Univerzita Karlova v Praze Matematicko-Fyzikální fakulta. Studijní program: Matematika, Finanční matematika

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

Eliˇska Vojtov´a Trˇ zn´ı riziko Matematicko-Fyzik´aln´ı fakulta

Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Mgr. Jiˇr´ı Herman, ˇ a pojiˇst’ovna a.s. Cesk´ Studijn´ı program: Matematika, Finanˇcn´ı matematika

2008

T´ımto bych chtˇela velmi podˇekovat Mgr. Jiˇr´ımu Hermanovi za pomoc pˇri zpracov´an´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakal´aˇrskou pr´aci napsala samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcov´an´ım pr´ace a jej´ım zveˇrejˇ nov´an´ım. V Praze dne

Eliˇska Vojtov´a

2

Obsah ´ Uvod

5

1 Statistick´ y z´ aklad 1.1 Momenty a korelace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Odhady parametr˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 8

2 Rizika 2.1 Definice pojmu riziko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dˇelen´ı rizik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Trˇzn´ı riziko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 12 13

3 Finanˇ cn´ı instrumenty 3.1 Dluhopisy . . . . . 3.2 Akcie . . . . . . . . 3.3 Swapy . . . . . . .

nimi spojen´ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14 18 21

4 Value at risk 4.1 Popis metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Metoda rozptyl˚ u a kovarianc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 26 27

Z´ avˇ er

33

Literatura

34

Pˇ r´ılohy

35

a . . .

rizika . . . . . . . . . . . .

3

s . . .

N´azev pr´ace: Trˇzn´ı riziko Autor: Eliˇska Vojtov´a Katedra: KPMS Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Mgr. Jiˇr´ı Herman e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: Pˇredloˇzen´a bakal´aˇrsk´a pr´ace se zab´ yv´a trˇzn´ım rizikem, jeho z´akladn´ımi sloˇzkami a jeho kvantifikac´ı. Pr´ace zaˇc´ın´a definov´an´ım potˇrebn´ ych statistick´ ych pojm˚ u, pot´e n´asleduje kapitola zab´ yvaj´ıc´ı se rizikem. V t´eto ˇca´sti je riziko definov´ano, dˇeleno a trˇzn´ı riziko bl´ıˇze specifikov´ano. Ve tˇret´ı kapitole jsou pops´any finanˇcn´ı instrumenty, kter´e se v dalˇs´ı ˇc´asti vyuˇz´ıvaj´ı, jejich oceˇ nov´an´ı a rizika s nimi spojen´a. Popisovan´ ymi finanˇcn´ımi instrumenty jsou dluhopisy, akcie a swapy. Posledn´ı ˇctvrt´a kapitola je vˇenov´ana metodˇe value at risk, coˇz je ˇcasto vyuˇz´ıvan´a metoda k v´ ypoˇctu trˇzn´ıho rizika. Tato metoda je zde vysvˇetlena a na modelov´em investiˇcn´ım portfoliu je numericky prezentov´ana v´ ypoˇctem. V´ ysledn´a hodnota je analyzov´ana a jsou navrˇzena moˇzn´a ˇreˇsen´ı pro jej´ı zmˇenu. Kl´ıˇcov´a slova: riziko, hodnota v riziku, dluhopisy, akcie, swapy Title: Market Risk Author: Eliˇska Vojtov´a Department: KPMS Supervisor: Mgr. Jiˇr´ı Herman Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: This thesis deals with market risks, its elementary factors and its quantification. The paper starts with definitions of necessary statistical concepts, then a chapter concerning risk follows. In this part the risk is defined, categorized and market risk is more deeply specified. The third part of the paper describes financial instruments applied in the next chapter, their valuation and related risks. Financial instruments concerned are bonds, shares and swaps. The last fourth chapter deals with value at risk methodology, which is often used for market risks evaluation. At first the method is described and then numerically presented (calculation of value at risk) on a model of investment portfolio. In the conclusion the output value is analyzed and suggestions how to change the value are proposed. Keywords: risk, value at risk, bonds, stocks, swaps 4

´ Uvod V´ yraz riziko, z italsk´eho ”risico”, p˚ uvodnˇe oznaˇcoval nebezpeˇc´ı pˇri plavbˇe, jemuˇz se pos´adky musely vyhnout. Od doby, kdy se zaˇcal poprv´e objevovat, tj. od 17. stolet´ı, proniknul do vˇsech obor˚ u lidsk´e ˇcinnosti i bˇeˇzn´e ˇreˇci a v obecn´em povˇedom´ı je vn´ım´an jako nebezpeˇc´ı vzniku ˇskody ˇci ztr´aty nebo jeˇstˇe obecnˇeji jako pravdˇepodobnost nezdaru. Pˇres urˇcit´ y v´ yznamov´ y posun a r˚ uzn´e zp˚ usoby definov´an´ı je pojem riziko v oblasti financ´ı spojen s nejednoznaˇcnost´ı a neurˇcitost´ı pr˚ ubˇehu urˇcit´ ych proces˚ u a jejich v´ ysledk˚ u. V z´avislosti na charakteru zdroje nejistoty jsou pak rozliˇsov´ana rizika finanˇcn´ı a nefinanˇcn´ı. Jedn´ım z v´ yznamn´ ych finanˇcn´ıch rizik je riziko trˇzn´ı, kter´e zachycuje zmˇeny v hodnot´ach finanˇcn´ıch instrument˚ u, zapˇr´ıˇcinˇen´e zmˇenami trˇzn´ıch podm´ınek, jako jsou napˇr. pohyby u ´rokov´ ych sazeb, v´ ykyvy v hodnot´ach akci´ı, kol´ıs´an´ı smˇenn´ ych kurz˚ u mˇen a cen komodit. Z hlediska struktury jsou v u ´vodn´ı ˇc´asti bakal´aˇrsk´e pr´ace definov´any z´akladn´ı statistick´e pojmy, kter´e jsou v pr´aci d´ale pouˇz´ıv´any. Na n´ı pak navazuje kapitola vˇenovan´a samotn´emu pojmu riziko, jeho definov´an´ı a typologii (s d˚ urazem na rizika trˇzn´ı), a kapitola popisuj´ıc´ı z´akladn´ı finanˇcn´ı instrumenty (akcie, dluhopisy a swapy), zp˚ usob jejich oceˇ nov´an´ı a trˇzn´ı rizika spojen´a s jejich drˇzbou. Posledn´ı ˇc´ast se soustˇred’uje na popis a aplikaci metody v´ ypoˇctu v´ yˇse trˇzn´ıho rizika, metody value at risk. Tato metoda je aplikov´ana na modelov´em investiˇcn´ım portfoliu a anal´ yza v´ ysledku je doplnˇena o n´avrhy opatˇren´ı pro zmˇenu jeho v´ yˇse.

5

Kapitola 1 Statistick´ y z´ aklad V t´eto podkapitole jsou zavedeny z´akladn´ı statistick´e pojmy, kter´e budou d´ale v textu pouˇz´ıv´any. Tyto definice a pojmy jsou ˇcerp´any z [2] a [10].

1.1

Momenty a korelace

Definice Necht’ Ω je prostor vˇsech element´arn´ıch jev˚ u, A je jeho σ-algebra a P pˇr´ısluˇsn´a pravdˇepodobnostn´ı m´ıra. Necht’ R je re´aln´a pˇr´ımka a B syst´em jej´ıch borelovsk´ ych ’ mnoˇzin. Necht X(ω) je mˇeˇriteln´a funkce z (Ω, A, P ) do (R, B). Pak se X(ω) naz´ yv´a n´ahodn´a veliˇcina a znaˇc´ı se struˇcnˇe X. Definice Stˇredn´ı hodnota n´ahodn´e veliˇciny X je definov´ana pˇredpisem Z Z EX = X(ω)dP (ω) = dF (x), Ω

(1.1)

R

kde F (x) je distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´e vekliˇciny X. Stˇredn´ı hodnota reprezentuje u ´roveˇ n, kolem n´ıˇz kol´ısaj´ı hodnoty n´ahodn´e veliˇciny. Definice Rozptyl n´ahodn´e veliˇciny X je definov´an vztahem varX = E(X − EX)2 = EX 2 − (EX)2 . 6

(1.2)

Rozptyl vyjadˇruje, nakolik jsou hodnoty n´ahodn´e veliˇciny rozpt´ ylen´e kolem jej´ı stˇredn´ı hodnoty, neboli mˇeˇr´ı rozsah hodnot n´ahodn´e veliˇciny kolem jej´ı stˇredn´ı hodnoty. Definice Smˇerodatn´a odchylka n´ahodn´e veliˇciny X je definov´ana jako odmocnina z rozptylu, √ σ = varX. (1.3) Ve finanˇcn´ıch oborech b´ yv´a smˇerodatn´a odchylka povaˇzov´ana za m´ıru rizika (v t´eto pr´aci je tak´e tak interpretov´ana). Definice Kovariance n´ahodn´ ych veliˇcin X a Y je definov´ana jako cov(X, Y ) = E[(X − EX)(Y − EY )] = EXY − EXEY.

(1.4)

Kovariance n´ahodn´ ych veliˇcin popisuje jejich vz´ajemn´e chov´an´ı. Definice Pro varX > 0 a varY > 0 definujeme korelaˇcn´ı koeficient n´ahodn´ ych veliˇcin X a Y pˇredpisem cov(X, Y ) . (1.5) ρX,Y = √ varXvarY Korelaˇcn´ı koeficient mˇeˇr´ı s´ılu z´avislosti dvou n´ahodn´ ych veliˇcin. Je to normovan´a kovariance tak, aby ρ ∈ h−1; 1i. Je-li ρ(X, Y ) > 0 n´ahodn´e veliˇciny X a Y jsou kladnˇe korelovan´e a jejich vztah je pˇr´ımo u ´mˇern´ y, je-li ρ(X, Y ) < 0 vztah mezi n´ahodn´ ymi veliˇcinami X a Y je nepˇr´ımo u ´mˇern´ y a veliˇciny jsou z´apornˇe korelovan´e a pokud ρ(X, Y ) = 0 n´ahodn´e veliˇciny X a Y jsou line´arnˇe nez´avisl´e a naz´ yvaj´ı se nekorelovan´e. Nulov´a hodnota koeficientu korelace tedy neznamen´a obecnou nez´avislost obou veliˇcin X a Y , ale pouze nez´avislost line´arn´ı.

7

Definice Stˇredn´ı hodnota n´ahodn´eho vektoru X = (X1 , . . . , Xn ) je vektor stˇredn´ıch hodnot jednotliv´ ych sloˇzek, pokud tyto stˇredn´ı hodnoty existuj´ı. EX = (EX1 , . . . , EXn )

(1.6)

Definice Matici varX = cov(Xi , Xj ), pro i, j = 1, . . . , n, typu n × n naz´ yv´ame varianˇcn´ı matic´ı n´ahodn´eho vektoru X = (X1 , . . . , Xn ), kde cov(Xi , Xj ) = varXi pro i = j. Definice Korelaˇcn´ı matice n´ahodn´eho vektoru X je symetrick´a matice s jedniˇckami na hlavn´ı diagon´ale, tzn. ρii = 1, a mimo hlavn´ı diagon´alu koeficienty korelace mezi veliˇcinami Xi a Xj , tedy ρXi ,Xj .

1.2

Odhady parametr˚ u

Odhad parametru je jak´akoli funkce porovn´an´ı n´ahodn´eho v´ ybˇeru. Definice ˇ Rekneme, ˇze odhad θˆn parametru θ je nestrann´ y (nevych´ ylen´ y), plat´ı-li ˆ E θn = θ. Definice Odhad θˆn parametru θ naz´ yv´a me konzistentn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz pro li ˆ bovoln´e ε > 0 plat´ı P [ θn − θ ≥ ε] → 0 pro n → ∞. Neboli odhad θˆn p konverguje v pravdˇepodobnosti k θ pro n → ∞ (θˆn → θ pro n → ∞). Definice Necht’ X1 , . . . , Xn je posloupnost nez´avisl´ ych stejnˇe rozdˇelen´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin s rozdˇelen´ım Q. Pak ˇr´ık´ame, ˇze X1 , . . . , Xn je n´ahodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı Q.

8

Pˇ rehled odhad˚ u v´ yˇ se zmiˇ novan´ ych moment˚ u a korelac´ı Definice V´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer X n je odhadem stˇredn´ı hodnoty 1 Xn Xn = i=1 xi . n

(1.7)

Vˇ eta Necht’ X1 , . . . , Xn je n´ahodn´ y v´ ybˇer s koneˇcnou stˇredn´ı hodnotou µ a s koneˇcn´ ym rozptylem σ 2 , pak X n je nestrann´ ym a konzistentn´ım odhadem µ. D˚ ukaz Pn Pn 1 1 x = E Nestrannost: EX = E n i i=1 i=1 xi = n n Pn 1 i=1 µ = µ n Konzistence:P EX n = µ, 2 1 1 n 2 = σn , varX n = n2 i=1 varxi = n2 nσ ˇ Dle Cebyˇ sovovy nerovnosti: P [ X n − µ ≥ ε] ≤ 

1 n

Pn

varX ε2

i=1 Exi

=

σ2 nε2

=

1 n

Pn

i=1 Exi

→ 0 pro n → ∞.

Definice V´ ybˇerov´ y rozptyl Sn2 je odhadem rozptylu. Sn2 =

1 Xn 2 i=1 (xi − X n ) n−1

(1.8)

Vˇ eta Necht’ X1 , . . . , Xn je n´ahodn´ y v´ ybˇer s koneˇcnou stˇredn´ı hodnotou µ a s ko2 neˇcn´ ym rozptylem σ , pak v´ ybˇerov´ y rozptyl je nestrann´ ym a konzistentn´ım odhadem σ 2 . D˚ ukaz Nestrannost: nejprve uprav´ıme Sn2 Pn Pn 2 2 X ) = + (µ − X n )]2 = (n − 1)S = (x − n i i=1 [(xi − µ)P n i=1 Pn P (xi − µ)2 − 2[(X n − µ) ni=1 (xi − µ)] + ni=1 (X n − µ)2 = P i=1 n 2 2 n − µ) − n(X n − µ) = P ni=1 (xi − µ)2 − 2n(X n − µ)(X 2 i=1 (xi − µ) − n(X n − µ)

9

=

nyn´ı na upraven´ y vzorec aplikujeme stˇredn´ı hodnotu (n − 1)ESn2 =

Pn

i=1 σ

2

2

− nE(X n − µ)2 = nσ 2 − n σn = σ 2 (n − 1)

Konzistence: pouˇzijeme upraven´ y vzorec z d˚ ukazu nestrannosti Sn2 =

1 n−1

Pn

i=1 (xi

− µ)2 −

n (X n n−1

− µ)2

Ze slab´eho z´akona velk´ ych ˇc´ısel (viz [1] a [2]) v´ıme, ˇze pro n → ∞ p

p

X n → µ ⇒ (X n − µ) → 0 a

Pn

i=1 (xi

p

− µ)2 → σ 2

p

odtud jiˇz zˇrejmˇe plyne Sn2 → σ 2  V´ ybˇerov´a smˇerodatn´a odchylka Sn je odhad smˇerodatn´e odchylky p Sn = Sn2

(1.9)

V´ ybˇerov´a kovariance SXY je odhad kovariance 1 Xn 1 Xn i=1 (xi − X n )(yi − Y n ) = i=1 xi yi − nX n Y n n−1 n−1 (1.10) V´ ybˇerov´ y korelaˇcn´ı koeficient rXY je odhadem korelaˇcn´ıho koeficientu SXY =

rXY =

SXY SX SY

(1.11)

ˆ je odhadem kovarianˇcn´ı matice. Vznik´a V´ ybˇerov´a kovarianˇcn´ı matice Σ stejn´ ym zp˚ usobem jako kovarianˇcn´ı matice, jen je pouˇzita v´ ybˇerov´a kovariance a v´ ybˇerov´ y rozptyl. ˆ je odhad korelaˇcn´ı matice. Je to symetrick´a V´ ybˇerov´a korelaˇcn´ı matice R matice s jedniˇckami na diagon´ale a s prvky rXi ,Xj , pro i 6= j.

10

Kapitola 2 Rizika 2.1

Definice pojmu riziko

Riziko je historick´ y v´ yraz, poch´azej´ıc´ı u ´dajnˇe ze 17. stolet´ı, kdy se objevil v souvislosti s lodn´ı plavbou. V´ yraz ”risico” poch´az´ı z italˇstiny a oznaˇcoval u ´skal´ı, kter´emu se museli plavci vyhnout. Pozdˇeji se t´ımto slovem vyjadˇrovalo ”vystaven´ı nepˇr´ızniv´ ym okolnostem.” Ve starˇs´ıch encyklopedi´ıch najdeme pod heslem riziko vysvˇetlen´ı, ˇze se jedn´a o odvahu ˇci nebezpeˇc´ı, pˇr´ıpadnˇe ˇze ”riskovat” znamen´a odv´aˇzit se nˇeˇceho. Teprve v posledn´ı dobˇe se objevuje i v´ yznam ve smyslu moˇzn´e ztr´aty. Podle dneˇsn´ıch v´ yklad˚ u se rizikem obecnˇe rozum´ı nebezpeˇc´ı vzniku ˇskody, poˇskozen´ı, ztr´aty ˇci zniˇcen´ı, pˇr´ıpadnˇe nezdaru pˇri podnik´an´ı. [8], [9] Neexistuje jedna obecnˇe uzn´avan´a definice, pojem riziko je definov´an r˚ uznˇe: • pravdˇepodobnost ˇci moˇznost vzniku ztr´aty, obecnˇe nezdaru • variabilita moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u nebo nejistota jejich dosaˇzen´ı • odch´ ylen´ı skuteˇcn´ ych a oˇcek´avan´ ych v´ ysledk˚ u • pravdˇepodobnost jak´ehokoliv v´ ysledku odliˇsn´eho od v´ ysledku oˇcek´avan´eho Ze souboru definic je celkovˇe patrn´e, ˇze riziko nen´ı veliˇcina, kter´a vede k exaktn´ım hodnot´am, ale veliˇcina, jej´ıˇz hodnota je odhadem, a to odhadem empirick´ ym nebo analytick´ ym. Ve financ´ıch je pojem ”riziko” uˇz´ıv´an v souvislosti s nejednoznaˇcnost´ı pr˚ ubˇehu urˇcit´ ych skuteˇcn´ ych proces˚ u a nejednoznaˇcnost´ı jejich v´ ysledk˚ u.

11

S rizikem jsou tedy tˇesnˇe spjaty dva pojmy:[8],[9] • Pojem neurˇcit´eho v´ ysledku, o nˇemˇz se implicitnˇe uvaˇzuje ve vˇsech definic´ıch rizika: v´ ysledek mus´ı b´ yt nejist´ y. M´ame-li hovoˇrit o riziku, mus´ı existovat alespoˇ n dvˇe varianty ˇreˇsen´ı. V´ıme-li s jistotou, ˇze dojde ke ztr´atˇe, nelze hovoˇrit o riziku • Alespoˇ n jeden z moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u je neˇza´douc´ı. V obecn´em slova smyslu m˚ uˇze j´ıt o ztr´atu, kdy jist´a ˇca´st majetku jednotlivce je ztracena; m˚ uˇze j´ıt o v´ ynos, kter´ y je niˇzˇs´ı neˇz moˇzn´ y v´ ynos. Napˇr´ıklad investor, kter´ y nevyuˇzije pˇr´ıleˇzitosti, ”ztr´ac´ı” zisk, kter´eho mohlo b´ yt dosaˇzeno. O investorovi rozhoduj´ıc´ım se mezi dvˇema akciemi, m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze ”tratil”, pokud zvolil tu akcii, jej´ıˇz hodnota se zv´ yˇsila m´enˇe neˇz hodnota akcie druh´e

2.2

Dˇ elen´ı rizik

Vˇseobecnˇe se rizika klasifikuj´ı podle zdroje, odkud nejistota poch´az´ı. Rizika tak lze rozdˇelit na rizika finanˇcn´ı a nefinanˇcn´ı. [7] Finanˇ cn´ı rizika • kreditn´ı (´ uvˇerov´e) riziko – riziko ztr´aty zapˇr´ıˇcinˇen´e neplacenn´ım dluˇzn´e strany jej´ıch z´avazk˚ u • trˇzn´ı riziko – nejistota plynouc´ı ze zmˇen trˇzn´ıch cen a jejich dopadu na zisk • riziko likvidity – riziko, ˇze firma nebude schopna dost´at v urˇcit´em okamˇziku sv´ ym z´avazk˚ um • operaˇcn´ı riziko – riziko lidsk´e chyby nebo selh´an´ı syst´emu Nefinanˇ cn´ı rizika jsou napˇr´ıklad • pr´avn´ı riziko – riziko ztr´aty zapˇr´ıˇcinˇen´e pr´avn´ı nevymahatelnost´ı nebo ˇspatnou interpretac´ı pr´ava • daˇ nov´e riziko – riziko nepˇr´ızniv´ ych zmˇen daˇ nov´ ych povinnost´ı • reputaˇcn´ı riziko – potencion´aln´ı ztr´ata vznikl´a poˇskozen´ım dobr´eho jm´ena spoleˇcnosti 12

• politick´e riziko – riziko ztr´aty v d˚ usledku zmˇeny politick´eho prostˇred´ı • riziko modelu – potenciln´ı ztr´ata z d˚ uvodu nespravn´eho pouˇzit´ı modelu V t´eto pr´aci se budeme zab´ yvat pouze rizikem trˇzn´ım.

2.3

Trˇ zn´ı riziko

Trˇzn´ı riziko je riziko spojen´e se ztr´atou zp˚ usobenou zmˇenou cen, kurz˚ u a sazeb na finanˇcn´ıch trz´ıch. Je to tedy moˇzn´a ztr´ata hodnoty instrumentu (resp. portfolia) v d˚ usledku zmˇeny trˇzn´ıch podm´ınek. Jin´a definice ˇr´ık´a, ˇze trˇzn´ı riziko je potencion´aln´ı zmˇena v hodnotˇe instrumentu v d˚ usledku zmˇeny v nˇekter´ ych ze z´akladn´ıch zdroj˚ u trˇzn´ı nejistoty. Zjednoduˇsenˇe se d´a popsat jako nejistota budouc´ıch zisk˚ u vypl´ yvaj´ıc´ı ze zmˇeny trˇzn´ıch podm´ınek. Trˇzn´ı riziko lze dˇelit na [3], [7] • u ´rokov´e riziko – riziko poklesu hodnoty instrumentu (resp. portfolia) citliv´ ych na zmˇenu u ´rokov´e m´ıry z d˚ uvodu zmˇeny hladiny u ´rokov´e sazby • mˇenov´e riziko – riziko nepˇr´ızniv´eho v´ yvoje mˇenov´eho kurzu • akciov´e riziko – riziko negativn´ıho dopadu zmˇen cen akciov´ ych n´astroj˚ u na hodnotu instrumentu (resp. portfolio) • komoditn´ı riziko – riziko sn´ıˇzen´ı ceny n´astroj˚ u citliv´ ych na zmˇenu ceny komodit (napˇr.: ropa, zemn´ı plyn, kovy, obil´ı,. . . ) • korelaˇcn´ı riziko – riziko ztr´aty v d˚ usledku poruˇsen´ı korelac´ı, kter´e platily v minulosti, mezi dan´ ymi rizikov´ ymi kategoriemi (akciemi, cenn´ ymi pap´ıry, komoditami,. . . )

13

Kapitola 3 Finanˇ cn´ı instrumenty a rizika s nimi spojen´ a Portfolio je soubor investiˇcn´ıch instrument˚ u drˇzen´ ych investorem. Tento soubor by mˇel z hlediska v´ ynosnosti a rizika splˇ novat pˇredstavy investora. Skladbou portfolia se zab´ yv´a teorie portfolia, kter´a m´a poˇca´tky v pades´at´ ych letech dvac´at´eho stolet´ı. C´ılem teorie portfolia je dos´ahnout takov´e alokace aktiv, kter´a pˇri poˇzadovan´em v´ ynosu minimalizuje riziko. Z tohoto d˚ uvodu doch´az´ı k tzv. diverzifikaci portfolia, coˇz je portfolio s vhodnˇe rozloˇzen´ ymi instrumenty. V´ yhodou dobˇre diverzifikovan´eho portfolia je sn´ıˇzen´ı rizika, kter´e je menˇs´ı, neˇz souˇcet rizik jednotliv´ ych instrument˚ u v portfoliu obsaˇzen´ ych. Toho lze doc´ılit d´ıky vz´ajemn´emu ovlivˇ nov´an´ı mezi instrumenty. [4], [5]

3.1

Dluhopisy

Dluhopisy nebo tak´e obligace ˇci bondy pˇredstavuj´ı velmi rozˇs´ıˇren´ y druh cenn´ ych pap´ır˚ u, jejichˇz emis´ı si emitent opatˇruje u ´vˇerov´ y kapit´al. Dluˇzn´ıkem je tedy emitent dluhopisu (st´at, komun´aln´ı org´an, banka, firma) a vˇeˇritelem je drˇzitel dluhopisu (investor). Emise dluhopis˚ u m´a zpravidla za c´ıl z´ısk´an´ı finanˇcn´ıch prostˇredk˚ u na delˇs´ı dobu s jistotou, ˇze vˇeˇritel od sv´eho rozhodnut´ı neustoup´ı. S dluhopisy je moˇzn´e obchodovat na trhu cenn´ ych pap´ır˚ u. Z´akladn´ımi typy dluhopis˚ u jsou bezkup´onov´ y dluhopis a dluhopis s fixn´ım nebo promˇenliv´ ym kup´onem. Nejbˇeˇznˇeji pouˇz´ıvan´ y je dluhopis s fixn´ım kup´onem, coˇz znamen´a, ˇze drˇzitel obligace dost´av´a ve stanoven´ ych term´ınech pˇredem dan´e spl´atky (kup´ony). V´ yˇse kup´onu je urˇcena souˇcinem kup´onov´e 14

sazby a nomin´aln´ı hodnoty dluhopisu se zohlednˇen´ım frekvence v´ yplat. Na konci doby splatnosti obdrˇz´ı investor od emitenta kromˇe posledn´ıho kup´onu i nomin´aln´ı hodnotu dluhopisu. Bezkup´onov´ y dluhopis je vlastnˇe kup´onov´ y dluhopis s nulov´ ym kup´onem. Emituje se proto za cenu hluboko pod nomin´aln´ı hodnotou. Dluhopis s promˇenliv´ ym kup´onem se od fixn´ıho kup´onu liˇs´ı pohyblivou kup´onovou sazbou, kter´a se odv´ıj´ı od aktu´aln´ı hodnoty nˇekter´e pˇredem stanoven´e referenˇcn´ı u ´rokov´e m´ıry (PRIBOR-Prague InterBank Offered Rate, LIBOR-London InterBank Offered Rate). [3], [4]

Co se t´ yˇce postaven´ı dluhopis˚ u v investiˇcn´ım souboru (portfoliu) investora, obecnˇe se jim pˇrisuzuje [4] • v´ ynos vˇetˇs´ı neˇz pro bankovn´ı vklady, ale niˇzˇs´ı neˇz pro akcie (i kdyˇz v urˇcit´ ych situac´ıch m˚ uˇze v´ ynos z dluhopis˚ u kr´atkodobˇe pˇrev´ yˇsit dividendov´ y plus kapit´alov´ y v´ ynos z akci´ı) • riziko niˇzˇs´ı neˇz pro akcie, nebot’ v´ yplata u ´rok˚ u nen´ı tak z´avisl´a na hospodaˇren´ı emitenta jako v pˇr´ıpadˇe akciov´ ych dividend. Rizikovost dluhopis˚ u spoˇc´ıv´a pˇrev´aˇznˇe v jejich citliv´e reakci na zmˇeny u ´rokov´ ych mˇer. Zv´ yˇsen´a volatilita u ´rokov´ ych mˇer m˚ uˇze zp˚ usobit pokles popt´avky po dluhopisech • likvidita sp´ıˇse nadpr˚ umˇern´a s t´ım, ˇze ˇcasto lze pr´avˇe pomoc´ı dluhopis˚ u dos´ahnout shody s investiˇcn´ımi z´amˇery jejich drˇzitel˚ u

Oceˇ nov´ an´ı dluhopis˚ u V´ ypoˇcet souˇcasn´e hodnoty dluhopisu je ilustrov´an na dluhopisu s variabiln´ım kup´onem, protoˇze ostatn´ı v´ yˇse jmenovan´e dluhopisy jsou jen jeho modifikac´ı. Dluhopis s fixn´ım kup´onem se oceˇ nuje stejnˇe, ale kup´onov´a sazba z˚ ust´av´a konstantn´ı. Bezkup´onov´ y dluhopis se od kup´onov´ ych dluhopis˚ u liˇs´ı jen nulov´ ym kup´onem. Souˇcasn´a hodnota dluhopisu se vypoˇc´ıt´a diskontov´an´ım vˇsech penˇeˇzn´ıch tok˚ u do souˇcasnosti pomoc´ı pˇr´ısluˇsn´e u ´rokov´e m´ıry. Protoˇze v pˇr´ıpadˇe dluhopis˚ u jsou pˇresnˇe stanoven´e periody jednotliv´ ych finanˇcn´ıch tok˚ u, vych´az´ı je-

15

jich oceˇ nov´an´ı ze vzorce PV =

K X k=1

CFtk , (1 + itk )tk

(3.1)

kde P V znaˇc´ı souˇcasnou hodnotu dluhopisu; K poˇcet v´ yplatn´ıch (spl´atkov´ ych) obdob´ı do splatnosti dluhopisu; CFtk finanˇcn´ı toky v ˇcase tk ; itk u ´rokovou m´ıru v ˇcase tk . Vzorec lze pˇresnˇeji zapsat PV =

K X k=1

ctk N N + , (1 + itk ) tk (1 + itK ) tK

(3.2)

kde N je nomin´aln´ı hodnota dluhopisu; ctk je kup´onov´a sazba v ˇcase tk Ve v´ ypoˇctu souˇcasn´e hodnoty dluhopisu se rovnˇeˇz zohledˇ nuje u ´vˇerov´e rozpˇet´ı, tzv. kreditn´ı spread, kter´ y ve vzorc´ıch znaˇc´ıme cs (credit spread), coˇz je rozd´ıl mezi v´ ynosovou kˇrivkou dan´eho finanˇcn´ıho n´astroje (napˇr.: podnikov´eho dluhopisu) a v´ ynosovou kˇrivkou obdobn´eho bezrizikov´eho finanˇcn´ıho n´astroje (napˇr.: st´atn´ıho dluhopisu). Proto v tomto vzorci je pouˇzita bezrizikov´a u ´rokov´a m´ıra i0t a vzorec dost´av´a n´asleduj´ıc´ı podobu

PV =

K X k=1

ctk N N

+ 1 + i0tk + cs tk 1 + i0tK + cs tK

(3.3)

Rizika spojen´ a s drˇ zbou dluhopisu I pˇresto, ˇze jsou dluhopisy povaˇzov´any za pomˇernˇe nerizikov´e investice, existuje mnoho rizik, kter´a jsou s nimi spojena. Mezi takov´a rizika patˇr´ı napˇr´ıklad riziko spojen´e s bonitou dluhopisu, coˇz je riziko neplacen´ı kup´on˚ u nebo dokonce nesplacen´ı nomin´aln´ı hodnoty. Toto riziko lze eliminovat zakoupen´ım bonitn´ıch a likvidn´ıch dluhopis˚ u, jako jsou napˇr. st´atn´ı, kter´e se povaˇzuj´ı za bezrizikov´e, ovˇsem na u ´kor vyˇsˇs´ıch v´ ynos˚ u. V´ıce se t´ımto rizikem zab´ yvat nebudeme, protoˇze patˇr´ı do rizik kreditn´ıch. Hlavn´ım trˇzn´ım rizikem spojen´ ym s drˇzbou dluhopisu je zmˇena u ´rokov´ ych mˇer, pˇr´ıpadnˇe mˇenov´eho 16

kurzu u dluhopis˚ u v ciz´ı mˇenˇe. Zmˇenou souˇcasn´e hodnoty dluhopisu zp˚ usobenou zmˇenou u ´rokov´ ych mˇer se budeme zab´ yvat podrobnˇeji. Ze vzorce (3.2) je jasn´e, ˇze zmˇena u ´rokov´e m´ıry je ve vztahu nepˇr´ım´e u ´mˇery k souˇcasn´e hodnotˇe dluhopisu. Jinak ˇreˇceno, kles´a-li u ´rokov´a m´ıra, souˇcasn´a hodnota dluhopisu roste a naopak. To plat´ı pro obligaci bezkup´onovou i s fixn´ım kup´onem, liˇs´ı se vˇsak pro dluhopis s variabiln´ım kup´onem, kde se hodnota kup´onu odv´ıj´ı pr´avˇe od u ´rokov´e m´ıry a tud´ıˇz jej´ı zmˇeny kompenzuje. Tento vztah odvod´ıme ze vzorce (3.2). Pro v´ ypoˇcet souˇcasn´e hodnoty dluhopisu s promˇenliv´ ym kup´onem potˇrebujeme forwardov´e sazby ft−1,t (budouc´ı u ´rokov´e m´ıry mezi lety t − 1 a t). K jejich v´ ypoˇctu pouˇzijeme spotov´e sazby st−1 (resp. st ) (aktu´aln´ı u ´rokov´e m´ıry aplikovateln´e na finanˇcn´ım trhu pro u ´roˇcen´ı a diskontov´an´ı pˇres obdob´ı d´elky t − 1 (resp. t)) Mezi tˇemito sazbami plat´ı vztah (1 + st−1 )t−1 (1 + ft−1,t ) = (1 + st )t

(3.4)

z toho vypl´ yv´a ft−1,t

(1 + st )t −1 = (1 + st−1 )t−1

(3.5)

S pouˇzit´ım spotov´ ych a forwardov´ ych sazeb m˚ uˇzeme vzorec (3.5) zapsat takto

PV =

f1,2 N s1 N fT −1,T N N + + 2 + ... + T (1 + s1 ) (1 + s2 ) (1 + sT ) (1 + sT )T

(3.6)

Po dosazen´ı (3.5) do (3.6) dost´av´ame " # s1 N (1 + s2 )2 N PV = + ... + −1 1 + s1 1 + s1 (1 + s2 )2 " # (1 + sT )T N N + −1 + T −1 T (1 + sT )T (1 + sT −1 ) (1 + sT )

17

(3.7)

Po u ´pravˇe z´ısk´ame rovnost

PV = N

(3.8)

Vzorec (3.8) plat´ı, pokud poˇc´ıt´ame souˇcasnou cenu obligace v dobˇe vypl´acen´ı kup´onu. Pˇri v´ ypoˇctu souˇcasn´e ceny v dobˇe mezi jednotliv´ ymi kup´ony se vzorec pozmˇen´ı, protoˇze je nutno zapoˇc´ıtat ˇc´ast hodnoty prob´ıhaj´ıc´ıho kup´onu. Tento prob´ıhaj´ıc´ı kup´on jiˇz m´a kup´onovou sazbu danou, ta je vˇetˇsinou zafixov´ana dva dny pˇred v´ yplatou pˇredchoz´ıho kup´onu. Proto se tento kup´on chov´a jako fixn´ı. Z toho d˚ uvodu bude m´ıt na jeho souˇcasnou hodnotu zmˇena u ´rokov´e m´ıry stejn´ y vliv jako na dluhopis s fixn´ım kup´onem. Pˇredpokl´adejme nyn´ı, ˇze dluhopis kupujeme v ˇcase t, kde 0 < t < 1 a 0 a 1 zn´azorˇ nuj´ı term´ıny minul´e a n´asleduj´ıc´ı v´ yplaty kup´onu, a prob´ıhaj´ıc´ı kup´on je u ´roˇcen zafixovanou sazbou c. Protoˇze doba u ´roˇcen´ı je menˇs´ı neˇz rok, pouˇzijeme jednoduch´e u ´roˇcen´ı. [3], [4] PV =

3.2

(1 + c)N 1 + (1 − t)s1−t

(3.9)

Akcie

Akcie (stocks, shares) jsou obchodovateln´e cenn´e pap´ıry v´azan´e na konkr´etn´ı akciovou spoleˇcnost, kter´a si jejich emis´ı navyˇsuje sv˚ uj z´akladn´ı kapit´al. Investor se koup´ı akci´ı st´av´a akcion´aˇrem dan´e firmy, s ˇc´ımˇz jsou spojena jeho pr´ava jako spoleˇcn´ıka pod´ılet se na ˇr´ızen´ı a zisku spoleˇcnosti (pr´avo na dividendy), na likvidaˇcn´ım z˚ ustatku pˇri pˇr´ıpadn´em z´aniku spoleˇcnosti a nˇekdy mu d´avaj´ı i pr´avo na pˇrednostn´ı n´akup novˇe emitovan´ ych akci´ı,. Za ztr´aty spoleˇcnosti ruˇc´ı jen sv´ ym pod´ılem. [3], [4] Ve sv´e klasick´e podobˇe obyˇcejn´ ych akci´ı funguj´ı akcie na rozd´ıl od dluhopis˚ u jako dividendov´e cenn´e pap´ıry, jejichˇz dividendov´ y v´ ynos nen´ı pˇredem urˇcen. Ani ziskovost spoleˇcnosti nezaruˇcuje v´ yplaty dividend, protoˇze vrcholov´ y management m˚ uˇze zadrˇzovat zisk za u ´ˇcelem tvorby fond˚ u ze zisku. [3], [4] Cena akci´ı je stejnˇe jako cena dluhopisu promˇenliv´a. Pˇri emisi akci´ı jsou akcie prod´av´any za svou nomin´aln´ı hodnotu a d´ale se jejich cena odv´ıj´ı od nab´ıdky a popt´avky na burze cenn´ ych pap´ır˚ u a samozˇrejmˇe i od samotn´eho ekonomick´eho v´ yvoje dan´e spoleˇcnosti. 18

Co se t´ yˇce postaven´ı akc´ı´ı v investiˇcn´ım souboru (portfoliu) investora, obecnˇe se jim pˇrisuzuje: [4] • v´ ynos v pr˚ umˇeru vyˇsˇs´ı neˇz u dluhopis˚ u a bankovn´ıch vklad˚ u • volatilita (rizikov´e kol´ıs´an´ı v´ ynosov´ ych mˇer) je vyˇsˇs´ı neˇz pro dluhopisy ’ a bankovn´ı u ´vˇery (zvl´aˇst v kratˇs´ıch ˇcasov´ ych horizontech), ale je kompenzov´ana v pr˚ umˇeru vyˇsˇs´ım v´ ynosem. Pˇri sestavov´an´ı akciov´eho portfolia je proto nutn´e hledat urˇcit´ y kompromis mezi pr˚ umˇern´ ym v´ ynosem a rizikem • likvidita znaˇcnˇe z´avis´ı na typu akcie. U nejv´ıce obchodovan´ ych akci´ı je likvidita vysok´a, naproti tomu novˇe emitovan´e akcie m´ıvaj´ı likviditu v pr˚ umˇeru malou Rizika spojen´ a s drˇ zbou akci´ı Hlavn´ım trˇzn´ım rizikem spojen´ ym s drˇzbou akci´ı je samozˇrejmˇe ztr´ata hodnoty drˇzen´e akcie. Protoˇze akcie jsou povaˇzovan´e na rozd´ıl od dluhopis˚ u za sp´ıˇse rizikov´e investiˇcn´ı instrumenty, nen´ı bˇeˇzn´e investovat jen do jedn´e akcie, ale investoˇri kupuj´ı v´ıce r˚ uzn´ ych akci´ı a t´ım diverzifikuj´ı sv´e portfolio. V´ yhodnost diverzifikace portfolia ilustruje pˇr´ıklad. Pˇr´ıklad 1 - Diverzifikace portfolia Pˇredstavme si dvˇe akcie ve stejn´e mˇenˇe. Akcie A m´a volatilitu (m´ıru rizika) σA = 6% , Akcie B m´a volatilitu σB = 8%. Takˇze m´ıra rizika tˇechto dvou akci´ı je 14%. Zapoˇc´ıt´ame-li vˇsak jejich vz´ajemn´e vazby neboli korelace, m´ıry rizika portfolia se zmˇen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ M´ıra rizika portfolia σP , kter´e je sloˇzeno z akcie A a akcie B ve stejn´em pomˇeru se vypoˇc´ıt´a podle vzorce   
1 ρA,B σA 2 σP = σA σB (3.10) ρA,B 1 σB Velikost v´ ysledn´e m´ıry rizika z´avis´ı tud´ıˇz na vztahu, jak´ ym se akcie v portfoliu ovlivˇ nuj´ı: 19

a) vztah pˇr´ım´e u ´mˇery Pˇr´ımo u ´mˇernˇe se ovlivˇ nuj´ı jak´ekoli komplementy, napˇr´ıklad akcie mobiln´ıch oper´ator˚ u a v´ yrobc˚ u mobiln´ıch telefon˚ u, jinak ˇreˇceno roste-li z´ajem o vyuˇz´ıv´an´ı mobiln´ı s´ıtˇe, zvyˇsuje se i popt´avka po mobiln´ıch telefonech. Tento vztah se d´a vyj´adˇrit kladn´ ym korelaˇcn´ım koeficinetem, pro n´aˇs pˇr´ıklad zvolme napˇr. ρA,B = 0, 5 Korelaˇcn´ı matice vypad´a n´asledovnˇe   1 0, 5 0, 5 1 Po dosazen´ı do vzorce (3.10) vyjde   
1 0, 5 0, 06 2 σPa) = 0, 06 0, 08 = 0, 0148 0, 5 1 0, 08 q p . σP2 a) = 0, 0148 = 0, 122 = 12, 2% b)akcie jsou nez´avisl´e Nez´avislost akci´ı vyj´adˇr´ıme nulov´ ym korelaˇcn´ım koeficientem (ρA,B = 0). Pˇr´ıkladem nez´avisl´ ych akci´ı mohou b´ yt napˇr´ıklad akcie mobiln´ıch oper´ator˚ u a akcie zologick´e zahrady, neboli lid´e navˇstˇevuj´ı zologickou zahradu bez ohledu na to, zda jsou ˇci nejsou zv´ yˇseny sazby mobiln´ıch oper´ator˚ u. V´ ypoˇcet je ekvivalentn´ı s a)   
1 0 0, 06 2 σPb) = 0, 06 0, 08 = 0, 010 0 1 0, 08 q p . σP2 b) = 0, 010 = 0, 100 = 10% c)vztah nepˇr´ım´e u ´mˇery Vztah nepˇr´ım´e u ´mˇery vyjadˇruje z´aporn´ y korelaˇcn´ı koeficient, pro uk´azku zvol´ıme ρA,B = −0, 5. Pˇr´ıkladem takov´ ychto akci´ı jsou napˇr. akcie mobiln´ıch oper´ator˚ u a provozovatel˚ u pevn´ ych linek nebo jak´ekoli jin´e akcie spoleˇcnost´ı, kter´e nab´ızej´ı zamˇeniteln´e zboˇz´ı.

σP2 c)

=

0, 06 0, 08






1 −0, 5 −0, 5 1 20



0, 06 0, 08

 = 0, 0052

q p . σP2 c) = 0, 0052 = 0, 072 = 7, 2%

Z pˇr´ıkladu plyne, ˇze d´ıky vz´ajemn´emu ovlivˇ nov´an´ı akci´ı se riziko portfolia sniˇzuje. Vztah nepˇr´ım´e u ´mˇery riziko zmenˇsuje nejv´ yraznˇeji a pˇr´ımo u ´mˇern´ y vztah nejm´enˇe. Budou-li m´ıt akcie korelaˇcn´ı koeficient roven 1, dojdeme ke stejn´e m´ıˇre rizika jako pˇri jednoduch´em souˇctu jejich volatilit, pˇri jak´ekoli jin´e korelaci akci´ı bude v´ ysledn´a m´ıra rizika niˇzˇs´ı.

3.3

Swapy

Swapy patˇr´ı do skupiny finanˇcn´ıch deriv´at˚ u, coˇz znamen´a, ˇze je to instrument, jehoˇz hodnota z´avis´ı na hodnotˇe jin´eho tzv. podkladov´eho instrumentu. D´ale se finanˇcn´ı deriv´aty vyznaˇcuj´ı ˇcasovou diferenc´ı mezi uzavˇren´ım obchodu a jeho plnˇen´ım, nejedn´a se tedy o spotov´e (promptn´ı), n´ ybrˇz term´ınovan´e obchody. Swapy jsou z´astupcem pevn´ ych deriv´at˚ u, coˇz znamen´a, ˇze v dobˇe splatnosti jsou oba u ´ˇcastn´ıci obchodu povinni smluven´ y obchod uskuteˇcnit. Vstup do takov´ ychto term´ınovan´ ych obchod˚ u b´ yv´a bezplatn´ y, protoˇze v dobˇe sjedn´an´ı obchodu by mˇeli m´ıt oba u ´ˇcastn´ıci stejnˇe v´ yhodnou pozici. Swapy konkr´etnˇe pˇredstavuj´ı dohodu o budouc´ı periodick´e v´ ymˇenˇe u ´rokov´ ych plateb vztahuj´ıc´ıch se ke stejn´e kapit´alov´e ˇc´astce, ale r˚ uznˇe definovan´ ych, napˇr´ıklad v´ ymˇena pevn´e u ´rokov´e platby za variabiln´ı u ´rokov´e platby, odvozen´e od nˇejak´e zn´am´e sazby, napˇr. typu LIBOR. D˚ uleˇzit´e na swapov´ ych kontraktech je rovnˇeˇz fakt, ˇze v r´amci swapu z˚ ust´avaj´ı nezmˇenˇen´e dluˇznick´e ˇci vˇeˇritelsk´e pozice jednotliv´ ych swapov´ ych partner˚ u. Ti jsou tud´ıˇz st´ale plnˇe odpovˇedni za uhrazen´ı sv´ ych p˚ uvodn´ıch z´avazk˚ u a vˇeˇriteli sv´ ych pohled´avek. [3], [4] Jedn´a se o mlad´ y typ deriv´at˚ u, nebot’ obchodn´ı mechanismy sniˇzuj´ıc´ı transakˇcn´ı n´aklady, jejichˇz d˚ usledkem byl pr˚ ulom v praktick´em vyuˇz´ıv´an´ı swap˚ u, byly asociac´ı ISDA (Ineternational Swap Dealers Association) zavedeny aˇz v 80. letech 20. stol. Pˇrestoˇze se swapy obchoduj´ı jen na mimoburzovn´ıch (OTC) trz´ıch, jejich souˇcasn´e rozˇs´ıˇren´ı je skuteˇcnˇe masov´e (zvl´aˇst’ v pˇr´ıpadˇe u ´rokov´ ych swap˚ u). Velmi v´ yznamn´e postaven´ı z´ıskaly swapy jako n´astroj ˇr´ızen´ı firemn´ıch aktiv a pasiv. [3], [4]

21

Existuj´ı dva z´akladn´ı typy swap˚ u–u ´rokov´ y a mˇenov´ y swap. Mˇenov´ y swap (currency swap, cross currency swap) je takov´ y swapov´ y kontrakt, kde poˇc´ateˇcn´ı kapit´alov´e ˇca´stky, ze kter´ ych je u ´rok poˇc´ıt´an, jsou v rozd´ıln´e mˇenˇe a na zaˇca´tku a na konci obchodu doch´az´ı k jejich v´ ymˇenˇe mezi swapov´ ymi ´ partnery za pˇredem stanoven´ y kurz. Urokov´ y swap (interest rates swap) je vlastnˇe speci´aln´ım typem mˇenov´eho swapu, kde jsou poˇc´ateˇcn´ı ˇc´astky ve stejn´e mˇenˇe, proto k v´ ymˇenˇe t´eto sumy, tzv. nomin´alu, mezi u ´ˇcastn´ıky swapu nedoch´az´ı. [3], [4] Zakoupit swap je pro swapov´eho partnera tot´eˇz jako emitovat obligaci s urˇcit´ ym typem kup´onu, kter´ y v r´amci swapu plat´ı, a z´aroveˇ n zakoupit obligaci s takov´ ym kup´onem, kter´ y v r´amci swapu inkasuje. D˚ uvody k vyuˇz´ıv´an´ı u ´rokov´ ych swap˚ u [4] • sn´ıˇzen´ı n´aklad˚ u na z´ısk´an´ı kapit´alov´ ych zdroj˚ u • pˇrechod na odliˇsnou u ´rokovou b´azi z d˚ uvodu zajiˇstˇen´ı proti riziku u ´rokov´ ych mˇer • spekulace na v´ yvoj u ´rokov´ ych mˇer, pˇri odliˇsn´em oˇcek´av´an´ı u ´ˇcastn´ık˚ u swapu • pˇrechod na jinou u ´rokovou b´azi, je-li subjektu umoˇznˇeno z´ıskat u ´vˇer nebo investovat jen pˇri urˇcit´e u ´rokov´e b´azi pro nˇej m´enˇe v´ yhodn´e V´ yhodnost u ´rokov´eho swapu uk´aˇzeme na pˇr´ıkladˇe. Pˇr´ıklad 2 - Sn´ıˇzen´ı n´aklad˚ u na z´ısk´an´ı kapit´alov´ych zdroj˚ u Firmy A a B si chtˇej´ı p˚ ujˇcit stejn´e ˇc´astky na stejnou dobu. Firma A si m˚ uˇze p˚ ujˇcit za pevn´ ych 8% nebo promˇenliv´ y LIBOR nav´ yˇsen´ y o 2%. Firma B, kter´a m´a niˇzˇs´ı u ´vˇerov´ y rating neˇz firma A, si m˚ uˇze p˚ ujˇcit za pevn´ ych 10,5% nebo za LIBOR nav´ yˇsen´ y o 3%. Pˇritom vzhledem ke sv´ ym expektac´ım m´a firma A z´ajem o z´ısk´an´ı kapit´alu na promˇenliv´e b´azi a firma B na z´ısk´an´ı kapit´alu na pevn´e b´azi. [4] ˇ sen´ı: Reˇ Pokud si obˇe firmy vezmou u ´vˇer na t´e u ´rokov´e b´azi, kterou poˇzaduj´ı, bude firma A platit u ´rok LIBOR+2% a firma B fixn´ı u ´rok 10,5%. Dohodnou-li se vˇsak firmy a vezmou si u ´vˇer na opaˇcn´e b´azi neˇz poˇzaduj´ı a uzavˇrou spolu 22

vhodn´ yu ´rokov´ y swap, vyjdou z toho obˇe l´epe. V´ yhodn´ ym swapem pro tuto situaci by byl swap dle n´asleduj´ıc´ıho sch´ema.

Z obr´azku je patrn´e, ˇze firma A bude platit LIBOR+1,5% firmˇe B a 8% vˇeˇriteli a dost´avat 8,5% od firmy B, coˇz dohromady d´av´a 8, 5% − (8% + LIBOR + 1, 5%) = −(LIBOR + 1%), neboli ve v´ ysledku bude platit LIBOR+1%. Firma B bude platit LIBOR+3% vˇeˇriteli a 8,5% firmˇe A a dost´avat LIBOR+1,5% od firmy A, LIBOR + 1, 5% − (LIBOR + 3% + 8, 5%) = −10%, takˇze dohromady bude platit 10%. Z pˇr´ıkladu je jasnˇe vidˇet, ˇze obˇe firmy d´ıky swapu plat´ı m´enˇe, neˇz by platily bez nˇej a plat´ı u ´roky v jejich poˇzadovan´e b´azi. D˚ uvody k vyuˇz´ıv´an´ı mˇenov´ ych swap˚ u [4] • pˇrechod na odliˇsnoou mˇenovou b´azi z d˚ uvod˚ u zajiˇstˇen´ı proti riziku mˇenov´ ych kurz˚ u • spekulace na v´ yvoj mˇenov´ ych kurz˚ u pˇri odliˇsn´em oˇcek´av´an´ı swapov´ ych partner˚ u • pˇrechod na jinou mˇenovou b´azi, je-li subjektu umoˇznˇeno z´ıskat u ´vˇer nebo investovat jen na urˇcit´e mˇenˇe pro nˇej m´enˇe v´ yhodn´e

23

Oceˇ nov´ an´ı swap˚ u Jak jiˇz bylo ˇreˇceno v´ yˇse, swapov´ y kontrakt lze pˇrirovnat ke dvˇema dluhopis˚ um s odliˇsn´ ymi typy kup´onov´ ych sazeb. Z t´eto vlastnosti vypl´ yv´a i jejich ocenˇen´ı, kter´e prob´ıh´a analogicky – od oceˇ novac´ıho vzorce dluhopisu, jehoˇz kup´ony dost´av´ame, se odeˇcte oceˇ novac´ı vzorec dluhopisu, jehoˇz kup´ony plat´ıme, pˇriˇcemˇz frekvence kup´onov´ ych plateb obou dluhopis˚ u je stejn´a. Napˇr.: pro firmu A z pˇr´ıkladu 1.

PV =

K X k=1

K X N N cN ctk N + + −( ), (3.11) t t t K k k (1 + itk ) (1 + itK ) (1 + itk ) (1 + itK ) tK k=1

kde P V znaˇc´ı souˇcasnou hodnotu swapu; K poˇcet platebn´ıch obdob´ı v r´amci swapu; c fixn´ı kup´onovou sazbu, ctk proˇemnlivou kup´onovou sazbu v ˇcase tk , N kapit´alovou ˇc´astku swapu; itk u ´rokovou m´ıru pro obdob´ı d´elky tk . Po zjednoduˇsen´ı PV = N

K X k=1

c − ctk (1 + itk ) tk

(3.12)

Mˇenov´ y swap se oceˇ nuje ekvivalentnˇe s t´ım rozd´ılem, ˇze u ´rokov´e sazby jsou odliˇsn´e z d˚ uvodu nestejn´ ych mˇen plateb a ˇze jednotliv´e finanˇcn´ı toky mus´ı b´ yt pron´asobeny aktu´aln´ım mˇenov´ ym kurzem, dle mˇeny ve kter´e jsou placeny a ve kter´e je oceˇ nujeme. Napˇr. oceˇ novac´ı vzorec pro mˇenov´ y swap, kde dom´ac´ı mˇenou je ˇcesk´a koruna a v n´ı je placen fixn´ı kup´on a druhou mˇenou jsou eura, v nichˇz se plat´ı kup´on variabiln´ı, vypad´a n´asledovnˇe

P V = fx

K X k=1

K X N EU R cN CZK N CZK ctk N EU R



), + −( + R tk R tK CZK tk CZK tK 1 + iEU 1 + iEU 1 + i 1 + i tk tK t t K k k=1 (3.13)

kde fx je stanoven´ y smˇenn´ y kurz EUR/CZK, N CZK (resp.N EU R ) je nomin´aln´ı R hodnota v ˇcesk´ ych korun´ach (resp. v eurech), iEU (resp. CZK ´rokov´a tk tK ) je u m´ıra dan´e mˇeny po obdob´ı d´elky tk . 24

Rizika spojen´ a s drˇ zbou swapu Vzhledem k podobnosti swapov´eho kontraktu s n´akupem jednoho dluhopisu a prodejem druh´eho dluhopisu, jsou i trˇzn´ı rizika s dluhopisy srovnateln´a. Zmˇeny u ´rokov´ ych mˇer tud´ıˇz ovlivˇ nuj´ı hodnotu swapu. Protoˇze ve swapu jsou partneˇri dva, jak´akoli zmˇena u ´rokov´e m´ıry se projev´ı zv´ yˇsen´ım souˇcasn´e hodnoty swapu pro jednoho a sn´ıˇzen´ım pro druh´eho.

25

Kapitola 4 Value at risk 4.1

Popis metody

Metoda value at risk (VaR, hodnota v riziku) odhaduje maxim´aln´ı moˇznou ztr´atu (resp. znehodnocen´ı instrument˚ u nebo portfolia) na urˇcit´e hladinˇe spolehlivosti za dan´e ˇcasov´e obdob´ı. VaR je z´akladn´ı veliˇcinou t´eto metody, kter´a jde form´alnˇe zapsat rovnic´ı P [X ≥ −VaR] = α,

(4.1)

kde X je n´ahodn´a veliˇcina pˇredstavuj´ıc´ı zisk (resp. ztr´atu) a α je poˇzadovan´a spolehlivost. Ve vzorci je VaR ps´ana se znam´enkem minus a to proto, aby n´am hodnota pravdˇepodobn´e ztr´aty vyˇsla kladn´a. Poˇzadovan´a spolehlivost podle RiskMetrics, metodika pro v´ ypoˇcet VaR publikovan´a americkou spoleˇcnost´ı J. P. Morgan, je volena 95%, ale ˇcasto pouˇz´ıvan´a je tak´e hladina 99%, kterou doporuˇcuje Basilejsk´ y v´ ybor. Tento institut se sest´av´a z reprezenˇ tant˚ u centr´aln´ıch bank zem´ı G10 doplnˇen´e o ˇcleny z Lucemburska a Spanˇ elska. V´ ybor nem´a pravomoc prosadit sv´a doporuˇcen´ı do pr´avn´ıho prostˇred´ı ˇclensk´ ych zem´ı, avˇsak vˇetˇsina ˇclen˚ u je pˇrij´ım´a dobrovolnˇe. Rozd´ıl mezi metodikou RiskMetrics a Basilejsk´ ym v´ yborem je i v dobˇe, pro kterou VaR poˇc´ıtaj´ı. Zat´ımco RiskMetrics poˇc´ıt´a jednodenn´ı VaR, Basilejsk´ y v´ ybor pracuje s desetidenn´ı hodnotou VaR. [3], [11] Metoda VaR se zaˇcala pouˇz´ıvat v 90. letech 20. stolet´ı a velmi rychle se stala hlavn´ım n´astrojem mˇeˇren´ı rizik. V souˇcasn´e dobˇe je bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ ym n´astrojem mˇeˇren´ı trˇzn´ıch rizik, ale st´ale v´ıce se pouˇz´ıv´a i pro mˇeˇren´ı rizik kreditn´ıch ˇci operativn´ıch. [7] Vyuˇz´ıvaj´ı ji nejˇcastˇeji finanˇcn´ı instituce, z ne26

finanˇcn´ıch jsou to pak napˇr.: pojiˇst’ovny a penzijn´ı fondy. Metodu VaR pro trˇzn´ı rizika lze vyuˇz´ıt napˇr. pˇri [3]: • stanoven´ı kapit´alov´ ych poˇzadavk˚ u – nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı aplikace metody • zjednoduˇsen´ı a n´azornost informac´ı pro management, investory i akcion´aˇre • ˇr´ızen´ı finanˇcn´ıch rizik • alokaci investiˇcn´ıch prostˇredk˚ u • slouˇcen´ı v´ıce typ˚ u rizik do jedn´e hodnoty Existuj´ı tˇri metody v´ ypoˇctu VaR: [3], [7], [11] • metoda historick´e simulace – neparametrick´a metoda, kter´a vyuˇz´ıv´a historick´ ych hodnot instrument˚ u z analyzovan´eho portfolia k urˇcen´ı hypotetick´ ych minul´ ych ztr´at a z nich pak odvozuje ztr´aty budouc´ı • simulace Monte Carlo – metoda n´aroˇcn´a na v´ ypoˇcet, protoˇze vyuˇz´ıv´a mnoho simulac´ı, je vhodn´a pˇredevˇs´ım pro v´ ypoˇcet hodnoty VaR portfolia, kter´e obsahuje neline´arn´ı instrumenty • metoda rozptyl˚ u a kovarianc´ı (analytick´a metoda) – pomˇernˇe snadno aplikovateln´a metoda, kter´a vyuˇz´ıv´a k v´ ypoˇctu hodnoty v riziku vlastnosti norm´aln´ıho rozdˇelen´ı V t´eto pr´aci je podrobnˇeji zpracov´ana metoda rozptyl˚ u a kovarianc´ı.

4.2

Metoda rozptyl˚ u a kovarianc´ı

”Metoda rozptyl˚ u a kovarianc´ı se pouˇz´ıv´a pro v´ ypoˇcet VaR portfolia nebo i jednotliv´eho n´astroje, jehoˇz pozice je mapov´an´ım rozloˇziteln´a na jednotliv´e finanˇcn´ı toky. Metoda pˇritom vych´az´ı z rozptyl˚ u a kovarianc´ı (ˇci ekvivalentnˇe volatilit a korelac´ı), kter´e byly pro jednotliv´e finanˇcn´ı toky odhadnuty z minul´ ych let.” [3]

27

Z´akladn´ımi pˇredpoklady pro tuto metodu jsou [11] • v´ ynosy instrument˚ u maj´ı norm´aln´ı rozdˇelen´ı • zmˇena v hodnotˇe portfolia je line´arnˇe z´avisl´a na vˇsech zmˇen´ach v hodnotˇe instrument˚ u V´ yhodou metody rozptyl˚ u a kovarianc´ı je jej´ı jednoduch´a aplikace, nev´ yhodou je podm´ınka splnˇen´ı z´akladn´ıch pˇredpoklad˚ u – pˇredpoklad norm´aln´ıho rozdˇelen´ı nemus´ı b´ yt vˇzdy realistick´ y a pˇredpoklad linearity je pouze aproximac´ı.

V´ ypoˇ cet VaR Hodnota v riziku se vˇzdy poˇc´ıt´a pro stanoven´ y poˇcet dn´ı a na konkr´etn´ı hladinˇe spolehlivosti α. Budeme pˇredpokl´adat, ˇze vˇsechny volatility jsou denn´ı a v z´avˇeru kapitoly uk´aˇzeme jednoduch´ y pˇrevod mezi hodnotami v riziku pro r˚ uznˇe dlouh´e ˇcasov´e intervaly. Ve v´ ypoˇctu VaR analyzujeme jednotliv´e rizikov´e faktory instrument˚ u (resp. portfolia). Rizikov´ ymi faktory jsou napˇr.: u ´rokov´e m´ıry, ceny akci´ı, smˇenn´e kurzy mˇen, ceny komodit, ... Nejprve uk´aˇzeme vzorec pro v´ ypoˇcet VaR na hladinˇe α pro n´ahodnou veliˇcinu s norm´aln´ım rozdˇelen´ım N (0, σ 2 ). VaR = uα σ,

(4.2)

kde uα je (1 − α)-kvantil norm´aln´ıho rozdˇelen´ı. Z pˇredpokladu, ˇze v´ ynosy instrument˚ u maj´ı norm´aln´ı rozdˇelen´ı a portfolio je line´arn´ı kombinac´ı tˇechto instrument˚ u, plyne, ˇze i v´ ynos cel´eho portfolia m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı. Proto i VaR portfolia m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat jako VaR veliˇciny s norm´aln´ım rozdˇelen´ım. VaR = uα σ ˜, kde σ ˜ je volatilita cel´eho portfolia.

28

(4.3)

Z v´ yˇse zm´ınˇen´eho vypl´ yv´a, ˇze nejpodstatnˇejˇs´ı ˇca´st´ı v´ ypoˇctu VaR je urˇcen´ı volatility analyzovan´eho portfolia. V´ ypoˇcet hodnoty VaR pro portfolio budeme ilustrovat na pˇr´ıkladu. Pˇr´ıklad 3 - V´ypoˇcet VaR protfolia Uvaˇzujme portfolio, kter´e se skl´ad´a z 10 dluhopis˚ u, 5 akci´ı a 3 swapov´ ych kontrakt˚ u (viz pˇr´ıloha ˇc. 1). Protoˇze toto portfolio podl´eh´a mnoha rizikov´ ym faktor˚ um, vytvoˇr´ıme tzv. vektor zmˇen δ δ = (δ1 , δ2 , . . . , δn ),

(4.4)

kde n je poˇcet rizikov´ ych faktor˚ u, kter´e ovlivˇ nuj´ı analyzovan´e portfolio. Kaˇzd´a sloˇzka δj , j = 1, 2, . . . , n, vektoru δ zaznamen´av´a zmˇenu souˇcasn´e hondoty portfolia, kter´a vznikla zmˇenou jednoho konkr´etn´ıho rizikov´eho faktoru. δj = P Vj (s∗j ) − P Vj (sj ), (4.5) kde P Vj (sj ) znaˇc´ı souˇcasnou hodnotu portfolia s pouˇzitou spotovou hodnotou sj pro rizikov´ y faktor j a s∗j je zmˇenˇen´a hodnota rizikov´eho faktoru j. Pˇri v´ ypoˇctu VaR se snaˇz´ıme vyj´adˇrit zmˇenu souˇcasn´e hodnoty portfolia o pravdˇepodobnou zmˇenu rizikov´eho faktoru, proto n´asob´ıme kaˇzdou sloˇzku vektoru jeˇstˇe jej´ı volatilitou vypoˇctenou z historick´ ych dat a spotovou hod˜ notou sj rizikov´eho faktoru j. Takto vznikl´ y vektor oznaˇc´ıme δ. δ˜j = δj σj sj ,

(4.6)

kde σj je volatilita j-t´eho rizikov´eho faktoru. Pˇri v´ ypoˇctu vektoru zmˇen jsme aˇz doposud pˇredpokl´adali nez´avislost rizikov´ ych faktor˚ u, kter´e vˇsak nez´avisl´e nejsou, proto mus´ıme δ˜ pron´asobit korelaˇcn´ı matic´ı rizikov´ ych faktor˚ u R, protoˇze korelaˇcn´ı matice mˇeˇr´ı s´ılu z´avislosti jednotliv´ ych rizikov´ ych faktor˚ u. T σ 2 = δ˜ R δ˜

(4.7)

V´ ysledkem tohoto v´ ypoˇctu je hodnota σ 2 , kter´a po odmocnˇen´ı vyjadˇruje smˇerodatnou odchylku v´ ynos˚ u analyzovan´eho portfolia. My vˇsak chceme ztr´atu na urˇcit´e hladinˇe spolehlivosti, proto σ vyn´asob´ıme (1 − α)-kvantilem norm´aln´ıho rozdˇelen´ı, a t´ım dostaneme hodnotu v riziku analyzovan´eho portfolia na hladinˇe α. √ (4.8) VaR = uα σ 2 29

Nyn´ı uˇz jen uk´aˇzeme pˇrevod denn´ı hodonty VaR na k-denn´ı VaRk . √ VaRk = k VaR

(4.9)

Uk´azka kovarianˇcn´ı matice, vektor zmˇen, v´ ysledn´a volatilita portfolia, v´ ysledek a struˇcn´e vysvˇetlen´ı v´ ypoˇctu pˇr´ıkladu 3 jsou uvedeny v pˇr´ıloze a cel´ y vypoˇc´ıtan´ y pˇr´ıklad je na pˇriloˇzen´em CD. V pˇr´ıkladu 3 vyˇsel denn´ı VaR na hladinˇe 99% 2 819 389 Kˇc a roˇcn´ı VaR na stejn´e hladinˇe 44 578 447 Kˇc, tzn. ˇze za rok investor, kter´ y vlastn´ı toto portfolio, neztrat´ı s pravdˇepodobnost´ı 99% v´ıce neˇz 44 578 447 Kˇc. Zpravidla se rizikovost portfolia ud´av´a v procentech z celkov´eho objemu investice neboli pod´ılem roˇcn´ı hodnoty VaR a souˇcasn´e hodnoty cel´e investice. V tomto konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe je u ´roveˇ n rizikovosti 7,16%, tzn. ˇze zakoup´ı-li investor stejn´e instrumenty ve shodn´em pomˇeru, bude vˇzdy podstupovat 1%-n´ı riziko, ˇze ztr´ata pˇrekroˇc´ı 7,16% z celkov´eho objemu investice. Proces resp. zp˚ usob ”zvyˇsov´an´ı kvality” portfolia je relativizov´an jak povahou investora, tak charakterem okolnost´ı a motivac´ı, s jakou investor danou investici realizuje. M´ıra tolerance k riziku je tak u r˚ uzn´ ych investor˚ u odliˇsn´a. Potˇrebuje-li napˇr´ıklad investor investovan´e pen´ıze k udrˇzen´ı sv´eho ˇzivotn´ıho standardu nebo povaˇzuje investici za urˇcitou formu spoˇren´ı, preferuje vˇetˇsinou riziko niˇzˇs´ı a proto se smiˇruje i s niˇzˇs´ım ziskem. Jestliˇze naopak investor na investovan´ ych penˇez´ıch z´avisl´ y nen´ı a chce na nich hlavnˇe vydˇel´avat, m˚ uˇze b´ yt ochoten podstupovat s nadˇej´ı vyˇsˇs´ıho zisku i m´ıru rizika vyˇsˇs´ı. Nˇekolik moˇzn´ ych n´asledk˚ uu ´prav, jak lze rizikovost portfolia pozmˇen ˇovat dle preferenc´ı investora, si uk´aˇzeme na instrumentech z pˇr´ıkladu 3. Budeme-li napˇr´ıklad uvaˇzovat totoˇzn´e portfolio jako je v pˇr´ıkladu 3, ale bez vˇsech akci´ı (jak v´ıme, akcie jsou nejrizikovˇejˇs´ı z uˇzit´ ych instrument˚ u), rizikovost cel´e investice se sn´ıˇz´ı na 5,90%. Coˇz je pomˇernˇe velk´e sn´ıˇzen´ı, kdyˇz uv´aˇz´ıme, ˇze investice do akci´ı zauj´ımala jen m´alo pˇres 8% z celkov´eho objemu investice. D´ale pˇredpokl´adejme portfolio z pˇr´ıkladu 3, kter´e vˇsak obsahuje jen dluhopisy a akcie, neboli vylouˇc´ıme swapy. Takto pozmˇenˇen´ y investiˇcn´ı soubor m´a rizikovost 7,04%, coˇz nen´ı velk´a zmˇena oproti p˚ uvodn´ım 7,16%, tento v´ ysledek ukazuje, ˇze swapy jsou vyuˇz´ıv´any pˇredevˇs´ım kv˚ uli zmˇenˇe placen´e b´aze, ale samotnou rizikovost portfolia pˇr´ıliˇs neovlivˇ nuj´ı. 30

Nyn´ı uk´aˇzeme vliv doby do splatnosti dluhopis˚ u na rizikovost portfolia. Nejn´azornˇejˇs´ı je ilustrace na jednom dluhopisu, pro nˇejˇz spoˇc´ıt´ame rizikovost pˇri r˚ uzn´ ych dob´ach splatnosti. Uvaˇzujme dluhopis 3 (CR GOV 3) ze zad´an´ı. V p˚ uvodn´ı podobˇe (splatnost za 7 let) je jeho rizikovost 5,21%, sn´ıˇz´ıme-li splatnost jen o jeden rok, rizikovost poklesne na 4,68% a posuneme-li datum splatnosti jeˇstˇe o dva roky (splatnost za 4 roky), rizikovost je jiˇz jen 3,00%. Z dosaˇzen´ ych v´ ysledk˚ u je zˇrejm´e, ˇze riziko roste s prodluˇzuj´ıc´ı se dobou do splatnosti, a to proto, ˇze s delˇs´ım trv´an´ım investice pˇrib´ yv´a rizikov´ ych faktor˚ u, kter´e ji ovlivˇ nuj´ı. V dalˇs´ım pˇr´ıkladu chceme ilustrovat vliv investice v ciz´ı mˇenˇe na rizikovost portfolia. To nejl´epe uk´aˇzeme opˇet jen na jednom dluhopisu, kde jeho nomin´aln´ı hodnotu pˇrepoˇc´ıt´ame do jin´e mˇeny a zbytek zad´an´ı nezmˇen´ıme. Zvolme znovu dluhopis 3, jehoˇz rizikovost jiˇz zn´ame (5,21%). Budeme-li uvaˇzovat, ˇze jsme za stejn´ y obnos penˇez zakoupili shodn´ y dluhopis, jen v jin´e mˇenˇe, napˇr. v eurech, rizikovost se n´am zvedne na 17,07%, protoˇze ciz´ı mˇena sebou pˇrin´aˇs´ı dalˇs´ı nejistotu, a to riziko v´ yvoje smˇenn´eho kurzu. Nakonec si uk´aˇzeme, jak´ y vliv maj´ı na rizikovost portfolia swapy. Odeberemeli z p˚ uvodn´ıho portfolia pˇr´ıkladu 3 prvn´ı swapov´ y kontrakt (IRS 1), rizikovost se zmˇen´ı na 7,37%. Pokud m´ısto prvn´ıho odebereme druh´ y swap (IRS 2), rizikovost se tentokr´at sn´ıˇz´ı na 7,04%. Tyto v´ ysledky ukazuj´ı, ˇze z´aleˇz´ı na pozici, kterou ve swapu investor zauj´ım´a. Prvn´ı a druh´ y swapov´ y kontrakt jsou totiˇz t´emˇeˇr stejn´e, jen s opaˇcn´ ymi pozicemi. Jak v´ıme, swap je vlastnˇe pro investora jeden koupen´ y a jeden prodan´ y dluhopis, v naˇsem pˇr´ıpadˇe jde o dluhopisy s pohybliv´ ym a fixn´ım kup´onem. Tak´e jsme si jiˇz uk´azali, ˇze ˇc´ım m´enˇe rizikov´ ych faktor˚ u dluhopis ovlivˇ nuje, t´ım je jeho rizikovost niˇzˇs´ı. Z toho jasnˇe plyne, ˇze dluhopis s pohybliv´ ym kup´onem, kde je zmˇenou u ´rokov´ ych sazeb ovlivnˇen jen prob´ıhaj´ıc´ı kup´on, m´a menˇs´ı rizikovost neˇz dluhopis s kup´onem fixn´ım. Z tˇechto d˚ uvod˚ u je pro investora swap, kde pevnˇe stanovenou sazbu plat´ı, rizikovˇejˇs´ı neˇz ten, kde ji inkasuje. Swapy b´ yvaj´ı v portfoliu vyuˇz´ıv´any jednak pro zmˇenu b´aze u ´rok˚ u z fixn´ıch na variabiln´ı a naopak nebo pro sn´ıˇzen´ı durace a t´ım sn´ıˇzen´ı rizikovosti portfolia (tj. pokud budeme m´ıt jen swapy, jeˇz n´am umoˇzn ˇuj´ı zmˇenu fixn´ıho u ´roku na variabiln´ı, pak doc´ıl´ıme i sn´ıˇzen´ı rizikovosti portfolia).

31

Na trhu lze naj´ıt celou ˇradu dalˇs´ıch finanˇcn´ıch deriv´at˚ u, kter´e nab´ızej´ı vˇetˇs´ı moˇznosti, jak redukovat riziko portfolia (napˇr. opce, mˇenov´e deriv´aty, kreditn´ı deriv´aty). Skladba portfolia u velk´ ych firem (bank, pojiˇstoven,. . . ) je ovlivnˇena zejm´ena strukturou z´avazk˚ u v˚ uˇci klient˚ um dan´e spole- ˇcnosti. Pro tyto firmy lze VaR interpretovat jako maxim´aln´ı moˇznou ztr´atu, pro kterou by mˇeli m´ıt vytvoˇreny dostateˇcnˇe velk´e rezervy tak, aby pˇr´ıpadn´ y negativn´ı v´ yvoj na finanˇcn´ıch trz´ıch neohrozil jejich solventnost (tj. schopnost dost´at sv´ ym z´avazk˚ um).

32

Z´ avˇ er Pohyby cen, mˇenov´ ych kurz˚ u a u ´rokov´ ych sazeb na finanˇcn´ıch trz´ıch jsou pˇr´ıˇcinami nejistoty budouc´ıch zisk˚ u z investiˇcn´ıho portfolia. Tato nejistota je souhrnnˇe oznaˇcov´ana jako trˇzn´ı riziko a metoda value at risk, analyzuj´ıc´ı jednotliv´e rizikov´e faktory, jako napˇr. u ´rokov´e sazby, ceny akci´ı, smˇenn´e kurzy ˇci ceny komodit, je bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ y n´astroj k jeho mˇeˇren´ı. V´ ysledky t´eto metody jsou vˇsak pouze orientaˇcn´ı, protoˇze se jedn´a o metodu statickou, kter´a jen analyzuje minulost, ale nen´ı schopna zachytit budouc´ı v´ yvojov´e trendy. Nav´ıc re´alnost jej´ıch pˇredpoklad˚ u nen´ı vˇzdy naplnˇena. Pokud nen´ı splnˇen pˇredpoklad linearity a nelze j´ı ani nahradit vhodnou line´arn´ı aproximac´ı, je moˇzno pouˇz´ıt delta-gama metodu, kter´a nelinearitu instrument˚ u zohledˇ nuje. Tato metoda se vyuˇz´ıv´a pˇredevˇs´ım, jsou-li v portfoliu obsaˇzeny neline´arn´ı deriv´aty (napˇr. opce). Velk´a obliba metody rozptyl˚ u a kovarianc´ı je zapˇr´ıˇcinˇena zejm´ena jej´ı jednoduchost´ı a snadnou interpretac´ı v´ ysledku. Existuj´ı i metodiky, jimiˇz lze dospˇet k pˇresnˇejˇs´ım v´ ysledk˚ um. Mezi takov´e patˇr´ı metody vyuˇz´ıvaj´ıc´ı simulac´ı Monte Carlo, kter´e nejsou tak n´aroˇcn´e na pˇredpoklady a nav´ıc jsou schopn´e zohlednit r˚ uzn´e typy rizik. Tyto metody dokonce uvaˇzuj´ı i budouc´ı v´ yvoj. Vyˇzaduj´ı vˇsak mnoho odhad˚ u parametr˚ u a jejich vyladˇen´ı a implementace je relativnˇe komplikovan´a.

33

Literatura [1] Andˇel J.: Statistick´e metody, Matfyzpress, Praha, 2007 [2] Andˇel J.: Z´aklady matematick´e statistiky, Matfyzpress, Praha, 2005 [3] Cipra T.: Kapit´alov´a pˇrimˇeˇrenost ve financ´ıch a solventnost v pojiˇst’ovnictv´ı, Ekopress, Praha, 2002 [4] Cipra T.: Matematika cenn´ych pap´ır˚ u, HZ Praha, Praha, 2000 [5] Cipra T.: Praktick´y pr˚ uvodce finanˇcn´ı a pojistnou matematikou, HZ Praha, Praha, 1995 [6] J. P. Morgan/Reuters: RiskMetricsTM - Technical Document, New York, 1996 [7] Mejstˇr´ık M.: Bankovnictv´ı (pˇredn´aˇska), FSV UK, Praha, 2007 ˇ ızen´ı rizik, Granda Publishing, Praha, 2003 [8] Smejkal V., Rais K.: R´ ˇ [9] Smejkal V., Rais K.: Rizen´ ı rizik ve firm´ach a jin´ych orgaizac´ıch, Granda Publishing, Praha, 2006 [10] Wikipedie - otevˇren´a encikolpedie [Online], Wikimedia Foundation, 2008, URL: http://cs.wikipedia.org [11] Wikipedia - The Free Encykolopedia [Online], Wikimedia Foundation, 2008, URL: http://en.wikipedia.org

34

Pˇ r´ılohy

35

Zad´an´ı pˇr´ıkladu 3:

36

Uk´azka kovarianˇcni matice rizikov´ ych faktor˚ u:

37

V´ ysledn´ y vektor zmˇen bez pron´asoben´ı vektorem smˇerodatn´ ych odchylek (v pˇr´ıkladu je pron´aseben´ı vektoru zmˇen vektorem volatilit a n´asledn´e vyn´asoben´ı s korelaˇcn´ı matic´ı nahrazeno pouze vyn´asoben´ım s kovarianˇcn´ı matic´ı):

Po vyn´asoben´ı tohoto vektoru zmˇen kovarianˇcn´ı matic´ı rizikov´ ych faktor˚ u porftolia z´ısk´ame smˇerodatnou odchylku v´ ynos˚ u portfolia 1 211 938. Tato hodnota se jiˇz jen vyn´asob´ı 1%-n´ım kvantilem norm´aln´ıho rozdˇelen´ı (2,3263) a dost´av´ame v´ yslednou hodnotu pro jednodenn´ı VaR: 2 819 389 Kˇ c.

38