Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie
Počátky geometrie u žáků druhé a třetí třídy
Klára Haincová Psychologie – speciální pedagogika 3. ročník - 2006/2007
OBSAH 1. ÚVOD .................................................................................................................................... 4 2. HISTORIE VÝZKUMU ...................................................................................................... 4 2.1 Navštěvovaná třída ............................................................................................................ 4 2.2 Téma výzkumu .................................................................................................................. 4 3. SEBRANÝ MATERIÁL...................................................................................................... 5 3.1 Zápis z hodiny matematiky třídy 2. A ze dne 4. 4. 2006 .................................................. 5 3.2 Zápis z hodiny matematiky třídy 2. A ze dne 10. 5. 2006 ................................................ 9 3.3 Zápis z hodiny matematiky třídy 2. A ze dne 29.5. 2006 ............................................... 14 3.4 Zápis z hodiny matematiky třídy 2. A ze dne 5. 6. 2006 ................................................ 17 3.5 Zápis z hodiny matematiky třídy 2. A ze dne 15. 6. 2006 .............................................. 19 3.6 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. A ze dne 15. 9. 2006 .............................................. 21 3.7 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. A ze dne 18. 9. 2006 .............................................. 24 3.8 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. A ze dne 25. 9. 2006 .............................................. 28 3.9 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. A ze dne 5. 10. 2006 .............................................. 29 3.10 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. a ze dne 28. 2. 2007.............................................. 30 3.11 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. a ze dne 1. 3. 2007................................................ 34 3.12 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. a ze dne 8. 3. 2007................................................ 36 4. POHLED NA TŘÍDU ........................................................................................................ 38 5. ONDRA ............................................................................................................................... 41 5.1 4. 4. 2006 ......................................................................................................................... 41 5.2 10. 5. 2006 ....................................................................................................................... 41 5.3 29. 5. 2006 ....................................................................................................................... 42 5.4 5. 6. 2006 ......................................................................................................................... 43 5.5 15. 6. 2006 ....................................................................................................................... 44 5.6 15. 9. 2006 ....................................................................................................................... 44 5.7 18. 9. 2006 ....................................................................................................................... 44 5.8 25. 9. 2006 ....................................................................................................................... 45 5.9 5. 10. 2006 ....................................................................................................................... 45 5.10 28. 2. 2007 ..................................................................................................................... 45 5.11 1. 3. 2007 ....................................................................................................................... 46 5.12 8. 3. 2007 ....................................................................................................................... 46 5.13 Ondra shrnutí................................................................................................................. 47 6. JARUŠKA ........................................................................................................................... 47 6.1 4. 4. 2006 ......................................................................................................................... 47 6.2 10. 5. 2006 ....................................................................................................................... 48 6.3 29. 5. 2006 ....................................................................................................................... 48 6.4 5. 6. 2006 ......................................................................................................................... 49 6.5 15. 6. 2006 ....................................................................................................................... 49 6.6 15. 9. 2006 ....................................................................................................................... 50 6.7 18. 9. 2006 ....................................................................................................................... 50 6.8 25. 9. 2006 ....................................................................................................................... 50 6.9 5. 10. 2006 ....................................................................................................................... 51 6.10 28. 2. 2007 ..................................................................................................................... 51 6.11 8. 3. 2007 ....................................................................................................................... 51 6.12 Jaruška shrnutí............................................................................................................... 52 7. DISKUZE ............................................................................................................................ 52 8. ZÁVĚR ................................................................................................................................ 53 9. POUŽITÁ LITERATURA ................................................................................................ 54
2
10. PŘÍLOHY ......................................................................................................................... 55 10.1 Přílohy - učebnice 2. třída ............................................................................................. 55 10.1.1 Příloha č. 1 - učebnice str. 24 .................................................................... 55 10.1.2 Příloha č. 2 - učebnice str. 36 .................................................................... 56 10.1.3 Příloha č. 3 - učebnice str. 48 .................................................................... 57 10.1.4 Příloha č. 4 - učebnice str. 55 .................................................................... 58 10.1.5 Příloha č. 5 - učebnice str. 76 .................................................................... 59 10.2 Přílohy - učebnice 3. třída ............................................................................................ 60 10.2.1 Příloha č. 6 - učebnice str. 7 ...................................................................... 60 10.2.2 Příloha č. 7 - učebnice str. 8 ...................................................................... 61 10.2.3 Příloha č. 8 - učebnice str. 12 .................................................................... 62 10.2.4 Příloha č. 9 - učebnice str. 15 .................................................................... 63 10.2.5 Příloha č. 10 - učebnice str. 29 .................................................................. 64 10.2.6 Příloha č. 11 - učebnice str. 30 .................................................................. 65 10.3 Přílohy - pracovní sešit 3. třída ..................................................................................... 66 10.3.1 Příloha č. 12 - pracovní sešit str. 3 ............................................................ 66 10.3.2 Příloha č. 13 - pracovní sešit str. 5 ............................................................ 67 10.3.3 Příloha č. 14 - pracovní sešit str. 7 ............................................................ 68 10.4 Přílohy - práce dětí ........................................................................................................ 69 10.4.1 Příloha č. 15 - práce Ondry ze dne 4. 4. 2006 ........................................... 69 10.4.2 Příloha č. 16 - práce Jarušky ze dne 4. 4. 2006 ......................................... 70 10.4.3 Příloha č. 17 - práce Ondry ze dne 15.6. 2006 .......................................... 71 10.4.4 Příloha č. 18 - práce Jarušky ze dne 15. 6. 2006 ....................................... 72
3
1. ÚVOD Děti ve druhé třídě se s geometrií teprve seznamují, spíše se učí práci s pomůckami, jako je pravítko, měřítko, postupem času přibírají i mikrotužku. Učí se základním poznatkům, např. rozeznávat vrchol, stranu, bod, základní útvary a tělesa atd. Geometrie je zcela něco nového, a tak je samozřejmé, že se děti setkávají se spoustou problémů. Ve třetí třídě své poznatky a dovednosti prohlubují, objevují se různé druhy čar, rozlišení úsečka a přímka.
2. HISTORIE VÝZKUMU 2.1 Navštěvovaná třída Výzkum jsem realizovala na základní škole v místě mého bydliště, tedy v menším městě na severu Čech. Jedná se o středně velkou sídlištní školu s 18 třídami od 1. do 9. třídy. Budova školy má několik dvoupatrových křídel oddělených chodbami. Je zde křídlo s velikou tělocvičnou, dále jídelna a školní družina, ve třetím křídle jsou třídy pro první stupeň a v jiném křídle učebny pro druhý stupeň. Během pozorování, které trvalo od března 2006 do března 2007, jsem navštěvovala třídu 2. A, po letních prázdninách tu samou třídu, již ale 3. A. Během této doby jsem byla přítomna na téměř všech hodinách výuky geometrie, zúčastnila jsem se 12 vyučovacích hodin. Třídu navštěvuje 21 žáků, z toho 9 dívek a 12 chlapců. Během pozorování jsem věnovala pozornost celé třídě, sledovat přesné postupy jsem však u všech nemohla. Proto jsem požádala učitelku této třídy, aby mi poradila dva žáky, kteří by mohli být pro mé pozorování zajímaví. Při výuce jsem tedy seděla ve třídě u lavic, ve kterých seděli Ondra a Jaruška.
2.2 Téma výzkumu Před samým zahájením výzkumu jsem měla představu, že bych se ráda věnovala geometrii na prvním stupni ZŠ. Geometrie se ovšem nevyučuje po celý rok, ale vždy v krátkých blocích, po pár vyučovacích hodinách během celého školního roku. V době zahájení mého výzkumu se začínala probírat geometrie právě ve 2. A, tu jsem tedy začala navštěvovat. Ve druhé třídě se ovšem s geometrií teprve začíná, děti si osvojují základní pojmy a učí se ovládat geometrické pomůcky. Tématem mého výzkumu se tedy staly základy osvojování geometrie. Z prvního bloku na přelomu března a dubna jsem stihla bohužel jen jednu hodinu na začátku dubna, kdy děti opakovaly nejzákladnější základy, co je to bod, úsečka a základní druhy čar. Další blok během druhé třídy byl koncem školního roku na přelomu května a června. Jeho obsahem byly základní geometrické útvary, odhad vzdálenosti, také uplatnění dělení 2 v geometrii – půlení úsečky i čtverce. Po prázdninách byly děti již ve třetí třídě, geometrie se objevila v polovině září. Opakovala se látka z druhé třídy a také se prohlubovala: tedy druhy čar, úsečky, body, strany a vrcholy u čtverce, obdélníku a trojúhelníku, měření úseček. Po tomto bloku byla dlouhá „geometrická“ pauza a další blok začal až na konci února. Po tak dlouhé době se muselo pochopitelně vše zopakovat, nově se děti naučily přímku.
4
3. SEBRANÝ MATERIÁL 3.1 Zápis z hodiny matematiky třídy 2. A ze dne 4. 4. 2006 Učitelka na počátku hodiny dětem říká, co mají mít na lavici: učebnici matematiky, trojúhelník, v penále ořezanou tužku, gumu a mohly mít i mikrotužku. Dnešní hodina geometrie bude opakování všeho, co se zatím děti naučily. Nejdřív si to společně zopakují, pak si zkusí pracovat sami na známky. Učitelka se ptá, jak se v geometrii označuje bod a čím ho vyznačíme. Nikdo se nehlásí, nikdo neví. Nakonec někdo nejistě řekne, že ho narýsujeme. Učitelka si posteskne, že tak opravdu ne, označuje se křížkem. Dále už další žák správně odpovídá, že bod označíme velkým tiskacím písmenem. Dále chce učitelka od dětí vědět, co je to úsečka. Dovídá se celkem správně, že přímá čára označena dvěma body. Odpověď vylepšuje, je ohraničena dvěma body. Dále zjišťuje čím jsou ty body označeny, správná odpověď velkými tiskacími písmeny. Souhlasí s dětmi a dodává, že podle toho se jmenuje celá úsečka. Dále chce učitelka vědět, jaké bude mít krajní body úsečka LM. Správná odpověď L a M. Další téma, které se ve třídě opakuje, je měření úseček. Děti správně říkají, že úsečka se měří měřítkem a to se přiloží k prvnímu krajnímu bodu k písmenku. Zde učitelka upozorňuje, že se musí přiložit nikoliv k písmenku ale k bodu, a tam, kde je druhý krajní bod, si děti přečtou délku úsečky. Učitelka chce, aby šel někdo k tabuli napsat délka úsečky AB. Jeden žák tedy přijde k tabuli a nakreslí:
Učitelka tedy upozorňuje, že chce jen to, co říká, tedy délka úsečky AB. Žák se opraví a správně napíše: │AB│ Dále se učitelka snaží od dětí zjistit, co u zápisu schází, kdybychom věděli, že úsečka je dlouhá 6 cm, tedy jak se napíše délka úsečky je 6 cm? Jedno dítě jde k tabuli a správně doplní: │AB│ = 6 cm Nyní si mají děti vzít učebnici matematiky, otevřít na straně 24, připravit si tužku a přečíst první úkol na straně 24 (viz 10.1.1 Příloha č. 1). Kryštof jde k tabuli, má nakreslit tři čáry. Správně učitelce odpovídá, že nebude potřebovat pravítko, protože v zadání je slovo nakresli. Děti dále doplňují, že by tam muselo být slovo narýsuj, aby potřebovaly pravítko. Kryštof má tedy nakreslit tři různé čáry, je jedno jak to udělá. Kryštof kreslí správně na tabuli:
5
Učitelka ještě doplňuje, že je jedno, jak čáry vypadají, je důležité, že nejsou narýsované. V druhém úkolu již děti potřebují trojúhelník. Učitelka se ptá, jakou stranou budou rýsovat? Správně se dovídá, že tou nejdelší, a také že trojúhelník bude na papíře špičkou dolů. Jedno dítě rýsuje na tabuli tři přímé čáry:
Dále čte někdo ve třídě třetí úkol. Mají narýsovat lomenou čáru. Učitelka se ptá, zda je na tabuli již lomená čára nakreslena. Dítě jde ukázat k tabuli nakreslenou lomenou čáru z úkolu číslo jedna:
Nyní mají tedy lomenou čáru narýsovat. Nemusí mít prý ani tak ostré zoubky a mají použít pravítko, rýsovat vždy z leva doprava, nesmí být nikde mezera. Děti rýsují do sešitu, učitelka na tabuli:
Pak obchází třídu a kouká dětem do sešitu, jak jim to jde. Na řadě je čtvrtý úkol. Mají vyznačit tři body E, F a G, spojit je mezi sebou a zapsat úsečky, které vznikly. Jedno dítě jde k tabuli vyznačit tři body: + F + E
+ G U prvního bodu E napsal žák nejprve velké tiskací písmeno, pak teprve křížek. Učitelka ho na to upozorňuje, že nejdříve musí vyznačit bod, pak teprve označit písmenem. Pak už to dělal správně. Děti si také mají udělat tři body do rámečku v sešitě. Učitelka se ptá,
6
které dva body můžeme třeba nejdříve spojit. Prý třeba E a F. Učitelka dětem radí, jak na to. Mají si dát pravítko k bodu E a nasměrovat na F. Upozorňuje, aby pracovaly přesně. Další dítě říká, že dále spojíme body E a G. Učitelka děti upozorňuje, aby nezapomínaly, že hrana pravítka je dolů, rýsuje se po té dlouhé straně, vždy z leva doprava. Další dítě správně odpovídá, že je potřeba spojit ještě body F a G. Učitelka přitakává a ptá se, co na té tabuli vzniklo: + F + E
+ G
Děti správně odpovídají, že trojúhelník. Jedno dítě odpovídá, že trojúhelník by pojmenoval pichlan. „Ale ne, to je trojúhelník. Jak se jmenuje, podle krajních bodů?“, ptá se dál učitelka. Správná odpověď EFG. Úkol dál pokračuje, mají zapsat, které úsečky vznikly. To pro děti nebylo těžké, správně jmenovaly. Pátý úkol je na téma rýsování úsečky dané délky, to se děti učily nedávno. Dítě správně říká, že jako první narýsujeme přímou čáru. Učitelka ještě upozorňuje, že by si měli narýsovat dostatečně dlouhou čáru, úsečka má mít 12 cm a měli by to už odhadnout. Učitelka rýsuje na tabuli:
Děti správně říkají postup, že dále mají vyznačit levý krajní bod, ten nazvou A. Jedno dítě ho jde na tabuli vyznačit:
A Děti pokračují v odříkávání postupu, nyní budou potřebovat měřítko, které přiloží k prvnímu krajnímu bodu. Učitelka souhlasí a upozorňuje, aby si daly pozor na to, že nula se musí krýt s prvním krajním bodem. Dále děti správně říkají, že další bod vyznačí tam, kde měřítko ukazuje 12 cm, označí ho B. Učitelka dokončí na tabuli:
A
B
Učitelka nabádá děti, aby si ještě znovu změřily, jestli od A k B je to opravdu 12 cm. Úkol dále pokračuje, mají vyznačit body X a Y, aby ležely na úsečce. Jedno dítě to jde zkusit na tabuli, zakresluje správně:
7
A
X
Y
B
Další dítě čte, že mají dále zvolit body O a P tak, aby neležely na úsečce. Učitelka upozorňuje děti, že vědí, že jsou dva způsoby, jak zakreslit body mimo úsečku. Na tabuli mají O zapsat jedním způsobem, P druhým způsobem. Dítě jde k tabuli a zakresluje body O a P:
A
X
Y
B
O
+ P Učitelka chválí, O neleží na úsečce, až za ní a P je úplně mimo úsečku. Teď je tam ještě jedna otázka, kterou prý už znají, to je opakování. Patří body A a B k úsečce AB? Správně odpovídají ano. Body jsou její součástí, protože bychom nevěděli, kde končí a začíná. Šestý úkol je práce ve dvojicích. Prstem si mají ukázat bod S. Každý z dvojice si narýsuje první čáru, aby procházela bodem S, pak mají dát sešit sousedovi, sešity si vyměnit a do sousedova sešitu narýsovat druhou čáru, aby také procházela bodem S. Děti rýsují, učitelka chodí kolem nich a kontroluje. „Ta čára ti ale v tom bodě končí, má procházet, prodluž ji.“, „Tahle čára je špatně, mimo bod, má procházet bodem.“ „Podívejte, tady máte bod S a čáry musí procházet skrz křížek, takhle je to správně:“
+ S
Teď mají všichni zavřít učebnice, služba je sebere. To bylo všechno opakování, učitelka chce, aby to sami vytvořily na papír. Každý dostane jednu stejnou stránku, podepíše se na ni (viz 10.4.1 Příloha č. 15 a 10.4.2 Příloha č. 16). Učitelka ještě upozorňuje, že je to na známku. Poslední cvičení mají dělat sami, bez souseda. Děti pracují na úkolu, kdo to má, postupně odevzdává. Téměř všichni to stihli před přestávkou. Zvoní. 8
Výsledky prací: 2x 1, 9x 1-, 5x 2, 1x 3. Chyby: Úkol č. 1: - bez chyby (maximálně špatně gumováno). Úkol č. 2: - jedna z čar byla narýsována jako lomená čára, ne přímá čára (VB), - dvě čáry nebyly celé narýsované, ale konec dokreslen – zřejmě nezvládnutí tahu po hraně pravítka (Ondra). Úkol č. 3: - špatné narýsování zlomů lomené čáry – přesahy, nejasný zlom (JR, DB, VV), - celá délka lomené čáry není narýsovaná, části kresleny, zřejmě nezvládnutí tahu po hraně pravítka (MS, Ondra, Pavel B). Úkol č. 4: - nepřesné spojení bodů – čára mimo křížek (JR, MS, Ondra, TB, HV, JB, Kryštof, MH, Pavel B, VV, MH), - špatné narýsování čar – nezvládnutí tahu po hraně pravítka (JR, MS, HV), - špatné zapsání úseček, které vznikly – místo názvu úsečky délka úsečky (Ondra), - nezvládnutí úkolu č. 4 – vyznačeny jen body, bez spojení a zapsání úseček (BH). Úkol č. 5: - úsečka neměří požadovaných 12 cm – je kratší (JR, VB, DM, JD), - úsečka neměří přesně 12 cm, jen přibližně (TB, JB, VV), - nezodpovězení otázky ANO – NE (BH, JD), - nezvoleny body X a Y (Ondra), - špatné narýsování úsečky – nezvládnutí tahu po hraně pravítka (Ondra). Úkol č. 6: - nepřesné procházení čar bodem S – mimo bod (JR, MS, TB, HV, VV), - nenarýsování, ale nakreslení čar (JR).
3.2 Zápis z hodiny matematiky třídy 2. A ze dne 10. 5. 2006 Sedím u lavice Ondry a Jarušky, na které se více soustředím, než na zbytek třídy.
Učitelka něco nakreslila na tabuli, chce aby to někdo nazval a zkusil to jedním názvem. Dostává se jí odpovědi geometrické útvary. Postupně je pak chce všechny vyjmenovat, u čtverce a trojúhelníku není problém. Když měl Ondra pojmenovat poslední geometrický útvar, tedy obdélník, nazval ho kvádrem, na pobídnutí učitelky se pak opravil a řekl správnou odpověď obdélník.
9
Dále učitelka ukazuje na vrchol u trojúhelníku a chce vědět, jak se to nazývá. Kristýna odpověděla strany. Učitelka ji řekne, ať si dává pozor a znovu ukáže, Kristýna pak už správně dopoví vrcholy. Pak se učitelka ptá na počty vrcholů a stran geometrických útvarů. S tím nemají děti problém a správně odpovídají. Učitelka nakreslila na tabuli ještě jeden útvar a také chce znát počty vrcholů a stran.
Děti správně odpovídají 4 vrcholy a 4 strany. Nyní učitelka dětem vysvětluje, že všechny geometrické útvary, které mají 4 vrcholy a 4 strany budou od teď nazývat čtyřúhelníky. Je to pro děti nová skupina. Učitelka kreslí další jiný geometrický útvar na tabuli:
Děti mají spočítat, kolik vrcholů a kolik stran má tento geometrický útvar. Bára správně říká 5. Mají zkusit uhodnout, jak se tento geometrický útvar může jmenovat, nikdo se ale neodvažuje. „Bude to trojúhelník Jaruško?“ Ta správně odpovídá, že ne. Učitelka tedy říká, že se jedná o pětiúhelník. „A co teď?“ Učitelka dál kreslí na tabuli:
Dítě správně reaguje, také má 5 stran a vrcholů, také je to pětiúhelník. Učitelka kreslí dál:
Martin: „10“. Učitelka se ptá, o jaké desítce mluví. Martin tedy upřesňuje, že tento geometrický útvar má 10 vrcholů. Felix správně říká, že má také 10 stran. Další dítě správně dospělo k tomu, že tento geometrický útvar se jmenuje desetiúhelník.
10
Učitelka vysvětluje, že si teď ukázali pětiúhelník, desetiúhelník, ale může být i sedmi, osmi, devítiúhelník a tak dál. Pro zjednodušení mají říkat těmto geometrickým útvarům, které mají více jak 4 strany a vrcholy mnohoúhelníky. Teď si otevřou učebnice na straně 36 (viz 9.1.2 Příloha č. 2) a mají si vzít tužku. Nejprve úkol č. 1. Sleduji, jak Ondra pracuje na úkolu č. 1. Učitelka dětem radí, jak mají pracovat s trojúhelníkem. Vždy, když někdo ze třídy řekne správné číslo, napíše ho. Číslo 3 píše obráceně Є. Když se řekne, že čtyřúhelník má čtyři vrcholy, nečeká na strany a píše rovnou čtyřku i ke stranám. I číslo 5 píše obráceně. Když učitelka mluví o šestiúhelníku, tužkou si na něj ukazuje a přepočítává vrcholy, jako kdyby nevěřil. Dále je na řadě úkol číslo 3. Mají si připravit žlutou, modrou a růžovou pastelku a tužku. Učitelka se nejprve ptá, jakými písmeny se označují vrcholy. Dostává se jí správná odpověď velkými tiskacími písmeny. Také chce vědět, co ještě se označuje velkými tiskacími písmeny. Někdo odpovídá, že úsečky. Taková odpověď se učitelce ale nelíbí, chtěla slyšet slovo body. Pak se ptá, jak třeba označíme tento čtyřúhelník?
Jolanka říká AB. Učitelka ji upozorňuje, že AB je málo. Jolanka se pak opravuje a říká ABCD. Učitelka souhlasí, můžou si tento čtyřúhelník nazvat ABCD. Vysvětluje dětem, že začínáme vždy vlevo dole a jdeme po směru hodinových ručiček, ukazuje to na tabuli. Sleduji Ondru i Jarušku, jak označují vrcholy geometrických útvarů. Oba dva u prvního čtyřúhelníku nezačali označovat vrcholy podle směru hodinových ručiček: C
D
A
B
Děti dostaly za úkol, aby takto pojmenovaly zbytek geometrických útvarů, ale aby se jim neopakovaly písmenka v názvech. Další geometrický útvar, který Ondra označoval, byl jiný čtyřúhelník:
11
Označil ho HCHIJ, ale měl opět špatné pořadí, stejně jako u předešlého čtyřúhelníku. Dále označoval trojúhelník. Nazval ho EFG, provedl to správně. Jaruška ho nazvala IJK, měla sice správný směr, ale začala u nesprávného vrcholu.
I
J K Ondra má velice pomalé tempo. Pak označovali další trojúhelník. On ho nazval EFG, ona CHIJ, oba dva správně. Šestiúhelník Ondra nazval ABCDEF. Další šestiúhelník nazval TUVWXY, také správně. Jaruška u posledního šestiúhelníku udělala chybu, začala u špatného vrcholu a šla špatným směrem, nakonec to ale vygumovala a označila správně.
A
B
F
E
C
D
Děti už začaly dělat druhou část úkolu a Ondra to neměl ještě hotové. K tomu ještě vygumoval označení u prvních dvou geometrických útvarů, protože je psal pastelkou a ne tužkou. Trojúhelník nazval EFG, správně. Čtyřúhelník ABCD, také správně. Jaruška nemá označený jeden šestiúhelník. Protože děti už měly skoro všechny geometrické útvary vybarveny, učitelka mu poradila, aby je nevybarvoval celé, ale udělal do nich jen barevnou čárku barvou, která tam má být. Tento úkol splnil správně, ona také. Úkol ale byl, aby se písmenka neopakovala. Jaruška měla ABCD a ABCDEF, pak také IJK a CHIJ. Ondrovi se opakovalo také ABCD a ABCDEF a dvakrát EFG. Poté přišel na řadu úkol č. 5. Jaruška správně pojmenovala na výzvu učitelky zelený geometrický útvar čtyřúhelník, pak upřesnila čtverec. Učitelka dětem s úkolem trochu radila, oba vyplnili správně, on předem bez nápovědy správně rozdělil obdélník na 2 čtyřúhelníky.
12
Nakonec třída pracovala na úkolu č. 2. Z jedné špejle mají vymodelovat trojúhelník, správně říkají, že špejli musí nalámat na tří části. Děti za pomoci špejle a modelíny modelují trojúhelník. Ondra nejdříve špejli zohýbal do tvaru trojúhelníku, čímž by si usnadnil práci, ale když viděl, že ostatní děti špejli lámou, také si ji nalámal na 3 části. Z modelíny dělají kuličky, kterými spojují špejle a dělají jimi vrcholy. Učitelka dělá trojúhelník s nimi. Felix to neměl úplně přesné, jedna špejle přečuhovala.
Dále modelují jakýkoliv čtyřúhelník. Jaruška dobře, on opět velmi pomalu. Na řadě je dále libovolný mnohoúhelník. Ondra v tuto chvíli ještě nestihl dodělat čtyřúhelník, měl zatím jen spojené dvě špejle.
Ale měl připraveny čtyři špejle, kdyby měl více času, tak by to asi udělal správně. Pokračuje dál. Ondra udělal takovýhle šestiúhelník:
Jaruška udělala pětiúhelník:
13
Ondrův výtvor byl vzhlednější, upravenější, více to vypadalo jako „klasický“ geometrický útvar.
3.3 Zápis z hodiny matematiky třídy 2. A ze dne 29.5. 2006 Sedím ve třídě tak, že vidím do sešitu Jarušce a Ondrovi. Tématem dnešní hodiny je měření. Učitelka se dětí ptá, jaké použije jednotky, když by chtěla změřit vzdálenost mezi dvěma městy. Kačka správně odpovídá kilometry. Dále někdo říká značku pro kilometry, tedy km. Tímto způsobem se učitelka ptá na měření délky a šířky třídy – odpověď metry, m; na měření délky a šířky lavice – odpověď centimetr, cm; sešit nebo kazeta – milimetry, mm. Učitelka říká, že si tedy zopakovali jednotky délky a dostává se jí i správné odpovědi, že základní jednotkou je metr. Ptá se, zda by děti dokázaly odhadnout šířku třídy od dveří k oknu a jak by to udělaly. Někdo říká: „Že by jsme si vzali ….. no…“(neví). Martin: „Třeba bychom chodili.“ Učitelka upřesňuje, že myslí odkrokovat vzdálenost. Učitelka ve třídě nakročí a zůstane tak. Říká, že takhle vypadá její krok a ptá se, zda si děti myslí že je to celý metr. Rovnou říká, že to asi ne. Děti si myslí, že by to mohla být čtvrtka metru. Učitelka děti navádí, že to je zase moc málo, dohodnou se, že to bude asi tak půl metru. Zeptá se dětí, jak se liší odhad od přesného měření. „Nevyjde to přesně ale přiměřeně.“ Více dětí říká, že to vyjde přiměřeně. Učitelka je opravuje, vyjde to přibližně. Nechá si od dětí radit, co má teď dělat, aby odhadla délku naší třídy. Někdo říká, že má jít od okna ke dveřím a počítat kroky. Učitelka jde, napočítají 13 kroků a kousek. Děti mají nyní zkoušet říkat, jak široká je tedy asi jejich třída. Slyšíme nejprve odpověď 26, poté 6 a půl. Učitelka chce vědět, jak přišli na šest a půl. Prý to rozdělili na půl. S tím učitelka souhlasí, třída by mohla měřit 6 a půl metru. Ještě připomíná, že udělala ke třinácti krokům ještě kousek, tak by to mělo být šest metru a tři čtvrtě. Dále chce vědět, jak zjistíme pravdu a co k tomu potřebujeme. Správná odpověď metr, vyndá skládací metr a ukáže dětem. Děti vědí, že tento metr používají zedníci. Kryštof a Pavel budou měřit třídu tímto metrem. Učitelka radí, jak to mají provést. Třída měří bez jednoho centimetru sedm metrů. Učitelka se tedy dětí ptá, o kolik se spletly, správná odpověď o čtvrt metru, také říkají, že to není velký rozdíl. Učitelka se ptá, co potřebují, když měří něco malého v sešitě. Odpověď pravítko, chce slyšet ale lepší odpověď, které se jí brzy dostává – měřítko. Nyní budou pracovat v učebnici na straně 48 (viz 10.1.3 Příloha č. 3). Úkol číslo 1. Ptá se dětí, které body tam jsou. Správná odpověď ABC. Učitelka komentuje, že děti vidí tři body a chce vědět, co z nich můžou narýsovat. Správná odpověď trojúhelník, vrcholy se jmenují A, B a C. Děti mají takovýto trojúhelník narýsovat, učitelka připomíná, aby trojúhelník měly nejdelší stranou nahoru, schůdkem dolu, a nejdříve spojily body A a B, postupně narýsovat trojúhelník. Jaruška rýsováním nejdříve spojila body A a C ne úplně přesně, pak čáru vygumovala, spojila přesně body A a B. Body B C nespojila rýsováním, ale nakreslila, navíc nemá přesně do bodů, hl. bod C není proťat. Ondra postupně spojil rýsováním body A a B, B C, A a C, přesně. Nyní je na řadě odhad. Kačka odhaduje úsečku AB na 2,5 cm, Kristýna 5 cm. Děti mají do tabulky zapsat, kolik odhadují. Jaruška zapsala 5 cm, Ondra 2 cm. Dále mají určit skutečnou délku úsečky, měřítkem změřit, přesná míra je 5 cm. Hlásí se 8 dětí, které odhadovaly 5 cm. Ještě mají do tabulky zapsat rozdíl mezi odhadem a skutečnou délkou. Ondra doplnil správně 3 cm, Jaruška také správně 0, ale u zápisu váhala, než zapsala. Dále odhad úsečky BC. Terezka odhaduje 2 cm. Ve třídě je slyšet hlasy 2, 3, 4, 2… cm. Ondra napsal do tabulky, že odhaduje 2 cm, Jaruška si úsečku nejdříve změřila, pak teprve napsala odhad 2 cm. Většina dětí odhadovala 2 cm, jedno dítě se hlásí, že odhadlo 3 cm. Dále úsečka
14
AC, Kačka ji odhaduje na 6 cm, Jolanka 5 cm, dále je mezi dětmi slyšet 5 cm. Ondra zapsal 5 cm, Jaruška také 5 cm, ale nejdříve předem napsala naměřeno 5cm, i 0 rozdíl. Oba dva u posledních dvou rozdílů, které jim vycházely 0, neměli jednotky cm, pak na pokyn učitelky dopsali.) Teď mají sami zkusit úkol č. 2. Jaruška rýsovala úsečky v pořadí HG, GF, EF, HE. Skrz bod H neprocházela ani jedna úsečka, přes bod F alespoň jedna, vrcholy byly narýsovány nepřesně. H +
G +
+ E
+ F
Ondra rýsoval úsečky v pořadí HE, EF, FG, HG. Narýsoval to celkem přesně, až na bod G, kde úsečka HG nekončila přesně v bodě G. Jaruščin odhad: 4 4 0 5 5 0 4 4 0 5 5 0 Vše poctivě odhadovala a měřila, neuvědomila si, že vždy dvě a dvě strany jsou stejné. Ondrův odhad: 4 4 0 6 5 1 4 4 0 5 5 0 Ve třetím řádku ještě odhadoval a měřil, poslední řádek už dopsal bez práce, uvědomil si, že je to stejně dlouhá úsečka,jako ve druhém řádku. Ondra měl pomalejší pracovní tempo, nenapsal název geometrického útvaru (Jaruška správně obdélník), napsal obdélník na základě pobídnutí učitelkou). Dále mají sami pracovat na úkolu č. 3. U: Teď uděláme úkol č. 3. Nejprve zelený útvar. Jaruška kreslila, nenarýsovala úsečku, jak měla, jinak úkol splnila celkem správně:
Ondra si vzal do ruky pravítko, našel si na horní úsečce střed, a začínal obdélník půlit:
15
Učitelka zasáhla, začal přemýšlet. Pak začal správně rýsovat. První část úsečky narýsoval, dal pryč pravítko, zbytek dokreslil:
Pak to však celé vygumoval a správně celé narýsoval. Fialový geometrický útvar Jaruška kreslila, opět nerýsovala:
Ondra také kreslil:
Učitelka si všimla, že oba kreslí, řekla jim, že mají rýsovat. Oba dva vygumovali. Jaruška ale opravila jen fialový geometrický útvar, zelený ji zůstal nakreslený. Ondra vygumoval fialový geometrický útvar a narýsoval znovu, bylo to ale velmi upatlané od gumování a celkový výsledek dopadl příšerně. I čtvrtý úkol si mají přečíst a splnit sami. Jaruška počítá prstem vrcholy, „6 – to není ono, 5 – to je ono“, vymaluje. Ondra se podíval na obrázek, spočítal si vrcholy 6, pak 4 a nakonec správný pětiúhelník. Vypadalo to, že od prvního pohledu tušil, který to je, kontroloval si to. Učitelka se ptá kolik vrcholů a stran má pětiúhelník, slyší správné odpovědi 5 a 5. Takto se ptá i na šestiúhelník. Také chce slyšet, jak se jmenuje geometrický útvar nalevo. Správná odpověď čtyřúhelník. Mají si do učebnice napsat název geometrického útvaru napravo. Ondra si bere do ruky trojúhelník a do geometrického útvaru si rýsuje řádek, na který správně napsal šestiúhelník, Jaruška pod geometrický útvar napsala jen číslo 6.
16
Dále má někdo zkusit nakreslit na tabuli jiný šestiúhelník. Kačka nejdříve začala cosi kreslit, ale to ji nevyšlo, smazala a správně nakreslila:
Pak přišla k tabuli Kristýnka, zeptala se, zda to může být nějaká hloupost. Dlouho u tabule přemýšlela, pak nakreslila:
Na konec hodiny učitelka zopakovala, co se dnes učili, že si ukázali jak se liší odhad a měření. Ještě se ptá, čím by změřili svoji lavici, slyší odpověď metr. Ptá se tedy, jestli by měřili tím roztahovací, děti odpovídají, že tím vytahovacím.
3.4 Zápis z hodiny matematiky třídy 2. A ze dne 5. 6. 2006 Nejdříve si opakují násobky 2 a pak si mají ukázat, jak se dělí číslem 2 v geometrii. Nejprve testík na násobení a dělení 2. Učebnice matematiky na str. 55 (viz 10.1.4 Příloha č. 4). Úkol č. 1. Učitelka chce vědět, jak se jmenuje tato úsečka. Martin odpovídá správně AB. Dále odpovídá, že když bod půlí úsečku, tak je to přesně uprostřed. Dále se učitelka ptá, jak změříme délku úsečky AB. Někdo říká: „Přiložíme měřítko“. Učitelka to chce upřesnit. „Nulu přiložíme k bodu A a pak se kouknem, kolik nám vychází“. Každý si má změřit délku úsečky AB a zapsat, jak je dlouhá. Jaruška změřila dobře, ale za číslo 12 už nenapsala jednotku cm. Učitelka se ptá na další postup. Slyší 12 : 2 = 6, chce vědět, co to znamená. Jedno dítě vysvětluje, že od bodu A je to 6 cm k prostředku. S tím učitelka souhlasí. Chce vědět, co dál. Slyší, že je potřeba vyznačit bod S, děti to mají tedy udělat. Jaruška si nejdřív našla 6cm, dala pryč měřítko, přiložila prst a podle toho chtěla přibližně vyznačit bod S, pak ho ale nakonec označila přesně podle měřítka. Ondra správně.
A Ondra
S
B
A
S
B
Jaruška
Dále chce učitelka slyšet, jestli musíme měřit, když chceme zapsat délky úseček AS a BS, musíme měřit. Správné odpovědi, že ne, že délka je 6 cm. Až teď Jaruška dopsala jednotky cm u výsledku 12. Dále úkol č. 2. Učitelka se ptá na postup rýsování úsečky určité délky. Správná odpověď, že nejprve narýsujeme dostatečně dlouhou čáru. Ondra narýsoval, pak se mu první
17
část čáry asi nezdála pěkná, tak ji dodělal – přikreslil, to vypadalo samozřejmě hrozně. Tak to vygumoval, pak to už vypadalo celkem dobře. Jaruška narýsovala čáru, změřila ji a zjistila, že je příliš krátká. Vygumovala ji a nakreslila novou, už od pohledu byla také krátká.
Učitelka chce slyšet další postup. Slyší správně, že si vyznačíme bod C, od něj 14 cm k bodu D. Ondra vyznačil bod C, naměřil 14 cm, úsečka mu nevyšla asi o půl cm. Vyznačil ale správně bod D po 14 cm a ten kousek pak k bodu dorýsoval, bylo ale vidět, že úsečka je nastavovaná. Jaruška vyznačila bod C, podle měřítka viděla, že ji na to ta čára nevyjde, tak ji dokreslila a vyznačila bod D. Pak si to teprve přeměřila, vyšlo ji 13,6 cm, ale stejně to neopravila. Učitelka: „A co uděláme teď?“ Odpověď 14 : 2 = 7. Dále někdo říká, že jsme se dověděli, že půlka je 7 cm. Jaruška přiložila měřítko, pak ho oddálila a přibližně vyznačila bod E, tzn. že to nemá přesně. Po skončení hodiny jsem přeměřovala, úsečka CD měřila 13,4 cm, bod E ležel po 6,9 cm od bodu C. Ondry úsečka měřila 13,8 cm a bod E ležel po 6,8 cm od bodu C. Učitelka se ptá na délku úsečky CE – odpověď 7 cm, a na délku úsečky ED – odpověď 7 cm. Dále je na řadě úkol č. 3. Učitelka se ptá na název geometrického útvaru, dostává se jí sprváné odpovědi obdélník. Také se ptá na název geometrického útvaru v úkolu č. 4. Tam byla odpověď čtyřúhleník, s touto odpovědí není ale úplně spokojená, pak někdo už říká čtverec, to je správně. Učitelka se ptá na postup. Jaruška: „vezmeme si tužku a rozpůlíme ho v půlce.“ Učitelka se ale ptá, jak to provedou. Pak už někdo upřesňuje, že změří buď horní nebo dolní úsečku, MN nebo PO. Toto mají tedy udělat. Děti měří úsečky MN a PO, vyšlo jim 6 cm. Učitelka se ptá, zda dětem v úkolu pomůže dělení. Odpověď ano, 6 : 2 = 3. Učitelka tedy radí, že měřítkem změří 3 cm od bodu P. Jaruška na úsečce PO označila celkem přesně prostředek, pak začala ale tužkou kreslit zvrchu i ze spodu a spojovala. P
O
O
M
N
Ondra odhadl správně, že i dolní úsečka musí být změřena. Střed strany PO měl na 3 cm, MN na 2,95cm. Jaruška po radě učitelky opravila. Střed strany PO měla na 2,9 cm, MN na 2,75 cm. Učitelka se ptá, kolik budou měřit teď všechny strany. Slyší správnou odpověď 3 cm. Teď mají děti sami provést úkol č. 4. Ondra na jeho tempo provedl úkol celkem rychle a správně, nejdříve změřil stranu RS a vyznačil střed na 1,95 cm, poté stranu UT, střed na 2,05cm. Pak dva prostřední body spojil.
18
U
R
T
S
Jaruška zprvu kouká a neví co má dělat. Pak si vzala do ruky měřítko, přiložila vodorovně na čtverec, po kterém měřítkem jezdila: U
T
R
S
Po čase, asi když se jí zdálo měřítko relativně rovně a hlavně uprostřed, narýsovala čáru. Pak teprve změřila. Poté ještě asi třikrát gumovala a čáru předělávala a různě popojížděla měřítkem, vše ale podle oka. Nakonec ji střed strany UR vyšel na 1,8 cm, střed strany TS na 1,9 cm. Učitelka komentuje, že obdélník má dvě strany kratší a dvě strany delší, ptá se kolik měří tak kratší. Slyší odpověď 2, ptá se čeho 2, dítě doplňuje 2 cm. Delší měří 4 cm. Nakonec úkol č. 5. Mají si vzít zelenou pastelku a vyznačit bod 5 km. Kolik zbývá, aby byli v polovině cesty? Kde bude půlka? Jirka: „18 : 2 = 9.“ Červenou pastelkou mají tedy označit 9 km, tam je polovina cesty. Martin pak neví, kolik km jim zbývá. Někdo jiný říká 9 – 5 = 4. A kolik jím zbývá do cíle?, mají říci příklad. 18 – 5 = 13.
3.5 Zápis z hodiny matematiky třídy 2. A ze dne 15. 6. 2006 Poslední hodina geometrie ve školním roce. Děti dostaly písemku z opakování geometrie. Pozorovala jsem postup vypracovávání Ondry a Jarušky (viz 10.4.3 Příloha č. 17 a 10.4.4 Příloha č. 18) . Úkol č. 1 Jaruška vzala do ruky měřítko, úsečku změřila, u 6 cm vyznačila bod S. Od bodu S k bodu B už neměřila. Uhodla, že délka je také 6 cm. Celý úkol správně, bez chyby. Ondra četl delší dobu zadání a přemýšlel, co má vlastně dělat. Změřil úsečku, správně zapsal délku 12 cm. Pak jen tak bez měření libovolně označil bod S, samozřejmě to nebylo přesně uprostřed. Měří délky úseček AS a SB. Bod S gumuje a posouvá asi tak o 1 mm, nevycházela mu totiž celá čísla. Pak znovu měří, úsečka AS měří 4cm, SB 6 cm. Změřeno má správně, špatné je umístění bodu S. Úkol č. 2 Jaruška spojila body FG a EF rýsováním, body GE už spojila kreslením, protože jí tam nešlo dobře přiložit pravítko. Strany změřila správně. Navíc ještě velmi dobře označila u úseček délku strany, tedy měla dobře zápis │EG│, což takhle udělaly jen 4 další děti. Úkol splnila tedy dobře, až na nakreslenou jednu stranu.
19
Ondra měl úkol bez chyby, rýsoval postupně strany GE, FG, EF. Správně změřil. Úkol č. 3 Jaruška se začala na chvíli hrát a nepracuje. Vzpomíná a loví v paměti. Místo názvů těles píše názvy geometrických útvarů, tzn. obdélník, čtverec a trojúhelník. Kužel pojmenovala čepička. Celý úkol tedy špatně. Ondra napsal také obdélník místo kvádru. U krychle napsal čtverec, pro sebe si říkal, že to není ten správný název, nevzpomněl si ale na správný název a čtverec tam ponechal. Jehlan a kužel nazval správně. Úkol měl dobře jen z poloviny, avšak věděl ty těžší názvy. Úkol č. 4 Jaruška začala spojoval názvy a útvary, což měla celé správně. Pak se ptala učitelky, co má vlastně pojmenovat. Učitelka ji poradila, co jsou to vrcholy. Se sousedem se pak ale stejně radila, kam má napsat názvy těch vrcholů. Nakonec šla ještě jednou za učitelkou. Nakonec pojmenovala každý útvar jen jedním písmenem. Po straně si napsala písmena od A až po F, aby věděla, jak jdou po sobě a útvary pečlivě popořadě pojmenovala. Ondra nejdříve pojmenovává geometrické útvary na levé straně, pak spojuje útvary a názvy, což má správně. Nakonec pojmenovává i útvary na pravé straně. Používá jen písmena ze začátku abecedy, od A do J, tudíž se mu písmena hodně opakují. Pojmenoval správně jen dva trojúhelníky, EFG a CHIJ, u ostatních útvarů nedodržoval správný směr pojmenovávání, ani začátek pojmenovávání. Úkol č. 5 Jaruška za výsledky psala správně cm, výsledky 2 špatně (místo dělení násobila). Ondra také psal cm, 1 výsledek špatně. Výsledky prací: (Učitelka opravila jen Jarušku a Ondru, ostatní písemky jsem opravovala já, snažila jsem se podle jejích kritérií), 4x 1 (Helena V., Jolana B., Kateřina T., Martin H.), 8x 1(Bára H., David B., Felix L., Kristýna K., Kryštof S., Pavel D., Tereza B., Vít V.), 4x 2 (Jiří Č., Leona B., Ondra, Václav B.), 1x 2-(Pepa), 1x 3(Jaruška). Chyby: Úkol č. 1: - trochu posunutý bod S, do 0,5 cm (David B.), - dost posunutý bod S, i špatně změřeno (Ondra, Pepa), - nenapsání cm za výsledek (Bára H., Václav B.). Úkol č. 2: - nečisté rýsování ( Felix L., Pavel D., Pepa, Jaruška), - nepřesně spojené body (Kristýna K., Pavel D., Tereza B., Vít V., Jiří Č., Leona B., Pepa), - špatná forma zápisu (Bára H.), - špatně změřeno (Leona B.). Úkol č. 3: - špatný název – kvádr (Leona B., Ondra, Pepa, Jaruška), - krychle (Leona B., Ondra, Jaruška), - jehlan (Felix L., Kryštof S., Jiří Č., Jaruška), - kužel (Felix L., Jiří Č., Václav B., Pepa, Jaruška). Úkol č. 4: - špatný směr pojmenovávání, nesprávný začátek pojmenovávání, přehození pořadí písmen atd. (všichni v různé míře), - malé písmeno jako název vrcholu ( Felix L.), - háčky nad písmeny (Bára H., Tereza B., Leona B., Pepa), - nepojmenování vrcholů (Václav B., svým způsobem i Jaruška). Úkol č. 5:
20
-
špatný 1 výsledek (Pavel D., Tereza B., Leona B., Ondra), špatné 2 výsledky (Jaruška), zapomenutá jednotka cm u 1 příkladu (Pepa)
3.6 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. A ze dne 15. 9. 2006 Už máme září a ze 2. A se stala 3. A. Je první hodina geometrie v tomto školním roce. Nejdříve si zopakují, co brali ve 2. třídě. Začínají s tím, jak se vyznačí bod. Martin jde na tabuli vyznačit bod: + Učitelka se ptá zda to takto stačí. Děti správně říkají, že by tam mělo být ještě velké tiskací písmeno. Další dítě jde tedy na tabuli bod pojmenovat. + A Dále učitelka zjišťuje, jaké by měly být pomůcky na geometrii. Tereza si vzpomněla na pravítko, další žák na mikrotužku. Učitelka souhlasí a říká, že může být i ořezaná tužka. Dále se ptá, jaká jsou pravítka. Děti ale neví, tak říká sama, že je třeba dlouhé, nebo trojúhelník, říká se mu pravítko s ryskou. Děti správně říkají, že když něco potřebujeme změřit přesně, tak potřebujeme měřítko. Na otázku, jak by se mělo při geometrii pracovat, učitelka slyší, že by to mělo být přesně. Dále někdo říká, že to může trvat déle abychom se více snažili. Učitelka dále vysvětluje, že když se spleteme, tak to můžeme vygumovat, ptá se jak. Děti odpovídají pečlivě. Učitelka souhlasí a dodává, že je důležité, aby byl čistý papír. Kromě bodu si zopakují i čáry. Nejprve chce vědět, jaký je rozdíl mezi kreslením a rýsováním. Vítek neví, někdo místo něj říká, že pravítkem se rýsuje, normálně rukou je to kreslení. David má jít k tabuli, a nakreslit lomenou čáru:
Terezka je nakreslit křivou čáru:
Učitelka ukazuje na lomenou čáru, kterou kreslil David. Vysvětluje, že na tuhle lomenou čáru se dá navazovat, může na ní ještě dál pokračovat. Té se říká lomená čára otevřená, když už na ní nejde navazovat, je to lomená čára uzavřená. Tohle je tedy lomená čára uzavřená:
21
Dále vysvětluje, že totéž platí i pro čáru křivou. Terezka nakreslila křivou čáru otevřenou, Pepa má jít nakreslit uzavřenou křivou čáru:
„Tak, to je čára uzavřená, dál ji už nemůžu rozšířit, rozumíte tomu?“ Většina souhlasí. Učebnice na straně 7 (viz 10.2.1 Příloha č. 6), cvičení č. 1. Učitelka komentuje, co vše v učebnici vidí, tedy vyznačený bod A, čára rovná, lomená otevřená, lomená uzavřená, křivá otevřená a křivá uzavřená. Knížku si mají nechat otevřenou, zavedou si sešity na geometrii otevřít si na první stránku, doleva nahoru tužkou dnešní datum. Do sešitu budou dělat 6 různých úkolů podle učebnice v úkolu č. 2. První cvičení je, aby do sešitu nakreslili body A, B a C. Ondra správně: + B + A + C Jaruška nakreslila nejdříve všechny tři body, nakonec je teprve zase všechny pojmenovala. Martin S. udělal bod takhle x a učitelka se ptá, zde je to dobře, děti odpovídají ne. Teď budou potřebovat pastelky. Pokračují do sešitu pod první úkol. Druhé cvičení zní nakreslit červeně 3 rovné čáry. Jaruška: Ondra:
22
Cvičení třetí, tedy c). Jeden žák jde k tabuli ukázat lomenou čáru. Jaruška: Ondra:
Dále mají za úkol nakreslit 2 křivé otevřené čáry. David jde na tabuli ukázat nejdříve lomenou otevřenou čáru. Jaruška (trvá jí to déle): Ondra (rychle a správně):
V dalším cvičení, e), mají hnědou pastelkou nakreslit jednu uzavřenou lomenou čáru a bod D, který na ní leží. Jaruška jde nejprve na tabuli ukázat uzavřenou lomenou čáru. Jaruška: Ondra:
D + D
23
Učitelka znovu říká zadání, mají si nakreslit uzavřenou lomenou čáru, vyznačit si na ní bod D. Učitelka sleduje, že tápou, Kristýna to má tedy jít zkusit na tabuli, má to správně. Poslední cvičení mají zkusit už sami. Jaruška (opět stejná chyba): Ondra:
+E
E
Za úkol číslo 3 si děti mohou vysloužit jedničku. Kdo najde poklad, má to přinést ukázat učitelce. Děti nosí učitelce ukazovat, jen málo jich to uhodlo správně, většina špatně, byli jen tři jedničky. Učitelka tedy úkol vysvětluje. Ptá Ondry, kde myslí, že poklad je. Ondra: „druhý řádek vpravo“ (pak si ale myslel, že je to nahoře druhý z leva). Pak učitelka vyzvala Jarušku, ta ukázala správně. Nyní jsou na řadě pracovní sešity na straně 3 (viz 10.3.1 Příloha č. 12). Nejdřív mají barevně obtáhnout a pak zakroužkovat 1 písmenko, bude to na známky. Jaruška: červeně b, modře c, modře e, zeleně d, zeleně a, kroužkuje a. (měla kroužkovat b). Ondra: červeně b, přemýšlí, modře a, „Je to mam špatně“, modře c, modře e, teď si to gumuje, opravuje zeleně a, zeleně d. Výsledky práce v pracovním sešitě: 10x 1 (Leona B., David B., Jolana B., Jiří Č, Pavel D., Martin H., Kristýna K., Kateřina T., Vít V., Helena V.), 3x 1- (Josef K., Ondra N., Jaruška R.), 1x 2 (Tereza B.). Chyby: - lomená čára označena jako křivá (Tereza B.), - křivá čára označena jako přímá (Tereza B.), - nezakroužkování nejkratší cesty (Tereza B., Ondra N.), - za nejkratší cestu zvolena lomená čára (Josef K., Jaruška R.).
3.7 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. A ze dne 18. 9. 2006 Dnes opakují další učivo z loňského ročníku. Učitelka říká, že něco nakreslila na tabuli, chce vědět co to je. Hlásí se tak půlka, pak téměř všichni. Jedno dítě vyvolá, a to neví, Helena říká správnou odpověď úsečka AB. Dále se ptá co je to úsečka. Někdo si moc neví rady: „úsečka je na…. „(neví). Další vyvolaný už říká správně, že úsečka je rovná čára ohraničena 2 krajními body. Dále se ptá, čím je označím. Někdo špatně odpovídá, že dvěma krajními body. Pak už správně někdo jiný, že velkým tiskacím písmenem. Učitelka souhlasí s tím, že úsečku označíme velkými tiskacími písmeny. Podle toho se ta úsečka jmenuje. Teď nakreslila učitelka něco jiného a ptá se, zda je to také úsečka.
A
B
24
Lea odpovídá ano. Učitelka nesouhlasí a znovu se ptá, co že je to ta úsečka. Dostane správnou odpověď, že úsečka je rovná čára ohraničena 2 krajními body. Ptá se jaká je tohle čára. Odpověď křivá. Dále se ptá, zda můžeme úsečku nakreslit, Ondra odpovídá ano. S tím také učitelka nesouhlasí, chce vědět, co potřebujeme pro rýsování. Slyší správně pravítko. Učitelka opět něco udělá na tabuli a ptá se co.
A
D
BF
+ C Dítě odpovídá, že bod. To však učitelce nestačí, chce vědět jaký. C, neleží na úsečce, odpovídají děti. Dále děti říkají, že bod D leží na úsečce, bod F neleží. Učebnice na straně 8 (viz 10.2.2 Příloha č. 7). Je zde úsečku AB, učitelka chce vědět, jak se postupu při rýsování úsečky, co nejdřív. Martin myslí, že je potřeba narýsovat rovnou čáru. Učitelka souhlasí a chce vědět co dál. Jirka: „Pak dva krajní body.“ Učitelka se ptá, zda může udělat oba najednou. Děti správně ano. Také vysvětlují, že to nemůžou udělat, když rýsují úsečku určité délky. Učitelka chce vědět od dětí postup. Někdo tedy odpovídá: „Udělám jeden krajní bod, pak si vezmu měřítko, u čísla udělám čáru a pak ho pojmenuji. Třeba CD.“ Dále se učitelka ptá na poslední obrázek v úkolu č. 1, zda je to úsečka. Kristýna správně říká, že není, že je to lomená čára. Úkol číslo 2. Martin vidí na obrázku A přímou čáru, to není dobře, další dítě ho opravuje, je to úsečka MN. Bára neví, co je na obrázku B, Martin říká, že tam jsou úsečky K a A, AL a KL. Učitelka souhlasí, ale prý by to řekla trochu jinak. Terezka: „úsečka KL a na ní leží….úsečka KA.“ Pak někdo správně doplňuje, že jde o úsečku KL a na ní leží bod A. Pavel správně popisuje obrázek C, je tam úsečka AB a bod C, který neleží na úsečce. Martin S. komentuje obrázek D, je zde křivá čára CD. Další komentář k obrázku E, křivá čára AEB. Terezka má popsat obrázek F, začíná se slovem úsečka… neví. Moc si s tím děti nevědí rady. Nakonec Jirka správně lomená čára ABCDEF. Úkol číslo 3. Vítek zde správně vidí lomenou čáru ABCDEFGH. Učitelka souhlasí, a přidává, že kdyby ji rozdělila na jednotlivé úseky, tak vzniknou úsečky. Jirka má jít na tabuli zapsat první vzniklou úsečku:
Učitelka tedy musí upozornit, že ji nechce nakreslit, ale zapsat její název. Jirka: AB. Takto postupně chodí děti k tabuli zapisovat, Kristýna, Leona, Krištof, Terezka, Martin S., Martin. Cvičení číslo 6, mají si připravit tužku. Na novou stránku do sešitu na levou stranu datum (Ondra píše datum na pravou stranu). Cvičení mají splnit sami, sami si zadání přečíst, můžou to udělat na celou stránku.
25
Ondra (dlouho čte zadání):
Jaruška: + M
M A
A
+ L
B L B
Oba dva mají stejnou chybu – bod L měl ležet na úsečce, myslím ale, že je to hodně způsobeno stylem zadáním – působí nejasně. Dále učitelka rozdává papírek mají na něj odpovědět písmenky úkol č. 4. Jaruška nejprve začala rýsovat přímou čáru, pak ji vygumovala. Obkreslila přesně ze zadání úsečku i s body a tak to odevzdala. Ondra napsal AB, BC, CD, DE – toto škrtnul, otočil papír na druhou stranu a začal znovu přemýšlet nad zadáním. Pak napsal AC, CB, BD, CD (to opravil na CB, nakonec na AB), AC a CE. Další dva úkoly nesplnil. Učitelka říká, že ji nenapadlo, že se s tím budou tak trápit. „Leonko, jaké všechny úsečky tam vidíš?“ Leonka: „AC, AB, AD, CB, BD a CD.“ Dále se ptá, jaké body leží na úsečce AB, správná odpověď C. Kristýna říká správně body E a D, ty neleží na úsečce AB. Na řadě je práce s pracovním sešitě na straně 3 (viz 10.3.1 Příloha č. 12). Úkol číslo 2. Jsou to čtyři úkoly a mají na to prostor pod zadáním. Jaruška: Ondra: a) správně a) správně A C
A
B
C
b) kreslila, ale učitelka řekla, že nevadí, jestli budou kreslit + L M
B
b) velmi pomalé tempo
N O
P L
c) Jaruška začala nejdříve kreslit lomenou čáru, učitelka jí řekla, že tohle ale není křivá čára, že je lomená, pak si to opravila
c)
26
d)
d) ošklivě narýsováno E E
J
J K
F
K L
Výsledky práce v pracovním sešitě: 1x 1 (Helena V.), 9x 1- (Leona B., David B., Jolana B., Jiří Č., Martin H., Josef K., Kristýna K., Kateřina T., Vít V.), 2x 2 (Tereza B., Pavel D.), 1x 2 (Kryštof S.), 2x 2- (Ondra N., Jaruška R.). Chyby: Cvičení a): - čára přerušena (Jaruška R.). Cvičení b): - nepojmenování čáry (Ondra N)., - čára kreslena (Josef K., Kristýna K., Ondra N., Vít V.), - nevyznačení bodu L (Jiří Č.), - bod L vyznačen na lomené čáře (Ondra N.), - nepřesně zlomy lomené čáry (Tereza B., Martin H.), - body lomené čáry byly oblom (Leona B.),
M -
N
O
P
špatně vyznačeny body na lomené čáře (David B., Jolana B., Pavel D., Kristýna K., Jaruška R., Kryštof S., Kateřina T.),
N
-
P M O ve zlomech ještě navíc vyznačeny body (Josef K.).
Cvičení c) - nenakresleno jedním tahem, dvojitá čára, nevzhledné (Pavel D.). Cvičení d) - cvičení chybí (Kryštof S.), - úsečka narýsována nevzhledně, asi ujela ruka (Tereza B., Ondra N.), - úsečka přerušena (Pavel D.).
27
3.8 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. A ze dne 25. 9. 2006 Učitelka rozdává dětem čtverečkované papíry. Kreslí na tabuli čtverec. Kačka ho správně nazvala, poznala to podle toho, že má všechny strany stejně dlouhé. Učitelka vysvětluje, že na čtverečkovaném papíře to poznáme tak, že si můžeme spočítat, kolik čtverečků má jedna strana. Každý si má na papír nakreslit čtverec, kdy každá strana bude mít stejný počet čtverečků. Děti správně říkají, že ho mohou pojmenovat velkými tiskacími písmeny, konkrétně ho nazvali ABCD. Učitelka ukazuje na stranu AD a ptá se co to je. David odpovídá úsečka AD, což není úplně špatně, učitelka upřesňuje otázku tím, že zdůrazňuje, že myslí konkrétně u toho čtverce. Někdo odpovídá, že strana, učitelka souhlasí, ukazuje postupně všechny strany a říká, že to jsou strany. Ptá se, kolik jich čtverec má, správná odpověď 4. Děti o nich vědí, že jsou stejně dlouhé, že strany čtverce tvoří úsečky, u tohoto konkrétně AB, BC, CD, DA. Mají je vypsat na papír. Ondra nepíše názvy stran, ale délky úseček, tedy stran: │AB│. Dále se učitelka vyptává na vrcholy, ty jsou zase 4. Děti správně říkají, že zde jsou to A, B, C, D. Mají si je také napsat na papír. Učitelka ukazuje na strany AB a BC, ptá se, jak se jim říká. Dítě správně říká sousední. Ondra správně odpovídá, že mají společný vrchol B. Učitelka s ním souhlasí, patří straně AB i BC. Dále se ptá, zda jsou sousední strany DC a AB. Nejsou. Chce vědět, jaké jsou, správná odpověď protější, dále že nemají společný vrchol. Také se učitelka ptá, zda jsou nějaké vrcholy sousední. Sama říká, že C a D, Jaruška zmiňuje D a A, Lea B a C. Další otázka, zda jsou sousední vrcholy B a D, kde leží. Správně slyší, že jsou protější. Chce slyšet ještě další protější vrcholy, tedy AC. Nakonec se učitelka ptá, zda se jim toto zdá těžké, většina tvrdí, že ne. Teď mají děti zkusit nakreslit obdélník, nazvat ho MNOP. Ondra: Jaruška (dobře, jen trochu oba prohozená písmenka): O
M
P
M
N
N
O
P
Teď si mají děti vzít modrou a zelenou pastelku, jimi označit protější strany, jednu dvojici modře, a druhou dvojici zeleně. Jaruška nejprve obtáhla písmenka, pak už ale úkol splnila dobře. Ondra také obtáhl písmenka, pak nakreslil jednu úhlopříčku modře, druhou zeleně. Jakoby protější body pospojoval. Dále mají pod obdélník napsat slovo vrcholy: a pojmenovat je. Jaruška napsala – vrcholy: M, N, O, P. Ondra to samé, ale bez čárek, navíc ještě čekal, až to Leona začala psát na tabuli. Dále mají zakroužkovat žlutě společný vrchol stran MN a NO. Ondra správně kroužkuje N, Jaruška špatně M. Dále dostaly děti za úkol na papír nakreslit trojúhelník, bude se jmenovat KLM. Pod něj napsat slovo strany: a doplň číslo, kolik jich je, také tak vrcholy. Jaruška: Ondra: Strany: K, L, M Strany 4 K L M Vrcholy KM, LM, KL Vrcholy 4 KLM
28
Na řadě je práce s učebnicí na straně 12 (viz 10.2.3 Příloha č. 8), zde je Ferdova hádanka. Terezka i Kristýna tam vidí 5 čtverců. Kdo zvládne odebrat dvě párátka tak, aby zbyli dva čtverce, se má hlásit, dostane jedničku. Lea to splnila správně (přeškrtané odebrala):
Na konec hodiny práce v pracovním sešitě na straně 5 (viz 10.3.2 Příloha č. 13) Úkol číslo 2. Mají si vzít tužku a spojit body tak, aby vznikl čtverec IJKL, spojte to podle pravítka. Udělejte také obdélník i trojúhelník. Jaruška rýsuje tak, že pravítko je nahoře, tužka dole. Spojuje IJ, JK, KL, pak LI už dokreslila, byla pozadu. Obdélník dobře, trojúhelník BHG. Ondra první dva dobře, místo trojúhelníku narýsoval čtverec, dokonce jeden bod nebyl v učebnici, jeho místo se vymyslel. Výsledky práce v pracovním sešitě: 5x bez chyby (Jakub D., Martin H., Daniela M., Martin S., Vít V.), 12x bez chyby ale v různé míře nevzhledné, nepřesné spoje bodů, dvojité čáry, nedotahy či přesahy apod. (Tereza B., Leona B., David B., Jolana B., Václav B., Jiří Č., Pavel D., Bára H., Kristýna K., Felix L., Kateřina T., Helena V.), 3x jedna chyba (Josef K., Ondra N., Jaruška R.). Chyby: - místo trojúhelníku nakreslen čtyřúhelník (Josef K., Ondra N.), - přidělán jeden bod, který v obrázku není zakreslen (Jaruška R.).
3.9 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. A ze dne 5. 10. 2006 Dnešním tématem je opakování měření úseček, k tomu vedou dvě cesty. Učebnice na str. 15 (viz 10.2.4 Příloha č. 9). Zatím má učitelka podobné úsečky, jako jsou v učebnici, narýsované na tabuli. Jolana správně říká název první úsečky, AB. Jaruška odpovídá, že se dá změřit měřítkem. Učitelka souhlasí, a dodává, že ji také můžeme porovnat. Dále se ptá na název druhé úsečky, CD. Ptá se, jak zjistíme, která úsečka je delší. Připomíná, že první způsob je takový, že si vezmeme měřítko a úsečky změříme. Ptá se na postup měření. Jaruška: „Dáte nulu na A a konec dáme na úsečku….“ Ne, tak ne, říká učitelka, u bodu se nám ukáže co? Někdo správně říká, kolik to měří. Takto se změří úsečky AB a CD. Děti správně říkají, že úsečka AB je větší. Jiří jde k tabuli zapsat délku úsečky AB. │AB│ = 33 cm. Někdo další jde k tabuli zkusit úsečky porovnat. Nejprve zapsal │AB│ V │CD│, pak to smazal a zapsal správně │AB│ > │CD│. Dále se učitelka ptá, jak bychom je porovnali, kdybychom neměli měřítko. Ozývá se, že odhadem. S tím učitelka sice souhlasí, ale ptá se dál, kdybychom si chtěli být jisti. Nikdo však neví. Učitelka tedy vysvětluje, že to lze proužkem papíru, na ten si přeneseme délku úsečky AB, ptá se co dál. Také nikdo neví, tak doplní, že přiložíme ke krajnímu bodu a označím druhý bod a vidím rozdíl. Nyní konečně práce s učebnicí. Budou zkoušet pracovat s proužkem papíru. Ondra si přeměřuje pravítkem úkol číslo 1, kde je ukázka, přesvědčuje se. Úkol číslo dvě. Učitelka se
29
ptá, které 3 úsečky tvoří strany trojúhelníku ABC. Děti to mají jít zapsat na tabuli. Kristýna píše zeleně AB, Jaruška píše červeně BC, někdo další píše modře CA. Děti si také mají vzít zelenou, červenou a modrou pastelku. Každý dostane proužek papíru. Délku strany AB si na něj mají vyznačit zeleně, červeně BC a modře CA. Ondra si pro sebe porovnává AB a BC „To je tak aspoň centimetr.“ Děti si mají pod sebe dát papírky tak, aby pod sebou byli vždy první krajní body. Ptá se, která strana je nejdelší. Slyší správnou odpověď, zelená, což je AB, nejkratší CA a prostřední BC, červená. Následuje kontrola měřítkem. Kryštof naměřil úsečku AB dlouhou 6 cm a 3 mm, učitelka se diví, kde vzal ty 3 mm, nakonec říká tedy 6 cm. Kryštof jde zapsat na tabuli AB – 6cm, další dítě BC – 4 cm, Martin AC – 3 cm. Jaruška neměřila, Ondra si přeměřoval papírky a ne trojúhelník. Kačka jde k tabuli, má porovnat délky úseček AB a BC: │AB│ > │BC│ (znak je větší napsala naposledy). Následuje Ferdova hádanka. Děti si mají představit spojnici mezi domečkem a lesem, brát to jako úsečku, nulu přiložit ke značce domečku, kouknout se kolik cm vychází. Martinovi 7 cm. Takto stejně mají tedy změřit i cestu od domečku k žabce a ke šnekovi a tak zjistit, která cesta je nejkratší. Děti reagují, že jsou tam dvě stejně dlouhé, dvě kratší než ostatní. Nejdelší je od domečku k žabce, 11 cm. Pracovní sešity na straně 7 (viz 10.3.3 Příloha č. 14). Děti budou pracovat sami na známky. 1. obrázek si ještě udělají ale společně. Učitelka se ptá, kterou stranu si změří jako první. Leonka odpovídá AB. David naměřil 3 cm. Učitelka radí, že na 1. linku si mají děti zapsat │AB│ = 3 cm. Pak se ptá na další postup. Pavel odpovídá, že je tam také CD. Děti správně odhadly, že ji nemusí měřit, protože čtverec má všechny strany stejně dlouhé. Učitelka ještě dětem připomíná, jak porovnáváme délky stran, jaká znaménka děláme. Učitelka se vyptává, jaké znaménko má mezi │AB│ │BC│ udělat < > =? Jirka říká, že rovná se. Postupně se učitelka ptá u všeho, všude je =. Učitelka reaguje, vidí že se dětem vše do řádků nevejde, tak v dalších úkolech nemusí psát cm, jen ty strany porovnat. Raději dětem ještě pomáhá s obdélníkem EFGH. „Kolik vám vyšla strana EF?“ Prý 2 cm. Také se ptá na FG a děti mají rovnou ty strany porovnat. │EF│ │FG│, jakou značku tam mám vložit? Barča píše na tabuli |GH| < |EH|. Dětem zbyly vypracovat tři trojúhelníky, je to na známky. Učitelka pomáhá Ondrovi ještě s 1. trojúhelníkem, stále totiž nevěděl, co s tím. Proto mu to šlo pak celkem dobře, ze začátku ale nevěděl, co má dělat. Výsledky práce v pracovním sešitě: 6x 1- (David B., Jakub D., Martin H., Felix L., Ondra N., Martin S.), 7x 2 (Tereza B., Leona B., Jiří Č., Pavel D., Kristýna K., Kateřina T., Vít V.), 2x 3 (Jolana B., Daniela M.), 1x 4 (Václav B.), 2x 5 (Bára H., Jaruška R.). Chyby: - v různém počtu chybí porovnat strany (Tereza B., Leona B., Jolana B., Václav B., Jiří Č., Pavel D., Bára H., Josef K., Kristýna K., Felix L., Daniela M., Ondra N., Jaruška R., Martin S., Kateřina T., Vít V.), - chybné porovnávací znaménko (David B., Jolana B., Jakub D., Felix L., Jaruška R., Kateřina T.), - občas chybí jedna část značky, př. │AB (Martin H.).
3.10 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. a ze dne 28. 2. 2007 Třída 3. A má po dlouhé době geometrii. Opět sedím poblíž Jarušky a Ondry. Učitelka se na začátku hodiny ptá, zda mají všichni připravenou učebnici, v penálu mikrotužku, ořezávátko, tužku, gumu, trojúhelník, zdůrazňuje, že to malé pravítko nestačí, to je na podtrhávání. Dále říká, že mají po dost dlouhé době geometrii a budou probírat něco nového, co ještě neznají. Nejdříve se však bude opakovat. Co to je?
30
Děti říkají, že je to přímá čára, nebo že se jí také říká rovná. Učitelka kreslí dál.
Ondra ji pojmenovává jako vlnovka. S tím učitelka nesouhlasí, znovu se ptá, co to je za čáru. Pak slyší správnou odpověď, že je to křivá čára. Také říkají, že ji nenarýsovala, ale nakreslila. Martin správně odpověděl, že se rýsuje pravítkem.
Dítě říká správný název lomená čára. Dále se učitelka ptá, jak ji vytvořila. Ondra odpovídá, že je narýsovaná.
Učitelka slyší správně, že teď nakreslila lomenou čáru. Dále vytváří na tabuli. + Ondra správně odpovídá, že je to bod. Další dítě správně říká, že se značí křížkem, dále že je pojmenovává velkým písmenem, další doplňuje tiskacím. Na otázku, jak by mělo vypadat, odpovídá Martin, že bychom to měli napsat co nejkrásněji. Učitelka ještě vyznačila jeden bod. + B
+ C
31
Dále se učitelka ptá, jak si má postavit pravítko, když ty body chce spojit. Ondra odpověděl, že doprostřed křížku, dále Vítek odpovídá, že se rýsuje podlé té nejdelší strany. Učitelka tedy spojila oba body a narýsovala úsečku BC. Jirka ji správně pojmenoval. Martin odpověděl, že úsečka je přímá čára ohraničená dvěma krajními body. Kačka šla ukázat, odkud kam úsečka vede (ukázala na oba dva body). Učitelka tedy okomentovala, že až sem to všechno umí. Poté učitelka podává otázku, co bychom měli dělat, když bychom chtěli narýsovat úsečku dlouhou 4 cm, co nejdřív? Někdo by chtěl nakreslit, po opravě narýsovat 1 bod. To se učitelce nelíbilo, prý je nejdříve potřeba narýsovat dostatečně dlouhou čáru. Terezka by pak měřila měřítkem, učitelka ale odpovídá, že ještě ale nemá co měřit. Jaruška správně doplňuje, že je potřeba vyznačit body. Ondra by udělal 2 tečky a změřil 4 cm. Felix nakonec říká správnou variantu, že je potřeba vyznačit jeden krajní bod. Danča doplňuje, že pak budeme potřebovat měřítko, protože je přesné a dáme ho ke krajnímu bodu. Další dítě říká, že druhý bod vyznačíme tam, kde měřítko ukazuje 4 cm. Dále že nezapomeneme bod pojmenovat. Učitelka dále tvoří na tabuli. + I Jirka říká správně bod I. + J
Jaruška správně odpovídá bod J.
I
J
Kristýna odpovídá, že učitelka nyní spojila body I a J, aby vznikla úsečka IJ. Učitelka obrázek komentuje, že čára prochází napravo i nalevo, a že by ji klidně mohla prodloužit, ptá se jak daleko. Dítě správně tuší, že do nekonečna. Učitelka doplňuje, že ta úsečka by tam byla pořád vyznačená. Nyní učitelka vysvětluje novou látku. Přímka není ohraničena žádnými body, pojmenovává se malým psacím písmenem. Tato se bude jmenovat třeba b.
I
J
b
Toto je tedy přímka b, kterou prochází body I a J. Učitelka se dětí ptá, zda přímka může procházet i více body. Děti odpovídají, že asi ano. Prý může procházet několika body, klidně až do nekonečna. A ani nemusí procházet žádnými body, říká učitelka.
32
a Učitelka se ptá, co narýsovala teď. Tereza správně odpovídá, že přímku a. Nyní si rozdávají sešity na geometrii, mají si připravit mikrotužku, trojúhelník a učebnici na str. 29 (viz 10.2.5 Příloha č. 10). Do sešitu si mají napsat tužkou dnešní datum a nadpis Přímka. Učitelka se ptá na názvy toho, co rýsuje na tabuli, je to obdoba úkolu 1 na straně 29.
o
Jaruška správně nazývá přímku o.
A
B
Dítě odpovídá, že je to přímka AB. Učitelka říká, že i tak se to dá pojmenovat, nebo také přímka procházející body A a B.
p
Jaruška odpovídá, že jde o přímku p.
C
D
Martin H. říká, že je to přímka CD, nebo přímka procházející body C a D. Dále se učitelka ptá, co ukazuje teď (ukazuje od bodu k bodu). Děti odpovídají, že úsečku AB a úsečku CD. Takže je rozdíl v tom, že úsečka je od bodu k bodu, a přímka body prochází. Nyní práce s učebnicí na str. 29, úkol č. 2 (viz 10.2.5 Příloha č. 10 - učebnice str. 29). Učitelka se ptá, co děti vidí na obrázcích. Ondra vidí na prvním obrázku přímku (špatně), Vítek úsečku MN (správně). Na druhém obrázku správně vidí Jirka křivou čáru MN. Třetí obrázek komentuje Helena. Vidí přímku, která prochází… učitelka chce přímku jmenovat. Přímku m, která prochází body MN. Na čtvrtém obrázku vidí Jaruška úsečku, po té přímku,
33
která prochází…, vlastně ne, lomenou čáru. Kristýna doplňuje, že se lomená čára jmenuje MNOP. Podle Martina se dá rozdělit na přímé čáry, po opravě na úsečky. Děti jednotlivé úsečky jmenují, MN, NO, OP. Učitelka se ptá, zda by šla i úsečka MP rozdělit. Všichni odpovídají ano. „Ale ne, to by musela být rovná čára, tahle je lomená“, říká učitelka. Úkol číslo 3. Učitelka se ptá, co uděláme nejdříve. Kačka by narýsovala přímku. Jiné dítě pak správně říká, že se vyznačí body C a D. Učitelka tedy nabádá děti, aby si vzaly mikrotužku a vyznačili body C a D. Teď se ty body spojí. Jaruška rýsuje sice po té nejdelší hraně trojúhelníku, kterou má ale směrem dolů. Přímka je navíc hodně krátká, za body téměř nepokračuje, na jedné straně ji tedy prodlužuje. Učitelka se ptá, jak se ta přímka bude jmenovat. Někdo odpovídá, že CD. Na to někdo, že ne ne, že c. Nyní se ptá učitelka, kdo by takový úkol už zvládl sám. Ondra kroutí záporně hlavou. Úkol číslo čtyři dělají tedy ještě společně. Nejprve se mají vyznačit body J a K. Jaruška rýsuje stále špatně, trojúhelník má špatně položený. Učitelka se ptá co nám ještě chybí. Martin odpovídá, že přímka. A jaké je označení? Odpověď j. Jaruščina přímka vypadá spíše jako polopřímka, na jedné straně končí hned za bodem, na druhé straně je trochu delší. Ondra narýsoval nejprve úsečku, pak prodloužil na přímku. Učitelka se znovu ptá, jestli už vědí, jak na to. Většina se hlásí, jako že ano. Úkol číslo pět už tedy dělají samostatně. Učitelka se ptá Jarušky, kde má mít ten trojúhelník, že ho má špatně položený. Jaruška nějak nechápe, co se po ní chce. Učitelka jí tedy dá trojúhelník na sešit správně. Jaruška narýsovala úsečku RS, na jedné straně opět byla přímka o něco prodloužena, takže to nakonec vypadalo jako polopřímka. Při podtrhávání úsečky jí ujela pastelka z pravítka, nakonec pojmenovala přímku, už to vypadalo, že na to zapomene. Ondra narýsoval přímku moc pěkně, pak mu ale moc nešlo trefit se zelenou pastelkou na pravítko, nakonec to ale dopadlo celkem dobře. S dalším úkolem číslo 6 měly problém přečíst zadání. Nemohly si vzpomenout, jak přečíst│AB│, nakonec si někdo vzpoměl, že délka úsečky AB. Učitelka děti nabádá, ať zatím nic nedělají, že teď bude jiný postup. Mají si dát pozor, protože nejdříve musí narýsovat úsečku dané délky. Co je potřeba udělat nejdříve? Někdo správně říká, že se musí narýsovat dostatečně dlouhá čára. Jaruška ji zvládla narýsovat, za to Ondra ji narýsoval hodně krátkou, což si uvědomil, prodlužoval ji a dostatečně dlouhá čára je ošklivá. Nejprve by tedy děti správně vyznačily krajní bod A, Jaruška by pak hned značila druhý bod, po napomenutí se opravuje – změříme 4 cm. Což také není podle učitelky úplně správná odpověď. Ondra změřil 4 cm a gumuje přesahující nastavenou čáru. Učitelka se ptá, jestli budeme muset ještě něco rýsovat. Jaruška: „Mezi to A a B uděláme přímku c. Myslím, že za bodem B to nazveme c.“ Učitelka na to říká, že my tu přímku nazveme c. Už jí tam máme? Děti odpovídají, že ano. Tereza ji má jít ukázat na tabuli, ale neví. Ondra ukazuje správně přímku i úsečku.
3.11 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. a ze dne 1. 3. 2007 Dnes není ve škole Jaruška, sedím tudíž poblíž Ondry a jeho souseda Pepy. Z počátku hodiny je pětiminutovka na násobení a dělení. Poté se učitelka ptá, co se včera v geometrii naučili. Prý přímku. Kryštof jde na pokyn učitelky k tabuli vyznačit bod B, Helena bod C. Teď ty body mají spojit, učitelka se ptá, co k tomu potřebují, odpověď pravítko. Další otázka odkud kam se rýsuje, odpověď z leva doprava. Dále se učitelka ptá, co je to úsečka. Danča neví. Martin správně odpovídá, že úsečka je přímá čára ohraničena dvěma krajními body. Terezka jde k tabuli vyznačit úsečku BC. Martin S. správně odpovídá, že úsečka vede od bodu B k bodu C. Dále se učitelka ptá, zda je na tabuli ještě něco. Přímka. Učitelka chce vědět, jak se označuje. Správná odpověď, malé psací písmeno. Jirka ji jde pojmenovat b. Učitelka děti upozorňuje, aby si všimly, že ji pojmenoval vpravo dole. Dále chce učitelka vědět, zda
34
můžeme o té přímce ještě něco říct. Ondra správně odpovídá, že prochází body C a B, učitelka ho jen upozorňuje, že se písmena říkají podle abecedy, tedy že prochází body B a C. Pracovní sešit na str. 16. Úkol zní narýsovat body M, N a O a přímku m procházející bodem M, přímku n, procházející bodem N a přímku o procházející bodem O. Učitelka napovídá, že mají nejprve narýsovat 3? Děti odpovídají správně body, a to M, N a O. Pepa rýsuje bod podle pravítka. Ondra napsal nejprve písmeno, pak teprve křížek. Pepa spěchal a narýsoval:
M
N
O
Učitelka dále komentuje postup práce. Nyní tedy narýsují přímou čáru, aby procházela čím? Ondra odpovídá, že body M, N a O. „Ne, dávej pozor, teď rýsujeme přímku m.“ Ondra tedy už správně, aby procházela bodem M. Ondra celý úkol udělal dobře, akorát jedna přímka mu utekla od pravítka a je křivě. Kristýna dělala úkol na tabuli:
M
m
Učitelka: „No počkej, ona jím prochází.“ Kristýna tedy přímku protáhla i na druhou stranu. Pepa podle souseda zjistil, že to má špatně a vygumoval mezery, doplnil označení přímek, přímku n nazval velkým tiskacím N:
m M
N N
o O
Druhý úkol zní narýsovat přímku a procházející body A a B. Učitelka říká, že tohle už dělali několikrát, tak ať to zkusí sami. Ondra správně vyznačil bod A, ale udělal X místo +, hned si to ale opravil, další bod B. Narýsoval čáru procházející body A a B, byla zase ale moc krátká, vypadalo to jako úsečka, pak přímku prodlužoval, bylo vidět jak je to nastavované. Gumoval, předělával, je to velmi upatlané. Ondra pracuje na úkolu velmi pomalu, ale ví co má dělat, má problém s čistotou práce. Pepa si se zadáním nevěděl moc rady. Vyznačil body, pojmenoval je ale nad nimi. Body spojil stylem něco mezi rýsováním a kreslením. Pak přímku ještě prodloužil. Nakonec učitelka vysvětluje správný postup, Leonka učitelce pomáhá, ví co s tím. Pepa podle návodu dodělává, do té doby si nevěděl rady. Děti si mají přečíst zadání úkolu číslo 3. Učitelka se dětí ptá, co od ní budou potřebovat, správně odpovídají, že měřítko. Martin H. správně přečetl v zadání zápis délka úsečky │CD│= 5cm. Na otázku co je nejdříve potřeba udělat, se dostalo učitelce špatné odpovědí, že bod C. Až po té správná odpověď čáru. Učitelka dodala, že je potřeba narýsovat dostatečně dlouhou přímou čáru. Ondra i Pepa jí narýsovali pěkně. Dále děti správně odpovídají, že mají vyznačit bod C. Dále mají vyznačit bod D vzdálen 5 cm od bodu C. Ondra přiložil měřítko, nad číslicí 5 si vyznačil tečku, kterou znovu přeměřil, zda je ve správné vzdálenosti. Pak dodělal v místě tečky bod D. Učitelka se dále ptá, zda budou děti ještě něco rýsovat. Odpovídají že ne, budou značit přímku c. Dále mají barevně označit úsečku CD. Pepovi to trochu přesahuje přes bod D. (Ondra si teď opravuje 2. úkol, kde zlepšuje barevné vyznačení AB, je to ale potom upatlané.)
35
Nyní 4. úkol. Učitelka se dětí ptá, zda už někdo hrál kulečník. Kladně odpovídají dvě děti. „Co musíte nejdříve udělat?“, ptá se učitelka. Děti odpovídají, že musí narýsovat přímou čáru, a ne jednu, ale čtyři. Učitelka to chce upřesnit, co povede od koule, co se bude rýsovat, a co tu přímou čáru prodlouží. Děti odpovídají, že čára prodlouží to tágo. Učitelka tedy dovysvětluje, že děti si mají vzít jednu barevnou pastelku, trojúhelník přiložit k tágu Láďa, čára se s tágem musí krýt a protáhnout až za kouli k okraji kulečníkového stolu. Učitelka se ptá, zda se Láďa strefí, děti správně odpovídají, že ne. Ondrovi čára trochu ujela. Dále Kačka správně odpovídá, že Mirek se také netrefí. U dalšího tága Ondra přiložil trojúhelník, nemusel ani čáru rýsovat, a hned od pohledu poznal, že tento hráč se trefí, řekl to nahlas. Na závěr hodiny počítaly děti početní příklady na známky.
3.12 Zápis z hodiny matematiky třídy 3. a ze dne 8. 3. 2007 Sedím u Jarušky a Ondry. Minulou hodinu (na které jsem nebyla přítomna) probírali rovnoběžné a různoběžné přímky. Učitelka chce po dětech, aby si zkontrolovaly, zda mají na lavici vše potřebné – knížku matematiky, trojúhelník, rovné pravítko a v penále mikrotužku a ořezanou tužku. Učitelka kreslí na tabuli, děti mají říkat, co dělá. a Kačka říká, že je to přímku a. b
Pavel odpovídá přímka b. Učitelka chce vědět, co o nich děti můžou říct, správně odpovídají, že jsou rovnoběžné. Na popud učitelky říkají zkráceně rovnoběžky. Na otázku, co pro ně platí, správná odpověď, že mají od sebe stejnou vzdálenost. Učitelka chce vědět, co nemají. Několikrát stejná odpověď, že se nesetkají. Nakonec uslyšela správnou odpověď, že nemají průsečík, společný bod.
f E
e
Na tento obrázek dostala učitelka správnou odpověď, že nakreslila přímky e a f, které procházejí bodem E. Někdo řekl, že jsou různoběžné, Helenka řekla ještě lépe, že jsou to různoběžky. Dále se učitelka ptá, co je to ten bod E? Děti správně říkájí průsečík, a to průsečík přímek e a f.
36
k l
Martin S. říká, že jde o různoběžky k a l. Na otázku, jak to poznal, odpovídá: „že nemají to, no, stejnou vzdálenost.“ Učitelka ještě dodává, že kdybychom to chtěli opravdu zjistit, tak je stačí prodloužit a ony by se setkaly. Učebnice na straně 30 (viz 10.2.6 Příloha č. 11), úkol č. 6. Děti mají pracovat rovnou do sešitu, učitelka s nimi na tabuli. Úkol zní narýsovat různoběžky o a p procházející bodem P. Učitelka říká, že podobný úkol už je nakreslený na tabuli, jedno dítě jde k tabuli ukázat prostřední obrázek. Děti tedy mají tento úkol zkusit sami, měly by si prý vědět rady. Jaruška rýsuje velmi sebejistě a dobře, úkol měla ihned splněný. Ondra také ví co má dělat, jen má veliký problém s čistotou práce. Přímky rýsuje velmi dlouhé, přes celou stránku v sešitě až do okraje. Učitelka ho na to upozorňuje, on tedy okraje vygumuje. Zdá se ale, že s tím není spokojen, proto je opět prodlužuje, nastavuje. Je to velmi upatlané. Úkol č. 7 zní narýsovat různoběžky k, l, m procházející bodem K. Učitelka upozorňuje, aby si bod K vyznačily dostatečně daleko od kraje. Ptá se Jarušky, jak bod vyznačí, Jaruška odpovídá, že písmenem K, což není dobře. Učitelka tedy říká, že písmenkem ho označíme, ptá se dále, jak ho vyznačíme. Prý jako znaménko plus. No křížkem přeci, říká učitelka. Ondra narýsoval bod K moc u kraje sešitu, ten pak vygumoval, udělal jinde, už ve středu, pak bod pojmenoval. Rýsování přímky k: Ondra narýsoval správně, pak ale čáru ještě znovu obtáhnul zpět. Jaruška začala v prvním bodě k bodu K, tam rýsování zastavila a z druhého bodu rýsovala také k bodu K: 1.
X K 2. Jolka na pokyn učitelky správně říká, že nyní narýsujeme přímku l, aby procházela bodem K. Ondra je v tuto chvíli napřed a už rýsuje třetí přímku, ví co má dělat. Jaruška poté na pokyn učitelky nesprávně říká, že dále narýsujeme bod M, který bude procházet bodem K. Učitelka se diví, proč bod M. Jaruška se pak opravuje, že bod ne, ale přímku m. Učitelka se ptá, co ty přímky jsou, dostává se jí správné odpovědi, že různoběžky. Nyní děti čeká úkol č. 5 a to už bude těžké, budou potřebovat i dlouhé pravítko. Úkol zní narýsovat přímku m procházející bodem M a k ní rovnoběžku n. Vašík správně odpovídá, že nejprve si narýsujeme bod M. Kryštof dále správně odpovídá, že po tom narýsujeme přímku m procházející bodem M. Jaruška si přímku m narýsovala do sešitu kolmo, pak zjistila, že se jí bude úkol dál dělat špatně, tak tuto přímku vygumovala a narýsovala ji vodorovně. Ondra říká další postup: „Dáme si pravítko k přímce m, dáme si tam dlouhé pravítko a trojúhelník posuneme dolu, pak narýsujeme čáru“. Jaruška rýsovala podle
37
správného postupu, měla to sice trochu ujeté, ale postup pochopila. Ondrův konečný obrázek dopadl lépe, ale postup naprosto nepochopil.
m M
Takto si Ondra přiložil pravítka a s trojúhelníkem pohyboval podle oka, když se mu to zdálo rovnoběžné, tak narýsoval přímku n. Učitelka řekla dětem, ať si to zkontrolují. Pokud rýsovaly dobře, tak na začátku i na konci přímek by měla být stejná vzdálenost mezi nimi. Pracovní sešit na str. 17. Zde byl obdobný úkol jako předešlý. Jaruška velmi rychle a dobře vše narýsovala správně. S pravítky správně posunovala, ani si s nimi nehnula, měla to přesné. Ondra absolutně nepochopil postup, stále pracuje podle očí, i když si ve třídě ještě znovu nahlas opakovali postup. Měl velmi pomalé tempo, trojúhelník se mu při práci pletl, tak si vzal nakonec jen dlouhé pravítko a přímku narýsoval podle oka.
4. POHLED NA TŘÍDU Mezi základní termíny v geometrii určitě patří bod. Bod musí být nějak vyznačen a označen. Tato slova, tak velmi podobná, se dětem samozřejmě pletou, a neví k jakému přiřadit křížek a k jakému velké tiskací písmeno (viz 3.7 19. 8. 2006 a 3.12 8. 3. 2007 – Jaruška). Někdo v tom má dokonce takový zmatek, že by nejraději bod narýsoval (viz 3.1 4. 4. 2006). Pro děti je důležitější to písmeno, než nějaký křížek na ploše. A tak se může stát, že nám při vyznačování bodu na tabuli napíše nejdříve písmeno a nad něj teprve dodá křížek (viz 3.1 4. 4. 2006 a 3.11 1. 3. 2007). Toto se ještě dětem pletlo i ve třetí třídě. A jak nám druhák odpoví na otázku, co je to úsečka? „Úsečka je přímá čára označena dvěma body“ (viz 3.1 4. 4. 2006). Ona je ale těmi body ohraničena, ty body jsou velkými tiskacími písmeny označeny. Dá se pak celkem předpokládat, že takový druhák při měření úsečky, bude chtít měřítko přiložit k prvnímu krajnímu písmenku (viz 3.9 5. 10. 2006 – Jaruška). A když se po něm bude chtít, aby napsal délku úsečky, tak prostě přijde a úsečku nakreslí (viz 3.1 4. 4. 2006). Kdo by si vzpomněl na │AB│. Tyto problémy s terminologií však brzy vymizí. Děti si brzy tyto základní pojmy osvojí a pak už to pro ně není překážkou. Do té doby, než přijde ve třetí třídě pětiměsíční „geometrická pauza“. Zápis │AB│ už opět neumějí přečíst (viz 3.10 28. 2. 2007), ani se zadáním narýsovat úsečku dané délky si opět nevědí rady (viz 3.10 28. 2. 2007). Už nám zase nevysvětlí, jaký je rozdíl mezi rýsováním a kreslením (vysvětlení viz 3.11 1. 3. 2007 – Danča, přímo záměna rýsování za kreslení viz 3.1 4. 4. 2006 – Jaruška, 3.3 29. 5. 2006 – Ondra a Jaruška, 3.7 18. 9. 2006 – 4krát), neví jak říci, co je to úsečka (viz 3.7 18. 9. 2006 – 3krát, 3.10 28. 2. 2007 – Ondra, 3.11 1. 3. 2007 – Danča). Po pár březnových
38
hodinách geometrie se však vše napraví. Ovšem na jak dlouho? Kdy zase budou mít geometrii? Časem se ve druhé třídě objevují novější pojmy, jako je strana a vrchol, které se také zpočátku pletou (viz 3.2 10. 5. 2006 – Kristýna). Vrchol se označuje velkým tiskacím písmenem, stejně jako co? „Úsečky…“ (viz 3.2 10. 5. 2006), učitelka chce ale slyšet odpověď body. V hodinách geometrie došlo samozřejmě také na geometrické tvary a tělesa, ty pak byly zaměňovány. Často se objevoval úplně nový název, třeba pichlan. Někdo by tak pojmenoval trojúhelník (viz 3.1 4. 4. 2006), objevoval se i místo kuželu (viz 3.5 15. 6. 2006 – Václav B.) či jehlanu (viz 3.5 15. 6. 2006 – Jiří Č.). Dalšími novými tělesy byly čepička (viz 3.5 15. 6. 2006 – Jaruška tak pojmenovala kužel) a kornout (viz 3.5 15. 6. 2006 – Jiří Č. a Pepa tak pojmenovali kužel). Nejčastější chybou v písemkách dětí bylo nepřesné spojení bodů (viz 3.1 4. 4. 2006 – 11krát, 3.2 10. 5. 2006 – Felix, 3.3 29. 5. 2006 – Ondra a Jaruška, 3.8 29. 5. 2006 – 12krát). Děti ve druhé i třetí třídě mají velký problém s nepřesností, to by se mělo ale postupem věku zlepšit a ve vyšších ročnících by s tím neměly mít potíže. Nepřesnost se celkem dost objevuje i u měření úseček (viz 3.5 15. 6. 2006 – 3krát, 3.9 5. 10. 2006 – Kryštof). Některé děti mají práce velmi špinavé od gumování, i takové celkově ušmudlané, jiné práce jsou zase až překvapivě čisté a na vzhled velmi pěkné. Úkol, který neměl vůbec nikdo celý dobře, byl čtvrtý ve druhé práci ve druhé třídě. Děti měly pojmenovat geometrické útvary. Největší problém jim dělalo dodržení správného směru pojmenovávání vrcholů, nebo začínaly pojmenovávat od nesprávného vrcholu. U vrcholů se objevilo i písmeno malé (viz 3.5 15. 6. 2006 – Felix), či dokonce písmeno s háčkem (viz 3.5 15. 6. 2006 – 4krát), což by samozřejmě být nemělo. I ve třetí třídě bylo pojmenování geometrických útvarů problémem. Nesprávný směr pojmenovávání se objevoval stále. Nová a celkem častá chyba se objevila, když měly napsat vedle útvaru jeho název. Hodně dětí třeba čtverec pojmenovalo takto: A, B, C, D. Mezi velká písmena psali čárky, což vypadá jako označení vrcholů čtverce a ne jeho název. Komplikace se také objevila u rýsování čáry procházející bodem S. U někoho čára v bodě končila (viz 3.1 4. 4. 2006), u některých šla zase mimo bod (viz 3.1 4. 4. 2006 – 5krát). Podobný problém se objevil u přímek. Děti byly do této doby zvyklé, že u úseček, či geometrických útvarů přímá čára v bodě končí. Pokud však přímka prochází body, neměla by v bodě končit. Často takto vznikaly místo přímek úsečky (viz 3.11 1. 3. 2007 – Ondra) či polopřímky (viz 3.10 28. 2. 2007 – Jaruška, 3.11 1. 3. 2007 – Kristýna). Nebo také nastavované přímky, kdy děti čáry prodlužovaly, na konečném výsledku to však bylo patrné. Nyní bych se ráda věnovala tématu, který jsem již trochu nastínila. Jde o styl výuky geometrie, respektive její výuka v blocích několikrát ve školním roce. Děti nemají geometrii pravidelně, látku zapomínají a znovu si jí pak musí vybavovat, než můžou začít probírat novou látku. Během mého téměř ročního pozorování výuky geometrie měly děti dvě relativně osamocené hodiny z počátku mého výzkumu, a to 4. 4. 2006 a dále 10. 5. 2006. Následovaly tři bloky. První blok byl od 29. 5. 2006 do 15. 6. 2006, trval tedy 36 dní a za tu dobu byly 3 hodiny geometrie. První dvě hodiny, které měly měsíční rozestup, můžeme ale také zařadit do prvního bloku, ten by pak trval od 4. 4. 2006 do 15. 6. 2006, trval by 72 dní s 5 hodinami geometrie. Další blok byl po prázdninách po 3měsíční pauze, do 15. 9. 2006 do 5. 10. 2006, trval 20 dní a byly 4 hodiny geometrie. Poslední blok přišel až po téměř pěti měsících, od 28. 2. 2007 do 8. 3. 2007, trval 10 dní a byly 3 hodiny geometrie. Pro zjednodušení tyto bloky budu tedy označovat: první blok jako geometrii druhé třídy, dále první blok třetí třídy a druhý blok třetí třídy.
39
Vybrala jsem si nejčastější problémy dětí, na kterých se pokusím ukázat jejich časový průběh. Jde o problémy v teoretickém poznání, s uchopováním pojmů, jejich znalost – pojmy označit vs. vyznačit bod, tedy problematika křížku a velkého tiskacího písmena, co je to úsečka, zápis délka úsečky, dále znalost postupu narýsovat úsečku dané délky. Také se zaměřím na praktickou činnost s geometrickými pomůckami, práce s pravítkem a přesnost spojování bodů. Označit vs. vyznačit; křížek vs. písmeno První hodinu 4. 4. 2006 (viz 3.1) někdo chtěl bod vyznačit narýsováním, další hodinu 10. 5. 2006 (viz 3.2) žák zaměnil pojem označit místo ohraničit úsečku dvěma body, dále chtěl někdo dát měřítko ke krajnímu písmenku, nikoliv k bodu. Na tabuli napsal nejprve písmenko, pak teprve vyznačil bod. Zde vidíme první tři hodiny jasné nerozlišení těchto dvou pojmů, a to jak u teoretického výkladu tak i v praktickém použití. Poslední dvě hodiny v bloku geometrie 2. třídy 5. 6. 2006 (viz 3.4) a 15. 6. 2006 (viz 3.5) používají již děti tyto pojmy správně. Na počátku prvního bloku 3. třídy s těmito pojmy děti opět „bojují“, už ne však v takové míře. 18. 9. 2006 (viz 3.7) došlo k záměně pojmů označit a vyznačit v souvislosti s úsečkou a jejími krajními body, další hodinu 25. 9. 2006 (viz 3.8) chtěl někdo měřítko přiložit opět na písmeno A a ne k bodu. To je vše. Druhý blok 3. třídy začal první hodinou 28. 2. 2007 (viz 3.10) bez potíží, jeden žák řekl správně, jak se bod vyznačí a označí. V dalších dvou hodinách opět menší potíže jako v předešlém bloku, 1. 3. 2007 (viz 3.11) někdo napsal nejprve písmenko, pak teprve vyznačil křížek, 8. 3. 2007 (viz 3.12) Jaruška spletla pojmy označit a vyznačit. Bod vidím jako nejproblematičtější pojem, který se v mém výzkumu objevil. Proto se při jeho osvojování objevila první dvě hodiny řada problémů. Ke zvládnutí tohoto pojmu ale stačily dvě hodiny k upevnění, a pak ho děti používaly správně. Tato znalost však „nevydržela“ 3 měsíce bez opakování a musela se znovu upevňovat. To samé po 5 měsících. Co je to úsečka V bloku 2. třídy děti neměly problémy s tím, co je to úsečka. Ty se objevily až po 3měsíční pauze v prvním bloku 3. třídy 18. 9. 2006 (viz 3.7). Na tabuli byla narýsována úsečka – nevěděly, co to je, nedokázaly definovat, co je to úsečka, někdo pojmenoval přímou čáru jako úsečku. Když měl někdo zapsat název úsečky, nakreslil čáru. Ve druhém bloku 3. třídy 28. 2. 2007 (viz 3.10) někdo správně řekl, co je to úsečka, ale Ondra pak zaměnil přímku za úsečku. 1. 3. 2007 (viz 3.11) Danča nedovedla definovat úsečku. Na počátku tedy děti nemají s úsečkou problémy, po 3 měsících měly problémy s její definicí, s jejím rozpoznáním i s prací s úsečkou. Po dalších 5 měsících někdo dokázal, někdo nedokázal definovat, došlo i k záměně s přímkou. Zde tedy vidíme, jak dobře nabytá znalost při nepoužívání ztrácí svoji sílu a děti ji zapomínají a opět těžko znovu získávají. Zápis délka úsečky Jak přečíst zápis │AB│? V prvním bloku, první hodinu, se objevil jeden moment, kdy místo takového zápisu žák na tabuli nakreslil přímou čáru (viz 3.1). V prvním bloku 3. třídy nebyl problém. Až první hodinu ve druhém bloku třetí třídy 28. 2. 2007 (viz 3.10) děti nevěděly, jak se takovýhle zápis čte. Do další hodiny si to však zapamatovaly, zápis četli správně. Při osvojování tohoto geometrického zápisu došlo k záměně významu, ale dále už si tento pojem zapamatovaly dobře, správně ho používaly i po 3 měsících. Po dalších 5 měsících nastal „výpadek“, který se však do další hodiny opět upevnil. Postup při rýsování úsečky dané délky Pokud chceme narýsovat úsečku dané délky, musíme dodržet určitý postup. Tento postup by proto děti měly znát. V prvních dvou blocích se neobjevila situace, že by někdo
40
nevěděl, jak takový postup vypadá, učitelce ho správně odříkaly. Až ve druhém bloku 3. třídy se dostavily problémy, a správný postup někdo nevěděl 28. 2. 2007 (viz 3.10), ani 1. 3. 2007 (viz 3.11). Opět dobře nabitá vědomost „vydržela“ 3měsíční pauzu, 5 měsíců již byla moc dlouhá doba a stejně jako u zápisu délka úsečky došlo k vytracení této vědomosti. Technika rýsování podle pravítka Tento bod je zaměřen na jemnou motoriku, jak děti zvládají práci s geometrickou pomůckou – pravítkem. Ve všech třech blocích správně odpovídají na otázku, jak se správně rýsuje, jak má být umístěno pravítko, takže teoreticky danou problematiku zvládají. Jiné je to už s praxí. V písemce ze dne 4. 4. 2006 (viz 3.1) se objevuje 8krát nezvládnutí tahu po hraně pravítka. Mám tím na mysli, že dítě začne rýsovat podle pravítka, které má i správně přiloženo, ale během tahu tužkou mu ruka z pravítka sjede a ono zbytek čáry nakreslí. V prvním bloku 3. třídy 18. 9. 2006 (viz 3.7) se s tímto můžeme setkat 2krát. Po 5 měsících 1. 3. 2007 (viz 3.11) to můžeme sledovat u Ondry. Zdá se mi, že tato oblast geometrické dovednosti se zlepšuje s věkem, bude zřejmě souviset s vývojem jemné motoriky. Nepřesné spojení bodů Tuto oblast bych také přiřadila k technice rýsování, jde o přesnost práce s pravítkem. Zda body budou rýsováním přesně spojeny, záleží na dokonalém přiložení pravítka k oběma bodům a na správné technice rýsování. I zde se mi potvrzuje postupné snižování takovýchto obtíži, což potvrzuje vývojové zrání jemné motoriky a její výsledky na práci. 4. 4. 2006 (viz 3.1) se nepřesné spojení bodů objevilo 16krát, 10. 5. 2006 (viz 3.2) Felix nepřesně spojil i body při práci se špejlemi a modelínou, 15. 6. 2006 (viz 3.5) se nepřesně spojené body objevují 7krát. 18. 9. 2006 (viz 3.8) se to objevuje ještě 12krát, pak už ale nemám o nepřesných spojích žádné záznamy.
5. ONDRA 5.1 4. 4. 2006 1. práce: známka 2. Chyby: • úkol č. 2 – dvě čáry nejsou celé narýsované, kousky dokresleny, • úkol č. 3 – část lomené čáry je dokreslena, • úkol č. 4 – nepřesné spojení všech bodů, místo názvů úsečky psal délky úsečky • úkol č. 5 – nezvoleny body X a Y, špatné narýsování úsečky, nezvládnutí tahu po hraně pravítka.
5.2 10. 5. 2006 Na otázku – jak se jmenuje geometrický útvar, který má 2 a 2 protější strany stejně dlouhé – odpovídá kvádr, pak se správně opraví – obdélník. Sleduji, jak Ondra pracuje na úkolu č. 1, v učebnici na str. 36. Učitelka pomáhá dětem s trojúhelníkem. Vždy, když někdo ze třídy řekne číslo, Ondra ho napíše. Číslo 3 píše obráceně ε. Když se ve třídě řekne, že čtyřúhelník má čtyři vrcholy, nečeká na strany a píše rovnou čtyřku i ke stranám. I číslo 5 píše obráceně. Když učitelka mluví o šestiúhelníku, tužkou si na něj ukazuje a přepočítává vrcholy, jako kdyby nevěřil.
41
Úkol č. 3 - u prvního čtyřúhelníku nezačal označovat vrcholy podle hodinových ručiček. C
D
A
B
Další geometrický útvar, který Ondra označoval, byl jiný čtyřúhelník. Označil ho HCHIJ, ale měl opět špatné pořadí, stejně jako u předešlého čtyřúhelníku. Dále označoval trojúhelník. Nazval ho EFG, provedl to správně. Další trojúhelník nazval EFG, správně. Oba šestiúhelníky nazval správně, ABCDEF a TUVWXY. Ondra má velmi pomalé tempo. Děti už začaly dělat druhou část úkolu a on to ještě neměl hotové. K tomu ještě vygumoval označení u prvních dvou geometrických útvarů, protože je psal pastelkou, a ne tužkou. Trojúhelník pak nazval EFG, čtyřúhelník ABCD, oba geometrické útvary správně. Úkol ale byl, aby se písmenka neopakovala. Ondrovi se opakovalo ABCD a ABCDEF a dvakrát EFG. Protože děti měly skoro všechny geometrické útvary vybarveny, učitelka mu poradila, aby je nevybarvoval celé, ale udělal do nich jen barevnou čárku barvou, která tam má být. Tento úkol splnil správně. Úkol č. 5 - Ondra předem bez nápovědy správně rozdělil obdélník na 2 čtyřúhelníky.
Úkol č. 2 - děti za pomoci špejle a modelíny modelují trojúhelník. Ondra nejdříve špejli zohýbal do tvaru trojúhelníku, čímž by si usnadnil práci, ale když viděl, že ostatní děti špejli lámou, také si ji nalámal na 3 části. Z modelíny dělají kuličky, kterými spojují špejle a dělají jimi vrcholy. Učitelka dělá trojúhelník s nimi. Ondra má opět velmi pomalé tempo. Když už měli dělat mnohoúhelník, Ondra neměl dodělaný čtyřúhelník. Měl spojené zatím jen dvě špejle, ale měl připraveny čtyři. Kdyby měl více času, tak by to asi udělal správně. Pokračuje dál šestiúhelníkem.
Ondrův výtvor byl oproti Jarušce vzhlednější, upravenější, více to vypadalo jak „klasický“ geometrický útvar.
5.3 29. 5. 2006 Učebnice na str. 48, úkol č. 1. Postupně přesně spojil rýsováním body AB, BC, AC. Ondra odhaduje délku úsečky AB na 2 cm, do rozdílu správně doplňuje 3 cm. Úsečku BC
42
odhaduje na 2 cm, CA odhaduje na 5 cm. U posledních dvou rozdílů, kde mu vždy vyšla správně 0, neměl jednotky cm, na pokyn učitelky dopsal. Úkol č. 2. Rýsoval úsečky v pořadí HE, EF, FG, HG. Narýsoval to celkem přesně, až na bod G, kde úsečka HG nekončila přesně v bodě G. Odhad: 4 4 0 6 5 1 4 4 0 5 5 0 Ve třetím řádku ještě odhadoval a měřil, poslední řádek už dopsal bez práce, uvědomil si, že je to stejně dlouhá úsečka jako ve druhém řádku. Ondra měl pomalejší pracovní tempo, nenapsal název geometrického útvaru, napsal obdélník na základě pobídnutí učitelky. Úkol č. 3. Ondra si vzal do ruky pravítko, našel si na horní úsečce střed, a začínal obdélník půlit:
Učitelka zasáhla, začal přemýšlet. Pak začal správně rýsovat. První část úsečky narýsoval, zbytek dokreslil. Pak to celé vygumoval a správně celé narýsoval. U fialového geometrického útvaru také kreslil. Učitelka si všimla, že kreslí, řekla mu, že má rýsovat. Vygumoval to a znovu narýsoval, bylo to ale velmi upatlané od gumování a celkový výsledek dopadl příšerně. Úkol č. 4. Ondra se podíval na obrázek. Spočítal si vrcholy u šesti, pak u čtyř a nakonec u správného pětiúhelníku. Asi od pohledu tušil, který to je a jen si to kontroloval. Mají za úkol pojmenovat geometrický útvar napravo. Ondra si vzal do ruky pravítko a do geometrického útvaru si narýsoval řádek, na který správně napsal šestiúhelník.
5.4 5. 6. 2006 Testík na násobení a dělení 2. Násobení měl v pořádku, dělení mu vůbec nešlo, pokusil se napsat jeden výsledek, ale špatně. Pak doplnil asi 4 výsledky, měl ale max. 2 správně. Učebnice na str. 55, úkol č. 1. Vyznačil správně bod S. Úkol č. 2. Ondra narýsoval dlouhou čáru, pak se mu první část čáry asi nezdála pěkná, tak ji dodělal – přikreslil, to vypadalo samozřejmě hrozně. Tak to vygumoval, pak to už vypadalo celkem dobře. Vyznačil bod C, změřil 14 cm, úsečka mu nevyšla asi o půl cm. Vyznačil ale správně bod D po 14 cm a ten kousek pak k bodu dorýsoval, bylo to ale vidět. Po skončení hodiny jsem přeměřovala, úsečka měřila 13,8 cm a bod E, který měl být v polovině úsečky, ležel po 6,8 cm od bodu C. Úkol č. 3. Odhadl správně, že musí být změřena horní i dolní úsečka. Střed strany PO měl na 3 cm, MN na 2,95 cm. Úkol č. 4. Na jeho tempo provedl úkol celkem rychle a správně, nejdříve změřil stranu RS a vyznačil střed na 1,95 cm, poté stranu UT, střed na 2,05cm. Pak dva prostřední body spojil.
43
5.5 15. 6. 2006 Psala se písemná práce z geometrie. Úkol č. 1. Četl delší dobu zadání a přemýšlel, co má vlastně dělat. Změřil úsečku, správně zapsal délku 12 cm. Pak jen tak bez měření libovolně označil bod S, samozřejmě to nebylo přesně uprostřed. Měří délky úseček AS a SB. Bod S gumuje a posouvá asi tak o 1 mm, nevycházela mu totiž celá čísla. Pak znovu měří, úsečka AS měří 4cm, SB 6 cm. Změřeno má správně, špatné je umístění bodu S. Úkol č. 2 bez chyby, rýsoval postupně strany GE, FG, EF. Správně změřil. Úkol č. 3. Napsal obdélník místo kvádru. U krychle napsal čtverec, pro sebe si říkal, že to není ten správný název, nevzpomněl si ale na správný název a čtverec tam ponechal. Jehlan a kužel nazval správně. Úkol měl dobře jen z poloviny, avšak věděl ty těžší názvy. Úkol č. 4. Nejdříve pojmenovává geometrické útvary na levé straně, pak spojuje útvary a názvy, což má správně. Nakonec pojmenovává i útvary na pravé straně. Používá jen písmena ze začátku abecedy, od A do J, tudíž se mu písmena hodně opakují. Pojmenoval správně jen dva trojúhelníky, EFG a CHIJ, u ostatních útvarů nedodržoval správný směr pojmenovávání, ani začátek pojmenovávání. Úkol č. 5. Za výsledky psal správně cm, 1 výsledek špatně. Zhodnocení druhé práce z geometrie: známka 2. Chyby: • úkol č. 1 – posunutý bod S o 22 mm, špatně změřeno, • úkol č. 3 – chyba v pojmenování u kvádru (obdélník) a krychle (čtverec), • úkol č. 4 – u poloviny geometrických útvarů špatný směr pojmenovávání vrcholů, písmena se opakují, • úkol č. 5 – 1 špatný výsledek. Oproti první práci se rýsování trochu zpřesnilo, netýká se však měření.
5.6 15. 9. 2006 Učebnice na str. 7, úkol č. 1. Ondra správně do sešitu vyznačil body A, B a C. Úkol č. 2. správně nakreslil 3 rovné čáry, dále správně dvě čáry otevřené lomené, rychle a také dobře dvě čáry otevřené křivé. I zbývající zadání nakreslit jednu lomenou uzavřenou čáru a na ní bod D a jednu křivou uzavřenou čáru a na ní bod E splnil. Poklad nenašel. Pracovní sešit na str. 3, úkol č. 1. Čáry barevně označil správně, jen zapomněl splnit druhou část úkolu a nevyznačil nejkratší cestu, proto dostal známku 1-.
5.7 18. 9. 2006 Učitelka se ptá, zda můžeme úsečku nakreslit, Ondra odpovídá, že ano. Odpověď se učitelce nelíbí, nemůžeme ji nakreslit, ale narýsovat pravítkem. Učebnice na str. 8, úkol č. 6: Narýsujte úsečku AB, na ní bod L a bod M, který na úsečce AB neleží. Ondra si zadání dlouho četl, splnil ho špatně. Dle mého názoru je zadání úkolu nejasné. Při rýsování mu ujela tužka od pravítka, oba body L a M umístil na úsečku AB. Odpovědi z úkolu č. 4 mají napsat na papírek. Napsal AB, BC, CD, DE – toto škrtnul, otočil papír na druhou stranu a začal znovu přemýšlet nad zadáním. Pak napsal AC, CB, BD, CD (to opravil na CB, nakonec na AB), AC a CE. Další dva úkoly nesplnil. Pracovní sešit na str. 3, úkol č. 2: a) správně narýsoval úsečku AB a na ní ležící bod C, b) lomenou čáru provedl správně, o bod L vyznačil špatně na ní, lomenou čáru nijak
44
nepojmenoval, c) uzavřená křivá čára v pořádku, d) zadání splnil správně, ale úsečku EF velmi ošklivě narýsoval - zdvojená. Známka v pracovním sešitě je 2-.
5.8 25. 9. 2006 Děti mají na papír vedle čtverce napsat názvy jeho stran, tedy AB, BC, CD, DA. Ondra však zapisuje značky pro délku úsečky, tedy│AB│,│BC│atd. Ondra správně odpovídá, že strany AB a BC mají společný vrchol B. Další úkol je nakreslit na čtverečkovaný papír obdélník MNOP, což provedl správně, jen nemá správné pořadí písmen. Modrou a zelenou pastelkou mají označit dvojici protějších stran. Ondra však nejprve obtáhl pastelkami písmenka, poté udělal do obdélníku jednu úhlopříčku modře a druhou zeleně. Dále mají napsat vrcholy: pojmenovat je. Přemýšlí, neví co má dělat, nakonec napíše správně MNOP, ale bez čárek mezi nimi. Správně kroužkuje bod N, společný vrchol stran MN a NO. Další úkol zní nakreslit trojúhelník KLM, napsat strany: číslo kolik jich je, pojmenovat, vrcholy: číslo kolik jich je a pojmenovat. Ondra splnil špatně: • strany: 4 K L M • vrcholy: 4 KLM Pracovní sešit na str. 5, úkol č. 2. Čtverec i obdélník pospojoval dobře, trojúhelník neudělal. Místo něj nakreslil čtverec, dokonce si dokreslil i jeden bod, aby mu to vyšlo. Celý úkol je nepřesný, spoje mimo body, přetahy.
5.9 5. 10. 2006 Učebnice na str. 15. úkol č. 1. Ondra si pravítkem přeměřuje ukázku v učebnici, přesvědčuje se, že to tam mají správně. Úkol č. 2. Ondra si pro sebe porovnává úsečky AB a BC, říká si: „To je tak aspoň centimetr.“ Když si děti měly provést kontrolu a změřit si úsečky v učebnici, Ondra si měřil vyznačené úsečky na proužku papírku. Pracovní sešit na str. 7, úkol č. 1. Čtverec a obdélník dělají děti společně s učitelkou, pak mají pracovat sami. Ondra si však neví rady. Učitelka mu tedy pomáhá i s prvním trojúhelníkem, proto mu to pak celkem jde. Neporovnal jednu dvojici stran OP a PR, dostal 1-.
5.10 28. 2. 2007 Na otázku co je to za čáru (křivá), odpovídá: „vlnovka“. Pak správně odpovídá, že učitelka lomenou čáru narýsovala, dále že + není znaménko plus ale bod. Dále správně říká, že pravítko patří doprostřed bodu při rýsování. Dále se učitelka ptá, jak se rýsuje úsečka určité délky, třeba 4cm. Došli k tomu, že je nejprve potřeba narýsovat dostatečně dlouhou čáru, Ondra by pak udělal 2 tečky a změřil 4 cm. Učebnice na str. 29, úkol č. 2. Na prvním obrázku vidí Ondra přímku (špatně – je to úsečka). Úkol č. 3 dělají společně. Po té se učitelka ptá, kdo by takový úkol už zvládl sám, Ondra kroutí záporně hlavou. Úkol č. 4 dělají tedy ještě společně. Ondra narýsoval nejprve úsečku JK, kterou až pak prodloužil do stan na přímku j. Úkol č. 5. Ondra narýsoval přímku moc pěkně, pak mu ale moc nešlo trefit se zelenou pastelkou na pravítko, nakonec to ale dopadlo celkem dobře.
45
Úkol č. 6 dělají společně s učitelkou. Nejprve je potřeba narýsovat dostatečně dlouhou přímou čáru, Ondra ji však narýsoval příliš krátkou, což si uvědomil, prodlužoval ji, vypadá to příšerně. Když vyměřil požadované 4 cm, zbytek přesahující čáry vygumoval. Správně pak v sešitě ukazuje přímku i úsečku.
5.11 1. 3. 2007 Ondra správně odpovídá, že přímka prochází body C a B, učitelka ho jen upozorňuje, že se písmena říkají podle abecedy, tedy že prochází body B a C. Pracovní sešit na str. 16. Úkol zní narýsovat body M, N a O a přímku m procházející bodem M, přímku n, procházející bodem N a přímku o procházející bodem O. Při vyznačování bodů napsal Ondra nejprve písmeno, pak teprve vyznačil křížek. Ondra celý úkol narýsoval dobře, akorát jedna přímka mu utekla od pravítka a je křivě. Druhý úkol zní narýsovat přímku a procházející body A a B. Ondra správně vyznačil bod A, ale udělal X místo +, hned si to ale opravil. Narýsoval čáru procházející body A a B, byla zase ale moc krátká, vypadalo to jako úsečka, pak přímku prodlužoval, bylo vidět jak je to nastavované. Gumoval, předělával, je to velmi upatlané. Ondra pracuje na úkolu velmi pomalu, ale ví co má dělat, má problém s čistotou práce. Třetí úkol – narýsujte úsečku CD, │CD│= 5 cm, a přímku e procházející body C a D. Ondra pěkně narýsoval dostatečně dlouhou čáru, vyznačil bod C. Ondra přiložil měřítko, nad číslicí 5 si vyznačil tečku, kterou znovu přeměřil, zda je ve správné vzdálenosti. Pak dodělal v místě tečky bod D.
5.12 8. 3. 2007 Učebnice na str. 30, úkol č. 6. Ondra ví co má dělat, jen má veliký problém s čistotou práce. Přímky rýsuje velmi dlouhé, přes celou stránku v sešitě až do okraje. Učitelka ho na to upozorňuje, on tedy okraje vygumuje. Zdá se ale, že s tím není spokojen, proto je opět prodlužuje, nastavuje. Je to velmi upatlané. Úkol č. 7. Ondra narýsoval bod K moc u kraje sešitu, ten pak vygumoval, udělal jinde, už ve středu, pak bod pojmenoval. Přímku k narýsoval správně, pak ale čáru ještě znovu obtáhnul zpět. Ondra je na před, ví co má dělat. Úkol č. 5. Ondrův konečný výtvor dopadl celkem dobře, ale naprosto nepochopil postup. Takto si Ondra přiložil pravítka a s trojúhelníkem pohyboval podle oka, až se mu to zdálo rovnoběžné. Tak narýsoval přímku n. m M
Pracovní sešit na str. 17. Zde byl obdobný úkol jako předešlý. Ondra absolutně nepochopil postup, stále pracuje podle očí, i když si ve třídě ještě znovu nahlas opakovali 46
postup. Měl velmi pomalé tempo, trojúhelník se mu při práci pletl, tak si vzal nakonec jen dlouhé pravítko a přímku narýsoval podle oka.
5.13 Ondra shrnutí Ondrův nejzásadnější problém je jeho velmi pomalé pracovní tempo. K tomu se snaží být precizní, jeho práce se mu chce líbit. Když má vepsat do geometrického útvaru jeho název, narýsuje si dokonce řádek, aby to měl rovně a hezky napsané (viz 5.3). Jeho touha po dokonalosti však vede k opakovaným opravám, gumování atd., čímž se práce ještě více zpomaluje. Navíc po gumování a předělávání zůstávají stopy a práce jsou pak nevzhledné. Stejně jako u Jarušky se u něj objevuje nepřesné spojení bodů (viz př. 5.1 a 5.8) a kreslení (viz př. 5.1 a 5.4), to má však spíše jiný důvod. Ruka s tužkou, často neořezanou, mu z pravítka zkrátka sjede pryč. Pak už si to ale neopraví, nevygumuje, protože to většinou už dělal před tím a papír je už hodně vygumovaný. Dne 18. 9. na otázku zda můžeme úsečku nakreslit, odpovídá ano (viz 5.7). Na základě úkolu č. 2 v učebnici na str. 48 si můžeme všimnout, že Ondra nad zadáním více přemýšlí a nepřidělává si zbytečnou práci. Při měření stran obdélníku poslední stranu neměří, protože poznal, že dvě protější strany jsou stejně dlouhé (viz 5.3). Jaruška vše poctivě měřila. Také mě zaujal jeho postřeh při modelování geometrických útvarů, kdy špejli nelámal, ale jen zohýbal, což by mu usnadnilo spoustu práce (viz 5.2). Ovšem když se rozhlédl po třídě a viděl, že všichni špejle lámou, udělal to také. U druhé práce udělal celkem velkou chybu, bod S umístil libovolně a ne doprostřed úsečky (viz 5.5). Myslím ale, že je to jen důsledek špatného přečtení zadání. Totožný úkol dříve splnil bez chyby. S názvy těles má problém jen u kvádru a krychle (viz 5.5), i dříve zaměnil kvádr za obdélník (viz 5.2). S jehlanem a kuželem kupodivu nemá problém, ačkoliv je to těžší. Velkým zážitkem pro mě bylo pozorovat Ondru, jak si poradil se zadáním narýsovat dvě rovnoběžné přímky (viz 5.12). Ve srovnání s Jaruškou se jeho práce zdála pečlivěji narýsovaná, avšak Ondra postup naprosto nepochopil. Dvě pravítka si na papír poskládal, aby se neřeklo. Při druhém úkolu si jedno odložil, protože se mu tam velmi pletlo. Rovnoběžnou přímku narýsoval zkrátka podle oka, což opět svědčí o jeho snaze o úsporu času při práci. Na co mít dvě pravítka, když to svede velmi dobře jen s jedním. Musím říct že oko má opravdu hodně přesné, protože i druhý úkol tohoto typu dopadl přesně, stejně jako Jaruščin, která vše poctivě rýsovala podle správného postupu.
6. JARUŠKA 6.1 4. 4. 2006 1. práce: známka 3. Chyby: • úkol 3 – nepřesné narýsování zlomů lomené čáry, části nerýsovány, ale kresleny, • úkol 4 – nepřesný spoj v bodě G, špatné narýsování 1 strany – nezvládnutí tahu po hraně pravítka, • úkol 5 – úsečka je o 1 cm kratší, • úkol 6 – nerýsování, ale kreslení čar, navíc neprochází přesně bodem S.
47
6.2 10. 5. 2006 Učebnice na str. 36, úkol č. 3. Sleduji Jarušku, jak označuje vrcholy geometrických útvarů. U prvního čtyřúhelníku nezačala vrcholy označovat podle směru hodinových ručiček.
C
D
A
B
Trojúhelník nazvala IJK, měla sice správný směr, ale začala u nesprávného vrcholu. Další trojúhelník nazvala CHIJ, správně. U posledního šestiúhelníku udělala chybu, začala u špatného vrcholu a šla špatným směrem, nakonec to vygumovala a označila správně. Jeden šestiúhelník vůbec neoznačila. Písmena se neměla ale opakovat, měla ABCD a ABCDEF, pak také IJK a CHIJ. Tvary vybarvila správně. Úkol č. 5. Na otázku, jak se jmenuje zelený geometrický útvar, odpověděla čtyřúhelník, pak upřesnila čtverec. Úkol č. 2. Dobře vymodelovala čtyřúhelník. Pak modelovala pětiúhelník, který nebyl moc vzhledný a přesně pospojovaný.
6.3 29. 5. 2006 Učebnice na str. 48, úkol č.1. Jaruška rýsováním nejdříve spojila body AC ne úplně přesně, pak čáru vygumovala, spojila přesně body AB. Body BC nespojila rýsováním, ale nakreslila, navíc nemá přesně do bodů, hl. bod C není proťat. Úsečku AB odhaduje na 5 cm, pak správně do rozdílu napsala 0, ale chvíli váhala, než zapsala. Když se odhadovala úsečka BC, Jaruška nenapsala, nejdříve naměřila 2 cm, pak teprve napsala 2 cm. Úsečku AC odhadovala na 5 cm, ale nejdříve předem napsala naměřeno 5 cm, i 0 rozdíl. U posledních dvou rozdílů, které měla správně 0, neměla jednotky cm, pak na pokyn učitelky dopsala. Úkol č. 2. Rýsovala úsečky v pořadí HG, GF, EF, HE. Skrz bod H neprocházela ani jedna úsečka, přes bod F alespoň jedna, vrcholy byly narýsovány nepřesně. Odhad: 4 4 0 550 440 550 Vše poctivě odhadovala a měřila, neuvědomila si, že vždy dvě a dvě strany jsou stejné. Správně geometrický útvar nazvala obdélník. Úkol č. 3. Jaruška kreslila, nerýsovala. Úkol splnila celkem správně, ale kreslila, stejně tak i fialový geometrický útvar. Pak jí učitelka řekla, že mají rýsovat, a ne kreslit. Opravila jen fialový geometrický útvar. Úkol č. 4. Počítá prstem vrcholy, 6 – to není ono, 5 – to je ono, vymaluje. Za úkol ještě dostali pojmenovat geometrický útvar napravo, pod tvar napsala jen číslo 6.
48
6.4 5. 6. 2006 Učebnice na str. 55, úkol č. 1. Změřila dobře 12 cm, ale už za číslo 12 nedopsala jednotky cm, to až po nějaké chvíli. Při vyznačování bodu S si nejdřív našla 6 cm, dala pryč měřítko, přiložila prst a podle toho chtěla přibližně vyznačit bod S, pak ho ale nakonec označila přesně podle měřítka. Úkol č. 2. Jaruška narýsovala čáru, změřila ji a zjistila, že je příliš krátká. Vygumovala ji a nakreslila novou, už od pohledu byla také krátká. Vyznačila bod C, podle měřítka viděla, že ji na to ta čára nevyjde, tak ji dokreslila a vyznačila bod D. Pak si to teprve přeměřila, vyšlo ji 13,6 cm, ale stejně to neopravila. Přiložila měřítko, pak ho oddálila a přibližně vyznačila bod E, tzn. že to nemá přesně. Po skončení hodiny jsem přeměřovala, úsečka CD měřila 13,4 cm, bod E ležel po 6,9 cm od bodu C. Úkol č. 3. Na otázku, jak najdeme půlku u obdélníka, odpovídá, že si vezmeme tužku a rozpůlíme ho v půlce. Na úsečce PO označila celkem přesně střed, pak začala ale tužkou kreslit zvrchu i ze spodu a spojovala. Po radě učitelky opravila. Střed strany PO měla na 2,9 cm, MN na 2,75 cm. Úkol č. 4. Zprvu kouká, a neví co má dělat. Pak si vzala do ruky měřítko, přiložila vodorovně na čtverec, po kterém měřítkem jezdila. Po čase, asi když se jí zdálo měřítko relativně rovně a hlavně uprostřed, narýsovala čáru. Pak teprve změřila. Poté ještě asi třikrát gumovala a čáru předělávala a různě popojížděla měřítkem, vše ale podle oka. Nakonec ji střed strany UR vyšel na 1,8 cm, střed strany TS na 1,9 cm.
6.5 15. 6. 2006 Psala se písemná práce z geometrie. Úkol č. 1. Vzala do ruky měřítko, úsečku změřila, u 6 cm vyznačila bod S. Od bodu S k bodu B už neměřila. Uhodla, že délka je také 6 cm. Celý úkol správně, bez chyby. Úkol č. 2. Spojila body FG a EF rýsováním, body GE už spojila kreslením, protože ji tam nešlo dobře přiložit pravítko. Strany změřila správně. Navíc ještě velmi dobře označila u úseček délku strany (př. │EF│), nejen strany, což takto udělaly jen 4 další děti. Úkol splnila tedy dobře, až na jednu nakreslenou stranu. Úkol č. 3. Začala si na chvíli hrát a nepracuje. Vzpomíná a loví v paměti. Místo názvů těles píše názvy geometrických útvarů, tzn. obdélník, čtverec a trojúhelník. Kužel pojmenovala čepička. Celý úkol tedy špatně. Úkol č. 4. Začala spojovat názvy a útvary, což měla celé správně. Pak se ptala učitelky, co má vlastně pojmenovat. Učitelka ji poradila, co jsou to vrcholy. Se sousedem se pak ale stejně radila, kam má napsat názvy těch vrcholů. Nakonec šla ještě jednou za učitelkou. Nakonec pojmenovala každý útvar jen jedním písmenem. Po straně si napsala písmena od A až po F, aby věděla, jak jdou po sobě a útvary pečlivě popořadě pojmenovala. Úkol č. 5. Za výsledky psala správně cm, výsledky 2 špatně, (místo dělení násobila). Zhodnocení 2. práce z geometrie: známka 3. Chyby: • úkol č. 2 – jedna strana nakreslena místo rýsování, • úkol č. 3 – chyba u všech názvů: kvádr (obdélník), krychle (čtverec), jehlan (trojúhelník), kužel (čepička), • úkol č. 4 – nepojmenovala vrcholy, jen přiřadila vždy jedno písmeno ke geometrickému útvaru, • úkol č. 5 – 2 špatné výsledky u dělení.
49
6.6 15. 9. 2006 Učebnice na str. 7, úkol č. 2. Jaruška nejprve tři body vyznačila, až po té je postupně pojmenovala. Správně nakreslila 3 rovné čáry, dvě čáry lomené otevřené, dvě čáry křivé otevřené, trvá ji to ale déle než sousedovi Ondrovi. Dobře nakreslila lomenou čáru uzavřenou, bod D ale vyznačila mimo čáru, měl být na ní. U křivé uzavřené čáry také bod E vyznačila špatně mimo čáru. Úkol č. 3. Jaruška poklad našla. Pracovní sešit na str. 3, úkol č. 2. Jednu křivou čáru špatně označila jako lomenou, také zakroužkovala špatně nejkratší čáru, měla to být čára b (přímá), ona zakroužkovala lomenou čáru a. Za tento úkol dostala známku 1-.
6.7 18. 9. 2006 Učebnice na str. 8, úkol č. 6: Narýsujte úsečku AB, na ní bod L a bod M, který na úsečce AB neleží. Jak jsem již psala, dle mého názoru je toto zadání matoucí. Na rozdíl od Ondry, který oba dva body vyznačil na úsečku, Jaruška je vyznačila oba mimo úsečku. Úkol č. 4. Odpovědi na otázky měly děti napsat na kousek papíru, který dostali od učitelky. Jaruška nejprve začala rýsovat přímou čáru, pak ji vygumovala. Obkreslila přesně ze zadání úsečku i s body a tak to odevzdala. Naprosto nepochopila zadání. Pracovní sešit na str. 3, úkol č. 2: a) správně narýsovala úsečku AB a na ní bod C, čára však byla přerušená, b) lomenou čáru nakreslila, učitelka ale řekla že to tedy nevadí, že pokud chtějí, tak mohou kreslit, bod L vyznačila správně, pojmenování čáry provedla naprosto špatně:
+ L M
N O
P
c) nejprve začala kreslit lomenou čáru, učitelka ji upozornila, pak už udělala správně uzavřenou křivou čáru, d) úsečku EF nakreslila správně, i body J a K, které na ní leží. Známku z tohoto úkolu dostala 2-.
6.8 25. 9. 2006 Jaruška správně odpovídá, že u čtverce ABCD jsou vrcholy D a A sousední. Při pojmenovávání obdélníku MNOP přehodila písmena, nejdou správně za sebou. Dostali za úkol dvojice protějších stran označit modře a zeleně. Nejprve obtáhla barevně písmenka, pak už ale úkol provedla správně. Správně vyjmenovala vrcholy: M, N, O, P. Špatně zakroužkovala M, jako že to je společný vrchol stran MN a NO. Dále měli nakreslit trojúhelník KLM, napsat strany: číslo kolik jich je, pojmenovat, vrcholy: číslo kolik jich je a pojmenovat. Jaruška si zřejmě spletla strany a vrcholy, nenapsala číslo: • Strany: K, L, M • Vrcholy KM, LM, KL
50
Pracovní sešit na str. 5, úkol č. 2. Rýsuje tak, že pravítko je nahoře, tužka dole. Spojuje IJ, JK, KL, pak LI už dokreslila, byla pozadu. Obdélník dobře, u trojúhelníku BHG neměla jeden vrchol v bodě, vyznačila si ho libovolně do prostoru.
6.9 5. 10. 2006 Správně odpovídá, že úsečku můžeme změřit měřítkem, a uděláme to tak, že: „Dáme nulu na A a konec dáme na úsečku…“ Což je věta trochu popletená. Pracovní sešit na str. 7, úkol č. 1. Obdélník EFGH změřila správně, ale strany mezi sebou neporovnala, jen zapsala │EH│=│EF│, což není pravda. U trojúhelníku IJK změřila špatně stranu JK o 1 cm méně, strany mezi sebou vůbec neporovnala. Trojúhelník LMN také jen změřila a neporovnala, u trojúhelníku OPR změřila jen dvě strany a také neporovnala. Známka 5.
6.10 28. 2. 2007 Po dlouhé době geometrie, a tak se opakují základy. Jaruška správně odpovídá, že učitelka vyznačila bod J. Také správně rozpoznala přímku o, přímku p. Učebnice na str. 29, úkol č. 2. Na čtvrtém obrázku Jaruška vidí: „úsečku, ne ne přímku, která prochází…, vlastně ne, lomenou čáru.“ Úkol č. 3. Děti rýsují přímku c procházející body C a D. Jaruška špatně rýsuje podle pravítka, sice správně podle té nejdelší hrany, ale pravítko má nahoře a tužku dole. Přímku narýsovala příliš krátkou, vypadalo to jako úsečka, na jedné straně ji tedy prodloužila. Úkol č. 4. Jaruščina přímka vypadá opět spíše jako polopřímka, na jedné straně končí hned za bodem, na druhé straně je trochu delší. Úkol č. 5. Učitelka se ptá Jarušky, kde má mít ten trojúhelník, že ho má špatně položený. Jaruška nějak nechápe, co se po ní chce. Učitelka jí tedy dá trojúhelník na sešit správně. Jaruška narýsovala úsečku RS, na jedné straně opět byla přímka o něco prodloužena, takže to nakonec vypadalo jako polopřímka. Při podtrhávání úsečky jí ujela pastelka z pravítka, nakonec pojmenovala přímku, už to vypadalo, že na to zapomene. Úkol č. 6. Jaruška správně narýsovala dostatečně dlouhou čáru. Děti sprváně říkají, že by nejprve vyznačily krajní bod A, Jaruška by pak hned značila druhý bod, po napomenutí se opravuje: „Změříme 4 cm.“ Pak se učitelka ptá, jestli budeme muset ještě něco udělat. Jaruška: „Mezi to A a B uděláme přímku c. Myslím, že za bodem B to nazveme c.“
6.11 8. 3. 2007 Učebnice na str. 30, úkol č. 6. Jaruška rýsuje velmi sebejistě a dobře, úkol měla ihned splněný. Úkol č. 7. Učitelka upozorňuje, aby si bod K vyznačili dostatečně daleko od kraje. Ptá se Jarušky, jak bod vyznačí. Jaruška odpovídá, že písmenem K, což není dobře. Při rýsování přímky k začala v prvním bodě k bodu K, tam rýsování zastavila a z druhého bodu rýsovala také k bodu K: 1.
X K 2.
51
Nesprávně říká, že dále narýsujeme bod M, který bude procházet bodem K. Učitelka se diví, proč bod M. Jaruška se pak opravuje, že bod ne, ale přímku m. Úkol č. 5. Jaruška si přímku m narýsovala do sešitu kolmo, pak zjistila, že se jí bude úkol dál dělat špatně, tak tuto přímku vygumovala a narýsovala ji vodorovně. Jaruška rýsovala podle správného postupu, měla to sice trochu ujeté, ale postup pochopila. Pracovní sešit na str. 7. Zde byl úkol podobný, jako ten předešlý. Jaruška velmi rychle a dobře vše narýsovala správně. S pravítky správně posunovala, ani si s nimi nehnula, měla to přesné.
6.12 Jaruška shrnutí Jaruščinou nejčastěji opakovanou chybou je, že místo rýsování kreslí (viz př. 6.1, 6.3, 6.5). Někdy se zdá, že je to kvůli zbrklému přečtení zadání, někdy proto, že nestíhá a chce ostatní dohonit. Občas se stalo, že jí zrovna na daném místě pravítko překáželo, a tak raději úsečku nakreslila, než aby se nepohodlně kroutila nad pravítkem (viz 6.5). Otočit si učebnici ji nikdy nenapadlo i přes rady učitelky. Nejčastěji však kreslila asi proto, že je to prostě jednodušší a rychlejší. Proč se trápit s pravítkem, když si jednoduše vezmeme tužku a rozpůlíme obdélník v půlce (6.4). Pokud rýsuje nějaký geometrický útvar, tak téměř jistě nebudou vrcholy spojeny přesně. Alespoň já jsem za celou dobu pozorování jejích počinů neviděla jeden celý správně narýsovaný geometrický tvar, kde by body byly všechny správně spojeny. Souvisí to zřejmě s jejím stylem rýsování. Ale i tím, že vše dělá jen tak přibližně, jelikož i tvar, modelovaný z modelíny a špejlí, měl body pospojovány nepřesně (viz 6.2). Přibližnost se objevuje u Jarušky celkem často. Ať už se jedná o vyznačení nějakého bodu na úsečce (viz 6.4), či narýsování úsečky určité délky (viz 6.1, 6.4, 6.9). I když si úsečku po sobě přeměří a vidí, že to není přesně př. 14 cm, ale jen 13,4 cm, zdá se jí to v pořádku a úkol neopraví (viz 6.4). Také se netrápila s pojmenováváním tvaru, napsala raději jen číslici 6, než aby psala slovo šestiúhelník. Proto mě u ní velmi překvapilo, jak splnila ve druhé práci část úkolu č. 2. Do tabulky, kde se měl zapsat název strany a dále její délka, zapsala i značku pro délku úsečky, což udělalo jen pár dětí (viz 6.5). Jaruška má také problémy s názvy těles (viz 6.5). Ve druhé práci neuvedla ani jeden název správně. Vždy uvedla název tvaru. U tělesa kuželu však nezná název tvaru, a tak si vymyslela nové jméno čepička. Těleso skutečně čepičku připomíná, tak proč nechávat prázdný řádek bez odpovědi.
7. DISKUZE Nyní se podívejme, co o problematice, které se věnuji, najdeme v odborné literatuře. Nejprve představím strukturu matematického poznání podle Hejného a Jirotkové (1999). Píší, že matematické poznání člověka má dvě rozsáhlé oblasti, které pokrývají většinu daného lidského intelektu: obsah a schopnosti (jako např. experimentování, analyzování situace, objevování, formulování myšlenky, hledání řešitelské strategie, argumentace, …). Obsah matematického poznání můžeme dělit na objekty (trojúhelník, přímky…; ptáme se „Co to je?“), vztahy (ty se dělí na tvrzení, př. Pythagorova věta; a vzorce, př. vzorec pro obsah trojúhelníka; ptáme se „Proč to tak je?“), postupy (sestrojování úsečky…) a schémata (ucelené představy, které se ve vědomí člověka vytváří na základě mnohonásobně opakované zkušenosti a jsou nositelem mnoha konkrétních poznatků, které člověk přímo neví, ale které z nich může vyvodit; př. dítě neví počet vrcholů na krychli, ale schéma krychle nosí v hlavě a není pro něj problém počet vrcholů pak kdykoliv zjistit). 52
Ve své práci (hl. viz kap. 4.) používám trochu jinou strukturu geometrických znalostí dětí. Jednak jde o teoretické poznání, hl. porozumění a používání pojmů, dále praktická geometrická činnost. Má kategorie teoretického poznání se více méně kryje s výše uvedeným obsahem matematického poznání. Problematiku úsečky můžeme zařadit do kategorie objektů (viz 3.11 – Danča neodpoví na otázku, co je to úsečka). Problematiku záměnu pojmů označit vs. vyznačit bych zařadila do kategorie vztahů. Děti musí pochopit vztah křížku, jakožto bodu, a písmeno, jakožto pojmenování daného bodu. Kategorie postupy je jednoznačná, naši druháci a třeťáci si osvojovali např. postup rýsování úsečky dané délky. Poslední kategorií jsou schémata. Zde si nejsem jistá, zda již v žácích vznikly ucelené představy o tom, co je to např. trojúhelník nebo kužel, s tímto pojmem nepracuji. Myslím, že je to hlavně proto, že děti v 8, 9 letech nejsou ještě takového druhu poznání schopné. Dle Piageta (in Langmeier, Krejčířová, 1998) je člověk schopen pracovat s pojmy, které jsou vzdáleny od bezprostřední smyslové zkušenosti, které jsou obecnější, abstraktnější, až ve stadiu formálních operací, které nastupuje nejdříve v 11, 12 letech. Proto jsem se ani zde s takovým poznáním nesetkala. Rozdílnost mé představy a představy Hejného a Sirotkové se liší v druhé kategorii, a to jejich schopnosti a má praktická činnost. Jde tedy o dvě naprosto rozdílné kategorie. A proč? Zřejmě schopnosti, jako např. formulování myšlenky, beru jako obecné schopnosti, které se prokazují díky znalostem, tedy obsahu matematického poznání. Svou pozornost jsem zaměřila naopak na specifické geometrické praktické činnosti související s motorikou, jako je např. rýsování podle pravítka. Nakonec ještě pár slov k časové dotaci geometrie. Ze všech stran (snad s výjimkou vědců – matematiků) sílí tlaky na omezení rozsahu vyučovacího předmětu matematika v povinném kurikulu, obzvláště geometrie v ní obsažené (Kubínová, Sýkora, 2002). Jenže kompetence žáka rozvíjené předmětem matematika, speciálně geometrickým učivem, tvoří nezbytnou součást celkového rozvoje jeho osobnosti (obvykle jsou uváděny následující příklady: logické usuzování, kritické myšlení, argumentace při obhajování přijatých závěrů, přesné vyjadřování, kvalifikované zpracování informací, tvorba algoritmů, prostorová představivost, volba vhodné strategie řešení problémů a jiné) a že je v tomto smyslu předmět matematika nezastupitelný, i přesto, že vlastní využití osvojených konkrétních matematických poznatků a dovedností v praktickém životě většiny členů společnosti je relativně velmi nízký.
8. ZÁVĚR Téměř celou práci jsem se zaměřovala na obtíže a chyby, které děti ve druhé a třetí třídě při hodinách geometrie dělají. Ony jsou ale velmi šikovné a s problémy se vyrovnávají celkem rychle. Některé chyby, které se objevovaly v jedné hodině, mohou zcela vymizet do hodiny další. Určitá látka je snazší a děti ji vstřebají rychle, něco trvá o trochu déle. Velikým problémem jsou dlouhé pauzy mezi bloky geometrie, ve třetí třídě šlo až o pět měsíců bez geometrie. Je jasné, že děti toho hodně zapomenou, a vše si musí zopakovat, než začnou s vysvětlováním nové látky. Avšak stačí dvě vyučovací hodiny, a už se mezi geometrickými pojmy pohybují opět jistě. Bohužel pak následuje další čas bez geometrie.
53
9. POUŽITÁ LITERATURA HEJNÝ, M., JIROTKOVÁ, D.: Čtverečkovaný papír jako MOST mezi geometrií a aritmetikou. Praha: UK PedF, 1999. KUBÍNOVÁ, M., SÝKORA, V.: Vyučování geometrii a rozvoj žákovských kompetencí, in 8. setkání učitelů matematiky všech stupňů škol. Praha: JČMF, 2002. LANGMEIER, J., KREJČÍŘOVÁ, D.: Vývojová psychologie. Praha: Grada, 1998.
54
10. PŘÍLOHY 10.1 Přílohy - učebnice 2. třída 10.1.1 Příloha č. 1 - učebnice str. 24
55
10.1.2 Příloha č. 2 - učebnice str. 36
56
10.1.3 Příloha č. 3 - učebnice str. 48
57
10.1.4 Příloha č. 4 - učebnice str. 55
58
10.1.5 Příloha č. 5 - učebnice str. 76
59
10.2 Přílohy - učebnice 3. třída 10.2.1 Příloha č. 6 - učebnice str. 7
60
10.2.2 Příloha č. 7 - učebnice str. 8
61
10.2.3 Příloha č. 8 - učebnice str. 12
62
10.2.4 Příloha č. 9 - učebnice str. 15
63
10.2.5 Příloha č. 10 - učebnice str. 29
64
10.2.6 Příloha č. 11 - učebnice str. 30
65
10.3 Přílohy - pracovní sešit 3. třída 10.3.1 Příloha č. 12 - pracovní sešit str. 3
66
10.3.2 Příloha č. 13 - pracovní sešit str. 5
67
10.3.3 Příloha č. 14 - pracovní sešit str. 7
68
10.4 Přílohy - práce dětí 10.4.1 Příloha č. 15 - práce Ondry ze dne 4. 4. 2006
69
10.4.2 Příloha č. 16 - práce Jarušky ze dne 4. 4. 2006
70
10.4.3 Příloha č. 17 - práce Ondry ze dne 15.6. 2006
71
10.4.4 Příloha č. 18 - práce Jarušky ze dne 15. 6. 2006
72
