TUGAS KULIAH PSBW ATOM HIDROGEN. Oleh : Komang Suardika JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FMIPA

TUGAS KULIAH

PSBW ATOM HIDROGEN

Oleh :

Komang Suardika 0913021034

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA SINGAR AJ A 2012

1

PENERAPAN PSBW PADA ATOM HIDROGEN

I. FORMULASI UMUM Sebuah atom hidrogen terdiri dari sebuah proton, partikel yang bermuatan listrik +e, dan sebuah elektron, partikel yang bermuatan –e. Massa proton mp jauh lebih besar dari massa elektron me, mp= 1836 me. Sehingga dilakukan suatu penyederhanaan dengan mengasumsikan bahwa proton diam di pusat koordinat dan elektron bergerak mengelilinginya di bawah pengaruh medan dan gaya coulumb. Dalam keadaan ini kita pandang kedua partikel proton dan elektron berotasi di sekitar pusat massa bersama yang berada di dekat pusat proton. Namun, sebenarnya yang terjadi inti dan elektron berputar di sekeliling pusat massanya yang terletak sangat dekat dengan inti karena massa inti jauh lebih besar dari elektron.

Inti atom hidrogen

pusat massa Elektron

Sumbu

Gambar 1. Elektron dan inti sebuah atom hidrogen berputar pada pusat massa sistem Sistem seperti ini ekuivalen dengan partikel tunggal bermassa m’ yang berputar disekeliling partikel yang lebih berat. Dalam teori Bohr koreksi gerak proton yang dilakukan dengan mengganti massa m dengan massa reduksinya m’ yang dinyatakan seperti persamaan berikut: m' 

Mm ………………………………...……(1) mM

Dengan m menyatakan massa elektron, M massa inti, dan m’ menyatakan massa tereduksi dari elektron karena harganya lebih kecil dari m. Untuk memperhitungkan gerak inti dalam atom hidrogen, dapat dibayangkan bahwa elektron diganti oleh partikel yang bermassa m’ dan bermuatan –e. tingkat energi atomnya menjadi:

2

En  

m' e4  1   m'  E1        ………………….(2) 2 8 o h 2  n 2   m  n 2 

Gerak inti semua tingkat energi hidrogen berubah dengan fraksi: m' M 1836    0,99945 m M  m 1837

Karena proton dianggap diam, maka kontribusi energi sisten hanya diberikan oleh elektron yaitu energi kinetik sebesar:

K

1 2 m2v 2 P 2 mv   ……………………………………(3) 2 2m 2m

Energi potensial yang dimiliki elektron dalam atom hidrogen adalah energi potensial listrik sebesar:

ke2 V  r e2 V  ..............................................................................( 4) 4 0 r Maka energi total sistem adalah:

E  K V E

P2 e2  ........................................................................(5) 2m 4 0 r

Apabila kedua ruas pada persamaan (5) sama-sama dikalikan dengan fungsi gelombang (  ) akan menghasilkan persamaan:

E 

p2 e2   …………………………………………(6) 2m 4 0 r

 2 Karena: p    , maka persamaan (6) menjadi: x 2 2

2

2  2 e2 E     2m x 2 4 0 r 2  2 e2 E    .......................................................(7) 2m x 2 4 0 r Dalam tiga dimensi Persamaan Schrodinger menjadi: E  

Dimana i

2   2  2  2  e2  2  2  2    …………………(8) 2m  x y z  4 0 r

     j k  x y z

3

           i  j  k . i  j  k   .   2 y z   x y z   x

2 2 2    2 x 2 y 2 z 2

………………….………(9)

Dengan mensubstitusikan persamaan (9) ke persamaan (8) maka diperoleh:

E  

2 2 e2    ………………………………….(10) 2m 4 0 r

Sehingga Persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen (pada tiga dimensi) adalah:

  2 2  e2 E(r )     (r )   (r ) 2m 4 0 r

II. PENERAPAN UNTUK POTENSIAL BERSIMETRI BOLA Persamaan Schrodinger Bebas Waktu (PSBW) untuk elektron dalam atom hidrogen merupakan PSBW dalam tiga dimensi yang dirumuskan sebagai berikut:



   2 2   (r )  V (r ) (r )  E(r ) ………………………………….(11) 2m

Kedua ruas pada persamaan (11) sama-sama dikalikan 

2m ,sehingga diperoleh: 2

 2m    2m  2  (r )  2 V (r )  (r )   2 E (r )       2 m 2 m  2  (r )  2 V (r )  (r )  2 E (r )  0    2m    2  (r )  2 E  V (r )  (r )  0 ....................................................(12) 

Substitusikan persamaan (9) ke persamaan (12) maka:

   2   2   2  2m  2  2  2 E  V (r ) (r )  0.....................................(13) 2 x y z 

Karena V merupakan fungsi dari r dengan komponen r adalah x,y,z sehingga persamaan (11) dapat dinyatakan dalam koordinat polar berbentuk bola yaitu r , , yang didefinisikan seperti pada gambar berikut.

4

r θ



z x

y

yy x Gambar 2. Vektor posisi titik partikel P dalam koordinat polar berbentuk bola 





Vektor posisi partikel dinyatakan dengan komponen vektornya yaitu: r  x x  y y  z z . r merupakan panjang vektor jari-jari dari titik asal O ke titik P yang besarnya

r  x2  y2  z 2 dengan: x  r sin  cos  y  r sin  sin  z  r cos 

Persamaan Schrodinger untuk elektron dalam tiga dimensi yang harus dipakai untuk persoalan atom hidrogen adalan persamaan (13), sehingga dalam simetri bola menjadi:

   2   2   2  2m  2  2  2 E  V (r )  (r )  0 2 x y z     2  2  2 2m    2 E  V (r )  (r )  0 2 2 2  (r sin  cos  )  (r sin  cos  )  (r cos  )     2 2  2 2m    2 E  V (r )  (r )  0...........(14) 2 2 2 2 2 2 (sin  cos  ) r ( sin  cos  ) r (cos  ) r  Substitusikan besar V  

e2 4 0 r

ke persamaan (14) sehingga diperoleh:

5

 2  2 2 2m  e2 E     4 0 r (sin  cos  ) 2 r 2 ( sin  cos  ) 2 r 2 (cos  ) 2 r 2  2 

III. TRANSFORMASI

PERSAMAAN

  (r )  0 

SCHRODINGER

KE

DALAM

KOORDINAT BOLA Gambar berikut menunjukkan koordinat polar yang berbentuk bola di r , , suatu titik P z

z

ˆ

rˆ ˆ

P r

ˆ





y

y



x x

Gambar 3. Koordinat polar yang berbebtuk bola r , , suatu titik P

Karena sistem atom hidrogen mempunyai simetri bola, analisis menjadi lebih sederhana jika operator  2 dinyatakan dalam koordinat bola r , , . Berdasarkan gambar 3 di atas diperoleh bahwa:

cos  

x



   r sin 

x r sin  x  r sin  cos  ..........................................................................(15)

cos  

sin  

y



   r sin 

y r sin  y  r sin  sin  ...........................................................................(16)

sin  

z r z  r cos  .....................................................................................(17)

cos  

6

dengan r  x 2  y 2  z 2

Gerak dalam koordinat bola adalah: 









  x cos   y sin  

r   sin   z cos       r   x cos   y sin   sin   z cos    







r  x cos  sin   y sin  sin   z cos  









   sin (  90)  z cos (  90) 

   cos   z sin     x cos   y sin   cos   z sin  



















  x cos  cos   y sin  cos   z sin  

 tegak lurus dengan perputaran  , sehingga: 











  x cos(  90)  y sin(  90)     x cos   y sin  



    r d  r  ( x cos  sin   y sin  sin   z cos  )    x sin  sin   y cos  sin   d 



 r       x sin   y cos   sin     

r    sin  ..........................................................................................(18)  

  r d   ( x cos  sin   y sin  cos   z cos  )  d 

  r   x cos  cos   y sin  cos   z cos   

r    ......................................................................................................(19) 

7



      ( x cos  cos   y sin  cos   z cos  )   

    x sin  cos   y cos  cos   

    ( x sin   y cos  ) cos  .....................................................................( 20) 



      ( x cos  cos   y sin  cos   z cos  )   

     x cos  sin   y sin  cos   z cos   

       x cos  sin   y sin  cos   z cos      

    r .......................................................................................................(21) 



     ( x cos   y sin  )   

     x cos   y sin   

     ( x cos   y sin  )  

    .......................................................................................................(22)  

     ( x cos   y sin  )   

  0........................................................................................................(23)     (r ,  ,  ) d  

   dr  d  d ...................................................................(24) r   

r rr 



d r  d (r r ) 





d r  r dr  rd r

8





r r d r  r dr  r r ................................................................................(25)   



Dengan mensubstitusi persamaan (18) dan (19) pada persamaan (25), sehingga didapatkan: 







d r  r dr   r  d  r  sin d  

 

r 

   r .............................................................(26) Dengan mensubstitusikan persamaan (24) dan (25) ke persamaan (26), sehingga didapatkan:        dr  d  d .   r dr  r  d  r  sin d  r              dr  d  d    r dr  r  d  r  sin d ......................................(25)       r

Persamaan (25) harus dipisahkan dengan sparasi variabel akan menjadi:  dr r    r  r (kedua ruas dikali r ) r   r .............................................................................................................(26) r 

r dr 



r  d 

 d 

  (kedua ruas dikali  )   1    ...........................................................................................(27) r  

r  



r  sin d 

 d 

  (kedua ruas dikali  )   1    ........................................................................................(28) r sin   

r  sin  

9

Sehingga, operator del untuk koordinat bola dapat dirumuskan dengan persamaan sebagai berikut: 

r

 1   1    . r r  r sin  

 2  .

   1   1      1   1    r     2   r     r  r sin    r r  r sin     r     1 1    1 1  2  r r     r r r  r sin  r sin  

2 1   1 2   2  2  2 r r  r sin 2   2 2

1   2   1 r  2 2 r     r sin  1   2   1 2  2 r  2 r r  r  r sin  2 

    1 2  sin   2     r sin 2   2     1  2 ..............................(29)  sin   2     r sin 2   2

Dalam koordinat bola, PSBW (6) dapat ditulis sebagai berikut: 1   2   1     1  2  2m  e2  r  sin    E         0 ...(30)   r 2 sin 2   2  2  4 o r  r 2 r  r  r 2 sin   

Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan (25) dengan r 2 sin 2  , maka diperoleh:

1   2   1     1  2  2m  e2  r  sin    E         0   r 2 sin 2   2  2  4 o r  r 2 r  r  r 2 sin    2 r 2 sin 2   12 r  r 2 r   r 2 sin 2   2 1   sin     r 2 sin 2   2 1 2  2 r r sin  r sin       2m  e2   r sin   2  E    0 4 o r    2

2

atau sin 2 

  2        2  2mr 2 sin 2   r   sin   sin   r  r       2 2

 e2  E     0 .....(31) 4 o r  

Persamaan ini merupakan transformasi persamaan Schrodinger bebas waktu dalam sebuah atom hidrogen koordinat bola.

IV. SPARASI VARIABEL Persamaan transformasi persamaan Schrodinger bebas waktu dalam sebuah atom hidrogen koordinat bola:

10

  2        2  2mr 2 sin 2   e2  sin   r    sin   sin   E    0 r  r       2 2 4 o r   2

Merupakan persamaan differensial untuk fungsi gelombang  dari elektron dalam atom hidrogen. Jika fungsi  dinyatakan dengan:

r, ,    Rr    Maka:

 R dR     r r dr   d  R  R   d 2 2     d 2  R   R  ...........................................................................(32)  2  2 d 2 dengan mensubstitusikan persamaan (32) ke persamaan (31), maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut: sin 2 

  2 R       2  r    sin   sin R   R 2 r  r      

2mr 2 sin 2   e2   E   R  0 .....................................................................(33) 4 o r  2 

Jika persamaan (33) dibagi dengan R , diperoleh: sin 2  d  2 R  sin  d  d  1 d 2  2mr 2 sin 2   r   sin   R dr  r   d  d   d 2 2

Persamaan

 e2  E     0 .....(34) 4 o r  

1 d 2 dibawa ke ruas kanan, karena hanya persamaan ini yang terdiri dari  d 2

satu variabel. sin 2  d  2 R  sin  d  d  2mr 2 sin 2  r   sin   R dr  r   d  d  2

 e2  1 d 2 E    .....(35)   4 o r   d 2 

Ruas kanan dan ruas kiri pada persamaan (35) merupakan fungsi yang berbeda. Persamaan tersebut akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua ruas merupakan sebuah tetapan yang 2

sama, misalkan tetapan tersebut m1 yang besarnya adalah:



1 d 2 2  m1 ...............................................................................................(36) 2  d

Dengan mensubstitusikan persamaan (36) ke persamaan (35), dan memindahkan yang satu variabel ke ruas kanan maka diperoleh:

11

sin 2  d  2 R  2mr 2 sin 2   e2  sin  d  d  2 R   sin   ...........(37) E    m1   2 R dr  r  4 o r   d  d   

Jika kedua ruas pada persamaan (37) dibagi dengan sin 2  , maka diperoleh: 2 m1 1 d  2 R  2mr 2  e2  sin  d  d   r   2 E   sin   .........................(38)  2 R dr  r  4 o r  sin   d  d   

Ruas kanan dan kiri pada persamaan (38) merupakan fungsi yang berbeda. Persamaan tersebut akan benar jika dan hanya jika kedua ruas merupakan sebuah tetapan yang sama, misalkan tetapan tersebut adalah l (l  1) , sehingga diperoleh dua persamaan berikut. 1.

m2l 1 d  d    sin    l l  1 2 d  sin   sin  d 

2.

1 d  2 dR  2mr 2 r  2 R dr  dr  

...............................................(39)

 e2    E   l l  1 ...............................................(40)  4 0 r 

Persamaan (39) juga dapat diubah menjadi:

1 d 2   m2l 2  d d 2   m 2 l 2 d d 2  m 2 l  0.................................................................................(41) 2 d Persamaan (41) merupakan persamaan untuk 

m2l 1 d  d   Persamaan (39) yaitu:  sin    l l  1 dapat diubah menjadi: 2 sin   sin  d  d  ml2 1 d  d   sin    l l  1   sin  d  d  sin 2  ml2  1 d  d    sin     l l  1   sin  d  d   sin 2   ml2  1 d  d     sin   l l  1       0 .....................................................(42) sin  d  d   sin 2   Persamaan (42) merupakan persamaan untuk  Persamaan (40) yaitu:

1 d  2 dR  2mr 2 r  2 R dr  dr  

 e2    E   l l  1  4 0 r 

Dapat diubah dengan mengalikan persamaan di atas dengan R

r2

, maka diperoleh:

12

 l l  1 1 d  2 dR   2m  e 2  E   r    2   R  0 .....................................(43) 2 r dr  dr     4 0 r r2   Persamaan (43) menunjukkan aspek radial dari gerak elektron yaitu gerak yang mendekati atau menjauhi inti. Energi total elektron pada persamaan tersebut mencakup energi kinetik gerak orbital yang tidak berhubungan langsung dengan gerak radial. Oleh karena itu, energi kinetik elektron tersebut harus terdiri dari dua bagian yaitu: a. K radial yang ditimbulkan oleh gerak elektron mendekati atau menjauhi inti dan b. K orbital yang ditimbulkan oleh gerak elektron mengelilingi inti. Sedangkan energi potensial elektron adalah energi listrik seperti persamaan (4). Jadi energi total elektron adalah: E  K radial  K orbital  V E  K radial  K orbital 

e2 4 0 r

..................................................................(44)

Dengan mensubstitusikan persamaan (44) ke persamaan (43), maka diperoleh persamaan:

1 d  2 dR   2m  e 2 e 2  l (l  1)     K radial  K orbital  r  R  0 4 0 r  r 2 dr  dr    2  4 0 r r2  1 d  2 dR  2m   2 l (l  1)    r  K  K    orbital  radial  R  0 ……………………..(45) r 2 dr  dr   2  2mr 2 

Persamaan (45) tersebut benar, jika dan hanya jika harga : K orbital  persamaan

 2 l l  1  0 , sehingga 2mr 2

1 d  2 dR  2m   2 l (l  1)    r  K  K    orbital  radial  R  0 hanya sebagai fungsi r 2 dr  dr   2  2mr 2 

R(r) saja.

K orbital 

 2 l l  1  0 ……………………………………….(46) 2mr 2

K orbital 

 2 l l  1 …………………………………………..(47) 2mr 2

Energi kinetik orbit elektron dirumuskan dengan persamaan: K orbital 

1 2 mv orbital 2

………………………………………(48)

Persamaan (48) juga bisa dinyatakan dalam bentuk:

13

1 m 2 v 2 orbital r 2 2 m r2 (mvorbitalr ) 2 K orbital  ..............................................................................(49) 2mr 2 K orbital 

Di mana: 









L  r x p  r x(m v )  rmv sin 90 0  mvr 



Arah v searah dengan arah p





p

v r

r X



_

m

r r



L



r r

X

elektron

Gambar 4. Sehingga persamaan (49) dapat diubah ke dalam bentuk momentum sudut yaitu:

K orbital 

L2 …………………………………………………………(50) 2mr 2

Dengan mensubstitusikan persamaan (47) ke persamaan (50) diperoleh persamaan:

 2 l l  1 L2  2mr 2 2mr 2 L  l l  1 L   l l  1 .......................................................................(51) Jadi momentum sudut elektron terkuantisasi dalam bilangan kuantum orbital dan kekal. Dengan demikian, persamaan Schrödinger dapat menyempurnakan teori atom Bohr. Ada kejanggalan pada kuantisasi momentum sudut yang diperoleh Bohr.

Bohr

menyatakan kuantisasi tersebut dalam bilangan kauntum utama (n). Bilangan kuantum utama yang seharusnya digunakan untuk menyatakan tingkat tenaga digunakan untuk

14

menyatakan momentum sudut. Schrödinger dapat memperbaiki kejanggalan tersebut karena mampu menyatakan kuantisasi momentum sudut dalam bilangan kuantum orbital. Berdasarkan asas kesepadanan yang menyatakan bahwa akan terjadi kesepadanan antara fisika klasik dan fisika kuantum untuk limit bilangan kuantum yang besar maka kuantisasi momentum sudut Bohr akan sama dengan kuantisasi momentum sudut yang diperoleh Scrödinger untuk bilangan kuantum orbital yang maksimum yaitu harga l =n-1, maka persamaan (51) akan menjadi L

n  1n

L

n 2  n

Karena nilai l maksimum, maka otomatis nilai n sangat besar sehingga: n2  n  n2 L

n  2

L  n.............................................................................................(52)

Dengan demikian, terbukti bahwa untuk limit bilangan kuantum yang besar, teori kuantum mendekati teori klasik. Sehingga untuk n>1 akan memberikan hasil L  n yang mendekati nilai momentum sudut menurut model atom Bohr . Inilah yang disebut dengan asas perpadanan Bohr, yang menyatakan bahwa untuk bilangan kuantum utama yang besar, teori kuantum mendekati teori klasik.

V. BILANGAN KUANTUM Persamaan L  n menunjukkan kelemahan model atom Bohr yang mempostulatkan bahwa momentum sudut elektron terkuantisasi dalam bilangan kuantum utama. Akan tetapi bila harga l  n  1 , maka persamaan (52) akan menjadi: L

n  1n

L

n 2  n

Sehingga untuk n>>, n 2  n  n 2 maka akan memberikan hasil L  n 2   n. yang mendekati nilai momentum sudut menurut model atom Bohr, yang menyatakan bahwa untuk bilangan kuantum utama yang besar, teori kuantum mendekati teori klasik. Penyelesaiaan dari persamaan

d 2  m 2 l adalah: d 2

   e im ...................................................................(53)

15

Karena r , ,   harus bernilai tunggal maka   juga harus bernilai tunggal. Oleh sebab itu   haruslah memenuhi syarat   0    2  , sebab keduanya nilai  menyatakan titik yang sama. Berdasarkan syarat ini maka nilai m1 haruslah merupakan bilangan bulat (positif atau negatif) atau nol. Jadi m1  0,  1,  2,....... Selanjutnya persamaan

m2  1 d  d    sin    l l  1  2l   0 dapat diubah menjadi: sin  d  d   sin  

ml2  d 2 1 d      l l  1     0 d 2 tan  d  sin 2   ml2  d 2 1 d          0..................................................................(54) d 2 tan  d  sin 2   dimana:   l l  1 Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan ini maka persamaan diferensial tersebut diubah dengan mengubah variabel  menjadi  berdasarkan definisi:

  cos  Sehingga:

   F   dan

d d   1 2 ...............................................................(55) d d

Dengan menggunakan variabel pada persamaan (55) maka persamaan: ml2  d 2 1 d         0 d 2 tan  d  sin 2  

Dapat diubah menjadi:

d d

m12  2 dF  1    F  F  0 ...................................................................(56)  d  1   2 





Kita mulai dengan menggunakan m1=0, kemudian kita selesaikan untuk m1  0 . Untuk m1  0 , akan diperoleh:

d d

 2 dF   1   d   F  0 …………………………………………………………(57)  





Penyelesaian persamaan ini dinyatakan dengan deret pangkat F     a k  k , dengan k 0

koefisien a k memenuhi hubungan rekursi:

ak 2 

k k  1   a …………………………………………………(58) k  1k  2 k

16

Deret pangkat F     a k  k merupakan deret divergen untuk   1 . Karena   1 k 0

merupakan nilai yang mungkin dimiliki  , mengingat   cos  , maka deret ini harus dipaksa berhenti sampai titik tertentu, misalnya sampai suku berpangkat l. Jadi deret l

pangkat F     a k  k harus dibatasi menjadi polinom F     a k  k , dengan k 0

k 0

l  0,1, 2, 3,........ Penghentian tersebut dapat dilakukan dengan menetapkan nilai

 sedemikian rupa sehingga pembilang persamaan a k  2 

k k  1   a bernilai nol. k  1k  2 k

Berdasarkan hubungan rekursi tersebut, untuk menghentikan deret sampai suku berpangkat l, nilai  harus memenuhi hubungan   l l  1 dan a0 = 0 untuk l ganjil dan a1=0 untuk l genap untuk menjamin deret tidak divergen. l

F     a k  k , dengan l  0,1, 2, 3,........ dan a k  2  k 0

k k  1   a merupakan polinom k  1k  2 k

Legendre. Untuk mendapatkan polinom Legendre yang ternormalkan maka cara lainnya adalah dengan menggunakan rumus:

P1   





l 1 d  2  1 …………………………………………….(59) l l 2 l! d

Beberapa contoh polinomnya adalah:

Po    1 P1     P2   





1 3 2  1 2 1 P3    5 3  3 2



P4   







1 35 4  30 2  3 8 1 P5    63 5  70 3  15 8



Mengingat

d d



 2 dF   1   d   F  0 merupakan polinom Legendre berorde l, dengan l  





memenuhi hubungan   l l  1 , maka

d d

 2 dF   1   d   F  0 dapat diubah ke dalam  





bentuk:

17

d d

 2 dP1 ( )   l l  1P1 ( )  0 ……………………………………(60)  1 d  





d d

Untuk mendapatkan penyelesaian

m12  2 dF  1    F  F  0 untuk  d  1   2 





semua m1, kita perhatikan suatu polinom P1m1   berdasarkan rumus:



P1    1   2



m1

d m1 P1   1  l 1 2 m1 d 2 l!



m1

2



m1

2

l  m1

d l  m1 P1 d l  m1

1    ………………….(61) 2 2

dengan m1  1 dan merupakan penyelesaian dari: d d

m12  2 dF  1    F  F  0 ,  d  1   2 





Jika   l l  1 Sehingga P1 ( ) merupakan penyelesaian dari persamaan m

m12 d  2 dF  1  F  F  0 . d  d  1   2





Sebelumnya kita dapat l  0,1, 2, 3,........ dan untuk harga yang sangat besar terpenuhi hubungan l  n  1 , selanjutnya Dari persamaan:

m1  l ,

dan m1  0,  1,  2,.......

ml2  d 2 1 d         0 d 2 tan  d  sin 2  

Dengan memasukkan nilai m1 dengan –m1, ternyata persamaan tersebut tidak berubah, sehingga dari sini berarti harga m1 boleh negatif dan m1  l berubah menjadi m1  l atau  l  m1  l .

Berdasarkan paparan diatas kita peroleh selain bilangan kuantum utama n, ada l = 0, 1, 2, 3,….n-1 dan m1 yang nilainya  l  m1  l . Bilangan kuantum l biasa disebut dengan bilangan kuantum utama orbital dan m1 biasa disebut dengan bilangan kuantum magnetik. 1.

Bilangan Kuantum Magnetik Solusi persamaan

d 2 2  ml   0 adalah: 2 d

( )  Ae i ml  ………………………………………………………(62)

dengan A adalah konstanta konstanta integrasi. Telah diketahui bahwa salah satu persyaratan fungsi gelombang – jadi juga  merupakan komponen dari fungsi gelombang

18

lengkap  - yang harus dipenuhi ialah fungsi itu harus berharga tunggal pada setiap titik dalam ruang. Z

z P θ

r y

0 Φ x

Y

2

X Gambar 5. komponen dari fungsi gelombang lengkap dan harus berharga tunggal pada setiap titik dalam ruang. Dari gambar jelas terlihat bahwa  dan   2 mengidentifikasi bidang meridian. Jadi fungsi itu harus memenuhi:

( )  (  2 ) ............................................................................(63) atau:

Ae i ml   Ae i ml (2 ) ………………………………………………..(64) Persamaaan x berlaku bila ml ialah 0 atau bilangan bulat positif atau negatif (±1, ±2, ±3...). Konstanta ml dikenal sebagai bilangan kuantum magnetik atom hidrogen. 2. Bilangan Kuantum Orbital Persamaan differensial: 2 m  1 d  d    sin    l (l  1)  l2    0 ...................................................(65) sin  d  d   sin  

Untuk  = (  ) dapat dipecahkan jika konstanta l merupakan bilangan bulat yang lebih besar dari ml , harga mutlak dari ml. Persyaratan ini dapat dinyatakan sebagai syarat untuk ml dalam bentuk: ml = 0, ±1, ±2, ....., ±l konstanta l dikenal dengan bilangan kuantuk orbital.

19

3. Bilangan Kuantum Utama Pemecahan persamaan:

 l (l  1)  1 d  2 dR   2m  e 2    r   E     R  0 ..........................................(66) r 2 dr  dr    2  4 0 r r2   Untuk bagian radial R(r) fungsi gelombang atom hidrogen  memerlukan persyaratan tertentu yang harus dipenuhi. Persyaratan tersebut adalah E harus positif atau memiliki salah satu harga negatif E n (menyatakan bahwa elektronnya terikat sebagaiatom) ditentukan oleh:

En  

 1  E1  2 2 32  0   n  n me 2 2

2

2

dengan n  1,2,3....... ..............................(67)

Persamaan (67) sama dengan tingkat energi atom hidrogen yang diperoleh Bohr. Syarat lain yang harus dipenuhi dalam pemecahan persamaan (66) adalah bahwa n yang dikenal sebagai bilangan kuantum utama harus sama atau lebih besar dari l + 1. Persyaratan ini dapat dinyatakan sebagai persyaratan yang dikenal pada l dalam bentuk: l = 0,1,2,3.......,(n-1) dengan demikian dapat dibuat ketiga bilangan kuantum n, l, dan m bersama dengan harga yang diizinkan sebagai berikut: Bilangan kuantum utama

n = 1, 2, 3, .....

Bilangan kuantum orbital

l = 0, 1, 2,….., (n-1)

Bilangan kuantum magnetik

m = 0, ±1, ±2,....±l

Untuk menunjukkan hubungan kebergantungan R, , dan  pada bilanagn kuantum n, l, m tuliskan fungsi gelombang elektron sebagai berikut:   Rnl l ml  ml

Fungsi gelombang R, , dan  serta  diberikan pada tabel berikut untuk n =1, 2 dan 3.

20

Tabel Fungsi Gelombang Ternormalisasi Dari Atom Hidrogen Untuk N =1, 2 Dan 3

( )

( )

 (r ,  ,  )

n

l

m

1

0

0

1/ 2

1/ 2

e-r/ao 2/ao 3/2

e-r/ao (1/

2

0

0

1/ 2

1/ 2

e-r/2ao (2-r/a0)(1/2 2 ao 3/2)

e-r/2ao (1/4 2 x ao 3/2) (2-r/a0)

2

1

0

e±iØ/

6 cos  / 2

e-r/2ao r/ao (1/2 6 ao 3/2)

e-r/2ao cos  (1/4 2 x ao 3/2) r/a0

2

1

1

1/ 2

3 sin  / 2

e-r/2ao r/ao (1/2 6 ao 3/2)

e-r/2ao sin  e±iØ (1/8

3

0

0

1/ 2

e-r/3ao (27-18r/a0+2 r/a02)

e-r/3ao (1/81 3 x ao 3/2) (27-18r/a0+2

(2/81 3 ao 3/2)

r/a02)

e-r/3ao (4/81 6 ao 3/2) (6-r/a0)

e-r/3ao ( 2 /81

r/a0

r/a0 cos

e-r/3ao (4/81 6 ao 3/2) (6-r/a0)

e-r/3ao (1/81

r/a0

r/a0 cos

e-r/3ao (4/81 30 ao 3/2) r2/ a02

e-r/3ao (1/81 6 x ao 3/2) (6-r/a0)

3

3

3

1

1

2

2

1/ 2

0

1

e±iØ/

2

1/ 2

0

1/ 2

6 cos  / 2 3 sin  / 2 (3cos2  -1) 10 / 4

R(r)

x ao 3/2)

x ao 3/2) r/a0

x ao 3/2) (6-r/a0)

 x ao 3/2) (6-r/a0)

 sin  e±iØ

r2/a02 (3cos2  -1) 3

2

1

e±iØ/

2

sin  cos 

15 / 2

e-r/3ao (4/81 30 ao 3/2) r2/ a02

e-r/3ao (1/81 r2/a02 cos

3

2

2

e±iØ/

2

sin2 

15 / 4

e-r/3ao (4/81 30 ao 3/2) r2/ a02

x ao 3/2) (6-r/a0)

 sin  e±iØ

e-r/3ao (1/162

x ao 3/2) (6-r/a0)

r2/a02 sin2  e±2iØ

VI. Formulasi Kuantisasi Momentum Sudut Momentum sudut merupakan besaran vektor sehingga mempunyai besar dan arah. Dengan demikian formulasi kuantisasi momentum sudut dari elektron dalam atom hidrogen ada 2 yaitu kuantisasi besar momentum sudut, dan kuantisasi arah momentum sudut. a.

Formulasi kuantisasi besar momentum sudut Dari metode pemisahan variabel untuk persamaan Schr Ödinger Bebas Waktu yang

dinyatakan dalam koordinat bola untuk elektron dalam atom hidrogen diperoleh 3 persamaan differensial. Salah satu adalah persamaan untuk R sebagai berikut

21

 l (l  1)  1 d  2 dR   2m  e 2  E   r    2  R  0 2 r dr  dr     4 0 r r2  

(1)

Persamaan (1) menyatakan aspek radial dari gerak elektron yaitu gerak yang mendekati atau menjauhi inti. Namun energi total elektron mencakup energi kinetik gerak orbital yang tidak berhubungan langsung dengan gerak radial. Energi kinetik elektron tersebut terdiri dari dua bagian, yaitu: 1. Kradial yang ditimbulkan oleh gerak mendekati atau menjauhi inti, hal ini terjadi pada atom hidrogen. Di mana pada atom hidrogen terdapat lintasan-lintasan elektron yang dikenal dengan kulit, misal K, L, M, seperti pada gambar di bawah ini

v e K L M

Gambar 6 Elektron-elektron tersebut akan mengelilingi inti pada lintasan tertentu. Elektron tersebut bisa pindah lintasan dari kulit luar ke kulit dalam yang disebut bertransisi (mendekati inti) atau dari kulit dalam ke kulit luar yang disebut tereksitasi (menjauhi inti). 2. Korbital yang ditimbulkan oleh gerak mengelilingi inti. Energi potensial V dari elektron adalah energi listrik. Jadi energi total elektron adalah:

V 

e2

(2)

4 0 r

Sehingga energi total dari elektron adalah

E  K radial  K orbital  V E  K radial  K orbital 

e2 4 0 r

(3)

Dengan memasukan nilai dari energi total elektron yang dinyatakan dengan persamaan (3) pada persamaan differensial untuk R yang dinyatakan dengan persamaan (1) maka: 1 d  2 dR   2m  e 2 e 2  l (l  1)    r   K  K     R  0 radial orbital 4 0 r  r 2 dr  dr    2  4 0 r r2 

22

1 d  2 dR   2m l (l  1)  R0 r    2 K radial  K orbital   2 r dr  dr    r 2 

1 d  2 dR  2m   2 l (l  1)    r  K  K    orbital  radial R  0 r 2 dr  dr   2  2mr 2 

(4)

Jika persamaan differensial untuk R(r) hanya mengandung fungsi dari vektor radius (vektor jari-jari) r saja, maka

K orbital 

 2 l l  1 0 2mr 2

Sehingga diperoleh

K orbital 

 2 l l  1 2mr 2

(5)

Energi kinetik orbital dari elektron dirumuskan dengan persamaan K orbital 

1 2 mv orbital 2

(6)

Jika energi kinetik orbital elektron dinyatakan dalam momentum sudut elektron maka

K orbital 

K orbital 

2 m 2 vorbital r2

2mr 2

(mvorbitalr ) 2 2mr 2

(7)

Di mana momentum sudut elektron dapat ditentukan melalui gambar serta analisis berikut.

p Inti

r

Fe Fs

Gambar 7. di mana arah

r

Elektron

(jari-jari atom) cenderung keluar dan p (momentum) searah dengan

v (kecepatan). Sehingga : L  r p

Dari persamaan L  r  p di atas, kita bisa mengetahui bahwa arah L keluar (mendekati pembaca). Kemudian karena

r

tegak lurus dengan p , maka persamaan

23

L  r x p dengan p  mv dimana p adalah momentum linier L  r x mv L  mr x v 

Karena r  v , hal ini disebabkan karena kecepatan tangensial (kecepatan singgung) berimpit dengan garis singgung.

L  mrv sin 90 L  mrv dengan L  mvr , maka persamaan (7) dapat diubah ke dalam bentuk momentum sudut dengan momentum sudut elektron L dinyatakan dengan persamaan L  mvorbital r

yaitu:

L2 K orbital  2mr 2

(8)

Dari persamaan energi kinetik orbital menurut persamaan (5) dan (7) diperoleh

 2 l l  1 L2  2mr 2 2mr 2  2 l l  1  L2

L   l l  1

(9)

Persamaan (9) merupakan formulasi kuantisasi besar momentum sudut yang ditentukan oleh harga bilangan kuantum orbital, dimana harga bilangan kuantum orbital ini terbatas pada l = 0, 1, 2, . . . . . , (n-1). Jika diperhatikan persamaan (9) dan dibandingkan dengan perumusan klasik dari teori atom Bohr maka juga akan berlaku asas perpadanan dalam fisika yaitu perumusan fisika kuantum yang mendekati perumusan fisika klasik. Untuk bilangan kuantum orbital yang sangat besar yaitu harga l = n-1, maka persamaan (9) akan menjadi

L   l l  1 L   (n  1)n  1  1 L

n  1(n)

L   n2  n Karena nilai l sangat besar, maka otomatis nilai n juga sangat besar ( n 2  n ) sehingga n2  n  n2 L

n  2

24

L  n

(10)

Dengan demikian, persamaan Scrödinger dapat menyempurnakan teori atom Bohr. Namun, ada beberapa keganjilan dalam perumusan momentum sudut elektron yang terkuantisasi tersebut. 1. Keganjilan yang pertama berkaitan dengan bilangan kuantum (n) yang digunakan dalam perumusan. Bilangan kuantum utama (n) menyatakan energi total elektron (tingkat energi elektron).

Keganjilan ini, nantinya diperbaiki oleh persamaan

schrodinger yang mempunyai solusi yang menunjukkan bahwa besarnya momentum sudut orbital sebuah elektron dalam sebuah atom berelektron tunggal tidak memiliki nilai tunggal (nħ) seperti yang dipostulatkan Bohr. Sebagai gantinya untuk suatu bilangan kuantum utama n, terdapat n buah nilai yang mungkin dari momentum sudut yang dirumuskan dengan L  l l  1

dengan l adalah sebuah bilangan bulat yang disebut bilangan kuantum utama momentum sudut orbital bernilai 0,1,2,3,...,(n-1). Dengan demikian, elektron hanya memiliki momentum sudut tertentu yang ditentukan oleh persamaan di atas. 2. Keganjilan kedua berkaitan dengan penurunannya yang masih menggunakan kaidah Fisika klasik. Salah satu kelemahan dari teori atom Bohr adalah pada postulatnya yang masih berpijak pada pandangan klasik yaitu elektron yang mengitari proton dalam gaya Coulomb dan sesuai dengan Hukum Newton. Sehingga teori ini dapat dikatakan bersifat semi klasik. Disamping itu, teori atom Bohr dalam kondisi tertentu dapat berperilaku klasik, jika orbit elektron demikian besar sehingga dapat diukur secara langsung. Hal ini yang mengakibatkan efek kuantum akan tersembunyi. Menurut persamaan frekuensi foton yang dipancarkan dalam transisi berikut ini

v

Ei  E f h



E1  1 1   2 2 h  n f ni 

atom hidrogen yang jatuh dari tingkat energi ke ni ke tingkat energi nf memancarkan foton berfrekuensi

v

E1  1 1   h  n 2f ni2 

Misalkan n untuk bilangan kuantum awal ni dan n-p (dengan p = 1,2,3,…) untuk bilangan kuantum akhir nf, maka persamaan tersebut di atas menjadi

25

v

E1  1 1   E  2np  p 2       h  n  p 2 n 2  h  n 2 n  p 2 

Kemudian, bila ni dan nf keduanya sangat besar, maka n jauh lebih besar dari pada p, dan

2np  p 2  2np

n  p 2  n 2 Sehingga

v

 E1  2 p    h  n3 

Bila p=1, frekuensi radiasi v tepat sama dengan frekuensi perputaran f dari elektron orbital yaitu f 

E  2 me 4  2    1  3  . Harmonik dari frekuensi ini dipancarkan 2 3  3  h n  8 0 h  n 

ketika p = 2,3,4,…. Jadi, kedua gambaran kuantum dan gambaran klasik atom hidrogen membuat ramalan yang sama dalam limit bilangan kuantum yang sangat besar. Ini menunjukkan bahwa teori atom Bohr masih berperilaku klasik (semi klasik). 3. Keganjilan ketiga berkaitan dengan pelanggaran terhadap asas ketidakpastian Heisenberg (walaupun asas ketidakpastian dikemukakan satu dasawarsa setelah model atom ini diungkapkan). Hubungan ketidakpastian px ≥ħ berlaku untuk semua arah dalam ruang. Jika dipilih arah radial maka pr ≥ħ. Untuk sebuah elektron yang beregrak dalam orbit lingkaran maka nilai r-nya diketahui secara pasti sehingga Δr = 0. Jika bergerak dalam lingkaran, maka momentum (p) dapat pula diketahui secara pasti. Megetahui r dan p sekaligus secara pasti berarti melanggar asas ketidakpastian. Bohr menyatakan kuantisasi tersebut dalam bilangan kauntum utama (n). Bilangan kuantum utama yang seharusnya digunakan untuk menyatakan tingkat tenaga digunakan untuk menyatakan momentum sudut. Scrödinger dapat memperbaiki kejanggalan tersebut karena mampu menyatakan kuantisasi momentum sudut dalam bilangan kuantum orbital. Persamaan (10) merupakan persamaan momentum sudut berdasarkan teori klasik model atom Bohr. Dari sini terlihat adanya asas perpadanan perumusan fisika klasik dan fisika kuantum untuk kuantisasi besar momentum sudut untuk nilai bilangan kuantum orbital yang sangat besar yaitu l = n- 1.

b.

Formulasi kuantisasi arah momentum sudut

26

Momentum sudut merupakan besaran vektor sehingga selain mempunyai besar, momentum sudut juga mempunyai arah. Besarnya momentum sudut (L) ditentukan oleh bilangan kuantum orbital ( l ), sedangkan arah momentum sudut (L) ditentukan oleh bilangan kuantum magnetik ( ml ). Jadi, bilangan kuantum magnetik ( ml ) memberikan spesifikasi arah L dengan menentukan komponen L dalam arah medan magnet. Misalnya diambil arah medan magnetik sejajar dengan sumbu z seperti terlihat pada gambar di bawah.

Gambar 8. Aturan tangan kanan untuk momentum sudut Momentum sudut sebagai besaran vektor dinyatakan dengan persamaan    L  r xp    L  r xv m  L  v  r Gambar. 9 Jadi dari gambar. 1 terlihat bahwa jika arah gerak elektron sepanjang sumbu mendatar atau pada bidang meridian maka arah vektor L tegak lurus dengan arah gerak elektron yaitu mengarah ke atas atau sejajar dengan sumbu z. Spesifikasi arah dari momentum sudut elektron ini ditentukan oleh bilangan kuantum magnetik ml . Gejala ini sering diacu sebagai kunatisasi ruang dari momentum sudut elektron. Kuantisasi arah yang dibahas menjadi kuantisasi ruang karena elektron bergerak dalam 3 dimensi yaitu yang dinyatakan dengan koordinat bola. Berikut ini disajikan dua contoh kuantisasi ruang untuk nilai bilangan kuantum orbital (l ) yang berbeda. 1. Untuk l = 2

27

a. Jumlah orientasi ruang yang mungkin untuk l  2 adalah

2l  1  22  1  5 b. Besar momentum sudutnya adalah L   l l  1 L   22  1 L 6 L  6

c. Untuk l  2 , ml  0,1,2 ml  2  Lz  ml   2 ml  1  Lz  ml   

ml  0  Lz  ml   0 ml  1  Lz  ml    ml  2  Lz  ml   2

d. Gambar orientasi ruangnya adalah

Lz

l2

2

ml  2 

0

ml  1 ml  0

L   l l  1  6

ml  1 

ml  2

 2

Gambar. (Kuantisasi ruang momentum sudut. Di sini bilangan kuantum orbital l=2 sehingga terdapat 2l + 1 = 5 harga yang mungkin untuk bilangan kuantum magnetic ml dengan masing-masing harga bersesuaian dengan orientasi yang berbeda relative terhadap sumbu z)

28

2. Untuk l = 3 a. Jumlah orientasi ruang yang mungkin untuk l  3 adalah

2l  1  23  1  7 b. Besar momentum sudutnya adalah L   l l  1 L   33  1 L   12 L  2 3

c. Untuk l  3 , ml  0,1,2,3 ml  3  Lz  ml   3 ml  2  Lz  ml   2 ml  1  Lz  ml   

ml  0  Lz  ml   0 ml  1  Lz  ml    ml  2  Lz  ml   2 ml  3  Lz  ml   3

d. Gambar orientasi ruangnya adalah: Lz ml  3

3

2

ml  2

L L



ml  1

L L

0

ml  0

L 

 2  3

ml  1

L

ml  2

L

ml  3

Gambar. Orientasi ruang untuk l = 3

29

Sebuah atom yang mempunyai karakteristik harga ml akan mengambil orientasi momentum sudut L yang bersesuaian relatif terhadap medan magnetic eksternal dalam suatu kejadian dalam medan itu sendiri. Terlihat bahwa L tidak dapat tepat terarah sejajar dengan B, karena Lz selalu lebih kecil dari besar momentum sudut total L   l l  1 . Jadi kuantisasi ruang momentum sudut elektron ditentukan oleh bilangan kuantum magnetik ml yang akan memberi spesifikasi arah L dengan menentukan komponen L dalam arah medan. Jika kita ambil arah medan-magnetik dalam sumbu z, komposisi L dalam arah itu diberikan dengan persamaan Lz  ml  .

VII. Efek Zeman Di lain pihak, teori yang dihasilkan dari persamaan Schrödinger telah mampu menjelaskan teori kuantisasi momentum sudut. Di mana menurut teori ini, dalam medan magnetik energi keadaan atomik tertentu bergantung pada harga ml seperti juga pada n. Keadaan dengan bilangan kuantum total n terpecah menuju beberapa sub-keadaan jika atom itu berada dalam medan magnetik, dan energinya bisa sedikit lebih besar atau lebih kecil dari keadaan tanpa medan magnetik. Gejala itu yang menyebabkan “terpecahnya” garis spektrum individual menjadi garis-garis terpisah jika atom dipancarkan ke dalam medan magnetik, dengan jarak garis bergantung dari besar medan itu. Terpecahnya garis spektra oleh medan magnetik atau suatu gejala di mana suatu tingkat energi akan terpecah menjadi beberapa subtingkat energi jika atom hidrogen ditempatkan dalam medan magnet luar, gejala inilah yang disebut dengan Efek Zeman. Efek Zeman ada dua yaitu efek zeeman normal (nomalous zeeman effect) dan efek zeeman tidak normal (anomalous zeeman effect). Pada efek Zeeman normal, sebuah garis spektrum terpisah menjadi tiga komponen dan ini hanya terjadi pada atom-atom yang tidak memiliki spin. Namun tentu saja semua elektron memiliki spin, tetapi dalam beberapa atom

tertentu

dengan

elektron

banyak,

spin-spinnya

berpasangan

dan

saling

menghapuskan, sehingga atom berperilaku sebagai yang tidak berspin. Namun dalam alam kita, di mana elektron memiliki spin, kita seharusnya tak hanya meninjau efek momen magnet orbital tetapi juga momen magnet spin sehingga pola pemisahan tingkat energi yang dihasilkan jauh lebih rumit, garis-garis spektrum dapat terpisah menjadi lebih daripada tiga komponen. Kasus inilah yang dikenal sebagai efek Zeeman tidak normal (anomalous zeeman effect).

30

. Dalam medan magnetik eksternal B, sebuah dwikutub magnetik mempunyai energi potensial Vm yang bergantung dari besar momen magnetik  dan orientasi momen ini terhadap medan seperti gambar di bawah ini.



B

θ

Gambar. Sebuah dwikutub magnetic bermomen , membentuk sudut θ relatif terhadap medan magnetik B. Torka  pada sebuah dwikutub magnetik dalam sebuah medan magnetik berkerapatan fluks B adalah   B sin  . Di mana θ menyatakan sudut antara  dan B. Torka ini maksimum bila dwikutubnya tegak lurus medan, dan nol jika sejajar atau anti-sejajar terhadapnya. Untuk menghitung energi potensial Vm, mula-mula kita harus membuat konfigurasi acuan, di sini Vm berharga nol menurut definisi (karena hanya perubahan energi potensial saja yang dapat ditentukan secara eksperimental, pilihan konfigurasi acuan dapat diambil sembarang). Untuk memudahkan kita ambil Vm = 0 jika θ = 900, yaitu jika  tegak lurus B. Energi potensial pada orientasi yang lain dari  sama dengan kerja eksternal yang harus dilakukan untuk memutar dwikutub dari θ0 = 900 ke sudut θ yang menentukan orientasinya sehingga: 0

Vm    d ………………………………………………………………(1) 90

Karena:   B sin  , maka persamaan (1) menjadi: 0

Vm    d 90 0

Vm   B sin  d 90 0

Vm  B  sin  d 90

Vm   B cos  ..........................................................................................(2)

31

Jika  searah dengan B, maka Vm = -B, merupakan harga minimum. Hal ini merupakan akibat wajar dari kenyataan bahwa dwi-kutub magnetik cendrung untuk menjajarkan diri dengan medan magnetik eksternal Karena gerak magnetik elektron orbital dalam sebuah atom hidrogen bergantung dari momentum sudut L, besar dan arah L terhadap medan menentukan berapa besar sumbangan magnetik pada energi total atom jika terletak dalam medan magnetik Momen magnetik sebuah sosok arus (current loop) adalah   I A , dengan I menyatakan arus dan A menyatakan luas yang dilingkupinya. Sebuah elektron yang melakukan v putaran/s dalam orbit lingkaran berjari-jari r setara dengan arus –e (karena muatan elektron adalah –e) dan momen magnetiknya adalah:

  e r 2 …………………………………………………………………(3) Kelajuan linear v dari elektron itu adalah 2 r , sehingga momentum sudutnya menjadi: L  mvr  2mr 2 ……………………………………………………………(4)

Dengan membandingkan rumus momen magnetis  dengan momentum sudut L maka diperoleh:



er 2 L 2mr 2  e  L 2m  e      L...................................................................................................(5)  2m  

Persamaan (5) untuk elektron orbital ditunjukkan seperti berikut:

 e  L  2m  L

  μ = IA B

B

luas = A

•-e μ

μ

(a)

v

Gambar 5

(b)

32

Energi potensial magnetik sebuah atom dalam medan magnetik adalah

 e  Vm    LB cos   2m 

.......................

(1)

dan dari gambar di atas, kita lihat bahwa sudut  antara L dan arah z hanya boleh berharga tertentu yang ditetapkan oleh hubungan ,

cos  

ml

l l  1

sedangkan harga L yang diizinkan adalah L   l l  1

......................

(2)

..................

(3)

sehingga, untuk mendapatkan energi magnetik sebuah atom yang mempuyai bilangan kuantum magnetik ml jika atom itu terletak dalam medan magnetik B, maka kita masukkan

 e  rumus cos θ dan L, ke dalam Vm    LB cos  , maka akan diperoleh:  2m  V  ml (

Besaran e

2m

e ) B  ml  B B 2m

..........................................

(4)

dikenal sebagai magneton Bohr dengan lambang B = 9,27 x 10-24 J/T. Bila

atom hidrogen tadi tidak dikenakan pengaruh medan magnet, maka pada tingkat 2p akan memiliki energi sebesar E0. Sedangkan apabila atom hidrogen tersebut ditempatkan dalam pengaruh medan magnet, maka energi pada tingkat 2p akan sebesar Eo + V = E0 + ml B B. Ini berarti bahwa terdapat tiga macam energi pada tingkat itu yang tergantung pada nilai ml. ml = +1 l = 1; ml = 0, 1 Tanpa medan

B B B B

ml = 0 ml = -1

Dengan medan Gambar. Pisahan zeman dari tingkat l = 1 dalam medan magnet luar. (efek momentum sudut spin elektron diabaikan). Energi dalam suatu medan magnet berbeda untuk nilai ml yang berbeda. JIka atom dalam transisinya ke tingkat dasar memancarkan sebuah foton. Apabila medan magnet dihidupkan, maka ada tiga foton yang dipancarkan dan masing-masing foton memiliki energi yang berbeda. Panjang gelombang foton yang bersangkutan dapat dihitung dari hubungan E  hc .



33

Jika ditinjau dari perubahan kecil dalam energi E, di mana E sama dengan BB yang mempengaruhi panjang gelombang. Dengan mendiferensialkan, diperoleh

dE 

 hc

2

d

…………………………………(5)

dan mengambil nilai mutlak diferensial kecilnya, maka diperoleh

 

2 hc

dE

…………………………………… (6)

Karena energi foton ada tiga maka terjadi tiga perubahan panjang gelombang foton yang dihasilkan.Gambar di bawah ini melukiskan ketiga transisi ini dan memperlihatkan panjang gelombang foton yang dipancarkan.

Tanpa medan

Dengan medan ml = +1 ml = 0

2p

ml = -1

E

E - B B

E

λ-Δλ

λ

E + B B

1s

λ

λ+Δλ

Gambar. Efek Zeeman normal. Apabila medannya dihidupkan, panjang gelombang tunggal λ terpisah menjadi tiga panjang gelombang.

Gambar di atas adalah salah satu contoh dari efek Zeeman yaitu pemisahan sebuah panjang gelombang menjadi beberapa panjang gelombang bila dikenakan medan magnet.

34

VIII. Transisi Radiatif Sesuai dengan model atom Bohr, elektron dibayangkan berputar mengelilingi inti dengan lintasan melingkar. Teori kuantum atom hidrogen memodifikasi ramalan langsung Bohr dengan 2 cara yaitu. 1. Tidak terdapat harga r,  ,  tertentu. Di sini hanya ada peluang relative untuk mendapatkan elektron pada berbagai tempat. Ketentuan ini ditimbulkan oleh sifat gelombang elektron, 2. Kita tidak bisa membayangkan elektron mengelilingi inti dalam arti konvensional. Karena kerapatan peluang 

2

bebas waktu dan dapat berubah banyak dari suaru

tempat ke tempat lain. Fungsi gelombang elektron  berubah terhadap bila bilangan kuantum total dan orbital mempunyai harga n dan l :

  R R  Rnl (r )

dengan

menunjukkan bagaimana  berubah terhadap r bila bilangan kuantum total dan orbital mempunyai harga n dan l :    ml ( )

menunjukkan bagaimana  berubah terhadap  bila bilangan kuantum orbital dan magnetik berharga l dan ml :    ml ( )

menunjukkan bagaimana  berubah terhadap  bila bilangan kuantum megnetiknya ml, maka kerapatan peluang 

2

dapat ditulis sebagai berikut :

 R R   2

2

2

2

2

Kuadrat setiap fungsi yang kompleks diganti dengan hasil kali fungsi itu dengan konjugate kompleknya. Fungsi gelombang zimuth diberikan oleh :

( )  Ae iml Kerapatan peluang azimut  adalah : 2

   *   A2 e  ml e iml  A2 e 0  A2 2

sehingga peluang untuk mendapatkan elektron pada sudut azimut tertentu  merupakan konstanta yang tidak bergantung dari semua  seperti pada sudut  lain. Kerapatan

35

peluang elektron pada titik r,  ,  berbanding lurus dengan  , tetapi peluang yang 2

sebenarnya untuk mendapatkannya dalam unsur infinetisimal dv adalah 

2

dv. Pada

koordinat polar berbentuk bola: dv = r2 sin  dr d  d  Karena  dan  adalah fungsi ternormalisasi, maka peluang yang sebenarnya P(r)dr untuk mendapatkan elektron atom hidrogen pada suatu tempat antara r dan r + dr dari inti adalah : 2

P(r) dr = r R dr 2



 0

2

2

sin d   d 2

0

2

= r2 R dr Fungsi  berubah terhadap sudut zenit  untuk setiap bilangan kuantum l dan ml kecuali untuk l = ml = 0, yuang menyatakan keadaan s. Karena  kerapatan peluang elektron 

2

2

juga konstan,

berharga sama untuk suatu harga r tertentu dalam setiap

arah. Namun, elektron pada keadaan lain mempunyai kebergantungan terhadap sudut, kadang-kadang dalam bentuk yang sangat rumit. Spektrum atom terjadi karena transisi elektron dari satu tingkat energi ke tingkat energi yang lain. Transisi ini ternyata tidak bisa terjadi secara sembarang, namun mengikuti suatu aturan tertentu. Misalnya transisi elektron terjadi dari suatu keadaan awal dengan fungsi gelombang  n ke keadaan akhir dengan fungsi gelombang  m sehingga memancarkan radiasi, sehingga peluang terjadinya transisi tersebut harus memenuhi syarat 

bahwa :

 x  n

m

dx tidak sama dengan nol, karena intensitas radiasi berbanding lurus



dengan besaran tersebut jika hasil integral besaran di atas mempunyai nilai tertentu (berhingga) disebut transisi yang diperbolehkan, sedangkan jika hasilnya sama dengan nol disebut transaksi yang dilarang, dan ini sangat mustahil terjadi. Untuk kasus atom hidrogen, keadaan awal dan keadaan akhir elektron dicirikan oleh bilangan kuantum. Jika keadaan awal elektron dicirikan oleh bilangan kuantum n, l, dan ml, dan untuk keadan akhir dicirikan oleh n’, l’, ml’, dan koordinat u merupakan salah satu dari koordinat x, y, z. Maka persyaratan transisi yang diperbolehkan menjadi 

 u

n ,l , ml

 * n ,l , m  0 l



36

Fungsi gelombang  n,l ,ml untuk atom hidrogen sudah diketahui. Jika fungsi 

gelombang ini disubtitusikan ke persamaan

 u

n ,l , ml

 *n,l ,m  0 , maka diperoleh bahwa l



transisi yang dapat terjadi adalah yang memiliki perubahan bilangan kuantum orbital +1 atau -1 dan bilangan kuantum orbital tetap atau berubah dengan +1 atau -1. dengan kata lain transisi terjadi jika memenuhi persyaratan :

l  1 ml  0,1 Jadi syarat transisi tersebut yang dikenal dengan aturan seleksi.

IX.

Sistem Periodik Unsur akan memiliki sifat kimiawi dan sifat fisis yang serupa pada selang yang

teratur, jika unsur-unsur dirunut menurut bilangan atomiknya,. Pengamatan tenang hal tersebut secara empiris disebut dengan hukum Periodik (hukum berkala) yang pertama kali dirumuskan oleh Dimetri Mendeleev. Pengaturan secara tabel dari unsur-unsur tersebut secara periodik seperti tabel di bawah ini. Tabel Daftar Berkala Unsur

Mendeleev mengemukakan, bahwa hukum periodik, bersama dengan pengungkapan analisis spektrum telah memberi sumbangan untuk membangkitkan harapan yang berlangsung seumur-hidup yaitu menemukan, jika tidak dengan eksperimen, sedikitnya melalui usaha mental, untuk mengetahui materi primer.

37

Unsur dalam suatu group memiliki sifat serupa Unsur yang memiliki sifat yang serupa membentuk group (kumpulan) yang ditunjukkan dalam kolom vertikal seperti gambar 5. Jadi group I terdiri dari hidrogen ditambah dengan logam alkali, semuanya sangat aktif secara kimiawi dan semuanya memiliki valensi +1. Group VII terdiri dari halogen, mudah menguap, non logam yang aktif yang memiliki valensi -1 dan membentuk molekul dwi-atom dalam keadaan gas. Group VIII terdiri senyawa dengan unsur lain, dan atomnya tidak bergabung menjadi molekul seperti atom-atom gas lain.

Gambar. Unsur dalam suatu group pada tabel periodik memiliki sifat yang sama, sedangkan unsur dalam suatu periode memiliki sifat berbeda. Unsur dalam suatu periode memiliki sifat yang berbeda Pertama dari tiga periode yang dalam tingkat seterusnya dengan anggotanya bersekutu yang sebagian besar tertutup dihubungkan dengan unsur-unsur dari periode yang panjang di bawah ini. Sebagian besar unsur-unsur adalah logam seperti gambar 8.

Gambar. Mayoritas unsur merupakan logam Melintang pada masing-masing periode terjadi transisi tunak dari logam aktif melewati logam kurang aktif dan non logam aktif lemah sehingga non logam sangat aktif dan akhirnya gas mulia. Dalam masing-masing kolom terdapat perubahan sifat secara teratur, 38

tetapi tidak sejelas dalam masing-masing periode. Sebagai contoh bertambahnya nomor atomik dalam logam alkali disertai dengan aktivitas kimiawi yang lebih besar, sedangkan hal sebaliknya berlaku untuk halogen. Unsur-unsur lantanide, dan aktinide Deretan unsur transisi muncul setelah setiap periode sesudah yang ketiga antara unsur golongan II dan golongan III seperti gambar di bawah ini

. Unsur transisi ialah logam dengan sifat kimiawi yang hampir bersamaan satu dengan yang lain tetapi tidak terdapat keserupaan yang menonjol seperti pada unsur dalam group utama. Limabelas unsur transisi dalam periode 6 hampir tidak bisa dibedakan sifatsifatnya, dan dikenal sebagai unsur lantanide (atau tanah jarang). Group yang serupa itu untuk logam yang hubungannya dekat ialah aktanide didapatkan dalam periode 7. Atom logam alkali mempunyai energi ionisasi rendah Sebuah atom dari setiap logam alkali dalam group I mempunyai elektron tunggal pada kulit terluarnya. Elektron seperti itu letaknya relatif jauh dari inti dan terperisai oleh ektron dalam, sehingga muatan inti efektif yang dilihatnya hanya alih-alih. Jadi hanya kerja relatif kecil yang diperlukan untuk melepaskan elektron dari atom seperti itu, sehingga logam alkali mudah menjadi ion positif dan bervalensi +1.

39

Gambar energi ionisasi beberapa unsur Lebih besar atom itu, lebih jauh elektron terluarnya dari inti, dan lebih lemah gaya yang mengikatnya dalam atom itu. Bertambahnya energi ionisasi kiri ke kanan sepanjang setiap periode dapat diterangkan karena bertambahnya muatan inti, sedangkan jumlah elektron perisai dalamnya tetap konstan. Dalam periode 2, misalnya, elektron luar dalam atom litium diikat oleh oleh muatan efektif +e, sedangkan masing-masing elektron luar pada berilium, boron, karbon dan sebagainya diikat oleh muatan efektif +2e, +3e, +4e. Atom halogen cenderung mengambil elektronnya Pada ekstrim yang lain dari atom logam alkali yang cenderung untuk kehilangan elektron terluarnya; atom halogen yang muatan intinya terperisai tak sempurna cenderung untuk melengkapi subkulitnya dengan mengambil satu elektron tambahan. Jadi atom halogen mudah menjadi ion negatif dan bervalensi -1. Ukuran atomik Walaupun, secara ketat, sebuah atom dari satu jenis tertentu mempunyai ukuran tertentu, dari pandangan praktis ukuran hampir tertentu dapat dipakai untuk atom itu berdasarkan jarak interatomik yang teramati dalam kisi kristal yang tetap (closely packed). Unsur-unsur transisi Unsur transisi bercirikan pada energi ikat yang lebih kuat untuk elektron s dibandingkan dengan untuk elektron d atau f dari sebuah atom kompleks. Unsur pertama yang menunjukkan sifat ini ialah kalium yang elektron terluarnya terdapat pada subkeadaan 4s sebagai ganti 3d. Perbedaan energi ikat antara elektron 3d dan 4s tidak begitu besar, seperti terlihat pada konfigurasi kromium dan tembaga. Pada kedua unsur itu tambahan elektron 3d terdapat sehingga timbul kekosongan dalam subkulit 4s.

40

Lantanide dan aktinide Urutan isi subkulit elektron terlohat seperti di bawah ini: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d10, 4p6, 5s2, 4d10, 5p6, 6s2, 4f14, 5d10, 7s2, 6d10, 5f14 Kesamaan yang mencolok dalam perilaku kimiawi antara lantanide dan aktinide mudah difahami berdasarkan urutan itu. Semua lantanide memiliki konfigurasi 5s2 5p6 6s2 yang sama tetapi subkulit 4f tidak lengkap. Tamabahan elektron 4f hampir tidak ada efeknya pada sifat kimiawi unsur lantanide yang hanya ditentukan oleh elektron luarnya. Begitu juga, semua aktinide mempunyai konfigurasi 6s2 6p6 7s2, dan hanya berbeda dalam jumlah elektron 5f dan 6d saja. Gas mulia yang berat tidak memiliki kulit tertutup Subkulit tertutup memiliki momentum sudut orbital total dan spin total adalah nol, dan distribusi muatan efektifnya mempunyai simetri sempurna. Elektron dalam kulit tertutup semuanya terikat kuat, hal ini disebabkan oleh muatan inti positif lebih besar dibandingkan dengan muatan negatif elektron perisai yang di dalam. Sebuah atom yang mengandung kulit tertutup tidak memiliki momen dwi-kutub, sehingga atom itu menarik elektron lain dan elektron-elektronnya tidak mudah terlepas. Atom semacam itu dapat kita duga bersifat kimiawi pasif, seperti pada gas mulia dan gas mulia memang ternyata semuanya mempunyai konfigurasi elektron kulit tertutup atau yang setara dengan itu. Ketiadaan kulit terluar yang penuh pada gas mulia yang berat menyebabkan ketakteraturan energi ikat elektron atomik. Seperti halnya Helium (Z = 2) dan neon (Z = 10) mengandung berturutan kulit K dan L tertutup, tetapi argon (Z = 18) hanya mengandung 8 elektron pada kulit M, bersesuaian dengan subkulit 3s dan 3p tertutup. Sebab subkulit 3d yang lain tidak berisi dengan elektron 4s yang sederhana mengikat energi yang lebih tinggi elektron 3d, dan telah dikatakan bahwa subkulit 4s terisi lebih dahulu dalam kalium dan kalsium. Ketika subkulit 3d unsur transisi yang lebih berat diisi berturut-turut, masih ada satu atau dua elektron 4s terluar yang memungkinkan aktivitas kimiawi. Sebelum kripton (Z = 36) belum terdapat gas mulia lagi, dan unsur-unsur dalam daerah ini memiliki kulit terluar yang tidak lengkap, hanya subkulit 4s dan 4p saja yang terisi. Setelah kripton muncul rubidium (Z = 37), subkulit 4d dan 4f-nya dilewati (tidak diisi), langsung ke elektron 5s. Gas mulia selanjutnya adalah xenon (54), yang mengisi subkulit 4d, 5s, dan 5p, tetapi sekarang subkulit dalam 4f kosong, demikian 5d dan 5f.

41

Sifat-sifat unsur berdasarkan teori atom antara lain: a.

Energi ionisasi Energi ionisasi adalah energi yang diperlukan untuk membebaskan sebuah elektron dari inti atomnya. Besarnya energi ionisasi dipengaruhi oleh muatan inti dan jari-jari atom. Semakin besar muatan inti semakin besar gaya tarik inti terhadap elektron sehngga semakin besar energi ionisasinya. Sebaliknya, semakin besar jarijari atom semakin jauh jarak antara elektron terluar dari inti. Akibatnya, gaya tarik inti terhadap elektron semakin kecil sehingga energi ionisasi semakin kecil. Pada setiap periode, logam alkali mempunyai pot ensial ionisasi terendah. Semakin ke kanan energi ionisasi, semakin bertambah sesuai dengan penambahan nomor atom yang berarti juga penambahan muatan inti. Kenaikan energi ionisasi mencapai puncak pada gas mulia. Penyusutan jari-jari atom dalam urutan dari kiri ke kanan juga mengambil bagian dalam menentukan besarnya energi ionisasi.

b.

Jari-jari atom Apabila sebuah atom melepaskan atau menerima elektron maka akan terbentuk ion positif atau negatif. Perubahan dari atom menjadi ion positif, mengurangi gayatolak antar elektron dan gaya tarik inti atom terhadap elektron pada kulit atom semakin kuat, sehingga jari-jari menjadi berkurang (jari-jari atom>jari-jari ion positif). Sebaliknya pada perubahan atom menjadi ion negatif, kenaikan jumlah elektron mengakibatkan semakin besarnya gaya tolak antar elektron, gaya tarik inti atom terhadap elektron pada kulit atom semakin lemah, sehingga jari-jari bertambah (jari-jari atom<jari-jari ion negatif). Semakin besar muatan positif semakin kecil jarijari ion,sedangkan semakin besar muatan negatif semakin besar jari-jari ion. Sesuai dengan sistem periodik unsur dinyatakan sebagai berikut. a.

Dari kiri ke kanan dalam satu periode jari-jari semakin kecil. Hal ini sesuai dengan bertambahnya muatan inti sehingga tarikan terhadap elektron semakin kuat.

b.

Dalam satu golongan dari atas ke bawah jari-jari makin bertambah besar, meskipun muatan inti bertambah, muatan inti efektif oleh pengaruh elektron hampir tida berubah karena sekatan kulit terdalam yang terisi penuh. Jika pengisian kulit dilanjutkan maka, elektron terluar makin jauh dari inti.

c.

Resistivitas elektrik Apabila antara kedua ujung bahan makro dikenakan suatu beda potensial, maka aliran elektrik akan mengalir di dalamnya. Arus I dan tegangan V dalam kebanyakan 42

bahan saling terkait menurut hukum Ohm, V = IR, di mana R adalah resistans elektrik bahan tersebut. jika panjang bahan adalah L dan luas penampangnya A, maka resistansnya adalah R  

L , resistivitas  merupakan sifat khas bahan yang A

diukur dalam satuan Ohm.cm. Konduktor elektrik yang baik memiliki resistivitas yang kecil (  =1,7 x 10-6 ohm.cm bagi tembaga), konduktor jelek memiliki resisitivitas yang besar (  =2 x 1017 ohm.cm bagi belerang). Dari sudut pandang atom, harus bergantung pada aliran elektron yang relatif lemah ikatannya, yang mudah dibebaskan dari atonmnya dengan mengenakan suatu beda potensial. Selain itu, juga bergantung pada kemampuan elektron berpindah dari satu atom ke atom yang lain. Jadi unsur-unsur dengan elektron s, yang lebih sering didapati berada jauh dari inti atom dibandingkan terhadap elektron-elektron dengan nilai l yang besar, diperkirakan akan memiliki resistivitas yang kecil. d.

Suseptibilitas magnet Jika suatu benda ditempatkan pada suatu medan magnet dengan intensitas B, maka bahannya termagnetkan (terpengaruh oleh medan magnet), dan memiliki suatu magnetisasi M, yang besarnya sebanding dengan B:

 0 M  B ,  adalah suseptibilitas magnet. Kemagnetan bergantung pada l dan s elektron-elektron terluarnya, karena kedua momen magnet  l dan  s berbanding lurus dengan l dan s. Efek inilah yang berperan pada supsetibiltan paramagnet yang terjadi dalam semua atom. Diamagnetisme disebabkan oleh efek berikut: apabila pada suatu untai elektrik dikenakan suatu medan magnet maka akan mengalir arus imbas dalam untai tersebut, arus imbas ini menimbulkan medan magnet yang cenderung melawan medan yang dikenakan.

43

DAFTAR PUSTAKA

Beiser, A. 1987. Konsep fisika modern. Jakarta:Erlangga

Krane, K. 1992. Fisika modern. Jakarta: Universitas Indonesia.

Kusminarto.1992. pokok-pokok fisika modern.Yogyakarta: Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada

Purwanto,A. 1997. Pengantar Fisika Kuantum. Surabaya: Citra Media

Sutopo. 2004. Pengantar fisika kuantum. Malang: Universitas Negeri Malang

44