Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie
POČÍTÁNÍ NA PRSTECH
Jitka Sedláková Psychologie – Speciální pedagogika III. ročník - 2003/2004
Obsah:
1. PŘIROZENÝ MODEL .................................................................................. 4 2. VZOREK A SBĚR DAT................................................................................ 4 3. ROZDĚLENÍ SAMOSTATNÝCH PŘÍKLADŮ............................................ 5 4. MATEMATICKÉ ŘETĚZCE ........................................................................ 6 5. POČÍTÁNÍ DO PĚTI ..................................................................................... 6 5.1 Počítání samostatných příkladů ................................................................ 7 5.2 Problémy s řetězci .................................................................................... 7 5.3 Počitadlo .................................................................................................. 8 6. DO DESETI ................................................................................................... 9 6.1 Samostatné příklady do deseti .................................................................. 9 6.1.1 Nejlehčí příklady ............................................................................... 9 6.1.2 Počitadlový styl ............................................................................... 10 6.1.3 Styl pěst........................................................................................... 11 6.1.4 Shrnutí počítání samostatných příkladů ........................................... 12 6.2 Počítání řetězců v oboru do deseti .......................................................... 13 6.2.1 Řetězce se zapisovanými mezivýsledky........................................... 13 6.2.2 Honza .............................................................................................. 14 6.2.3 Kačka .............................................................................................. 15 6.2.4 Veronika.......................................................................................... 15 6.2.5 Emilka ............................................................................................. 16 6.2.6 Sára ................................................................................................. 17 6.2.7 Shrnutí poznatků z matematických řetězců ...................................... 18 7. PRSTOVÉ FIGURY .................................................................................... 19 8. DO DVACETI A PŘES DESÍTKU.............................................................. 20 8.1 Standardní postup počítání ..................................................................... 20 8.2 Děti počítající pomocí rozkladů.............................................................. 22 8.3 Počítání na prstech stylem z první třídy .................................................. 22 8.4 Odhadnutí............................................................................................... 23 2
8.5 Ještě jeden styl počítání na prstech ......................................................... 24 9. ADAPTABILITA POČÍTÁNÍ NA PRSTECH............................................. 25 10. ZÁVĚR ...................................................................................................... 27 11. LITERATURA........................................................................................... 28 12. PŘÍLOHA .................................................................................................. 29
3
1. PŘIROZENÝ MODEL Během pozorování vyučování v první třídě základní školy mě zaujal problém znázorňování počtů na prstech. I když už to učitelka neviděla ráda, na začátku března, kdy jsem začala pozorovat děti v první třídě v hodinách matematiky, většina dětí na prstech počítala. M.Rendl (1998, str. 187) mluví o znázorňování počtů na prstech jako o zcela přirozené fázi dětského počítání. V počáteční fázi školního počítání slouží prsty ke znázornění počtu všude tam, kde není znázorněn jinak. Vzhledem ke svým vlastnostem jsou prsty výhodné při počátečním ustavování korespondence počtů a čísel a pro ustavení logiky prvních příkladů. Pro M. Hejného a F. Kuřinu (2001) jsou prsty univerzálním modelem, díky kterému dítě reprezentuje čísla. Modely čísel se vyvíjí. M. Hejný a F. Kuřina mluví o třech vývojových stupních reprezentací čísel. První jsou separované modely. Pro číslo tři jsou separovanými modely například tři jablka, tři knoflíky či tři kostky. V momentě, kdy dítě zjistí vzájemnou vazbu separovaných modelů, přechází na modely univerzální. Zjistí tedy, že například tři čárky reprezentují jak tři jablka, tak i tři knoflíky a kostky. Univerzálním modelem se mohou stát čárky, puntíky, ale také některý separovaný model. Často je univerzálním modelem malých přirozených čísel právě model “prstový”. Přes univerzální modely se pak dítě dostane k abstraktnímu pojmu čísla. Abstraktní pojem umožňuje zbavit se světa věcí a vyjádření v matematické symbolice. Počítání na prstech se tak u většiny dětí stává důležitou součástí postupného utváření abstraktního pojmu čísla. Děti mají ve škole prostor pro vytvoření vlastního způsobu používání prstů k počítání, protože je nikdo neučí, jak mají prsty používat. Jaký způsob počítání na prstech jednotlivé děti zvolí? Kromě samotného stylu znázorňování počtů na prstech u jednotlivých dětí je také zajímavé, jestli svůj styl zachovávají, nebo jej při různých typech příkladů mění. Všechny styly počítání na prstech také nemusí být výhodné pro všechny typy příkladů. Tato práce se pokusí popsat styl počítání na prstech u vybraných dětí při výpočtu normálních příkladů1 a při počítání matematických řetězců. Popsané styly se také pokusí srovnat a zachytit jejich vývoj, protože pozorování počítání na prstech probíhalo nejen v první třídě, ale i v prvním pololetí třídy druhé. Předpokládala jsem, že by se počítání na prstech při řetězcích mohlo nějakým způsobem lišit od počítání samostatných příkladů, že rozdíl by mohl být také patrný u řešení matematických řetězců různého typu, a že by se způsob počítání mohl změnit při počítání příkladů ve druhé třídě.
2. VZOREK A SBĚR DAT Do experimentu bylo zahrnuto deset dětí. Výzkum probíhal po dobu jednoho roku nejprve v druhém pololetí první třídy základní školy a poté v prvním pololetí druhé třídy a zároveň v prvním pololetí první třídy. Pět dětí bylo sledováno v druhém pololetí první třídy a v prvním pololetí třídy druhé. S dalšími pěti dětmi se pracovalo v prvním pololetí první třídy. Děti byly vybrány učitelkami. Měly vybrat ty, které si ještě počítají příklady na prstech. Vzorek zahrnuje hlavně děti, které si počítají všechny příklady na prstech. Některé děti si však znázorňují jen některé příklady, nebo si počítají příklady na prstech jen pro kontrolu2. Na začátku druhé třídy si již některé z dětí, které byly pozorovány v první třídě, na prstech nepočítaly vůbec. 1
V této práci též označovány jako samostatné příklady, jednotlivé příklady nebo obyčejné příklady (2+3=,8-5=, atd.). 2 Slovy jedné dívky: ”abych to měla rychlejš”.
4
Vybrané děti byly sledovány nejen v hodinách matematiky, ale také každé zvlášť. V hodinách matematiky byly akce zaznamenávány pomocí poznámek. Z experimentů, při kterých se s dětmi pracovalo samostatně, je pořízen kamerový záznam. Při experimentech jsem byla přítomna pouze já a dítě. Experiment obsahoval pět úkolů. Děti byly předem upozorněny, že si při plnění úkolů mohou počítat na prstech. Nejprve měly za úkol spočítat normální příklady. Ty byly předepsané na papíře a děti měly doplnit výsledek. Další čtyři úkoly se týkaly matematických řetězců. Typy zadávaných úkolů je možno si prohlédnout v příloze na konci textu. Jednotlivé druhy řetězců budou podrobně popsány v dalších kapitolách. U dětí z prvního a některých dětí z druhého pololetí první třídy jsem také sledovala, jakým způsobem počítají na počitadle. Kuličky na počitadle byly umístěny uprostřed drátku. Děti tedy mohly začít posunovat kuličky jak doprava, tak i doleva.
3. ROZDĚLENÍ SAMOSTATNÝCH PŘÍKLADŮ Z postupné analýzy jednotlivých způsobů počítání na prstech vyplynulo, že je nutné rozdělit samostatné příklady do několika skupin. Toto rozdělení bylo nutné, aby mohly být popsány jednotlivé styly počítání na prstech a vystihnuty základní rozdíly při použití prstů v jednotlivých skupinách. Zde je znázornění rozdělení ve stromové struktuře: • do deseti 1. do pěti 2. počítání s většími čísly 2.1. první člen je menší než pět 2.2. první člen je větší než pět3 2.2.1. následuje sčítání 2.2.2. následuje odčítání 2.2.2.1. menšitel je menší než pět 2.2.2.2. menšitel je větší nebo roven pěti • do dvaceti • přes desítku Základ tvoří tři skupiny: “do deseti”, “do dvaceti” a “přes desítku”. Obor počítání “do deseti” bylo třeba rozdělit na dvě skupiny. První skupina obsahuje příklady, které se pohybují v číselném oboru “do pěti”. Na jejich spočítání tedy stačí prsty jedné ruky. Do druhé skupiny patří všechny příklady, které se pohybují v číselném oboru “do deseti” a zároveň jsou na jejich spočítání potřeba obě ruce. Jsou to příklady, jejichž první člen, druhý člen nebo výsledek je větší než pět. Tato skupina je pro potřeby této práce označována jako “počítání s většími čísly”4. Skupina “počítání s většími čísly” byla rozdělena na dvě podskupiny. První zahrnuje příklady, jejichž první člen je menší než pět, a do druhé patří ty příklady, které mají prvního člena většího než pět. Druhou podskupinu bylo třeba ještě rozdělit na příklady, při kterých prvního člena sčítáme s druhým, a na příklady, kdy od prvního člena odčítáme. Jestliže po prvním členu, který je větší než pět následuje odčítání, bylo třeba ještě u některých dětí rozlišit, zda je menšitel větší nebo menší než pět, protože u každého z těchto dvou případů počítají jiným způsobem.
3 4
Číslo pět je specifické. Někdy patří do skupiny 2.1 a někdy do 2.2. ”Počítání s většími čísly” = ((”do deseti”) - (”do pěti”)).
5
Číselný obor “do dvaceti” není třeba nijak rozdělovat. Děti příklady z tohoto oboru počítají stejným způsobem jako příklady do deseti. V době, kdy se děti učí počítat do dvaceti, znají už příklady do deseti zpaměti. I příklady do dvaceti tedy počítají zpaměti, nebo si je počítají na prstech stejně jako si počítaly příklady do deseti. Příklady “přes desítku” jsou vyčleněny zvlášť. Vyžadují totiž nový způsob použití prstů.
4. MATEMATICKÉ ŘETĚZCE Řetězec je zvláštní typ příkladu, kdy dochází k opakovanému sčítání nebo odčítání. Výsledek (mezivýsledek) jednotlivých akcí je tedy zároveň i výchozím členem pro následující sčítání nebo odčítání. Způsob počítání byl sledován u čtyř typů řetězců. První byl složen z kroužků nakreslených na papíře, které byly spojeny šipkami. První kroužek obsahoval číslo, od kterého se začínalo počítat. Ve druhém kroužku byl napsán první operátor5, další byl prázdný a v následujícím byl napsán další operátor, a tak se pokračovalo dál. Do prázdných koleček děti vpisovaly mezivýsledky. Druhý typ řetězce byl znázorněn na papíře už jen číslicemi a znamínky. Po prvním členu následoval jeden operátor za druhým, takže se mezivýsledky nikam nezapisovaly. Napsal se až konečný výsledek. Třetí a čtvrtý řetězec jsem diktovala. Řekla jsem první příklad a počkala, až ho dítě vypočítá. Potom jsem zadala dalšího operátora a zase čekala, až bude dítě s příkladem hotovo. Třetí typ řetězce se od čtvrtého odlišoval tím, že si při něm mohlo dítě říkat mezivýsledky nahlas. U čtvrtého je tedy nahlas říkat nesmělo. Zadávala jsem řetězce tak, aby dítě mělo dostatek času si spočítat jednotlivé příklady. Nevytvářela jsem žádný tlak na čas.
5. POČÍTÁNÍ DO PĚTI obr. 1
V době pořizování kamerového záznamu z experimentu v prvním pololetí první třídy počítají děti už nějakou dobu do pěti6 a v blízké době už začnou s počítáním příkladů s většími čísly. Příklady do pěti by tedy měly mít už procvičené a zvládnuté. Často používají počitadlo a učitelka jim také znázorňuje příklady na počitadle, když nějaké dítě nedokáže příklad spočítat nebo odpoví špatně.
5
Pojem operátor je zde užíván “pouze jako obecný neutrální výraz nahrazující pojmy sčítanec, menšitel, přidávaný/ ubíraný počet či přičítané/odčítané číslo apod.” (Rendl 1998, pozn. 24). 6 Záznam byl pořízen v polovině listopadu.
6
V pracovním sešitě se děti nesetkaly s žádným typem řetězce a ani učitelka jim nezadává řetězec ústní. Proto každému dítěti před zadáním úkolu vysvětluji, jakým způsobem se řetězec počítá. První řetězec (viz obr. 1) se v pracovním sešitě objeví, až se začnou učit počítat “do šesti” a to ten nejlehčí s doplňováním mezivýsledků.
5.1 Počítání samostatných příkladů Byly zadávány příklady pouze do pěti. Všech pět dětí si je počítalo na prstech. Výjimkou byly příklady 1+1, 2+2, x-x a x-0 (x≤5, N∋x), které věděly zpaměti. První číslo příkladu nastavují při počítání tak, že naráz natáhnou potřebný počet prstů. Začínají od palce, takže například trojku si ukáží nataženým palcem, ukazováčkem a prostředníkem, pouze při čtyřce pokrčí palec a ostatní prsty natáhnou. I při znázornění operátora manipulují s příslušným počtem prstů naráz. Pouze při přičítání čtyřky, příklad 1+4, se někdy objeví postupné načítání. Všichni počítají téměř stejně. Liší se pouze ve volbě strany ruky, od které pokrčují prsty u odčítání trojky7 (příklad 4-3), dvojky nebo jedničky. Příklad1 ukazuje tento odlišný způsob znázorňování na rozdílném počítání Markéty a Denise. Příklad1 Markéta: 4-2: pokr. 1L8 → nar. pokr. 23L → vidí nat. 45L→ píše 2 3-1: nar. nat. 123L → nevýr. pokr. 1L → píše 2 Denis: 4-2: pokr. 1L → nar. nevýr. pokr. 45L → vidí nat 23L→píše 2 3-1: nar. nat. 123L → pokr. 3L → píše 2 Děti nevyužívají komutativity příkladů. Příklady “2+3” a “3+2” si oba počítaly na prstech, a i když jedno dítě vědělo “2+3” zpaměti, “3+2” si na prstech spočítalo.
5.2 Problémy s řetězci Po vysvětlení způsobu počítání počítají děti řetězec, u kterého se píší mezivýsledky do kroužků stejně, jako jednotlivé příklady. Všechny ostatní řetězce jsou problémové. Řetězec napsaný, jehož mezivýsledky se nikam nezapisují, spočítalo pouze jedno dítě celý samo a správně. Ostatní ho buď nedokázali počítat bez mé pomoci, nebo nedošli ke správnému výsledku, i když se jednalo o velmi jednoduchý řetězec (2+1+1-2=). I přes obtíže s počítáním, je z používání prstů patrné, že se děti snaží uchovávat si mezivýsledky také na prstech a nejen tichým přeříkáváním či šeptáním. Mezivýsledkové postavení prstů totiž drží, když se dívají na dalšího operátora. Poté buď pokračují z daného postavení prstů, nebo přehodí prsty do postavení, které jim lépe vyhovuje. Říkaný řetězec je také obtížný. Bez zaváhání a samo ho opět dokáže spočítat jen jedno dítě (jiné než u předešlého řetězce). Děti mají velký problém s udržením mezivýsledku. Například jedno z dětí, když řeknu dalšího operátora, se vrací k předcházejícímu příkladu, znovu si ho spočítá, a pak teprve pokračuje dál. Nepamatuje si mezivýsledky, ale jakoby přemýšlelo, které příklady počítalo předtím. Příklad 2 Říkám řetězec: “Tři plus jedna, minus dva, minus nula, plus jedna” 3+1: nar. nat. 123P (dívá se na dlaň) → nat. 4P, říká 4, prsty schovává k tělu 7
U příkladu 5-3 se v počítání nelišili. Všichni si operátor ”-3” znázornili pokrčením malíčku až prostředníčku. Číslice značí prsty (1 je vždy palec, 5 malíček), P - pravá ruka, L - levá ruka, nar. - naráz, pokr. - pokrčuje, post. - postupně, nat. - natahuje. 8
7
-2: musí znovu nastavit, nar. nat. 1234P → levou rukou sbalí 43P → říká 2 a povoluje prsty nedrží mezivýsledek na prstech -0: znovu si spočítá 4-2 na prstech stejným způsobem jako před chvílí, a tak dojde k minulému mezivýsledku a říká 2 +1: znovu si na prstech počítá 4-2, ale dál už neví, jak to bylo, ztratila se. Problémem je též spojení mezivýsledku s dalším operátorem do celku, do jednoho příkladu. Příklad 3 ukazuje, že i když si dítě mezivýsledek zapamatuje, nedokáže ho již spojit s mnou řečeným operátorem. Příklad 3 Říkám řetězec: “Čtyři minus jedna plus dva” 4-1: zpaměti → říká tři. +2: zpaměti říká 4. Já: “Jaký jsi počítal příklad?” On neví. Začínáme znovu. 4-1: zpaměti říká 3. +2: nar. nat. 123P (pamatuje si tedy mezivýsledek) → pak něco na prstech “šolichá” a ztrácí se→ má natažené 2345P a 1P skrčený→ nat. 1P1L a pokr. 2345P→ říká 6. Já: “3+2?”. Když mu takhle řeknu celý příklad, tak to spočítá správně (nar. nat. 123P→ nar. nat. 45P).
5.3 Počitadlo Počítadlo je při vyučování využíváno často a děti s jeho používáním nemají problémy. Princip si osvojí velmi brzy, a tak jim počítadlo umožňuje spočítat i příklady s většími čísly, které ještě neprobíraly. Naráz manipulují nejvíce se třemi kuličkami. Čtyřku napočítávají postupně pouze, když ji odčítají. Jestliže je čtyřka prvním členem příkladu, nastaví si ji po dvou, nebo oddělí tři kuličky a přidají jednu, nebo také nechají vyšlých pět kuliček z předešlého příkladu a jednu odeberou. Pětku odpočítávají postupně. Zvláštním případem bylo dítě, které mělo počitadlo s barevně rozlišenými nejen desítkami, ale i pětkami. Mohlo by se zdát, že počitadlo s odlišenými pětkami, je stejným nástrojem jako prsty. Například kvůli tomu, že pětka se nemusí napočítávat, ale je hned vidět a číslo větší než pět se může nastavit naráz přidáním příslušného počtu kuliček k pětce. Není tomu ale tak. Prsty jsou i ve srovnání s tímto počitadlem rychlejší a tedy výhodnější. Dítě totiž toto počitadlo plně nevyužívá a i na něm si některá čísla napočítává či přepočítává. Například u příkladu 5-4 si při počítání na prstech čtyřku znázorní pokrčením prstů naráz a na počitadle kuličky odpočítává postupně (Příklad 4). Příklad 4 počítání samostatných příkladů na prstech: 5-4: nar. nat. 12345L → nar. pokr. 2345L → vidí nat. palec, píše 1 počítání na počitadle s barevně odlišenými pětkami: 5-4: nar. 5 kuliček posune doprava, z levé strany oddělených kuliček napočítá 4 a posune je doleva, říká 1. Také když dítěti vyjde číslo větší než pět, tak si vyšlé kuličky přepočítá. Při počítání na prstech by mohlo díky prstovým figurám9 vědět výsledek hned, bez přepočítávání.
9
O prstových figurách bude podrobná zmínka později. Zatím uvedu, že prstové figury jsou zažitá a opakovaně stejně používaná postavení prstů pro jednotlivá čísla.
8
6. DO DESETI Na začátku pozorování ve druhém pololetí první třídy se žáci učí počítat příklady do deseti. Při zadávání posledního experimentu už začínají s počítáním do dvaceti, ale příklady s přechodem přes desítku se budou učit až ve druhé třídě. S řetězcem prvního typu se děti ve druhém pololetí první třídy běžně setkávají v učebnicích a cvičebnicí. Pro ilustraci jsem vybrala jeden řetězec (viz obr.2). Také čtvrtý řetězec, který zadávám verbálně a dítě si musí jednotlivé mezipříklady počítat v duchu a ani nesmí říkat mezivýsledky nahlas, bývá často součástí hodiny. Zvládnutí čtvrtého typu řetězce však nebývá vyžadováno. Nebývá totiž součástí testů a pouze ti, kteří ho zvládnou dobře, jsou odměněni. Je zadáván vcelku rychle, takže jen malá část třídy se dopracuje ke správnému výsledku. obr. 2
Druhý typ řetězce (operátory napsané těsně za sebou a děti zapíší až konečný výsledek) a třetí typ řetězce (verbálně zadávaný řetězec a děti říkají mezivýsledky nahlas) se ve vyučování nevyskytují. Třetí řetězec je předstupněm čtvrtého, a tedy ho vlastně můžeme pozorovat při počítání čtvrtého typu u těch dětí, které si mezivýsledky šeptají. Druhý typ řetězce najdeme v pracovních sešitech pouze v trojčlenné formě a velmi zřídka.
6.1 Samostatné příklady do deseti 6.1.1 Nejlehčí příklady Všechny zkoumané děti si na prstech počítají. Některé si však nepočítají na prstech všechny příklady. Honza si nepomáhá prsty u příkladů, které operují s nulou, a které vyjdou nula (x+0, x-0, x-x, x≤10, N∋x). Kačka si nepočítá na prstech příklady “do pěti”. Výjimkou jsou 5-3 a 5-2, při kterých Katka prsty použila. Další příklady, které zná Katka bezpečně10 zpaměti, jsou ty, při kterých se pracuje s nulou (nula se přičítá, odčítá nebo se odčítají dvě stejně velká čísla), u nichž se sčítají dvě stejná čísla, a kde se pracuje s jedničkou (jednička se přičítá nebo odčítá, a nebo menšitel je o jedno menší než menšenec). Také Emilka počítá “do pěti” už jen pro kontrolu. Ty děti, které si příklady do pěti počítají na prstech (Honza, Veronika a Sára), používají stejného způsobu jako děti v prvním pololetí první třídy, jen pohyb prstů a náhled výsledku je rychlejší. Používají libovolně pravou nebo levou ruku. I natočení ruky je různé. 10
Bezpečně znamená, že si je nespočítá na prstech, i když má možnost. Já jsem jim totiž řekla, že mi nevadí, když budou počítat na prstech. Takže si děti často pro kontrolu či pro jistotu počítaly i příklady, které by zvládly zpaměti, když by se jim počítání na prstech zakázalo.
9
Počáteční postavení prstů pro jedničku je natažený palec, pro dvojku natažený palec a ukazovák, pro trojku palec, ukazovák a prostředník. Jestliže chtějí znázornit čtyřku pokrčí buď palec nebo malíček. Řídí se zde mírou snadnosti manipulace s prsty danou anatomií. Jestliže například Milan má dlaně otočené k desce stolu, může si pokrčený malíček při znázornění čtyřky přidržet o desku stolu. Naopak pro Kačku je anatomicky výhodnější pokrčit palec, protože má dlaně otočené k obličeji. Druhý člen příkladu je pak logicky přidán tak, aby doplnil “pětku” jedné ruky11, nebo odebrán tak, jak to nejlíp jde vzhledem k anatomii ruky. Veronika tedy při otočení dlaně směrem k obličeji natahuje prsty směrem k malíčku a pokrčuje prsty směrem k palci. V případě “počítání s většími čísly”, kdy první sčítanec je menší než pět, platí pro počáteční postavení prstů to samé, jako pro počítání “do pěti”. Tyto příklady si už na prstech počítají všechny zkoumané děti. Dlaně u Honzy směřují dolů a u ostatních k obličeji. Druhým členem příkladu pak děti doplní “pětku” počáteční ruky a pokračují palcem druhé ruky k jejímu malíčku (viz např. Honza v následujícím příkladě). Některé děti si také pomáhají přehozením členů příkladu tak, aby se jim lépe počítalo (viz Veronika a Emilka v následujícím příkladě). Příklad 5 Honza (experim3, 20.5.2003) 4+3: nar. nat. 1234P → post. nat. 5P 12L → vidí, píše 7. 1+7: 1P → post. nat. 2345P 123L → vidí, píše 8. Emilka (experim3, 20.5.2003) 1 + 7: počítá jako 7+1: nar. nat. 12345L 12P a přidá 3P Veronika (experim3, 20.5.2003) 4+5: Spočítala si to jako 5+4! nar. nat. všechny prsty levé ruky, potom post. nat. 1234P, dlaně k sobe → říká “čtyři”, píše 9.
6.1.2 Počitadlový styl Tak jsem nazvala styl počítání na prstech, který používá Honza a Kačka při počítání příkladů, kdy je na začátku číslo větší nebo rovno pěti. Honza si první člen příkladu ukáže tak, že na levé ruce naráz natáhne všechny prsty a na pravé přidá příslušný počet prstů, přičemž začíná od palce. Dlaně směřují dolů. Jestliže má druhý člen příkladu přičíst, natahuje Honza prsty zleva doprava (směrem k malíčku pravé), a když ho má odečíst krčí prsty zprava doleva (směr od malíčku pravé k malíčku levé). Přičemž dvojku (dva prsty) odebere nebo přidá vždy naráz, trojku a čtyřku někdy naráz a někdy postupně a čísla větší nebo rovna pěti postupně “načítá”12. Příklad 6 (pozorov5, 22.4.2003, Honza): 7+2: Natáhne naráz všechny prsty levé ruky a na pravé přidá současně palec a ukazovák. Potom postupně přidá prostředník a prsteníček pravé ruky . Dlaně směřují dolů. 8-7: Natáhne naráz všechny prsty levé ruky a na pravé přidá současně tři prsty od palce (123P)→ postupně krčí zprava doleva sedm prstů. Katčino prvotní postavení prstů pro znázornění čísel větších než pět je takové, že na levé ruce naráz natáhne prsty, ruka směřuje dlaní nahoru a na pravé přidá příslušný počet prstů, přičemž dlaň má také otočenou nahoru. U šestky natáhne na pravé ruce palec a u sedmičky palec a ukazovák. Ale u osmičky místo toho, aby natáhla palec, ukazovák a prostředník, přidržuje si pokrčený ukazovák palcem. Má tedy na pravé ruce natažený 11
Není to taková samozřejmost. Děti by si mohly znázornit třeba příklad 3+2 tak, že by si každého člena ukázaly na jedné ruce. Takto mi znázornili příklad všichni dospělí, které jsem o to požádala. 12 Načítání znamená, že když chce přičíst nebo odečíst třeba sedm, říká si: ”jedna, dva, tři,..., sedm” a buď přidává nebo ubírá prsty .
10
prostředníček, prsteníček a malíček. Devítku znázorní tak, že pokrčí palec pravé a ostatní prsty má natažené. Sčítání není třeba popisovat. Odčítá potom tak, že naráz pokrčí natažené prsty na pravé a v případě čísla většího, než je natažený počet prstů na pravé ruce, postupně pokračuje v pokrčování prstů na levé ruce, přičemž začne malíčkem. Ukažme si Katčino počítání na příkladě. Příklad 7 (experim3, 20.5.2003, úk.1, Kačka): 7 - 5: Dlaně nahoru. Nar. nat. 12345L a 1P2P → pokr. nar. 12P a post. 543L→ vidí dva, píše dva 7 + 2: nar. nat. 12345L 12P → nar. nat. 34P ... 8 - 7: ví hned, ale spočítala by: levá prsty natažené současně na pravé skrčený prst 1 a 2 tak, že si palcem přidržuje ukazovák (bříško palce je na nehtové části ukazováčku)→ nar. pokr. 345P a říká: “tři” a post. pokr. 5432L a říká: “čtyři, pět, šest, sedm”. Katčin a Honzův styl počítání je v případě obou podskupin (“menšitel je větší než pět” a “menšitel je menší než pět”) stejný. V jednom směru prsty “přičítají” a v opačném prsty “odčítají”. Je to stejný princip, jaký je využíván u počitadla. Například při “5+3” by Honza postupně posunul pět kuliček doprava, a potom by ještě postupně posunul doprava tři kuličky. Stejný princip používá i při počítání na prstech. Natáhne všech pět prstů na levé (dlaně má otočené směrem dolů) a postupně přidá tři prsty pravé, a to směrem zleva doprava. Nebo u příkladu “8-7” by postupně posunul osm kuliček na počitadle doprava, a potom by postupně vracel sedm kuliček zprava doleva. Stejně při počítání na prstech by od natažených 54321L 123P postupně pokrčoval (“posouval”) sedm prstů zprava doleva (pokrčoval by tedy 321P 543L).
6.1.3 Styl pěst Jiný způsob počítání příkladů s prvním členem větším než pět používá Veronika, Emilka a Sára. Používám pro něj označení styl pěst. Než ale vysvětlím proč, popišme si nejprve, jaké používají prstové figury pro znázornění těchto čísel. Jestliže první člen je větší než pět13, Veronika si ho nastaví tak, že dlaně obrátí od obličeje, natáhne všechny prsty na pravé ruce a na levé přidá příslušný počet prstů od palce. Stejným způsobem postupuje i Emilka a Sára. Jen mají dlaně otočené k obličeji nebo směrem nahoru a všechny prsty natahují na levé ruce a na pravé přidávají příslušný počet prstů od palce.14 Jestliže se jedná o příklad na sčítání, natáhnou Veronika, Emilka i Sára naráz příslušný počet prstů navazující na poslední natažený. Pokračují tedy v natahování prstů směrem k malíčku. V případě odčítání čísla menšího než pět nejprve naráz pokrčí příslušný počet prstů na té ruce, kde mají nataženo méně prstů, a to směrem od malíčku k palci. Je-li potřeba, postupně krčí zbývající počet prstů na druhé ruce, přičemž začínají palcem. Jestliže je menšitel větší nebo roven pěti, pokrčí holky naráz všechny prsty na té ruce, kde mají nataženo pět prstů. Udělají tedy pěst, a pak skrčí zbylý počet prstů na druhé ruce, přičemž začínají palcem. (Výjimkou je u Emilky odčítání od devítky, kdy zbylý počet prstů pokrčuje od malíčku.) Tento způsob používání prstů jsem nazvala “stylem pěst”. Přibližuje ho následující příklad. Příklad 8 Veronika (experim3, 20.5.2003): 8-7: Říká si: “osm” a současně nar. nat. všechny prsty pravé ruky a 123L, dlaně dolů → 13
Jestliže je první člen roven pěti, nelze říct, jestli použije pravou nebo levou ruku jako první. Vždy však natáhne všechny prsty na jedné ruce a pak naráz přidá příslušný počet prstů od palce na ruce druhé. 14 Výjimka je devítka, při ní má Emilka pokrčený palec pravé a ne malíček.
11
pravou udělá pěst a současně pokr. 12L. Napíše 1. 9-7: Na pravé všechny prsty natažené, na levé pokrčený malíček, dlaně od sebe → pravou udělá pěst, ruku dá svisle a zaráz pokrčí 12L → napíše 2 Emilka (experim3, 20.5.2003): 9 - 7: nar. si nastaví devítku tak, že má pokr. 1P, ost. nat. dlaně nahoru → pokr.12345L (pěst) a 54P → vidí, píše 2 10 - 6: Dlaně k sobě, z natažených prstů nar. pokr. 12345P (pěst) 1L, podívá, píše 4 Sára (experim3, 21.5.2003): 7-5: Dlaně k sobě, nar. nat. 12345L 123P, 3P pokrčí → nar. pokr. 12345L (pěst) → píše 2
6.1.4 Shrnutí počítání samostatných příkladů tabulka 1 Honza dolů
Kačka k obličeji
Veronika střídání
pokr. palec nebo malíček °°°° °°° °° ° L P dlaně dolů
pokr. palec
pokr. malíček pokr. palec
pokr. palec
°°°° °°° °° ° L P k obličeji
°°°° °°° °° ° L P dolů
°°°° °°° °° ° L P k obličeji
°°°° °°° °° ° L P k obličeji
<5
pokrčuje prsty zprava doleva (od 5P přes 1P a 1L k 5L)
*u př. 8-x a 9x prsty pokr. zprava doleva (od 1P přes 5P a 5L k 1L) *u př. 7-x a 6x ve směru od 5P k 1P přes 5L k 1L.
pokrčuje prsty zleva doprava (od 5L přes 1L a 1P k 5P)
zleva doprava, přes palce, zleva doprava (směr od 5P přes 1P a 1L k 5L)
zleva doprava, přes palce, zleva doprava
≥5
stejně
stejně
dlaně dolů, pokrčuje prsty zprava doleva (P v pěst, dále od 1L k 5L)
zleva doprava zleva doprava přes palec přes palec pravé (L pravé v pěst, dále směr od 1P k 5P)
otočení dlaní znázornění čtyřky znázornění čísel větších než pět
odčítání čísla
Emilka k obličeji
Sára k obličeji
Hlavními odlišovacími charakteristikami pro jednotlivé způsoby počítání jsou: natočení dlaní, znázornění čtyřky a devítky (budˇ pokrčeným palcem nebo malíčkem) a způsob využití prstů při počítání příkladů na odčítání, kdy první člen je větší než pět (viz tabulka 1).
12
Odhlédneme-li od výše uvedených charakteristik, jako je otočení dlaní, znázornění čtyřky či znázornění čísel větších než pět a počítání na prstech velmi zobecníme, můžeme říci, že počítání na prstech je až do skupiny 2.2.2 principiálně stejné. Například u příkladů na sčítání všech pět dětí natahuje prsty ve směru od palce k malíčku jedné ruky přes palec ruky druhé k druhému malíčku. V případě, že si budeme všímat jen společných charakteristik, lze ve způsobech počítání příkladů ze skupiny 2.2.2 rozlišit dva základní principy počítání. První princip představuje Honza a Kačka. Jejich způsob počítání je v případě podskupiny, kdy “menšitel je větší než pět” a podskupiny, kdy “menšitel je menší než pět”, stejný. V jednom směru prsty natahují a v opačném prsty pokrčují. U Druhého principu (Veronika, Emilka, Sára) je styl počítání v podskupinách 2.2.2.1 a 2.2.2.2 odlišný. U příkladů z první podskupiny ubírají prsty v opačném směru než je přidávají, ale u příkladů z druhé podskupiny je směr pro odčítání shodný se směrem pro sčítání. Používají tedy styl pěst. I když lze najít u dětí spoustu společných rysů při počítání různých druhů příkladů a rozdíl může být jen v jedné charakteristice, nelze říct, že by nějaké dítě počítalo stejně jako jiné. Každé počítalo jiným způsobem, i když se některé styly odlišovaly víc než jiné. Například rozdíl mezi Kačkou a Honzem nebyl tak velký jako rozdíl mezi Kačkou a Sárou. Všechny styly počítání byly pro příklady “do deseti” naprosto dostačující. Děti počítaly rychle a bez chyb.
6.2 Počítání řetězců v oboru do deseti 6.2.1 Řetězce se zapisovanými mezivýsledky První typ řetězce, u kterého se zapisují mezivýsledky do prázdných kroužků, počítají všechny děti stejně, jako obyčejné příklady. Řetězec si tedy rozdělí na samostatné příklady. Každý mezivýsledek, který je zároveň prvním členem samostatného příkladu, je znovu “nastaven”. Děti tedy nezačnou ze stejného postavení prstů, u kterého skončily, ale při počítání další části řetězce nastaví počáteční postavení prstů tak, jak jsou zvyklé u samostatných příkladů. Rozpad tohoto řetězce na samostatné příklady není překvapující. Jestliže děti zapisují mezivýsledek do prázdného kroužku, vidí ho před sebou, mají ho uchovaný, a nemusí ho proto fixovat na prstech mluvením či šeptáním. Zadání také vyžaduje, aby vzaly tužku a zapsaly výsledek do řetězce, a tím se jim ztratí postavení prstů. Ukažme si to na příkladě Honzy. Příklad 9 (experim3, 20.5.2003) 8-5: nar. natáhne všechny na levé a 123P → post. pokr. 321P 12L → vidí, píše 3 +4: nar. nat. 123P (počáteční postavení prstů jiné, než jak mu vyšlo u mezivýsledku)→ post. nat. 45P 12L → vidí, píše 7 Tento typ řetězce usnadňuje nalezení dalšího operátora. Že to ale není zas tak jednoduché, ukazuje příklad Emilky, které se stalo, že nevěděla, do jakého kroužku mezivýsledek zapsat. V části řetězce, kde se za sebou nejprve přičítala trojka a potom odčítala trojka, se ztratila. Nevěděla, do jakého kroužku napsat mezivýsledek, zda za plus tři nebo za minus tři.
13
6.2.2 Honza U druhého typu řetězce, který je zadaný písemně, ale mezivýsledky se nikam nezapisují, je u Honzy patrný vývoj. Na konci dubna jednoduchý řetězec15 tohoto typu počítá tak, že mezivýsledky nechává na prstech a dále pokračuje ze stejného postavení prstů, u kterého skončil. Dlaně má dolů a prsty “přidává” nebo “ubírá” tak, jak je to podle mě logicky nejsprávnější. Prsty natahuje zleva doprava (od malíčku levé k palci levé přes palec pravé k malíčku pravé) a pokrčuje prsty zprava doleva (ve směru od pravého malíčku k palci pravé ruky přes palec levé k levému malíčku). Říkám tomu “jízda”. V tomto případě jde o čistou “jízdu” zleva doprava a naopak. Při tomto způsobu počítání nemusí ani vědět, kolik mu vyšly jednotlivé mezivýsledky. Stačí, když se podívá až na výsledné postavení prstů.16 Když jsem mu ale zadala těžší řetězec tohoto typu na konci dubna, tak mezivýsledek nedržel na prstech, ale opakoval si ho nahlas. Změnil tedy mezivýsledkové postavení prstů, a pak začal počítat stejně, jako když počítá jednotlivé příklady (Příklad 10). O měsíc později už počítal i tento těžší řetězec stejně jako v prvním případě (Příklad 11). Vždy ale spočítal správný výsledek, neztratil se. Věděl, se kterým číslem má pracovat, a to i v uvedeném druhém případě. Příklad 10 (experim2, 29.4.03, těžký řetězec druhého typu) Honza si výsledek vždycky zopakuje nahlas. Prsty uvolní, a další operaci začíná jakoby znovu, jakoby to byl nový příklad. M.: “Sedm, sedm, minus tři.” spočítá si na prstech a řekne: “čtyři”. Následuje pohyb jakoby chtěl vzít tužku, říká u toho: “Já si to chci furt zapsat,” “čtyři, čtyři,”, několikrát si nahlas zopakuje číslo, které mu vyšlo a pak počítá dál. - Pozn. Je zajímavé, že se neztratí. Nejenom že se často díval na mě, ještě k tomu dělal pohyby po tužce. Přesto se vždy dokáže vrátit na správné místo řetězce... Příklad 11 (experim3, 20.5.2003, těžký řetězec druhého typu) 10-3: Všechny prsty natažené. Dlaně dolů. Propisku má v levé ruce na palci a prostředníku pod ukazovákem. Post. pokr. 543P → (-5): Plynule naváže: post pokr. 21P 123L →(+7): post. nat. 321L 1234P → atd. Třetí typ matematického řetězce, který zadávám verbálně a děti říkají mezivýsledky nahlas a čtvrtý typ zadávaný verbálně, ale děti neříkají mezivýsledky nahlas, počítal Honza tak, že mezivýsledky si nechával na prstech a pokračoval dál od mezivýsledkového postavení prstů (Příklad 11). Způsob používání prstů je tedy u těchto řetězců odlišný od počítání samostatných příkladů právě jiným postavením prstů u prvního člena příkladu. Styl počítání je stejný jako u druhého typu řetězce. Dlaně má otočené směrem dolů a “jezdí” od malíčku levé k palci přes palec pravé k pravému malíčku a zpět. Mezivýsledky neměl potřebu říkat nahlas. Fixuje je tedy vizuálně nebo motoricky. Třetí řetězec vlastně počítal stejně jako čtvrtý, jen se vždycky podíval na prsty a řekl nahlas mezivýsledek, protože jsem to po něm chtěla.
15
Lehký řetězec se vyznačuje tím, že oproti těžšímu řetězci, obsahuje míň kroků, jednotlivé operátory se skládají z menších čísel a nezačíná se těžkým příkladem, což je třeba odčítání ”přes pětku”. 16 Neříkám, že je Honza neregistruje, ale není to nijak znát. Počítá rychle a mezivýsledky si neříká nahlas, ani si nefixuje mezivýsledky pohybem rtů. Říká si jen : “jedna, dva, tři,...”, když načítá přičítaného nebo odčítaného člena příkladu.
14
6.2.3 Kačka Matematický řetězec druhého typu s písemně zadanými operátory za sebou bez místa na vepsání mezivýsledků, počítá Kačka na prstech jako normální příklady. Postavení prstů zobrazující mezivýsledek tedy nechává jen v případě, že se jedná o stejné postavení, které by použila u jednotlivého příkladu. V opačném případě mění postavení prstů. (Příklad 12 tuto změnu ukazuje.) Mezivýsledek fixuje tím, že si ho říká: šeptá nebo pohybuje rty. Stane se jí, stejně jako Honzovi, že si chce mezivýsledek zapsat, jen Honzovi se to stalo na konci dubna a Kačce na konci května. Při řetězci třetího typu, kdy jí říkám řetězec a ona mezivýsledky říká nahlas, také rozděluje řetězec na jednotlivé příklady. Je zřejmé, že výsledky neuchovává na prstech, protože na prstech si počítá jen ty příklady, které neví hned, a také mezi jednotlivými kroky mění postavení prstů. Mezivýsledek řekne nahlas, ale potom ho už nahlas ani pohyby rtů neopakuje, ani když jí řeknu dalšího operátora. Příklad 13 popsané Katčino počítání ilustruje. Příklad 12 (experim3, 20.5.2003, úk.3, Kačka): 10-3-5 atd.: ... Nat. znovu všechny prsty, nar. pokr. 123P, malíčkem levé si přepočítá zbylé prsty na pravé a malíčkem pravé si přepočítá zbylé prsty na levé - Toto znázornění sedmičky totiž není její figura sedmičky. Bere tužku - chce si to zapsat. Zjistí, že si to psát nemá. Pamatuje si, že jí vyšlo 7, ale sedmičku si chytne ve své figuře (12345L a 12P)... Příklad 13 (experim3, 20.5.2003, úk.4, Kačka): ...Já: “minus tři” K. nar.pokr.543L a trochu i 2L → řekne 1. Já: “plus šest”. K.: “sedm”. Já: “plus tři”. K. nar. nat. 12345L a 12P → nar. nat. 345P a řekne 10... U čtvrtého typu řetězce si Kačka uchovává mezivýsledky na prstech, a také od stejného postavení prstů pokračuje dál17. To je jiný způsob, než který používala u předchozích řetězců! Po celou dobu počítání řetězce používá prsty, tedy i u příkladů, které by si jindy spočítala zpaměti. Pohybuje rty, jen když si napočítává operátora. Dlaně má otočené k obličeji a pohyb prstů by se dal označit jako “jízda” od palce levé ruky k malíčku levé přes palec pravé k pravému malíčku a zpět.
6.2.4 Veronika První problémy nastanou u Veroniky už u druhého typu řetězce (řetězec s prázdnými kroužky na mezivýsledky). Mezivýsledky si nechává na prstech a počítá dál od mezivýsledkového postavení prstů. Mezivýsledek mění jen v případě už velkého zmatení (Příklad 15). Příklady počítá stejným principem jako jednotlivé příklady. 18 Při sčítání a při odčítání malých čísel nedochází k problémům, protože používání stejného principu počítání jako u jednotlivých příkladů nezpůsobuje žádné komplikace či zmatení. Problém se vyskytuje při odčítání čísel větších než pět. Tyto části řetězce také počítá stejným principem jako jednotlivé příklady. Používá již dříve popsaný styl “pěst”. Pokrčuje
17
Například, když jí dvakrát vyšla osmička 12345L 123P, tak si postavení prstů nepřehodila jako u úkolu 4 tedy u řetězce typu 3. 18 Princip je stejný, ale protože si mezivýsledky nechává na prstech a nemění postavení prstů (až na některé výjimky (Příklad 15)), neplatí to, co bylo řečeno u jednotlivých příkladů o pravé a levé ruce. Tedy u jednotlivého příkladu by si ”8-3” ukázala tak, že by natáhla 12345P 123L, a potom pokrčila 123L. V řetězci jí ale může na prstech vyjít osmička tak, že má natažené 12345L 123P. Veronika tedy pokrčí 123P. Princip počítání je ale stejný.
15
prsty jakoby protipohybem19 (Příklad 14). Nedá se tedy u ní mluvit o “jízdě” zprava doleva nebo zleva doprava. Když potom u mezivýsledku nezmění výsledné postavení prstů, nelze se divit, že dochází k chybám. Příklad 14 (experim3, 20.5.2003, úk.3, Veronika): ...má pokrčený malíček levé ruky, tj. má devět natažených prstů → (-6): pravou ruku dá v pěst a pokrčí 1L, tj. má natažené 234L, malíček a palec levé je pokrčený, dlaň dolů a pravá ruka v pěst, tj. má tři → (+4): post. nat. 1L 123P! jenže bezděky natáhne i malíček na levé, který měl zůstat pokrčený!, tj. na rukou má teď 8 místo 7... Příklad 15 (experim3, 21.5.2003, úk.3, Veronika): ... má devět → (-6): pravou ruku v pěst a pokrčí 1L, tj. má natažené 234L, malíček a palec je pokrčený, dlaň dolů a pravá ruka v pěst, tj. má tři → (+4): post. nat. 1L 123P, ! dneska malíček nenatáhne, zůstal pokrčený!, obrátí levou ruku dlaní vzhůru, tj. všimla si, že tam má skrčený malíček, tj. má obě dlaně nahoru a natažené 123P a 1234L prsty, tj. má sedmičku → dívá se na prsty, musí si je přepočítat. Potom změní postavení prstů na: obě dlaně otočí směrem dolů, 12P 12345L natáhne naráz, tj. má lepší postavení sedmičky na prstech a pokračuje dál... U třetího typu řetězce, jehož operátory dětem postupně říkám, si Veronika mezivýsledky uchovává na prstech, protože se vždy nejprve na prsty podívá, a pak mi teprve mezivýsledek řekne. V případě, že jí vyjde mezivýsledkové postavení rozumně, tj. může z něho pokračovat pohybem (přidávání či ubírání) v řadě dál, tak postavení prstů nemění. Princip počítání je stejný jako u samostatných příkladů. V tomto případě se nesplete a hned napoprvé spočítá správný výsledek. Čtvrtý řetězec, kdy už nesmí říkat mezivýsledky nahlas, počítá stejně jako druhý a třetí řetězec. Mezivýsledky opět fixuje na prstech. Tedy nepovoluje prsty, jen občas změní nastavení. Šeptá si, když “načítá”, a když si mění postavení prstů, což se stane jen jednou v jednom řetězci, ale nemusí si říkat (šeptat) mezivýsledky. Někdy počítá tak, jak je zvyklá u jednotlivých příkladů, ale mnohdy počítá zmateně (Příklad 16, odčítání čtyřky: místo aby pokrčila 4321P, pokrčí 2345L). Nedivím se, že udělá chybu. Příklad 16 (experim3, 21.5.2003, úk.5, Veronika): ...Všechny prsty natažené, malíček pravé pokrčený ... 9→ (-4) nar. pokr. 2345L, přitom otočí pravou ruku dlaní nahoru - musí si přepočítat, kolik ji vyšlo?→ (+3) nar. nat. 234L → (-7) 5P má skrčeno, naráz pokr. 234P (pravou má otočenou dlaní nahoru) ,říká “tři” a post. pokr. 1234L → Jenže bezděky natáhne levý malíček, který má zůstat pokrčený → vyšlo ji 2 (natažený malíček levé a palec pravé)...
6.2.5 Emilka U řetězce druhého typu Emilka uchovává mezivýsledky na prstech, ale pohybuje rty a všechno si “říká” (jak napočítávání, tak i mezivýsledky a další operátory). Nikdy si nepřehodí postavení prstů, ke kterému dojde u mezivýsledku. Protože počítá stejným stylem jako u jednotlivých příkladů (styl pěst), způsob odčítání čísla, které je větší než pět, nahrává k chybě. V tomto případě by se mohla dostat do stejného problému jako Veronika (Příklad 14), ale Emilka si v dalším kroku “vyrovná” nevhodné postavení prstů pro další počítání (Příklad 17, (+4)).
19
Jde o pohyb proti směru, který by měla použít při odčítání. Ona používá stejný směr, kterým prsty ”přidává”.
16
Příklad 17 (experim3, 21.5.2003, operátory napsané za sebou, mezivýsledky se nezapisují, Emilka): ... pohybuje rty, jako by říkala 9 (má pokrčený malíček levé), podívá se do zadání →(-6) nar. pokr. všechny prsty na pravé - pěst a 1L , něco si přeříkává, kouká do papíru, celkem dlouho→ (+4) post nat. 1L 5L a 12P - má sedm... Na konci se ztratí, protože počítá dvakrát plus dva. Řetězec počítáme ještě jednou. Emilka přestane počítat na prstech a říká nahlas všechno co počítá: “deset minus tři rovná se sedm, sedm minus pět rovná se dva, dva plus sedm rovná se devět,...”. Dávám jí potom i jiné příklady a zjišťuji, že všechny příklady do deseti umí “zpaměti”! Když jsem se jí ptala, proč si počítá na prstech, když všechny příklady umí zpaměti, odpověděla, že proto, aby to měla rychleji. Řetězec třetího typu začne počítat rovnou bez prstů. Já říkám operátory a ona říká jen mezivýsledky. Nic si nedrží na prstech. Nemusí si opakovat nahlas mezivýsledek před počítáním další části řetězec. Vypadá to tedy tak, že já řeknu operátora a ona hned mezivýsledek, já navážu dalším operátorem a ona reaguje správným mezivýsledkem. U čtvrtého řetězce se mě zeptá, jestli může počítat na prstech. Potom počítá celou dobu, kromě prvního příkladu, “přes palce”! To znamená, že stále “jezdí” od malíčku pravé k palci pravé, a dále přes palec levé k malíčku levé a zpět. Tedy i v případě, že se objeví odčítání většího čísla než pět! Emilka totiž nepokrčí všechny prsty na jedné a zbytek na druhé od palce, jak to doposud vždycky dělala. Nepoužije stylu “pěst”, ale stylu “jízda”. Ilustruje to následující příklad. Příklad 18 (experim3, 21.5.2003, úk.5, Emilka): ... (+5) nar. nat. 21P a potom nar. nat. 12L a potom 3L - má tedy nataženo 12345P a 123L - 8 → (-6) nar. pokr. 321L a 123P ( U dřívějších řetězců by udělala to, že by naráz pokrčila 12345P a 1L, a u jednotlivých příkladů by také nejprve udělala pěst na té ruce, kde by měla všechny prsty natažené, a pak pokrčila příslušný počet prstů na druhé ruce.)...
6.2.6 Sára Druhý řetězec, napsaný a mezivýsledky se nezapisují, byl pro Sáru velmi obtížný. Sama bez mé pomoci by ho nedokázala spočítat. Musela jsem jí říkat, co má počítat, i opakovat co vyšlo. Takže já jsem ji vlastně říkala příklady a ona říkala výsledky. Některé příklady ví zpaměti (10-3, 7-2, 9-8) a některé si počítá na prstech (2+7, 9-6, 3+4, 7+2). Velký problém byl s příkladem 2+7. Ten ji dělal problémy, i když si ho počítala na prstech. U třetího typu řetězce (zadáván verbálně a mezivýsledky říkají děti nahlas) má snahu držet si výsledky na prstech a pokračovat od nich dál. Jenže tím, že prsty nenatahuje pořádně, levou má skoro pořád pokrčenou (drží si jí prsty na pravé) a čísla větší než pět odčítá stejným principem jako u samostatných příkladů (stylem pěst)20, dělá často chyby. Jakmile udělá chybu, musím jí říct, co má počítat. Opět má velký problém s příkladem 2+7. Příklad 19 (experim3, 21.5.2003, úk.4, Sára): ...má nataženo 12345L 123P - 8 → (-6) nar. pokr. 12345L - pěst a 1P, říká 2→ (+7) nar. nat. 1P a všechny prsty levé ruky. Říká 8. J: “dva plus sedm?”. S. si hraje levou rukou s 2345 pravé ruky (Přiklopí 45P, pak zase natáhne,..), říká: “ je 10”. Potom S. konečně spočítá: nar. nat. 12L a post. nat. 345L 1234P, říká 9... Čtvrtý řetězec, který postupně zadávám a dítě řekne až konečný výsledek, jí vyšel správně bez jediné chyby v průběhu. Dokonce si správně spočítala 8-6+7, aniž by si musela 20
Setkali jsem se s ním už u Veroniky a Emilky.
17
přehodit mezivýsledek 2 na jiné postavení prstů, jako to musela udělat v minulých řetězcích. Styl počítání je těžké odhadnout, protože má ruce hodně u sebe a málo výrazně s nimi pohybuje. Ale je patrné, že si výsledky drží na prstech. Nemusí si pohybovat rty. V případě odčítání čísla většího než pět používá styl “pěst”. Tedy počítá stejným prstovým stylem jako předchozí řetězec.
6.2.7 Shrnutí poznatků z matematických řetězců S řetězcem prvního typu neměly děti žádný problém. Díky tomu, že měly mezivýsledky napsané v kroužcích, nemusely je nijak hlídat a také se neztrácely, protože z prázdného kroužku a napsaného posledního mezivýsledku bylo jasné, jakým operátorem mají pokračovat. Způsob počítání na prstech také nehrál významnou roli, protože řetězec se vlastně rozpadl na jednotlivé příklady, a ty počítaly všechny děti stejným způsobem, jakým si znázorňovaly samostatné příklady. Ukázalo se, že nejtěžší je řetězec druhého typu, kdy mají děti řetězec před sebou zapsaný, ale nesmí nikam zapisovat mezivýsledky. Děti v něm dělaly nejvíc chyb a například Sára by ho bez mé výrazné pomoci vůbec nespočítala. Důvody vidím dva. U tohoto řetězce musí totiž děti zvládat nejen nějakým způsobem si udržet mezivýsledek, ale také neztratit místo v řetězci, aby věděly, kterým operátorem mají pokračovat. Vzhledem k tomu, že si děti počítaly na prstech, nemohly si pohyb v řetězci ukazovat třeba propiskou nebo prstem, jak jsem to pozorovala u dětí, které si na prstech počítat nemusely. Druhý důvod souvisí s výskytem řetězců v hodinách matematiky. Protože se s druhým typem řetězce nesetkávají, znají ho pouze z tříčlenné formy, nemají ho “natrénovaný”. Mezivýsledky si děti drží na prstech nebo si je drží na prstech a ještě si pomáhají akusticky nebo používají prsty pouze k výpočtu a mezivýsledky fixují akusticky (šeptem, pohybem rtů). Akusticky si děti pomáhaly u druhého typu řetězce. Při počítání třetího a čtvrtého řetězce jim většinou stačila pomoc prstů a mezivýsledky nemusely fixovat akusticky. Jen se občas vyskytlo (viz Veronika), že si šeptaly nebo pohybovaly rty při načítání operátora. To, jakým způsobem počítají samostatné příklady, zásadně ovlivňuje i počítání řetězců. I když si u některého řetězce fixují výsledky na prstech a pokračují z mezivýsledkového postavení dál (znovu “nenasadí”), princip počítání zůstává v podstatě zachován. Když například Kačka počítání změní v “jízdu” sem a tam, stále dodržuje to, že při odčítání začne pokrčovat prsty na plně natažené ruce od malíčku. Oproti tomu Emilka “jezdí” v tomto případě “přes palce” (prsty ruky, na které má všechny prsty natažené, začne pokrčovat od palce), jak je zvyklá u samostatných příkladů ze skupiny 2.2.2.1. I když tedy děti mohou přizpůsobit počítání na prstech jinému typu příkladu, styl počítání zůstává zachován. Proto se mi zdá velmi překvapující případ Emilky, která mění svůj princip počítání u čtvrtého typu řetězce na “jízdu” přes palce a nepoužívá tedy styl “pěst”, který použila u všech ostatních úkolů. Shrňme si počítání řetězců u jednotlivých dětí v následující tabulce.
18
tabulka 2
Honza Kačka
Veronika
Emilka
Sára
I. typ II.typ samostatné příklady
III.typ
jezdí jezdí samostatné samostatné příklady samostatné příklady příklady, šeptá si mezivýsledky samostatné mezivýsledky na mezivýsledky na příklady, styl pěst prstech21, styl pěst, prstech, styl pěst všechno si říká samostatné mezivýsledky na příklady, styl pěst prstech, styl pěst, zpaměti všechno si říká samostatné snaha držet si snaha držet si příklady, styl pěst mezivýsledky na mezivýsledky na prstech, styl pěst prstech, styl pěst
IV.typ jezdí jezdí mezivýsledky na prstech, styl pěst
jezdí mezivýsledky na prstech, styl pěst
Některý princip používaný u samostatných příkladů je vhodnější pro počítání řetězců než jiný. Nejvýhodnější je “čistá jízda”, kterou používá Honza. Styl “pěst” používaný Veronikou, Sárou a Emilkou22 je pro počítání řetězců míň efektivní. Dochází při něm totiž často k chybám, a když ne přímo k chybám (v případě Emilky), tak musí alespoň počítání věnovat zvýšenou pozornost. Při počítání stylem “pěst” se totiž může stát, že prsty znázorňující mezivýsledek zůstanou natažené “vprostředku”23, což není pro další počítání příliš vhodné postavení. Styl “pěst” je výhodnější jen časově u počítání jednotlivých příkladů, protože dítě nemusí menšitele načítat, ale použije prstovou figuru. V Prvním řetězci se vyskytly po sobě dva operátoři se stejnou hodnotou, ale s inverzním znamínkem (+3 a potom -3). Všechny děti počítaly tyto dva kroky jako dva příklady. Přitom to byl řetězec, který měly s napsanými mezivýsledky stále před sebou. Podle M. Rendla je to známka toho, že děti ještě nechápou příklady jako pohyb v číselné řadě. “... Teprve na úrovni chápání příkladu jako pohybu mezi dvěma body fixní názorné řady předpokládáme možnost chápat dva po sobě následující příklady jako dva kroky téhož pohybu, jako kroky, které se skládají v témž směru či se naopak částečně (případně zcela) kompenzují díky směru opačnému...” (RENDL 1998, s.206).
7. PRSTOVÉ FIGURY Ohlédneme-li se za sebranými daty, zjistíme, že děti prsty, které jim zobrazují výsledek, nepřepočítávají. Jen se na ně podívají a výsledek vědí. Existují sice i výjimky, například Kačka si pravidelně přepočítává prsty v případě, že jí vyjde čtyřka, ale jen minimální. Dokáží to díky tzv. prstovým figurám. Prstová figura je zažité a opakovaně stejně používané postavení prstů pro jednotlivé číslo. 21
Znamená to, že nemění mezivýsledkové postavení prstů a pokračuje od něj dál. Emilky se to týká jen u druhého typu řetězce. Třetí a čtvrtý počítá jinak. 23 Například postavení prstů vyjde tak, že mají natažené tyto prsty: 12345L 123P, tj. osm. Teď mají odečíst šest. Pokrčí všechny prsty na levé - udělají pěst a pokrčí ještě 1P. Tak jim zůstane trčet prostředníček a ukazováček a palec, prsteníček a malíček mají pokrčený. Jedou tedy v jiném směru (protisměru), než vyžaduje ”jízda” v řetězci, aby bylo počítání přehlednější. Kdyby ”jely” v opačném směru než přičítaly, tj. pokrčily by 321P 123L (nebo 543L), zůstaly by jim prsty natažené na kraji ruky a mohly by potom snadněji pokračovat dál. 22
19
Toho, aby se nemusel výsledek přepočítávat, lze také dosáhnout tím, že se při sčítání druhý sčítanec přidává od konce prvního a při odčítání se říká číselná říkanka pozpátku. Tedy například u příkladu 1+6 by děti postupně přidávaly prsty a říkaly si: “dva, tři, čtyři,..., sedm”. Postup načítání druhého členu příkladu přeříkáváním číselné říkanky od konce prvního člena není normálně používán. Dítě by u přičítání nebo odčítání větších čísel nevědělo, kolik už ubralo nebo přidalo prstů a ztratilo by se. Uvedený postup je tedy možný jen v případě, že druhý člen příkladu je malé číslo (jedna, dva, možná i tři). U sčítání jsem se s tímto postupem při malém druhém členu setkala24, ale u odčítání ne. Normální případ tedy vypadá tak, že dítě druhý člen příkladu načte25, potom se podívá na natažené prsty a řekne výsledek (Příklad 20), protože zná pro jednotlivá čísla svoje prstové figury. Použití prstových figur dobře demonstruje případ Kačky, která si u řetězce druhého typu musela přepočítat mezivýsledek sedm, protože jí vyšel v jiném postavení, než je její prstová figura (Příklad 12). Příklad 20 (experim3, 20.5.2003) - Honza: 10 - 6 : Všechny prsty natažené. Dlaně dolů. Propisku má v levé ruce na palci a prostředníku pod ukazovákem. Post. pokr. 54321P a 1L, říká šest → píše čtyři. Prstové figury jsou používány nejen k identifikaci výsledku, ale také k automatickému nastavení prvního člena příkladu. Děti naráz natáhnou příslušný počet prstů, aniž by je načítaly a hlavně je natáhnou vždy stejně. Například v druhém příkladě natáhne Honza všechny prsty levé ruky a na pravé přidá naráz palec a ukazovák. Prsty tedy natáhne naráz do figury sedmičky a nemusí je postupně načítat. Zkoušela jsem také, jestli děti poznají bez přepočítávání počet prstů, které jim já ukážu. V případě, že jsem použila figury, které běžně používají samy, tak to okamžitě poznaly. Když jsem ale ukázala například šest jinak než pět prstů jedné ruky a jeden druhé, tak si to musely přepočítat. Prstové figury výrazně urychlují počítání. Děti si prstové figury později osvojí natolik, že se při počítání na prsty ani nemusí dívat. Ve srovnání s počitadlem, kde musejí děti načítat všechna větší čísla a přepočítávat výsledky, je prstové počítání mnohem rychlejší. Na počitadle děti naráz manipulují nejvíce s třemi kuličkami. Oproti tomu prsty díky prstovým figurám umožňují rychlé nastavení potřebného počtu i při větších číslech.
8. DO DVACETI A PŘES DESÍTKU 8.1 Standardní postup počítání Než popíši, jak děti řešily problém použití deseti prstů k počítání příkladů do dvaceti a přes desítku, podívejme se, jakým způsobem se děti učí tyto příklady počítat ve škole. Příklady s přechodem přes desítku se učí počítat pomocí rozkladu. Druhého člena příkladu si rozdělí tak, aby dostali část čísla, která doplní desítku a zbytek. Vzniknou tak dva příklady, které děti umí spočítat. Tyto dva příklady se nepočítají odděleně, ale ve formě tříčlenného řetězce. Příklad 21 ( 22.10. 2003) Děti mají spočítat 6+8. U: “Jak si rozložíme číslo osm?” Setkala jsem se s tím u Veroniky u příkladu 4+3: “...Říká si : “čtyři”, současně nar. nat. 1234L → Říká si: “čtyři plus tři”, potom post. nat. 5L 12P a říká si :” pět, šest, sedm,”!!! → napíše sedm...” 25 Načítání znamená, že když chce přičíst nebo odečíst třeba sedm, říká si: ”jedna, dva, tři,..., sedm” a buď přidává nebo ubírá prsty .
24
20
D: “Na čtyři a čtyři” U: Dopíše rozklad na tabuli.”Proč jsme si vybrali tento rozklad?” D: “Protože šest plus čtyři je deset plus čtyři je čtrnáct.” Při konstrukci řetězce se vyskytla zajímavá chyba, kdy jeden chlapec při počítání příkladu 11-4 použil tento řetězec: “Číslo čtyři si rozložíme na jedna a tři, protože jedenáct plus jedna je deset plus tři je sedm.” Chlapec se soustředil na správné rozložení čísla a zvolení správného směru, přičemž znaménko nehrálo při konstrukci řetězce roli. Přechod přes desítku procvičují také pomocí číselné osy. Používají dva typy os. První typ číselné osy se skládá ze čtverečků. Číslo znázorňují vybarvené čtverečky. Barevně odlišují desítku. Například při znázornění příkladu 12-6 mají děti vybarvit deset dílků žlutě, dva modře a zprava doleva přeškrtávají šest čtverečků. Při tomto způsobu znázornění děti vidí zároveň i rozložení čísla šest na dva modré dílky a čtyři žluté. Znázorňovaní příkladů na čtverečkové číselné ose nedělá dětem problém. obr. 3
Děti pletou spíše znázorňování na druhém typu číselné osy, kterou je přímka s kolmými čárkami označujícími čísla v řadě za sebou. Pro znázornění pohybu na ose používají barevných obloučků. Mají-li děti zakreslit příklad 12-6 do číselné osy, vedou modrý oblouček od jedničky ke dvanáctce a červený oblouček od dvanáctky k šestce. U některých dětí se vyskytne chyba, že červený oblouček skončí už u sedmičky. Je to tím, že začínají odpočítávat šest čárek už od čárky, která označuje dvanáctku. Jak je to v hodinách matematiky s řetězci? V prvním pololetí druhé třídy jsou řetězce prvního typu běžnou součástí pracovních sešitů v různých podobách. Jeden je ukázán na následujícím obrázku. obr. 4 Druhý typ (řetězec zapsaný a děti si nikam nezapisují mezivýsledky) se vyskytuje
stejně jako v první třídě pouze ve tříčlenné podobě. Děti si také s jeho pomocí trénují restrukturaci příkladu přes desítku do tříčlenného řetězce za rozkladu druhého člena příkladu na část do desítky a “zbytek”. V matematických rozcvičkách zadává učitelka verbálně čtvrtý typ řetězce už i na známky, jestliže mají probíranou látku již dobře procvičenu. Výše byl popsán způsob, kterým se děti učí počítat příklady s přechodem přes desítku. Některé děti si pomocí rozkladu počítají i sami “v duchu”. Jsou však děti, které sice správně
21
rozloží příklad tak, jak se to učí ve škole, je-li to po nich vyžadováno, ale když počítají samy, volí jiné způsoby řešení.
8.2 Děti počítající pomocí rozkladů Kačka a Emilka si na konci první třídy na prstech počítaly. V prvním pololetí druhé třídy už prsty nepoužívají. Počítají si v duchu pomocí rozkladů. Nad každým příkladem delší dobu přemýšlejí. Všechny zadané úkoly vyřeší správně až na psaný řetězec bez psaných mezivýsledků. Při tomto řetězci dítě počítající pomocí rozkladů musí zvládnou orientaci mezi různými příklady, které jsou v řetězci implicitně přítomny. Jestliže se v řetězci objeví přechod přes desítku, dítěti se do zadaného řetězce dostane ještě jeden řetězec, který si dítě vytváří samo při restrukturaci příkladu. Kačka s Emilkou tedy musí vypočítat příklad, pamatovat si mezivýsledek, správně určit dalšího operátora, sestavit si příklad, číslo z operátora správně rozložit, určit směr počítání, sestavit a spočítat vzniklý řetězec, výsledek uchovat jako mezivýsledek atd. Tento náročný úkol vyžaduje zvýšenou pozornost, a proto se Kačka i Emilka dopouštějí chyb při rozkladu, které při počítání jednotlivých příkladů nedělají. Příklad 22 (Kačka) Zadaný řetězec: 19-7+6+5-8-6+4= Dlouho jí to trvá. Nevím jestli to ví. Nebo se ztratila. Zjišťuji, že se zasekla na příkladu 23-8. Ptám se jí, jak to počítá. Rozkladem. Osmičku rozkládá na 2 a 6. Říkám jí, že 23-8 se počítá podobně jako 13-8. Ptám se kolik je 13-8. Říká, že šest. Jak jsi na to přišla. Opravuje se na 5. Kačka využívá komutativity, jestliže druhým členem příkladu je číslo větší než první člen alespoň o dva. Tak například 4+9 si spočítá jako 9+4, 5+8 jako 8+5. Reverzibility příkladů 7+8 a 15-8 si však ani ona ani Sára nevšimly, i když byly napsány za sebou.
8.3 Počítání na prstech stylem z první třídy Honza ví, že má dovoleno počítat na prstech, a tak na nich počítá všechno, kromě příkladů, kterými si je jistý.26 Stejně jako v druhém pololetí první třídy má dlaně otočené k desce stolu. Způsob počítání je stejný jako v první třídě, pouze přizpůsobený počítání do dvaceti a přes desítku. Dříve znázorňoval prvního člena příkladu, který byl větší než pět, natažením všech prstů na levé ruce a příslušným počtem prstů na pravé. Nyní pro vyjádření těchto čísel používá pouze pravou ruku. Šestku reprezentuje natažený palec, sedmičku palec a ukazovák, osmičku palec, ukazovák a prostředník, atd. Pomocí pravé ruky znázorňuje také čísla větší než deset. Desítku znázorňovat nepotřebuje. Když nějaký příklad obsahuje desítku, tak ho spočítá zpaměti. Jedno postavení prstů tedy vyjadřuje při počítání do dvaceti vždy čtyři čísla. Například nataženým palcem, ukazovákem a prostředníkem může Honza ukazovat trojku, osmičku, třináctku nebo osmnáctku. V první třídě při počítání příkladů 2.227 natahoval Honza u přičítání druhého člena prsty zleva doprava (směrem k malíčku pravé), a při jeho odčítání krčil prsty zprava doleva (směr od malíčku pravé k malíčku levé). Tyto směry používá stejně i ve druhé třídě. Jakmile však dojde k některému z malíčků a potřebuje načítat dál, což se při počítání do deseti nestane, pokračuje dále palcem druhé ruky.
26 27
Jsou to příklady jako 16+3, 7+10, atd. Příklady, jejichž první člen je větší než pět. Viz kapitola Rozdělení samostatných příkladů.
22
Příklad 23 7+8: nar. nat. 12P → post. nat. 345P 12345L → píše 15 17-9: nar. nat. 12P→ post. pokr. 12P a post.se dívá na 12345L a znovu na 12P → natahuje zřetelně 345P → píše 8 I způsob počítání řetězců zůstává stejný jako na konci první třídy. Řetězec s psanými mezivýsledky počítá stejně jako samostatné příklady. Při počítání ostatních řetězců nechává mezivýsledky na prstech a dále pokračuje ze stejného postavení prstů, u kterého skončil. Dlaně má dolů a prsty “přidává” nebo “ubírá” v již popsaném stylu “jízda”28. Jakmile dojde při načítání nějakého čísla k malíčku a potřebuje načítat dál, pokračuje v pohybu prstů od palce druhé ruky, stejně jako u samostatných příkladů. Tím nepoužívá čistý styl jízda. Kdyby použil čistý styl “jízda”, musel by dvakrát použít malíček a vracet se zpátky směrem k palci. Od mezivýsledkového postavení opět pokračuje ve stylu jízda. Uveďme si příklad. Příklad 24 (říkaný řetězec, 15-3+6-9+5+3-3=) 15-3: nar. nat. 12345P→nar. pokr. 123P→ +6: post. nat. 321P 123L (směr zprava doleva)→ -9: post. pokr. 321L 12345P 1L (směr zleva doprava, pokrčení 1L→ nepokračuje v čistém stylu “jízda” )→ +5: post. nat. 1L 1234P (pokračuje opět ve stylu “jízda”)→+3: post. nat. 5P 12L→ -3: post. pokr. 12L 5P → říká 14. Bez chyby. Lehce. Jistě.
8.4 Odhadnutí Další způsob počítání příkladů přes desítku bez používání rozkladů reprezentuje Sára. Nepočítá si na prstech, ale v duchu. Protože počítá v duchu, není rozpoznatelný žádný rozdíl mezi počítání jednotlivých příkladů a řetězců. Příklady počítá rychle a rychleji než Kačka, která používá rozklady, nicméně dělá více chyb. I u samostatných příkladů, kde ostatní děti nechybují, udělala dvě chyby. Řetězce kromě říkaného jí též vyjdou špatně. Udělá v nich jednu či dvě chyby. Chyby se objevují u příkladů na odčítání i sčítání, a nemusí být přes desítku.29 Sama popisuje svůj způsob počítání tak, že čísla ubírá nebo přidává. Míní tím, že odříkává číselnou říkanku od konce prvního čísla v příkladu. Například 18-7 si spočítá pomocí přeříkávání číselné říkanky pozpátku. Chyby se objevují, protože Sára začíná odříkávat číselnou říkanku už od zadaného prvního čísla, a tudíž ji vyjde výsledek o jedničku vyšší (viz následující příklad) u odčítání, nebo o jedničku nižší při sčítání. Jakým způsobem kontroluje, kolik už ubrala nebo přidala, není schopna popsat. Chybu toho druhu, že by odpočítala málo nebo moc čísel, nedělá. Prsty k tomu nepoužívá. S prsty hýbe spíše z nervozity nebo při soustředění, protože si občas při počítání hraje třeba i s klíči na krku. Na mnou návodnou otázku (viz následující příklad), jestli to jen tak odhadne, odpovídá kladně. Nicméně odhadnutí zde nemůže znamenat naprostou nekontrolu pohybu ubírání či přidávání. Sára odříkávání nějakým způsobem kontrolovat musí, protože jinak by dělala více chyb, ale nepodařilo se mi zjistit, jaký způsob kontroly používá. Příklad 25 ...Dávám jí příklad 16-7. S rukama nic nedělá. Říká 10, pak se opravuje na 9. Říká, že si to počítá v duchu. “Zkus říct nahlas, co si říkáš v duchu.” “Počítám čísla tak, že je uberu. Že počítám 16, 15,...10.” (začíná odpočítávat už od 16-tky) “A jak víš, kdy se máš zastavit?” “Nevím.” “Počítáš si to na prstech?” “Ne.” “Tak to jen tak 28
Prsty natahuje či pokrčuje pohybem zleva doprava (od malíčku levé k palci levé přes palec pravé k malíčku pravé) a zpátky zprava doleva (ve směru od pravého malíčku k palci pravé ruky přes palec levé k levému malíčku). 29 Například udělala chybu v příkladu 18-7.
23
odhadneš?” “Jo.”...
8.5 Ještě jeden styl počítání na prstech Kromě Honzova způsobu počítání na prstech jsem postřehla ještě jeden zajímavý styl. Používá ho Veronika. Když je zadán příklad na sčítání, používá Veronika stejného způsobu jako Honza, jen s tím rozdílem, že začíná na levé ruce. Stejně jako u Honzy jedno postavení prstů může znamenat v dvacetičíselném oboru čtyři různá čísla. Natažený palec a ukazovák může znázorňovat dvojku, sedmičku, dvanáctku nebo sedmnáctku. Po nastavení prvního čísla pokračuje natahováním příslušného počtu prstů směrem k malíčku a na druhé ruce dále postupuje od palce k malíčku. U příkladů na sčítání není na prstovém počítání Veroniky tedy nic zvláštního. Zajímavý je ale způsob používání prstů při odčítání přes desítku. Podívejme se na následující příklad. Jak to, že došla tímto způsobem ke správnému výsledku? U prvního příkladu jí vyšel natažený levý malíček. Jak poznala, že výsledek je osm? Příklad 26 17-9: nar. nat. 12L 12345P → nar. nat. 345L, má tedy natažené všechny prsty→ nar. pokr. 1234L→ má nat. 5L → píše 8 15-8: nat. všechny prsty → nar. pokr. prsty na pravé a 123L → píše 7 řetězec: mezivýsledek je 12, operátor -6: natáhne všechny prsty, nar. pokr. 12345P 1L→ nar. nat. 2345L→ ví, že mezivýsledek je 6. Říká si 23 minus 8, nar. pokr. 12345P 123L → ukazuje si na 45L (říká si 14,15)→ má mezivýsledek 15. Veronika začíná tím, že natáhne všechny prsty a poté pokrčí tolik prstů, kolik vyžaduje znázornění druhého člena příkladu. Používá přitom styl pěst, který užívala i v první třídě při odčítání čísel větších než pět. Udělá pěst z pravé ruky a na levé pokrčí zbývající počet prstů. Na levé ruce natažené prsty vyjadřují doplnění druhého člena příkladu do desítky. Právě toho Veronika využívá. Od prvního člena příkladu totiž odečte deset a k výsledku přičte počet, který udávají natažené prsty. Takže příklad 15-8 si rozdělí na 15-10+2=7. Příklad přes desítku se tak rozpadne na dva jednoduché příklady, které umí spočítat zpaměti. V případě, že je zpaměti spočítat neumí, stačí použít napočítávání pomocí číselné říkanky a ukazování si na natažené prsty. Příklad 26 (“23-8”) Veroničino napočítávání ukazuje. Tímto způsobem se Veronika zbaví složitého výpočtu přes desítku. Nicméně problém u Veroniky byl v tom, že tento způsob používala i tam, kde se nehodil, nebo kde mohl být použit jednoduší způsob. Použila ho například u příkladu 19-7, kde by mohla použít svůj styl pěst, nebo také se ho snažila aplikovat na příklad 18-11, a když ji to nešlo, musela si pomoci malováním čárek. Ilustruje to následující příklad. Příklad 27 19-7: nat. všechny prsty, nar. pokr. 12345P 12L, udělá znovu to stejné, dívá se, pak pokr. ještě 3L→ má nat. 45L (má ukázánu dvanáctku). 18-11: dlaně od sebe, všechny prsty natažené, všechny prsty skrčí, neví→ dolů na papír si začne dělat čárky. Udělá osmnáct čárek a zprava doleva je škrtá. Potom si přepočítá zbylý počet čárek. Při počítání řetězců nedrží mezivýsledky na prstech, ale potichu si je říká, nebo pohybuje rty. Šeptá si také celé příklady, které si během počítání řetězce vytváří. Když dojde na přičítání dalšího operátora, použije někdy způsob z jednotlivých příkladů. U nich, když došla při napočítávání k malíčku, pokračovala dál palcem druhé. V průběhu napočítávání si říkala: “jedna, dva, tři,...”, a pak z výsledné prstové figury poznala, kolik je výsledek. Občas ale použije jiný způsob, při kterém začíná napočítávat od konce prvního člena příkladu a prsty
24
slouží jako kontrola napočítávaného množství. Takže například při počítání příkladu 12+6 si postupně ukazuje na natažený prostředníček, prsteníček a malíček dvakrát po sobě a říká si šeptem: “třináct, čtrnáct, ..., osmnáct.”
9. ADAPTABILITA POČÍTÁNÍ NA PRSTECH Děti si počítají na prstech už před vstupem do první třídy. Denis na otázku, zda si počítal na prstech, ještě než šel do školy, odpověděl: “Jo, třeba kuličky.” Prsty se stávají nástrojem pro praktické počítání mnohem dříve, než je dítě systematicky vyučováno teoretické matematice ve škole. Možná, že dítě vidělo někoho jiného počítat na prstech, možná přišlo samo na to, že prsty jsou dobrým pomocníkem při počítání, nicméně mu nikdo neřekne přesně, jak prsty použít. Každé dítě tak má prostor pro vytvoření individuálního stylu počítání. Práce ukázala různé, zcela originální styly počítání na prstech a jejich specifický vývoj. Originální a individuální způsoby počítání byly nalezeny nejen u dětí počítajících na prstech. Přes stejný výukový proces v hodinách matematiky se stejnými učebnicemi, stejným způsobem výkladu, stejným znázorňováním a výstavbou teorie si některé děti vypracovávají vlastní styl počítání, který není ve shodě s vyučovaným postupem řešení příkladů. Výrazně je to vidět u počítání příkladů přes desítku u těch dětí, které nepočítají pomocí rozkladů. Jestliže tedy dítě počítá “z hlavy”, jak mi říkáme “zpaměti”, neznamená to, že vždy počítá z hlediska vyučovaného postupu správně. Jak ukazuje příklad Sáry, která sice počítá z našeho pohledu “zpaměti” a tudíž na první pohled formálně správně, způsob počítání se svou logikou může výrazně lišit od vyučovaného postupu. Práce tedy upozornila na fakt, že nedodržování vyučovaného postupu řešení příkladů se vyskytuje nejen u dětí, které počítají na prstech, ale i u těch, které počítají „zpaměti” lépe řečeno „zhlavy”. Pojem „zpaměti” se používá plošně pro označení počítání, kdy se nepoužívá žádný vnější nástroj. Děti jsou děleny na ty, které počítají na prstech a na počítající „zpaměti”. Jak ukazuje především počítání přes desítku, měli bychom si všímat rozdílů v počítání „zpaměti“. Je patrný rozdíl mezi situací, kdy dítě ví výsledek hned bez přemýšlení a situací, kdy dítě delší dobu přemýšlí, než řekne výsledek. Co se děje v jeho hlavě? Z pozorování je též patrné, jak děti přizpůsobují svůj styl použití prstů různým typům příkladů. Prsty, které nejprve slouží hlavně k uchopení množství a spočítání konkrétních předmětů, děti hned na počátku školní docházky přizpůsobí řešení příkladů. Styl počítání je velmi flexibilní. Vyžaduje-li to praxe, tedy častý výskyt určitého typu příkladu, přizpůsobí úkolu dítě svůj styl počítání. Tak například při řetězci počítaném v duchu bez říkání mezivýsledků nahlas, se kterým se děti setkávají nejčastěji, Emilka změní svůj styl počítání ze stylu pěst na styl jízda, který je pro počítání řetězců výhodnější. Při počítání příkladů přes desítku si nedovedeme představit, jak by se dítě počítající na prstech mohlo orientovat ve výsledcích, zvláště při počítání řetězců, když jedna poloha prstů může představovat čtyři různá čísla. Přesto děti dokáží i zde efektivně využít prsty. Buď svůj styl radikálně změní (případ Veroniky), nebo jen přizpůsobí svůj styl počítání na prstech novému typu příkladu, jak tomu bylo u Honzy, u kterého byl automatický pohyb a bezpečná orientace v prstových polohách nejlépe vidět. Některé styly počítání na prstech jsou pro určité typy příkladů výhodnější než jiné. Nejvíce lze výhodnost pozorovat při počítání řetězců bez zapisování mezivýsledků. Styl jízda je výhodnější než styl pěst. Přesto jsou všechny pozorované styly počítání na prstech zcela dostačujícím nástrojem pro počítání příkladů v první třídě a v prvním pololetí třídy druhé. Bylo by zajímavé pozorovat, zda a jakým způsobem by děti počítaly na prstech v budoucnu, například při výuce násobilky.
25
Práce také vyvrátila častý omyl, že počítání na prstech je pomalejší než počítání “zpaměti”. Rychlost výpočtu závisí u obou způsobů počítání na různých proměnných, jako je míra automatizace počítání, výhodnost stylu počítání, typ příkladu, žákovi dovednosti, míra stresu, atp. Rychlost počítání dětí počítajících na prstech, jestliže nebyly zrovna pod tlakem zákazu používání prstů, byla srovnatelná s rychlostí výpočtu dětí, které počítaly “zpaměti”. Například Honza při příkladech přes desítku počítal na prstech často rychleji a hlavně jistěji než Emilka, která počítala pomocí rozkladů. Jestliže je počítání na prstech zcela dostačující pro výpočty a díky automatizaci i stejně rychlé, proč se tedy počítání na prstech zakazuje? Zřejmé jsou důvody sociální. M. Rendl (1998, str. 30) vidí dva hlavní sociální důvody vytváření tlaku proti prstům. Prvním důvodem je problém komunikace. Ve výuce matematiky je vyučován systém se závaznými pravidly, který je možno rozpoznat a kontrolovat proto, aby byl přístupný druhým. Vytváří se tak společně sdílená realita, která umožňuje vzájemnou komunikaci. Styl počítání na prstech je vyvinut jako individuální. Neexistují tedy pro všechny stejná pravidla použití prstů. Počítání na prstech také obsahuje komponenty nepodléhající zrakové evidenci a tedy ani kontrole druhého. To vše brání vzájemné komunikaci. Druhý problém se týká využití kulturních nástrojů počítání. Specifický styl počítání brání dalšímu vývoji chápání příkladu jako výrazu vztahů v symbolickém systému - systému čísel. Fixuje totiž nepříznakovost operací v imaginárním registru, a to v takové formě, která znemožňuje grafizaci. Kdybychom použili termínů M. Hejného a F. Kuřiny (2001), dal by se tento problém popsat jako nežádoucí setrvání u univerzálního modelu místo přejití k modelu abstraktnímu, který umožňuje vyjádření v matematické symbolice. I když M. Hejný a F. Kuřina (2001) vidí sociální důvody zakazování počítání na prstech, jsou proti tomuto zakazování. Počítání na prstech patří podle nich k mnohým tabu, která jsou sice z hlediska průběhu výuky pochopitelná, která ale mohou být překážkou v rozvíjení aktivity a tvořivosti žáků. Nekritizují vedení žáků k přijetí určitých konvencí, ale předávání poznatků bez vysvětlení jejich smyslu, bez ukázání, že konvenční řešení je v zájmu dětí, jinak by se nemohly domluvit s ostatními. Počítání na prstech podle nich umožňuje porozumění struktuře příkladů. Kritizují, že se porozumění, což je přirozená strategie učení se matematice ve školách nahrazuje strategií memorování. M. Hejného a F. Kuřinu zkušenosti vedou k přesvědčení, že v matematice a nejen v té elementární, jakékoli memorování má spíše negativní vliv. M. Hejný a F. Kuřina se domnívají, že jestliže učitelé zakazují dětem používat prsty, brání tak přirozenému utváření představ. Proto kvůli tomu, aby docházelo k rozvoji kognitivních struktur žáků, nabádají k respektování duševních postupů dětí, které mohou být i nestandardní a v důsledku toho i zvláštní. M. Hejný a F. Kuřina upozorňují, že důležitější než hbité a spolehlivé počítání je to, aby žáci operaci sčítání rozuměli. Sčítací spoje se děti dříve nebo později naučí i bez drilu, bez donucování k učení zpaměti a beze strachu, budou-li počítat, a naopak nazpaměť naučené výsledky zapomenou, nebudou-li je používat. Jestliže se dítě něco naučí zpaměti bez porozumění, pak předpoklady v budoucnu umět matematiku jsou daleko nižší než předpoklady toho dítěte, které sice počítá pomalu na prstech, ale operaci rozumí. To co tvrdí M. Hejný a F. Kuřina může být teoreticky pravda, v praxi to ale není tak jednoduché a černobílé, jak by se mohlo zdát. Říkají, že jakékoli memorování má spíše negativní vliv. Nicméně memorování, tedy učení se nazpaměť, je v každém předmětu a tedy i v matematice potřeba. Souhlasím s tím, že látka má být podána tak, aby jí žák porozuměl. Mnohé poznatky ale musí být osvojené do té míry, aby mohly být automaticky a velmi rychle vybaveny a použity. Proto je u některých poznatků následná fáze memorování, tedy učení se nazpaměť, velmi potřebná. Některým dětem motorická modalita vytváření příkladů může výrazně pomoci
26
porozumět struktuře příkladů, a tím napomáhá rozvoji kognitivních struktur, jak o tom mluví M. Hejný a F. Kuřina. Proto by se dítě nemělo traumatizovat přísným zakazování počítání na prstech. Nicméně postupně je právě ze sociálních důvodů a z důvodu automatizace potřeba vyvíjet určitý tlak proti používání prstů. Je třeba dávat najevo společenskou nepřijatelnost počítání na prstech, aby si děti osvojily počítání bez nich. Je totiž otázka, zda by bez společenského tlaku proti prstům, přestali všichni žáci na prstech počítat. To, že si žáci svobodně počítající na prstech sčítací spoje osvojí i bez drilu, bez donucování počítání zpaměti, jak uvádí M. Hejný a F. Kuřina, nemusí být vždy důsledek přirozeného vývoje, ale sociálního tlaku (někdy třeba jen implicitně přítomného) proti počítání na prstech. Proč by totiž dítě, kterému počítání na prstech naprosto vyhovuje, protože má osvojený fungující styl aplikovatelný na různé druhy příkladů a necítí žádný sociální tlak proti počítání na prstech, mělo přestat používat prsty? Z uvedeného vyplývá, že důvody k přestání používání prstů jsou především dva. Zaprvé je to již uvedená společenská nepřijatelnost. Druhý důvod souvisí s použitelností a efektností počítání na prstech. Pro dítě prostě přestane být prstové počítání z různých důvodů výhodné a spontánně přejde na počítání zpaměti. Také je třeba podotknout, že i když se počítání na prstech zakazuje a učitelky mluví o počítání “zpaměti”, nejde jen o pouhé memorování. Struktura tvoření příkladů je náležitě vizuálně představena a verbálně vysvětlena. Počítání na prstech je jen další modalitou sloužící k uchopení struktury příkladů, modalitou motorickou. Všeobecně též neplatí názor, že zakazování počítání na prstech brání přirozenému rozvoji utváření představ dítěte. To může platit pouze do té doby, než se počítání na prstech u dítěte stane automatickou činností. Brzy totiž dítě počítá na prstech tak automaticky, že bychom klidně mohli mluvit o počítání zpaměti na prstech. Děti si tedy v tomto případě žádné představy nevytváří. Pohyby prstů jsou tak zautomatizované, že si děti neuvědomují jakým způsobem prsty používají. Jsou to algoritmy, které nevyžadují soustředění ani přemýšlení.
10. ZÁVĚR Práce popisuje styly počítání na prstech u dětí, které si pomocí nich počítají příklady do pěti, do deseti, do dvaceti a přes desítku. Jednotlivé styly počítání jsou rozmanité a originální a pro počítání uvedených příkladů naprosto dostačující, protože byly co do rychlosti a kvality (daná mírou dosažení správných výsledků) stejně efektivní jako počítání „zhlavy”. Z počítání na prstech se totiž postupně stává automatizovaný návyk, který umožňuje počítat stejně rychle nebo i rychleji než „v duchu”. Počítání na prstech vykazuje velkou adaptabilnost. Práce ukázala, jak styl počítání u některých dětí zůstává zachován a jak se u jiných mění v důsledku různých typů příkladů, s růstem obtížnosti příkladů či v důsledku počítání příkladů v širším oboru čísel. Bylo překvapivé, jak originálně děti používaly prsty při počítání příkladů přes desítku. Každé dítě si vypracovalo svůj individuální styl počítání. Žádný styl nebyl úplně totožný. Nicméně se vyskytly společné charakteristiky jednotlivých stylů počítání, a proto práce obsahuje začlenění jednotlivých stylů počítání do širších skupin na základě společných charakteristik (například styl “jízda” a styl “pěst”). Počítání na prstech však má své limity. Některé styly počítání se ukázaly být výhodnější pro určité typy příkladů, ale hlavně je počítání na prstech obecně společensky nepřijatelné. Nejvíce snad kvůli sociálnímu tlaku proti prstům, ale možná i z důvodu přirozeného přechodu k výhodnější strategii počítání, děti přestávají na prstech počítat.
27
11. LITERATURA HEJNÝ, M.; KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika. Praha : Portál, 2001. MAREŠ, J. Styly učení žáků a studentů. Praha : Portál, 1998. MOLNÁR J. Matematika pro 1. ročník 1-3. díl. Praha : Prodos, 1997. MOLNÁR J. Matematika pro 2. ročník 1. díl. Praha : Prodos, 1997. RENDL, M. Na cestě k číslům. Pedagogika, roč. 45, č., 1995, s. 373-386. RENDL, M. Vývoj počítání v první třídě. In: Pražská skupina školní etnografie : První třída. Praha: PedF UK, 1998.
28
12. PŘÍLOHA Př. samostatné příklady 1.pol.2.třídy: 11+8= 17-9= 18-11= 16+3= 15-7= 6+9= …
2.pol.1.třídy: 10-6= 8-7= 4+5= 1+7= 9-7= 2+7= …
1.pol.1.třídy: 1+3= 2+2= 5-4= 3-3= 4-0= 1+4= …
Př. řetězec prvního typu 8
1
-5
+1
+4
-6
+2
Př. řetězec druhého typu 2+1+1-2= 10-3-5+7-6+4+2-8= 19-7+6+5-8-6+4=
Př. verbálně zadávané řetězce 3+1-2-0+1= 8-6+7-5-3+6+3-8= 15-3+6-9+5+3-3=
29
+9
