Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie
Konstrukce trojúhelníka ve 4. třídě základní školy
Gabriela Sittová Psychologie speciální pedagogika 3. ročník, 2003-2004
Obsah:
1. ÚVOD............................................................................................................ 4 2. PRŮBĚH SLEDOVANÝCH VYUČOVACÍCH HODIN GEOMETRIE....... 4 3. NÁPLŇ PŘEDMĚTU GEOMETRIE NA 1. STUPNI ZŠ .............................. 6 4. PROFILY ŽÁKŮ VÝZKUMNÉHO VZORKU ............................................. 8 4.1 Jan............................................................................................................ 8 4.2 Michal ...................................................................................................... 9 4.3 Bára........................................................................................................ 10 4.4 Eliška ..................................................................................................... 11 4.5 Lukáš...................................................................................................... 11 4.6 Viktor ..................................................................................................... 12 4.7 Markéta .................................................................................................. 12 4.8 Simona ................................................................................................... 13 4.9 Kristýna.................................................................................................. 13 4.10 Jiří ........................................................................................................ 13 5. ROZBOR PROBLÉMŮ A CHYB V RÝSOVÁNÍ....................................... 14 5.1 Problematická práce s pomůckami ......................................................... 14 5.2 Osvojení a využití definic týkajících se trojúhelníka v praktických příkladech..................................................................................................... 14 5.3 Čtení zápisu trojúhelníka v geometrickém kódu ..................................... 15 5.4 Konstrukce trojúhelníka daná konvencí.................................................. 16 5.5 Čtení zápisu v geometrickém kódu jako návrhu na postup konstrukce trojúhelníka .................................................................................................. 16 5.6 Konstrukce trojúhelníka a nástroje její kontroly ..................................... 17 6. VÝVOJ POJMU TROJÚHELNÍKA VE ŠKOLNÍCH OSNOVÁCH........... 17 7. MYŠLENÍ ŽÁKŮ PŘI ŘEŠENÍ GEOEMTRICKÝCH ÚKOLŮ VE VÝVOJOVÉ TEORII JEANA PIAGETA........................................................ 19 8. ZÁVĚR ........................................................................................................ 20
-2-
9. LITERATURA............................................................................................. 22 10. PŘÍLOHY .................................................................................................. 23
-3-
1. ÚVOD V rámci kurzu Klinický seminář školní psychologie jsem se zaměřila na studium gramotnosti žáků základních škol v geometrii. Výzkum jsem provedla v jedné z větších základních škol v Praze. V 19 třídách prvního a druhého stupně se zde vzdělávalo více než 500 žáků v programu základní škola. Více než 10% ze všech žáků školy bylo Romského a Vietnamského původu. Většina vyučujících prvního stupně základní školy byla mladších 30 let a věkový průměr všech vyučujících nepřesáhl 37 let. Výzkumný vzorek zahrnoval devíti až desetileté žáky jedné ze 4.tříd, jejichž počet se v průběhu výzkumu měnil v závislosti na docházce do školy. V první dny hospitací bylo ve třídě přítomno pouze deset žáků, důvodem mnoha absencí byla chřipková epidemie. Veškeré výukové předměty s výjimkou výchov vyučovala ve třídě 28letá třídní učitelka. V době mých návštěv v hodinách geometrie se žáci s vyučující věnovali nejprve rýsování trojúhelníka a opakování definic, které si osvojili ve 3.ročníku, aby mohli přejít k rýsování trojúhelníka rovnoramenného a rovnostranného. Od opakování znalostí o pravém úhlu přešla vyučující k rýsování pravoúhlého trojúhelníka. Po procvičování nové látky a rýsování výše uvedených typů trojúhelníka se třída věnovala rýsování os úseček a později i modelaci útvarů osově souměrných. V rámci výzkumu jsem pozorovala žáky 4. třídy při hodinách geometrie a pokusila se o rozbor jejich písemných projevů. Pozorování při hodinách geometrie jsem uskutečnila celkem v šesti termínech v období 11. 3 – 8. 4. 2003 (více termínů pozorování nebylo možno provést pro zaměření hodin matematiky na aritmetiku). Při mé poslední návštěvě ve třídě dne 15.5.2003 jsem žákům zadala kontrolní práci pro ověření vědomostí a dovedností v oblasti geometrie trojúhelníka. (Viz Pozorování vyučovacích hodin matematiky a Obrazový materiál v příloze.) Přestože jsem během pozorování práce žáků v hodině geometrie narazila na mnoho zajímavých jevů, zaměřila jsem svou práci jen na studium konstrukce trojúhelníka u žáků 4. tříd. Již během prvních dvou hospitacích v hodinách geometrie mne překvapilo, že žáci dosud nemají osvojené některé znalosti a dovednosti, které byly náplní předmětu geometrie v předchozích ročnících. Výsledky pozorování v hodinách, poukazovaly na fakt, že většina žáků má problémy se samostatným rýsováním trojúhelníka podle zadaných tří stran. Vzhledem k výskytu chyb při rýsování trojúhelníka u sledovaných žáků mne zajímalo, v čem je pro ně opakování učiva o trojúhelníku ze 3. ročníku obtížné a nezvladatelné a s jakými kritickými místy a překážkami v učivu se žáci potýkají.
2. PRŮBĚH SLEDOVANÝCH VYUČOVACÍCH HODIN GEOMETRIE První hospitace a seznámení se třídou proběhlo dne 11. 3. 2003. Žáků ve třídě bylo přítomno pouze deset. V průběhu celé vyučovací hodiny geometrie třída opakovala učivo o trojúhelníku ze 3. ročníku. Žáci rýsovali trojúhelník, podle postupu předříkávaného vyučující. Nejprve se žáci střídali v práci u tabule, později rýsovali do sešitu. Žáci opakovali dle učitelky základnu trojúhelníka. Již v první hodině jsem objevila chyby u některých žáků. Například Michal popisoval základnu trojúhelníka zprava doleva a měl problémy s dodržením délek stran. Dne 12. 3. 2003 byla již hodina matematiky cele věnována geometrii. Na jednoduchém příkladu se žáci učili kreslit náčrtek a následně rýsovat trojúhelník podle zadání. Eliška, Viktor a Jan měli problémy s rýsováním, přestože vyučující postupovala na tabuli po
-4-
jednotlivých krocích. Žáci začínali náčrtkem trojúhelníku a následně rýsovali rys trojúhelníka. Jen Viktor nechápal rozdíl mezi náčrtkem a rýsováním, i přesto, že mu rozdíl učitelka mnohokrát opakovala. Někteří žáci měli problémy s určením základny a s dodržováním délek stran trojúhelníka. Učitelka žákům objasňovala pojem základny a důvod jejího určování. Dále se věnovala poukazování rozdílů mezi trojúhelníkem rovnoramenným a obecným a seznamování s definicí rovnoramenného trojúhelníka. Žáci pak uváděli délky dalších rovnoramenných trojúhelníků, aby si učitelka ověřila, že žáci podstatu definice chápou. Na základě dalších modelových příkladů získali žáci povědomí o rovnostranném trojúhelníku. Učitelka na trojúhelníku ABC objasňovala použití dvou typů zápisu v geometrickém kódu: ▲ABC: |AB|=x cm, |AC|=y cm, |BC|=z cm a b) ▲ABC: a=x cm, b=y cm. c=z cm. Popisovala trojúhelník, který mezitím žáci nakreslili na tabuli s využitím malých písmen jako označení názvů i délek stran. Je nutné podotknout, že všem dětem dělala menší či větší potíže práce s kružítkem, kterou dosud neměly motoricky zvládnutou. V hodině geometrie dne 18. 3. 2003 třída 4. B dále procvičovala rýsování trojúhelníka rovnoramenného a věnovala se nové vyučovací látce, totiž rýsování přímek na sebe kolmých. Žáci znali definici pravého úhlu, ale nedokázali ho vyznačit. Někteří ze žáků při procvičování vyznačoval jen obrys značky pravého úhlu, Jirka označoval celé přímky a Eliška jen část obou přímek. Poté co vyučující osvětlila chyby, žákům již při vyznačování pravého úhlu nechybovali. Dále se žáci seznámili s trojúhelníkem pravoúhlým. Zbylou část hodiny věnovala učitelka procvičování rýsování pravoúhlého trojúhelníka a řešení úloh na zrakovou diferenciaci trojúhelníků rovnostranných rovnoramenných a pravoúhlých. Dne 25. 3. 2003 se žáci s učitelkou po delší pauze, kdy se věnovali aritmetice, věnovali rýsování rovnoramenných a pravoúhlých trojúhelníků a vystřihování šablon z papíru. Přičemž s pojmy a definicemi, se kterými byli žáci seznámeni již v předchozích hodinách, měli nadále problémy Jiří, Jan a Viktor. V další části hodiny se žáci spolu s vyučující věnovali rýsování os. Nejprve rýsovali po jednotlivých krocích podle popisu v učebnici. Jen u žačky Kristýny se vyskytovaly problémy s rýsováním os, ostatním žákům rýsování nedělalo problémy. V další části hodiny žáci řešili konkrétní úkoly zadané vyučující. Modelový příklad: Znění úkolu: Narýsujte úsečku |KM|=6cm, určete její střed S a veďte jím kolmici na úsečku KM. Vznikne vám osa o. Na ose o narýsujte libovolně body N,L,P,R a spojte je s krajními body úsečky KM. (Viz příloha Pozorování vyučovacích hodin matematiky.) Vyučující nabádala žáky, aby říkali, co na obrázku pozorují. Téměř všichni žáci viděli v obrázku pouze trojúhelníky. Ani po naměření délek stran trojúhelníků nepozorovali nic zvláštního. Učitelka se snažila žáky vést k zamyšlení nad délkou úseček KN, MN, KL, LM atd. a vyvodit z toho závěry. Žáci se však nedokázali odpoutat od svého prvotního úsudku o vzniklém objektu. Vyučující chtěla také docílit toho, aby žáci z nákresu viděli, že osa o je osou všech rovnoramenných trojúhelníků se základnou KM. Jelikož žádný z žáků nechápal, co se od něj očekává, přistoupila vyučující k dalším cvičením, kde děti rýsovaly osy různých úseček. V geometrii dne 8. 4. 2003 se třída 4.B zabývala útvary souměrné podle osy. Útvary jako trojúhelník, čtverec, obdélník modelovali žáci z papíru a rozhodovali se o počtu os souměrnosti. Žáci neměli větší potíže s určováním os geometrických útvarů, pokud mohli s útvary z papíru prakticky manipulovat. Pokud byly tvary jen nakresleny v učebnici, nebyli
-5-
si žáci svými výroky o souměrnosti příliš jisti. V závěru hodiny žáci určovali počet os u velkých tiskacích písmen abecedy. (Viz Pozorování vyučovacích hodin matematiky v příloze.) Abych si ověřila, jak žáci pracují se zápisem a postupují při rýsování trojúhelníka po necelých dvou měsících od začátku pozorování ve třídě, zadala jsem dne 15.5.2003 kontrolní práci. Kontrolní práce měla povahu testu a řešilo jí pět žáků, kteří se účastnili mého výzkumu od samého počátku. Kontrolní práce měla ověřit, jaké okruhy chyb při rýsování trojúhelníka u žáků přetrvaly, a jakým způsobem se žáci vypořádali s využitím definic v praktických příkladech. První dvě cvičení jsem zaměřila na čtení zápisu (v podobě vlastností trojúhelníka i v podobě návrhu na postup rýsování), měření délek stran trojúhelníka a použití dvou typů zápisu v geometrické kódu. (Problémy se objevily jen u Michala.) Třetí cvičení, ve kterém měli žáci rýsovat trojúhelník podle zadání : ▲ABC: a=x cm, b=y cm. c=z cm a určit o jaký typ trojúhelníka se jedná, jsem zaměřila jak na zjištění postupu konstrukce, tak chápání a využití definic u jednotlivých žáků. (V těchto cvičeních měli problémy jen žáci, kteří v této oblasti chybovali již od prvních sledovaných hodin geometrie, tedy Jan, Michal a Bára. Ke zlepšení výkonů došlo u Elišky.) Cílem závěrečného cvičení bylo zjistit, jak žáci pojímají definici obecného trojúhelníka. Proto jsem se žáků tázala na jejich představu o obecném trojúhelníku. (Jediný Michal nebyl schopen na otázku odpovědět a ani popsat z čeho se trojúhelník skládá. Ostatní žáci, přestože nebyli schopni předříkat definici obecného trojúhelníka, chápali podstatu operacionální definice, se kterou je vyučující seznámila.) (Podrobněji viz Pozorování vyučovacích hodin matematiky v příloze.)
3. NÁPLŇ PŘEDMĚTU GEOMETRIE NA 1. STUPNI ZŠ V rámci předmětu geometrie na prvním stupni základní školy se žáci seznamují se základními geometrickými pojmy a poznávají trojrozměrný prostor. Myslím, že hlavním úkolem výuky geometrie je rozvoj logických úvah žáků, osvojení si práce s prostorem, modelování geometrických tvarů i rozvoj jemné motoriky rukou. Žáci se učí organizovat si prostor, ve kterém existují, a používat k jeho popisu abstraktní matematické pojmy. Pro hlubší pochopení problémů žáků v geometrii jsem pročetla osnovy, metodiky i učebnice geometrie. Z jejich obsahu jsem zjistila, že počátek seznamování žáků s geometrickými pojmy a trojrozměrným prostorem nastává již v 1. ročníku základní školy. V prvním ročníku by se mělo u žáků postupně rozvíjet množinové chápání geometrických pojmů a symbolika zápisu (v geometrii přetrvává tradiční symbolika). Systematická výuka geometrie však začíná ve 2. ročníku, kdy se žáci učí v eukleidovském prostoru E3 základním relacím. V rámci těchto relací, se žáci učí dodržovat úmluvu o označování geometrických objektů. Malinová pracuje ve své metodice s touto definicí trojúhelníka: "Trojúhelník ABC je množina všech bodů X prostoru E3, všech úseček AY, kde Y je bodem úsečky BC a body A, B, C neleží v přímce" (MALINOVÁ 1981, s.11). Dodává však, že učitel by neměl od žáků vyžadovat doslovnou znalost této definice, ale měl by řídit jejich práci při modelování a rýsování v souladu s touto definicí (MALINOVÁ 1981, s. 11-12). Ve třídě jsem pozorovala, že vyučující definici Malinové při výuce nepoužívá. Zastává názor, že je definice Malinové pro žáky 4. ročníku těžce srozumitelná, jelikož by si na jejím podkladě nebyli schopni trojúhelník představit. Vyučující vymezovala trojúhelník pomocí operacionální definice, která se blíží definici z knihy opakující matematiku z obecné školy pro žáky víceletých gymnázií: „Zvolme
-6-
3 body v rovině, které neleží na jedné přímce a sestrojme úsečky AB, BC, AC. Vznikne tak „uzavřená čára“, složená ze tří úseček. Všechny body, které leží na čáře a uvnitř čáry nazýváme trojúhelník ABC. Body A,B,C jsou vrcholy a úsečky AB, BC, AC stranami trojúhelníka“ (HERMAN A KOL. 1995, s.127-130). Situaci ve výuce, kdy by učitelka definovala trojúhelník jako průnik tří polorovin ABC, BCA, CAB nebo průnik dvou vnitřních úhlů jsem nezaznamenala. Vyučující ve výuce často používají operacionální definice, ať již operují s úsečkami, polorovinami či vnitřními úhly, protože tyto definice žákům přiblíží podstatu obecného trojúhelníka a zároveň upřesní jejich představu o stavbě a konstrukci trojúhelníka, jakožto geometrického objektu. Podle Malinové by měli žáci v rámci výuky geometrie ve 3. ročníku prohloubit své poznatky o trojúhelníku a měli by se seznámit s trojúhelníkovou nerovností. Ve 4. ročníku se mají žáci učit přenášet trojúhelník k dané polopřímce nejprve pomocí průsvitky a později pomocí kružítka a rozhodovat o shodnosti trojúhelníků porovnáním velikostí stran. Poučení o trojúhelnících by mělo podle Malinové končit ve 4. ročníku seznámením se s pravoúhlým trojúhelníkem, s jeho rýsováním a pojmenováním stran (MALINOVÁ 1981, 15-20). V hodinách, ve kterých jsem měla hospitaci, se žáci 4. ročníku neučili o shodnosti trojúhelníků. Žáci nejprve rýsovali obecný trojúhelník, později se seznamovali s rýsováním rovnostranného, rovnoramenného a pravoúhlého trojúhelníka a definicemi s nimi spojenými, aby postupně přestoupili k osové souměrnosti. Podle osnov a metodik, o jejichž stručné shrnutí jsem se pokusila výše, by žáci 4. ročníku měli chápat definici trojúhelníka a měli by být schopni ji využít v praxi. Absolvent 4. ročníku by měl být rovněž schopen rozhodnout, zda lze trojúhelník sestrojit, samostatně narýsovat trojúhelník podle vlastního postupu a označit jeho krajní body podle úmluvy. (Podotýkám, že výše uvedené znalosti a dovednosti si začínají žáci osvojovat již ve 3. ročníku.) Když jsem porovnala úroveň znalostí a dovedností, kterou u žáka 4. ročníku předpokládají metodiky se skutečnou úrovní znalostí mnou pozorovaných žáků, ujistila jsem se, že jsou žáci v osvojování učební látky poněkud pozadu. Mnoho žáků mělo rozličné problémy s rýsováním trojúhelníka a aplikací definic, které měly být zvládnuty již v předchozím ročníku. Jakoby žáci dosud neměli plně zvládnutou úmluvu o symbolice a zautomatizovaný postup rýsování trojúhelníka. (Viz Profily žáků a analýza chyb.) Ve spojitosti s úmluvou o symbolice bych zmínila doporučení Malinové seznámit žáky 4. ročníku základní školy s faktem, že úmluva o symbolice se může měnit, ale podstata pojmů se tím nemění (MALINOVÁ 1981, s.19). Žáci mají pochopit, že dvojice krajních bodů úsečky není uspořádána, a mohou ji tedy nazvat libovolně AB i BA. Žáci ve zkoumané třídě se skutečně nejprve učili označovat krajní body úseček podle posloupnosti písmen v abecedě nebo jedním směrem tj. zleva doprava nebo zdola nahoru. Dodržování úmluvy o symbolice a způsobu označování podle vyučující nedělalo žákům větší potíže. Problémy se projevily poté, co vyučující seznámila žáky s rozvolněním úmluv a možností samostatné volby označení stran. U některých žáků se začaly objevovat následující typy chyb: nedodržení délek stran trojúhelníka dané v zadání, převracení písmen v označení vrcholů trojúhelníka, neschopnost použití vhodného postupu konstrukce trojúhelníka atd.. Položila jsem si tedy otázku, jak se spolu s rozvolněním úmluvy změnil pohled žáků na rýsování trojúhelníka a co způsobilo problémy, které začali v pracích žáků objevovat.
-7-
4. PROFILY ŽÁKŮ VÝZKUMNÉHO VZORKU Výzkumná data pochází z přímého pozorování žáků při hodinách geometrie a z rozboru jejich práce v období od 11. 3 do 8. 4. 03 a z kontrolní práce zadané dne 15. 5. 03. Některé informace, které se týkaly obecných schopností jednotlivých žáků a jejich motivace k práci jsem získala od třídní vyučující. Záznamy práce žáků, které mi osobně připadaly důležité vzhledem k problematice, předkládám v příloze Obrazový materiál. Tam kde nebylo možné získat písemné podklady jsem využila své zápisky z pozorování. Předmětem mého zájmu byly zejména následující typy chyb a problémů : § Nerespektování délek stran trojúhelníka. (Nedodržování korespondence mezi délkou a pojmenováním strany v zápisu s délkou a pojmenováním strany v konstrukci.) § Převracení písmen v označení úseček trojúhelníka. § Neschopnost použití vlastního systematického postupu při konstrukci trojúhelníka. § Použití dvou typů zápisu v geometrickém kódu. § Osvojení a využití definic týkajících se trojúhelníka v praktických příkladech. U žáků, pokud to bylo možné vzhledem k časté absenci ve škole, jsem si tedy vytvořila určitý profil, který sestává z informací o žákově práci při hodinách geometrie a ukázek shromážděného materiálu. (Podrobné údaje o žácích a jejich práci v konkrétních vyučovacích hodinách jsou obsahem příloh Pozorování vyučovacích hodin matematiky a Obrazový materiál.) Uvedené profily myslím dobře postihují variabilitu zkoumaných jevů u jednotlivých žáků ve zkoumané třídě.
4.1 Jan Jak mi sdělila vyučující Jan již v prvních vyučovacích hodinách geometrie, jejichž náplní bylo rýsování trojúhelníka v některých případech nedodržoval úmluvu o označování úseček a stran trojúhelníka. A to i v době kdy učitelka na popisu bodů trojúhelníka podle úmluvy trvala . Jan při samostatném rýsování trojúhelníka zadaných rozměrů rýsoval a popisoval úsečky a strany trojúhelníka zprava místo zleva, přestože psal i rýsoval pravou rukou. V hodinách geometrie kdy žáci měli za úkol určit a narýsovat základnu trojúhelníka, Jan často zvolil za základnu jednu ze zbývajících stran trojúhelníka. Obvykle pak narýsované délky zbývajících stran, a v některých případech všech tří stran trojúhelníka neodpovídaly délkám stran v zadání. Kupříkladu ve cvičení 2/25, ve kterém bylo úkolem označit základnu a narýsovat trojúhelník KLM, načrtl a určil Jan jako základnu úsečku MK a zároveň použil správnou délku základny KL . Po upozornění učitelky, že jeho volba základny je nesprávná, zvolil již v rysu základnu KL, ale zaměnil její délku s délkou další strany trojúhelníka. Jan si nesprávně spojil v mysli označení stran s jejich délkami v zadání, když rýsoval jednotlivé strany trojúhelníka, anebo zaměnil označení stran až v dokončeném rysu. (Viz Obrázek č.1 níže a Obrazový materiál z 12. 3. 03 v příloze.) Ve cvičeních (například v kontrolní práci), ve kterých nebylo určení základny trojúhelníka po žácích požadováno, rýsoval Jan první stranu rysu libovolně a délky zbývajících stran trojúhelníka nadále zaměňoval. Z řešení kontrolní práce je také patrné, že Jan přečte zápis jen jako vlastnosti trojúhelníka a nikoli jako jednu z možností postupu konstrukce.
-8-
V kontrolní práci neměl Jan problémy s převodem dvou typů zápisu: ▲ABC: |AB|=x cm, |AC|=y cm, |BC|=z cm a b) ▲ABC: a=x cm, b=y cm, c=z cm, ale u obou typů zápisu v příkladech zaměňoval délky stran trojúhelníka. (Viz kontrolní práci v Obrazovém materiálu v příloze.) Na řešení problémů v hodině potřeboval Jan dostatek času. U tohoto žáka jsem během výzkumu nepozorovala zlepšení výkonů v geometrii. Jan byl během vyučování většinou nepozorný a roztržitý a jen zřídkakdy odpovídal správně na otázky učitelky při ověřování teoretických znalostí. Při řešení cvičení č. 3 v kontrolní práci měl problémy s aplikací definic různých typů trojúhelníka. (Viz kontrolní práci cv. 3 v příloze). Obrázek č. 1:
2/25 Zadání: Narýsuj ▲KLM: │KL│= 5cm,│KM│=4cm, │LM│=4cm
Náčrtek: Rys:
M
L 5cm 4cm
M
4cm
4cm
5cm
K
K
L 4cm
4.2 Michal U Michala jsem pozorovala obdobné problémy při rýsování i v chápání pojmů a definic týkajících se trojúhelníka jako u Jana. (Viz kontrolní práci cv. 3 v příloze). Bohužel nemohu předložit záznam jeho práce z hodin geometrie, které byly věnovány právě rýsování trojúhelníka, jelikož sešit ztratil. Jeho práci mám zaznamenanou pouze v podobě poznámek z pozorování. Michal při rýsování občasně zaměňoval délky stran trojúhelníka a chybně označoval krajní body. Myslím si, že tyto chyby byly zapříčiněny převážně jeho nesoustředěností při rýsování jednotlivých kroků postupu a chybami v uvažování nad problémy. Pro ilustraci uvádím záznam hodiny geometrie ze dne 11. 3. 03: Učitelka zadává příklad: Narýsujte trojúhelník ABC, strana │AB│= 5 cm, │AC│= 3 cm, │BC│= 4cm. V učebnici je trojúhelník předkreslen. Michal jde rýsovat na tabuli úsečku AB. Zvláštní je, že ji kreslí zprava doleva a označuje tak i krajní body trojúhelníka. Učitelka mu vysvětluje, že by takto získali trojúhelník zrcadlově obrácený od trojúhelníku v učebnici. A upozorňuje ho, že by tak nadělal spoustu chyb. Michal se ptá: „Jak je to možné, když je ta úsečka pořád stejně dlouhá?“. Michal následně rýsuje trojúhelník do sešitu tak, že narýsuje správně jeho základnu, ale zamění délky jeho zbývajících dvou stran (zabodne kružítko s určitým rozměrem do jiného bodu základny, než je uvedeno v zadání ). Jako většina žáků má i Michal problémy v práci s pomůckami, zejména s kružítkem. Jeho práce v sešitě byly často gumované a nepřesně narýsované. Michal byl schopen řešit úkoly, pokud měl dostatek času na úvahu nad daným problémem. Například v hodině 12. 3. 03, kdy byly probírány rovnoramenné trojúhelníky, byl
-9-
schopen aplikovat definici a uvést rozměry libovolného rovnoramenného trojúhelníka podle instrukcí učitelky. (Viz Pozorování vyučovacích hodin matematiky z 12. 3. 03 v příloze.) V kontrolní práci dne 15. 5. 03 však již nebyl schopen definici rovnostranného trojúhelníka při řešení jednoho z úkolů použít. Což je možno si vysvětlit tak, že si definici nepamatoval, nebo nepřesně změřil délky stran zadaného trojúhelníka. Michalovi dělal často problémy převod zápisů: ▲ABC: |AB|=x cm, |AC|=y cm, |BC|=z cm a b) ▲ABC: a=x cm, b=y cm, c=z cm. Přestože podstatu převodu chápal, nedokázal ho pohotově použít při rýsování, což se potvrdilo při řešení cvičení č. 1 v kontrolní práci. Výsledky kontrolní práce byly výrazně horší než u ostatních žáků, přestože byl Michal hotov s prací jako první. V hodinách byl Michal velmi aktivní až zbrklý, ale málokdy byly jeho odpovědi a úvahy správné. Nabyla jsem dojmu, že je velmi roztěkaný a nesoustředěný na práci. Často jsem pozorovala, že pokud nevyřešil příklad ihned správně, práci předčasně vzdával. Vypozorovala jsem u něj občasné poruchy pozornosti. Učitelka Michala označovala za problémového žáka, kterého je nutno v hodinách velmi motivovat, aby byl ochoten pracovat.
4.3 Bára Bára měla při rýsování a dodržování délek stran trojúhelníka obdobný problém jako Jan i Michal. Když měla v rámci cvičení určit základnu rýsovaného trojúhelníka, občasně uváděla i rýsovala jednu ze zbývajících dvou stran. V samotném rysu narýsovala buď správnou délku první strany, ale délky dalších dvou stran zaměnila, nebo zaměnila délky všech tří stran. (Viz Materiály z 11. 3. 03.) V kontrolní práci dokonce použila v rysu jednu délku stany dvakrát. (Viz obrázek č. 2 níže.) Tato žačka měla v některých případech problémy s převodem zápisu a) ▲ABC: |AB|=x cm, |AC|=y cm, |BC|=z cm a b) ▲ABC: a=x cm, b=y cm. c=z cm a to zejména během práce na příkladech z učebnice, které měla vypracovávat samostatně. (Viz kontrolní práce cv. 3 v příloze.) Obrázek č. 2:
Zadání cvičení č. 3: Narýsuj ▲ABC: a=6cm, b=4cm, c=5cm. A
a=5 cm
B
b=4cm
C c=5cm
V chápání dalších pojmů a definicí (např. definice rovnoramenného, rovnostranného a pravoúhlého trojúhelníka) neměla Bára větší problémy a její chyby byly spíše ojedinělé. Dokladem toho je, že definice jednotlivých typů trojúhelníka byla schopna použít v kontrolní práci. Bohužel mi Bára neumožnila okopírovat své sešity geometrie, takže mám k dispozici jen její kontrolní práci a poznámky z pozorování jednotlivých hodin geometrie v přílohách.
- 10 -
Učitelka mi sdělila, že má u Báry podezření na slabou dyslexii. Během mého pozorování a testování u této žačky nedošlo k výrazné změně výkonů v praktické ani teoretické oblasti výuky geometrie.
4.4 Eliška Eliška v hodinách geometrie, kdy měli žáci určovat základnu trojúhelníka, zpočátku určovala nesprávně jednu z jeho zbývajících stran. Při práci v hodinách spíše ojediněle převracela délky stran. (Viz Pozorování vyučovacích hodin matematiky 12. 3. 03 cv. 2/25 v příloze.) Při práci v hodině Eliška občas dělala drobné chyby, ale oproti Janovi a Báře došlo u Elišky během mého pozorování ke zlepšení výkonů v oblasti rýsování. Při práci v hodinách ještě Eliška ojediněle převracela délky stran trojúhelníka, ale vždy své chyby sama opravila, v kontrolním testu si již byla svým rýsováním i odpověďmi na otázky týkajících se teorie trojúhelníka jista a chyby se u ní nevyskytly. Definice rovnostranného, rovnoramenného a pravoúhlého trojúhelníka Eliška chápala a dokázala je využít v praxi, přestože jejich znění nedokázala reprodukovat. Na otázky učitelky odpovídala bystře, i když její odpovědi byly někdy nepřesné. (Viz Pozorování v vyučovacích hodin matematiky 18. 3. 03 v příloze.) V době kdy žáci rýsovali osy úseček nebyla ve škole přítomna. Kontrolní práce této žačky byla jedna z nejlepších z celého výzkumného vzorku. Učitelka mě při konzultacích upozornila na to, že Eliška má diagnostikovanou dyslexii i dysgrafii. Uvedla však, že při samostatné práci, kdy má žačka dostatek času na vypracování úkolů nechybuje a postupuje logicky, což se potvrdilo i během mého pozorování.
4.5 Lukáš Lukáš neměl při rýsování větší problémy. Při řešení úkolů postupoval s rozvahou a jeho konečný výsledek je v naprosté většině případů správný. V žádném ze cvičení neměl Lukáš problémy se zakreslováním základny a dodržováním délek stran trojúhelníka, a to ani v hodinách, ani při vypracovávání kontrolní práce. Také převod a aplikace dvou typů zápisu trojúhelníka mu nedělala potíže. Lukáš evidentně chápal definice týkající se trojúhelníka i ostatní probrané geometrické definice, jelikož je bez problému aplikoval při řešení úkolů. (Viz Materiály 12. 3. 03 a 13. 3. 03 v příloze.) Při samostatné práci byl Lukáš schopen vygenerovat ze zadání cvičení v učebnici základní údaje a na jejich podkladě vytvořit vlastní postup rýsování trojúhelníka. Kontrolní práce mu byla jako jedinému zadána slovně, aby byl nucen vytvořit vlastní zápis. Jan vytvořil vlastní zápis v podobě zápisu možného postupu konstrukce, s jeho pomocí trojúhelník bezchybně narýsoval. Domnívám se, že Lukáš měl postup rýsování trojúhelníka do potřebné míry zautomatizovaný. (Viz kontrolní práci v příloze.) V hodinách nebyl Lukáš příliš aktivní a málokdy se hlásil, jeho odpovědi na otázky ověřující teoretické i praktické znalosti však byly téměř vždy správné. Učitelka Lukáše označila za výrazně matematicky nadaného žáka. Podrobněji jsem Lukášovu práci nepozorovala vzhledem k absenci chyb v uvažování i problémů s rýsováním.
- 11 -
Pro doplnění zde uvádím i profily dalších žáků, jejichž práci v hodinách geometrie jsem sledovala spíše okrajově, jelikož měli ve škole časté absence. Shromážděné informace zařazuji do této kapitoly především pro přiblížení situací v hodinách matematiky a ukázky řešení příkladů.
4.6 Viktor V hodině geometrie 12. 3, jejíž náplní bylo rýsování rovnoramenného trojúhelníka, rýsoval místo trojúhelníka tři rovnoběžné úsečky. Po napomenutí učitelkou narýsoval trojúhelník, ale nedodržel délky stran, takže mu rovnoramenný trojúhelník nevznikl. (Viz Pozorování vyučovacích hodin matematiky cv. 2/25 v příloze.) Viktor při rýsování občasně nedodržoval délky stran trojúhelníka a zaměňoval jejich délky, přičemž neměl problémy s označováním krajních bodů trojúhelníka. Bez upozornění učitelky nebyl schopen své chyby rozpoznat. Tento žák neměl problém v práci s pomůckami a jeho chyby v rýsování obvykle nebyly výsledkem nepřesné práce s kružítkem. (Viz Obrazový materiál 12. 3. 03 cv. 3/25, 13. 3. 03 cv. 5/25 v příloze.) S převodem dvou typů zápisu trojúhelníka a jejich využitím v příkladech neměl větší potíže. Problémy se u Viktora objevovaly v teorii geometrie. Kupříkladu nechápal podstatu rozdílu mezi náčrtkem a rysem. Poté, co mu učitelka objasnila rozdíly ve využití obou nákresů, kreslil u několika cvičení správně náčrtek a rys, ale v následujících cvičeních opět zaměnil rys za náčrtek, nebo náčrtek zcela vynechal. (Viz Materiály 13. 3 .03 v příloze.) Tento žák v zadání cvičení zapisoval pouze název úsečky- AB, bez označení délky úsečky- │AB│. Měl také problémy s chápáním i jednodušších definic týkajících se trojúhelníka, což se projevovalo zejména při práci u tabule. Viktor je vietnamského původu a českému jazyku se učí poměrně krátkou dobu, proto je pochopitelné, že může mít s chápáním některých geometrických pojmů a definic problémy. V případě tohoto žáka zde myslím hraje roli i fakt, že v hodinách často vyrušuje a snaží se bavit třídu (tzv. třídní „šašek“) a pak nestíhá svou práci na cvičeních. V době, kdy jsem třídě zadávala kontrolní práci, byl Viktor nemocen, proto jsem mohla hodnotit jeho výkony jen z práce v hodinách.
4.7 Markéta Markéta měla v hodinách geometrie problémy s rýsováním jen ojediněle. Pouze jednou za dobu mého pozorování tato žačka zaměnila označení vrcholů trojúhelníka, ihned si však uvědomila svou chybu a označení bodů v rysu opravila. (Viz Obrazový materiál 14. 3. 03 cv. 2/33 v příloze.) Další výraznější problémy při rýsování jsem u ní nepozorovala. Markéta rýsuje přesně a úpravně. Obdobně jako Lukáš i Markéta dokázala vytvořit vlastní postup rýsování, aniž by potřebovala připravený zápis v geometrickém kódu od učitelky. Zvláštní je, že v zápisu v geometrickém kódu psala délky stran trojúhelníka na řádek vedle sebe, nikoliv pod sebe, jako všichni ostatní žáci. Domnívám se, že jí tento zápis pomáhal při uvědomění si kroků postupu rýsování, tak jak šly za sebou.
- 12 -
V chápání definic ani u převodu dvou typů zápisu v geometrickém kódu jsem u Markéty nepozorovala výrazné nedostatky. Kontrolní práci žačka nepsala. V hodinách Markéta aktivně spolupracovala s učitelkou a byla schopna diskutovat o problémech, které žáci v hodinách řešili. Jelikož byly výkony této žačky v matematice poměrně konstantní, podrobněji jsem její práci v hodině nezkoumala.
4.8 Simona Simona občasně zaměňovala označení krajních bodů úseček, ale byla schopna si uvědomit v čem se dopouští omylů a téměř vždy chyby sama opravila. Při samostatné konstrukci trojúhelníka neměla jistotu, bez pomoci vyučující váhala nad jednotlivými kroky. Také jsem u této žačky ojediněle pozorovala zaměňování délek stran trojúhelníka, ale vždy si před dokončením celého rysu chyby opravila. I v převodu dvou typů zápisu v geometrickém kódu zpočátku chybovala, ale později si tuto dovednost osvojila. Žačku jsem mohla pozorovat jen několik vyučovacích hodin, poté nebyla z rodinných důvodů delší dobu přítomna ve škole. Kontrolní práci nepsala. Simona je velmi snaživá žačka a z odpovědí na teoretické otázky je patrné, že se na jednotlivé hodiny připravuje. Velmi jí pomáhá fakt, že sedí v jedné lavici s Markétou, která ji upozorní na mnoho chyb během práce na cvičeních. Při hodinách je aktivní ve stejné míře jako Markéta.
4.9 Kristýna Kristýna je podle vyučující výrazně pozadu za ostatními žáky ve všech předmětech. Při mém pozorování často nestíhala při samostatné práci. Částečně to mohlo být způsobeno jejími častými absencemi ve škole. Vzhledem k nim také nemám dostatek materiálu k celkovému zhodnocení jejích chyb a úvah při konstrukci trojúhelníka. Jedinou písemnou dokumentaci, kterou k výkonům této žačky mám je záznam jejího sešitu ze dne 25. 3. 03 kdy, žáci rýsovali osy úseček. Ze záznamu je patrné, že ani nerozpozná pravý, tupý a ostrý úhel. Záznamy z předchozích hodin geometrie Kristýna ztratila. Na otázky učitelky orientované na ověření teoretických znalostí nebyla většinou sto správně odpovědět, mnohdy ani nenalezla danou stranu v učebnici. (Viz Pozorování v hodinách v příloze) V hodinách byla Kristýna značně roztržitá a většinou nebyla schopna udržet krok s ostatními žáky.
4.10 Jiří V prvních hodinách mého pozorování jejichž náplní byla konstrukce trojúhelníku byl nemocen. Při dalších hodinách bylo z jeho práce patrné, ze má problémy s chápáním definic (pravý úhel, rovnostranný, rovnoramenný a pravoúhlý trojúhelník atd.). (Viz Pozorování vyučovacích hodin matematiky 19. 3. 03 v příloze.)
- 13 -
V dalších hodinách měl problémy s rýsováním, neorientoval se v nákresu a rýsoval pomalu a velmi nepřesně. V jeho pracích se objevují chyby v logickém uvažování. Při měření délek stran trojúhelníka v sešitě například prezentoval rozměry v centimetrech namísto v milimetrech (65cm namísto 65 mm). Kontrolní práci odmítl psát, protože si nedoplnil zameškanou látku o trojúhelníku z předchozích hodin a nechtěl mít nevýhodu oproti ostatním žákům. V hodinách Jiří často vyrušoval a komentoval každý svůj krok, což mělo za následek pomalou práci na samostatných úkolech. Z konzultací s učitelkou vyplynulo, že jde o problémového žáka v oblasti školních výkonů i chování.
5. ROZBOR PROBLÉMŮ A CHYB V RÝSOVÁNÍ Z vypracovaných profilů žáků je myslím dobře patrné, jaké okruhy chyb se u žáků objevují, a jaké znalosti nemají žáci osvojeny. Tato kapitola je věnována pátrání po původu jednotlivých okruhů chyb a problémů s rýsováním u výzkumného vzorku žáků. Zabývá se také hledáním příčin nezvladatelnosti učiva o trojúhelníku pro žáky 4. ročníků. Mým cílem bylo analyzovat chyby a problémy s uvážením individuálních odlišností jednotlivých žáků a jejich chování a aktivity v hodinách geometrie.
5.1 Problematická práce s pomůckami Jak vyplývá z mého pozorování a výzkumu prací žáků, chyby mající povahu nepřesnosti měření a rýsování (odchylky délek v řádu milimetrů) nastávají nejčastěji díky problematické práci s pomůckami, zejména pak kružítkem. Tyto chyby se s různou frekvencí objevují v podstatě u všech žáků výzkumného vzorku, a proto se nebudu jejich rozboru dále věnovat. Svou pozornost zaměřím především na rozbor těch okruhů chyb, za kterými stojí chyby v myšlení žáků.
5.2 Osvojení a využití definic týkajících se trojúhelníka v praktických příkladech Definice obecného trojúhelníka je předmětem studia geometrie v 2. ročníku ZŠ. Vyučující ve sledované třídě používala při opakování operacionální definici obecného trojúhelníka, která byla pro žáka snadno pochopitelná i zapamatovatelná. Nevyžadovala od žáků memorování vět definic, ale postačovalo jí pochopení podstaty operacionální definice a schopnost její aplikace v zadávaných úlohách. (Viz kapitolu III.) Ve 4. ročníku se okruh definic značně rozšiřuje, žáci nejprve opakují definice obecného trojúhelníka a pravého úhlu a poté se seznamují s definicemi rovnostranného, rovnoramenného a pravoúhlého trojúhelníka a mnoha novými geometrickými pojmy. Kromě Jana, Michala, Viktora a Jiřího neměli žáci výzkumného vzorku časté problémy v osvojení a používání definic v praktických úkolech. Ty byly založeny na rozpoznávání trojúhelníků rovnoramenných, rovnostranných a pravoúhlých na obrázcích. (Viz kapitolu III.) Tuto činnost žáci ve větší či menší míře ovládali a byli schopni své znalosti využít v praktických příkladech. (Viz kontrolní práce v Obrazovém materiálu v příloze.)
- 14 -
5.3 Čtení zápisu trojúhelníka v geometrickém kódu V předmětu geometrie jsou žákům od 2. do počátku 4. ročníku předkládány informace v podobě popisu trojúhelníka v českém jazyce nebo v podobě zápisu v geometrickém kódu. Zápis žáci čtou jako záznam vlastností trojúhelníka, který určuje označení a velikost jednotlivých stran trojúhelníka. Žáci si nejprve osvojí zápis: ▲ABC: |AB|=x cm, |AC|=y cm, |BC|=z cm. V návaznosti na něj pak rýsují základnu AB zleva doprava. Postupně se k prvnímu typu zápisu přičleňuje druhý: ▲ABC: a=x cm, b=y cm. c=z cm. U kterého v prvním kroku žáci rýsují základnu a, tedy BC, dále b, tedy AC a nakonec c, AB. Jak vidíme, postup u druhého zápisu, u kterého žáci začínají rýsovat stranu a=BC, nekopíruje postup u zápisu prvního, u kterého je první rýsovaná strana AB=c. Většina žáků neměla s převodem a použitím dvou typů zápisu v geometrickém kódu problémy. Chyby v použití jsem pozorovala u Báry a Kristýny, které při něm občasně chybovaly (většinou zaměnily označení krajních bodů trojúhelníka) a Michala, u kterého jsem nabyla pocitu, že nechápe význam druhého typu zápisu, a proto ho ani nedokáže aplikovat. Někteří z žáků, kteří neovládali výborně převod dvou typů zápisu si ve cvičeních dopomáhali tím, že si strany v náčrtku i rysu označovali malými písmeny. (Viz Materiály z 15. 5. 03 Elišky a Jana.) Po žácích je v geometrii již od prvního ročníku vyžadováno dodržování úmluvy o označování geometrických objektů. V souladu s úmluvou je nutno vrcholy trojúhelníka označovat velkými tiskacími písmeny proti směru pohybu hodinových ručiček a zároveň respektovat abecední posloupnost. Většina žáků sledované třídy neměla s dodržováním úmluvy potíže, problémy se objevovaly u žáků Jana a Michala. Tito žáci při samostatném rýsování trojúhelníka převraceli písmena v označení úseček trojúhelníka. Michal, který je levák, úsečky rýsoval zprava doleva. Krajní body označoval při samostatné práci zprava doleva, při společném rýsování s učitelkou a spolužáky na tabuli zleva doprava. Michal rýsoval při samostatné práci zprava doleva, jelikož je pro leváka je jednodušší rýsování i popisování bodů zprava doleva a ne v opačném směru, kdy by rýsoval tzv. „přes ruku“. Na rozdíl od ostatních leváků, kteří se později naučili rýsovat podle úmluv, se u Michala nepevnost držení stranové orientace objevovala nadále. Jan od počátku mého pozorování rýsoval i popisoval úsečky trojúhelníka zprava doleva, přestože není levák. Myslím si, že jeho chyby v označování krajních bodů trojúhelníka byly zapříčiněny chybami v uvažování při rýsování jednotlivých kroků postupu. Profesor Příhoda ve své monografii uvádí, že asi do osmi let můžeme u dětí pozorovat, že jsou pro ně složitější útvary, například tištěná slova, převratitelné. V dalších letech se však tato schopnost ztrácí. (PŘÍHODA 1971) U Jana se však převracení písmen v označování úseček objevovalo ještě ve věku 10 let, tedy v době, kdy u ostatních žáků tento problém již zcela vymizel. Jelikož prof. Příhoda ve své knize hovoří o jednoduchých útvarech obecně a nevěnuje se konkrétním příkladům, bylo by třeba prokázat, zda se tento fenomén může objevovat u rýsování úseček či trojúhelníků a u popisu jejich krajních bodů.
- 15 -
5.4 Konstrukce trojúhelníka daná konvencí V 1. pololetí 4. ročníku byl, podle údajů vyučující, postup konstrukce trojúhelníka dán konvencí, kterou byli žáci nuceni dodržovat. Žáci respektovali při rýsování trojúhelníka projektivní postup zleva doprava a zdola nahoru a při označování vrcholů trojúhelníka pohyb ruky proti směru chodu hodinových ručiček. Žáci nebyli nuceni vytvářet vlastní postup konstrukce, protože byl postup konstrukce trojúhelníka jasně definován a určen. Žáci měli problémy s dodržováním délek stran při rýsování jen zcela ojediněle. Ke zvratu ve výuce geometrie došlo v době (v našem případě v druhé polovině března), kdy vyučující zavedla, v souladu s metodikou, rozvolnění úmluv o označování geometrických objektů a dala žákům možnost označovat a rýsovat strany trojúhelníka libovolně. Po rozvolnění úmluv začali žáci častěji volit svůj postup rýsování trojúhelníka, což mělo za následek větší výskyt chyb. Mnoho žáků v zadaných úkolech nesprávně určovalo základnu trojúhelníka, zaměňovalo strany trojúhelníka a mnohdy nedodržovalo jejich délky. (Viz Obrazový materiál v příloze.) Tyto chyby se objevovaly u žáků jak při práci v hodinách, nejčastěji tedy žáci chybovali ve cvičení, kdy učitelka předem neurčila základnu a nepostupovala v rýsování po krocích spolu s žáky, tak při vypracovávání kontrolní práce, kterou jsem zadala v závěru výzkumu. Chyby byly podle mého názoru způsobeny nesprávným čtením zápisu a neuspořádaným postupem rýsování. Vyloučila jsem, že by na tyto chyby mohla mít vliv problematická práce s pomůckami, jelikož při rýsování podle postupu, který předříkávala učitelka žáci chyby nedělali. Nebylo těžké vypozorovat, že prvotní trvání na zásadách a úmluvách a jejich následné rozvolnění žáky velmi mátlo. Ještě než si stačili zafixovat konvenční označování objektů při konstrukci trojúhelníka a ocenit pomoc zápisu v podobě návrhu na postup konstrukce, byli nuceni od tohoto upustit a vzít v úvahu nové skutečnosti. Ukázalo se, že žáci, kteří měli problémy s volbou kroků postupu rýsování před rozvolněním úmluv, měli problémy s rýsováním i nadále a nebyli vůbec schopni vytvořit vlastní postup konstrukce.
5.5 Čtení zápisu v geometrickém kódu jako návrhu na postup konstrukce trojúhelníka Poté co jsem zpracovala data získaná z pozorování a rozboru prací žáků, dospěla jsem k názoru, že ve výuce o trojúhelníku funguje zápis v geometrickém kódu ve dvou podobách. Nejprve si žáci osvojují zápis, jakožto informace o vlastnostech trojúhelníka, v pozdější fázi výuky má zápis zároveň podobu návrhu na postup konstrukce daného trojúhelníka. Myslím si, že problémy u některých žáků byly zapříčiněny právě tím, že četli zápis trojúhelníka v geometrickém kódu pouze jako souhrn vlastností a nikoli jako jednu z možností jak postupovat při jeho rýsování. Tito žáci nebyli schopni využít potenciální pomůcku při stanovení postupu konstrukce, kterou jim zápis poskytoval. Po rozvolnění úmluv o označování úseček (stran trojúhelníka) ztratili další pomůcku v podobě rýsování bodů podle abecední posloupnosti a proto začali více chybovat v délkách i označení stran trojúhelníka. Proto jsem se zamyslela nad použitelností struktury zápisu v geometrickém kódu: ▲ABC: AB=x cm, AC=y cm, BC=z cm, jakožto návrhu na postup rýsování pro žáky. - 16 -
Výše uvedený zápis a jeho struktura ukazuje, že základnou trojúhelníka může být úsečka AB, přičemž bod A je prvním bodem strany AB. Bod B je vzdálen x cm od bodu A. Po narýsování základny AB můžeme přistoupit k rýsování kružnice v bodě A s poloměrem y cm, pak kružnice v bodě B s poloměrem z cm. Vznikne nám průsečík, který označíme C. Dokončíme narýsováním stran AC a BC. Při zpracování kontrolní práce jsem pozorovala, že někteří žáci začali zápis v geometrickém kódu využívat, alespoň při rozhodování se o prvním kroku postupu rýsování. Zbylé strany trojúhelníka však ještě zaměňovali.(Viz kontrolní práci Jana, Báry v příloze.) Domnívám se, že problémem většiny chybujících žáků je, že nedokáží získat potřebné informace ze zápisu a neumí si rozfázovat postup při rýsování trojúhelníka do jednotlivých kroků. Pokud by se naučili správně využít zápisu v podobě možnosti, jak postupovat při konstrukci, mohli by snadněji dojít ke správnému postupu rýsování a nedopouštěli by se chyb při samotném rýsování.
5.6 Konstrukce trojúhelníka a nástroje její kontroly V případě, že žáci jsou nuceni tvořit vlastní postup konstrukce trojúhelníka, již nemohou využít kontrolu v podobě konvenčního postupu. Domnívám se, že je třeba žákům poskytnout nový nástroj kontroly, abychom eliminovali vznik zbytečných chyb během rýsování trojúhelníka. Položila jsem si proto otázku, jaké alternativní nástroje kontroly je možno zavádět. Jak jsem uvedla v předchozí kapitole, žáci mohou využít pomoc zjednodušeného zápisu v geometrickém kódu, který nabízí jeden návrh jak řadit jednotlivé kroky postupu, či škrtání a podtrhávání použitých stran v zápisu geometrického kódu. Další možným nástrojem kontroly se, podle mého názoru, může stát zápis konstrukce, který používají při rýsování žáci 6.ročníku. Většina žáků výzkumného vzorku dosud neměla zautomatizovaný postup konstrukce trojúhelníka, a bylo pro ně tedy občas nesnadné zamýšlet se nad každým jednotlivým krokem konstrukce. Tento zápis by jim umožnil vytvořit samostatně logický postup konstrukce a symbolicky jej zapsat, pro kontrolu během rýsování jednotlivých kroků.
6. VÝVOJ POJMU TROJÚHELNÍKA VE ŠKOLNÍCH OSNOVÁCH Abych ve svém výzkumu postihla vývojové hledisko, zaměřila jsem se na studium vývoje znalostí a dovedností týkajících se trojúhelníka u žáků na prvním stupni základní školy. Je zde možné srovnat s pojetím znalostí žáků 1.stupně základní školy v metodice E.Malinové. a) Seznámení se s trojúhelníkem. Rozpoznávání geometrických tvarů (i trojúhelníka) v praktickém životě. Vizuální představa trojúhelníka jako celku. Dosud není zaveden pojem obecného trojúhelníka. Zápis je v obecné češtině (nikoli v geometrickém kódu) /odpovídá přibližně 1. a polovině 2.ročníku základní školy/ b) Seznámení se s trojrozměrným eukleidovským prostorem (označení E³) a relacemi (před, za, nad, vedle…). Postupný vývoj jde od modelování bodů, úseček, trojúhelníka k jeho rýsování/konstrukci. Zavádí se pojem obecného trojúhelníka. Postupně se rozvíjí symbolika zápisu. Seznámení se s úmluvou o označování geometrických objektů. Zavedení zápisu v geometrickém kódu (▲ABC: |AB|=x
- 17 -
cm, |AC|=y cm, |BC|=z cm a ▲ABC: a=x cm, b=y cm. c=z cm). / konec 2.ročníku, 3.ročník / c) Prohlubování znalostí o trojúhelníku. Postupné seznámení se s rovnostranným, rovnoramenným a pravoúhlým trojúhelníkem. Procvičování rýsování trojúhelníků. Seznámení se s faktem, že úmluva o symbolice se může měnit a postata pojmů se tím nemění. Přeorientování se od zafixované stranové orientace a abecední posloupnosti v označování trojúhelníka k libovolnému označení krajních bodů trojúhelníka. Seznámení se s osami a osovou souměrností základních geometrických objektů. / 2.polovina 4.ročníku / Ve vývoji znalostí v oblasti geometrie trojúhelníka nastává několik poměrně zásadních změn. První změnou je pojetí zápisu vlastností trojúhelníka (rozměrů a označení krajních bodů). V prvních dvou ročnících je zápis pouhým popisem vlastností v obecné češtině. Přibližně ve třetím ročníku je zaveden zápis v geometrickém kódu, který popisuje vlastnosti trojúhelníka a zároveň umožňuje žákům utřídit si informace a zvolit správný postup rýsování trojúhelníka. Další změnou je rozvolnění zafixovaných stranových orientací a abecední posloupnosti v označování stran trojúhelníka. Názvy stran trojúhelníka pak neusnadňují lokalizaci objektu na stránce a ztrácejí význam i jako pomoc v určování pořadí kroků v postupu konstrukce. Tato změna by však měla ve výuce nastat, teprve když mají všichni žáci zautomatizovaný postup rýsování trojúhelníka. Pokud zavede vyučující rozvolnění zafixovaných stranových orientací příliš brzy, žáci začnou chybovat i ve zdánlivě jednoduchých cvičeních, které dříve řešili bez problémů. (Viz Obrazový materiál v příloze.) Jak uvádí Malinová, žáci se ve 4. ročníku seznamují s relací shodnost (≅) u úhlů a trojúhelníků. Shodnost je Malinovou definována jako ekvivalence, tedy relace reflexivní, symetrická a tranzitivní, která rozkládá například množinu trojúhelníků na třídy objektů vzájemně shodných. Při vyvozování pojmu shodnost se Malinová opírá o tzv. pohybové axiomy shodnosti, které říkají, že dva útvary jsou shodné, pokud se po přemístění kryjí. Je nutné podotknout, že to platí v E², přemístění a pohyb v E³ však nejsou synonyma (Malinová,1981). Během mých hospitací v hodinách geometrie se vyučující shodnosti geometrických objektů ve výuce nevěnovala . Ve 4. ročníku se využívá topologických pojmů k vytvoření představy okolí bodu a hranice útvaru. Přičemž vyučující má podle Malinové vyžadovat na žácích chápání definice, nikoli znalost doslovného znění. (MALINOVÁ 1981) Dále jsem se věnovala náplni hodin geometrie na 2.stupni základních škol zejména rozšiřujícímu učivu o trojúhelnících. Získala jsem informace od vyučující a srovnala je s údaji v knize Odvárka a Kadlečka, která je věnována trojúhelníkům a dalším objektům (ODVÁRKO, KADLEČEK 1997). V 6. ročníku základní školy se žáci v hodinách geometrie blíže seznamují s trojúhelníky a jejich vnitřními a vnějšími úhly. Žáci se učí jak na základě znalosti velikosti dvou vnitřních úhlů trojúhelníka vypočítat úhel třetí /α + β + γ= 180˚/. Podrobněji se žáci věnují studiu rovnoramenného, rovnostranného a pravoúhlého trojúhelníka. Žáci se postupně věnují nové problematice, kterou zastupují postupně střední příčky trojúhelníka, trojúhelníková shodnost, těžnice a těžiště trojúhelníka a výšky trojúhelníka. Po zvládnutí výše uvedených témat se žáci věnují konstrukci trojúhelníka podle vět sss (konstrukce trojúhelníka při znalosti délek tří stran trojúhelníka), sus (konstrukce při znalosti délek dvou stran trojúhelníka a úhlu jimi sevřeného), usu (konstrukce při znalosti délky strany trojúhelníka a dvou úhlů k ní přilehlých), ssu (konstrukce při znalosti délek dvou stran trojúhelníka a úhlu proti delší ze stran). Při konstrukci trojúhelníka podle výše uvedených tří vět žáci tvoří zápis konstrukce trojúhelníka, který v sobě obsahuje jednotlivé
- 18 -
kroky konstrukce zapsané nejprve v obecné češtině a geometrickém kódu, později se dává přednost matematickým značkám. Zápis konstrukce může mít následující podobu: 1) úsečka TU; TU= v = x cm; 2) kružnice k; k (T; y cm); 3) kružnice l; l (U; z cm); 4) bod V; V ∈ k ∩ l; 5) Δ TUV (KOL.AUTORŮ 1998, s. 56 ). Poučení o trojúhelnících končí v 6. ročníku základní školy rýsováním kružnic trojúhelníku opsaných a vepsaných (ROSECKÁ, RŮŽIČKA 1997). Domnívám se, že aby si mohli žáci osvojit navazující učivo o trojúhelníku na 2. stupni základní školy (viz výše), je třeba, aby dosáhli určité úrovně dovedností a znalostí v oblasti rýsování trojúhelníka v ročnících předchozích (zejména ve 4. ročníku) (ODVÁRKO, KADLEČEK 1997).
7. MYŠLENÍ ŽÁKŮ PŘI ŘEŠENÍ GEOEMTRICKÝCH ÚKOLŮ VE VÝVOJOVÉ TEORII JEANA PIAGETA Při studiu úvah a myšlenek žáků během řešení geometrických úkolů týkajících se trojúhelníků, jsem hledala pomoc v relevantní literatuře. Jean Piaget ve své práci rozvíjí teorii, že logicko-matematické operace, jako je třídění, řazení a počítání s předměty, se objevují u dětí ve věku 7 (8)-11 let. Toto období vývoje dítěte Piaget označuje jako stadium konkrétních operací. V rámci stadia konkrétních operací dochází ke grupování logicko matematických a prostorově-časových operací. Zmíněné grupování však netvoří formální logiku aplikovatelnou na všechny pojmy a úsudky. Jak uvádí Piaget, konkrétní operace jsou zcela vázány na činnost, kterou strukturují, neumožňují konstruovat logickou úvahu nezávisle na činnosti. (PIAGET 1966). Matematická dedukce a formální logika zůstávají dítěti do jedenácti let v podstatě nedostupné. Teprve ve věku 11-12 let je dítě schopno usuzovat hypoteticko-deduktivně a uvažovat o předpokladech, které nemusí nutně souviset se skutečností. ,,Konkrétní operace směřují k formálním tehdy, když začnou mezi sebou kombinovat výroky, které je vyjadřují, a tak se odrážet v obecnější soustavy (PIAGET 1966, s.132)“. Myslím, že mnou provedený výzkum potvrzuje, že žáci ve věku 9-10 let (4.třída) ovládají pouze konkrétní operace. Z mého pozorování bylo patrné, že žáci nejsou schopni dospět k operacím určitého typu, pokud přestanou manipulovat s předměty. Nedokáží vytvořit univerzálně použitelný postup konstrukce trojúhelníka a následně ho aplikovat na rozličné situace. (Viz Schopnost použití vlastního postupu konstrukce trojúhelníka.) Myslím, že mnou provedený výzkum potvrzuje, že žáci ve věku 9-10 let (4.třída) ovládají pouze konkrétní operace. Z mého pozorování bylo patrné, že žáci nejsou schopni dospět k operacím určitého typu, pokud přestanou manipulovat s předměty. Nedokáží vytvořit univerzálně použitelný postup konstrukce trojúhelníka a následně ho aplikovat na rozličné situace. Někteří ze žáků, které jsem sledovala při rýsování trojúhelníka, chápali, že zápis funguje jako návrh na postup konstrukce trojúhelníka, který jim může pomoci trojúhelníka narýsovat správně, ale v praxi tuto vědomost nevyužívali. Vzhledem k výsledkům mého výzkumu mne zajímal posun v úvahách nad konstrukcí trojúhelníka a vztahu k operacím u 11-12 letých žáků 6.tříd základních škol. Domnívám se, že žáci 4.ročníků ZŠ nemají, oproti žákům 6.ročníků, vytvořený koncept postupu konstrukce trojúhelníka a nejsou schopni postup sestavit v rozličných situacích. Tento jev si vysvětluji si tak, že až ve věku 11-12 let začínají žáci hypoteticky
- 19 -
uvažovat o možnostech využití postupu konstrukce na různé často velmi odlišné případy (nezávisle na praktické manipulaci s geometrickými objekty).
Vývojový psycholog Jean Piaget ve své knize, věnované pojetí prostoru u dětí, rozlišuje mezi topologickým, projektivním a eukleidovským prostorem. Fundamentální ideje prostoru opírající se o eukleidovský koncept (přímky, úhly, kruhy, čtverce, trojúhelníky atd.) jsou podle tohoto autora odvozeny od vizuální a taktilní percepce. Abstraktní geometrické analýzy však poukazují nato, že fundamentální koncepty prostoru u dětí nejsou eukleidovské, ale topologické (koncept blízkosti a oddělenosti, řádu a uzavřenosti) (PIAGET 1967). Myslím, že je vhodné, abych zde uvedla tři stadia Piagetovy teorie o vnímání prostoru u dětí.V prvním stadiu, ve věku 2-4 let, děti, podle autora rozpoznávají uzavřené kruhové tvary, které jsou založené na jednoduchých topologických relacích (otevřenost, ohraničenost, oddělenost, blízkost atd.). Ve věku 4-7 let (druhé stadium) děti rozpoznávají eukleidovské tvary, respektive rozlišují křivky a rovné linie, úhly různých velikostí, souměrné či nesouměrné části figury atd. Propojení pojetí tvarů s koordinovanými akcemi se v úvahách žáků objevuje až ve třetím stadiu, které trvá zhruba od 7(8) do 11(12) let věku. Piaget tvrdí, že pro první stadium jsou charakteristické topologické vztahy, pro druhé metrické a projektivní vztahy a pro poslední třetí stadium overall vztahy, které postihují přemisťování objektu vzhledem k ostatním objektům (PIAGET 1967, s.100-125). Myslím, že mohu souhlasit s jeho tezí, že všechny úrovně konstrukčního procesu začínají vždy topologickými vztahy, ke kterým se později přičlení vztahy eukleidovské (PIAGET 1967). K primitivní organizaci projektivního a eukleidovského prostoru dochází prý až tehdy, když je dítě schopno tvořit a používat určité primitivní topologické vztahy. Objektivní záležitostí topologie není délka, úhel nebo rovnost, ale propojenost nebo ohraničenost (PIAGET 1967). Myslím, že pro tyto teze svědčí i fakt, jakým způsobem si žáci osvojují znalosti a dovednosti v oblasti geometrie na základní škole. Zároveň se domnívám, že průzkum rozvoje prostorových konceptů u dětí je důležitý k posouzení bezprostředních praktických aplikací.
8. ZÁVĚR Výzkum, který jsem uskutečnila ve 4. ročníku základní školy v Praze rámci klinického semináře školní psychologie byl zaměřen na gramotnost žáků základních škol v oblasti geometrie trojúhelníka. V hodinách geometrie, kdy jsem pozorovala výzkumný vzorek žáků při práci na geometrických úkolech zaměřených na rýsování trojúhelníka jsem objevila dva odlišné způsoby čtení zápisu v geometrickém kódu. Žáci mohou číst zápis v geometrickém kódu, jako informace o vlastnostech trojúhelníka, a také jako návrh na možný postup rýsování. Jednotliví žáci používali při rýsování trojúhelníka různé strategie a dělali ve svých pracích rozličné typy chyb. Většina žáků výzkumného vzorku dosud nebyla schopna vytvořit a použít vlastní postup konstrukce Osvojení si těchto dvou odlišných způsobů výkladu zápisu v geometrickém kódu, jsou podle mého názoru, velmi důležité pro rozvoj schopnosti žáků vytvořit a použít vlastní postup rýsování trojúhelníka. Aby byli žáci schopni flexibilně vytvářet a realizovat postupy konstrukce, potřebují nástroje kontroly správnosti volby postupu i průběhu rýsování. Mimo čtení zápisu jako možnosti postupu konstrukce, se podle mého názoru, může stát alternativním nástrojem i zápis konstrukce, který používají při rýsování žáci 6.ročníku. Myslím si, že by se dovednost
- 20 -
tvořit zápis konstrukce mohla rozvíjet již u žáků 4. tříd, pokud by jí byli schopni účinně používat v praxi a snížit chybovost. Myslím, že výzkum dalších možných nástrojů pro snazší tvorbu správného postupu konstrukce a kontrolu nad chybami při rýsování, by uvítali nejen sami žáci, ale také vyučující. Žáci by získali nejen nástroje ke kontrole, ale i k hodnocení vlastních výkonů v geometrii. Domnívám se, že pro dobré osvojení vědomostí a činností v jakékoli oblasti je schopnost hodnotit sebe sama velmi důležitá.
- 21 -
9. LITERATURA HERMAN, J.; CHRÁPAVÁ, V.; JANČOVIČOVÁ, E.; ŠIMŠA, J. Matematika. Opakování z obecné školy. Praha : Prometheus 1995. KÁROVÁ, V. Matematika pro 4.ročník ZŠ-učebnice. Praha : Scientia 1999. KOLEKTIV AUTORŮ Matematika pro žáky 6. třídy 2. díl. Praha : SPN 1998. MALINOVÁ, E. Teorie vyučování matematice 1.- 4.ročník ZŠ II.Metodika geometrie. Praha: Scientia 1981. ODVÁRKO,O.; KADLEČEK, J. Trojúhelníky, rovnoběžníky, hranoly. Pracovní sešit. Praha: Prometheus 1997. PIAGET, J. Psychologie inteligence. Praha : SPN 1966. PIAGET, J. The Child΄s conception of space. New York : Norton & company 1967. PŘÍHODA, V. Ontogeneze lidské psychiky I.. Praha : SPN 1971. ROSECKÁ, Z.; RŮŽIČKA, J. Geometrie. Učebnice pro 6.ročník základních škol. Brno : Nová škola 1997.
- 22 -
10. PŘÍLOHY 10.1 Pozorování vyučovacích hodin matematiky 10.1.1 Vyučovací hodina matematiky 11.3.2003, třída 4.B Žáci si připravují pomůcky na rýsování a U. jim mezi tím říká, jakým způsobem budou rýsovat trojúhelník pomocí pravítka a kružítka. /U. zadává příklad: Narýsujte trojúhelník ABC, strana │AB│= 5 cm, │AC│= 3 cm, │BC│= 4cm./ V učebnici je trojúhelník předkreslen. Učitelka vyzve Michala, aby narýsoval základnu AB. Michal kreslí a popisuje krajní body úsečky zprava doleva.Učitelka mu vysvětluje, že by takto získali trojúhelník zrcadlově obrácený od trojúhelníku v učebnici. Michal svůj rys opravuje. U. problematickou věc ještě jednou vysvětluje, žáci tvrdí, že tomu rozumí. (U. se domnívá, že Michal popisuje krajní body úsečky zprava doleva, protože si neuvědomuje, že je musí popisovat ze stejné strany jako píše. S tímto názorem se zcela neztotožňuji.) Bára kreslí část kružnice s počátkem v bodě A o poloměru 3 cm. Učitelka vysvětluje, že tímto způsobem vznikne základ bodu C., a ptá se, co bude následovat. Lukáš odpovídá, že rýsování druhé kružnice v bodě B, rýsuje jí na tabuli. U. ho chválí. U. se ptá žáků, co vzniklo po narýsování dvou kružnic.(U. tvrdí, že tuto látku již brali) Žáci si nemohou vzpomenout na výraz průsečík. Dále Lukáš spojuje průsečík C s body A a B. Michal upozorňuje učitelku, že nechápe řešení zadaného úkolu. U.proto znovu vysvětluje pro Michala postup rýsování trojúhelníka po krocích. Michal v sešitě trojúhelník překreslí, ale nedodrží délky stran, takže mu velikost▲ nevychází. Na závěr hodiny učitelka diktuje domácí úkol na procvičení rýsování.
10.1.2 Vyučovací hodina matematiky 12.3.2003, třída 4.B Po úvodní desetiminutovce násobení třída věnuje geometrii. U. navazuje na minulou hodinu v níž rýsovali trojúhelník. U. zadává příklad (cv.2/25): /Rýsujeme trojúhelník KLM, │KL│=5 cm, │KM│=4 cm, │LM│= 4 cm./ Žáci začínají náčrtkem trojúhelníku. Viktor nechápe rozdíl mezi náčrtkem a rýsováním, i přesto, že mu rozdíl U. opakuje po několikáté. Viktor stále v první fázi práce na příkladu rýsuje trojúhelník s pomocí pravítka a ve druhé ho kreslí „od ruky“. Eliška si plete úsečky trojúhelníku. Při kreslení náčrtku i rýsování trojúhelníka v prvním kroku rýsuje stranu KM. U. pro všechny znovu opakuje, že zpravidla začínáme rys úsečkou, jejíž krajní body jsou označeny písmeny, které jdou v abecedě za sebou. Tedy u trojúhelníku KLM začínáme základnou KL. Eliška svou práci opraví. Viktor kreslí u stejného příkladu dvě rovnoběžné úsečky: KL a KM. (Není jisté, zda U. provokuje, nebo opravdu nechápe co je ▲.) Po opravení má jeho trojúhelník odlišné délky stran od zadání. Viktor jako v minulé hodině zaměňuje náčrtek a rys, Jan v příkladu kreslí náčrtek .V prvním kroku nakreslí stranu MK tak, že kreslí i popisuje krajní body zprava doleva, její délka se neshoduje s údajem v zadání. (Strana KM má v zadání příkladu délku 4 cm, Jan napíše do náčrtku 5 cm.) Poté co U. Jana upozornila na jeho chyby, narýsoval základnu trojúhelníka podle konvencí, ale délky stran úseček KL a KM opět zaměnil. /viz sešit cv.2/25 ze dne 12.3 / Jan má občas problémy s nastavením poloměru na kružítku. (Podotýkám, že práce s kružítkem dělá problémy více dětem.) U. se ptá, v čem se liší trojúhelník ABC, z příkladu z minulé hodiny od trojúhelníka KLM, který narýsovaly teď. Žáci se překřikují, že v písmenkách, že je jeden větší atd.. U.
- 23 -
upozorňuje, že měla na mysli něco jiného. Ukazuje, že u ▲ KLM jsou 2 strany stejně dlouhé. Žádný žák třídy si shodných délek stran trojúhelníka nevšiml. Žáci se učí nový pojem: rovnoramenný trojúhelník. U. chce po žácích, aby uváděli délky dalších ▲, které by byly také rovnoramenné. Žáci přesně nechápou co se od nich očekává. U.vysvětluje, že délky KL a LM ▲KLM měří 4cm a jsou tedy shodné. Těmto stranám ▲ se říká ramena a trojúhelník se podle nich nazývá rovnoramenný. Na základě modelových příkladů získají žáci povědomí o rovnostranném trojúhelníku. Na nový dotaz U. po rozměrech rovnoramenného▲,Michal uvede délky: 6cm, 5cm ,5cm. Žáci vykřikují délky stran. U. dává žákům za úkol narýsovat trojúhelník ABC podle Michalova zadání. U. na trojúhelníku ABC vysvětluje, že je možno používat 2 typy zápisu délek stran trojúhelníka: ▲ABC: |AB|=x cm, |AC|=y cm, |BC|=z cm a b) ▲ABC: a=x cm, b=y cm. c=z cm. Popisuje trojúhelník, který mezitím žáci nakreslili na tabuli a upozorňuje je, že strana s názvem a, leží proti vrcholu A, b, proti vrcholu B a c proti vrcholu C. Viktor stále nechápe rozdíl mezi náčrtkem a rysem a zaměňuje je. U.přistupuje k dalšímu příkladu.(cv.3/25), v němž je úkolem narýsovat ▲NPO, jehož strany mají stejnou délku jako strany ▲XYZ: XZ= 4,5cm, XY=2,5cm, YZ=3,5cm, který je na obrázku v učebnici.(Obr. č.1) Žáci nemají s rýsování zadaného trojúhelníka NOP větší potíže. Závěr hodiny. Obr.č.1:
X
Z
Y
10.1.3 Vyučovací hodina matematiky 18.3.2003, třída 4.B Třída 4.B je spojena s 4.A (nemoc třídní učitelky). Obě skupiny procvičovaly rýsování trojúhelníka rovnoramenného. Dále vypracovávali cvičení, ve kterém se měli rozhodovat, zda lze sestrojit trojúhelník se zadanými rozměry. Trojúhelníková nerovnost byla náplní předchozí hodiny. Dále se U. věnovala nové látce: rýsování pravých úhlů, tedy rýsování přímek na sebe kolmých. U. zadává příklad z učebnice: narýsujte pravý úhel. U. narýsuje přímku a. Jirka jde k tabuli a rýsuje přímku a, poté se U. ptá co bude dál. Třída odpovídá přímka b. Jirka vezme pravítku s ryskou a narýsuje přímku b kolmou na přímku a . Neumí dobře rýsovat s pomocí rysky a přímku musí narýsovat znovu.U. vybízí Jana: Najdi pravý úhel a vyznač ho. Jan zakresluje značku pravého úhlu. Eliška ukazuje pravý úhel v prvním kvadrantu. I ostatní žáci nalézají různé pravé úhly v kvadrantech, na které vydělují prostorově přímky a,b. U. dává za úkol vyznačit na obrázcích v sešitech pravé úhly. Filip.(4.A) s Janem vybarvili nesprávně, ještě než učitelka domluvila, pravý úhel pastelkou. U. proto zavolala k tabuli Lukáše II. (4.A), aby vybarvil libovolný pravý úhel mezi přímkami a,b . Lukáš II. vybarví jen značku pravého úhlu (stejně jako Filip a Jan, viz obrázek č.2) I další žáci v sešitě vyznačovali jen obrys značky pravého úhlu, někteří označovali celé přímky. U. proto děti upozorňuje: do pravého úhlu přece nepatří jen jeho značka, ale část obou přímek (tedy polopřímky a, b ) a celý prostor, který vymezují.
- 24 -
Obr.č.2:
a
b
U. žádá, aby žáci ukázali ramena pravého úhlu. Jirka ukazuje ramena na těle: „Tohle“. Lukáš II.vyznačuje jen obě přímky a,b. Eliška jde k tabuli a ukáže obě ramena pravého úhlu. U.: „Výborně, alespoň někdo není zablokovaný.“ U. znovu opakuje pro celou třídu, co je pravý úhel a jak se značí. U. přistupuje k cvičení: Žáci dostávají čtverec z papíru, mají k sobě přiložit dva protistojné vrcholy, papír přeložit a přestřihnout. Na obou vzniklých trojúhelnících mají vyznačit pravé úhly. Toto cvičení nedělá žákům potíže. U. se ptá: „Kolik pravých úhlů může být v jednom trojúhelníku?“ . Žáci téměř sborově odpovídají: „Jeden“. V dalším cvičení žáci rýsují čtverec ABCD. Poté mají vytvořit 2 trojúhelníky ABC a ACD a zjistit v kterém vrcholu mají pravý úhel. S rýsováním a ni s označováním vrcholů nemají žáci větší problémy. Jen Michal rozdělí čtverec na ▲ABD a ▲BCD, takže označuje jiné vrcholy pravých úhlů než spolužáci a nechápe, kde udělal chybu. Na dalším cvičení v učebnici pracují žáci samostatně. Na obrázcích trojúhelníků mají hledat pravé úhly. Po dokončení cvičení je U. seznamuje s pravoúhlými trojúhelníky. Závěrečné cvičení v hodině je následující, žáci mají narýsovat několik dvojic přímek na sebe kolmých, poté je dokreslit v trojúhelníka různé velikosti a vyznačit u nich pravý úhel. U. zadává domácí úkol- příklad z učebnice č.5/34 na rýsování pravoúhlého trojúhelníka.
10.1.4 Vyučovací hodina matematiky 25.3.2003, třída 4.B Pozn. Ve třídě jsou na nástěnce rozprostřeny různé trojúhelníky: rovnoramenné rovnostranné a pravoúhlé, pro zlepšení zrakové diferenciace typů trojúhelníka. U. hned v úvodu hodiny žáky napomíná: „ Co se to s vámi stalo, rozjel se opět starý způsob práce? Dnes vůbec neposloucháte a jste nepozorní.“ U. nejprve zkontroluje domácí úkoly. Žáci měli rýsovat rovnoramenný trojúhelník. Žáci postupně ukazují své výtvory a délky jejich stran. Poté již přistupuje k novému tématu, kterým je rýsování os. cv.učebnice str.38: U. : „Budeme rýsovat po jednotlivých krocích osy, bude to jednoduché.. Nejprve se dívají a ukazují v učebnici úsečku KM, její střed S, a kolmici v bodě S- o.Stejnou úsečku a osu pak rýsují po jednotlivých krocích do sešitu, spolu s U. žáci rýsují jednotlivé kroky také na tabuli. Simona rýsuje úsečku KM. Jirka jde rýsovat druhý krok.U. se ptá: „Co budeš kreslit?“ Jirka odpovídá: „S“. Katka vede bodem S kolmici s pomocí pravítka a označí jí o, přesně podle pokynů. U.: „ Tohle nám jde, teď se naučíme něco nového. Báro jdi na ose o nakreslit libovolně body N, L, P, R a vy v sešitech také. Dobře. Kristýno ty spoj NK a MN“ Obě dívky narýsují co jim učitelka určila. U. žáky vybízí, aby změřili délku KN a MN a všichni pracují v sešitech . Učitelka vysvětluje, že žákům vyšly různé délky, jelikož volili různé rozložení bodů na ose, ale délky KN a MN musí být shodné. U. se ptá, co na obrázku žáci vidí.(Obr.č.3 níže) Žáci odpovídají, že trojúhelníky.U. se ptá, co pozorují na vzdálenostech bodů K, M od osy, a Bodů na ose od bodů K, N. Žáci nevidí nic jiného než trojúhelníky, nejsou schopni zrakové diferenciace jiných objektů a jejich
- 25 -
vzdáleností. U. chce slyšet, že osa o je osou všech rovnoramenných trojúhelníků se základnou KM. U. zkusí to samé ještě s bodem R, na ose, ale nepomůže to. Proto U. rozhodne, že toho pro dnešek nechají a budou se věnovat jiné věci. Příklad U.: „Rýsujeme úsečku AB, libovolnou, bez mluvení.jelikož rýsování s pomocí pravítka s ryskou není přesné, naučíme se osy rýsovat s pomocí kružítka.Vezmeme do kružítka vzdálenost, která musí být vetší než ½ úsečky a opíšeme část kružnice v bodě A dole i nahoře pak to samé s B.Body označíme U a X. Poté provedeme body UX přímku a vznikla nám osa o, průsečík osy o a úsečky AB označíme S“ (viz Obr.č.4 níže) Poté mají žáci za úkol změřit vzdálenost AS a BS. U. se ptá žáků jaké změřili délky. Všem žákům vyšlo |AS|=|BS|. U. chválí dobrou práci. U.: „Pokud je někde pravý úhel označte ho.“ Žáci plní úkol do sešitu. Jediná žačka, která má problémy s rýsováním os úseček je Kristýna. Její osy mají sklon doleva. (viz Materiály v příloze) Na závěr hodiny zadává U. domácí úkol: rýsování os 3 úseček s pomocí kružítka. o Obr.č.4: Obr.č.3: U
K L
S
K
M
A
B S
R
X
P
10.1.5 Vyučovací hodina matematiky 8.4.2003, třída 4.B Náplní hodiny jsou útvary souměrné podle osy. U.: „Abychom mohli posuzovat útvary souměrné podle osy, musíme nejprve vytvořit osu.My to budeme dělat tak, že útvary budeme vystřihovat z papíru a překládat, tak že vznikne 1 či více os.“ Žáci vystřihují různé útvary z papíru a přehýbají je. Poté co se U. přesvědčí, že to všichni ovládají, přistoupí k rýsování os. U. „ Osu si musíme pojmenovat, například o jako v minulé hodině geometrie. Žáci pracují s učebnicí hledají útvary osově souměrné a počítají osy souměrnosti. Pak v sešitě přeloží jednu stránku. Mají nakreslit obdélník o stranách 3a 4cm.(viz Obr. č.5 níže) Přičemž část osy má být jednou stranou. Pak žáci překládají papír ještě jednou, a vytvoří kříž ze dvou os.Poté žáci rýsují na stránku čtverec o libovolné délce stran. U. se ptá: „Kolik má čtverec os souměrnosti?“ Lukáš II.: „ 4osy“. Bára: „ ne jsou jen dvě.“ U. Báru chválí. Jelikož pracují žáci velmi pomalu, až do konce hodiny rozhodují, která velká tiskací písmena abecedy jsou osově souměrná. (př.: A, B, L, K, C, G atd.) Závěr hodiny.
- 26 -
Obr.č.5:
- 27 -
10.2 Obrazový materiál
- 28 -
- 29 -
- 30 -
- 31 -
- 32 -
- 33 -
- 34 -
- 35 -
- 36 -
