Szilárdságtan képletek

Szilárdságtan képletek Kovács Ádám előadása alapján Gépre vitte: Antali Máté Másodrendű nyomaték: - ekvatoriális (tengelyre számított): I x   y 2 dA ; I y   x 2 dA A

-

A

centrális (tengelykeresztre számított): I xy   xydA A

-

2

poláris (pontra számított): I p   r dA  I x  I y A

2

2

Steiner-tétel: I x '  I x  y0 A ; I y '  I y  x0 A ; I x ' y '  I xy  x0 y0 A Síkidomok másodrendű nyomatéka: ab 3 a 3b - téglalap (súlypontra): I x  ; Iy  ; I xy  0 12 12 d 4 d 4 - körlap (sp): I x  I y  ; I xy  0 ; I p  64 32 4 1d  - félkör (sp): I x  I y  ; I xy  0 2 64 1 d 4 d4 - negyedkör (sp): I x  I y  ; I xy  4 64 128 -

derékszögű háromszög (derékszögű csúcsra): I x 

ab 3 a 3b a 2b 2 ; Iy  ; I xy  12 12 24

 I xy   Ix Másodrendű nyomatéki mátrix: I 0   I y  ( x, y )  I xy Másodrendű nyomaték tetsz. tengelyekeresztre: I n  nT I 0n ; I m  mT I 0m ; I nm  mT I 0n

Igénybevétel összetevői: F  Ni  V y j  Vz k ; M  M t i  M h , y j  M h , z k Normálfeszültség definíciója:  

dF dA

Feszültség és húzó igénybevétel kapcsolata:   x dA  N A

Húzófeszültség rúdban:  x  Fajlagos nyúlás:   Kontrakció:  d 

N A

l  l0 l  1 l0 l0

d  d0 d  1 d0 d0

Kontrakciós tényező:  

 d 

Egyszerű Hooke-törvény:   E ;  d  

Nl0 AE Húzott rúd térfogatváltozása: V  V0   2 d   V0 1  2  Húzott rúd hosszváltozása: l 

Hajlított rúd görbülete és megnyúlása: Navier-képlet:  x 

M 1 z  h x  s I y E s

Mh z Iy

Keresztmetszeti tényező: K y  Ferdén hajlított rúd:  x 

M h, y Iy

Zérustengely egyenlete: z ( y ) 

Iy z max

z

M h,z y Iz

M h,z I y  y M h, y I z

Húzás+hajlítás (általános Navier-képlet):  x  Nyíráskor léterjövő feszültség:  xz 

M N M h, y  z  h,z y A Iy Iz

V S y ( z)  I y a( z )

Nyírófeszültségek: 2 3 V   2z   1      2 A   b  

-

téglalap:  ( z ) 

-

2 4 V   2z   kör:  ( z )  1     3 A   d  

Szögváltozás, fajlagos elcsavarodás, elcsavarodás:  xt  r ;   Hooke-törvény csavarásra:  xt  G xt ahol G  Csavarófeszültség:  xt 

d M t Ml  ; t dx I pG I pG

E E 1 ,  21    2G

Mt r Ip

Redukált másodrendű nyomaték: I O 

R

2

 R  z z dA ,

Ao

 R 2R  b   1 téglalapra, ha b és z párhuzamosak: I 0  R 2 ab ln  b 2R  b  2 2   2 R d     2  - körre: I 0  R A0  1  2  1  1     d 2 R          Síkgörbe rudak hajlítófeszültsége (2e a keresztmetszet átmérője, R pedig a görbületi sugár): -

-

M N M z R R  2 : Grashof-képlet:  x ( z )   h  h  A RA I O R  z 2e M N M z R R ha 2   10 :  x ( z )   h  h  A RA I y R  z 2e ha

ha 10 

N M R :  x ( z )   h  z (Navier-képlet) A Iy 2e

 x  xy  xz    Feszültségi tenzor: σ   xy  y  yz  ( x, y,z )  xz  yz  z    Feszültségi vektor: ρ n  σn Feszültségek:  n  nT σn ;  nm  nT σm Főfeszültségek: a feszültségi tenzor mátrixának sajátértékei, a  3   I 2   II    III  0  x  xy  x  xz  y  yz  III  det σ    egyenlet megoldásai,  I   x   y   z ;  II   xy  y  xz  z  yz  z Főfeszültségek meghítározása Mohr-körökkel: akkor használható, ha az egyik főfeszültség  x  xy 0  2  m   2 ismert, vagyis a mátrix σ   xy  y 0  alakú. Ekkor r    n  n    nm , ( x, y ,z ) 2    0 0  z 

O 

n m  nm ;  1, 2   0  r ; tg 2  2 n O

1   xz 2  1  y  yz  2  1  yz z   2 1    E      σ   I E σ   ε   I E Általános Hooke-törvény (anyagtörv.): ε  E  1  1    1  2   dV ' dV 1  2  I Fajlagos térfogatváltozás:  I  dV E Nyúlásmérés kiértékelése: Adott három nyúlásmérő bélyeg, melyek az x-tengellyel rendre  a ,   x 1 Alakváltozási állapot: ε    xy ( x, y,z ) 2 1   2 xz

1  xy 2

 x   a       b ,  c szögeket zárnak be. A mért nyúlások b   b  Ekkor x   xy   A 1b , ahol  y   c    cos 2  a  A  cos 2  b  cos 2  c 

sin  a cos  a sin  b cos  b sin  c cos  c

sin 2  a   sin 2  b  sin 2  c 

Alakváltozási energiasűrűség: u r  

1 σ : ε , ahol a kettőspont a skaláris szorzatot jelenti 2

Alakváltozási energia: U   u r dV V

Alakváltozási energia rudakban: l

-

húzásból származó: U N   0

N 2 x  dx 2 AE M h2, y ( x)

l

-

hajlításból származó: U M h  

2I y E

0

l

-

csavarásból származó: U M t   0

-

l

dx  

M h2, z ( x) 2I z E

0

dx

M t2 ( x) dx 2I pG

összes: U  U N  U M h  U M t (a nyírásból származó energiát elhanyagolhatjuk)

Méretezési elméletek: 1. Mohr-elmélet: a. általános:  eM   1   3 2

b. rudakban:  eM   x  4 xt

2

2. HMH-elmélet (Huber-Mises-Hencky): 3 σ d : σ d , ahol a. általános:  eHMH  2 σ d  σ  σ g a feszültség-deviátor,

1 σ g   I E pedig a gömbtenzor 3 kifejtve:  eHMH 

1  1   2 2   2   3 2   3   1 2 2



2

b. rudakban:  eHMH   x  3 xt



2

Munkatételek: 1. Betti-tétel: l

a. Az A pont elmozdulása: wA   0

M h ( x )  m( x ) dx , ahol m(x) az A pontba IyE

képzeletben odahelyezett egységnyi nagyságú erő hajlító nyomatéki függvénye l M ( x )  m( x )   dx , ahol m(x) az A b. Az A keresztmetszet szögelfordulása: A  h I E y 0 pontba képzeletben odahelyezett egységnyi nagyságú erőpár hajlító nyomatéki függvénye 2. Castigliano-tétel: U a. Az Fi erő támadáspontjának elmozdulása: wi  Fi l

- csak hajlítónyomatékból: wi 

1 M h ( x) M h ( x)  dx  IyE 0 F1

b. Az Mi erőpár helyén a keresztmetszet szögelfordulása: i 

U M i

l

- csak hajlítónyomatékból:  i 

M h ( x) 1 M h ( x)  dx  IyE 0 M 1

A rugalmas szál differenciálegyenlete (tiszta hajlítás esetén!): w( x)  

M h ( x) IyE

l0 I , ahol i  2 az inerciasugár i2 A Kihajlás kritikus feszültsége: 2 2      IyE 1. ha   0 :  kr    E     l A Karcsúság:  





2. ha   0 :  kr  a0  a1  a2 2 Kihajlási hossz: fél szinuszhullám hossza, a kényszerektől függően (l a rúd hossza): 1. két csukló: l0  l 2. befogás: l0  2l l 3. befogás+csúszka: l0  2 4. befogás+csukló: l0  0,7l Membránelmélet:   p (1) m  t   m t v (2)

m p   t 2v

Felület alakja

m

henger



gömb

D 2

kúp



tórusz

r

t D 2 D 2 r sin  D   r 2  r cos 

m pD 4v pD 4v pr 2v sin 

t pD 2v pD 4v pr v sin 

p t 2v

p   t   m  r  v

Tartályok méretezése Mohr szerint:  meg   t  p  Tartályok alakváltozása:  t 

1  t  m  ;  m  1  m  t  ; w  r t E E