Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

Készítették: Borbély Dániel Szerkezet-épít˝ omérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematika Msc hallgató Koppányi Zoltán Földmér˝ o- és Térinformatikai mérnök Msc hallgató

Témavezet˝ o:

Dr. Görög Péter Adjunktus BME Épít˝ omérnöki Kar, Épít˝ oanyagok és Mérnökgeológia Tanszék

BME 2011

Töréskép optimalizálás

TDK-konferencia

Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

2011.

Г

ГГ

!

Г Г ГГ

ГГ

#

" $%

"&

$'

%

(Г)*)"+*&,*Г-(Г,.Г,,Г,/

$0

0%

Г,*,(*,,Г(,

$1

ГГ ГГ

Г

2%

!Г

"

Г Г!

Г Г#Г!$

" 3

((,Г,*Г* "

Г Г ГГГ% Г (

&' Г%

Г !

"

#

$% Г ! &

#'

(

##

)

$ * +

#)

"

Г Г !ГГ )*!Г

(

,-. + %

#

/ (* -

#"

#

, -

'

01!2 -

'

)

3%(

'

4

2. oldal


TDK-konferencia

Elmélet, megvalósítás, alkalmazás "

6%

$!Г 5

ГГ **Г'+Г

"

#

6

#

.7**

##

8* % 9%

#

87 - :

#)

8!++(

)

#4

; ; . ,(

)

""

&

",

"

-ГГ Г !ГГ )*!Г

",

)

Г

"

)

8 (

)'

"

!%

2011.

& Г%

4

!

)

4

8 !

)

4#

< % -

)#

4

= 9

))

4)

6 5 (1

))

"(

Г* !Г Г

",

Г%+'*Г+Г

,

&Г45Г(

6'

ГГ

"

Г *Г *Г'

Г *Г Г

(

+Г'

(

(

!

( 33

75*

+Г ГГ%-Г &Г .Г

+Г ГГ%-ГГ -Г *Г+Г+Г ,

Г .Г*. Г*Г *Г

((

,

3. oldal


TDK-konferencia


2011.

"

'+*Г

,,

Г- '

ГГГ*

12

3%

(

/+Г

"

(

+Г Г* !Г

(

Г%+'

(

("

Г08>[email protected]38.$;

,

#%

$'$

75*, Г ,

ГГ&ГГГГ

,

ГГ&

"

B - * 9 - (

'

"

>

'

"#

B (

'

"

8- +-

'

, 1%

*Г'*Г Г &Г

$'!

8"",5*,Г)8

$'%

$'6

7ГГ*

,Г&*+*

$'#

7Г)*Г(

$'1

),&*

$$'

*"*7,*"Г*

$$0

*

Г

4. oldal


TDK-konferencia


2011.

9 : ;<: Ti # $ Fi $

σ ij $%&%' (# u&i* ) ")

ε&ij* ) * '(&" ci $ & $+ !

n m

=>::? @ ;@A BB@BB ==: s "%%& ! n " %& , +

q T = {q1+ , q1− , q2+ , q2− ,..., qm− } qi+ , qi− % $&&"( c T = {l1 / σ 1 , l1 / σ 1 , l 2 / σ 2 ,..., l m / σ m , l m / σ m } li &"$

σ i &"" -% (. %&% . f T = { f1x , f1 y , f 2x , f 2y ,..., f ny } f jx , f jy $ $.%%&

5. oldal


TDK-konferencia


2011.

xi yi + "

9 : @@BB ==: -% (. ' . ")"

)'( ) d T = {s1+ ,s1− ,s2+ ,s 2− ,...,s m− } d T = {s1 ,n1 ,s 2 ,n 2− ,...,n m }

) #(! g T = {l1 * c1 , l1 * c1 , l 2 * c2 ,..., l m * cm , lm * cm } li $ $ ci $ $+ u T = {u1x , u1y , u 2x , u 2y ,..., u ny } u xj , u yj +

) ").

%%& N i $%% . p i = {p i1 , p i2 } p i1 p i2 % $ p i1 p i2 ≥ 0 T

n f D = { f Ds1 , f Dn1 , f Ds 2 , f Dn2 ,..., f Dm }

T

n f L = { f Ls1 , f Ln1 , f Ls2 , f Ln2 ,..., f Lm }

f Dis , f Din , f Lis , f Lin $ % %& " $

/ &%' #(# (

% 0

+ &% ! 1 $ &

' (" &%

6. oldal


TDK-konferencia


2011.

2 ' %( t T = {t1x , t1y , t 2x , t y ,..., t ny } tix , tiy .%%& ( q T = {S1 , N 1 , S 2 , N 2 ,.., N m } $ 34 $ % %&'((

5 ") ") 6-76-( "

+%

) 86-7

+% ' % ( u T = {0, u1 ,0, u 2 ,..., u m } ) $

+% 96 )

"( :! !;! + ' ) + ") ! 6 + $ "

" ' $ + +#<

7. oldal


TDK-konferencia


2011.

C: ) + "

) = '% '>% ! ''" # +# ' )

"? $ ! 6 9 ) %@ % ) A B@A<%&+ "% % "

$$ +(% $

( $ ! 6 " + % $ $'

9 %<' + % $

$' ( + ! '' % $ +' "$ + %? $ ( !7

+ (" $

+

+ $

" "$ ( !7 ! 6 "$ $ " "$

'' $

+& " ! 6 ' = $> ) ' &

$ $ !6 "+'( "" ) # ' ") ' %" % ' $ (! - )

+) $ % $ ) "! % + ( )% C - D - - " %

? "$ (! 6 $ % %

" $ ( ! )' ) '' #'( @E " ' )

+) % ? " " $ ( ! 6 "

% 9 ) % ) <

+

"

$ $ ! $ $ % ) " % +) !

' )

+)

)

%) & % +

8. oldal


TDK-konferencia


2011.

") % $ ( (! 6 $ ( " & )

+F ") G+)! 6 "

)

$% '' " # +) " %

"

+ $ +) ! @% " $ % ' " " % ) ) " $'+ ! , # +) '' )

$ (

!

9. oldal


TDK-konferencia


2011.

$% " D : = H '

% $ % + $ +

+ % % '$ ( $' !6 $' ( + $ >$ " 9>$ IJK >$ II< % "" +" ' % ' )% " " (

$ ") % ("

% + '' ) ! ) % % $ 9E @ 6 % E@6< ( (! 6 % ' ? $ " ( +) $ % % $ # ( )" % + #

% +(

'#'() ) " $ (! 6 %

+ ' + $ % ' $ %

+ ( &$ & +## +)

% & % ) 9 ) % @ % ) A @A
$ (

( "$ 9 ! IH: E $ " ! K!< % $ )" # +) %

$

?

" %! 6 ' # ' ( % %

% $ '' " )

9C 1!3! IKL B E 1! IKI< "

%) )

% ! " " '' " #

)

#

$ (B % $ ) ) ) 9 D ) C ! < % $ % % ) ' " + ' + ( '

+ ' ) ) $ !6 $ " " $ 9M' = ;< % "#$ % "$ " !

10. oldal


TDK-konferencia


2011.

6 & "' $ $

+(" )

! 6 % ' "

" " $ +(" ! 6 L ( " "( '# "$

9 IL:
! 6 ' "

"

+ $ ' # 9M' =! J
" " " 9M' =! L

+

+ " "$ 9M' =!J'
'

% $ '

"" $ ( 9M' =
$ $ $ "$ !6 ''+ %(' $ 7 6 ( ' + % +)! 6 ;! +

" % $ $'

+ $ + ! O +# % $ $' ( + " ! 6 :! + % + % "$ # # ' ( + $! 6 "( "

+ +

$ @E ) ) ! 6 + ( + ' )

% "$ ( + $ % $ % + % @E )' ! 6 $ " (

)

"

% $ " + !

11. oldal


TDK-konferencia


2011.

6 %" %' )

) "

) "

" ' )

!' + ') " $ % % $ ( % " ! 6 % ) " % +#!P

") '')

$ ((!

12. oldal


TDK-konferencia


2011.

% @ ;E= E CF=:DB : =-(:B>ГBB;B::/ N' ) ' ' $ +(" '( (

+ $ + ##( '

7 % ' " ) 9>$ IJK " '

$ ("( $ $ ! 6 ) + "

$ $ +( # $ % ) > " $ $ $

( 93$ L
+

$ $ ' # ' (

+ ! '' ' % % " $ % )

$ % $ +#! 6 '' % (

$+) % $ % %$ $'

% "

+ ( $ $ ! 6 ''7 " #'( % & +

' " ) &

' ? ( 96' ! !
( # # R " $ ( $ 9@ D- )"@ @-@6< % ( 98 - )" @ 8-@6< +! 6 " R ' $ " %? R $ ?? !6E@6 ( %+ (+ $ % "

?? " $ $ " % $ $ %

) " #7 % ' % ! 6 ( $ +

+' ( # +

!6 %'%

$ ("$ ''

13. oldal


TDK-konferencia


2011.

% # ("( $ $ % % '' %%(

+% ( $!6 ( $

$ (" # +) % % '' $ %&% " % '' $ (9>$ IJK
% ) ")"

'( ) %( #((

) ")

#( ) !

∫T A

i

u& i* dA +

∫ F u& i

* i

dV

∫σ

=

V

ij

ε&ij* dV

9 <

V

$ Ti # $ Fi $ σ ij $%&%' (# u&i* ) ") ε&ij* ) 9>$ IJK
( $ % % '' % %( % ( $! 6 ( $ $ $ $ ) ")"# +) %$ ''

$

! $ $ (

+ % ( $ '' ( + 9>$ IJK
'' ' $ &% ) # ) ") ) $ )+)! 6 " $ ( $ ( $ 9@-@6< ( 98-@6< + $

% ( $ !C " + $ ($ % " " %

9>$ IJK
+ $ + %$$ @A = $> ) '

! $ $ ")

14. oldal


TDK-konferencia


2011.

= $> ) ' $ '( &" )! S +% $ %

$ $ ! 6 % "( + $ "

$ 9>$ IJK

) $ $ % ? ! ' % $ ) ") ' # +! 6 %?'' % 9 " D )< % % %$ %& ") ' 9 !'
% "9 "
!' 76% " !' 76% "

6% %& " 9<#+ !

n = s * tg (φ )

9<

$ s , n "% %& ! 6

+ ' $ ( " ' ! 6

+ " + '' &%

&" " 9

"!'

15. oldal


TDK-konferencia


2011.

!' 76& !' 76&" " " "

@ $ $ % &" " ' % " % %& ") !

;!' 7 ") %&" " !' 7 ") %&" "

6 % "

+

+ " '( &" ) !

+ # %'(&"? $+&

+ " % 9 " D )< + % % %& ") # % 9=
+

% " $ %' #' %!T% % '' %' )

+ % ' ! 6 %

+ ( "$ (!9>$ IJK

16. oldal


TDK-konferencia


2011.

U ( $ ( + $ $ "( %

$ ("% $ ")" +"'(

$ ! 6 (' ' )

#( ' " &" b ' %

h

& ' # ' ( $ % &

$' = $> ) ' *V '! 6

$ (" $ ")" :! '

!

:!' 76('$#( ") !' 76('$#( ")" "

6 ( $ %? $ ( 9>$ IJK<

" % (9;! !<7

1≤

Pc 1 mh b ≤ ( + ) 2cb 2 b mh

9;<

$ b $ h "

m M+? &%

$ % ( $ % m ( m − 1) ≤

b ≤ m ( m + 1) c h

$Pc ( $!6

" % K!'

!

17. oldal


TDK-konferencia


2011.

K!' 76(' !' 76(' "9>$ IJK< IJK<

3

+ ( 9 8-@6 " % < 9@-@6 " %<

! % + " 9M IK < 6% $' ' 9E@6< $ )) ) ) " %

" "$ % E@6

) ( $ + " ! 6 " )' % #( @A " % + % ( $ % % ' " & " $ + + ! 3 % +'' %"

L $ &

" "$ !

18. oldal

3.

A Lineáris Programozás matematikai alapjai

3.1. Glogális optimalizálás A Lineáris Programozás (LP) a globális optimalizálás egy speciális esete. A glogális optimalizálás, mint matematikai módszer számtalan helyen el˝ okerül a mérnöki számításokban, mivel nagyon általános problémát fogalmaz meg. (4)

min ƒ (x) =?

x∈X ⊆Rd

ahol X egy adott keresési tér és ƒ : X 7→ R adott célfüggvény. Egyszer˝ u transzformációval maximumot is kereshetünk, ha az ƒ függvény −1-szeresét vesszük célfüggvénynek. Az általános globális optimalizálási feladatnak a megoldása sem analitikusan, sem numerikusan nem ismert, a megoldó módszerek az adott probléma ƒ célfüggvényének és X keresési terének sajátosságait használják ki. Egy általános optimalizálási feladatnál kérdés a keresett minimum, az az x∗ ∈ X vektor, ahol a minimum felvétetik, valamint az, hogy van-e illetve hány ilyen x∗ vektor van. Az optimalizálási feladatok egy lehetséges osztályozása: X ⊆ Rd , ƒ : X 7→ R (nincs megkötés)

globális optimalizálás

(5)

X egy konvex alakzat

konvex optimalizálás

(6)

X egy konvex alakzat, ƒ (x) = c⊤ · x

konvex programozás

(7)

kvadratikus programozás

(8)

lineáris programozás

(9)

egész érték˝ u programozás

(10)

X egy poliéder, ƒ (x) = x⊤ · A · x + c⊤ · x X egy poliéder, ƒ (x) = c⊤ · x X ⊆ Zd ⊆ {egy poliéder}, ƒ (x) = c⊤ · x

Például a Lagrange multiplikátor alapfeladata (5)-nek része. (7)-ben egy konvex alakzat adott irányban (c) extremáis pontját keressük, míg (9) esetén azt is megkötjük, hogy az alakzatot egyenes oldalak (hipersíkok) határolják. (10) esetén is egy poliéder belseje a keresési tér, de csak az egész koordinátájú pontokra hagyatkozunk. Természetesen ezeken belül is vannak még kutatott feladatosztályok, valamint ezeknél általánosabbak is. A fentebb felsorolt progblémák közül (8) bizonyos eseteire, (7)-re valamint (9)-ra ismerünk gyors (és általános) numerikus algoritmust, (10) például NP nehéz feladat. Ezen problémák mindegyikére vannak elméletek, de az (9)-ban van lehet˝ oségünk a legnagyobb méret˝ u feladatok megoldására.

3.2. Lineáris Programozás A (9) feladat felírásához meg kell értenünk a poliédereket. 3.0.1. Állítás. Egy X ⊆ Rd alakzat poliéder akkor és csak akkor, ha letezik egy A ∈ Rm×d mátrix és egy b ∈ Rm vektor, hogy ¦ © X = x ∈ Rd |Ax ≤ b

Vagyis az Ax ∈ Rm vektor koordinátánként nem nagyobb b vektornál. Geometriailag ez azt jelenti, hogy el˝ oáll félterek metszeteként. Íly módon az LP feladat megfogalmazható a következ˝ o alakban: Legyen adott A ∈ Rm×d , b ∈ Rm és c ∈ Rd . Keressük x∗ ∈ Rd vektort, hogy Ax∗ ≤ b és minden más x ∈ Rd vektorra, amire Ax ≤ b teljesül az, hogy c⊤ · x∗ ≤ c⊤ · x. min c⊤ · x

(11)

Ax ≤ b

(12)

x = (1 , 2 , . . . d )⊤ -t döntési vagy LP változóknak nevezzük, c = (c1 , c2 , . . . cd )⊤ -t célfüggvénynek, vagy célfüggvény-vektornak. Az ilyen alakú LP feladatot kanonikus alakúnak hívjuk. Más típusú feltételeket is be lehet építeni az egyenletekbe és a fenti (kanonikus) alakra hozni. min c⊤ · x

min c⊤ · x

mx c⊤ · x

Ax ≤ b

Ax = b

Ax ≤ b

x≥0 A (11)-(12) probléma megoldása illetve megoldhatóságának karakterizációja régóta ismert [Gale, 1951], ezek osztályozása: Ideális esetben (6(a) ábra), egyetlen x∗ vektor létezik, amire teljesül a kívánt

feltétel és a célfüggvény minimális. Lehet, hogy több optimális vektor is van (6(b) árba), ekkor optimális megoldások

halmazáról beszélhetünk. Ez a jelenség akkor lép fel, ha a poliéder optimális lapja párhuzamos a célfüggvény szintvonalával. Elképzelhet˝ o, hogy a magadott feltételek nem elég korlátozóak, így található olyan

megoldás, amin a célfüggvény értéke tetsz˝ olegesen nagy lesz. Ekkor azt mondjuk, hogy (az adott halmazon) nemkorlátos a célfüggvény (6(c) ábra).

A feladat túlhatározott, az X halmaz üres, vagyis nincs olyan x ∈ Rd , hogy Ax ≤ b teljesüljön. Ekkor nincs fízibilis megoldás. y

y

2.0

y

2.0

2.0

y - 2 x ® max

y - 2 x ® max

1.5

1.5

X

1.0

1.5

X

1.0

0.5

0.0 0.0

y - 2 x ® max

0.5

0.5

1.0

1.5

(a)

2.0

x

0.0 0.0

X

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

x

0.0 0.0

(b)

0.5

1.0

1.5

2.0

x

(c)

6. ábra

3.3. Dualitás 3.1. Tétel (Er˝ os dualitás tétel (Gale, 1951)). Tekintsük a min c⊤ · x

(13)

Ax ≤ b x≥0 LP feladatot. Ha a feladatnak van optimális megoldása, akkor a mx b⊤ · x

(14)

A⊤ y ≤ c y≥0 feladatnak is van optimális megoldása és a célfüggvényeik optimális értékei egyenl˝ oek. A (13)-t primál, a (14)-t duál feladatnak hívjuk. Vagyis egy (13) alakú feladatot úgy is megoldhatunk, hogy képezzük a párját és azt oldjuk meg. Ez azért lehet célszer˝ u, mert (14)-nek esetleg kevesebb változója van, vagy valami miatt jobban tudjuk kezelni, megérteni. A két feladat matematikailag egymással ekvivalens, lényegében két különböz˝ o egyenlet ugyanarra a problémára.

Természetesen a tételnek több féle általánosítása létezik (Lagrange dualitás), és mélyebb kapcsolat is fennáll a primál feladat és annak duál párja között. Mi a következ˝ ot használjuk ebb˝ ol: minden LP feladatnak képezhet˝ o un. duál párja és ha az eredetinek van megoldása, akkor a duálnak is van, s˝ ot a célfüggvényeik értéke megegyezik. Ha a duál feladatnak (mint kiindulási feladat) képezzük megint a duál párját, akkor visszakapjuk az eredeti egyenleteket. Továbbá az is igaz, hogy ha a primál-duál feladatpár közül az egyiknek nemkorlátos a célfüggvénye, akkor a másiknak nincs fízibilis megoldása (és viszont). De az is lehetséges, hogy egyiknek sincs fízibilis megoldása. 3.1.1. Megjegyzés. A duális képzés matematikai m˝ uvelet, minden faladatra elvégezhet˝ o, annak fizikai tartalmától, a modellezend˝ o problémától függetlenül. Egy általános, nem kanonikus alakú, LP feladat duálisának a felírását most nem taglaljuk, csak a számunkra érdekes eset duálisának felírását közöljük. (P)

(D)

min c⊤ · x

mx b⊤ · y

Ax = b

dualitás

⇔

A⊤ y ≤ c

x≥0 x ∈ Rd

y ∈ Rm

(P) feladatban A ∈ Rm×d és tipikusan m < d, hogy az Ax = b alulhatározott legyen.

3.4. Megoldó algoritmusok Az LP feladatok szerkezetükben a lehet˝ o legegyszer˝ ubbek, de ennek ellenére nagyon sok probléma írható fel ilyen (lineáris) alakban a menetrend-optimalizálástól a termékraktározásig. A számítási nehézséget a keresési tér mérete adja. Valós problémákban az A mátrix mérete d, m > 105 nagyságrend˝ u. A feladatok megoldhatóságát sokszor nem is a számítási kapacitás (CPU), hanem az együtthatómátrix tárolása korlátozza (RAM/HD kapacitás). Egy LP feladat megoldására két f˝ obb módszert ismertetünk, az egyik az un. szimplex módszer, a másik az un. bels˝ opontos módszer. A szimplex módszer kifejlesztésében többek között George Dantzig játszott fontos szerepet a 20. század közepén. A módszer alapvet˝ oen Gauss eliminációs lépéseket használ a feladatból képzett szimplex táblán. A pivotálási lépések elvégzésére több szabály illetve heurisztika is létezik. Addig kell

A

b

cT

0

7. ábra. Szimplex tábla

sorm˝ uveleteket végeznünk amíg egy leállási feltételt el nem érünk, ekkor a jobb alsó sarok elem helyén megjelenik a célfüggvény optimális értéke, a c⊤ vektor helyén pedig az x∗ változó, amin ez az optimum felvétetik. Ilyen és ehhez hasonó elveken alapuló algoritmusok képesek pontos, analitikus eredményt adni, viszont lassúak. Ponotsságukat az adja, hogy a Gauss elimináció szimbolikusan is elvégezhet˝ o, viszont a szükséges eliminációk száma esetenként nagyon nagy lehet. Lehet olyan példát konstruálni, amiben a futásid˝ o a mátrix méretének exponenciális függvénye. A bels˝ o pontos módszer elve egészen más. Itt egy kezdeti pontot kell találni a poliéder belsejében, majd innen indulva iteratív lépésekkel közelíti meg az optimum ponoz˝ o xn értékb˝ ol az algoritmus tot. xn+1 kiszámolásához a feladat A mátrixából és az el˝ összeállít egy lineáris egyenletrendszert, majd azt megoldja (mátrixinverz számolás). Ezt a módszert el˝ oször a 80-as években Karmarkar tette használhatóvá, amiben a számítástechnika fejl˝ odésének is fontos szerepe volt. Ekkortól már bizonyíthatóan és praktikusan is lehetett polinom id˝ oben nagyméret˝ u (több 10000 változós) LP feladatokat megoldani [Karmarkar, 1984]. A bels˝ o pontos módszereknél megfigyelhet˝ o jelenség a numerikus instabilitás. Az algoritmus minden elemi lépésében egy (nagyméret˝ u) lineáris egyenletrendszer megoldása történik, aminek a pontosságát az adott együtthatómátrix kondíciószáma negatívan befolyásolhatja. A kiforrottabb szoftverek ezt a jelenséget ugynevezett pre-solver segítségével kezelik. Egy nulladik fázisként átskálázza a program a döntési változókat úgy, hogy a kapott feladat jobban kondícionált legyen és persze vissza tudja következ-

tetni bel˝ ole az eredetinek a megoldását. y 2.0

y - 2 x ® max 1.5

... xn

1.0

x2 x1

0.5

x0 0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

8. ábra

A bels˝ o pontos algoritmusok egy hátránya, hogy mindig csak adott t˝ urésen belül dolgoznak, a tökéletes optimumot sosem érik el és az Ax = b feltételt is csak közelít˝ oleg teljesítik. Természetesen a t˝ urést csökkentésével elméletileg pontos eredményt is tudnak szolgáltatni, de a gyakorlatban meg kell elégednünk valamennyi numerikus hibával. Ma a bels˝ o pontos algoritmusok a kizárólagos eszközei a nagyméret˝ u LP feladatok megoldásának [Illes, 2002]. A bels˝ o pontos algoritmusok egy másik jellegzetessége, hogy a dualitás tételt kihasználva egyszerre írja fel és oldja meg a primál és a duál feladatot.

3.5. Az oszlopgenerálás (column generation) Azzal, hogy [Karmarkar, 1984] lehet˝ ové tette a tízezres nagyságrend˝ u feladatok megoldását, sem a rácsos tartók alakjának megtalálása, sem a talajok törésképe nem váltak egy PC számára számolhatóvá. További gyorsítási lehet˝ oség az oszlopgenerálás [Bertsimas, 1997]. Tekintsük a mx b⊤ · y A⊤ y ≤ c y ∈ Rm

(D)

duál feladatot. Csökkentsük a változók számát és egy kisebb feladatot oldjunk meg. ˆ⊤ y ˆ ∈ Rm×d′ , cˆ ∈ Rd′ és d′ < d. Oldjuk meg mx b⊤ · y-t ˆ a redukált A ˆ ≤ cˆ feltétellel, ahol A

` y

y *

AT

*

`T A

` £ c

AT0

c0

£ c

(a)

(b)

9. ábra

Vegyük észre, hogy y, y ˆ ∈ Rm , a döntési változók száma nem változott, csak egy másik feladatot írtunk fel rájuk. Ezután le tudjuk ellen˝ orizni, hogy a kapott y ˆ mennyiben közelíti az eredeti 9(a) problémát. h := c − A⊤ y ˆ ∈ Rd Ha jól oldottuk meg a 9(b) feladatot, akkor h-nak az els˝ o d′ koordinátája nem-negatív, viszont a többi koordinátájára nincs megkötésünk. Az oszlopgenerálás f˝ o ötlete az, hogy vegyük hozzá 9(b) feladathoz azokat a sorokat, ahol h-nak a koordinátái a legkisebbek. Ezzel b˝ ovítjük vissza a feladatot, hogy közelítsük a 9(a) megoldását. Egy gyors algoritmusnál persze a cél az, hogy a redukált feladat kib˝ ovített változata is (sokkal) kisebb legyen, mint az eredeti feladat. A kérdés az, hogy mely sorokat vegyük bele a kib˝ ovített feladatba a h ismeretében. Erre több technika és heurisztika létezik. Az egyik legegyszer˝ ubb, ha nagyság szerint rendezzük o sorral b˝ ovítjük a h koordinátáit és a legels˝ o (legkisebb) μ · d′ darab értéknek megfelel˝

feladatot (μ < 1). Az oszlop generálás sematikus algoritmusa: 1. Vegyük a 9(a) feladatot d sorral (A⊤ , c). ˆ ⊤ , c). ˆ 2. Vágjuk ki (nem feltétlenül az els˝ o) d′ darab sorát (A © ¦ ˆ⊤ y 3. Oldjuk meg a mxyˆ b⊤ y| ˆA ˆ ≤ cˆ feladatot.

4. Képezzük h = c − A⊤ y ˆ vektort. o 5. Válasszuk ki h-nak a legkisebb μ·d′ darab elemét, és az ezek indexeinek megfelel˝ ˆ ⊤ -hoz. Így lesz d′ +μ·d′ eleme c-nak ˆ ⊤ -nak. Ezután ˆ sorokat vegyük hozzá A és sora A folytatjuk: Ha min=1...d h > −ε, akkor leállunk. Ha min=1...d h ≤ −ε, akkor 3. lépés.

Ez a módszer a primál megfogalmazásban azt jelenti, hogy megtaláljuk a szignifikáns változókat és nem kell a feleslegeseket cipelni. A primál feladat változói (oszlopai) megfelelnek a duál feladat feltételeinek (sorainak). Ennek a technikának a megvalósításáról olvashatunk Gilbert és Tyas 2003-as cikkében konkrét futási eredményekkel és tapasztalatokkal. Ezzel a technikával lényegében 108 nagyságrend˝ u problémák váltak számolhatóvá és ez eredményezte (többek között) a DLO elterjedését.


TDK-konferencia


2011.

2% 9 : @@BB ==: 2%$% =>:: A @ ; @A BB @BB ==: : @ ; E CF=:=;;A B= 2%$%$% B@ 6 % ) ") =$

9=$ I:< &" +

$ )

93 M! W $ N!,! IL;
&"'

+) '' " $ $ " ' " )" $ (! 6 E@6 ' + $$ $ $ ( " & $ ' ! 6 % ' " &

% $ )

! 6

'( ) ")$ %"

!6"

&"# &"( $ $&"

$% " ! + $ ' $ @E ) ! %?''

" " (! 6 % +) $ %&% " +#!

'

$ + ( ' ( $ "$ $ $ ) % ( %&% + $%

! '' (% $ % " ' % " " $ ' " + " % ") % $ '( $ 9M' J
& $ ( ) ' $ # %

"+ + " % $ 9 !'

27. oldal


TDK-konferencia


2011.

!' 7 < !' 7 !' 7 " %7 ) 9> 3 <

2%$%% =>:: A @ ; @A BB @BB ==:=; Г(H IG= ,%#% # n &

m &$ &"" #9

!'
!' 7N

% " " % !' 7N

% " " % " " %

6

% ) "

@E ) (7

28. oldal


TDK-konferencia


2011. min V = c T q

% '$ %

Bq = f

q≥0

9 K<

$ V +

q T = {q1+ , q1− , q2+ , q2− ,..., qm− } qi+ , qi− % $& &"( i &"' $ i = 1,..., m c T = {l1 / σ 1 , l1 / σ 1 , l 2 / σ 2 ,..., l m / σ m , l m / σ m } li , σ i i&"$ " B % ( n . m %&% . f T = { f1x , f1 y , f 2x , f 2y ,..., f ny } f jx , f jy j $ $ $ x y

%& $ j = 1,..., n ! 6 - .

" % $ &"" ! 6 - . + $ %

$

% !' 9 < )

+ !, " $ $ % - .

%&%% "+ 9 !' 9'<
&" " ( $& %%

&" " ( % + ! 9 <

9'<

!' 7%&% !' 7%&%% 9 < %&% .9'< !' 7%&%% 9 < %&% .9'< % 9 < %&% .9'<

6 X Y Z ) ) 9 ! ' 9 < < % " ' $ 9 !' 9'<<7

29. oldal


TDK-konferencia


2011.

α=

x i1 − x12 li

y − y 12 β = i1 li

9 H<

$ xi1 y i1 ( + " x i 2 y i 2 " + " ! + 9 K<% ( ' $ 7

+ α i + β i  − α i  − β i

− αi   f i1x  − β i   q i+   f i1y   = + α i   q i−   f i 2x   y  + βi   f i2 

9 J<

6 % " $ (% '$ % ( ' ( B .' # % ' " " % "

' # %&%' &"(B

"

$ ( "(+ %&%' (! - $ $ % Bq = f % " # ' % q

$

# 9 min V = c T q < '+ $ % $

# & +# " ! O% " " " "$ $

&"( +# [ @E 9M' ;
"

!' $ !

2%$%0% 9 : @@BB ==:Г(HIG=J ,%# %

) $? $ # ' (

+ n &

m &$ & #9 ;!'

30. oldal


TDK-konferencia


2011.

;!' 76 ;!' 76 !' 76

"

" %

"

" %

6 )@A

@E ) (7

min E = g T d

% '$ %

$

E

d

Bd = u d ≥0

")"

)

'(

9 L< )

d T = {s1+ ,s1− ,s 2+ ,s 2− ,...,s m− } si+ , si− $ & ( )

% " $ i = 1,..., m g T = {l1 * c1 , l1 * c1 , l 2 * c2 ,..., l m * cm , lm * cm } li , ci i $ & $ $ B % ( 2n . m ' . u T = {u1x , u1y , u 2x , u 2y ,..., u ny } u xj , u yj j

) ")xy %& $ j = 1,..., n ! - . + $ % ) $

%9 :!' 9 << :! !! '

$ $ 9 :!' 9'<

31. oldal


TDK-konferencia


2011.

9 <

9'<

:!' 76 ' % 9 < ' .9'< :!' 76 ' % 9 < ' .9'< !' 76 ' % 9 < ' .9'<

6 # $ ( % " $ ( % ' $ % ( f ' ( B .' #% ' " "!6$ & ( % " +# " @E 6#( '( ) ) %('( " '( ( )+' $ $ #( ( )+ '( λ ' %( $ 9M' J
" % ;!' $ !

32. oldal


TDK-konferencia


2011.

6 9 K< 9 L< % $) % " ' ?(! 6 ") " $ (!6 "$ ' ' (7 !' 76 % + 9M' J< 9M' J< !' 76 % + 9M' J<

N

+

@E

&"(q

" d

%# $ .

%&% .B

' .B

$

#((f

")u

>#%

V

) E

N + +

= .D"

$ "

S +% $ % $ & % )" $ % ! $% % ( " % ( "&" % % (& $ " $ (! 6 % ( & % )" $% + % $ % $%

'

+# %&% % ' % )" ' % & ' (( % " + % ! + $ % '

'( $ + ''" %9M' J
"(

" ! @ $ $ %

% ( % ( &"

$ 9::< 9I:< ( 9 ( %<"& $ (&"

$ !6 #%') )" ! 6 :! !! + ' "

KI " H!' )

+ '!

33. oldal


TDK-konferencia


2011.

K!' 76 " " K!' 76 " " !' 76 " "

H!' 7N

" " H!' 7N

" " !' 7N

" "

"

%$ $' " J! ' ! @ $ $ % 9 ( &"$ $ < ) $+& # #% '!6

+ $ % '

# $ % 9::< 9I:< ) $ "! 6 :! !;! + '

) ( " %' K!LJ ""9 L!'

34. oldal


TDK-konferencia


2011.

J!' 76 " J!' 76 " " !' 76 " "

"

L!' 76 L!' 76 !' 76 " "

" " " "

@ $ $ % " ' " ' "!

("( $ % @E " " ' !6 #'$ () )$' ! 2%$%!% AI D C; \" +# $ %

% (

# %

!C" (%

$") #!

35. oldal


TDK-konferencia


2011.

I!' 7C" (% I!' 7C" (% !' 7C" (%

6:! !!+ '' )

) '(

#% $'' " $ )!6 ;" ' #! C 7 7 KH: $'7 K4 @$ +K

7 KI

!' 76 ) $" !' 76 ) $" !' 76 ) $"

36. oldal


TDK-konferencia


2011.

6 + " (

' $ $ % #(% '

'% )" ) $ % %

$% $ ' %)

%&%$ #

!

2%% B; BB ; ;@GAГ(HIG 6 ' "

'' @E ' ! 6 ''% (7 •

= $> ) ' % " ( + !

•

4 %% ' !

•

C &%+? $ !

•

S. ' " % )& !

•

=) $ !

•

+% ' !

•

$ !

•

O$

+ % ' !

6 % %

'' ) #! 2%%$% EH.GC9 :BI = $> ) ' % " ( + # % " # %& " ! % ' $ 9 L<% '' ' $ 7

Bi d i = ui

+ α i + β  i − α i  − β i

− βi  + α i   si   = + β i  n i   − αi 

u Aix   y u Ai  u Bix   y u Bi 

9 I<

6$ αβ i& xy %' ) !

37. oldal


TDK-konferencia


2011.

!' 76 ' % !' 76 ' %

''$ (# s n # " !6%?''$ (

% % 7

ni = si * tg (φ )

9<

6 %' # %

( # + % ' + s n # $ % n % = $> ) ' +#+7

−1   1 N i pi − d i =   tg (φ ) tg (φ )

 pi1   si   2  − n  = 0  pi   i 

9 <

$ N i $% % . p i = {p i1 , p i2 } p i1 p i2 %

$ p i1 p i2 ≥ 0 ! 2%%% *;
d ")"

) ! "

$ % $ $

) %!'' '

%

38. oldal


TDK-konferencia


2011.

$ % ' %(+ % ' '' $ (#"(! P " # $ % % '

+#%$ ")%

" &% !, #

$ % % ' # ") $! 6

' %(9+72< ("( $ %

) "

$ % $% " !6 "

$

) "

% $2 ! 6 +' " $ "( $

) +' ( ) > " ' " % $ "! + # $ % #( '( ) ) %&% .

@E ) 7

$

T

λf LT d = − f DT d + g T p

n f D = { f Ds1 , f Dn1 , f Ds 2 , f Dn2 ,..., f Dm }

9<

T

n f L = { f Ls1 , f Ln1 , f Ls2 , f Ln2 ,..., f Lm }

f Dis , f Din , f Lis , f Lin i $ % %& " $ $ i = 1,..., m !

, $ u = 0 $ #!6 "

% % $ ($ %

f LT d = 1

9;<

6 " % $ &% $ $ ''(" 9<% ".7 " " " "! - + $% )% &%+? $$ !7?

" !7

+ ! 6 $ "

" % $

39. oldal


TDK-konferencia


2011.

" % $ % $

% !$$ " $' $ ) J!:!+ '! 2%%0% : A E 6 $ )' $ 7 ) $! = $ +# $ % $ %& " "+

$ A B C D ($ & $ $ % % $%" nAB = nBC = nCD $ #! N) $ %& " ) % +

! = $ $ ( ") % ) $

$ ( % ! 2%%2% ;:K L E = $ +? " $ $ # "!6&% $

/V]0

9:<

# " $ / &%' #( # (

%0

+ &% !="%$ & ( $ 7 &

' ( " &% s n %& "f' 7

s  − Wiα i ]  i   ni 

f DT d = [− Wi β i

9K<

$ W i$ &

' (" &% ! 6 9K< #' " $ %( &% +? $ T

%' &% $ $ ( f L ' " &% ! 2%%!% 79< ;

: C $ $ ( "'( $

( &% +? $ " "(! 6

40. oldal


TDK-konferencia


2011.

#( % )' $ &% 1

! O% " ) > "

" $ (! 2%%6% ( I 6 "$ $% ( $ &

) +" "

$

"

@E )' ( ( ' ^ % . ' ! •

S. 7

) +" %

!

•

3 ' " 7 6 $ ) 9 L
•

3 %7 6 $ '( &" ) 9 < % '(n ) +#!

2%%3% :Г(HIGI F=: 6"" $ #%

) $?= $> ) ' ( # ' (

+ n &

m & $ & #! 6 + @E ) (7

min λf LT d = − f DT d + g T p

% '$ %

Bd = 0

Np − d = 0

f LT d = 1

p ≥0

9H<

$ f@ f $ &% +? $

d $

" d T = {s1 , n1 , s2 , n 2 ,..., n m } si , ni i$

41. oldal


TDK-konferencia


2011.

) " % %& $

i = 1,..., m

g T = {l1 * c1 , l1 * c1 , l 2 * c 2 ,..., l m * cm , lm * c m } li , ci i$ & $

$B% (2n . 2 m ' .N % ( 2m . m % . p p p %

$ p p ≥ ! '' " ' p d λ @E !

2%0% 9 : @@BB ==:@ ;IIB> .>: F:

D 6 @E " "

( . %

! 6 @E " $ % $ $ % ( "$ ) @E ) ( % %? "

# A A > 9;!'
$ . #% %( + '' " " ) #% ! ' %'' F ?"(G # % +

" " ' F " #G ' ! 6 " % . ;

( ; %

# ! 6 $ &% %% '(&"K_!6 " . ( ' " +# (' $ %% (! 6 " ( ( % ! '

'' $ $ %% "( % $ % ' %

" !

42. oldal


TDK-konferencia


2011.

!' 7E

!' 7E

Pontok sorszám x 1 0 2 1 3 2 4 0 5 1 6 2

y 0 0 0 1 1 1

Élek Él sorszám 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

kezdıpont sorszám 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 5

x 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 0 1

végpont y sorszám x y 0 2 1 0 0 4 0 1 0 5 1 1 0 6 2 1 0 3 2 0 0 4 0 1 0 5 1 1 0 6 2 1 0 4 0 1 0 5 1 1 0 6 2 1 1 5 1 1 1 6 2 1

él tulajdonságok hossz 1,00 1,00 1,41 2,24 1,00 1,41 1,00 1,41 2,24 1,41 1,00 1,00 1,00

szinusz -1,00 0,00 -0,71 -0,89 -1,00 0,71 0,00 -0,71 0,89 0,71 0,00 -1,00 -1,00

koszinusz 0,00 -1,00 -0,71 -0,45 0,00 -0,71 -1,00 -0,71 -0,45 -0,71 -1,00 0,00 0,00

szabad perem-e nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem nem igen igen

6" )' @E " J ('(7

•

%#

$ .

•

,

•

>#%

•

Q '' "

43. oldal


TDK-konferencia


2011.

•

A

•

>#%

•

, (

6 +@E " ;!'

!6 (' % + ) $ % "( ' ? "#! 6

% %#

$ . % ' ' ( $ )! 2%0%$% &= A 6:!!J!+ '

( "

" ! 6 ;! ' '

$

" ) +" ' $ % %

! 6 "

" % '

$ ! 2%0%% . IM

D ;D : >) @E " " $ % #%

#% %!6#% 9#% ;! ' ' < + ' '( ! 6 H!

&% % %& # ! 6 JK! "

! $ $+ ! 6 #%

"+ %' 2 % + 'L;J! 2%0%0% D= A 9 ;? 9 : Q " ' `aa

$ % ! AA> "+' )"+) "! 2%0%2% MEA=BN 6%#

$ .%'(7 !

f LT d = 1 !6 ! H! ' $%" @ ''")

!

44. oldal


TDK-konferencia


2011.

6 ;! H! - . + JK! ) + Bd = 0 ! 6 :;I!

Np − d = 0 ! @ $ $ % 4 . JK! '

$ % " " !6 " " H! ' (( '

$ "+ " " ! 6 ) + ' ) )

% )+

) ") ( $ %( +

) $% + $% # % ' + %( ! $ " '' '' $ ( %#

$ .! 2%0%!% CC< : @ = = + ' + '' " % +# %#

$ . ! 6 A ' $ " ' (%(!6;H;I! ' S %+ :!!H! + ( ' ' +# %(! $ ( @E " ' " . ". % "( " '$ % ( " '

' " $ %

+##!6+ '' " ( f LT d = 1 '( '' ) '' )

! 2%0%6% @ ;IIB> .>
"$ +) " ! !

#% " ) #%

!

#% +)

;!

45. oldal


TDK-konferencia


2011.

:!

+ '' "

K!

H!

%#

$ . "

!

6 !

$ % % '' % %( ) !

!' 7AA> = " !' 7AA> = " !' 7AA> = "

6 "

+) #% L;J % ;! '

! 6 " % ' % $ ) "9;!'
;!' 7 " ;!' 7 " !' 7 "

46. oldal

Sorszám 1

Pontok

2 3 4 5 6 1 2 3 4 5

Élek

6 7 8 9 10 11 12 13

2 n

s

3 n

s

4 n

s

5 n

s

6 n

s

7 n

s

8 n

s

9 n

s

10 n

s

11 n

s

12 n

s

13 n

s

1 n

p1

együttható 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 mátrix 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 2 -1,00 0,00 0,00 1,00 -0,71 0,71 -0,89 0,45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3 0,00 -1,00 -1,00 0,00 -0,71 -0,71 -0,45 -0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,71 0,71 0,00 1,00 -0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 -0,71 0,71 -1,00 0,00 -0,71 -0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,89 0,45 0,71 0,71 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,45 0,89 -0,71 0,71 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 8 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,71 -0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,89 -0,45 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 9 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71 -0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,45 -0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71 -0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,71 -0,71 0,00 0,00 1,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71 -0,71 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 -1,00 0,00 12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,89 -0,45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71 -0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,45 0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 14 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 15 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 16 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 17 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 18 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 19 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 20 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 22 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 23 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 24 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 26 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 27 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 28 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 29 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 30 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 31 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 32 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 33 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 34 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 36 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 37 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 38 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 39 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 44 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

célfüggvény vektor Változók Célfüggvény értéke

0,00 1,00 0,00 0,00 0,35 0,35 0,45 0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

2 p2

p1

3 p2

p1

4 p2

p1

5 p2

p1

6 p2

p1

7 p2

p1

8 p2

p1

9 p2

p1

10 p2

p1

11 p2

p1

12 p2

p1

13 p2

p1

p2

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,09 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,09 0,00

1,00 -0,35 0,35 0,00 0,00 0,35 0,35 -0,45 0,89 -0,35 0,35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,41 1,41 2,24 2,24 1,00 1,00 1,41 1,41 1,00 1,00 1,41 1,41 2,24 2,24 1,41 1,41 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 1,55 0,14 -2,70 0,24 2,21 0,19 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,19 1,00 -1,43 -1,70 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,55 0,00 0,00 2,70 2,21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,55 0,05 0,00 0,00 0,78 0,07 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,19 0,00 0,00 2,70 3,13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = F F F F =

Jobboldal

1 s

Operátorok

Él sorszám tulajdonság

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

célfüggvény értéke:

8,37

!

2%2% A<: E ;:= 6 " (# $ % $% +)!6 ( " %$ $ ( '' % ' $ '+ (

!6% "( $ (

( #! 6 " # # ! + '! ="

' $ "! E" % "$ & $ %; . # K 7H. + (J! "" + $ %

' % % ? ' ! % ' $ % &%

9

+ %

( $ "" $

'

"" $ "< "$ %$) ) "(

% !% + % (% ''$ $ "+) " +"$ " +#

! ( $ ) M' % ; '! 6 " $ + $ "$ # # (

9H< % ") % %&% % ) @E ) :!K! +

% !

2%!% ;:KB ; ;@GAГ(HIG 2%!%$% Г(HIG 6 ") + H!J % ") ( $ 7 %# %

"

) $? = $> ) ' ( # ' (

+ n &

m & $ & #!6 +")%&%@E ) (7

max λ

% '$ % :L! "


TDK-konferencia


2011.

B T t + λ f L − q = − f D

N T q ≤ g,

9J<

$ t T = {t1x , t1y , t 2x , t y ,..., t ny } tix , tiy . % %& ( $ i = 1,..., n % u ) '

( q $

% %& $ q T = {S1 , N 1 , S 2 , N 2 ,.., N m } $ S N $ % %&'(( i = 1,..., m ! 6 λSN)λ . ' $ & %' "

= $> ) ' ! 6@E ) + % "

& 7

Bi ti + λf Li − qi = − f Di T

+ α i  − β i

+ βi + αi

− αi + βi

t Ax  − β i  t Ay   f Lis   S i   f Dis  = − + − λ  n   n  N  − α i  t Bx   f Li   i   f Di   y t B 

9L<

6 # $ +%' $ 9:!' < % # % +!

:!' 76"

$ ( :!' 76"

$ (9M'

!' 76"

$ (9M' J< 9M' J< J<

6= $> ) ' + % "

& 9I<

N iT qi ≤ g i ,

49. oldal


TDK-konferencia


2011.

 1 tg (φ )  S i  cli   − 1 tg (φ )  N  ≤ cl ,   i  i 

9I<

6 % " #

'( " ++) % (% $ % ") " $) "+ % $ ) "

t.+t%+SN $ +#! 6 :! + ''

%

#

) + = $> ) '

+# ! % ' $ +) $ ") " + ( +) " ! 6 9I< % '( ( 9 < % ! C + # $ % 9H< % ' '( ) % $

%! 2%!%% : @ ; ==:;@GAA<: = )

) ( " % $ % ? " " ) % "'' " "( %! = )

$ $ % % " mall =

n ( n − 1) &$ &

% "( 2

$ (+ (! 6 " % "$ "' % ' 9 '' %"" mbbm < @E ! T% '

% ( $ + ( #'

)! 6 ''( "" $' # " %

& $ &

@E " ") +" " % % + + +)! M' ; +

& $ . $ +# $ % $ & $ $

2 '

. +) 9%% ' ( < ( m = 4n $ & ) (($ + ( ! ~ = m − m & $ & ' +) % = +" m all

" $ ") &+' "+) " ! = "

50. oldal


TDK-konferencia


2011.

~ ~ ' +# t.+ t%+ " ' $ S i N i $ 7

~  Si  + α i ~ =  N i  − β i

+ βi + αi

− αi + βi

 t Ax  − β i  t Ay   f Lis   f Dis  + λ n +  n  − α i  t Bx   f Li   f Di   y t B 

9;<

~ ~ S i N i

J!! '( S N R

~ $ S~ N~ % " @E !T% m $ S N B m i i

$ ($ ( = $> ) ' 9J!;! ) ' ' " $ % F %G +" % $ "+) @E ' $ ! 6 &+ $ "

% " "

$ % Kc % ") @E ' ' ( ! % % %? $)

$ (! + " $ " %? " ' + $ % %

"9( & $ + < %

' ) + (+ ) "( # ! 6 ' % + $ % % %? ' " "$ "('# "$ ! 6 " (7 O!

6 % ' " n

!

OO!

6 &" ' + !

OOO!

6@E ' ) ? ' !

O,!

@E ' " !

,!

69L<9;<% + m (# = $> ) '

!

,O!

6'' '$

'' % $ "+) @E ' $ +" OOO! ( %

+)$ % ''#!

51. oldal


TDK-konferencia

Elmélet, megvalósítás, alkalmazás ,OO!

2011.

6 $

" % + ? ' " %(!

6 $

9+ ' $ )" ") @E " $ 7 ' "" $ "< " ) "( " # + ( $ (!6 $ ;K $ ) "( % L c + ' "$ #"( % c + ' $ % !@ $ $ % ) "( % % %"" 9M' W % ;
2%6% ,;E

;;B @ 6 % '

) $

++

&% ''' ) % $

+ ! 6

' "$ ' ''

"

+ $ ! 2%6%$% 3 ' $ ( $ & φ "

+

+ + ( +# ! + ( ' c $+ $ &%

!6@A " ' (' "+ φ % " "

) $ % #'#+ +' ( ! 6 %? "

'( &" # % '' értékőt +# φ % ('+ '' !6

&% $ &

+ &% # % '! 2%6%% ;B @ 6

+ %( $ &

+ + ( & % #( $ % "

+

) +" % ' $ ( 9>$ IJK II

52. oldal


TDK-konferencia


2011.

$ & % #( % ' K!' )

+ !

K!' 7O$ K!' 7O$ !' 7O$

+

+

+

2%6%0% B; =B:9 :BI E: ;= ""% +

''$ = $> ) ' ) ' $ $ % $ ( %" + .! +#

$ % ' ! 4 % $ ) % +# %! 6 " ('' " " ' % )

'' " ' ! E" - - " )

+) ' 9H! '
"

#'( # '' +# %# "$ ( %

! 6 % % " " $ % #( "(#% % @A('+ #!6 (#%

53. oldal


TDK-konferencia


2011.

#%

# ":c )

( $ (!

de=E f

/e=E f

H!' 74 % !' 74 % H!' 74 %

6 %' '' %'( 9J< ( " )7

+ 1  − 1 + 1  − 1 + 1   − 1

c a l i  tg (φ a ) c a l  tg (φ a )  i  b tg (φ )   S i  c b l i  , ≤  tg (φ b )   N i  c b l i  c c l  tg (φ c )   i  c c c l i  tg (φ ) 

9; <

$ φ k %$

'(&" c k %$

$! 6 ) ! 6 ") '% 9 < % ( )7

54. oldal


TDK-konferencia


2011.

 pi1a   p 2a   i  1b −1 −1 − 1   pi   si  1 1  1  2 b  −   = 0 9;< N i pi − d i =  a a b b c c  tg (φ ) tg (φ ) tg (φ ) tg (φ ) tg (φ ) tg (φ )  pi  ni   p 1c   i   pi2 c  @ $ $ % (

" ")

% ") ''% ! 2%6%2% )

;? : 6 $ % % %? $ $ ( " " $ %? # ' % ) +" )

!

) +" I K' 9- I K$ IJK
$&" $ )

$' $ $ % ( $ 9>$ IJ
- - "! 2%6%!% & ;;FA: B=<:= K 6 % ' ( ") " ' $ % 9! < % %" + $ "+

+ " ! '' ' $ $ %"& ! (

$ ( $ & #% $ 9J! '

55. oldal


TDK-konferencia


2011.

J!' 7 J!' 7 !' 7

2%3% I
) " +? ") )") !

+

' ") +?

? ") $%

" + " ' $ %(? ") 9L! ' <96D
L!' 7 ") "

+ L!' 7 ") "

+ !' 7 ") "

+

56. oldal


TDK-konferencia


2011.

- % ' ") # $ % ") $ % $ $ ( " ! O% ") $ ( ( + #! 6 ") % ' $ # ( %#

" " ") +( " '( (

"

) ! 6 ") ? ") " # 9I!'
I!' 7 " I!' 7 ") "

9@ 3

= ) < !' 7 ") "

9@ 3

= ) < ) "

9@ 3

= ) <

% $' " %' "$

+

+ ('+ !6 ") $ & ) &!

30!' 7@ ) & ") 9@ 3

= ) < !' 7@ ) & ") 9@ 3

= ) <

6 5 ") $ ) ")5 ! ") % %& ") %& ") !

nω = u l ω

9;;<

$ ") 5 ")

57. oldal


TDK-konferencia


2011.

u = 0,5 −

1 1 + e π tan φ

9;:<

6 ") +( + %& ") 7

n = a tan φ + u l ω

9;K<

6 ") # " % %

") = + " ! = $> ) ' (

+ ")' '( ) 7

W =

u l2 ω c tan φ

9;H<

6 &"' '( ) ##% '!6#( ( ")

)+ $ % $ +) ") $ % $ !6% ") 95<% % '( $ ( :!!J + ' #! ") J!! + ' )

)" !

2%#% DF IB C D 6 @A $

$ (#

+ $ % ' ! 6

+%

6-( "

) 7

E AB = U AB n AB

9;J<

$ E6-7 6- ( "

) U6-7

+% ' % ( 6-n6-766- +( %& "! 69H<%

+%

'( ) 7

min λf LT d = − f DT d + g T p − u T d

9;L<

$ u T = {0, u1 ,0, u 2 ,..., u m } u i$

+% $ i = 1,..., m !

58. oldal


TDK-konferencia


2011.

6 ) "( :! !;! + ' ) + ") !!6 + " " ' $ +%

( ) !

59. oldal


TDK-konferencia


2011.

!% DA:G@ 6@A "'+($ (' )

+? "' % +

# =6@6- > % $ ) $ #

)% " %($ (!6 =6@6- "+ >

$ ! Q + + ' )

) +

" !- " "@A

%&+

$ (

('' '( (

) 9! "

"
" )

+ '!

!%$% * B; : 6 " $ $ ( ' ' " % % +# $ ( $ !

" "+ ")

% '' ? ' '' " % $ )! 4 % '' ' & " ' + % '' ' + % ?"$ " '' ( %! 6 ' ' ' % ! 6 % '' $ # ' ' 7 •

C % +)$ % " g

•

=% " )") ) "(g

•

=% " $ ) @E g

•

6 % $ +)g

6 ( % ( )% %' "

) "( ( $ ) "( +#

60. oldal


TDK-konferencia


2011.

$ ! " # $ % % ( '$ ) ? & %'(?! 6 $ " '

" " "$ $ " ! ''

# . '( " " $ ( ! 6 $ % # % $ +) " % " !

" % + &! " % " + ' ' '

(# "! 6%" $ $ %

$ " " $ $ ! = " ' + (' % + ( % !

!%% " ; 6 " ' ( " % ''

' ' %?+

#!

61. oldal


TDK-konferencia


2011.

:!' 7- ( " !' 7- ( "

-

@ 6

+ # % "

' +)!

"+ "

# ' $ % ) +" $ % ) & %

+ !

# 6 # "+ $ % %$ $ ( 9"" < % ' ? $ +#

$ ?"$ +?+ (! C $ 9 6 $ $ ' $ % )

$ % $ % "< $ $!# $ % "

$ % 9"! '' "
%
+' 6

+' "$ ) % )% ' $ ) )

+ + ( 9+ < %#

9f
+

$ ! 6 # '' ' $ +)

+ + ( + $ "+# 9f0< - 6 # ''' " #$

) ")7 ) $ % % $ % &% $ % " $ + ! 6 ' # "%

)

' !

!%0% @A B==:=; < : B 6 % "+ $ % ' %

+) " $ +) " 9; !'
# $ % " ' % + ' !6% ' + $ % % ' " +

62. oldal


TDK-konferencia


2011.

$

! $ % $ % " ' "(% ?

(% %

" $ % $ %?! O (% )

# # )% " ) + $ % % ' # ' %? # ' !

; !' !'

6 $ ( $% #% ( ! "(%$ %% % ) ' !6

'' ' ' )

+)$ %$ % $ " #% 9 "

;!' )

+ <7

$

"

%'

9;I<

9:< h %

( %%' !6 " '

( $ 7

9: <

9:<

63. oldal


TDK-konferencia


2011.

9:;<

('+) !6 "'$ %% &%

) %$ %% ' $ ' &%?+$ %( ( +# '' +" " $ "

" +#) $ " %" (" ''

'i9;!'
C

; :K H

6 $

"( %(

" (+$+) )7

9::<

$ ! $

"( !

;!' ;!' !' E E

6 %'% "

$ " "( + &% % "# % " & % " ! ) " % +#7

64. oldal


TDK-konferencia


2011.

9:K<

9:H<

$ &"( + ! 6 #% ( " % '' (% $ % $%

'' "

"

?

$ (!4 %$ % ' $ % $ $ ( # ! E") ) '' '$ ) $ ' % ) "( ! 6 ( ' )

+ "(% $ % ! K!' 7= "(% $ % !' 7= "(% $ %

= % = % S) "( % "

$ $ E E # #

@ @ 4 % 4

#% #% 4

3

( %?

4 - % ) $

= ")' "% )9$'" "
% "+ $ % %

$ + '(% +

$ ( $

+

"

+ ! 6 +' "%

$ $ . "+) % $ ! 6 % $ $ ' +' ) %%?" $ %

"

$ % !

65. oldal


TDK-konferencia


2011.

6

#% ' +) )% % " ! 6 % $ $ '

+ +)$ "( " ( $ +' "

% ! $ ' !" ''

#% "( $ ! C '' $ ' $ ) "

#% " ' ' !) + "+ $ % % $

! @ $ $ % ?

"+? # % $ ( %! $$ ) $ '

)! C % $ % ) % % " ! 6 ) ' ' ! 6 " . % % '' $%%# !

!%2% ГB; =B:@ =:BI <I F=: 6

" ) & ;;! ' $ ! 6 . . $ )% $ % % % ' ! 6 " $ ( % $ % % . +) ## +" % +#%%#

$ .' )

+ ;;!' !6 $ ($ % % . +) ! (% $ %% $ +) %$

$ %

' $ % $''!= ( " $ )! 6 %' % +) @E " &% 6 . ( % ''%

! 6 " $ " ) $ % % $% 4 . ( $% ' " % ' ! $+ @E

66. oldal


TDK-konferencia


2011.

" '" $ +)!P

' $ " $ $ )7 ' % ' R " + R % ' "$ +) 9! M@E< ) ( '

$ % ' " %!= ' )"+) )% " $ (% ' 9!= ' % =A3 = '$ < % % +# ( % " ))! 6 ''

' % .' ( + & % % '

! $"(% " % ) + +)!

;;!' ;;!' !' S "% " S "% "

!%!% B; =B:@ =:BI < <=: 6 " '' ' # " "$ +) . % '( "! 6 .

67. oldal


TDK-konferencia


2011.

" $ % '' # " % $ ) " '( " ( ! # "$ $ $ +) " % % + %" '' ' '")) "

" ' &+ '' ") ' $ ! :!K!!+ '

#! 6 '' $ % '' $ $ % % "! 6 ;:! ' )

+ ) "( ' 9 < ! 6 $ $ % ) "( " '

)

% ! 6 % + "+ $ $ % '' " '' ' !

;:!' ;:!' R !' RS) "( # S) "( #

6 " "$ '' +

@E "$ (!4 % (9!=A3= '<" %9!M@E< "! (

68. oldal


TDK-konferencia


2011.

% #'(!6"

" ) !6 '' '

#! 6 = ' '

" " + ''

) "$ "# &! 6 . "+ ) )

' )

% '( " %! + '' % % " %

!

" " $ $ $ %

") " % ) % ' " ! 6 " > ' "

# "$ % '( " % @A " $ % )"+) ' )

) ! 6 " '

$ = "+ $ ) % % % "&!')

$ (%$ + % ( ' "$ ! 6 " % ' +) % ''# #$ #!3 ) (% $ % = '$ ' # + % = ' #

) +# #' ! 6 %' "# = "$ ) $ )"+) ")$ ! 6= "+ "#

' " . "'( " H.H %

? ' ! "$ $ %) "('' %) $ % '' ''$ "$ !6 $ $ ( $ % $ " "

! 6 $ " " M@E 9M48 @ E < % % ' " "" "( " " !6 ">%"

''# ' $$ $ %

69. oldal


TDK-konferencia


2011.

% +#! 6 = '$ )% %M@E=h% #! " ' M@E"# ? . ""#

') "+ '' "$ + ''!3 + '( ""#

' + ( ! 6 " " ''

( % % % %#

$ . "+

'( " ) $ $

! 6 (''' ' )

) " %$ = "+ $ )!

!%6% DA:F@ 6 # + $ % " '

$ '' '

" ' )

) % ) ' $ % ' % # $ %+ # " ! 6 ) ' )' $ ( % @A " ' + !6 (' # ) % '

#

' 7 •

& # " # "$ % $ ?!

•

= "$ %% % '' ' )

$ ) % ) !

•

'' #'( " +$ ( % #( " $ !

•

= "$ $ % . % '( " $ ) " "$ ! 6 ''

'

'( " $ $ #

= " !

•

% +

+ "(

+ $ )!= "$ +)

+&% % )) $ !

70. oldal


TDK-konferencia

Elmélet, megvalósítás, alkalmazás •

2011.

= "$ $ % &% $ $ " %

$ %% '!

•

6 $ $ ' "$ +) $ %

++ % $ + % ' !

E ) = ' NI'

#! 6 + ) $ # 9M8O M $ 8 O < = ' + %

#!6 . $ + " ( > % # ! =h +

) %% "$ %" = '#

>%! # " ) "( % )

% )" $ % % !

!%3% ( C G=: 6 ?" E " " )

)

+) ' +" $ $ ) + " " %($ ( !

71. oldal


TDK-konferencia


2011.

;K!' ;K!' !' 6 " ( 6 " (

! 6) $ # # = ') "+? " % 9=N> = ' > N)
) >

$ =N>O

!. + ! '' ( " ! . +'

$ ! ! 6 " $ >

$ " j !. + " ) ! %( ;K! ' )

+ ! ' + 7 ( ' 9 < % ' 9
+) # 9;
) # k $$

) l

# ' l ' ! + l # ' l '" ' 9;H!'

72. oldal


TDK-konferencia


2011.

;H!' ;H!' R !' R # ' '" ' # ' '" '

:! 6'" ' ' $ #

" %' !P ) h % J m % K +"

) lAl ' ! #

! K! = +) # $ % + $ % % )! # $ +)

%

$

" ! H!

) l$l ' +"++# # $$% ! $$%

) ' (. +" +)9BK<

)!

73. oldal


TDK-konferencia


2011.

;J!' ;J!' !' C $ ) +" ' '" ' C $ ) +" ' '" '

J! =+ lC $ ) +" ' l '" ' 9;J! '
' $ +) $ ) +" 7 "$ +) " # % $ % ' $ $ % $ % " $ $ % $ %$ + % " "

+$ ! = "+) $ % $ $ + % l=l ' ++# ! =" ' ) ! (

) lN"'l ' ! L! 6$ % $

# &% % ' " "+) ;L!' +! %''" ' +!

;L!' ;L!' R !' R=

" =

"

I! )

) ( ' lS)

l '+ k + lS)

' l'" ' 9;I!' < ' $ +)$ % "

" +) $ % ! # "$ &% + " " "9 .'( "
+

74. oldal


TDK-konferencia


2011.

! 6 "$ " " lA #lR ) ) . " +"

) lS)

l ' !

;I!' ;I!' !' S)

' '" ' S)

' '" '

! 6)

' $ +#% !=) $ ( ( ' ' 9:! '
( $ " " !6 )

' " "9K! : H< % "

" % (! (''' +#!

75. oldal


TDK-konferencia


2011.

:!' :!' !' S) " % S) " %

! 6 "" " $ &+ " $ $ l= " l #

)!

76. oldal


TDK-konferencia


2011.

6% 7G=: 6

$% + ( +) ' )

% " + +

! 6 +

) (

$ % % " )

)' % "$ ! - )

+) $ % $ % ( $ " % " $ %% "+$ % + @E )' !

6%$% =D@B9 :9;:K :E BA; M 6 ) # %?'' $ &% '( &" #% ' $ "%% +#! E " "

) " 9: ! ' <

+ ! 6 % ( $ $

+ &% % #$ % ( $ 7

QULS = (2 + Π ) c B

9:J<

$ QULS % ( $B c

+ $+ !

: !' 73

+ E " !' 73

+ E "

% c = 1

kN $ % ( $7 m2

QULS = ( 2 + Π ) 1

kN kN 1m = 5,14 ! 2 m m

9:L< 77. oldal


TDK-konferencia


2011.

6 #$ %

$ % $ % @A ( ' % ' $ # $! 6

%' " %( ' " !6 $ ( ' " $ % %% $ #( ") $ ! 6

% ' " .! 6 " $ $ % $ % .% ") # % ''% !

!!

!

;! :!' 76

+

:!' 76

+

!' 76

+

6 ) 9:!' < !Q %$ ($ % ! !:K_ *V_!6$ + # E " ") !O

%$ ( %(? ") " ' ")

+ !6

%' K IL " c #'!

% ( ( &" % "! 6 '' ' +) " % $ & % 9 !M

78. oldal


TDK-konferencia


2011.

Élek száma a raszterméret függvényében 1800000 1600000

Élekszáma

1400000 1200000 1000000 800000 600000 400000 200000 0 0

10 Élek száma

20

30

40

50

Pontok száma

Hatványfüggvény

!M 76$ % ( #%' !M 76$ % ( #%' 6$ % ( #%'

@ $ $ % $ %

" ? ! Analítikus megoldástól való eltérés

Eltérés

10,000%

1,000%

0,100% 100 Pontosság

1000

10000

100000

Hatványfüggvény

1000000 10000000 Élek száma

!M 7 !M 76$' % ") )'

76$' % ") )' 6$' % ") )'

6 #' 9! M
# ! 6 "

+ c $'$ ( I # " ;.

79. oldal


TDK-konferencia


2011.

$

% ?! 6 c $'$ " + :I

.; $ !

:;!' 76 :;!' 76

+ !' 76

+ ?? &

+ ?? & $

?? & $

$

% ;.H & )

$'+ Kc 9:;! '
'')

(. #!

6%% =D@ B 9 : 9;:K : C :? :KA<=:B : 9 IB C D D 6 " % "

+ ( #( $ $ $ ;E '( &" :_! 6

+

&% 4^ ! 6 " $ + '

'( &% "

$ '( &" " + % . ! 6 " % !

80. oldal


TDK-konferencia


2011.

::!' 73

+ ::!' 73

+ *V _ ( $7H !' 73

+ *V _ ( $7 ( $7H4^ H4^

:K!' 73

+ :K!' 73

+ !' 73

+ *V;

*V;_ ( $7 *V;_ ( $7

H4^ H4^

3 ( $ $ ) > " 93$ L< ('' (7 $' %(7  

Nq := exp( π ⋅tan( ϕ ) ) ⋅tan 45° + N c :=

(

( N q − 1) tan( ϕ )

)

ϕ

2

 = 2.471

2

= 8.345

N γ := 2 ⋅ N q − 1 ⋅tan( ϕ ) = 0.519

9:I< 9K< 9K <

81. oldal


TDK-konferencia


2011.

3 %( % ! sγ := 1

9K<

sq := 1

9K;<

sc := 1

9K:<

6 $#($ % $" %( %%! iq := 1

9KK<

iq ⋅Nq − 1 ic := =1 Nq − 1

9KH<

iγ := ( 1 − f )

mB+1

=1

9KJ<

6 ( $ % ) > " 7 1 Rk := B⋅ c ⋅Nc ⋅ic ⋅sc ⋅bc + Nq ⋅sq ⋅iq ⋅q + 0.5 ⋅γ ⋅Nγ ⋅sγ ⋅iγ ⋅B = 255.537 ⋅kN m .

(

)

9KL<

6 '''(&" # " % ' ' ' )9H!' $

# ( $ $ 9>$ IJK< % +' 7

82. oldal


TDK-konferencia


2011.

;!M 73 $' >$ 9>$ IJK< IJK<

6 % $ $' 9;!M
M # $ ! 6 @ 3

M % % '

) 9@ 3

M = ) E ") "
" %

' ' ' )9H!'

83. oldal


TDK-konferencia


2011.

H!' 73 $' !' 73 $' e4^ 73 $' e4^ f

Sorszám

LimitState Geo

φ [°]

1 2 3 4 5 7 9

0 5 10 15 20 30 40

EC

156,2 202,1 270,3 369,7 524,1 1170,0 3467,0

PLA

154,3 195,7 255,5 345,1 484,4 1105,0 3320,0

Eltérés EC

Saját

150 190 250 350 470 1180 3380

155,7 201,4 262,2 351,7 491,0 1112,6

Eltérés PLA

3,8% 6,0% 4,9% 0,5% 4,5% 5,7%

1,0% 2,9% 2,6% 1,9% 1,4% 0,7%

Sávalap teherbírása

Teherbírás [kN]

4000,0 3000,0 2000,0 1000,0 0,0 0 Limit State

5

10 Euro Code

15

20

25

Plastic limit Analysis

30

35

40

Saját program

45 φ [°]

:!M 73 $' !M 73 $'

6 % +

" % )

9:! M < '

" % % '' )

) > " % $ $'

" % ( (("'

$ ! )% "

)$ 9K!M
)

+ $ % " $'+ & )&$' $ !

84. oldal


TDK-konferencia


2011. Hiba nagysága

Hiba [%]

100

10

1 100

1000

10000

100000

1000000 10000000 Lehetséges csúszólapok száma

Eltérés a PLA-tól

Eltérés az EuroCode-tól

Hatvány (Eltérés a PLA-tól)

Hatvány (Eltérés az EuroCode-tól)

K!M 76$' % ") )'

76$' % ") )' !M 76$' % ") )'

6 $ %#% )& " " $'

)$ ! &%

" '( &" #'( " + (! '' " ' + % $ ( ''( "" $' % ( K c ! 6 " ' ?

) +'' '

'' )

#! '( &" '

E " 9:H!'
:H!' 76E " $ ) :H!' 76E " $ ) !' 76E " $ )

6$ % '(&"( + C $ )9:J!' <9>$ IJK

85. oldal


TDK-konferencia


2011.

M

-

S

>

-

M

>

S

M

:J!' 76C $ ) :J!' 76C $ )9>$ !' 76C $ )9>$ IJK< IJK<

6

" % $ ' $ +'

) " %! 6 M ' ( +;_ KLl C ;_!

6%0% =: =:; MBIM

? :I9
"

(9S IIK<7

m0 =

4c φ tg ( 45° + ) nγ 2

9KI<

86. oldal


TDK-konferencia


2011.

$ $ * '( &" 0

+ &% '

%(! Q ' '(&"*V_ $VKE !6

+ &% 0V 4^ ;!6" V % ' %( V ! 3 ' # ( ' " ' " + '' " .!6

+ &% $$ $!6

% ' IK L! :Lc '' ) "!

#' " $ % "# ( ' "! #

)% " % & 9:L!'
:L!' 76 :L!' 76 # !' 76 #" )

+

#" )

+

" )

+

= N ( ' $ ( ") % '' ( '! S) '' ' ) 9:I! ' < % ( + IKJK 9S) IJ

87. oldal


TDK-konferencia


2011.

:I!' 7@ ) & :I!' 7@ ) & !' 7@ ) & 9>$ IJK< IJK<

" ' ' + '' )

% ! 6 # @ 3

M 9K! ' < %IK "

" %#!

K!' 76

@ 3

M K!' 76

@ 3

M !' 76

@ 3

M

@ $ $ % " % '' " S) " %

''( + !

6%2% (:: FDI9<;=: 6 "% $ N "

) " 9K ! ' <

88. oldal


TDK-konferencia


2011.

K !' 7E "% $ N !' 7E "% $ N

N

6 "% ' ( 9< # ' # '( $ ! 6 % " $ +) "% $ # % $ ?" #! 6

+ &% " +# $ ( $ ") "# !

89. oldal


TDK-konferencia


2011.

K!' 7E "% $ @ 3

M !' 7E "% $ @ 3

M *V K!' 7E "% $ @ 3

M *V _ _

6 '''(&" #9J!'
Sorszám φ [°] 1 2 3 4 4

0 10 20 30 40

Állékonyság Analitikus LimitState Geo 2,500 3,094 3,876 4,964 6,588

2,500 3,094 3,876 4,964 6,589

6H!!+ ' % " ' + " '(&"" %$ (

() )$' ! 6 "% ' ( # "% $ $ 9K! '
) " ! 6 % $ ' ) @ 3

M

"%

$ ( "

) " 9H!M

90. oldal


TDK-konferencia


2011.

Vízszintes feszültségek passzív földnyomás esetén 2

Vízszintes feszültség [kN/m ] 0

1

2

3

4

5

6

0 0,1

Terepszintıl mért távolság [m]

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 LimitState Geo eredménye

Analitikus megoldás

Számított eredmény trendvonala

H!M 7E "% % !M 7E "% %

6

" %

" %' ) " # ' # K "+% !6

# ) " % ( IHJL! 6

E " +)' 9K;!' < ) :_ KJl ) " % K_ $ ";l!

91. oldal


TDK-konferencia


2011.

K;!' 7E

+ K;!' 7E

+ *V:_

!' 7E

+ *V:_ *V:_

6%!% KB;
#(% $ $

+ $ ! 6 L

( "

''

! 6

+ $+ 4^ '( &" _

&% %% #!6 $ % '' #! 6 @ 3

M #9K:!'
K:!' 7@ 3

M K:!' 7@ 3

M !' 7@ 3

M

92. oldal


TDK-konferencia


2011.

KK!' 76 +

KK!' 76 +

!' 76 +

6 #

)

9KK! '
" $ ??' @ 3

M ??''

#!6 $ ; ;4^ R

""

! 6 $ % #' ;I: 4^ H c #'! % ?? '( "! 6 @ 3

M ''

; 4^ " + " %! 6 ' %$ ($ % +#' !

93. oldal


TDK-konferencia


2011.

3% Г =: '' + ' "

") @A $%

)

# # % )! 6 @ 3

M #! S

+) +% $ % @A % &+ " " ( %?

$ ! +

) % F ( G ' )

%'( % $ " $ (! 3 ) $ ( + $ )' != + $ % (''' !% + % $ )

+ (% ! 6 +" % $ " $ ( $ " !6 & + '(% @A $ %

+& " )" " ? !6 ' $ % $ %

$ ! ' $

+ + @A! (% " ' *") + $ %'

+ ( ) "( ! 6 ) # ' ") ' %% '$ (!

3%$% :LDB : = 6" )' &" ! 6 @A

+& " " 9KH! '

$ +) ' #% "$ ) %' % %$ $ % # !

94. oldal


TDK-konferencia


2011.

KH!' 7N?

KH!' 7N?

!' 7N?

6 $ " % $'" " ! 6 " # % )! 6 &% % ' #

%?'' " 9KJ! ' < $ ( $ + +) +" " $ +) $ ) ) ( "

+

# ! % "

$ # ($ % $ !

+ 9

# < #' +) "

# '( 9

# < % +)

# !

95. oldal


TDK-konferencia


2011.

KJ!' 7#

& # KJ!' 7#

& # !' 7#

& #

3%% =D@ I

") ' $ ! ")

+ $ :!J! + '

(#% '!6

+% % % % )$ % !6@ 3

M $ ( ' ")% ' !

KL!' 7 % 7( $ KL!' 7 % 7( $ :K4^

96. oldal


TDK-konferencia


2011.

KI!' 7# % 7 KI!' 7# % 7( $JK !' 7# % 7( $JK I4^

@ $ ") ")# " ' " $'' + (#' )

!

3%0% DF 6@ 3

M )% '

+% :!L! + '

( % '! 6 )

&% $ $ $

&% +)! = % ' % $

+% " $ $

+% !E" % " E$ 3" '

$ " 7

+ % %%? + % % & "+ ! 6

) '( $ ( % " $ % %

+ " % % '! '' )

$ (

+ $

%

+ ' ( #( $ $ (! 6 $" )) " % % % "

$ '' '( $ $ "

$ (! O% $ $ ") $

'' '$ "9" IJI@ %L

97. oldal


TDK-konferencia


2011.

3%2% "B ;:= : O = :!!;!+ ' # $ ' $ +)7 " $! 6 $ % ' "

$ 2 9 $ 2 ' %(< " $ "

' !6$ "

" $ % % $ $ ( " % $

)" ' ! ( " )

+)'! %

( +) ! 6 % ' !6% ( +#!6 &" " ")' "# '" ) #! $ +) $ % %#

' " $ $#!

H!' 7 $ H!' 7 $ !' 7 $

@ $ $ %

% )

) 9H! '
$ % $ ( ! 6 %' ( $ " +# 9 $ # ( ' %( % ' $ (<

$ $

' 9H !'

98. oldal


TDK-konferencia


2011.

H !' 7% $ !' 7% $

'' ' ' % '' 9 !H;< ""! 6 + '' " $ )$ % ' " $ !H;$ ( ! = " " % $ ?! N? ( &% "$ ' $ % "" $ (

+ &% '

! 6 ( "' &% $ $ 9H! '
H!' 76&% $ H!' 76&% $ !' 76&% $

6 %' &% " $ +# + +? )!

99. oldal


TDK-konferencia


2011.

H;!' 7U&% " $ H;!' 7U&% " $ !' 7U&% " $

6 " % ?& $%

% " ' (

+ + $ " 9H;! '
"

"( '' ' $ ( "$ $ % " " $

$ "! U' "$ $ % $ " $ ( (% '' ' $ $ $ # +) " " ' " $ % " $ "#$ $' !

100. oldal


TDK-konferencia


2011.

#% 7G=:B < ; : #%$% 9 : @@BB ==:E =A:= =A 6 " ) $% '' )! " % )

+ $ % ( " % "! ="

'')

$ # + "$ ! 6 ' ) )$' "$ !

#%% < :BEBC= S

+) $ % ' )

) ) " % $' $ ! )

' % " % + $ ( $' ! #%%$% >E;BBD ? >E;BB<

+ $ % ( $ " $' $

! 6

% '' $ % " % +

! 6

" $% "

" ) % $ " $ +)! 3) )

9 "+'( ' <$' +"+)$ %

+ %( + ( 9$'+ < $ " %'! T% ) " #'^

$

# )$

! #%%%

B: B ==:

6 ! + ' )

) $ %% % ? ' 9 . ' $ < "$ $' 9@ c< " %!

+ ( + ( $ $' $ '# $ ) $ % + ( ''! 6 c %"? $' % $ % $ !

101. oldal


TDK-konferencia


2011.

#%%0% BB =A<=: 6 H!! + ' ' )

) $ % '( &" % '#' ( $ !6#' )% " + (!6

) ' K c # ! 6 " ' $ ( ( & ? ' '')

#! #%%2% EBC=E=: 6 '' $' ( c

"#'! 3 # % $ ) $ %

+ + ( $ ?#' ! 6 ' )

%

$

+ &% 4^ ; $+ :4^ '(&" _ $ % "K4^ !

H:!' 73 H:!' 73 !' 73

6 %' KLI ""

# c '' %$ 9 :; <

+ + ( 9L!'

102. oldal


TDK-konferencia


2011.

L!' 7C'$ !' 7C'$

eset

%

1 2 3 4

0,0% 10,0% 5,0% 4,5%

Talajfizikai jellemzık 2

3

*e_f

c [kN/m ]

γ [kN/m ]

10 9 9,5 9,55

40 36 38 38,2

20 22 21 20,9

Állékonyság 1,589 1,246 1,414 1,43

6 + "$ $ %

+ + (:Kc " c %&$' "$ %&$' !

#%0% 7 FI < <EA:= =A )' ' )

) $ % " " $ ( ! '' + ' +)

% "$ !6:!!+ ' ) % " $ % " !

(+ 7 •

E ) #%! '' ' ") #$ ( "

'")% &% $ ? $ $) ?$ + % '' '(&"! ") ' " !6@ 3

M )

'$' #

!

•

6 ) '" % % ") " % ! 6 ") ) #% $ # $ ( #$ % # = $> ) ' ! ") $ % ? $ + '' '(&"!6@ 3

M "$' !

103. oldal


TDK-konferencia

Elmélet, megvalósítás, alkalmazás •

2011.

4) )

' " "$ )% " @E " " ) ) '

)"+) " ! 6

) @ 3

M

$ = " ' ) ' (" 9 < ( " & "

+ ! ( ")$ $ % "$ % " % " %

"'

" % ' % + ! A% $% "

$ $ ' $ % "

+"

" %

! " % ' %

' "( $ % " % % @E ' "$ ! 6@ 3

M % ) D+

!

104. oldal


TDK-konferencia


2011.

1% :?CCBG=:B E ?: = " ) '' ' )

) # @A ' " % # ! # $% % '' % # ( $ +) '')

% ! 6 + $ " ( +'' $ ! $$ " @A$ ' "$' ''' ! " % '

( $ ! =+% $ %

)

'

" % 9@L- '%
+

+

(% ' ? % ' ! '' ' " % (% $ %?! = % $ &

)

+ % %? ( " % "+(%$ ! M "$ #

%# % # ('' " ! 3 % '(&"?

+ ( ")"

% '') ) $' 9K c

105. oldal


TDK-konferencia


2011.

$'%:: I =: 6 $ + ( " "7 " #'( & + ! 6 & + 9-$ Q ') = " E '!< % $ % $ % ? ! 6 " $ % # ' $

+ "( !3 '# $ + ' % + '' $ % '' $ ( " "%?''+ $ ! M' 9 ) < )

+

% % ?"( '$ " + %

+ $ " ' % ( $ ) > " MA "+ $ ! )' ' )

) @A $

''

# % " ! 6 ) % ' $ (&%= $> ) ' )& % "$ " $ (% ( $ (!E "$ . ' " %! 6 # + '

& $ ! 6

''+ $ ( +(' #7

+ % '

&

# ") 9 # %

i<' ! 6

' %# % $ ( " ''

#

" " != )

)$ % % $ ($ % + )' '' " ) + % ? @E " " $ ((! = )

) $ %

$ ( $ % $ $ %

106. oldal


TDK-konferencia


2011.

" ! U ) )

$ $ $ # ( !

107. oldal


TDK-konferencia


2011.

9: 9; ;BD=;F=: & )#!ME #$ % " ) $%&+

!

108. oldal


TDK-konferencia


2011.

I E: ;=@ = '7 = '7 ,7J!

!!KL:9N '<

C 7$

7^^DDD! $D ! ^ ") ^ '^ = = ,7H!9N

I<

C 7$

7^^ ! ^ ") ^ ^ % (9in !' !$)<%$ ' &+ $ + %%$ (! M M ,74 "S'

C 7$

7^^DDD!)! ^ D ^^!$ O%$ $ $ ( ! AA AA> > 7

7 ,7AA! ;!! BAAA; I9-)"7IKK< C 7$

7^^$)! ! ^ O% $ ( ! @ 3

M 7 @ 3

M 7 ,7!!

I:

C 7$

7^^DDD!

! ^" D "^ % $ '#% +

$ (!

109. oldal


TDK-konferencia


2011.

)BD =: >$ 1!S! 1!S 9 IJK< @ 6 % " 3 E % M $

J!! >$ 1!S! " @) h!@! h!@! 9 II< @ 6 % 3 =$

M $ K!! 1!3! M % N!! " M' C!Q! C!Q! 9 IH:< 6) A 3 ) )Q!"=$ [);7!KRK! M' =! " % 6! 9;< @ % ) A @ 3 EQ " S !> 9L<7 ::R H:! C C 1! 1!3! 9 IKL< $ % ) ) "! > ) N 4

K

> "

) % '% "" D ) C!A$ C! " 4! D ) C!A$ C! " 4!9< $ C! " 4! $ 3 ) !=) "!A !, !;4 !H!:HJRJ! - % '""" )" " @m!3 $>!W>$)>!m!9L< @m!3 $>!W>$)>!m! O > S )" O>ASL)"!IH RIJ! E 1! 1! 9 IKI< A ' " E ! O86= 3% ) $ % % " %1 D@ " 7E ! KR ;! 3 $ >!>! " M' =! =! 9J< 6 " ) % % ) % ' ! E ! $ N % 3 % 67 = $ E$% " 3:H;9LH<:H R:L:! 3 $ >! >! W M' =! =! 9J'< 4D ) ' )" ) %" '

% ' ) " ) % % ) $ 6) 4D o " > M $ -' !KRKK!

110. oldal


TDK-konferencia


2011.

3 $ >! W M' =! = 9L< @ % $

' % )" "

)" " O > S )" O>AS L )" ! HL;R HI! 3 M!W $N!,!9 3 M!W $N!,! IL;<C%E " " "=$ )!6! =$!ND;HJR! > 33 $>> "M' =9 <6 % $

' % $ D ) > 33 $>> "M' =

" ) % % ) ! O E ! J $ ) > 4) = $ "M $ "$ Q) H; HL! M 6!E! 6!E! 9 IK < 6 $ $ ")

' D $ "!E$ != !:7II L! 6D 1!6!=! 1!6!=! 9< " %! 3 ) ) ; :I:R K:!

E @ % ) A @ 3 E $ "!Q! E $ "!Q!M'

!Q! M' =! M' =! "% =! "% 6! "% 6!9K< 6! S D 3)'+ =) @ "> = '31$ "D $Q @ $ E !H $1 "> 3 ) ) "=) " %A N " Q 4! 4! 9 IL: ' , :!:!;J;R;IK!

M $ -)=" = % ! 3$N! 3$N!9L< N! 6' @!1 3

' % "

' 6' @!1! @!1!@ !@! @!3! !3!3$ 3!3$ 3! 3$ 3! 3!- % - %M! M!=! M!=!9< =!

$ "Q $1%W3 O 3 "

%

' % %! = =!!W4 )=!6!9< = =!!W4 )=!6! Q ) M $ "M

H9 <JKRL! =$ 6!M!=! 6!M!=! 9 I:< $ @ % = S 3 ) ) E$! = !L7KLIRKIJ!

111. oldal


TDK-konferencia


2011.

-N!9 -N! I K<=$ "''"S p")

$ )' )

!=

)#' $) ' JK7 K ! >$ 1!S!9 >$ 1!S! IJ< . ' % " $ %!Q!!=$! !63>IH9=;<E !E !J;HI7;: ;K! @ 3

M = ) )!7 $

7^^DDD!

! ^^"^ ^MAj= ) !" 9= " ) 7

!K! !<

@ 3

M E ") " )!7 $

7^^DDD!

! ^^"^ ^MAjE ") j !" " ) 7

9=

!K! !<

S Q!9 S Q! IIK<76 7( "+% =?% ! M ! M !)$ !)$C!1! )$C!1!) C!1!)6!1! )6!1!9 6!1! IK <@ " $ $ % 6 %6 % E ") "6 !; JR;I! O! O!N !N ! % ! %! %! ! 9< O E = $ "S )O) ) Q ) A N $, ! :; !! - ! - ! ! Q!4! Q!4!9 Q!4! IIJ<O ") @ A 6 $ 3 O3-4 ;7IJL LLHKI II @ % O! O 9L< P" ?) " R %)

"("P" -)" !HJH! "P!9 "P! IJI< + $ OO!4%" " % "-)" - '%! < 6C %

- '%!9 %!

" ) -)" =? M " )" %% !

112. oldal


TDK-konferencia


2011.

*C= IB; :=C= *C= !' 76% "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! K !' 76&" "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H ;!' 7 ") %&" " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H :!' 76('$#( ")" !!!!!!!!!!!!!!!!!!! J K!' 76(' "9>$ IJK< !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! L H!' 7@ " "$ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! J!' 73 . ' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!; L!' 7-( "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!: I!' 76 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!K !' 7 " %7 ) 9> 3
% " " % !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L !' 7%&%% 9 < %&% .9'
"

" % !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!; :!' 76 ' % 9 < ' .9'< !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!; K!' 76 " " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;: H!' 7N

" " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;: J!' 76 " " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;K L!' 76 " " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;K

113. oldal


TDK-konferencia


2011.

I!' 7C" (% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;H !' 76 ) $"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;H !' 76 ' % !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;L !' 7AA> = " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!:H ;!' 7 " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!:H :!' 76"

$ (9M' J< !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!:I K!' 7O$

+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!K; H!' 74 % !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!K: J!' 7 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!KH L!' 7 ") "

+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!KH I!' 7 ") "

9@ 3

= )
= )
; !' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H; ;!' E !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H: ;;!' S "% " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!HJ ;:!' RS) "( #!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!HL ;K!' 6 " (!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!J ;H!' R # ' '" ' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!J; ;J!' C $ ) +" ' '" ' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!J: ;L!' R=

" !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!J: ;I!' S)

' '" ' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!JK

114. oldal


TDK-konferencia


2011.

:!' S) " % !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!JH : !' 73

+ E " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!JJ :!' 76

+

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!JL :;!' 76

+ ?? & $

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L ::!' 73

+ *V _ ( $7H4^ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L :K!' 73

+ *V;_ ( $7

H4^ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L

:H!' 76E " $ ) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!LK :J!' 76C $ )9>$ IJK< !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!LH :L! ' 7 6 # " )

+

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!LJ :I!' 7@ ) & 9>$ IJK
@ 3

M !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!LL K !' 7E "% $ N !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!LI K!' 7E "% $ @ 3

M *V _!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!I K;!' 7E

+ *V:_ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!I K:!' 7@ 3

M

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!I KK!' 76 +

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!I; KH!' 7N?

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!IK KJ!' 7#

& # !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!IH KL!' 7 % 7( $ :K4^ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!IH KI!' 7# % 7( $JK I4^ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!IJ H!' 7 $!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!IL

115. oldal


TDK-konferencia


2011.

H !' 7% $ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!II H!' 76&% $ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!II H;!' 7U&% " $ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H:!' 73 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

IB; ! M 7 6 $ % ( #%'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!JI !M 76$' % ") )' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!JI ;!M 73 $' >$ 9>$ IJK< !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L; :!M 73 $' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!L: K!M 76$' % ") )' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!LK H!M 7E "% % !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!I

=C= !' 76 % + 9M' J<

;;

!' 7E

:;

;!' 7A AA>

:J

:!' 7- ( "

H

K!' 7= "(% $ %

HK

H!' 73 $' e4^ f

L:

J!' 76 "% *V:_

I

L!' 7C'$

;

116. oldal


TDK-konferencia


2011.

117. oldal

Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

Recommend Documents