Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie. Násobení a dělení ve třetí a čtvrté třídě

Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie

Násobení a dělení ve třetí a čtvrté třídě

Veronika Purková Psychologie - speciální pedagogika 3. ročník – 2005/2006

OBSAH Úvod ........................................................................................................................................... 6 1.NÁSOBENÍ............................................................................................................................. 7 1.1 Kategorizace chyb v jednotlivých typech příkladů a jejich analýzy ................... 7 1.1.1 Malá násobilka.................................................................................................. 7 Chyby............................................................................................................................. 7 Záměna triády v rámci násobkové řady .................................................................... 7 Chyba o násobek .................................................................................................... 7 Šiftová pravidla ............................................................................................................ 7 Bonus:............................................................................................................................ 7 1.1.2 Násobení většími čísly ...................................................................................... 8 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100......................................................................... 8 Chyby............................................................................................................................. 8 Chybný výpočet ............................................................................................................ 8 Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) .................................................... 8 Záměna triád v rámci násobkové řady ................................................................... 8 a) chyba o násobek ............................................................................................. 8 b) jiné číslo násobkové řady (více než násobek) ................................................ 9 c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru................................ 9 Šiftová pravidla ...................................................................................................... 9 Zapomenutí nějakého kroku ....................................................................................... 9 Napsat správná čísla na správná místa ...................................................................... 9 Jiné................................................................................................................................. 9 Konkrétní ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku....... 9 2) násobení č. pod 10 a č. nad 100 ............................................................................. 10 Chyby........................................................................................................................... 10 Chybný výpočet .......................................................................................................... 10 Záměna triády v rámci násobkové řady ............................................................... 10 Chyba o násobek .............................................................................................. 10 Špatné připočtení.................................................................................................. 10 Jiné............................................................................................................................... 10 Konkrétní ukázky vzniku chyby............................................................................... 10 Ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku ....................... 12 Bonus ........................................................................................................................... 12 1.1.3 Písemné násobení............................................................................................ 13 1) druhý činitel je jednociferné číslo........................................................................ 13 Chyby........................................................................................................................... 13 Chybný výpočet .......................................................................................................... 13 Chybná triáda ....................................................................................................... 13 Záměna triád v rámci násobkové řady ................................................................. 13 a) chyba o násobek ........................................................................................... 13 b) jiné číslo násobkové řady............................................................................. 13 c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru.............................. 14 Záměna aditivní a multiplikativní triády.............................................................. 14 Šiftová pravidla .................................................................................................... 14 Interference s číslem z předchozího výpočtu ........................................................... 15 Chyby na vizuálním podkladě................................................................................... 15 Nepřipočtení desítek................................................................................................... 15

2

Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit)......................................................................................................................... 15 Desítky navíc/méně desítek (?) ............................................................................ 15 Přičtení desítek některého z předchozích výpočtů (?)......................................... 16 Přičtení jednotek místo desítek (?) ....................................................................... 16 Napsat správná čísla na správná místa .................................................................... 16 Jiné............................................................................................................................... 16 Konkrétní ukázky vzniku chyby............................................................................... 17 Konkrétní ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku..... 19 2) druhý činitel je dvouciferné číslo.......................................................................... 21 Chybný výpočet .......................................................................................................... 21 Chybná triáda ....................................................................................................... 21 Záměna triád v rámci násobkové řady ................................................................. 22 a) chyba o násobek ........................................................................................... 22 b) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru ............................. 22 Záměna aditivní a multiplikativní triády.............................................................. 23 Šiftová pravidla .................................................................................................... 23 Chyby na vizuálním podkladě................................................................................... 24 Nepřipočtení desítek................................................................................................... 24 Odečítání desítek ........................................................................................................ 24 Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné dopočítání .................................... 25 Desítky navíc/míně desítek(?).............................................................................. 25 Připočtení desítek některého z předchozích výpočtů (?)...................................... 25 Připočtení jednotek místo desítek (?) ................................................................... 25 Napsat správná čísla na správná místa .................................................................... 25 Špatně napsané pod sebou......................................................................................... 26 Špatné sečtení dílčích součinů ................................................................................... 26 Jiné............................................................................................................................... 27 1.2 Celková analýza chyb............................................................................................. 27 1.2.1 Existují náročnější typy příkladů? ............................................................... 27 1.2.2 Dají se určit chyby, které se opakují napříč příklady, a chyby specifické pro určitý typ příkladu? ................................................................................................ 30 1.2.3 Je rozdíl v závažnosti chyb? .......................................................................... 32 1.2.4 Triády .............................................................................................................. 34 1.2.5 Kategorie „Jiné“ ............................................................................................. 37 Skládání čísel........................................................................................................ 37 Vytratí se nějaký řád ............................................................................................ 37 Sčítány jednotky a desítky.................................................................................... 38 „Specifická specifika“ .......................................................................................... 39 1.3 Shrnutí..................................................................................................................... 39 2.DĚLENÍ ................................................................................................................................ 41 2.1. Kategorizace chyb v jednotlivých typech příkladů a jejich analýzy ................. 41 2.1.1 Dělení I (malá násobilka)............................................................................... 41 Chyby........................................................................................................................... 41 Chybný výpočet .......................................................................................................... 41 Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku ................................................... 41 Záměna triád v rámci násobkové řady ................................................................. 41 Chyba o násobek .............................................................................................. 41 Napsat správná čísla na správná místa .................................................................... 41 Použito špatné číslo z triády................................................................................. 41

3

Použité špatné operace............................................................................................... 41 2.1.2 Dělení II (na základě malé násobilky) .......................................................... 41 Chyby........................................................................................................................... 42 Chybný výpočet .......................................................................................................... 42 Záměna triád v rámci násobkové řady ................................................................. 42 jiné číslo násobkové řady (více než násobek)................................................... 42 Napsat správná čísla na správná místa .................................................................... 42 Nedopsání nuly..................................................................................................... 42 Nula navíc ............................................................................................................ 42 Použito špatné číslo z triády................................................................................ 42 Jiné............................................................................................................................... 42 Konkrétní ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku..... 42 Konkrétní ukázky vzniku chyby............................................................................... 42 2.1.3 Dělení III (velká násobilka) ........................................................................... 43 Chyby........................................................................................................................... 44 Použité špatné operace............................................................................................... 44 Konkrétní ukázky vzniku chyby............................................................................... 44 Konkrétní ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku..... 44 2.1.4 Dělení větších čísel .......................................................................................... 45 Konkrétní ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku..... 45 2.1.5 Dělení se zbytkem (menší čísla)..................................................................... 45 Chyby........................................................................................................................... 45 Chybný výpočet .......................................................................................................... 45 Místo nejbližšího menšího čísla si řeknou nejbližší větší .................................... 45 Místo nejbližšího menšího čísla dělitelného potřebným dělitelem určeno nejbližší číslo z malé násobilky .......................................................................................... 46 Záměna aditivní a multiplikativni triády............................................................. 46 Chybná triáda/špatné dopočítání.............................................................................. 46 Chybná triáda ....................................................................................................... 46 Záměna triád v rámci násobkové řady ................................................................. 46 a) chyba o násobek ........................................................................................... 46 b) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru.......................... 46 Špatné dopočítání zbytku ..................................................................................... 46 Napsat správná čísla na správná místa .................................................................... 46 Dělitel je větší než dělenec ......................................................................................... 47 Konkrétní ukázky vzniku chyby............................................................................... 47 2.l.6 Písemné dělení ................................................................................................ 47 Chyby........................................................................................................................... 48 Chybný výpočet .......................................................................................................... 48 Šiftová pravidla .................................................................................................... 48 Záměna triád v rámci násobkové řady ................................................................. 48 Chyba o násobek .............................................................................................. 48 Chybně dopočítaný dílčí zbytek ........................................................................... 48 Chyby na vizuálním podkladě................................................................................... 49 2.1.7 Písemné dělení se zbytkem ............................................................................ 49 Chyby........................................................................................................................... 49 Chybný výpočet .......................................................................................................... 49 Chybná triáda ....................................................................................................... 49 Záměna triád v rámci násobkové řady ................................................................. 50 Šiftová pravidla .................................................................................................... 50

4

Špatné dopočítání zbytku ..................................................................................... 50 Špatně dopočítaný dílčí zbytek ............................................................................ 50 Interference s číslem z předchozího výpočtu ........................................................... 51 Napsat správná čísla na správná místa .................................................................... 51 Chyby na vizuálním podkladě................................................................................... 51 Dělenec menší než dělitel ........................................................................................... 51 Jiné............................................................................................................................... 52 2.2 Celková analýza chyb............................................................................................. 52 2.2.1 Existují náročnější typy příkladů? ............................................................... 52 2.2.2 Dají se určit chyby, které se opakují napříč příklady, a chyby specifické pro určitý typ příkladu? ................................................................................................ 55 2.2.3 Je rozdíl v závažnosti chyb? .......................................................................... 56 2.2.4 Triády .............................................................................................................. 60 2.2.5 Kategorie „Jiné“ ............................................................................................. 61 Kvazikomunikace dělení............................................................................................ 61 Ostatní ......................................................................................................................... 61 2.3 Shrnutí..................................................................................................................... 61 3.SROVNÁNÍ: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ................................................................................. 62 Četnost jednotlivých druhů chyb.......................................................................... 62 3.1 3.2 Triády ...................................................................................................................... 63 3.3 Písemné a pamětné počítání .................................................................................. 64 4. ZÁVĚR ............................................................................................................................. 68 Příloha 1 .............................................................................................................................. 71 Chyby v jednotlivých typech příkladů neuvedené v textu.............................................. 71

5

ÚVOD Tato práce vznikala velmi dlouho. Její počátky spadají do počátku března 2005 a konec do počátku února letošního roku (tj. 2007). Opírá se 17 návštěv vyučování- hodin matematiky- od března 2005 do června 2006 a analýzu písemných materiálů (písemek, sešitů). Zvolila jsem způsob analýzy chyb, které děti dělaly v různých typech příkladů. Proto první, nejrozsáhlejší část, tvoří přehled těchto chyb (příkladů) a jejich podrobná kategorizace. Příklady v této práci použité mají různé zdroje: - Příklady v rámci počítání ve škole: jedná se o příklady v rámci procvičování ve škole, kde paní učitelka vyvolávala jednotlivé děti z lavice. Nejedná se tedy o písemné počítání. V následujícím přehledu nejsou označeny řádnou zkratkou. - Příklady, které děti zpracovávaly samostatně při hodině (označení PI) - Příklady ze školních sešitů: jedná se o analýzu písemného materiálu. Použila jsem ty příklady, které děti dělaly samostatně a paní učitelka potom sešity vybrala a zkontrolovala (poznávacím znamením byly zásahy červenou propiskou a podpis učitelky). V následujícím přehledu je u těchto příkladů napsáno „sešit“. - Příklady z písemky (označení PIS I- písemka 20.4.2005) Co se týče data, ze kterého příklad pochází- není-li uvedeno jinak, jedná se o rok 2005. V práci se objevují také další zkratky: diktafon: můj rozhovor s dítětem nahrávaný na diktafon (tedy „počítání z hlavy“) MR: úvahy a analýzy, jejichž autorem je PhDr. Miroslav Rendl, CSc. U: paní učitelka U některých příkladů připadá v úvahu více možností etiologie chyby, proto se objevují u více než jedné kategorie. Místo chyby je pro přehlednost ztučněné, každá chyba je popsaná a okomentovaná mnou či PhDr. Rendlem, CSc. Někde uvádím oba komentáře. U každého typu příkladu uvádím výčet toho, co je pro správné vypočítání třeba udělat. Mnoho dílčích kroků, které jsou pro vypočítání příkladu nezbytné, si totiž člověk, který již počítat umí (tedy dospělý), ani neuvědomuje. Přeji příjemné počtení!!!

6

1. NÁSOBENÍ 1.1 Kategorizace chyb v jednotlivých typech příkladů a jejich analýzy Jelikož veškeré úvahy vycházejí z analýzy chyb v počítání, věnuji první kapitolu právě chybám, a sice jejich kategorizaci (pro každý typ příkladu zvlášť). Úvahám a hypotézám je věnována kapitola následující.

1.1.1 Malá násobilka Ukázek příkladů na malou násobilku mám vskutku velmi málo. A to z důvodu toho, že ve třetí a čtvrté třídě je malá násobilka jako taková již probraná a vyskytuje se jen jako součást příkladů složitějších (viz dále). Co všechno obnáší správné vypočítání příkladu na malou násobilku? o vytvořit správné triády (vysvětlení viz dále) o vybavit si správnou triádu o napsat správné číslo triády jako výsledek Z výše uvedeného plyne, že důležitým pojmem pro počítání příkladů na malou násobilku jsou „triády“. Předem nutno uvést, že se jedná o pojem (hypotézu), jehož autorem je PhDr. Miroslav Rendl, CSc. Co pojem „triáda“ znamená? Děti si malou násobilku osvojují tím, že si vytvoří triády, tzn. trojici čísel, které k sobě „patří“ (př. 6,7,42). Neznamená to ale, že se jedná o čistě paměťové osvojení- triády nejsou tak zcela odděleny od činnosti s čísly (Rendl). Nutno ještě říci, že jsem „triády“ od PhDr. Rendla, CSc. jen slepě nepřevzala, ale na základě svých poznatků se s nimi ztotožnila. Chyby Záměna triády v rámci násobkové řady (1) Chyba o násobek (tzn. chyba, která spočívá ve výsledku sníženém nebo zvýšeném o násobek prvního nebo druhého činitele) • 7*6 = 49 Sára 11.10. Diktát Šiftová pravidla (4) „Šiftová pravidla“ je taktéž pojem PhDr. Rendla, CSc. (se kterým se také ztotožňuji). Jsou typy příkladů- příklady na násobení nulou a jedničkou, u kterých vyplynulo, že je děti počítají jaksi „šiftově“, tzn. rozhodují se, zda výsledek bude „to či to“ (viz ukázky níže). • •

48*0=48 Eliška (26.4.) PI Martin 2.5. o 3*1 je, Martine“ M: „1.. emm ..3“ • Ondra: „0*3 je 3…teda nula!“ 12.9. • Štěpánka 10.5. „5*1 je5, 5*0 je nula, je nula, co blbnu, 5*0 je nula nebo pět?“ krásně demonstrativní Bonus: Ukázka možnosti počítání příkladů malé násobilky: Štěpánka 2.5.O5 • příklad 7*7: Štěpánka si šeptá 7, 14, 21, 28 a při každém dalším násobku 7 přidá prst, … 40..ne, co blbnu.. a začne znovu 7,14,21,28,35,42.. počkat, co blbnu, a opět počítá znovu

7

od 7 až k 42 (už nevím, zda si řekne každý násobek, myslím, že ano), po 42 začne počítat po jedné, tzn. 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 a počítá to na prstech (tzn. když má 7 prstů ví, že má další násobek sedmi).. • píše příklad 7*9 a odříkává si násobilku devíti s pomocí prstů (1 prst 9, 2 prsty 18….) až do 27, pak váhá zda další násobek je 35 nebo 36 (pomůže si opět počítáním po jedné a prsty), 45 ví (nepotřebuje si pomáhat), Eliška ji pak vyruší, Štěpánka reaguje „teď sem to zblbla“ a počítá znovu, dostane se k 54, pak po jedné a s prsty dojde k 63 Zajímavé, jak váhá, zda další číslo je 35 nebo 36. O čem to může vypovídat? Obě čísla jsou součástí malé násobilky, blízko u sebe- proto se v tom Š. nejistá i v případě, kdy násobky devíti odříkává po jednom? Má Š. odhad, kde se bude další násobek vyskytovat a to, že se v oněch místech vyskytují dva, ji mate? • 5*20 (na prstech 20, 40…až 100- za každý násobek 20ti jeden prst) • 89 5 Štěpánka počítá na prstech 5, 10, 15,.. pak slyším až 45; za každý další násobek pěti přidá prst (takže pravděpodobně počítá 9*5 tak, že si odříkává násobky pěti, a když má devět prstů, tak ví, že má výsledek), pak napíše pod zlomkovou čáru 5 MR: Jak to přesně dělá?Přece když napočítané po jedné další násobek, ztratí z prstů předchozí údaj o tom, o který násobek jde? Přijde pak nutně „teď jsem to zblbla“, a znovu od začátku, kdy už ale nemusí po jedné načítat násobek, který tak zjišťovala předtím, ten už si pamatuje, a pokračuje dále? (U posledního zjišťovaného násobku už to nevadí). Text výše ukazuje, že pomůcky nemusí být vždy ku pomoci. Zároveň je to krásná ukázka individuálního způsobu počítání.

1.1.2

Násobení většími čísly

1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Tyto příklady se děti učí počítat rozkladem, př.: 6*35 jako 6*30 + 6*5, přičemž dílčí příklad 6*30 se učí jako 6*3 plus nula. Je zde jasně vidět, jak je znalost malé násobilky podstatná pro další počítání (viz i u dalších typů příkladů). Co všechno obnáší správné vypočítání příkladu na násobení většími čísly? o správně vynásobit řádem desítek o správně spočítat příklad charakteru malé násobilky o znovu si vybavit první výpočet o správně přičíst druhý výpočet o správně vše napsat Chyby Těchto příkladů mám k dispozici větší množství než v případě malé násobilky, proto je možná jemnější kategorizace chyb. Uvádím vždy cca dvě ukázky každé chyby (kromě kategorie „Jiné“), číslo v závorce je celkový počet těchto chyb zachycených v souboru všech příkladů. Na zbytek příkladů je možné podívat se v Příloze 1. Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v témže desítkovém registru (1) • 46*7=324 7*6=44? asi špatné nebo nedostatečné osvojení? Adam 21.9.05 (sešit) Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek (4) • 7*16=105 7*6=35 8

•

4*23=96 Adam 15.6.05 4*20 + 4*3=80+16

b) jiné číslo násobkové řady (více než násobek) (4) • 9*16=126 někdo PIS I 6*9 = 6*6=36 • 3*64=204 3*4=24 třikrát čtyři je dvacetčtyři se hezky rýmuje, pokud to může mít nějaký vliv MR: navíc tam předtím zní sto osmdesát. c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru (1) • 23*9= 3 8 08 výsledek o stovku víc + 9*3=28 (Adam 21.9.05) Šiftová pravidla (3) • 7*11=71 Eliška (10.5.) PI • 26.4. 48*0 Eliška napíše čtyřku a ještě přemýšlí, pak napíše 48 Zapomenutí nějakého kroku (4) • 7*60=42 Sára (17.5.) PI 7*6- už nepřipočítala nulu • 6*16=126 Adam PIS I MR: chybí druhý krok násobení a místo něj se šestka jen připíše Napsat správná čísla na správná místa (2) • 7*13=21 Adam PIS I výsledek = jen 7*3 • 5*23= škrtlých 42 na 1020 Sára (17.5.) PI 5*2 je 10 a napsala 10 a 5*3=20 Jiné • 6*17=642 Sára (17.5.) PI Sára skládá 6*1 a 6*7 7 • 2*18 Eliška 36, Sára 21 6 původně asi Sára počítala 2*100 a 2*8, ale kde vzala 76… MR: Sára tu nepočítá, ale skládá: 2*1 a 2*8 je 2 a 16=216 • 6*57=332 Eliška (21.6.) PI 6*7=32, asi omyl (32x42) Eliška 17.5.05 • U: „Teď bude lahůdka, to snad bude mít jen já nevim kdo…4*76… počítáme samozřejmě jako 4*70 + 4*6“ Eliška píše 232, Katka 304 MR (k výsledku 232): Zdá se mi, že Eliška vždycky počítá jednotky zvlášť - jen nevím, jestli jako první nebo jako druhý krok - a pak je dává dohromady s násobením desítek. Jeden krok bez problémů určuje ve výsledku počet jednotek (i když i tady udělala chybu), druhý krok počet stovek (pokud přesahuje přes 100). Problémy jsou nejčastěji tehdy, když první i druhý krok mluví do počtu desítek. Pak se desítky z jednoho kroku mohou zapomenout. To se jí možná stalo tady. Ze 4*70=280 jí zbylo je „dvěstě“ a to dala dohromady s chybným 4*6=32? U Elišky nejsou vyloučeny daleko komplikovanější šarády, ale tady mě nic nenapadá. • 49*7=143 Eliška (21.6.) PI MR: 80+63 (80 je z 280) • 2*49=81 Sára (17.5.) PI MR: Jednička z 18 • 7*60=482 Katka (17.5.) PI MR: 7*6 počítá 2x- jakoby 7*66 • 6*19=94 někdo PIS I MR: skoro jakoby 6*20 -6 = 100 -6? • 4*76 (s nápovědou rozkladu - U řekne 4*70 + 4*6)=232 Eliška (17.5.) PI MR: 280+4*6=200+32=232? (já:tentokrát počítala jen se stovkami x první příklad, kde naopak pouze s desítkami) Konkrétní ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku Eliška 10.5.05 • 26*5= šeptá si stóó…130 a píše jako výsledek (asi počítá 5*20 + 5*6) • Eliška 30*6= šeptá si 93, 92, 93, 180! ptám se, kde vzala ta číslo devadesát něco: „Já si dycky šeptám ňáký kraviny, ale doufám, že mi aspoň vyjde správně“

9

MR: Uvažuju o tomhle. Eliška volí pomocnou triádu s „90“, která je pro ni asi zjevně někde na cestě. Chvíli tápe, jestli je triáda 30-90-3 nebo 30-90-2; nejde tedy o čísla 92 a 93. Jakmile najde „3“, ví že je v polovině cesty (6-3-2) a snadno zdvojnásobuje. • Eliška 27*2=57, pak řekne “ne“ a přepíše na 54 ptám se, proč předtím napsala 57? „Já myslela, že místo toho jednička“ já: „Místo čeho?“ „Místo tý dvojky“ a ukazuje na druhý činitel Asi se nějak dostala k číslu 50 a pak dopočítávala… MR: Ano, základnou je spíš těch 50. Je to automatismus, že 2 krát „25 a více, ale < 30“ je „50 a něco“? 2) násobení č. pod 10 a č. nad 100 Děti se učí počítat tyto příklady rozkladem (viz ukázka 14.4.05): U: „Musíme zde použít systém rozkladu, vynásobit a sečíst. Mám číslo 326, rozložím ho na 3 stovky, 2 desítky a 6 jednotek. Vezmu si 3 stovky, 3x100 bude první úkol, pro některé pomalíky to bude problém. Pak přičtu desítky, 3x20, a jednotky 3x6. Toto musíme umět do konce 3.třídy, ale není to poslední nové učivo!“ U: „Adame, 3x300 je“ Adam-900 „Honzo Ch. 3x20“ Honza Ch.-60, „Luky 3x6“ Luky -18; U to zapisuje do kroužků pod rozloženým příkladem 326x3= 3x300 + 3x20 + 3x6 900

60

18

U: „Máme 3 čísla, krásně to sečtem. Ale je to těžké dělat v hlavě, proto to budeme procvičovat… Martin sečte“ Martin: „978“ Co všechno obnáší správné vypočítání příkladu na násobení většími čísly? o správně vynásobit řádem stovek o správně vynásobit řádem desítek o správně spočítat příklad charakteru malé násobilky o znovu si vybavit první a druhý výpočet o správně přičíst všechny výpočty o správně vše napsat Chyby Chybný výpočet Záměna triády v rámci násobkové řady (1) Chyba o násobek • 7*14, 19.4.05 Katka diktafon Katka: „No, 121“ Já: „A jak si na to přišla?“ Katka: „No, že si řeknu 10 * 10 je 100 a 7*4 je 21“ Špatné připočtení (1) • 5*180=1000 Eliška (21.6.) PI špatně přičteno? (MR: 500+400=1000?) Jiné • 163*6=968 Eliška (21.6.) PI 8 by mohla být z 18 (3*6) – a desítku již zapomněla připočíst
připočítává Eliška nejdříve jednotky a až posléze desítky? Konkrétní ukázky vzniku chyby 10

• Eliška 26.4. příklad na rozklad: šeptá si 720, pak nad 121*6 napíše 721, nad 6*100 600, pak si šeptá 1300, 1320, nad plus za 6*100 napíše 1321, nad 6*20 120, nad 6*1 6, výsledek napíše 1447 721

600 1321 120

6

121*6 = 6*100 + 6*20 + 6*1= 1447 ta malá čísla nad příkladem pak vyzmizíkuje MR k Elišce: Eliška na mnoha místech záznamů vypadá na to, že počítání se jí (v hlavě) prostě nějak děje a ona nemá přesně povědomí jak. Viz např. její „vysvětlení“ níže, že si často u počítání šeptá různé kraviny. Během počítání často používá různé pomocné postupy, ale asi hodně intuitivně a tím pádem občas nekontrolovaně. Jde o různé rozklady a úpravy na subjektivně snazší (oblíbené, známé, zvládnuté) triády. Jenže tyhle úpravy sice zjednodušují dílčí kroky, ale zmnožují jejich počet – když se tady něco ubere či nějak rozloží, musí se to později zase přidat či složit – a Eliška v tom občas udělá chybu i v dílčím výpočtu, kterou by jinak neudělala. příklad na rozklad: nad 386*2 napíše 772, nad 2*300 600, nad plus 1380, nad 2*80 160, pak si šeptá 1000…, ježiš, 1570, 1502, 30, nad plus napíše 1532, nad 6*2 12, jako výsledek 1544 772

600

1380 160 1532 12

386*2 = 2*300 + 2*80 + 2*6 = 1544 malá čísla opět vyzmizíkuje MR: Řekl bych, že to je ukázka Eliščiných intuitivních pomocných postupů. Jde o výpočet nejprve 772+600. Ten – a zároveň i další krok, o němž ví, že bude následovat, si usnadňuje tím, že si 772 zaokrouhlí na 780 – pak snadno dojde na 1380. Nyní má přičíst 160. Zase přičítá 200 (?) místo 160 s tím, že 40 ubere. Ubere vlastně rovnou 10 – chystá se ubírat po desítkách? – a je na 1570. Jenž si připomíná, že ještě musí ubrat tu původní přidanou osmičku. Jak je to teď už dost komplikované, potřebuje se dostat na číslo, kde je ubrání osmičky bezpečné – a to je 1510. (Má to zároveň tu výhodu, že měla ubrat od 1570 ještě 30, takhle ubrala 60, musí se o 30 zase vrátit; to je jednodušší – triáda 60-30-30 – než kdyby býval skočila na 1510 od 1580: pak by byla ve hře triáda 70-40-30 a pletlo by se jí, o kolik se má vrátit, zda o 30 nebo o 40. Kdoví, jestli krok z 1580 na 1570 nebyl motivován právě tímhle.) Nakonec to zvládne a dostane se tímhle způsobem na 1532 (=772+600+160). tyto příklady pak musí počítat znovu (U jí to řekne, neb tam má chybu.), zajímavé, že se dobírá k jiným číslům 721

600

1321 120 1441

121*6 = 6*100 + 6*20 + 772

600

386*2 = 2*300 •

1372

6

6*1= 1447

160 15..

+ 2*80 + 2*6 =

Eliška, 26.4.05 1566 1206 28

397 * 4 pak si něco šeptá a jako výsledek napíše 1594 Postup: 1206 výsledek 4*300, 1566 výsledek 1206 + 4*90, 28 výsledek 4*7. Jaká může být etiologie chyb? Přijde mi, že Elišce tam nějak místo 4*90 naskočilo také 4*9 (zřejmě při tomto výpočtu, protože ten se provádí právě pomocí malé násobilky). Ta 6 ve 1206 je tedy šestka ze 36, kterou tam rovnou připočetla, aby měla posléze „jednodušší“ počítání? To by potom, vycházelo: Eliška by nepočítala pouze 4*90 jako 360, ale ještě se já tam navíc připletla 6 z 4*9, takže výsledek jí pak vyšel 366. 1200→1600 1700

426 * 5

těch 1200 pak opraví na 1600 (to si šeptá), píše 1700, výsledek 1930

11

tomu moc nerozumím, nějak dospěla k 1700 a pak dopočítávala, něco jí muselo dát výsledek 230, že by 5*26- a neurčila správně řád stovek? Obecně mi k Elišce přijde, že nějaký postup má, ale vlivem něčeho se do všeho dost zamotává- že by bylo těžké udržet vše potřebné v hlavně (na úrovni pracovní paměti)?- vše potřebné znamená výsledky, co už udělala, co ještě musí, jak to pak všechno dát správně dohromady- není toho málo. •

Eliška 21.6. 4*160= „260, 240, 840, 600, 400 ne 300, 400, 400, 4*6, to je… počkat…240“ MR: Nejprve počítá s desítkami: 4*60=260, opravuje na 240. Pak přičítá 4*100=600 (protože šestka interferuje) a sčítá: 840. Ale vrací se – opravdu 600? (4*100), opravuje na 400, znejistí – možná 300?, pak přece jen: 400 a ještě jednou si to potvrzuje, aby to držela pevně, k tomu 4+6(0)…240. Řekl bych, že hned poté už má správný výsledek. Ale celé to vypadá, že je hodně nesoustředěná, jindy by to hravě zvládla. Ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku •

Eliška, 26.4.05

700 800

128*7 šeptá si 700, 800, osmset kolik, 840, já to nemůžu spočítat, 841; jako výsledek 896 zde je postup jasný, až na to 841. Bonus: Použití jiného způsobu než vykládá učitelka a) Kombinace s postupem písemného násobení • Honza Ch., 14.4. 05: Honza Ch. má počítat 2*224: „2*2…“ U: „Ne, 200“ Jedná se o jakousi transformaci způsobu násobení pod sebe, i když Honza by počítal zleva doprava, což nemusí vždy vést ke správnému výsledku (poprvé se o násobení pod sebou U zmiňuje a předvádí 19.4.- nicméně to nemusí znamenat výjimečnost, dle PhDr. Miroslava Rendla, CSc. je tento jev pravděpodobně způsoben transferem z rodiny)+ MR: je to jen možnost. Může to být také vlastní objev (či dohad) toho, jak se čísla skládají, jak lze rozvinutý rozklad na násobení jednotek, desítek a stovek nahradit (a zkrátit) skládankami cifer. náznak i 19.4. U napíše 361*3 pod sebe, a praví „Teď si to jen ukážeme, budeme se to učit na jednoduchých příkladech, jen si ukážeme, že vyjde stejný výsledek“ U počítá a zároveň ukazuje, co dělá (že násobí odprava apod). „3*1 je samozřejmě 3, všichni si napíší pod trojku trojku, máme kousek výsledku. Teď už to bude těžší, 3*6 je větší než 10….“ Honza Ch.: „To je lehký, to umim“ • 137*3 (2.5.05) Myšák jde k tabuli má svůj postup: „3*1 je 3, 3*3 je 9, 3*7 je 21…“ a píše na tabuli 137*3=39.. U: „Já věděla, že to narazí. Zkus to odzadu“ A napovídá postup „3*7 je 21, držíš si dvojku….“ b) Formální struktura násobení převedena na sčítání • Otík 19.4. Otík př. 361*3: „Ale de to taky tak, že to 361 pod sebe napíšu 3x“ • Otík 28.6. Ota si pak vybere 351*2 (z papíru, kde jsou napsané příklady), že to spočítá jen tak, po chvilce „702?“ Já: „Jak to počítáš takhle v hlavě?“

12

Ota: „Když je ten příklad takovej lehkej, tak si řeknu 300 a 300 je 600, 50 a 50 je100, takže 700 a 1 a 1 sou 2“ Použití jiného způsobu počítání než říká paní učitelka se objevilo jen u tohoto typu příkladu. O čem to může vypovídat? Svádí (či možná lépe řečeno inspiruje) tento typ příkladu k „hraní si s čísly“ u „nadanějších“ dětí? Pokud se v dílčím výpočtu nedojde k číslu většímu než 10, výsledek z příkladu vlastně dost vyplývá (př. 3*331=993
3*3 je 9, 3*3 je 9 a 3*1 jsou 3). Může „hraní si s čísly“ vypovídat také o tom, že děti se v operaci násobení cítí jisté? Tak jisté, že si dovolí opustit ověřený způsob počítání? A v případě b) dokonce předepsanou matematickou operaci?

1.1.3

Písemné násobení

1) druhý činitel je jednociferné číslo Co všechno obnáší správné vypočítání příkladu na písemné násobení, kde je 2. činitel jednociferné číslo? o správně vypočítat malou násobilku o správně si držet počet desítek o desítky správně připočíst k dalšímu výpočtu malé násobilky o správně vše napsat Chyby Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) (1) - v témže desítkovém registru • 12.10. 05 Adam sešit 648 chyba: 4*8 je 38 ( akustická shoda ): nebo: 4*7=28
4*8=38? 4 4*6 je 26 (akustická shoda) + 1 je 27 … 2798 Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek (12) • 29.11.05 Danielka sešit 256 7 2492 chyba. 7*2 +3 = 24
zřejmě záměna se 7*3+3 • 15.12.05 Honza N. sešit 824 6*2+2=20 6 5004 • 11.11.05 Ondra sešit 234 4 976 3*4=16- může mít na to vliv předchozí výpočet (4*4)? b) jiné číslo násobkové řady (více než násobek) (2)

13

• 20.10.05 Honza N. sešit 193 4*9= 28? 4 692 • 10.11.05 Martin sešit 169 6*9=36? (6*6 x 6*9) 6 996 c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru (2) • 11.11.05 Vašek sešit 126 6*7=40? MR: ano, soustředěn na desítky, které musí dále držet 7 880 157 6*7=40? Ta samá chyba jako výše 6 940 Záměna aditivní a multiplikativní triády (2) • 12.10.05 Danielka sešit 754 3 2282 chyba: 3*5+1=18? nicméně nezdá se mi pravděpodobné, že by určila 3*5 jako 17 - spíš mi přijde, že počítala 3+5 a jedničku k 3*7 přičetla tak nějak „ze zvyku“ (?) • 11.11.05 Honza D. sešit 335 místo 3*3+1 počítal 3+3 +1 3 705 Šiftová pravidla (2) • Vašek, 20.9.05, sešit 189 3 1267 dvojku měl přičíst a 1 je špatným výsledkem 3*1?? 159 5 5295 hm, tak dvojku měl přičíst a 5 je výsledek 5*1- ale je-li toto správná etiologie… Následující kategorie odlišuji od kategorie „Chyby ve výpočtu“, ačkoli by se na první pohled mohlo zdát, že do ní spadají taktéž. Rozdíl vidím v tom, že „Chyby ve výpočtu“ jsou chyby, které vypovídají o řekněme „snížené schopnosti dítěte násobit“. Podstatou následujících kategorií chyb je to, co všechno kromě zmíněné snížené schopnosti násobit může zkomplikovat cestu ke správnému výsledku; problém tedy není v elementární operaci násobení jako u kategorie předchozí.

14

Interference s číslem z předchozího výpočtu (2) • 5.1.06 Honza D. sešit 8036 chyba: místo 50 má být 40. Může tam mást 5 * 8 je 50?? MR: není to spíš doznívání 5 předchozí jedničky? „5*8 je 40 a 1 je 50“ 50180 • 23.11.05 Honza Ch. sešit 1987 chyba: 6*9+5=58; drobná chybka ve výpočtu nebo ovlivnění předchozím výsledkem 6 48? nebo prostě přičetl místo pětky čtyřku z 48? 11822 Chyby na vizuálním podkladě (3) • 22.11.05 Emilka sešit 2468 přeskočila 3*4 a počítala rovnou 3*2 +2 3 804 • 1.2.06 Martin sešit 12712 nezdá se mi, že by M. špatně vypočítal 9*1+2, spíš si myslím, že omylem počítal 9 9*2 + 2 204408 Nepřipočtení desítek (7) • 5.10.05 Emilka sešit 45 6 240 zapomněla přičíst trojku • 22.11.05 Ota sešit 876 5 4050 nepřičetl trojky Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Zde je složité až nemožné určit, v čem přesně chyba spočívá- zda v chybném přičtení držených desítek nebo v chybné triádě. Viz např. Bára 8.11.05: 6*2+4=17- to je jediné, co lze s jistotou tvrdit. Ale je-li chyba v mezivýpočtu 6*2 či v mezivýpočtu 12+4 či v tom, že byl držen jiný počet desítek než 4, to už se lze pouze domnívat. Desítky navíc/méně desítek (?) (12) • 8.11.05 Bára sešit 428 chyba: 6*2 + 4 =17 špatně dopočítané? 6 2578 • 6.12.05 Ondra sešit 7386 5 36830 5*3+4=18, myslím, že Ondra přičetl místo 4 trojku- předtím se dost vyskytovala30,43, 5*3

15

Přičtení desítek některého z předchozích výpočtů (?) (5) • 22.11.05 Ota sešit 1612 4 10448 hm, nevím, kde vzal 10. 4*2+2? ale jak by na to přišel? MR: třeba omylem drží 6 ze 6*4 • 6.12.05 Emilka sešit 8674 asi se nějak zamotala u 6*6- skoro to vypadá, jako by přičetla dvakrát čtyřku… a u 6 6*8 už na to zapomněla 48444 Přičtení jednotek místo desítek (?) (3) • 5.10.05 Katka sešit 67 9*6=51? Nebo přičetla k 54 trojku ze 63 místo šestky?? 9 573 • 5.10.05 Honza D. sešit 57 že by špatný výpočet 5*5? … nebo: 5 * 7 je 35-a tuto pětku pak přičetl k 25 5 305 Napsat správná čísla na správná místa (5) • Sára: 357 11.10. PI věděla (?), že 4*7 je 28, ale napsala 4 (jinou část triády) 4 ke 4*5 potom připočetla 8 z 28, 14 už je OK 1484 • 20.9.05 Vašek sešit 189 3 1267 dvojku měl přičíst a 1 je špatným výsledkem 3*1? Jiné • 11.11.05 Vašek sešit 126 6*7=40? MR: ano, soustředěn na desítky, které musí dále držet 7 880 157 6*7=40? Ta samá chyba jako výše 6 940 21.11.05 Bára sešit 3109 pouze zapomněla napsat trojku? (že by váhala, že 3*1 jsou 3 nebo 1? ) 3 9 27 •

89 Štěpánka 2.5. PI 5 805

16

Ten konec počítání je nějak popletený, nerozumím
nemůže 80 pocházet z ovlivnění osmičkou? Š. si řekla 5*89 a napsala prostě tu 80? MR: 40+4=8 • 5.1.06 Honza D. sešit 8036 chyba: místo 50 má být 40. Může tam mást 5 * 8 je 50?? MR: není to spíš doznívání 5 předchozí jedničky? „5*8 je 40 a 1 je 50“ 50180 • 11.1.06 Honza N. sešit 8355 Chyba: 6*8+2=42?napadá mě: vynechané jednotky; že by proto, že si řekl 48 a na ty 6 jednotky už zapomněl? 42130 Konkrétní ukázky vzniku chyby •

Štěpánka, 2.5.05, počítá do sešitu 967 7 Štěpánka počítá ve třech fázích: 1) 7*7 Štěpánka si šeptá 7, 14, 21, 28 a při každém dalším násobku 7 přidá prst, … 40..ne, co blbnu.. a začne znovu 7,14,21,28,35,42.. počkat, co blbnu, a opět počítá znovu od 7 až k 42 (už nevím, zda si řekne každý násobek, myslím, že ano), po 42 začne počítat po jedné, tzn. 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 a počítá to na prstech (tzn. když má 7 prstů ví, že má další násobek sedmi).. píšu 9 a 4 si držim 967 7 9 2) 7*6 + záhadná operace Pod příklad si píše: 7*6=42 + 7*40 = 280 (spočítá tak, že si řekne 7*4 plus nula)=322 (než napíše výsledek šeptá si 310, 320, 322 a napíše dvojku) 967 7 29 3) 7*9 + ta samá záhadná operace, jen s jinými čísly vedle toho příkladu 7*6…..280 píše příklad 7*9 a odříkává si násobilku devíti s pomocí prstů (1 prst 9, 2 prsty 18….) až do 27, pak váhá zda další násobek je 35 nebo 36 (pomůže si opět počítáním po jedné a prsty), 45 ví (nepotřebuje si pomáhat), Eliška ji pak vyruší, Štěpánka reaguje „teď sem to zblbla“ a počítá znovu, dostane se k 54, pak po jedné a s prsty dojde k 63 a doplňuje příklad 7*9 = 63 + 32*7=35 ( k tomu dojde tak, že si odříkává násobky sedmi 7, 14, 21, 28 a po jedné a s prsty dojde ke 35)- na číslo 35 Štěpánka reaguje „to je blbost, to musí být zbytek“ a píše 35 zbytek 3… a je to, pak se chytne za hlavu „sem blbá, to má být 7*30“ a napíše to nad 32*7- pak to spočítá: 7*3 je 21, plus nula, 7*2 je 14 a je to 224 (hned), pak píše 223 + 63 = 287 nakonec tedy to pod příkladem 967*7 pod sebe vypadá takto 210 7*2=14 7*30 224+63=287

7*6=42+7*40=280=322 (tu druhou dvojku pak škrtne) 7*9=63+32*7=35 zb.3

17

takže celkově 967 7 28729 na výsledek Š. reaguje „to je blbost!“ ptám se proč- „je to moc velký výsledek“ Analýza (Rendl): Ad „to je blbost, to musí být zbytek“: v rámci dílčího mezikroku 32*7 zamění kontext a začne dělit (32:7). Hledá nejbližší násobek sedmi, jako výsledek zapíše tento násobek, pak si uvědomí, že ale dělenec byl 32 a nesrovnalost řeší doplněním „zbytku“ (rozdílu oproti 35). Tenhle výpočet ale pak nehraje roli, protože jí dochází, že to mělo být „krát“ a dál už počítá opravdu 7*32 jako 7*30 + 7*2. Ad celý příklad: Celá konstrukce je grandiózní. Odklon od předepsaného postupu začíná ve chvíli, kdy v prvním kroku vypočítá (s obtížemi) 7*7=49, píše 9 a 4 si drží. Další krok vypadá zpočátku v pořádku – 7*6 = 42. Jenže teď vstupuje do hry ta čtyřka, kterou drží. Je vidět, že to vlastně není čtyřka, ale čtyřicítka. To se sice zdá jako Štěpánčino plus, že jí reprezentuje desítky, ale je to asi náhoda (ozvěna mluvené číslovky čtyřicet devět) – dále už takhle důsledná není Navíc to možná napomáhá k tomu, že namísto aby ji prostě „připočítala“, tak s ní „počítá“ – sedmičkou násobí i tuhle čtyřicítku a výsledek druhého mezisoučinu hledá jako součet obou dílčích kroků: 7*6+7*40=322. Z toho dvojku napíše a 32 „drží“ a ve třetím mezivýpočtu ji použije. Další krok má stejnou logiku. Nejprve 7*9=63 a pak k tomu přidat ještě násobení toho, co drží: 7*32. Přes zádrhel se záměnou násobení za dělení dochází ke správnému výsledku: 7*9+7*32 = 63+224 = 287. Tady už napíše celé trojciferné číslo, nemusí poslední číslici část napsat a zbylé držet. Kdyby tomu tak bylo a v prvním činiteli byla na místě tisíců např. „8“, zapsala by „7“, držela by „28“ a další krok by vypadal: 7*8 + 7*28. Celé logika tohoto postupu stojí vlastně jen na jedné záměně?: namísto toho, aby se držené číslo k dalšímu mezisoučinu vždy jen přičetlo, Štěpánka ho nejprve znovu násobí a pak teprve ho přičítá. Touhle změnou mechanické procedury se ale dostává zcela mimo řády decimální soustavy. • Eliška, 21.6.05 57 „6*50 je tři sta…. tři sta třicet dva“ 6 •

Štěpánka 2.5.05 89 U: „Teď už si něco budete muset držet na prstech“ 5 Štěpánka počítá na prstech 5, 10, 15,.. pak slyším až 45; za každý další násobek pěti přidá prst (takže pravděpodobně počítá 9*5 tak, že si odříkává násobky pěti, a když má devět prstů, tak ví, že má výsledek), pak napíše pod zlomkovou čáru 5 89 5 5 pak si šeptá: 5*16, 5*16…50, 5*6 je 30, … a 30 je 80 – a 80 napíše pod zlomkovou čáru 89 5 805

18

MR: Myslím, že by to takhle mohlo být – nejprve „připočítá“ tu drženou čtyřku (nějak dospívá k výsledku 8+4=16) a pak násobí. Ve druhé variantě interpretace se držená čtyřka neobjevuje (i když 5*8=16 bych si dovedl představit, ve hře by byla triáda 2-5-10, součást nevědomí decimální soustavy), a to je poté, co uč. ohlásila příklady právě na tohle, málo pravděpodobné. Ale jsou tu postupy, které u ní následují v dalším příkladu. A ty tam uplatňuje dosti důsledně, přitom jsou odlišné od tohoto. Zkusíme-li tenhle její postup zrekonstruovat v duchu toho, jak níže počítá 967*7, vypadá to poněkud jinak: 5*9 je 45, „5“ napíše, „4“ drží; 5*8 je 40 a teď ještě co s tou drženou čtyřkou: násobí 40*4 jako 4*4 a pak ještě krát 5. Možná, že násobení pětkou tu přichází mylně místo jiného kroku, totiž přidání nuly (4*40 je jako 4*4 a přidám nulu). „16“ je tedy výsledkem 4*4 (nikoli 8+4). Není to ještě úplně totéž, co dělá dále, ale je to tomu blíže; respektuje to logiku, že co se „drží“, se musí v dalším kroku zase vynásobit, ne jen přičíst. •

Štěpánka, 10.5.05 604 5 „5*4 je 5, 10….20 (s pomocí prstů), napíšu nulu, 2 držim, 5*0 je nula, přidám 2…“ pak počítá 5*6 na prstech 5,10 …až 35“ nevidím, jak čísla pod zlomkovou čáru psala, výsledek pak má 3500

Konkrétní ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku •

Štěpánka 2.5. příklad 129 5 Štěpánka si píše vedle 5*9 = 45+5*20 (na prstech 20, 40…až 100- za každý násobek 20ti jeden prst) = 100 + 5*100 Pod to píše 500 + 100+ 45 = 645 129 celé to spočítá rychle, i když není klid, protože U mluví 5 645 Je zřejmé, že ač je tento příklad na násobení pod sebou, Štěpánka zvolila trochu přetransformovaný způsob násobení pomocí rozkladu- tzn. klasický rozklad se počítá od nejvyššího řádu po nejmenší (zleva doprava), Štěpánka zde vlivem zápisu příkladu pod sebou zvolila směr opačný (zprava doleva). proč? přijde jí způsob počítání rozkladem (ač při něm postupuje opačně- ve směru písemného násobení) snazší? nebo nechce opouštět něco, co umí? (funkční fixace?) MR: dílčí kroky obou postupů interferují a pletou se moje stará poznámka: u násobení pod sebou do určité míry přetransformovává postup na jakési jeho propojení s počítáním pomocí rozkladu více dětí, má to nějakou souvislost s tím, že se děti rozklad učily jako první? Postup pod sebe je více méně téměř diametrálně odlišný (počítá se z druhé strany, postup se nerozepisuje, musí se udržet něco v hlavě a zároveň počítat apod.), a tedy není motivace se zatěžovat z toho vyplývajícími těžkostmi? Nebo se jedná prostě o to, že si na prvně vykládaný způsob zvykly, a proto ho používají dále, ač v jakési „kombinaci“ (která se u jednotlivých dětí liší) s postupem pod sebe? MR: u postupu rozkladem rozumějí logice a snadno ji kontrolují. V počítání pod sebe nechápou, jak výsledek vzniká. Když si nejsou jisti správností algoritmu, konstruují výsledek postupem ,kterému rozumějí. K bezpečnému ovládnutí „pod sebe“ vede zřejmě buď pamětný dril, nebo zvládnutí logiky korespondencí, přechodů a záměn obou postupů. 19

•

Eliška 10.5. si směrem písemného násobení hlavu nedělá, možnosti písemného násobení nevyužívá a počítá z hlavy (klasickým rozkladem zleva doprava) 604 „to je tři tisíce…. tři tisíce dvacet“ a píše výsledek 3020 5

•

Eliška 708 „pět tisíc šest set ….. 5664“ a píše výsledek 8 ptám se, jak na to přišla: „8*7 je 56 a když to vezmu takhle, je to 5600, 8*8 je 64“ • Eliška 10.5. 82 4 Eliška napíše 328, první napíše 8, pak tu 3 a nakonec tu 2 takže musela počítat nejdřív2*4, a pak buď 4*8 nebo 4*80 (a bylo dobrý, že neudělala chybu co minule Štěpánka, že nenapsala 3208)- čili buď způsob rozklad nebo klasika pod sebe ptám se, jak na to přišla: „4*2 je 8, 4*80 je 320. Ale stejně to někdy beru, že 4*8 je 32 “ to by potvrzovalo možnost výběru mezi dvěma způsoby (rozklad 4*80 + 4*2 a klasicky pod sebe 2*4 je 8, 4*8 je 32). Ta věta „ale stejně to někdy beru“ mi přijde jako by Eliška myslela, že ten rozklad je ten OK způsob, ale ona že má vychytávku (tzn. lehčí způsob) „4*8“ a že to taky vyjde (tedy lehčí a stejně efektivní). Eliška kombinuje postup pod sebe a postup rozkladem (tzn. buď 4*2, 4*8, nebo 4*2 + 4* 80); Štěpánka tento příklad počítá klasicky pod sebou: „4*2 je 8, 4*8 je 8,16,24,32, napíšu 32 a vyjde 328“ • Eliška 21.6., příklady na násobení pod sebou počítá rozkladem 98 „……….360? jo, 360“ chvíli přemýšlí „392“ 4 74 „5*7 35, 350….“ napíše 370 5 408 2 „osm set……osm set šestnáct“ •

10.5. 89 Eliška šeptá: „to je 356, myslim“ 4 já: „Jak to?“ E: „Já nevim“ Myšák má spočítat rozkladem, bez problémů rozloží: „ 4*80, řeknu si 4*8 + nula, to je 320, 4*9 už nepřidávám, takže 36, 320 +36=356“ Honza Ch. „Ale paní učitelko, jde to i jinak…..4*8 je 32, připíšu nulu, pak udělám 36 a sečtu“ U: „Myslíš v hlavě“ H.Ch. : „jo“ pak U ukazuje 89*4 rozkladem ala Myšák předminule: 4*9 je 36, držim trojku, 4*8 je 32 + ta trojka…. Honza Ch.si s čísly umí efektivně pohrávat… Zřejmě se tu bezpečně orientuje. MR: Eliška na mnoha místech záznamů vypadá na to, že počítání se jí (v hlavě) prostě nějak děje a ona nemá přesně povědomí jak. Viz např. její „vysvětlení“ níže, že si často u počítání šeptá různé kraviny. Během počítání často používá různé pomocné postupy, ale asi hodně intuitivně a tím pádem občas nekontrolovaně. Jde o různé rozklady a úpravy na subjektivně

20

snazší (oblíbené, známé, zvládnuté) triády. Jenže tyhle úpravy sice zjednodušují dílčí kroky, ale zmnožují jejich počet – když se tady něco ubere či nějak rozloží, musí se to později zase přidat či složit – a Eliška v tom občas udělá chybu i v dílčím výpočtu, kterou by jinak neudělala. •

Eliška 10.5. 301 5 šeptá si 1500, 1500, ježiš já to nevim, 1500, 1500, 1500 (intonace graduje + gestika a mimika), mně to nejde, 1500, 1500, 1500, 1500, ne, mně to nevychází (???), ježiš, to je tak dementskej příklad, 1500, 1500, 1505, jo? ne? já to napíšu MR: Zase se motá v interferenci šiftových příkladů (5*1=5?,1?,0?) – dále nikde problém nemá Co z Eliščina postupu, při kterém vlastně ignoruje pravidla písemného násobení a počítá si po svém, tedy rozkladem? Může být příčinou funkční fixace, tedy motivace? •

2.5. Štěpánka 122 Štěpánka si šeptá 2*2 sou 4, zase 4, pak si něco šeptá…. a je to 244 2

•

10.5.05 Štěpánka 82 „4*2 je 8, 4*8 je 8,16,24,32 (myslím, že bez prstů) 1, napíšu 32 a vyjde 328“ 4 • Myšák u tabule, 11.10.05 239 „7*9 je 49…“ U se zeptá, zda opravdu, Myšák se opraví a pokračuje 7 „..teda 63, 3 píšu, 6 držim, 7*3 je 21, plus 6 je 27, píšu 7, 2 držim, 7*2 je 14 a dva je 16“ 7*9=49
zvuková shoda, proto chybka?Kdyby příklad zněl 9*7, udělal by Myšák také chybu? 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Co všechno obnáší správné vypočítání příkladu na písemné násobení, kde je 2. činitel dvouciferné číslo? o správně vypočítat malou násobilku o správně si držet počet desítek a správně je připočíst o ten správně připočíst k dalšímu výpočtu malé násobilky o napsat to správně pod sebe o správně to sečíst o vše správně napsat Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v témže desítkovém registru (3)

1

MR: To by pak svědčilo o tom, že je schopna evidovat určitý počet násobků bez prstů – zřejmě jako počet slov.

21

•

15.2.06 Honza D. sešit 7617 36 44701 v originále má ještě čárou spojené, která čísla mí sčítat (0 a 1, 7a 5 atd.) 24851 293211 chyba: nerozumím tomu, dobré a špatné výpočty se střídají; 3*7 jednou určí jako 21, podruhé však už ne (3*7+1=24) MR: rozhodně má konzistentní triádu 6*7=41 + u 3*7+1=24 jakoby „+1“ znamenalo + jeden násobek tří •

23.2.06 Honza Ch. sešit 36897 27 338279 7*3+4=33? a tedy 7*3=29? MR: 7*3=27, 27+6=33 (z předchozí držené desítky?) 73794 1076219 - v jiném desítkovém registru (1) • 2.2.06 Martin sešit 8508 9*8=82 79 86572 54556 682132 Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek (10) •

14.2.06 Honza N. sešit 52631 MR: ve druhém i třetím kroku přičítá chybně 1. V posledním kroku počítá 9*5=54, 19 54+2=56 (já: 45x54
inverzní číslo, dle mého názoru to nějaký vliv mít může) 563589 52631 1089899 •

1.3.06 Honza N. sešit 2188 36 13128 6652 3*8=32 79648

b) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru (2) • 25.1.06 Martin sešit 9478 buď k 3*9 přičetl dvojku (z 12?), nebo 3*9=28 30 294340

22

•

18.4.06 Ondra sešit 3785 17 26475 7*8=54? 3785 64325 Záměna aditivní a multiplikativní triády (5) • 31.1.06 Honza Ch. sešit 151065 35 755335 45495 4 jako výsledek 3+1? (jednička z 18), na 3*1 pak H. za pomněl a počítal až 3*5 1210275 operace sčítání a násobení se nějak pletou… MR: 3*0 + 1=3+1? •

26.1.06 Honza N. sešit 42778 46 254668 6*2+4=14? je zde podobnost s příkladem 11.1.? 6*2 zredukováno na 10 … pak 1689112 už by to vycházelo 17145788 druhý řádek: 9 navíc + nepřičtení trojky; napadá mě toto: devítka jako výsledek 4+2+3 (z 31), pak počítal znovu 4*2 (a trojku již nepřičítal) a 4*4

Šiftová pravidla (1) • 31.1.06 Honza Ch. sešit 151065 35 755335 45495 4 jako výsledek 3+1? (jednička z 18), na 3*1 pak H. za pomněl a počítal až 3*5 1210275 MR: 3*0 + 1=3+1? Interference s číslem z předchozího výpočtu (2) • 23.2.06 Honza Ch. sešit 36897 27 338279 7*3+4=33? a tedy 7*3=29? MR: 7*3=27, 27+6=33 (z předchozí držené desítky?) 73794 1076219 •

25.1.06 Martin sešit 9478 buď k 3*9 přičetl dvojku (z 12?), nebo 3*9=28 30 294340

23

Chyby na vizuálním podkladě (12) •

5.1.06 Honza N. sešit 36897 MR: 1. 7*7=49 27 2. 2*9=18+4=22 258829 3. 7*8=56+2=58 73794 4. 7*6=42+5=48 996769 5. 7*3=21+4=25 •

14.2.06 Honza D. sešit 1 221

23459 chyba: 5*4+2=26-; spodním číslům tedy vůbec nerozumím- že by se mu popletla 25___ jeho „pomocná čísla“ (ta, co si má držet) a čísla druhého činitele? 117695 (8= 2*9, 6=5+1, 6=4+2... pak už moc nevím) 117668 ještě poznámka:. to 26 může být také výsledkem toho, že H. počítal 2x za 1294375 sebou 5*5 (jednou přičetl 4 ze 45, podruhé svou pomocnou 1) Nepřipočtení desítek (7) •

14.2.06 Danielka sešit 17 346 49 155764 69384 9*6 jako 54, pak 9*4 je 36- ale už nepřičetla desítky (ale dále již OK) 849604 •

31.1.06 Martin sešit 151065 v obou případech k nule nepřičetl to, co měl- dá se z toho něco usuzovat? 35 třeba „slepá aplikace“ pravidla o násobení nulou (výsledek vždy nula)? 755025 453095 5285975 MR: vypadá to tak. K nule se držené desítky nepřičítají. Ledaže by počítal např. „0+3=0“ (a to není vyloučeno). Šiftové příklady jakoby nabývaly na významu. Odečítání desítek (3) • 31.1.06 Myšák sešit 42778 46 256668 151112 Myšák asi jedničku odečetl místo přičetl 1767788 •

14.2.06 Honza Ch. sešit 23459 25 117295 37918 kdepak vzal, tato čísla? 7 z toho, že k 2*3 přičetl jedničku? MR: To ano. Ale proč 396475 ji v dalším kroku naopak odečítá? (inverzní triáda?) Nebo ji přičítá a předtím předchází 2*2=3?

24

Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Desítky navíc/míně desítek(?) (14) • 18.4.06 Honza H. sešit 3785 17 25495 chyba: 7*3+5=25 3785 63345 •

14.2.06 Honza N. sešit 52631 MR: ve druhém i třetím kroku přičítá chybně 1. V posledním kroku počítá 9*5=54, 19 54+2=56 (já: 45x54
inverzní číslo, dle mého názoru to nějaký vliv mít může) 563589 52631 1089899 Připočtení desítek některého z předchozích výpočtů (?) (2) • 15.2.06 Honza D. sešit 30405 29 274005 4 přepsaná z nuly ale co je toto za výpočty… u 9*0 asi zapomněl přičíst 4, kterou 60810 přičetl až k 9*4? a potom 9*0 plus ona čtyřka (na kterou ale nejdřív zapomněl 882105 a napsal nulu jako výsledek 9*0) •

23.2.06 Honza Ch. sešit 36897 27 338279 7*3+4=33? a tedy 7*3=29? MR: 7*3=27, 27+6=33 (z předchozí držené desítky?) 73794 1076219 Připočtení jednotek místo desítek (?) (1) • 25.1.06 Martin sešit 9478 buď k 3*9 přičetl dvojku (z 12??), nebo 3*9=28 30 294340

Napsat správná čísla na správná místa (5) • 14.2.06 Honza N. sešit 12379 72 24758 80453 MR: 1. 7*3=29? 829288 2. 7*2=7, +3=10

25

•

26.1.06 Honza D. sešit

1

1

27145 malé jedničky jsou „ty, co si má držet“, 12 nemá úplně vpravo
může být šestka 12 g vvýsledkem 5 + ta malá jednička? tu jedničku si ale drží, takže ví, že výsledek 1

54296 27145 325746

vyšel přes 10

Špatně napsané pod sebou (3) • 23.2.06 Honza D. sešit 19453 46 116718 špatně pod sebou 77 812 194530 • 14.2.06 Tomáš sešit 21987 39 197883 65961 263844 špatně napsané (pod sebou) Špatné sečtení dílčích součinů (3) • 26.1.06 Katka sešit 38273 23 114819 76546 880269 chybka v součtu 9616 52 19232 48080 500002 to samé (opět jakoby opsané spodní číslo) MR: nemyslí si, že poslední číslo z každého mezisoučinu (řádku) se opíše a teprve další se sčítají? •

1.2.06 Adam sešit 2231 15 11155 vypadá to, jakoby zapomněl čísla sečíst, ale pouze opsal řádek blíže ke 2231 zlomkové čáře (a 5 a 6 prohodil) … dílčí příklady na násobení má ale OK 22356

26

Jiné • 26.1.06 Emilka sešit 27 145 12 54290 27145 326250 MR: 1. Nulu bere jako 10 a v dalším kroku přičítá jedničku 2. ve třetím kroku počítá místo „4+1=5, 5+2=7“ 4+1=5, 5+2=7, 5+7=12 tomu teda moc nerozumím, asi •

15.2.06 Honza D. sešit 7617 36 44701 v originále má ještě čárou spojené, která čísla mí sčítat (0 a 1, 7a 5 atd.) 24851 293211 chyba: nerozumím tomu, dobré a špatné výpočty se střídají; 3*7 jednou určí jako 21, podruhé však už ne (3*7+1=24) MR: rozhodně má konzistentní triádu 6*7=41 + u 3*7+1=24 jakoby „+1“ znamenalo + jeden násobek tří •

26.1.06 Honza N. sešit 42778 46 254668 6*2+4=14? je zde podobnost s příkladem 11.1.? 6*2 zredukováno na 10 … pak 1689112 už by to vycházelo 17145788 druhý řádek: 9 navíc + nepřičtení trojky; napadá mě toto: devítka jako výsledek 4+2+3 (z 31), pak počítal znovu 4*2 (a trojku již nepřičítal) a 4*4

1.2

Celková analýza chyb

1.2.1 Existují náročnější typy příkladů? Pro začátek si pokládám otázku: dá se o některém typu příkladu říct, že je složitější? Přičemž měřítkem složitosti je počet a pestrost chyb? Pro přehled uvádím četnost chyb u jednotlivých typů příkladů ze souboru. Číslo vedle typu příkladu je celkový počet chybně spočítaných příkladů tohoto typu1 (vč. kategorie „Jiné“, kterou představuje číslo za plusem). Tzn., že příkladů, např. na písemné násobení, ve kterých udělaly děti chybu, bylo 77, z toho 3 chyby z kategorie „jiné“.Chyb na vizuálním podkladě bylo v tomto typu příkladu 12, což je 15,6% z celkového počtu (77). Slouží k představě o tom, jak vysoké zastoupení měla v souboru ta která chyba, což dokresluje procentuální vyjádření chyby v daném typu příkladu.

1

Tzn. počet všech příkladů v kapitole 1.1 (+ Příloha 1)

27

Četnost 14

12

12

12

10

7

7

5

5

5

5

4 4

4

4

3

3

3

Chyba Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné připočtení (nelze s jistotou rozlišit) Desítky navíc/méně desítek (?) Chyby na vizuálním podkladě

Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné připočtení (nelze s jistotou rozlišit) Desítky navíc/méně desítek (?) Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek Nepřipočtení desítek

Nepřipočtení desítek

Napsat správná čísla na správná místa

Napsat správná čísla na správná místa

Chybný výpočet Záměna aditivní a multiplikativní triády Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné připočtení (nelze s jistotou rozlišit) Přičtení desítek některého z předchozích výpočtů (?) Šiftová pravidla Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady b) jiné číslo násobkové řady (více než násobek) Zapomenutí nějakého kroku

Chybný výpočet Šiftová pravidla

Chyby na vizuálním podkladě

Chybné přičtení desítek/ chybná připočtení (nelze s jistotou rozlišit) Přičtení jednotek místo desítek (?)

triáda/špatné

Typ příkladu Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo Malá násobilka (5) Násobení většími čísly (28: 19+9) 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Násobení většími čísly (28: 19+9) 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Násobení většími čísly (28: 19+9) 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Násobení většími čísly (28: 19+9) 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo

% 18

15,6

19,3

19,3

12,9

11,3

9

8

6,5

6,5

8 80 14,3

14,3

14,3

10,7

4,8

4,8

28

3

2

2

2

2

2

2

2

1 1

1

1

1

1

1

1

Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v témže desítkovém registru Napsat správná čísla na správná místa

Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady b) jiné číslo násobkové řady (více než násobek)

Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Násobení většími čísly (28: 19+9) 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo

Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru

Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo

2,6

Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru

Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo

3,2

Chybný výpočet Záměna aditivní a multiplikativní triády

Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Malá násobilka (5)

Chybný výpočet Šiftová pravidla Interference s číslem z předchozího výpočtu

Záměna triády v rámci násobkové řady Chyba o násobek Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v témže desítkovém registru

Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v témže desítkovém registru Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v jiném desítkovém registru Chybné přičtení desítek/ chybná triáda (nelze s jistotou rozlišit) Připočtení jednotek místo desítek (?)

Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení (77: 74+3) 2) druhý činitel je dvouciferné číslo

Chybný výpočet Záměna triády v rámci násobkové řady Chyba o násobek Špatné připočtení

7,1

3,2

3,2

3,2

2,6

20 Násobení většími čísly (28: 19+9) 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Násobení většími čísly (28: 19+9) 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Násobení většími čísly (3:2+1) 2) násobení č. pod 10 a č. nad 100 Násobení většími čísly (3:2+1) 2) násobení č. pod 10 a č. nad 100 Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo

Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru

3,9

3,6

3,6

33,3

33,3

1,6

1,3

1,3

29

Z přehledu výše vyplývá, že nejvíce chyb (jak co do četnosti, tak co do pestrosti) se objevilo v příkladech na písemné násobení. Nutno ovšem dodat, že těchto příkladů se v souboru nachází nejvíce. Písemné násobení se skládá z vysokého počtu dílčích kroků. S každým dalším dílčím krokem je vlastně spojeno další riziko chyby: poměrně vysoký počet dílčích operací malé násobilky, správné napsání pod sebe, správné sečtení … Vezmeme-li v úvahu, z jakých všech dílčích kroků se písemné násobení dvouciferným druhým činitelem skládá (výčet viz předchozí text), zjistíme, že chyby nastávají v kterémkoli z nich. Není zkrátka snadné udržet toto všechno v aktivní podobě v mysli. K chybám u písemného násobení mě napadá ještě toto. Co když ve hře není jen množství dílčích kroků, ale také jejich logičnost? Např. držení desítek. Vědí děti, k čemu to vlastně slouží? Proč je pro správný výsledek tento krok nutný? Upřímně řečeno, velice bych se divila, kdyby ano (neb to je a zřejmě také navždy zůstane záhadou i pro mě). Podobně se způsobem zápisu dílčích součinů u násobení dvouciferným druhým činitelem. Děti to zkrátka berou jako fakt. Fakt, kterému ale vlastně nerozumí. Možná právě tohle je další z příčin chyb. Druhá nejvyšší četnost chyb se objevila u násobení většími čísly (č. pod 10 krát č. nad 10, ale pod 100). Zde není podle mě hlavní příčina v počtu dílčích kroků tak jako u písemného násobení, ale v tom, že tyto příklady kladou větší nároky na operační paměť. Na rozdíl od písemného násobení musí děti dílčí výpočty „udržet v hlavě“, stejně tak jako to, co už mají spočítáno, co ne, co k čemu mají připočítat atd. U písemného násobení to podle mého názoru více méně vyplývá ze zápisu.

1.2.2 Dají se určit chyby, které se opakují napříč příklady, a chyby specifické pro určitý typ příkladu? Zajímavé je podívat se na chyby, které se objevují u všech typů příkladů a na chyby, které jsou pro ten který typ specifické:

Chyba Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v témže desítkovém registru

Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v jiném desítkovém registru Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek

Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady b) jiné číslo násobkové řady (více než násobek)

Typ příkladu Písemné násobení 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Násobení většími čísly 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Písemné násobení 2) druhý činitel je dvouciferné číslo

Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Násobení většími čísly 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Násobení většími čísly 2) násobení č. pod 10 a č. nad 100 Malá násobilka Násobení většími čísly 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Písemné násobení (62: 58+4) 1) druhý činitel je jednociferné číslo

Četnost výskytu 3 1 1 1

12 10 4 1 1 4 2

30

Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru

Chybný výpočet Šiftová pravidla

Chybný výpočet Záměna aditivní a multiplikativní triády

Napsat správná čísla na správná místa

Zapomenutí nějakého kroku Chyby na vizuálním podkladě

Nepřipočtení desítek

Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné připočtení (nelze s jistotou rozlišit) Desítky navíc/méně desítek (?) Chybné přičtení desítek/ chybná triáda (nelze s jistotou rozlišit) Připočtení jednotek místo desítek (?) Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné připočtení (nelze s jistotou rozlišit) Přičtení desítek některého z předchozích výpočtů (?) Špatné připočtení Interference s číslem z předchozího výpočtu

Písemné násobení 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Násobení většími čísly 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Malá násobilka Násobení většími čísly 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Násobení většími čísly 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Násobení většími čísly 1) č. do 10 krát č. nad 10, ale pod 100 Písemné násobení 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Písemné násobení 2) druhůý činitel je dvouciferné číslo Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo

Násobení většími čísly 2) násobení č. pod 10 a č. nad 100 Písemné násobení 2) druhý činitel je dvouciferné číslo

2 2 1 4 3 2 2 5 5 5 2 4 12 3 7 7 14 12 3 1 5

1 2

Chyby, které se opakují, jsou chyby ve výpočtu (triády, šiftová pravidla) a napsání správných čísel na správná místa. Specifické chyby se pak objevují v písemném násobení, a to zejména v manipulaci s drženými desítkami. U písemného násobení dvouciferným činitelem se navíc objevilo více chyb na vizuálním podkladě. Příčina je zřejmá: je třeba násobit správné číslo druhého činitele správným číslem činitele prvního, správně to napsat, na nic nezapomenout atd. Což zřejmě není tak snadné, jak se může na první pohled zdát.

31

Může to, že se některé chyby opakují napříč příklady, něco znamenat? Určitě minimálně to, že nenaučí-li se děti násobilku (neboť opakující se chyby spočívají pouze v násobilcechyby ve výpočtu
triády, šifty), neznamená to problém jen v ročníku, ve kterém se násobilka probírá. Jak již bylo v průběhu textu několikrát řečeno, násobilka je zkrátka elementární základ celé matematiky.

1.2.3

Je rozdíl v závažnosti chyb?

Podle mého názoru určitě ano. Za závažnější pokládám chyby, které se opakují napříč příklady. Proč závažnější? Velmi zjednodušeně řečeno proto, že ukazují, že děti neumí násobit. Naproti tomu u chyb ostatních se zdá, že jsou důsledkem množství dílčích kroků potřebných k vypočítání. A to jak množství různých kroků, jak jejich kvantity (př. nakládání s drženými desítkami). Jakoby i pouhé opakování jednoho kroku mohlo způsobit chybu i tam, kde si děti jsou jinak jisté. Abychom se však vyvarovali předčasným a ukvapeným závěrům, je třeba zamyslet se nad jednotlivými chybami. Je totiž velmi snadné říct „děti neumějí násobit“. A snadné samozřejmě neznamená správné. V následujícím přehledu používám pojem „číselné kontinuum“, který jsem převzala od Phdr. Miroslava Rendla, CSc. Znamená „způsob představy“ dětí o číslech, o tom, kde se konkrétní číslo nachází. Těžko totiž můžeme tvrdit, že děti mají představu čísel jako číselné osy, tj. naskládaných vedle sebe. Pravděpodobnější je, že se čísla nacházejí v jakémsi prostoru, o němž ale nemůžeme říct nic víc, neboť víc nevíme. A tomu pojem „kontinuum“ zcela vyhovuje. Chyba Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v témže desítkovém registru

Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v jiném desítkovém registru

Co mě k chybě napadá Myslím, že výsledek nacházející se v témže desítkovém registru může ukazovat na to, že dítě má minimálně povědomí o tom, na jakém místě číselného kontinua se pohybuje (ač zřejmě nemá osvojené triády). V uvedených ukázkách tohoto typu chyby můžeme vidět, že výsledek se od toho správného liší max. o 2; až na tyto příklady: 6*7=32, 4*8=38 a 7*3= 29. Co lze o těchto příkladech tvrdit? 6*7=32
zde má možná svůj význam to, že výsledek se liší o 10- jak vyplývá z tabulky četností záměn násobků, 3 a 4 patří k záměnám nejčastějším. Možná se to tedy netýká pouze násobků, ale i jiných operací s těmito čísly. 4*8=38
může zde hrát roli to, že 4*8=38? Pokud se tyto mé úvahy ubíraly správným směrem , ani tyto chyby pak nejsou tolik závažné. 7*3=29
zde mě napadá toto: mohlo dojít opět k záměně 3 a 4. 29 by pak nebyl výsledek lišící se o 8, ale vlastně o 1. Takže: ač se výše uvedené příklady liší o více než dva, nemusí to znamenat, že se autoři těchto chyb neorientují v číselném kontinuu. Na rozdíl od předešlé chyby myslím, že v tomto případě má dítě menší povědomí o tom, na jakém místě číselného kontinua se pohybuje. Možná se dá také říci, že se v něm příliš neorientuje. Nicméně mám pouze jednu ukázku tohoto typu chyby (9*8=82), což je na vyvozování závěrů poněkud málo. Navíc zde může mít svůj význam to, že výsledek se opět liší o 10; záměna 7 a 8 se sice v tabulce četností záměn násobků vyskytuje pouze jednou, ale podle mého názoru si je 7 a 8 zvukově tak blízko, že tato záměna může mít v širším měřítku výskyt mnohem větší.

32

Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek

Záměna triád v rámci násobkové řady b) jiné číslo násobkové řady (více než násobek)

Záměna triád v rámci násobkové řady c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru Záměna aditivní a multiplikativní triády

Šiftová pravidla

Zapomenutí nějakého kroku

Napsat správná čísla na správná místa Interference čísla

Zde děti zřejmě celkem umějí zacházet s násobením, pamatují si násobky. Dle tabulky četností záměn násobků se záměny o násobek zřejmě týkají veškerých dvojic čísel mezi 2 a 9. Jak moc závažná je to chyba a co může být její příčinou? Myslím, že se jedná o chybu méně závažného charakteru. Děti dle mého názoru vědí, která čísla patří do násobilky, jen nemají triády přesně usazené. Proto dochází k jejich záměnám. Ale na druhou stranu: jde vskutku jen o to, že triády nejsou usazené? Nemůže zde hrát roli také to, že se děti ještě neumějí pohybovat v číselném kontinuu? Tzn. že ještě tak úplně netuší, v jakém místě se bude nacházet výsledek? Tento typ chyby shledávám jako poněkud závažnější. Myslím, že může vypovídat o tom, že děti mají menší představu o pohybu v číselném než v předchozích případech. Na druhou stranu si zde pamatují čísla, která patří do násobilky. Mám bohužel příliš málo příkladů, abych mohla vytipovat další vstupující vlivy (kterými by podle mého názoru mohl být např. typ záměny- např. 3 a 6 jsou zvukově blízká čísla). Ani k této chybě nemám dost reprezentantů. Pouze příklady 9*3=28 a 6*7=40 (kde navíc připadá v úvahu i jiná etiologie). Na rozdíl od chyby „Chybná triáda, výsledek mimo násobilku v témže desítkovém registru“ zde děti zřejmě tuší, jaká čísla do násobilky patří. Opět mě napadá ta samá otázka jako výše: může blízkost od správného výsledku vypovídat něco o tom, jak dobře se dítě pohybuje v číselném kontinuu? U příkladů na písemné násobení s dvouciferným 2. činitelem by tento typ záměny byl mnohem logičtější (sčítání je součást postupu); také se v tomto typu příkladu vyskytuje ve větším množství. Proč se vyskytuje také u příkladů s jednociferným 2. činitelem? Naskočí dětem prostě aditivní triáda (pak je ovšem na místě otázka „proč“)? Nebo „znásobení kroků násobení“ děti poplete? Tzn. vnese jakousi nejistotu i tam, kde by si jindy byly jisté? Problémy s násobením nulou a jedničkou se ukázaly jako poměrně dosti časté, ač se na první pohled zdá, že tyto příklady patří mezi nejjednodušší. Co může být příčinou? Myslím, že to souvisí s tím, co pro děti znamená násobení jedničkou a nulou v praxi. Podle mého názoru to pro ně totiž moc znamenat nemůže; násobím „nic“, násobím „tím samým“- jak si toto představit? Podle Rendla jsou tyto typy příkladů jedny z nejtěžších. Z hlediska pochopní logiky se tedy tato chyba jeví jako závažná; je ale třeba si uvědomit, že „šiftové příklady“ jsou na pochopení velmi složité. K otázce šiftových pravidel mě napadá ještě další věc, a sice souvislost s osvojováním triád, které dle Rendla neznamená čisté paměťové osvojování, neboť triády nejsou tak zcela odděleny od činnosti s čísly. Podle mě „šiftové příklady“ tuto tezi podporují. Jistá podobnost s triádami je zde více než zřejmá. Kdyby bylo jejich osvojení založeno pouze na paměti, neměly by tyto příklady dětem činit dlouhodobější problémy. Může se jednat o důsledek nepozornosti, unavenosti. Tento typ chyby se nachází pouze u násobení většími čísly- lze z toho něco vyvozovat? Je tento typ příkladu v tomto ohledu náročnější než písemné násobení? Např. tím, že písemné násobení vyžaduje menší nároky na pracovní paměť? Písemné násobení je vlastně několik za sebou jdoucích příkladů malé násobilky + je třeba pamatovat si držené desítky. Navíc je zde dle mého názoru zřejmá následnost kroků (vynásobit jedním číslem, vynásobit druhým číslem, napsat, případně sečíst). Myslím, že se jedná o „neškodné“ opomenutí či popletení, které nemá nic společného s nepochopením logiky. Zároveň je to krásná ukázka toho, jak výsledek, který se zdá zcela „mimo“ (př. 7*13=21), vlastně vůbec „mimo“ být nemusí. Myslím, že ani toto není nijak závažná chyba. Co může být její

33

některého z předchozích výpočtů

Chyby na vizuálním podkladě Nepřipočtení desítek

Chybné přičtení desítek/ chybná triáda (nelze s jistotou rozlišit) Desítky navíc/méně desítek (?)

příčinou? To je otázka, protože myslím, že odpověď lze najít ve způsobu, jakým děti pracují s čísly. A to jsem v této práci nezjistila. Je to tak, že se nějaké z předchozích čísel dostane do výpočtu kam nepatří tím, že dítěti zní v hlavě jeho ozvěna? Nebo vidí před očima jeho podobu? Nebo obojí? Další z drobných chybek. Co může být příčinou? Větší či menší problém v percepční oblasti? Nebo je to důsledek nepozornosti, únavy (dlouhé počítání jednoho příkladu)? Ani tato chyba se mi nejeví jako závažná. Proč děti dělají tuto chybu? Že díky většímu počtu kroků postupu na tento dílčí krok zapomenou? Je důležité zmínit, že se tato chyba vyskytuje u více dětí a že neznamená naprosté vynechání kroku přičtení desítek. Jedná se o opomenutí na max. dvou místech. Jde tedy o to, že dítě v důsledku opakujícího se kroku na jeden či dva prostě zapomene? Zde těžko říct, jelikož neumím rozlišit druh chyby. K chybným triádám viz výše, k chybnému přičtení desítek: pochybuji, že by dětem ve čtvrté třídě činily takovéto počty problém. Čím to tedy může být? Tím, že např. 3*9 + 2 v rámci písemného násobení není to samé jako 27+2 (příklad na sčítání)? Znamená tedy nový kontext „příkladu“ vlastně něco jako nový „příklad“? Myslím, že etiologie by mohla být podobná jako u chyby „Interference s číslem z předchozího výpočtu“.

Chybné přičtení desítek/ chybná triáda (nelze s jistotou rozlišit) Přičtení desítek některého z předchozích výpočtů (?) Chybné přičtení desítek/ chybná Stejně jako výše. Navíc jednotky jsou podle mého názoru, co dítě slyší/představí si jako poslední- př. 63- dítěti „uvízne“ trojka? triáda (nelze s jistotou rozlišit) Přičtení jednotek místo desítek (?) Jedná o ojedinělou chybu, navíc u dětí, které patří mezi „matematickou Odečítání desítek Špatně pod sebou Špatné sečtení dílčích součinů

elitu“. Příčinu si nedokáži vysvětlit, jisté je podle mě jen to, že se opět nejedná o nějak závažnou chybu. Drobný nedostatek. Napadá mě stejná úvaha jako k chybnému přičtení desítek (aneb drobné sčítání v rámci písemného násobení nerovná se drobné sčítání jako takové).

Spousta chyb se nejeví jako závažná, protože vzniká na základě drobných opomenutí (ač se může na první pohled zdát, že dítě je „zcela mimo“). Vypadá to, že v násobení (a možná i počítání obecně) je velmi podstatný kontext. Vyplynulo, že i prosté znásobení počtů dílčích operací (př. sčítání dílčích součinů) už pro dítě zřejmě znamená jiný kontext (a je ještě otázka, co vše tento kontext znamená- je to pro dítě „jiný příklad“? Nebo znásobení dílčích kroků způsobuje snadnější opomenutí?). Dalším příkladem je např. 3*9 + 2 - v rámci písemného násobení to není to samé jako 27+2. Jako nejzávažnější se jeví chyby ve výpočtu, tedy triády (přičemž různé chyby v triádách jsou různě závažné) a šifty. Což vlastně znamená, že potíže se objevily jen v oblasti malé násobilky. Konec konců, podstata zmíněných typů příkladů o ničem jiném vlastně není- jedná se o „znásobení kroků násobení“, které je protkáno dalšími kroky jako držení desítek atd. Nad šiftovými příklady jsem se zamýšlela v předchozím textu, u triád je třeba se pozastavit.

1.2.4 Triády Triády jsou spolu se šiftovými příklady nejčastější chybou. Lze najít triády, které se

34

dají označit jako těžší, tj. vyznačující se vyšší chybovostí? Lze najít stejnou věc u chyb o násobek? Odpověď se pokusím najít pomocí následující tabulky, kam jsem vypsala veškeré chyby v triádách (s výjimkou příkladů, kde nelze s jistotou odlišit chybnou triádu od jiné chyby ve výpočtu). Příklad z násobilky Výsledek Chyba o násobek 3*4 4*3 3*8 3*9 4*4 4*5 4*8 4*9 5*3

Četnost Typ záměny násobku Zvuková výsledku Shoda

16 2J 16 1 32 1 18 1 12 2J 25 1 36 1 27 1 10 1 20 1 5*5 30 1 5*8 32 1 6*2 10 1 18 2J 6*5 35 2S 5*6 35 1 6*8 54 1 8*6 40 1 7*2 12 2J 21 1 7*3 28 1 7*4 21 1 7*6 49 1 35 1 8*7 64 1 9*5 54 1 Jiné číslo násobkové řady (více než násobek) 3*4 24 1

3 za 4 3 za 4 3 za 2 4 za 3 4 za 5 8 za 9 4 za 3 3 za 2 3 za 4 5 za 6 5 za 4 6 za 5 2 za 3 5 za 6 6 za 7 8 za 9 6 za 5 7 za 6 2 za 3 3 za 4 4 za 3 6 za 7 6 za 5 7 za 8 5 za 6

4 za 8 nebo 3 za 6 4*6 32 1 6 za 8 4*9 28 1 9 za 7 6*9* 36 2J 9 za 6 8*4 48 1 4 za 6 Jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru 7*6 40 2S -2 6*7 32 1 -10 7*8 54 1 -2 9*3 28 2J +1 Číslo mimo násobilku V témže desítkovém registru

A A A N A A N N N A N N N N A N N N N N A A N N A N A N N N N N N N N

35

4*6 26 4*8 38 6*7 41 7*6 44 7*3 29 V jiném desítkovém registru 9*8 82

1 1 1 1 2 (J)

+2 +6 -1 +2 +8

A A N N N

1

+10

N

S- stejné dítě J- jiné děti Chyba o násobek: Četnost Typ záměny násobku výskytu 3a4 8 5a6 6 2a3 5 7a6 4 4a5 2 8a9 2 7a8 1 * k chybě 9*16=126 (a tedy 9*6=36) MR: 36 je i v násobilce 9; možná jde o to, že danému součinu odpovídají dvě dvojice činitelů: a) 36= 6*6 nebo 9*4 b) 24= 3*8 nebo 6*4 Víckrát jsem toto ale zaznamenala, tudíž těžko říct. Akustická shoda Další možnou příčinou chyb v triádách byla kromě záměny akustická shoda. Ve vzorku příkladů se tato možnost jeví jako pravděpodobná jen u třech případů (viz níže), což není moc. Nicméně to neznamená, že akustická shoda nemůže být příčinou chyby v triádě u konkrétního/konkrétních dětí. • Myšák u tabule, 11.10.05 7*9=49
zvuková shoda, proto chybka?Kdyby příklad zněl 9*7, udělal by Myšák také chybu? • 12.10. 05 Adam sešit 4*8 je 38 ( akustická shoda ): nebo: 4*7=28
4*8=38? 4*6 je 26 (akustická shoda) Nejvíce těchto chyb se objevilo v záměně triád v rámci násobkové řady, v chybách o násobek; nejčastějšími záměnami jsou 3 se 4 a 5 se 6 (ostatní chyby v triádách jsou svou četností v porovnání s chybami o násobek téměř zanedbatelné, tj. neopakují se). Proč zrovna mezi těmito čísly? Napadá mě velká zvuková podobnost. Již v předchozím zamyšlení si pokládám otázku: co může být příčinou chyb o násobek? Jen špatně usazené triády? Nebo že se děti nepohybují s jistotou v číselném kontinuu? Nebo obojí?

36

Napadá mě toto: děti si osvojují děti triády nejprve v rovině paměti, tj. mechanicky se učí, která čísla patří k sobě1. Po čase zjistí, že to vlastně má nějakou logiku, získají cit pro násobení, cit pro pohyb v číselném kontinuu. Záleží samozřejmě na individuálních kompetencích dětí, jak dlouho to bude trvat a jak kvalitní bude výsledek tohoto řekněme procesu. To by potom mohla být odpověď na otázku příčiny chyb o násobek. Děti si ještě přesně nepamatují, která čísla k sobě patří (přičemž ale čísla patřící do násobilky znají), ale přibližně tuší, v jakých místech číselného kontinua se výsledek pohybuje. Chyby o více než násobek by potom mohly svědčit o „menším tušení“ toho, kde se výsledek pohybuje, ale tím, že jako výsledek určily číslo násobilky můžeme tvrdit, že též vědí, jaká čísla do ní patří (tzn. pamatují si to). A u chyb, kde je výsledek číslo mimo násobilku můžeme říct, že děti tuší, kde se v číselném kontinuu pohybují, ale nepamatují si čísla násobilky. Takže se vlastně jedná o proces, kde je potřeba paměti a citu pro násobení (možná lze říci matematické kompetence?). A chyby jsou důsledkem snížených kompetencí dětí v těchto oblastech (u různých dětí různě)? Vymizí chyby časem? Pokud ano, tak proč? Neustálým procvičováním příkladů ve škole, a tedy drilem paměti? Může tento dril vést k tomu, že děti získají cit pro násobení? Co když právě mechanické opakování vede k vytvoření „citu pro matematiku“? K utvoření jakýchsi struktur, na základě kterých se pak dítě může dále rozvíjet? To je velmi zajímavá otázka, která by si zasloužila být samostatným tématem.

1.2.5 Kategorie „Jiné“ O všech kategoriích chyb byla již minimálně zmínka, nikoli však o kategorii „Jiné“. V následujících řádkách sdružím chyby, které se opakují, a vypíšu ty, které se neopakují. A připojím samozřejmě komentář. Skládání čísel (Sára) • 6*17=642 Sára (17.5.) PI Sára skládá 6*1 a 6*7 • •

7

2*18 Eliška 36, Sára 21 6 původně asi Sára počítala 2*100 a 2*8, ale kde vzala 76… MR: Sára tu nepočítá, ale skládá: 2*1 a 2*8 je 2 a 16=216 2*49=81 Sára (17.5.) PI MR: Jednička z 18

Sára jakoby o „vyšším“ násobení (tj. ne malá násobilka) vůbec nic netušila. Násobení pro ni není matematická operace, ale pouhé skládání dílčích výsledků malé násobilky (kterou evidentně umí). Může to být ukázka hypotézy, že v počítání je podstatný kontext? Tyto příklady vlastně nejsou nic jiného než malá násobilka (př.: 2*49=2*40, což se děti učí jako 2*4 plus nula, a 2*9 + sečtení obou mezivýsledků). Jenže malá násobilka ve zcela jiném kontextu. Nestačí ji totiž jen spočítat, ale také správně použít v kontextu příkladu, tj. v tomto případě sečíst. Vytratí se nějaký řád • 49*7=143 Eliška (21.6.) PI MR: 80+63 (80 je z 280) Eliška 17.5.05 • U: „Teď bude lahůdka, to snad bude mít jen já nevim kdo…4*76… počítáme samozřejmě jako 4*70 + 4*6“ Eliška píše 232, Katka 304 MR (k výsledku 232): Zdá se mi, že Eliška vždycky počítá jednotky zvlášť - jen nevím, jestli jako první nebo jako druhý krok - a pak je dává dohromady s násobením desítek. Jeden krok bez problémů určuje ve výsledku počet jednotek (i když i tady udělala chybu), druhý krok počet stovek (pokud přesahuje přes 100). Problémy jsou nejčastěji tehdy, když první i druhý 1

Může to souviset s tím, že na otázku proč je u tohoto příkladu zrovna tento výsledek, odpovídají děti většinou „já nevím“? A to proto, že zkrátka vědí, že to tak je (paměť), ale neví proč? Zde ale určitě vstupuje do hry také schopnost verbalizovat myšlenky atd., takže se můžeme pouze domnívat.

37

krok mluví do počtu desítek. Pak se desítky z jednoho kroku mohou zapomenout. To se jí možná stalo tady. Ze 4*70=280 jí zbylo je „dvěstě“ a to dala dohromady s chybným 4*6=32? U Elišky nejsou vyloučeny daleko komplikovanější šarády, ale tady mě nic nenapadá. • 163*6=968 Eliška (21.6.) PI 8 by mohla být z 18 (3*6) – a desítku již zapomněla připočíst
připočítává Eliška nejdříve jednotky a až posléze desítky? • 4*76 (s nápovědou rozkladu - U řekne 4*70 + 4*6)=232 Eliška (17.5.) PI MR: 280+4*6=200+32=232? • 11.11.05 Vašek sešit 126 6*7=40? MR: ano, soustředěn na desítky, které musí dále držet 7 880 157 6*7=40? Ta samá chyba jako výše 6 940 • 11.1.06 Honza N. sešit 8355 Chyba: 6*8+2=42?napadá mě: vynechané jednotky; že by proto, že si řekl 48 a na ty jednotky už zapomněl? 6 42130 •

26.1.06 Honza N. sešit 42778 46 254668 6*2+4=14? je zde podobnost s příkladem 11.1.? 6*2 zredukováno na 10 … pak 1689112 už by to vycházelo 17145788 druhý řádek: 9 navíc + nepřičtení trojky; napadá mě toto: devítka jako výsledek 4+2+3 (z 31), pak počítal znovu 4*2 (a trojku již nepřičítal) a 4*4 Může být tato chyba ukázkou náročnosti udržení všech dílčích počtů a kroků „v hlavě“? Zmiňuji se o tom v souvislosti s příklady na násobení většími čísly, nicméně u některých dětí to zřejmě představuje problém také u písemného násobení; konkrétně: v případě opomenutí řádu jednotek se děti soustředí na držené desítky (Vašek, Honza N.). Eliška počítá zvlášť jednotky a zvlášť desítky, proto se jí snadno stane, že na něco zapomene (ta již u násobení většími čísly). Sčítány jednotky a desítky • 89 Štěpánka 2.5. PI 5 805 Ten konec počítání je nějak popletený, nerozumím
nemůže 80 pocházet z ovlivnění osmičkou? Š. si řekla 5*89 a napsala prostě tu 80? MR: 40+4=8 • 5.1.06 Honza D. sešit 8036 chyba: místo 50 má být 40. Může tam mást 5 * 8 je 50?? MR: není to spíš doznívání 5 předchozí jedničky? „5*8 je 40 a 1 je 50“ 50180

38

Zřejmě důsledek nakládání s desítkami. Dítěti se pak z mysli vytratí jednotky- všimněme si, že u obou dětí je chyba v závěrečném výpočtu. Kdyby se nejednalo o závěrečný výpočet, počítalo by se u Štěpánky 5*8 je 40, plus 4 desítky ze 45 by bylo desítek osm, tedy 80. Honza D. udělal vlastně tu samou chybu, jen ještě počítal 2x desítku z 15ti. „Specifická specifika“ • 6*57=332 Eliška (21.6.) PI 6*7=32, asi omyl (32x42) • 6*19=94 někdo PIS I MR: skoro jakoby 6*20 -6 = 100 -6? • 21.11.05 Bára sešit 3109 pouze zapomněla napsat trojku? (že by váhala, že 3*1 jsou 3 nebo 1? ) 3 9 27 •

15.2.06 Honza D. sešit 7617 36 44701 v originále má ještě čárou spojené, která čísla mí sčítat (0 a 1, 7a 5 atd.) 24851 293211 chyba: nerozumím tomu, dobré a špatné výpočty se střídají; 3*7 jednou určí jako 21, podruhé však už ne (3*7+1=24) MR: rozhodně má konzistentní triádu 6*7=41 + u 3*7+1=24 jakoby „+1“ znamenalo + jeden násobek tří

1.3

Shrnutí

Jak plyne z celého textu, pestrost chyb je vskutku veliká. A to jak chyb, které se opakují, tak chyb specifických pro konkrétní dítě. Nelze tedy jednoduše říct „dítě neumí počítat“. Často se totiž jedná o více či méně banální chybu, která jen vypadá, že je závažná. Pestré jsou zajisté také postupy počítání u jednotlivých dětí, bohužel v záznamech pozorování jsou zachyceny jen některé. Myslím ale, že díky výborné spolupráci s dětmi jsou zachyceny velice podrobně, a tak máme možnost alespoň trošku nahlédnout do toho, co se dětem při počítání děje v hlavách. Příklady se skládají z mnoha dílčích kroků, které si ani neuvědomujeme. Přitom čím větší počet kroků, tím větší riziko chyby. K chybovosti může přispívat také „nelogičnost“ kroků. Vědí děti, proč je např. u písemného násobení nutné držet daný počet desítek? A dodržovat způsob psaní pod sebe? Co se týče počtu chyb, nejvíce se jich objevilo u písemného násobení. Zřejmě z výše uvedených důvodů (četnost dílčích kroků). Dále pak u násobení většími čísly, tedy pamětného násobení. Zde mohou být příčinou větší nároky na operační paměť. Může to demonstrovat obecný rozdíl mezi písemným a pamětným počítáním? Objevily se chyby specifické pro určitý typ příkladu i chyby „univerzální“. Z analýzy chyb vyplynulo, že ony tyto specifické chyby patří do kategorie nezávažných, naopak chyby „univerzální“ se ukázaly jako závažné. Patří mezi ně chyby ve výpočtu s etiologií v oblasti triád (tedy chybám v násobení) a šiftové příklady. Analýza chyb v triádách ukázala na jejich možnou příčinu: proces postupného pochopování „záhad matematiky“, který funguje na základě souběhu působení paměti a „citu pro matematiku“, přičemž vyvstala otázka, nakolik může paměť (mechanické opakování) facilitovat vytváření citu pro matematiku (matematických kompetencí). Může to být tedy tak, že mechanický dril (opakování násobilky)

39

je vlastně k pochopení logiky násobení nezbytný? A v širším kontextu vlastně nejen násobení, protože násobilka je základ veškerého počítání? Z čehož tedy plyne základní otázka: je perfektní znalost malé násobilky základem veškerého dalšího počítání? Co všechno je na násobení potřeba pochopit? Vlastně pouze jeden princip: co to znamená, když řeknu např. „třikrát“. Že, na rozdíl od plus tři, množství něčeho třikrát vzroste. Zbytek je už pouze mechanické osvojování, ať už toho, „která čísla patří k sobě“, nebo toho, jaké dílčí kroky mohu při počítání udělat, abych si jej co nejvíce zjednodušil. Podle MR je složitost často „pouhá“ složenost. Šiftové příklady, ač se může zdát, že patří mezi ty nejjednodušší, patří mezi složitější typy příkladů. Popírají totiž logiku (násobím „nic“ atd.). Důležitým zjištěním je, že co typ příkladu, to zřejmě jiný kontext počítání. I prosté znásobení kroků (např. malá násobilka u písemného násobení) už znamená jiný kontext, a tedy jinou početní situaci. Příkladem může být Sára. Malou násobilku sice umí, ale má-li tohoto umu využít v příkladu na velkou násobilku, je v koncích.

40

2. DĚLENÍ Co to znamená „dělení“? Lze jednoduše říci, že se jedná o operaci reverzibilní s násobením? Nebo je dělení operace složitější? Podle Rendla je u dělení třeba mít na paměti násobkovou řadu jako celek, což u násobení potřeba není. Tam si lze totiž pomoci (prsty, postupné přičítání …). Podívejme se nejprve na druhy chyb. V následující kapitole se nad nimi zamyslím, a to pokládáním stejných otázek ve stejném pořadí jako v kapitole Násobení. Případné rozdíly pak budou lépe patrné.

2.1. Kategorizace chyb v jednotlivých typech příkladů a jejich analýzy 2.1.1 Dělení I (malá násobilka) -

Co všechno obnáší správné vypočítání příkladu na toto jednoduché dělení? mít na paměti násobkovou řadu správně zařadit do triády napsat správné číslo triády jako výsledek

Chyby Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku)(1) • 15:3=10 Michal B. 13.9. Záměna triád v rámci násobkové řady Chyba o násobek (1) • 32:4=7 Sára 11.10. diktát (U diktuje, děti píší výsledky do sešitu, Sára tento výsledek napíše hned) Napsat správná čísla na správná místa Použito špatné číslo z triády (2) • 2.5. Lukáš U: „50:5, Lukáši… “ špatné číslo z triády L: „5“ U: „To ne“ L: „10“ U: „A 10:5?“ L: „5“ U: „ Ne, kolik je pětek v desítce?“ L: „2“ Použité špatné operace (1) • 7:7=49 Sára 12.9. spletla si to s násobením; tento příklad je 1 z 24 příkladů v učebnici, je z druhé půlky (první půlka byla násobení), U na jednotlivé příklady vyvolává děti- tento příklad je 3. na dělení, tudíž by důvodem chyby neměl být přenos algoritmu násobení.

2.1.2 Dělení II (na základě malé násobilky) Např. 450:9; jedná se sice o dělení většími čísly, nicméně základem je malá násobilka. Co všechno obnáší správné vypočítání tohoto typu příkladu? • Utvořit správnou triádu malé násobilky • Napsat správná čísla na správná místa

41

Chyby Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady jiné číslo násobkové řady (více než násobek) (6) • 450:5=70 Danielka PIS I (5*7 x 5*9) • 17.5. 420:7 (ještě než U řekne dělitel, Eliška už tipuje, že bude 7 a výsledek tedy 60), Eliška píše 60 se slovy „to už tu bylo“, Sára 80 (8*7 x 6*7)? Může předvídání dělitele a posléze výsledku demonstrovat roli paměti při osvojování triád? Napsat správná čísla na správná místa Nedopsání nuly (3) • 400:8=5 Honza Ch. (12.4.) • 420:7=6 Emilka PIS I Nula navíc (1) • 300:5=600 Sára (17.5.) PI MR: nuly opsala místo dopsala Použito špatné číslo z triády (2) • Štěpánka PIS I 100:2= 50 (ale před ní má škrtlou 2) • Štěpánka PIS I 150:3=50 (ale před ní má škrtlou 3) Jiné (1) • 400:8 Tomáš:2 MR: Jde o triádu 4-8-2. Dělení je pro děti občas jakoby kvazikomutativní, jako by z toho, že 8:2=4 a 8:4=2 vyplývalo, že i při 4:8 dostaneme třetí číslo triády. Konkrétní ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku •

Některé příklady, tedy i výsledky, mají naučené nazpaměť, což jim ulehčuje život, Eliška 17.5. - 420:7 (ještě než U řekne dělitel, Eliška už tipuje, že bude 7 a výsledek tedy 60), Eliška píše 60 se slovy „to už tu bylo“ - 810:9 (Eliška opět předpovídá dělitel), 90 napíše hned Konkrétní ukázky vzniku chyby

• 4.10. Ota 360:6=50 Ota označí za chybu a tvrdí , že výsledek je „36, teda 10, 10!“ (ano, s desítkou je určitě třeba počítat, 36 je výsledek 6*6, 360 pak 6*6*10) • 12.4.05 U otevře tabuli, tam jsou 3 sloupce příkladů (bez výsledů) U: „Nic si neopisujte, bude pak dost času“ 420: 7 17:3 8*16 640:8 41:7 9*13 350:7 54:8 7*17 500:10 70:9 8*11 810:90 64:7 9*0 400:80 7:8 6*12 U připomíná: „Když máme jakákoli čísla s nulou na konci a chceme je dělit, první, co uděláme je, že si v duchu škrtnu nulu, to je násobilka ze 2. třídy, to umíte, 42:7 je, Honzo“Honza : 6

42

Honza Ch. se hlásí ještě před tím, než U dořekne, co chtěla U: „A pak uděláte co?“ Honza CH.: „Přidám nulu. Proč to nemůžeme psát, když to umíme?“ (tím myslí opsat z tabule příklady do sešitu a vypočítat je) U: „Ale některé děti to ještě nepochopily“ U: „Lukáši, jak by sis poradil se 350:7? Neříkej výsledek, jen co uděláš“ Lukáš: „35:7 a pak přidám nulu“ U: „Pro děti, které to ještě nechápou, zkusíme ten postup. Myšáku, které číslo si vybereš z 500?“ Myšák: „ 50“ U: „Vyděl to 10“ Myšák: „5“ U: „A přidáš nulu“ Myšák: „50“ U ještě říká další možný způsob řešení příkladu 500:10- 5:1 + přidání nuly, ale říká, že to už asi moc komplikované a děti přitakají U: „Honzo Ch., jak budeš řešit 810:90?“ Honza CH.: „81(nebo 810? Bohužel jsem nezachytila- ale spíš asi 81, protože Honza Ch. se jeví jako dobrý počtář) :9 je 9 a přidám nulu, takže 90“ U: „Tohle byl velký chyták. Když si udělám zkoušku, tak zjistím, že 9*90 je 810. Ale to se učí až ve 4. třídě. Problém je v tom, že když mám nuly na obou stranách, musej se odškrtnout. 81Ø : 9Ø = 9, je to to samé, jako 81:9. Ale pozor! Jen když tam jsou dvě nuly“ U: „Lukáš zkusí poslední, 400:80. Nejdřív si řekni, co máš odškrtnout“ Lukáš: „Nulu“ U: „Pozor“ Lukáš: „Dvě nuly“ U: „40:8 je…“ Lukáš: „4,…6,…5“ U: „Zkouška 5* 80 je 400, takže to zkouška potvrdila“ Honza Ch. a Lukáš udělali stejnou chybu, ač postupovali jako Myšák, u jehož příkladu to ale nevadilo. Rozumí ale děti, proč tomu tak je? Proč někdy stačí odepsat jedna nula a je to v pořádku? A rozumí vůbec tomu, proč se může postupovat zrovna takto? Že je to vlastně založeno na principu krácení? Ale krácení zlomků je v osnovách až u vyšších tříd … • Honza Ch., 19.4.05 Odchytnu si Honzu o přestávce a dám mu příklad 400:80 (jako měli před týdnem ve školeviz výše), H. odpoví 50 (po chvilce), upozorňuji, že jsou na obou stranách nuly, a je to tedy jistý speciální příklad Honza: „Já vim, ale je to těžký, nevim, jak se to počítá“ . Což si vykládám tak, že ho nebavím, že ho zdržuji o přestávce Je ovšem zajímavé, že se chyba opakuje …

2.1.3 Dělení III (velká násobilka) Tento typ příkladu se děti učí počítat pomocí rozkladu: př. 39:3= 30:3+9:3. Co všechno obnáší správné vypočítání tohoto typu příkladu? - správně rozdělit na desítky a jednotky - správně vydělit řád desítek - správně vydělit řád jednotek - správně to sečíst - správně vše napsat

43

Chyby Použité špatné operace (2) • 66:6=388 Sára (10.5.) Sára násobila; příklad je součástí série příkladů napsané na tabulitvoří tři sloupce, tento příklad je v prvním sloupci, který je celý na dělení- Sářiny výpočty jsou vskutku záhadné, zřejmě tuší, v jakých řádech by se výsledek mohl cca pohybovat, ale co pak s čísly provádí … nechápu • 60:5=530 Sára (10.5.) tento příklad následuje za předchozím, S. zřejmě opět násobí, ale moc tomu nerozumím, 30 by snad mohlo být výsledkem 6*5, ale 500?
nebo: pět je z triády 6,5,30 a 30 z té samé triády?Ano, to zní pravděpodobněji, protože to opět ukazuje na Sářino skládání čísel. A celkový zmatek. Konkrétní ukázky vzniku chyby Sára: • 17.5. : U: „Sára nám z toho příkladu vytáhne jen to, co umíme…50:6, co si první řekneš“ Sára: „5:6“ spletla si to s pravidlem pro počítání s nulami (ale na druhou stranu 50 nulu má) • otázka Sáry 12.4. „na jaký to bude příklady?“ (před začátkem soutěže) • 39:3=133 Sára (10.5.) Postup: 39:3=1tuší, že výsledek bude přes 100?, pak chvíli přemýšlí, něco počítá na prstech (ale nevím co ani jak) a napíše 133 jako výsledek. Napadá mě ještě toto: jak se ukázalo v kapitole násobení, Sára nepočítá, ale skládá. Může být 1 výsledek 3:3 a zbylé trojky výsledkem 9:3? Což Sára asi počítala dvakrát? Sára patří ke slabším žákům. Potřebuje vědět, o jaký typ příkladu se jedná, aby si vybavila správný algoritmus? S trochou nadsázky by se pak dalo říct, že Sára se matiku neučí s cílem pochopit, ale s cílem správně přiřadit ten který postup (mechanicky)- a moc asi netuší, proč, jak atd. Konkrétní ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku • 10.5.05 - Bára: „Ale já to dělám jiným způsobem“ a diktuje U, co má psát na tabuli 10

7

51 : 3= (30:3)+(21:3)=17 Bára diktuje i ty závorky a to, že má U psát mezivýpočty nad závorky, ne až za „rovná se“ 10 a 7 30 21 Honza Ch. „Proč to dělá takhle?“ U: „Aspoň bude mít větší jistotu, že neudělala chybu“ nejde zde o „jiný“ způsob, jen pečlivější rozepsání- oproti 72:6=10+2=12

60 12 Bára to však jako „jiný“ způsob zřejmě pociťuje; může to mít nějakou vypovídající hodnotu? např. to, že: - Bára nevidí naprostou ekvivalenci mezi oběma způsoby, a proto lze možná tvrdit, že vlastně tak zcela nerozumí podstatě příkladu? - potřebuje ze stejných důvodů takto pečlivý zápis? tzn. z důvodů těch, aby minimalizovala riziko chyby (jak řekla U), neb nerozumí logice příkladu?--> dalo by se tedy tvrdit, že pečlivý zápis v tomto případě kompenzuje nedostatek porozumění příkladu?

44

MR: to platí obecně: čím rozvinutější postup (a více dílčích kroků), tím menší vhled do logiky celkového postupu. Ale zároveň je rozvinutý postup s kontrolou kroků cestou ke zkrácení za současného chápání logiky. „Násilné“ zkrácení může vést k mechanice bez pochopení. • Eliška a Štěpánka 10.5. u příkladu 66:6- po rozložení vzniknou příklady (60:6) + (6:6), u (6:6) Eliška prohodí: „je to 1 nebo 0?“ Štěpánka: „Nevim, taky nad tim přemýšlím“ Eliška: „tak já napíšu třeba jedna“

2.1.4 Dělení větších čísel Konkrétní ukázky způsobu počítání, kde se žák dobral správného výsledku Honza Ch.. 26.4.05 - 144:8: Doporučený postup: 144 :8= (80:8) + (64:8) 80

64

Honza Ch. má ale jiný způsob počítání tohoto příkladu, jde ho ukázat na tabuli: „8:14 je 1..“ U ho opraví, že 14:8 a radí mu, ať si jedničku napíše, Honza říká, že není třeba, neb si to pamatuje „pak si napíšu zbytek je 6, 64:8 je 6“ U opraví, že 8 „a napíšu, že výsledek je 18“ . Šlo tedy o variaci písemného dělení. Podobné ulehčení viz Honza Ch. 14.4.05 u násobení (s. 8). Zde je postup ovšem složitější o nutnost počítat s dílčím zbytkem. Proto si myslím, že Honza již o písemném násobení něco tušil.

2.1.5 Dělení se zbytkem (menší čísla) Paní učitelka doporučuje tento postup počítání: najít nejbližší menší číslo od dělence dělitelné potřebným dělitelem (nejbližší menší číslo dělitelné něčím), pak dopočítat zbytek. Co všechno obnáší správné vypočítání tohoto typu příkladu? o znát násobilku dělitele o správně určit nejbližší menší číslo jím dělitelné (násobek dělitele) o správně to vypočítat (číslo výše správně vydělit dělitelem) o opět si vybavit nejbližší menší číslo dělitelné dělitelem a odečíst ho od dělence (aneb správně vypočítat zbytek) o vše správně napsat Chyby Chybný výpočet Správně určit nejbližší menší číslo Místo nejbližšího menšího čísla si řeknou nejbližší větší (5) MR: Nastává to jen v příkladech, kdy nejbližší větší násobek je dělenci blíže než násobek nejbližší menší? Např. u Báry by chyba nenastala, kdyby příklad byl 60:8? Je tu ale ve hře ještě desítkový registr dělence – možná „šedesátkový“ dělenec svádí k tomu hledat nejbližší násobek v šedesátkovém registru. Přechod mezi registry může pak subjektivně vzdálenost čísel zvětšovat (64 je k 61 blíže než 58). Vzdálenost nekomplikovaná registrem je např. u dvojice příkladů 24:7 a 25:7. Je u druhého pravděpodobnější, že jako nejbližší násobek bude určeno 28? • U: „Adam může dělit se zbytkem, 17:3“ Adam hned: „5 a zbytek 2“ U: „Řekneme si to po lopatě, ať víte, jak se na to přijde. Honzíku, jaké si Adam řekl nejbližší číslo, které jde dělit beze zbytku?“ 45

• •

Honza: „15“ U: „A rozdíl mezi 15 a 17?“ Honza: „2“ Tomáš: „Ale paní učitelko, ale jde udělat i chyba, že si řeknou 18“ Bára písemka 20.4. 61:8=8 (původně 7), zb. 3 46:8=6 zb.2 Emilka PIS

Místo nejbližšího menšího čísla dělitelného potřebným dělitelem určeno nejbližší číslo z malé násobilky (1) • Bára 12.4. Bára dostane příklad 70:9 U: „řekni si ….. “ Bára: „64“ Podporuje hypotézu MR : „Čísla násobilky“ tvoří svébytný číselný prostor, nezačleněný do číselného kontinua, nesouvisejícího s ním. Záměna aditivní a multiplikativni triády (2) • 27.9.05 Honza Ch. sešit 8:6=2 zb.2 asi místo 8:6 „počítal“ 8-6; asi tím, že součástí „postupu“ dělení se zbytkem je i odčítání, se to občas poplete?Nebo jen napsal špatné číslo (tzn. řekl si „jedna, zbytek dva“ a tu dvojku pak napsal)? • 27.9.05 Honza N. sešit 8:6=4 zb.2 napadá mě jen, že 6 a 4 je 10 a 2 je rozdíl do osmičky. A 10 je mj. nejbližší větší číslo… I když ne dělitelné šesti. Ale nejbližší číslo násobilky to je. Což je jedna z chyb u dělení se zbytkem. MR: řekl bych, že odčítání tam ve hře je, že místo aby dělil šesti, dělí jaksi reflexivně osmičku dvěma, tedy vlastně zbytkem. Jako by nejprve určil zbytek a pak dělil jím místo dělitelem. Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Dělení se zbytkem je bohužel takový typ příkladu, u kterého když nevíme přesný postup počítání, nelze s jistotou určit typ chyby. Může se jednat o chybu v triádě, ale i špatné dopočítávání. Proto k následujícím názvům kategorií přidávám otazníky. Těžko totiž tvrdit, že se jedná právě o tu a tu chybu. Chybná triáda (?) (výsledek číslo mimo násobilku) (1) - v jiném desítkovém registru • 86:9= 8 zb.4 9*8 = 82 , 27.9.05 sešit Martin Záměna triád v rámci násobkové řady (?) a) chyba o násobek (1) • 29:7=3 zb.1 o násobek méně , 27.9.05 sešit Martin b) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru (1) • 62:8=7 zb.8 8*7=54?, 27.9.05 sešit Honza N. Špatné dopočítání zbytku (?) (8) • 71:8=8 zb. 6 Adam, sešit 27.9. • 7.12.05 Honza N. sešit- 44:9=4 zb.7 • 27.9.05 Katka sešit - 71:8=8 zb.5 Napsat správná čísla na správná místa (13) • 8.3. oprava písemky, 19:5=15 Jako výsledek určen nejbližší nižší násobek • 60:8=56 zb. 4 Emilka, 29.9.05, v sešitě, napsala místo 7 56 (jako výsledek nejnižší nižší násobek) • 20:3=18 zb. 2 Emilka, 29.9.05 (jako výsledek nejnižší nižší násobek) 46

Dělitel je větší než dělenec (5) Tento typ příkladu zařazuji do speciální kategorie chyb, protože podle mého názoru „speciální“ je. Chyby se v něm dělají poměrně často. Proč? Podobně jako u šiftových příkladů mě napadá jejich „nelogičnost“. Jak si představit dělení většího čísla menším? Nemohou být tyto příklady pro děti něčím podobným jako příklady šiftové? Akorát že zde asi není jasné, jaká čísla mohou být výsledkem (u šiftových to je 1 nebo 0)? MR: V těchto příkladech vypadávají z logiky, která už je u ostatních příkladů na dělení se zbytkem celkem bezpečná. Tady jako by se ocitali mimo číselnou řadu, mimo pohyb v ní, najednou nevědí, co se děje. • 5:7=0 zb.7 Katka, 29.9.05 sešit • 27.9.05 Ota sešit 1:5=1 zb.4 že by se sem vploužilo sčítání? 4+1 je 5… je-li tedy „výsledek“ jedna, zbytek musí být 4 • 27.9.05 Honza N. sešit 1:5= 2 zb.3 (2+3 je sice 5, ale …) MR: jako by hledali nějaké číslo, které se vejde 1x do pětky a k němu pak zbytek • Myšák 12.4.: „7:8 je nula, zbytek 8“ U opraví, že 7 • 29.9.05 Tomáš sešit: 5:7= 1 zb.2 MR: všude počítají zbytek z dělitele namísto z dělence. Jako by tu fungoval předpoklad, že to, co se dělí, je větší číslo. [Mimochodem: je patrné, že při dělení se zbytkem se vlastně dělenec dělí dvakrát- jednou v multiplikativním významu, odpovídajícímu tomu, co znamená dělení v matematice, podruhé (nebo možná nejprve) v aditivním významu: „rozdělení“ na dvě stejné části.] Konkrétní ukázky vzniku chyby •

17.5.05 Myšák: „a=50:6..“ a počítá dál, U stopuje U: „Sára nám z toho příkladu vytáhne jen to, co umíme…50:6, co si první řekneš“ Sára: „5:6“ spletla si to s pravidlem pro počítání s nulami (ale na druhou stranu 50 nulu má) Adam: „čtyřicet….“ Katka: „42“ U: „to víc“ K. záhy: „48“ • 4.10. Michal B. - ptám se M., zda jsou lehčí, M. přikývne, ale moc věrohodně to nevypadá u 25:4 U Michalovi strukturuje postup, M. odříkává násobky 4: 0, 4, 8, 12, 16, 18 U poví, že ne, M. se opraví na 20, 24- tam ho U zastaví, ptá se, kolik je 24:4, M. odpoví, že 8, U říká, ať si dává prst za každý násobek a ukazuje mu to na svých (4, 8 …. až 24) 24:4=8
a vidíme v praxi 3*8 vs. 4*8 - Michal počítá 11:3- něco dělá s prsty P ruky, podle mě si odříkává násobky tří a počítá, kolikrát se tam tedy vejde (jak mu U radila), pak napíše 11:3=9 (určil správně nejbližší menší číslo), pak přijde U a dopomůže

2.l.6 Písemné dělení Písemné dělení je to vlastně několik lehčích příkladů na dělení se zbytkem za sebou, pro správné vypočítání je třeba: o znát násobilky dělitele o správně určit nejbližší menší číslo jím dělitelné

47

o správně to vypočítat (číslo výše správně vydělit dělitelem) ≈ vybavit si správnou triádu o opět si vybavit nejbližší menší číslo dělitelné dělitelem a odečíst ho od dělence (aneb správně vypočítat zbytek) o sepsat správné další číslo o správně vše napsat Chyby Chybný výpočet Šiftová pravidla (4) • 19.10.05 Emilka sešit 7,86:6= 130 zb.6 18 06 362:2= 180 zb. 2 968:8=120 zb.8 16 16 02 08 hm, tyto příklady nejsou na dělení se zbytkem… stejná chyba jako téhož data Danielka. E. má však u třech předchozích příkladů (viz) výsledek správně. Ani porovnáním se sešity ostatních nepoznám, zda ony příklady dělali ve třídě společně či ne, takže nemůžu říct, zda se E. nechala zmást tím, že před tímto cvičením (24/9) dělali příklady na dělení se zbytkem. Aha, heuréka, když se koukám na všechny tři, zjišťuji jeden společný prvek: 6:6. 2:2 a 8:8 vždy určeno jako nula a zbytek ono číslo. Takže šiftové pravidlo. Záměna triád v rámci násobkové řady Chyba o násobek (1) • 18.1.06 Ondra sešit 48,04:6=7100 zb.4 chyba: hned v počátku 48:6=7 zb. 6 (pro Ondru to, že zbytek = druhý 60 činitel není žádná informace∗ ), pak 60:6=10
Ondra asi moc nerozumí 04 logice některých kroků v postupu u dělení se zbytkem 4 ∗ MR: Tohle je ten problém. Můžeme ho vzít jako nedodržení, opomenutí pravidla algoritmu: zbytek nemůže být ≥ dělitel. Takhle to připomínají učitelky. Jenže někteří asi nechápou logiku tohoto požadavku a někteří ho berou mechanicky, bez pochopení. Mohla by to být „diferenciálně diagnostická“ chyba? Jsou ti, kteří ji dělají, mimo logiku počítání? Dělají i jinde hrubé chyby? (Tady se ho zdá Ondra dokazovat: když napíše do výsledku „10“, je jasné, že je mimo logiku konstrukce víceciferného čísla (= mimo logiku řádů). Nebo je to právě jen zde, v dělení, kde nechápe ani v náznaku, že (a tím spíše ne proč) každému dílčímu kroku odpovídá jedna cifra ve výsledku?

Chybně dopočítaný dílčí zbytek (1) • 16.6.06 Ondra sešit 15,5039:3=50013 chyba v mezivýpočtu 5:3=0 zb.0- a pak už se to táhne 05 ale kde vzal tento výpočet? Že by podobnost s 3:5? Kde by nula byla 00 správně (nikoli však zbytek)? 48

03 09 0

MR: do výpočtu zbytku se zamíchá záměna šiftových příkladů „5-0“ vs. „5-5“ (resp. „nula a kolik je pět“ vs. „pět a kolik je pět“).

Chyby na vizuálním podkladě (1) • 13.10.05 Honza N. sešit 4,88:4=124 zapomněl sepsat osmičku + 0:4=4 šift 08 0

2.1.7 Písemné dělení se zbytkem Je to vlastně několik lehčích příkladů na dělení se zbytkem za sebou, pro správné vypočítání je třeba: o znát násobilky dělitele o správně určit nejbližší menší číslo jím dělitelné o správně to vypočítat (číslo výše správně vydělit dělitelem) o opět si vybavit nejbližší menší číslo dělitelné dělitelem a odečíst ho od dělence (aneb správně vypočítat zbytek) o sepsat správné další číslo o správně vše napsat Je zde nějaký rozdíl oproti písemnému dělení? Napadá mě jen to, že je třeba správně určit, jaké číslo je „celkovým zbytkem“. Chyby Chybný výpočet U písemného dělení lze na rozdíl od dělení se zbytkem (viz výše) poměrně přesně určit, kde nastala chyba. Postup počítání totiž ukazují dílčí výsledky. Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v jiném desítkovém registru (2) • 2.12.05 Martin sešit 86,48:9=847 zb.6 ZK si M. uzpůsobil tak, aby mu vyšla 44 opět naráží na násobky devíti… 9*8=82 (viz 27.9. a také , 9*7=82 88 (soudě dle tohoto příkladu) 6 • 29.2.06 Honza Ch. sešit 79,04: 9=877 zb.1 asi: 74:9=7 zb.1
7*9=73 (že by „zmatení“ těmi sedmdesátkami ?) 70 Zk má ale OK 74 1

49

Záměna triád v rámci násobkové řady Chyba o násobek (3) • 24.11.05 Danielka sešit 10,94:4=272 zb. 6 (místo 6 byla původně 8) 29 14 6 (původně 8) chyba: 14:4=2 zb.6 vysvětlení viz s. 47, 18.1.06 Ondra (stejný princip) • 19.1.06 Honza N. sešit 78,49:8=971 zb.1 chyba: 64:8=7- asi špatně ustanovená triáda(nasvědčuje tomu i zkouš64 ka: písemné nás.- 971*8=7848
aneb 8*7=64); 8*8 x 8*7 09 1 Šiftová pravidla (1) • 19.10.05 Tomáš sešit 3,62:2=182 chyba: 2:2=2 šift 16 02 Špatné dopočítání zbytku (3) • 9.1.06 Adam sešit 5262:8= 0657 zb. 7 chyba: 62:8=7 zb. 7 46 62 7 • 29.11.05 Honza N. sešit 68,11:9=756 zb.6 ZK: 756 51 9 61 6804 6

chyba: dopočítání zbytku 61-9*6 (ZK má OK)

Špatně dopočítaný dílčí zbytek (2) Na rozdíl od předchozí skupiny příkladů činí špatně dopočítaný dílčí zbytek špatným celý příklad. Princip chyby je ale totožný, alespoň ten logický. MR připomíná, že je zde také psychologická rovina. Chyby typu „špatný konečný zbytek“ jsou v určité míře způsobeny tím, že dítě už příklad dokončuje „je na odchodu“. • 1.3.06 Honza N. sešit 79,04:9=877 ZK mu nevyšla, ale to H. neřeší.Výpočet 74:9 je KO – myslím: H. asi ani neřeší 70 zbytek, protože 3 čísla ve výsledku má (to je počet čísel všech výsledků příkladů 74 tohoto typu)- může to mít vliv na to, že už si výpočet ani nekontroluje??? prostě: mám 3 čísla, tak nazdar

50

Interference s číslem z předchozího výpočtu (1) • 29.2.06 Honza Ch. sešit 79,04: 9=877 zb.1 asi: 74:9=7 zb.1
7*9=73 (že by „zmatení“ těmi sedmdesátkami ?) 70 Zk má ale OK 74 1 Napsat správná čísla na správná místa (6) • 12.1.06 Honza N. sešit 57,03:7=814 ZK: 814 jen nenapsal“ zb.5“, ale ví, které číslo v zápise jej 10 7 představuje 33 5698+5=5703 5 • 29.11.05 Katka sešit 7,548:5=1505 zb.3 chyba: 48:5=5 zb.3- správně by mělo být 9, K. má však zbytek OK, proto 25 si myslím, že s č. 45 počítala. (a napsala špatné číslo z triády) 04 48 3 Chyby na vizuálním podkladě (5) • 25.10.05 Bára sešit 42,1:7= 61 zb. 3 asi zmatení příkladem 1:7 , nebo počítala 7:1
šiftové pravidlo (0 nebo 1?) 01 + ale zbytek má OK + pak sepsala ještě nulu- ale tu již dělenec 10 neobsahuje („sepsala“ ji tedy proto, že tam již žádné číslo nebylo?)- a zbytek má pak špatně MR: není to tak, že sepisuje korektně, ale nulu nenapsala do výsledku? Vlastně tak počítala na jedno desetinné místo: 421:7=60,1 • 30.11.06 Honza N. sešit 30,86:5=6105 zb.1 08 špatný výpočet 3:5- H, napsal 0 zb.2
3+2 3 je 5, podobný postup 27.9.-1:5=2 zb.3) + nesepsal šestku, resp. sepsal ji 26 až později 1 Dělenec menší než dělitel (3) • 29.11.05 Danielka sešit 7,548:5= 1501 zb.5 25 04 08 5 - chyba: 4:5=0 zb. 0

51

• 30.11.06 Honza N. sešit 30,86:5=6105 zb.1 08 špatný výpočet 3:5- H, napsal 0 zb.2
3+2 3 je 5, podobný postup 27.9.-1:5=2 zb.3) + nesepsal šestku, resp. sepsal ji 26 až později 1 MR: tento příklad ukazuje, že děti s tímto typem příkladu zacházejí podobně jako se šiftovými. Tady snad s tím rozdílem, že se nepřepínají na logiku opsání jednoho z členů zadání (0:5= 0 nebo 5, analogicky by bylo 1:5 = 1 nebo 5), nýbrž se mění logika hledání zbytku: je to rozdíl (dopočet) v kterékoli z možných triád sestavených z dělence, dělitele a nuly? • 17.1.06 Emilka sešit 3,207:3=1035 zb. 2 chybka: 2:3=0 zb. 1- to může být buď zkrat, nebo: ten „zbytek“ 1 je 02 vlastně rozdíl mezi 2 a 3 (místo aby počítala s rozdílem 0 a 2) 10 17 2 A podívejme se zde: • 17.2.06 Katka sešit 32,07:4=800 zb.7 ZK samo vyjde OK chyba: 7:4=0 zb.7 00 07 7 Příklad 7:4 zřejmě nějak evokoval 4:7… MR: protože předtím bylo 0:4=0, zbytek 0. Jiné • 24.11.05 Bára sešit 68,11:9=745 zb.7 začátek OK, konec zmatený. MR: Jasně se v násobcích (resp. v triádách 51 násobilky) devíti posunula o jeden: 4∗ 9=45, 5∗ 9 = 54 (čtyřky a pětky 61 jí to pěkně zamotaly). Jinak je postup správně. • 17.2.06 Bára sešit 79,91 : 9= 899 zb. 0 podobně jako u předchozího příkladu dost zmatek…ale poslední čísla si 81 99 B. uzpůsobila tak, aby jí vyšel pěkný výsledek. Triádu 9,9,81 zřejmě zná; jinak: na začátku špatné dopočítání 79- (9*8) ostatní příklady v sešitě má správně MR: Skoro bych řekl, že záměna na percepčním (sluchovém či zrakovém) podkladě: 79:9=8, 8∗ 9=72 a kolik je 79? A 9. ale je tam také interference v triádách 7,2,9 a 72,79,? , prostě se tu motá moc podobného najednou.

2.2

Celková analýza chyb

2.2.1 Existují náročnější typy příkladů? Pro začátek si pokládám otázku: dá se o některém typu příkladu říct, že je složitější? Přičemž měřítkem složitosti je počet a pestrost chyb? Pro přehled uvádím četnost chyb u jednotlivých typů příkladů ze souboru. Číslo vedle typu příkladu je celkový počet chybně spočítaných příkladů tohoto typu (vč. kategorie „Jiné“, kterou představuje číslo za plusem).

52

Tzn., že příkladů, např. na dělení se zbytkem (menší čísla), ve kterých udělaly děti chybu, bylo 42, z toho žádná chyba z kategorie „jiné“.Chyb typu „napsat správná čísla na správná místa“ bylo v tomto typu příkladu 13, což je 30,9% z celkového počtu (42). Slouží k představě o tom, jak vysoké zastoupení měla v souboru ta která chyba, což dokresluje procentuální vyjádření chyby v daném typu příkladu.

Četnost

Chyba

13

Napsat správná čísla na správná místa

8

Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Špatné dopočítání zbytku (?)

6

Napsat správná čísla na správná místa

6

Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady Jiné číslo násobkové řady (více než násobek) Chybný výpočet Místo nejbližšího menšího čísla si řeknou nejbližší větší

5

5

Chyby na vizuálním podkladě

5

Dělitel je větší než dělenec

4

Chybný výpočet Šiftová pravidla Napsat správná čísla na správná místa Nedopsání nuly Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady Chyba o násobek Chybný výpočet Špatné dopočítávání zbytku Dělitel je větší než dělenec

3 3

3 3 2 2 2 2

Chybný výpočet Špatně dopočítaný dílčí zbytek Napsat správná čísla na správná místa Použito špatné číslo z triády Napsat správná čísla na správná místa Použito špatné číslo z triády Použití špatné operace

2

Chybný výpočet Záměna aditivní a multiplikativní triády

2

Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek č. mimo násobilku) - v jiném desítkovém registru Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek č. mimo násobilku) - v jiném desítkovém registru Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady

1

1

Typ příkladu Dělení se zbytkem (menší čísla) (42) Dělení se zbytkem (menší čísla) (42) Písemné dělení se zbytkem (29: 27+2) Dělení II (na základě malé násobilky) (13: 12+1) Dělení se zbytkem (menší čísla) (42) Písemné dělení se zbytkem (29: 27+2) Dělení se zbytkem (menší čísla) (42) Písemné dělení (7) Dělení II (na základě malé násobilky) (13: 12+1) Písemné dělení se zbytkem (29: 27+2) Písemné dělení se zbytkem (29: 27+2) Písemné dělení se zbytkem (29: 27+2) Písemné dělení se zbytkem (29: 27+2) Dělení I (malá násobilka) (5)

% 30,9

19

20,6 46

23,8

17,2 9,5

57,1 23 10,3

10,3 10,3 6,8 40

Dělení II (na základě malé násobilky) (13: 12+1) Dělení III (velká násobilka) (2) Dělení se zbytkem (menší čísla) (42) Písemné dělení se zbytkem (29: 27+2)

15,3

Dělení I (malá násobilka) (5)

20

Dělení I (malá násobilka) (5)

20

100 4,7

6,8

53

1 1 1

1

1

1

1

1 1 1 1

Chyba o násobek Použití špatné operace Napsat správná čísla na správná místa Nula navíc Chybný výpočet Místo nejbližšího menšího čísla dělitelného potřebným dělitelem určeno nejbližší číslo z malé násobilky Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Chybná triáda (?) (výsledek č. mimo násobilku) - v jiném desítkovém registru Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Záměna triád v rámci násobkové řady (?) Chyba o násobek Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Záměna triád v rámci násobkové řady (?) Jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady Chyba o násobek Chybný výpočet Chybně dopočítaný dílčí zbytek Chyby na vizuálním podkladě Chybný výpočet Šiftová pravidla Interference s číslem z předchozího výpočtu

Dělení I (malá násobilka) (5) Dělení II (na základě malé násobilky) (13: 12+1) Dělení se zbytkem (menší čísla) (42) Dělení se zbytkem (menší čísla) (42) Dělení se zbytkem (menší čísla) (42) Dělení se zbytkem (menší čísla) (42) Písemné dělení (7)

20 7,6 2,3

2,3

2,3

2,3

14

Písemné dělení (7)

14

Písemné dělení (7) Písemné dělení se zbytkem (29: 27+2) Písemné dělení se zbytkem (29: 27+2)

14 3,4 3,4

Z přehledu výše vyplývá, že nejvíce chyb se objevilo u dělení se zbytkem (menší čísla). Na což má ovšem zásadní vliv fakt, že příkladů tohoto typu je v souboru nejvíce. Další v pořadí co do četnosti a pestrosti chyb se jeví písemné dělení se zbytkem. I zde lze namítnout, že velkou roli hraje vysoký počet příkladů. Nicméně i přesto se můžeme nad těmito příklady zamyslet. Nejvyšší počet chyb (13- 30,9%) je u dělení se zbytkem (menší čísla), typ chyby „Napsat správná čísla na správná místa“. To je dle mého názoru způsobeno tím, že tento typ příkladu byl první na dělení se zbytkem, který se děti učily. Postupem času této chyby ubývá (viz písemné dělení, které je na tomto principu založeno- 20,6%). Vzorky příkladů jsou ale příliš malé na tvoření závěrů. Opět se však utvrzujeme o specifické náročnosti příkladů na dělení se zbytkem, ať již písemného či pamětného. Je toho zkrátka moc, co je třeba udržet v hlavě a s čím v různých vztazích operovat. Není divu, že ne vždy se na papír či do odpovědi dostane to správné. Může být dělení se zbytkem těžší než dělení beze zbytku? Jsou příklady počítané písemně těžší, případně lehčí, než příklady počítané „z hlavy“ (pamětné počítání)? Abychom se na tuto otázku mohli pokusit odpovědět, je třeba zamyslet se, jaký je rozdíl mezi písemným a pamětným dělením. U písemného dělení vlastně není třeba udržet v paměti dílčí příklady nutné k vypočítání, protože jsou obsaženy v zápise příkladu (tzn. zápisem je daný přesný postup počítání). To podle mého názoru počítání dosti ulehčuje, ale na druhou stranu zase naopak může zvyšovat riziko chyby. A to v případě, že zápis není z jakéhokoli důvodu správný. Možná, že zde platí úsloví „co je psáno, to je dáno“, čili že od napsaného je velmi těžké se odpoutat a najít chybu. Což je v situaci pamětného počítání možná o něco snazší. A jak je to s rozdílem mezi dělením se zbytkem a dělením beze zbytku? Zde vidím zásadní rozdíl v tom, jedná-li se o písemnou nebo pamětnou formu počítání. V písemné formě nevidím žádný relevantní rozdíl, snad jen určit, který zbytek je ten „konečný“. V pamětné formě už ale relevantní rozdíl je, jak napovídají rozbory kroků potřebných k vypočítání

54

v úvodu kapitol o tom kterém typu příkladu (bohužel příkladů na „obyčejné“ pamětné dělení máme jen nepatrně). U dělení se zbytkem je těchto kroků mnohem víc, přičemž pamětní dělení beze zbytku je vlastně jeden z nich. MR: Dělení se zbytkem je vlastně členěním dělence na aditivní triádu (nejbližší menší násobek dělitele + zbytek) a multiplikativní triádu (nejbližší menší násobek dělitel: dělitel = počet násobků = výsledek). Tato složitost celkové struktury přináší chyby v dílčích triádách, ve kterých jinak v takové míře chyby nenastávají. Kromě toho způsobuje také interferenci čísel z aditivní a multiplikativní triády (chybu typu „správná čísla na správná místa“, záměny operací).

2.2.2 Dají se určit chyby, které se opakují napříč příklady, a chyby specifické pro určitý typ příkladu? Zajímavé je podívat se na chyby, které se objevují u všech typů příkladů a na chyby, které jsou pro ten který typ specifické: Chyba

Typ příkladu

Napsat správná čísla na správná místa

Dělení se zbytkem (menší čísla) Písemné dělení se zbytkem Dělení II (na základě malé násobilky) Dělení I (malá násobilka)

Chybný výpočet Místo nejbližšího menšího čísla si řeknou nejbližší větší Chybný výpočet Místo nejbližšího menšího čísla dělitelného potřebným dělitelem určeno nejbližší číslo z malé násobilky Chyby na vizuálním podkladě

Dělení se zbytkem (menší čísla)

Četnost výskytu 13 6 6 2 5

Dělení se zbytkem (menší čísla)

1

Písemné dělení se zbytkem Písemné dělení Dělení se zbytkem (menší čísla) Písemné dělení se zbytkem

5

Dělitel je větší než dělenec

1

Chybný výpočet Šiftová pravidla

Písemné dělení Písemné dělení se zbytkem

Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady Jiné číslo násobkové řady (více než násobek)

Dělení II (na základě malé násobilky)

5 3 4 1 6

Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady Chyba o násobek

Písemné dělení se zbytkem

3

Dělení I (malá násobilka) Písemné dělení Dělení se zbytkem (menší čísla)

1 1 1

Dělení se zbytkem (menší čísla)

8

Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Záměna triád v rámci násobkové řady (?) Chyba o násobek Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Špatné dopočítání zbytku (?)

55

Chybný výpočet Špatné dopočítávání zbytku

Písemné dělení se zbytkem

3

Chybný výpočet Špatně dopočítaný dílčí zbytek

Písemné dělení se zbytkem

2

Písemné dělení

1 2

Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek č. mimo násobilku) Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Chybná triáda (?) (výsledek č. mimo násobilku) Použití špatné operace Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Záměna triád v rámci násobkové řady (?) Jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru Chybný výpočet Záměna aditivní a multiplikativní triády Interference s číslem z předchozího výpočtu

Písemné dělení se zbytkem Dělení I (malá násobilka) Dělení se zbytkem (menší čísla)

Dělení III (velká násobilka) Dělení I (malá násobilka)

1 1

Dělení se zbytkem (menší čísla)

2 1 1

Dělení se zbytkem (menší čísla)

2

Písemné dělení se zbytkem

1

Ukázalo se, že pro písemné dělení jsou specifické chyby na vizuálním podkladě, důvody jsou podle mého názoru stejné jako u písemného násobení. Jako další specifickou chybou pro písemné dělení se ukázaly chyby na vizuálním podkladě. Důvod je zřejmý: písemné dělení má jisté nároky na percepci, protože je třeba důsledně sepisovat čísla, psát je na správná místa, vědět, s kterým číslem jsme již pracovali a s kterým ne atd. Naproti tomu chyba „Napsat správná čísla na správná místa“ se objevuje v největším počtu typů příkladů (4). Také zde se chyby v triádách a chyby šiftové (+ dělitel je větší než dělenec) objevují napříč příklady, což potvrzuje jejich univerzálnost i v případě dělení. U chyb typu „Špatné dopočítání zbytku“ je příčina výskytu u příkladů na dělení se zbytkem jasná, stejně tak jako „Záměna aditivní a multiplikativní triády“. V „Použití špatné operace“ se jedná pouze o chybu Sáry. „Interference s číslem z předchozího výpočtu“ podle mě není specifikum písemného dělení se zbytkem (což podporuje 1 výskyt chyby), tzn. myslím, že v tento typ příkladu nijak nedeterminuje zvýšené riziko této chyby.

2.2.3 Je rozdíl v závažnosti chyb? Zde se stejně jako u násobení kloním k názoru, že ano. Univerzální chyby jsou podle mě závažnější (ač zde nám empirická data univerzálnost chyb neprokázala- komentář viz předchozí kapitola). Chyby u dělení jsou téměř totožné s chybami u násobení, ale vyskytují se tu i chyby odlišné od chyb u násobení. K určení jejich závažnosti je potřeba je analyzovat. Chyba

Typ příkladu

56

Chybný výpočet Místo nejbližšího menšího čísla si řeknou nejbližší větší

Chybný výpočet Místo nejbližšího menšího čísla dělitelného potřebným dělitelem určeno nejbližší číslo z malé násobilky Dělitel je větší než dělenec Chybný výpočet Špatné dopočítávání zbytku

Jedná se o typickou chybu u dělení se zbytkem (zpaměti). Co může být příčinou? Vraťme se k poznámce MR4 (viz. pozn. pod čarou) a podívejme se na všech 5 příkladů, ve kterých děti tuto chybu udělaly. Vpravo od příkladu jsou uvedeny nejbližší větší a nejbližší menší násobky: • Bára písemka 20.4. 61:8=8 (původně 7), zb. 3/ 64 x 56 • 46:8=6 zb.2 Emilka PIS/48 x 4O • Emilka PIS I 46:8=6 zb. 2 /48 x 4O • 53:7=8 zb.3 Michal B. 4.10.05 v sešitě /56 x 48 • 27:4=7 zb.1 29.9.05 Tomáš sešit / 28 x 21 Skutečně můžeme vidět, že ve všech případech je větší násobek dělenci blíže než násobek menší. Příkladů je však málo na to, abychom mohli tvrdit, že právě tento fakt má zásadní roli. Nicméně nebrání nám to v tom zamyslet se. Napadá mě toto: děti se násobilku učí tak, že si odříkávají násobky jednotlivých čísel (tzn. vzestupně). Může to mít vliv na to, že se dítěti při pohledu na dělence vybaví spíše vyšší číslo? Protože je zvyklé uvažovat o násobcích, které následují, a nikoli o těch, které již byly? K domněnce MR o subjektivně větší vzdálenosti mezi čísly (tzn. dělencem a nejbližším menším číslem) v případě přechodu mezi registry se přikláním. Bohužel nemám k dispozici tolik příkladů, aby se mohla potvrdit či vyvrátit. Zde je příčina zřejmá. „Autorka chyby“ (Bára) se při hledání nejbližšího menšího čísla zastavila u prvního, které patří do malé násobilky.

viz s. 46 Bude zde zřejmě rozdíl mezi počítáním zpaměti a písemným počítáním, nicméně pouze u písemného počítání můžeme s jistotou tvrdit, že jde právě o tuto chybu. I přesto se ale můžeme zamyslet nad tím, jakou by tento fakt mohl mít roli. Co může být příčinou chybného dopočítání zbytku? Jedná se vlastně o jednoduché počítání založené na sčítání a odčítání, což jsou operace, které děti v tomto věku bezpečně zvládají. Podívejme se přehled všech příkladů s touto chybou níže. přechod výsledek násobilky/ zbytek

Typ příkladu: Špatné dopočítání zbytku (?- nelze s jistotou určit) (8)

dělenec

přes desítku

•

71:8=8 zb. 6 Adam, sešit 27.9.

64/71

A

7

•

7.12.05 Honza N. sešit- 44:9=4 zb.7

36/44

A

8

•

27.9.05 Katka sešit - 71:8=8 zb.5

64/71

A

7

•

51:9=5 zb.9 Bára PIS I

45/51

A

6

•

63:8=7 zb. 6

56/63

A

7

• 25.9.05 Bára sešit - 19:8=2 zb.2 - 37:7=5 zb. 3

16/19

N

3

35/37

N

2

• 4.10.05 Ondra sešit 62:8=7 zb.4

56/62

A

6

4

MR: Nastává to jen v příkladech, kdy nejbližší větší násobek je dělenci blíže než násobek nejbližší menší? Např. u Báry by chyba nenastala, kdyby příklad byl 60:8? Je tu ale ve hře ještě desítkový registr dělence – možná „šedesátkový“ dělenec svádí k tomu hledat nejbližší násobek v šedesátkovém registru. Přechod mezi registry může pak subjektivně vzdálenost čísel zvětšovat (64 je k 61 blíže než 58). Vzdálenost nekomplikovaná registrem je např. u dvojice příkladů 24:7 a 25:7. Je u druhého pravděpodobnější, že jako nejbližší násobek bude určeno 28?

57

Ano, opět lze oprávněně namítnout, že příkladů je příliš málo atd. A opět lze odvětit, že i přesto se můžeme zamyslet nad tím, co by mohlo z přehledu vyplývat. Je vidět, že chyba nastala v případě přechodu přes desítku a v případě zbytku většího než 6. Výjimku obojího tvoří Bára. Co z toho může plynout? Může být právě přechod přes desítku faktor, resp. jeden z faktorů, který způsobuje chybu ve vypočítání zbytku? Tzn., že při přičítání osmičky ke čtyřce a osmičky např. ke dvojce, vlastně neznamená, že se v obou případech jedná o tu samou operaci? Podle MR je přechod přes desítku jen těžší případ odčítání, přičemž tím těžším ho činí kontext dělení se zbytkem. Je to tedy faktor, který počítání ztěžuje. U Báry se jedná zřejmě o specifickou chybu (kombinace se špatně ustanovenými triádami, neudržení dílčího výsledku násobení v paměti … ale těžko říct). Ač se mi zpočátku chtělo vyslovit něco v tom smyslu, že zde hraje roli jiný kontext sčítání a odčítání, který je příčinou chybovosti, tento rozbor ukázal, že jiný kontext může být jen jeden z faktorů.

Chybně dopočítaný zbytek/ dílčí zbytek (6) • 16.6.06 Ondra sešit 15,5039:3=50013 05 00 03 09 0 chyba v mezivýpočtu 5:3=0 zb.0

výsledek násobilky/ dělenec

přechod přes desítku

zbytek

N

5

56/62

A

6

54/61

A

7

72/79

N

7

5:3=0 zb.O *

ale kde vzal tento výpočet? Že by podobnost s 3:5? Kde by nula byla správně (nikoli však zbytek)? • 9.1.06 Adam sešit 5262:8= 0657 zb. 7 52 46 62 7 chyba: 62:8=7 zb. 7 přechod přes desítku? nicméně v příkladech na sčítání a odčítání Adam problém nemá

• 29.11.05 Honza N. sešit 68,11:9=756 zb.6 ZK: 756 51 9 61 6804 6 chyba: dopočítání zbytku 61-9*6 (ZK má OK) • 17.1.06 Martin sešit 79,91:9=876 zb.7 79:9=8 zb.6 69 61 7

58

• 1.3.06 Honza N. sešit 79,04:9=877 70 74 ZK mu nevyšla, ale nic si z toho nedělá. Výpočet 74:9 je KO – myslím: H. asi ani neřeší zbytek, protože 3 čísla ve výsledku má (to je počet čísel všech výsledků příkladů tohoto typu)- může to mít vliv na to, že už si výpočet ani nekontroluje? prostě: mám 3 čísla, a to stačí • 29.11.05 Honza N. sešit 29,19:6=486 zb.4 ZK: 486 51 6 39 2906+4=2910 4

11 63/74

A

ale zde zřejmě došlo k nějaké chybě, v předchozím mezivýpočtu má 7*9 správně … možná z časových důvodů příklad nedokončil

36/39

N

3

chyba: 39:6=6 zb.4- ve ZK má ale 6*6 OK, takže zkrat?

*Přijde mi, jako by zde interferoval typ příkladu, kde je dělenec větší než dělitel, tedy 3:5. ; podobně 17.2.06 Katka, sešit 32,07:4=800 zb.7 ZK samo vyjde OK chyba: 7:4=0 zb.7 00 07

7 Příklad 7:4 zřejmě nějak evokoval 4:7… Zde máme k dispozici vskutku velmi málo příkladů- vlastně jen 5, neboť Ondrova chyba je specifická. Hodnota zbytku se opět pohybuje mezi vyššími čísly, u 3 ze 6 příkladů je přechod přes desítku… až na příklad Adama. Takže: lze zřejmě tvrdit, že tato chyba nastává ve většině příkladů, kde se zbytek dopočítává přes desítku a nabývá vyšších hodnot. Jsou zde ale také výjimky způsobené dalšími intervenujícími faktory. Použití špatné operace

Chybný výpočet Záměna aditivní a multiplikativní triády

Vyskytuje se jen u pamětného počítání a pouze u Sáry. U Sáry se podle mého názoru jedná o pro ni specifickou chybu spočívající ve snížených matematických kompetencích. Pouze u dělení se zbytkem a příkladu 8:6. Může mít vliv blízkost dělence a dělitele?

Opět si musím postesknout: škoda, že je soubor příkladů tak malý (tedy ne, že by i tak jeho zpracovávání nezabíralo kvanta času). Z analýzy vyplynulo mnoho otázek, které u tohoto důvodu nelze zodpovědět. Takže: je rozdíl v závažnosti chyb? Odpověděla jsem již v úvodu kapitoly. Přehled výše měl ukázat, zda se nějaká „závažná “ chyba nevyskytuje i v jiných chybách než triadických a šiftových. A ukázalo se, že nikoli- až na chybu v příkladech, kde je dělitel větší než dělenec (analýza viz předchozí text). Analyzované chyby vyplývají ze specifických nároků toho kterého typu příkladu, jsou vázány na určitou matematickou situaci (dopočítávání zbytku atd.- viz jednotlivé analýzy) a nevypovídají tedy o obecnějším problému s počítáním (jako např. chyby v triádách).

59

2.2.4 Triády Podívejme se na chyby v triádách u dělení. Pokládám si stejné otázky jako u násobení: lze najít triády, které se dají označit jako těžší, tj. vyznačující se vyšší chybovostí? Lze najít stejnou věc u chyb o násobek? Odpověď se pokusím najít pomocí následující tabulky, kam jsem vypsala veškeré chyby v triádách (s výjimkou příkladů, kde nelze s jistotou odlišit chybnou triádu od jiné chyby ve výpočtu).

Příklad

Výsledek

Četnost výsledku

Chyba o násobek 32:4 7 48:6 7 14:2 2 zb. 6 64:8 7 zb. 0 26:8 4 zb. 2 Číslo mimo násobilku V jiném desítkovém registru 15:3 10

1 1 1 1 1

1

86:9

Typ záměny násobku

Zvuková Shoda

7 za 8 7 za 8

A A

Zde vlastně o záměnu nejde

7 za 8 4 za 3

A A

Zde zřejmě nejde o chybu v triádě, ale o neosvojení matematických operací

8 zb. 1 4/9*8=82 74:9 7 zb. 1 1/7*9=73 Jiné číslo násobkové řady (více než násobek) 420:8 80 2S 420:7 40 1 80 1 450:5 70 1

+10 +10

8 za 4 4 za 6 8 za 6 7 za 5

N N N N

Podle MR je možné, že zde došlo k záměně za 350:5. Výsledek by potom byl správný. Je ovšem zajímavé, že by to znamenalo záměnu 3 a 4 ∗.

720:8

Chyba o násobek: Typ záměny násobku 3a4 7a8

70

1

7 za 9

N

Četnost výskytu 1 nebo 2∗ 3J

S- stejné dítě J- jiné děti Je vidět, že dělení je na chyby v triádách mnohem chudší než násobení, a to jak co do kvantity chyb, tak do jejich typů. Podrobnějšímu porovnání se budu věnovat ve třetí kapitole.

60

2.2.5 Kategorie „Jiné“ Poslední, co před srovnávací kapitolou zbývá, je podívat se na kategorii „Jiné“. V následujících řádkách sdružím chyby, které se opakují, a vypíšu ty, které se neopakují. A připojím samozřejmě komentář. Kvazikomunikace dělení • 400:8 Tomáš:2 MR: Jde o triádu 4-8-2. Dělení je pro děti občas jakoby kvazikomutativní, jako by z toho, že 8:2=4 a 8:4=2 vyplývalo, že i při 4:8 dostaneme třetí číslo triády. Ostatní Nelze pojmenovat konkrétněji, jedná se kombinaci více chyb, přičemž ne všechny jdou identifikovat. • 24.11.05 Bára sešit 68,11:9=745 zb.7 začátek OK, konec zmatený- zde mě jako vysvětlení napadá to, že B. 51 zmátlo, že jeden z dílčích výsledků přesahuje 10 či to, že se zkrátka 61 do celého příkladu „zamotala“ (zmatek v triádách atd.) • 17.2.06 Bára sešit 79,91 : 9= 899 zb. 0 podobně jako u předchozího příkladu dost zmatek…ale poslední čísla si 99 B. uzpůsobila tak, aby jí vyšel pěkný výsledek, triádu 9,9,81 zřejmě 81 zná; jinak: na začátku špatné dopočítání 79- (9*8) a potom opět výsledek, který by vycházel přes desítku… (přesně jako příklad předtím) ostatní příklady v sešitě má správně Kategorie „Jiné“ nám tedy nepřinesla nic zajímavého.

2.3

Shrnutí

V této kapitole jsme mohli vidět, jaké nevýhody přináší analýza písemného materiálu. Tou hlavní je nulová zpětná vazba od dětí- zachycení přesných postupů počítání s případným komentářem dětí. Obecně se dá říci, že kapitola Dělení byla podstatně chudší na inspirace. Něco se však přece jenom ukázalo. Vyplynula „stejnost“ šiftových příkladů a příkladů, kde je dělenec větší než dělitel spočívající v obtížnosti až nemožnosti tyto příklady logicky uchopit. Ukázalo se, že i příklady typu 7:4 dokonce evokují podobnost s nimi a děti je mohou počítat jako 4:7. Pamětné počítání na děti zřejmě klade v jistém ohledu větší nároky (udržet v paměti dílčí mezikroky) než počítání písemné, to však ale zase zvyšuje riziko např. chyby na vizuálním podkladě. Neobjevily se žádné další typy závažných chyb, jen několik specifických pro některé typy příkladů, př. dělení se zbytkem. Opět jsme se setkali s tím, že čím větší počet mezikroků, jejichž logiku děti nechápou, tím větší riziko chyby. V oblasti chyb v triádách jsme nenarazili na nic extra zajímavého, především z důvodu nízkého počtu těchto chyb. Vyvstala však otázka, zda se u chyb z kategorie „více než o násobek“ se jedná vskutku o tuto chybu, nebo jen jistý typ záměny v řádu stovek (dělenec) založený na zvukové podobnosti (př. 350 za 450).

61

3. SROVNÁNÍ: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ Jednotlivé aspekty násobení a dělení plynoucí z dat jsme probrali, je tedy na čase jejich porovnání. V následujících řádkách se podíváme na jednotlivé oblasti u násobení i dělení.

3.1 Četnost jednotlivých druhů chyb Znovu se podívejme, k jakým chybám u násobení a dělení docházelo. Nebudeme se jimi již zaobírat v závislosti na typu příkladu, ale vypočítáme procentuální výskyt té které chyby v souboru příkladů všech typů, ve kterých se vyskytla (tzn.: podíváme se, v jakém typu/typech příkladu chyba nastala, sečteme výskyty chyby a celkový počet příkladů daného typu/daných typů a vypočítáme procentuální výskyt). NÁSOBENÍ

Chyba Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné připočtení (nelze s jistotou rozlišit) Desítky navíc/méně desítek (?) Chyby na vizuálním podkladě Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Záměna triád v rámci násobkové řady (?) Chyba o násobek Nepřipočtení desítek Napsat správná čísla na správná místa Chybný výpočet Záměna aditivní a multiplikativní triády Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné připočtení (nelze s jistotou rozlišit) Přičtení desítek některého z předchozích výpočtů (?) Chybné přičtení desítek/ chybná triáda (nelze s jistotou rozlišit) Připočtení jednotek místo desítek (?) Šiftová pravidla + Dělitel je větší než dělenec Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady b) jiné číslo násobkové řady (více než násobek) Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru Chybný výpočet Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Záměna triád v rámci násobkové řady (?) Jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v témže desítkovém registru Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v jiném desítkovém registru Zapomenutí nějakého kroku Interference s číslem z předchozího výpočtu

Četnost výskytu/celkový počet příkladů 5

DĚLENÍ %

Četnost výskytu/celkový počet příkladů

%

26/139

18,7

-

-

15/139

10,79

6/36

16,66

28/175

16

5/41

12,19

-

-

1/42

2,3

14/139 12/167 7/139

10,07 7,18 5

27/112 2/42

24,1 4,76

5/62

8

-

-

4/139

2,87

-

-

9/95

9,47

13/78

16,66

6/90

6,66

6/46

13

5/167

2,99

-

-

1/42

2,3

5/167

2,99

-

-

1/77

1,3

4/76

5,26

4/28 2/77

14,3 2,59

1/29

3,4

5

Počet příkladů je získán takto: našla jsem, v jakých typech příkladů na násobení se nachází ta která chyba. Potom jsem sečetla počty příkladů v oněch typech (př.: chyb na vizuálním podkladě je u násobení celkem 15, nacházejí se u písemného násobení jedno a dvouciferným 2. činitelem, tzn. celkový počet příkladů je 77 + 62, tedy 139).

62

Špatné připočtení dílčích součinů Chybný výpočet Špatné dopočítávání zbytku +dílčího zbytku Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Špatné dopočítání zbytku (?) Chybný výpočet Místo nejbližšího menšího čísla si řeknou nejbližší větší Použití špatné operace Chybný výpočet Místo nejbližšího menšího čísla dělitelného potřebným dělitelem určeno nejbližší číslo z malé násobilky

1/3 -

33,3 -

6/36

16,66

-

-

8/42 5/42

19 23,8

-

-

3/7

42,85

-

-

1/42

2,3

Větší rozdíl mezi násobením a dělením je jen u tří druhů chyb (tučné písmo): napsat správná čísla na správná místa, šiftové příklady a chyby v triádách o více než násobek. Jinak je výskyt chyb dosti podobný. Až na chyby specifické pro násobení (př. manipulace s drženými desítkami) a dělení (př. dopočítávání zbytku) se téměř 100% překrývají, tzn. vyskytují o obou operací. Může něco plynout z výše zmíněných druhů chyb? Napsat správná čísla na správná místa: roli bude určitě mít způsob počítání- pamětné či písemné. U dělení je 36 příkladů na pamětné počítání a 62 na písemné, z čehož 42 tvoří dělení se zbytkem (kde tato chyba představuje třetinu všech chyb). Dělení, tím spíše dělení se zbytkem, klade zřejmě větší nároky na operační paměť, jak plyne z dílčích kroků potřebných pro vypočítání. Děti musí v hlavě pracovat s více čísly najednou, a proto se snadno stane, že napíšou jiné než mají. Jak vyplynulo v předchozí kapitole, postupem času se výskyt chyby snižuje. To by mohlo vypovídat o tom, že procvičováním příkladu se zároveň procvičuje operační paměť. Aneb opět je potřeba drilu k tomu, aby děti mohly postoupit k počítání náročnějších příkladů? Šiftové příklady: u dělení se k této chybě přidaly ještě příklady, kde je dělitel větší než dělenec, což má na procenta chyby zásadní vliv. Chyby v triádách (více než násobek): zde mě nenapadá nic, čím by mohlo být dělení specifické. Myslím, že je to spíše tím, že všech 6 těchto chyb udělali slabší žáci a u jednoho typu příkladu (dělení typu 420:6). Čím to? Že by právě pro slabší žáky bylo obtížnější pochopit, že tyto příklady jsou analogie malé násobilky? Že by je mátla ta velká čísla?

3.2 Triády Jak je to s triádami u násobení a dělení? Podívejme se nejprve na chyby v triádách obecně, tzn. bez další kategorizace (chyba o násobek atd.). Počítám jen ty chyby, kde si jsem s etiologií jistá (tzn. ne ty, kde nelze chybu přesně rozlišit). Četnost výskytu/celkový % počet příkladů 52/179 29,05 Násobení 16/96 16,66 Dělení Tento výčet ukázal, že chybovost v triádách byla v tomto souboru u násobení větší než u dělení. Což tedy vůbec nekoreluje s mým dojmem z pozorování z hodin. Nutno ještě podotknout, že procenty zamíchala kategorie „záměna aditivní a multiplikativní triády“. Bez ní by totiž byl výskyt triadických chyb u násobení a dělení stejný: 45/179 u násobení a 14/54 u dělení (záměna aditivní a multiplikativní triády se nachází ještě v jiném typu příkladu než ostatní triadické chyby- a příkladů tohoto typu příkladu je 42), což je 25% v obou případech (u násobení se tato chyba vyskytuje v sedmi případech a v typech příkladů, které obsahují i ostatní triadické chyby, jmenovatel tedy zůstal stejný- naproti tomu u dělení se tato chyba vyskytuje ve dvou případech a jiném typu příkladu, než ostatní chyby v triádách, jmenovatel

63

se tedy zvýšil). Co z toho soudit? Tento způsob vyjádření procentuálního výskytu jednotlivých chyb zřejmě není úplně spolehlivý. Tato nespolehlivost může plynout z mnoha faktů: nereprezentativnost vzorku příkladů (nejsou rovnoměrně zastoupeny různé typy příkladů)- u dělení je ještě nižší než u násobení, zvolený způsob procentuálního vyjádření (tedy „tvorba“ čitatele a jmenovatele) zřejmě příliš nerespektuje potřeby statistiky… Vyvstala otázka rozdílu nakládání s triádami u násobení a dělení. Napadá mě toto: u násobení je postup počítání vlastně opačný než u dělení: „hledáme“, jaký výsledek patří k určitým činitelům, kdežto u dělení výsledek víme a „dohledáváme“ jen druhého činitele. Což je pro děti zřejmě o něco jednodušší. Podle MR vyžaduje dělení znalost triád naráz; děti většinou nedisponují technikami, jak v něm výsledek konstruovat. Důsledek může být, že dělení vytváří větší tlak na pamětné naučení triád. Podívejme se ještě, zda s procenty nezamíchá to, započítáme-li také chyby v triádách, které nelze s jistotou odlišit od jiné chyby: Chyby v triádách Násobení Dělení

52/179 16/96

29,05% 16,66%

Chyby v triádách, které však nelze s jistotou odlišit od jiné chyby 3/42 7,14%

Obojí 52/179 19/96

29,05% 19,79%

Jak je vidět, s procenty to nezamíchalo vůbec. Můj dojem o větší složitosti dělení než násobení je buď mylný, nebo obtížnost dělení nezpůsobují triády. Ale co by tedy mohlo být příčinou?

3.3 Písemné a pamětné počítání V úvahách jsme narazili také na rozdíly mezi pamětným a písemným počítáním. Podívejme se na to z procentuálního hlediska. Tučně jsou zvýrazněny větší rozdíly.

NÁSOBENÍ Písemné Pamětné

Chyba

Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné připočtení (nelze s jistotou rozlišit) Desítky navíc/méně desítek (?) Chyby na vizuálním podkladě Chybný výpočet Záměna triád v rámci ásoskové řady a) chyba o násobek Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Záměna triád v rámci násobkové řady (?) Chyba o násobek Nepřipočtení desítek Napsat správná čísla na správná místa +Chybný výpočet Záměna aditivní a multiplikativní triády Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné připočtení (nelze s jistotou rozlišit) Přičtení desítek některého z předchozích výpočtů (?) Chybné přičtení desítek/ chybná triáda (nelze s jistotou rozlišit) Připočtení jednotek místo desítek (?) Šiftová pravidla + Dělitel je větší

Četnost výskytu/ celkový počet příkladů

%

Četnost výskytu/ celkový počet příkladů

DĚLENÍ Písemné %

Četnost výskytu/ celkový počet příkladů

Pamětné Četnost výskytu/ celkový počet příkladů

%

%

-

-

26/139

18,7

-

-

-

-

15/139

10,79

-

-

6/36

16,66

-

-

22/139

15,82

6/36

16,66

3/29

10,34

2/12

16,66

-

-

-

-

-

-

1/42

2,3

14/139 10/139

10,07 7,19

2/28

7,14

6/29

20,68

21/60

35

7/139

5,03

-

-

-

-

2/42

4,76

5/62

8

-

-

-

-

-

-

4/139

2,87

-

-

-

-

-

-

2/62

3,22

7/33

21,21

8/36

22,22

5/42

11,9

64

než dělenec Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady b) jiné číslo násobkové řady (více než násobek) Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady c) jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Záměna triád v rámci násobkové řady (?) Jiné číslo násobilky, ovšem v témže desítkovém registru Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v témže desítkovém registru Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v jiném desítkovém registru Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Chybná triáda (?) (výsledek č. mimo násobilku) - v jiném desítkovém registru Triády obecně Zapomenutí nějakého kroku Interference s číslem z předchozího výpočtu Špatné připočtení dílčích součinů Chybný výpočet Špatné dopočítávání zbytku +dílčího zbytku Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Špatné dopočítání zbytku (?) Chybný výpočet Místo nejbližšího menšího čísla si řeknou nejbližší větší Použití špatné operace Chybný výpočet Místo nejbližšího menšího čísla dělitelného potřebným dělitelem určeno nejbližší číslo z malé násobilky

2/62

3,22

4/28

14,28

-

-

6/13

46

-

-

5/167

2,99

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

1/42

2,38

4/139

2,87

1/28

3,57

-

-

-

-

1/77

1,29

-

-

2/29

6,89

1/5

20

-

-

-

-

-

-

1/42

2,38

40/139 2/77

28,77 2,59

12/36 4/28 -

33,33 14,28 -

6/36 1/29

16,66 3,44

10/80 -

12,5 -

-

-

1/3

33,33

-

-

-

-

-

-

-

-

6/36

16,66

-

-

-

-

-

-

-

-

8/42

19,04

-

-

-

-

-

-

5/42

11,9

-

-

-

-

3/7

42,85

-

-

-

-

1/42

2,38

-

-

-

-

Při analýze této tabulky mě napadlo následující. Pamětné počítání se vyskytuje u příkladů „jednoduššího“ typu (menší čísla) a je tak základem pro počítání písemné (větší čísla) aneb: to, co je u pamětného cílem, je u písemného prostředkem (dílčím krokem) . Tudíž: písemná forma počítání znamená riziko všech chyb pamětného počítání a navíc ještě rizika chyb dalších, které lze rozdělit do dvou oblastí: „technické“/didaktické chyby- chyby plynoucí ze specifik postupu (chyby na vizuálním podkladě, manipulace s drženými desítkami, dopočítávání zbytku) a chyby „psychodidaktické“- znásobení počtu operací = jiný kontext počítání, šiftové příklady patří mezi ty nejsložitější z důvodů těch a těch … jedná se tedy o psychologickou rovinu počítání. Podívejme se nyní na procenta označená tučně, čili na výraznější rozdíly ve výskytu chyb u jednotlivých typů příkladů. První z nich je rozdíl v četnosti výskytu chyby „napsat správná čísla na správná místa“, a to mezi násobením a dělením (obou forem). Čím to může být? Je dělení náročnější v tom smyslu, že je těžší použít správné číslo? Tzn. že čísel je ve hře víc? Odpověď nalezneme v kapitole Dělení, v přehledu výskytu chyb u jednotlivých typů příkladů. Zde tato chyba jednoznačně dominuje u dělení se zbytkem, ať již písemného či pamětného. K této otázce viz předchozí text. Zajímavá chyba jsou šiftová pravidla + dělitel větší než dělenec. Zde vidíme rozdíl v písemné a pamětné formě u násobení i dělení, nicméně v opačném vztahu. Proč je takový rozdíl mezi písemným a pamětným násobením/dělením? Zkusme si všechny tyto chyby vypsat.

65

Násobení • 4*11=41 Eliška (17.5.) PI • 7*11=71 Eliška (10.5.) PI • 26.4. 48*0 Eliška napíše čtyřku a ještě přemýšlí, pak napíše 48 • Martin 2.5. o 3*1 je, Martine“ M: „1.. emm ..3“ • Ondra: „0*3 je 3…teda nula!“ 12.9. • Štěpánka 10.5. „5*1 je5, 5*0 je nula, je nula, co blbnu, 5*0 je nula nebo pět?

Dělení • 5:7=0 zb.7 Katka, 29.9.05 sešit • 27.9.05 Ota sešit 1:5=1 zb.4 že by se sem vploužilo sčítání? 4+1 je 5… je-li tedy „výsledek“ jedna, zbytek musí být 5 • 27.9.05 Honza N. sešit 1:5= 2 zb.3 (2+3 je sice 5, ale …) MR: jako by hledali nějaké číslo, které se vejde 1x do pětky a k němu pak zbytek • Myšák 12.4.: „7:8 je nula, zbytek 8“ U opraví, že 7 • 29.9.05 Tomáš sešit: 5:7= 1 zb.2

• Vašek, 20.9.05, sešit 189 3 1267 dvojku měl přičíst a 1 je špatným výsledkem 3*1??

• 19.10.05 Emilka sešit 7,86:6= 130 zb.6 18 06

159 5 5295 hm, tak dvojku měl přičíst a 5 je výsledek 5*1- ale jeli toto správná etiologie…

362:2= 180 zb. 2 16 02 968:8=120 zb.8 16 08 • 13.10.05 Honza N. sešit 4,88:4=124 zapomněl sepsat osmičku + 0:4=4šift 08 0 • 19.10.05 Tomáš sešit 3,62:2=182 chyba: 2:2=2 šift 16 02 • 29.11.05 Danielka sešit 7,548:5= 1501 zb.5 25 04 08 5 - chyba: 4:5=0 zb. 0

66

• 30.11.06 Honza N. sešit 30,86:5=6105 zb.1 08 3 26 1 špatný výpočet 3:5- H, napsal0 zb.2
3+2 je 5, podobný postup 27.9.- 1:5=2 zb.3 + nesepsal šestku, resp. sepsal ji až později • 17.1.06 Emilka sešit 3,207:3=1035 zb. 02 10 17 2 2 chybka: 2:3=0 zb. 1- to může být buď zkrat, nebo: ten „zbytek“ 1 je vlastně rozdíl mezi 2 a 3 (místo aby počítala s rozdílem 0 a 2)

Ukázalo se, že možnou příčinou může být to, že tato chyba se opakovaně vyskytuje u stejných dětí. Např. chyby u písemného násobení udělal pouze Vašek, u pamětného 3 ze 6 Eliška. Zajímavé je, že ani jedno dítě se nevyskytuje zároveň u násobení i dělení. Liší se nějak šiftové příklady u násobení a dělení? Podle Rendla ano, alespoň v jejich písemných formách: písemné dělení představuje pro děti jiný kontext. Složitější. Což je zřejmě také odpovědí na otázku, proč se u písemné formy dělení vyskytuje těchto chyb mnohem více (až soubor příkladů na dělení je mnohem menší než soubor příkladů na násobení). Triadickým chybám z obecného hlediska jsem se věnovala v předchozí kapitole, zbývají tedy dvě dílčí triadické chyby. Záměna triád v rámci násobkové řady - jiné číslo násobkové řady (více než násobek)-objevil se velký rozdíl mezi pamětným a písemným násobením (u pamětného je výskyt vyšší) a mezi pamětnou formou dělení a násobením obecně. Může to být tak, že písemné násobení usnadňuje počítání tím, že dítě vidí čísla na papíře, a tedy si lépe vybaví správnou triádu? Nebo se splete jen o násobek (což může mít různé příčiny- viz kapitola 1.2.4)? Což by tedy znamenalo důležitou roli vizuálního faktoru při násobení. Tomu by nahrával také vysoký výskyt této chyby u pamětného dělení- u písemného nenastala ani jednou. Jak již bylo mnohokrát řečeno, soubor příkladů na dělení je chudý a málo reprezentativní. K dobru ale zase hraje fakt, že u násobení byly autorem všech šesti chyb 4 děti (Eliška, Tomáš, Honza N. a Martin) a stejně tak u dělení (Štěpánka, Vašek, Danielka, Eliška). Prozkoumání této hypotézy by vyžadovalo hlubší analýzu, pro kterou již v této práci není místo. Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) - v jiném desítkovém registruvyšší výskyt u pamětného než písemného dělení. Oněch 20% je ale jeden příklad z pěti (jehož autorem je navíc Michal, jeden z nejhorších počtářů) a dva příklady z 29 mají též jednoho autora (Martina). To podle mého názoru nestačí k tvoření hypotéz či dokonce závěrů. Opět ukázka toho, jak mohou čísla bez jejich další analýzy pěkně klamat .

67

4. ZÁVĚR V této práci jsem dospěla k mnoha postřehům a závěrům, které v důsledku její nepříliš dobré strukturovanosti možná nejsou dosti zřejmé. V této, závěrečné, kapitole se to pokusím napravit. Nejprve k chybám v násobení a dělení, jejichž kategorizaci je věnováno nemálo řádek na začátku příslušných kapitol. Násobení Tato kapitola poukázala na některé metodologické aspekty týkající se zpracování dat. Díky spolupráci některých dětí se mi podařilo zachytit přesný postup jejich počítání, který mi velmi pomohl při řešení otázky dětského počítání- narozdíl od analýzy písemného materiálu, kde jsem mohla stavět pouze na domněnkách. Nyní k samotnému násobení. V operaci násobení se objevilo více chyb v jeho písemné formě. Domnívám, že důvodem je vysoký počet dílčích operací, které jsou ke správnému vypočítání potřebné. S každým dílčím krokem se totiž spojeno také určité riziko chyby. Ať se jedná o počítání v rámci malé násobilky, správně provedený zápis, součet … Pro správný výpočet nesmí dítě žádný z těchto kroků opomenout nebo v něm udělat chybu. Další mé úvahy v této otázce se ubírají cestou logičnosti jednotlivých kroků. Podle mého může ne/logičnost postupu ovlivňovat chybovost. Vědí např. děti, proč se při písemném násobení musí držet desítky? Mnoho chyb se objevilo také u násobení většími čísly (číslo do 10 brát číslo nad 10). Zde vidím kromě vysokého počtu dílčích kroků jako možnou příčinu chybovosti nutnost „udržet vše potřebné v hlavě na potřebnou dobu“. Tedy úroveň operační paměti, což je jedna z kognitivních kompetencí. Vyplývá velmi zajímavá otázka: které kompetence jsou pro matematiku důležité? Jaké spektrum obtíží a v jakých oblastech může tato „nižší kompetentnost“ způsobovat? Do těchto úvah je nutné zahrnout dvě zpřesňující připomínky PhDr. Rendla: Zaprvé: kompetence nelze chápat fatalisticky, tzn. že jejich úroveň je stabilní. Ano, mezi dětmi jsou samozřejmě individuální rozdíly a je jasné, že dítě s vyššími kompetencemi bude mít méně problémů. Ale to neznamená, že kompetence „slabšího“ dítěte se nemohou zlepšovat. Jakým způsobem se tak děje. Lze tomu nějak napomáhat? Určitě ano, a to zejména v činnostech, kde je ta která kompetence potřeba. Otázkou je, které činnosti to jsou a jaký způsob podpory je nejvhodnější. Zadruhé: co to je znamená „operační paměť“? Jde vůbec oddělit čistě senzorickou činnost od činnosti zpracování senzorického podnětu? „Operační paměť je tedy termín pouze přibližný- blíží se tomu, co se „dítěti běží v hlavě“, ale nemůže říct nic přesného. Protože to nevíme. Objevily se chyby specifické pro určitý typ příkladu (špatný zápis, nesprávná manipulace s drženými desítkami apod.) a chyby univerzální- objevující se bez ohledu na typ příkladu. Zajímavé jsou především chyby univerzální. Jsou to totiž, na rozdíl od specifických, chyby závažné- vypovídají o neporozumění logice násobení. Jedná se o chyby v triádách a chyby šiftové. Nejdříve k šiftovým příkladům (př. 6∗1, 6∗0). Ač se na první pohled zdá, že se jedná o jedny z nejjednodušších typů příkladu, opak je pravdou. Tyto příklady totiž popírají veškerou logiku (násobit „nic“, násobit jedenkrát …). Děti dlouho váhají nad dvěma výsledky- 6 nebo 1 v prvním případě a 6 nebo 0 v druhém případě (proto „šiftový“ příklad). K chybám v triádách. Nejvíce chyb se objevilo v záměně triád v rámci násobkové řady, v chybách o násobek; nejčastějšími záměnami jsou 3 se 4 a 5 se 6 (ostatní chyby v triádách jsou svou četností v porovnání s chybami o násobek téměř zanedbatelné, tj. 68

neopakují se). Domnívám se, že zde podstatnou roli hraje akustická shoda. Můžeme tedy říct, že určité chyby může u některých dětí způsobovat špatná sluchová diferenciace. Vyplynula tedy další potřebná kompetence pro počítání: percepční. Opět připomínám poznámku PhDr. Rendla: úroveň sluchové diferenciace není úroveň neměnná. Kromě sluchové diferenciace vyplynul ještě jeden důležitý poznatek v otázce příčin výše zmíněných chyb. Děti si zřejmě osvojují triády nejprve v rovině paměti, tj. učí se, „která čísla patří k sobě“ (př. 6, 7, 42). Po čase zjistí, že nakládání s čísly má nějakou logiku, získají „cit pro násobení“, „cit pro pohyb v číselném kontinuu“. Záleží samozřejmě na individuálních kompetencích dětí, jak dlouho to bude trvat a jak kvalitní bude výsledek tohoto procesu. Tudíž: děti si ještě přesně nepamatují, která čísla „k sobě patří“ (přičemž ale čísla patřící do násobilky znají), ale přibližně tuší, v jakých místech číselného kontinua se výsledek pohybuje. Jedná se tedy zřejmě o proces, ve kterém je potřeba paměť a „cit pro násobení“. A chyby jsou důsledkem snížených kompetencí dětí v těchto oblastech. Jakou mohou mít tyto kompetence souvislost? Jako možné se ukazují dvě varianty: Zaprvé: ukládání triád do paměti, tedy neustálé opakování (tzn. dril) může podporovat operační paměť, která je, jak se ukázalo, pro počítání (zejména pamětné) potřebná. To potom vede ke zlepšení výkonu dítěte. Zadruhé: dril sám o sobě podporuje „cit pro matematiku“. Dril tedy podle všeho vůbec neznamená neefektivní a kompetence nerozvíjející metodu. Naopak. Jeho role v rozvoji kompetencí je vlastně dosti zásadní. Hovořím o něm sice „pouze“ v souvislosti s triádami, a tedy malou násobilkou. Ale copak právě malá násobilka (v různých kontextech) není základem pro veškeré počítání? Což je vlastně další důležité zjištění této práce. Znalost malé násobilky podmiňuje úspěch v počítání složitějších příkladů. V dílčích krocích potřebných ke spočítání různých typů příkladů se tato operace vyskytuje vždy a vždy má důležitou roli. Na chybovost mají vliv i další faktory. Za důležité zjištění pokládám vliv kontextu příkladu. Kontext znamená např. příklad na malou násobilku x dílčí výpočet u písemného násobení . Ač se na první pohled jedná o totožnou operaci, právě kvůli odlišnému kontextu tomu tak není. Odlišným kontextem může být i znásobení operace (př. opakované sčítání u písemného násobení dvouciferným druhým činitelem). Zůstává zatím otázkou, proč tomu tak je. Dělení Nejvíce chyb se objevilo u dělení se zbytkem, což je podle mého názoru způsobeno již zmíněnými fakt: náročností na operační paměť, vysoký počet dílčích operací. PhDr. Rendl podává přesnější interpretaci: dělení se zbytkem je vlastně členěním dělence na aditivní triádu (nejbližší menší násobek dělitele + zbytek) a multiplikativní triádu (nejbližší menší násobek dělitel: dělitel = počet násobků = výsledek). Tato složitost celkové struktury přináší chyby v dílčích triádách, ve kterých jinak v takové míře chyby nenastávají. U dělení se zbytkem se objevil další důležitý poznatek, který ale může mít platnost obecnější. Postupem času chyb v tomto typu příkladu ubývá. Jelikož jako jeden z faktorů, který ovlivňuje chybovost, jsou nároky na operační paměť, mohlo by to potvrzovat hypotézu výše: dril vede k rozvoji operační paměti, a to zase ke snížení chybovosti. Také u dělení se objevují chyby specifické (napsat správná čísla na správná místa, chyby na vizuálním podkladě) a chyby univerzální- opět chyby v triádách, chyby šiftové (do této kategorie jsem zařadila také příklady, kde je dělitel větší než dělenec- i zde dochází k popírání veškeré logiky). Soubor příkladů na dělení obsahuje bohužel podstatně méně příkladů než soubor příkladů na násobení, tudíž není možné případná specifika triadických

69

chyb u dělení řádně prozkoumat. Na základě příkladů, které jsem měla k dispozici se však zdá, že se u dělení vyskytují stejné triadické chyby jako u násobení. Násobení a dělení Chyby v násobení a dělení lze rozdělit do dvou kategorií: chyby „didaktické“ a chyby „psychodidaktické“. Chyby didaktické se týkají „technických“ záležitostí- držení desítek, chyby na vizuálním podkladě … zkrátka jsou to chyby plynoucí ze specifik jednotlivých typů příkladů. Chyby „psychodidaktické“ se týkají psychologické roviny počítání, zejména kognitivních aspektů v tom nejširším slova smyslu (náročnost šiftových příkladů, kontext příkladu apod.). Vyplynul rozdíl mezi písemným a pamětným počítáním. U písemného dělení vlastně není třeba udržet v paměti dílčí příklady nutné k vypočítání, protože jsou obsaženy v zápise příkladu (tzn. zápisem je daný přesný postup počítání). To podle mého názoru počítání dosti ulehčuje, ale na druhou stranu zase naopak může zvyšovat riziko chyby. A to v případě, že zápis není z jakéhokoli důvodu správný. Pamětné počítání klade zase větší nároky na operační paměť. Na tento rozdíl mezi písemným a pamětným počítáním se jde podívat také z jiného úhlu. Pamětné počítání se vyskytuje u příkladů „jednoduššího“ typu (menší čísla) a je tak základem pro počítání písemné (větší čísla). Čili to, co je u pamětného cílem, je u písemného prostředkem (dílčím krokem) . Tudíž: písemná forma počítání znamená riziko všech chyb pamětného počítání a navíc ještě rizika chyb dalších (např. na vizuálním podkladě). K rozdílu v triádách u násobení a dělení. Ukázalo se (ač pravda, na základě pochybného „statistického zpracování“), že chyby v triádách se vyskytly více u násobení. Myslím, že to může být tím, že u násobení je postup počítání vlastně opačný než u dělení: „hledáme“, jaký výsledek patří k určitým činitelům, kdežto u dělení výsledek víme a „dohledáváme“ jen druhého činitele. Což je pro děti zřejmě o něco jednodušší. Podle PhDr. Rendla dělení vyžaduje znalost triád naráz a děti většinou nedisponují technikami, jak v něm výsledek konstruovat. Důsledek může být, že dělení vytváří větší tlak na pamětné naučení triád. Je otázkou, zda je pro děti snazší konstruování výsledku, nebo pamětné učení. Podle četnosti chyb se zdá, že pamětné učení. Nicméně vlivů zde může být mnohem více: pamětné učení může být způsob, kterým se podporuje proces konstruování výsledku (tedy zapojení prvků logiky); dělení je operace, kterou se děti až po operaci násobení … Je zřejmé, že tato práce poukázala na mnoho důležitých aspektů dětského počítání týkajících se kognitivní stránky vývoje. Mnoho otázek zůstalo nezodpovězených, možné odpovědi však byly alespoň nastíněny. Klást otázku „proč“ v záležitostech na první pohled jasných nám může často rozšířit obzory i do míst, kam bychom si nemysleli, že někdy dohlédneme.

70

Příloha 1

Chyby v jednotlivých typech příkladů neuvedené v textu Násobení většími čísly 1) č. do 10 brát č. nad 10, ale pod 100 Chyby: Jeden z výpočtů (či oba) špatně Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek • 5*23=110 Katka (17.5.) PI 5*3=10 • 5*23= škrtlých 42 na 1020 Sára (17.5.) PI 5*2 je 10 a napsala 10 a 5*3=20 b) jiné číslo násobkové řady (více než násobek) • 4*76 (s nápovědou rozkladu - U řekne 4*70 + 4*6)=232 Eliška (17.5.) PI MR: 280+4*6=200+32=232? • 8*14=118 Tomáš PIS I MR: 80 + 8*4=80+48=118? Šiftová pravidla • 4*11=41 Eliška (17.5.) PI Zapomenutí nějakého kroku • 4*76=284 Sára (17.5.) PI 4*70=280 a pak jen přičetla první činitel? • 6*19=69 Honza N. PIS I že by k 60 připočetl jen tu 9 z 19?

Písemné násobení 1) druhý činitel je jednociferné číslo Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek • 5.10.05 Katka sešit 45 6*5=35 6 275 • 5.1.06 Honza N. sešit 1775 8*7 = 64 8 15080 • 5.10.05 Honza N. sešit 57 nedržel si trojku a 5*5 =30? nebo přičetl místo trojky pětku? 5 305 • 5.10.05 Katka sešit 71

45 6*5=35 6 275 • 15.12.05 Tomáš sešit 874 3 2626 3*4=16? • Tomáš sešit 3599 7*3+4=32
7*3=28? 7 32193 • 15.12.05 Honza N. sešit 916 4*9=27 4 2764 • 5.1.06 Martin sešit 4809 3*9=18 3 14418 126 7 862 7*2+4=16 • 17.1.06 Ota sešit 8355 6 56130 6*8=54 Chyby na vizuálním podkladě • 12.10.05 Tomáš sešit 777 5 38885 je tam 8 navíc, zřejmě mate, tolik stejných čísel za sebou … Nepřipočtení desítek • 604 Štěp. 10.5. PI 5 3500

zapomíná připočítávat desítky + 5*6= 35 (násobek navíc- pokud tedy počítala 6*5)

• 21.10.05 Ondra sešit 284 3 652 zapomněl přičíst dvojku

•

22.11.05 Ota sešit 72

1999 5 9595 nepřičetl 4 1836 4 7324 nepřičetl dvojku •

604 Štěp. 10.5. PI 5 3500

zapomíná připočítávat desítky + 5*6= 35

Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Desítky navíc/méně desítek (?) • 21.11.05 Bára sešit 1836 špatné dopočítání (4*1+3) ? 4 8344 • 23.11.05 Honza Ch. sešit 1987 chyba: 6*9+5=58; drobná chybka ve výpočtu nebo ovlivnění předchozím výsledkem 6 48? nebo prostě přičetl místo pětky čtyřku z 48? 11822 • 22.11.05 Honza N. sešit 523 9*5+2=48? spíš mi přijde, že místo dvojky přičetl trojku, 9*5 je triáda, kde se chyby 9 moc nedělají… ale nevím. 4807 2468 3*4+2=16? 3 7604 • 17.11.05 Myšák sešit 3378 5 je z čísla 35, Myšák počítal 9*3+7 jako 35 (špatně dopočítané) 9 30502 • 12.10.05 Danielka sešit 754 3 2282 chyba: 3*5+1=18? nicméně nezdá se mi pravděpodobné, že by určila 3*5 jako 17 - spíš mi přijde, že počítala 3+5 a jedničku k 3*7 přičetla tak nějak „ze zvyku“ • 11.11.05 Bára sešit 271 chyba: buď 4*7=29 4 - spíš si myslím, že je zvyklá „něco si držet“- proto to zřejmě nevědomky 1094 udělala i zde- 4*7 + 1=29 (až na to, že 4*1 není výsledek přes desítku) co z toho: zřejmě nedokázala vyjet z kolejí „zajetého algoritmu“? (u většiny příkladů si něco držet musí- v tomto případě předtím 5 příkladů, 2. z nich ( 502*2 )začíná dílčím výpočtem 2*2, Bára jej má OK- možná proto, že u 2*0 neváhala? 73

•

472 Sára 11.10. PI 8 3376

k 8*4 přičetla jen 1, nikoli 5

• 22.11.05 Ota sešit 523 9 4697 k 9*2 přičetl pouze 1 • 15.12.05 Ondra sešit 824 6 5044 místo 1 přičtena dvojka
24, držím 2, 6*2 je 12 … Přičtení desítek některého z předchozích výpočtů (?) • 11.11.05 Ondra sešit 157 6 972 MR: nesečte 4, kterou drží z prvního kroku, se 3 z druhého kroku? Vypadalo by to, že se některé „držené cifry=desítky“ mohou do hry dostat vícekrát • 11.11.05 Honza D. sešit 169 asi k 6*1 přičetl místo 4 (ze 41) 5 (kterou si držel z 54), nebo 6*1+4=11 6 1114 • 23.11.05 Honza Ch. sešit 1987 6*9+5=58; drobná chybka ve výpočtu nebo ovlivnění předchozím výsledkem 6 48? nebo prostě přičetl místo pětky čtyřku z 48? 11822 Přičtení jednotek místo desítek (?) • 5.10.05 Honza N. sešit 57 nedržel si trojku a 5*5 =30? nebo přičetl místo trojky pětku? 5 305 Napsat správná čísla na správná místa • 23.11.05 Honza D. sešit 1987 hm, to je celé zmatečné- napadá mě, zda ještě nemohou nastávat chyby typu: 6*7=42 a 6 dítě místo dvojky napíše tu čtyřku 7554 • 6.12.05 Vašek sešit 9854 7 68928 dvojka je to, co si měl V. držet? že počítá s třicet-něco ví, neb 3 přičetl k 8*7 • 20.9.05 Vašek sešit 159 74

5 5295 hm, tak dvojku měl přičíst a 5 je výsledek 5*1- ale je-li toto správná etiologie… 2) druhý činitel je dvouciferné číslo Chybný výpočet Chybná triáda (výsledek číslo mimo násobilku) • 14.2.06 Honza N. sešit 12379 72 24758 80453 MR: 1. 7*3=29? 829288 2. 7*2=7, +3=10 Záměna triád v rámci násobkové řady a) chyba o násobek • Honza D., 15.2.06 15213 27 106291 chyba: 7*2=12 30426 410551 •

31.1.06 Ondra sešit 42778 46 256668 171116 4*8=36? 1967828 • 1.2.06 Emilka sešit 5415 47 37905 26660 asi 4*5=25+1=26 304505 •

23.2.06 Honza D. sešit 9624 69 9*9+5=83; 6*2+2 = 20 83616 57804 661656 • 1.3.06 Ota sešit 6357 40 254680 6 je z 26. Že by Ota místo 4*5+2 =26 •

15.2.06 Honza D. sešit 5421 4*4=12 75

42 10842 21284 4 škrtlá 4 přepsaná z osmičky 223682 •

1.2.06 Martin sešit 37671 58 300568 nula je asi výsledek 8*7 + 4, takže 8*6+5 M. spočítal jako 45 (aneb 8*6=40) 188355 2184118 • 1.2.06 Ondra sešit 2532 6 13192 6*2+3=13

Záměna aditivní a multiplikativní triády • 26.1.06 Honza Ch. sešit 12321 44 49284 49284 538924 H. zde místy místo sčítání násobil: ne 8+4, ale 8*4, pak 8*2 + 3, pak už opět sčítání •

2.2.06 Katka sešit 40162 75 200810 288134 ta 8 je asi výsledek 7+1 (z 11) 3082150

• 1.3.06 Myšák sešit 2188 36 13128 5564 drobná chybka… že by omylem místo 2*3 počítal 2+3? 68768 Chyby na vizuálním podkladě • Emilka sešit 31.1.06 42 778 MR: v prvním řádku od 2. kroku násobí 4 místo šestkou 46 171128 191112 2082248 •

31.1.06 Honza Ch. sešit 151065 76

35 755335 45495 4 jako výsledek 3+1? (jednička z 18), na 3*1 pak H. za pomněl a počítal až 3*5 1210275 operace sčítání a násobení se nějak pletou… MR: 3*0 + 1=3+1? • 14.2.06 Honza Ch. sešit 21987 39 197883 65 61__ zapomněl na 3*9 a počítal rovnou 3*1 +2 253493 •

14.2.06 Katka sešit 12379 75 61895 9653 zapomněla na jeden výpočet-po výsledku 26 je výsledek 16- možná ji zmátlo, že už tam 158425 jednu šestku má, tak ho „přeskočila“ a počítala dál (a ještě místo 9 by měla být 8přičetla asi tu dvojku z 26)

•

14.2.06 Ondra sešit 52 631 19 4739679 počítal 2x 9*6 52631 5265989

• 25.1.06 Honza D. sešit 2342 zapomněl na 2*4 20 4640 1

4231 zapomněl na 4*4 40 9240 •

1.2.06 Adam sešit 7617 36 45702 43851 chyba: 3*7=42 Počítal Adam omylem místo trojky počítal se šestkou? 484212 • 14.3.06 Adam sešit 52 796 18

77

72368 chyba: přijde mi, že: 8*2 + 6 je 22, dvojku, co si drží, však nepřičte k 8*5 ale k 1*5 52796 600328 •

1.2.06 Honza Ch. sešit 37671 58 301368 188215 jako by H. místo 5*7 počítal 3*7 a pak opět 5*6+2 2183518 Nepřipočtení desítek • 1.2.06 Danielka sešit 4065 32 8130 12195 129080 chyba: zapomněla si držet jedničku •

2.2.06 Honza Ch. sešit 40162 75 200800 že by ta nula byla z 30?? a zapomněl přičíst jedničku; jo jo, je to složité, tohle 281134 násobení 3012140 •

14.2.06 Honza N. sešit 28125 32 56250 68375 opět nerozumím, výsledek 3*8 číslo končící 8 + k 3*2 nic nepřičetl. Nicméně jako 740000 ostatně všude se lze jen domnívat- řekl si 3*8=28 a zapomněl přičíst dvojku? •

14.2.06 Honza Ch. sešit 28125 32 56250 64375 zřejmě zapomněl přičíst dvojku 700000 •

14.2.06 Katka sešit 15042 16 90252 15042 140672 zapomněla přičíst 1 Odečítání desítek • 14.2.06 Honza Ch. sešit 12 379 MR: 1. 7*3=15+5=20 78

75 61895 62053 682425

2. 7*2=14-2=12 3. 7*1=7-1=6

Chybné přičtení desítek/ chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Desítky navíc/míně desítek • 23.2.06 Emilka sešit 36 897 27 278279 chyba: 7*3+4 =27 73794 1016219 •

26.1.06 Honza N. sešit 42778 46 254668 6*2+4=14? 6*2 zredukováno na 10 … pak už by to vycházelo 1689112 17145788 druhý řádek: 9 navíc + nepřičtení trojky; napadá mě toto: devítka jako výsledek 4+2+3 (z 31), pak počítal znovu 4*2 (a trojku již nepřičítal) a 4*4 • 18.4.06 Honza Ch. sešit 3785 17 28495 7*3+5=28?? opět 7*3 jako problém… napadá mě toto: 7*3 svádí k výsledku 23… 3785_ 66345 •

18.4.06 Michal B. sešit 15324 39 147916 špatné přičtení: 9*1 + 4=14 (že by od 47)? 45972 607636 •

1.2.06 Martin sešit 5415 47 37905 21650 přičetl jen jedničku MR: ale všude jinde přičítá správně 254405

•

14.2.06 Ota sešit 14029 67

79

98203 74174 839943

místo 2 přičetl jedničku

• 26.1.06 Honza N. sešit 12321 první postřeh: nenapadlo ho, že když jsou druhý činitel 2 stejná čísla, nemusí počítat ___44 znovu druhou řadu má na rozdíl od první OK; u první ke 4*1 přičetl 69284 dvojku 49284 562124 •

2.2.06 Danielka sešit 23700 24 94800 57400 chyba: k mezivýpočtu 2x2 přidala ještě jedničku (kterou si ale „nemusela držet“) 668800 • 23.2.06 Bára sešit 19453 46 116718 77812 994838 7+1=9- zvláštní, že by se nechala zmást výpočtem předtím (7+1+držená 1)? •

1.3.06 Emilka sešit 34289 19 308601 34289 751591 7 místo 6 na začátku by mohl být důsledek zvyku přičítání jedničky?

6357 40 0000 25428 265380 stejně jako výše? • 26.1.06 Emilka sešit 27 145 12 54290 27145 326250 MR: 1. Nulu bere jako 10 a v dalším kroku přičítá jedničku 2. ve třetím kroku počítá místo „4+1=5, 5+2=7“ 4+1=5, 5+2=7, 5+7=12

80

tomu teda moc nerozumím, asi Napsat správná čísla na správná místa • 25.1.06 Martin sešit 2342 2*2=2- asi zkrat ( na který mohly mít vliv dvě dvojky v zorném poli?) nebo 20 napsané špatné číslo z triády? 46820 • 2.2.06 Honza Ch. sešit 39 009 25 195044 5*9=45, a Honza napsal tu čtyřku a ne pětku? 78018 975224 •

22.2.06 Ota sešit 27365 32 54730 22095 ta dvojka by mohla být to, co měl Ota přičíst 275980 Špatně pod sebou • 14.2.06 Bára sešit 17 346 z tohoto zápisu to není poznat, ale chyba je důsledek špatného (nepřehledného) 49 napsání druhé řady čísel pod tu první 57114 69384 850954

Dělení II (na základě malé násobilky) Chybný výpočet Záměna triád v rámci násobkové řady jiné číslo násobkové řady (více než násobek) • Štěpánka 720:8=70 (12.4) (8*7 x 8*9) • 420:7=40 Vašek PIS I (4*7 x 6*7) Napsat správná čísla na správná místa Nedopsání nuly • Bára 270:9=3 (12.4.)

Dělení se zbytkem (menší čísla) Chyby ve výpočtech Správně určit nejbližší menší číslo

81

Místo nejbližšího menšího čísla si řeknou nejbližší větší • 53:7=8 zb.3 Michal B. 4.10.05 v sešitě • 46:8=6 zb.2 Emilka PIS I • 29.9.05 Tomáš sešit: 27:4=7 zb.1 Chybná triáda/špatné dopočítání (nelze s jistotou rozlišit) Špatné dopočítání zbytku (?) • 51:9=5 zb.9 Bára PIS I • 63:8=7 zb. 6 • 25.9.05 Bára sešit - 19:8=2 zb.2 - 37:7=5 zb. 3 • 4.10.05 Ondra sešit 62:8=7 zb.4 že by 8*7=58?

Písemné dělení Chyby ve výpočtech Šiftová pravidla • 13.10.05 Honza N. sešit 4,88:4=124 zapomněl sepsat osmičku + 0:4=4 šift 08 0

Písemné dělení se zbytkem Chyby ve výpočtech Záměna triád v rámci násobkové řady Chyba o násobek • 25.10.05 Emilka sešit 26,2: 8= 42 zb.6 chyba: 26:8=4 zb. 2 (8*3 x 8*4) 22 6 Špatné dopočítání zbytku • 29.11.05 Honza N. sešit 29,19:6=486 zb.4 ZK: 486 51 6 39 2906+4=2910 4 chyba: 39:6=6 zb.4- ve ZK má ale 6*6 OK, takže zkrat?

Špatně dopočítaný dílčí zbytek • 17.1.06 Martin sešit 79,91:9=876 zb.7 79:9=8 zb.6 (špatné dopočítání)

82

69 61 7 Chyby na vizuálním podkladě • 17.2.06 Honza N. sešit 57,03:7=814 ZK nevyšla (814 zb.2), ale H. se tím nezatěžuje 10 30 omylem sepsal místo trojky znovu nulu???proč ale s trojkou pak již nepracuje? že by 2 odhad výsledku? nebo to, že výsledky příkladů tohoto typu jsou z valné většiny třímístné? • 18.4.06 Michal B. sešit 12,345:5=2449 22 špatně sepsané číslo 24 45 0 • 2.12.05 Vašek sešit 4706:5=951 zb.1 27 opsal sedmičku, což neměl 00 špatně určený zbytek z 27:5.. no, ale kdo ví, co s čím dělil 16 MR: mj. 0:5=1, 1*5=0 a zbyde 1 0

Napsat správná čísla na správná místa • 17.2.06 Honza N. sešit 32,07:4=801 ZK: 801 podobně 12.1. + v zápise vynechal krok počítání se 700 4 dle výsledku s ním ale počítal, jen nezapsal onen 3 3204+3=3207 mezikrok (a nenapsal zbytek- ví ale, které je to č.) • 8.11.05 Honza D: sešit 565:3=188 zapomenul na poslední krok (čili napsat „zb. 1“) 26 25 1 724:5=144 a zkouška mu samozřejmě vyšla, ač do ní nezapočítal zbytek 22 24 4

666:7=952 stejně jako výše 36 16

83

2 (přepsaná z nuly)

Dělení se zbytkem (menší čísla) Napsat správná čísla na správná místa • 27.9.05 Honza Ch. sešit 8:6=2 zb.2 asi místo 8:6 „počítal“ 8-6; asi tím, že součástí „postupu“ dělení se zbytkem je i odčítání, se to občas poplete?Nebo jen napsal špatné číslo (tzn. řekl si „jedna, zbytek dva“ a tu dvojku pak napsal)? • 34:5=30zb. 4 , 0 Emilka, 29.9.05, taktéž (té nule nerozumím, ale škrtlá 4je jasná ) • 41:6=36 zb. 5 6*6 je 36, a 5 do 41 Emilka, 29.9.05, taktéž • 29.9.05 Ondra sešit 5:7=5 zb.0 má to být opačně…
jen drobný omyl?? • 12.4. Honza N. dostane příklad 64:7 „Řeknu si 63, to je 7“ U: „ne“ Honza N.: „9 a zbytek 1“ řekl špatné číslo z triády • 27.9.05 Myšák 29:7=7 zb.1 zb. je OK, Myšák asi z triády 4,7,28 napsal špatné číslo • Emilka, 29.9.05, v sešitě7:2=6 zb.1 • 27:4= 24 zb. 3 Emilka, 29.9.05 • 16:3= 15 7, zb. 1 3 Emilka, 29.9.05 • 27.9.05 Honza Ch. sešit 8:6=2 zb.2 asi místo 8:6 „počítal“ 8-6; asi tím, že součástí „postupu“ dělení se zbytkem je i odčítání, se to občas poplete?Nebo jen napsal špatné číslo (tzn. řekl si „jedna, zbytek dva“ a tu dvojku pak napsal)?

84