TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ je postup, pomocí něhož na základě náhodného výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základním souboru STATISTICKÁ HYPOTÉZA – předpoklad (tvrzení) o parametru G základního souboru nebo o tvaru jeho pravděpodobnostního rozdělení

H 0 ..ověřovaný předpoklad nulová hypotéza alternativní hypotéza H1 .popírá tvrzení nulové hypotézy TESTOVÉ KRITÉRIUM - náhodná veličina, jejíž hodnotu lze vypočítat z výběrových charakteristik. Za platnosti nulové hypotézy má známé pravděpodobnostní rozdělení.

OBOR HODNOT TESTOVÉHO KRITÉRIA tvoří dva neslučitelné obory: Obor přijetí testované hypotézy V Kritický obor W KRITICKÉ HODNOTY – hranice oddělující obor přijetí a kritický

obor Rozhodnutí testu: padne-li hodnota testového kriteria vypočteného z výběrových dat do kritického oboru, zamítneme nulovou hypotézu H0 a přijmeme tvrzení alternativní hypotézy H1

 padne-li hodnota testového kriteria do oboru přijetí, nulovou hypotézu H0 nezamítáme

Vztah mezi hypotézou a rozhodnutím

nulová hypotéza H0

nezamítáme

zamítáme

Pravdivá (správná) správné rozhodnutí P =1-  chyba I. druhu P=

Nepravdivá (nesprávná) chyba II.druhu P=

správné rozhodnutí P=1-

chyba I. druhu spočívá v chybném zamítnutí pravdivé (správné) testované hypotézy H0

pravděpodobnost chyby I. druhu  = hladina významnosti chyba II.druhu spočívá v nezamítnutí testované hypotézy, která je ve skutečnosti nesprávná (chybné přijetí testované hypotézy síla testu P = 1 - ß je pravděpodobnost zamítnutí nesprávné hypotézy H0

OBECNÝ POSTUP TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 1. Formulace hypotéz H 0 a H1 2. Volba hladiny významnosti 

3. Volba testového kritéria 4. Vymezení kritického obor (kvantily rozdělení testového kritéria při platnosti H 0 5. Výpočet hodnoty testového kritéria na základě výběrových dat 6. Rozhodnutí:  padne-li hodnota testového kritéria do kritického oboru, zamítneme na hladině významnosti  testovanou hypotézu H0  padne-li hodnota testového kritéria do oboru přijetí, nelze hypotézu H0 na hladině významnosti  zamítnout

Test hypotézy o střední hodnotě µ Předpoklady použití:  výběry z normálního rozdělení N(µ, 2)  velké výběry z libovolného rozdělení

Nulová hypotéza Alternativní hypotéza

H 0 :   0 H1 :   0 oboustranný test

H1 :    0

pravostranný test

H1 :    0

levostranný test

Testové kritérium n< 30

x  0 t s n

t (n  1)

n ≥ 30

x  0 U s n

N (0,1)

•Nulová hypotéza alternativní hypotéza

H1 :    0 H1 :    0 H1 :    0

Pozn.: Pro velké výběry

H 0 :   0 kritický obor

t  t1 /2 ( ) t  t /2 ( )

pro oboustranný test

t  t1 ( )

pro pravostranný test

t  t ( )

pro levostranný test

n  30

má testové kritérium přibližně normované normální rozdělení a kritický obor je pak vymezen kvantily u1 / 2 , resp.  u1

Příklad Standardním postupem vyráběné výrobky mají průměrnou životnost 1200 dnů. Pomocí nové technologie byla vyrobena série 100 výrobků a zjištěna průměrná životnost 1265 dnů a směrodatná odchylka životnosti 300 dnů. Na 5% hladině významnosti testujte hypotézu o prodloužení průměrné životnosti po zavedení nové technologie.

H 0 :   1200

průměrná životnost je stejná

H1 :   1200

průměrná životnost je delší

x  0 U s n Pro   0,05

1265  1200 U  2,17 300 100 a pravostranný test je kritický obor vymezen kvantilem u0,95  1,65

Protože testové kriterium U leží v kritickém oboru, zamítneme hypotézu o stejné průměrné životnosti na 5% hladině významnosti a přijmeme tvrzení hypotézy H1

Test hypotézy o parametru  alternativního rozdělení (test hypotézy o relativní četnosti)

•

předpoklady : výběr velkého rozsahu

Nulová hypotéza

H0 :    0

testové kriterium U 

p 0  0 (1   0 ) n

...N(0,1)

Alternativní hypotéza

H1 :    0

U  u1 / 2 U  u / 2

pro oboustranný test

H1 :    0

U  u1

pro pravostranný test

H1 :    0

U  u

pro levostranný test

Příklad: Z 2136 osob by 615 volilo určitou stranu. Testujte na 5% hladině významnosti hypotézu o 30% podílu příznivců této strany v celé populaci. • Výběrová relativní četnost

p  615/ 2136  0, 288  28,8% H 0 :   0,30

Formulace hypotéz

H1 :   0,30

Výpočet testového kritéria

U

p0  0 (1   0 ) n

Kritický obor

U

0, 288  0,300  1, 21 0,3.0,7 2136

U  u0,975  1,96

Protože hodnota testového kriteria leží v oboru přijetí, nezamítneme nulovou hypotézu.