Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie. Strategie dětí pří řešení úloh typu matice

Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie

Strategie dětí pří řešení úloh typu matice

Anna Páchová Psychologie – speciální pedagogika 3. ročník - 2007/2008

OBSAH 1. ÚVOD................................................................................................................................................................. 4 2. METODY........................................................................................................................................................... 4 3. STRATEGIE DĚTÍ PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH TYPU MATICE ......................................................................... 5 3.1 SBÍRKOVÉ STRATEGIE ................................................................................................................................. 5 3.1.1 Strategie stejnosti ................................................................................................................................. 6 3.1.2 Strategie rozdílnosti ............................................................................................................................. 6 3.1.3 Jednodušší sbírkové strategie .............................................................................................................. 6 3.1.4 Analytická strategie ............................................................................................................................. 6 3.2 ORNAMENTÁLNÍ STRATEGIE ....................................................................................................................... 7 3.3 STRATEGIE GRAFICKÝCH OPERACÍ ............................................................................................................. 7 3.3.1 Pokus o sklad ....................................................................................................................................... 7 3.3.2 Princip grafického skladu/rozkladu .................................................................................................... 7 4. PRINCIPY MATIC – CO SE OD ŘEŠITELŮ OČEKÁVÁ? ....................................................................... 8 5. POPIS MATIC .................................................................................................................................................. 9 5.1 ÚLOHA B1 .................................................................................................................................................... 9 5.1.1 Chybná řešení ...................................................................................................................................... 9 5.1.2 Správná řešení ................................................................................................................................... 10 5.2 ÚLOHA B3 .................................................................................................................................................. 10 5.2.1 Chybná řešení .................................................................................................................................... 10 5.2.2 Správná řešení ................................................................................................................................... 10 5.3 ÚLOHA B5 .................................................................................................................................................. 11 5.3.1 Chybná řešení .................................................................................................................................... 11 5.3.2 Správná řešení ................................................................................................................................... 12 5.4 ÚLOHA B7 .................................................................................................................................................. 12 5.4.1 Chybná řešení .................................................................................................................................... 13 5.4.2 Správná řešení ................................................................................................................................... 13 5.5 ÚLOHA B9 .................................................................................................................................................. 14 5.5.1 Chybná řešení .................................................................................................................................... 14 5.5.2 Správná řešení ................................................................................................................................... 15 5.6 ÚLOHA B11 ................................................................................................................................................ 16 5.6.1 Chybná řešení .................................................................................................................................... 16 5.6.2 Správná řešení ................................................................................................................................... 17 5.7 SROVNÁNÍ ÚLOH B9 A B11 ........................................................................................................................ 17 5.7.1 Stejnost sloupců vs. vývoj v řádku .................................................................................................... 18 5.7.2 Oba směry .......................................................................................................................................... 18 5.8 ÚLOHA C1 .................................................................................................................................................. 18 5.8.1 Chybná řešení .................................................................................................................................... 18 5.8.2 Správná řešení ................................................................................................................................... 18 5.9 ÚLOHA C3 .................................................................................................................................................. 19 5.9.1 Chybná řešení .................................................................................................................................... 19 5.9.2 Správná řešení ................................................................................................................................... 20 5.10 ÚLOHA C5 ................................................................................................................................................ 20 5.10.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 21 5.10.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 21 5.11 ÚLOHA C7 ................................................................................................................................................ 22 5.11.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 23 5.11.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 24 5.12 ÚLOHA C9 ................................................................................................................................................ 24 5.12.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 24 5.12.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 25 5.13 ÚLOHA C11 .............................................................................................................................................. 26 5.13.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 27 5.13.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 28 5.14 ÚLOHA D1 ................................................................................................................................................ 28

2

5.14.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 28 5.14.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 29 5.15 ÚLOHA D3 ................................................................................................................................................ 30 5.15.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 30 5.15.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 31 5.16 ÚLOHA D5 ................................................................................................................................................ 31 5.16.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 31 5.16.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 32 5.17 ÚLOHA D7 ................................................................................................................................................ 33 5.17.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 33 5.17.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 34 5.18 ÚLOHA D9 ................................................................................................................................................ 35 5.18.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 35 5.18.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 36 5.19 ÚLOHA D11 .............................................................................................................................................. 37 5.19.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 38 5.19.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 39 5.20 ÚLOHA E1 ................................................................................................................................................ 39 5.20.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 39 5.20.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 40 5.21 ÚLOHA E3 ................................................................................................................................................ 41 5.21.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 41 5.21.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 43 5.22 ÚLOHA E5 ................................................................................................................................................ 43 5.22.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 43 5.22.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 45 5.23 ÚLOHA E7 ................................................................................................................................................ 45 5.23.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 46 5.23.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 47 5.24 ÚLOHA E9 ................................................................................................................................................ 47 5.24.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 47 5.24.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 49 5.25 ÚLOHA E11 .............................................................................................................................................. 49 5.25.1 Chybná řešení .................................................................................................................................. 49 5.25.2 Správná řešení ................................................................................................................................. 50 5.26 SROVNÁNÍ PRINCIPŮ V ÚLOHÁCH E1, E3 A E5 ....................................................................................... 51 5.26.1 Strategie grafického skladu/rozkladu.............................................................................................. 52 5.26.2 Sbírková strategie či strategie stejnosti ........................................................................................... 52 5.27 SMĚRY ČTENÍ VYBRANÝCH MATIC .......................................................................................................... 52 6. POČTY CHYB ................................................................................................................................................ 53 6.1 ROZDÍLY MEZI MLADŠÍMI A STARŠÍMI DĚTMI .......................................................................................... 55 6.2 ROZDÍLY MEZI ÚSPĚŠNÝMI A NEÚSPĚŠNÝMI ŘEŠITELI ............................................................................ 56 6.3 ROZDÍLY MEZI CHLAPCI A DÍVKAMI ......................................................................................................... 57 7. SROVNÁNÍ RAVENOVÝCH A BINETOVÝCH MATIC......................................................................... 57 8. ZÁVĚR............................................................................................................................................................. 58 8.1 STRATEGIE DĚTÍ PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH TYPU MATICE .................................................................................... 59 8.2 TYPY ČTENÍ MATIC .................................................................................................................................... 59 8.3 POČTY CHYB .............................................................................................................................................. 59 8.4 SROVNÁNÍ RAVENOVÝCH A BINETOVÝCH MATIC .................................................................................... 60 9. LITERATURA ................................................................................................................................................ 61 10. PŘÍLOHY ...................................................................................................................................................... 62

3

1. ÚVOD Progresivní matice jsou všeobecně rozšířeným testem pro měření inteligence. Mohou se vyskytovat ve formě samostatného inteligenčního testu jako je tomu u souborů Ravenových testů (Standard Progressive Matrices - SPM, Advanced Progressive Matrices – APM či Colored Progressive Matrices) (Raven, 1938, 1947, 1965). Nebo mohou být jedním ze subtestů inteligenčního testu jako je tomu u Binetova subtestu Matice, který je součástí Standforského Binetova inteligenčního testu. J. C. Raven byl prvním, který navrhl logický problém typu matice. Sám popisuje progresivní matice jako „test momentální kapacity jedince ke srovnávání, k analogickému usuzování a k rozvoji logických metod uvažování bez ohledu na předchozí zkušenosti“ (Raven, 1938, str. 12). „Ravenovy matice jsou nejznámějším a nejrozšířenějším testem mentálních schopností, který redukuje kulturní vlivy“ (Steven, 1985-1986). Na poli kognitivní psychologie bývají Ravenovy matice kromě měření inteligence využívány k vyšetřování vztahů mezi Gf (fluid intelligence) a pracovní pamětí, případně jejími komponentami. To vede ke zvýšení zájmu o to, jaké faktory určují složitost matic. Tímto se zabývá např. R. Primi (Primi, 2000) či P. A. Carpenter (Carpenter, 1990). Zabývání se složitostí matic nás posouvá do jiných sfér. Inteligenční koeficient nám podává informaci o rozumových schopnostech dítěte. Formulace faktorů, které ovlivňují složitost matic, nás přibližuje k pochopení problematice lidského uvažování. Problematikou lidského, resp. dětského uvažování se zabývám v následujícím textu. Tuto problematiku jsem řešila již dříve ve své postupové práci a v práci na metodologii. V postupové práci jsem zkoumala strategie dětského uvažování při řešení Binetových matic. V práci na metodologii jsem vytvořila k některým Binetovým maticím ekvivalentní matice naplněné verbálním materiálem. Následně jsem se zabývala srovnáním těchto matic. Předkládaný text se snaží na tyto předchozí studie navázat. Ke zkoumání dětského uvažování jsem tentokrát využila Ravenův test. Mým cílem bylo popsat alespoň některé ze strategií, které děti využívají při řešení tohoto testu a tyto strategie porovnat se strategiemi, které jsou dětmi využívány v Binetových maticích. Tento proces nám může pomoci k přesnějšímu zobecnění získaných výsledků. Při tomto rozboru by bylo škoda nevyužít možnosti porovnat oba testy i z jiných úhlů pohledu. Komparaci testů mezi sebou jsem si tudíž stanovila jako další cíl mé práce. 2. METODY Jako testovací materiál jsem si vybrala Ravenovy standardní progresivní matice (Ravenova souška pre dospelých, Psychodiagnostické a didaktické testy, Bratislava, 1972) a to vždy lichá čísla úloh. Do tohoto výběru jsem nezahrnula úlohy typu A. Vznikl mi tedy testovací sešit čítající 24 úloh, rozdělených do 4 skupin (B, C, D, E) dle typu principu, který se v maticích vyskytuje. Testovací sešit jsem postupně zadala 30 dětem (15 dívkám, 15 chlapcům). 15 dětí bylo ze 4. třídy (7 dívek, 8 chlapců) a 15 dětí bylo ze 6. třídy (8 dívek a 7 chlapců). Testování bylo ústní. Úkolem každého dítěte bylo určit správnou možnost („to, co se do prázdného okénka nejvíce hodí“) a následně doplnit ústní zdůvodnění. Normalita získaných dat byla testována Shapiro-Wilk W testem a následně ještě testem Kolmogorov-Smirnov. Normální distribuce dat nebyla potvrzena, proto jsem dále používala neparametrické metody. Ke zjištění korelací jsem použila metody Spearman R, Kendall Tau a Gamma. K porovnávání dvou skupin jsem používala Mann - Whitneyho U test.

4

3. STRATEGIE DĚTÍ PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH TYPU MATICE K řešení úloh tohoto typu používají děti různé strategie. Některé z nich jsem již popsala ve své postupové práci a v práci na metodologii na Binetových maticích. Ravenovy matice jsou založeny na podobných principech a tudíž i dětské strategie řešení jsou v obou testech velice podobné. Nová data tedy pouze o něco rozšiřují a doplňují původní výčet strategií. Stejně jako v Binetových maticích, lze i v těch Ravenových nalézt dva rozdílné typy matic. První typ obsahuje jakési ornamenty, které lze popsat pomocí parametrů, které nabývají různých hodnot. Tak např. černý kosočtverec je pro nás sloučenina dvou parametrů – tvar a barva. Přičemž parametr tvar obsahuje hodnotu kosočtverec a parametr barva hodnotu černá. Důležité je, že při řešení takovýchto úloh dochází ke kombinacím a změnám či zachováním jednotlivých hodnot. Hodnoty takovýchto parametrů nazveme vlastnosti. (Rendl, 2002) Druhý typ matic obsahuje ornamenty, které rovněž můžeme popsat pomocí parametrů a jejich hodnot. Rozdíl je však v řešení těchto úloh. Nejde zde o změnu hodnot parametrů, jde zde o grafické operce (součet/rozdíl) s celými ornamenty. „Takové hodnoty pak mají povahu prvků, elementů, jež mohou existovat každý sám o sobě, nebo tvořit komplexnější shluky, které jsou jejich grafickým součtem.“(Rendl, 2002). Rozdíl tedy není v jednotlivých políčkách matice. Každé políčko zvlášť lze popsat pomocí parametrů a jejich hodnot. Rozdíl je viditelný teprve v kontextu celé matice. Až princip, který v ní čteme, vtiskuje jednotlivým hodnotám povahu vlastnosti, či elementu. „Vlastnost je tedy kvalitativní rozdíl vyjádřitelný pouze jako binární opozice hodnot. Naproti tomu element má kvantitativní povahu "kusu" a je schopen se účastnit sčítání/odčítání, ubírání/přidávání“ (Rendl, 2002, str. 12). Do první skupiny úloh, jejíž hodnoty představují vlastnosti, lze zařadit z mého testovacího sešitu tyto úlohy: B1, B3, B5, B7, B9, B11, C1, C7,C9, D1, D3, D5, D7, D9, D11, E9. Do druhé skupiny úloh, které jsou tvořeny elementys nimiž lze provádět grafické operace, jsou zařazeny tyto úlohy: E1, E3, E5, E7, E11. Úlohy, jejichž hodnoty mohou být považovány za vlastnosti i elementy, jsou úlohy C3, C5, C11. Stává se, že děti používají strategie, které vedou ke správnému řešení u prvního typu úloh při řešení úloh druhého typu a opačně. Proto se dopouštějí chyb. Obecně lze však říci, že úlohy prvního typu lze správně řešit pomocí sbírkových strategií a úlohy druhého typu pomocí strategií grafických operací. Mezi těmito strategiemi (či vedle nich) stojí strategie ornamentální. Pozn. Výčet strategií byl sepsán až po prostudování všech sebraných dat. Pro větší přehlednost ho však umísťuji na začátek textu. 3.1 Sbírkové strategie Sbírkové strategie tvoří velice širokou skupinu strategií, která zahrnuje různě varianty od těch nejjednodušších až po ty nejsložitější. Jednotlivé typy sbírkových strategií nelze od sebe oddělit. Tvoří spíše spojitou škálu, jež na jednom konci obsahuje strategii stejnosti a rozdílnosti a na konci druhém analytickou strategii.

5

3.1.1 Strategie stejnosti Strategie stejnosti je strategie, která je spolu se strategií rozdílnosti nejednodušším typem sbírkových strategií. Děti doplní do matice stejný ornament právě proto, že se již v matici vyskytuje. V Binetových maticích se vyskytuje především ve čtyřpolových úlohách, kde je spojena se správným řešením a stojí blízko ornamentální strategie (Binetovy matice jsou více stavěny na diagonálních pravidelnostech nežli matice Ravenovy. Doplnění stejného tvaru do protějšího políčka je tedy spojeno s ornamentálně správným tvarem a zároveň se správným řešením). U Ravenových matic vede tento princip ke správným řešením pouze u nejjednodušších úloh ze skupiny B. U složitějších úloh je pak dětmi využívána především v situacích, kdy si nevěsí rady. Doplnění stejného ornamentu, jaký se již v matici vyskytuje, je tím nejméně bolestným řešením. 3.1.2 Strategie rozdílnosti Strategie rozdílnosti je opakem strategie stejnosti. Ve formách diferenciovanějších má blízko k jednodušším sbírkovým strategiím. Ve své nejdůslednější formě je do matice doplněn ornament, který se v ní ještě nevyskytuje. Pokud se jedná opravdu o celou matici a ne jen o její řádek či sloupec, nevede tato strategie ke správným řešením. V Binetových maticích je její frekvence výrazně nižší, nežli frekvence strategie stejnosti. V Ravenových maticích je používána často u složitějších matic s podobným záměrem jako strategie stejnosti. 3.1.3 Jednodušší sbírkové strategie U jednodušších forem sbírkových strategií (myšleno ve srovnání s analytickou strategií, nikoli se strategiemi stejnosti a rozdílnost) jde o kolekce jednotlivých ornamentů bez vyčleňování jednotlivých parametrů v pravém slova smyslu. Může se jednat o kolekce v řádcích, sloupcích i v celé matici. Děti doplňují to, co v matici (v jejím řádku či sloupci) ještě není (stejně jako tomu bylo u strategie rozdílnosti), ale berou v potaz i další vlastnosti doplňovaného ornamentu, který porovnávají s ornamenty již v matici použitými. U jednodušších matic může tato úroveň sbírkové strategie stačit k přesné interpretaci matice. Stává se ale velice často, že je dětmi používána i u druhého typu matic (matice, k jejichž řešení je třeba použít grafických operací s elementy). Používají ji ty děti, pro něž nejsou dostupné složitější Strategie grafických operací. Děti ji rovněž používají u matic, které jsou např. složeny z vícenásobných sbírek. Ke správnému řešení v těchto případech vede pouze tehdy, když děti použijí dvojí třídění. Takovýto postup je již však shodný s následující strategií. Pozn. Pro zkrácení v textu někdy používám pouze termín sbírkové strategie, namísto jednodušší sbírkové strategie. Pokud není z textu jasné, zda se jedná o sbírkový princip jako podskupinu, či o sbírkové principy obecně, je to vysvětleno. 3.1.4 Analytická strategie Analytická strategie je nejvyšší formou sbírkových strategií. Nejde zde o sbírku celých tvarů, ale jde o sbírky jednotlivých hodnot všech parametrů. Jde zde o přesné vyčlenění všech parametrů a určení směru a vývoje jejich hodnot. U složitějších matic je zde využíváno postupu vícenásobného třídění, kdy je každá hodnota parametru vytříděna zvlášť.

6

3.2 Ornamentální strategie I ornamentální strategie mají mnoho podob. Patří mezi strategie jednodušší, některé jejich formy však mohou být velice diferencované. Jde zde o hledání jakéhosi „správného tvaru“ celé matice, či některé její části (řádek, sloupec, diagonála). Ke správnému řešení vedou v mnoha úlohách, především u Binetových matic. U Ravenových matic se tento způsob řešení rovněž vyskytuje (i když v nižší míře), ale často je spojen s nesprávným řešením. Troufám si tvrdit, že se tomu tak děje především proto, že Ravenovy matice jsou propracovanější, nežli matice Binetovy. Vzhledem k tomu, že většina forem ornamentálních strategií stojí níže nežli analytická strategie, nebylo by možné pouze ze správného řešení určit kvalitativní úroveň tohoto řešení. Tím, že ornamentální strategie nevedou tak často ke správným řešením, jsou možnosti zobecnění inteligenční úrovně dětí pouze z kvantitativního rozboru jejich správných a chybných odpovědí mnohem vyšší. Zatímco Binetovy matice jsou umístěny ve čtverci, matice Ravenovy jsou v obdélníku. Tento Ravenův obdélník rozhodně méně nabádá k použití ornamentálního hlediska, nežli Binetův čtverec. I uspořádání jednotlivých políček matic Binetových a Ravenových je odlišné. Zatímco v maticích Binetových jsou k vidění časté diagonální symetrie, které ornamentální řešení přímo nabízejí, v Revenových maticích toto časté není. 3.3 Strategie grafických operací I tento typ strategií pod sebou skrývá několik, ne od sebe přesně oddělitelných, strategií. Tou nejvyšší je strategie grafického skladu/rozkladu. Pod ní stojí strategie, kterou jsem nazvala pokus o sklad. Tento typ strategií vede ke správným řešením u druhého typu úloh (úlohy, pro jejichž řešení je třeba užít grafických operací s elementy). 3.3.1 Pokus o sklad Tuto strategii jsem zavedla až při rozboru Ravenových matic, u Binetových ji nepoužívám. Učinila jsem tak proto, že Ravenovy matice obsahují složitější formy kombinací součtů a rozdílů. Děti, které jsou schopny použít v jednodušší úloze princip grafického skladu/rozkladu, se o něj pokoušejí i v úlohách složitějších. Pokud však jejich možnosti nedosahují ke složitější kombinaci těchto principů, pokoušejí se alespoň o jakýsi druh skladu. Tento princip je zároveň využíván i dětmi, pro které není dostupný princip grafického skladu/ rozkladu, ale jejich možnosti sahají výše, nežli pouze ke strategiím stejnosti či rozdílnosti. Snaží se zkombinovat některá políčka matice. Jedná se tedy o jakousi méně diferenciovanou variantu principu grafického skladu/rozkladu. 3.3.2 Princip grafického skladu/rozkladu Při užití principu grafického skladu/rozkladu je pracováno s elementy, které se vzájemně sčítají či odčítají. Dílčími operacemi, které jsou od dětí vyžadovány, jsou mentální přesuny a rotace, bez nichž by ke skladu nemohlo dojít. Termíny jsou převzaty z popisu Binetových úloh. Zde opravdu často nelze rozlišit, zda se jedná o sklad či rozklad. Složené tvary některých úloh se často vyskytují v prostředním políčku a z dětských popisů je těžké usoudit, kam děti směřovaly. V Ravenových maticích tomu tak není. K součtu většinou dochází v posledním políčku sloupce či řádky, výjimečně je

7

směr obrácený. U většiny řešení, která jsem zařadila mezi principy skladu/rozkladu, se jedná o sklad. Se skladem si lze vystačit u většiny úloh druhého typu (E1, E3, E5, případně C3, C5 a C11). Jak je to ale s úlohami E7 a E11? Zde již pojmy skladu a rozkladu nestačí. Vypůjčíme si tedy názvosloví s matematické teorie množin. Sjednocení prakticky odpovídá našemu termínu sklad. Sjednocení je definováno jako množina všech prvků patřící alespoň do jedné ze sjednocovaných množin. Např. v úloze E1 je třetí políčko sjednocením prvního a druhého políčka v řádce. Rozdíl je naopak velmi blízký našemu nepřesnému pojmu rozklad. Rozdíl je množina prvků, které náleží do jedné, avšak nikoli do druhé množiny. Např. v úloze E5 je třetí políčko matice rozdílem prvního a druhého políčka. Průnik neodpovídá žádnému našemu pojmu a to z důvodu, že tato operace se v Binetových maticích nevyskytuje. Jedná se o množinu prvků, která je společná pro obě množiny. Bez použití průniku nelze řešit zmiňované úlohy E7 a E11 (mimochodem bezkonkurenčně pro děti nejsložitější matice – v obou chybovalo shodně 27 dětí). V úloze E11 je třetí políčko průnikem prvních dvou políček. Úloha E7 je ještě složitější. Dochází zde totiž k průniku, rozdílu i sjednocení zároveň. Třetí políčko je rozdílem sjednocení prvního a druhé políčka a průniku prvního a druhého políčka. V jazyce matematiky bychom to zapsali takto: 3=(1U2)-(1∩2). Pro správné řešení je tedy nutné identifikovat průnik a vyjmout ho ze sjednocení. 4. PRINCIPY MATIC – CO SE OD ŘEŠITELŮ OČEKÁVÁ? V předchozí části textu jsme se dozvěděli, jaké strategie řešení děti využívají. Některé z nich vedou ke správným řešením u některých matic, jiné u jiných matic a některé nevedou ke správným řešením u žádných matic. Existují i strategie, které nemusí být „správné“, ale mohou vést ke správným náhodným řešením. Co to ale znamená „správná strategie“? Správná strategie by měla vést ke správnému řešení dle principu, který zamýšlel autor (v případě že byla matice vytvořena správně). Ravenovy standardní progresivní matice jsou rozděleny do 5 setů – A, B, C, D a E (v předkládaném výzkumu bylo využito pouze lichých úloh setů B-D), které jsou uspořádány dle těchto principů: A…princip souvislosti ve struktuře matic, B…analogie mezi páry figur, C…princip progresivních změn ve figurách matic, D…princip přeskupování figur, E…princip rozkládání figur na prvky. Úlohy setu B jsou dle autora založeny na analogiích mezi dvěma páry figur (a:b=b:x). Tyto úlohy jsou dětmi většinou správně řešeny na základě strategie stejnosti či některou z jednodušších sbírkových strategií. Záměrem autora bylo i zjištění schopnosti postihovat symetrii mezi ornamenty. Správnou strategií je zde tedy i ornamentální strategie. Úlohy setu C souvisí s dynamickým vývojem ornamentů, který je založen na nějakém logickém principu. Jedná se buď o změny parametru počet či o změny pozice jednotlivých prvků. Tou nejsprávnější strategií by byla analytická strategie, při které dochází k identifikaci všech parametrů a k popisu všech změn. Děti si však řešení zjednodušují a používají jednodušších sbírkových strategií či strategie stejnosti. Některé z úloh lze řešit i strategiemi grafických operací či strategiemi ornamentálními. Matice ze setu D jsou založeny na principu strukturace jednotlivých ornamentů v matici. Je zde tedy nutné použití nejvyšších sbírkových strategií. Jedná se často o

8

vícenásobné sbírky. Děti si někdy řešení zjednodušují a používají jednodušší sbírkové strategie. Třídí tedy méněkrát než je třeba. Jejich řešení se tedy zčásti opírá o správnou strategii. Zda toto řešení bude správné, však závisí více měně na náhodě. V některých úlohách se děti opírají rovněž o ornamentální strategii. Úlohy setu E jsou dle autora založeny na analýze a syntéze ornamentů. Správnou strategií je strategie skladu/rozkladu, v úlohách E7 a E11 doplněna o využití průniku. 5. POPIS MATIC Pro potřeby popisu jednotlivých úloh jsem děti rozdělila kromě přirozených skupin (pohlaví, věk) ještě do skupin uměle vytvořených. Toto rozdělení jsem provedla na základě počtu chyb dle následujícího klíče.

Úspěšní Průměrní Neúspěšní

9-10 let 6-8 chyb/5 dětí 9-11 chyb/6 dětí 13-18chyb/4 děti

11-12 let 2-5 chyb/6 děti 6-8 chyb/5děti 9-16 chyb/4 děti Zdroj: vlastní zdroj

Vznikly tak tři skupiny řešitelů – Úspěšní řešitelé, Průměrní a Neúspěšní řešitelé matic.

5.1 Úloha B1 5.1.1 Chybná řešení V první úloze chyboval překvapivě relativně vysoký počet dětí. Ze 30 dětí, kterým byla tato úloha zadávána, se 5 z nich dopustilo chyby. Byli to tři chlapci a dvě dívky. Tři děti byly ze 6. třídy a dvě ze 4. Obě děti ze 6. třídy byly ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Chybující čtvrťáky tvořily dvě děti ze skupiny Průměrných řešitelů matic a jedno dítě ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Relativně vysoký počet chybujících dětí může souviset s absencí zácvičných úloh. Pro většinu dětí mohla být úloha B1 první úlohou tohoto typu, kterou kdy řešily. Tab1.: Počet chyb v úloze B1 9-10 let 1 Dívky 2 Chlapci

11-12 let 1 1

Celkem 2 3 Zdroj: vlastní zdroj

Pro jaké chybné možnosti se tedy děti rozhodly a jaká byla jejich odůvodnění? Dvakrát byla zvolena možnost 4 a možnost 5, možnost 6 byla zvolena 1krát. 5.1.1.1 První skupina: Princip rozdílnosti a jednodušší sbírkový princip

9

Děti, které zvolily možnost 5, byly vedeny sbírkovými typy nižší úrovně. Katka, 4. třída, použila princip rozdílnosti: „Jsou tam stejný, měl by tam bejt jinej.“, Matyáš, 4. třída řešil sbírkovým principem: „To je taky jako tady to.“ 5.1.1.2 Druhá skupina: Jiný typ logiky Možnost 4 byla zvolena z důvodu jakéhosi jiného typu logiky. U Nikoly tuto logiku představovalo doplnění tvaru, který s ostatními nějak souvisí: Nikola, 6. třída: „Protože to vypadá jakoby do okna.“ Adamovu logiku můžeme zkusit pouze hádat: Adam, 4. třída: „Připadá mi to takový logický.“ Možnost 6 byla zvolena Fredem ze 6. třídy, který chyboval i v dalších 21 úlohách (tzn. pouze 3 úlohy vyřešil správně). Téměř všechny jeho výpovědi byly vedeny úplně jinými, nutno konstatovat jednoduššími principy. V úloze B1 svou možnost 6 odůvodnil takto: „Kombinace všech.“ 5.1.2 Správná řešení Všechny správně řešící dětí byly vesměs vedeny stejností. U některých byla tato stejnost kombinována s vytvořením správného tvaru ze všech čtyř obrazců. Takto řešil např. Matěj, 6. třída: „Jsou tam tři stejný, aby to bylo souměrný.“ Koncept souměrnosti, úzce související s ornamentální strategií nás bude provázet ještě v mnoha dalších úlohách. 5.2 Úloha B3 5.2.1 Chybná řešení V úloze B3 se počet chybujících dětí snížil na tři. Zůstali dva čtvrťáci (jeden chlapec a jedna dívka) a jeden šesťák. Katka, 4. třída nezměnila princip, který využila v předešlé úloze. Řídila se opět jednodušším sbírkovým principem a zvolila možnost 3 (malý trojúhelník), kterou odůvodnila takto: „Všechny veliký a jeden malej.“ Stejným principem se řídil i Fred, 6. třída. Zvolil možnost 6 a odůvodnil ji slovy: „Jedna tam chybí.“ Zajímavé bylo odůvodnění Matyáše, 4. třída, který doplnil „to stejné“ jako je v prvním řádku. Svoji volbu 5 odůvodnil takto: „Je to jakoby tady to (horní řádek).“ Tab. 2: Počet chyb v úloze B3 9-10 let 1 Dívky 1 Chlapci

11-12 let 0 1


5.2.2 Správná řešení Všech zbývajících 27 dětí vyřešilo úlohu B3 správně. Většinu správně řešících dětí je možné rozdělit do dvou skupin. Tyto skupiny však nejsou od sebe oddělitelné a zařazení dítěte do jedné či druhé skupiny není absolutní a ani přesně určitelné. První skupina by byla tvořena dětmi, z jejichž výpovědí vyplývá, že rozhodujícím kriteriem byla stejnost. Může se jednat o stejnost prvního a druhého řádku či pouze o stejnost horního políčka. Jedná se pravděpodobně o stejnost tvaru, nikoli o stejnost jednotlivých 10

vyčleněných parametrů. Právě neschopnost vyčlenit parametry by tyto děti měla odlišovat od druhé skupiny, u nichž šlo o stejnost či rozdílnost vyčleněného parametru směru. Z výpovědí typu „aby to bylo stejný“ však těžko můžeme odlišit, zda mělo dítě na mysli stejnost komplexního obrazce, či zda myslelo stejnost směru. I přesto jsem však do první skupiny zařadila ty děti, které se o směru nezmiňovaly a do druhé ty, u nichž je patrné, že parametr směru vyčlenily. Jsem si vědoma toho, že do první skupiny mohly být zařazeny i ty děti, pro něž je schopnost vyčlenit jeden parametr a dodržet jeho stejnost dostupná. 5.2.2.1 První skupina: Strategie stejnosti Do první skupiny tedy bylo zařazeno celkem deset dětí, pět čtvrťáků a pět šesťáků. Šest dětí bylo ze skupiny Průměrných řešitelů matic, tři děti ze skupiny Neúspěšných a jedno ze skupiny Úspěšných řešitelů matic. Zde jsou příklady výpovědí některých dětí: Verča, 4. třída: „Stejný jako nad tím.“, Štěpán, 4. třída: „Pod sebou stejný.“, Kristýna, 6.třída: „Je to jako tady to (tvar nad tím).“, Lukáš, 6. třída: „Pod sebou stejný.“ 5.2.2.2 Druhá skupina: Vyčlenění směru Do druhé skupiny jsem zařadila 13 dětí, šest čvrťáků a sedm šesťáků. Devět dětí bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, tři ze skupiny Průměrných řešitelů matic a jeden ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Tady jsou výpovědi vybraných dětí: Anička, 4. třída: „Mně se zdá, že jedno je doleva a druhý doprava.“, Matouš, 4. třída: „Dvě jsou na jednu stranu a na druhou jen jedna.“, Míša, 6. třída: „Nahoře je vždycky jedna šipka doprava a jedna doleva.“, Ondra, 6.třída: „V tomhle sloupci nalevo, tady napravo.“ Když odhlédneme od toho, o jakou stejnost se jednalo, pro většinu dětí byla stejnost rozhodujícím kriteriem. Ať již se jednalo o stejnost řádků políček, či jednotlivých parametrů. Tab. 3: Přehled správných řešení v úloze C5 9-10leté děti 11-12leté děti 5 Strategie stejnosti 5 6 7 Vyčlenění směru

Dívky 6 5

Chlapci 4 8

Celkem 10 13 Zdroj:vlastní zdroj

5.3 Úloha B5 5.3.1 Chybná řešení V úloze B5 se objevily také tři chyby. O všechny tři chyby se postarali chlapci. Dva byli ze skupiny Neúspěšných řešitelů, jeden ze skupiny Průměrných řešitelů. Dva chlapci byli ze 4. třídy a rozhodli se pro možnost 5, tedy pro stejný obrázek, jako se vyskytuje v políčku nad tím. Oba ale svou volbu zdůvodnili jinak. Zatímco Štěpán hovořil o stejnosti, Matouš se proti ní bránil. Zde jsou jejich odůvodnění: Štěpán, 4.třída: „Dvě stejný nad sebou.“, Matouš, 4. třída: „Aby to nebylo stejný. Mohla by tam být i 1, ale to by to stejný bylo.“ Stejností Matouš zřejmě myslel pravidelnost celého obrazce, naproti tomu Štěpán hovořil o stejnosti sousedních políček. Vidíme tedy, že ke zvolení stejné možnosti lze dojít i dvěma protichůdnými principy. Posledním chybujícím byl Fred, o němž jsme již hovořili. Zvolil možnost 6 a odůvodnil ji slovy: „Ať to jako jde dál ještě.“ Stejně jako v předešlých dvou úlohách se Fred ze všech sil bránil pravidelnosti. 11

Tab. 4: Počet chyb v úloze B5 9-10 let 11-12 let 0 0 Dívky 1 Chlapci 2


5.3.2 Správná řešení 5.3.2.1 První skupina: Strategie stejnosti Pět správně řešících dětí se opíralo ve svých výpovědích o stejnost. Byla to stejnost ve smyslu Štěpánovy stejnosti, který se rozhodl pro chybnou možnost 5. Jedno dítě bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, tři ze skupiny Průměrných a jedno ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Ve všech případech se jednalo o stejnost horního a spodního políčka pravého sloupce. Na rozdíl od Štěpána tyto děti neuvažovaly absolutní stejnost, ale vzaly v potaz i levý sloupec a osovou symetrii horního a spodního řádku. Ve svých výpovědích ale většinou hovořily o stejnosti jako takové. Např. Lukáš, 6.třída: „Pod sebou stejný jako vedle (ve sloupci).“ Všimněme si, že děti častěji za „to stejné“ uvažovaly možnost 1, která je k hornímu ornamentu symetrická, nežli možnost 5, která je s horním ornamentem opravdu shodná. Symetrie je tedy jedním se silných faktorů, které ovládá dětské rozhodování. 5.3.2.2 Druhá skupina: Ornamentální strategie Ostatní děti se vesměs řídily ornamentální strategií a snažily se o zachování správného tvaru. Hovořily o jakémsi spojování a navazování. Od první skupiny je možná odděluje i to, že si symetrii tvarů uvědomovaly pouze implicitně, právě v podobě správného tvaru. Devět dětí bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů, osm ze skupiny Průměrných a pět ze skupiny Neúspěšných. Např.: Nikola, 6. třída: „Jakoby to na sebe navazuje a je to něco jako místnost.“ nebo Matěj, 6. třída: „Složí to nějakej útvar.“ Zajímavé byly metafory týkající se autodráh, zatáček a cest. Adam, 4.třída: „Protože to vypadá jako taková autodráha, tady je ostrá zatáčka.“, Vašek. 6. třída: „Aby to byla třeba ňáká závodní dráha.“, Bára, 6. třída: „Vede cesta takhle.“ Tab. 5: Přehled správných řešení v úloze B5 9-10leté děti 11-12leté děti 3 2 Strategie stejnosti 13 Ornamentální strategie 10

Dívky 2 13

Chlapci 3 10

Celkem 5 23

Zdroj: vlastní zdroj

5.4 Úloha B7 Povahou materiálu je úloha B7 velice podobná úloze B3. Zatímco však v úloze B3 šlo o zachování parametru barvy a velikosti v celé matici a zachování parametru směru ve sloupci, v úloze B7 je situace komplikovanější. Úloha B3 šla řešit na základě absolutní stejnosti s horním políčkem. V úloze B7 je nutno pohlídat parametr barvy v řádku současně se změnou parametru směru. I počet chyb napovídá větší složitosti úlohy B7. Zatímco v úloze B3 chybovaly tři děti, v úloze B7 to bylo dětí devět. 12

5.4.1 Chybná řešení O většinu chyb se postaraly dívky ze 4. třídy, které chybovaly celkem 5krát. Tzn. pouze 2 dívky ze 4. třídy vyřešily úlohu B7 správně! Oproti tomu pouze jeden chlapec ze 4. třídy v této úloze chyboval. V 6. třídě se objevily tři chyby, o dvě z nich se postaraly dívky. Tab. 6: Počet chyb v úloze B7 9-10 let 11-12 let Dívky 5 2 Chlapci 1 1

Celkem 7 2

Celkem šest z devíti chybujících dětí bylo ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Ze skupiny Průměrných řešitelů byla pouze jedna dívka. Zbylé dvě děti byly ze skupiny Úspěšných řešitelů. 5.4.1.1 První skupina: Možnost 4 a 1 Kromě Freda, který se rozhodl pro možnost 4 a odůvodnil ji slovy: „Jeden je jako vždycky jinej, jako slabej článek řetězu.“, se všechny děti rozhodly pro možnost, která respektuje parametr barvy. 6krát byla zvolena možnost 6, 2krát možnost 1. U možnosti jedna asi nemusíme pochybovat. Jde o zachování absolutní stejnosti v řádku. Děti, které se rozhodly pro tuto možnost, se nezaměřily na matici jako celek, ale pouze na její spodní část. Anička, 4. třída: „Protože to vypadá stejně.“, Vendula, 4. třída: „Má to stejnej tvar a je to stejně proužkovaný.“ 5.4.1.2 Druhá skupina: Možnosti 6 S možností 6 to bude složitější. Řídily se děti pouze parametrem barvy, či byly při rozhodování ovlivněny i jinými aspekty? Dvě dívky hovořily o jakémsi spojení: Markéta, 4.třída: „Bude se to tam tak napojovat.“, Nikola, 6. třída: „Že se to jakoby spojuje dohromady.“ Nabízejí se zde dvě možnosti interpretace takovéhoto vysvětlení. Dívky se mohly snažit o propojení rohů dosazeným obrazcem a tím vytvořit opět jakýsi správný tvar. Nebo správně určily princip matice, avšak nebyly schopny přesunout nabízený obrazec do prázdného okénka. Pravděpodobnější se zdá být spíše druhá možnost. Neschopnost myšlenkové manipulace s tvary mohla být příčinou chyb i u jiných dětí. Je možné, že tyto děti dokázaly určit správně všechny parametry, které jsou nutné pro zvolení správné možnosti, avšak nebyly schopny v mysli přesunout obrazec do prázdného okénka, nebyly schopny mentálního přesunu. Minimálně u Katky, 4. třída: „Má to proužky. (Proč ne 1,3?) Je to jinej tvar.“ a Vítka, 4. třída: „Černý a pruhovaný a má to ukazovat doprava.“, bych se přiklonila ke druhému typu interpretace. Naopak u Verči, 4. třída: „Vedle sebe k sobě patří.“ a Katky, 4. třída: „Vždycky dvě stejný.“ bych zvolila první možnost interpretace, tedy takovou, že dívky opomněly parametr směru. Skupina dětí, která zvolila možnost 1 a 6 se nám tedy rozpadla do dvou podskupin. Do jedné patří děti, které opomněly parametr směru (Verča, 4. třída a Katka, 6. třída) a druhé ty, jejichž chybná volba byla způsobena neschopností mentálního přesunu (Markéta, 4.třída, Nikola, 6.třída, Katka, 4.třída a Vítek, 4. třída). 5.4.2 Správná řešení

13

5.4.2.1 První skupina: Stejnost řádků Většina správně řešících dětí ve svých výpovědích zdůrazňovala shodnost horního obrazce (horní řádek) a dolního obrazce (dolní řádek). Celkem takto své řešení odůvodnilo 12 dětí z 21 správně řešících. Např. Matyáš, 4. třída: „Když tohle dám dolu, je to stejný jako nad.“ nebo „Nahoře jsou dva černý a tady má proužkovanej, tak aby to bylo taky dvakrát. (Proč ne 1?) Aby to bylo jako zrcadlově obráceně.“ Děti zde, stejně jako v předchozí úloze, pracovaly se symetrií. Stejné bylo opěr spíše osově symetrickým. 5.4.2.2 Druhá skupina: Stejnost políček Jiné děti se zaměřily na řádek a hovořily o stejnosti a o změnách od levého dolního políčka. Tyto výpovědi byly možná méně komplexní než výpovědi prvního typu. Můžeme sem zařadit přibližně 5 dětí. Např.: Ondra, 6. třída: „Tyhle dva tvary jsou stejný, jen jeden nalevo, jeden napravo. Tady stejný.“ Symetrie opět hraje důležitou roli. 5.4.2.3 Třetí skupina: Ornamentální strategie Jiným typem výpovědí byly ty, které se opíraly o ornamentální hledisko. Např.: Veronika, 6. třída: „Prostě se mi to tam hodí.“ Takovéto odůvodnění zvolily 3 děti. Všem skupinám se vymyká výpověď Adama, 4. třída: „Že ty pruhy jsou takový užší, že to vypadá vedle trochu jinak.“ Pruhy v matici i v nabídce se opravdu svou šířkou liší, což určitě nebylo záměrem autora. Adam toto odhalil, ale tímto zdůvodněním zpochybnil správnost svého uvažování. Tab. 7: Přehled správných řešení v úloze B7 9-10leté děti 11-12leté děti 6 6 Stejnost řádků 2 2 Stejnost políček 2 Ornamentální strategie 1

Dívky 5 1 1

Chlapci 7 3 2

Celkem 12 4 3


5.5 Úloha B9 V úloze B9 jde o zachování hodnoty parametru tvaru v řádce a o zachování hodnoty parametru barvy ve sloupci, respektive změnu hodnoty parametru barvy v řádce a změnu hodnoty parametru tvaru ve sloupci. 5.5.1 Chybná řešení V této úloze se opět počet chybujících dětí snížil. Chybovaly celkem 4 děti (3 dívky a jeden chlapec). Všechny chybující byly ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Variuje se zde parametr barvy a parametr tvaru. V předchozí úloze se jednalo o barvu a o tvar. Úloha B9 se zdá být jednodušší ve skutečnosti, že zde odpadá problém s mentálním přesunem. Pokud děti správně určí barvu i tvar, již je nic nedělí od správného řešení. Tab. 8: Počet chyb v úloze B9 14

Dívky Chlapci

9-10 let 2 0

11-12 let 1 1


Dvakrát byla zvolena možnost 5. Zde se jedná o zachování všech parametrů v řádku. Byl zde opomenut jeden parametr a to parametr barvy. Parametr tvaru byl určen správně. Verča, 4. třída: „Aby to bylo stejný.“ a Katka, 4. třída: „Někde by měly bejt stejný obrázky.“ Parametr tvaru je správně určen i u chybné možnosti 3: Nikola, 6.třída: „Tady jsou ty čárky, tak tady ne.“ Nikola ovšem na rozdíl od dětí, které se rozhodly pro možnost 5, zvolila falešný parametr bílé barvy, který se v matici vůbec nevyskytuje a většinou dětí byl zavrhnut již na začátku. Z určitého úhlu pohledu si však troufám tvrdit, že řešení Nikoly bylo kvalitativně na vyšší úrovni než řešení dětí, které se rozhodly pro možnost 5. Tyto děti totiž neoperovaly s žádnými parametry. Držely se absolutní stejnosti v řádku. Naproti tomu Nikola kromě tvaru identifikovala i jinakost barvy, řekla si přece, že do pravého sloupce je třeba doplnit „neproužkovaný tvar“. To Fred, 6.třída neidentifikoval správně ani parametr barvy ani parametr tvaru (možná jen tu „neproužkovanost“, jeho výpověď tomu však nenapovídá.) Svoji možnost 2 odůvodnil takto: „Kombinace všech.“ 5.5.2 Správná řešení Při úplné interpretaci matice je nutné sledovat zachování parametru barvy ve sloupci a zachování parametru tvaru v řádce, či obráceně – změnu parametru tvaru ve sloupci a změnu parametru barvy v řádku, ale to už bylo popsáno výše. Matici lze ovšem vyřešit i pouze po řádkách či po sloupcích. Tak např. „Vedle proužkovaného kosočtverce černý kosočtverec, vedle proužkovaného čtverce….?“ Nebo „Pod proužkovaným kosočtvercem proužkovaný kosočtverec, pod černým kosočtverce…?“ V obou případech jde vlastně o zachování jednoho parametru (v řádce tvaru, ve sloupci barvy) a o změnu parametru druhého. Domnívám se však, že k takovémuto vyčlenění parametrů a k takto přesné interpretaci matice u takto starých dětí nedochází. Děti parametry možná cítí na implicitní rovině, avšak slovně je nedokáží uchopit. Především u sloupcové techniky svádí výpovědi dětí spíše k jakémusi zopakování vzoru v levém sloupci: „To co bude s proužkovanými, bude i s černými“. Výpovědi dětí lze opravdu přibližně rozdělit do třech skupin. První skupina dětí, ve svých výpovědích zdůrazňovala stejnost s pravým sloupcem, četla tedy matici ve sloupci. Druhá skupina dětí se zabývala vývojem v řádku a konečně třetí skupina ve svých výpovědích hovořila o obou směrech. 5.5.2.1 První skupina: Stejnost sloupců Do první skupiny jsme zařadila 13 dětí (7 dívek a 6 chlapců). Pět dětí bylo ze 4. třídy a osm z třídy 6. Dvě děti byly ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic, pět dětí ze skupiny Průměrných řešitelů matic a šest dětí ze skupiny Úspěšných řešitelů matic. Tady jsou příklady jejich odůvodnění: Markéta, 4. třída: „Protože tady je to stejný jako vlevo, aby to bylo i dolu, taky nějaká kostka.“, Štěpán, 4. třída: „Černý a pruhovaný.“, Míša, 6. třída: „Tady ten tvar a vroubkatej, pod tim kostička. Tak tady taky, ale černá.“ a Ondra, 6. třída: „V levym sloupci jsou čárkovaný obrazce, v pravym plný.“ 5.5.2.2 Druhá skupina: Vývoj v řádku

15

Do druhé skupiny by spadalo devět dětí. Poměr pohlaví je opět vyrovnaný. V řádku četly matici čtyři dívky a pět chlapců. Zatímco však ve sloupci četlo matici více šesťáků, pro řádek se naopak rozhodlo více čtvrťáků. Řádkem se zabývalo šest žáků 4. třídy, ale pouze tři žáci 6. třídy. Čtyři děti byly ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, čtyři ze skupiny Průměrných řešitelů matic, jeden ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Takto odůvodňovaly svoje rozhodnutí: Vendula, 4.třída: „Protože je taky a od jiný barvy (řádek).“ , Martin, 4. třída: „Jedna mříž a jedno černý a stejnej tvar.“, Karolína, 6. třída: „Proužkovanej a vedle celej.“ 5.5.2.3 Třetí skupina: Oba směry Do poslední skupiny spadají ty děti, které ve svých výpovědích nepřímo poukázaly na oba dva směry. Patří sem 4 děti (1 dívka a 3 chlapci). Jedno dítě bylo ze skupiny Neúspěšných řešitelů, jedno ze skupiny Úspěšných a dvě ze skupiny Průměrných řešitelů matic. Zde je výčet jejich odůvodnění: Denisa, 6. třída: „Tady je čtvereček proužkatej a tady kosočtvereček černej.“, Martin, 4. třída: „(Nejprve řekl 5: „vedle stejný“, pak 1: „nad tim stejný“) Musí tam bejt 4 vlastně.“, Matyáš, 4. třída: „Stejná barva a stejnej tvar.“, Matěj, 6. třída: „Tenhle je pruhovanej a vedle černej. Nad tim je taky černej.“ Ze všech výpovědí je patrné, že děti uvažovaly o obou směrech. Podobné jsou výpovědi žáků 6. třídy, Matěje a Denisy a vlastně i čtvrťáka Matyáše. Všechny tyto děti se snažily o jakýsi průnik řádku a sloupce. A všem se to podařilo bez chyby. Ze sloupce si vzaly barvu a z řádku tvar, proto zvolily správnou možnost 4. Tomuto popisu odpovídá i řešení Martina, který se k němu ale dopátral až při tom, když se snažil odůvodnit svoji volbu. Poté co mu přestala vyhovovat varianta 5 (pruhovaný čtverec) i varianta 1 ( černý kosočtverec), zvolil správnou možnost 4. Tab. 9: Typy čtení matice B9 9-10leté děti 5 Stejnost sloupců 6 Vývoj v řádku 2 Oba směry

11-12leté děti 8 3 2

Dívky 7 4 1

Chlapci 6 5 3

Celkem 13 9 4


5.6 Úloha B11 Úloha B11 je principiálně totožná s úlohou předchozí, tedy s úlohou B9. Opět zde jde o zachování parametru tvaru v řádku a o zachování parametru barvy ve sloupci. 5.6.1 Chybná řešení Na první pohled se může zdát, že jako totožné tyto dvě úlohy vnímaly i děti. Složení i počet chybujících dětí se oproti předešlé úloze vůbec nezměnil. Tab.10: Počet chyb v úloze B11 9-10 let 11-12 let Dívky 2 1 Chlapci 0 1


16

Chybovaly tedy opět Verča, Katka, Nikola i Fred, stejně jako v úloze B9. Ovšem kromě Freda, který zvolil možnost 5 a odůvodnil ji stejnými slovy: „ Kombinace všeho zase.“, dívky v matici B11 hledaly jiné principy. Verča zvolila možnost 3: „Tady stejný (nad).“ O stejnosti hovořila i v předchozí úloze. Na rozdíl od úlohy B9, kde šlo o stejnost řádku, v této úloze řešila na základě stejnosti ve sloupci. Zbylé dvě dívky se v použití principu v úloze B9 a B11 lišily ještě daleko více, nežli Verča. Katka zvolila možnost 1: „Dva trojúhelníky (kosočtverce) a kostičky (čtverce). Tak aby se to s tím shodovalo.“ V předešlé úloze hledala stejnost pouze v řádku, teď se zabývala kombinací všech políček matice. Můžeme říct, že její řešení úlohy B11 je o krok dále, nežli řešení úlohy B9. Naproti tomu Nikola od své interpretace jednotlivých parametrů, od řešení, které bylo velice blízko řešení správnému, spadla na nižší úroveň. Jinou možností je, že její řešení předešlé úlohy bylo pouze náhodnou volbou. Zvolila možnost 2 a odůvodnila ji takto: „Dvě vokna vedle sebe.“ 5.6.2 Správná řešení V předešlé úloze jsme si řešení dětí rozdělili do třech skupin. Do první skupiny jsme zařadili děti, které pracovaly se stejností sloupců, do druhé skupiny děti, které sledovaly vývoj matice v řádku a do třetí skupiny ty děti, které se zabývaly oběma směry. Stejně tak to můžeme udělat i v této úloze. 5.6.2.1 První skupina: Stejnost sloupců Počet dětí v této skupině se oproti předešlé úloze zvýšil. Nyní sem spadá 18 dětí, z toho 11 dětí zvolilo stejný princip i v předešlé úloze (tzn. pouze dvě děti, které takto řešily úlohu B9 se od tohoto principu odklonily). Anička, 4. třída: „Tady je to rozdělený (vlevo) a tady prázdný (vpravo).“, Katka, 6. třída: „Jakoby okna a vedle prázdný.“, Matyáš, 4. třída: „Tady ty jsou plný a tyhle prázdný.“, Zdeněk, 6. třída: „Tady je to samý, akorát rozdělený.“ 5.6.2.2 Druhá skupina: Vývoj v řádku V této skupině se naproti tomu počet dětí snížil. Z 9 dětí sem nyní spadá dětí pouze 5, všechny ze skupiny mladších dětí (2 dívky a 3 chlapci). Pro ilustraci např. výpověď Venduly, 4. třída: „Protože to má prázdný vokýnko a vedle přeškrtaný.“ 5.6.2.3 Třetí skupina: Oba směry Do této skupiny nyní spadají tři děti, všechny ze 4. třídy. Tady jsou jejich odůvodnění: Markéta, 4. třída: „Protože tam je kostka, stejně jako vlevo, ale aby to bylo stejně prázdný jako nad tím.“, Štěpán, 4. třída: „Prázná, tady jsou čtverečky.“ a Daniel, 4. třída: „Aby to bylo čtverec jako vlevo a bílej jako nad.“ Tab. 11: Typy čtení matice B11 9-10leté děti 5 Stejnost sloupců 5 Vývoj v řádku 3 Oba směry

11-12leté děti 13 0 0

Dívky 9 2 1

Chlapci 9 3 2

Celkem 18 5 3


5.7 Srovnání úloh B9 a B11 17

5.7.1 Stejnost sloupců vs. vývoj v řádku Obě skupiny jsou kvalitativně na stejné úrovni. Rozdíl je pouze ve směru čtení matice, respektive v tom, jaký parametr děti považují za dominantní. Pro první skupinu dětí je dominantním parametrem barva. Za stejnou dvojici, jejíž vzor vlastně kopírují, považují tvary se stejnou výplní. U druhé skupiny dětí je tomu jinak. Stejnost je pro ně reprezentována tvarem. Pokud sečteme čísla z úlohy B9 a úlohy B11, zjistíme, že 31krát byly tyto matice řešeny ve sloupci a pouze 14krát v řádku. Barvu tedy můžeme pro tento typ úloh považovat za silnější faktor. 5.7.2 Oba směry Tento typ řešení bere sice v potaz celou matici, ale je možné ho považovat i za jistý typ zjednodušení situace. Nedochází zde k variování parametrů, jde zde vlastně o jejich zachování (zachování tvaru v řádce a zachování barvy ve sloupci). Parametry jsou správně identifikovány, v řádku je zachována barva, ve sloupci tvar. Matice je vyřešena správně, bez nutnosti změn parametrů. Parametry jsou brány postupně, nedochází k simultánním operacím. 5.8 Úloha C1 Matici C1 je možno popsat jako sbírku stejných koleček v řádku, nebo sbírku různých koleček ve sloupci. Zároveň se však může jednat o přidávání koleček ve sloupci. 5.8.1 Chybná řešení V úloze C1 chybovali 3 chlapci. Dva ze skupiny Průměrných řešitelů matic, jeden ze skupiny Neúspěšných řešitelů, dva čtvrťáci a jeden šesťák. Jednou byla zvolena možnost 7. Martin, 4. třída ji odůvodnil slovy: „Podívej“, při čemž ukazoval na poslední řádku. Nedokážu určit, co ho ke zvolení právě této možnosti vedlo. Dva chlapci se rozhodli pro možnost 2. Fred, 6. třída: „Od nejmenšího po největší.“ Tab.12: Počet chyb v úloze C1 9-10 let 11-12 let Dívky 0 0 Chlapci 2 1


5.8.2 Správná řešení 5.8.2.1 První skupina: Stejnost v řádku Ústředním principem úlohy C1 byla stejnost a to stejnost v řádkách. Většina dětí řešila tuto matici tak, že doplnila stejné kolečko do řádku. První dva řádky si tyto děti vzaly jako vzor a do posledního řádku na základě tohoto vzoru doplnily. Úlohu takto řešilo 22 z 27 správně řešících dětí. Např.: Vendula, 4. třída: „Je to stejný jako tydlety dvě (řádek).“, Míša, 6. třída: „Vždycky řady-jeden, dva a tři ty obloučky.“, Štěpán, 4. třída: „Stejný jako vedle.“ a Lukáš, 6.třída: „Aby byly ty řady stejný.“

18

5.8.2.2 Druhá skupina: Stejnost sloupců Pouze 3 děti četly matici ve sloupci. Anna, 4. třída: „Tady se to postupně skládá (ve sloupečku) i v tom třetím by se to mělo tak složit.“, Nikola, 6.třída: „Navazuje to na sebe (sloupec).“ a Vašek, 6. třída: „Aby to bylo jako raz, dva, tři (sloupec).“ Zbyly nám dvě děti, které neřešily chybně, ani nečetly matici typicky v řádku či sloupci. Prvním z nich je Adam, 4. Třída, který svou volbu zdůvodnil takto: „Ze všech stran malý – střední - velký.“ Adam se zaměřil na středový tvar matice a dokonale popsal všechna jeho sousední pole. Jeho vysvětlení nás odkazuje k jakési ornamentální strategii. Druhým dítětem je Laura, 4. třída: „Jednička je moc prázdná a dvojka je moc přeplácaná.“ Pro Lauru byla rozhodující velikost kolečka, o té nepochybovala. Způsob vyloučení ostatních velkých koleček naznačila ve své výpovědi. Řešení Laury je podobné Vaškovu řešení. Vašek ale na rozdíl od Laury pracuje explicitně s parametrem počtu. U Laury je tento parametr spíše intuitivně cítěn. Nejde o přesný počet, jde spíše o jakousi „vyplněnost“. Hodnoty parametru počet jsou u Laury spojité, analogové. Není brán v potaz počet koleček, spíše jakýsi „správný tvar“. Vaškovy hodnoty jsou naopak diskrétní, digitální, přesně definované. Lauřino řešení můžeme tedy nazvat příkladem analogového řešení, zatímco Vaškův způsob příkladem řešení digitálního. Všechny úlohy z testovacího sešitu C jsou zaměřeny na přidávání či pohyb jednotlivých elementů. Lze je však vykládat i parametricky, tzn. při přidávání jde o změnu parametru počet a při pohybu o změnu jakéhosi parametru umístění. Nutno upozornit, že většina dětí (minimálně ty, které četly matici v řádku) v matici nehledala ani přidávání elementů ani změnu parametru počet. Pouze hlídala stejnost v řádku. O operaci s jednotlivými elementy si můžeme být jisti pouze u Anny a Vaška. Použití principu stejnosti však dozajista neznamená neschopnost operací s elementy. To, že většina dětí princip stejnosti v matici C1 použila, nám spíše říká něco o této matici jako takové. Tab. 13: Typy čtení matice C1 9-10leté děti 1 Stejnost sloupců 11 Stejnost v řádku

11-12leté děti 2 11

Dívky 2 12

Chlapci 1 10


5.9 Úloha C3 Úloha C3 patří do skupiny úloh, které mohou být zařazeny do obou skupin matic. Matici lze popsat pomocí parametrů i pomocí elementů. Pokud jednotlivá políčka matice popíšeme pomocí parametru počtu, který se v řádcích i sloupcích zvyšuje vždy o příslušný počet, zařadíme tím úlohu do první skupiny. Pokud však budeme poslední políčko sloupce či řádku považovat ze sklad předchozích políček, zařadíme tak úlohu do druhé skupiny. 5.9.1 Chybná řešení V úloze C3 chybovalo 10 dětí (6 dívek a 4 chlapci). Šest dětí ze skupiny Neúspěšných řešitelů a čtyři děti ze skupiny Průměrných řešitelů. Sedm čvrťáků a tři šesťáci. Tab.14: Počet chyb v úloze C3 9-10 let 11-12 let

Celkem

19

Dívky Chlapci

4 2

3 1

7 3 Zdroj: vlastní zdroj

5.9.1.1 První skupina:Varianta 4 Nejčetnější chybnou možností byla možnost 4. Rozhodly se pro ní čtyři děti. Každé dítě mělo pro svoji volbu specifické odůvodnění. Zde je jejich výčet: Laura, 4. třída: „Ta 7. Ne, jde to po řadě. Ne nejde. Asi ta 4 na kostce můžeme spatřit jenom do 6.“, Nikola, 6. třída: „Že jakoby nejsou čtyři v tý řadě.“, Adam, 4. třída: „Každá kromě tý jedničky je tam dvakrát.“, Fred, 6. třída: „Ta tam ještě není.“ Vysvětlení Laury se opírá o zkušenost. S metaforou hrací kostky jsem se nesetkala poprvé. Černé puntíky děti často přivádějí k odkazu na hrací kostku. Velice často se tato metafora objevovala u matice č.17 ze souboru Binetových matic. Nikola se pravděpodobně nechala inspirovat v předchozím řádku, kde uprostřed zahlédla čtyři puntíky. Nabyla dojmu, že v každé řadě se musí čtyři puntíky vyskytovat. Možnost 4 je jedinou možností, která odpovídá pravidlům Nikoly. Adamovo vysvětlení bylo ze všech nejpřesnější. Všechny možnosti kromě možnosti 1 se opravdu v matici dvakrát vyskytují. Oproti tomu Fredovo vysvětlení bylo nejméně diferencované. 5.9.1.2 Druhá skupina: Varianta 7 Dvakrát se objevila možnost 7. V obou případech šlo o nesprávnou identifikaci operace, která se s puntíky děje. Na místo násobků jedné děti identifikovaly přičítání jedné. Proto doplnily možnost 7, pod kterou se skrývá 7 teček. Vendula, 4 třída přičítala v řádku: „Sedmička je po 6 (řádek).“, Matyáš, 4.třída zase ve sloupci: „Tady ty dvě a mezi to jednička.“ 5.9.1.3 Třetí skupina: Varianty 1, 2 a 8 Dále se jedenkrát vyskytla možnost 1, jedenkrát 2, jedenkrát 8 a jedenkrát odpověď „nevím“. Pro 1 se rozhodla Markéta, 4. třída: „Aby se tam žádná neopakovala.“ 2 zvolila Verča, 4. třída: „Stejný jako tady(vlevo dole).“ A 8 zvolil Štěpán, 4. třída: „Počet. Každá má svoji dvojici.“ Markéta a Štěpán použili sbírkový princip, Verča se rozhodovala na základě ornamentálního hlediska. 5.9.2 Správná řešení Většina dětí řešila matici postupným přičítáním teček – jedné, dvou a tří. Např.: Daniel, 4. třída: „Je to po třech - 3, 6, 9 (sloupec).“ Tři děti hovořily o přidávání celých řad. Např.: Bára, 6. třída: „Tady je jeden a přibude jeden, tady jsou tři a ty přibývaj.“ Matěj, 6. třída jako jediný řešil pomocí grafických operací: „Tady se sečítají ty dva.“ Pomocí jednodušších sbírkových strategií řešil pouze Jan, 4. třída: „Ta kombinace tam ještě nebyla.“

5.10 Úloha C5 Úloha C5 se principiálně podobá úloze předchozí, tedy úloze C3. Na rozdíl od ní se zde však nepřičítají násobky jedné, dvou a tří, ale přičítání se děje po jedné. Úloha z tohoto 20

úhlu pohledu se zdá být jednodušší, nežli úloha předchozí. I počet chybujících dětí tomu napovídá. Z 10 se jejich počet snížil na 6. Situaci komplikuje možná jen to, že první řádek začíná jedním lístečkem, druhý dvěma a třetí třemi. Děti tedy nemohou počítat 1, 2, 3, 4, 5, 6...., ale musí po řádcích i sloupcích počítat 1, 2, 3...2, 3, 4...3, 4, 5. Stejně jako úlohu předchozí lze ze stejného důvodu úlohu C5 zařadit do obou skupin typů matic. 5.10.1 Chybná řešení Jak již bylo řečeno, v úloze C5 chybovalo celkem šest dětí (3 chlapci a 3 dívky). Dva šesťáci a zbytek čtvrťáci. Čtyři z dětí byly ze skupiny Neúspěšných řešitelů, jedno ze skupiny Průměrných a jedno ze skupiny Úspěšných řešitelů matic.

Tab.15: Chybná řešení v úloze C5 9-10 let 11-12 let Dívky 2 1 Chlapci 2 1


Čtyři ze šesti dětí, které udělaly v této úloze chybu, chybovaly i v úloze předešlé. Všechny chybující děti, kromě jednoho chlapce, který odpověděl „nevím“, zvolily možnost 3 – 1 lísteček. Co je k tomu vedlo? Pro pět děti znamenala možnost 3 doplnění kytičky, která se nachází nad či vedle prázdného okénka. Děti se tedy pro tuto možnost rozhodly z důvodu vytvoření „správného tvaru“ jedné z kytiček. Opíraly se tedy o ornamentální strategii. Zde jsou odůvodnění přímo do dětí: Verča, 4. třída: „Aby se to k tomu připojilo (nad)“, Laura, 4. třída: „Tady ty kytky kdyby se natočily, by šly teoreticky spojit a ta 1 k nim patří.“, Matyáš, 4. třída: „Že to patří do toho jednoho (nad tim).“, Daniel, 4. třída: „Aby kdyby seto spojilo (s tím nad)to bylo stejný.“ Všechny výpovědi dětí jsou velice podobné. Až na Lauru, všechny děti potřebovaly jeden lísteček k dotvoření kytičky, která se nachází v políčku nad prázdným okénkem. Laura kromě tohoto hovořila o jakési rotaci dvou sousedních políček. Zbývá nám ještě výpověď Štěpána, 4. třída: „Stejná jako naproti.“ I Štěpán se snažil o „správný tvar“. Narozdíl od ostatních dětí se však jeho „správný tvar“ týkal celé matice. 5.10.2 Správná řešení Na základě způsobu řešení lze dětské výpovědi rozdělit do tří skupin. Do první skupiny by patřily děti, které popsaly princip matice tak, jak jsme si ho výše popsali i my. Hovořily o přidávání lístečků v jednom či druhém směru. Do zbylých skupin by pak patřily ty děti, které řešily matici jednoduššími principy, které se opíraly buď o ornamentální hledisko (druhá skupina), či o sbírkovou strategii (třetí skupina). Vzpomeňme si na Vaškovo digitální řešení a Lauřino analogové řešení úlohy C1. Přidávání je vlastně digitální rovinou řešení matice C7 (dochází k uvědomělému zvyšování parametru počtu vždy o jednu) a ornamentální hledisko analogovou rovinou řešení stejné úlohy (přidávání je méně uvědomělé, nejde o zvyšování počtu, nýbrž o vytvoření „správného tvaru.“ 5.10.2.1 První skupina: Přidávání 21

Do první skupiny jsem zařadila výpovědi 17 dětí. Ze všech těchto výpovědí bylo totiž patrné, že děti o jakémsi přidávání uvažovaly. Tady jsou některé jejich výpovědi: Anička, 4. třída: „Jde to vlastně postupně, přidávaj se.“, Kristýna, 6. třída: „Staví se to.“, Vítek, 4. třída: „Po jednom lístku to přibývá.“, Ondra, 6. třída: „Vypadá to jako by se měl přidat jeden lísteček a tvořit takovou kytku.“ Devět z těchto dětí bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, 7 ze skupiny Průměrných řešitelů a jedno ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Sedm dětí bylo ze 4. a deset ze 6. třídy. 5.10.2.2 Druhá skupina: Ornamentální strategie Do druhé skupiny jsem zařadila děti, které se pro možnost 7 – jejich slovy celou kytičku, rozhodly ne z důvodu přičítání, ale z jistých důvodů estetických. Patří sem 5 dětí (dvě dívky a tři chlapci). Tři děti mladší a tři starší, jedno ze skupiny Neúspěšných, jedno ze skupiny Úspěšných a tři ze skupiny Průměrných řešitelů matic. Zde je výčet jejich výpovědí: Katka, 4. třída: „Měla by z toho bejt kytka.“, Vendula, 4. třída: „Protože je to celý dodělaný.“, Jan, 4. třída: „Celou kytičku, všechno jsou jen lístečky, někde by měla být celá.“, Martin, 6. třída: „Prostě se tam hodí.“, Lukáš, 6 třída: „Protože to tu prostě nějak bude.“ Z výpovědí dětí je patrné, že zařazení dětí do těchto skupiny je značně problematické. Typickým výrokem pro tuto skupinu je Martinův výrok. Naopak např. u výroku Katky si nemůžeme být naprosto jisti, jestli by neměl být zařazen do první skupiny. Každopádně k tomuto zařazení nemá daleko. Naopak Janův výrok má blízko ke třetí skupině, kde se nachází výroky založené na jednodušším sbírkovém principu. I přes tyto nejasnosti je však ve všech výrocích cítit cosi společného, cosi co nás vede k vytvoření této zvláštní skupiny. Tímto cosi je důraz na celek, na to aby se možnost 7 – celá kytička v matici opravdu vyskytla. Od první i třetí skupiny tyto výroky odlišuje fakt, že děti, které je vyslovily, si byly touto nutností jisty, avšak nevěděly proč. 5.10.2.3 Třetí skupina: Jednodušší sbírková strategie Děti v této skupině naopak velice dobře věděly, proč se rozhodly právě pro možnost 7. V matici se totiž narozdíl od možností 3,4 a 8 ještě nevyskytuje. V matici však rovněž není ani možnost 1,2,5 a 6. Když se ale na ně zaměříme pozorněji, všechny se příliš odlišují od ostatních tvarů, které jsou v matici obsaženy. Sbírkovým principem řešily dvě dívky, jedna ze 4. a jedna ze 6. třídy. Obě ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic: Markéta, 4. třída: „Tahle tam ještě žádná není.“ a Katka, 6. třída: „Ještě tam není.“ Tab.16: Přehled správných řešení v úloze C5 9-10leté děti 11-12leté děti 7 10 Přidávání 3 2 Správný tvar 1 1 Sbírka

Dívky 8 2 2

Chlapci 9 3 0

Celkem 17 5 2


5.11 Úloha C7

22

Principem úlohy C7 není přidávání tvarů, jako tomu bylo v předešlých úlohách, ale je to změna umístění jednoho z tvarů. Malý čtvereček se jakoby pohybuje – v řádkách zleva doprava a ve sloupcích ze shora dolů. 5.11.1 Chybná řešení V úloze C7 chybovalo šest dětí (4 chlapci a 2 dívky). Čtyři děti byly ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic a dvě ze skupiny Průměrných řešitelů. Přehled chybných řešení nám ukazuje následující tabulka. Tab.17: Chybná řešení v úloze C7 9-10 let 11-12 let Dívky 2 0 Chlapci 3 1

Celkem 2 4

Rozložení chybných možností bylo tentokrát velice pestré. Nejčastější chybnou variantou byla možnost 6 – velký černý čtverec, kterou však zvolily pouze dvě děti. Přesto můžeme chybně řešící děti rozdělit do několika skupin podle toho. na jakém základě se pro tu „svou možnost“ rozhodly. V první skupině budou děti, které řešily na základě principu stejnosti – doplnily právě to, co se již v matici na nějakém místě vyskytuje. Ve druhé skupině budou ty děti, které řešily jednodušším sbírkovým principem či principem rozdílnosti – doplnily tedy tvar, který se podle nich v matici ještě nevyskytuje. Konečně třetí skupina bude vyhrazena dětem, které řešily matici pouze v jednom směru a z tohoto důvodu opomněly jeden z parametrů. 5.11.1.1 První skupina: Princip stejnosti Do druhé skupiny budou zařazeny ty děti, které uvažovaly přesně opačně než děti z první skupiny. Tyto děti se rozhodly pro možnost, která se již v matici vyskytuje a takto si ji i odůvodnily. Patří sem dva chlapci, jeden ze 4. a jeden ze 6. třídy: Štěpán, 4. třída se rozhodl pro možnost 1: „Naproti stejný.“ a Matěj, 6. třída svoji variantu 7 odůvodnil takto: „Tady je nahoře čtverec a tady aby byl taky nahoře - aby to bylo souměrné.“ Z výpovědí obou chlapců je patrné, že oba řešili stejným způsobem. Rozdíl je pouze v políčku, podle kterého svou souměrnost měřili. Zatímco Matěj řešil úlohu ve sloupci, Štěpán v řádku. 5.11.1.2 První skupina: Princip rozdílnosti či jednodušší sbírkový princip Do první skupiny budou patřit dvě děti, které se rozhodly pro nejčastější variantu (6) a jeden chlapec, který zvolil možnost 2. U dětí, které se rozhodly pro možnost 6, je situace naprosto jasná. Děti si nevěděly rady a doplnily do matice to, co je na první pohled jasné, že do matice nepatří. Tedy možnost 6 – velký černý čtverec. Řídily se tedy principem rozdílnosti. Např.: Adam, 4. třída: „Asi černej, žádnej takovej tam nejni.“ Pro možnost 2 se rozhodl Martin, 4. třída: „Ještě tam není (v řádku).“ Jeho řešení se od zbylých dvou dětí liší v tom, že tím tam Martin myslel pouze řádek, kdežto ostatní děti měly na mysli celou matici. Z prostředního řádku Martin usoudil, že se má v každém řádku vyskytovat jeden černý čtvereček, přesně uprostřed bílého čtverce. Martin tedy řešil jednodušším sbírkovým principem. 5.11.1.3 Třetí skupina: Opomenutí jednoho parametru

23

Ve třetí skupině zůstává osamocena výpověď čtvrťáky Katky ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Rozhodla se pro možnost 8 a odůvodnila ji slovy: „Mělo by to bejt dole. Je to vždycky v pravo na straně, teď dole (ve sloupci).“ Katka správně určila parametr umístění nahoře/dole, avšak zapomněla na druhý z parametrů umístění vlevo/vpravo. Její řešení je ze všech chybných řešení na nejvyšší úrovni. 5.11.2 Správná řešení Dětské výpovědi můžeme rozdělit do dvou skupin. Do první skupiny budou zařazeny děti, jejichž řešení se opírala o identifikaci parametru umístění vpravo/vlevo a nahoře/dole. Ve druhé skupině pak budou výpovědi, jejichž autoři hledali v matici „správný tvar.“ 5.11.2.1 První skupina: Identifikace parametru umístění S parametry umístění pracovalo 17 dětí. Některé děti hovořily o vertikálním směru umístění (nahoře/dole – celkem 5 dětí), některé děti o horizontálním směru (vpravo/vlevo – celkem 6 dětí) a některé o obou směrech (celkem 5 dětí). O parametru umístění nahoře/dole hovořil např. Daniel, 4. třída: „Nahoře, veprostřed, dole (sloupec).“ Laura, 4. třída se zabývala umístěním vpravo/vlevo: „Třetí kostka jde ven.“ Oba směry zdůraznil např. Matouš, 4. třída: „Vlevo dole, uprostřed a vpravo dole. Navazuje to tak na to.“ 5.11.2.2 Druhá skupina: Ornamentální strategie Kriterium pro zařazení do této skupiny byla práce s celou maticí, či s jejími celými řádky či sloupci. Byly sem zařazeny výpovědi dětí, které opět poukazují k hledání „správného tvaru.“ Katka, 6. třída: „Vždycky je to v rohu (u rohových).“, Fred, 6. třída: „Uzavírá ten celej útvar.“, Nikola, 6. třída: „Aby to bylo stejný jako ty vedle (v levém sloupci). V prostřed je to jiný.“, Matyáš, 4. třída: „Všechno je to na opačný straně (sloupce).“, Jan, 4. třída: „Všiml jsem si, že nahoře je to stejně, jen jsou nahoře.“ Katka a pravděpodobně i Fred pracovali s celou maticí. Především vysvětlení Katky je velice komplexní. Nikola a Matyáš se snažili udržet správný tvar matice tím, že stranově obrátily levý sloupec matice. Jan uvažoval úplně stejně. Neobracel však levý sloupec, ale horní řádek. 5.12 Úloha C9 V úloze C9 jde opět o pohyb malých tvarů oproti tvaru velkému. Od úlohy C7 se však tato úloha liší v tom, že k pohybu dochází pouze v řádcích, nikoli ve sloupcích. Ve sloupci by šla matice číst jako sbírka koleček, trojúhelníků a čtverců, přičemž jednotlivé tvary jsou oproti sobě vždy v jiné vzdálenosti. 5.12.1 Chybná řešení Celkem zde chybovalo 12 dětí ze 30, kterým byla matice předložena. Osm chybujících bylo ze 4. třídy, zbytek ze třídy 6. Chybovalo šest Neúspěšných řešitelů, čtyři Průměrní a dva Úspěšní. Tab.19: Chybná řešení v úloze C9

24

Dívky Chlapci

9-10 let 3 5

11-12 let 3 1


5.12.1.1 První skupina: Varianta 1 Nejčastější chybnou variantou byla možnost 1. Rozhodlo se pro ni sedm dětí. Tyto děti si byly vědomy faktu, že se v posledním řádku děje něco s trojúhelníky. Při své zaměřenosti na malý, tučněji zvýrazněný tvar, mohly zapomenout sledovat velký, slaběji zvýrazněný. Nebo ho sledovaly, ale při pohledu na horní sousední políčko mohly dospět ke zjištění, že malé tvary se pohybují vždy směrem do velkého čtverce. Podíváme se, jak svoji volbu zdůvodňovaly přímo děti. Verča, 4. třída: „Stejný s timhle (nad).“, Laura, 4. třída: „Vždycky čtvereček, kolečko, trojúhelník jde dovnitř.“, Veronika, 6. třída: „Už je to vevnitř.“, Nikola, 6. třída: „Tedy jsou čtverce a tady trojúhelníky.“, Martin, 4. třída: „Kruh, čtverec, trojúhelník.“, Štěpán, 4. třída: „Stejný tvary v řádku.“, Vítek, 4. třída: „Jako nad tím ale s trojúhelníkama.“ Z výpovědí všech dětí, které se pro tuto možnost rozhodly, je myslím patrné, že příčinou jejich volby bylo opravdu zapomenutí na velký tvar, do kterého se malý pohybuje. 5.12.1.2 Druhá skupina: Varianta 6 Druhou nejčastější volbou byla možnost 6. Kromě možnosti 1 a správného řešení je tato možnost poslední, ve které se uvnitř velkého tvaru/ů nachází malý trojúhelník. Zvolili ji dva chlapci. Jan, 4. třída: „Vše tady bylo, a kdyby se ty kombinace sečetly, tak by to dalo tohle.“, Adam, 4. třída: „Venku, skoro vevnitř a úplně vevnitř. Navazuje to na sebe.“ Vysvětlení Adama je srovnatelné s vysvětleními ostatních dětí, které se rozhodly pro možnost 1. Stejně tak jako tyto děti, Adam zapomněl na velký tvar. Jan zvolil komplexní možnost, která v sobě zahrnuje všechny tvary. Jedná se o jakýsi nediferenciovaný sklad všech možností objevujících se v matici. 5.12.1.3 Třetí skupina: Varianty 3, 4, 5 Jedenkrát byly zvoleny možnosti 3, 4 a 5. Pro možnost 3 se rozhodl Fred: „Ten samotnej trojúhelník (v řadě).“ Fredova volba stojí přesně na opačném pólu voleb dětí, které se rozhodly pro možnost 1 a volby Adama. Zatímco pro tyto děti byl rozhodujícím kriteriem malý tvar a jeho pohyb, pro Freda byl důležitý velký tvar. Katka, 4. třída zvolila možnost 4: „Kolečko ve čtverečku jako je to nad tím.“ Katka, 6. třída se rozhodla pro variantu 5: „Stejně jako nad tim.“ Obě dívky řešily ve sloupci. Katka, 4. třída se pokusila o jakousi kombinaci dvou předchozích políček. Katka, 6. třída řešila ornamentálně. Zopakovala tvar, vyskytující se v první řádce a vytvořila tak „správný tvar“ ve sloupci. Adam a volitelé varianty 1 se liší od zbývajících dětí především v tom, že sledovali pohyb malého tvaru. Ostatními chybujícími řešiteli pohyb pravděpodobně vůbec rozpoznán nebyl, proto bych jejich řešení postavila na kvalitativně nižší úroveň. 5.12.2 Správná řešení Správná řešení můžeme rozdělit do dvou skupin. Do první skupiny můžeme zařadit řešení, která se opírají o nějaký druh sbírkových principů. Do druhé skupiny pak řešení, která naznačují jakousi dynamiku malých tvarů v řádku.

25

5.12.2.1 První skupina: Sbírkový princip Až na jednu výjimku sem patří výpovědi dětí, které četly matici ve sloupci. Spadá sem pět dětí (1 dívka a 4 chlapci). Čtyři děti ze skupiny starších dětí, jedno ze skupiny mladších dětí. Tři děti ze skupiny Úspěšných řešitelů, a po jednom dítěti z ostatních dvou skupin. Tyto děti rozpoznaly, že se v každém sloupci nacházejí kolečko, čtverec a trojúhelník. U některých výpovědí jde opravdu pouze o jednoduchou sbírku základních tvarů, jiné děti poukazují na jinou polohu, či dokonce změnu polohy jednotlivých tvarů vůči sobě. Dále uvádím výčet jednotlivých dětských výpovědí, seřazený dle toho, jak vysoká se mi jevila jejich úroveň (od nejjednodušších po nejsložitější): Matěj, 6. třída: „Kolečko, čtverec a trojúhelník.“, Anička, 4. třída: „Tam se jenom mění znaky (od shora dolů).“, Vašek, 6. třída: „Jakoby aby pasovaly ty tvary pod sebou.“, Ondra, 6. třída: „V levym sloupci jsou ty tři tvary venku, v prostředním je polovina v tom tvaru a v tom pravym jsou úplně.“ U Aničky a Matěje jde pravděpodobně jen o prostou sbírku základních tvarů (u Matěje bych si byla jistější než u Aničky, jejíž výpověď se blíží výpovědi Vaška). Vaškovo vysvětlení „pasovaly“je ale asi přeci jen o krok dále, je z něj cítit větší uvědomění si změny umístění malých částí. (U těchto sloupcových rozborů matic záměrně nepoužívám formulaci uvědomění pohybu malých částí. Myslím si totiž, že o pohyb v pravém slova smyslu tu nejde – narozdíl od dětí, které četly matici v řádku.) Nejsložitějším výrokem tuto řadu završuje Ondra, jehož strategii již můžeme nazvat strategií analytickou Ještě nám zbývá výpověď Martina, 6. třída, který sice četl matici v řádku, avšak jeho výpověď také značí užití sbírkového principu, respektive principu stejnosti: „Popořadě čtverec, čtverec a čtverec…“ 5.12.2.2 Druhá skupina: Dynamika malých tvarů v řádku Do druhé slupiny spadá zbylých 13 dětí (8 dívek a 5 chlapců), sedm šesťáků a šest čtvrťáků. Šest dětí je ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, šest ze skupiny Průměrných řešitelů a jedno ze skupiny Neúspěšných. Jsou to děti, které četly matici v řádku a z jejichž výpovědí je cítit pochopení pohybu malých tvarů. Anna, 4. třída: „Tady mám vždycky ty 3 a skládá se to do toho jednoho.“, Bára, 6. třída: „Vono se to skládá(v řádku) a tady to navíc jde popořadě(ve sloupci).“, Daniel, 4. třída: „Tady je to ze strany, jde to doprostřed a pak jeto úplně ve prostřed.“, Zdeněk, 6. třída: „Čím dál tím blíž.“ Tab.20: Přehled správných řešení v úloze C9 9-10leté děti 11-12leté děti 1 4 Sbírkový princip 6 7 Dynamika mal.tvarů

Dívky 1 8

Chlapci 4 5

Celkem 5 13


5.13 Úloha C11 Úloha C11 je kombinací úloh předešlých. Jde zde o změnu počtu teček, stejně jako v úloze C3 a C5 . Zároveň zde však jde i o jejich umístění, stejně jako tomu bylo v úlohách C5 a C9. V řádcích můžeme matici interpretovat jako ubírání teček v horní části obrazce zleva doprava. Ve sloupci můžeme matici číst jako přidávání teček v levé části matice ze shora dolů. Matici zjednodušuje to, že se vždy v řádcích ubírají tečky ze stejné pozice (Platí to i ve

26

sloupcích. Tečky se přidávají opět na stejnou pozici). Stejně jako u úloh C3 a C5 lze hodnoty parametrů považovat za vlastnosti i elementy. 5.13.1 Chybná řešení I přes toto zdánlivé zjednodušení však v matici chybovalo až do této chvíle rekordních 25 dětí. Tzn. pouze 5 dětí vyřešilo matici C11 správně! Všechny správně řešící děti byli chlapci, tzn. úlohu C11 nevyřešila ani jedna dívka. Sedm z těchto 25 dětí nerespektovalo ani parametr počtu – zvolilo možnost 4 (5 dětí) nebo 8 (2 děti). Nejčetnější chybnou variantou byla možnost 5, rozhodlo se pro ni 13 dětí. Možnost 3 se objevila 3krát a možnost 2 a7 jedenkrát. Tab.21: Chybná řešení v úloze C7 9-10 let 11-12 let Dívky 7 8 Chlapci 4 6


5.13.1.1 První skupina: Nerespektování parametru počtu Do první skupiny jsem zařadila ty děti, které zvolily možnost 4 nebo 8. Celkem je to 7 dětí (4 dívky a tři chlapci), tři ze skupiny děti mladších, čtyři ze skupiny dětí starších. Čtyři Neúspěšní řešitelé, dva Průměrní a jeden Úspěšný. Zvláště odůvodnění 4. možnosti bylo založeno na velice jednoduché úvaze opírající se o sbírkový princip. Např. Markéta, 4. třída: „Není tam ještě tolik teček.“ S možností 8 to nebylo o nic lepší. Veronika, 6. třída: „Asi, je stejná jako tady.“ Jen vysvětlení Daniela, 4. třída, který zvolil rovněž možnost 8: „Je to na tý stejný straně jako nad.“, je kvalitativně blíže úrovním vysvětlení dětí ze druhé skupiny. Stejně jako děti ze druhé skupiny, dodržel Daniel alespoň zčásti jeden z parametrů. Identifikoval parametr horizontálního umístění teček. 5.13.1.2 Druhá skupina: Respektování pouze parametru počtu Do druhé skupiny jsem zařadila ty, děti, které zvolily možnost respektující parametr počtu (ze zvolených možností je to 5, 3 a 7), ale svou volbu neodůvodnily jinak, nežli tím, že se počet teček snižuje či zvyšuje. Patří sem 14 dětí (8 dívek a 6 chlapců), pět čtvrťáků a devět šesťáků. Čtyři děti byly ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, šest ze skupiny Průměrných řešitelů a čtyři ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Bez jiného než početního odůvodnění zůstaly možnosti 3 a 7 a osm výpovědí, které zdůvodňovaly možnost 5. Všechny výpovědi si byly velice podobné, lišily se pouze tím, zda děti četly matici v řádku či sloupci (v této skupině 5krát řádek, 6krát sloupec, 1krát oba směry, 1krát neidentifikováno). Tady jsou některé příklady odůvodnění: Vendula, 4. třída: „5, 6 a chybí 4.“, Nikola, 6.třída: „2, 3,4i (sloupec).“, Lukáš, 6. třída: „Aby se to stupňovalo po jedničce (řádek).“ 5.13.1.3 Třetí skupina: Respektování parametru počtu + odůvodnění Do třetí skupiny patří čtyři dětí (3 dívky, 1 chlapec), tři ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, jedno ze skupiny Průměrných. Bez výjimky jsou to děti, které zvolily možnost 5. Tyto děti respektovaly parametr počtu stejně jako děti z druhé skupiny. Navíc si však tyto děti byly vědomy toho, že možnost 5 není jedinou možností, která obsahuje správný počet teček. Proto se svou volbu snažily odůvodnit ještě jinak. Anička, 4. třída: „Protože se to přidává a tady si 27

myslím, že se to přidá nahoru.“, Anna, 4. třída: „Vlastně. Zaprvé to jde po sobě (sloupec). A vybrala jsem tuhle čtyřku, protože tohle jsou jiný tvary než ten vlevo.“, Karolína, 6. třída: „2,3,4 a jsou nahoře, takže stejně.“, Matouš, 4. třída: „Protože kdybych dal tuhle pryč (políčko vlevo) tak z toho vznikne 4.“ Anička řešila ve sloupci, z umístění teček v předchozích dvou políčkách usoudila, že tečky mají být nahoře. Stejně tak uvažovala i Karolína. Anna řešila také ve sloupci, ale při umístění teček si za vzor vybrala řádek. Matouš řešil v řádku, správně identifikoval operaci, která v tomto směru probíhá, ale špatně určil tečku, která se má ubírat. Možná v tom svou roli hrála i jakási celistvost útvaru složeného z teček, tady nějaký druh ornamentálního hlediska. Ornamentální hledisko možná hrálo, alespoň implicitně, roli i u jiných řešitelů, kteří se rozhodli pro možnost 5. jak jinak zdůvodnit obrovskou převahu 5. varianty (její převaha byla více jak dvojnásobná i proti správné variantě). Svou roli mohlo hrát i to, že s matice nějak implicitně vyplývá, že se operace s tečkami dějí v levém horním rohu čtverečku. Pro Daniela (první skupina) je to spíše vpravo, pro Karolínu (třetí skupina) zase spíše nahoře. Možnost 5 je jedinou možností, respektující parametr počtu, která se splňuje oba dva požadavky – její tečky jsou umístěny vlevo nahoře. 5.13.2 Správná řešení Správných řešení bylo tentokrát opravdu málo. Správně řešilo pouze pět dětí. Velice zajímavé je složení této skupiny. Nacházejí se zde samí chlapci, z nichž čtyři jsou ze skupiny mladších dětí. Tři chlapci jsou ze skupiny Úspěšných řešitelů dva ze skupiny Průměrných řešitelů matic. Zde je výčet jejich výpovědí: Daniel, 4. třída: „Všude to ubývá (řádek).“, Matyáš, 4. třída: „O jedno míň.“, Vítek, 4. třída: „Ubírá se to.“, Adam, 4. třída: „Jinak položený než to vlevo nahoře.“, Ondra, 6. třída: „Postupka od dvou do 6 (pravý sloupec navazující na dolní řádku).“ Troufám si tvrdit, že ani u jednoho z chlapců si nemůžeme být jisti, že jejich řešení bylo jiné, nežli řešení dětí z ostatních skupin. Naopak Adamovo řešení můžeme bezpochyby zařadit někam mezi první a druhou skupinu. Myslím si, že byl hodně ovlivněn sbírkovým principem a o počet teček mu ani tak nešlo. Pouze umístil do dolního řádku útvar, který nalezl v řádku prvním. Ondrovo řešení je zase příkladovým řešením ze druhé skupiny. Sice zajímavě spojuje sloupcový a řádkový princip, ale o umístění teček se spíše nezajímá. U Daniela, Matyáše a Vítka si nemůžeme být jisti, jestli své „ubírání“ mysleli prostorově anebo pouze číselně. Je však dosti pravděpodobné, že ani jejich řešení nebyla výrazně výše, než řešení dětí ze skupiny 2. a 3. Pro možnost 1 se mohly rozhodnout i pouze z toho důvodu, že je první možností, která odpovídala jejich požadovanému počtu teček. 5.14 Úloha D1 Úlohy typu D jsou všechno sbírky. Jejich obtížnost je však různá. Najdeme zde sbírky opravdu jednoduché, ale i sbírky velice komplikované. Mezi ty nejjednodušší patří úloha D1. Jde zde pouze o kolekci stejných tvarů v řádku, či o kolekci typu „od každého jeden“ ve sloupci. 5.14.1 Chybná řešení V této úloze chybovaly pouze 2 děti – jeden chlapec ze 6. třídy a jedna dívka ze 4. třídy. Obě děti byly ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Fred, 6. třída zvolil možnost 4: „Něčeho je míň, něčeho je víc.“ Již tradičně se Fred rozhodl pro tak trochu netradiční variantu

28

s netradičním odůvodněním. Katka, 4. třída zvolila možnost 6: „Nad tim je zas trochu jinej křížek.“ Její řešení je možné zařadit do kategorie jednodušších sbírkových startegií. Tab.21: Chybná řešení v úloze D1 9-10 let 11-12 let Dívky 1 0 Chlapci 0 1


5.14.2 Správná řešení Správná řešení úlohy D1 byla opět dvojího druhu. Záleželo na tom, v jakém směru děti matici četly. Pokud se rozhodly pro řádek, bylo to pro ně jednodušší. Stačilo si uvědomit, že v každém řádku jsou vždy stejné tvary. Ty děti, které četly ve sloupcích, musely počítat s tím, že v každém sloupci je vždy od každého tvaru jeden. Situace byla zjednodušena tím, že pořadí jednotlivých tvarů ve sloupci se nemění. Tzn. že i pro děti, které četly ve sloupci, byl princip stejnosti dominantním principem. Děti si řekly, že všechny sloupce musí být stejné, což snížilo složitost čtení matice ve sloupci a přiblížilo ji ke složitosti řádkového směru. 5.14.2.1 První skupina: Stejnost sloupců Pro tento směr čtení matice se rozhodlo pět dětí (4 dívky a 1 chlapec), dvě byly ze skupiny mladších a tři ze skupiny starších dětí. Jedna dívka byla ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, dvě děti ze skupiny Průměrných řešitelů a dvě ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Zde je výčet jejich výpovědí. Anička, 4. třída: „Sloupce jsou stejný.“, Laura, 4. třída: „Kostička, křížek kolečko, takže sem doplníme….“, Nikola, 6. třída: „Aby to bylo jako ty ostatní sloupce.“, Míša, 6. třída: „Protože vlastně jsou ty sloupce jakoby stejný.“, Matěj, 6. třída: „V každé řadě je kolečko.“ Z výpovědí dětí je patrné, že stejnost sloupců byla rozhodující přinejmenším pro Aničku, Nikolu a Míšu a do určité míry i pro Lauru. Matěj se zaměřil pouze na část každého ze sloupců. Mohl by tak řešit i matice, která by neměla tvary ve sloupcích ve stejném pořadí. 5.14.2.2 Druhá skupina: Stejnost v řádku Druhá skupina je značně početnější, než skupina první. Způsobeno je to tím, že stejnost zde je více patrná. Matici v řádku četlo celkem 22 dětí (9 dívek, 13 chlapců), 11 čtvrťáků a 11 šesťáků. Ve 13 výpovědích se vyskytl nějaký tvar slova odvozeného od podstatného jména „stejnost“. Např.: Verča, 4. třída: „Tady to je taky všude stejný.“, Veronika, 6. třída: „Stejná jako ten řádek.“, Matouš, 4. třída: „Navazuje to na dvě stejný kolečka.“, Ondra, 6. třída: „V každym řádku jsou tvary stejný.“ V některých výpovědích se namísto slova stejnost objevilo vyjmenování tvarů. Např. Markéta, 4. třída: „3 tyhle, 3 křížky, 3 kolečka.“ Některé výpovědí zase zdůrazňovaly pořadí jednotlivých prvků. Např. Martin, 6. třída: „Zas to jde popořadě.“ 5.14.2.3 Třetí skupina: Oba směry Do této skupiny spadá pouze výpověď Anny, 4. třída, která zdůrazňuje oba směry: „Tady je to vždycky stejný (v řádku) a vlastně to jde i takhle(sloupec).“ Tab. 22: Typy čtení matice C3 29

Čtení ve sloupci Čtení v řádku Oba směry

9-10leté děti

11-12leté děti

Dívky

Chlapci

Celkem

2 11 1

3 11 0

4 9 1

1 13 0

5 22 1 Zdroj: vlastní zdroj

5.15 Úloha D3 Úlohu D3 je rovněž možné považovat za sbírku. Rozdíl je však v tom, že ani v jednom směru se nejedná o sbírku uspořádanou. Problematika ve sloupci i v řádku je shodná. Všude jde o neuspořádanou sbírku velkých, menších a nejmenších kruhů. 5.15.1 Chybná řešení Počet chyb se oproti předešlé úloze zvyšuje o šest, přičemž chyb se dopouštějí i obě děti, které chybovaly zároveň v předešlé úloze. Celkem tedy chybuje osm dětí (4 dívky a 4 chlapci), pět dětí je ze skupiny dětí mladších, zbytek ze skupiny starších. Pět dětí patří do skupiny Neúspěšných řešitelů matic, dvě do skupiny Průměrných řešitelů a jeden chlapec je ze skupiny Úspěšných řešitelů matic. Tab.23: Chybná řešení v úloze D3 9-10 let 11-12 let Dívky 3 1 Chlapci 2 2


Nejčetnější chybnou variantou je varianta 2, zvolily ji 3 děti. Možnost 1 byla zvolena 2krát. Jedenkrát byly zvoleny varianty 4, 6 a 8. Bez ohledu na to, pro kterou možnost se děti rozhodly, je můžeme zařadit do dvou skupin, na základě strategií, které je k jejich volbě vedly. Ústředními jsou Jednodušší sbírkové strategie a Ornamentální strategie. 5.15.1.1 První skupina: Jednodušší sbírkové strategie Zařadila jsem sem děti, které se pro svoji variantu rozhodly na základě sbírkového principu. Je jasné, že tento princip nedokázaly dovést k dokonalosti. Kdyby se tak totiž stalo, řešily by správně. Patří sem tyto děti a jejich výpovědi: Jan, 4. třída se rozhodl pro variantu 2: „Všude kolečka a tečky.“, Markéta, 4. třída zvolila možnost 2: „Ještě tam není .“, Katka, 4. třída odůvodnila možnost 8 takto: „Plný malý, plný velký a prázdný.“ Z těchto tří sbírek za nejjednodušší považuji Markétinu sbírku, která kromě toho, že se její varianta v matici nevyskytuje, neuvedla jiné zdůvodnění. O moc výše bych nestavěla ani Janovu sbírku. V nabídce s totiž kromě koleček a teček jiné tvary nevyskytují. Nejpřesnější popis podala Katka. Na druhou stranu však ani ona nepracovala s celou maticí, ale pouze s posledním řádkem. 5.15.1.2 Druhá skupina: Ornamentální strategie Do této skupiny jsem zařadila čtyři děti, které se pro svoje volby rozhodly z důvodu zachování „správného tvaru“ celé matice, či některé z jejich části. Verča, 4. třída zvolila možnost 1: „Tady je stejná (vlevo dole).“ Pro stejnou variantu se rozhodla i Katka, 6. třída: 30

„Je skoro ve všech rozích.“ Martin, 6. třída zdůvodňoval variantu 2: „Zas to jde popořadě tady kolečka (v levém rohu), tady taky (v pravém rohu).“, Matouš, 4. třída se rozhodl pro variantu 4: „Navazuje to na dvě stejný kolečka (vedle a nad).“ Nejkomplexnějším řešením je bezpochyby řešení Martinovo, které se snaží o „správný tvar“ celé matice. Srovnatelné je řešení Matouše a Katky, kteří pracují s částí matice. Na opačném pólu nežli řešení Martinovo stojí řešení Verčino, která pracovala pouze s jedním řádkem. Mimo obě skupiny stojí opět řešení Fredovo, 6. třída, který zvolil možnost 2: „Všechny kruhy dohromady.“ 5.15.2 Správná řešení Správně řešilo zbylých 22 dětí. Jejich řešení si opět můžeme rozdělit do dvou skupin a to do stejných jako řešení chybná. Rozdíl je jen v tom, že sbírky těchto dětí byly dokonalejší a že tento typ řešení o hodně převyšoval typ řešení, který se opírá o ornamentální hledisko. 5.15.2.1 První skupina: Sbírkový princip Sbírkovým principem řešilo 20 z 22 správně řešících dětí. Jedná se o složitější variantu tohoto typu řešení, která se od Jednodušších sbírkových strategií přibližuje ke strategii analytické. Ze všech výpovědí je cítit snaha vystihnout vlastnosti, které jsou podstatné pro správné dotvoření sbírky. Devět dětí hledalo sbírku ve sloupci. Např. Anna, 4. třída: „V každý řadě je puntík, jedno kolo okolo a dvě kola okolo. Chybí mi tam puntík s jednim kolem.“ Jedna dívka hledala sbírku v řádku. Vendula: 4. třída: „Jedno velký a jedno malý a tady malý chybí (řádek).“ Dvě děti zdůraznily oba dva směry. Např. Nikola, 6. třída: „Aby to navazovalo na tady ty (řádek i sloupec).“U zbylých dětí se mi směr čtení matice nepodařilo identifikovat. 5.15.2.2 Druhá skupina: Ornamentální strategie Ve druhé skupině zůstaly pouze dvě děti. Jsou to oba chlapci ze 6. třídy, kteří byli zařazeni do skupiny Úspěšných řešitelů matic. Ondra, 6. třída: „Vlastně ty postranní diagonály jsou obráceně (malá kolečka, velká kolečka…).“, Vašek, 6. třída: „Naproti sobě jsou dva tyhle a dva tyhle, aby to bylo opačně.“ Z obou výpovědí je cítit snaha o zachování „správného tvaru“ matice, který je vyvozen na základě diagonálního principu symetrie. Tab.24: Přehled správných řešení v úloze D3 9-10leté děti 11-12leté děti 10 10 Sbírkový princip 2 Ornamentální strategie 0

Dívky 11 0

Chlapci 9 2

Celkem 20 2


5.16 Úloha D5 Úloha D5 je opět sbírkou. Sbírkou ale poněkud komplikovanější. V řádcích lze matici považovat za uspořádanou sbírku velkých tvarů, přičemž malý tvar zůstává zachován. Naopak ve sloupcích jde o uspořádanou sbírku malých tvarů, přičemž velký tvar zůstává zachován. 5.16.1 Chybná řešení

31

V úloze D5 překvapivě chybovaly pouze dvě děti. I přesto, že matice na první pohled působí složitěji nežli předchozí matice, pro děti tomu tak evidentně nebylo. Klíčovým rozdílem mezi úlohou D3 a D5 je právě uspořádanost druhé z nich. Tato uspořádanost tak činí úlohu D5 stejně složitou jako úlohu D1 (alespoň co se týče počtu chyb). V úloze D5 opravdu chybovaly tytéž děti, jako v úloze D1. Tedy Fred ze 6. třídy a Katka ze 4. třídy (oba neúspěšní řešitelé matic). Katka zvolila možnost 2: „Měly by bejt tečky jako je to nad tím.“ Fred, 6. třída se rozhodl pro možnost 5: „Že to jako zmizí ta hvězda a stane se z toho ta pětka.“ Katka zapomněla na malý tvar, ale správně určila tvar velký. Rozodovala se na základě analogie s horním sousedním políčkem (stejně tak učinila i v úloze D1). Fredovo vysvětlení stojí opět mimo pravidla maticové logiky. Zabýval se pouze spodním řádkem, neurčil správně ani parametr velkého tvaru a ani se mu nepodařilo zachovat parametr malého tvaru. Tab.25: Chybná řešení v úloze D5 9-10 let 11-12 let Dívky 1 0 Chlapci 0 1


5.16.2 Správná řešení Správně řešilo 28 dětí, úroveň jejich výpovědí je však různá. 17 dětí řešilo matici ve sloupci (5 dívek, 12 chlapců), 9 v řádku (7 dívek, 2 chlapci) a 2 v obou směrech (obě dívky). Tab.26: Typy čtení matice D5 9-10leté děti 10 Čtení ve sloupci 3 Čtení v řádku 1 Oba smě


Dívky 5 7 0

Chlapci 12 2 2

Celkem 17 11 2


5.16.2.1 První skupina: Jednodušší sbírkové principy Do druhé skupiny jsem zařadila děti, z jejichž výpovědí není úplně patrné, zda uvažovaly sbírku obou tvarů. Jsou to buď děti, které hovořily o malých tvarech v řádku (doplnily stejný jako v předešlých políčkách a nezabývaly se tvarem velkým) anebo děti, které četly matici ve sloupci, ale nezabývaly se přitom malými tvary. U těchto dětí si nemůžeme být jisti, zda zbylý tvar uvažovaly a jen o něm nehovořily, a nebo bylo jejich řešení z části náhodné. Celkem sem spadá 12 dětí (10 chlapců a pouze 2 dívky), šest dětí ze 4. třídy a 6 dětí ze třídy 6. Čtyři ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic, šest Průměrných řešitelů a dva ze skupiny Úspěšných řešitelů matic. O malých tvarech v řádku hovořil např. Matouš 4. třída: „Navazuje to na dvě stejný hvězdičky. Navazuje to všechno na sebe rovnoměrně.“ O velkých tvarech ve sloupci naopak hovořil Martin, 6. třída: „Sloupeček jsou čtverce a křížky a tečky.“ 5.16.2.2 Druhá skupina: Složitější sbírkové strategie (blíže k analytické strategii) Mezi nejvyspělejší řešení jsem zařadila výpovědi těch děti, které zdůraznily jak malé, tak velké tvary. Zároveň sem patři i děti, které hovořily o obou směrech. Anebo ty děti, které buď řešily ve sloupci a hovořily o malých tvarech (velké braly implicitně) anebo řešily 32

v řádku a hovořily o velký tvarech (malé braly implicitně). Celkem sem patří 16 dětí (12 dívek a 4 chlapci), osm dětí ze 4. třídy a osm ze třídy 6. Devět dětí bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů, pět ze skupiny Průměrných řešitelů a dva ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Mezi děti, které zdůraznily oba tvary, patří např. Míša, 6. třída: „Vždycky je to plusko přeškrtnutý, v tečkách a ve čtverečku. Takhle je to všude.“ V obou směrech řešila např. Laura, 4. třída: „Protože tady jsou dole hvězdičky a má to čtyři puntíky jako v tom sloupečku.“ O malých tvarech ve sloupci hovořila např. Anička, 4. třída: „Tady je to všechno stejný (ve sloupci) jen hvězdička chybí.“ Naopak o velkých tvarech v řádku hovořila např. Veronika, 6. třída: „V každym řádku s tečkama.“ Tab. 27: Přehled správných řešení v úloze D5 9-10leté děti 11-12leté děti 6 Jednodušší sb.strategie 6 8 8 Složitější sb.startegie

Dívky 2 12

Chlapci 10 4

Celkem 12 16


Z tabulky vyplývá, že nebyl rozdíl mezi řešeními mladších a starších dětí. Za to byl rozdíl mezi pohlavími. Dívky dopadly o poznání lépe. Tato skutečnost však může být způsobena i lepšími vyjadřovacími schopnostmi dívek. To by ovšem znamenalo, že řešení nižší úrovně nebyly níže myšlenkově. Pouze jejich autoři nedokázali popsat všechny myšlenkové operace, které u nich probíhaly při rozhodování. Určitě to však neplatí o všech dětech, které spadají do druhé skupiny. Převaha Úspěšných řešitelů v první skupině tomu nenapovídá. 5.17 Úloha D7 Povahou materiálu je úloha D7 velice podobná úloze předchozí. Její o něco vyšší obtížnost je dána tím, že malé tvary, v řádku i ve sloupci, představují neuspořádané sbírky. 5.17.1 Chybná řešení V úloze D7 chybovalo devět dětí (5 dívek a 4 chlapci). Čtyři děti byly ze skupiny mladších dětí, zbytek ze skupiny starších. Šest dětí bylo ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic, dvě ze skupiny Průměrných a jedno ze skupiny Úspěšných řešitelů. Tab. 27: Chybná řešení v úloze D7 9-10 let 11-12 let Dívky 3 2 Chlapci 1 3


Nejčetnější chybnou variantou byla možnost 4, kterou zvolily 3 děti. Možnost 7 byla zvolena 2krát. Možnosti 1, 2, 3 a 8 jedenkrát. Chybná řešení dětí můžeme rozdělit přibližně do tří skupin. Do první skupiny budou zařazeny ty výpovědi, které se opíraly o strategii stejnosti. Hned vedle nich budou stát řešení ornamentální. Ve třetí skupině pak budou řešení, která dodržela správně pouze jeden parametr tvaru.

33

5.17.1.1 První skupina: Strategie stejnosti Do této skupiny byly zařazeny děti, které se pro svoji variantu rozhodly proto, že se již jednou v matici vyskytuje. Patří sem výpovědi třech dětí. Verča, 4. třída zvolila možnost 1: „Je to i tady(vlevo dole).“ Martin, 6. třída odůvodnila variantu 2 takto: „To samý jako před tim.“ Katka, 4. třída se rozhodla pro variantu číslo 8: „Dvě stejný a mezi jedna jiná (sloupec).“ Všechna řešení byla založena na velice jednoduchém principu. Vysvětlení Katky a Verči je ornamentálnější a má proto blíže ke druhé skupině. 5.17.1.2 Druhá skupina: Ornamentální strategie Do této skupiny patří pouze dvě děti. Matouš, 4. třída volil možnost 3: „Navazuje to na tu hvězdičku.“ Fred, 6. třída se rozhodl pro 7: „Tři kříže (v diagonále).“ Matoušova výpověď nebyla daleko od výpovědí Katky a Verči. Obě dívky se ale zabývaly maticí pouze v 1 směru, Matouš sloučil řádek a sloupec. Fred se pak zabýval celou maticí. 5.17.1.2 Třetí skupina: Opomenutí druhého tvaru Do poslední skupiny chybujících byly zařazeny výpovědi, jejichž autoři zapomněli na jeden z tvarů. Tři děti se rozhodly pro možnost 4. Zapomněly tedy na velký tvar v řádku. Anička, 4. třída: „Křížek, hvězdička, křížek.“, Katka, 6.třída: „Aby to tam bylo třikrát (malý tvar).“ a Matěj, 6. třída: „Protože všude je každej jinej tvar.“ Nikola, 6. třída zvolila možnost 7: „Stejný jako ty ostatní (kolečka nad tím).“ Správně tedy určila velký tvar,ale zapomněla na malý. 5.17.2 Správná řešení Všechny správně řešící děti četly matici ve sloupci (kromě dvou dětí, které ji četly v obou směrech). Způsobeno je to tím, že ve sloupcích se můžeme opřít o stejnost velkých tvarů. V řádcích se žádná stejnost nevyskytuje. Tab. 28: Typy čtení matice D7 9-10leté děti 10 Čtení ve sloupci 0 Čtení v řádku 1 Oba směry


Dívky 10 0 0

Chlapci 9 0 2

Celkem 19 0 2 Zdroj: vlastní zdroj

Stejně jako v předchozí úloze můžeme děti rozdělit do dvou skupin dle vyspělosti jejich výpovědí. 5.17.2.1 První skupina: Jednodušší sbírkové strategie Do první skupiny jsem zařadila ty děti, které řešily ve sloupci, ale nezmínily se o malých tvarech. Nemůžeme si být tudíž jisti, zda jejich řešení nebyl do určité míry pouze řešením náhodným. Zařadila jsem sem pět dětí (2 dívky a 3 chlapce), všechny ze skupiny mladších dětí. Dvě děti jsou ze skupiny Neúspěšných řešitelů, dvě ze skupiny Průměrných řešitelů a jedno ze skupiny Úspěšných řešitelů matic. Řešení těchto dětí vypadala podobně jako řešení Markéty, 4. třída: „Ještě tam není“, nebo řešení Adama, 4. třída: „Je taky vohraničenej.“ 34

5.17.2.2 Druhá skupina: Složitější sbírkové strategie (blíže k analytické strategii) Vzhledem k tomu, že se nevyskytla žádná řešení v řádku, je zde situace méně komplikovaná. Byla sem zařazena ta řešení, ze kterých je patrné, že jejich autoři uvažovali o malých a o velkých tvarech současně. Buď je oba explicitně zmínili anebo řešili v obou směrech. Poslední možností je řešení ve sloupci spolu se zmíněním pouze malých tvarů (velké byly uvažovány implicitně). Celkově do této skupiny spadá 16 dětí (8 dívek a 8 chlapců), 6 čtvrťáků a 10 šesťáků. Sedm ze skupiny Průměrných a devět ze skupiny Úspěšných řešitelů matic. Oba tvary zdůraznila např. Anna, 4. třída: „Tady je to celý překřížený, tady zas v kolečku (sloupec) a chybí tam tady ten tvar (křížek).“ V obou směrech řešil např. Matyáš, 4. třída: „V tom chybí plusko ve sloupci i tady v tom a jsou tam kola.“ O malých tvarech hovořila třeba Kristýna: „Od všeho tři (od malých tvarů).“ Tab. 29: Přehled správných řešení v úloze D7 9-10leté děti 11-12leté děti 0 Jednodušší sb.strategie 5 6 10 Složitější sb.strategie

Dívky 2 8

Chlapci 3 8

Celkem 5 16


5.18 Úloha D9 Úloha D9 je opět složena ze dvou sbírek, stejně jako dvě předchozí úlohy. Sbírky úlohy D5 však byly uspořádané obě a úloha D7 měla alespoň jednu ze sbírek uspořádanou. Naproti tomu sbírky úlohy D9 jsou obě neuspořádané. Tuto úlohu lze číst stejným způsobem v řádku i ve sloupci. V obou směrech se variuje parametr „pozadí“ (prázdné, čárkované, čtverečkované) a parametr „figury“ (vodorovná čára, svislá čára, kříž). V každém řádku i sloupci se právě jednou vyskytuje typ pozadí a typ figury. Matici by šlo řešit i komplexněji a říct si, že na každém „pozadí“ se musí objevit všechny typy „figur“. 5.18.1 Chybná řešení V matici D9 se objevilo celkem 13 chyb, což je o 4 více nežli v úloze D7 a o 11 více nežli v úloze D5. Chybovalo sedm dívek a šest chlapců, šest čtvrťáků a sedm šesťáků. Sedm dětí bylo ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic, čtyři ze skupiny Průměrných řešitelů a dvě ze skupiny Úspěšných řešitelů matic. Tab. 30: Chybná řešení v úloze D7 9-10 let 11-12 let Dívky 4 3 Chlapci 2 4


Nejčetnějšími chybnými variantami pro tuto úlohy byly možnosti 2 a 4, pro každou se rozhodly tři děti. Dvakrát byly zvoleny možnosti 3 a 7, po jedné pak varianty 5 a 6. Jedenkrát se vyskytla odpověď bez volby. 35

Výpovědi chybujících dětí můžeme rozdělit do dvou skupin. Do první skupiny budou patřit výpovědi založené na principu stejnosti. Do druhé skupiny pak výpovědi dětí, které opomněly jeden z parametrů (buď parametr „pozadí“ či parametr „figury“) 5.18.1.1 První skupina: Princip stejnosti Do této skupiny spadá celkem pět dětí (3 chlapci a 2 dívky). Čtyři děti jsou ze skupiny mladších dětí a jedno ze skupiny starších. Patří sem tři Neúspěšní řešitelé matic, jeden Průměrný a jeden Úspěšný. Dva chlapci zvolili variantu 2: Daniel, 4. třída: „Je ten sloupec podobnej jako ten vedle.“, Lukáš, 6. třída: „Aby to bylo pod sebou.“ Markéta 4. třída zvolila 6: „Všude jsou tam čáry.“ Dvě děti zvolily možnost 7: Verča, 4. třída: „Aby to bylo vedle sebe stejný.“ a Štěpán, 4. třída: „Dva křížky a tak.“ Daniel se pokusil o srovnání dvou sloupců a rozhodl se pro stejnost horního políčka prostředního sloupce s dolním políčkem pravého sloupce. Jeho řešení je nejdiferencovanější a pravděpodobně má nejblíže k řešením dětí z následující skupiny. Lukáš zvolil stejnost „výplně“ se sousedním políčkem ve sloupci. Řešení Nikoly patří k těm méně diferenciovaným. Dle její výpovědi bychom mohli doplnit každou jinou variantu. Stejně tak je to s výpovědí Markéty. Verča a Štěpán zvolili absolutní stejnost se sousedním políčkem v řádku. 5.18.1.2 Druhá skupina: Opomenutí jednoho parametru Do druhé skupiny jsem zařadila ty chybující děti, které správně určily jeden z parametrů („pozadí“ či „figura“), a svoji volbu takto i zdůvodnily. Druhý parametr opomněly, a proto chybovaly. Spadá sem sedm dětí (5 dívek a 2 chlapci), dvě ze 4. a 5 ze 6. třídy. Jedno z dětí bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, tři ze skupiny Průměrných a tři ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Pět z dětí opomnělo parametr „pozadí“ a správně určilo hodnotu parametru „figura“. Vypadá to tedy, že „figura“ byla pro tyto děti dominantnějším znakem než „pozadí“. Takto řešil tedy např. Martin, 6. třída, který zvolil možnost 2: „Vždycky tam musí bejt čárka, jiná čárka a přeškrtaný (sloupec).“ Hodnotu parametru „pozadí“ správně určila např. Karolína, 6. třída: „Každej je prázdnej, proužkovanej a čtverečkovanej.“ Tab. 31: Přehled chybných řešení v úloze D9 9-10leté děti 11-12leté děti 4 2 Princip stejnosti 4 Opomenutí parametru 2

Dívky 3 4

Chlapci 3 2

Celkem 6 6


Celkově chybovalo podobné množství mladších i starších dětí. U šesťáků však převažují vyspělejší typy řešení, zatímco u čtvrťáků tomu tak není. 5.18.2 Správná řešení Úlohu D9 správně vyřešilo 17 dětí. Jejich řešení opět můžeme rozdělit dle úrovně výpovědí jejich autorů 5.18.2.1 První skupina: Jednodušší sbírkové strategie

36

Do této skupiny spadá šest dětí, které hovořily vždy pouze o jedné sbírce – tzn. buď o „pozadí“ (3 děti) či o „figuře“ (3 děti). Tři děti jsou ze 4. a tři ze 6.třídy, tři ze skupiny Úspěšných a tři ze skupiny Průměrných řešitelů matic. Jen o „pozadí“ hovořil třeba Matyáš, 4. třída: „Prázdný, křížkovaný a čárkovaný.“ Naopak jen „figurou“ se zabýval např. Adam, 4. třída: „Vždycky jedna nahoru a jedna ze strany na stranu a jedna překřížená.“ 5.18.2.2 Druhá skupina: Složitější sbírkové strategie (blíže k analytické strategii) Do druhé skupiny byla zařazena ta tvrzení, která se buď zmiňují o obou sbírkách – „pozadí“ i „figur“. Nebo ta tvrzení, jejichž autoři řešili matici nějakým komplexnějším způsobem, např. zabývali se diagonálou, nebo odhalili, že na každém „pozadí“ se nachází vždy jedna „figura“. Celkem takto řešilo 11 dětí (6 dívek, 5 chlapců). Pět dětí bylo ze 4. a šest dětí ze 6. třídy. Šest dětí bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, čtyři ze skupiny Průměrných a jedno ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. O dvou sbírkách hovořili např. Laura, 4. třída: „Jak je to přeškrtaný, tak tady to není a chybí čárka dolů.“, Míša, 6. třída: „Ve sloupci je od každýho znamínka jedno a pokaždý je v jiným políčku. A tohle tady chybí.“, Jan, 4, třída: „Od každého jedna, jen vždycky v jiném čtverečku.“. Zvlášť hezké bylo vysvětlení Ondry, 6. třída: „Jiný obrázky vypadaj jako balíčky. Jedna pentlička udělaná ve sloupci, jedna pentlička udělaná v řádku a pak obě. Každej má jinej papír.“ Komplexněji se maticí zabývali např. Denisa, 6. třída: „Tady jsou v kosočtverečkách všechny, v bílym všechny, tohle chybí.“ či Vašek, 6. třída: „Jakoby ten obsah je v tomčtverečkovaný, bílý a pruhovaný.“ Tab. 32: Přehled správných řešení v úloze D9 9-10leté děti 11-12leté děti 3 Jednodušší sb.strategie 3 5 6 Složitější sb.strategie

Dívky 2 6

Chlapci 4 5

Celkem 6 11


5.19 Úloha D11 Úloha D11, jedna z nejtěžších úloh celého mého testovacího sešitu, je principiálně totožná s úlohou předchozí. Opět jde o dvě neupořádané sbírky. Stejně jako v úloze předchozí byly dva parametry, které nabývaly tři hodnot, je tomu tak i zde. První parametr, můžeme ho nazvat třeba „celistvost“, nabývá hodnot celý, beze dna a bez vrcholu. Druhý parametr, nezveme jej třeba „zakřivenost“ nabývá hodnot vypouklý, rovný a prohnutý (nedokázala jsem vymyslet vhodnější terminologii) Popisně by matice vypadala takto: 1.beze dna 2.vypouklý 1.celý 2.prohnutý 1.bez vrcholu 2.rovný

1.celý 2.rovný 1.bez vrcholu 2.vypuklý 1.bez dna 2.prohnutý

1 bez vrcholu 2. prohnutý 1.bez dna 2.rovný

37

I bez nabídky úplným rozborem matice můžeme dojít k závěru, že do prázdného okénka musíme doplnit tvar celý a vypouklý. Nabídka nám situaci zjednodušuje, pokud se zaměříme na parametr celistvosti. Kromě správné možnosti 5 se totiž v nabídce žádný jiný tvar nevyskytuje. Žádného takového nabídkového zjednodušení se nám v principiálně podobných maticích nedostalo. Mohli bychom tedy dojít k mylnému závěru, že úloha D11 bude pro děti jednodušší, minimálně něž úloha D9. Když ale srovnáme počty chybujících dětí (D9-13, D11-24) zjistíme, že tomu tak ani v nejmenším není. Rozdíl úlohy D11 a předchozích matic je totiž především v tom, že parametry zde nejsou od počátku jasné. „Figura“ a „pozadí“ v předchozí úloze byly rozeznatelné na první pohled (alespoň dospělým okem), u „celistvosti“ a „rovnosti“ tomu tak není (zkoušela jsem se zeptat dospělých probandů). 5.19.1 Chybná řešení Jak již bylo řečeno, v úloze D11 chyboval relativně vysoký počet dětí (24). Nejčetnější chybnou variantou byla možnost 6 a 7, pro obě se rozhodlo sedm dětí. Možnosti 2, 3 a 8 zvolily 3 děti. Možnost 4 byla zvolena jedenkrát. Jedenkrát se objevila odpověď „nevím“. Ostatní děti své volby zdůvodňovaly. Podle těchto zdůvodnění můžeme děti rozdělit do několika skupin. 5.19.1.1 První skupina: Jednoduší sbírkové strategie Do první skupiny byly zařazeny výpovědi těch dětí, které se pro svoji variantu rozhodly proto, že se ještě v matici (či v řádku nebo ve sloupci) ještě nevyskytuje. Celkem sem spadá 13 dětí (6 dívek a 7 chlapců), šest ze 4. a sedm ze 6. třídy. Tři ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, sedm ze skupiny Průměrných řešitelů a tři ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Zde jsou příklady dětských odůvodnění z této skupiny: Zdeněk, 6. třída: „Asi ten kterej tam chybí. Asi Dvojku, protože tam není.“, Vašek, 6. třída: „Asi co tam není ještě. Šestka, to tam neni.“, Adam, 4. třída: „Já jí tam nikde nevidím, asi by tam měla patřit.“ 5.19.1.2 Druhá skupina: Ornamentální strategie Do druhé skupiny jsem zařadila děti, které se snažily z matice či její části vybudovat „správný tvar“. Spadá sem sedm dětí (2 dívky a 5 chlapců), čtyři děti ze skupiny mladších a tři ze skupiny starších dětí. Tři děti ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, jedno ze skupiny Průměrných a tři ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Diagonálou se zabývala Anna, 4. třída: „Ob jednu stejný (v diagonále).“, která zvolila možnost 3. Podobně odůvodnil variantu 3 i Matyáš: „V rohu je taky tenhle útvar.“ Karolínu, 6. třída, zaujala také diagonála, ale zvolila 8: „Dvě stejný a potom jiná (v diagonále).“ Sloupcem se zabýval např. Štěpán, 4. třída, možnost 7: „Je podobnej jako ten nahoře, jen nemá tu čárku.“ 5.19.1.3 Třetí skupina: Pokus práce s parametry Do poslední skupiny spadají 3 děti, z jejichž výpovědí je cítit alespoň náznak práce s parametry. Míša, 6. třída, možnost 2: „Vždycky jsou podobný. Tady (v diagonále) se nejdřív dá pryč ten cíp a pak to dole.“, Denisa, 6. třída, možnost 6: „Tady má špičku a nemá dno a tady je celej (v řádce).“ a Katka, 4. třída, možnost 8: „Zas jinej oblouček (ve sloupci).“

38

Tab. 33: Přehled chybných řešení v úloze D11 9-10leté děti 11-12leté děti 6 7 Sbírkové strategie 3 Ornamentální strategie 4 1 2 Práce s parametry

Dívky 6 2 3

Chlapci 7 5 0

Celkem 13 7 3


5.19.2 Správná řešení Správně řešilo pouze šest dětí (4 dívky a 2 chlapci), čtyři ze 4. a dvě ze 6. třídy. Tři ze skupiny Úspěšných řešitelů dvě ze skupiny Průměrných a jedno ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Správná řešení jsou dvojího druhu. První skupinu tvoří děti, které řešily podobnými principy, jako děti chybující. Do druhé skupiny patří tři řešení, jejichž autoři správně pracovali s parametry. 5.19.2.1 První skupina: Jednodušší sbírkový princip či princip stejnosti Spadá sem výpověď Verči, 4. třída ze skupiny Neúspěšných řešitelů: „Aby to bylo stejný (jako v levém horním rohu)“ Její řešení je srovnatelné s chybnými řešeními dětí, které řešily na základě správného tvaru. Podobně je to s řešením Lukáše, 6. třída: „Ta špička musí dorůst nahoru (diagonála).“ Výpověď Venduly, 4. třída je zase srovnatelná s dětmi, které řešily jednoduchou sbírkou: „To tady ještě není (v řádce).“ 5.19.2.2 Druhá skupina: Správná práce s parametry Do druhé skupiny spadají výpovědi tří Úspěšných řešitelů (2 dívky a 1 chlapec). Anička, 4. třída: „Přidá se tam čárka a to ostatní tam je.“, Bára, 6. třída: „Chybí ten s tou čárkou dole, od všech ostatních jsou tam tři.“ a Daniel 4. třída: „Jsou tam zahnutý obrazce, ale tady ten tam ještě není.“ Dívky popsaly parametr celistvosti, Daniel zakřivenost. Tab.34: Přehled správných řešení v úloze D11 9-10leté děti 11-12leté děti 1 Jednodušší principy 2 2 1 Práce s parametry

Dívky 2 2

Chlapci 1 1

Celkem 3 3


5.20 Úloha E1 První úloha sešitu E je typickou úlohou testující principy grafického součtu/rozdílu. Je řešitelná stejně v řádku i sloupci. Grafický součet v posledním sloupci je však možná o něco jednodušší, než grafický součet v řádku. 5.20.1 Chybná řešení V úloze E1 zvolilo jednu z chybných variant 11 dětí ( 4 dívky a 7 chlapců). Sedm dětí bylo ze skupiny mladších a čtyři ze skupiny starších dětí. Dvě z chybujících dětí byly ze skupiny Úspěšných řešitelů, šest ze skupiny Průměrných a tři ze skupiny Neúspěšných řešitelů. 39

Tab. 35: Chybná řešení v úloze E1 9-10 let 11-12 let Dívky 2 2 Chlapci 5 2


Nejčastější chybně zvolenou možností byly varianty 1 a 3. Obě byly zvoleny čtyřmi dětmi. Varianta 5 byla zvolena 2krát a varianta 1 jedenkrát. Samostatnou skupinu by tvořily děti, které se rozhodly pro možnost 4, vesměs se totiž takto rozhodly na základě strategie stejnosti. Podobný princip zvolily i dvě děti, které vybraly možnost 3, proto jsem je přidala ke jmenovaným voličům možnosti 4. Většina zbylých dětí pak spadá do druhé skupiny, která odhalila princip matice v řádku, avšak nedokázala správně určit výsledný tvar. 5.20.1.1 První skupina: Strategie stejnosti Celkem sem bylo zařazeno šest dětí (2 dívky a 4 chlapci), čtyři ze 4. a dvě ze 6. třídy. Jedno ze skupiny Úspěšných, čtyři ze skupiny Průměrných, a jedno ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Děti, které se rozhodly pro možnost 1, vesměs četly matici v řádku a nechaly se strhnout stejností předchozích dvou políček. Takto řešila např. Vendula, 4. třída: „Protože to patří k těmhle těm, že je to úplně stejný.“ Dále sem patří dvě děti, které zvolily možnost 4. Např. Katka, 6. třída: „Když už jsou vedle tadyty, tak aby to bylo celý takový.“ U těchto dětí nešlo o absolutní stejnost, ale o podobnost s ostatními políčky sloupce. 5.20.1.2 Druhá skupina: Princip grafického skladu/rozkladu Děti ze druhé skupiny měly ke správnému řešení (nebo alespoň ke správnému pochopení matice) blíže. Správně odhalily princip, ale nedokázaly ho bezchybně použít. Patří sem tyto děti a jejich výpovědi: Míša, 6. třída: „Dvě znamínka a pak se spojí v jeden obrázek.“, Adam, 4. třída: „Z jedný, z druhý 8, Z jedný z druhý brýle. Z jedný z druhý slunce.“ a Markéta, 4. třída: „Hodně možností, spousta jich tam ještě není. Vlastně když to spojíš, vyjde tohle.“ Nezařazeny zůstaly výpovědi Vítka, 4. třída, který zvolil možnost 5: „Kroutí se to na druhou stranu (v řádku).“ A Freda, který se rozhodl pro 6: „Kombinace všeho.“ Tab. 36: Přehled chybných řešení v úloze E1 9-10leté děti 11-12leté děti 4 2 Strategie stejnosti 1 Grafický součet/rozdíl 2

Dívky 2 2

Chlapci 4 1

Celkem 6 3


Když k dětem, jejichž řešení byla opřena o strategii stejnosti přičteme Freda a Vítka, vyjde 8 dětí (5 mladších a 3 starší), pro něž není dostupný princip grafického součtu/rozdílu. 5.20.2 Správná řešení

40

Správnou variantu 7 zvolilo 19 dětí. Správná řešení můžeme rozdělit do dvou skupin. První skupinu budou tvořit výpovědi, založené na jednodušších principech, než je princip grafického součtu/rozdílu. Do druhé skupiny pak budou patřit ty děti, pro něž je princip grafického součtu/rozdílu (alespoň pro tuto úlohu) dostupný. 5.20.2.1 První skupina: Strategie stejnosti či sbírková strategie Do první skupiny patří pouze 4 děti (3 dívky a 1 chlapec), tři ze 4. a jedno ze 6. třídy. Tři děti jsou ze skupiny Neúspěšných a jedno ze skupiny Úspěšných řešitelů matic. Pro všechny tyto děti byla rozhodující podobnost varianty 7 a zbylých políček ve sloupci. Své volby odůvodňovaly např. takto: Nikola, 6. třída: „Nad tim jsou taky květy, aby to bylo stejný.“, Štěpán, 4. třída: „Tady jsou jako vždycky brejle (ve sloupci).“ Když tyto děti přičteme k chybně řešícím dětem, pro něž nebyl dostupný princip grafického součtu/rozdílu, vyjde nám celkem 12 dětí, pro něž nebyl tento princip dostupný. Tab. 37: Děti pro něž nebyl dostupný princip grafického součtu/rozdílu v úloze E1 Celkem 9-10leté děti 11-12leté děti Dívky Chlapci 8 4 5 7 Počet dětí 12 Zdroj: vlastní zdroj

5.20.2.2 Druhá skupina: Princip grafického skladu/rozkladu Tento princip dovedl ke správnému řešení 15 dětí (8 dívek, 7 chlapců). Pět dětí bylo ze skupiny mladších dětí, zbytek ze skupiny starších. Osm dětí bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, pět ze skupiny Průměrných řešitelů a dva ze skupiny neúspěšných řešitelů matic. Většina dětí sčítala ve sloupci (celkem 12 dětí). Např. Laura, 4. třída: „Kytičkovanej tvar ve stoji, vleže, takže tam musí bejt kytička.“, Kristýna, 6. třída: „Když se daj tyhle dvě k sobě (sloupec).“, Jan, 4, třída: „Sloupeček, na konci spojený.“, Ondra, 6. třída: „V pravym sloucpci to tvoří takovou květinku, čtyřlístek.“ Tři děti použily stejný princip v řádku. Veronika, 6. třída: „Jedna půlka, druhá půlka a dokončená.“ Tab. 38: Přehled správných řešení v úloze E1 9-10leté děti 11-12leté děti 3 1 Jednodušší principy 10 Grafický součet/rozdíl 5

Dívky 3 8

Chlapci 1 7

Celkem 4 15


5.21 Úloha E3 Úloha E3 je principiálně totožná s úlohou předchozí. Stejně jako v ní lze zde v řádku i ve sloupci použít princip grafického skladu/rozkladu. 5.21.1 Chybná řešení

41

Počet chybujících dětí vzrůstá z 11 na 18 (9 chlapců a 9 dívek). Kromě tří výjimek, všechny děti, které chybovaly v úloze E1, se v úloze E3 dopouštějí rovněž chyby. Mezi chybujícími dětmi se tentokrát objevilo 13 čtvrťáků a 5 šesťáků. Tři chybující děti byly ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, devět ze skupiny průměrných a šest ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Tab. 39: Chybná řešení v úloze E3 9-10 let 11-12 let Dívky 6 3 Chlapci 7 2


Variantou, pro kterou se rozhodlo nejvíce dětí, byla varianta číslo 1, kterou zvolilo šest dětí. Možnost číslo 6 zvolilo pět dětí. Čtyři děti se rozhodly pro možnost 2, dvě děti pro možnost 5 a jedno dítě pro variantu 7. Chybná řešení můžeme rozdělit opět do třech skupin. 5.21.1.2 První skupina: Strategie stejnosti či sbírkový princip Do první skupiny patří celkem sedm dětí (4 chlapci a 3 dívky), z nichž pět řešilo na základě stejnosti a dvě na základě sbírkové strategie. Pět dětí bylo ze 4. třídy, 2 ze třídy 6. Mezi dětmi z této skupiny se vyskytl jeden Úspěšný řešitel matic, čtyři Průměrní a dva Neúspěšní. Strategii stejnosti využili vesměs žáci, kteří zvolili možnost 1. Tato varianta je totiž totožná se sousedním políčkem v řádku. Např. Štěpán, 4. třída: „Tady v řádku vždy stejný bych řekl.“ Sbírkovou strategii použila Nikola, 6. třída, která volila rovněž možnost 1, avšak řešila ve sloupci: „Aby to bylo jiný než ty ostatní.“ 5.21.1.2 Druhá skupina: Pokus o sklad Ve druhé skupině jsou voliči možnosti 6, u nichž je situace problematičtější. Z jejich výpovědí je cítit jakýsi pokus o sklad, ale princip grafického skladu/rozkladu rozhodně zvládli o dost hůře, než řešitelé ze třetí skupiny. Patří sem pět dětí (2 dívky, 3 chlapci), čtyři děti mladší a dvě starší. Jedno ze skupiny Úspěšných řešitelů, dvě ze skupiny Průměrných a dvě ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Zde jsou příklady jejich výpovědí: Verča, 4. třída: „Skládá se to všechno z kola.“, Matyáš, 4. třída: „Když se poskládá (řádka), je z toho kroužek.“ Vidíme o kolik blíže je ke třetí skupině Matyášova výpověď. 5.21.1.3 Třetí skupina: Princip grafického skladu/rozkladu Jako typičtí řešitelé, pro něž je dostupný princip grafického součtu/rozdílu, avšak v úloze ho nedokázali správně použít, zde figurují voliči možnosti č. 2. Jsou to celkem 4 děti (2 dívky, 2 chlapci). Tři ze skupiny Průměrných a jedno ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Mezi ně patří např. Adam, 4. třída: „Když se spojí tady ty dva (v řádku) budou vypadat jako 2.“ Nezařazeny zůstaly výpovědi Aničky, 4. třída, která odůvodňovala možnost 5: „Protože se přidává, tady se přidaly ty čárky.“ a Markéty, 4. třída, která se rozhodla pro variantu 7: „3 tam pasovat nebude. Ježiš. 1 taky ne. Asi 7, nevim proč.“

42

Tab. 40: Přehled chybných řešení v úloze E3 9-10leté děti 11-12leté děti 5 2 Strategie stejnosti 4 1 Pokus o sklad 2 Grafický součet/rozdíl 2

Dívky 3 2 2

Chlapci 4 3 2

Celkem 7 5 4


Pokud tedy budeme považovat děti ze druhé skupiny za ty, které nebyly v této úloze schopny použít princip grafického skladu/rozkladu, dostaneme celkem 12 dětí, pro něž nebyl princip grafického skladu/rozkladu dostupný. Když k nim ještě připočteme Aničku a Markétu, dostaneme 14 dětí (11 mladších a 3 starší), pro něž v tuto chvíli nebyl princip grafického skladu/rozkladu dostupný. 5.21.2 Správná řešení Všechny děti, které vyřešily úlohu E3 správně (až na jednoho chlapce, který neuvedl zdůvodnění), použily princip grafického skladu/rozkladu. Když ke 14 chybujícím dětem přičteme zmiňovaného chlapce, který svoji správnou volbu nezdůvodnil, dostaneme 15 dětí, pro které nebyl dostupný princip grafického skladu/rozkladu. Tab. 41: Děti pro něž nebyl dostupný princip grafického skladu/rozkladu v úloze E3 Celkem 9-10leté děti 11-12leté děti Dívky Chlapci 12 3 7 8 Počet dětí 15 Zdroj: vlastní zdroj

Princip grafického součtu/rozdílu dovedl ke správnému řešení celkem 11 dětí. Šest dívek a pět chlapců. Pouze jedno dítě bylo ze skupiny mladších, zbylé děti byly ze skupiny starších dětí Sedm dětí bylo ze skupiny úspěšných řešitelů matic, dvě ze skupiny Průměrných a dvě ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Pět dětí řešilo matici v řádku. Např. Anna, 4. třída: „Kdybych si představila, že to slepim (v řádku) tak je z toho tenhle tvar.“ Zbylé děti ji četly ve sloupci. Jako třeba Matěj, 6. třída: „Když to spojim, taky tak z toho vznikne tenhle útvar (sloupec).“ 5.22 Úloha E5 Matice E5 je stejně jako matice E1 a E3 založená na principu grafického součtu/rozdílu. Rozdíl je však ten, že směr skladu je opačný. Zatímco předchozí matice se daly po řádcích číst 1+2=3, matici E5 lze číst 3+2=1. Ve sloupcích je situace obdobná. Na místo A+B=C v matici E5 platí C+B=A. Pokud bychom chtěli matici číst v řádku zleva doprava, museli bychom použít rozklad. Z rovnice 3+2=1 je jasné, že rovněž platí 1+2=3. 5.22.1 Chybná řešení Chybnou variantu zvolilo v úloze E5 celkem 18 dětí (9 dívek a 9 chlapců). Počet chybujících dětí tedy zůstává oproti předchozí úloze konstantní. I složení dětí je velice podobné. Až na tři výjimky chybovaly v těchto dvou úlohách tytéž děti. 14 dětí bylo ze skupiny mladších (tzn. pouze jeden žák čtvrté třídy vyřešil tuto úlohu správně) a čtyři děti ze skupiny starších.

43

Tab. 42: Chybná řešení v úloze E5 9-10 let 11-12 let Dívky 7 2 Chlapci 7 2


Nejčetnější chybnou variantou je varianta 7, kterou zvolilo 12 dětí (jeden chlapec se však rozhodl zároveň i pro možnost 4). Na první pohled se nám tato volba může zdát jako jakési sloučení řádku a sloupce. Možnost 6 byla zvolena 3krát. Dále byla zvolena možnost 4 – také 3krát (včetně zmiňovaného chlapce). Pro variantu 2 se rozhodl 1 chlapec. Chybná řešení můžeme opět rozdělit do dvou až tří skupin. První skupinu budou opět tvořit děti, které se rozhodovaly na základě jednodušších principů, převážně na základě jednoduššího sbírkového principu a principu stejnosti. Do druhé skupiny pak budou spadat děti, které měly blíže k principu grafického součtu/rozdílu, ale nedospěly k němu. Do třetí skupiny pak děti, pro které byl princip grafického součtu/rozdílu dostupný, avšak nedokázaly správně určit tvary, které mají mezi sebou složit. 5.22.1.1 První skupina: Strategie stejnosti či sbírkový princip Do první skupiny jsem zařadila 12 dětí (6 dívek a 6 chlapců), devět žáků 4. a tři žáky 6. třídy. Dvě děti byly ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, čtyři ze skupiny Průměrných řešitelů a šest ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Šest dětí použilo sbírkový princip. Vendula, 4. třída odůvodňovala variantu 7: „To tady ještě nikde není (ve sloupci).“ Pro stejnou variantu se rozhodl i Adam, 4. třída: „Překřížený, normální a v obláčku (sloupec).“ Pro strategii stejnosti se rozhodlo také šest dětí. Variantu 4 odůvodňoval Jan: „Tady jsou taky tečky (sloupec).“ Pro 7 se rozhodla Verča, 4. třída: „Tady jsou všechno kytičky (dole).“ 5.22.1.2 Druhá skupina: Pokus o sklad Do druhé skupiny patří pouze Matyáš, 4. třída ze skupiny Průměrných řešitelů. Zvolil možnost 2 a odůvodnil ji slovy: „Když se to vše poskládá a na začátku je to taky.“ Jeho řešení je někde na rozhraní mezi skladovým a ornamentálním řešením. Je více intuitivní a nediferenciované. 5.22.1.3 Třetí skupina: Princip grafického skladu/rozkladu Do poslední skupiny patří ta řešení, jejichž autoři použili princip grafického skladu/rozdílu. Jsou to samé děti, které se rozhodly pro variantu 7. Jedná se tedy o sklad prostředního políčka poslední řádky a prostředního políčka posledního sloupce. Spadá sem 5 dětí (2 dívky a 3 chlapci), čtyři ze skupiny mladších a jedno ze skupiny starších dětí. Tři děti jsou ze skupiny Úspěšných a dvě ze skupiny Průměrných řešitelů matic. Zde jsou příklady jejich odůvodnění: Anička, 4. třída: „Nahoře jsou 4, vlevo kytička.“, Daniel, 4. třída: „V tom sloupci jsou vždycky čtyřka a v řádce zas ty mráčky.“, Anna, 4. třída: „V řádku obláčky, ve sloupečku puntíky.“

44

Tab. 43: Přehled chybných řešení v úloze E5 9-10leté děti 11-12leté děti 9 3 Strategie stejnosti 1 0 Pokus o sklad 1 Grafický součet/rozdíl 4

Dívky 6 0 2

Chlapci 6 1 3

Celkem 12 1 5


5.22.2 Správná řešení 12 dětí vyřešilo úlohu E5 správně. Rozdělme si je opět do skupin dle toho, jaký princip při svém řešení použily. 5.22.2.1 První skupina: Sbírková strategie Do první skupiny spadá pouze Vítek, 4. třída, který dospěl ke správnému řešení sbírkovou strategií: „Úplně to tam ještě neni.“ Když Vítka přičteme k chybujícím dětem, pro něž nebyl dostupný princip grafického součtu/rozdílu, dostaneme celkem 14 dětí.

Tab. 44: Děti pro něž nebyl dostupný princip grafického součtu/rozdílu v úloze E5 Celkem 9-10leté děti 11-12leté děti Dívky Chlapci 11 3 6 8 Počet dětí 14 Zdroj: vlastní zdroj

5.22.2.2 Druhá skupina: Princip grafického skladu/rozkladu Zbylých 11 správně řešících dětí dovedl k úspěchu princip grafického součtu rozdílu. Patří sem šest dívek a pět chlapců, všechny ze skupiny starších dětí. Pět dětí bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, čtyři ze skupiny Průměrných a dva ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Většina dětí (7) sčítala ve sloupci ze zdola nahoru. Matěj, 6. třída: „ Když to spojim s tim nad tim tak vznikne to.“, Ondra, 6. třída: „V pravym sloupci to rozdělí ten obrazec nad tim.“ Míša, 6. třída řešila rovněž ve sloupci, ale v opačném směru. Řešila tedy rozkladem: „To co se z toho vyndalo to je tady (pravý sloupec).“ Tři děti sčítaly v řádku. Směr čtení matice byl tedy zprava doleva. Takto řešil např. Martin, 6. třída: „Zprava doleva to zase dá ten znak (řádek).“ 5.23 Úloha E7 Úloha E7 má povahou materiálu i principiálně velice blízko k předchozí úloze. K jejímu správnému vyřešení však nestačí pouze dostupnost principů grafického skladu nebo grafického rozkladu. Situace je zde komplikovanější. Je třeba mít zvládnuty oba tyto principy a zároveň mít schopnost použít je oba současně. V obou směrech dochází k sečtení tvarů, které se vyskytují vždy pouze v jednom políčku a k odečtení těch, které jsou pro obě políčka společné. Graficky si lze celý proces představit jako např. překrytí druhého políčka prvním s tím že, tvary, které se budou překrývat zmizí a ty ostatní zůstanou.

45

Do hry zde vstupuje pojem průniku. Třetí políčko je rozdílem sjednocení prvního a druhé políčka a průniku prvního a druhého políčka. V jazyce matematiky bychom to zapsali takto: 3=(1U2)-(1∩2). Pro správné řešení je tedy nutné identifikovat průnik a vyjmout ho ze sjednocení. 5.23.1 Chybná řešení V matici chybovalo 27 dětí, pouze 3 děti vyřešily matici E7 správně. Chyb se dopustilo všech 15 čtvrťáků a 12 šesťáků. Chybovalo 13 dívek a 12 chlapců. Tab. 45: Chybná řešení v úloze E7 9-10 let 11-12 let Dívky 7 6 Chlapci 8 6


Nejčastější chybnou variantou byla možnost 7 (11 voleb), 4krát byla zvolena varianta 4 a 6, 3krát možnost 3 a 2krát možnost 1 a 8. Jedno řešení bylo bez volby. Chybná řešení úlohy E7 lze rozdělit do tří skupin. Do první skupiny jsem zařadila řešení čistě náhodná. Druhá skupina pak obsahuje řešení opírající se o jednodušší sbírkový princip či princip stejnosti. Třetí skupina pak bude obsahovat řešení, jejichž autoři hledali v matici princip grafického skladu/rozkladu či se pokusili alespoň o nějaký druh skladu. 5.23.1.1 První skupina: Náhodná řešení Do první skupiny jsem zařadila děti, které svoji volbu buď nezdůvodnily, nebo ji doplnily výrokem podobným výroku Denisy, 6. třída: „To jsem tipla.“ Jsou to celkem tři děti (1 dívka a 2 chlapci), dvě ze skupiny mladších a jedno ze skupiny starších dětí. 5.23.1.2 Druhá skupina: Strategie stejnosti či jednodušší sbírkové strategie Do této kategorie spadá 13 chybujících dětí (7 dívek a 6 chlapců), 9 mladších a 4 starší děti. Dvě děti byly ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, šest ze skupiny Průměrných řešitelů a pět ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Tři děti využily ke svému řešení princip stejnosti. Učinila tak např. Vendula, 4. třída, která odůvodnila variantu 8 takto: „Protože je to podobný tady tomu (sousední políčko ve sloupci).“ 10 dětí se opíralo o sbírkový princip: Adam, 4. třída, zvolil variantu 4: „Já tam tu čtyřku nevidím, nad tím jsou přeškrtaný a nad tím v políčku.“ Katka, 4. třída hovořila o možnosti 6: „Zase jinej čtvereček s tvarem.“ Lukáš, 6. třída se rozhodl pro 7: „Aby to doplnilo ten sloupec, to ostatní se tam nehodí.“ 5.23.1.3 Třetí skupina: Princip grafického skaldu/rozkladu či pokus o sklad Do poslední skupiny jsem zařadila děti, které se snažily v matici E7 uplatnit princip grafického skladu/rozkladu, ale pouze v té podobě, v jaké vedl ke správnému řešení v předchozích úlohách. Tuto skupinu dětí jsem protentokrát sloučila s dětmi, které pouze naznačily pokus o sklad. V této úloze, kdy ani samostatný princip grafického skladu/rozkladu nevede ke správnému řešení, je ještě méně určitelný předěl mezi těmito skupinami řešitelů. Celkem sem spadá 11 dětí (5 dívek a 6 chlapců), čtyři ze skupiny mladší, sedm ze skupiny 46

starších dětí. Pět dětí je ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, čtyři ze skupiny Průměrných a dva ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Mezi děti, které se pouze pokusily o jakýsi druh skladu, jsem zařadila čtyři děti. Mezi nimi je např. Katka, 6. třída, která zvolila možnost 7: „ Je to všechno dohromady.“ Sedm dětí spadá mezi ty, které v matici hledaly princip grafického skladu/rozkladu. Zde jsou příklady některých jejich odůvodnění: Ondra, 6. třída, volil možnost 6: „Dolní řádek a pravý sloupec dává dohromady jeden obrazec.“ Pro 7 se rozhodla i Kristýna, 6. třída: „Když dám tyhle na sebe, vznikne 7 (v řádku).“ Míša, 6. třída odůvodňovala možnost 3: „Seberu to kolečko a ty tečky dám vedle a pak to kolečko do toho posledního. Samotnej kříž tady není, druhej.“ Tab. 46: Přehled chybných řešení v úloze E7 9-10leté děti 11-12leté děti 2 1 Náhodná řešení 9 4 Stejnost/sbírka 4 7 Součet/sklad

Dívky 1 7 5

Chlapci 2 6 6

Celkem 3 13 11


5.23.2 Správná řešení Správně řešily pouze tři děti (2 dívky a 1 chlapec), všechny ze 6. třídy. Dvě děti byly ze skupiny Úspěšných řešitelů a jedno ze skupiny Průměrných řešitelů. Řešení byla dvou typů. Řešení Martina, 6. třída ze skupiny Průměrných bylo více méně náhodné: „Jde to zase tak trochu popořadě.“ Naopak řešení obou dívek ze skupiny Úspěšných řešitelů bylo opravdu na vysoké úrovni. Pochopily i popsaly všechny podstatné skutečnosti, od kterých se odvíjí správné řešení. Bára, 6. třída řešila v řádku: „Když odečtu to s těma tečkama a nechám tam to ostatní tak to vyjde.“ Karolína, 6. třída četla matici po sloupcích: „To co je v tom pod tím stejný to se jakoby škrtne a z toho to vznikne (sloupec).“ 5.24 Úloha E9 Úloha E9 je podobná některým úlohám ze sešitu D. Jde zde opět o dvě neuspořádané sbírky, přičemž v každém řádku se mají objevit vždy dva stejné tvary velké a dva stejné tvary malé. Úlohu je však možné řešit i principem skladu. Dochází zde k rozložení figury na větší (dolní) ornament a menší (horní) ornament. Třetí figura v řádku vzniká vždy skladem malého tvaru z prvního políčka matice a velkého tvaru z druhého políčka matice. 5.24.1 Chybná řešení V matici chybovalo celkem 19 dětí (7 dívek a 12 chlapců). Devět dětí bylo ze skupiny mladších a deset ze skupiny starších. Pět dětí bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, sedm ze skupiny Průměrných řešitelů a sedm ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Tab. 47: Chybná řešení v úloze E7 9-10 let 11-12 let Dívky 3 4 Chlapci 5 7


47

Chybné varianty byly tentokrát docela rovnoměrně rozděleny. Nejčetnější chybnou variantou byly možnost 3, 4 a 6, každá z nich byla zvolena 4krát. Možnosti 2, 7 a 8 byly zvoleny dvakrát, možnost 5 jedenkrát. Chybná řešení můžeme rozdělit opět do několika skupin dle principů, které děti využily. Do první skupiny budou zařazena řešení, opírající se o princip stejnosti. Do druhé skupiny pak řešení založená na sbírkovém principu. Ve třetí skupině budou řešení ornamentální, jejichž cílem bylo nalezení správného tvaru. Konečně v poslední skupině budou řešení dětí, které hledaly v úloze nějaký typ skladu. 5.24.1.1 První skupina: Strategie stejnosti Principem stejnosti řešily matici E9 čtyři děti (1 dívka a 3 chlapci), všechny ze skupiny mladších dětí. Do skupiny Úspěšných řešitelů patřilo jedno dítě, do skupiny Průměrných dvě a do skupiny Neúspěšných tři děti. Takto řešil např. Jan, 4. třída, který zvolil variantu 3: „Nahoře stejnej symbol jako dole.“ 5.24.1.2 Druhá skupina: Jednodušší sbírkové strategie Nějaký jednodušší typ sbírkového principu použilo při svém řešení šest dětí (4 dívky a 2 chlapci), 2 ze 4. a 4 ze 6. třídy. Dvě děti byly ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, dvě ze skupiny Průměrných a dvě ze skupiny Neúspěšných řešitelů. Sbírkový princip třech dětí byl zaměřen na sbírku celých tvarů (neodděloval od sebe malé a velké tvary). Takto řešila např. Markéta, 4. třída, která zvolila variantu 6: „To tam ještě není.“ Dvě děti se snažily o sbírku velkých tvarů. Např. Laura, 4. třída zvolila variantu 4: „Kostku, kouli, chybí trojúhelník.“ Nikola, 6. třída, která zvolila variantu 5, sbírala naopak malé tvary: „V tomhle sloupci není hvězdička.“ 5.24.1.3 Třetí skupina: Ornamentální strategie Do třetí skupiny bylo zařazeno šest dětí (1 dívka a 5 chlapců), 3 ze 4. a 3 ze 6. třídy. Jedno ze skupiny Úspěšných, dva ze skupiny Průměrných a tři ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Matěj, 6. třída, se svojí možností 3 hledal správný tvar ve sloupci: „V každém rohu je křížek.“ Stejně tak řešil i Lukáš. Zbylé děti se zabývaly celou maticí. Např.: Matyáš 4. třída zvolil možnost 4: „Na kraji je to stejný.“ Stejnou možnost zvolila i Anna, 4. třída: „V rozích jsou kříže na různých, tady aby bylo naproti stejný (diagonála). A ohraničujou tu hvězdu uprostřed.“ 5.24.1.4 Čtvrtá skupina: Pokus o sklad Do poslední skupiny patří 2 chlapci ze 6.třídy, kteří v matici hledali podobný princip jako v předchozích úlohách. Např.: Vašek,6. třída odůvodnil možnost č. 7 takto: „Když tohle spojíš s timhle, křížek protne kuličku a vznikne tohle.“ Tab. 48: Přehled chybných řešení v úloze E7 9-10leté děti 11-12leté děti 4 0 Princip stejnosti 2 4 Sbírkový princip 3 Ornamentální hledisko 3 0 2 Pokus o skald

Dívky 1 4 1 0

Chlapci 3 2 5 2

Celkem 4 6 6 2 48


5.24.2 Správná řešení Správně vyřešilo úlohu E7 11 dětí (8 dívek a 3 chlapci), pět dětí bylo ze skupiny mladších, 6 ze skupiny starších. Správně řešilo šest úspěšných řešitelů, čtyři průměrní a jeden neúspěšný. Řešení dětí můžeme rozdělit dle úrovní sbírkových principů, které byly použity. 5.24.2.1 První skupina: Jednodušší sbírkový princip Do první skupiny jsem zařadila 3 děti, jejichž vysvětlení se opírají pouze o tu nejjednodušší sbírku, která doplňuje do matice to, co v ní ještě není. Takto řešila např. Veronika, 6. třída: „Ještě to tam nebylo.“ 5.24.2.2 Druhá skupina: Komplexnější postupy Do druhé skupiny jsem zařadila přesnější výpovědi (8), které lépe vystihovaly principy matice. Nejníže z nich stojí vysvětlení Martina, 4. třída, které je opřeno pouze o sbírku malých tvarů: „Musí mít nahoře křížek.“ Ostatní řešení jsou již komplexnější. Např. Karolína, 6. třída: „Přidá se vždycky ten tvar z toho nad a ten obrazec z toho prvního (ve sloupci).“ Nebo Daniel, 4. třída: „Všude je nahoře i dole stejný (malý tvar) a to pod tim jiný. Tak aby to tady bylo stejně.“ Řešení Karolíny je založeno na principu skaldu/rozkladu, Daniel se využil složitějšího typu sbírkového principu.

Tab. 49: Přehled správných řešení v úloze E9 9-10leté děti 11-12leté děti 2 1 Jednodušší sb.princip 4 Komplexnější postupy 4

Dívky 2 6

Chlapci 1 2

Celkem 3 8


5.25 Úloha E11 Poslední úloha mého testovacího sešitu je podobná úloze E7. Zatímco však bylo u E7 ke správnému řešení nutné provést tři operace (sjednocení, rozdíl a průnik), zde si lze vystačit pouze s průnikem. Matici lze číst v řádkách i sloupcích stejně. V posledním políčku řádku/sloupce se vždy objeví tvar, který je společným pro obě předchozí políčka. 5.25.1 Chybná řešení Celkem se zde objevilo 27 chyb (stejně jako v úloze E7). Chybovalo 12 dívek a 15 chlapců, 12 dětí mladších a 12 dětí starších. Devět dětí ze skupiny Úspěšných řešitelů, deset ze skupiny Průměrných a osm ze skupiny Neúspěšných.

49

Tab. 50: Chybná řešení v úloze E11 9-10 let 11-12 let Celkem Dívky 4 8 12 Chlapci 8 7 15 Zdroj: vlastní zdroj

Rozložení chybných možností bylo opravdu rovnoměrné. Nejčetnější chybnou variantou byla varianta 7 a 4. Pro obě se rozhodlo 6 dětí. Možnosti 1,2 a 8 byly zvoleny 4krát. Varianta 5 2krát. Řešení dětí lze rozdělit opět do několika skupin. První skupinu budou tvořit děti, které použily jednodušší sbírkové strategie nebo strategii stejnosti. Do druhé skupiny pak budou patřit děti, z jejichž řešení je cítit nediferenciovaný pokus o sklad. V poslední skupině pak budou děti, které využily principu grafického součtu/rozkladu. 5.25.1.1 První skupina: Strategie stejnosti či sbírkový princip Do první skupiny bylo zařazeno celkem 13 dětí (6 dívek a 7 chlapců), 9 ze 4. a 4 ze 6. třídy. Dvě děti byly ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, šest ze skupiny Průměrných řešitelů a pět ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Principy skaldu využily tři děti, mezi nimi Matyáš, 4. třída: „Protože to navazuje na to nad.“, který zvolil možnost 5. Ostatní děti použily jednodušší typ sbírkové strategie. Adam, 4. třída zvolil možnost 8: „V každým řádku je to jednou v roztáhlym kosočtverci.“ 5.25.1.2 Druhá skupina: Pokus o sklad O jednodušší sklad se pokusily tři děti (1 dívka a 2 chlapci), všechny ze 6. třídy. Každé z dětí bylo z jiné skupiny řešitelů. Řešila takto např. Kristýna, 6. třída, která takto odůvodnila možnost 2: „Vznikne, když to nějak poskládám.“ 5.25.1.3 Třetí skupina: Princip grafického součtu/rozkladu Do poslední skupiny spadají děti, které v matici hledaly principy grafického skladu/rozkladu. Takto řešilo 9 dětí (4 dívky a 5 chlapců), dvě ze skupiny mladších, 7 ze skupiny starších dětí. Čtyři děti byly ze skupiny Úspěšných řešitelů matic, tři ze skupiny Průměrných a dvě ze skupiny Neúspěšných řešitelů matic. Čtyři řešení odůvodňovala variantu 1, ze které je patrné, že jde o součet ve sloupci. Vašek, 6. třída: „Když spojíš tohle s timhle, vznikne ti ten dopis.“ Matyáš, 4. třída se postaral o sklad v diagonále (možnost 2): „Když se to poskládá (diagonála).“ Tři řešení odůvodňovala možnost 4, kde jde evidentně o sklad v řádku. Např.: Ondra, 6. třída: „Dolní řádek dává ten obrazec.“ Jednou byla takto odůvodněna i varianta 8: Míša, 6. třída: „Tady je ten kříž, ty vedle toho se přesunou a pak se daj pryč úplně a zbydou jen ty přesýpací hodiny. A tady mě nenapadá nic. než 8.“ Tab. 51: Přehled chybných řešení v úloze E11 9-10leté děti 11-12leté děti 9 4 Str.stejnosti/sb.princip 0 3 Pokus o sklad 7 Grafický součet/rozklad 2

Dívky 6 1 4

Chlapci 7 2 5

Celkem 13 3 9


5.25.2 Správná řešení 50

Pouze 3 děti vyřešily úlohu E11 správně. Zajímavé je, že všechny správně řešící děti byly dívky ze 4. třídy. Tady je výčet jejich odůvodnění: Anička, 4. třída: „Ubírá se to a nic jinýho se ubrat nedá.“, Laura, 4. třída: „To co je vlevo a překrývá se s tím pravým.“ a Anna, 4. třída: „Ve sloupečku jsem si představila, že pořád něco odebírám a zbude z toho nejjednodušší.“ Všimněme si rozdílů mezi výpověďmi těchto dívek. Anička i Anna řešily ve sloupci, zatímco Laura v řádku. To ale není jediný rozdíl. Anička i Anna použily shodně stejný princip. Tento princip však platí pouze v posledním sloupci. V prvním sloupci ho kazí svislé čárky v prostředním políčku, ve druhém sloupci zase vodorovné v prvním políčku. Naopak řešení Laury je přesnější. Platí v celé matici, v řádcích i sloupcích. Stavím ho proto na vyšší úroveň. 5.26 Srovnání principů v úlohách E1, E3 a E5 Rozdíly a podobnosti mezi těmito třemi úlohami jsme si již naznačili. Řekli jsme si, že ústředním principem těchto úloh je princip grafického skladu/rozkladu. Další strategie, které děti v těchto úlohách používaly, byly pokus o sklad, jednodušší sbírkové strategie a strategie stejnosti. U každé úlohy jsme si zkusili zjistit, pro kolik dětí nebyl dostupný princip grafického skladu/rozkladu. V úloze E1 nebyl tento princip dostupný pro 12 dětí, v úloze E3 pro 15 a v úloze E5 pro 14 dětí. Následující tabulka nám ukáže, jaké strategie použily jednotlivé děti v těchto třech úlohách. Strategie grafického skladu/rozkladu je označen písmenkem G, Pokus o sklad P, Sbírková strategie Sb a princip stejnosti S. Pomlčka znamená, že výrok dítěte nebyl přiřazen ani k jednomu z principů. Políčka, která jsou zabarvena šedě, značí chybné odpovědi. Neúspěšní řešitelé jsou označeni písmenkem N, Průměrní P a Úspěšní U. Tab. 52 Jméno Markéta Verča Katka Laura Vendula Anička Anna Štěpán Martin Matouš Matyáš Adam Jan Vítek Daniel Katka Nikola Veronika Míša Bára

Třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 4. třída 6.třída 6.třída 6.třída 6.třída 6.třída

Řešitel N N N P P U U N P P P P U U U N N P P U

E1 G Sb G G S Sb G Sb Sb S G G G S S Sb G G G

E3 P G Sb S G S P S P G P S P Sb G G G

E5 Sb S Sb G Sb G G S S S S Sb S Sb G S G G G

51

Karolína Denisa Kristýna Fred Matěj Lukáš Zdeněk Martin Ondra Vašek

6.třída 6.třída 6.třída 6.třída 6.třída 6.třída 6.třída 6.třída 6.třída 6.třída

U U U N N P P P U U

G G G G G S G G G

G G G G G S G G G

G G Sb Sb G G G G G G Zdroj: vlastní zdroj

5.26.1 Strategie grafického skladu/rozkladu Celkem 12 dětí se drželo této strategie ve všech třech po sobě jdoucích úlohách. Jedna dívka byla ze 4. třídy, zbytek dětí byl ze třídy 6. Šest z těchto dětí bylo ze skupiny Úspěšných řešitelů matic. U všech těchto dětí si troufám tvrdit, že je pro ně princip grafického skladu/rozkladu dostupný. Osm dětí se s použitím této strategie nedopustilo žádné chyby. Tři děti použily tohoto principu ve dvou úlohách (dvě v úlohách E1 a E5 a jednou v úloze E1 a E3. Všechny děti byly ze 4. třídy.) Šest dětí použilo tuto strategii pouze jednou. Většinou je však nepřivedla ke správnému řešení. V úloze E3 použilo tento princip 15 dětí. Všechny děti, které tak učinily, učinily stejně i o úlohu dřív (u některých z nich vedl tento princip k chybnému řešení – byly zařazeny do skupiny chybujících dětí, které tento princip použily). 5.26.2 Sbírková strategie či strategie stejnosti Celkem 4 děti použily jeden z těchto principů ve všech třech úlohách. Tři z nich byly ze skupiny mladších dětí a jedno ze skupiny starších. Pět dětí použilo tento princip ve dvou úlohách současně. Až na jednu výjimku, všechny děti, které tento princip použily v matici E3, tak učinily i v úloze E5. Můžeme tedy konstatovat, že od 4. do 6. třídy nastává skok ve schopnosti použití principu grafického skladu/rozkladu. Princip grafického skladu/rozkladu byl dostupný pro 11 žáků 6. třídy, ale pouze pro 1 žáka třídy 4. Tento princip se v průběhu těchto dvou let také stává stabilnější. Až na dvě výjimky, všichni žáci 6. třídy, kteří v jedné úloze tento princip použili, ho použili i ve zbývajících dvou úlohách. Celkově více než polovina dětí použila ve všech třech úlohách shodného principu. 5.27 Směry čtení vybraných matic Problematika směru, kterým dítě čte matici, je zajímavou problematikou. Sledování směru, kterým dítě matici čte, je výhodné zvláště u jednodušších matic. Pomáhá nám pochopit strategii dětské úvahy. U složitějších matic je sledování náročnější. Ovšem to není ani tak podstatné. Do hry vstupuje mnoho dalších faktorů a pouhým sledováním směru nelze pochopit způsob dětského uvažování. Sledováním směru jsem se zabývala u těchto úloh: B7, B9, B11, C1 a D1, u nichž hraje směr čtení matice ústřední roli a dále pak ještě úlohami D5 a D7.

52

Ve většině případů se dětské úvahy vedoucí k řešení jednodušších matic opírají o nějakou stejnost. O jakou stejnost se jedná v jednotlivých případech, ukazuje vysvětlivka za závorkou. V závorce je pak uvedeno, kolik dětí z celkového počtu těch, které matici četly v daném směru, spadalo do skupiny mladších a kolik do skupiny starších. Tab. 53 : čtení ve sloupci vs. v řádku Čtení ve sloupci 12 (ml.6,st.6) – stejnost barvy B7 13 (5,8) – stejnost barvy B9 18 (5,13) –stejnost barvy B11 3 (1,2) – různost velikosti C1 5 (2,3) – různost tvaru D1 17 (10,7) – stejnost velkých tvarů D5 19 (10,9) – stejnost velkých tvarů D7

Čtení v řádku 4 (2,2) – rozdíl barvy 9 (6,3) – stejnost tvaru 5 (5,0) – stejnost tvaru 22 (11,11) – stejnost velikosti 22 (11,11) – abs. stejnost 9 (3,6) stejnost malých 0 – rozdílnost obou tvarů Zdroj: vlastní zdroj

Ve sloupci byly tyto matice čteny celkem 87krát, v řádku 73krát. Mladší děti četly tyto matice ve sloupci 39krát, starší 48krát. V řádku četly mladší děti 38krát, starší 33krát. U mladších dětí byly tedy směry čtení matice dosti vyrovnané, u straších děti se ukazuje převaha sloupcových řešení. V postupové práci jsem zjistila, že Binetovy matice jsou, zvláště mladšími dětmi, čteny spíše po řádcích, nežli po sloupcích. To se při rozboru vybraných Ravenových matic nepotvrdilo. Naopak bylo potvrzeno, že se děti při čtení matic opírají nejčastěji o stejnost. Úlohy C1 a D1 nám ukazují převahu takovýchto řešení. Ve směru stejných obrazců byly tyto matice čteny 44krát, oproti 8 řešením v opačném směru. Celkově ve směru nějaké stejnosti (B7 – barva, C1 – velikost, D1 – absolutní stejnost, D7 – stejnost velkých tvarů) byly matice čteny 63krát oproti 12 řešením, jejichž směr byl spojený s rozdílností. Důležitost stejnosti je patrná samostatně také u úlohy D7, která je dvojnásobnou sbírkou. 19 dětí četlo matici ve směru, který byl spojen se stejností ornamentů jedné sbírky. Ve druhém směru, který byl spojen s růzností ornamentů obou sbírek, nebyla matice čtena ani jednou. V Binetových maticích byla častým směrem čtení diagonála. Tento směr byl totiž často spojován s nějakou stejností. Stejnost v diagonále se u Ravenových matic, zvláště v čtyřpolových maticích, téměř nevyskytuje, což vede téměř k nulovému výskytu tohoto směru čtení. Když se podíváme na úlohy B9 a B11, můžeme konstatovat, že děti preferovaly častěji stejnost barvy, nežli stejnost tvaru. Je tedy patrné, že barva je pro děti dominantnější než tvar. K podobnému zjištění jsem došla i Binetových matic 8 a 10. Zde kromě barvy a tvaru vstupuje do hry i parametr velikost. Bylo ukázáno, že stejnost pro děti představuje spíše velikost a barva, nežli tvar.

6. POČTY CHYB Tab.54: Počty chyb Celkový počet chyb Celkem

268

53

9-10leté děti 11-12leté děti

152 (56,71%) 116 (43,28%) Zdroj: vlastní zdroj

Celkem se v průběhu testování vyskytlo 268 chyb, o 152 z nich se postaraly mladší děti, o 16 chyb děti starší. Při srovnání hrubých skórů mladších a straších dětí bylo na hladině významnosti 5% prokázáno, že se tyto dvě skupiny statisticky významně liší. Naopak na hladině významnosti 5% nebylo prokázáno, že se statisticky významně liší skupina dívek a chlapců. Tab. 55: Průměrné počty chyb Průměrný počet chyb Mladší děti 10,13 Mladší dívky 10,71 Mladší chlapci 9,63 Starší děti 6,79 Starší dívky 7,00 Starší chlapci 6,50 Celkem 8,46 Celkem dívky 8,85 Celkem chlapci 8,07 Zdroj: vlastní zdroj

Pozn. Průměrné počty chyb jsou počítány bez Freda, který by svými 21 chybami zvedl průměr jinak nejsilnější skupiny starších chlapců o celé dvě chyby.

Tab.56: Počty chyb v jednotlivých úlohách počet chyb Celkem 4 4% 6 B1 5 3 20,00 2 B3 3 2 13,33 1 B5 3 2 13,33 1 B7 9 4 26,67 3 B9 4 2 13,33 2 B11 4 2 13,33 2 C1 3 2 13,33 1 C3 10 7 46,67 3 C5 6 4 26,67 2 C7 6 5 33,33 1 C9 12 8 53,33 4 C11 25 11 73,33 14 D1 2 1 6,67 1 D3 8 5 33,33 3 D5 2 1 6,67 1 D7 9 4 26,67 5 D9 13 6 40,00 7

6% 13,33 6,67 6,67 20,00 13,33 13,33 6,67 20,00 13,33 6,67 26,67 93,33 6,67 20,00 6,67 33,33 46,67

Dívky 2 1 0 6 3 3 0 6 3 2 6 15 1 4 1 5 7

dívky% chlapci 13,33 3 6,67 2 0,00 3 40,00 1 20,00 1 20,00 1 0,00 3 40,00 4 20,00 3 13,33 4 40,00 6 100,00 10 6,67 1 26,67 4 6,67 1 33,33 4 46,67 6

chlapci% 20,00 13,33 20,00 6,67 6,67 6,67 20,00 26,67 20,00 26,67 40,00 66,67 6,67 26,67 6,67 26,67 40,00

54

D11 E1 E3 E5 E7 E9 E11

24 11 18 18 27 19 27

11 7 13 14 15 9 12

73,33 46,67 86,67 93,33 100,00 60,00 80,00

13 4 5 4 12 10 15

86,67 26,67 33,33 26,67 80,00 66,67 100,00

11 4 9 9 13 7 12

73,33 26,67 60,00 60,00 86,67 46,67 80,00

13 7 9 9 14 12 15

86,67 46,67 60,00 60,00 93,33 80,00 100,00 Zdroj: vlastní zdroj

Srovnání počtu chyb v jednotlivých úlohách u různých skupin dětí viz příloha 1-3. Následující tabulka udává procentuální rozdíly v počtu správných řešení mezi staršími a mladšími dětmi (1. sloupec), mezi Úspěšnými a Neúspěšnými řešiteli (2. sloupec) a mezi chlapci a dívkami (3. sloupec). Pět nejvyšších hodnot v každém sloupci je zvýrazněno tučně. Tab. 57: Procentuální rozdíly ve správných řešení B1 B3 B5 B7 B9 B11 C1 C3 C5 C7 C9 C11 D1 D3 D5 D7 D9 D11 E1 E3 E5 E7 E9 E11

Rozdíl 6-4 6,25 6,25 5,36 22,32 0,89 0,89 5,36 27,68 13,39 25,89 26,79 -17,86 0,00 13,39 0,00 -6,25 -6,25 -14,29 18,75 53,57 66,96 19,64 -8,93 -21,43

Rozdíl U-N Rozdíl M-F 37,50 -6,25 25,00 -6,25 25,00 -19,64 56,82 34,82 50,00 13,39 50,00 13,39 12,50 -19,64 15,18 75,00 40,91 0,89 50,00 -11,61 1,79 56,82 27,27 32,14 25,00 0,00 0,89 53,41 25,00 0,00 6,25 65,91 44,32 6,25 14,77 -14,29 19,32 -18,75 47,73 3,57 29,55 4,46 18,18 -5,36 42,05 -33,93 18,18 -21,43 Zdroj: vlastní zdroj

6.1 Rozdíly mezi mladšími a staršími dětmi Jak již bylo řečeno výše, mezi skupinou starších a mladších dětí byly nelezeny statisticky významné rozdíly. Tyto rozdíly se však netýkaly všech úloh a v různých úlohách byly různé (viz příloha 3 a 5). Nejmarkantnější rozdíly nalézáme v úlohách E3 a E5, které jsou typickými skladovými úlohami. Úlohu E3 řeší správně o celých 53,57% více starších dětí a úlohu E5 55

dokonce o 66,96% více starších nežli mladších dětí. Zatímco mezi mladšími dětmi jsou tyto úlohy dostupné pouze několika málo jedincům, mezi staršími dětmi se jedná téměř o většinovou záležitost. Toto konstatování potvrzuje zjištění z mé postupové práce a do jisté míry Rendlovy závěry (oboje prováděné na Binetových maticích): „Zvládnutí de/konstrukce na úrovni vyčlenění jejich elementů a operací s nimi lze podle výsledků předpokládat výjimečně u nejúspěšnějších dětí už ve 2. třídě, polovina dětí ho pak patrně dosáhla ve třetí třídě. Na rozdíl od předchozích charakteristik obtížnosti zbylá část třídy z tohoto hlediska stagnuje až do 6. třídy, kde teprve se stává kompetence většinovou“ (Rendl, 2002, str. 43). U nejsložitějších matic E7 a E11 situace není již tak přehledná. Úlohu E7, ve které je nutné využít kromě skladu a rozkladu také průnik, vyřešilo 0,00% mladších dětí a 19,64% dětí starších. To by odpovídalo vývojové křivce. Mohli bychom předpokládat postupný nárůst správných řešení ve vyšších ročnících až do té doby, nežli se princip průniku stane většinovou kompetencí. Do této vize nám ale nezapadají výsledky v úloze E11, která je jednodušší variantou úlohy E7. Ke správnému řešení je nutné využit principu průniku, ale bez nutnosti jeho kombinace s ostatními principy. Předpokládali bychom tedy vyšší procento úspěšně řešících starších dětí, pro které je princip průniku dostupný, avšak nedokázaly ho v úloze E7 správně zkombinovat s ostatními principy. Situace je však jiná. Úlohu správně vyřešilo 21,43% mladších dětí a 0,00% dětí starších! I přes to, že pouze 1 řešení bylo opravdu na vysoké úrovni s popisem všech úkonů, zůstává s podivem, že správně neřešil ani jeden řešitel úlohy E11. Další úlohou, ve které byly nalezeny relativně vysoké rozdíly mezi mladšími a staršími dětmi, je úloha C3. Není náhoda, že i tuto úlohu můžeme popsat jako sklad prvních a druhých políček v řádku či jako skald prvních a druhých políček ve sloupci. V úlohách C7 a C9 byla situace obdobná. Starší děti byly v obou úlohách cca o 26,00% úspěšnější než mladší děti. Pro obě úlohy je společné to, že se zde variuje parametr umístění. S prostorovým uspořádáním má co do činění i úloha B7. V této úloze byly starší děti o 22,32% úspěšnější, což je vysoký nadprůměr od rozdílu v setu B, kde byly výsledky víceméně vyrovnané. Ve všech těchto třech úlohách je využívána operace mentálního přesunu. Můžeme tedy konstatovat, že mladší a starší děti se liší v dostupnosti této kompetence. Nejmenší rozdíly se objevily v úlohách B9, B11, D1 a D5. Všechny úlohy vyřešilo více než 80,00% dětí s obou skupin. Kompetence, které je nutné použít při řešení těchto matic, se tedy objevují dříve nežli ve 4. třídě. V úlohách B9 a B11 jde o schopnost variovat hodnotu jednoho parametru při současném zachování hodnoty parametru druhého. Tato kompetence se dle Rendla objevuje již ve 2. třídě: „Pro 2. třídu je typické plnění úloh s variováním jednoho parametru. Pokud je přítomný druhý parametr, sahá kompetence dětí k tomu, aby držela parametr na stejné hodnotě“ (Rendl, 2002, str. 42). Úloha D5 je dvojnásobnou sbírkou, jeden parametr (malý tvar v řádku, či velký tvar ve sloupci) je zachován a druhý parametr se mění (velká tvar v řádku čí malý tvar ve sloupci). Dle Rendla se tato kompetence obejvuje ve třetí třídě. „Zdá se, že o zvládnutí matic 3x3 s variováním jednoho parametru a držením druhého na téže hodnotě lze mluvit od třetí třídy, kdy odpovídající úlohu (15, pozn.: v Binetových maticích) řeší asi dvě třetiny dětí“ (Rendl, 2002, str. 43). 6.2 Rozdíly mezi Úspěšnými a Neúspěšnými řešiteli Úspěšné řešitele odlišuje od Neúspěšných řešitelů, jak již název napovídá, úspěšnost v řešení matic (procenta chybujících Úspěšných, Průměrných a Neúspěšných řešitelů viz příloha 4). Průměrný počet chyb Úspěšných řešitelů je 5,27 oproti průměrnému počtu

56

Neúspěšných řešitelů, který činí 14,63. Ve všech maticích si vedli Úspěšní řešitelé lépe nežli Neúspěšní řešitelé, v některých úlohách však byly rozdíly výraznější. Úlohu C3 vyřešilo správně 100% Úspěšných řešitelů, ale jen 25,00% Neúspěšných řešitelů. V tomto případě se nejedná o dostupnost principu skladu/rozkladu, jelikož v úlohách E3 a E5 nejsou rozdíly tak markantní. Je to způsobeno tím, že ani pro Úspěšné řešitele ze skupiny mladších dětí není tento princip dostupný. V pořadí druhá úloha, ve které byly nalezeny vysoké rozdíly mezi těmito dvěma skupinami řešitelů, byla úloha D7. Jedná se o dvě v řádku neuspořádané sbírky (ve sloupci o jednu uspořádanou a druhou neuspořádanou). V úloze D5, kterou lze číst ve sloupci jako uspořádanou sbírku jednoho parametru a v řádku jako uspořádanou sbírku druhého parametru je rozdíl mezi skupinami více nežli o polovinu menší. Zdá se tedy, že právě schopnost práce s neuspořádanými sbírkami odlišuje Úspěšné a Neúspěšné řešitele. Tomu odpovídá i úloha D3, která je příkladem jedné, v řádku i ve sloupci neuspořádané sbírky. Chybovalo v ní o celých 53,41% více Neúspěšných řešitelů. Naopak v úloze C1, která je příkladem v řádku i sloupci uspořádané sbírky činil rozdíl mezi skupinami pouze 12,5%, což je nejnižší rozdíl ze všech úloh. Vlastně mezi všemi jednoduchými úlohami (úlohy, ve kterých chybovalo 3 a méně dětí – B3, B5, C1, D1 a D5) nebyly rozdíly nijak zvlášť vysoké – žádný nepřesáhl 25%. Nejnižšími rozdíly se také vyznačovaly nejtěžší úlohy (v těch chybovalo více než 24 dětí z celého souboru). V úloze D11 (25 chyb) byl rozdíl pouze 14, 77%, v úlohách E7 a E11 (obě 27 chyb) byly rozdíly 18,18% a v úloze C11 (25 chyb) činil rozdíl 27, 27%. Je tedy patrné, že skupinu Úspěšných a Neúspěšných řešitelů odlišují právě středně obtížné úlohy (úlohy, ve kterých chybovalo od 4 do 24 dětí). S výjimkou E1 jsou všechny rozdíly mezi Úspěšnými a Neúspěšnými řešiteli v těchto úlohách vyšší nežli 25,00% (průměr 47,95%). 6.3 Rozdíly mezi chlapci a dívkami Jak již bylo řečeno výše, i přes to, že chlapci dopadli v řešení matic o něco lépe, nebyly prokázány statisticky významné rozdíly mezi chlapci a dívkami. Přece jen ale můžeme sledovat, že v některých úlohách si vedli chlapci lépe nežli dívky a naopak, že v některých úlohách byly úspěšnější dívky (viz příloha 2 a 5). Chlapci byli o více než 30,00% úspěšnější v řešení úloh B7 a C11. V obou úlohách hraje důležitou roli umístění obrazce v prostoru. Mohli bychom tedy konstatovat, že právě schopnost mentální manipulace s obrazci je chlapcům dostupnější nežli dívkám. Tento závěr ale vyvrací fakt, že v úlohách C7 a C9, ve kterých je parametr umístění také velice důležitý, nebyly nalezeny mezi chlapci a dívkami rozdíly, respektive v úloze C7 byly dívky úspěšnější. Dívky naopak bodovaly v úlohách E9 a E11, kde byly naopak o více než 30% úspěšnější nežli hoši. Úlohy toho nemají mnoho společného, pro tuto dívčí převahu nemám vysvětlení. Můžeme tedy říci, že ani ve schopnosti řešit jednotlivé matice a v dostupnosti jednotlivých principů nebyly mezi chlapci a dívkami nalezeny výraznější rozdíly.

7. SROVNÁNÍ RAVENOVÝCH A BINETOVÝCH MATIC

57

Když odhlédneme od faktu, že Ravenovy matice tvoří samostatný inteligenční test, zatímco matice Binetovy jsou pouze jedním ze subtestu inteligenčního testu, můžeme se zaměřit na další rozdíly a podobnosti, mezi těmito principiálně podobnými soubory úloh. Některé rozdíly byly naznačeny v předchozím textu. Jednalo se o vyšší propracovanost a tím i spolehlivost Ravenových matic oproti maticím Binetovým. U Binetových matic se můžeme často setkat s faktem, že chybné řešení je kvalitativně na vyšší úrovni diferenciace, než řešení správné. S takovouto možností se u Ravenových matic setkáváme jen výjimečně. Je to způsobeno tím, že Binetovy matice lze správně řešit jednoduššími principy, zvláště pomocí ornamentální strategie. Jednotlivá pole Binetových matic jsou mnohem častěji symetričtěji uspořádaná, nežli pole matic Ravenových. Ba co víc. Binetovy matice jsou umístěny do čtverce, zatímco matice Ravenovy do obdélníku. Diagonálně – ornamentální řešení je tudíž u Ravenových matic mnohem méně pravděpodobné a opravdu i mnohem méně časté. Ale i v Ravenových maticích zůstává prostor pro náhodná řešení. Vezmeme si neuspořádané sbírky matic 3x3 se dvěma tříhodnotovými parametry (D9 a D11). Vždy dochází k tomu, že hodnoty jednoho parametru jsou v diagonále konstantní a variují se hodnoty druhého parametru. Diagonální řešení tedy značně zjednodušuje situaci i u některých Ravenových matic. Co se týče strategií, které děti používají k řešení Binetových a Ravenových matic, jsou vesměs podobné. Pouze jejich frekvence se liší. O ornamentální strategii a o jejím vyšším výskytu v Binetových maticích jsme již hovořili. Dále v Ravenových maticích nacházíme vyrovnanější poměr mezi strategiemi stejnosti a rozdílnosti. Směry čtení matice jsou ovlivněny u obou testů stejností. Častěji děti čtou matici ve směru, ve kterém je její interpretace spojena se stejností určitých prvků. U Binetových matic se nám ukázal fakt, že mladší děti se častěji rozhodují pro čtení matice v řádku, u Ravenových matic se nám takovéto zjištění nepotvrzuje. Rozdíly mezi skupinou mladších a starších dětí byly spíše v tom, že starší děti se častěji rozhodly pro sloupcový způsob čtení, zatímco u mladších dětí nebyly rozdíly v počtu dětí, které se rozhodly pro ten nebo onen směr. Povaha materiálu, se kterým se v maticích pracuje, je u obou testů podobná. Ovšem i zde nalezneme rozdíly. V obou testech nalezneme dva typy matic. Jedny, které lze řešit principy sbírkovými, a druhé, které lze řešit principy grafických operací. Tedy matice obsahující parametry, jejichž hodnoty můžeme považovat za vlastnosti a matice obsahující složené z elementy. Kromě tradičních ornamentů, které tvoří jednotlivá pole matice, obsahuje soubor Binetových matic i matice obrázkové (s lidmi či se zvířaty). Při rozboru Ravenových matic nám tudíž vypadává možnost srovnání parametricky totožných matic, které jsou tvořeny tvary a obrázky. Ze hry zde vypadávají rodinné metafory i kulturní vlivy (jako je tomu u Binetových matic s kočkami a myšmi). Situace je způsobena dvěma faktory: 1)Binetovy matice jsou určeny dětem, matice Ravenovy dospělým osobám. 2)Ravenovy matice jsou kulturně nezávislým testem. U obou testů bylo na mých datech na hladině významnosti 5% prokázáno, že se statisticky významně liší skupina mladších a starších dětí. Na hladině významnosti 5% naopak nebylo prokázáno, že se statisticky významně liší skupiny chlapců a dívek.

8. ZÁVĚR Soubor Ravenových standardních progresivních matic obsahuje stejně jako subtest matice Binetova inteligenčního testu dva typy úloh.

58

První z nich je tvořen souborem matic, jejichž jednotlivé ornamenty jsou při správném řešení brány jako soubory hodnot jednotlivých parametrů. Při řešení takovýchto matic dochází ke změnám či zachováním hodnot jednotlivých parametrů. Druhý typ tvoří matice, jejichž správné řešení nevyžaduje rozebrání ornamentů na jednotlivé parametry a jejich hodnoty. Jde zde o grafické operace s celými ornamenty. Prvnímu typu matic odpovídají z mého testovacího sešitu úlohy B1, B3, B5, B7, B9, B11, C1, C7,C9, D1, D3, D5, D7, D9, D11, E9. Do druhé skupiny patří úlohy E1, E3, E5, E7, E11. Úlohy, které mohou být řešeny oběma způsoby, jsou úlohy C3,C5 a C11. 8.1 Strategie dětí při řešení úloh typu matice Pro řešení jednotlivých úloh využívají děti různých strategií. Na základě těchto dat a dat získaných v dřívějších letech a ve srovnání s literárními prameny rozlišuji tři velké skupiny strategií. Jsou jimi Sbírkové strategie, Strategie grafických operací a Ornamentální strategie (hledající jakýsi „správný tvar“). Každá skupina je tvořena souborem strategií, které jsou od sebe odděleny spíše úrovní úvahové diferenciace, která je pro jejich použití nutná. Sbírkové strategie jsou ve své nejdiferencovanější formě využívané pro řešení úloh prvního typu. Patří mezi ně Strategie stejnosti, Strategie rozdílnosti, Jednodušší sbírkové strategie a Analytické strategie. Strategiemi grafických operací lze správně řešit úlohy druhého typu. Rozlišila jsem dvě formy těchto strategií, které jsem nazvala Pokus o sklad a Strategie skladu/rozkladu. V některých úlohách je kromě skladu a rozkladu nutno použít i průnik. Ornamentální strategie zahrnují takové postupy, u nichž můžeme sledovat snahu o nalezení „správného tvaru“. 8.2 Typy čtení matic U jednodušších matic je důležitým zdrojem informací směr, kterým děti jednotlivé matice čtou (čtení v řádku, ve sloupci či v diagonále). Pomáhá nám pochopit strategie, které děti při řešení matic využívají. Z tohoto pohledu byly v mém souboru sledovány matice B7, B9, B11, C1, D1, D5 a D7. Bylo ukázáno, že děti častěji čtou matici ve směru, který je spojen se stejností jednoho či více parametrů. Pokud je čtení matice v daném směru spojeno se zachováním hodnot jednoho parametru a se změnou druhého parametru, slovní odůvodnění se mnohem častěji bude opírat o parametr, který zůstává zachován: „aby to bylo stejný“. Ve shodě se závěry z mé postupové práce bylo ukázáno, že stejnost je pro děti představována spíše barvou, nežli tvarem. Naopak nebyla prokázána převaha řádkových řešení, jako tomu bylo u Binetovývh matic v mé postupové práci. 8.3 Počty chyb Na hladině významnosti 5% bylo prokázáno, že se statisticky významně liší skupina mladších a starších dětí. V průběhu testování se objevilo celkem 268 chyb. O 152 z nich se postaraly mladší děti, 116krát chybovaly děti starší. Na hladině významnost 5% nebylo prokázáno, že se statisticky významně liší skupina dívek a skupina chlapců. Dívky však chybovaly o něco víckrát než chlapci. Průměrný počet chyb dívek byl 8,85, zatímco průměrný počet chyb chlapců jen 8,07.

59

Při rozboru jednotlivých úloh byly nalezeny rozdíly mezi mladšími a staršími dětmi a to především v dostupnosti některých principů. Bylo ukázáno, že se starší děti se od mladších liší především v kompetenci principu sklad/rozklad a ve schopnosti mentální manipulace s obrazci. Ve schopnosti variací hodnot jednoho parametru při současném zachování hodnoty druhého parametru (v čtyřpolových maticích) a ve schopnostech pracovat s jednoduššími sbírkami, nebyly nalezeny rozdíly. Lze tudíž předpokládat, že se tyto kompetence objevují dříve než ve 4. třídě Dále byly sledovány rozdíly mezi Úspěšnými a Neúspěšnými řešiteli. Z výsledků vyplývá, že tyto dvě skupiny řešitelů se nejvíce liší ve schopnosti řešit středně těžké úlohy. Mezi nejjednoduššími a nejsložitějšími úlohami byly nalezeny rozdíly mnohem nižší. Mezi skupinou chlapců a dívek nebyly nalezeny výraznější rozdíly v žádné z kompetencí. 8.4 Srovnání Ravenových a Binetových matic Srovnání Ravenových standardních progresivních matic a subtestu matice Binetova inteligenčního testu nám přineslo tato zjištění: V obou testech je možno úlohy rozdělit do dvou typů (viz výše). Ravenovy matice jsou postaveny méně na diagonální symetrii, což snižuje možnost použití ornamentálních strategií. V Ravenových maticích se nesetkáváme tak často s tím, že by správné řešení bylo na kvalitativně nižší úrovni něž řešení chybné. Směry čtení matice jsou u obou testů ovlivněny stejností. U obou testů bylo na hladině významnosti 5% prokázáno, že se statisticky významně liší skupina mladších a starších dětí. U obou testů nebylo na hladině významnosti 5% prokázáno, že se statisticky významně liší skupina dívek a skupina chlapců.

60

9. LITERATURA Paul, S. M.: The Advanced Raven's Progressive Matrices: Normative Data for an American University Population and an Examination of the Relationship with Spearman's "g". Journal of Experimental Education, 1986, 54, 2, s. 95-100. Rendl, M.: Subtest matice: od 2. do 7. třídy. In: Pražská skupina školní etnografie. 7. třída: příloha závěrečné zprávy o řešení grantového projektu GA ČR 406/00/0470 "Žák v měnících se podmínkách současné školy". Praha: Pedagogická fakulta Univerzity Karlovy, 2002. Raven, J. C.: Progresivne matice. Psychodiagnostika Bratislava, 1972. Ravenova skúška pre dospelých – pokyny na vykonávanie a vyhodnocovanie testu. Psychodiagnostika Bratislava, 1972. Standfordský Binetův inteligenční test. Psychodiagnostika Brno, 1995.

61

10. PŘÍLOHY Příloha 1 počty chyb 30

25

20

15

počty chyb

10

5

0 B1

B3

B5

B7

B9

B11

C1

C3

C5

C7

C9 C11

D1

D3

D5

D7

D9 D11

E1

E3

E5

E7

E9

E11

Příloha 2 Počty chyb chlapců a dívek 16

14

12

10

chlapci dívky

8

6

4

2

0 B1

B3

B5

B7

B9

B11

C1

C3

C5

C7

C9

C11

D1

D3

D5

D7

D9

D11

E1

E3

E5

E7

E9

E11

62

Příloha 3 Počty chyb ve 4. a 6. třídě 16

14

12

10

4.třída 6.třída

8

6

4

2

0 B1

B3

B5

B7

B9

B11

C1

C3

C5

C7

C9

C11

D1

D3

D5

D7

D9

D11

E1

E3

E5

E7

E9

E11

Příloha 4 Procenta chybujících:Úspěšní řešitele/Průměrní řešitelé/Neúspěšní řešitelé 100 90 80 70 60 U P N

50 40 30 20 10 0 B1

B3

B5

B7

B9

B11

C1

C3

C5

C7

C9

C11

D1

D3

D5

D7

D9

D11

E1

E3

E5

E7

E9

E11

63

Příloha 5 Procenta chybujících: mladší dívky/starší dívky/mladší chlapci/starší chlapci 100 90 80 70 60 F4 F6 M4 M6

50 40 30 20 10 0 B1

B3

B5

B7

B9

B11

C1

C3

C5

C7

C9

C11

D1

D3

D5

D7

D9

D11

E1

E3

E5

E7

E9

E11

64

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie. Strategie dětí pří řešení úloh typu matice

Recommend Documents