan premi tersebut serta untuk kasus usia awal peserta laki-laki tahun dan perempuan tahun dan lama pembayaran premi tahun, diperoleh nilai cadangan premi akhir tahun ke-1 sampai akhir tahun ke-11 mengalami peningkatan setiap tahunnya, sedangkan nilai cadangan premi dari akhir tahun ke-12 dan seterusnya sampai seumur hidup mengalami penurunan. Pada penelitian ini, penulis hanya dapat meneliti bagaimana cara menentukan formula dari cadangan premi tahunan pada asuransi joint life menggunakan metode perhitungan secara retrospektif dengan tingkat suku bunga konstan. Tidak menutup kemungkinan untuk

,1994. Matematika Asuransi Jiwa Bagian 2. Herliyanto G, penerjemah. Tokyo (JP): Oriental Life Insurance Cultural Development Center. Terjemahan dari: Seime Hoken Sugaku Gekan ("92 Revision).

[5] Matvejevs, A. & Matvejevs, A., 2001. Insurance Models for Joint Life and Last Survivor Benefit. Informatica, 12(4), pp.547-58.

37

Unsubscribe

Recommend Documents