Čtyřúhelník
Čtyřúhelník
Obsah: 1. Jak definovat čtyřúhelník – základní vlastnosti
2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky a střední příčky rovnoběžníka 2.4.3. Pravoúhlý rovnoběžník 2.4.4. Kosodélník 2.5. Lichoběžník 3. Konstrukce čtyřúhelníka 4. Příklady k procvičení
25
Čtyřúhelník
1. Jak definovat čtyřúhelník – základní vlastnosti Čtyřúhelník se na základní škole definuje pomocí svých základních vlastností. Čtyřúhelník má čtyři vrcholy, čtyři strany, čtyři vnitřní úhly. Dvě strany, které mají společný vrchol, jsou sousední. Dvě strany, které nemají společný vrchol, jsou protější. Také dva vrcholy a dva vnitřní úhly čtyřúhelníku jsou buď sousední, nebo protější. Úsečka, jejímiž krajními body jsou dva protější vrcholy čtyřúhelníku, nazývá se úhlopříčka. Každý čtyřúhelník má dvě úhlopříčky. Úhlopříčka rozdělí čtyřúhelník na dva trojúhelníky. Součet vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je 180o, proto součet vnitřních úhlů v každém čtyřúhelníku je 360o. A, B; B, C; atd. sousední vrcholy A, C; B, D
protější vrcholy
a, b; b, c; atd.
sousední strany
a, c; b, d AC = e, BD = f , ; , ; atd.
protější strany úhlopříčky sousední vnitřní úhly
, ; ,
protější vnitřní úhly
N
průsečík úhlopříček
= úhel u vrcholu A, = úhel u vrcholu B, = úhel u vrcholu C, = úhel u vrcholu D
2. Názvy čtyřúhelníků Jestliže všechny body čtyřúhelníku leží v téže polorovině, jejíž hranice obsahuje kteroukoli stranu čtyřúhelníka, pak se takový čtyřúhelník nazývá čtyřúhelník konvexní. Není-li tomu tak, je to čtyřúhelník nekonvexní.
26
Obsah
Čtyřúhelník Podle vlastností stran a úhlů dáváme čtyřúhelníkům zvláštní jména.
Čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany různoběžné, se nazývá různoběžník. Jestliže má čtyřúhelník dvě strany rovnoběžné a zbývající dvě strany různoběžné, nazývá se lichoběžník. Čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou rovnoběžné, je rovnoběžník.
2.1 Deltoid Zvláštním případem různoběžníka je deltoid. Je to různoběžník souměrný podle právě jedné úhlopříčky. Skládá se ze dvou neshodných rovnoramenných trojúhelníků se společnou základnou a z toho plynou některé jeho vlastnosti: a) dvě sousední strany jsou shodné, AB=BC, zbývající dvě sousední strany jsou rovněž shodné, AD=DC; b) úhlopříčka DB půlí vnitřní úhly, jimiž prochází, a je osou souměrnosti úhlopříčky AC i celého deltoidu; c) úhly, jimiž prochází úhlopříčka AC, jsou shodné, tedy DAB=DCB (je-li deltoid vepsán do kružnice, jsou tyto úhly pravé); d) deltoidu lze vepsat kružnici, její střed O leží na osách shodných úhlů a na úhlopříčce BD. Příklad 1.1:
a) Sestrojte deltoid ABCD, je-li dáno: a = 2,5 cm, b = 3,5 cm, = 145o b) Sestrojte tomuto deltoidu kružnici vepsanou. c) Lze mu také sestrojit kružnici opsanou? Kdy lze sestrojit kružnici opsanou deltoidu?
Řešení 1.1:
27
Obsah
Čtyřúhelník
Zápis konstrukce: 1.
; = XBY = 145o
2.
k; k (B; a = 2,5 cm)
3.
A; A k BX
4.
l; l (B; b = 3,5 cm)
5.
C; C l BY
6.
m; m (A; |AB|)
7.
n; n (C; |CB|)
8.
D; D m n
9.
deltoid ABCD
2.2 Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník, jehož vrcholy leží na kružnici, nazývá se čtyřúhelník tětivový. Součet velikostí libovolných dvou jeho protilehlých úhlů je 180o. O
tětivovém
čtyřúhelníku
také
platí
tzv.
Ptolemaiova věta, která říká: V každém tětivovém čtyřúhelníku je součin délek úhlopříček roven součtu součinů délek protilehlých stran. Příklad 1.2: Sestrojte čtyřúhelník ABCD tak, aby to byl tětivový čtyřúhelník, pro nějž platí: úhel = 90o, = 60o, c = 2,75 cm, d = 4,9 cm. Řešení 1.2: Zápis konstrukce:
X
1.
CD; |CD| = 2,75 cm
2.
p; p CD, C p
3.
; =CDX = 180o - 60o =120o
4.
l; l (D; d=4,9 cm)
5.
A; A l DX
6.
q; q DA, A q
7.
B; B p q
8.
čtyřúhelník ABCD
9.
O; O je průnik os stran ABCD
10. k; k (O; |OC|)
28
Obsah
Čtyřúhelník
2.3 Tečnový čtyřúhelník Čtyřúhelník, který je opsán kružnici, nazývá se čtyřúhelník tečnový. Součty délek jeho protilehlých stran se navzájem rovnají. Příklad 1.3: Sestrojte čtyřúhelník ABCD tak, aby to byl tečnový čtyřúhelník. Řešení 1.3: Zápis konstrukce: 1.
k; k (S; r = libovolně)
2.
P4; P4 k
3.
d; d SP4, P4 d
4.
P3; P3 k
5.
c; c SP3, P3 c
6.
P2; P2 k
7.
b; b SP2, P2 b
8.
P1; P1 k
9.
a; a SP1, P1 a
10. A; A a d 11. B; B a b 12. C; C c b 13. D; D c d 14. čtyřúhelník ABCD
2.4 Rovnoběžník Čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou rovnoběžné, nazývá se rovnoběžník. Podle úhlů se rovnoběžníky dělí na rovnoběžníky kosoúhlé (mají úhly kosé) a rovnoběžníky pravoúhlé neboli pravoúhelníky (mají všechny úhly pravé). Podle velikostí stran mají rovnoběžníky ještě zvláštní jména: kosodélník, kosočtverec, obdélník, čtverec. 2.4.1
Základní vlastnosti
Základní vlastnosti každého rovnoběžníka:
29
Obsah
Čtyřúhelník a) každé dvě protější strany jsou navzájem rovnoběžné; b) každé dvě protější strany jsou shodné c) úhlopříčky se navzájem půlí. Zjistíme-li, že daný čtyřúhelník má některou z uvedených vlastností, potom je to rovnoběžník. O vnitřních úhlech každého rovnoběžníka platí: a) každé dva protější úhly jsou shodné; b) součet velikostí každých dvou sousedních úhlů je 180o. 2.4.2
Výšky a střední příčky rovnoběžníka Úsečka, jejímiž krajními body jsou středy rovnoběžných stran, je střední příčka rovnoběžníka. Každý rovnoběžník má dvě střední příčky. Rovnoběžník ABCD má střední příčky EF a GH. Platí EF=AB=CD, EFABCD; GH=AD=BC,
GH ADBC. Průsečík středních příček S splývá s průsečíkem úhlopříček a nazývá se střed rovnoběžníka. Vzdálenost přímek, v nichž leží protější strany rovnoběžníka, je jeho výška. Rovnoběžník má tedy dvě výšky. Příklad 1.4: Sestrojte obdélník ABCD, znáte-li velikosti středních příček (7 cm, 5cm). Sestrojte kosodélník KLMN, který bude mít stejně dlouhé strany jako obdélník ABCD, tzn. AB = KL, BC = LM. Porovnejte délky středních příček. Řešení 1.4: Zápis konstrukce: 1.
AB; |AB| = 7 cm
2.
p; p AB, B p
3.
k,l; k (B; |BC|=5cm), l (A; |BC|=5cm)
4.
C; C k p
5.
q; q BC, C q
6.
D; D q l
7.
obdélník ABCD
8.
M; M k
9.
s; s BM, A s
10. N; N s l 11. kosodélník KLMN
30
Obsah
Čtyřúhelník 2.4.3
Pravoúhlý rovnoběžník
Jestliže má rovnoběžník jeden úhel pravý, má i všechny ostatní úhly pravé, neboť protější úhly jsou shodné a součet každých dvou sousedních úhlů rovnoběžníka je 180o. Takový rovnoběžník se nazývá pravoúhlý. Má-li pravoúhlý rovnoběžník sousední strany shodné, jmenuje se čtverec; nemá-li sousední strany shodné, nazývá se obdélník. V praxi dáváme rozměrům obdélníka názvy šířka, délka, výška apod. Každý pravoúhlý rovnoběžník má tyto vlastnosti: a) každé dvě sousední strany jsou k sobě kolmé; b) úhlopříčky jsou shodné; c) pravoúhlému rovnoběžníku lze opsat kružnici; d) má dvě osy souměrnosti (jsou jimi přímky, které obsahují střední příčky). Jestliže rovnoběžník má některou z uvedených čtyř vlastností, je pravoúhlý. Pravoúhlý rovnostranný rovnoběžník se nazývá čtverec. Má vlastnosti každého pravoúhlého rovnoběžníka (obdélníka) a navíc některé další, například: a) všechny strany i obě střední příčky čtverce jsou shodné; b) úhlopříčky čtverce stojí na sobě kolmo a půlí jeho vnitřní úhly; c) čtverci lze opsat i vepsat kružnici; d) čtverec má čtyři osy souměrnosti (jsou jimi přímky obsahující stření příčky a přímky obsahující úhlopříčky). Příklad 1.5: Sestrojte libovolný čtverec a obdélník. Sestrojte jejich kružnice opsané a vepsané, jejich osy souměrnosti a vyzkoušejte, zda platí výše uvedená pravidla. Řešení 1.5:
31
Obsah
Čtyřúhelník
Zápis konstrukce:
T
1.
čtverec ABCD
2.
S; S AC BD
3.
k1; k1 (S; |SC|) – kružnice opsaná čtverci ABCD
4.
k2; k2 (S; |ST|) - kružnice vepsaná čtverci ABCD
Zápis konstrukce: 1.
obdélník KLMN
2.
S; S je průnik středních příček
3.
k; k (S; |SN|) – kružnice opsaná obdélníku KLMN
2.4.4
Kosodélník
Kosodélník, který má všechny strany shodné, nazývá se kosočtverec; nemá-li sousední strany shodné, nazývá se kosodélník. Kosočtverec má všechny vlastnosti rovnoběžníka a kromě shodných stran ještě další vlastnosti, například: a) úhlopříčky kosočtverce jsou k sobě kolmé a půlí úhly, z nichž vycházejí; b) kosočtverec má právě dvě osy souměrnosti (jsou jimi přímky, které obsahují úhlopříčky); c) kosočtverci lze vepsat kružnici, jejím středem je průsečík úhlopříček. 32
Obsah
Čtyřúhelník Příklad 1.6: Sestrojte libovolný kosodélník KLMN a kosočtverec ABCD. Ověřte, zda platí výše uvedené věty. Sestrojte jejich osy souměrnosti. Řešení 1.6: Zápis konstrukce: 1.
AB; |AB| = libovolně
2.
p; p AB
3.
k; k (A; |AB|)
4.
D; D k p
5.
q; q AD, B q
6.
C; C q p
7.
kosočtverec ABCD
Zápis konstrukce: 1.
KL; |KL| = libovolně
2.
t; t KL
3.
N; N t
4.
s; s KN, L s
5.
M; M t s
6.
kosodélník KLMN
2.5 Lichoběžník Čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě strany různoběžné, nazývá se lichoběžník. Rovnoběžné strany mají vždy různé velikosti a jmenují se základny,
různoběžným
stranám
říkáme
ramena. Ramena lichoběžníka mohou, ale nemusí
být
shodné
úsečky.
Vzdálenost
přímek, v nichž leží základny, je výška lichoběžníka. Úsečka, jejímiž krajními body jsou středy ramen, nazývá se střední příčka lichoběžníka. Střední příčka lichoběžníka je rovnoběžná se základnami a její délka je rovna polovině součtu délek obou základen. Označíme-li základny z1, z2 a střední příčku p, platí: p = (z1 + z2)/2 Součet velikostí vnitřních úhlů přilehlých k ramenu lichoběžníka je 180o.
33
Obsah
Čtyřúhelník
Jestliže má lichoběžník jeden vnitřní úhel pravý, nazývá se pravoúhlý lichoběžník. Protože součet úhlů při ramenu je 180o, má pravoúhlý lichoběžník dva pravé úhly; jsou to vždy úhly přilehlé k témuž ramenu. Výška pravoúhlého lichoběžníka rovná se menšímu ramenu. Lichoběžník, jehož ramena jsou shodné úsečky, nazývá se rovnoramenný lichoběžník. Kromě shodných ramen má rovnoramenný lichoběžník tyto další vlastnosti: a) Úhly při téže základně jsou shodné. Při větší základně jsou úhly ostré, při menší základně jsou úhly tupé. b) Rovnoramenný lichoběžník má jednu osu souměrnosti; osou souměrnosti je společná osa obou základen. c) Úhlopříčky jsou shodné a protínají se na ose souměrnosti. d) Rovnoramennému lichoběžníku lze opsat kružnici. Jestliže má lichoběžník některou z uvedených vlastností, je rovnoramenný. Příklad 1.7: Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnou AB délky a = 10 cm a s úhlem DAB o velikosti 60o, jestliže úhlopříčka AC svírá s ramenem BC pravý úhel. Řešení 1.7: Zápis konstrukce: X
Y
34
1.
AB; |AB| = a = 10 cm
2.
; = BAX = 60o
3.
S; S je střed strany AB
4.
k; k (S; |AS|)
5.
; = ABY = 60o
6.
C; C k BY
7.
D; D k AX
8.
lichoběžník ABCD
Obsah
Čtyřúhelník
3. Konstrukce čtyřúhelníka Postup pro sestrojení čtyřúhelníka je následující: Úhlopříčka rozdělí čtyřúhelník na dva trojúhelníky, takže čtyřúhelník sestrojíme tak, že sestrojíme postupně oba tyto trojúhelníky. Trojúhelník, který sestrojujeme nejdříve, je určen třemi prvky. K sestrojení druhého trojúhelníka je třeba znát další dva prvky, neboť oba trojúhelníky mají jednu stranu společnou. Je tedy čtyřúhelník určen pěti vhodnými prvky. Příklad 1.8: Sestrojte čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: a = 4,5 cm, d = 3,8 cm, = 85o, = 78o, = 115o. Řešení 1.8: Y
Zápis konstrukce: Z
X
1.
AB; |AB| = a = 4,5 cm
2.
; = BAX = 85o
3.
; = ABY = 78o
4.
k; k (A; d = 3,8 cm)
5.
D; D k AX
6.
; = ADZ = 115o
7.
C; C DZ BY
8.
čtyřúhelník ABCD
Konstrukce rovnoběžníka - kosodélníka Rovnoběžník se skládá ze dvou shodných trojúhelníků. Můžeme-li sestrojit jeden z těchto trojúhelníků, můžeme sestrojit i druhý, proto rovnoběžník je určen třemi vhodnými prvky. Velikosti daných prvků musí také vyhovovat vlastnostem rovnoběžníka. Příklad 1.9: Sestrojte kosodélník ABCD, znáte-li délky úseček AB = 5 cm, BC = 6 cm a úhel = 60o. Řešení 1.9: Zápis konstrukce:
X
35
1.
AB; |AB| = 5 cm
2.
; = BAX = 60o
3.
p; p AX, B p
4.
k; k (B; |BC| = 6 cm)
5.
C; C k p
6.
q; q AB, C q
7.
D; D q AX
8.
kosodélník ABCD
Obsah
Čtyřúhelník
Konstrukce pravoúhlého rovnoběžníka - obdélníka Pravoúhlý rovnoběžník rozdělí jeho úhlopříčka na dva pravoúhlé trojúhelníky. Pravoúhlý trojúhelník je určen dvěma prvky, oba trojúhelníky jsou shodné, je tedy pravoúhlý rovnoběžník určen dvěma vhodnými prvky. Příklad 1.10: Sestrojte obdélník ABCD, znáte-li délky úseček AB = 4 cm, BC = 6 cm. Řešení 1.10: Zápis konstrukce: 12. AB; |AB| = 4 cm 13. p; p AB, B p 14. k; k (B; |BC|=6 cm) 15. C; C k p 16. q; q BC, C q 17. s; s AB, A s 18. D; D q s 19. obdélník ABCD
Konstrukce čtverce Čtverec je určen jediným vhodným prvkem, neboť se skládá ze dvou shodných pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků a pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník je určen jediným prvkem. Určovacím prvkem čtverce nemůže být úhel. Příklad 1.11: Sestrojte čtverec ABCD, je-li strana čtverce dána úsečkou AB = 5 cm. Řešení 1.11: Zápis konstrukce:
36
1.
AB; |AB| = 5 cm
2.
k; k (A; |AB|=5 cm)
3.
p; p AB, B p
4.
q; q AB, A q
5.
D; D k q
6.
s; s AD, D s
7.
C; C p s
8.
čtverec ABCD
Obsah
Čtyřúhelník Konstrukce kosočtverce Úhlopříčka rozdělí kosočtverec na dva shodné rovnoramenné trojúhelníky. Rovnoramenný trojúhelník je určen dvěma prvky, proto i kosočtverec je určen dvěma vhodnými prvky. Dané prvky musí odpovídat vlastnostem kosočtverce. Příklad 1.12: Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: a = 4,6 cm, = 60o. Řešení 1.12: Zápis konstrukce: 3.
AB; |AB| = a = 4,6 cm
4.
; = BAX = 60o
5.
p; p AX, B p
6.
k; k (A; a = 4,6 cm)
7.
D; D k AX
8.
q; q AB, D q
9.
C; C q p
10. kosočtverec ABCD
Konstrukce lichoběžníka Lichoběžník má dvě strany rovnoběžné a tato jeho vlastnost nahrazuje jeden určovací prvek, takže lichoběžník je určen čtyřmi vhodnými prvky, které vyhovují vlastnostem lichoběžníka. Lichoběžník rovnoramenný a lichoběžník pravoúhlý mají další speciální vlastnosti a jsou proto určeny jen třemi prvky. Příklad 1.13: Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno: a = 6,2 cm, b = 4 cm, e = 7,5 cm, f = 5 cm. Řešení 1.13: Zápis konstrukce:
37
1.
AB; |AB| = a = 6,2 cm
2.
k; k (B; b=4 cm)
3.
l; l (A; e=7,5 cm)
4.
C; C k l
5.
m; m (B; f=5 cm)
6.
p; p AB, C p
7.
D; D m p
8.
lichoběžník ABCD
Obsah
Čtyřúhelník
4. Příklady k procvičení Příklad 1.14: Konvexní čtyřúhelník pro který platí: |AB| = 10 cm, |CB| = 4 cm a délka příčky SaSc je 4 cm. Dále víme, že v tomto čtyřúhelníku jsou dva pravoúhlé trojúhelníky a to trojúhelník ABD s přeponou AB a ABC s přeponou AB. Příklad 1.15: Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno strany a, b, úhlopříčka e. Příklad 1.16: Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno strana a = 4,2 cm, úhlopříčky e = 5,4 cm, f.= 3,8 cm. Příklad 1.17: Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se stranami AB = 6 cm, BC = 3,5 cm, CD = 3 cm. Příklad 1.18: Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jehož všechny strany jsou navzájem různoběžné (různoběžník), je-li dáno a = 5 cm, b = 3 cm, e = 5 cm, f = 4,5 cm, = 60o. Příklad 1.19: Sestrojte rovnoramenný lichoběžník, jestliže je dána střední příčka p = 4 cm, výška v = 5 cm a rameno r = 6 cm. Příklad 1.20: Sestrojte lichoběžník se základnami AB = 8,5 cm, CD = 3,5 cm, znáte-li v = 3,5 cm a velkost úhlu ABC = 60o. Příklad 1.21: Sestrojte kosočtverec ABCD, jsou-li dány úhlopříčky e = 5,2 cm, f = 3,6 cm. Příklad 1.22: Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dána strana b = 5,4 cm, úhel = 120o. Příklad 1.23: Sestrojte deltoid ABCD, jsou-li dány strany a = 2,5 cm, b = 3,5 cm, úhel = 145o. Příklad 1.24: Sestrojte deltoid ABCD, jsou-li dány strany a = 6 cm, b = 3 cm a úhlopříčka f = 7 cm.
Obsah 38
