Törtes egyenlőtlenségek

Törtes egyenlőtlenségek Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyező előjelű. Egy tört értéke akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője ellentétes (különböző) előjelű. 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

2 0 x A számláló pozitív, ezért a tört akkor lesz pozitív, ha a nevező is pozitív. ⇒ x > 0 2. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

2 0 x A számláló pozitív, ezért a tört akkor lesz negatív, ha a nevező negatív. ⇒ x < 0 3. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! 2x 0 3 A nevező negatív, ezért a tört akkor lesz negatív, ha a számláló pozitív. ⇒ x > 0 4. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

x 0 3 A nevező negatív, ezért a tört akkor lesz pozitív, ha a számláló is negatív. ⇒ x < 0 5. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

3 0 x2 A számláló pozitív, ezért a tört akkor lesz pozitív, ha a nevező is pozitív. ⇒ x+2 > 0  x >–2 6. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

2 0 x1 A számláló negatív, ezért a tört akkor lesz negatív, ha a nevező pozitív. ⇒ x +1> 0

 x > –1

7. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

5 0 3x A számláló pozitív, ezért a tört akkor lesz pozitív, ha a nevező is pozitív. ⇒ 3 – x > 0  3 > x

8. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

x4 0 x3 Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyező előjelű.

Első eset:

 

Második eset:

x40 és x30 x  4 x  3 A közös részt számegyenesen válogathatod ki a legkönnyebben.

 

x40 x  4

x30 x  3

és

x  4

x  3

9. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (x valós szám, x  5 )!

2x  3 0 x5 Egy tört akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője különböző előjelű.

1.)

 

2.)

2x  3  0 x   1,5

és

x5  0 x5

 

2x  3  0 x   1,5

Nincs közös rész.

x5 0 x5

és

1,5  x  5

10. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget az egész számok halmazán! ( x

 4 )!

2x 0 x4

1.)

  2x  0 x0

2.)

és

x40 x4

A nevező nem lehet 0.

 

2x  0 x0

és

x40 x4

0  x  4; x  Z

Nincs közös rész.

Az egész számok halmazán a megoldás: 0; 1; 2, 3

11. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

3x  8 1 5x

Nincs szabály arra, hogy egy tört értéke mikor nagyobb egynél. Először alakítsuk át az egyenlőtlenséget!

I.

  4x  13  0

3x  8 1 5x 3x  8 1 0 5x 3x  8   5  x 

5x0

és

4x  13

5x

13 x 4

x5

0 5x 3x  8  5  x 0 5x 4x  13 0 5x

13 x5 4

Most már meg tudjuk oldani. II.

  4x  13  0

és

5x0

4x  13

5x

13 4

x5

x

Nincs közös rész!

12. Határozza meg a következő egyenlőtlenség valós megoldásait!

2x  15 1  3x  7 2

Nincs szabály arra, hogy egy tört értéke mikor nagyobb egynél. Először alakítsuk át az egyenlőtlenséget!

2x  15 1  3x  7 2 2x  15 1  0 3x  7 2 4x  30   3x  7  6x  17 x  37 0 6x  14

I.

  x  37  0

6x  14  0

és

x  37

6x  14 7 x 3

0

Most már meg tudjuk oldani. II.

  x  37  0 x  37

6x  14  0 6x  14

és

x

13. Mely egész x értékre teljesül a

7x  3 1 5x  4 7x  3 1 0 5x  4 7x  3  1 5x  4  5x  4 2x  1 0 5x  4

7x  3  1 egyenlőtlenség? 5x  4 I.

  2x  1  0

5x  4  0

és

2x  1

0

x

5x  4

1 2

x

 II.

1 4 x 2 5

  2x  1  0

és

5x  4  0

2x  1 x

1 2

Nincs közös rész

5x  4 x

4 5

4 5

7 3

14. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

x2

 x  3 2

0

x3

A nevező pozitív ezért a számláló is csak pozitív lehet!

  x3 

 x  3 2

0



x20



x  2

15. Oldja meg a következő egyenlőtlenség-rendszert az egész számok halmazán!

x2 1  x1 2

Először oldjuk meg az első egyenlőtlenséget!

x2 1  x1 2 x2 1  0 x1 2 2x  4  x  1 0 2x  2 x5 0 2x  2

 

I.

x50

2x  2  0

és

x  5

2x  2 x1 5  x  1

II.

 

x50 x  5

és

2x  2  0 x1

Nincs közös rész. Oldjuk meg a második egyenlőtlenséget!

1 x1  2 x2 x1 1 0  x2 2 2  x  1   x  2  2  x  2

2x  2  x  2 0 2x  4 x4 0 2x  4

I.

 

x40

és

x4

0

2x  4  0 2x  4 x  2

II.

 

x40 x4

2x  4  0 2x  4 x  2

A két egyenlőtlenség megoldásának a közös része: Az egész megoldások: – 4; – 3

–5 < x <–2

16. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő törtes egyenlőtlenségeket!

1 0 5  2x

és

1 x1  2 x2

1< 0



5  2x  0  2x  5 x  2,5

3x  1 0 2x  3

17. Határozza meg a következő egyenlőtlenség valós megoldásait!

 

I.

3x  1  0

és

3x  1 x

 

II. 2x  3  0

3x  1  0

2x  3

1 3

3x  1

x  1, 5

x

18. Határozza meg a következő egyenlőtlenség valós megoldásait!

 

I.

5a0 5a

2x  3

1 3

x

5a 0 2  3a

5a0

2  3a  0  3a  2

3 2

 

II.

és

2x  3  0

2  3a  0

és

 a  5

3a  2

 3a  2

a5

3a  2

2 a 3

a

19. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

3 4  x 1  3x

2 3

0

12  3x 0 1  3x

I.

 

II.

12  3x  0  3x  12

és

1  3x  0  3x  1

3x  12

12  3x  0

x

1 3x

3x  12

1 3

x

x4

20. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

I.

 

2z  0 z2 z2

II. és

1  3x  0

és

 3x  12

3x  1

x4

 

2z 0 z4

 

z40 z4

2z  0

z40

és

 z  2 z2

z4 2x4

21. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

2x  3 0 3x  6

1 3

I.

 

 

II.

3x  3  0 2x  3 3 x 2

és

3x  6  0 3x  6 x2

2x  3  0 2x  3 3 x 2

3x  6  0 3x  6

és

x2

x4 0 2x  3

22. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

I.

 

 

II.

x40

és

2x  3  0

x4

x40 x4

2x  3 3 x 2

2x  3  0 2x  3

és

x

3 2

Nincs közös rész !

3 x4 2

2x  1 0 3x  2

23. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

I.

II.

 

2x  1  0

és

3x  2  0

2x  1

3x  2

1 x 2

2 x 3

 

2x  1  0 2x  1 x

és

3x  2  0 3x  2

1 2

x

2 3

Nincs közös rész !

2 1  x 3 2

24. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

I.

 

1  2z  0

II. és

1  2z 0 3z  4

 

 3z  4  0

 2z  1 2z  1

 3z  4 3z  4

1 z 2

4 z 3 1 4 z 2 3

1  2z  0

és

 2z  1 2z  1 z

 3z  4  0  3z  4 3z  4

1 2

z Nincs közös rész !

4 3

24. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

I.

 

II.

5y0

és

5y

5y 0 y4

 

y4 0

5y0

y4

5y

és

y4  0 y4

25. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

2x  7 1 4x

2x  7 1 0 4x 2x  7  4  x 0 4x 3x  11 0 4x I.

 

II.

3x  11  0 3x  11

és

4x0 4x

 

3x  11  0

és

4x0

3x  11

11 x 3

x

4x

11 3

11 x4 3

25. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

4x  6 1 7x  2 4x  6 1 0 7x  2 4x  6   7x  2 

0 7x  2 4x  6  7x  2 0 7x  2 3x  8 0 7x  2

I.

 

3x  8  0 8  3x 8 x 3

II.

és

7x  2  0 x

2 7

4x  6 1 7x  2

 

3x  8  0 8  3x 8 x 3

és

7x  2  0 2 x 7