Testování statistických hypotéz - Testování hypotéz je postup, sloužící k ověření předpokladů o ZS (hypotéz) na základě výběrových dat (tj. hodnot z výběrového souboru). - Hypotéza = určitý předpoklad o základním souboru; tvrzení o neznámém parametru ZS (parametrické testy) nebo o různých vlastnostech ZS (neparametrické testy). - Testování umožňuje rozhodnout, zda určitou hypotézu zamítneme (event. přijmeme), a to s malým, předem zvoleným rizikem. Symbolika: H0 ... nulová (testovaná ) hypotéza H1 ... alternativní hypotéza Testové kriterium (t): - vhodná charakteristika, která má při platnosti H0 známé pravděpodobnostní rozdělení; - prostor hodnot testového kriteria rozdělíme na dva disjunktní obory (W a V). Kritický obor (W): je tvořen hodnotami TK, které jsou při platnosti H0 tak extrémní, že pravděpodobnost jejich výskytu je velmi malá. Jde tedy o oblast přijetí H1. Obor přijetí (V): je tvořen těmi hodnotami TK, které svědčí ve prospěch H0. Hladina významnosti (α)= pravděpodobnost chyby 1. druhu: pravděpodobnost že zamítneme H0, ačkoli platí. Pravděpodobnost chyby 2. druhu (β): pravděpodobnost, že nezamítneme H0, ačkoli neplatí. Síla testu (1- β): pravděpodobnost správného zamítnutí H0 (schopnost testu zamítnout neplatnou H0).
Standardní testovací postup: - obecný, bez ohledu na konkrétní typ testu; - provádí se v několika krocích. 1.
Formulace hypotéz H0 a H1.
2.
Volba testového kritéria: zvolíme vhodnou charakteristiku, jejíž rozdělení při platnosti H0 známe.
3.
Vymezení kritického oboru: je omezen kvantily rozdělení TK při platnosti H0 (= kritické hodnoty).
4.
Výpočet hodnoty TK z výběrových dat.
5.
Formulace závěru o výsledku testu: velmi důležité, existují dvě možnosti. I. TK leží v kritickém oboru (TK Є W): pak zamítáme H0, tzn. prokázali jsme H1. II. TK leží v oboru přijetí (TK Є V): pak nezamítáme H0, tzn. neprokázali jsme H1.
Některé parametrické testy hypotéz Test parametru µ normálního rozdělení 1. Formulace hypotéz H 0 : µ = µ0 a) H1 : µ ≠ µ 0 b) H1 : µ > µ 0 c) H1 : µ < µ 0
oboustranná alternativní hypotéza pravostranná alternativní hypotéza levostranná alternativní hypotéza
1
2. Volba testového kritéria Rozlišujeme tři případy: 1) známe rozptyl ZS σ2
U=
x − µ0
σ
≈ N (0,1)
n 2) neznáme rozptyl ZS σ2 ; výběr má velký rozsah
U=
x − µ0 s′
≈ N (0,1)
n 3) neznáme rozptyl ZS σ2; výběr má malý rozsah
t=
x − µ0 s′
≈ t (n − 1)
n
3. Stanovení kritického oboru Pro případy 1) a 2) a různé typy alternativních hypotéz :
a) W ≡ U ;U ≤ u α ∪ U ≥ u α 1− 2 2 b) W ≡ {U ;U ≥ u1−α } c) W ≡ {U ;U ≤ uα } Pro případ 3) a různé typy alternativních hypotéz :
a) W ≡ t ; t ≤ t α (n − 1) ∪ t ≥ t α (n − 1) 1− 2 2 b) W ≡ {t ; t ≥ t1−α (n − 1)} c) W ≡ {t ; t ≤ tα (n − 1)}
Test parametru π alternativního rozdělení Je třeba mít k dispozici výběr dostatečně velkého rozsahu; to je zajištěno splněním podmínky nπ (1 − π ) > 9 . 1.
H0 :π = π0 a) H 1 : π ≠ π 0 b) H 1 : π > π 0 c) H 1 : π < π 0 2
2. U =
p −π0
≈ N (0,1)
π 0 (1 − π 0 ) n
1− 2
3. a) W ≡ U ;U ≤ u α ∪ U ≥ u
2 b) W ≡ {U ;U ≥ u1−α } c) W ≡ {U ;U ≤ uα }
α
Test parametru σ2 normálního rozdělení 1.
H 0 : σ 2 = σ 02 a) H 1 : σ 2 ≠ σ 02 b) H 1 : σ 2 > σ 02 c) H 1 : σ 2 < σ 02
2.
V praxi je častější případ, kdy neznáme parametr µ, proto se na něj zaměříme.
χ2 =
(n − 1)s ′ 2
≈
σ 02
χ 2 (n − 1)
≤ χ α2 (n − 1) ∪ χ 2 ≥ χ 2 α (n − 1) 1− 2 2 2 2 2 b) W ≡ {χ ; χ ≥ χ 1−α (n − 1)}
3. a) W ≡ χ ; χ 2
2
{
}
c) W ≡ χ 2 ; χ 2 ≤ χ α2 (n − 1)
Test shody rozptylů dvou normálních rozdělení 1. Formulace hypotéz H 0 : σ 12 = σ 22 a) H 1 : σ 12 ≠ σ 22 b) H 1 : σ 12 > σ 22 c) H 1 : σ 12 < σ 22
3
2. Volba testového kritéria F=
s1′ 2 s 2′ 2
≈ F (n1 − 1; n2 − 1)
3. Stanovení kritického oboru a) W ≡ F ; F ≤ Fα (n1 − 1; n2 − 1) ∪ F ≥ F α (n1 − 1;n 2 −1) 1− 2 2 b) W ≡ {F ; F ≥ F1−α (n1 − 1; n2 − 1)} c) W ≡ {F ; F ≤ Fα (n1 − 1; n 2 − 1)}
Některé neparametrické testy χ2- test dobré shody - Slouží k ověření shody mezi teoretickým a empirickým rozdělením. - Je použitelný jen v případě velkých výběrů. - Předpokladem testu je možnost roztřídit výsledky náhodného výběru do určitého počtu (k) disjunktních tříd podle nějakého znaku. - Nemáme-li k dispozici dostatečně velký výběr, použijeme místo tohoto testu Kolmogorovův-Smirnovův test. Požadovaný rozsah výběru: Je nutné, aby rozsah výběru zajistil, že bude dostatečné obsazení ve všech skupinách, do nichž je soubor roztříděn, tj. nπ 0 ,i > 5 pro i = 1, 2, ...., k. Někdy bývá tato podmínka formulována mírněji : ve všech třídách musí platit nπ 0 ,i > 1 a alespoň v 80 % tříd musí platit nπ 0 ,i > 5 . ! Nejsou-li výše uvedené podmínky splněny, je třeba sloučit některé třídy (např. sousední či věcně příbuzné). Tento test se používá ve 2 situacích : I. H0 udává proporce četností v jednotlivých skupinách (může být formulováno intuitivně). II. H0 přepokládá, že ZS má rozdělení určitého typu: a) Pokud H0 udává typ rozdělení i jeho parametry, jedná se o úplně specifikovaný model. b) Pokud H0 udává pouze typ rozdělení bez specifikace parametrů, jde o neúplně specifikovaný model.
Ad I. 1. H 0 : π i = π 0 ,i
pro i = 1, 2, ... , k
H 1 : non H 0 2. G =
k
∑ i =1
(n
i
− nπ 0,i )
2
nπ 0,i
≈
χ 2 (k − 1)
kde ni ......... empirická (pozorovaná, výběrová) četnost
nπ 0,i ... teoretická (hypotetická) četnost, tj. teoretické obsazení i-té třídy.
4
{
3. W ≡ G; G ≥
χ 12−α (k − 1)}
Ad II. a) - tj. úplně specifikovaný model 1. H 0 : výběr pochází z Po (2) (například)
H 1 : non H 0 ! Další postup (tj. body 2. a 3.) viz. případ I.
Ad II. b) - tj. neúplně specifikovaný model 1. H 0 : výběr pochází z Po
(například)
H 1 : non H 0 2. G =
k
∑ i =1
(n
i
− nπ 0,i )
2
nπ 0,i
≈
χ 2 (k − p − 1)
kde p ..... počet parametrů rozdělení, které odhadujeme.
{
3. W ≡ G; G ≥
χ12−α (k − p − 1)}
Závěr testu: Pokud TK Є W, zamítáme H0 (tzn. přijímáme H1). V tom případě není rozdělení, specifikované nulovou hypotézou, vhodným modelem pro empirická data. Shoda obou rozdělení (teoretického a empirického) se na hladině významnosti α nepotvrdila.
5
