ucitel.html

Jednota cˇ eských matematiku˚ a fyziku˚

ˇ ıslo 1 (61) C´

Roˇcn´ık 15

ˇ ıjen 2006 R´

UČITEL MATEMATIKY

Ročník 15, číslo 1 ISSN 1210 - 9037 říjen 2006 MK ČR E 6912 http://bart.math.muni.cz/˜fuchs/ucitel/ucitel.html Vydává Jednota českých matematiků a fyziků ve spolupráci s Přírodovědeckou fakultou Masarykovy univerzity v Brně Vedoucí redaktor:

Dag Hrubý Gymnázium, A. K. Vítáka 452 569 43 JEVÍČKO tel., fax: 461 327 831 e-mail: [email protected]

Výkonný redaktor:

Eduard Fuchs Přírodovědecká fakulta MU Janáčkovo nám. 2a 602 00 BRNO tel.: 549 493 858, fax: 541 210 337 e-mail: [email protected]

Administrace:

Miluše Hrubá Gymnázium, A. K. Vítáka 452 569 43 JEVÍČKO tel.: 461 327 805/kl. 20 fax: 461 327 831 e-mail: [email protected]

Redakční rada:

Jindřich Bečvář, Martina Bečvářová Martina Ernestová, Eduard Fuchs, Dag Hrubý, Dalibor Kott, František Kuřina, Hana Lišková, František Procházka, Naďa Stehlíková

Vychází čtyřikrát ročně v rozsahu 64 stran Tiskne: Tiskárna Blansko – Těchov c 2006 JČMF, Praha

1 SEPAROVANÉ MODELY PASCALOVA TROJÚHELNÍKA

Jana Příhonská

Blaise Pascal se narodil 19. července 1623 v Clermontu v rodině matematika Etienna Pascala, od něhož získával první matematické vzdělání. Již od dětství vynikal matematickým nadáním. Značnou zálibu projevoval v geometrii, studoval práce řeckého matematika Apollóna z Pergy. Ve dvanácti letech sestavil vlastní geometrickou soustavu založenou na Eukleidovi a v 16 letech napsal studii o kuželosečkách, kde je mimo jiné obsažena i věta o šestiúhelníku vepsaném do kuželosečky. Studoval matematiku, fyziku a filozofii. V roce 1653 zaslal Chevalier de Méré Pascalovi dva problémy hazardních her. Pascal v roce 1654 v dopisech konzultoval tuto problematiku s francouzským matematikem P. Fermatem a nizozemským matematikem a fyzikem Ch. Huygensem a přispěl k rozvoji myšlenek teorie pravděpodobnosti. Současně studoval i otázky kombinatoriky. V Pojednání o aritmetickém trojúhelníku vyslovil několik základních pouček teorie pravděpodobnosti a kombinatoriky – zabýval se výpočty binomických koeficientů. Prvky binomického rozdělení pravděpodobnosti dávají známý symetrický Pascalův trojúhelník. Trojúhelníkové uspořádání binomických koeficientů bylo známo již dříve (trojúhelník byl již uveden v čínském matematickém traktátu z roku 1303), ale až jako „Pascalův trojúhelníkÿ se rozšířilo mezi evropské matematiky. S Pascalovým trojúhelníkem a jeho vlastnostmi jsou studenti seznamováni v rámci učiva kombinatoriky. Učitel by však měl dát studentům příležitost k tomu, aby jeho vlastnosti a následně jeho využití při řešení problémů objevili sami. Nové metody řešení problémů pomáhá objevovat heuristické uvažování. Jedním ze základních cílů vyučování matematiky by pak mělo být vést žáka k osvojení tohoto způsobu uvažování.

2

Jana Příhonská

Mezi úlohy, které lze řešit heuristickým uvažováním patří ty úlohy, kde je nutno objevit skryté vazby mezi podmínkami úlohy, mezi danými, známými a neznámými prvky úlohy [1]. Bylo popsáno mnoho základních postupů, užitečných ve většině případů. V [5] nalezneme dělení řešitelských postupů na: • Hledání zákonitostí • Kreslení obrázků • Formulace ekvivalentních problémů • Modifikace problému • Postup „odzaduÿ • Zevšeobecnění Podobně podle Kopky [4] patří k nejběžněji používaným heuristickým strategiím • Přeformulování úlohy • Analogie • Zevšeobecňování • Specializace • Cesta zpět • Systematické experimentování • Konkretizace • Zavedení pomocných prvků V následujících předložených problémech se budeme zabývat otázkou nalezení všech dostupných cest v bludištích, resp. ve čtvercových, krychlových či jiných typech sítí. Problémy můžeme zařadit mezi heuristické. Strategie řešení jednotlivých problémů se může lišit, avšak v řešení všech problémů se dá s výhodou využít Pascalova trojúhelníka. Při řešení problémů využíváme velmi často hasseovské diagramy [8], které umožňují lepší vhled do zadané situace. S objevováním vlastností Pascalova trojúhelníka je možno začít již na

Separované modely Pascalova trojúhelníka

3

základní škole. Jednou z možností, jak vyřešit zadané problémy, je využití teorie grafů, resp. některých jejích metod [7], přestože tato teorie není součástí standardních osnov základní školy. Transformace zadané situace do prostředí grafů však dobře umožňuje zákonitosti Pascalova trojúhelníka objevit. Jde nám především o vlastní objev skrytého modelu Pascalova trojúhelníka. Než uvedeme základní problém, připomeňme, co rozumíme Pascalovým trojúhelníkem. Pro každé celé číslo k a reálné číslo x platí

x x x+1 + = k k+1 k+1 Z této definice binomických koeficientů plyne platnost následující rekurentní formule n+1 n n n n = + , = = 1, n, k ∈ N, n ≥ k k k k−1 0 n Tato formule umožňuje postupně počítat hodnoty nk . Tabulce těchto hodnot se obvykle říká Pascalův trojúhelník. V praxi využitelné schéma má pak obvykle tvar:

n=0

1

n=1 n=2 n=3 n=4 .. .

1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

...............................

4

Jana Příhonská

resp. 0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4

n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 .. .

.......................................

Prvky Pascalova trojúhelníka tvoří koeficienty u jednotlivých členů binomického rozvoje (x ± y)n = n0 xn y 0 ± n1 xn−1 y 1 + n2 xn−2 y 2 ± n3 xn−3 y 3 + · · · + 1 n−1 n + (−1)n−1 n−1 x y + (−1)n nn x0 y n ,

resp.

n

(x + y) =

n X

k=0

n k

n−k k x y ,

(x − y)n =

n X

(−1)k

k=0

n k

n−k k x y

ZÁKLADNÍ PROBLÉM Hledání všech podmnožin dané množiny Hledejme počet všech podmnožin množiny S = {a, b, c}. Řešení: Systematickým zápisem všech možných podmnožin získáme strom řešení. Přitom každý prvek buď je nebo není prvkem dané podmnožiny. Označme prvek, který není prvkem podmnožiny a, resp. b, c. Strom řešení vypadá následovně:


5

Podmnožina c bP ! P c a! aa c b PP c c b PP ! c a! aa c b PP c

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8

= {a, b, c} = {a, b} = {a, c} = {a} = {b, c} = {b} = {c} = {}

Každá větev představuje konkrétní podmnožinu Si , která je zapsána výčtem svých prvků vedle uvedeného stromu řešení. Je evidentní, že každým dalším prvkem, který zahrneme do stromu řešení, se počet větví zdvojnásobí. V případě tříprvkové množiny získáváme tedy 2×2×2 = 8 = 23 větví. Pro čtyřprvkovou podmnožinu podobně získáme 16 podmnožin, což odpovídá 24 . Tento počet je roven součtu prvků Pascalova trojúhelníka pro n = 4. Pro n-prvkovou množinu získáme 2n podmnožin. Seřadíme-li nyní příslušné podmnožiny podle počtu prvků, získáme počet podmnožin o stejných počtech prvků jako členy Pascalova trojúhelníka. Tyto úvahy mohou vést k důkazu celkového počtu všech podmnožin Si s k prvky množiny S, která má n prvků. Počet těchto podmnožin odpovídá vztahu n X n = 2n . k k=0

Uvedená rovnost vyplývá z binomické věty n X n k n−k (x + y)n = x y , k k=0

kde x = 1 a y = 1. O zmíněné metodě a dalších metodách, které se vztahují k uvedené problematice, je možné se více dočíst v [5].

6

Jana Příhonská

PROBLÉM 1 Kolika různými způsoby při pohybu pouze dolů a doprava od písmene k písmeni je možné přečíst slovo OBRÁZEK (viz obr. 1)? Obr. 1 Řešení: Při čtení slova „obrázek ÿ můžeme postupovat pouze ve dvou směrech: dolů a doprava. Symbolicky můžeme tuto skutečnost znázornit pomocí šipek ↓, →. Abychom se od počátečního písmene dostali k poslednímu, je nutno provést šest přesunů z výchozí pozice. Hledáme tedy počet všech podmnožin základní množiny o šesti prvcích, které jsou dány uvedenými směry postupu. Dostaneme 26 = 64 různých podmnožin, které odpovídají hledanému počtu, jak je možné přečíst slovo „obrázek ÿ. Zakreslíme nyní zjednodušený plán situace. Využijeme uzlového grafu, ve kterém vrcholy představují jednotlivá písmena (uzly grafu), jejich spojnice (hrany grafu) představují jednotlivé možnosti postupu čtení daného slova, viz obr. 1a. Ve vrcholech získané sítě je vepsán počet cest, vedoucích od startu do daného vrcholu při pohybu ve směru šipek. Počet dostupných cest je dán součtem cest, které vedou do předchozích písmen. Sečteme-li všechny získané hodnoty u posledního písmene K, dostaneme celkový počet možností: 1+6+15+20+15+6+1 = 64, tj. 26 možností. → ↓ •1 •1 •1 •1 •1 •1 •1

•1 •1 •1 •1 •1 •1 •2 •3 •4 •5 •6 •3 •6 •10 •15 •4 •10 •20 •5 •15 •6 Obr. 1a


7

Uvedený problém je možno dále modifikovat a měnit slova či schémata, se kterými pracujeme. Uveďme některé z dalších možností, jejichž řešení ponecháme čtenáři: Kolika různými způsoby při pohybu od písmene k písmeni je možné přečíst slovo KRUH, ČTVEREC, MAMINKA?

PROBLÉM 2 Hledání počtu cest od startu k cíli uvedené trasy

2 1

1

Turisté stoupají do kopce. Na kopec vedou serpentiny – cesta se samými zatáčkami, doprava, doleva, pak zase doprava a zase doleva a tak dále (viz obr. 2). Z míst, v nichž se serpentiny ohýbají, můžeme na výstupu pokračovat i přímou cestou. Komu prudké stoupání nevadí, může si cestu občas zkrátit.

Obr. 2: Schéma plánku

Úkol: Ke každému bodu, ve kterém se cesty větví, napiš, kolika způsoby se tam turisté mohou dostat. Samozřejmě se přitom nebudou nikdy vracet, půjdou stále vzhůru, ve směru udaném některou ze šipek. Na první dvě rozhraní jsou již správná řešení napsána. Ke startu je připsána 1, protože nikde před startem nebylo rozcestí a dalo se tam dostat pouze jedinou cestou. Poznámka k řešení: Problém ukazuje při svém vyřešení na souvislost mezi čísly jako u Fibonacciho posloupnosti. Čísla na jednotlivých rozcestích, procházíme-li po daných cestách předlo-

8

Jana Příhonská

ženého plánku, tvoří stejnou posloupnost, jako počty větví Fibonacciho stromu. Vždy následuje po dvou sousedních číslech jejich součet. Podivný strom Fibonacciho roste podle daného pravidla: vždy v příštím roce každá boční větev začne růst směrem vzhůru; z větví, které v předcházejícím (minulém) roce rostly směrem vzhůru, vyroste vždy v příštím roce nová boční větev. Princip narůstání ukazuje obr. 2a:

1. rok 2. rok 3. rok 4. rok Obr. 2a: Počet větví Fibonacciho stromu Počet větví v jednotlivých letech tvoří posloupnost: 1, 2, 3, 5, . . . Pro naše potřeby budeme tuto posloupnost nazývat Fibonacciho posloupností – jde o Fibonacciho posloupnost, v níž vynecháváme první člen 1 a to z čistě praktického důvodu, neboť v konkrétních případech na hledání počtu cest vedoucích z daného místa do jiného přiřazujeme počátečnímu místu 1 (neexistuje více možností, jak se do vstupního místa dostat). Do konkrétního místa se pak můžeme dostat pouze přes nejbližší body, z nichž do tohoto místa vedou šipky (tj. dodržujeme povolený směr postupu). 55 Řešení: Pro zjišťování čísla, které se připíše 34 `` `` 21 k dalšímu rozcestí, si můžeme pomoci jed13 `` noduchým překreslením plánku. Po připsání `` 8 5 `` číselných hodnot, vyjadřujících počet možných `` 3 cest, kterými se do daného místa dostaneme, 2 `` `` 1 získáme graf na obr. 2b. u S1

Obr.2b: Překreslení plánku s řešením Odpověď: Až na vrchol stoupání existuje celkem 55 různých cest. Poznámka: O využití grafů při řešení úloh je pojednáno např. v [6], [7]. Problémy 1 – 5 lze bez větších obtíží řešit již na základní škole. Hovoříme-li v dalším textu o žákovi, máme na mysli žáka ZŠ i studenta nižších ročníků gymnázií. Dokončení příště

9 POČETNÍ ALGORITMY I – POZIČNÍ SOUSTAVY

Antonín Jančařík1

Úvod Převážná většina výpočtů, se kterými se v praktickém životě setkáváme, se provádí v desítkové poziční soustavě. Počítání do desíti nás provází již od dětství. Dítě počítá na prstech: „Jedna, dvě, tři, . . . desetÿ. Ve škole se pak učí děti počítat nejprve do deseti, pak do dvaceti, a to nejprve bez přechodu přes desítku a následně s přechodem přes desítku. Jedním z důvodů, proč desítka hraje tak velkou roli, jsou pravděpodobně naše ruce – máme přece deset prstů. Kdyby těch prstů bylo více nebo méně, možná by se i naše počítání ubíralo trochu jiným směrem. I tak není desítková soustava jedinou používanou – sekund do minuty je 60, stejně tak i minut do hodiny. Hodin do dne je 24, což jsou dva tucty, a na tucty se ještě nedávno počítalo na trhu. A dnů v týdnu máme 7. Dokonce ani v historii matematiky nebyla desítková soustava jediná. Babylonská číselná soustava používala základ desítko-šedesátkový, Mayové používali soustavu pětko-dvacítkovou, Keltové dvacítkovou (podle [1], str. 100–102), což se dodnes odráží ve francouzských názvech číslovek. Můžeme ale vyslovit hypotézu, že kdyby člověk měl jiný počet prstů, vypadala by dnes celá matematika jinak. Dokonce by pro nás i některé výpočty byly paradoxně jednodušší, neboť desítka má poměrně málo dělitelů, což se nepříznivě projevuje jak na podmínkách dělitelnosti, tak na zápisu zlomků v poziční soustavě. V dalším textu se pokusíme ukázat, jaké výhody a nevýhody může počítání v jiných číselných soustavách přinášet. Veškeré příklady, po vzoru vyprávění profesora Hejného o Bilandu a Trilandu 1 Tento

příspěvek byl napsán s podporou grantu GAČR 406/05/P561.

10

Antonín Jančařík

([2], str. 53–62), uvedeme příběhem. Cílem následujících úloh je demonstrovat průběh výpočtu v jiné než desítkové soustavě. Záměrně nechceme, aby příklady byly řešeny převodem do desítkové soustavy, následujícím výpočtem a převodem zpět. Hlavním důvodem, proč mají být jiné číselné soustavy začleňovány do výuky, je objevit nezávislost algoritmů pro výpočty na zvolené číselné soustavě. Všechny úlohy jsou formulované tak, že hlavním představitelem je učitel. Důvodem takovéto stylizace je, že byly vytvářeny na cvičení pro budoucí učitele matematiky. Stejně tak je však lze přeformulovat pro žáky, kdy budou vystupovat v roli učitele nebo jeho pomocníka.

Marťané O Marťanech je všeobecně známo několik faktů. Například: Obývají planetu Mars a cestují létajícími talíři. Jsou malí, zelení a mají tykadla. O maskování jejich činnosti se stará organizace zvaná MIB (Muži v černém). Méně známým faktem (pravděpodobně i díky činnosti MIB) je, že Marťané mají na rukou pouze tři prsty. Díky této zvláštnosti se na Marsu nepoužívá desítková nýbrž šestková soustava. Nyní však již k samotnému příběhu. Díky vašim mimořádným schopnostem učitele matematiky jste byl mezigalaktickou komisí vybrán do výměnného programu učitelů a v následujících měsících budete učit na Marsu. Nejprve tři dobré zprávy. Po dobu pobytu vám bude poskytnut slušivý zelený obleček s tykadélky, na Marsu můžete používat stejné číslovky jako na Zemi a nemusíte se učit marťansky, protože vám bude poskytnut automatický tlumočník. A teď jedna špatná zpráva. Tlumočník má jednu drobnou vadu, pokud použijete některou z číslic 6, 7, 8, 9, ozvou se z něj velmi, ale opravdu velmi odpudivé zvuky. 1. Hodina – Základní číslovky V rámci první hodiny je nutné seznámit žáky se základy počítání. Nejprve tedy přirozená čísla (pozor na tlumočníka): 1, 2, 3, 4,

Početní algoritmy I – poziční soustavy

11

5, 10, 11, 12 . . . . Pokud jste zvládli přirozená čísla, můžeme přejít k základním zlomkům: 1 = 0,3 2

1 = 0,2 3

1 = 0,13 4

1 = 0,1 5

1 = 0,1 10

Povšimněte si poslední rovnosti, kterou znáte již ze Země. Tato rovnost platí ve všech číselných soustavách bez ohledu na zvolený základ. Druhou zvláštností je, že marťanské zlomky mají v mnohem menší míře než zlomky pozemské nekonečný desetinný rozvoj. V tomto ohledu je marťanské počítání výhodnější. 2. Hodina – Sčítání Druhou hodinu zahájíme několika jednoduchými příklady na sčítání jednociferných čísel s přechodem přes 10: 1+1 = 2

2+2 = 4

3+3 = 10

4+4 = 12

5+5 = 14

Po tomto úvodu můžeme přejít ke sčítání větších čísel. Většina z nás při sčítání velkých čísel používá algoritmický přístup: postupuji odzadu, sčítám odpovídající dvojici čísel; pokud je výsledek menší než 10, napíši jej, pokud je větší než 10, odečtu deset; výsledek napíši a jedničku přičtu k další dvojici. Tento postup si ukážeme na příkladu: Úloha: Sečtěte 154 + 235. Řešení: Součet 5 a 4 je 13, píši 3 a 1 si pamatuji; 5 a 1 je 10 a 3 je 13, píši 3 a 1 si pamatuji; 1 a 1 jsou 2 a 2 jsou 4, píši 4. Tedy 154 + 235 = 433. Zkuste si spočítat (s hlasitým přednesem) několik dalších úloh (např. 254 + 425, 311 + 245). Poznámka: Tyto úlohy (včetně hlasitého přednesu) používáme na cvičení se studenty a obvykle vzbudí velký ohlas. Studentům trvá poměrně dlouho, než se zorientují, co se to vlastně děje. Bohužel však mají velké potíže tento komentář sami vytvořit, a to přesto, že jsou úlohy schopni správně spočítat. Při výpočtu si totiž většina z nich v duchu stále převádí čísla do desítkové soustavy a opět zpět, což je při komentáři ruší (nebo naopak, v čemž je komentář ruší).

12


3. Hodina – Odčítání Nyní přecházíme ke složitějšímu postupu, algoritmu pro odčítání. Jak jsme již viděli na předchozí hodině, můžeme bez obav použít standardní algoritmus, který již známe ze Země. Opět si jej budeme demonstrovat na příkladu: Úloha: Vypočtěte 2 432 − 1 445. Řešení: Počítáme přesně tak, jak jsme zvyklí. Tedy 5 a kolik je 12, 5 a 3 je 12, píši 3 a 1 si pamatuji; 3 bez jedné je 2; 4 a kolik je 12; 4 a 4 je 12. Píši 4 a 1 si pamatuji; 4 bez 1 je 3; 4 a kolik je 13; 4 a 5 je 13. Píši 5 a 1 si pamatuji; 2 bez 1 je 1; 1 bez 1 je 0. Tedy 2 432 − 1 445 = 543. Můžete provést zkoušku součtem. Doporučujeme opět spočítat několik vlastních úloh. 4. Hodina – Násobení a dělení U násobení je dobré začít několika jednoduchými úlohami: 3 ∗ 3 = 13 14/2 = 5

5 ∗ 2 = 14

5 ∗ 5 = 41

3 ∗ 5 = 23

23/5 = 3

20/4 = 3

12/4 = 2

4 ∗ 4 = 24 10/3 = 2

Opět bychom mohli s úspěchem použít algoritmus pro písemné násobení a dělení. Na této hodině však upřeme pozornost trochu jinam, a to na triky, které usnadňují a urychlují násobení. Prvním trikem je (10 − 1) ∗ n = 10 ∗ n − n. Tedy 5 ∗ 5 = (10 − 1) ∗ 5 = 50 − 5 = 41. Obdobně 123 ∗ 5 = 1 230 − 123 = 1 103. Ze Země známe další trik. Při násobení pěti je rychlejší násobit deseti a dělit dvěma. 3 ∗ 222 = 1 110

3 ∗ 21 = 103

Posledním trikem, který budeme transponovat ze Země, je umocňování čísel končících na číslici 5. 123 ∗ 123 = 100 ∗ 12 ∗ 13 + 13 = 100 ∗ (13 ∗ 13 − 13) + 13 = 100 ∗ ((100 ∗ 2 + 13) − 13) + 13 = 20 013


13

5. Hodina – Prvočísla a další zvláštnosti Poslední hodinu, dříve než přistoupíme k dělitelnosti a prvočíslům, věnujeme teorii čísel. Poznamenejme jeden velmi pozoruhodný fakt; na Marsu je číslo 10 nejenom číslo trojúhelníkové (rovná se součtu prvních n čísel), ale dokonce i číslo dokonalé (rovná se součtu dělitelů menších než číslo samotné). Ale nyní již k prvočíslům. Řada prvočísel je poměrně jednoduchá: 2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, . . . Úloha: Dokažte, že každé prvočíslo větší než 10 má jako poslední číslici buď číslici 1, nebo číslici 5. Řešení: Sudá čísla mají na konci sudou číslici. Čísla dělitelná třemi mají na konci buď 0, nebo 3 (tady již máme první znaky dělitelnosti). Na prvočísla tak zbývají číslice buď 1, nebo 5. Všimněte si, že tento důkaz je mnohem jednodušší než pozemský důkaz, že prvočísla lze nalézt ve tvaru 6k + 1 nebo 6k − 1. Úloha: Nalezněte postačující podmínku, aby číslo bylo dělitelné čísly 5 a 11. Řešení: Zde použijeme podmínku, kterou již známe ze Země pro číslo 9 (té na Marsu odpovídá číslo 5) a 11: Číslo je dělitelné číslem 5 (resp. 11), pokud je číslem 5 (resp. 11) dělitelný ciferný součet dělaný po dvojicích. Ukázka: 4 512 → 45 + 12 → 101 → 2 číslo 4 512 není dělitelné ani 5, ani 11. 3 212 → 44 číslo 3 212 je dělitelné 11, ale není dělitelné 5. Pro dělitelnost číslem 11 můžeme také použít rozdíl ciferného součtu sudých a lichých číslic a pro dělitelnost pěti jednoduchý ciferný součet. Domácí úkol 1: Zkuste nalézt kritérium dělitelnosti pro číslo 15.

Obři z Gátu Nyní se dostáváme k druhému příběhu. Shodou okolností jste se po svém návratu z Marsu propadli do historie a dostali jste se do dob krále Davida, do knížecího města filištínských Gátu.

14


V tomto městě žijí známí obři. Nejznámější z nich je díky Bibli Goliáš, který se dostal i do vánočního chorálu Narodil se Kristus Pán. Abyste se uživil, přijal jste místo domácího učitele matematiky v jedné z obřích rodin. Brzy po svém nástupu jste však zjistil velmi nepříjemnou věc. Obři mají kromě nadlidské velikosti i jinou tělesnou zvláštnost: na každé ruce i noze mají 6 prstů (srovnej s II. Sam 21.20). A protože jsou obři velcí patrioti a jsou na své tělo náležitě hrdí, všichni používají poziční soustavu o základu 12. Kromě normálních číslic mají tedy ještě dvě další, které budeme pro zjednodušení zapisovat A a B (viz [3]). Ještě jedno varování, obři opravdu, ale opravdu, nesnášejí, pokud se někdo snaží učit jejich děti počítat v desítkové soustavě! (A dostat pohlavek od rozzuřeného obra není vůbec příjemné.) 1. Hodina – Základní číslovky Nejprve si tedy zopakujeme, jak obři počítají: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 20, . . . A nyní se můžeme podívat na základní zlomky. 1 = 0,6 2 1 = 0,16 8

1 = 0,4 3

1 = 0,3 4

1 = 0,2497 5

1 = 0,186A35 7 1 = 0,1 B

Povšimněte si vztahů mezi 12 ,

1 = 0,14 9

1 = 0,2 6

1 = 0,12497 A

1 = 0,1 10 1 4

a 18 .

2. Hodina – Sčítání Poté, co jsme se seznámili se základními číslovkami, můžeme, stejně jako na Marsu, přistoupit ke sčítání. Na rozdíl od Marsu, kde se nám některých číslic nedostávalo, v Gátu nám budou některé číslice přebývat. 3+3 = 6

7+7 = 12

8+3 = B

B+B = 1A

5+7 = 10


15

V rámci sčítání můžeme zkusit sčítat i některé zlomky: 1 1 5 + = 2 3 6

1 1 1 + = 3 6 2

1 1 15 + = 10 5 50

Pozor na poslední zlomek, tento zlomek je již v základním tvaru a nelze jej krátit, neboť jak uvidíme dále, číslo 15 je prvočíslo a nedělí 50, proto je s číslem 50 nesoudělné. Zkuste rozhodnout, které zlomky se sčítají jako na Zemi a u kterých je nutné dávat pozor na obří zvláštnosti. Domácí úkol 2: Sečtěte 158 21 + 274 32 . 3. Hodina – Odčítání Již na Marsu jsme zjistili, že pro písemné odčítání můžeme používat klasický pozemský algoritmus, musíme však vždy přihlížet k některým zvláštnostem soustavy, ve které počítáme. Proto například: 10 − 5 = 7

B−A=1

18 − B = 9

BB − AA = 11

Obdobně probíhá odčítání desetinných čísel, trochu složitější je odčítání zlomků: 1 1 10 5 7 − = − = 5 1 50 50 50

1 1 B A 1 1 − = − = = A B 92 92 92 (A ∗ B)

Všimněte si posledního výsledku. Můžeme si uvědomit, že vztah 1/n − 1/(n + 1) = 1/(n ∗ (n + 1)) (a mnoho obdobných rovností) platí naprosto obecně, bez ohledu na použitou číselnou soustavu. 4. Hodina – Násobení a dělení Násobení a dělení opět nepřináší nic nového, používáme stále stejný algoritmus. Jediné, s čím se musíme vyrovnat, je, že některé násobky vypadají poněkud podivně. Například násobky tří jsou 3, 6, 9, 10, 13, 16, 19, 20, . . . , nebo násobky šesti jsou 6, 10, 16, 20, 26, . . . Trochu potíží obvykle dělají násobky čísel A a B. Při násobení číslem B, ale můžeme s úspěchem použít vztah B = 10 − 1. Proto například A ∗ B = A0 − A = A0 − (10 − 2) = A0 − 10 + 2 = 92.

16


Násobení číslem A je složitější, můžeme ale použít buď A = 10−2, nebo A = 2 ∗ 5. Postupně jsme se dostali k nejtěžší ze základních operací, a tou je dělení. Možná je pro nás jako pro učitele velmi poučné vyzkoušet si dělení dvou vícemístných čísel ve dvanáctkové soustavě, abychom si uvědomili, jaké potíže mohou mít naši žáci při dělení (především při určování správného násobku) v desítkové soustavě. Při dělení totiž na rozdíl od násobení vícemístných čísel nevystačíme s malou násobilkou (uvědomte si, že obří malá násobilka je téměř o polovinu větší než naše malá násobilka). Příklad: 1 001 : 11 = B1 BB 11 0 Domácí úkol 3: Vypočítejte 1000/18. 5. Hodina – Dělitelnost Poslední hodinu věnujeme kritériím dělitelnosti. Nejprve jednoduchá čísla. Dělitelnost čísly 2, 3, 4, 6 a 10 rozpoznáme podle poslední číslice. Dělitelnost čísly 8 a 9 poznáme podle posledních dvou číslic, číslem B podle ciferného součtu (odůvodněte). Zbývají tedy čísla 5, 7 a A, přičemž číslo A je 2 ∗ 5. Stačí tedy určit kritéria pro dělitelnost čísla 5 a 7. Nejprve vyřešíme příklad pro číslo 5. Napíšeme si násobky: 5, A, 13, 18, 21, 26, 2B, 34, 39, 42, 47, 50 Vzhledem k tomu, že není vidět žádné jednoduché pravidlo, použijeme jedno z univerzálních kritérií, které již známe z desítkové soustavy. Pokud má číslo více než čtyři místa, rozdělíme jej na čtveřice, a ty sčítáme. Tento postup opakujeme, dokud máme více než čtyřmístné číslo. Potom vezmeme číslici na řádu jednotek, přičteme k ní dvojnásobek číslice na řádu desítek, čtyřnásobek číslice na řádu stovek a trojnásobek číslice na řádu tisíců. Tento postup můžeme případně zopakovat. Pokud je výsledné číslo dělitelné pěti, je pěti dělitelné i původní číslo.


17

Domácí úkol 4: Odvoďte obdobný postup pro dělitelnost 7. Řešení domácích úkolů Domácí úkol 1: Lze nalézt například následující kritérium: Číslo je dělitelné číslem 15, pokud je dělitelný 15 součet číslic na pozicích ve tvaru 4k+1 mínus 5krát součet číslic na pozicích ve tvaru 4k+2 plus 3krát součet číslic na pozicích ve tvaru 4k + 3 mínus 4krát součet číslic na pozicích ve tvaru 4k. Domácí úkol 2: 158 21 + 274 32 = 411 61 Domácí úkol 3: 1 000 : 18 = 72 32 Domácí úkol 4: Číslo je dělitelné sedmi, pokud je sedmi dělitelný součet lichých číslic plus pětkrát součet sudých číslic (počítáné odzadu).

Závěr Na několika příkladech jsme se snažili demonstrovat, jak probíhají výpočty ve dvou různých číselných soustavách. Tyto a obdobné příklady autor používá na cvičení se studenty. Zcela jednoznačně vyburcují studenty z letargie a donutí je dívat se na problémy sčítání a násobení trochu jinak. Počítání v jiných číselných soustavách není, na rozdíl od příkladů na převádění mezi soustavami, mechanickým cvičením. Vyžaduje aktivní sledování celého postupu a rozhodnutí, které algoritmy a triky lze do té které soustavy transformovat. V některých případech lze převodem do vhodné číselné soustavy řešit i některé úlohy zadané v desítkové soustavě. Již jsme se seznámili s jednoduchým důkazem provedeným v šestkové soustavě, že prvočísla větší než 3 lze nalézt pouze ve tvaru 6k + 1 nebo 6k − 1. Na závěr si ukážeme jinou úlohu: Úloha: Dokažte, že 15 dělí 168 − 1. Řešení: Úlohu vyřešíme v 16-kové soustavě. Přepíšeme zadání: Dokažte, že číslo F dělí 108 − 1. Rešení: 108 − 1 = F F F F F F F F = F ∗ 11111111 Uvedené řešení je krátké a elegantní, převodem do vhodné soustavy lze ukázat, zcela obecně, že b−1 dělí bn−1 pro b, n přirozená, a to bez využití polynomů.

18


Literatura [1] Hejný M. a kol, Teória vyučovania matematiky 2, SPN, Bratislava, 1990 [2] Gatial J., Hecht T., Hejný M., Hry takmer matematické, MF, Praha, 1982 [3] Zhouf J., Aritmetika s jinými číslicemi, In: Stehlíková N., Roubíček F. Jak učit matematiku ve věku 10–15 let Praha, PedF UK, 2004 str. 113–119. RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky matematiky PdF UK M. D. Rettigové 4 116 39 Praha 1 e-mail: [email protected]

19 INTEGRÁLNÍ POČET V R S PROGRAMEM MAPLE

Pavel Kříž, Karel Šrot

V tomto textu bychom čtenáři chtěli stručně představit velmi zajímavou funkčnost programové knihovny Student Calculus1 systému Maple a také webovou aplikaci provádějící výpočet primitivní funkce k zadané reálné funkci. Maple je jedním z programů označovaných jako systémy počítačové algebry (computer algebra systems), případně systémy pro symbolické a algebraické výpočty (symbolic and algebraic computation systems). Programová knihovna Student byla navržena jako pomůcka učitelům a studentům matematiky. Její část Calculus1 (dostupná od Maplu 8) je zaměřena na diferenciální a integrální počet funkce jedné reálné proměnné. Tato látka je běžně probírána v prvním ročníku vysoké školy v kurzech matematické analýzy, ale setkávají se s ní již studenti posledních ročníků některých středních škol. Knihovna Calculus1 se skládá ze dvou základních komponent, části vizualizační a části, kterou je možno označit jako postupný výpočet. Část vizualizační obsahuje procedury ilustrující, především formou grafů a animací, důležité pojmy a tvrzení. Namátkou jmenujme pojem derivace funkce, funkce inverzní, vyšetřování průběhu funkce, Lagrangeovu větu, pojem primitivní funkce, Riemannův integrál a aplikace určitého integrálu při určování délky křivky, povrchu či objemu rotačních těles. Tyto procedury mohou být ve výuce velmi užitečné, v podstatě se však nejedná o nic převratného. Podobné procedury není obtížné naprogramovat, pokud některá nebyla obsažena již ve starší verzi Maplu.

20


Předvedeme si použití procedury VolumeOfRevolution, zaměřené na výpočet objemů a ilustraci rotačních těles. Určeme objem tělesa vzniklého rotací plochy ohraničené funkcemi cos x + 3, sin x + 2, x = 0 a x = 4π kolem osy x. > VolumeOfRevolution(cos(x)+3,sin(x)+2,x=0..4*Pi); 20π 2 Nevyčíslený objem ve formě určitého integrálu: > VolumeOfRevolution(cos(x)+3,sin(x)+2,x=0..4*Pi, output=integral); Z

0

4π

cos2 x + 6 cos x + 5 − sin2 x − 4 sin x π dx

> VolumeOfRevolution(cos(x)+3,sin(x)+2,x=0..4*Pi, output=plot); Graf získaný posledním z přikazů je na obr. 1. V prostředí programu Maple lze tímto grafem otáčet a prohlédnout si tak zkoumané těleso z libovolného úhlu. My se zde však budeme věnovat tomu nejzajímavějšímu z komponenty druhé (postupný výpočet). V tomto případě při řešení úlohy kopírujeme postup používaný při ručním výpočtu. Každý krok výpočtu představuje použití nějaké úpravy (aplikace pravidla) prostřednictvím procedury Rule. Pro nás je však důležité, že Maple nám také dokáže s výběrem úpravy poradit. K tomu slouží procedura Hint. Doporučenou úpravu poté aplikujeme již zmíněnou procedurou Rule. S výhodou také využijeme symbolů % a %%, které zastupují výsledek posledního a předposledního provedeného výpočtu. Předveďme si tento postup na konkrétním příkladě. Hledejme x primitivní funkci k funkci y = 1−x 2. > Int(x/(1-x^2),x); Z

x dx 1 − x2

Integrální počet v R

21

The Volume of Revolution Around the Horizontal Axis Between f(x) = cos(x)+3 and g(x) = sin(x)+2 on the Interval [0, 4*Pi]

4

2 4 2 0

2

4

8

6

10

12

–2 –2

–4

–4

Obr. 1: Ilustrace objemu rotačního tělěsa > Hint(%); [change, u = − > Rule[%](%%); Z

x dx = 1 − x2

Z

x2 , u] 2

−

1 du 1 + 2u

> Hint(%); [constantmultiple] > Rule[%](%%); Z

x dx = − 1 − x2

Z

1 du 1 + 2u

22


Je zřejmé, že opakováním těchto dvou kroků získáme postup řešení zadané úlohy. Naprogramujeme tedy krátkou proceduru SolveProblem, která bude toto realizovat. > > > > > > > > > > > > >

SolveProblem:=proc(problem) local r, h; h:=1; r:=problem; print(r); while (h<>[]) do h:=Hint(r): r:=Rule[h](r); if (h<>[]) then print(h); print(r); fi: od: end: Aplikujeme proceduru SolveProblem na předchozí úlohu.

> SolveProblem(Int(x/(1-x^2),x)); Z x dx 1 − x2 [change, u = − Z Z Z

x dx = 1 − x2

Z

x2 , u] 2

−

1 du 1 + 2u

[constantmultiple] Z x 1 dx = − du 2 1−x 1 + 2u [change, u1 = 1 + 2u, u1] Z x 1 dx = − du1 1 − x2 2u1 [constantmultiple]

Integrální počet v R Z

x 1 dx = − 2 1−x 2 [power] Z

Z

23

1 du1 u1

x 1 dx = − ln u1 2 1−x 2 [revert]

Z

x 1 dx = − ln (1 + 2u) 1 − x2 2

Z

x 1 dx = − ln (1 − x2 ) 1 − x2 2

[revert]

Názvy úprav jsou sice poněkud stručné, je jich však jen pár a v nápovědě je jejich význam dobře dokumentován. My jsme zde použili substituci, vytknutí konstanty před integrál, integraci elementární funkce a zpětného dosazení za substituci. V Maplu od verze 82 lze tento postup použít také při výpočtu určitého integrálu, derivace a limity. Již jsme si zvykli používat počítačové programy k řešení úloh, avšak předkládán nám byl až výsledek. Pomocí knihovny Calculus1 získáme i cestu, po které k výsledku dojdeme. To nás vedlo k myšlence vytvoření webové aplikace, která by formu postupného výpočtu zpřístupnila i lidem, kteří Maple nevlastní. Stránka vznikla již v roce 2003 a slouží k výpočtu primitivní funkce k zadané reálné funkci. V letošním roce bylo přepracováno uživatelské rozhraní s cílem učinit postup výpočtu srozumitelnějším. Orientována je na českého uživatele, namísto anglických názvů použitých úprav jsou tedy použity české ekvivalenty. Struktura stránky je zobrazena na obr. 2. Do textového pole vstupního okna zadá uživatel integrovaný výraz v syntaxi Maplu. K získáni výsledku jsou použity dva přístupy. První používá výše zmíněnou metodu s nápovědou, druhý standardní procedutu int. Tato procedura vrací pouze výsledek výpočtu, avšak používá 2 Aktuálně

je nejnovější Maple 9.5

24


Obr. 2: Úvodní stránka k jeho nalezení silnějších nástrojů a proto ji lze použít i v případech, kdy první přístup selhává. Ukázkové řešení prostřednictvím webového rozhraní je zachyceno na obr. 3. Pro náštevníka stránky, který se s Maplem doposud nesetkal, je uveden stručný úvod do používané syntaxe a několik příkladů. Naopak pro zvídavé je k dispozici zápisník s definicí používané procedury a několik řešených příkladů. Stránky se nacházejí na adrese: http://www.math.muni.cz/~xsrot/int.

Integrální počet v R

Obr. 3: Výstupní okno s výpočtem RNDr. Pavel Kříž Katedra matematiky PřF MU Brno Janáčkovo nám. 2a, 602 00 Brno e-mail: [email protected] RNDr. Karel Šrot Katedra matematiky PřF MU Brno Janáčkovo nám. 2a, 602 00 Brno e-mail: [email protected]

25

26 RIEŠENIE ÚLOH O VEKU – METÓDA DRAMATIZÁCIE

Milan Hejný, Anna Michalcová3

1. Úvod Slovné úlohy patria k obávaným partiám školskej matematiky. Úlohy o veku náležia k tým najnáročnejším. V tomto článku ponúkame čitateľovi skúsenosti, ktoré sme nadobudli pri experimentálnom vyučovaní slovných úloh o veku. Písali sme o nich už v monografii Hejný, Stehlíková (1999), ale teraz túto myšlienku predkladáme učiteľskej obci. Je všeobecne známe, že to, čo je na slovnej úlohe najnáročnejšie, je jej uchopenie, jej prevedenie do matematického modelu. Učitelia, v snahe uľahčiť žiakom túto prácu, vytvárajú pre jednotlivé typy slovných úloh pomocné návody. Nazdávame sa, že táto cesta neprináša žiakom skutočné poznanie, ale iba jeho protézu. Tá je snáď použiteľná na „školskéÿ úlohy, nie však v bežných životných situáciách. Podstata skutočného poznania tu totiž nespočíva v znalosti riešiteľských návodov, ale v schopnosti analyzovať situácie, ktoré obsahujú súbor navzájom previazaných kvantitatívnych vzťahov. Schopnosť analyzovať slovne opísanú situáciu sa vytvára pomaly a preto je treba s jej pestovaním začínať zavčasu, najlepšie už v predškolskom veku. Naše úvahy sa však budú obmedzovať len na tie vekové kategórie, s ktorými máme bezprostredné skúsenosti. Ide o žiakov tretej a vyšších tried.

3 Príspevok

bol vypracovaný s podporou výskumného zámeru VZ J13/98:114100002.

Riešenie úloh o veku – metóda dramatizácie

27

2. Metóda dramatizácie – ilustrácia Ukážeme, ako sa pomocou dramatizácie dá riešiť nasledujúca úloha. Úloha 1. Dnes má Belo 3 roky. Keď bude taký starý, ako je Anna dnes, bude mať Anna 19 rokov. Koľko rokov má dnes Anna? Riešenie. Úlohu budeme riešiť pomocou divadla. Najprv si pripravíme scénu. Na dlážku triedy nakreslíme číselnú časovú os: 0, 1, 2, 3, . . . , 18, 19. Dbáme na to, aby rozostupy medzi jednotlivými číslami číselnej osy boli celkom rovnaké. Čísla budú označovať roky (pozri obr. 1).

Obr. 1 Divadlo budú hrať štyri deti: jedno hrá Annu, druhé Bela, tretie hrá boha času Chrona a štvrté hrá Výsledok. Ostatní žiaci triedy robia divákov. Najprv sa rozostavia herci: Belo sa postaví na číslo 3, čo značí, že má teraz tri roky. Anna sa postaví na niektorú značku medzi 3 a 19, napríklad na 7. Tým predpovedá, že Anna má teraz 7 rokov. Výsledok si stane k Anne, vedľa značky 7. Konečne Chronos sa postaví do majestátnej pózy boha času. Hra je pripravená, predstavenie môže začať. Chronos slávnostným hlasom prehovorí „uplynul jeden rok, terazÿ. Slovo „terazÿ je povel pre Annu i Bela, aby postúpili o jednu značku vpred. Teraz je Anna na značke 8 (to značí, že teraz má 8 rokov) a Belo na značke 4 (má 4 roky). Herec Výsledok sa nehýbe, stojí stále pri značke 7. Proces sa zopakuje. Chronos opäť zavelí „uplynul jeden rok, terazÿ a Anna s Belom pokročia o ďalší rok vpred, Výsle-

28

Milan Hejný, Anna Michalcová

dok stojí. To sa zopakuje ešte trikrát, až kým sa Belo dostane na značku 7, pri ktorej stojí Výsledok. Anna je na značke 11, ďaleko od vytúženej značky 19. Pokus sa nevydaril. Hru opakujeme. Belo sa vráti na značku 3. Anna vie, že musí začínať pri vyššom čísle. Skúsi napríklad značku 12. Výsledok sa postaví k Anne. Tentoraz po uplynutí siedmych rokov sa Anna dostáva na značku 19, ale Belo je ešte len na čísle 10. Niektorí žiaci triedy už kričia, že Výsledok musí stáť vedľa čísla 11. Tretím pokusom sa táto hypotéza overí. Úloha je vyriešená.

3. Oboznamovanie sa so scénou „časová osÿ Úspešnosť opísanej dramatizácie predpokladá, že skôr, ako pristúpime k riešeniu úlohy 1, žiaci už majú skúsenosti s časovou osou. Časovú os, ako scénu, na ktorej možno hrať divadlo, sme v experimentálnom vyučovaní používali už od tretej triedy. Občas sme sa zahrali „Na boha Chronaÿ, ako to žiaci nazývali. Na začiatok hry sme starostlivo namerali časovú os a učiteľ povedal, aká bude vstupná situácia. Vybral hercov a položil otázku, ktorej zodpovedanie žiadalo urobiť predstavenie. Na tú istú vstupnú situáciu bolo možné viazať niekoľko otázok. Ukážeme ilustráciu. Vstupná situácia. Dnes má Eulália 5 rokov a Baltazár 11. Otázky boli zadávané postupne. Vždy po odohraní divadla a zodpovedaní jednej otázky bola položená otázka ďalšia a príslušné divadlo, ktorým žiaci hľadali odpoveď, obyčajne zahrali iní žiaci. Napríklad: a) Koľko rokov bude mať Baltazár, keď Eulália bude mať 10 rokov? b) Koľko rokov budú mať Baltazár a Eulália dovedna za sedem rokov? c) Ako mali dovedna vtedy, keď mala Eulália iba jeden rok? d) Ako to bude, keď starší z nich bude mať 18 rokov? e) Ako to bude, keď Eulália bude taká stará, ako je Baltazár dnes? f) Za ako dlho budú mať dovedna 40 rokov? g) O koľko rokov bude vekový rozdiel detí 5 rokov?


29

h) Kedy bude mať Baltazár dvojnásobok veku Eulálie? i) Pred koľkými rokmi mal Baltazár trikrát toľko rokov ako Eulália? j) Pred koľkými štyrikrát toľko? k) Pred koľkými päťkrát toľko? Spočiatku sa pri tejto hre tretiaci správali svojvoľne. Napríklad, keď učiteľ položil otázku b), obe deti, Baltazár i Eulália, si začali svojich 7 rokov krokovať sami. Preto bolo potrebné ustanoviť do funkcie boha času energického žiaka (zvyčajne to bývalo dievča), ktorý prísno dbal na dodržovanie pravidiel. Potom sa divadlo odohrávalo dôstojne a diváci mohli dobre sledovať všetky zmeny. Po každej zmene učiteľ daný stav slovami opísal, aby si žiaci uvedomili, čo všetko treba mať na zreteli. Divadlo iniciované otázkou a) prebiehalo asi takto. Herci stoja na číslach 5 a 11. Chronos velí „uplynul prvý rok, terazÿ. Herci postúpia na čísla 6 a 12. Učiteľ konštatuje „Eulália má 6 rokov, ešte nemá 10ÿ. Potom Chronos velí „uplynul druhý rok, terazÿ. Herci pokročia, učiteľ konštatuje nový stav. To pokračuje až kým uplynie piaty rok. Učiteľ hovorí „našli sme riešenie: Eulália má 10 rokov, Baltazár má 16 rokovÿ.

4. Postupné vylepšenia v hre „Na Chronaÿ Keď človek opakovane robí rovnakú činnosť, nadobúda skúsenosti a svoje počínanie vylepšuje, urýchľuje, automatizuje. Po istom čase začali do našej hry „na Chronaÿ pribúdať vylepšenia, väčšinou nápady na vylepšenia pochádzali od žiakov. Novelizácie robila hru stále zaujímavou. Predovšetkým žiaci, ktorí sa chceli do hry aktívne zapojiť v čo najväčšom počte, prevzali od učiteľa právo konštatovať aktuálny stav. Zaviedli sme úrad „hlásnikovÿ. Tí oznamovali všetko, čo bolo (a niekedy i to, čo nebolo) treba vedieť o aktuálnej situácii. Napríklad pri riešení otázky f) jeden hlásnik oznamoval aktuálny vek oboch aktérov a druhý hlásil, že „dokopy majú teraz 22 rokov, čo je menej ako 40ÿ. Podobne pri riešení úlohy j) v situácii „pred rokomÿ jeden hlásnik hlásil „trikrát vek Eulálie je 3.4, teda 12 rokovÿ a druhý

30


hlásil „to je viac ako má Baltazárÿ. Keď nastala situácia „pred dvoma rokmiÿ, prvý hlásnik oznámil „trikrát vek Eulálie je 3.3, teda 9 rokovÿ, a druhý hlásil „to je presne toľko, čo má Baltazár. Našli sme riešenieÿ. čas Eulália Baltazár 4.E

0 5 11 20

−1 4 10 16

−2 3 9 12

−3 2 8 8

−4 1 7 4

Tab. 1 Pretože sa občas medzi žiakmi vyskytli spory o niektorom predchádzajúcom stave, zaviedli sme úrad zapisovateľa. Žiak – zapisovateľ písal na tabuli do pripravenej tabuľky všetko, čo hlásatelia hlásili. Napríklad zápis riešenia úlohy j) je opísaný tabuľkou 1. Tabuľky, ktoré mali mať iba dozornú funkciu, sa neskôr stali účinným nástrojom riešenia úloh o veku. Viacerí žiaci si písali vlastnú tabuľku a pomocou nej úlohu riešili bez toho, aby sa na divadlo dívali. Niekedy si celé divadlo odohral jediný žiak, prípadne vo dvojici s priateľom, doma pomocou bábok. Robili tak najmä tí žiaci, ktorým vadil veľký hluk, v ktorom sa naše predstavenia odohrávali. Niektorí aktívni žiaci sa nevedeli ovládať a dopredu kričali výsledky. Niekedy správne, niekedy chybné. Iní ich okrikovali. Dlho trvalo, kým sa v hre „Na Chronaÿ trieda vedela chovať mierne. To sa týkalo všetkých hier, ktoré umožňovali žiakom voľne sa po triede pohybovať.

5. Didaktický komentár k metódam dramatizácie i bábko-dramatizácie Najprv prehľadne tabuľkou obe dramatizácie porovnáme prostredníctvom siedmych kritérií. Potom k jednotlivým charakteristikám doložíme komentár. Prvé tri charakteristiky, v ktorých sa obe metódy líšia, komentár nepotrebujú. Pozrieme sa na tie charakteristiky, ktoré sú pre obe metódy spoločné.


1 2 3 4

kritérium motivácia uskutočňovateľ časová náročnosť opakovateľnosť

5

zrozumiteľnosť

6

stratégia

31

dramatizácia bábko-dramatizácia silná až veľmi silná dobrá až silná trieda i skupina jedinec i malá skupina značná primeraná podľa pamäti účastníkov a prípadných písomných záznamov vynikajúca, žiadnu zrozumiteľnejšiu metódu nepoznáme pokus – omyl

Tab. 2

Opakovateľnosťou rozumieme možnosť riešiteľa vrátiť sa k už uskutočnenému pokusu, alebo istej jeho pozícii. Pre nadobúdanie vhľadu do prostredie úloh o veku je táto možnosť veľmi dôležitá, pretože práve vzájomným porovnávaním príbuzných situácií sa v hlave žiaka vytvárajú schémy, ktoré mu vhľad umožnia. Porovnávanie sa odohráva tak, že striedavo zameriavame našu pozornosť raz na jeden, hneď na druhý z porovnávaných prípadov. Ak však nemáme možnosť tieto prípady opätovne uvidieť, porovnávanie možné nie je. Zrozumiteľnosť metódy najlepšie poznáme priamo vo vyučovaní. Vieme, že úlohy o veku patria k najnáročnejším. Naši žiaci, ktorí sa už od tretej triedy hrávali hru „Na Chronaÿ, ich úspešne riešili už v šiestej triede. Sme presvedčení, že to bola táto hra, teda dramatizácia časovej osy, ktorá väčšine žiakov (či dokonca všetkým?) tieto úlohy sprístupnila. Riešiteľské postupy, ktoré žiakov v škole učíme, sú priame – idú od zadania k výsledku priamou cestou. Veľmi zriedka učíme žiakov výsledok hádať, typovať. Považujeme takú metódu za nedôstojnú matematiky. Autori článku sú presvedčení, že používanie riešiteľskej stratégie pokus – omyl výrazne prispieva ku zdravému rozvoju žiakových matematických schopností. Pri tejto metóde totiž dochádza ku vytváraniu celostných myšlienkových schém, ktoré priamo premosťujú vstup a výstup úlohy a rozvíjajú žiakovu schopnosť nadobúdania vhľadu do situácie v celku. Práve postupnosť činností: typovanie výsledku, evidencia chyby,

32


jej vyhodnotenie a typovanie nového výsledku bola pre žiakov tým najzávažnejším poznaním, ktoré z experimentu pre seba vyťažili. Dodajme, že keď sa dieťa učí napríklad jazdiť na bicykli, tiež postupuje metódou pokus – omyl.

6. Záver Metódy dramatizácie, bábko-dramatizácie i tabuľková dávajú žiakom viac ako spôsoby riešenia úloh o veku. Hlavným cieľom týchto metód nie je naučiť žiakov riešiť slovné úlohy, ale optimálne prispieť k rozvoju schopností žiakov nadobúdať vhľad do situácie slovnej úlohy, či všeobecne, do slovne opísanej situácie.

Hlavná didaktická idea týchto metód spočíva v premene statickej situácie na proces. Na túto problematiku upozornili nedávno Gray a Tall (1994). V našej úlohe vieme, čo je TERAZ, a vieme, čo bude POTOM. Žiak, ktorý nevie tieto dva časové okamžiky premostiť, dostáva v dramatizácii návod, ako to urobiť – musí prejsť celú dobu, ktorá uplynie medzi oboma časovými okamžikmi. Dodajme, že metóda dramatizácie, či bábko-dramatizácie je rovnako dobre aplikovateľná na ďalšie triedy slovných úloh: úlohy o práci, o napúšťaní bazénu, o stretávaní sa chodca s bicyklistom, . . . . Vo všetkých týchto prípadoch je totiž možné proces vhodným spôsobom znázorniť a použiť na hľadanie výsledku.


33

Čitateľovi odporúčame urobiť si s metódou dramatizácie vlastný experiment.

Literatúra [1] Gray, E. M., Tall, D., Duality, ambiguity and flexibility: a proceptual view of simple arithmetic, Journal for Research in Mathematics Education 25(1994) 115 – 141 [2] Hejný, M., Stehlíková, N., Číselné představy dětí, Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, 1999 Prof. Milan Hejný KMDM UK, M. D. Rettigové 4 116 39 Praha 1 e-mail: [email protected] RNDr. Anna Michalcová Gymnázium Ĺ. Štúra Hronská 3 960 49 Zvolen e-mail: [email protected]

34 MATEMATICKÉ VÁLKY V USA (1) Vznik reformy

David Stein

Úvod Ve Spojených státech probíhá již značnou dobu spor vyvolaný pokusem o dalekosáhlou reformu4 vyučování matematice na základních a středních školách. Zavádění této reformy narazilo na silný odpor a kritiku a vedlo k tak bouřlivým „bojůmÿ, že se jim začalo říkat Matematické války a dodnes se řeší otázka, jak najít cestu ke smíru. Americké reformní smýšlení je v některých ohledech blízké reformnímu smýšlení u nás; seznámení s problematikou americké reformy může být tedy poučné i pro české čtenáře. Článek bude rozdělen na čtyři díly: Vznik reformy – Uskutečňování reformy – Kritika reformy – Válka a naděje na smír.5

Reformní myšlenky v USA Počátek reformy Za počátek reformy je obecně považován rok 1989. V lednu toho roku vydala Národní rada pro výzkum (National Research Council – NRC) soubor reformních doporučení pro přeměnu školní 4 Tato reforma nemá ustálené jméno; budu tu tedy o ní psát jednoduše jako o „reforměÿ. 5 Problematika americké reformy a matematických válek s ní souvisejících je téma rozsáhlé a komplikované; rád bych tedy předeslal, že ke většině zobecnění, jichž se v tomto článku dopustím, existují výjimky, o nichž se vzhledem k omezenému prostoru tohoto článku nebudu moct zmínit. Čtenář najde podrobnější a přesnější informace v rozšířené verzi tohoto článku dostupné na internetových stránkách Společnosti učitelů matematiky JČMF (www.suma.jcmf.cz).

Matematické války v USA (1)

35

matematiky nazvaný Everybody Counts (Každý počítá či S každým se počítá). O dva měsíce později vydala Národní rada učitelů matematiky (National Council of Teachers of Mathematics – NCTM) publikaci nazvanou Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (Kurikulární a hodnotící standardy pro školní matematiku, dále jen Standardy NCTM), jež obsahovala pravidla pro tvorbu a hodnocení osnov, učebních plánů a školních programů. V následujícím shrnutí základních reformních myšlenek budu vycházet hlavně z těchto dvou publikací. Kritika tradiční výuky Reformátoři shledávají na dosavadní6 výuce (kterou nazývají „tradičníÿ) mnoho nedostatků. U velké většiny studentů tato výuka docílí jen toho, že se matematiky bojí a považují ji za předmět, jemuž nemohou porozumět a jenž je vhodný jen pro malou skupinu talentovaných dětí. Školní matematika je pro ně změtí vzorečků a postupů, jež se musí učit nazpaměť či je do omrzení procvičovat, aniž by jim porozuměli. Úlohy, které jsou studenti v matematice nuceni řešit, jsou z velké části umělé; studenti často nedokáží školní matematiku použít ve svém každodenním životě. Velké množství studentů přestává velmi brzy v matematice postupovat vpřed. Vývoj mnohých se zarazí již proto, že mají potíže se zvládáním aritmetických či algebraických výpočtů, a tak jsou školami nuceni aritmetiku či algebru opakovat. Zbylí studenti jsou pak obsahem a formou školní matematiky často natolik znechuceni, že pokud mohou, tak volí ty nejméně náročné matematické předměty nebo přestávají matematiku studovat úplně. Počínajíce devátou třídou tak ze studia matematiky každý rok odpadne přibližně polovina studentů, jež ji ještě studuje. Špatně jsou na tom zejména etnické menšiny, jejichž studenti zůstávají ve studiu matematiky daleko za ostatními. Příliš dobře na tom nejsou ani dívky – s chlapci sice v matematice drží krok na základní škole, na střední škole však za nimi ve studiu pokročilé matematiky již pokulhávají. Na vysoké škole pak dívky studují málo nejen matematiku, ale i mnohé disciplíny, jež značnou zna6 Protože

se za uplynulá léta na této kritice příliš nezměnilo, slovo „dosavadníÿ se tu vztahuje nejen na přelom 80. a 90. let, ale i současnost.

36

David Stein

lost matematiky vyžadují. Při tradiční výuce mají špatné výsledky i žáci z chudých rodin. Tradiční školní výuka má dvojí poslání: zajistit minimální znalosti a dovednosti pro naprostou většinu žáků a přípravu na vysokoškolskou matematiku pro malou elitní skupinu žáků. V současnosti však velká většina studentů odchází ze středních škol nedostatečně matematicky připravena jak na další studium tak i na zaměstnání – svědčí o tom velké množství doučovacích kurzů, jež jsou pak nuceni podstoupit jak na vysokých školách, tak v průmyslu a armádě. Špatné výsledky tradiční výuky jsou patrné též z mezinárodních šetření, podle nichž ve svých matematických schopnostech američtí studenti notně zaostávají za studenty mnoha jiných zemí. Nové potřeby současnosti Reformátoři argumentují, že se školní výuka musí přizpůsobit novým potřebám současnosti a blízké budoucnosti. Informační revoluce transformuje ekonomiku a vytváří nové požadavky na přípravu pracovních sil; zaměstnanci nyní již nepotřebují „kupeckéÿ početní znalosti a dovednosti, potřebují však uplatňovat matematické postupy a myšlení při řešení netypických problémů, musí umět zpracovávat velké množství dat a informací a ovládat výpočetní a komunikační technologie; musí též věřit v užitečnost matematiky a dokázat efektivně spolupracovat v týmech. Demografický vývoj v USA bude ve školách nadále snižovat počty bělošských chlapců, kteří v tradičním školství představovali hlavní zásobárnu budoucích vědců a inženýrů. Školní výuka musí v matematice podporovat i jiné skupiny studentů – jednak proto, aby nenastal úbytek vědců a inženýrů, a jednak proto, že moderní demokratická společnost již nemůže tolerovat školství, jež některé skupiny studentů od studia pokročilé matematiky odrazuje. Společenské vědy jsou v důsledku vlivu výpočetních a informačních technologií stále závislejší na kvantitativních metodách vycházejících hlavně ze statistiky a teorie pravděpodobnosti. Žáci se potřebují s těmito metodami ve školní matematice seznámit a porozumět jim, aby pak měli možnost dostatečně porozumět i společenským a politickým záležitostem.


37

Matematika poslední dobou prošla význačnými změnami zejména vlivem výpočetních technologií a metod užité matematiky; školní matematika musí tyto změny reflektovat. Nové možnosti současnosti Školní matematika by podle reformátorů měla též využívat nových možností, jež současnost nabízí, ale tradiční výuka nevyužívá. Kalkulátory umožňují řešení realističtějších problémů a navíc dávají šanci žákům, kteří mají problémy se zvládáním písemného počítání. Počítače umožňují matematické modelování a práci s velkým množstvím dat; jsou též vhodným nástrojem pro matematické zkoumání a objevování. Didaktický a psychologický výzkum udělal značný pokrok v porozumění tomu, jak děti o matematice přemýšlejí a jakými způsoby v ní nabývají nových poznatků; nabízí tak školní matematice možnost značně zlepšit metody výuky. Základní cíle Základní cíle reformátorů se dají stručně shrnout následovně: • zpřístupnění matematiky co nejširším vrstvám studentů a odstranění význačných rozdílů ve studiu pokročilé matematiky mezi různými skupinami studentů (etnickými menšinami a bělochy, dívkami a chlapci, chudými a bohatými); • přizpůsobení školní matematiky novým potřebám společnosti, zejména ekonomickým (ovlivněným tzv. informační revolucí) a politickým (ovlivněným demografickým vývojem a proniknutím matematiky do společenských věd); • změna pedagogických metod a postupů a změna zažitých názorů na povahu a smysl výuky matematice tak, aby byly v souladu s moderním pedagogickým výzkumem a teoriemi a s moderním pohledem na matematiku; • plné zapojení výpočetních a informačních technologií, zejména kalkulátorů a počítačů, do výuky matematiky (včetně hodnocení).

38

David Stein

Školní osnovy a vyučovací metody K dosažení svých cílů doporučují reformátoři provést ve školní matematice mnoho změn: • Při výuce má být kladen menší důraz na učení se nazpaměť, na procvičování, na písemné počítání (číselné i symbolické), na rutinní dovednosti, na předepsané postupy a pravidla, na formální důkazy a abstraktní teorie. Naopak větší důraz má být kladen na porozumění, uvažování a komunikaci, na objevování matematických poznatků samotnými studenty, na formování hypotéz a nalézání protipříkladů, na řešení nestandardních problémů, na používání strategií pro řešení komplexních problémů, na rozvíjení všeobecných schopností, na empirické zkoumání (experimenty, měření, získávání dat), na práci s kalkulátory a počítači. • Do osnov má být začleněno více učiva týkajícího se odhadů výsledků, počítání z hlavy7 , odhalování pravidelností (číselných, logických nebo vizuálních), práce s daty. Zvláště ve vyšších ročnících má do osnov pronikat diskrétní matematika, statistika a teorie pravděpodobnosti. Celkově by v učivu měla mít význačné místo užitá matematika a její aplikace zvláště ve společenských vědách. Role středoškolské matematiky již nesmí být chápána jako příprava studentů pro infinitesimální počet. • Učitelé musí studentům umožňovat aktivní podíl na vyučování – žáci by se měli účastnit diskusí, mít vliv na určování studovaných problémů, spolupracovat na formulování hypotéz a objevování poznatků, prezentovat referáty a projekty, zjišťovat a sbírat údaje a informace z blízkého okolí atd. Učitelé by při výuce neměli tolik spoléhat na výuku formou předávání informací – celkově by měli trávit podstatně méně času přednáškami 7 Tento požadavek je podle mého soudu zavádějící – jde totiž jen o zvýšený důraz na odhadování výsledků a počítání v každodenním životě. O konkrétní zvýšení nároků – např. aby žáci ovládali nejen malou, ale i velkou násobilku – tu nejde a nelze ani dojít k závěru, že by počítáním z hlavy měli žáci trávit ve škole více času (reformátoři totiž současně chtějí věnovat podstatně méně času písemným výpočtům, při nichž žáci počítat z hlavy musí).


39

a naopak více času nasloucháním a pozorováním. Snížena má být role učitelů i učebnic jako zdrojů znalostí; snížena má být i celková závislost vyučování na učebnicích, zvláště na 1. stupni ZŠ. Studenti by měli častěji využívat názorných (zejména hmatatelných) pomůcek. Kalkulátory musí být plně začleněny do výuky již od prvních ročníků ZŠ. Učitelé mají ukládat žákům povinnost pracovat na projektech, psát referáty, vést deníky, budovat portfolia, hodnotit svoji vlastní práci. Při vyučování se má přihlížet k individuálním okolnostem, zejména etnickým a kulturním. • Školní matematika musí vycházet z řešení problémů8 , jež jsou pro žáky relevantní, poutavé a smysluplné; častěji mají být zadávány zejména úlohy těžící inspiraci z běžného života, hlavně z běžného života žáků. Zvýšený důraz má být kladen na souvislosti mezi různými matematickými tématy a disciplínami a též na souvislosti mezi samotnou matematikou a dalšími předměty a obory. • Školy nesmějí na studenty klást přílišné požadavky, jež by studenti museli plnit, chtějí-li být připuštěni ke studiu pokročilejší matematiky; studentům se především nemá zabraňovat ve studiu pokročilé matematiky jen proto, že nezvládají aritmetické nebo algebraické výpočty. Základní matematické učivo má být pro všechny studenty stejné; na SŠ je přípustné toto učivo pro žáky hodlající studovat na vysoké škole prohloubit a rozšířit, samotné matematické předměty ale mají i na SŠ zůstat pro všechny studenty shodné. Pokud školy rozdělují studenty do různých tříd podle domnělého talentu či výkonu, musí zajistit, aby to nevedlo k nerovným podmínkám. Střední školy mají požadovat, aby žáci studovali matematiku alespoň tři roky – čtyři, má-li žák v plánu vysokou školu. Maturita ani přijímání 8 Tomuto vyučování se u nás říká „problémové vyučováníÿ. V americké reformní literatuře se slovo „problémÿ nepoužívá pro určité druhy úloh a cvičení, zvláště těch, které jsou převážně výpočetní nebo rutinní povahy; obvykle za „problémyÿ nejsou počítány ani slovní úlohy převážně didaktického rázu (např. „Vlak vyrazil z A do B . . . , cyklista z B do A . . . , kdy bude cyklista vlakem přejet?ÿ).

40

David Stein na vysoké školy však nesmí být ztěžována náročnějšími matematickými požadavky.

• V žácích má být pěstován kladný vztah k matematice, víra v její užitečnost v praktickém životě a přesvědčení o jejím významu pro blaho společnosti. Velmi důležitým cílem je, aby žáci získali v matematice sebedůvěru a sebevědomí. Posilována má být žákova trpělivost, svědomitost, zvědavost a vynalézavost; povzbuzována má být jeho ochota spolupracovat s ostatními žáky a zapojovat se do třídních aktivit. Ve třídách má být kladen menší důraz na individualismus a soutěžení, vyšší důraz na spolupráci a práci ve skupinách. • Hodnocení musí být plně v souladu s metody a cíli vyučování. Celkové hodnocení musí být založeno nejen na testech a domácích úkolech, ale i na mnoha dalších zdrojích: na pohovorech se žáky, na pozorování žáků při výuce, na studentských projektech, portfoliích, denících a referátech. Hodnoceny mají být nejenom konkrétní znalosti a dovednosti, ale též obecné schopnosti, přístupy a vlastnosti. Role a význam standardizovaných testů a jejich vliv na školství musí být oslabena. Omezeno má být používání otázek, při nichž žáci jen volí správnou odpověď z několika nabízených; naopak častěji se mají od žáka vyžadovat odpovědi, včetně dlouhých slovních odpovědí, které musí sám vytvářet. Používány mají být i takové otázky, na které neexistují jednoznačně správné odpovědi nebo které povolují různé interpretace. V seznamu jsou uvedeny jen takové požadavky, které byly stanoveny jasně a opakovaně. Tyto požadavky se zhruba shodují s těmi, jež byly – a stále jsou – zastánci reformy prezentovány veřejnosti, zejména novinářům, politikům a rodičům.9 Základní reformní stanoviska lze považovat za „minimálníÿ – např. pokud učitel zakazuje či výrazně omezuje používání kalkulá9 Podobné shrnutí reformních cílů může čtenář nalézt na začátku článku V. Hendla Reforma výuky matematiky podle NCTM Standardů 2000 (Učitel matematiky, 11(2002), s. 23-33); V. Hendl však vynechal problematiku menšin a dívek.


41

torů v prvním ročníku ZŠ, nedá se považovat za učitele reformního ve smyslu reformy podporované organizací NCTM. Mnohé základní požadavky sice velmi jasně nastolují směr reformních změn, neurčují ale již jak daleko v tomto směru zajít (např. do jaké míry se mají omezit přednášky nebo procvičování výpočtů). Značná neurčitost veřejně vyhlašovaných stanovisek poskytuje široký prostor pro různé interpretace.

Standardy NCTM Standardy NCTM jsou pro reformu klíčovým dokumentem. Jedním z častějších pojmenování reformy samotnými reformátory je Standards-based reform, čímž je míněna reforma založená na Standardech NCTM. Zcela ztotožnit reformu se Standardy nelze, pojednávat o reformě bez zmínky o Standardech je však nemyslitelné, což se o dalších reformních dokumentech říci nedá. NCTM o svých Standardech hovoří jako o „viziÿ (vision) a zdůrazňuje jejich reformní úlohu. Standardy NCTM jsou velmi rozsáhlé – 258 stránek velkého formátu – a obsahují především velké množství modelových příkladů, včetně mnoha fiktivních příběhů z vyučování, jež mají záměry Standardů ilustrovat. Obsah Standardů NCTM si ve Standardech dala za cíl vytvoření ucelené vize pojmu matematická „gramotnostÿ (mathematical literacy) a vytvoření standardů, které by školní matematiku k této vizi vedly. Pojem matematická gramotnost je ve Standardech vymezen stanovením čtyř společenských a pěti osobních cílů pro školní matematiku. Cíle pro společnost zní: 1) matematicky gramotní zaměstnanci 2) celoživotní vzdělávání 3) příležitost pro všechny 4) informované voličstvo.10 Cíle pro studenty zní: 1) naučit se cenit si matematiky 2) získat sebevědomí ohledně svých matematických schopností 3) naučit se řešit matematické problémy 4) naučit se matematicky dorozumívat 5) naučit se matematicky uvažovat. 10 Tyto společenské cíle školní matematiky zahrnují podle Standardů i velmi obecné schopnosti jako porozumění komunikačním technologiím či umění spolupracovat.

42

David Stein

Osnovy pro ZŠ a SŠ jsou rozděleny do tří částí: 1.-4. třída, 5.-8. třída, 9.-12. třída. V úvodu každé části je krátký souhrn požadovaných změn – na jedné stránce jsou vždy vyjmenována témata a přístupy, jimž má být věnována „zvýšená pozornostÿ, na druhé témata a metody, jimž má být věnována „snížená pozornostÿ. Výčet témat je velmi strohý, např. v 1.-4. třídě je pod hlavičkou „Vyučovací praktikyÿ (snížená pozornost) následující seznam: rutinní procvičování – učení se nazpaměť pravidlům – jedna odpověď a jedna metoda – používání cvičebnic – písemné procvičování – vyučování výkladem. První čtyři kapitoly každé části se zabývají následujícími tématy: 1) Matematika jako řešení problémů 2) Matematika jako komunikace 3) Matematika jako uvažování 4) Matematické souvislosti. Dalších 9-10 kapitol se již soustředí na matematické učivo jako „Měřeníÿ a „Statistikaÿ. V úvodu každé kapitoly je krátký a nepříliš specifický popis učiva, jež by školní osnovy pro toto téma měly zahrnovat.11 Standardy nerozřazují učivo podle jednotlivých ročníků, nezabývají se příliš ani návazností konkrétních dovedností a znalostí. U osnov pro střední školy je pro studenty, kteří chtějí studovat na vysoké škole, přidáváno i prohlubující a rozšiřující učivo; např. podle kapitoly Geometrie z algebraického pohledu by tito studenti měli umět i „dedukovat vlastnosti geometrických útvarů pomocí vektorůÿ a „využívat transformací, souřadnic a vektorů při řešení problémůÿ. Značná část Standardů je vyhrazena hodnocení; problematika hodnocení studentů je rozdělena do sedmi kapitol: 1) Matematická zdatnost12 2) Řešení problémů 3) Komunikace 4) Uvažování 5) Matematické koncepty 6) Matematické postupy 7) Přístupy k matematice. Na začátku každé kapitoly je krátký seznam znalostí, dovedností a vlastností, jež by se měly hodnotit; např. Přístupy k matematice zahrnují (matematickou) sebedůvěru, pruž11 Např. „neformálně zkoumat nerovniceÿ je vše, co je tam konkrétně řečeno o nerovnicích. 12 Termín „mathematical powerÿ (tedy doslova matematická síla či moc) je v reformní literatuře používán pro souhrn všech žádoucích schopností (včetně např. správného přístupu k matematice a porozumění jejímu charakteru).


43

nost, trpělivost, zvídavost a vynalézavost, sklony k sebereflexi, pochopení užitečnosti matematiky a ocenění kulturní role matematiky. Interpretace Standardů je poněkud ztížena tím, že odpověď na určité otázky vyplývá jen z řady konkrétních příkladů, jež jsou ve Standardech roztroušeny na mnoha různých místech. Autoři Standardů se navíc nevyjadřují vždy dostatečně jasně (takže se čtenář musí dohadovat, co přesně mají na mysli) a některá stanoviska jsou jen naznačena. Uvedena jsou však i prohlášení, u nichž si čtenář nemusí být zcela jist, do jaké míry mohou být brána vážně.13 I tak lze na některé otázky týkající se reformních požadavků najít celkem jednoznačné odpovědi při podrobnějším čtení Standardů; na mnohé další tam lze najít odpovědi alespoň částečné. Písemné počítání Podívejme se nyní blíže na otázku, do jaké míry má být omezeno písemné počítání; stručnou a jasnou odpověď na tuto otázku ve Standardech sice nenajdeme, na různých místech tam však najdeme následující prohlášení: Pro složitější výpočty – např. sčítání sloupce čísel nebo písemné dělení – by měl být používán kalkulátor; drahocenným časem by se nemělo plýtvat na písemných výpočtech jako 0,31 × 0,588, 824 × 689 či 8,24 × 6, 89 (protože se dají rychleji a snadněji vypočítat s kalkulátorem) nebo výpočtech jako 17/24 + 5/18 či 5 34 × 4 14 (protože si je žák nemůže v duchu lehce představit a protože se v běžném životě nevyskytují); mělo by se upustit od vyučování „únavnýchÿ písemných výpočtů; od studentů nemůže být očekáváno, aby byli zběhlí v písemných výpočtech s vícemístnými čísly; v reformních osnovách není místo pro procvičování písemných výpočtů s trojmístným násobitelem; atd. Z těchto prohlášení vyplývá, že zamýšlené omezení je vskutku výrazné – písemné výpočty, které se dají provést podstatně snad13 Např. prohlášení, že pokud studenti nedostanou příležitost naučit se učivo doporučované Standardy NCTM, pak „hrozí nebezpečí vytvoření intelektuální elity a polarizované společnostiÿ. Má čtenář brát vážně hrozbu (matematicko-) intelektuální elity? V USA je těžko představitelné, že by učitelé hudby nebo tělocviku upozorňovali na nebezpečí hudebních nebo sportovních elit; obava z intelektuální elity, vyřčená prominentně v úvodu samotných Standardů NCTM, však prošla, pokud vím, bez povšimnutí.

44

David Stein

něji a rychleji na kalkulátorech, nemá cenu procvičovat. Ze Standardů je sice zřejmé, že určitá znalost písemných výpočtů je žádoucí – zejména proto, aby studenti (standardním) algoritmům porozuměli – není v nich ale ani jasně a konkrétně stanoveno, že by studenti měli znát písemné dělení. Kalkulátory Standardy zdůrazňují, že kalkulátory by měly být studentům kdykoliv k dispozici a že oni by měli rozhodovat, kdy kalkulátory použít. Studenti mají mít povoleno používat kalkulátory i při zkouškách a zkoušky mají svojí formou používání kalkulátorů vyhovovat.14 Ve Standardech stojí, že obavy, zda by se kalkulátory nemohly stát pro studenty berličkou, ke které by se obraceli i v případě jednoduchých výpočtů, jsou neoprávněné. Učení se nazpaměť a procvičování rutinních dovedností Ze Standardů je zřejmé, že jejich autoři na jednu stranu sice chtějí, aby studenti znali určitá fakta zpaměti a aby ovládali některé rutinní dovednosti15 , na druhou stranu však nechtějí, aby studenti byli nuceni se tyto znalosti učit nazpaměť a tyto dovednosti samostatně procvičovat. Není jasné, zda učitel může žáky z takových znalostí a dovedností zkoušet alespoň nepřímo (např. tím, že by žákům při zkoušení nepovolil používat učebnici). Ze Standardů je zřejmé, že jejich autoři si přejí, aby studenti nabývali znalosti a dovednosti co nejvíce postupným a přirozeným způsobem, ideálně při řešení „věrohodnýchÿ a zajímavých problémů. Urychlené studium Mohou žáci, jimž se v matematice daří16 , postupovat v jejím stu14 Z tohoto důvodu Standardy u testů s výběrem odpovědí zamítají použití √ výrazu (2 + 3)/4 jako volitelné odpovědi – žáci by totiž mohli mít potíž takovou odpověď s pomocí (tehdejších) kalkulátorů nalézt. 15 Standardy ale tyto znalosti a dovednosti jednoznačně nevymezují; není v nich např. konkrétně stanoveno, že studenti musí znát malou násobilku nebo že musí umět řešit kvadratické rovnice. U malé násobilky je to alespoň zřejmé z kontextu, u řešení kvadratických rovnic to již zřejmé není. 16 Tady mám na mysli nejen ojediněle nadané studenty, ale všechny studenty, u nichž se dá předpokládat, že nebudou mít potíže při studiu základní vysokoškolské matematiky potřebné pro přírodní vědy a inženýrství nebo pro výuku na SŠ.


45

diu rychleji, než ostatní žáci? Ze Standardů je zřejmé, že autoři s tím na ZŠ nepočítají vůbec; na SŠ urychlené studium připouští jen pro studenty „s mimořádným matematickým nadánímÿ a hned k tomu dodávají, že jsou i proti takovému urychlování studia v případě, že by nějaké učivo předepsané Standardy tito žáci probírali jen povrchně. I když Standardy pro žáky, kteří chtějí studovat na vysoké škole, stanovují přídavné učivo, pro žáky, kteří na vysoké škole chtějí studovat obory vědeckého či technického zaměření již další stupeň učiva nenabízejí. Je zajímavé srovnat přístup autorů Standardů k žákům, jimž studium matematiky jde dobře, s jejich přístupem k žákům, kteří v ní mají potíže. Ve Standardech je neustále zdůrazňováno, že (horším) studentům nesmí být ztěžován přístup ke studiu pokročilejší matematiky; v kapitole o učivu na 2. stupni je doslova stanoveno, že žákovi nesmí být bráněno ve studiu jednoho tématu jen proto, že ještě nezvládá téma jiné. Na jednu stranu je tedy téměř vyloučeno, aby někteří žáci učivo opakovali nebo studovali pomaleji než studenti ostatní, a na druhou stranu je též téměř vyloučeno, aby úspěšní studenti postupovali ve studiu matematiky rychleji. Povaha matematiky Standardy málokdy zdůrazňují nutnost přesného a jednoznačného vyjadřování a přesných a jistých odpovědí a řešení („přesné odpovědiÿ jsou dokonce na seznamu témat, kterým má být věnována snížená pozornost). Standardy doporučují, aby matematická témata byla studentům představována pomocí příkladů z běžného života, neupozorňují ale současně na úskalí, jež z matematického hlediska představují nejednoznačnost a neurčitost, jež jsou v běžném životě běžná. Standardy často kladou silný důraz na induktivní logiku, na využívání pravidelností a na heuristické uvažování, aniž by současně zdůrazňovaly nebezpečí s používáním těchto metod v matematice souvisejících; hranice mezi matematikou a dalšími obory (např. psychologií, sociologií, fyzikou) jsou ve Standardech značně mlhavá.

46

David Stein

Závěr (Vznik reformy) V 1. díle jsme se seznámili se základními myšlenkami reformy – zejména s těmi, s nimiž byla seznámena veřejnost – a do určité míry i se Standardy NCTM (což nám umožnilo některá základní stanoviska upřesnit). K pochopení povahy reformy (a tudíž i k pochopení vzniku matematických válek) je zapotřebí se seznámit s reformou blíže – zjistit, jak byla reforma vysvětlována učitelům a jak ji pak tito učitelé uskutečňovali, jaké konkrétní úlohy, problémy a zadání byly v reformní literatuře a výuce používány, jaký dopad měla reforma na učebnice a na hodnocení žáků, jak ovlivnila státní a školní programy a osnovy atd. Těmito tématy se budeme zabývat ve 2. díle, nazvaném Uskutečňování reformy.

Literatura [1] NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS, Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, Reston, USA, NCTM Brno, 1989 [2] NATIONAL RESEARCH COUNCIL, Everybody Counts: A Report to the Nation on the Future of Mathematics Education, National Academies Press, Washington, USA, 1989 David Stein Katedra matematiky a didaktiky matematiky PdF UK Praha M. D. Rettigové 5, 116 39 Praha 1 e-mail: [email protected]

47 MOŽNOST ULOŽENÍ A ZÍSKÁNÍ FINANČNÍCH PROSTŘEDKŮ

Martin Melcer

1. Úvod Každý se v současné době zamýšlí nad financemi. Na jedné straně jsou ti, kteří finanční prostředky mají, nechtějí je utratit, ale vhodně uložit. Na druhé straně je pak spousta takových, kteří chtějí stavět dům, kupovat byt, zakládat firmu, zařizovat dům či byt a podobně, ale nemají hotovost ani takový příjem, který by úspěšně plně dotoval danou činnost. Obě skupiny zkoumají nabídky bank a spořitelen a zvažují své možnosti. Z těchto klientů plynou zisky finančních ústavů a každý by se měl nechat věrohodně informovat a neměl by skočit na první nabídku. Kapitoly finanční matematiky vymizely z učebnic pro základní školy a ani střední školy ve velké míře neobjasní všechna úskalí, před kterými by měl být každý varován. Ve svém příspěvku chci čtenáře seznámit se současnou situací termínovaných vkladů a spořících účtů a osobních a hypotečních úvěrů v České spořitelně, a.s., Komerční bance, a.s., a Poštovní spořitelně. 2. Termínované vklady Je to již řada let, kdy byly termínované vklady pro spořícího člověka výnosné. Museli bychom se vrátit až do počátku devadesátých let minulého století, abychom našli úrokovou sazbu okolo deseti procent. Vsoučasné době jsou termínované vklady vyhledávané pouze zdůvodu jistoty. Klient je společností pojištěn proti ztrátě. Úrokové sazby jsou velmi nízké. Během posledních patnácti let jsou sníženy přibližně na desetinu.

48

Martin Melcer

Úrokové sazby jsou různé podle sumy, která je uložena. Nahlédněme do jednotlivých společností. Česká spořitelna, a.s. Vkladové účty spevnou úrokovou sazbou (platnost od 14.11.2005)

7 dní 14 dní 1 měsíc 2 měsíce 3 měsíce 4 měsíce 5 měsíců 6 měsíců 7 měsíců 8 měsíců 9 měsíců 10 měsíců 11 měsíců 12 měsíců 24 měsíců 36 měsíců 48 měsíců

1. pásmo < 100 000,0,50 % 0,50 % 0,50 % 0,50 % 0,50 % 0,50 % 0,50 % 0,70 % 0,70 % 0,70 % 0,70 % 0,80 % 0,80 % 0,90 % 1,20 % 1,40 % 1,50 %

2. pásmo < 250 000,0,60 % 0,60 % 0,60 % 0,60 % 0,60 % 0,60 % 0,60 % 0,80 % 0,80 % 0,80 % 0,80 % 0,90 % 0,90 % 1,00 % 1,40 % 1,60 % 1,70 %

3. pásmo < 500 000,0,70 % 0,70 % 0,70 % 0,70 % 0,70 % 0,70 % 0,70 % 0,90 % 0,90 % 0,90 % 0,90 % 1,00 % 1,00 % 1,10 % 1,60 % 1,80 % 1,90 %

4. pásmo ≥ 500 000,1,10 % 1,10 % 1,10 % 1,10 % 1,10 % 1,10 % 1,10 % 1,30 % 1,30 % 1,30 % 1,30 % 1,40 % 1,40 % 1,50 % 1,90 % 2,10 % 2,20 %

Tabulka 1 Při splnění podmínek stanovených bankou je vkladovému účtu přiznána úroková prémie 15% zúrokového výnosu zpřívkladů. Tuto větu jsem pochopil tak, že úrok zpřívkladů během daného roku není daněn, ale na pobočce mi ani po několika telefonátech nebyli schopni tuto větu sami vysvětlit. Při výběru zvkladového účtu mimo stanovenou lhůtu pro výběr se uplatňuje sankční poplatek. Jeho výše je minimálně 0,50% zvybírané částky a maximálně 7,00% zvybírané částky. Vypočítá se: vybíraná částka ∗ 2,00% ∗ počet dní do splatnosti / 360.

Možnost uložení a získání finančních prostředků

49

Komerční banka, a.s. Termínované účty s pevnou úrokovou sazbou (platnost od 6.6.2006)

7 dní 14 dní 1 měsíc 3 měsíce 6 měsíců 1 rok 2 roky 3 roky 4 roky 5 let

1. pásmo < 50 000,0,39 % 0,39 % 0,40 % 0,46 % 0,54 % 0,80 % 1,32 % 1,63 % 1,83 % 1,97 %

2. pásmo < 250 000,0,56 % 0,56 % 0,57 % 0,63 % 0,71 % 0,97 % 1,49 % 1,80 % 2,00 % 2,14 %

3. pásmo < 500 000,0,81 % 0,81 % 0,82 % 0,88 % 0,96 % 1,22 % 1,74 % 2,05 % 2,25 % 2,39 %

4. pásmo < 1 000 000,0,98 % 0,98 % 0,99 % 1,05 % 1,13 % 1,39 % 1,91 % 2,22 % 2,42 % 2,56 %

5. pásmo ≥ 1 000 000,1,15 % 1,15 % 1,16 % 1,22 % 1,30 % 1,56 % 2,08 % 2,39 % 2,59 % 2,73 %

Tabulka 2 Základní úroková sazba je s bonifikací 0,20% p.a., ale podmínkou poskytnutí bonifikace je vedení konta nebo běžného účtu. Poštovní spořitelna Termínovaný vklad na dobu určitou (platnost od 1.6.2006)

7 dní 14 dní 1 měsíc 3 měsíce 6 měsíců 9 měsíců 12 měsíců 2 roky 3 roky

1. pásmo < 150 000,0,45 % 0,45 % 0,55 % 0,55 % 0,75 % 0,75 % 0,95 % 1,10 % 1,20 %

2. pásmo < 500 000,0,60 % 0,60 % 0,65 % 0,65 % 0,90 % 0,90 % 1,10 % 1,25 % 1,35 %

3. pásmo < 1 000 000,0,95 % 0,95 % 1,05 % 1,05 % 1,30 % 1,30 % 1,50 % 1,65 % 1,70 %

4. pásmo ≥ 1 000 000,1,10 % 1,10 % 1,15 % 1,15 % 1,35 % 1,35 % 1,60 % 1,75 % 1,80 %

Tabulka 3 Jsou zde fixní roční úrokové sazby (p.a.) a minimální vklad a zůstatek je ve výši 5 000,-Kč.

50

Martin Melcer

Poštovní spořitelna Úrokové sazby pro poštovní termínované vklady (platnost od 1.6.2006) 1 měsíc 0,50 2 měsíce 0,50 3 měsíce 0,50 4 měsíce 0,50 5 měsíců 0,50 6 měsíců 0,70 7 měsíců 0,70 8 měsíců 0,70 9 měsíců 0,70 10 měsíců 0,80 11 měsíců 0,80 12 měsíců 0,90 Tabulka 4

% % % % % % % % % % % %

Roční úrokové sazby (p.a.) jsou vyhlašované. Pokud ale vklad patří k postžiru či postkontu, jsou roční úrokové sazby fixní na celý rok. Vymodelujme si nejběžnější situace s připomenutím, že úrok je daněn 15-ti procenty. Příklad 1: Rodina získala v dědickém řízení hotovost ve výši 500 000,- Kč. Rodina neočekávala žádné výdaje v blízké době a tak se rozhodla peníze bezpečně uložit na termínovaný účet s roční výpovědní lhůtou a) u České spořitelny, b) u Komerční banky, c) u Poštovní spořitelny. Jakou částku si mohla rodina vyzvednout za pět let při neměnných úrokových sazbách, dala-li na účet ve vhodné době výpověď a je-li roční připisování úroků?


51

Řešení: a) roční výpovědní lhůta 1,50 % 5 1,50 K = 500 000 ∗ 1 + 0,85 ∗ = 532 698,24 Kč 100 b) roční výpovědní lhůta 1,56 % 5 1,56 = 534 040,87 Kč K = 500 000 ∗ 1 + 0,85 ∗ 100 c) na dobu určitou 1 rok: 1,60 %; tedy 5× opakovaně vloženo 5 1,60 K = 500 000 ∗ 1 + 0,85 ∗ = 534 937,46 Kč 100 Rodina si mohla vyzvednout částku 532 698,24 Kč v České spořitelně nebo 534 040,87 Kč v Komerční bance nebo 534 937,46 Kč vPoštovní spořitelně. Příklad 2: Student dává kondice a ušetří každý měsíc 800,- Kč, které vždy na konci měsíce ukládá na termínovaný účet s roční výpovědní lhůtou a připisováním úroků vždy na konci roku. Účet si založil na počátku svého pětiletého studia a) u České spořitelny, b) u Komerční banky, c) u Poštovní spořitelny. Jakou částku si půjde vyzvednout, studoval-li od září 2003 a budeli studovat do června 2008, dá-li na účet ve vhodné době výpověď a úrokové sazby se během studia nezmění? Řešení: a) roční výpovědní lhůta: 0,90% (1.) rok 2003: 3 2 1 0 0,90 K1 = 800 ∗ 4 + + + + ∗ 0,85 ∗ = 3 203,06 Kč 12 12 12 12 100

52

Martin Melcer

(2.) roky 2004 až 2007: 4 (1 + 0,85 ∗ 0,90 11 0,90 100 ) − 1 K2 = 800 ∗ 12 + ∗ 0,85 ∗ ∗ = 0,90 2 100 0,85 ∗ 100 = 38 979,08 Kč

(3.) rok 2008: 5 4 3 2 1 0 0,90 K3 = 800 ∗ 6 + + + + + + ∗ 0,85 ∗ 12 12 12 12 12 12 100 = 4 807,65 Kč (4.) celkem: "

0,90 K = K1 ∗ 1 + 0,85 ∗ 100

4

# 15 0,90 + K2 ∗ 1 + ∗ 0,85 ∗ + 12 100

+ K3 = 47 493,25 Kč b) roční výpovědní lhůta: 0,80% shodným postupem: K = 47 370,61 Kč c) roční výpovědní lhůta: 0,95% shodným postupem: K = 47 554,65 Kč Odpověď: Student si bude moci vyzvednout částku pohybující se kolem 47 500,- Kč. Výše inflace se za každý rok vypočítává. Nemůžeme tudíž její hodnotu předem znát. Budeme-li však počítat s hodnotou, kterou využívají finanční společnosti jako standardní, tj. 3%, zjistíme, že bezpečné uložení našich finančních prostředků na termínované účty není zrovna přínosné. Finanční ústavy si tuto situaci uvědomují, a proto nabízejí klientům uložení peněz do podílových listů různých rizikových skupin. Zde ovšem není zaručena návratnost vložených prostředků.


Použité zdroje informací [1] Česká spořitelna. [online] Dostupné z http://www.csas.cz. [2] Komerční banka. [online] Dostupné z http://www.kb.cz. [3] Poštovní spořitelna. [online] Dostupné z http://www.postovnisporitelna.cz. Martin Melcer Gymnázium Jiřího Ortena Jaselská 932 284 80 Kutná Hora e-mail: [email protected]

53

54 PROČ UČÍME MATEMATICE

Bohdan Zelinka†

Název článku možná leckterého čtenáře nutí obrátit stránku a číst raději něco jiného. Očekává totiž, že se zase jednou doví, že kantořina není povolání, ale poslání, a co by z toho mělo vyplývat. Ano, o některých povoláních se říkává, že nejsou povolání, ale poslání. Jen o některých; jsou povolání, o nichž se to neříká, jako člen správní rady akciové společnosti či (kupodivu) poslanec (ten přece je něco jiného než povolanec fasující svou plnou polní), ale také třeba čistič stok. Zmíněné sousloví jaksi naznačuje, že ten, kdo takovou činnost vykonává, by měl myslet jen na blaho lidské společnosti a rozhodně se vyhýbat myšlenkám na mrzký mamon. (V˚ ubec ideální by bylo, kdyby své poslání vykonával zadarmo a živil se vedle toho nějakým povoláním.) Závěr úvahy by neměl být díkem těm, kteří dotyčné „nepovolání-ale-posláníÿ provádějí (to je přece jejich samozřejmá povinnost), ale raději kletbou těm, kteří od svého poslání desertovali kv˚ uli již zmíněnému mrzkému mamonu. Takže tímto končí výklad o tom, o čem zde psát nechci, a začnu psát to, co chci. Není třeba na otázky vždy hledat hluboké filosofické odpovědi. Opravdu, na otázku „Proč učíme matematiceÿ lze odpovědět slovy „Aby ji naši žáci znali.ÿ Tím se ovšem nastoluje nová otázka „A proč ti žáci mají matematiku znát?ÿ Na tu otázku se ovšem odpovědi liší podle typu školy. Na mateřské škole a na nižším stupni základní školy matematika jsou počty (tak se tam kdysi ten předmět nazýval) a její znalost je součástí gramotnosti, nutný předpoklad toho, abychom se v˚ ubec nějak dokázali potácet tímto světem. Na vyšším stupni základní školy a na gymnáziu je matematika součástí jistého systému všeobecného vzdělání. To už je takové vzdělání, bez kterého by se člověk mohl obejít, ale přesto je vždy lepší je mít než nemít. Věcí diskuse ovšem m˚ uže být, co

Proč učíme matematice

55

by mělo být do toho všeobecného vzdělání zahrnuto. (Má v˚ ubec smysl, aby člověk věděl něco o logaritmech, když poslední výroba logaritmických pravítek byla ukončena už před dávnými lety?) Trochu šíře lze otázku zkoumat v případě vysokých škol a středních odborných škol. Budeme mluvit o školách vysokých; u těch středních je to jaksi obdobné. Student na vysoké škole studuje matematiku, aby se z něho stal její a) odborník, b) učitel, c) uživatel. Odborníkem v matematice se stává na matematicko-fyzikální nebo přírodovědecké fakultě některé university. Očekává se od něho, že bude vědeckým pracovníkem či vysokoškolským učitelem. Ať si takový student nestěžuje, že ho někdo honí vyžadováním přesných formulací definic a vět, a dokonce znalosti d˚ ukaz˚ u. Jednou takové d˚ ukazy bude muset nejen pozorně číst, ale i sám tvořit. Dal se na vojnu, musí bojovat! A když to nedobojuje, ještě ho rádi vezmou na některé jiné fakultě, tedy někde, kde se nevychovávají matematičtí odborníci, ale učitelé nebo zasvěcení uživatelé matematiky. Ty uživatele vychovávají fakulty technických a ekonomických vysokých škol a nematematické obory přírodovědeckých fakult. Uživatel by měl hbitě řešit základní úlohy diferenciálního a integrálního počtu; počítat například derivace, integrály a řešit základní typy diferenciálních rovnic. Samozřejmě v tomhle dost pomáhá moderní výpočetní technika, ale to ho nutnosti vzdělávání nezbavuje. Nem˚ uže také vše hned „hodit do strojeÿ. Měl by umět odhadnout, co z jeho oboru lze řešit matematickými metodami a jakými. Nu, a potom by to měl opravdu řešit. U budoucích uživatel˚ u matematiky bychom tedy především měli vyžadovat řešení úloh. S d˚ ukazy vět bychom je příliš trápit neměli. Někdy se říká, že v přednášce by přece jen nějaký d˚ ukaz měl být. Nu což, zkusme v přednášce něco dokázat, aby studenti viděli, že se matematické věty dokazují, a jak se dokazují. Pár opravdu svědomitých student˚ u nás bude sledovat; těm ostatním klidně tolerujme, pokud si vytáhnou na tu chvilku skriptum jiného předmětu (pokud nebudou dělat nic horšího). S tím souvisí

56

Bohdan Zelinka

i otázka, zda by ve skriptech pro budoucí uživatele matematiky měly být d˚ ukazy vět. Mohlo by se říci: „Aspoň si to budou moci přečíst.ÿ Ale kdy přečíst? Známe sebe samotné; ve zkouškovém období bychom nečetli d˚ ukaz, o němž bychom věděli, že se nebude zkoušet. A potom? Kdoví, kam se ta skripta v˚ ubec podějí. Pokud bychom chtěli být hodně zlí na budoucího uživatele matematiky, mohli bychom mu místo složité úlohy na výpočet integrálu položit zdánlivě prostou a bezelstnou otázku: „Co víte o integrálu?ÿ A nastane pro něho zoufalá situace. Co vlastně mohu vědět o integrálu? Vpředu je jakási stylizovaná dýmka nebo saxofon, vzadu se píše dx (aspoň kantoři rajtují na tom, aby se tam psalo, stejně jako za výsledkem neurčitého integrálu se má psát +C). Kdyby to bylo ze sinu, byl by to minus kosinus, z kosinu by to byl sinus. Ale integrál takhle sám o sobě a dokonce snad ještě určitý? To se kreslí nějaké schody, ale kdo to má přesně znát? Mezi specialisty a uživateli není tak ostrá hranice. Lze říci, že ji vyplňují odborníci v oborech těsně s matematikou spjatých, a to fyzikové včetně jaderných, astronomové, meteorologové a podobně, a také elektrotechnici a informatici. Poslední uvedenou skupinou jsou budoucí učitelé základních škol, tedy dnešní studenti pedagogických fakult. Ti jednak potřebují hlouběji vniknout do toho, co se sami ve škole učili a co budou učit, aby to opravdu znali a nekázali bludy17 a jednak potřebují znát více než jejich budoucí žáci. Tedy vlastně zase získávají určité všeobecné vzdělání, ale uvnitř svého oboru. Učí se matematickým poznatk˚ um, o nichž ani nebudou sami učit, ani jich sami používat. A je to potřebné. Byla by to rána pro učitelovu autoritu, kdyby se žáci dověděli, že to, čím je dnes učitel trápí, se ještě včera šprtal on sám. A co by tedy měl znát? Měl by mít přehled o tom, jak se matematika dělí na jednotlivé obory. Měl by něco vědět o těch 17 Ať se fyzici nezlobí, že budu brát příklady z jejich řad. M˚ uj otec zažil na gymnáziu fyzikáře, který chtěl třením ebonitové tyče liščím ohonem rozsvítit žárovku. Zato m˚ uj fyzikář nám jednoduše vysvětlil, proč nelze přímku definovat jako nejkratší spojnici dvou bod˚ u. Nakresleme na papír přímku AB. Pak papír zkrabatíme a zjistíme, že ta nakreslená přímka už v˚ ubec není nejkratší spojnicí bod˚ u A a B.

Proč učíme matematice

57

strašidelně tajemných pojmech jako diferenciál a integrál a také vědět, že se to zahrnuje do matematické analýzy. Měl by vědět, co se dnes zahrnuje do algebry (nekončí kvadratickými rovnicemi) a do geometrie (nekončí Pythagorovou větou). Měl by vědět o existenci matematické statistiky, topologie a diskrétní matematiky. Neměly by mu být cizí počítače. A zcela jasný by mu měl být pojem množiny a aspoň takzvaná naivní teorie množin. Je toho mnoho a je otázka, do jaké míry co má znát. S d˚ ukazy by to mohlo být podobné jako u budoucího uživatele. Ale přece jen raději trochu více, vždyť on některé věci (jako třeba už zmíněnou Pythagorovu větu) bude dokazovat i na té základní škole. Rozhodně by měl být přesný v užívání symboliky; vynechání závorek by u něho nemělo být považováno za nepatrné opomenutí, za něž se u zkoušky nevyhazuje. A jako budoucí učitel by měl především umět mluvit. Nejde tu o rétoriku, které užíval Demosthenes proti Filippovi ani Cicero proti Catilinovi, ale ani tak o přesnost terminologie. Jde o to, aby dovedl na danou otázku odpovědět tak, aby ten, kdo ho slyší a nic o věci neví, po té odpovědi něco věděl. Pro některé studenty je to možná nezvyklé, ale opravdu tohle je d˚ uležitější než dovednost hbitého počítání. Učitel by neměl jako nějaký kouzelník předvádět žák˚ um, co on umí a oni neumějí. To, co předvádí, musí sloužit tomu, aby se to žáci naučili také. Jinak jim učitelova dovednost není k ničemu. Předveďme si dialog sestavený na motivy skutečných dialog˚ u (E = examinátor, S = student). E: Jak se násobí matice? S: (mlčí) E: Kdy m˚ užeme matici A násobit maticí B? S: To, když to násobíme, tak násobíme ty řádky. E: Jak je to s počty řádk˚ u a sloupc˚ u u matic A a B, když má existovat součin AB? S: Ten řádek je ten řádek a ten sloupec je ten sloupec. E: Takže nevíte, kdy se matice mohou spolu násobit. S: Ale já ty matice násobit umím! (Vezme dvě čtvercové matice řádu 2 a hbitě je vynásobí.) E: Ale na to jsem se přece neptal. Kdy m˚ užeme matice A a B

58

Bohdan Zelinka

spolu násobit? S: No takhle. E: Takže byste přišel znovu někdy později. (Vpisuje do protokolu 4.) S: Já jsem nešťastný člověk. Vždycky všechno znám, ale vím předem, že zkoušku neudělám, protože vy jste si na mne zasedl a nenecháte mě projít. Všimněte si, že poslední studentovy věty jsou první jeho souvislé české věty. Proto také examinátor upouští od svého úmyslu doporučit zkoušenému návštěvu logopedické poradny. Ostatně on také ví, že blábolení je obvyklým zp˚ usobem odpovídání na otázky, přestože má zkoušený čas na přípravu a m˚ uže si odpověď psát na papír. A platí tu jedno paradoxní tvrzení, že písemně blábolit je takřka nemožné. Krásně se blábolí v teorii graf˚ u: eulerovský tah je, když jsou ty uzly spojené. Vzdálenost v grafu jsou ty hrany mezi tím. Čínský problém listonoše je, že se to má projít. A ještě lepší je definice Turingova stroje: „Turing˚ uv stroj je, když se ta páska posunuje podle té tabulky, a když je tam ten vykřičník, tak to končíÿ. Požadavek (dalo by se říci, že skromný) sdílného mluvení je přece jen něco jiného než požadavek přesnosti terminologie (i když ani ten by neměl být zanedbáván). Jistý student přednesl definici normálního Markovova algoritmu přesně podle učebnice; pravilo se v ní, že je dán určitými substitucemi. Tím pokládal svou povinnost za splněnou a nehodlal ztrácet čas vysvětlováním, co ty substituce jsou. On ví, že v Markovově algoritmu se užívá substitucí, ale o nich by už snad nemusel nic vědět. Tak vida autora! Zaučil si pro budoucí uživatele a později pro budoucí učitele, a hned by chtěl rozdávat rozumy. A přesto si je vědom, jak daleko je od dokonalosti. Nejde jen o popsané křiklavé případy. Učitel by měl studenty učit tak, aby se nad tou matematikou zamýšleli, aby se jí učili jinak než jako cizojazyčné básni se samými neznámými slovíčky. A i když učitel třeba užije slova „přirozené čísloÿ, nem˚ uže se spolehnout na to, že všichni mu rozumí. Kdyby se na to náhle zeptal, asi by se dověděl, že to je přece to číslo.

Semináře, školy, konference

59

Ale zde také záleží na studentech. Chce-li být někdo učitelem matematiky, neměl by procházet cestou nejmenšího odporu, a už v˚ ubec by ho nemělo těšit, že třeba udělal zkoušku, ač byl zrovna „dutýÿ. I když třeba neměl na střední škole latinu, měl by vědět, že „non scholae, sed vitae discimusÿ (i když vlastně v tomto případě „vitaÿ je opět „scholaÿ, ale už jiná než ta, na které právě studuje).

⋆

⋆

⋆

Informace o kurzech ESF Na www.suma.jcmf.cz právě probíhá registrace pro kurz ESF Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě školního vzdělávacího programu, který je akreditován MŠMT jako akce dalšího vzdělávání učitelů. Kurz v délce 30 vyučovacích hodin je pro učitele zdarma! Kurzy probíhají v celé republice. Nepropásněte příležitost a registrujte se.

Informace o Dvou dnech s didaktikou matematiky Na www.suma.jcmf.cz v sekci Akce právě probíhá registrace na již jedenáctý ročník konference Dva dny s didaktikou matematiky, která je určena učitelům ZŠ a SŠ. Na uvedeném webu najdete úplný archiv semináře i některé sborníky ve formátu pdf ke stažení.

60


XIII. SEMINÁŘ O FILOZOFICKÝCH OTÁZKÁCH MATEMATIKY A FYZIKY a 27. MEZINÁRODNÍ KONFERENCE HISTORIE MATEMATIKY

Ve dnech 21. – 24. 8. 2006 se ve Velkém Meziříčí uskutečnil již 13. seminář o filozofických otázkách matematiky a fyziky. Uspořádala jej Komise pro vzdělávání učitelů matematiky a fyziky Jednoty českých matematiků a fyziků ve spolupráci s Gymnáziem Velké Meziříčí a Domovem mládeže Střední školy řemesel a služeb Velké Meziříčí; hlavním organizátorem byl A. Trojánek. Semináře se zúčastnilo cca 60 osob (učitelé základních, středních a vysokých škol, několik doktorandů). Seminář byl slavnostně zahájen v pondělí 21. 8. v krásné aule meziříčského gymnázia. Účastníky zde nejprve přivítal místostarosta Velkého Meziříčí ing. Alois Nováček, který pohovořil o historii i současnosti města a přinesl velmi zajímavé propagační materiály. Ředitel gymnázia A. Trojánek pak seznámil přítomné s historií gymnázia a organizací seminářů.18 Poté následovaly přednášky Happyendová úloha z kombinatorické geometrie (J. Šimša) a Racionalismus a empirismus ve fyzikálním poznání (J. Langer). V úterý dopoledne vyslechli účastníci dvě fyzikální přednášky, Zajímavá fyzika – originální a zajímavé pokusy s vysvětlením (T. Týc) a EPR paradox pro pěšáky (P. Krtouš). První přednášku nabitou netradičními pokusy s běžně dostupnými pomůckami sledovali všichni s velkým nadšením. Po obědě proběhla jedna matematická přednáška Některé myšlenky o výuce infinitezimálního počtu (D. Hrubý). Po přestávce následovala panelová diskuse na 18 Podrobnější informace a fotografie ze semináře lze najít na adresách: http://www.gvm.cz/people/trojanek/ a http://fd.cvut.cz/Personal/Nemcova/.


61

velmi aktuální téma Rámcové a školní vzdělávací programy – možnosti či hrozby, ve které J. Herman nejprve pohovořil o zkušenostech práce pilotní školy (Gymnázium kapitána Jaroše, Brno) s přípravou školních vzdělávacích programů.19 O školním vzdělávacím programu meziříčského gymnázia informoval A. Trojánek; soustředil se především na výuku přírodovědných předmětů. E. Fuchs se podíval na rámcové a školní vzdělávací programy očima vysokoškolského pedagoga připravujícího budoucí učitele matematiky. V následné diskusi vystoupila celá řada účastníků semináře a podělila se o své zkušenosti s přípravou vzdělávacích programů. Ve středu dopoledne zazněly náročné fyzikální přednášky Sdílení kvantového tajemství (T. Týc) a Teorie superstrun (R. von Unge), které posluchače zasvětily do problémů moderní fyziky. Odpoledne přednesla M. Kováčová příspěvek Ako efektívne využívať software Mathematica na stredných školách. Pak proběhly další dvě fyzikální přednášky. P. Cejnar pohovořil na téma Symetrie v mikrosvětě a J. Podolský proslovil přednášku Hrabě Buquoy a jeho úlohy, v níž připomněl přínos tohoto dnes zapomenutého fyzika působícího v Čechách. Ve čtvrtek byl poslední půlden semináře zahájen přednáškami Kurt Gödel (B. Švandová) a Kurt Gödel a problém času (J. Novotný). Seminář byl ukončen přednáškou Statistika v živých tělech (I. Saxl) a závěrečnou diskusí. Na seminář volně navázala 27. mezinárodní konference Historie matematiky, která se ve Velkém Meziříčí konala ve dnech 25. – 29. 8. Zúčastnilo se jí více než 60 osob z ČR, Slovenska a Polska. Připravily ji rady doktorského studia Obecné otázky matematiky a informatiky při MFF UK v Praze a PřF MU v Brně. Hlavními organizátory byli J. Bečvář, M. Bečvářová, E. Fuchs a M. Hykšová. Hlavní program byl velmi bohatý, sestával z těchto přednášek: J. Bečvář: Lineární úlohy ve staré Číně J. Bečvář: Rekapitulace a perspektivy M. Bečvářová: Kořeny bulharské matematiky 19 Podrobnější

informace http://www.jaroska.cz.

62


J. Čižmár: Geometria na prahu 21. storočia z pohl’adu päťtisícročného vývoja M. Ernestová: Nápadité postupy řešení rovnic a jejich soustav v Diofantově Aritmetice Z. Hencová: Matematická analýza v učebnicích pro střední školy J. Houska: O vzniku pojmu limity J. Hudeček: Čínská matematická tradice a její základní dílo „Devět kapitolÿ M. Hykšová: Přípěvek českých matematiků k teorii pravděpodobnosti L. Ilucová: História teselácií (od Platónskych telies k Escherovým jaštericiam) M. Jarošová: Fibonacciho čísla L. Koudela: Topologické pojetí křivky E. Kozáková: Počátky matematické logiky a teorie množin v Československu J. Kozánek, K. Žitný: Gibbsův efekt a jeho objevitelé M. Kupčáková: O školním geometrickém kreslení L. Kvasz: Matematizácia pohybu J. Langer: Matematika, fyzika a umění K. Lepka: C.k. matematicko-fyzikální olympiáda M. Melcer: Finanční matematika na měšťanských školách Rakouska-Uherska O. Moc: Faktorizační věta P. Pavlíková: G.B. Dantzig a simplexová metoda M. Pémová: Sférická geometria a pravidelné mnohosteny M. Provazníková: Cayley-Dicksonova konstrukce I. Saxl: Mertonští počtáři A. Slavík: Počátky diferenciální geometrie R. Smýkalová: Mercatorův přínos pro matematickou kartografii H. Stříteská: Historie robustních statistických metod V. Svobodová: Historie vztahu v + s − h = 2 I. Sýkorová: Počátky indické matematiky M. Špinková: Interpretace základních statistických pojmů pomaturitní populací B. Šťastná: Kosinová věta pro čtyřúhelník


63

A. Vanžurová: Uzly, copy, copánkové grupy, historie celkem nedávná W. Wi¸eslaw: Jezuita Stanislw Solski – matematyk i geodeta z XVII stulecia I. Zolotarev, K. Žitný: Cambridgeské setkání N. Wienera a G. H. Hardyho. Za úspěšný průběh semináře i mezinárodní konference je třeba poděkovat A. Trojánkovi, J. Bečvářovi, M. Bečvářové, E. Fuchsovi a M. Hykšové, všem přednášejícím i účastníkům, dále také kolektivu Domova mládeže ve Velkém Meziříčí. Na srpen 2007 je plánován osmý seminář z historie matematiky pro vyučující na středních školách. Zájemci si již nyní mohou napsat o přihlášku na adresu RNDr. Dag Hrubý, Gymnázium, A. K. Vítáka 452, 569 43 Jevíčko. Vážnější zájemci o dějiny matematiky se mohou zúčastnit 28. mezinárodní konference Historie matematiky, která se bude konat v srpnu 2007. Kontaktní adresa: RNDr. Martina Bečvářová, Ph.D., Katedra aplikované matematiky, Fakulta dopravní ČVUT, Na Florenci 25, 110 00 Praha 1 (e-mail: [email protected]). Martina Bečvářová

Upozorňujeme předplatitele, že fakturu obdrží v lednu 2007.

Pokyny pro autory Příspěvky zpracované v editorech TEX nebo MS Word zasílejte na adresu: [email protected]. Obrázky přiložte jako samostatné soubory nebo je zašlete jako kvalitní reprodukovatelné předlohy v rozměru 1:1 na adresu výkonného redaktora.

Časopis Učitel matematiky vychází čtyřikrát ročně. Lze jej zakoupit v Brně v knihovně matematické sekce Přírodovědecké fakulty MU, Janáčkovo nám. 2a a v Praze v Oddělení historie matematiky MFF UK, Sokolovská 83. Starší čísla časopisu lze objednat v administraci. Změnu adresy, požadavky na fakturaci apod. vyřizuje výhradně administrace časopisu.

OBSAH

J. Příhonská: Separované modely Pascalova trojúhelníka (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A. Jančařík: Početní algoritmy I – poziční soustavy . . . . . . . . . . . 9 P. Kříž, K. Šrot: Integrální počet v R s programem Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 M. Hejný, A. Michalcová: Riešenie úloh o veku – metóda dramatizácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Školství ve světě D. Stein: Matematické války v USA (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Finanční matematika M. Melcer: Možnost uložení a získání finančních prostředků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Vzpomínka B. Zelinka: Proč učíme matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Semináře, školy, konference Informace o kurzech ESF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Informace o Dvou dnech s didaktikou matematiky . . . . . . . . . . . . 59 XIII. seminář o filozofických otázkách matematiky a fyziky a 27. mezinárodní konference historie matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

ucitel.html

Recommend Documents