Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Martin Beránek Systém pro levitaci prachových zrn

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Martin Beránek Systém pro levitaci prachových zrn

Katedra fyziky povrchů a plazmatu Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Zdeněk Němeček, DrSc. Studijní program: Fyzika Studijní obor: Fyzika povrchů a ionizovaných prostředí

Praha 2007

Děkuji všem členům katedry za četné konzultace a pomoc při řešení problémů. Především bych chtěl poděkovat vedoucímu diplomové práce, panu Prof. Zdeňku Němečkovi a paní Prof. Janě Šafránkové za jejich obětavost a rady, které mi v průběhu studia poskytovali. Poděkování za četné rady a konzultace patří také I. Čermákovi a I. Richterové. Svým rodičům děkuji za podporu ve studiu.

Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce.

V Praze dne 2. 4. 2007 Martin Beránek

Název práce:

Systém pro levitaci prachových zrn

Autor:

Martin Beránek

Katedra:

Katedra fyziky povrchů a plazmatu

Vedoucí diplomové práce: E-mail vedoucího:

Prof. RNDr. Zdeněk Němeček, DrSc. [email protected]

Abstrakt:

Klíčová slova:

Laboratorní simulace nabíjení prachových zrn mohou poskytnout informace o samostatném působení různých nabíjecích procesů, které od sebe jinak nelze oddělit. Znalost působení jednotlivých vlivů je důležitá pro pochopení nabíjení prachových zrn v reálných podmínkách. Pro měření v laboratoři se používá elektrodynamická past, ve které je zachyceno jediné prachové zrno. V práci jsou analyzovány některé geometrie elektrodynamické pasti a jejich vliv na přesnost měření. Důraz je kladen na nalezení takového rozložení elektrod, které vytvoří hodně otevřenou past, a tím minimalizuje nežádoucí emisi elektronů z elektrod. Byla nalezena úprava lineárního kvadrupólu, která umožňuje udržení nabitého zrna i ve směru osy pasti a z provedených výpočtů plyne, že úprava by neměla negativně ovlivnit vlastnosti elektrického pole s ohledem na určení měrného náboje zrna. prachová zrna, elektrodynamická past, kvadrupól, výpočet elektrického pole

Title:

System for Dust Grain Levitation

Author:

Martin Beránek

Department:

Department of Surface and Plasma Science

Supervisor:

Prof. RNDr. Zdeněk Němeček, DrSc.

Supervisor’s e-mail:

[email protected]

Abstract:

Laboratory simulations of dust grain charging can provide an unique data about influence of the separate charging processes, which are inseparable otherwise. Knowledge of the influence of individual processes is important for understanding charging dust grains in real conditions. For laboratory experiments the electrodynamic trap, in which is captured single dust grain, is used. We have analysed several particular trap geometries and their influence on the accuracy of measurements in this work. We deale mainly with finding of the electrode layout, which forms an open trap and therefore minimises unwanted electron emission from electrodes. We have found such modification of a linear quadrupole, which allows to trap the charged grain in the axial direction too. The calculation shows that the modification should not have a negative influence on the electric field with respect to the measuring of the grain specific charge. dust grains, electrodynamic trap, quadrupole, computation of the electric field

Keywords:

1

Obsah 1.

Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Prach ve vesmíru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Prach na Zemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Prachová zrna v laboratoři . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Teorie elektrodynamické pasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Efektivní potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Parametr adiabaticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Harmonické kmity a kvadrupólové pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Mathieuova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Vztah parametrů pasti, náboje a hmotnost měřených prachových zrn . 3. Laboratorní experimenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Válcově symetrická past . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Konstrukce odvozené z válcově symetrické pasti . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Lineární pasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Peningova past . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Cíl práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Perioda anharmonického oscilátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Válcově symetrická past . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Multipólový rozvoj pole ve válcově symetrické pasti . . . . . . . . . . . . 6.2. Potenciál tenké nabité smyčky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Výpočet elektrického pole v pasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Past s prstencovými elektrodami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Efektivní potenciál a perioda kmitů v pasti s prstencovými elektrodami 6.6. Zhodnocení pasti s prstencovými elektrodami . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Lineární past . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Multipólový rozvoj pole v řezu kolmém na osu pasti . . . . . . . . . . . . 7.2. Vhodný poloměr tyčí pasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Udržení zrna v podélném směru elektrostatickým polem . . . . . . . . . 7.4. Elektrické pole podélně rozpůlených tyčí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Pohyb zrna v poli zkřížených 2D kvadrupólů . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Vliv odchylky polí ux a uy od ideálního 2D kvadrupólu . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4 5 6 6 7 8 9 10 13 13 16 16 17 18 19 23 24 26 27 28 30 30 33 33 35 38 38 40 42

Obsah

7.7. Vliv nepřesnosti umístění elektrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Zhodnocení pasti s tyčovými elektrodami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 44 45 46

3

1.

Úvod

S prachovými zrny (dust grains) se lze setkat na mnoha místech jak na Zemi, tak ve vesmíru. Prachová zrna jsou pevné částice s rozměry řádově od několika nanometrů do stovek mikrometrů a hmotností menší než mikrogramy. Díky malým rozměrům se mohou lehce nabíjet na velké měrné náboje a jejich chování je pak významně ovlivňováno nejen gravitací, ale i elektromagnetickými silami. Mezi základní procesy, které se podílejí na nabíjení zrn patří záchyt primárních částic (elektronů a iontů) na povrchu zrna, sekundární elektron-elektronová emise vyvolaná dopadem primárních elektronů, fotoemise vyvolaná fotony UV záření a další méně významné procesy jako je autoemise při vysokých intenzitách pole na povrchu a termoemise. O tom, jak tyto procesy ovlivní povrchový potenciál zrna, rozhodují nejen vlastnosti prostředí, kterým je zrno obklopeno, ale i materiál a rozměry samotného zrna, a také historie nabíjení zrna. Nabité zrno vložené do plazmatu naopak ovlivňuje vlastnosti plazmatu. Vytváří se kolem něj Debyeova vrstva prostorového náboje, která stíní náboj zrna. Pokud je vzdálenost zrn v plazmatu menší než tloušťka této vrstvy, působí na sebe zrna i elektrickými silami, vykazují kolektivní chování a mluvíme o prachovém plazmatu (dusty plasma). Je-li vzdálenost zrn větší, než Debyeova délka, je náboj zrn odstíněn a situace se označuje jako prach v plazmatu (dust in plasma). 1.1.

Prach ve vesmíru

Prachová zrna tvoří přibližně 1 % mezihvězdné hmoty, zbytek je plyn, převážně vodík a helium [Frisch et al., 1999]. Prachová zrna vytváří především mezihvězdná oblaka, ale najdeme je i ve Sluneční soustavě. Jsou součástí chvostů komet a prstenců planet. Prach ve vyšší koncentraci se nachází také na povrchu Měsíce. Jak již bylo poznamenáno, pro dynamiku prachových zrn ve vesmíru je nejdůležitější silou gravitace, ale například radiální strukturu prstenců planet nelze vysvětlit jen pomocí gravitačních sil a je potřeba počítat i s Lorentzovou silou. Například jemná dynamická struktura, tzv. nespojitosti (spokes), pozorovaná sondou Voyager 2 v prstenci B planety Saturn je způsobena nabitými prachovými zrny a působením elektrodynamických sil Tyto oblasti, které se v prošlém světle jeví tmavé a v odraženém světlé, jsou tvořeny shluky prachových zrn o rozměrech srovnatelných s vlnovou délkou světla [Mendis and Rosenberg, 1994]. Elektrodynamické síly, které na ně působí, způsobují odchylku od drah, které by byly určeny jen gravitací.

4

Kap. 1: Úvod

Zdrojem prachu v mezihvězdném prostoru jsou především srážky různých pevných těles a prach uvolňovaný z komet v blízkosti hvězd. Naopak odprašování prachových zrn dopadajícími ionty a atomy vede k jejich postupnému zániku [Grün and Švestka, 1996]. Působením gravitačních sil se prachová zrna shlukují a vytváří oblasti, kde se mohou spojit do větších útvarů. Tímto způsobem je možné vysvětlit například vznik sluneční mlhoviny. Husté oblasti se vznikajícími hvězdami byly také pozorovány například v mlhovině M42 v Orionu [Mendis, 1997]. Právě pro malá tělesa velikosti prachových zrn se v meziplanetárním prostoru stává dominantní silou Lorentzova síla. Porovnání působících sil na různě velká prachová zrna ve vzdálenosti 5 AU od Slunce je uvedeno v tabulce 1.1 (podle [Grün and Švestka, 1996]). Hmotnost [kg] Poloměr [µm] Měrný náboj [C/kg] Fgrav [N] Frad /Fgrav FL /Fgrav

10−20 0,01 600 10−24 0,5 2000

10−17 0,1 6 10−21 2 20

10−14 1 0,06 10−18 0,5 0,2

10−11 10 6 10−4 10−15 0,05 2 10−3

10−8 100 6 10−6 10−12 5 10−3 2 10−5

Tabulka 1.1 – Síly působící na prachové zrno ve vzdálenosti 5 AU od Slunce. Uvedená čísla platí pro sférické zrno s povrchovým potenciálem 5 V, o hustotě 1000 kg/m3 .

Poměr gravitační síly a síly tlaku záření β nezávisí na vzdálenosti od Slunce, ale jen na velikosti a materiálu zrna. Pokud se prachové zrno uvolní z tělesa obíhajícího Slunce po dráze s výstředností e a bude splněna podmínka β > (1 e)/2, opustí zrno po hyperbolické dráze Sluneční soustavu. Tato zrna se označují jako beta meteoroidy a byly poprvé zaznamenány družicemi Pioneer 8 a 9 [Grün and Švestka, 1996]. Materiál, ze kterého jsou složena prachová zrna ve vesmíru závisí na původu zrn. Nejčastější jsou olivín, pyroxen, hydratované silikáty, sulfidy a karbidy železa, křemík, sklo a amorfní uhlík. Zrna mají nepravidelný tvar, ale díky odprašování a fragmentaci se mohou zaoblovat a dosáhnout sférického tvaru [Němeček et al., 2005]. 1.2.

Prach na Zemi

Nejčastěji je možné se na Zemi setkat s prachovým plazmatem v plamenu. Prachové plazma se ale také využívá v průmyslových aplikacích, například při nanášení různých povrchů (např. antikorozní vrstvy a vrstvy s nízkým koeficientem tření), kdy je nanášený materiál ve formě prachových zrn. K úspěšnému použití těchto technologií je potřeba, aby prachová zrna nesla definovaný náboj. Ten je určen nejen parametry plazmatu v nabíjecím procesu, ale i vlastnostmi, tvarem a rozměry samotných zrn. Prach je naopak nežádoucí příměsí v plazmochemických reaktorech, kde mohou zrna způsobit vznik nestabilit a vln. Prachová zrna (především menších rozměrů a při vyšších koncentracích) mohou formovat takzvané plazmové krystaly (plasma crystals). Pomocí těchto útvarů, které jsou pevně vázány elektrostatickými silami, lze simulovat chování atomární krystalové mříže, a využít je tak jako makroskopický model [Havnes, 2002].

Kap. 1: Úvod

1.3.

5

Prachová zrna v laboratoøi

Pokusil jsem se stručně naznačit, jaký význam má náboj, který prachová zrna nejrůznějšími procesy získávají. V plazmatu ale působí mnoho těchto procesů najednou a je obtížné určit vliv každého z nich zvlášť. Pro výzkum nabíjení je však oddělení vlivu různých nabíjecích procesů žádoucí. K tomuto účelu byla vyvinuta technika elektrodynamické pasti, ve které je možné zachytit jedno prachové zrno a vystavit jej definovaným způsobem vlivu některého z nabíjecích procesů. Právě problému zachycení a udržení zrna ve střídavém elektrickém poli je věnována tato diplomová práce.

6

2.

Teorie elektrodynamické pasti

Je známou skutečností, že z Maxwellových rovnic plyne pro potenciál elektrického pole v prostoru bez nábojů (ve vakuu) vztah 4u = 0. Potenciál elektrického pole nemůže mít ve vakuu extrém a není tedy možné udržet nabitou částici ve stabilní rovnováze jen pomocí elektrostatického pole. Tomuto omezení se lze vyhnout několika způsoby. Je například možné k elektrickému poli přidat navíc magnetické pole. Právě přidání magnetického pole ale může být pro některé experimenty poměrně nevhodné. To platí i o experimentu, kterého se týká tato práce. Další alternativou je místo elektrostatického pole použít pole elektrodynamické. Past s využívající střídavé elektrické pole k udržení iontů byla popsána v patentu W. Paula [Paul and Steinwedel, 1956] a krátce poté byl stejný princip využit k udržení prachových zrn [Wuerker et al., 1959]. 2.1.

Efektivní potenciál

Přesný popis pohybu nabitého zrna ve střídavém elektrickém poli je možný pouze u některých speciálních tvarů polí, kdy má příslušná diferenciální rovnice analytické řešení. U obecného tvaru pole je za určitých podmínek (viz dále) možné k popisu použít efektivní potenciál. V homogenním střídavém poli bude zrno pouze oscilovat kolem určité rovnovážné polohy. Tento bod je buďto v klidu, anebo se polem pohybuje rovnoměrně přímočaře. Samotné oscilace lze jednoduše popsat. Pokud je intenzita elektrického pole

E (t) = E0 cos ωt ,

(2.1)

platí pro polohu zrna s nábojem q a hmotností m

r (t) = r0

E0 q ω2m

cos ωt .

(2.2)

Zrno osciluje kolem rovnovážné polohy s amplitudou

A = ωE20mq

(2.3)

a úhlovou frekvencí ω. Pokud pole není homogenní, nelze předchozí výpočet použít. Budu-li ale předpokládat, že amplituda kmitů A je dostatečně malá vzhledem k nehomogenitě pole, a že pohyb

Kap. 2: Teorie elektrodynamické pasti

7

částice polem je dostatečně pomalý vzhledem k frekvenci kmitů podle rovnice (2.2), tak lze pohyb rozdělit na dvě nezávislé složky – rychlé kmity s frekvencí elektrického pole podle rovnice (2.2) a pomalý pohyb napříč polem způsobený jeho nehomogenitou

r (t) = r0(t) + r1(t) . r (t) = r0(t) A(t) cos ωt . (2.4) Závislost E0 (r0 A(t) cos ωt) rozvinu do řady kolem r0 a díky předpokladu malé nehomogenity pole E0 vezmu pouze první dva členy rozvoje: E0(r ) = E0(r0 A(t) cos ωt) = E0(r0) A rE0(r0) cos ωt + . . . . (2.5) Dosazením vztahu (2.5) do pohybové rovnice m¨r = q E0 (r ) cos ωt

(2.6)

a za předpokladu ω A A˙ vyjde

Aω2 cos ωt = qE0(r0) cos ωt qA rE0(r0) cos2 ωt . (2.7) Po rozepsání A podle (2.3), úpravě E0 rE0 = 12 rE02 a po nahrazení výrazu cos2 ωt střední mr¨0

hodnotou 1/2, získám vztah

q 2 E02 . (2.8) mr¨0 = r 4mω 2 Pravá strana má význam působící síly a je ve tvaru gradientu se záporným znaménkem. Výraz v závorce lze tedy chápat jako potenciál určující pohyb zrna ve střídavém poli. V dalším textu jej nazývám efektivní potenciál , stejně jako například v [Gerlich, 1992].

ueff (r ) =

q 2 E02 (r ) . 4mω 2

(2.9)

Efektivní potenciál závisí na čtverci velikosti intenzity elektrického pole. Může tedy, na rozdíl od samotného elektrického potenciálu, nabývat minima i ve volném prostoru. Pohyb v efektivním potenciálu popisuje pohyb rovnovážné polohy rychlých (s úhlovou frekvencí ω) kmitů částice. 2.2.

Parametr adiabaticity

V předchozím textu bylo použitu některých přiblížení a zanedbání, jejichž oprávněnost je třeba kvantifikovat. V souladu s [Gerlich, 1992] postupuji tak, že vyjdu z poměru velikosti prvních dvou členů v rozvoji intenzity (2.5). Tento poměr nazývám parametrem adiabaticity η: j2A rE0j = 2qjrE0j . (2.10) η= jE0 j mω 2 Pro platnost předchozího přiblížení s efektivním potenciálem a zachování adiabaticity (částice ve střídavém poli nezískává energii od pole, ani ji neztrácí) je potřeba, aby byla hodnota η podél celé trajektorie dostatečně malá. Hodnota zajišťující platnost adiabatického přiblížení ve většině praktických případů (získaná na základě numerických simulací) je η = 0,3 [Gerlich, 1992].


2.3.

8

Harmonické kmity a kvadrupólové pole

Pro určení měrného náboje je podstatné, že efektivní potenciál (2.9) může při vhodném tvaru elektrického pole tvořit jámu, jejíž tvar je daný pouze elektrickým polem, ale velikost je určena i nábojem a hmotností částice. Z frekvence kmitů v takovéto jámě lze tedy určit měrný náboj kmitající částice. Vzhledem k tomu, že je obecně mnohem jednodušší a přesnější měřit frekvenci, než polohu nebo amplitudu, je vhodné, aby frekvence kmitů závisela pouze na parametrech pole a měrném náboji, ale už ne na amplitudě kmitů. To splňují harmonické kmity v kvadratické potenciálové jámě. Ekvipotenciály efektivního potenciálu mají tedy tvar elipsoidu, například: q2V 2 2 2 2 ueff (x, y, z) = ax + by + cz , (2.11) 4mr04 ω 2 kde V je amplituda napětí na elektrodách tvořících pole, r0 charakteristický rozměr pasti a a, b, c bezrozměrné konstanty popisující tvar pole. Je vidět, že v tomto potenciálu existují tři různé hlavní směry kmitů s různými frekvencemi (za předpokladu a 6= b, a 6= c, b 6= c). Budu řešit frekvenci například pro kmity ve směru osy z. Příslušná rovnice je q2V 2c m¨ z= z. (2.12) 2mr04 ω 2 Jejím řešením jsou harmonické kmity s úhlovou frekvencí r j qj V c 1 Ωz = . (2.13) 2 m r0 2 ω Frekvence vlastních kmitů zrna je přímo úměrná měrnému náboji, přímo úměrná podílu napětí a čtverce charakteristické délky a nepřímo úměrná frekvenci elektrického pole. Při měření je známá geometrie pasti, frekvence a amplituda napětí na elektrodách a měří se frekvence kmitů v poli. Z těchto údajů už lze pomocí vztahu (2.13) určit měrný náboj. Efektivní potenciál (2.11) může vytvářet například kvadrupólové elektrické pole popsané rovnicí V λx + λy + λz = 0 . (2.14) u(x, y, z, t) = 2 λx x2 + λy y 2 + λz z 2 cos ωt ; r0 vedoucí na efektivní potenciál q2V 2 2 2 2 2 2 2 ueff (x, y, z) = . (2.15) 4 2 λx x + λy y + λz z mr0 ω Parametr adiabaticity v poli (2.14) je podle (2.10) s p s λ4x x2 + λ4y y 2 + λ4z z 2 2 2Ωz (λ4x /λ2z )x2 + (λ4y /λ2z )y 2 + λ2z z 2 4V jq j = . (2.16) η= 2 ω λ2x x2 + λ2y y 2 + λ2z z 2 r0 mω 2 λ2x x2 + λ2y y 2 + λ2z z 2 Při kmitech podél osy z (x = y = 0):

p

2 2 Ωz > 9,4Ωz . (η < 0,3) (2.17) ω= η Pro platnost adiabatického přiblížení v kvadratickém potenciálu je tedy potřeba splnit podmínku, že frekvence elektrického pole bude přibližně alespoň desetinásobek frekvence kmitů zrna.

9


2.4.

Mathieuova rovnice

Pohyb nabité částice v kvadrupólovém poli popsaném rovnicí (2.14) lze také řešit analyticky bez potřeby použití efektivního potenciálu. Pohybová rovnice zrna o hmotnosti m nesoucího náboj q je m¨r =

q ru(r , t) .

(2.18)

Dosazením za u z (2.14) získám rovnici, kterou lze rozložit na tři nezávislé rovnice ve směrech jednotlivých kartézských os xk : x¨k =

q 2V λ x cos ωt . m r02 k k

(2.19)

Substitucí τ = ωt/2 získám rovnici d2 xk = dτ 2

q 4λk V 2 cos 2τ m r02 ω 2

xk ,

(2.20)

což je tvar Mathieuovy diferenciální rovnice d2 y = (α dz 2

2% cos 2z) y

(2.21)

s nulovým koeficientem α. Řešení Mathieuovy rovnice lze zapsat jako řadu (viz např. [March and Hughes, 1989] a [Wuerker et al., 1959]) xk (τ ) = Ak eµk τ

∞ X

C2n,k e2inxk + Bk e−µk τ

n=−∞

∞ X

C2n,k e−2inxk .

(2.22)

n=−∞

Konstanty Ak a Bk jsou určeny počátečními podmínkami, µk a C2n,k závisí na koeficientech α, % v Mathieuově rovnici (2.21). Podmínkou stabilního řešení je čistě imaginární µk . Rovnice (2.22) pak popisuje součet kmitů s frekvencemi βk +n ω, (2.23) Ωn,k = 2 kde µk = iβk . Za předpokladu % < 0,4 v (2.21) lze použít pro vyjádření hodnoty βk zjednodušený vztah (viz [Wuerker et al., 1959]). Navíc řeším pouze střídavé pole, takže α (2.21) je nulové. Potom ! p j %j j q j 2jλk j V ) Ωn,k = m ω r2 + nω . (2.24) β=p 2 0 Základní kmity jsou popsány dominantním členem n = 0. Podmínku % < 0,4 lze pomocí (2.23) a (2.24) zapsat

p

2 2 ω= Ω0 > 7Ω0 . %

(2.25)

10


Pro větší hodnoty % je možné β vyjádřit (opět za předpokladu α = 0) přesnějším přiblížením [March and Hughes, 1989]: s 7%4 29%6 %2 β= + . (2.26) 2 %2 128 2304 Podle [Čermák, 1994] je systematická chyba určení jq j/m způsobená použitím Ω0 ze vztahu (2.24) v případě ω > 10Ω0 (% < 0,28) menší než p 1,5 %. Pokud se výraz pro Ω0 vynásobí (na základě přesnějšího vztahu (2.26)) korekcí 1 + 1,8Ω0 /ω, je výsledná chyba menší než 0,2 % pro ω > 5Ω0 a vztah pro měrnou hmotnost je

jqj = pωΩ0,k r02 q 1 m Ω 2jλk j V 1 + 1,8 ω

.

(2.27)

0,k

Stabilní periodické řešení (čistě imaginární µ) má Mathieuova rovnice (2.21) při α = 0 za podmínky % < 0,908 [Abramowitz and Stegun, 1965]. Tedy použitím (2.23) a (2.26) je možné podmínku napsat jako ω > 2,4Ω0 . (2.28) 2.5.

Vztah parametrù pasti, náboje a hmotnost mìøených prachových zrn

Pole v elektrodynamické pasti popsané výše je určeno svojí intenzitou úměrnou λV /r02 a frekvencí ω. Rozsah těchto parametrů je dán konstrukcí pasti (r0 , λ) a možnostmi zdroje napětí (V , ω). V takovémto poli chceme měřit prachová zrna s určitým (dostatečně velkým) rozsahem náboje a hmotností. První podmínka je dána stabilitou řešení pohybové rovnice, případně platností některých přiblížení. Může být charakterizována maximální požadovanou hodnotou parametru adiabaticity η. Tím je určen minimální poměr ω/Ω (viz (2.17)). Parametr adiabaticity je přímo úměrný měrnému náboji zrna, přímo úměrný intenzitě elektrického pole v pasti a nepřímo úměrný čtverci frekvence zdroje: η=4

jqj jλjV m r02 ω 2

.

(2.29)

Druhou podmínkou je pevnost vazby prachového zrna v pasti. Tuto podmínku mohu v kvadratickém efektivním potenciálu vyjádřit ekvivalentně buďto jako energii potřebnou pro určité vychýlení ze středu pasti, anebo jako tuhost oscilátoru tvořeného zrnem v poli efektivního potenciálu (2.12). Tuhost k je q2 2 λV 2 k= . (2.30) m ω2 r02 Tuhost potřebná k udržení částice je obecně funkcí frekvence kmitů zrna Ω. Kmitající zrno se totiž chová jako rezonátor s vysokou kvalitou a intenzita rušení a vibrací zvenčí je na různých frekvencích různá.

11


Spojením vztahů (2.29) a (2.30) je možné vyjádřit podmínky pro frekvenci a napětí zdroje. Označím ηmax maximální přípustnou hodnotu parametru adiabaticity a kmin minimální požadovanou tuhost. ω

λV r02

p p

2 2 kmin pm η ; max 2 kmin jqj ηmax .

(2.31) (2.32)

70

Frekvence kmitů zrna Ω [Hz]

Frekvence kmitů zrna Ω [Hz]

Z experimentů prováděných na aparatuře na naší katedře plyne, že navíc k předchozím dvěma podmínkám existuje určitá minimální frekvence Ω, pod kterou už není možné zrno v aparatuře spolehlivě udržet a stabilizovat. Tato frekvence nezávisí na náboji nebo hmotnosti zrna, ale především na okolních vlivech a nastavení aparatury. V grafech 2.1 a 2.2 jsou uvedeny dosažené minimální frekvence z asi 130 měření, při kterých bylo potřeba dosáhnout co nejmenšího náboje zrna. Je vidět, že frekvence nevykazuje žádnou systematickou závislost na hmotnosti nebo náboji zrna. Stejně tak data nevykazují korelaci s jinými parametry zrna.

60 50 40 30 20 10 0

1000

2000

3000

Náboj zrna [e] Obr. 2.1 – Minimální dosažená frekvence Ω v závislosti na absolutním náboji zrna (v jednotkách elementárního náboje).

70 60 50 40 30 20 10

1·10−14 2·10−14 3·10−14 Hmotnost zrna [kg] Obr. 2.2 – Minimální dosažená frekvence Ω v závislosti na hmotnosti zrna. 0

Existence minimální přípustné hodnoty Ωmin vede na podmínku λV r02

2

min jmqj 2Ω . η

(2.33)

max

Pro plánovaná měření je důležité umět určit hmotnost zrna zachyceného v pasti. To je možné změřením velikosti skoků měrné hmotnosti při změně náboje o jeden elementární náboj. Vzhledem k předpokládané přesnosti aparatury je k tomuto potřeba, aby celkový náboj zrna byl maximálně řádově 1000e. Spolu s rovnicí (2.33) to při určitém napětí zdroje omezuje maximální hmotnost zrn, se kterými je možné měřit. Pro konkrétní hodnoty Ωmin = 44 Hz, r0 = 10 mm, λ = 2 (odpovídající současné pasti) je maximální poloměr zrna vynesen do grafu 2.3. Pro větší náboje zrna (a stejné kmin a ηmax ) se napětí potřebné k udržení v pasti snižuje. Vzhledem k tomu, že u navrhované aparatury se počítá s detekcí polohy zrna

12


9

ρ = 1500 kg/m3 ρ = 20000 kg/m3

8

Poloměr zrna [µm]

7 6 5 4 3 2 1 0 0

200

400

600

800

1000

Amplituda napětí [V] Obr. 2.3 – Maximální poloměr zrna, u kterého je možné určit hmotnost na základě změny náboje o jeden elementární náboj. Parametry pasti: Ωmin = 44 Hz, r0 = 10 mm, λ = 2.

pomocí viditelného světla, nebude z tohoto důvodu možné měřit se zrny o rozměrech srovnatelných s vlnovou délkou světla a s menšími. Malé hmotnosti zrna, pro které by podle vztahu (2.31) byl potřeba příliš vysoká frekvence ω, proto nemá význam uvažovat.

13

3.

Laboratorní experimenty

Jak jsem již zmínil, elektrodynamická past byla původně navržena k udržení a určení hmotnosti iontů, ale krátce poté byla použita i pro obdobné experimenty s prachovými zrny ([Wuerker et al., 1959] a další). Laboratorní experimenty s prachovými zrny v elektrodynamické pasti umožňují zkoumat nabíjecí procesy na zakřivených površích a dá se stejně dobře měřit na vodivých vzorcích i na izolantech. Navíc je možné sledovat nabíjecí historii jednoho konkrétního zrna. Z těchto důvodů experimenty na prachových zrnech mohou poskytnout data, která by byla jinými postupy těžko dosažitelná. Dále jsou uvedeny a krátce popsány některé experimenty, kde byly elektrodynamické pasti použity. 3.1.

Válcovì symetrická past

Obvykle používané válcově symetrické kvadrupólové pole je ve válcových souřadnicích vyjádřeno rovnicí V u(r, ϕ, z, t) = 2 r2 2z 2 cos ωt . (3.1) r0 Toto pole vytváří efektivní potenciál, který má minimum v počátku souřadnic. Nabitá částice je tedy držena ve všech směrech a kmitá kolem středu pasti. Elektrody umístěné tak, aby kopírovaly ekvipotenciální plochu, budou rotační hyperboloidy r2 2z 2 = r02 , (3.2) konkrétně dvě „čepičky“ dvoudílného hyperboloidu a „prstencová“ elektroda jednodílného hyperboloidu, na kterou je přivedeno napětí v opačné fázi. Tato past byla použita ke studiu fotoemise z prachových zrn S. Arnoldem a N. Hesselem [Arnold and Hessel, 1985]. Kmity zrna byly zatlumeny vyrovnáním teploty s okolním plynem a měrný náboj se určoval z velikosti přídavného napětí mezi čepičkami kvadrupólu, které bylo potřeba ke kompenzování gravitace a zvednutí zrna do středu pasti. V experimentu na Technické univerzitě v Budapešti [Hars and Tass, 1995] byl měrný náboj zrna určován nalezením takové frekvence napájecího napětí, kdy je poměr této frekvence a frekvence kmitů zrna celočíselný. Za těchto podmínek vytvoří osvětlené prachové zrno obrazec, který se v čase nemění, a na kterém je vidět tolik zákmitů, kolik je poměr frekvence napájecího napětí a vlastní frekvence kmitů zrna.

Kap. 3: Laboratorní experimenty

14

Dalším experiment s cílem určování hmotnosti prachových zrn byl proveden v Institute of Atomic and Molecular Sciences, Taiwan [Cai et al., 2002]. Měrný náboj zrna byl určován z frekvence kmitů v efektivním potenciálu. Oblast, ve které kmitá zrno, byla osvětlená jen z poloviny a měřila se intenzita rozptýleného světla. Zrno tedy rozptylovalo světlo jen během poloviny svého kmitu a intenzita rozptýleného světla kolísala se stejnou frekvencí, jako je frekvence kmitů zrna. Válcově symetrická kvadrupólová past s poloměrem prstencové elektrody r0 = 10 mm je také základem aparatury provozované na naší katedře. Aparaturu sestavil I. Čermák na univerzitě v Heidelbergu v roce 1994 [Čermák, 1994]. Po provedení několika základních měření byla převezena na naší katedru, kde byla postupně dále upravována a vylepšována, např. [Pavlů et al., 2004].

Obr. 3.1 – Schéma aparatury.

Zdrojem signálu pro elektrody pasti je počítačem řízený generátor. Signál z generátoru je stokrát zesílen a přiveden na elektrody. Zesilovač (QPS) umožňuje napájet past harmonickým signálem s efektivní hodnotou napětí až 840 V a frekvencí až 10 kHz. Navíc je možné mezi horní a dolní elektrodu přidat stejnosměrné napětí v rozsahu 100 V, pomocí kterého lze kompenzovat působení gravitace a posunout zrno do středu pasti. Zrno kmitající v kvadrupólové pasti je rovnoměrně osvětleno paprskem z laserové diody. Část rozptýleného světla dopadá do CCD kamery a kmitající zrno je zobrazeno na připojené televizní obrazovce. To poskytuje experimentátorovi důležitou kvalitativní informaci o situaci uvnitř pasti. Pro samotné měření frekvence kmitů je ale CCD kamera příliš pomalá. Další část rozptýleného světla tedy prochází skrz optický systém tvořený dvěma čočkami a vytváří zvětšený obraz kmitajícího zrna na obrazovém zesilovači. Po zesílení v řádu 104 je poloha osvětleného bodu převedena na elektrický signál pomocí

15


PIN diody. Signály z PIN diody úměrné okamžité výchylce zrna jsou dále zesíleny a filtrovány. Signál ze svislých kmitů zrna (směr z) je přiveden do čítače a frekvence je průběžně zaznamenávána řídícím počítačem. Mimo to je amplituda obou signály ze směrů z a x porovnána s nastavenou hodnotou (nulová amplituda ve směru x a konstantní amplituda ve směru z) a odchylkou je řízen zesilovač s proměnným zesílením. Výstup tohoto zesilovače přivádí do pasti pomocnými elektrodami přídavné pole, které podle potřeby tlumí nebo zesiluje kmity zrna. Řídící počítač ovládá generátor napětí pro kvadrupól a umožňuje nastavit buďto konkrétní hodnoty napětí a frekvence zdroje, anebo na základě měřené frekvence ve směru z udržuje konstantní hodnotu parametru adiabaticity η. Součástí aparatury jsou také iontové a elektronové dělo (IG, EG) umožňující nabíjet a vybíjet zkoumané zrno. Děla poskytují monoenergetický svazek elektronů nebo iontů o energii od desítek eV do 10 keV. Proud děla je měřen Faradayovým válcem (FC) a zpětnou vazbou je řízeno otevření děla, aby dodávaný proud byl konstantní. Svazky je navíc možné přerušovat tak, aby kvadrupólem procházely pouze tehdy, když je napětí na elektrodách nulové. Tím je zajištěno, že pole v pasti nebude částice vychylovat, a nebudou vznikat nežádoucí sekundární elektrony emisí z elektrod.

Frekvence kmitů zrna fz [Hz]

113 112 111 110 109 108 107 106 105 0

2000

4000

6000

8000

10000

Čas [s] Obr. 3.2 – Záznam průběhu frekvence kmitů v čase.

Díky kontinuálnímu záznamu frekvence a stabilizaci amplitudy kmitů umožňuje aparatura měřit nejen rovnovážné hodnoty náboje zrna za určitých podmínek, ale i dynamické procesy během vybíjení nebo nabíjení zrna. Rozlišení aparatury je dostatečné na to, aby se u prachových zrn s poloměrem do několika mikrometrů dala určit absolutní hmotnost zrna. Toho se docílí sledováním změn měrného náboje odpovídajícím změně náboje o několik málo elementárních nábojů. Ze znalosti elementárního náboje se dá určit hmotnost zrna. Ukázkou takového měření jsou grafy 3.2 a 3.3. Efektivní napětí na kvadrupólu bylo 840 V a frekvence zdroje 950 Hz. Skokových změn náboje a tím i frekvence kmitů, které jsou vidět grafu 3.2, bylo dosaženo ozářením částice krátkým pulsem ze zdroje jednotlivých elektronů. Po přiřazení počtu elementárních nábojů ke každému skoku je možné určit hmotnost částice ze sklonu pro-

16


Frekvence kmitů zrna fz [Hz]

112,5 112 111,5 111 110,5 110 109,5 109 108,5 108 107,5 1700

1710

1720

1730

1740

1750

1760

1770

1780

Náboj zrna [elementárních nábojů] Obr. 3.3 – Lineární fit frekvence kmitů vůči počtu elementárních nábojů.

ložené přímky v grafu 3.3. V tomto případě je to 2,316 10−15 kg a protože šlo o uhlík s hustotou 1500 kg/m3 , je poloměr přibližně 1,9 µm. 3.2.

Konstrukce odvozené z válcovì symetrické pasti

Aparatura postavená na univerzitě v Chemnitzu [Schlemmer et al., 2001] používá past vycházející z výše zmíněné konstrukce, ale tvar elektrod je podstatně upravený pro zajištění větší otevřenosti pasti. V poli uvnitř pasti jsou pak mimo kvadrupólového členu výrazně zastoupeny i další multipólové členy vyšších řádů. Aby se autoři vyhnuli nutnosti analyzovat přesně pohyb v tomto poli, je zrno zatlumeno na minimální amplitudu kmitů, která odpovídá tepelné rovnováze s okolím. Pak lze předpokládat, že pro takovéto amplitudy bude dominantní kvadrupólový člen a pro frekvenci kmitů platí to, co bylo uvedeno výše. Samotné měření frekvence je realizováno osvětlením zrna nehomogenním laserovým svazkem a záznamem intenzity rozptýleného světla. Po provedení Fourierovy transformace průběhu intenzity v čase lze ve výsledném spektru najít maximum odpovídající frekvenci kmitů. Podstatnou nevýhodou je, že pro zatlumení kmitů je potřeba vysoký tlak uvnitř pasti. To znemožňuje provádět většinu měření nabíjecích procesů. 3.3.

Lineární pasti

Potenciál tvořený čtyřmi podélnými elektrodami (v ideálním případě nekonečně dlouhými) má tvar V (3.3) u(x, y, z, t) = 2 xy cos ωt . r0 V rovině xy tvoří kvadrupólové pole, pro které platí závěry předchozí kapitoly. Ve směru osy z není pohyb nijak omezen.


17

Elektrody mohou mít buď hyperbolický tvar a jejich povrch je popsán rovnicí xy = r02 ,

(3.4)

anebo se pro zjednodušení výroby používají elektrody válcové. Ukazuje se (např. [Douglas et al., 1999]), že lze najít takový poloměr tyčí, kdy je odchylka od ideálního kvadrupólového pole v praxi zanedbatelná. Tato konstrukce je široce používána ve hmotnostních spektrometrech, kdy je pole v rovině xy nastaveno tak, aby v něm mohly stabilně kmitat jen částice s určitým měrným nábojem, které potom mohou proletět celou délkou spektrometru. Pro dlouhodobé udržení je tuto konstrukci potřeba doplnit tak, aby částice byla držena i ve směru osy z. Toho se u iontových pastí dosahuje většinou přidáním elektrostatického pole s nenulovou intenzitou v tomto směru. Pole může být vytvořeno po rozdělení každé elektrody na tři vzájemně odizolované části přidáním stejnosměrného předpětí na krajní části tyče. Pokud se počet tyčí zvětší, bude uvnitř pasti dominantní příslušný vyšší multipólový term. Potenciálová jáma efektivního potenciálu poroste s vyšší mocninou vzdálenosti od osy pasti a potenciál bude uprostřed více plochý. Toho se s výhodou využívá například pro chlazení iontů. Pro experimenty s prachovými zrny je ale jiné, než kvadrupólové pole nevhodné. Zrno totiž chceme mít co nejlépe lokalizováno ve středu pasti a navíc jiný než kvadratický efektivní potenciál vnáší do frekvence kmitů v poli nevhodnou závislost na amplitudě. Na rozdíl od pastí vykazujících válcovou symetrii nejsou lineární pasti pro experimenty s prachovými zrny používány. 3.4.

Peningova past

Jinou možností, jak udržet nabitou částici, je místo použití elektrodynamického pole přidat k elektrostatickému poli navíc magnetické, které zajistí udržení částice ve zbývajících směrech [Paul, 1990]. V takovéto pasti byly například dlouhodobě udrženy elektrony a změřen anomální magnetický moment elektronu [Gräff et al., 1969]. Pro naše experimenty s prachovými zrny je ale použití statického elektrického a magnetického pole nevhodné už proto, že znemožňuje nebo značně komplikuje nabíjení zrna elektronovými a iontovými svazky.

18

4.

Cíl práce

Z předchozího přehledu vyplývá, že udržení zrna v elektromagnetickém poli je možno realizovat v laboratorních podmínkách různými způsoby, které se liší podle konkrétního účelu dané aplikace. V našem případě chceme dlouhodobě zachytit jedno prachové zrno a studovat nabíjecí procesy způsobené různými fyzikálními mechanismy, tedy ovlivňovat jeho náboj svazky elektronů a iontů o různých energiích nebo působením UV záření různých vlnových délek. Pro tuto aplikaci potřebujeme elektrodynamickou past takové konstrukce, kde by byly minimalizovány nežádoucí efekty (emise elektronů z elektrod dopadem částic svazků, dopad iontů ze zbytkové atmosféry apod.). Dále je třeba zajistit dostatečnou „světlost“ v okolí pasti, aby byl k dispozici prostor pro umístění četných diagnostických a zobrazovacích zařízení. V neposlední řadě je třeba zohlednit i technické aspekty návrhu pasti (mechanická konstrukce a upevnění pasti ve vakuové aparatuře). Hlavním cílem práce je tedy návrh geometrie elektrodynamické pasti, která by umožnila dlouhodobé udržení prachového zrna při splnění výše uvedených omezení. Konkrétně se při řešení úkolu chci zaměřit na: 1) Rozbor vhodnosti různých realizací elektrodynamických pastí pro naši aplikaci. 2) Výpočet tvaru elektrického pole v dané pasti. 3) Zhodnocení přesnosti uvažované geometrie a zvážení možností technické realizace. 4) Definitivní návrh vybrané pasti.

19

5.

Perioda anharmonického oscilátoru

Pro získání otevřenější konstrukce elektrodynamické pasti je potřeba upustit od požadavku na dokonale kvadrupólové pole. Pokud bude mít efektivní potenciál vytvořeného pole ve středu pasti minimum, bude tam prachové zrno moci kmitat. V případě kvadrupólového pole tvoří efektivní potenciál kvadratickou jámu a kmity zrna jsou harmonické. To je pro měření ideální situace, protože frekvence kmitů nezávisí na amplitudě a není tedy nutné amplitudu kmitů přesně znát a udržovat. V případě jiného průběhu efektivního potenciálu kmity harmonické nebudou. Amplitudová závislost frekvence sice principiálně vadí, ale jen do jisté míry. Vlivem dalších faktorů (např. teplotní stabilita generátoru a zesilovače) je dána určitá mez přesnosti určení frekvence. Odchylky způsobené návrhem pasti, které jsou pod touto mezí, příliš nevadí. Navíc předpokládám, že amplituda měřených kmitů bude stabilizována elektrickým tlumícím systémem. Za míru vhodnosti určitého pole tedy budu považovat relativní změnu frekvence kmitů při změně amplitudy. Uvažujme obecný efektivní potenciál daný vztahem 2k ∞ X x . (5.1) c2k u(x) = x0 k=1

Členy s lichou mocninou x považuji za nulové díky symetrii všech dále používaných návrhů. Z tohoto potenciálu chci určit frekvenci kmitů zrna, které mají amplitudu A. Energetická bilance oscilátoru je 1 mx˙ 2 + u(x) = u(A) . (5.2) 2 Při omezení se na čtvrtperiodu kmitu od x = 0 do x = A platí r 2 p x˙ = u(A) u(x) , (5.3) m což je diferenciální rovnice pro x(t), kterou lze řešit separací proměnných: r ZA m dx p T1/4 = , (5.4) 2 u(A) u(x) 0

p

ZA

T = 2 2m

dx p

0

u(A)

u(x)

.

(5.5)

20

Kap. 5: Perioda anharmonického oscilátoru

Perioda harmonického oscilátoru, tj. takového, pro který platí ck = 0; k = 1, 3, 4, 5, 6, . . . (viz (5.1)), je r m . (5.6) T0 = 2π 2c2 Dosazením do (5.5) se získá vztah pro relativní odchylku periody od harmonického oscilátoru ZA T dx 2 p , (5.7) =η= T0 π w(A) w(x) 0

kde

∞

u(x) x2 X w(x) = = 2+ d2k c2 x0

k=2

x x0

2k ,

(5.8)

a tedy d2k = c2k /c2 . Integrál (5.7) nelze obecně řešit analyticky. Pro numerické řešení je nevhodné, že integrovaná p funkce pro x = A diverguje. Divergující funkci lze odstranit například substitucí y = A x:

p

A x, x = A y2 , dx = 2y dy , √ " #−1/2 A Z ∞ 2k 2 2k X 1 d A (A y ) 4 2k 2A y 2 + dy = η= π y2 x20 x2k 0 y=

4 = π

0

(5.10)

k=2

0 √

Z A"

(5.9)

1 2A x20

y

2

∞ X 2k X d2k

x2k k=2 l=1 0

( 1)l

#−1/2 ! 2k dy . A2k−l y 2l−2 l

(5.11)

Výsledný integrál (5.11) lze určit prakticky libovolnou numerickou metodou. V dalším textu jsou odchylky frekvence počítány pomocí lichoběžníkového pravidla. Pro demonstraci vlivu koeficientů dk na frekvenci kmitů uvádím grafy 5.1, 5.2, 5.3 a 5.4. Pokud bude charakteristický rozměru pasti x0 přibližně 10 mm, bude předpokládaná reálná amplituda kmitů 0,05x0 až 0,1x0 . Přesnost, které by bylo vhodné minimálně dosáhnout odpovídá η = (1 10−5 ). (V tomto řádu je předpokládaná stabilita dalších částí aparatury.) Z grafů 5.1 až 5.4 je vidět, že toho lze dosáhnout, pokud bude poměr koeficientů u x4 2 a x řádově 10−3 a koeficient d6 menší než 0,1.

21


Relativní odchylka periody |1 − η|

0,01

0,001

d4 = 0,1 d4 = 0,01 d4 = 0,001

1·10−4

1·10−5

1·10−6

1·10−7

1·10−8 0,001

0,01

0,1

1

Amplituda kmitů [x0 ] Obr. 5.1 – Relativní odchylka periody kmitů v závislosti na amplitudě v poli u(x) + d4 (x/x0 )4 .

(x/x0 )2 +

0,001 −4


1·10

d6 = 1,0 d6 = 0,1 d6 = 0,01

1·10−5 1·10−6 1·10−7 1·10−8 1·10−9 1·10−10 1·10−11 1·10−12 0,001

0,01

0,1

1

Amplituda kmitů [x0 ] Obr. 5.2 – Relativní odchylka periody kmitů v závislosti na amplitudě v poli u(x) + d6 (x/x0 )6 .

(x/x0 )2 +

22


8·10−5 A = 0,05x0 A = 0,1x0


7·10−5 6·10−5 5·10−5 4·10−5 3·10−5 2·10−5 1·10−5 0 0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,01

d4 Obr. 5.3 – Relativní odchylka periody kmitů v závislosti na koeficientu d4 pro různé amplitudy.

9·10−5 A = 0,1x0 A = 0,07x0 A = 0,05x0

−5


8·10

7·10−5 6·10−5 5·10−5 4·10−5 3·10−5 2·10−5 1·10−5 0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

d6 Obr. 5.4 – Relativní odchylka periody kmitů v závislosti na koeficientu d6 pro různé amplitudy.

23

6.

Válcovì symetrická past

V této kapitole budu uvažovat řešení pasti, které je válcově symetrické, tedy takové, u kterého platí (ve válcových souřadnicích) u = u(r, z). Obdobně i intenzita elektrického pole a efektivní potenciál nezávisí na souřadnici ϕ. Frekvence elektrického pole, které se používají pro zachycení prachových zrn, jsou poměrně nízké, maximálně desítky kHz. Tomu odpovídá vlnová délka, která je podstatně větší, než rozměry pasti (rozměry pasti jsou řádově centimetry). Elektrické pole lze tedy počítat jako elektrostatické. Uprostřed pasti je při měření zachyceno jediné zrno, takže potenciál uvnitř pasti je dán Laplaceovou rovnicí 4u = 0 (6.1) s Dirichletovými okrajovými podmínkami (je známý potenciál na elektrodách). Ve středu pasti (v počátku souřadnic) není žádná elektroda, takže přípustná řešení u jsou pouze taková, která mají v počátku konečnou hodnotu. Protože zrno kmitá pouze blízko středu pasti, je vhodné potenciál vyjádřit jako součet členů, jejichž velikost roste s různou mocninou vzdálenosti od počátku. Tyto členy pak odpovídají potenciálu elektrických vnitřních (inner ) multipólů. Pohyb zrna nejvíce ovlivňují multipóly závisející na nejnižší mocnině vzdálenosti. Kvadrupólový člen nutí zrno k harmonickým kmitům. To je ideální řešení, ke kterému bych se v návrhu rád přiblížil. Ostatní členy s vyšší mocninou jsou nežádoucí a cílem je omezit je. Přitom nejvíce vadí multipóly rostoucí s nejbližšími vyššími mocninami vzdálenosti. Jedním vhodným řešením pasti je kvadrupólový elektrický potenciál ve tvaru u(r, z) =

V 2 (r r02

2z 2 ) .

(6.2)

Toto pole vede na efektivní potenciál ueff =

4V 2 2 (r + 4z 2 ) r04

(6.3)

a čistě harmonické kmity s frekvencí ve směru z poloviční oproti frekvenci ve směru r. Uvedenou konfiguraci má past v současné aparatuře. Ekvipotenciály z rovnice (6.2) jsou plochy r U0 r = + 2z 2 , (6.4) k tedy dvojdílný a jednodílný rotační hyperboloid. V případě elektrod tohoto tvaru vznikne téměř ideální kvadrupólové pole. Elektrody ale podstatně uzavírají prostor kolem středu

24

Kap. 6: Válcovì symetrická past

pasti a kmitajícího zrna. Pro optickou detekci, průchod elektronů či iontů apod. lze využít pouze úzký volný prostor mezi elektrodami, anebo je třeba elektrody provrtat, což ale vede k deformaci pole, a je to tedy možné jen do určité míry. Pro zkoumání vlastností válcové symetrické pasti s jinou konfigurací elektrod je potřeba mít metodu pro výpočet potenciálu. Použil jsem upravenou metodu „virtuálních nábojů“ podle článku [Douglas et al., 1999]. Základem pro výpočet je potenciál náboje rovnoměrně rozloženého po kruhové smyčce v rovině kolmé na osu z a se středem na této ose. Tyto virtuální náboje jsou umístěny uvnitř elektrod a je k nim vytvořena soustava lineárních rovnic spojujících náboj smyčky a známý potenciál na povrchu elektrod. Po dopočtení nábojů je možné určit potenciál v libovolném místě pasti. Ten budu poté chtít vyjádřit jako rozvoj do jednotlivých multipólů, aby se dal jednoduše posoudit vliv na kmity zrna. 6.1.

Multipólový rozvoj pole ve válcovì symetrické pasti

Mimo výše zmíněnou válcovou symetrii pole budu ještě předpokládat, že konstrukce pasti, a tudíž i výsledné pole v pasti, nezávisí na změně znaménka svislé souřadnice z, tedy že u(r, z) = u(r, z). Potenciál budu vyjadřovat jako sumu X u(r, z) = αi,j ri z j , (6.5) i,j

přičemž všechny členy se stejným součtem (i + j) patří k jednomu multipólovému termu. Například kvadrupólový term je u2 (r, z) = α0,2 z 2 + α1,1 rz + α2,0 r2 .

(6.6)

Vzhledem k podmínce nezávislosti na znaménku z musí být všechny αi,j , kde j je liché, nulové. Nulové musí být také členy i = 1, aby 4u nedivergoval na ose z. Laplaceův operátor vyjádřený ve válcových souřadnicích je (např. [Rektorys, 1981]) 2

2

∂ u 4u(r, z) = ∂∂ru2 + 1r ∂u + 2. ∂r ∂z

(6.7)

Aplikován na výraz (6.5) dá

4u(r, z) =

X

αi,j i2 ri−2 z j + j(j

1)ri z j−2 .

(6.8)

i,j

Aby byl výraz (6.8) nulový v celém vnitřním prostoru pasti, musí být nulový součet koeficientů před každou různou mocninou r a z. Sumu (6.8) lze přepsat jako X 4u(r, z) = αi+2,j (i + 2)2 + αi,j+2 (j + 2)(j + 1) ri z j (6.9) i,j

a pro splnění podmínky (6.1) musí platit αi+2,j (i + 2)2 + αi,j+2 (j + 2)(j + 1) = 0 , j(1 j) α . αi+2,j−2 = (i + 2)2 i,j

25


Pokud si označím α0,2k = βk , jsou βk postupně koeficienty všech multipólových termů. (k = 1: kvadrupól, k = 2: oktopól, k = 3: 12pól atd.) Potenciál každého multipólu je pak dán výrazem "a−1 # k X Y (k b)( 1 k + b) 2 u2k (r, z) = βk r2a z 2(k−a) . (6.10) 2 (b + 1) a=0 b=0

−0,5

−0,5

0,0

0,0

z

−1,0

z

−1,0

0,5

0,5

1,0 −1,0

1,0 −1,0

−0,5

0,0 r

0,5

1,0

Obr. 6.1 – Potenciál kvadrupólu. −1,0

−0,5

0,0 r

0,5

1,0

Obr. 6.2 – Potenciál oktopólu.

z

−0,5

0,0

0,5

1,0 −1,0

−0,5

0,0 r

0,5

1,0

Obr. 6.3 – Potenciál 12pólu.

Přímo na ose je potenciál jednoduše u(0, z) =

∞ X

βk z 2k .

(6.11)

k=0

Intenzita elektrického pole na ose má stejný směr jako osa a její velikost je E(0, z) =

∞ X k=1

2kβk z 2k−1 .

(6.12)

26


Z rovnice (6.11) mimo jiné plyne, že k určení pole ve válcové pasti stačí znát pouze průběh potenciálu na ose z, případně jeho derivace podle z v počátku. Tím jsou určeny všechny koeficienty βk a kompletní průběh potenciálu. 6.2.

Potenciál tenké nabité smyèky

z

Pro numerický výpočet pole v pasti je jako první krok potřeba určit potenciál vytvořený tenkou rovnoměrně nabitou smyčkou. Smyčka s poloměrem r0 , se středem v bodě (0, 0, z0 ) a nábojem Q se na potenciálu v bodě (rx , ϕx , zx ) podílí příspěvkem ux =

Q 1 4πε0 2π

Z2π

dϕ p

z0 )2 + rx2 + r02

(zx

0

2rx r0 cos ϕ

,

Q

X

p2r1 r x 0

Z2π

pA dϕcos ϕ ,

A=

(zx

zx

(6.13) r

r0 rx Obr. 6.4 – K výpočtu pole smyčky.

viz obrázek 6.4. Výraz (6.13) lze přepsat jako 1 Q ux = 4πε0 2π

z0

z0 )2 + rx2 + r02 . 2rx r0

(6.14)

0

Dále platí1 Z2π

pA dϕcos ϕ =

p2 F A 1

ϕ 2

2π

2 A

1

0

0

4 =p K A 1

2 A

1

,

(6.15)

kde F (z jm) je neúplný eliptický integrál prvního druhu a K(z) úplný eliptický integrál prvního druhu. Pro numerický výpočet K(z) se dá využít vztahů, které jej spojují s funkcí aritmeticko-geometrického průměru (M (a, b)): ! π a+b a b 2 = . (6.16) K a+b 4 M (a, b) Konkrétně

p2 K(z) = 1+ 1

z

K

K K(z) =

π 1 p 2 M (1, 1

z)

p

1 p1 1+ 1

z z

2 !

1 p1 1+ 1

z z

2 !

p

.

,

(6.17)

p

π 1+ 1 p = 4 M (1, 1

z , z)

(6.18) (6.19)

Aritmeticko-geometrický průměr M (a0 , b0 ) je definovaný jako číslo, ke kterému konvergují posloupnosti p ai + bi ai+1 = a bi+1 = ai bi . (6.20) 2 1

Podle http://functions.wolfram.com.

27


Výsledný vztah pro elektrický potenciál, který vytváří nabitá smyčka v určitém bodě, lze získat z rovnic (6.13), (6.14), (6.15) a (6.19): ux = C p

1

(zx

z0

)2

+ (rx

r0

)2

q = (zx −z0 )2 +(rx +r0 )2 M 1, (zx−z0)2+(rx−r0)2

C

= M

p

(zx

z0

)2

+ (rx

r0

)2 ,

p (zx

z0

)2

+ (rx + r0

)2

,

(6.21)

kde C je konstanta úměrná náboji smyčky a nezávislá na poloze a rozměrech smyčky ani na poloze bodu, ve kterém se určuje potenciál. 6.3.

Výpoèet elektrického pole v pasti

Výpočet je založen na vztahu (6.21). Uvnitř elektrod se rozmístí virtuální nabité smyčky s neznámými koeficienty Ci . Poloha těchto smyček je (ri , zi ). Navíc předpokládám, že díky symetrii se potenciál v pasti nezmění při zrcadlení podle roviny z = 0, takže smyčka se stejným nábojem bude i v místě (r i, zi ). Dále se zvolí tolik míst na povrchu elektrod, kolik je virtuálních smyček. Tato místa mají souřadnice (%j , ζj ), a protože leží na povrchu elektrod, znám v nich i potenciál uj (potenciál elektrody). Definuji koeficienty αij pomocí výrazu αij =

1 p M (zi

ζj )2 + (ri

+ (zi ζj )2 + (ri + %j )2 1 p . %j )2 , (zi + ζj )2 + (ri + %j )2

%j )2 ,

p + M (zi + ζj )2 + (ri

p

(6.22)

Podle vztahu (6.21) pak mohu psát soustavu lineárních rovnic spojující Ci a potenciály X αij Ci . (6.23) uj = i

Po vypočtení koeficientů Ci je potenciál v libovolném bodě součet výrazů (6.21) pro všechny náboje. Pokud mě zajímá pouze osa z (to je předpokládaný směr kmitů zrna při měření), vztah se podstatně zjednoduší a výsledný potenciál je ! X 1 1 u(z) = Ci p +p . (6.24) (zi z)2 + ri2 (zi + z)2 + ri2 i Tento výraz není problém analyticky zderivovat, rozložit do Taylorovy řady kolem počátku a podle (6.11) určit koeficienty jednotlivých multipólových termů. Konkrétní výrazy pro několik nejnižších termů jsou: kvadrupól:

β1 =

X i

oktopól:

β2 =

X i

2zi2 ri Ci 2 ; (zi + ri2 )5/2 Ci

8zi4 24zi2 ri2 + 3ri4 . 4(zi2 + ri2 )9/2

(6.25) (6.26)

28


6.4.

Past s prstencovými elektrodami

Pro konkrétní návrh pasti byla zvolena konfigurace elektrod podle obrázku 6.5. Tedy čtyři prstýnky s kruhovým průřezem, přitom na horním a dolním prstýnku je stejné napětí a dva střední prstýnky mají vůči nim napětí v protifázi. Při omezení se na tuto konfiguraci, zachování symetrie vzhledem k rovině z = 0 a při stejném průměru řezu všech prstýnků (D) zůstává pět stupňů volnosti (r+ , z+ , r− , z− a D). Tvar pole nezávisí na absolutní velikosti pasti, takže jeden z rozměrů lze bez újmy na obecnosti předpokládat jednotkový. Zadefinuji z+ = z0 , kde z0 je charakteristický rozměr pasti. Stejně tak je pro výpočet pole vhodné považovat za jednotkové i napětí na prstýncích. Jako míru vhodnosti konkrétního pole budu brát poměr bezrozměrných koeficientů β1 /z02 a β2 /z04 (Q = β2 /(z02 β1 )). Tím se pokusím minimalizovat nejnižší nežádoucí multipól – oktopól. z D

z+ z−

r

r−

r+

z referenční potenciál nabitá smyčka z+

z− −z− −z+

Obr. 6.5 – Rozměry a poloha elektrod.

r r− r+ Obr. 6.6 – Schéma umístění nábojů pro výpočet potenciálu pole.

Pro výpočet pole jsem použil 100 virtuálních nabitých smyček umístěných v každém prstýnku. Byly umístěny v 65 % poloměru prstýnku a rovnoměrně rozděleny po jeho obvodu. Body se známým potenciálem byly rozloženy stejným způsobem na povrchu prstýnků (viz obrázek 6.6). Předpokládám, že veškeré další uzemněné elektrody jsou od pasti dostatečně daleko, takže počítám pouze s náboji a potenciály na prstýncích. Náboj na povrchu prstýnků spočítaný zpětně z koeficientů Ci se od jednotky liší v řádu 10−18 , což už je spíše chyba výpočtu aritmeticko-geometrického průměru. Samotná metoda tedy určuje rozložení potenciálu v pasti velmi dobře. Potenciál a koeficienty multipólů jsem určil postupem popsaným v předchozí kapitole. Pro vyhodnocení výsledků jsem ještě chtěl snížit počet stupňů volnosti konfigurace pasti. K tomu je vhodné přidat omezení na průměr prstýnků D, které plyne především z mechanických možností. Pro dosažení potřebných intenzit pole v pasti s použitím dostupných napětí je potřeba, aby charakteristický rozměr pasti byl přibližně 1 cm. Hodnota D musí být dostatečně velká, aby se prstýnky daly vyrobit a měly potřebnou pevnost. Zároveň by bylo vhodné mít průměr prstýnků co nejmenší, aby byla past otevřená. Na základě těchto požadavků jsem zvolil průměr v rozsahu 0,4z0 až 0,6z0 (tedy pro předpokládaný rozměr pasti je průměr 4 až 6 mm).

29


Q

Při pevném průřezu prstýnků už zbývají pouze tři stupně volnosti (poloměr a výška záporného prstýnku a poloměr kladného prstýnku). Pro představu o tvaru závislosti Q(r+ , z− , r− ) jsem spočítal hodnoty Q v pravidelných rozestupech 0,1z0 . Hodnota Q je v různých místech stavovém prostoru kladná i záporná a existuje plocha, na které platí Q = 0. Nicméně gradient Q v bodech na této ploše je podstatně větší, než by bylo potřeba. 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 −0,05 −0,10 −0,15 −0,20 −0,1

Q(r+ + δ, z− , r− ) Q(r+ , z− + δ, r− ) Q(r+ , z− , r− + δ)

−0,05

0

0,05

r− = 1,6z0 ; z− = 0,7z0 r+ = 0,5z0 ; z+ = z0 D = 0,4z0

z

r

0,1

δ [z0 ]

Q

Obr. 6.7 – Hodnoty Q pro D = 0,4 a konkrétní tvar pasti s Q = 5,4 10−5 .

0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 −0,05 −0,10 −0,15 −0,20 −0,1


−0,05

0

0,05

r− = 1,4z0 ; z− = 0,5z0 r+ = 0,45z0 ; z+ = z0 D = 0,5z0

z

r

0,1

δ [z0 ]

Q

Obr. 6.8 – Hodnoty Q pro D = 0,5 a konkrétní tvar pasti s Q = 9,1 10−4 .

0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 −0,05 −0,10 −0,15 −0,20 −0,1


−0,05

0

0,05

r− = 1,7z0 ; z− = 0,8z0 r+ = 0,4z0 ; z+ = z0 D = 0,6z0

0,1

r

δ [z0 ] Obr. 6.9 – Hodnoty Q pro D = 0,6 a konkrétní tvar pasti s Q = 4,0 10−4 .

z

30


Pro ilustraci uvádím obrázky 6.7, 6.8 a 6.9. Na každém obrázku je past s parametry r+ , z− a r− zvolenými tak, že příslušný bod ve stavovém prostoru je blízko plochy Q = 0. Graf zobrazuje závislost hodnoty Q na odchylce jednoho z parametrů pasti. Aby byla zajištěna hodnota Q řádu 10−4 nebo menší, je potřeba past sestavit s odchylkou r+ menší, než asi 10−4 z0 . To je při předpokládané hodnotě z0 méně, než mikrometr. Čistě z hlediska dosažitelné mechanické přesnosti a stability není tedy možné udělat konstrukci, která zaručí hodnoty Q menší, než jsou příklady na obrázcích 6.7, 6.8 a 6.9. 6.5.

Efektivní potenciál a perioda kmitù v pasti s prstencovými elektrodami

Pro analýzu kmitů ve směru osy z stačí znát průběh efektivního potenciálu pouze ve směru této osy. Rovnice (6.12) popisuje velikost elektrické intenzity na ose z. Koeficienty jednotlivých multipólů βk mohu určit podle výrazu (6.24), jak je ukázáno na příkladech (6.25) a (6.26). Efektivní potenciál (2.9) závisí na druhé mocnině velikosti intenzity elektrického pole a na dalších parametrech, které jsou ale nezávislé na geometrii pasti. Pro výpočet odchylky periody kmitů od harmonického oscilátoru podle kapitoly 5 potřebuji efektivní potenciál vyjádřit jako mocninnou řadu E 2 (z) = A z 2 + d4 z 2 + d6 z 6 + . . . . (6.27) Z (6.12) plyne d2k =

k X

i(k

i + 1)

i=1

βi βk−i+1 . β12

(6.28)

Pro konkrétní konfiguraci, například r− = 1,6z0 , z− = 0,7z0 , r+ = 0,5z0 , z+ = 1,0z0 , D = 0,4z0 vychází z numerických výpočtů d4 = 2,157 10−4 ;

d6 =

2,253 ;

d8 =

1,679 ;

d10 = 1,701 .

Koeficient kvadrupólového termu β1 /z02 je 1,25. V případě pasti s hyperbolickými elektrodami a charakteristickým rozměrem r0 je tento koeficient 2. Při stejných napětích musí pro dosažení stejného pole tedy přibližně platit, že z0 u prstencové pasti je 0,8r0 . Závislost odchylky periody kmitů pro tento případ je vynesena v grafu 6.10. Obdobně pro konfiguraci r− = 1,4z0 , z− = 0,5z0 , r+ = 0,45z0 , z+ = 1,0z0 , D = 0,5z0 vychází z numerických výpočtů d4 =

3,645 10−3 ;

d6 =

2,651 ;

d8 =

2,104 ;

d10 = 1,914 ,

což vede na hodnoty η zobrazené v grafu 6.11. Koeficient kvadrupólového termu β1 /z02 je 1,68. 6.6.

Zhodnocení pasti s prstencovými elektrodami

Past s prstencovými elektrodami může v zásadě splnit požadavek na dostatečně otevřenou konstrukci (viz například obr. 6.7).

31


5·10−5

Relativní odchylka periody η

4,5·10−5 4·10−5 3,5·10−5 3·10−5 2,5·10−5 2·10−5 1,5·10−5 1·10−5 5·10−6 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

Amplituda kmitů [z0 ] Obr. 6.10 – Relativní odchylka periody kmitů pro past r− = 1,6z0 , z− = 0,7z0 , r+ = 0,5z0 , z+ = 1,0z0 , D = 0,4z0 . 7·10−5

Relativní odchylka periody η

6·10−5 5·10−5 4·10−5 3·10−5 2·10−5 1·10−5 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

Amplituda kmitů [z0 ] Obr. 6.11 – Relativní odchylka periody kmitů pro past r− = 1,4z0 , z− = 0,5z0 , r+ = 0,45z0 , z+ = 1,0z0 , D = 0,5z0 .

Je ale vidět, že požadavek na odchylku periody η menší než 10−5 lze u pasti s prstencovými elektrodami realizovat pouze obtížně a za poměrně malých amplitud kmitu vzhledem k rozměru pasti. Zvětšovat rozměr pasti z0 není vhodné kvůli omezené velikosti dostupného napětí. Naopak hodně malá amplituda kmitů klade větší nároky na systém


32

detekce frekvence a stabilizace amplitudy kmitů. Pro měření by byla mnohem lepší taková konfigurace pasti, ve které by byla hodnota Q alespoň o řád nižší. To ale pravděpodobně není možné zajistit vzhledem k nutné nepřesnosti rozměrů a umístění elektrod. Aby mohla past fungovat tak, jak očekáváme, je třeba mít ještě možnost vytvořit ve středu pasti pokud možno homogenní elektrické pole, které bude kompenzovat gravitační působení. To je poměrně dobře dosažitelné přivedením napětí na horní a dolní prstýnek. Dále jsou potřeba v pasti slabá, přibližně homogenní pole ve všech směrech, které slouží ke stabilizaci amplitudy kmitů. Svislý směr lze řešit společně s vyrovnáním gravitace. Pro stabilizaci ve vodorovném směru by bylo potřeba přidat další elektrody, anebo střední prstýnky rozdělit na více segmentů, na kterých může být navzájem různé napětí. Past jsem v této kapitole počítal v idealizovaném případě, kdy kromě prstencových elektrod nejsou v okolí přítomné žádné náboje. Toho ale samozřejmě není možné reálně dosáhnout, protože elektrody musí být nějak upevněny. Vzhledem k velké citlivosti koeficientu oktopólového termu na malé změny polohy elektrod lze předpokládat, že přidání držáků by výsledné pole mohlo podstatně zhoršit. Z těchto důvodů nepovažuji past s prstencovými elektrodami pro předpokládaný systém měření za příliš vhodnou.

33

7.

Lineární past

Stejně jako v předchozí kapitole budu hledat řešení elektrostatického pole popsaného Laplaceovou rovnicí 4u = 0 (7.1) s Dirichletovými okrajovými podmínkami. Na rozdíl od předchozího případu je ale základní symetrií pasti nezávislost tvaru elektrod vůči posunu podél přímky tvořící osu pasti. Základ konstrukce lineární pasti je podobný jako u kvadrupólu průletového hmotnostního spektrometru. Tvar elektrod pasti se podél jedné prostorové souřadnice nemění, v ideálním případě jsou elektrody v tomto směru nekonečné, v reálném případě dostatečně dlouhé, aby bylo možno okrajové efekty zanedbat. Tato past má pro naše účely výhodu v tom, že bez dalších úprav vede přes střed pasti široký, volný válcový průchod. Ten je vhodné využít pro průchod UV záření pastí, protože velká světlost otvoru v pasti snižuje pravděpodobnost nežádoucího dopadu UV záření na elektrody a následné emise elektronů. Nevýhodou je, že vytvořené pole nemá kvůli zmíněné symetrii minimum ve směru osy pasti. Pro udržení zrna uvnitř pasti je tedy potřeba konstrukci vhodně upravit. 7.1.

Multipólový rozvoj pole v øezu kolmém na osu pasti

Opět platí, že ve středu pasti není elektroda, a tudíž tam nesmí potenciál divergovat. Pokud si v rovině kolmé na podélnou osu pasti zavedu polární souřadnice, musí mít, s ohledem na podmínku (7.1), všechny multipólové termy výsledného pole tvar (viz např. [Gerlich, 1992]) un (r, ϕ) = αn rn sin(nϕ + βn ) . (7.2) Gradient zapsaný ve válcových souřadnicích má tvar (např. [Rektorys, 1981]) , rr = ∂u ∂r

∂u rϕ = 1r ∂ϕ ,

rz = ∂u . ∂z

Intenzita elektrického pole tvořeného jednotlivými termy (7.2) je

En(r, ϕ) = αnnrn−1(sin(nϕ + βn), cos(nϕ + βn), 0) , En (r, ϕ) = αn nr

n−1

.

(7.3) (7.4)

34

Kap. 7: Lineární past

−1,0

−1,0

−0,5

−0,5

0,0

0,0

y

y

Konstrukce lineární pasti navíc často vykazuje další symetrie, díky nimž mohu zjednodušit rovnici (7.2). Při zrcadlení pasti podle os (rovin) ϕ = f0, π g a ϕ = fπ/2, 3π/2g se elektrody zobrazí samy na sebe, ale s opačnými znaménky napětí. Při zrcadlení podle os (rovin) ϕ = fπ/4, 5π/4g a ϕ = f3π/4, 7π/4g se elektrody zobrazí samy na sebe i se stejnými hodnotami napětí. Z první symetrie plyne, že potenciál na ose ϕ = f0, π g musí být nulový a konstanty βn jsou tudíž také nulové. Analogicky musí být nulový potenciál na ose ϕ = fπ/2, 3π/2g. Z toho plyne podmínka na nulové αn pro lichá n.

0,5

0,5

1,0 −1,0

1,0 −1,0

−0,5

0,0 x

0,5

1,0

Obr. 7.1 – Potenciál kvadrupólu. −1,0

−0,5

0,0 x

0,5

1,0


y

−0,5

0,0

0,5

1,0 −1,0

−0,5

0,0 x

0,5

1,0


Další symetrie (podle os ϕ = fπ/4, 5π/4g a ϕ = f3π/4, 7π/4g) dále omezuje možné multipólové termy. Nulové musí být koeficienty αn pro n, která jsou násobkem čtyř. Nenulové multipólové termy jsou tedy takové, kdy n = 4k 2 pro k 2 N. To je kvadrupól, 12pól, 20pól atd. u4k−2 (r, ϕ) = α4k−2 r4k−2 sin ((4k

2)ϕ) ;

(7.5)

35


π = ( 1)k+1 α4k−2 r4k−2 . (7.6) u4k−2 r, 4 Je vidět, že pro určení jednotlivých termů potenciálu stačí znát například Taylorův rozvoj potenciálu ve směru ϕ = π/4 okolo středu pasti. 7.2.

Vhodný polomìr tyèí pasti

Past budu popisovat buď v pravoúhlých kartézských (x, y, z), anebo ve válcových (r, ϕ, z) souřadnicích. V obou případech má osa z směr x podélné osy pasti (tedy tvar elektrod je nezávislý na souřadnici z). y Rovina y = 0, respektive ϕ = f0, π g je svislá rovina (viz obrázek 7.4). z Dominantní multipólový term, který chci v pasti získat, je kvadrupól, proto budu uvažovat konstrukci se čtyřmi elektrodami rozmístěnými ve stejné vzdálenosti od osy ve směrech ϕ = fπ/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4g. Napětí na dvou protilehlých elektrodách je ve fázi, naObr. 7.4 pětí na dvou sousedních v protifázi. Kvůli jednodušší výrobě pasti volím válcové elektrody. Rozdíl v kvalitě pole oproti hyperbolickým elektrodám není příliš velký. Válcové elektrody se používají i pro hmotnostní filtry, kde se částice pohybují v celém prostoru mezi elektrodami, nejen blízko osy, a odchylky od ideálně kvadrupólového pole vadí z tohoto důvodu více. Navíc, jak bude dále ukázáno, určitá odchylka od ideálního pole v případě této pasti nemá na celkovou chybu měření zásadní vliv. V ideálním případě, kdy jsou tyče nekonečné, je geometrie pasti dána jen jedním číslem – poměrem poloměru tyčí (r) a poloměru kružnice vepsané mezi tyče (r0 ). Výsledné pole pak ještě ovlivňuje rozložení dalších elektrod a uzemněných ploch okolo pasti. Většina vodivých ploch okolo pasti je ale uzemněna a pole v pasti ovlivňují jen minimálně, takže lze pro jednoduchost počítat buď s tím, že veškeré další elektrody jsou velmi daleko, anebo uvažovat uzemněný válec s určitým poloměrem, který obepíná elektrody zvenku. 6,9

4,5

6

6,0

5,0

25

r/r0 = 1,145

6

4,8

3,6 6

46

r/r0 = 0,6

37

r/r0 = 0,8

r/r0 = 1,0

6,4

6

5,7

30

3,0 6,7

6

51

r/r0 = 0,5

Obr. 7.5 – Rozměry tyčového kvadrupólu pro různé poměry r/r0 . Rozměry jsou v milimetrech; množství rozptýleného světla, které lze zachytit, je úměrné úhlu otevření pasti.

36


Při návrhu pasti je třeba brát v úvahu několik protichůdných požadavků. Absolutní rozměry musí být dostatečně malé, aby bylo možné vytvořit dostatečně silné elektrické pole bez potřeby příliš velkých napětí. Na druhou stranu je potřeba, aby absolutní velikost mezer mezi elektrodami byla dostatečně velká pro vstup svazků. Příliš malá past v absolutních hodnotách také znamená, že amplituda kmitů zrna bude relativně větší a tím se více projeví vyšší multipólové termy elektrického pole. Menší poměr r/r0 umožňuje zachytit ze zrna více rozptýleného světla a detekovat i menší zrna. Naopak odchylka od optimálního poměru zhoršuje vlastnosti pole uvnitř pasti. Pro dále uvažovanou past byl zvolen rozměr r0 = 6 mm. Ten umožňuje dosáhnout pole stejné intenzity jako v současné pasti při skoro třetinovém napětí. Na druhou stranu tento rozměr zajišťuje ještě dobrou mechanickou pevnost pasti a amplituda kmitů zrna může být dostatečně malá vůči r0 . Podle [Douglas et al., 1999] je pro eliminaci vlivu vyšších termů pole ideální poměr r/r0 = 1,145. Při tomto poměru je ale past už dost uzavřená. Cílem tedy bude tento poměr snížit tak, aby odchylka pole v pasti ještě příliš nevadila. Analyzované geometrie pasti jsou znázorněny na obrázku 7.5. Jak bylo ukázáno, pole v pasti je tvoří pouze multipóly řádu n, kde n = 4k 2, k 2 N (7.5). Jejich velikost v závislosti na poměru r/r0 je zobrazena v grafu 7.6. Výpočet byl proveden způsobem podle článku [Douglas et al., 1999]. Konkrétně pro 100 virtuálních nábojů v každé tyči ve vzdálenosti 0,7r od středu příslušné tyče. Bylo počítáno s uzemněným stínícím válcem o poloměru 10 r0 umístěným kolem pasti. 0,08 kvadrupól (1 − α2 /r02 ) 12pól (α6 /r06 ) 20pól (α10 /r010 ) 28pól (α14 /r014 )

0,07 0,06 0,05

αn /r0n

0,04 0,03 0,02 0,01 0 −0,01 −0,02 0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,1

1

1,2

1,3

r/r0 Obr. 7.6 – Velikost multipólových termů v lineární pasti v závislosti na poloměru tyčí (u kvadrupólového členu je vynesena odchylka od jedničky).

Efektivní potenciál pole v pasti je s využitím (7.4) a (2.9) q2 ueff (r) = 4mω 2

∞ X k=1

!2 α4k−2 (4k

2)r4k−3

.

(7.7)

37


2,5·10−5

2·10−5

|1 − η|

1,5·10−5

1·10−5

5·10−6

0 0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

r/r0 Obr. 7.7 – Relativní odchylka periody kmitů zrna v závislosti na poměru r/r0 .

1·10−5

r/r0 = 1,0 r/r0 = 0,8

1−η

1·10−6

1·10−7

1·10−8

1·10−9

1·10−10 0,01

0,1 A/r0

Obr. 7.8 – Relativní odchylka periody kmitů zrna v závislosti na amplitudě kmitů A.

Použitím výsledku (5.11) z kapitoly o anharmonickém oscilátoru a ze znalosti rozvoje efektivního potenciálu (7.7) mohu určit relativní odchylku periody kmitů zrna v pasti pro různé poměry r/r0 a pro různé amplitudy. Amplituda 0,1r0 je horní odhad skutečné amplitudy kmitů zrna na základě situace v současné aparatuře. Závislost odchylky periody kmitů od periody v ideálním kvadrupólovém poli na poloměru tyčí právě pro amplitudu

38


0,1r0 je vynesena v grafu 7.7. Velikost odchylky periody závisí na amplitudě kmitů tak, jak je pro dva konkrétní poměry r/r0 zobrazeno v grafu 7.8. Řídící a detekční systém u navrhované aparatury bude principiálně podobný tomu, který se používá u současné pasti. Mez přesnosti měření u současné pasti je dána hlavně stabilitou napájení pasti a je maximálně řádu 10−5 . Předpokládám, že situace u nové pasti nebude podstatně lepší, takže odchylky periody kmitů v řádu 10−6 by neměly vadit. Navíc za předpokladu dobře fungujícího elektrického tlumení, které bude stabilizovat amplitudu kmitů, bude relativní chyba ještě o něco menší, protože amplituda kmitů se nebude měnit přes celý rozsah od nuly do 0,1r0 . Na základě těchto úvah byla za vhodný kompromis zvolena hodnota r/r0 = 1,0. Vliv odchylky od kvadrupólového pole je pro naše účely zanedbatelný. Naopak posun od poměru 1,145 poněkud zvýší světlost pasti. V případě nedostatečné světlosti pasti při tomto poměru je z hlediska frekvence kmitů použitelný i poměr r/r0 = 0,8. 7.3.

Udr¾ení zrna v podélném smìru elektrostatickým polem

Myšlenka udržení elektrostatickým polem je jednoduchá – pokud by bylo možné vytvořit takové elektrostatické pole, které má podél osy z průběh u = z 2 , bude toto pole spolu s výše řešeným kvadrupólovým polem držet zrno ve středu pasti. Základní nevýhodou tohoto řešení je, že pole, jehož potenciál bude záviset na druhé mocnině z, nemůže být v celé rovině z = 0 konstantní (jinak by nemohlo být splněno 4u = 0). Intenzita pole ve směrech x a y, která je řádově stejně velká jako ve směru osy pasti, ovlivňuje měřené kmity prachového zrna. Navíc není dost dobře možné najít takovou konfiguraci, kde by závislost potenciálu na souřadnici x byla čistě kvadratická. Součet efektivního potenciálu a tohoto elektrostatického pole tedy netvoří kvadratickou jámu a kmity nebudou ani přibližně harmonické. To je pro měření velmi nevhodná situace, protože perioda kmitů pak silně závisí na amplitudě, kterou nelze s dostatečnou přesností měřit nebo udržovat. 7.4.

Elektrické pole podélnì rozpùlených tyèí

Pokud tyče v polovině délky rozdělím na dvě části a na každou část přivedu napájecí napětí v jiné fázi (viz obrázek 7.9), vznikne pole, které bude mít, díky symetrii, v dostatečně malé vzdálenosti od středu pasti dominantní kvadrupólový člen u(x, y, z) = Vr20 xz. 0

x y z

−

+

−

+ −

+ −

Obr. 7.9 – Fáze napětí na elektrodách pasti.

+

39


Pro přesnější výpočet pole vytvořeného elektrodami s uvedeným napětím jsem opět použil upravenou metodu virtuálních nábojů. V tomto případě už ale jde o třírozměrný problém, což výpočty značně komplikuje. Pro výpočet jsem do každé tyče umístil přibližně 10000 virtuálních bodových nábojů a vybral jsem stejný počet míst na povrchu tyčí, kde je známý potenciál. To vede na soustavu 10000 lineárních rovnic pro hodnotu každého virtuálního náboje. Po vyřešení této soustavy je možné rozložit potenciál kolem středu pasti do polynomů v x, y a z. Vzhledem k omezenému počtu virtuálních nábojů s ohledem na dobu výpočtu a paměťovou náročnost je výsledkem spíše přibližný odhad velikosti vyšších multipólových členů. Nicméně, jak bude ukázáno dále, pohyb zrna v pasti použitelný pro měření závisí především na dodržení symetrie, samotné koeficienty členů vyšších řádů nehrají podstatnou roli. Tvar pole získaný výpočtem je 1,7324xz 0,1578x3 z + 3,668xy 2 z 1,381xz 3 + + r02 r04 0,077x5 z + 5,63x3 y 2 z 1,62x3 z 3 + 1,39xy 4 z 8,42xy 2 z 3 + 1,33xz 5 + + r06 + ... . (7.8)

u(x, y, z) = V0

Je vidět, že koeficienty vyšších členů zůstávají řádově stejné, takže v prostoru kolem středu pasti, který mě zajímá, bude skutečně dominantní kvadrupólový člen. Pro odhad přesnosti použité metody výpočtu je v grafu 7.10 zobrazena odchylka potenciálu na povrchu tyčí tak, jak vychází ze sumy bodových nábojů vůči jednotkovému potenciálu, podle kterého byly náboje počítány.

vzdálenost od řezu tyče [r0 ]

5 4,5

10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8 10−9 10−10

4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

50

100

150

200

250

300

350

úhel bodu na povrchu tyče [stupňů] Obr. 7.10 – Relativní odchylka potenciálu virtuálních bodových nábojů na povrchu tyče od jednotkového potenciálu.

40


7.5.

Pohyb zrna v poli zkøí¾ených 2D kvadrupólù

Za 2D kvadrupól považuji pole typu uz (x, y, z) = αz xy. Budu předpokládat pole složené z navzájem kolmých kvadrupólů: u(x, y, z) = αx yz + αy xz + αz xy .

(7.9)

Intenzita takovéhoto pole je

E (x, y, z) =

αy z + αz y, αx z + αz x, αx y + αy x .

(7.10)

Efektivní potenciál (2.9) je úměrný čtverci velikosti elektrické intenzity: ueff (x, y, z) = k (αy z + αz y)2 + (αx z + αz x)2 + (αx y + αy x)2 .

(7.11)

Pokud bude nenulový pouze jeden z koeficientů αx , αy , αz , bude výsledné pole jednoduchý dvourozměrný kvadrupól. Ukáži, že pokud bude nulový jeden z nich, efektivní potenciál výsledného pole ani tak nebude tvořit třírozměrnou jámu. Bez újmy na obecnosti, budiž nulové αx . Efektivní potenciál je potom ueff (x, y, z) = k (αy z + αz y)2 + (αz2 + αy2 )x2 . (7.12) Nulový efektivní potenciál je za splnění podmínky x = 0 a αy z + αz y = 0. To jsou ale jen dvě lineární rovnice pro tři souřadnice, takže nulový efektivní potenciál je podél celé přímky procházející počátkem a určené vektorem (0, αy , αz ). Podél této přímky není zrno nijak vázáno. K vytvoření potenciálového minima ve třech rozměrech jsou tedy potřeba všechny tři vzájemně kolmé 2D kvadrupóly. Pro analýzu pohybu zrna v tomto poli je potřeba určit gradient efektivního potenciálu, který, vzatý s opačným znaménkem, je shodný se silou vyvolávající pohyb polem (viz (2.8) a (2.9)). Sílu působící v bodě (x, y, z) lze zapsat tímto způsobem:  2    αy + αz2 αx αy ax az x 2 2    F (x, y, z) = 2k αxαy αx + az αy αz y  . (7.13) αx αz αy αz αy2 + αx2 z Pro analýzu pohybu zrna jsou důležitá vlastní čísla a vlastní vektory matice z rovnice (7.13). Vlastní čísla určují frekvence, na kterých může zrno kmitat, a příslušné vlastní vektory pak směr těchto kmitů. Pokud budu předem požadovat, aby jeden z vlastních vektorů ležel v rovině z = 0, mohu matici zjednodušit. Pro vlastní vektor v = (vx , vy , 0) s vlastním číslem λ získám soustavu rovnic λvx = (αy2 + αz2 )vx + αx αy vy , λvy = αx αy vx + (αx2 + αz2 )vy ,

(7.14)

0 = αx αz vx + αy αz vy . Z poslední rovnice mám podmínku αx vx =

αy vy . Dosazením do prvních dvou::

αx2 + αy2 + αz2 = λ = αx2

αy2 + αz2 ,

(7.15)

41


tedy αx2 = αy2 . Dvě řešení jsou symetrická. Bez újmy na obecnosti vyberu αx = αy . Navíc přidám bezrozměrnou konstantu C = αx /αz = αy /αz . Pak lze matici z rovnice (7.13) upravit na tvar  2  C +1 C2 C αz2  C 2 C2 + 1 C  . C C 2C 2 Vlastní vektory a příslušná vlastní čísla této matice jsou: ! p 2 8C + 1 + 1 1 p 2 , λ1 = 8C + 1 + 4C 2 + 1 ; v1= 1, 1, 2C 2 ! p 2 +1 1 1 p 2 , λ2 = v2= 1, 1, 8C 2C 8C + 1 + 4C 2 + 1 ; 2

v3= (1,

1, 0) ,

(7.16)

λ3 = 1 .

V případě C = 1 platí λ1 = λ3 a zrno může stabilně kmitat buď podél druhého vlastního vektoru (1, 1, 1), anebo v celé rovině na něj kolmé. Případ C = 0 odpovídá jedinému 2D kvadrupólu bez držení ve směru z. Závislost velikosti vlastních čísel (vlastní čísla jsou úměrná frekvencím kmitů ve směru příslušného vlastního vektoru) na parametru C je uvedena v grafu 7.11. Na svislé ose je poměr prvního a druhého vlastního čísla vůči třetímu, které nezávisí na C. 5 λ1 /λ3 λ2 /λ3

4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

0,2

0,4 0,6 C = αx /αz = αy /αz

0,8

1

Obr. 7.11 – Poměr vlastních čísel a frekvencí kmitů podél vlastních vektorů.

V ostatních případech jsou všechna vlastní čísla různá a existují právě tři směry, podél kterých může zrno stabilně kmitat. Jediný vlastní vektor s nulovou souřadnicí z je v3, takže pokud zrno stabilně kmitá s nulovou amplitudou ve směru z, musí kmitat ve směru (1, 1, 0).

42


(1, 1, 0) ~v1 ~v2

−15◦

15◦

−30◦

30◦

−45◦

45◦

−60◦

60◦

−75◦

75◦

(0, 0, 1)

0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 C = αx /αz = αy /αz

Obr. 7.12 – Směr vlastních vektorů v1 a v2 v závislosti na hodnotě na C.

Napětí na tyčích, které vytvoří uvažované pole tří zkřížených kvadrupólů je znázorněno v obrázku 7.13. Pro koeficienty αx , αy a αz platí: αx =

1,73Vxy , r02

αy =

1,73Vxy , r02

αz =

0,99Vz . r02

+Vz − 2Vxy

+Vz + 2Vxy −Vz

−Vz

−Vz

−Vz

+Vz − 2Vxy

+Vz + 2Vxy

Obr. 7.13 – Pole tvořící minimum efektivního potenciálu – amplituda napětí na elektrodách.

Sečtením potenciálu podle vztahu (7.8), potenciálu vůči němu pootočenému o 90◦ kolem osy z a potenciálu kvadrupólového pole v rovině xy, získám reálný tvar pole tvořeného elektrodami s napětím podle 7.13. Efektivní potenciál výsledného pole určím podle vztahu (2.9). Průběh efektivního potenciálu pro konkrétní případ Vz = Vxy a r0 = 6 mm je ve dvou řezech polem znázorněn v grafech 7.14 a 7.15. 7.6.

Vliv odchylky polí

ux

a

uy

od ideálního 2D

kvadrupólu

Ze symetrie pasti plyne, že v rozvoji pole ux mohou být jen členy obsahující sudou mocninu x a lichou mocninu y a z. V rozvoji pole uy jsou členy se sudou mocninou y a lichou mocninou x a z. Navíc na základě výše uvedeného αx = αy platí ux (x, y, z) = uy (y, x, z).

43


ueff [AU] 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

−4 −2 4

0

2

x [mm]

0

2 −2

4 4,0 3,5

z [mm]

−4

3,0 2,5

2,0 1,5

1,0 0,5

ueff [AU] Obr. 7.14 – Řez efektivním potenciálem v rovině y = 0.

ueff [AU] 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

−4 −2 x [mm]

0 2 4 −4

4,0 3,5

3,0 2,5

0 y [mm]

−2 2,0 1,5

ueff [AU] Obr. 7.15 – Řez efektivním potenciálem v rovině z = 0.

4

2

1,0 0,5

44


Tedy rozepsáno do polynomů v x, y, z: ux (x, y, z) =

X

uy (x, y, z) =

X

aijk x2i y 2j+1 z 2k+1 ,

i,j,k

(7.17)

aijk y 2i x2j+1 z 2k+1 .

i,j,k

Pole uz považuji za dokonale kvadrupólové, protože odchylky tohoto pole jsou řádově menší, než odchylky ostatních dvou polí. Intenzita pole vzniklého složením ux , uy a uz je   duz (x,y) P + aijk (2ix2i−1 y 2j+1 + (2j + 1)y 2i x2j )z 2k+1 dx  duz (x,y) i,j,k  P 2i−1 2j+1 2i 2j 2k+1   + a (2iy x + (2j + 1)x y )z ijk (7.18) E (x, y, z) =  dy .   Pi,j,k (2k + 1)aijk (x2i y 2j+1 + y 2i x2j+1 )z 2k i,j,k

Za podmínky z = 0 (kmity v rovině xy) zůstane jen  duz (x,y)

E (x, y, z) =

 P

dx duz (x,y) dy 2i 2j+1

aij0 (x y

 2i 2j+1

+y x

)

 .

(7.19)

i,j

Ze směru kmitů plyne další podmínka: x = y, která způsobí, že třetí složka vektoru je identicky nulová. Intenzita pole podél přímky (1, 1, 0), a tím i efektivní potenciál podél této přímky, jsou určeny pouze kvadrupólovým polem uz . Dokud je zachována výše předpokládaná symetrie, tak ji průběh polí ux a uy nijak neovlivňuje. Tedy ani odchylka těchto polí od 2D kvadrupólu neovlivňuje měřenou frekvenci kmitů. Pole ux a uy musí pouze pomoci vytvořit minimum efektivního potenciálu ve směru z. 7.7.

Vliv nepøesnosti umístìní elektrod

Vliv nepřesností při výrobě tyčového kvadrupólu na výsledné pole je detailně rozebrán v článku [Douglas et al., 1999]. Na základě analýzy frekvence kmitů podle kapitoly 5 mohu říct, že pro dosažení relativní odchylky menší než 10−5 je potřeba, aby relativní velikost oktopólového členu rozvoje pole byla řádově maximálně 10−3 . Při radiálním posunu jedné z elektrod roste podle uvedeného článku koeficient oktopólového členu přibližně lineárně a při posunutí o 0,01r0 bude koeficient α4 přibližně 2 10−4 . Při rozměru r0 = 6 mm toto posunutí odpovídá 60 µm. Koeficient 12pólového členu je tisíckrát menší, takže výsledné kmity při uvažované amplitudě ovlivňuje podstatně méně. Členy vyšších řádů mají velikost řádově srovnatelnou s oktopólovým, takže kmity také oproti oktopólu znatelně neovlivňují. Pootočení jedné elektrody kolem osy z o 0,001 rad vytvoří oktopólový člen o velikosti přibližně 2 10−4 a jeho velikost roste přímo úměrně rostoucímu úhlu. Při návrhu pasti je tedy třeba dodržet polohu tyčí s chybou do několika málo desítek µm. Naopak chyba poměru r/r0 , tedy nepřesnost poloměru nebo umístění všech elektrod současně, pole prakticky neovlivní, takže při návrhu a následné výrobě je podstatné především dodržení symetrii pasti.


7.8.

45

Zhodnocení pasti s tyèovými elektrodami

Z hlediska otevřenosti konstrukce je u této pasti podstatný hlavně prostor o poloměru r0 podél celé osy z. V této poměrně široké dráze přes střed pasti nejsou žádné elektrody a je jí možno s výhodou využít pro průchod UV záření pastí, čímž se podstatně redukuje nežádoucí fotoemise elektronů z elektrod. Mezery mezi tyčemi jsou při poloměrech r = = r0 = 6 mm dostatečné pro průchod elektronových a iontových svazků. Samotné pole v pasti sice netvoří ideální kvadratickou potenciálovou jámu, ale za předpokladu stabilizace kmitů jen ve směru vektoru (1, 1, 0) je frekvence kmitů ovlivněna pouze polem uz , jehož odchylky od ideálního kvadrupólu mohou být pro naše účely dostatečně malé. Jak bylo ukázáno, je důležitou podmínkou dodržení symetrie pasti při výrobě. Při porušení symetrie se v rozvoji pole uz objevují nežádoucí multipólové členy nízkého řádu. Výhodou celé konstrukce je, že kmity zrna mají v každém směru jinou frekvenci, takže situaci v pasti lze jednoduše rekonstruovat jen pomocí jednoho plošného optického detektoru. Navíc rovina kmitů z = 0 má tu vlastnost, že v ní leží pouze jeden vlastní vektor, takže zatlumení kmitů ve směru z zároveň zajistí, že zrno kmitá pouze podél vektoru (1, 1, 0). Vzhledem k tomu, že elektrody jsou už od počátečního návrhu rozděleny na osm oddělených částí, není potřeba žádné další změny konstrukce pasti, aby bylo možné přidat přídavné signály určené ke stabilizaci a tlumení kmitů zrna. Konstrukce pasti umožňuje upevnění tyčí na jejich koncích, kde už držák podstatně neovlivní pole uprostřed pasti a celková mechanická realizace je podstatně jednodušší než u pasti s prstencovými elektrodami.

46

8.

Závìr

Předložená práce je věnována návrhu elektrodynamické pasti a problémům spojeným s udržením prachového zrna v ní po delší dobu a s měřením měrného náboje zrna. Past tím umožní simulaci nabíjecích procesů působících na zrno v laboratorních podmínkách. Po rozboru problému byly podrobně analyzovány dva principiálně různé návrhy tvaru pasti. Oba návrhy byly zhodnoceny z hlediska jejich použití v připravovaném experimentu. Návrh pasti s prstencovými elektrodami, vytvořený jako více otevřená úprava klasické rotačně symetrické kvadrupólové (Paulovy) pasti, byl na základě provedených výpočtů vyhodnocen jako méně vhodný, a to především kvůli složité mechanické konstrukci a příliš velké závislosti kvality elektrického pole na přesnosti umístění elektrod. Úprava tyčového kvadrupólu, která vychází z konstrukce používané běžně pro hmotnostní spektrometry, se zdá dostatečná pro účely navrhované aparatury. Rozdělením každé elektrody na dvě části je do pasti možné jednoduše přidat elektrické pole zajišťující udržení zrna ve směru osy pasti. Z provedených výpočtů plyne, že při dodržení symetrie návrhu pasti vzniknou tři hlavní osy kmitů, přičemž pouze jedna z nich je kolmá na osu pasti. Kmity podél této osy jsou ovlivněny pouze standardním kvadrupólovým polem uz = (Vz /r02 ) xy, které má multipólové členy vyšších řádů dostatečně nízké. Vzhledem ke směrům hlavních os kmitů stačí pro detekci pohybu zrna a pro stabilizaci kmitů ve směru (1, 1, 0) pouze jeden plošný pozičně citlivý optický detektor umístěný tak, že jeho normála má směr (0, 1, 0). Tento detektor poskytne dostatek informací pro fungování elektrické stabilizace kmitů a pro určování měrného náboje zrna. Rozdělené tyčové elektrody umožňují bez dalších úprav vytvořit v pasti přídavná elektrická pole pro kompenzaci gravitace a pro řízení amplitudy kmitů zrna. Konstrukce pasti vyhovuje také z hlediska otevřenosti a možnosti mechanického upevnění ve vakuové aparatuře. Široká volná dráha podél osy pasti je vhodná pro průchod UV záření, které dopadá na měřené zrno, ale zároveň prochází v dostatečné vzdálenosti od elektrod, takže nevytváří nežádoucí fotoelektrony. Upevnění elektrod ve velké vzdálenosti od středu pasti zajišťuje minimální ovlivnění pole v místech, kde kmitá měřené zrno. Podle výše uvedeného návrhu bylo vytvořeno zadání pro výrobu. Na obrázcích 8.1 a 8.2 je uveden již detailní nákres pasti zadané do výroby a způsob jejího umístění ve vakuové komoře.

47

Kap. 8: Závìr

Obr. 8.1 – Čelní a boční pohled na kvadrupólovou past.

Obr. 8.2 – Umístění pasti ve vakuové komoře.

48

Použitá literatura: [Abramowitz and Stegun, 1965] Abramowitz, M. and Stegun, I. A., editors (1965). Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York. [Arnold and Hessel, 1985] Arnold, S. and Hessel, N. (1985). Photoemission from single electrodynamically levitated microparticles. Review of Scientific Instruments, 56(11):2066–2069. [Cai et al., 2002] Cai, Y., Peng, W., Kuo, S., Lee, Y., and Chang, H. (2002). SingleParticle Mass Spectrometry of Polystyrene Microspheres and Diamond Nanocrystals. Analytical Chemistry, 74(1):232–238. [Čermák, 1994] Čermák, I. (1994). Laboruntersuchung elektrischer Aufladung kleiner Staubteilchen. PhD thesis, Ruprecht-Karls-Universität, Heidelberg. [Douglas et al., 1999] Douglas, D., Glebova, T., Konenkov, N., and Sudakov, M. (1999). Spatial harmonics of the field in a quadrupole mass filter with circular electrodes. Technical Physics, 44(10):1215–1219. [Frisch et al., 1999] Frisch, P., Dorschner, J., Geiss, J., Greenberg, J., Gruen, E., Landgraf, M., Hoppe, P., Jones, A., Kraetschmer, W., and Linde, T. (1999). Dust in the Local Interstellar Wind. The Astrophysical Journal, 525(1):492–516. [Gerlich, 1992] Gerlich, D. (1992). Inhomogeneous RF Fields: A Versatile Tool for the Study of Processes with Slow Ions. Adv. Chem. Phys, 82(1). [Gräff et al., 1969] Gräff, G., Klempt, E., and Werth, G. (1969). Method for measuring the anomalous magnetic moment of free electrons. Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei, 222(3):201–207. [Grün and Švestka, 1996] Grün, E. and Švestka, J. (1996). Physics of Interplanetary and Interstellar Dust. Space Science Reviews, 78:347–360. [Hars and Tass, 1995] Hars, G. and Tass, Z. (1995). Application of quadrupole ion trap for the accurate mass determination of submicron size charged particles. Journal of Applied Physics, 77(9):4245–4250. [Havnes, 2002] Havnes, O. (2002). Dusty Plasmas in the Ionosphere and its Environment. In Bharuthram, R., Hellberg, M. A., Shukla, P. K., and Verheest, F., editors, Dust Crystal in the Electrode Sheath of a Gaseous Discharge, volume 649 of American Institute of Physics Conference Series, pages 13–21. [March and Hughes, 1989] March, R. E. and Hughes, R. J. (1989). Quadrupole Storage Mass Spectrometry. John Willey & Sons, New York. [Mendis, 1997] Mendis, D. A. (1997). Physics of Dusty Plasmas: an Historical Overview. In Shukla, P. K., Mendis, D. A., and Desai, T., editors, Advances in Dusty Plasmas. [Mendis and Rosenberg, 1994] Mendis, D. A. and Rosenberg, M. (1994). Cosmic Dusty Plasmas. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 32:419–463.

49 [Němeček et al., 2005] Němeček, Z., Šafránková, J., Pavlů, J., and Richterová, I. (2005). Laboratorní simulace nabíjení kosmického prachu. Československý časopis pro fyziku, 55:141–150. [Paul, 1990] Paul, W. (1990). Electromagnetic traps for charged and neutral particles. Rev. Mod. Phys., 62(3):531–540. [Paul and Steinwedel, 1956] Paul, W. and Steinwedel, H. (1956). Apparatus for separating charged particles of different specific charges. Patent Nr. 944900. [Pavlů et al., 2004] Pavlů, J., Richterová, I., Němeček, Z., and Šafránková, J. (2004). Space dust charging: Laboratory simulation. AGU Spring Meeting Abstracts. [Rektorys, 1981] Rektorys, K. (1981). Přehled užité matematiky. SNTL, Praha. [Schlemmer et al., 2001] Schlemmer, S., Illemann, J., Wellert, S., and Gerlich, D. (2001). Nondestructive high-resolution and absolute mass determination of single charged particles in a three-dimensional quadrupole trap. Journal of Applied Physics, 90(10):5410. [Wuerker et al., 1959] Wuerker, R., Shelton, H., and Langmuir, R. (1959). Electrodynamic Containment of Charged Particles. Journal of Applied Physics, 30(3):342–349.

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Martin Beránek Systém pro levitaci prachových zrn

Recommend Documents