Teorie řízení VOŠ a SPŠ Kutná Hora
Analýza vlastností spojitých lineárních systémů Statické vlastnosti G G G
popisují chování systému v ustáleném stavu nevystihují přechodový děj nejčastější metodou popisu je statická charakteristika
Příklad: charakteristika teploměru SiC
2
1
Dynamické vlastnosti spojitých lin. systémů F F
charakterizují systém při změně stavu vystihují přechodové děje v systému i ustálený stav
Metody vnějšího popisu dynamických vlastností (vnější popis - relace mezi vstupem a výstupem systému) G G G G G G G G
diferenciální rovnice obrazový (operátorový) přenos frekvenční přenos frekvenční charakteristika přechodová fce přechodová charakteristika impulsní fce impulsní charakteristika 3
Matematický popis diferenciální rovnicí F F
diferenciální rovnice je nejobecnější metodou popisu pro lineární systém platí: systém je fyzicky realizovatelný za podmínky: m £ n (ideální derivátor nelze realizovat)
Klidový ustálený stav (pokud existuje)
pro t ® ¥ platí
je ustálená hodnota
4
2
Diferenciální rovnice integračního článku Příklad 1 : Sestavte diferenciální rovnici integračního RC článku
u - u2 du iC = i R iR = 1 iC = C 2 R dt du u - u2 du C 2 = 1 Þ RC 2 + u 2 = u1 dt R dt výsledná rovnice integračního článku :
T1
dy (t ) + y (t ) = u(t ) dt
5
Diferenciální rovnice derivačního článku Příklad 2 :
u1 = u C + u R = u1 =
1 ò i dt + u 2 C
1 ò u 2 dt + u 2 RC
u i= 2 R du du RC 1 = u 2 + RC 2 dt dt
výsledná rovnice derivačního článku :
T1
y(t) du + y(t) = T1 dt dt
6
3
Mechanický systém Příklad 3 : Sestavte diferenciální rovnici mechanického systému tvořeného hmotným bodem, pružinou a tlumičem. Pro jednotlivé síly platí: direktivní síla pružiny FD ( t ) = k × y( t ) k…tuhost pružiny dy( t )
Fb ( t ) = b × tlumicí síla dt b…součinitel viskózního tlumení d 2 y( t ) Fm ( t ) = m × a = m × akcelerační síla 2
dt
Podle D’Alambertova principu platí: F - Fm - Fb - FD = 0
m×
d 2y(t) dt 2
+b×
dy(t) + k × y(t) = F(t) dt
7
Význam konstant z příkladu 3 Aby konstanty diferenciální rovnice měly vypovídací hodnotu o vlastnostech systému, je třeba rovnici upravit do tvaru: T0 vlastní perioda kmitů x 0 koeficientu poměrného tlumení Úpravou rovnice a porovnáním s obecným vztahem systému 2. řádu dostaneme m d 2 y(t) b dy(t) 1 × + × + y(t) = F(t) k dt 2 k dt k
Odezva na skok vstupní veličiny
x 0 > 1 aperiodický systém x 0 = 1 mezní aperiodický 0 < x 0 < 1 kmitavý
8
4
Elektromechanický systém Příklad 4 : Sestavte diferenciální rovnici ss motorku s buzením permanentním magnetem. Elektrické schéma ss. motoru u (t ) = R × i(t ) + u e ( t )
u e ( t ) = k e × w( t )
u (t ) = R × i(t ) + k e × w( t )
Mechanická část motoru k m × i( t ) = J ×
dw( t ) + Mz dt
J × R dω × + k e × ω(t) = u(t) k m dt
9
Obrazový přenos Definice Obrazový přenos je definován jako podíl Laplaceova obrazu výstupního signálu y(t) k L-obrazu vstupního signálu u(t) při nulových počátečních podmínkách. L-obrazy získáme z originálů Laplaceovou transformací.
F (s ) =
Y(s ) U(s )
Y(s) U(s) s nebo p
L-obraz výstupního signálu L-obraz vstupního signálu Laplaceův operátor
10
5
Důvody použití L-transformace F
F F
L-transformace převádí originální funkci z časové oblasti do oblasti operátorové (funkce komplexní proměnné) převádí diferenciální rovnice na algebraické schéma řešení problému (popsaného diferenciální rovnicí) je na obr.
11
Definice L-transformace Přímá transformace x(t) Þ X(s)
Zpětná transformace X(s) Þ x(t)
x(t) X(s) s c
originální časová fce L-obraz originální fce Laplaceův operátor konstanta 12
6
Základní vlastnosti L-transformace Linearita kde a1, a2, jsou libovolné konstanty, mohou být i komplexní
Derivace v časové oblasti
Pro nulové počáteční podmínky:
pro 1. derivaci platí ì dx ( t ) ü Lí ý = s × X ( t ) - x ( 0) î dt þ
Integrál v časové oblasti 13
Výtah ze slovníku L-transformací Originální funkce
Obraz
1(t)
1/s
d(t)
1
t
1/s2
e± a.t
1 sma
14
7
Obrazový přenos lineárního systému F
obrazový přenos získáme L-transformací diferenciální rovnice
F(s) = F F F F
F
Y (s) b m × s m + b m -1 × s m -1 + ...... + b0 = U(s) a n × s n + a n -1 × s n -1 + .......... + a 0
kořeny polynomu v čitateli se nazývají nuly přenosu kořeny polynomu ve jmenovateli se nazývají póly přenosu charakteristická rovnice: an × sn + an -1 × sn -1 + .......... + a 0 = 0 oba polynomy lze napsat ve tvaru součinu kořenových činitelů:
b (s - n1 ) × (s - n 2 ) × ..... × (s - nn ) F(s) = m an (s - p1 ) × (s - p 2 ) × ..... × (s - pn )
ni pi
nuly přenosu póly přenosu
jsou-li póly a nuly přenosu reálné, pak přenos systému lze vyjádřit pomocí časových konstant:
b (1 + sT1 ) × (1 + sT2 ) × ..... × (1 + sTm ) F(s) = 0 a 0 (1 + st1 ) × (1 + st2 ) × ..... × (1 + stn )
Ti= -1/ni ti= -1/pi
15
Příklady - obrazový přenos Příklad 5 : Vypočtěte obrazový přenos integračního článku popsaného diferenciální dy(t ) rovnicí: T1 + y(t ) = u (t ) dt
Provedeme L-transformaci: T1 × s × Y (s ) + Y (s ) = U (s ) Y (s ) 1 F (s ) = = U (s ) (T1 × s + 1)
Y (s ) × (T1 × s + 1) = U (s )
Příklad 6 : Vypočtěte obrazový přenos mechanického systému z příkladu 3. 2 Diferenciální rovnice: m × d y(t) + b × dy(t) + y(t) = 1 u(t) L-transformace:
k dt 2 k dt k m 2 b 1 × s × Y (s) + × s × Y(s) + Y(s) = U(s) k k k 1 Y(s) k F(s) = = U(s) m × s 2 + b × s + 1 k k
16
8
Zpětná L-transformace je přechodem z oblasti operátorové do časové F metody Z-1- transformace G výpočet podle vzorce (složité) G rozklad na jednoduché výrazy a použití slovníku L-obrazů Příklad 7 F Vypočtěte odezvu výstupu integračního článku na jednotkový skok vstupního signálu. Časová konstanta T1=0,1s. Řešení: F
Diferenciální rovnice: Obrazový přenos: Obraz výstupu:
dy(t ) + y(t ) = u (t ) dt Y(s ) 1 F(s ) = = U(s ) (1 + 0,1 × s )
0,1 ×
1 1 × (1 + 0,1 × s ) s 1 10 10 Y(s ) = × = 2 2 10 s + 0,1 × s s + 10s
Y(s ) = F(s) × U(s) =
1ù é êë U (s ) = s úû 17
Příklad 7 Provedeme rozklad na parciální zlomky: póly přenosu: p1 = 0, p2 = -10 Y(s ) =
A B 10 + = s + 10 s s 2 + 10s
A × s + B × s + 10 × B 10 A × s + B(s + 10) 10 po roznásobení: = 2 = 2 × ( + ) s s 10 s × (s + 10) s + 10s s + 10s
(A + B) = 0 10 × B = 10
A = -1
B =1
1 1 Y(s ) = s s + 10 1 ü ì1 -10×t L-1 í ý =1- e s s + 10 þ î
y(t) = 1 - e -10×t 18
9
Graf funkce t y(t)
0 0
0,01 0,10
0,02 0,18
0,05 0,39
0,1 0,63
0,2 0,86
0,3 0,95
0,4 0,98
0,5 0,99
1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
19
Příklad 8 Příklad 8 Vypočtěte odezvu na jednotkový skok systému popsaného diferenciální rovnicí: y´´(t) + 3y´(t) + 2y(t) =2x(t) Řešení: 2 F(s) = 2 s + 3s + 2
charakteristická rovnice: s 2 + 3s + 2 = 0
póly: p1 = -1 p2 = -2 F(s) =
2 (s + 1) × (s + 2)
Y (s) = F(s) × U(s) =
2
(s + 1) × (s + 2)
rozklad na parciální zlomky: A
+
B
(s + 1) (s + 2)
+
C 2 = s s3 + 3s 2 + 2s
2 1 ü ì1 -t - 2t L-1 í + ý = 1 - 2e + e î s s +1 s + 2þ
Y (s) =
-2
×
1 s +
1
(s + 1) (s + 2)
+
1 s
Výpočet pomocí Excel 20
10
Frekvenční přenos Definice Frekvenční přenos F ( jw ) lze formálně určit z přenosu systému v Laplaceově transformaci dosazením p = jw . - komplexní operátor - kruhová frekvence
j
w
Systém stabilní Þ
Y ( jw )
definice
F( jw ) =
Y( jw ) U( jw )
- Fourierův obraz výstupu - Fourierův obraz vstupu
U ( jw )
21
Frekvenční charakteristika Definice Frekvenční charakteristika je grafickým vyjádřením frekvenčního přenosu pro měnící se w Î(0, ¥)
F ( j w ) = F ( j w ) e jwj ( w ) = Re [F ( j w ) ] + j Im [F ( j w ) ] Způsoby zobrazení F
V komplexní rovině – křivka s parametrem w
F
V logaritmických souřadnicích (dvě charakteristiky) G
vodorovná osa – hodnota log w
G
svislá osa 1.
2.
amplituda přenosu v dB – logaritmická amlitudová charakteristika fáze přenosu ve stupních – fázová frekvenční charakteristika
22
11
Frekvenční charakteristika v komplexní rovině Zápis
F ( j w ) = Re [F ( j w ) ] + j Im [F ( j w ) ] Zobrazení F
F
Spočteme přenos pro několik hodnot kruhové frekvence F( jw) G Počáteční bod: w = 0 wlim ®0 limF( jw) G Koncový bod: w = ¥ w®¥ G Další hodnoty w a jejich počet volíme Zakreslíme do komplexní roviny – na osy vynášíme reálnou a imaginární část přenosu
23
Příklad 9 Příklad 9 Nakreslete frekvenční charakteristiku v komplexní rovině pro statický systém prvního řádu s přenosem: F( jw ) = Řešení:
1 1 + jwT
pro w = 0 je limF( jw) = K =1 w®0
pro w = ¥ je limF( jw) = 0 w®¥
Výraz 1 + j w T je v komplexní rovině polopřímka, inverzí polopřímky je půlkružnice s průměrem určeným konstantou K.
24
12
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích F ( jw ) = F ( jw ) e
Zápis
j wj ( w )
Zobrazení F
F F
vlastnosti systému určeny dvěma funkcemi Þ dvě charakteristiky (závislost absolutní hodnoty přenosu na frekvenci, průběh fáze) použijeme logaritmické měřítko log F( jw ) = log F( jw ) + jj (w ) vyjádříme amplitudu v decibelech (dB) F( jw ) dB = 20 log F( jw )
s logaritmické měřítko Výhodné, když přenos systému F( jw) = F1( jw) × F2 ( jw)KFn ( jw) Použitím log. měřítka a vět o logaritmech můžeme psát: F ( jw) dB = F1( jw) dB + F2 ( jw) dB +K+ Fn ( jw) dB
25
j(w) = j1(w) + j2 (w) +K+ jn (w)
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích – základní charakteristiky I Amplitudová a fázová charakteristika – kresleno pomocí asymptot Maximální chyba je v oblasti w0 (bod zlomu) a činí 3 dB Přenos systému
F( jw ) =
1 jw
F( jw ) =
1 1 + jwT
Amplitudová a fázová charakteristika
26
13
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích – základní charakteristiky II Amplitudová a fázová charakteristika – kresleno pomocí asymptot Maximální chyba je v oblasti w0 (bod zlomu) a činí 3 dB Přenos systému
F( jw ) =
Amplitudová a fázová charakteristika
1 1 + 2 jTxw - T 2w 2
F( jw ) = e - jwT
27
Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích – využití základních charakteristik F
F
F
Vyjádříme funkci F( jw ) jako podíl součinu kořenových činitelů čitatele a jmenovatele m æ w çç 1 + j Õ w k =1 ak F ( jw ) = K n è æ w çç 1 + j Õ w bk k =1 è
ö ÷÷ ø ö ÷÷ ø
sestrojíme amplitudovou a fázovou charakteristiku pro jednotlivé kořenové činitele – využití základních charakteristik výsledná charakteristika = součet amplitudových a fázových charakteristik jednotlivých kořenových činitelů
28
14
Příklad 10 Příklad 10 Nakreslete frekvenční charakteristiku pro systém s přenosem: F( jw ) = K Řešení:
(1 + jwT1 ) jw (1 + jwT2 )(1 + jwT3 )
29
Příklad 10 - Pokračování Řešení:
30
15
Frekvenční charakteristika - měření Způsob měření frekvenčních charakteristik u elektrických systémů 1) Amplitudová frekvenční charakteristika - na vstup připojíme sinusový signál a měříme zesílení
2) Fázová frekvenční charakteristika - využití generátoru a dvoukanálového osciloskopu G
u1
F( jw )
u2
Osciloskop
Použití Lissajousových obrazů: - vstup X osciloskopu = výstup generátoru, vstup Y osciloskopu = výstup systému - na osciloskopu elipsa - měníme frekvenci generátoru a odečítáme fázový posun 31
Impulsní charakteristika Definice Impulsní charakteristika je grafické vyjádření časové odezvy systému na Diracův impulz při nulových počátečních podmínkách. Diracův impulz - definice
d (t ) = 0 " t , t ¹ 0 d ( t ) = ¥ pro t = 0 ¥
òd
dt = 1
-¥
Laplaceův obraz Diracova impulzu je roven jedné: L {d ( t ) } = 1 32
16
Vztah mezi impulzní a přechodovou charakteristikou 1 F( p) p
Přechodová charakteristika
H ( p) =
Impulzní charakteristika
G ( p) = F( p)
Þ
H ( p) =
1 G ( p) p
V časové oblasti Přechodová charakteristika
h (t )
h(t ) = L-1{H ( p )}
Impulzní charakteristika
g (t )
g (t ) = L-1{G ( p )}
platí vztahy: t
h (t ) =
ò g (t )
g (t ) =
0
dh ( t ) dt
33
Příklad 11 Příklad 11 Pomocí vztahu impulzní a přechodové charakteristiky určete analytické vyjádření přechodové charakteristiky pro systém s přenosem: F ( p) = Řešení: G( p) = F( p) =
1 0,1 p + 1
10 p +10
ì 10 ü -10 t L-1 {G ( p )} = L-1 í ý = 10 × e p + 10 î þ t
t t é æ 1 öù h (t ) = ò 10 × e -10t dt = 10 ò e -10t dt = ê10 × e -10t × ç - ÷ ú = è 10 ø û 0 ë 0 0
[
= - e -10t
]
t 0
= - e -10 t - ( - 1) = 1 - e -10 t
34
17
Vnitřní popis systému
Vnitřní popis systému chápeme jako relaci mezi vstupní veličinou u(t), stavem systému x(t) a výstupní veličinou y(t). Hovoříme pak o stavových rovnicích systému.
x& (t ) = f ( x, u , t ) y (t ) = g ( x, u, t ) kde:
x(t) … je n-rozměrný stavový vektor, y(t) … je výstup systému f … jsou n-rozměrové nelineární vektorové funkce, g … je skalární funkce.
35
Vnitřní popis systému Je-li dynamický systém lineární a t-invariantní pak platí:
x& (t ) = A(t ) x(t ) + B (t )u (t ) y (t ) = C (t ) x(t ) + D (t )u (t ) kde:
A(t) je matice systému rozměru n x n, B(t) je matice řízení rozměru n x r, C(t), D(t) jsou výstupní matice rozměrů m x n a m x r.
Je-li lineární systém stacionární, potom jsou matice A, B, C a D konstantní, tj, nezávislé na čase. 36
18
Vnitřní popis systému
37
Vnitřní popis systému – příklad 12 Popis stejnosměrného motoru
Popis soustavou diferenciálních rovnic:
u = Ri + L ki = J
di + kw dt
dw + mz dt
dj =w dt
u – napětí na kotvě motoru i – proud kotvy R – odpor kotvy L - indukčnost kotvy k – momentová konstanta motoru ω – úhlová rychlost hřídele J – moment setrvačnosti motoru mz – zatěžovací moment φ – natočení hřídele
38
19
Vnitřní popis systému – příklad 12 Úpravou výše uvedených rovnic dostaneme přímo stavové rovnice motoru:
di R k 1 =- i- w+ u dt L L L dw k 1 x&2 = = i - mz dt J J dj =w x&3 = dt x2 (t ) = w (t ) Stavové veličiny jsou: x1 (t ) = i (t ) x&1 =
x3 (t ) = j (t )
u 2 (t ) = mz (t )
Řídící veličiny jsou:
u1 (t ) = u (t )
Výstupní veličina je:
y (t ) = j (t ) = x3 (t ) 39
Vnitřní popis systému – příklad 12 Z uvedených stavových rovnic můžeme okamžitě vyjádřit matice A, B, C a D i
é R ê- L ê k A=ê ê J ê 0 êë
w
-
k L
0 1
C = [0 0 1]
j
ù 0ú ú 0ú ú 0ú úû
é1 êL ê B = ê0 ê ê0 êë
ù 0 ú 1ú - ú Jú 0 ú úû
D = [0 0]
Chceme natočení hřídele φ jako výstup.
40
20
Regulované soustavy Regulovaná soustava je zařízení, kde se provádí regulace – nastavení akční veličiny jako vstupní veličiny se udržuje okamžitá hodnota regulované veličiny jako výstupní veličiny regulované soustavy na požadované hodnotě.
41
Regulované soustavy Příklady regulovaných soustav: - nádrž s vodou, kde se udržuje přítokem výška hladiny - vzdušník, kde se zapínáním a vypínáním kompresoru udržuje tlak, potřebný pro ovládání a hašení oblouku tlakovzdušných vypínačů Pro návrh regulačního obvodu musíme znát dynamické vlastnosti, vyjádřené chováním výstupu při změnách na vstupu. Nejnázorněji se dynamické vlastnosti vyjadřují přechodovou charakteristikou. Další důležitou vlastností regulovaných soustav je časové zpoždění signálu při průchodu soustavou. Časové zpoždění vzniká, plní-li se nějaká kapacita (objemová, tepelná, elektrická) přes hydraulický, tepelný nebo elektrický odpor. Příklady kapacit: - k naplnění nádrže na určitou výšku hladiny je třeba určitého času; - na ohřátí prostoru na požadovanou teplotu je třeba určitého času; 42
21
Regulované soustavy Regulované soustavy se rozdělují podle chování výstupu při skokové změně na vstupu na:
Statické
Astatické
43
Regulované soustavy - Statické Jsou charakteristické tím, že po skokové změně na vstupu se výstup ustálí na nové hodnotě pomocí regulátoru. Statické regulované soustavy si můžeme rozdělit podle vlivu kapacit ( podle zpoždění při průchodu signálu soustavou) na: bezkapacitní (nultého řádu) jednokapacitní (prvního řádu) - dvoukapacitní (druhého řádu) - vícekapacitní (vyšších řádu) - s dopravním zpožděním
-
44
22
Regulované soustavy – Statické Bezkapacitní (bez zpoždění) Vyskytují se zřídka. Jako příklad uveďme odporovou zátěž stabilizátoru (tj. regulátoru) napětí. K zvětšení odolnosti proti rozkmitání se u těchto soustav uměle zavádí setrvačnost ve formě elektrolytického kondenzátoru. Jednokapacitní (zpoždění prvého řádu) Regulují se velmi dobře na konstantní hodnotu regulované veličiny, nejsou náchylné ke kmitání a jsou málo citlivé ke krátkodobým poruchám. Mají největší schopnost autoregulace ze všech regulovaných soustav. Tyto jednokapacitní soustavy jsou typické pro regulaci teploty menších pecí, pro regulaci otáček motorů a tlaku plynů. 45
Regulované soustavy – Statické Příklad (jednokapacitní soustavy) Nádrž vody s volným výtokem Na nádrži s volným výtokem je možno definovat princip samoregulace. S růstem výšky hladiny se zvyšuje hydrostatický tlak a tím i výtoková rychlost a zvyšuje se odtékající množství. Až se přítok a výtok vyrovnají, hladina se ustálí.
46
23
Regulované soustavy – Statické Příklad (jednokapacitní soustavy) Žehlička Akční veličina – topný příkon; Regulovaná veličina – teplota tělesa; Uplatňuje se pouze jedna kapacita žehlícího tělesa.
47
Regulované soustavy – Statické Dvoukapacitní (zpoždění druhého řádu) a vícekapacitní Tyto soustavy tlumíme, abychom potlačili jejich kmitání. Značné fázové posuny způsobené soustavami vyšších řádů velmi znesnadňují regulaci, neboť nedovolují zavedení silné záporné vazby, protože ta se při celkovém fázovém posunu 180° mění v kladnou zpětnou vazbu. Jsou-li splněny podmínky vzniku oscilací, regulační systém se rozkmitá. Příkladem spojení kapacit různého charakteru je těžké kolo (hmotnost), jehož otáčky jsou regulovány servomotorem přes dlouhý, relativně slabý hřídel (tj. poddajnost). U velkých pecí s mohutnou vyzdívkou se uplatňuje tepelný odpor vyzdívky rozložený v celém objemu s tepelnou kapacitou vyzdí podobně jako elektrické setrvačné členy RC zapojené ve velkém počtu za sebou. Taková pec má charakter kmitavého členu vyššího řádu. Čím je řád soustavy vyšší, tím je regulace obtížnější.
48
24
Regulované soustavy – Statické Příklad (dvoukapacitní soustavy) Ohřev vody v nádrži Uplatňují se dvě kapacity - tepelná kapacita nádrže, určena množstvím ohřívané vody - tepelná kapacita topného tělesa, určena jeho hmotností Poměr tn/tu vyjadřuje regulovatelnost soustavy – dobrá regulovatelnost vyžaduje, aby tn bylo nejméně 10 x větší než tu.
49
Regulované soustavy – Statické S dopravním zpožděním Dopravní zpoždění – nežádoucí jev, při kterém se výstupní veličina začne měnit v závislosti na vstupní teprve po určité době. Tento jev se vyskytuje hlavně při regulacích průtoku kapalin nebo při dopravování sypkých hmot (např. pásový dopravník). Dopravní zpoždění velmi znesnadňuje regulaci podobně jako kmitavé členy vyšších řádů.
50
25
Regulované soustavy – Statické S dopravním zpožděním U setrvačných členů prvního řádu s časovou konstantou T můžeme poměr τ/T dosadit do uvedených vztahů místo Tu/Tn, abychom si učinili o obtížnosti regulace přibližnou představu. Dovoluje to podobnost přechodových charakteristik soustav obou typů. V praxi se snažíme zmenšit dopravní zpoždění na minimum a, pokud je to možné, zvětšit setrvačnost soustavy tak, aby časová konstanta byla mnohem větší než dopravní zpoždění.
51
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti Vyjadřují závislost vstupních a výstupních veličin v neustáleném stavu (v okamžiku, kdy se tyto veličiny mění). K vyjádření dynamických vlastností RS (i kteréhokoliv členu obvodu ) se používá několik způsobů: a) diferenciální rovnice – matematické řešení b) přechodová charakteristika – zjišťuje se výpočtem, v praxi se však dává přednost jejímu měření c) frekvenční přenos d) frekvenční charakteristiky v komplexní rovině nebo v logaritmických souřadnicích 52
26
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 1) Diferenciální rovnice: a) ideální (bez setrvačnosti):
a0 y (t ) = b0 u (t )
b) se setrvačností I. řádu:
a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = b0 u (t )
c) se setrvačností II. řádu: a2 y ' ' (t ) + a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = b0 u (t )
/ ¸ a0
T ... časová konstanta (doba kmitu netlumeného obvodu) K ... zesílení ξ ... [ksí] – tlumení
a2 a b y ' ' (t ) + 1 y ' ( t ) + y ( t ) = 0 u (t ) a0 a0 a0 a2 =T 2 a0
a1 = 4x 2 a0
b0 =K a0
T 2 y ' ' (t ) + 4 x 2 y ' (t ) + y (t ) = K u ( t )
53
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 2) Přenos v LT (Laplaceově transformaci): a) ideální ( bez setrvačnosti ):
a0 Y ( p ) = b0 U ( p) F ( p) =
b) se setrvačností I. řádu:
Y ( p ) b0 = =K U ( p ) a0
a1 p Y ( p ) + a0 Y ( p ) = b0 U ( p )
/ ¸ a0
a1 b p Y ( p) + Y ( p) = 0 U ( p) a0 a0 a1 =T a0
b0 =K Þ a0
Þ (T p + 1) Y ( p ) = K U ( p ) F ( p) =
Y ( p) K = U ( p ) (Tp + 1)
54
27
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 2) Přenos v LT (Laplaceově transformaci): 2 2 2 c) se setrvačností II. řádu: T p Y ( p ) + 4 x p Y ( p ) + Y ( p ) = K U ( p ) Y ( p ) (T 2 p 2 + 4 x 2 p + 1) = K U ( p )
F ( p) =
a2 =T 2 a0
Y ( p) K = U ( p) T 2 p 2 + 4 x 2 p + 1 a1 = 4x 2 a0
b0 =K a0
T ... časová konstanta K ... zesílení ξ ... [ksí] – tlumení
55
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 3) Přechodová funkce: a) ideální (bez setrvačnosti):
H ( p) = F ( p) ×
1 K = p p
h (t ) = K
b) se setrvačností I. řádu:
H ( p) = F ( p) ×
1 K = p p (Tp + 1)
t æ h (t ) = K × çç1 - e T è
c) se setrvačností II. řádu: H ( p ) = F ( p ) ×
ö ÷ ÷ ø
1 K = p p (T 2 p 2 + 4 x 2 p + 1) 56
28
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 4) Přechodová charakteristika: a) ideální (bez setrvačnosti): b) se setrvačností I. řádu:
57
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 4) Přechodová charakteristika: c) se setrvačností II. řádu:
Poměrné tlumení může nabývat těchto hodnot: ξ >1.......soustava je přetlumená – nekmitá ξ =1.......soustava je na mezi aperiodicity – nekmitá 0<ξ<1...soustava tlumeně kmitá ξ =0......člen netlumeně kmitá. Jde o teoretický stav, neboť tlumení je ve skutečnosti vždy větší než nula
58
29
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 4) Přechodová charakteristika: d) s dopravním zpožděním: - u ideální soustavy
- u soustavy se setrvačností I. řádu
59
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 5) Frekvenční přenos: a) ideální (bez setrvačnosti):
F ( jw ) = K
b) se setrvačností I. řádu: F ( j w ) =
K 1- T j w K KTw × = -j 2 2 (T j w + 1) 1 - T j w T 2 w 2 + 1 T w +1
c) se setrvačností II. řádu: F ( j w ) =
d) s dopravním zpožděním:
K T ( j w )2 + 4 x 2 j w +1
F ( j w) =
K e - jwt T j w +1 60
30
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 6) Frekvenční charakteristiky: a) ideální ( bez setrvačnosti ): - v komplexní rovině:
61
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 6) Frekvenční charakteristiky: a) ideální (bez setrvačnosti):
- v logaritmických souřadnicích:
LAFCH: A[dB] = 20 log K LFFCH: j = arc tg
Im (w ) =0 Re (w )
62
31
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 6) Frekvenční charakteristiky: b) se setrvačností I. řádu: - v komplexní rovině:
63
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 6) Frekvenční charakteristiky: b) se setrvačností I. řádu:
- v logaritmických souřadnicích:
- LAFCH: A = 20 log K - 20 log T 2 w 2 + 1
64
32
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 6) Frekvenční charakteristiky: b) se setrvačností I. řádu:
- v logaritmických souřadnicích:
- LFFCH: j = - arc tg w T
65
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 6) Frekvenční charakteristiky: b) se setrvačností II. řádu: - v komplexní rovině:
66
33
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 6) Frekvenční charakteristiky: c) se setrvačností II. řádu (kmitavý člen): - v logaritmických souřadnicích:
LAFCH:
A [ dB ] = 20 log K - 20 log T12 w 2 + 1 - 20 log T22 w 2 + 1
LFFCH:
j = - arc cot g w T1 - arc tg w T2
67
Regulované soustavy – Statické
LAFCH:
LFFCH:
68
34
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 6) Frekvenční charakteristiky: d) s dopravním zpožděním, se setrvačností I. řádu: - v komplexní rovině:
69
Regulované soustavy – Statické Dynamické vlastnosti 6) Frekvenční charakteristiky:
- LAFCH a LFFCH:
d) s dopravním zpožděním, se setrvačností I. řádu: - v logaritmických souřadnicích:
Amplitudová charakteristika v logaritmických souřadnicích se vlivem dopravního zpoždění nezmění. K původní fázi φ však musíme na každé frekvenci přičíst úhel ωτ, daný dopravním zpožděním.
70
35
Regulované soustavy – Statické Příklady statických soustav z praxe: a) ideální (bez setrvačnosti):
b) se setrvačností I. řádu:
c) se setrvačností II. řádu:
71
Regulované soustavy – Astatické Jsou charakteristické tím, že po skokové změně na vstupu se soustava na výstupu neustálí na novou hodnotu bez pomoci regulátoru. Astatické soustavy si můžeme obdobně jako statické rozdělit podle zpoždění signálu při průchodu soustavou – podle počtu kapacit s tím, že neexistuje bezkapacitní astatická soustava. bezkapacitní (nultého řádu) - NEEXISTUJE - jednokapacitní (prvního řádu) - dvoukapacitní (druhého řádu) - vícekapacitní (vyšších řádů) - s dopravním zpožděním -
72
36
Regulované soustavy – Astatické Příklad (jednokapacitní soustavy) Nádrž vody s čerpadlem na odtoku Po zapnutí přítoku výška hladiny roste nezávisle na tlaku před čerpadlem Č.
Rozdíl od S1
73
Regulované soustavy – Astatické Dynamické vlastnosti Jednokapacitní (prvního řádu): - matematický popis:
a1 y , (t ) = b0u (t ) y , (t ) = ku (t )
a1 k ... zesílení soustavy
- přenos: - přechodová charakteristika:
74
37
Regulované soustavy – Astatické Dynamické vlastnosti Dvoukapacitní (druhého řádu): - matematický popis: a2 y ,, (t ) + a1 y , (t ) = b0u (t ) - přenos:
b0 b0 a1 kI F ( p) = = = a2 p 2 + a1 p æ a2 ö p (Tp + 1) pçç p + 1÷÷ è a1 ø
- přechodová charakteristika:
75
38
