Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie. Srovnávací slovní úlohy v první a druhé třídě

Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie

Srovnávací slovní úlohy v první a druhé třídě

Magdalena Ptaková Psychologie – speciální pedagogika 4. ročník - 2008/2009

OBSAH 1. POČÁTEČNÍ INSPIRACE LITERATUROU ............................................................................................... 3 1.1 KAREN C. FUSON, WILIAM M. CAROLL, JUDITH LANDIS – ÚROVNĚ KONCEPTUALIZACE A ŘEŠENÍ SROVNÁVACÍCH SLOVNÍCH ÚLOH SE SČÍTÁNÍM A ODČÍTÁNÍM (LEVELS IN CONCEPTUALIZING AND SOLVING ADDITION AND SUBSTRACTION COMPARE WORD PROBLEMS) ....................................................................... 3 1.2 ALENA HOŠPESOVÁ – VYTVÁŘENÍ ADITIVNÍ POZNATKOVÉ STRUKTURY V PODMÍNKÁCH ŠKOLNÍHO VYUČOVÁNÍ ........................................................................................................................................................ 7 2. POZOROVÁNÍ VE TŘÍDÁCH..................................................................................................................... 10 2.1 PŘIPOMENUTÍ TEORETICKÝCH VÝCHODISEK ........................................................................................... 10 2.1.1 Šest typů srovnávacích slovních úloh (compare word problems) podle autorů Fuson, Caroll, Landis.......................................................................................................................................................... 10 2.1.2 Rozdělení srovnávacích úloh podle Aleny Hošpesové ...................................................................... 11 2.2 POZOROVÁNÍ V HODINÁCH MATEMATIKY (ZAMĚŘENO NA SLOVNÍ ÚLOHY) .......................................... 12 2.2.1 I.A – 26.3.2007 ................................................................................................................................. 12 2.2.2 II. A - 20.3.2007............................................................................................................................ 12 3. ANALÝZA UČEBNIC.................................................................................................................................... 14 3.1 UČEBNICE V PRVNÍ TŘÍDĚ .......................................................................................................................... 14 3.2 UČEBNICE VE DRUHÉ TŘÍDĚ ...................................................................................................................... 15 3.3 CO UKÁZALA ANALÝZA UČEBNIC .............................................................................................................. 15 4. HYPOTÉZY .................................................................................................................................................... 16 5. SOUBOR SLOVNÍCH ÚLOH....................................................................................................................... 16 5.1 SOUBOR SLOVNÍCH ÚLOH PRO 1. TŘÍDU .................................................................................................... 16 5.2 SOUBOR SLOVNÍCH ÚLOH PRO 2. TŘÍDU .................................................................................................... 17 5.3. SOUBOR ŠESTI SLOVNÍCH ÚLOH NAVÍC PRO 2. TŘÍDU .............................................................................. 18 6. PODMÍNKY EXPERIMENTU ..................................................................................................................... 19 7. ANALÝZA DAT ............................................................................................................................................. 19 7.1 PRVNÍ TŘÍDA .............................................................................................................................................. 19 7.2 DRUHÁ TŘÍDA ............................................................................................................................................. 27 7.3 POROVNÁNÍ PRVNÍ A DRUHÉ TŘÍDY ........................................................................................................... 33 7.4. SLOVNÍ ÚLOHY NAVÍC ............................................................................................................................... 34 7.4.1 Řešení slovních úloh navíc – Víťa .................................................................................................... 34 7.4.2. Řešení slovních úloh navíc - Kuba................................................................................................... 35 7.4.3. Řešení slovních úloh navíc - Lucka ................................................................................................. 35 8. ZÁVĚR............................................................................................................................................................. 35 9. LITERATURA ................................................................................................................................................ 37

2

1. POČÁTEČNÍ INSPIRACE LITERATUROU 1.1 Karen C. Fuson, Wiliam M. Caroll, Judith Landis – Úrovně konceptualizace a řešení srovnávacích slovních úloh se sčítáním a odčítáním (Levels in Conceptualizing and Solving Addition and Substraction Compare Word problems) Na počátku mé práce a experimentu stál článek Levels in Conceptualizing and Solving Addition and Substraction Compare Word Problems (Úrovně konceptualizace a řešení srovnávacích slovních úloh se sčítáním a odčítáním) autorů Karen C. Fuson, William M. Caroll a Judith Landis 1 , kterým jsem se inspirovala. V tomto článku autoři prezentují 4 úrovně vývoje řešení a zvládání srovnávacích slovních úloh, kterými děti procházejí. Ve srovnávacích slovních úlohách jsou srovnávána dvě množství a většinou se zde objevuje slovo více/méně (Např. slovní úloha: Hana má 3 jablka. Lenka má o 6 jablek více. Kolik jablek má Lenka?). První úroveň je autory označována jako Relational level. Děti na této úrovni dokáží odpovědět na otázku kdo má více/ méně, nedokáží však zodpovědět o kolik. Výsledek získávají tak, že vyberou náhodné číslo či ignorují slovo více/méně ve větě. Na druhé úrovni Language Cue level řeší děti lépe úlohy dynamické než statické. Jsou tedy pro ně snadnější slovní úlohy na vyrovnávání než statické slovní úlohy na srovnávání. Ve slovní úloze se orientují hodně podle „ klíčových slov“ – keywords (více pro ně znamená sčítání, méně odčítání). Také na třetí úrovni Understand Matching Situations level se děti převážně řídí „ klíčovými slovy“. Úlohy, ve kterých „ klíčové slovo“ navádí k opačné početní operaci než k té, jež je potřeba provést, aby se došlo ke správnému výsledku, jsou pro děti velice složité. Děti na čtvrté úrovni Solve Inconsistent level začínají chápat, že „ klíčová slova“ mohou být matoucí a neorientují se pouze podle nich. Začínají řešit správně úlohy, ve kterých „ klíčové slovo“ navádí k opačné početní operaci než té, jež je nutno provést. V článku je dále věnována pozornost dvěma typům slovních úloh – srovnávání (compare) a vyrovnávání (equalize); dvěma početním operacím – sčítání a odčítání a třem kvantitám, které mohou být ve slovní úloze neznámé – větší číslo, menší číslo a extra (rozdíl mezi větším a menším číslem). Autoři upozorňují na skutečnost, že extra (rozdíl) je kvantita, která se neobjevuje zvlášť. Je vždy součástí většího čísla a pouze ve slovních úlohách jí oddělujeme, je to tedy něco pro děti nepřirozeného. Musíme rozdělit větší číslo na dvě jednotky – jedna je stejná jako menší číslo a to, co zůstane je extra. Pro některé děti to znamená problém. Ve slovních úlohách na srovnávání (compare) je jasně dáno, že „ x je o (n) větší/více než y“ nebo, že „ x je o (n) menší než y“, proto je jednodušší určit, které číslo v úloze je větší a které menší. U slovních úloh na vyrovnávání (equalize) je to obtížnější. Např. ve slovní úloze, „ Pokud dostane ještě dvě kočky navíc, bude mít tolik koček kolik má psů.“, neznamená slovo více, že koček je více než psů, ale právě naopak, počet koček je menší číslo. Pro děti je tedy obtížnější řešit slovní úlohy na vyrovnávání (equalize) než na srovnávání (compare), jelikož se orientují podle „klíčových slov“. Autoři článku využívali data z první a druhé třídy. Ve třídách měřili na začátku školního roku a v polovině školního roku. Dětí, které se účastnily výzkumu na začátku 1 Levels in Conceptualizing and Solving Addition and Substraction Compare Word Prolems; Karen C. Fuson, William M. Caroll and Judith Landis; in Cognition and Instruction; 1996; 14 (3); str. 345 - 371

3

školního roku, bylo v první třídě 122 a ve druhé třídě 102. Dětí, které se účastnily výzkumu v polovině školního roku, bylo v první třídě 93 a ve druhé 119. Dětem na začátku školního roku zadávali omezený soubor slovních úloh – pouze na sčítání a se slovem více. Dětem v polovině školního roku zadali soubor 12 slovních úloh, který obsahoval slovní úlohy na srovnávání (compare) a na vyrovnávání (equalize); s různým neznámým množstvím – neznámé velké číslo, neznámé malé číslo a neznámé extra (rozdíl); na sčítání či odčítání. Děti neměly předchozí zkušenosti s řešením těchto slovních úloh. Dětem na začátku školního roku bylo zadáno 24 slovních úloh během 4 dnů, každý den řešily 6 slovních úloh. Soubor úloh obsahoval 3 slovní úlohy na srovnávání (compare) a 3 slovní úlohy na vyrovnávání (equalize), obojí pouze na sčítání. V úlohách pro první třídu byly výsledky vždy součty do hodnoty 10 a ve druhé třídě vždy součty do hodnoty 10 až 18. Dětem v polovině školního roku bylo zadáno 18 slovních úloh během dvou dnů 9 slovních úloh denně. Všechna tři čísla v úloze (větší číslo, menší číslo a extra – rozdíl) byla menší či rovna 10. Slovní úlohy byly na sčítání i odčítání. U všech tříd vždy učitel přečetl úlohu nahlas tolikrát, kolikrát děti chtěly. Děti mohly užívat prsty, kreslit na papír či sčítat a odčítat v mysli. V experimentu zadávali autoři článku tyto typy slovních úloh: Tabulka č. 1: Různé typy slovních úloh

SČÍTÁNÍ 2

ODČÍTÁNÍ

●Neznámé extra (rozdíl) Bob má 7 koček.Bob má 9 psů. Srovnávání se slovem více: O kolik více psů má Bob? Vyrovnávání +:Kolik koček by musel Bob mít, aby měl stejně koček jako psů? Početní operace (+-): 9 M 7=? Vyrovnání: 7+?=9 ● Consistent – „klíčové slovo“ (více/méně) navádí ke správné početní operaci

●Neznámé extra (rozdíl) Bob má 7 koček. Bob má 9 psů. Srovnávání se slovem více: O kolik méně koček má Bob než psů? Vyrovnávání -: Kolik psů by musel Bob dát pryč, aby měl tolik psů jako koček? Početní operace (+-): 9 M 7=? Vyrovnání: 9 - ?=7 ● Consistent

Neznámé větší číslo Bob má 7 koček. Srovnávání se slovem více: Bob má o dva psy více než koček. Kolik má psů? Vyrovnávání +: Kdyby měl Bob o dvě kočky navíc, měl by tolik psů co koček. Početní operace (+-): ? M 7=2 Vyrovnávání: 7+2=? ● Inconsistent – „klíčové slovo“ (více/méně) navádí k opačné početní operaci než té, jenž je nutná ke správnému řešení

Neznámé menší číslo Bob má 9 psů. Srovnávání se slovem méně: Bob má o dvě kočky méně než psů Kolik má koček? Vyrovnávání -: Kdyby dal Bob dva psy pryč, měl by stejně psů jako koček. Početní operace (+-): 9 M ?=2 Vyrovnávání: 9-2=? ● Inconsistent

2

Sčítání je zde mým překladem anglického pojmu additive wordings, tento pojem se však do češtiny zcela přeložit nedá, znamená, že v úloze je použita sčítací sémantika zadání ( pojmy v úloze použité navádí děti ke sčítání). Totéž platí pro pojem odčítání v tabulce. Tyto pojmy se vyskytují později v textu.

4

Neznámé menší číslo Bob má 9 psů. Srovnávání se slovem více: Bob má o dva psy víc než koček. Kolik má koček? Vyrovnávání +: Kdyby Bob dostal dvě kočky, měl by stejně psů a koček. Kolik koček má? Početní operace (+-): 9 M ?=2 Vyrovnávání – opačná početní operace než navádí „klíčové slovo“: 9 – 2=? Vyrovnávání: ?+2=9

Neznámé větší číslo Bob má 7 koček. Srovnávání se slovem méně: Bob má o dvě kočky méně než psů. Kolik psů má? Vyrovnávání -: Kdyby dal Bob dva psy pryč, měl by tolik koček jako psů. Kolik má psů? Početní operace (+-):? M 7=2 Vyrovnávání – opačná početní operace než navádí „klíčové slovo“: 7+2=? Vyrovnávání: ? – 2 = 7

Zdroj: vlastní zdroj ( čerpáno z Fuson, Carroll,Landis,1996)

Pro děti v první třídě, které se účastnily experimentu na začátku roku, byly snadnější slovní úlohy na vyrovnávání (slovní úlohy na vyrovnávání jsou dynamickou formou – jedná se o akci). Děti, které měly již se slovními úlohami více zkušeností – děti v první třídě, které se účastnily experimentu v polovině roku, a děti ve druhé třídě - řešily slovní úlohy na vyrovnávání a srovnávání stejně úspěšně. Děti řešily lehce a úspěšně slovní úlohy „consistent“ – slovní úlohy, kde „klíčové slovo“ (více/méně) navádí ke správné početní operaci a to jak slovní úlohy a vyrovnávání, tak na srovnávání. Pro děti z první třídy, které se účastnily experimentu v polovině školního roku a děti ze druhé třídy, které se účastnily na začátku školního roku byly jednodušší „consistent“ slovní úlohy a vyrovnávání s neznámým extra (rozdílem) než slovní úlohy na srovnávání a „inconsistent“ slovní úlohy. Pro děti, které měly největší zkušenosti s řešením slovních úloh (děti ze druhé třídy, které se účastnily experimentu v polovině školního roku), byly nejobtížnější slovní úlohy „ inconsistent“ na srovnávání. Zdá se tedy, že pro děti je snadnější provést opačnou početní operaci než ke které je navádí „klíčové slovo“ u slovních úloh na vyrovnávání. Kromě nejmladších dětí (děti z první třídy, které se účastnily na začátku škol. roku), byly pro děti nejjednodušší slovní úlohy s neznámým extra (rozdílem) a „ consistent“ slovní úlohy. „ Inconsistent“ slovní úlohy se ukázaly jako velice obtížné. Pro většinu dětí byly složitější slovní úlohy „inconsistent“ se slovem méně než slovní úlohy „inconsistent“ se slovem více. Mladší děti řešily lépe slovní úlohy s neznámým extra (rozdílem) na sčítání než na odčítání. Tyto děti zřejmě „klíčové slovo“ více navádí ke sčítání výrazněji než je navádí slovo méně k odčítání. Nejtěžší pro všechny děti byly tedy slovní úlohy „inconsistent“ na odčítání. Znamená to tedy, že pro děti je nejobtížnější provést opačnou početní operaci než tu, ke které je navádí slovo méně – odčítání. U většiny úloh se vyskytovaly typické chyby. Děti z první třídy jako výsledek uvedly číslo, které bylo dáno v úloze. Děti ze druhé třídy použilo chybnou početní operaci – opačnou – místo sčítání odčítání a naopak. Tabulka č. 2 : Procenta žáků, kteří správně odpověděli u slovních úloh na sčítání SČÍTÁNÍ Srovnávání se slovem více Vyrovnávání + Neznámé Consistent Inconsistent Neznámé Consistent Inconsistent extra Neznámé Neznámé extra Neznámé Neznámé (rozdíl) větší číslo menší číslo (rozdíl) větší číslo menší číslo 30 5 31 57 6 1. třída 7 –

5

začátek škol. roku 1. třída 78 – polovina škol. roku 2. třída 52 – začátek škol. roku 2. třída 90 – polovina škol. roku

70

49

87

72

44

53

46

65

66

41

89

62

94

85

86

Zdroj: Fuson, Caroll, Landis (1996)

Tabulka č. 3: Procenta žáků, kteří správně odpověděli u slovních úloh na odčítání ODČÍTÁNÍ Srovnávání se slovem Méně Vyrovnávání Neznámé Consistent Inconsistent Neznámé Consistent Inconsistent extra Neznámé Neznámé extra Neznámé Neznámé (rozdíl) menší větší číslo (rozdíl) menší číslo větší číslo číslo 1. třída – začátek škol. roku 41 35 80 78 32 1. třída 65 – polovina škol. roku 2. třída – začátek škol. roku 88 41 90 95 65 2. třída 97 – polovina škol. roku Zdroj: Fuson, Caroll, Landis (1996)

6

Výsledky vedly autory k upřesnění úrovní vývoje řešení a zvládání slovních úloh. Autorům se také potvrdily již dříve uvedené úrovně řešení srovnávacích slovních úloh. Z článku autorů Karen C. Fuson, William M. Caroll a Judith Landis mne především zaujaly typy slovních úloh na srovnávání, které jsem použila ve svém experimentu a zadala je dětem. Dále jsem chtěla zjistit, zda opravdu existují „ klíčová slova“, která děti navádějí k určité početní operaci a tím pádem je matou. 1.2 Alena Hošpesová – Vytváření aditivní poznatkové struktury v podmínkách školního vyučování Další literatura, se kterou jsem pracovala byla disertační práce autorky Aleny Hošpesové s názvem Vytváření aditivní poznatkové struktury v podmínkách školního vyučování 3 . V textu uvádím pouze části práce, které souvisí s mou prací a experimentem a ze kterých jsem částečně čerpala. Hned na začátku své práce Alena Hošpesová uvádí: „ Žáci mají spíše snahu najít typ slovní úlohy a potom použít řešení, které je pro daný typ nacvičené. Pro žáka se často problém řešení redukuje na rozeznání typu slovní úlohy. Pokud je úloha zadána tak, že její text vede přímo k volbě početních výkonů, je nejčastějším postupem dítěte uposlechnutí těchto náznaků. Při volbě početního výkonu se orientují podle signálů, které jsou v úloze slovně vyjádřeny.“ (Hošpesová, 1998, s.5) Dá se říci, že signál u Hošpesové a „klíčové slovo“ u Fuson, Caroll a Landis je totéž. Je to slovo podle něhož žák zvolí početní operaci. Často stojí právě toto slovo za potížemi, které žák se slovní úlohou má. Hošpesová ve své práci zdůrazňuje a uvádí tři základní operace, které se řeší sčítáním a odčítáním – změna (change), spojení (combine) a porovnání (compare). Na rozdíl od autorů uvedených dříve (Fuson, Caroll a Landis) se zabývá tedy nejen slovními úlohami srovnávacími, ale také změnou a spojením. K popisu všech tří základních operací, které se řeší sčítáním a odčítáním, autorka prezentuje tabulku (Hošpesová, 1998, s. 31-32): Tabulka č. 4: Charakteristika základních početních situací Název kategorie Charakteristika Ilustrační úloha Zahrnuje statické vztahy Na hřišti jsou 3 chlapci a 4 SPOJENÍ mezi částmi a celkem. Cílem dívky. Kolik dětí je na hřišti? je stanovení celku nebo jedné ze dvou částí. Popisuje nárůst nebo úbytek Klára měla 6 nálepek. Dvě ZMĚNA původního stavu. Cílem je ztratila. Kolik nálepek má stanovit konečný stav. nyní? Zahrnuje statické porovnání Tomáš má 6 kuliček. Jan má POROVNÁNÍ dvou množství. Ptáme se na 4 kuličky. O kolik kuliček rozdíl, nebo velikost jedné ze má Tomáš víc než Jan? skupin, pokud je rozdíl dán. Zdroj: Hošpesová (1998)

3

Hošpesová, A.: Vytváření aditivní poznatkové struktury v podmínkách školního vyučování. Karlova Univerzita, Praha, 1998.

7

Při tvorbě souboru úloh, které jsem chtěla zadávat dětem, jsem vycházela především z kategorizace úloh, kterou vytvořili autoři Nesher, Riley a Greeno a ve své práci je modifikovala Hošpesová (Hošpesová, 1998, s. 38 -39). Kategorie jsou v tabulce uvedeny podle obtížnosti, kterou představuje jejich řešení pro děti. Tabulka č.5: Podrobnější charakteristika základních početních operací Situace Neznámý Vyjádření Vztah Ilustrační prvek úloha Konečný stav Přímo Zvětšení Jan měl 3 Změna 1 kuličky. Vyhrál dalších 5 kuliček. Kolik kuliček má po hře? Konečný stav Přímo Zmenšení Jan měl 8 Změna 2 kuliček. 5 kuliček prohrál. Kolik kuliček má nyní? Změna Nepřímo Zvětšení Jan měl 3 Změna 3 kuličky. Při hře vyhrál a teď má 8 kuliček. Kolik kuliček vyhrál? Změna Nepřímo Zmenšení Jan měl 8 Změna 4 kuliček. Ve hře prohrál a teď má 6 kuliček. Kolik kuliček prohrál? Počáteční vztah Nepřímo Zvětšení Jan vyhrál při hře Změna 5 5 kuliček a má teď 8 kuliček. S kolika kuličkami vstupoval do hry? Počáteční stav Nepřímo Zmenšení Jan prohrál při Změna 6 hře 7 kuliček a teď má jen 2 kuličky. Kolik kuliček měl na začátku hry? Celek Přímo Spojení Jan má 3 kuličky Spojení 1 červené a 4 zelené. Kolik má kuliček? Část Přímo Oddělení Jan má 8 kuliček, Spojení 2 z toho 3 červené a ostatní zelené. Kolik zelených kuliček má? 8

Porovnání 1

Rozdíl

Přímo

Porovnání

Porovnání 2

Rozdíl

Přímo

Porovnání

Porovnání 3

Větší počet

Přímo

Zvětšení

Porovnání 4

Menší počet

Přímo

Zmenšení

Porovnání 5

Menší počet

Nepřímo

Zmenšení

Porovnání 6

Větší počet

Nepřímo

Zvětšení

Jan má 9 kuliček červených a 5 zelených. O kolik červených kuliček má více? Jan má 9 kuliček červených a 6 zelených. O kolik zelených kuliček má méně? Jan má 5 zelených kuliček a o 4 červené více. Kolik červených kuliček má? Jan má 9 červených kuliček a o 4 zelené kuličky méně. Kolik zelených kuliček má? Jan má červené a zelené kuličky. Červených kuliček má 9, to je o 4 více než zelených kuliček. Kolik má Jan zelených kuliček? Jan má červené a zelené kuličky. Zelených kuliček má 5, to je o 4 méně než červených kuliček. Kolik červených kuliček má? Zdroj: Hošpesová (1998)

V tabulce můžeme vidět u srovnávacích úloh – zde nazvaných porovnání – stejně jako u Fuson, Caroll a Landis, označení 3 možných neznámých: Větší číslo = větší počet, Menší číslo = menší počet a Extra = Rozdíl. Hošpesová hovoří o vyjádření přímém a nepřímém, Fuson, Caroll a Landis pak o úlohách „ consistent“ a „ inconsistent“. Na tyto úlohy jsem se zaměřila ve své práci především.

9

„Co se týče obtížnosti jednotlivých úloh vyslovují Nesher, Riley, Greeno (1982) několik závěrů: U sčítání je porovnávání těžší než dynamické a statické úlohy. U odčítání jsou výrazně nejlehčí dynamické úlohy na ubírání, pak porovnávání; statické úlohy jsou nejtěžší.“ ( Hošpesová; 1998; s. 39 – 40). Nesher, Riley a Greeno uvádějí, že je možné uspořádat úlohy podle obtížnosti do čtyř stupňů: Na 1. úrovni řeší dítě úlohy na spojení 1 a změnu 1 a 2; Na 2. úrovni nedělá dětem potíže řešení úloh na změnu 3 a 4; Na 3. úrovni děti řeší zbývající úlohy na změnu, spojení 2a téměř všechny úlohy na porovnání; Na 4. úrovni jsou zařazeny jen úlohy na porovnání, které nejsou formulovány přímo, to znamená porovnání 5 a 6. (Nesher, Riley, Greeno in Hošpesová, 1998, s. 40). Obě tyto práce velice ovlivnily můj výzkum. Nejprve jsem vycházela z článku autorů Fuson, Caroll a Landis a podle něho se zaměřila na srovnávací slovní úlohy. Později jsem dostala k dispozici disertační práci Hošpesové a sestavila soubor úloh, který jsem zadala dětem v 1. a 2. třídě. 2. POZOROVÁNÍ VE TŘÍDÁCH Po prostudování článku autorů Karen C. Fuson, William M. Caroll a Judith Landis mne velice zaujalo téma srovnávacích slovních úloh. Vzhledem k tomu, že článek pojednává o situaci v zahraničí, bylo motivující zjistit, zda se tato problematika týká také českých dětí. Rozhodla jsem se tedy pro pozorování ve škole. Navštěvovala jsem 1. třídu při hodinách matematiky ve druhém pololetí a jednu hodinu jsem byla také ve třídě 2. V hodinách se samozřejmě probírala různá témata a nebyla zaměřena pouze na problematiku slovních úloh, přesto se slovní úlohy často objevovaly. Slovních úloh se probíralo dostatek, ale minimum z tohoto množství představovaly srovnávací slovní úlohy. Nejenže srovnávacím slovním úlohám byla věnovaná malá pozornost, ale navíc byly probírány pouze určité typy těchto úloh. 2.1 Připomenutí teoretických východisek 2.1.1 Šest typů srovnávacích slovních úloh (compare word problems) podle autorů Fuson, Caroll, Landis Jelikož jsem se orientovala podle rozdělení srovnávacích slovních úloh autorů Fuson, Caroll a Landis, uvádím jej zde: A.) Neznámé extra – rozdíl (Extra) Bob má 7 koček. Bob má 9 psů. O kolik více psů má Bob? B.) CONSISTENT – Neznámé větší číslo (Big) Bob má 7 koček. Bob má o dva psy více než koček. Kolik psů má Bob? C.) INCONSISTENT – Neznámé menší číslo (Small) Bob má 9 psů. Bob má o dva psy více než koček. Kolik koček má Bob? D.) Neznámé extra – rozdíl (Extra) Bob má 7 koček. Bob má 9 psů. O kolik méně koček má Bob? E.) CONSISTENT – Neznámé menší číslo (Small) Bob má 9 psů. Bob má o dvě kočky méně než psů. Kolik koček má Bob?

10

F.) INCONSISTENT – Neznámé větší číslo (Big) Bob má 7 koček. Bob má o dvě kočky méně než psů. Kolik psů Bob má? Konkrétně tedy byly ve třídách dětem zadávány pouze srovnávací slovní úlohy typu A, B, D a E, s jinými jsem se nesetkala. Typ C a F nebyl probírán vůbec a také se nevyskytoval v učebnicích (viz Analýza učebnic). Skutečnost je to zarážející, jelikož typ C a F jsou typy pro děti nejobtížnější. Jedná se o úlohy, kde musíme provést opačnou početní operaci než je ta, ke které nás navádí „ klíčové slovo“ – méně/více. Pro děti to znamená velký problém a většinou se v úloze přestanou orientovat. Přesto jsou tyto typy úloh probírány nedostatečně. 2.1.2 Rozdělení srovnávacích úloh podle Aleny Hošpesové Jelikož jsem později pracovala s textem Aleny Hošpesové (Hošpesová, 1998), uvádím zde také její rozdělení srovnávacích slovních úloh. Autorka tyto slovní úlohy nazývá porovnání a charakterizuje je jako statické porovnání dvou množství. Ptáme se na rozdíl, nebo velikost jedné ze skupin, pokud je rozdíl dán. Tabulka č.6: Typy srovnávacích slovních úloh (porovnání) podle Hošpesové Neznámý prvek Vyjádření Vztah Ilustrační úloha Rozdíl Přímo Porovnání Jan má 9 kuliček Porovnání 1 červených a 5 zelených. O kolik červených kuliček má více? Rozdíl Přímo Porovnání Jan má 9 kuliček Porovnání 2 červených a 6 zelených. O kolik zelených kuliček má méně? Větší počet Přímo Zvětšení Jan má 5 Porovnání 3 zelených kuliček a o 4 červené více. Kolik červených kuliček má? Menší počet Přímo Zmenšení Jan má 9 Porovnání 4 červených kuliček a o 4 zelené kuličky méně. Kolik zelených kuliček má? Menší počet Nepřímo Zmenšení Jan má červené Porovnání 5 a zelené kuličky. Červených kuliček má 9, to Situace

11

Porovnání 6

Větší počet

Nepřímo

Zvětšení

je o 4 více než zelených kuliček. Kolik má Jan zelených kuliček? Jan má červené a zelené kuličky. Zelených kuliček má 5, to je o 4 méně než červených kuliček. Kolik červených kuliček má? Zdroj: Hošpesová (1998)

Podle tohoto rozdělení jsou pro děti nejobtížnější slovní úlohy porovnání 5 a 6. Jedná se v nich totiž o nepřímé vyjádření. Tyto slovní úlohy nebyly ve třídách zadávány. Objevovaly se pouze slovní úlohy porovnání 1,2,3 a 4. 2.2 Pozorování v hodinách matematiky (zaměřeno na slovní úlohy) 2.2.1 I.A – 26.3.2007 Během hodiny zadána srovnávací slovní úloha: „Karel našel 6 kamenů. Petr o 3 kameny více. Kolik kamenů má Petr?“ Podle autorů Fuson, Caroll a Landis je toto slovní úloha typu B.(Consistent – Neznámé větší číslo). Podle Hošpesové se jedná o porovnání 3. V úloze je slovo více a navádí děti ke zvolení početní operace sčítání, tedy k početní operaci, která je v dané úloze správná. Pro děti by tudíž neměl být problém v užití „klíčového slova“ více a úloha by je neměla mást. V I.A opravdu s touto úlohou děti nemají problém. Jediný, kdo jí vyřešil chybně je Kryštof, který se často nesoustředí a dělá chyby. Další srovnávací úloha v této hodině: „ Dana našla o 4 kameny méně než Karel. Kolik jich má?“ Tato srovnávací úloha je typ E.(Consistent – Neznámé menší číslo) či jinak porovnání 4. Opět je to úloha, která děti nemate. Děti v I.A sice dělají chyby, ale je to tím, že úloha navazuje na předchozí a špatně určují od jakého čísla mají odčítat. Vědí však, že správná početní operace je odčítání. Tyto dvě srovnávací slovní úlohy (compare word problems) jsou typickým příkladem srovnávacích slovních úloh zadávaných a probíraných ve třídách, které jsem navštívila. Stále se tam opakovaly pouze typy A.,B.,D. a E či jinak porovnání 1, 2, 3 a 4. 2.2.2

II. A - 20.3.2007

12

Paní učitelka zadává dětem slovní úlohu z učebnice, mají si jí přečíst a poté společně vyřešit. Po chvíli vyvolává Davida: David: „ Naše škola má 36 velikých oken, malých oken má o 10 méně. Kolik malých oken má naše škola a kolik oken má celkem?“ Učitelka: „ Podtrhněte si důležité informace v příkladu a pak si zapište slovní úlohu do sešitu.“ Děti si zaškrtávají…dívám se k Jáchymovi. Jáchym si podtrhává 36 oken, pak o deset méně a zapisuje si do sešitu. Učitelka: „ Víte jak se zapisuje. Nezapomeňte, že než napíšete druhou odpověď musíte vynechat řádek. Matěji pojď to zapsat na tabuli.“ Matěj píše na tabuli: Velkých………………..36 Malých o deset méně Malých………………...x x=36 – 10 x=26 Ve škole mají 26 malých oken. Tomáš napsal na tabuli: Velkých………………..36 Malých………………...26 Celkem………………...y y=36+26 y=62 Ve škole mají celkem 62 oken. Po konci hodiny matematiky jsem si vypůjčila sešity dětí, ve kterých měly slovní úlohu zapsanou. Všechny děti v první části úlohy správně odčítaly („Kolik malých oken má škola?“), slovo méně je k odčítání směruje. Dvě dívky použili sice správnou početní operaci odčítání, ale chybně počítaly. Byla to Míša: Sešit Míši: Velkých………………36 Malých o deset méně Malých……………….x x=36 – 10 x=14 A Petra: Sešit Petry: Velkých………………36 Malých o deset méně Malých……………….x x=36 – 10 x=62 Škola má 62 oken. Škola má celkem 62 oken.

13

Tato slovní úloha je srovnávací slovní úloha typu E (Consistent – Neznámé menší číslo), porovnání 4.. Znamená to tedy, že přestože by děti ve 2. třídě ve druhém pololetí měly řešit náročnější slovní úlohy, zůstávají stále u stejných typů srovnávacích slovních úloh. Čísla jsou větší, tudíž na počítání náročnější, ale princip úlohy je naprosto tentýž. 3. ANALÝZA UČEBNIC Po návštěvách a pozorování ve třídách jsem zjistila, že téma srovnávacích slovních úloh je velmi zanedbávané. Napadlo mne tedy analyzovat učebnice a zjistit, jak se tomuto tématu věnují právě ony. K analýze jsem zvolila dvě učebnice, se kterými děti v hodinách, které jsem navštívila, pracovaly. 3.1 Učebnice v první třídě V 1. třídě děti měly učebnici Matematika pro 1. ročník základní školy 2. díl autorky Miroslavy Čížkové 4 . S 2. dílem žáci pracovali, protože jsem třídu navštívila ve druhém pololetí školního roku. V této učebnici bylo celkem 58 slovních úloh, z toho 20 úloh srovnávacích. Podle rozdělení Fuson, Caroll a Landis se v učebnici vyskytovaly jen srovnávací úlohy typu B (Consistent – Neznámé větší číslo) a E (Consistent – Neznámé menší číslo). Dle Hošpesové to znamená slovní úlohy porovnání 3 a porovnání 4. Úloh typu B (porovnání 3) bylo 8 a úloh typu E (porovnání 4) 9. Dále se zde vyskytly tři úlohy, ve kterých mohly děti použít libovolnou početní operaci, aby našly řešení: 1.) Milena má 7 jedniček z diktátu, Helena jich má 6. Která má více jedniček a o kolik? (s. 36/7) 2.) Na stráni vykvetlo 6 sněženek a 5 bledulí. Kterých bylo více? O kolik? (s. 37/3) 3.) Nad Kapičkovou zahrádkou poletovalo 16 včel a 15 čmeláků. Čeho bylo více? O kolik? Co tam dělají? (s. 59/1) Srovnávacích slovních úloh tedy v učebnici není málo, ale problémem je, že se jedná pouze o dva typy těchto úloh. Děti nemají příležitost setkat se s typy jinými a tím si tuto problematiku lépe osvojit. Mimo 20 srovnávacích slovních úloh je v učebnici 38 slovních úloh. Podle rozdělení Hošpesové uvedeného na začátku mé práce se dále v učebnici vyskytly slovní úlohy změna 1, změna 2 a spojení 1 a 2. Slovních úloh změna 1 bylo 10. Slovních úloh změna 2 bylo v učebnici 14. Slovních úloh spojení 1 zde bylo 5. Slovních úloh spojení 2 bylo 9. Dá se tedy říci, že i zde je využito málo typů ze všech možných. Jedná se však o 1. třídu a je to zřejmě dáno tím, že si na slovní úlohy děti teprve zvykají a učí se pouze základní typy. Překvapilo mne, že nejvíce slovních úloh je na odčítání.

4

Čížková, M: Matematika pro 1. ročník základní školy 2. díl. SPN – Pedagogické nakladatelství, Praha, 2005

14

3.2 Učebnice ve druhé třídě Ve 2. třídě děti pracovaly s učebnicí Matematika pro 2. ročník základní školy 1. díl autorky Miroslavy Čížkové 5 . V učebnici pro 2. třídu již bylo slovních úloh více – celkem 84. Z toho však bylo pouze 18 srovnávacích slovních úloh. To znamená, že i když je v této učebnici o celých 26 úloh více než v učebnici pro 1. třídu, je zde o 2 srovnávací slovní úlohy méně. Je tedy jasné, že nízký počet srovnávacích slovních úloh v učebnicích je běžným jevem a ani s rostoucím věkem žáků jich nepřibývá, jak by to správně mělo být. Děti by se měly seznamovat s dalšími typy, ale není tomu tak. Navíc srovnávací slovní úlohy jsou opět pouze typu B (Porovnání 3) a typu E (Porovnání 4). Slovních úloh typu B (Porovnání 3) je 8, slovních úloh typu E (Porovnání 4) je 10. V učebnici jsou 4 slovní úlohy, ve kterých mají žáci určit čeho je více/méně, ale nemusejí uvádět o kolik. Dále učebnice obsahuje 12 slovních úloh změna 1; 17 slovních úloh změna 2. Slovních úloh spojení 1 je 17 a spojení 2 se zde vyskytuje 9 krát. Celkem tedy 26 slovních úloh na odčítání a 29 slovních úloh na odčítání. Na rozdíl od učebnic 1. třídy je věnováno více pozornosti slovním úlohám na sčítání. Větší důraz je v této učebnici kladen na porozumění a čtení s pochopením slovních úloh. Je zde pár slovních úloh, které prověřují, zda děti čtou zadání slovních úloh důkladně. Na konci těchto úloh se autorka učebnici vždy ptá na něco, co v úloze není uvedeno nebo co z ní nelze odvodit. Např.: „Lojzík přinesl domů 2 bedly jedlé a maminka z nich udělala řízky. Kolik řízků udělala?“ Další novinkou oproti 1. třídě je to, že se děti učí slovní úlohy zapisovat. 3.3 Co ukázala analýza učebnic Z mé analýzy učebnic zaměřené na slovní úlohy a to zejména srovnávací vyplývá, že srovnávacím slovním úlohám je věnovaná v učebnicích pro 1. a 2. třídu malá pozornost. V učebnicích jsou sice srovnávací úlohy zastoupeny, i když ne v příliš početném množství, ale nejsou využity všechny typy těchto slovních úloh. Děti mají možnost setkat se pouze se dvěma typy ze šesti srovnávacích slovních úloh a to může znamenat potíže s jejich řešením do budoucna. Typy srovnávacích slovních úloh v učebnicích jsou ty nejjednodušší. Ani ve 2. třídě se jejich obtížnost tudíž nezvyšuje, i když děti by měly být již schopné řešit obtížnější úlohy. Učebnice využívají málo různých typů i u ostatních slovních úloh. Zdá se, že děti počítají stále stejné typy slovních úloh a tak může docházet k automatizaci využívání početních operací. Děti si procvičují sčítání a odčítání, ale pořád stejnými principy. Na základě této analýzy jsem se rozhodla do souboru úloh, který jsem vytvářela pro svůj experiment, zařadit nejen srovnávací slovní úlohy, ale všechny typy slovních úloh se sčítáním a odčítáním a sledovat, jak děti řeší slovní úlohy, které pro ně nejsou běžné, protože se s nimi v učebnicích nesetkávají.

5

Čížková, M.:Matematika pro 2. ročník základní školy 1. díl. SPN – Pedagogické nakladatelství, Praha, 2007

15

4. HYPOTÉZY ● U srovnávacích slovních úloh (či porovnání) se děti v 1. a 2. třídě orientují především podle „ klíčových slov“. „ Klíčová slova“ ve srovnávacích slovních úlohách jsou většinou méně/více. Pokud je slovní úloze slovo více, děti volí početní operaci sčítání, přestože pro správné řešení slovní úlohy je nutné odčítání. Stejně tak naopak, když ve slovní úloze je slovo méně, děti volí odčítání, přestože není správné. ● Ze souboru úloh budou pro děti nejobtížnější slovní úlohy č. 13 (Porovnání 5 – Fuson typ C) a č. 14 (Porovnání 6 – Fuson typ F). V těchto slovních úlohách jde přesně o problém, kdy nás navádějí „ klíčová slova“ k opačné početní operaci, než je ta, pomocí které získáme správný výsledek. 5. SOUBOR SLOVNÍCH ÚLOH Původně jsem se ve své práci chtěla zabývat pouze srovnávacími slovními úlohami (porovnání) a vytvořit z nich soubor šesti slovních úloh složený ze všech typů srovnávacích slovních úloh. Nakonec jsem se však rozhodla využít také jiné typy slovních úloh, jelikož mne zajímalo, jak se v nich bude dětem dařit. Soubor je tedy složen ze 14 slovních úloh. Protože jsem slovní úlohy zadávala dětem jak v první, tak ve druhé třídě, jsou tyto soubory dva a každý je přizpůsoben úrovni matematiky v tomto věku (pro první třídu jsou čísla nižší, pro druhou třídu vyšší s častějším přechodem přes desítku). Typy slovních úloh jsem vybrala podle rozdělení Hošpesové (Hošpesová, 1998), to znamená, že v souboru jsou tyto typy slovních úloh: Změna 1,2,3,4,5,6; Spojení 1 a 2; Porovnání 1,2,3,4,5,6. Využila jsem učebnice pro inspiraci formou slovních úloh a tuto formu jsem pak použila. 5.1 Soubor slovních úloh pro 1. třídu 1. Víla Vodněnka měla 10 dukátů. 3 dukáty jí Mokřinka přidal, aby si mohla koupit šátek. Kolik dukátů měla Vodněnka na šátek? (Změna 1) 2. Víla Vodněnka měla 13 dukátů. Za 3 dukáty si koupila mašli do vlasů. Kolik dukátů jí zbylo? (Změna 2) 3. Bára měla 6 pastelek. K narozeninám dostala další. Po narozeninách měla celkem 18 pastelek. Kolik pastelek dostala k narozeninám? (Změna 3) 4. Bára měla 19 pastelek. Její pastelky se moc líbily Janě, Bára jí tedy několik věnovala. Teď má Bára 6 pastelek. Kolik pastelek dala Bára Janě? (Změna 4) 5. Klárka sbírá známky. Dnes se jí podařilo získat 6 nových známek do sbírky. Celkem jich má už 15. Kolik známek měla včera? (Změna 5)

16

6. Klárka darovala 10 známek svému kamarádovi Lukášovi. Teď jí zbylo 10 známek. Kolik známek měla než některé dala Lukášovi? (Změna 6) 7. Helena má 11 jedniček z matematiky a 5 jedniček z českého jazyka. Kolik jedniček má dohromady? (Spojení 1) 8. Helena má 15 jedniček. Z toho má 12 jedniček z matematiky a zbytek z českého jazyka. Kolik jedniček má z českého jazyka? (Spojení 2) 9. Monika má v peněžence 18 korun, Martin má v peněžence 15 korun. O kolik korun více má Monika v peněžence? (Porovnání 1 – Fuson typ A) 10. Honza má v peněžence 12 korun, Zuzka má v peněžence 19 korun. O kolik korun méně má Honza v peněžence? (Porovnání 2 – Fuson typ D) 11. U tůňky vykvetlo 12 narcisů. Tulipánů tam vykvetlo o 2 více. Kolik tulipánů vykvetlo u tůňky? (Porovnání 3 – Fuson typ B) 12. Copatka měla ve vlasech 14 pentlí. Vodněnka měla o 3 pentle méně. Kolik pentlí měla Vodněnka? (Porovnání 4 – Fuson typ E) 13. Tatínek má doma 13 knížek o hokeji, to je o 4 knížky více než kolik jich má o fotbale. Kolik knížek o fotbale má tatínek doma? (Porovnání 5 – Fuson typ C) 14. Tatínek má v doma v knihovně 6 knížek o fotbale, to je o 6 knížek méně než má o hokeji. Kolik knížek o hokeji má tatínek doma v knihovně? (Porovnání 6 – Fuson typ F)

5.2 Soubor slovních úloh pro 2. třídu 1. Katka měla naspořeno 50 kč 6 . Maminka přidala ještě 10 kč. Kolik pak měla Katka celkem korun? (Změna 1) 2. Katka si naspořila 70 kč. V obchodě viděla krásnou panenku a tak si jí za 40 kč koupila. Kolik zůstalo Katce peněz? (Změna 2) 3. Pavel šel do obchodu. Maminka mu dala 10 kč. Tatínek mu také nějaké peníze přidal. Pavlík měl celkem 50 kč. Kolik peněz mu tatínek přidal? (Změna 3) 4. Pavel šel do obchodu a chtěl si koupit bonbony. Měl 50 kč. Nakoupil a zbylo mu 20 kč. Kolik musel zaplatit za bonbony? (Změna 4) 5. Karlík vyhrál ve hře 60 nálepek. Má 80 nálepek. S kolika nálepkami vstupoval do hry? (Změna 5) 6. Karlík prohrál 30 nálepek. Teď už má jen 10 nálepek. Kolik nálepek měl na začátku hry? (Změna 6)

6

Slovní úlohy jsou ve znění, které bylo zadáno dětem ( místo Kč je zde proto kč)

17

7. Doma máme 10 jahodových kompotů a 20 třešňových kompotů. Kolik kompotů máme celkem doma? (Spojení 1) 8. Ve sklepě mám 50 kompotů. Z těchto kompotů je 10 jahodových a zbytek třešňových. Kolik třešňových kompotů máme ve sklepě? (Spojení 2) 9. Zdenka postavila komín z 90 modrých kostek a 60 zelených kostek. O kolik více je v komínu modrých kostek? (Porovnání 1 – Fuson typ A) 10. Zdenka postavila komín ze 70 modrých kostek a 20 zelených kostek. O kolik méně je v komínu zelených kostek? (Porovnání 2- Fuson typ D) 11. Lístek na labutě stojí 8 kč. Autíčka jsou o 3 kč dražší. Kolik korun zaplatíš za autíčka? (Porovnání 3- Fuson typ B) 12. Jízda v autíčku stojí 11 kč. Houpačky jsou o 6 kč levnější. Kolik korun stojí houpačky? ( Porovnání 4 – Fuson typ E) 13. Mám doma 13 triček s krátkým rukávem, to je 6 více než mám triček s dlouhým rukávem. Kolik triček s dlouhým rukávem mám? (Porovnání 5- Fuson typ C) 14. Mám doma 9 krátkých kalhot, to je o 7 méně než mám dlouhých kalhot. Kolik dlouhých kalhot mám? (Porovnání 6 – Fuson typ F) Očekávala jsem, že dětem ve 2. třídě půjdou slovní úlohy rychleji a připravila jsem si ještě šest slovních úloh navíc, které jsem v experimentu zadala třem nejrychlejším žákům. Tyto slovní úlohy dostali písemně, ale požádala jsem je, aby je řešili přede mnou a nahlas. Zajímalo mne, jak slovní úlohy sami pojímají. V tomto malém souboru bylo šest srovnávacích slovních úloh. 5.3. Soubor šesti slovních úloh navíc pro 2. třídu 1. Zdenka postavila komín z 60 modrých kostek a 30 zelených kostek. O kolik více je v komínu modrých kostek? (Porovnání 1- Fuson typ A) 2. Zdenka postavila komín ze 40 modrých kostek a 20 zelených kostek. O kolik méně je v komínu zelených kostek? (Porovnání 2 – Fuson typ D) 3. Lístek na labutě stojí 11 kč. Autíčka jsou o 8 kč dražší. Kolik korun zaplatíš za autíčka? (Porovnání 3- Fuson typ B) 4. Jízda v autíčku stojí 13 kč. Houpačky jsou o 7 kč levnější. Kolik korun stojí houpačky? (Porovnání 4 – Fuson typ E) 5. Mám doma 17 triček s krátkým rukávem, to je o 9 více než mám triček s dlouhým rukávem. Kolik triček s dlouhým rukávem mám? (Porovnání 5 – Fuson typ C) 6. Mám doma 10 krátkých kalhot, to je o 9 méně než mám dlouhých kalhot. Kolik dlouhých kalhot mám? (Porovnání 6 – Fuson typ F)

18

6. PODMÍNKY EXPERIMENTU Slovní úlohy jsem zadávala dětem v 1. a 2 třídě. Pražskou školu jsem navštívila na konci druhého pololetí. Soubor slovních úloh jsem dětem rozdala hromadně, první hodinu v 1. třídě, druhou hodinu ve 2. třídě. Instrukce zněla: „Přinesla jsem Vám několik slovních úloh, abyste se procvičili v jejich řešení. Není to písemka, takže za to nebudou známky. Spíš chceme s paní učitelkou zjistit, jak Vám úlohy jdou. Některé úlohy jsou těžší, jiné lehčí. Nemusíte stihnout všechny, když nebudete vědět, jděte dál. Některé jste možná ve škole neprobírali, ale přesto je zkuste nějak vyřešit. Můžete začít.“. V první třídě bylo 22 dětí, z toho 13 holek a 9 kluků. Měli velký zájem slovní úlohy řešit, ale bylo vidět, že je to pro ně velký problém. Slovní úlohy pro ně byly náročné především z toho důvodu, že ještě neovládají zcela dobře čtení s porozuměním a proto jim přečtení úloh zabralo dlouhou dobu. Ke konci souboru slovních úloh se už děti hodně špatně soustředily a nebavilo je to. Při řešení úloh bylo jasně vidět, kdo je lepší a kdo horší čtenář. Paní učitelka vyslovila také názor, že děti nebudou při řešení úloh úspěšné a to především u slovních úloh srovnávacích, jelikož nemají přesně uchopeny pojmy menší/větší v úlohách. Ve druhé třídě bylo 20 dětí, vyrovnaně 10 holek a 10 kluků. Při řešení slovních úloh děti četly mnohem lépe než děti z 1. třídy, což zkrátilo čas, ve kterém slovní úlohy vyřešily. Třem žákům, kteří byli první hotovi jsem postupně osobně zadala šest srovnávacích slovních úloh navíc. Vyzvala jsem chlapce, aby mi řekli, jak u úlohy uvažují a postupují, proč se rozhodli pro početní operaci. Při špatném řešení úlohy jsem je neopravovala a nevysvětlovala jak se úloha správně řeší, abych je nemátla a aby mi opravdu řekli, co je vedlo k postupu, který zvolili. 7. ANALÝZA DAT 7.1 První třída ● 1. SLOVNÍ ÚLOHA: Víla Voděnka měla 10 dukátů. 3 dukáty jí Mokřinka přidal, aby si mohla koupit šátek. Kolik dukátů měla Voděnka na šátek? (Změna 1) Tato slovní úloha pro děti nepředstavovala problém. V 1. třídě, kde úlohy řešilo celkem 22 dětí, ani jedno z nich neudělalo chybu. ● 2. SLOVNÍ ÚLOHA: Víla Voděnka měla 13 dukátů. Za 3 dukáty si koupila mašli do vlasů. Kolik dukátů jí zbylo? (Změna 2) 20 dětí řešilo slovní úlohu správně. 2 žáci řešili úlohu chybně pomocí rovnice 13 + 3 = 16. ● 3. SLOVNÍ ÚLOHA: Bára měla 6 pastelek. K narozeninám dostala další. Po narozeninách měla celkem 18 pastelek. Kolik pastelek dostala k narozeninám? (Změna 3) U tohoto typu slovní úlohy (Změna 3 – jedná se o nepřímé zvětšení) děti využívaly dva způsoby správného řešení. Dá se říci, že oba dva jsou správné, pokud si dítě uvědomuje na co se úloha ptá a za výsledek označí správné číslo. V první třídě bylo těžké určit, zda dítě

19

úlohu vyřešilo a pochopilo správně, jelikož děti nepsaly slovní odpovědi. Ve druhé třídě to bylo jasnější. 1. typ správného řešení: 18 – 6 = 12 Děti, které napsaly tuto rovnici, tak slovní úlohu pochopily, jelikož výsledek za rovnítkem je odpovědí na otázku. Ovšem tento typ řešení slovní úlohy použily pouze dvě děti. 2. typ správného řešení: 6 + 12 = 18 5 dětí z 1. třídy použilo tento typ řešení. Jedná se o řešení úlohy, kdy dítě doplní neznámou, na kterou se ptáme, do rovnice: 6 + ? = 18. 8 dětí úlohu řešilo chybně. Konkrétní chyby: ●Pavlínka vyřešila úlohu rovnicí 6 + 2 = 8. Ve svém počítání ignorovala desítky, což přičítám tomu, že s nimi ještě v 1. třídě nepracovali či jen okrajově, proto si počítání usnadnila. Je tam tedy náznak správného výpočtu. ●Pája řešil pomocí rovnice 10 + 6 = 16. Jedná se o chybný výpočet. ●Zuzka řešila pomocí rovnice 16 + 12 = 18. Domnívám se, že šlo pouze o chybný zápis, kde se číslo 16 objevilo náhodou místo čísla 6. ● Anetka řešila pomocí rovnice 10 + 6 = 16. Jedná se o chybný výpočet. ●Pepa řešil pomocí rovnice 6 + 18 = 24. Žák počítal na stejném principu jako u slovní úlohy 1, nevyužil správně informaci, že Bára měla 18 pastelek až po narozeninách. ●Simonka řešila pomocí rovnice 6 + 18 = 24. Stejná chyba jako u Pepy. ●Markétka řešila pomocí rovnice 6 + 18 = 14. Stejné uchopení slovní úlohy jako u žáků Pepy a Simony a ještě k tomu špatný výpočet. (Zřejmě zcela neovládá přechod přes 20, což v 1. třídě je celkem běžné). ●Marek řešil pomocí rovnice 6 + 18 = 24. Pavlínku a Zuzku jsem nakonec zařadila k dětem, které řešily slovní úlohu špatně, ale s vhledem, jelikož slovní úlohu zřejmě pochopily, ale špatně zapsaly. 7 žáků tuto úlohu vůbec nevyřešilo. ● 4. SLOVNÍ ÚLOHA: Bára měla 19 pastelek. Její pastelky se moc líbily Janě, Bára jí tedy několik věnovala. Teď má Bára 6 pastelek. Kolik pastelek dala Bára Janě? (Změna 4) U tohoto typu slovní úlohy (Změna 4 – jedná se o nepřímé zmenšení) vidíme dva typy správného řešení, stejně jako u předchozí slovní úlohy. 1. typ správného řešení: 19 – 6 = 13 14 žáků vyřešilo tuto úlohu pomocí rovnice 19 – 6 = 13. 2. typ správného řešení: 19 – 13 = 6 2 žáci využili rovnici 19 – 13 = 6. 6 dětí řešilo úlohu chybně: ● Anička řešila pomocí rovnice 19 – 6 = 12. Chybný výpočet. ●Jana řešila pomocí rovnice 19 – 6 = 12. Chybný výpočet. ●Ondra řešil pomocí rovnice 19 – 6 = 7. Chybný výpočet. ●Eliška řešila pomocí rovnice 19 – 6 = 7.Chybný výpočet. ●Lucka řešila pomocí rovnice 19 – 6 = 16. Chybný výpočet.

20

●Markétka řešila pomocí rovnice 19 + 6 = 13. Zvolila špatnou početní operaci – sčítání, výsledek však odpovídá tomu, že prakticky provedla odčítání či výsledek opsal. I ve špatných výsledcích některých žáků můžeme vidět, že úlohu pochopili správně a zvolili většinou i správnou početní operaci. Chyba nastala až ve výpočtu. ● 5. SLOVNÍ ÚLOHA: Klárka sbírá známky. Dnes se jí podařilo získat 6 nových známek do sbírky. Celkem jich má už 15. Kolik známek měla včera? (Změna 5) U tohoto typu slovní úlohy (Změna 5 – nepřímé zvětšení) se vyskytují opět dva typy správného řešení. 1. typ správného řešení: 15 – 6 = 9 Takto řešil slovní úlohu pouze jeden žák. 2. typ správného řešení: 6 + 9 = 15 Takto řešilo slovní úlohu 5 žáků. 9 dětí řešilo úlohu chybně: ● Jiřík řešil pomocí rovnice 6 + 15 = 21. Zvolil špatnou početní operaci. Sčítal dvě zadaná čísla, tato strategie se vyskytuje u žáků v první třídě častěji… ●Tomáš řešil pomocí rovnice 6 + 15 = 21. ●Pája řešil pomocí rovnice 6 + 15 = 20. Zvolil stejný postup jako žáci 1 a 5 a ještě provedl špatně výpočet. ●Verunka řešila pomocí rovnice 19 – 6 = 13. Tyto čísla a tato rovnice byla správná v předchozí slovní úloze(4. slovní úloha), nevím však proč jí použila právě zde. ●Anetka řešila pomocí rovnice 6 + 15 = 20: Opět špatně zvolená početní operace a výpočet. ●Pepa řešil pomocí rovnice 6 + 15 = 21. ●Simonka řešila pomocí rovnice 6 + 15 = 21. ●Markétka řešila pomocí rovnice 6 + 15 = 21. ●Marek řešil pomocí rovnice 6 + 15 = 21. Můžeme tedy vidět, že žáci udělali v 8 případech z devíti stejnou chybu a to tu, že daná čísla sčítali jako při základním typu úlohy, kde se ptáme kolik je to celkem či kolik má dohromady. 7 žáků slovní úlohu neřešilo vůbec. ● 6. SLOVNÍ ÚLOHA: Klárka darovala 10 známek svému kamarádovi Lukášovi. Teď jí zbylo 10 známek. Kolik známek měla než některé dala Lukášovi? (Změna 6) 1. typ správného řešení: 10 + 10 = 20 Takto řešil úlohu jeden žák. 2. typ správného řešení: 20 – 10 = 10 Takto řešil úlohu jeden žák. 4 žáci tuto úlohu nevyřešili vůbec. 16 žáků řešilo slovní úlohu chybně: ● Z toho 11 žáků řešilo pomocí rovnice 10 – 10 = 0. Použili špatnou početní operaci.

21

●Anička řešila pomocí rovnice 10 + 5 = 15. ●Natálka řešila pomocí rovnice 10 + 10 = 0. Uvažovala správně, chybně jen použila početní operaci. ● Ondra řešil pomocí rovnice 15 – 10 = 5. ● Verunka řešila pomocí rovnice 13 – 10 = 3. ●Karolínka řešila pomocí rovnice 15 – 10 = 5. ● 7. SLOVNÍ ÚLOHA: Helena má 11 jedniček z matematiky a 5 jedniček z českého jazyka. Kolik jedniček má dohromady? (Spojení 1) 20 žáků vyřešilo tuto slovní úlohu správně a to rovnicí 11 + 5 = 16. 2 žáci řešili slovní úlohu chybně: ●Alexandr řešil pomocí rovnice 11 + 5 = 10. Správně uchopil úlohu a zvolil správnou početní operaci, chybně však provedl výpočet. ●Dominik řešil pomocí rovnice 11 – 5 = 6. ● 8. SLOVNÍ ÚLOHA: Helena má 15 jedniček. Z toho má 12 jedniček z matematiky a zbytek z českého jazyka. Kolik jedniček má z českého jazyka? (Spojení 2) Vyskytly se dva typy správného řešení: 1. typ správného řešení: 15 – 12 = 3 Tento správný postup zvolilo 9 žáků. 2. typ správného řešení: 12 + 3 = 15 Takto postupovali 2 žáci. 6 žáků úlohu vůbec neřešilo. 5 žáků řešilo úlohu chybně: ● Tomáš řešil pomocí rovnice 15 + 12 = 27. Podobný problém jako u předchozích chybných řešeních úloh. Žák čísla sečte (jako bychom se ptali na celkem) a neřeší úlohu, tak jak má. ●Eliška řešila pomocí rovnice 15 + 12 = 17. Stejná chyba v užití početní operace a špatný výpočet. ●Petra řešila pomocí rovnice 15 – 12 = 13. Zřejmě chybně zapsala číslo 13 za rovnítkem. ●Honzík řešil pomocí rovnice 15 – 12 = 2. Špatný výpočet. ●Markétka řešila pomocí rovnice 15 + 12 = 17. ● 9. SLOVNÍ ÚLOHA: Monika má v peněžence 18 korun. Martin má v peněžence 15 korun. O kolik korun více má Monika v peněžence? Porovnání 1 (Fuson – typ A) Vyskytly se dva typy správného řešení: 1.typ správného řešení: 18 – 15 = 3 Takto řešilo slovní úlohu 7 žáků. 2. typ správného řešení: 15 + 3 = 18 Tento způsob řešení využili 3 žáci. 4 žáci neřešili úlohu vůbec.

22

8 žáků řešilo úlohu chybně: ●Natálka řešila pomocí rovnice 18 – 15 = 13. Početní operaci zvolila správně, výsledek je chybný, buď kvůli výpočtu nebo se pouze přepsala a místo 3 napsala 13. ●Jana řešila pomocí rovnice 18 + 15 =… Neuměla však tyto dvě čísla sečíst, proto výsledek chybí. ●Tomáš řešil pomocí rovnice 18 – 15 = 8. Správná početní operace, chybný výpočet. ●Eliška řešila pomocí rovnice 18 + 15 = 13. ●Verunka řešila pomocí rovnice 18 – 15 = 4. Špatný výpočet. ●Pepa řešil pomoc rovnice 18 + 15 = 23. ●Simonka řešila pomocí rovnice 18 + 15 = 23. ●Markétka řešila pomocí rovnice 18 + 15 = 33. ● 10. SLOVNÍ ÚLOHA: Honza má v peněžence 12 korun, Zuzka má v peněžence 19 korun. O kolik korun méně má Honza v peněžence? Porovnání 2 (Fuson – typ D) 1. typ správného řešení: 19 – 12 = 7 Takto řešilo slovní úlohu 5 dětí. 2. typ správného řešení: 19 – 7 = 12 Tímto způsobem řešili úlohu 3 žáci. 8 žáků neřešilo úlohu vůbec. 6 žáků řešilo úlohu chybně: ●Anička řešila pomocí rovnice 12 – 19 = 3. ●Ondra řešil pomocí rovnice 12 – 19 = 7. Předpokládám, že žák pouze náhodou zaměnil pořadí čísel. Výsledek je správný. ●Pája řešil pomocí rovnice 19 – 12 = 4. Chybný výpočet. ●Petra řešila pomocí rovnice 19 – 12 = 2. Chybný výpočet. ●Anetka řešila pomocí rovnice 19 – 12 = 6. Chybný výpočet. ●Markétka řešila pomocí rovnice 12 + 19 = 31.¨ U řešení úloh se nabízí otázka, zda počítat jako chybné i úlohy s početními chybami. Samozřejmě běžně by to chyby byly, ale v našem případě se jedná spíše o pochopení úlohy a zvolení početní operace, které je v těchto případech správné. ● 11. SLOVNÍ ÚLOHA: U tůňky vykvetlo 12 narcisů. Tulipánů tam vykvetlo o 2 více. Kolik tulipánů vykvetlo u tůňky? Porovnání 3 (Fuson – typ B) 1. typ správného řešení: 12 + 2 = 14 Takto řešilo úlohu 16 žáků 2. typ správného řešení: 14 – 2 = 12 Takto řešila úlohu Karolínka. 3 žáci úlohu nevyřešili vůbec. 3 žáci vyřešili úlohu chybně: ● Natálka řešila pomocí rovnice 12 – 2 = 10. Špatná početní operace. ●Pavlínka řešila pomocí rovnice 12 – 2 = 10. ● 12. SLOVNÍ ÚLOHA: Copatka měla ve vlasech 14 pentlí. Voděnka měla o 3 pentle méně. Kolik pentlí měla Vodněnka? Porovnání 4 (Fuson – typ E)

23

16 dětí vyřešilo tuto slovní úlohu správně rovnicí 14 – 3 = 11. 5 dětí nevyřešilo úlohu vůbec. Eliška řešila úlohu chybně pomocí rovnice 14 – 3 = 9. Špatný výpočet. ● 13. SLOVNÍ ÚLOHA: Tatínek má doma 13 knížek o hokeji, to je o 4 knížky více než kolik jich má o fotbale. Kolik knížek o fotbale má tatínek doma? Porovnání 5 (Fuson – typ C) 5 žáků vyřešilo tuto úlohu správně pomocí rovnice 13 – 4 = 9. 4 žáci úlohu neřešili vůbec. 13 žáků řešilo úlohu chybně: ● Jana řešila pomocí rovnice 13 + 4 = 9. Využila sčítání místo odčítání, výsledek však napsala správně, což ale může být způsobeno opsáním nebo náhodou. ●Ondra řešil pomocí rovnice 13 + 4 = 10. Opět špatná početní operace a navíc špatný výpočet. ●11 žáků řešilo úlohu chybně pomocí rovnice 13 + 4 = 17. Potvrzuje to předpoklad, že děti ve spojení se slovem více používají početní operaci sčítání. ● 14. SLOVNÍ ÚLOHA: Tatínek má doma v knihovně 6 knížek o fotbale, to je o 6 knížek méně než má o hokeji. Kolik knížek o hokeji má tatínek doma v knihovně? Porovnání 6 (Fuson – typ F) 1. typ správného řešení: 6+6=12 3 žáci vyřešili tuto úlohu správně pomocí této rovnice 2. typ správného řešení: 12 – 6=6 Lucka řešila slovní úlohu pomocí této rovnice. 2 žáci neřešili tuto slovní úlohu vůbec. 16 žáků řešilo tuto slovní úlohu chybně: ● Zuzka řešila pomocí rovnice 16 – 6 = 10. ●15 žáků řešilo úlohu chybně pomocí rovnice 6 – 6 = 0. Potvrzuje to předpoklad, že děti ve spojení se slovem méně používají početní operaci sčítání. Pro přehlednost jsem vytvořila tabulku, kde jsou zaznamenány všechny slovní úlohy: Tabulka č. 7: Výsledky řešení zadaných slovních úloh – 1. třída Číslo slovní úlohy Správn Správně Chybně Celkem s Špatně ě řešilo (2. typ) s vhlede vhledem řešilo (žáků) m (žáků) 0 22 0 1 (změna 1- 22 konečný stav) 2 (změna 2 – 20 konečný stav)

0

3 (změna 3 – 2 velikost změny)

5


2

2

Příklad Pořadí nevyřešil obtížnosti o (žáků) 0 1

20

2

0

2–3

9

8

7

9 – 10

2-16

6

0

9 – 10

24

5 (změna 5 – 1 počáteční stav)

5

1

7

9

7

11 – 12


1

2

1–4

16

4

14

7 (spojení 1 – 20 otázka na celek)

0

20

2

0

2 -3

8 (spojení 2 – 9 otázka na část)

2

2

13

5

6

6–8

9 (porovnání 1 – 7 „extra“)

3

3

13

8

4

6–8

10 (porovnání 2 5 – extra)

3

4–5

12 – 13

6

8

6–8

16

1

0

17

3

3

4–5

16

0

1

17

1

5

4–5

5

0

2

5–7

13

4

11 – 12

3

1

0

4

16

2

13

11 (porovnání 3 – větší počet, konzistentní) 12 (porovnání 4 – menší počet, konzistentní) 13 (porovnání 5 – menší počet, inkonzistentí) 14 (porovnání 6 – větší počet, inkonzistetní)

Zdroj: Vlastní zdroj

■ Nesher, Riley, Greeno in Hošpesová (1998) rozlišují 4 stupně obtížnosti podle charakteru použitých operací: 1. úroveň – Na 1. úrovni podle nich řeší dítě úlohy na spojení 1 a změnu 1 a 2. 2. úroveň – Na 2. úrovni nedělá dětem potíže řešení úloh na změnu 3 a 4. 3. úroveň – Na 3. úrovni děti řeší zbývající úlohy na změnu, spojení 2 a téměř všechny úlohy na porovnávání. 4. úroveň – Na 4. úrovni jsou zařazeny jen úlohy na porovnávání, v nichž je porovnání vyjádřeno nepřímo, to znamená porovnání 5 a 6. V textu jsem nenašla jakému věku odpovídají jednotlivé úrovně. Nemohu tedy dělat závěry a porovnávat, zda výsledky mého experimentu odpovídají zmiňovaným úrovním. Přesto se pokusím zařadit své výsledky do úrovní stejně jako autoři a porovnat je. Úrovně zde chápu jako škálu obtížnosti úloh. V mých výsledcích je obtížnost úlohy vyjádřena počtem dětí, které řeší úlohu správně. Děti, které se zúčastnily experimentu, řešily nejlépe slovní úlohy – změna 1 a 2 + spojení 1, 1. úroveň stanovená autory tedy odpovídá.

25

Na 2. úrovni se však s autory neshoduji. Na 4. a 5. místě slovních úloh nejlépe řešených dětmi v mém experimentu vyšly slovní úlohy porovnání 3 a 4, které autoři udávají až ve 3. úrovni. Do 3. úrovně bych na rozdíl od autorů tedy zařadila změnu 3 a 4 a také porovnání 5 (autoři ho uvádějí na 4. úrovni mezi nejobtížnějšími slovními úlohami). Do 3. úrovně bych ale nezařadila změnu 6, která mi vyšla jako nejobtížnější slovní úloha. Do 4. úrovně by podle mých výsledků spadaly slovní úlohy porovnání 6 a změna 6. 6 Typů srovnávacích slovních úloh zadaných žákům 1. třídy (rozdělení podle Fuson, Caroll a Landis): Sčítání: A.) Neznámé „extra číslo – rozdíl“ (Extra) Monika má v peněžence 18 korun. Martin má v peněžence 15 korun. O kolik korun více má Monika v peněžence? B.) CONSISTENT – Neznámé „velké číslo“ (Big) U tůňky vykvetlo12 narcisů. Tulipánů tam vykvetlo o dva více. Kolik tulipánů vykvetlo u tůňky? C.) INCONSISTENT – Neznámé „ malé číslo“ (Small) Tatínek má doma 13 knížek o hokeji, to je o 4 knížky více než kolik jich má o fotbale. Kolik knížek o fotbale má tatínek doma? Odčítání D.) Neznámé „ extra číslo – rozdíl“ (Extra) Honza má v peněžence 12 korun, Zuzka má v peněžence 19 korun. O kolik korun méně má Honza v peněžence? E.) CONSISTENT – Neznámé „malé číslo“ (Small) Copatka měla ve vlasech 14 pentlí. Vodněnka měla o 3 pentle méně. Kolik pentlí měla Vodněnka? F.) INCONSISTENT – Neznámé „velké číslo“ (Big) Tatínek má doma v knihovně 6 knížek o fotbale, to je o 6 knížek méně než má o hokeji. Kolik knížek o hokeji má tatínek doma v knihovně? Pokud se držím rozdělení podle Fusonové, tak dětem šly nejlépe slovní úlohy typu B a E. V mém předchozím rozboru učebnic se tyto typy slovních úloh vyskytují nejčastěji, děti je znají a tudíž řeší lépe. Slovní úlohy typu A a D již dětem činily potíže a mnoho z nich si s nimi neporadilo. Nejhůře však dopadly slovní úlohy typu C a F. Potvrzuje to tedy náš předpoklad, že tento typ slovních úloh je pro děti velice obtížný. Děti se drží automaticky nacvičeného postupu, že když vidí slůvko více sčítají, pokud vidí slůvko méně odčítají. V 1. třídě jsem děti nenutila psát slovní odpověď, jelikož jim to činilo velké potíže a všechny úlohy by nestihly. Také by opadala jejich pozornost a zájem. I přestože nezapisovaly slovní odpovědi, byly vidět známky únavy a 14 úloh na ně bylo příliš. Snažily se však vyplnit co nejvíce. Problémem bylo také čtení slovních úloh, protože děti v tomto věku ještě nejsou ve čtení příliš zdatné. Při probírání s paní učitelkou mi bylo řečeno, že v 1. třídě se opravdu soustřeďuje na zautomatizování základních početních operací a s tím souvisí osvojení si spojení slova více se sčítáním a méně s odčítáním.

26

7.2 Druhá třída ● 1. SLOVNÍ ÚLOHA: Katka měla naspořeno 50 kč. Maminka přidala ještě 10 kč. Kolik pak měla Katka celkem? (Změna 1) Ve 2. třídě bylo 20 žáků. Všech 20 vyřešilo úlohu správně a bez chyby. ● 2. SLOVNÍ ÚLOHA: Katka si naspořila 70 kč. V obchodě viděla krásnou panenku a tak si jí za 40 kč koupila. Kolik zůstalo Katce peněz? (Změna 2) Všech 20 žáků vyřešilo slovní úlohu správně. ● 3. SLOVNÍ ÚLOHA: Pavel šel do obchodu. Maminka mu dala 10 kč. Tatínek mu také nějaké peníze přidal. Pavlík měl celkem 50 kč. Kolik peněz mu tatínek přidal? (Změna 3) Stejně jako v 1. třídě u tohoto typu slovní úlohy existují dva správné typy řešení – či spíše zápis rovnice. 1. typ řešení (zápisu): 50 – 10 = 40; 2. typ řešení (zápisu): 10 + 40 = 50. Ve 2. třídě jsem však již mohla zhodnotit, kdy je 2. typ řešení správný, jelikož děti psaly slovní odpověď. 1. typ správného řešení: 50 – 10 = 40 2 děti řešily slovní úlohu tímto způsobem. 2. typ správného řešení: 10 + 40 = 50 11 dětí řešilo slovní úlohu tímto způsobem. Jako slovní odpověď uvedly: Tatínek mu (Pavlíkovi) přidal 40 kč. 7 dětí řešilo slovní úlohu chybně: ● Robert řešil úlohu rovnicí 10 + 40 = 50. Rovnice je správná, ale žák jako slovní odpověď uvedl: Tatínek mu přidal 50 kč. Robert zde popletl korespondenci členů rovnice (příkladu) se (sémantickými) členy slovního zadání. ● Terka řešila úlohu rovnicí 10 + 50 = 60. Dvě daná čísla v úloze sečetla. ● Max řešil úlohu stejnou rovnicí jako Terka, 10 + 50 = 60. ●Bětka řešila úlohu rovnicí 10 + 40 = 50. Slovní odpověď byla opět chybná, uvedla: Tatínek mu dal 50 kč. ●Adam řešil úlohu rovnicí 10 + 50 = 60. Jako slovní odpověď uvedl: Tatínek dal Pavlovy 40 kč. Odpověď zřejmě opsal. ●Klárka řešila úlohu rovnicí 50 + 10 = 60. ●Lucka řešila úlohu rovnicí 50 + 10 = 60. Jako častá chyba se v této slovní úloze objevuje sčítání dvou daných čísel místo odčítání. V této slovní úloze působí na děti slovo přidal, které zde funguje jako „ klíčové slovo“ a proto děti navede ke sčítání. 2 žáci použili možnou správnou rovnici sčítání, ale odpověď uvedli chybně. ● 4. SLOVNÍ ÚLOHA: Pavel šel do obchodu a chtěl si koupit bonbony. Měl 50 kč. Nakoupil a zbylo mu 20 kč. Kolik musel zaplatit za bonbony? (Změna 4) 1. typ správného řešení: 50 – 20 = 30 Takto řešilo slovní úlohu 10 dětí. 2: typ správného řešení: 50 – 30 = 20

27

6 dětí řešilo slovní úlohu tímto způsobem a se správnou odpovědí: Za bonbony musel zaplatit 30 kč. 4 děti řešily úlohu chybně: ● Terka řešila úlohu pomocí rovnice 50 + 20 = 70. Opět použila sčítání místo odčítání. ● Sára řešila úlohu pomocí rovnice 50 – 30 = 20. Jako odpověď však chybně uvedla: Pavlovi zbylo 20 kč. ● Lucka řešila úlohu pomocí rovnice 50 – 30 = 20. Slovní odpověď: Zbylo mu 20 bonbonů. ● Tom řešil úlohu rovnicí 50 – 30 = 20. Slovní odpověď: Pavel musel zaplatit 40 kč. Typické chyby jsou jako u předchozí slovní úlohy. Terka volí místo odčítání sčítání a zbylí 3 žáci zapíší správnou rovnici, ale uvedou špatnou odpověď. ● 5. SLOVNÍ ÚLOHA: Karlík vyhrál ve hře 60 nálepek. Má 80 nálepek. S kolika nálepkami vstupoval do hry? (Změna 5) 1. typ správného řešení: 80 – 60 = 20 Takto řešilo slovní úlohu 6 dětí. 2. typ správného řešení: 60 + 20 = 80 2 děti řešily slovní úlohu tímto způsobem a jako odpověď uvedly: Vstupoval do hry s 20 nálepkami. 2 děti neřešily slovní úlohu vůbec. 10 dětí řešilo slovní úlohu chybně: ● Káťa řešila rovnicí 20 + 60 = 80, ale chybná slovní odpověď: Vstoupil do hry s 80 nálepkami. ● Robert řešil rovnicí 80 – 60 = 20. Chybná slovní odpověď: S 60 nálepkami vstupoval do hry. ● Terka řešila úlohu rovnicí 60 – 80 = 20. Jako odpověď uvedla: Nálepek do hry vstupoval 20. Terka zřejmě přehodila pořadí čísel 60 a 80, výsledek a odpověď jsou však správné. ● David řešil úlohu pomocí rovnice 60 + 80 = 104. Místo odčítání sčítal. Sečetl také chybně, je to způsobeno tím, že ve 2. třídě ještě s tak vysokými čísly nepracují. ● Kuba řešil pomocí rovnice 20 + 60 = 80, slovní odpověď: Do hry vstupoval s 80 nálepkami. ● Max řešil pomocí rovnice 60 + 80 = 104. ● Hanka řešila pomocí rovnice 20 + 60 = 80. Slovní odpověď: Do hry vstupoval s 80 nálepkami. ● Adélka řešila pomocí rovnice 20 + 60 = 80. Slovní odpověď: Vstupoval do hry s 80 nálepkami. ● Nela řešila pomocí rovnice 60 + 80 = 40. ● Tom řešil úlohu pomocí rovnice 30 + 60 = 80. Slovní odpověď: Karlík vešel do hry se 30 nálepek. Tom zřejmě špatně spočetl rozdíl mezi 60 a 80, jinak měl dobrou strategii.

28

● 6. SLOVNÍ ÚLOHA: Karlík prohrál 30 nálepek. Teď už má jen 10 nálepek. Kolik nálepek měl na začátku hry? (Změna 6) 1. typ správného řešení: 30 + 10 = 40 6 dětí řešilo úlohu správně tímto postupem. 2. typ správného řešení: 40 – 30 = 10 4 děti řešily úlohu tímto způsobem a jako odpověď uvedly: Na začátku hry měl 40 nálepek. 1 žák neřešil úlohu vůbec. 9 žáků vyřešilo úlohu chybně: ● 3 žáci řešili úlohu pomocí rovnice 30 – 20 = 10. ● Kuba uvedl jako slovní odpověď: Na začátku hry měl 10 nálepek. ●Hanka uvedla: Na začátku hry měl 10 nálepek. ●Lucka uvedla: Začátku hri měl 10 nalepek. ● 6 žáků řešilo úlohu pomocí rovnice 30 – 10 = 20. ● Max uvedl: Na začátku hry měl 104 nálepek. (Tato odpověď je velice zvláštní) ● Bětka uvedla: Měl 20 nálepek. ● Adam uvedl: Karlikovy zbylo 20 nálepek. ●Víťa uvedl: Karlík teť má 20 nálepek. ●Klárka uvedla: Na začátku hry měl 20 nálepek. ●Matěj uvedl: Na začátku měl 30 nálepek. Jelikož chyby v této úloze se dosti podobaly, dá se usuzovat, že pro děti bylo zřejmě problematické úlohu uchopit a počáteční stav (počet nálepek, které měl Karlík na počátku hry) nebraly jako neznámý, ale uváděly jako počáteční stav 30 nálepek. ● 7. SLOVNÍ ÚLOHA: Doma máme 10 jahodových kompotů a 20 třešňových kompotů. Kolik kompotů máme celkem doma? (Spojení 1) 16 žáků vyřešilo úlohu správně. 4 žáci slovní úlohu neřešili vůbec. ● 8. SLOVNÍ ÚLOHA: Ve sklepě mám 50 kompotů. Z těchto kompotů je10 jahodových a zbytek třešňových. Kolik třešňových kompotů máme ve sklepě? (Spojení 2) 9 žáků vyřešilo úlohu správně. 4 žáci neřešili úlohu vůbec. 7 žáků vyřešilo úlohu chybně: ● Kuba řešil pomocí rovnice 10 + 40 = 50. Slovní odpověď: Ve sklepě máme 50 třešňových kompotů. Rovnice je správná, ale odpověď je chybná. ● Hanka řešila pomocí rovnice 10 + 40 = 50. Slovní odpověď: Ve sklepě máme 50 třešňových kompotů. ● 5 žáků řešilo pomocí rovnice 50 + 10 = 60. Zvolili tedy opět strategii sčítání místo odčítání.

29

●Bětka uvedla: Ve sklepě máme 60 třešňových. ●Adam uvedl: Doma nám zbilo 60 kompotů. ●Klárka uvedla: Třešňových kompotů tam máme 60. ● Lucka uvedla: Máme ve skupině 60 kompotů. ● Tom uvedl: Třešňových máme ve sklepě 60. ● 9. SLOVNÍ ÚLOHA: Zdenka postavila komín z 90 modrých kostek a 60 zelených kostek. O kolik více je v komínu modrých kostek? (Porovnání 1 – Fuson typ A) 1. typ správného řešení: 90 – 60 = 30 Takto řešilo úlohu 10 dětí. 2. typ správného řešení: 60 + 30 = 90 1 žák řešil slovní úlohu pomocí této rovnice a odpověděl správně: Modrých kostek je tam o 30 více. 3 děti neřešily úlohu vůbec. 6 dětí řešilo úlohu chybně: ● Petr řešil pomocí rovnice 60 + 40 = 90. Jedná se o chybný výpočet, ale zřejmě správný postup. ● David řešil rovnicí 90 + 60 = 150. Zvolil chybnou strategii sečtení daných čísel. ● Kuba řešil rovnicí 90 + 60 = 150. ● Max řešil rovnicí 90 + 60 = 105. ● Hanka řešila rovnicí 90 + 60 = 150. ● Lucka řešila pomocí rovnice 60 + 30 = 90. Slovní odpověď: Kostek postavila 90. ● 10. SLOVNÍ ÚLOHA: Zdenka postavila komín ze 70 modrých kostek a 20 zelených kostek. O kolik méně je v komínu zelených kostek? (Porovnání 2 – Fuson typ D) 1. typ správného řešení: 70 – 20 = 50 11 dětí řešilo úlohu touto rovnicí. 2. typ správného řešení: 20 + 50 = 70 2 žáci řešili úlohu touto rovnicí a uvedli odpověď: Zelených kostek je tam o 50 méně. 2 žáci úlohu neřešili vůbec. 5 žáků řešilo úlohu chybně: ● Všech 5 žáků zvolilo chybnou strategii sčítání daných čísel: 70 + 20 = 90. ● Robert uvedl: Zelených kostek je tam o 90 méně. ● Kuba uvedl: Zelených kostek je 90. ●Hanka uvedla: Zelených kostek je 90. ●Adam uvedl: Zdena postavila dohromady 90 kostek. (Adam má pravdu, Zdenka opravdu postavila dohromady 90 kostek. Otázka se však ptá na něco jiného.) ●Lucka uvedla: Zelených kostek má 90.

30

● 11. SLOVNÍ ÚLOHA: Lístek na labutě stojí 8 kč. Autíčka jsou o 3 kč dražší. Kolik korun zaplatíš za autíčka? (Porovnání 3 – Fuson typ B) 18 dětí vyřešilo úlohu správně. 1 žák neřešil úlohu vůbec. 1 žák řešil úlohu chybně: ● Bára řešila pomocí rovnice 8 + 3 = 12. Jednalo se tedy o početní chybu. ● 12. SLOVNÍ ÚLOHA: Jízda v autíčku stojí 11 kč. Houpačky jsou o 6 kč levnější. Kolik korun stojí houpačky? (Porovnání 4 – Fuson typ E) 16 dětí vyřešilo úlohu správně. 1 žák neřešil úlohu vůbec. 3 žáci řešili úlohu chybně: ● Všichni 3 žáci zvolili chybnou početní operaci sčítání místo odčítání a úlohu řešili rovnicí 11 + 6 = 17. ●Robert uvedl: Houpačky stojí 17 korun. ●Max uvedl: Houpačky stojí 17 korun. ●Lucka uvedla: Houpačky stojí 17 kč. ● 13. SLOVNÍ ÚLOHA: Mám doma 13 triček s krátkým rukávem, to je o 6 více než mám triček s dlouhým rukávem. Kolik triček s dlouhým rukávem mám? (Porovnání 5 – Fuson typ C) 6 dětí řešilo úlohu správně pomocí rovnice: 13 – 6 = 7. 1 žák neřešil úlohu vůbec. 13 žáků řešilo úlohu chybně: ● Všech 13 udělalo stejnou chybu a to tu, že zvolili podle slova více sčítání, tedy 13 + 6 = 19, což ale bylo špatné řešení úlohy. ● 11 dětí uvedlo jako slovní odpověď: Triček s dlouhým rukávem mám 19. ●Adam uvedl: Mám dohromady 19 triček z krátkým rukávem. ●Lucka uvedla: Triček mám 19. ● 14. SLOVNÍ ÚLOHA: Mám doma 9 krátkých kalhot, to je o 7 méně než mám dlouhých kalhot. Kolik dlouhých kalhot mám? (Porovnání 6 – Fuson typ F) 6 dětí řešilo úlohu správně pomocí rovnice: 9 + 7 = 16. 3 žáci neřešili úlohu vůbec. 11 žáků řešilo úlohu chybně: ● Všech 11 žáků udělalo stejnou chybu, místo sčítání použili odčítání, tedy 9 – 7 = 2. ●9 žáků uvedlo: Dlouhých kalhot mám 2.

31

●Víťa uvedl: Mám krátkých 2. ●Lucka uvedla: Kalhoty má 2. Tabulka č.8: Výsledky řešení zadaných slovních úloh – 2. třída Číslo slovní úlohy Správn „Správně Chybně Celkem s Špatně ě řešilo “ (2. typ) s vhlede vhledem řešilo (žáků) m (žáků) 0 20 0 1 (změna 1- 20 konečný stav)

Příklad Pořadí nevyřešil obtížnosti o (žáků) 0 1-2

2 (změna 2 – 20 konečný stav)

0

20

0

0

1-2


11

13

7

0

7-8


6

2

18

4

0

4


2

2

10

10

2

10-11


4

10

9

1

10-11

7 (spojení 1 – 16 otázka na celek)

0

16

0

4

5-6

8 (spojení 2 – 9 otázka na část)

0

9

7

4

12

9 (porovnání 1 – 10 „extra“)

1

12

6

3

9

10 (porovnání 2 11 – extra)

2

13

5

2

7-8

18

0

19

1

1

3

16

0

16

3

1

5-6

6

0

6

13

1

13-14

6

0

6

11

3

13-14

11 (porovnání 3 – větší počet, konzistentní) 12 (porovnání 4 – menší počet, konzistentní) 13 (porovnání 5 – menší počet, inkonzistentí) 14 (porovnání 6 – větší počet, inkonzistetní)

2

1

Zdroj: Vlastní zdroj

32

Ve 2. třídě bylo 20 dětí, které řešily mnou zadané slovní úlohy. Nejlépe děti řešily slovní úlohy 1. a 2. (Změna 1 a 2), všichni žáci je vyřešili správně. Slovní úloha 11. ( Porovnání 3 – Fuson typ B) dopadla jako třetí nejlépe řešená. V úloze 4.( Změna 4) udělaly 4 děti chybu, zbytek řešil správně. V úloze 7. (Spojení 1) 4 děti úlohy neřešily, v úloze 12. (Porovnání 4 – Fuson typ E) 3 děti řešily chybně, 1 žák úlohu neřešil. Další úlohy, které děti řešily dobře byly slovní úlohy 3., 10. a 9. (Změna 3, Porovnání 2 – Fuson typ D a Porovnání 1 – Fuson typ A). V úlohách 6., 8. a 5. (Změna 6, Spojení 2 a Změna 5) děti často chybovaly. Nejhůře dopadly slovní úlohy 13. a 14. (Porovnání 5 – Fuson typ C a Porovnání 6 – Fuson typ F). ■ Nesher, Riley, Greeno in Hošpesová (1998) rozlišují 4 stupně obtížnosti podle charakteru použitých operací. Kdybych se držela rozdělení autorů do 4 úrovní, vyplynuly by mi z výsledků tyto: 1.úroveň – Změna 1 a 2; Spojení 1 a Porovnání 3. Stejně jako Nesher, Riley a Greeno (1998)in Hošpesová (1998) bych zařadila do této úrovně změnu 1 a 2, spojení 1, ale navíc také porovnání 3. 2.úroveň – Spojení 1; porovnání 4 a změna 4. Na rozdíl od autorů bych zde nezařadila změnu 3, ale spojení 1 a porovnání 4. 3.úroveň – Porovnání 1 a 2; spojení 2; změna 3,5 a 6. Navíc bych zde zařadila změnu 3. Porovnání 1,2,3 a 4 bych zde zařadila také, shodně s Nesher, Riley a Greeno (1998) in Hošpesová (1998). 4.úroveň – Porovnání 5 a 6. V této úrovni se v těchto bodech s autory shoduji. Podle našeho předpokladu dělají dětem největší obtíže slovní úlohy Porovnání 5 a 6 (Fuson typ C a F). Oproti tomu jim jdou nejlépe Porovnání 3 a Porovnání 4 (Fuson typ B a E), které se také nejčastěji vyskytují v učebnicích a děti s nimi mají zkušenost. 7.3 Porovnání první a druhé třídy Během experimentu jsem pozorovala obrovský rozdíl mezi 1. a 2. třídou. Nejprve samozřejmě ve čtení, protože pro děti v 1. třídě byl problém slovní úlohu přečíst a zabralo jim to mnohem více času. Dále v psaní, proto jsem děti v 1. třídě nenutila psát slovní odpovědi, neboť by je to omrzelo a nestihly by úlohy spočítat. A samozřejmě také rozdíl v řešení slovních úloh. Děti ve 2. třídě umí slovní úlohy mnohem lépe uchopovat a řešit, ale také se u nich více projevují strategie, které někdy způsobují chybné řešení úlohy. V obou třídách dětem šly nejlépe dvě slovní úlohy a to slovní úloha 1. a 2., to znamená Změna 1 a Změna 2. Ptáme se v nich na konečný stav, v jednom případě se jedná o sčítání, ve druhém o odčítání. Tyto slovní úlohy se děti učí ve škole jako první a také se to ve výsledcích projevilo. Děti je mají již naučené, úlohu nemusely ani pořádně dočítat a již počítaly. Kromě slovních úloh 3., 6., a 7. řešily děti slovní úlohy přibližně stejně úspěšně. Vždy se vyskytuje o něco lepší úspěšnost řešení u 2. než 1. třídy, ale to je dáno zkušenostmi s počty a slovními úlohami. U slovní úlohy 3. (Změna 3), kde děti znají počáteční a konečný stav a mají zjistit změnu, byl v řešení v 1. a 2. třídě rozdíl. Dětem ve 2. třídě šla tato slovní úloha podstatně lépe. Správně ji vyřešilo 13 žáků, kdežto v 1. třídě pouze 7 žáků. U obou tříd se vykytovala

33

chybná strategie řešení úlohy. Žáci využili buď sečtení dvou daných čísel nebo zvolili rovnici, která mohla vést k řešení, ale slovní odpověď byla chybná. Asi největší rozdíl mezi 1. a 2. třídou byl u slovní úlohy 6. (Změna 6), kde děti měly určit z nepřímo vyjádřené změny počáteční stav. Ve 2. třídě úlohu správně vyřešilo 10 žáků (přesná polovina), v 1. třídě úlohu vyřešil správně pouze 1 žák. Opět se objevuje chyba, kdy děti použijí opačnou početní operaci než tu, kterou úloha vyžaduje, nebo chybně dosazují její členy. V obou třídách byly mezi úlohami, které dětem dělaly největší potíže slovní úlohy 13. a 14. (Porovnání 5 a 6). Jedná se v nich o to, děti navádějí slovy více/méně k početním operacím sčítání/odčítání, ale pro správné řešení je nutné provést pravý opak. S těmito úlohami děti nemají zkušenost, jelikož se nevyskytují v učebnicích a také paní učitelky mi sdělily, že je příliš nezadávají. 7.4. Slovní úlohy navíc Během experimentu jsem si pozvala tři žáky ze 2. třídy, aby vyřešili přede mnou 6 slovních úloh „srovnávacích“ a komentovali jak úlohy řeší. Do jejich výkladu jsem nevstupovala, jelikož jsem chtěla, ať jsou výstupy autentické. Dalším důvodem bylo to, že jsem je nechtěla mást, jelikož ve škole je učí, že slovo více signalizuje sčítání a slovo méně odčítání, mohlo by jim to způsobit potíže. 7.4.1 Řešení slovních úloh navíc – Víťa VÍŤA: Já: „Zajímá mě, jak vlastně ty slovní úlohy řešíš. Budeš mi to říkat nahlas? Co dělá, když dostaneš slovní úlohu?“ Víťa: „Přečtu jí a pak na co se mě ptaj.“ Já: „Fajn! Tak můžeme začít.“ 1.) Zdenka postavila komín z 60 modrých kostek a 30 zelených kostek. O kolik více je v komínu modrých kostek? Víťa vždy nahlas přečetl slovní úlohu, po hlasitém přečtení si jí ještě jednou prošel tichým čtením. Já: „Teď mi řekni jak počítáš nahlas.“ Víťa: „Šedesát a třicet…je tam víc, tak plus…šedesát plus třicet je devadesát. Celkem je v komíně devadesát kostek.“ 2.) Zdenka postavila komín ze 40 modrých kostek a 20 zelených kostek. O kolik méně je v komínu zelených kostek? Víťa: „Čtyřicet modrých a míň zelených…dvacet. Míň minus. Čtyřicet minus dvacet je dvacet. Měla míň dvacet zelených.“ 3.) Lístek na labutě stojí 11 kč. Autíčka jsou o 8 kč dražší. Kolik korun zaplatíš za autíčka? Víťa: „Jedenáct plus osm je…počítá v hlavě…devatenáct. Zaplatím devatenáct.“ 4.) Jízda v autíčku stojí 13 kč. Houpačky jsou o 7 kč levnější. Kolik korun stojí houpačky? Víťa: „Třináct minus sedm je šest. Zaplatím šest.“ 5.) Mám doma 17 triček s krátkým rukávem, to je o 9 více než mám triček s dlouhým rukávem. Kolik triček s dlouhým rukávem mám? Víťa: „Sedmnáct plus devět je…hmmm…dvacetšest. Mám jich dvacetšest.“

34

Já: „Proč jsi sčítal?“ Víťa: „No je tam víc.“ 6.) Mám doma 10 krátkých kalhot, to je o 9 méně než mám dlouhých kalhot. Kolik dlouhých kalhot mám? Víťa: „Deset minus devět je jedna. Mám devět.“ Já: „Odčítal jsi, protože tam je méně?“ Víťa: „No…“ Já: „Myslíš, že vždycky, když je méně, tak v úloze odečítáš?“ Víťa: „Asi jo…“ 7.4.2. Řešení slovních úloh navíc - Kuba KUBA: Kuba řešil slovní úlohy naprosto stejně jako Víťa. Udělal také stejné chyby, se stejným odůvodněním. 7.4.3. Řešení slovních úloh navíc - Lucka LUCKA: Stejné chyby v 1., 5. a 6. slovní úloze. Lucka měla však zvláštní strategii počítání. Například u slovní úlohy 2. : 2.) Zdenka postavila komín ze 40 modrých kostek a 20 zelených kostek. O kolik méně je v komínu zelených kostek? Lucka: „Čtyřicet minus dvacet je dvacet. Teď dvacet plus dvacet je čtyřicet. Tak o dvacet míň.“ Já: „Můžeš mi říct jak jsi to počítala?“ Lucka: „Já si vždycky udělám obojí, plus i minus.“ Já: „Aha. A jak poznáš, co je výsledek?“ Lucka: „No to dvacet.“ Já: „A jaktože ne to čtyřicet, když jsi dávala plus?“ Lucka: „Ne dvacet, čtyřicet tam už je.“ Lucka provádí jakoby zkoušku. Celkem mě to překvapilo. Má zřejmě nějakou svou orientaci v číslech. Po experimentu se třemi žáky, kteří mi své počítání úloh komentovali, se jen potvrdilo, že se opravdu orientují podle slov více/méně a podle nich volí početní operaci. Žákům to přišlo zcela běžné a zřejmě tento návyk získali ve škole. 8. ZÁVĚR Mnohé závěry jsem již uvedla v předchozí kapitole Analýza dat. V tabulkách č. 7 a č. 8 nalezneme, které úlohy šly dětem nejlépe a které nejhůře. Dále jsem výsledky srovnala s autory článků, ze kterých jsem čerpala a také porovnala obě třídy mezi sebou. V první třídě dopadly děti ve srovnávacích slovních úlohách takto: nejlépe jim šly srovnávací slovní úlohy typu B (Porovnání 3) a E (Porovnání 4), což jsou také srovnávací slovní úlohy, se kterými se setkávají ve svých učebnicích. Jako další ( celkem úspěšně řešené) byly srovnávací slovní úlohy A (Porovnání 1) a D (Porovnání 2). Nejhůře podle očekávání

35

dopadly srovnávací slovní úlohy typu C (Porovnání 5) a F (Porovnání 6). Tyto typy slovních úloh řešily děti s velmi malou úspěšností. Ve druhé třídě dopadly děti ve srovnávacích slovních úlohách takto: nejlépe jim šly šla srovnávací slovní úloha typu B (Porovnání 3), dále srovnávací slovní úloha typu E ( Porovnání 4). Následovaly slovní úlohy typu D (Porovnání 2) a A (Porovnání 1). Nejhůře z celého souboru slovních úloh dopadly srovnávací slovní úlohy typu C (Porovnání 5) a F (Porovnání 6). Výsledky v obou třídách tedy potvrzují hypotézu: ● Ze souboru úloh budou pro děti nejobtížnější slovní úlohy č. 13 (Porovnání 5 – Fuson typ C) a č. 14 (Porovnání 6 – Fuson typ F) A také poukazují na pravdivost hypotézy: ● U srovnávacích slovních úloh (či porovnání) se děti v 1. a 2. třídě orientují především podle „ klíčových slov“. Tuto hypotézu potvrzují také výsledky slovních úloh, které jsem zadávala dětem ze 2. třídy navíc a u kterých mi přímo vysvětlovaly jaký postup při řešení volily. Z práce dále vyplývá, že přestože znamenají některé typy srovnávacích slovních úloh pro děti potíže, ve výuce a v učebnicích je jim věnována minimální pozornost.

36

9. LITERATURA ČÍŽKOVÁ, M: Matematika pro 1. ročník základní školy 2. díl. Praha: SPN – Pedagogické nakladatelství, 2005. ČÍŽKOVÁ, M.: Matematika pro 2. ročník základní školy 1. díl. Praha: SPN – Pedagogické nakladatelství, 2007. FUSON, K.C., CAROLL, W.M., LANDIS, J.: Levels in conceptualizing and solving addition and substraction compare word problems. Cognition and Instruction, 1996; 14(3), str. 345 – 371. HOŠPESOVÁ, A.: Vytváření aditivní poznatkové struktury v podmínkách školního vyučování. Praha: Univerzita Karlova, 1998.

37

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie. Srovnávací slovní úlohy v první a druhé třídě

Recommend Documents