Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Tereza Schwarzová
Katedra didaktiky fyziky
Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Vojtěch Kapsa, CSc Katedra chemické fyziky a optiky Studijní program: Fyzika, Fyzika zaměřená na vzdělávání
2006
1
Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním.
V Praze dne
Tereza Schwarzová
2
1.1 Vlnová funkce............................................................ 1.2 Princip superpozice stavů .......................................... 1.3 Operátory fyzikálních veličin .................................... 1.4 Heisenbergovy relace neurčitosti............................... 1.5 Spin elektronu............................................................ 1.6 Polarizace světla ........................................................ 1.7 Entanglement .............................................................
3.1 Zeilingerův experiment.............................................. 3.2 De Martinův experiment............................................
3
Název práce: Kvantová teleportace, její principy vyložené srozumitelně pro středoškoláky Autor: Tereza Schwarzová Katedra (ústav): Katedra didaktiky fyziky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Vojtěch Kapsa, CSc., Katedra chemické fyziky a optiky e-mail vedoucího:
[email protected]
Abstrakt:
Klíčová slova: kvantová teleportace, entanglement, Bellovy stavy
Title: Quantum teleportation and its principles Autor: Tereza Schwarzová Department: Department of Physics Education Supervisit: RNDr. Vojtěch Kapa, CSc., Department of Chemical Physics and Optics Supervisor’s e-mail address:
[email protected]
Abstract: In the present work we study…
Keywords: quantum teleportation, entanglement, Bell states
4
Několik století se fyzici snažili pochopit podstatu světla. Někteří se přikláněli k částicové povaze světla (např. I. Newton) a jiní k povaze vlnové (např. Ch. Huygens). Časem se ukázalo, že pravda je na obou stranách. Když chtěl na počátku 20. století německý fyzik M. Planck objasnit záření černého tělesa, musel zavést předpoklad, že černé těleso nevyzařuje svoji energii spojitě, ale po částech – kvantech, jejichž velikost je závislá na frekvenci. Světlo se tedy v určitých situacích chová jako vlnění (dochází k interferenci, ohybu,…), a jindy jako proud částic, které byly nazvány fotony. Foton je vlastně „vlnový balíček“, jehož energie je :
E = h.f, kde h = 6,626.10-34J.s je Planckova konstanta a f je frekvence. L. de Broglie později vyslovil ještě silnější hypotézu, totiž, že nejen světlo, ale i každá částice se někdy chová jako vlna, jejíž vlnová délka je: λ = h / p,
kde h je opět Planckova konstanta a p je hybnost částice. Tyto poznatky byly později potvrzeny mnoha pokusy a ve 20. letech 20. stol. vznikla celá teorie – kvantová mechanika, která popisuje chování hmoty na úrovni rozměrů atomů. Velký podíl na jejím vzniku měli kromě jiných fyzikové E. Schrödinger, W. Heisenberg a M. Born. Musíme si tedy zvyknout, že v mikrosvětě se objekty nechovají podle našich představ a každodenních zkušeností, nejsou to ani částice ani vlny. Pohyb
takového
Newtonovými
objektu
pohybovými
pak
už
nemůžeme
rovnicemi,
místo
popisovat toho
klasickými
řešíme
rovnici 5
Schrödingerovu. Z řešení této rovnice vyplývá, že pohybuje-li se částice stacionárně v omezeném prostoru (např. elektron v atomovém obalu), nemůže její energie nabývat všech hodnot, ale může pouze „skákat“ po dovolených hodnotách (elektrony po elektronových slupkách). Zákony kvantové fyziky platí obecně, tedy i v makrosvětě, ale při velkých energiích a rozměrech jsou kvantové efekty a energetické skoky tak malé, že je vůbec nepostřehneme a nijak se neprojeví, proto se dál můžeme řídit zákony klasické fyziky. Podobně jako při sledování filmu vůbec nezaregistrujeme, že je vlastně složen z mnoha statických obrázků. Připomeneme si teď některé základní pojmy kvantové fyziky.
r V klasické mechanice je částice (hmotný bod) plně popsána polohou r a svojí r hybností p . V kvantové mechanice ale nelze tyto dvě veličiny určit současně
úplně přesně, brání tomu relace neurčitosti (viz dále). Stav částice tedy popisujeme vlnovou funkcí r
ψ = ψ (r , t ) ,
což je funkce vyhovující Schrödingerově rovnici, je obecně komplexní s r reálnými proměnnými: r ( x , y , z ) - polohový vektor a t - čas. Vlnová funkce má pravděpodobnostní charakter, druhá mocnina její absolutní hodnoty odpovídá hustotě pravděpodobnosti výskytu částice v daném místě a čase. Z toho jasně vidíme, že nám kvantová fyzika neumožňuje přesně určit, kde se částice v daném čase bude nacházet, ale pouze s jakou pravděpodobnosti ji v okolí daného bodu nalezneme. Abychom mohli vlnovou funkci takto interpretovat, musí být splněna normovací podmínka, která říká, že součet pravděpodobností ve všech bodech prostoru je 1. Když
r
ψ (r , t ) dV 2
je
pravděpodobnost, že se částice v čase t nachází v okolí o velikosti dV bodu r s polohovým vektorem r , musí platit:
6
r
∫ ψ (r , t ) dV = 1 . 2
V
Pro jednoduchost si představme částici, která se může pohybovat pouze po přímce x a její poloha není závislá na čase. Vlnová funkce má pak jenom jednu proměnnou x a druhá mocnina její absolutní hodnoty popisuje hustotu pravděpodobnosti výskytu částice v daném bodě přímky. Dva příklady vlnových funkcí jsou nakresleny v obrázcích 1 a 2. Důležitou vlastností vlnové funkce je, že vynásobíme-li ji komplexní jedničkou, tzn. číslem 1, -1, i nebo –i, popisuje stále stejný stav.
ψ2 , ψ ψ2
ψ x0
x
Obr. 1: Příklad vlnová funkce. Modře je vyznačená vlnová funkce (v tomto případě reálná) a růžově její druhá mocnina. Grafy obou funkcí osu x neprotínají, ale asymptoticky se k ní blíží. Částice, jejíž stav je popsán takovou vlnovou funkcí se nejpravděpodobněji bude vyskytovat v okolí bodu xo, ale jak je vidět z obrázku může se také s nenulovou pravděpodobností vyskytovat kdekoli na přímce. Příkladem takové částice by mohla být molekula v jednorozměrné krystalové mřížce, která kmitá kolem své rovnovážné polohy , tedy okolo bodu xo , její vlnová funkce má předpis :
7
ψ (x ) = N .e
−
( x − xo )2 a2
, kde N =
1 4
πa 2
je normovací konstanta.
ψ2 , ψ
ψ2
ψ x x1
x0
x2
L
Obr. 2: Příklad vlnové funkce. Částici, nacházející se ve stavu popsaném vlnovou funkcí v tomto obrázku, téměř nikdy nenalezneme v okolí bodu xo (na rozdíl od případu, popsaného v obr. 1). Plně se tu projeví její kvantové vlastnosti. Částici najdeme s největší pravděpodobností v okolí bodů x1 a x2. Příkladem částice s takovou vlnovou funkcí je částice v nekonečně hluboké potenciálové jámě délky L=2 xo, v druhém excitovaném stavu.
r
Jestliže může být částice ve stavu popsaném vlnovou funkcí ψ 1 (r , t ) (např. elektron ve stavu s energií E1) a zároveň se může nacházet ve stavu popsaném r
vlnovou funkcí ψ 2 (r , t ) (např. elektron s energií E2). Pak můžeme částici uvést r
do stavu popsaného vlnovou funkcí ψ (r , t ) , která je lineární kombinací těchto dvou stavů:
ψ = c1ψ 1 + c 2ψ 2 .
8
Koeficienty ci jsou obecně komplexní čísla vyhovující normovací podmínce 2
c1 + c 2
2
= 1 a druhá mocnina c1
2
2
, resp. c 2 , je pravděpodobnost, že
naměříme na částici stav ψ 1 , resp. ψ 2 . V našem případě s elektronem při měření jeho energie naměříme s pravděpodobnostmi c1
2
, resp. c 2
2
hodnoty
energie E1 ,resp. E2. Princip superpozice se dá zobecnit na libovolný počet n stavů, kterých částice může nabývat. Potom by výsledná vlnová funkce byla lineární kombinací všech n stavů :
n
ψ = ∑ ciψ i , přičemž i =1
n
∑c i =1
2 i
= 1.
V kvantové mechanice je každá fyzikální veličina F reprezentována svým ) operátorem F . Například: Operátor k-té složky polohového vektoru:
) xk = xk
∂ p) k = −ih ∂x k
Operátor k-té složky hybnosti:
)
)
)
Dále se zavádí komutátor K dvou operátorů fyzikálních veličin A a B :
[ ] (
) ) ) ) )) ) K = A, B = AB − BA
)
Střední hodnota veličiny F je definována vztahem: ) ) F = ∫ψ ∗ FψdV Směrodatná odchylka naměřených hodnot od střední hodnoty je:
(∆F) ) = (F) − 2
Střední hodnota této odchylky
(∆F) )
2
) F
)
2
= δF se nazývá neurčitost veličiny
F.
9
Heisenbergovy relace neurčitosti nám říkají, že některé veličiny nedokážeme změřit současně tak, abychom dostali přesné výsledky. To platí například pro stejné složky polohového vektoru a hybnosti. Čím přesněji změříme například x-ovou složku polohy, tím nepřesnější výsledek dostaneme při měření x-ové složky hybnosti. Obecně platí, pokud A a B jsou nějaké dvě fyzikální veličiny,
δA a δB jsou jejich neurčitosti, pak platí: 1 K , 2 ) ) K = ψ ∗ Kψ .dV
δA.δB ≥
∫
kde K je střední hodnota komutátoru operátorů A a B ( K = [A, B ] ) , jehož )
)
)
)
) )
hodnota se dá spočítat pro kterékoli dvě fyzikální veličiny. Pro zmíněné x-ové složky polohy a hybnosti platí:
[x), p) x ] = ih 1 2
δx.δp x ≥ h
Jednou z vlastností elektronu je spin. Projevuje se tak, že když vložíme elektron do magnetického pole, začne se chovat jako malý tyčový magnet. Průmět magnetického momentu do směru magnetické indukce pole nemůže být 1 1 libovolný, ale nabývá pouze dvou hodnot : + h nebo − h , kterým říkáme 2 2 magnetické spinové číslo. Dále budeme používat spinové vlnové funkce, kde stav ↑ značí, že elektron má průmět spinu ve směru pole, a stav ↓ značí průmět spinu opačný. Zkráceně (a poněkud nepřesně) mluvíme o spinu „nahoru“ a spinu „dolů“. Například, je-li vlnová funkce elektronu:
ψ = a ↑ +b ↓ , 10
2
2
kde a + b = 1 , znamená to, že s pravděpodobností a
2
naměříme spin
2
elektronu nahoru a s pravděpodobností b dolů. Spin není pouze vlastnost elektronu, ale všech kvantových částic, které se dělí do dvou skupin: fermiony – jejich spin je poločíselným násobkem h (elektrony, protony, neutrony,…) bosony – jejich spin je celočíselným násobkem h (fotony, α -částice,…)
r
Světlo je příčné elektromagnetické vlnění. Vektor elektrické intenzity E kmitá vždy v rovině kolmé na směr šíření světla. U nepolarizovaného světla je směr r E
nahodilý. Pokud však vektor el. intenzity kmitá v jedné rovině, říkáme, že je
světlo lineárně polarizované. Kromě lineární polarizace existuje ještě polarizace kruhová a eliptická. Lineárně polarizované světlo se dá z nepolarizovaného získat různými způsoby, například průchodem skrz polarizátor (Obr. 3). Další možností je polarizace dvojlomem. Krystaly některých látek (např. islandský vápenec) jsou totiž anizotropní vůči šíření světla. Při průchodu paprsku takovým krystalem (Obr. 4) se paprsek na rozhraní rozdělí na dva – řádný a mimořádný. Oba paprsky jsou lineárně polarizované s navzájem kolmou polarizací. Podobně jako u spinu elektronu zavádíme polarizační stav fotonu. Symbol ↔ značí horizontální polarizaci a symbol b vertikální.
11
Nepolarizované světlo se skládá z fotonů polarizovaných ve všech
směrech kolmých na směr šíření, polarizační filtr propustí jen fotony polarizované vertikálně. (Obrázek převzat z [1] a upraven.)
Obr 4: Polarizace dvojlomem. (Obrázek převzat z [1] a upraven.) Lineárně polarizované svělo v určitém úhlu prochází krystalem, kde se rozdělí na dva paprsky, jeden z nich je polarizovaný vertikálně, druhý horizontálně.
Představte si, že máte dvě hrací kostky [1] a házíte oběma najednou. Hodíte poprvé, padnou dvě "jedničky", podruhé padnou dvě "šestky", potřetí dvě "trojky", atd. Čísla na kostkách padají náhodně, ale vždy se shodují. Takové
12
kostky se chovají podobně jako dvě entanglované částice. Mezi kostkami je nějaký vztah. Obdoba takového vztahu mezi kvantovými částicemi se nazývá entanglement. V reálných experimentech se používají páry atomů, iontů nebo fotonů místo kostek a místo stran, které padnou sledujeme například spin elektronu nebo polarizaci fotonu. Entanglement není ovšem něco, co by se podobalo klasické vazbě. Máme-li totiž například dva entanglované fotony, jejichž polarizace jsou navzájem pootočené o nějaký pevný úhel, potom změníme-li polarizaci jednoho fotonu, na druhý to nebude mít vliv a entanglement tím je zrušen. Obecně platí, že systém složený z více částí je v entanglovaném stavu, jestliže vlnovou funkci celého systému nemůžeme zapsat jako pouhý součin vlnových funkcí jednotlivých částí. Entanglement se tedy vyskytuje nejen mezi dvěma částicemi, ale mezi jakýmkoli množství částic. Nejjednodušším typem entanglementu je tzv. EPR-stav (podle fyziků: Albert Einstein, Boris Podolský, Nathan Rosen). Příkladem může být pár elektronů X, Y, jejichž vlnová funkce je:
ψ XY =
1 2
↑ X ↓Y −
1 2
↓ X ↑Y
Když budeme měřit spin takových elektronů, naměříme s poloviční pravděpodobností spin elektronu X nahoru a spin Y dolů a s poloviční pravděpodobností opak. EPR-pár fotonů můžeme vyrobit například parametrickou konverzí směrem dolů, která je popsaná v obrázku 5. Největší vzdálenost, na kterou se experimentálně podařilo ověřit fungování entanglementu je 10 km.
13
Obr. 5: Parametrická konverze směrem dolů. (Obrázek převzat z [1] a upraven.)
Jedním ze způsobů, jak připravit entanglované páry fotonů je
parametrická konverze směrem dolů (anglicky: parametric down-conversion). Laserový paprsek ultrafialového světla prochází skrz speciální krystal (beta barium borate ?). Foton je v krystalu rozštěpen na dva fotony s poloviční energií, z nichž jeden je polarizovaný vertikálně (červený kroužek) a druhý horizontálně (modrý kroužek). Pokud oba fotony projdou průsečíky těchto dvou kroužků, nemá ani jeden z nich přesně definovanou polarizaci, ale jsou spolu entanglované.
14
Kvantová teleportace spočívá v přenosu neznámého stavu částice X za využití jednoduše entanglovaného stavu EPR páru částic. Představme si, že na počátku stojí odesilatel jménem Alice, která chce teleportovat částici X Bobovi, čekajícímu v libovolné vzdálenosti od Alice. (Jména Bob a Alice si vědci pro popis teleportace oblíbili, ale samozřejmě bychom si mohli vymyslet jiná pojmenování). Chceme-li se vyhnout přímému přenosu částice X, musí Alice Bobovi nějakým způsobem předat informace o stavu této částice tak, aby Bob byl schopný „sestavit“ stav naprosto stejný. Bohužel nelze stav částice X přímo úplně přesně změřit, nedovolují to Heisenbergovy relace neurčitosti. Celou informaci o neznámém stavu proto musíme rozdělit na klasickou a neklasickou a poslat Bobovi každou zvlášť různými cestami. Přenos neklasické informace nám umožní dvojice entanglovaných EPR částic A a B, přičemž jednu dáme Alici a druhou Bobovi. Alice provede na částicích A a X společné měření. Nakonec pak musí poslat ještě informaci klasickou o výsledku svého měření, která se nemůže šířit rychleji než světlo. Bob tak získá dostatek informací k tomu, aby svoji částici B dostal do původního stavu částice X, čímž je teleportace dokončena. Původní stav Aliciny částice X je přitom zničen. Celý tento proces nazýváme teleportace. Jednoduché schéma je na obrázku 6.
15
Obr 6: Schéma teleportace. (Obrázek převzat z [1] a upraven.) Ze zdroje vyletují entanglované páry částic A, B k Alici a Bobovi. Abychom mohli teleportovat stav částice X, provede Alice společné měření na částicích A a X. Nastane jeden ze čtyř možných výsledků, v tomto případě výsledek 3. Alice tuto informaci pošle klasickou cestou Bobovi. Ten provede příslušnou operaci na své částici B, čímž ji uvede do původního stavu částice X.
Existuje hezká analogie teleportace na klasických kuličkách. Máme jednu bílou a jednu černou kuličku, které reprezentují entanglovaný pár částic A,B. Hodíme je do neprůhledného měšce, zamícháme, pak jednu vylosujeme a aniž se podíváme na její barvu, vyhodíme ji z okna. Pod oknem stojí Bob a chytá ji. Alice chce teleportovat kuličku neznámé barvy Bobovi, tak ji přihodí do měšce a celý obsah rozemele. Nakonec vytáhne dvě růžové kuličky. Teď je jasné, že v měšci byla celou dobu kulička bílá, kulička neznámé barvy byla červená a Bob má dole černou. Alice Bobovi z okna zavolá svůj výsledek a Bob ví, že musí svoji kuličku přebarvit na červeno, čímž je původní kulička
16
teleportována. Samozřejmě, každá analogie kvantových jevů v klasické fyzice selhává, ale k pochopení nám může pomoci. Vědci poprvé popsali způsob, jakým lze dosáhnout teleportace, teprve v roce 1992 [2]. Až roku 1997 se podařilo skutečně teleportovat stav fotonu. Podrobněji si vysvětlíme na jakém principu funguje teleportace spinového stavu elektronu. Protože algebra popisující spiny elektronů a polarizace fotonů je stejná, dají se výsledky platné pro elektrony snadno přenést na fotony. Při svém výkladu se budeme držet citovaného článku [2]. Na počátku tedy musíme nějakým způsobem připravit dvě částice A a B do − entanglovaného EPR-stavu ψ AB :
(
1 ↑A ↓B − ↓ A ↑B 2
− ψ AB =
)
částici A dáme Alici a částici B Bobovi. Alice se během celého procesu vůbec nemusí dozvědět, kde nebo jak daleko je Bob. Důležité je, aby se křehký EPRstav částic A,B neporušil. Dále Alice dostane částici X v neznámém stavu
ψ X , jejíž stav chce teleportovat Bobovi. Částice X je elektron, jehož neznámý spinový stav můžeme obecně zapsat:
ψ X = a ↑X + b ↓X kde a
2
+ b
2
= 1.
Máme tedy systém tří částic A, B, X, který je popsán součinem vlnových funkcí :
− ψ ABX = ψ AB .ψ X
(
)
a ↑ X ↑ A ↓B − ↑X ↓A ↑B + 2 b + ↓ X ↑ A ↓B − ↓ X ↓ A ↑B 2
=
(
)
Chceme teď využít EPR-korelace k přenesení informace o elektronu X od Alice k Bobovi. K tomu potřebujeme zentanglovat částici X s EPR párem. Entanglement mezi X a AB vyrobíme tak, že provedeme společné měření na
17
systému částic A a X. Toto měření se provádí v tzv. Bellově bázi složené z čtyř − + − + vektorů ψ XA , ψ XA , φ XA , φ XA :
(
)
(
)
(
)
(
)
− ψ XA =
1 ↑X ↓A − ↓X ↑A 2
+ ψ XA =
1 ↑X ↓A + ↓X ↑A 2
− φ XA =
1 ↑X ↑A − ↓X ↓A 2
+ φ XA =
1 ↑X ↑A + ↓X ↓A 2
Výše uvedené stavy tvoří ortonormální bázi pro částice A a X, to znamená, že stavové vektory báze jsou k sobě navzájem kolmé a jejich velikost je 1. Teď můžeme každý součin
X
A
ve vztahu pro ψ XAB
zapsat jako lineární
)
)]+ )]
kombinaci vektorů Bellovy báze:
ψ XAB =
[
(
(
1 − + − a ↑B + b ↓B ψ XA − a ↑ B − b ↓ B + ψ XA 2 1 − + + φ XA a ↓ B + b ↑ B + φ XA a ↓B − b ↑B 2
[ (
)
(
Tímto jsme entanglovali všechny tři částice dohromady a ačkoli neznáme stav částice X, víme že naměříme na částicích A a X se stejnou pravděpodobností 1/4 jeden ze čtyř stavů Bellovy báze. Podle výsledku Alicina měření poznáme, v kterém ze čtyř různých stavů se nachází Bobova částice B. Tady jsou možnosti: Alice naměří
− ψ XA
: ψ B = −a ↑ B − b ↓ B ............. původní stav ψ X
+ ψ XA
: ψ B = − a ↑ B + b ↓ B ........ otočení kolem osy z
− φ XA
: ψ B = b ↑ B + a ↓ B ........... otočení kolem osy x
+ φ XA
: ψ B = −b ↑ B + a ↓ B ........ otočení kolem osy y
18
Alice teď musí Bobovi poslat klasickou cestou výsledek svého měření. To je důvod, proč nemůže teleportace proběhnout v jednom jediném okamžiku. Její rychlost je omezena rychlostí světla. Pokud Alice naměří na svých částicích první případ, je teleportace dokončena, neboť částice B už je v původním stavu částice X. Její vlnová funkce se sice liší od původní vynásobením -1, ale jak jsme si řekli v kapitole 1.1, po vynásobení komplexní jedničkou popisuje vlnová funkce tentýž stav. Nastane-li některý z tří zbývajících případů, znamená to, že B je v jednoduše modifikovaném stavu a Bob musí ještě provést nějakou operaci, aby částici B dostal do stavu ψ X . V tomto případě musí Bob otočit spin o 180° kolem osy x, popř. y nebo z. Matematicky to odpovídá vynásobení vlnové funkce jednou z Pauliho matic: 0 1
0 − i , 0
, σ y = σ x = 1 0 i
1
0
. σ z = 0 − 1
Při teleportaci polarizačního stavu fotonu je typická transformace, kterou musí Bob provést, otočení polarizace o 90°, což se dá udělat tak, že pošleme foton skrz krystal s vhodnými optickými vlastnostmi. Při celém procesu se zničí entanglement mezi částicemi A a B a vznikne nový entanglement mezi částicemi A a X . Spinový stav elektronu X přešel na elektron B. Je dokázáno, že nemůže dojít k naklonování stavu [4], původní stav částice X je vždy zničen. Díky tomu, že kvantová částice je plně určena svým stavem, je teleportace kvantového stavu totéž, co teleportace částice. Teleportace bude fungovat nejen na jednoduché stavy , ale také na složitější stavy superponované nebo entanglované.
19
V roce
1997
byla
poprvé
uskutečněna
teleportace
fotonu,
přesněji
polarizačního stavu fotonu. Při popisu tohoto experimentu se budu držet článku [3]. Teleportace vyžaduje dvě věci - výrobu a měření entanglovaných stavů. Dvojice entanglovaných fotonů A a B jsou v tomto pokusu generovány pulsem ultrafialového laserového paprsku pomocí parametrické konverze směrem dolů (viz. Obr. 5) a z krystalu vyletují entanglované dvojice fotonů ve stavu: − ψ AB =
1 2
(↔
A
b
B
−b
A
↔
B
)
Část UV-paprsku krystalem projde, odrazí se od zadního zrcadla a po průchodu krystalem nazpět je vygenerován další pár entanglovaných fotonů C, D. Foton D necháme projít polarizátorem, což je zařízení, které propouští horizontálně polarizované paprsky s pravděpodobností
a
2
a vertikálně
polarizované s pravděpodobností b . Tak dostaneme foton X v stavu ψ 2
X
,
který chceme teleportovat.
ψ
2
X
2
= a ↔ X + b b X , kde a + b = 1
Protože víme, jakým způsobem byl stav fotonu X vytvořen, není pro nás neznámý. Nicméně Alice se během celého procesu nemusí dozvědět, jaký byl stav fotonu X na počátku, a to je pro nás důležité. Díky tomu, že známe stav
ψ
X
, můžeme na konci procesu ověřit, jestli se teleportovaný stav shoduje
s počátečním stavem. Tím zjistíme úspěšnost teleportace. Druhý foton entanglementu C můžeme použít jako indikátor toho, že byl foton X vyzářen. 20
Fotony A a X jsou poslány Alici, kde jsou superponovány a detekovány na přístroji (viz Obr. 8), který je schopný rozeznat, že se částice nachází právě v jednom z Bellových stavů: − ψ XA =
1 2
(↔
b
X
A
−b
X
↔
A
)
Pokud se A a X nachází v tomto stavu, víme že Bobův foton B je v původním stavu fotonu X (viz. předchozí kapitola). Když to Alice zjistí, což nastane v 25% případů, pošle Bobovi klasickou zprávu. Potom, co ji Bob obdrží, ví už, že jeho foton má teleportovaný stav ψ . Aby to mohl ověřit, nechá Bob fotony dopadat na polarizační dělič světla, který vertikálně polarizované fotony
odrazí
a
horizontálně
polarizované
propustí.
Detektory
to
zaznamenávají a my tak můžeme ověřit, nakolik byla teleportace úspěšná. Protože teleportujeme pouze fotony, které se po Alicině měření nachází ve − , je maximální úspěšnost tohoto pokusu jen 25%. Schéma tohoto stavu ψ XA
experimentu je znázorněno na obrázku 7.
21
Obr. 7: Schéma pokusu teleportace fotonu. (Obrázek převzat z [1] a upraven.) UV-paprsek projde krystalem, kde se parametrickou konverzí vytvoří EPR-pár fotonů A a B, část paprsku se odrazí od zrcátka a cestou zpět vytvoří další EPR-pár fotonů C a D. D je polarizátorem připraven do stavu X a poslán Alici. C slouží jako indikátor toho, že je X na cestě. Fotony A a X dopadnou na Alicin dělič světla, kde proběhne Bellovo měření (viz Obr. 8). Pokud Alice naměří na − částicích A a X stav ψ XA , pošle Bobovi klasickou zprávu. Bob má u sebe
polarizátor a detektory, kterými zjistíme, jestli je teleportace úspěšná.
Obr. 8: Bellovo měření. (Obrázek převzat z [1] a upraven.) Přístroj, jímž Alice provádí svoje měření je polopropustné zrcadlo, které polovinu dopadeného světla odrazí a druhou polovinu propustí. Jeden samotný foton má 50% šanci, že se odrazí nebo projde. Pokud na zrcadlo dopadnou naráz dva stejné fotony každý z jedné strany (v našem případě fotony A a X), interferují spolu, entanglují se. Oba fotony tak ztratí svůj individuální stav. V 50% detekujeme na každé straně jeden foton a přitom nedokážeme říct, jestli se oba fotony odrazily nebo oba prošly. V 25% případů Alice zachytí obě detekce naráz, přičemž oba fotony mají opačnou polarizaci. Nastane-li tanto případ, znamená − to, že se částice A a X nachází ve stavu ψ XA .
22
V roce 2004 byl proveden experiment s kvantovou teleportací na dlouhou vzdálenost. Konkrétně na vzdálenost 600 metrů přes Dunaj ve Vídni [6]. Jde o vysoce přesnou teleportaci polarizačního stavu fotonu s optimální úspěšností dosažitelnou užitím lineární optiky. Význam experimentu je zásadní pro kvantovou komunikaci a kvantové síťové projekty(?). Jak již bylo dříve řečeno, probíhá kvantová teleportace dvěma cestami – klasickou a kvantovou. V tomto pokusu je klasická cesta realizována mikrovlnným
kanálem
nad
řekou.
Kvantovou
cestu,
kterou
putuje
entanglovaný foton k Bobovi, tvoří 800 metrů dlouhý optický kabel uložený v kanalizačním potrubí pod řekou ve Vídni. K zajištění přenosu polarizačního stavu vstupního fotonu χ b musí Alice provést společné měření Bellova stavu na vstupním fotonu b a pomocném fotonu c, který je v entanglementu s fotonem d. Naše schéma (obr. 9) umožňuje Alici identifikovat dva ze čtyř Bellových stavů, což je největší možný počet stavů rozlišitelných pomocí lineární optiky. Aliciným měřením se původní stav fotonu b promítne do Bobova fotonu d až na otočení, které závisí na stavu naměřeném Alicí. Informaci o něm posílá Alice mikrovlnným kanálem do elektro-optického modulátoru, který umožní Bobovi provést jednoduchou transformaci na fotonu d tak, aby získal přesnou repliku fotonu b. Konkrétně, naměří-li Alice Bellův stav
ψ−
bc
, který je stejný jako
entanglovaný stav fotonů c, d, pak Bobův foton už je v požadovaném stavu. Jestliže však Alice naměří Bellův stav ψ +
bc
musí Bob provést π-fázový posun
mezi horizontální a vertikální polarizační složkou fotonu d, což zajistí přivedením napěťového pulsu 3,7kV na elektro-optický modulátor. Aby operace proběhla úspěšně, musí Bob provést požadované nastavení elektrooptického modulátoru ještě před příchodem fotonu d. Protože je však rychlost fotonu v optickém vlákně snížena na 2/3 rychlosti světla ve vakuu, dorazí tak klasický signál k Bobovi o 1,5 µs dříve, než foton d. Byly provedeny pokusy pro tři různé polarizační stavy: lineární v úhlu 45°, levotočivě kruhový a horizontální. Úspěšnost při lineární polarizaci v úhlu 45° byla 84%, při kruhové 86% a při horizontální 90%. Tyto úspěšnosti výrazně 23
překračují klasický limit (66%) a dokazují, že tento teleportační systém pracuje správně. Nicméně bez použití operací prováděných elektro-optickým modulátorem úspěšnost klesla u lineární polarizace na 54% a u kruhové na 59%. Odchylka od padesátiprocentní náhodné úspěšnosti v tomto případě odpovídá statistické chybě. Každé měření trvalo 28 hodin a četnost úspěšných teleportace byla 0,04 za sekundu. Bylo prokázáno, že stabilita polarizace v optickém vlákně mezi Alicí a Bobem byla lepší než 10°. To snižuje úspěšnost ideální teleportace na 97% v průběhu celého měření. Ačkoli byl měřící systém vystaven vlivu okolního prostředí, byla vysoká úspěšnost dosahována i bez průběžného seřizování aparatury. Popsaným pokusem byla kvantová teleportace ověřena i mimo laboratorní podmínky. Tento systém spojuje využití analyzátoru Bellových stavů s aktivní unitární transformací pomocí elektro-optického modulátoru. Provedení tohoto experimentu otevřelo cestu ke konstrukci lineárně-optických kvantových počítačů a kvantových zesilovačů.
Obr. 9: Kvantová teleportace přes Dunaj. Kvantový kanál (optické vlákno F) je uložen v kanalizačním potrubí pod řekou ve Vídni, zatímco klasický mikrovlnný kanál vede nad řekou. Průchodem paprsku pulzního laseru (vlnová délka 394nm, frekvence pulzů 76MHz) krystalem BBO (β-barium borate) jsou parametrickou konverzí směrem dolů generovány EPR-páry fotonů c, d a a, b s vlnovou délkou 788nm. Stav fotonu b po průchodu polarizátorem P je stav, který chceme teleportovat. Foton a slouží jako spínač. Fotony b a c jsou vedeny optickým kabelem do polarizačního děliče světla (PDS) určeného k měření Bellových stavů. Rotace polarizace, ke které dochází v optickém kabelu, je před každým měřením korigována polarizačním regulátorem (PR). Logické obvody identifikují Bellův stav buď jako ψ −
bc
nebo jako ψ +
bc
a dopravují výsledek
prostřednictvím mikrovlnného kanálu (jednotka RF) do Bobova elektrooptického modulátoru (EOM), který pak transformuje stav fotonu d do stavu fotonu b.
24
[1] Zeilinger A.: Quantum teleportation, Scientific American, duben 2000. [2] Bennett Ch. H., Brassard G., Crépeau C.: Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels, Physical Review Letters
(1993) 1895-1899.
[3] Bouwmeester D., Jian-Wei Pan, Mattle K., Eibl M., Weinfurter H., Zeilinger A.: Experimentalquantum teleportation, Nature
(1997) 575-579.
[4] Wootters W. K., Zurek W. H.:A single quantum cannot be cloned, Nature
(1982) 802-803
[5] Boschi D., Branca S., De Martini F., Hardy L., Popescu S.: Experimental realiyation of teleportating an unknown pure quantum state via dual classical and EPR channels, Physical Review Letters
(1998) 1121-1125
[6] Ursin R., Jennwein T., Aspelmeyer M., Kaltenbaek R., Lindenthal M., Walter P., Zeilinger A.: Quantum teleportation across the Danube, Nature
(2004) 849
Obrázky 3 až 8 jsou převzaty z článku [1].
25
