Szélsőérték-feladatok különböző megoldási módszerei
Szakdolgozat
Készítette: BERZSENYI VIKTÓRIA Témavezető: MAUS PÁL
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikatanítási- és Módszertani Központ
2010
Tartalomjegyzék Bevezetés .................................................................................................................................... 3 Definíciók, tételek, összefüggések, megoldási menetek ............................................................ 4 A háromszög egyenlőtlenség ................................................................................................. 4 Pitagorasz-tétel ....................................................................................................................... 4 Két pozitív szám számtani, mértani, harmonikus és négyzetes közepének geometriai definiálása............................................................................................................................... 4 Számtani közép .................................................................................................................. 4 Mértani közép ..................................................................................................................... 5 Harmonikus közép.............................................................................................................. 6 Négyzetes közép ................................................................................................................. 8 A középértékek jellemzői ....................................................................................................... 9 Általánosítás több számra..................................................................................................... 10 Nem negatív számok összegére, szorzatára, valamint négyzetösszegére vonatkozó tételek 11 A másodfokú függvény szélsőértékeinek meghatározása .................................................... 11 A differenciálható függvények szélsőértékeinek meghatározása......................................... 12 Feladatok .................................................................................................................................. 15 Befejezés .................................................................................................................................. 36 Felhasznált irodalom ................................................................................................................ 37
2
Bevezetés Szakdolgozatomban a szélsőérték-feladatok különböző megoldási módszereit és ezek alkalmazását szeretném bemutatni és összehasonlítani. A témaválasztásomat motiválta, hogy középiskolás tanulmányaimban a témakör elemi matematika eszközeivel történő megoldása kisebb hangsúlyt kapott. Ezt a hiányosságomat szerettem volna pótolni, illetve összekapcsolni az egyetemen tanultakkal. Ezen kívül a szakdolgozatomban összefoglaltakat szeretném később, tanári hivatásom gyakorlása alatt felhasználni. Az első részben a megoldási módszerek elméleti hátterét tekintem át, ismertetve a szakdolgozatom feladataihoz felhasznált definíciókat, tételeket, összefüggéseket. A második rész példáit a Magyarországon használatban lévő középiskolai tankönyvek feladatsoraiból és feladatgyűjteményekből válogattam, többségében Hódi Endre munkájából. Könyvének előszavában írja a következőt: „Véleményem szerint szélsőérték-feladatot csak akkor indokolt differenciál-hányados segítségével megoldani, ha vagy egyáltalán nem találunk rá elemi megoldást, vagy, ha sikerül is megoldani elemi úton a feladatot, ez a megoldás nagyon bonyolult, lényegesen bonyolultabb annál, amit a differenciál-hányados alkalmazásával kaphatunk.” 3 Ezt szem előtt tartva arra törekedtem, hogy a feladatok megoldásainál elsősorban az elemi módszereket helyezzem előtérbe. A
tételbizonyítások,
feladatok
és
megoldásaik
szemléltető
ábráit
a
GeoGebra
rajzolóprogrammal készítettem. Köszönetet szeretnék mondani konzulensemnek, Maus Pálnak, aki támpontot adott a szakdolgozat felépítéséhez és a konzultációkon a feladatok különböző megoldásaihoz.
3
Hódi 5.o.
3
Definíciók, tételek, összefüggések, megoldási menetek A háromszög egyenlőtlenség A geometriai egyenlőtlenségek gyakran a következő fontos összefüggésre vezethetők vissza:
: Három adott szakasz akkor és csakis akkor lehet egy háromszög három oldala, ha bármelyikük kisebb, mint a másik kettő összege.4
Pitagorasz-tétel:
:Minden derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.
Két pozitív szám számtani, mértani, harmonikus és négyzetes közepének geometriai definiálása Számtani közép
Adottak az és különböző pozitív számok, és legyen . Létezik olyan trapéz, amelyben
az és párhuzamos oldalak hosszúsága és . (1. ábra)
1. ábra 4
Reiman 226.o.
4
Jelöljük a trapéz szárainak felezőpontjait -sel és -sel. Az ezeket összekötő szakasz a
trapéz középvonala, amely párhuzamos az és oldalakkal, és hossza : Az
. 2
számot nevezzük az és számok számtani közepének.3
esetén is, hiszen a trapéz helyett téglalappal ugyanígy definiálható.
(Az és számok egyenlőségének esetét a későbbi definíciók során külön fogjuk vizsgálni.)
Mértani közép
Tekintsük az trapézt (1. ábra).
Mekkora annak a húrnak a hossza, amely az trapézt két hasonló trapézra bontja?
(Nevezzük húroknak a szárak egy-egy pontját összekötő, az és oldalakkal
párhuzamos szakaszokat.)
Tegyük fel, hogy létezik ilyen húr. Ekkor a hasonlóság miatt felírható, hogy
ebből
,
√.
: Az √ számot az és számok mértani közepének nevezzük.4
A mértani közép bevezetése esetén ezzel a módszerrel nem lehetséges, de esetén is definiálhatjuk a két szám mértani közepét az √ egyenlőséggel.
A trapéznak nyilván egy és csak egy √ hosszúságú húrja van, hiszen , és így , √ ,
azaz √ az és számok közé esik 5, és ekkor a folytonosság elve miatt valóban létezik
egyetlen √ hosszúságú húr.
3
Szikszai 7.o. U.a. 9.o. 5 U.a. 9.o. 4
A hasonlóságnak szükséges feltétele volt a két-két megfelelő oldal arányának egyezése.
Be kell még látnunk, hogy az így keletkezett és az trapézok valóban hasonlók. Nagyítsuk az trapéz szárainak metszéspontjából az trapézt √
arányban. A oldalból az húrt kapjuk, hiszen
√ √ ,
az húrból pedig az oldalt, mert √
√ . 6
Azt állítjuk továbbá, hogy az húr rövidebb, mint az .
Ez abból következik, hogy az középvonal a magasságot felezi, a és hasonló trapézok közül az alsó trapéz magassága
√
-szerese a felső trapéz
magasságának, tehát nagyobb nála. Szemléletesen szólva az húr az felett van.
: Két különböző pozitív szám mértani közepe kisebb, mint a számtani közepe, .7 Könnyen látható, hogy esetén egyenlőség teljesül.
Harmonikus közép
Jelöljük az trapéz átlóinak metszéspontját !-vel. Számítsuk ki a ! ponton átmenő " " húr hosszát (2. ábra).
2. ábra
6 7
Szikszai 9.o. U.a.10.o.
6
A , " ! , ill. az , !" háromszögek hasonlóságából a " ! " ,
illetve
" ! "
aránypárokat írhatjuk fel. Ezeket összeadva
1 1 " ! # % 1.
Ugyanígy adódik a
1 1 " ! # % 1
összefüggés. (Ezekből leolvasható, hogy ! a húr felezőpontja.) A két egyenletet
összeadva és rendezve a keresett húr hossza
& " " :A& '
' ( )
2
1 1
.
számot nevezzük az és számok harmonikus közepének.8
Látható, hogy esetén is használható a fenti definició, hiszen egy téglalapban az átlók metszéspontjával ugyanígy végigvihető a gondolatmenet.
Azt állítjuk, hogy különböző és esetén az " " húr az eddigiek közül a legrövidebb,
vagyis
& .
Az állítás következő bizonyítása konzultáción hangzott el.
Legyen az , , , a " " , és a " " trapézok magassága rendre *, *+ , * , *, és *- . Láttuk, hogy a és hasonló trapézok
közül az alsó trapéz magassága
Tudjuk, hogy
azaz
8
√
-szerese a felső trapéz magasságának, vagyis: *+
√ m .
*+ * *,
Szikszai 10.o.
7
*+
*
√ 1
.
A ! és a ! háromszögek hasonlóak, ezért:
*, , *-
Tudjuk, hogy
ebből
* *- . ,
*, *- *, *,
*
1
*
. *
1
, √ 1
az " " húr valóban rövidebb, mint a húr. Bizonyítottuk, hogy
/ : két különböző pozitív szám harmonikus közepe kisebb, mint a mértani közepe.9 Bizonyítható, hogy esetén & egyenlőség teljesül.
Négyzetes közép
A trapéz középvonala nem felezi a trapéz területét, hiszen miatt a középvonal
feletti terület nyilván kisebb területű, mint az alatta levő. Ebből következően biztosan van pontosan egy olyan 0 0 húr a középvonal alatt, mely a trapéz területét két egyenlő részre osztja. Határozzuk meg ennek a területfelező húrnak a hosszát.
Az , 0 0 , háromszögek hasonlóak (1. ábra), területeik aránya egyenlő az O-val szemközti oldalak négyzeteinek arányával, tehát van olyan 1 pozitív valós szám,
hogy a három terület mértékszáma rendre
1 , 12 0 0 3 , 1 .
Az trapéz területfelezése azt jelenti, hogy az 0 0 háromszög területe az és az háromszögek területének számtani közepe, azaz 12 0 0 3
és ebből 9
Szikszai 11.o.
8
1 1 , 2
/ : A kapott 4 6
7 7
4 0 0 5 . 2
számot nevezzük az és számok négyzetes közepének.10
A fenti értelmezés esetén nem lehetséges, de ekkor is definiálhatjuk az és számok négyzetes közepét az 4 6
7 7
egyenlőséggel.
Mivel az 0 0 szakasz a középvonal alatt van,
4.
8 : Két különböző pozitív szám számtani közepe kisebb a négyzetes közepénél. Nyilvánvaló, hogy esetén 4 teljesül.11
A középértékek jellemzői A geometriai úton definiált négy húr és az ezeknek megfelelő négy középérték közös
tulajdonsága, hogy mind a négy és közé esik, ha és különböző pozitív számok. Továbbá esetén
& 4 .
Ha , akkor minden húr hossza és közös számértékével egyenlő (és változatlanul
igaz, hogy a négy nevezetes húr helyzete egyértelműen meghatározott),
továbbá esetén
& 4 .
Vagyis
9 : ha és pozitív számok, és : akkor, :
2
1 1
: √ :
:5 : . 2 2
Az és számokat közepükkel pótolva középértékként ugyanazt a számot kapjuk,
mint az és számok esetén.12
10
Szikszai 11-12.o. U.a. 12.o. 12 U.a. 12-13.o. 11
9
Általánosítás több számra
8 :Legyen adva az + , , … , 0 < db pozitív szám. Az < db pozitív szám számtani,
mértani, harmonikus és négyzetes közepe rendre az a , , &, 4 szám, mellyel
helyettesítve: szorzatuk, összegük, négyzetösszegük változatlan, tehát
+ = 0 , <
?>+ = 0 , < & + + + , = '
Bizonyítható, hogy
7
?
+ = 0 45 . <
@ : bármelyik közép a legnagyobb és a legkisebb szám közé esik, ha a számok nem mind
egyenlők. (Ha a számok egyenlők, bármelyik közepe e számokkal egyenlő.)13 Belátható, hogy
A : < db pozitív szám esetén igaz a következő összefüggés:
< + = 0 + = 0 ? 5 : >+ = 0 : : . + < < +7 = +? '
Az egyenlőség szükséges és elégséges feltétele:
+ = 0 .14
A szélsőérték-feladatok megoldásánál két vagy < db pozitív szám számtani, mértani, harmonikus és négyzetes és közepe közötti egyenlőtlenség, illetve egyenlőségláncot használjuk fel. A megoldásnál lényeges szerepet játszik, hogy az egyenlőtlenség egyik oldalán szereplő közép állandó lesz, a másik érték akkor veszi fel a minimumát vagy maximumát, ha ezzel az értékkel egyenlő. Ez akkor és csak akkor lehetséges, ha a két vagy < db pozitív szám megegyezik.
13 14
Szikszai 16-17.o. U.a. 21-24.o.
10
Nem
negatív
számok
összegére,
szorzatára,
valamint
négyzetösszegére vonatkozó tételek
B : Ha az C+ , C , … , C0 nemnegatív számok összege állandó, akkor
1. az C+ · C · … · C0 szorzat C+ C = C0 esetén lesz a lehető legnagyobb.15
2. az C+ C = C0 négyzetösszeg értéke C+ C = C0 esetében a legkisebb.16
A másodfokú függvény szélsőértékeinek meghatározása A szélsőérték-feladatok egy része megoldható másodfokú függvény minimum és maximumhelyének vizsgálatával. Ennek menete a következő: a feladatok megadott adataiból a közöttük fennálló összefüggések ismeretében a keresett mennyiség (terület, kerület stb.) felírható az egyik adat (oldalhossz, magasság stb.) másodfokú függvényeként. Ennek a másodfokú függvénynek keressük a szélsőértékeit a következő módon:
Az E: F G F, H 0
E2C3 C C J
másodfokú függvény hozzárendelési szabályát teljes négyzetté alakítással átírhatjuk a következő alakba:
K 4J E2C3 #C % K . 4 2
Az átalakításból leolvashatjuk, hogy az E függvény a képét a normálparabolából milyen geometriai transzformációkkal kaphatjuk meg. M : Az E: F G F, H 0
E2C3 C C J
másodfokú függvény szélsőértékhelye (3. ábra): CNéPőéRSéT K
15 16
Hódi 32.o. U.a. 33.o.
11
. 2
3. ábra
A szélsőérték,
ha U 0, akkor minimum
ha 0, akkor maximum.
A szélsőértéknél a függvényérték :
Az E: F G F, H 0 függvény zérushelyei az egyenlet gyökei.17
E #K
K 4J %K . 2 4
E2C3 C C J C C J 0
A differenciálható függvények szélsőértékeinek meghatározása Elsőként a monotonitás kritériumaival kezdjük.
: Legyen az E függvény folytonos V, W-ben és differenciálható 2, 3-ben.
1. Az E függvény akkor és csak akkor monoton növekedő (illetve monoton csökkenő) V, W-ben, ha E X 2C3 Y 0 ( illetve E X 2C3 : 0) minden C Z 2, 3-re.
2. Az E függvény akkor és csak akkor szigorúan monoton növő (illetve szigorúan
monoton csökkenő) V, W -ben, ha E X 2C3 Y 0 ( illetve E X 2C3 : 0 ) minden C Z 2, 3-re, és ha V, W-nak nincs olyan részintervalluma, amelyen E X azonosan
nulla.
Az előző tétel segítségével egy tetszőleges differenciálható függvény lokális és abszolút szélsőértékeit kereshetjük meg, abban az esetben is, ha a függvény nem egy korlátos és zárt intervallumon van értelmezve. Ugyanis a derivált előjeléből megállapíthatjuk, hogy a 17
Matematika 10. 66-67.o.
12
függvény mely intervallumon nő és mely intervallumon csökken, és ez általában elegendő információt ad a szélsőértékek megkereséséhez.
Ha E differenciálható az pontban, akkor ahhoz, hogy E-nek -ban lokális szélsőértéke legyen, szükséges (de általában nem elégséges) feltétele, hogy E X 23 0 teljesüljön.
A következő tételek elégséges feltételt adnak a lokális szélsőértékhely létezésére. : Legyen az E függvény differenciálható az pont egy környezetében.
1. Ha E X 23 0, és E X lokálisan növekedő (illetve lokálisan csökkenő) az helyen, akkor az pont E-nek lokális minimumhelye (illetve lokális maximumhelye).
2. Ha E X 23 0, és E X szigorúan lokálisan növekedő (illetve szigorúan lokálisan
csökkenő) -ban, akkor az pont E-nek szigorú lokális minimumhelye (illetve
szigorú lokális maximumhelye).
: Legyen az E függvény kétszer differenciálható az pontban. Ha E X 23 0 és
E XX 23 U 0 , akkor E -nek -ban szigorú lokális minimuma van. Ha E X 23 0 és E XX 23 0, akkor E-nek -ban szigorú lokális maximuma van.
( E X 23 0 és E X [23 0 esetében a magasabb rendű deriváltak értékéből lehet
elégséges feltételt nyerni arra, hogy az pont E-nek lokális szélsőértékhelye legyen.)
Következzenek a konvexitásra vonatkozó feltételek.
/ : Legyen az E függvény differenciálható az \ intervallumban.
1. Az Efüggvény akkor és csak akkor konvex (illetve konkáv) \-ben, ha E X monoton
2.
növekedő (illetve csökkenő) \-ben.
Az Efüggvény akkor és csak akkor szigorúan konvex (illetve szigorúan konkáv)
\-ben, ha E X szigorúan monoton növekedő (illetve szigorúan monoton csökkenő) \-ben.
8 : Legyen az E függvény differenciálható az \ intervallumban. Az Efüggvény akkor és
csak akkor konvex \ -ben, ha bármely Z \ -re az f függvény grafikonja az pontba húzott érintő felett halad.
9 : Legyen az E függvény kétszer differenciálható \ intervallumban. Az E függvény akkor és csak akkor konvex (illetve konkáv) \-ben, ha E XX 2C3 Y 0 (illetve E XX 2C3 : 0) minden C Z \-re.18
18
Analízis 1. 264-269.o.
13
A differenciálszámítás módszereivel történő szélsőérték-meghatározás első lépése ugyanaz, mint az előző módszernél: az egyik adatból fejezzük ki a többit az ismert összefüggések felhasználásával, és a keresett mennyiség a kifejező adat függvényeként írható fel. Meg kell határoznunk a függvény értelmezési tartományát, majd a differenciálható függvény szélsőértékeit a fent kiemelt tételek segítségével. Végül ellenőrizni kell az értelmezési tartomány határpontjaiban a függvény- vagy határértéket. A kritikus határértékek meghatározásánál alkalmazhatjuk a következő tételt:
@ :(L’Hospital-szabály): Legyen E és ] differenciálható ^ egy pontozott környezetében, és tegyük fel, hogy itt ] H 0 és ][ H 0. Tegyük fel továbbá, hogy vagy 1. limaGb E2C3 limaGb ]2C3 0, vagy 2. limaGb |]2C3| ∞.
Ha
E[2C3 e, aGb ][2C3 lim
akkor ebből következik, hogy
E2C3 e. aGb ]2C3 lim
Itt ^ jelentése lehet egy valós szám, az 0, K 0, ∞ vagy K∞, e jelentése pedig egy
valós szám, ∞ vagy K∞. 19
(Az ^ egy pontozott környezetén az 2^ K f, ^ f3 g h^i alakú intervallumot értjük, ahol f tetszőleges pozitív szám.)20
19 20
Analízis 1. 277.o. U. a. 135.
14
Feladatok I.
feladat Adott kerületű téglalapok közül melyiknek maximális a területe? 1.
megoldás
Jelöljük a téglalap oldalait -val és -vel.
j 22 3 !
!a ?
Alkalmazzuk a -ban leírt számtani és mértani közép közötti összefüggést a téglalap oldalaira:
√ :
j . 2 4
Állandó számtani közép esetén a mértani közép akkor veszi fel a maximumát, ha a két közép egyenlő. Ez akkor és csak akkor teljesül, ha .
Mivel a téglalap területe éppen a mértani közép négyzete, ezért a terület is ekkor lesz maximális.21 Vagyis adott kerületű téglalapok közül a négyzet területe maximális. 2.
megoldás
l
Legyen a téglalap egyik oldalának hossza - C, a másik
l -
K C.
Ezek szorzata a két szám összegének és különbségének szorzatára vonatkozó összefüggés alapján:
mC Z F esetén
j j j # C% · # K C% K C. 4 4 16 j j KC : , 16 16
egyenlőség csak C 0 esetén lehetséges. A téglalap kerülete állandó, a részek szorzata, azaz a téglalap területe akkor maximális, ha C 0. Tehát mindkét oldal
21 22
l -
hosszúságú, vagyis a téglalap négyzet.22
Mozaik 10. 97-98.o. Hódi 37. o.
15
A feladat következő két megoldása konzultáción hangzott el. 3.
megoldás
Jelöljük a téglalap oldalait -val és -vel.
j 22 3 !
!a ?
Ábrázoljuk a feltételeket egy 2, 3 koordinátarendszerben. (4. ábra)
4. ábra
Ekkor a téglalapok origóval szemközti csúcsai egy
j 2
egyenletű egyenesen mozognak. (A csúcspontok tengelyekre vonatkozó merőleges vetületei határozzák meg a téglalapokat, ezek között keressük a maximális területűt.) Azt sejtjük, hogy a maximális területű téglalap a négyzet.
5. ábra
Az 5. ábrán pirossal jelöltem a négyzetet, kékkel egy tetszőleges, feltételnek megfelelő téglalapot. Szürkére színeztem a két négyszög közös részét. Azt kell belátni, hogy a sárga terület nagyobb, mint a zöld. A sárga téglalap és a zöld téglalap egy-egy oldala egyenlő hosszúságú, mert a narancssárga háromszög egyenlő szárú, a négyzet másik oldala (ami
megegyezik a magasságával) pedig nagyobb, mint a téglalap magassága, vagyis a négyzet területe nagyobb. 4. megoldás
Jelöljük ismét a téglalap oldalait -val és -vel. j 22 3 !
!a ?
Ábrázoljuk megint a feltételeket egy 2, 3 koordinátarendszerben. (4. ábra)
Jelöljük az
j 2
egyenletű egyenes alatti területet !n -vel. Hajtogatással fedjük le a téglalap
területét a !n K területű idommal. (6. ábra)
6. ábra
A szürkével jelölt, lefedés után megmaradt háromszög területe !n K 2.
A maradék !n K 2 terület akkor minimális, ha maximális. Akkor nem marad a hajtogatás után maradék, ha
!n 2,
vagyis a keresett téglalap négyzet. 5.
megoldás o
j 2 3 2
Jelöljük a téglalap kerületének felét o-sel, oldalait -val és o K -val. Ekkor: ! 2o K 3
17
! K o
Az o adott, változó. Tekintsük a
K o
kifejezést az másodfokú függvényének. Ennek a másodfokú függvénynek keressük a maximumát.
A M -es tételt alkalmazva a másodfokú függvény szélsőértékhelye: Ko 1 o. K2 2
Mivel K1 0, ezért o helyen a függvénynek maximuma van. Ekkor +
1 j o 2 4 4 j,
vagyis az adott kerületű maximális területű téglalap a négyzet. 6.
megoldás
Legyen ismét a téglalap kerületének fele o, oldalai és o K . !23 K o
A terület másodfokú függvénye, !23 folytonos az V0, oW intervallumon, és
kétszeresen differenciálható a 20, o3 intervallumon. Alkalmazzuk a -as tételt.
A függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja 0. !23[ K2 o (o konstans) K2 o 0 1 o 2
A szélsőérték fajtája a második derivált segítségével állapítható meg: !23XX K2.
Mivel K2 0, ezért o-helyen maximum van, értéke: +
1 1 1 1 ! # o% K o o o o . 2 4 2 4
Ellenőrizzük a végpontokban a függvényértékeket! !203 0 o0 0
!2o3 Ko o 0 1 o U0 4
18
minden esetben.
Így o esetén a !23 függvénynek valóban maximuma van. +
1 j o 2 4
4 j,
vagyis a négyzet területe maximális az adott kerületű téglalapok közül. A feladat első négy megoldása rendkívül ötletes. 1.-nél azt használtuk ki, hogy a két oldal számtani közepe éppen a téglalap kerületének negyede, ami adott, mértani közepük pedig a téglalap területének négyzetgyöke. A 2. megoldás alapja a téglalap oldalainak ötletes elnevezése. A 3.-ban geometriai úton bizonyítottuk be sejtésünket, a 4. megoldás hajtogatással vezet rá a maradék terület minimalizálására. Az 5. és 6. megoldásnál az első részben leírt módon határoztuk meg a maximális területű téglalapot. II.
feladat Adott területű téglalapok közül melyiknek minimális a kerülete?23 1. megoldás
Legyen a téglalap egyik oldala , a másik . !
j 22 3 jp0 ?
Alkalmazzuk a -ban leírt számtani és mértani közép közötti összefüggést
-ra és -re.
2 j √! : 2 4 √ :
Állandó mértani közép esetén a számtani közép akkor veszi fel a minimumát, ha a két közép egyenlő. Ez akkor és csak akkor teljesül, ha .
2 j 2 4
4 j
Tehát az adott területű minimális kerületű téglalap a négyzet.
23
Mozaik 10. 98.o. 6. feladat (Eredetileg a terület 100 J* .)
19
A következő megoldás konzultáción hangzott el. 2. megoldás
Legyen a téglalap egyik oldala , a másik . !
j 22 3 jp0 ?
Ábrázoljuk a feltételeket egy 2, 3 koordinátarendszerben. (7. ábra)
7. ábra
Ekkor a téglalapok origóval szemközti csúcsai egy !
egyenletű hiperbolán mozognak. (A csúcspontok tengelyekre vonatkozó merőleges vetületei határozzák meg a téglalapokat, ezek között keressük a minimális kerületűt.)
8. ábra
A 8. ábrán pirossal jelöltem a négyzetet, kékkel egy tetszőleges, feltételnek megfelelő téglalapot (az oldalak színezésével megegyezik az őket jelölő betűk színe). Azt állítjuk, hogy a minimális kerületű téglalap a négyzet, vagyis
4√! 2√! 2q 2C 20
2√! 22q C3 √! q C
qr qC r C.
Ez teljesül, hiszen
√! · r q · C,
és
q √!.
Vagyis a négyzet kerülete minimális. 3. megoldás
Jelöljük a téglalap egyik oldalát -val, a másikat ! -ből kifejezve -val. ! j23 2 # % 2 2!t+
s
A kerület függvénye, j23 folytonos az 20, ∞3 intervallumon, és
kétszeresen differenciálható a 20, ∞3 intervallumon. Alkalmazzuk a -as tételt.
A függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol az első derivált 0. j[23 K2! t 2 (! konstans) K2!t 2 0 1
!
√!
A szélsőérték fajtája a második derivált segítségével állapítható meg: j[[23 4!t, 4!
√!
,
U 0,
ezért √!-helyen minimum van, értéke: ju√!v 2√!
2!
√!
4! ,
4√!
Ellenőrizzük a végpontokban a határértékeket.
lim 2!t+ 2 ∞
Gw
lim 2!t+ 2 ∞
Gx
21
4√! ∞
minden esetben. Így √! esetén a függvénynek valóban minimuma van. Ekkor
! ,
vagyis adott terület mellett minimális kerületű téglalap a négyzet. A II. feladat 1. megoldásánál azt használtuk ki, hogy a két oldal mértani közepe éppen a téglalap területének négyzetgyöke, ami adott, számtani közepük pedig a kerület negyede. A 2.-nál geometria úton bizonyítottuk be sejtésünket, a 3. megoldásnál differenciálszámítással határoztuk meg a minimális kerületű téglalapot. A következő feladat megoldásával együtt konzultáción hangzott el. III.
feladat Adott kerületű háromszögek közül melyiknek maximális a területe? Jelöljük a háromszög oldalait -val, -vel és J-vel.
Rögzítsük az oldal hosszát.
Rajzoljunk olyan ellipszist, amelyben a fókuszpontok távolsága éppen , nagytengelye pedig
jK J
hosszúságú. Így az ellipszis ívén helyezkedik el a háromszög harmadik csúcsa, melynek távolságösszege a két fókuszponttól, azaz a háromszög alapjának végpontjaitól J. (9. ábra)
9. ábra
Adott kerület és rögzített alap esetén a háromszög területe maximális magasság esetén lesz a legnagyobb. A maximális magasság az ellipszis tető-
és mélypontjánál lesz. Ekkor J, vagyis a terület rögzített oldal mellett
egyenlő szárú háromszög estén lesz maximális. Azaz bármely nem egyenlő szárú háromszöghöz létezik ugyanakkora kerületű és nagyobb területű egyenlő szárú háromszög, így elegendő az egyenlő szárúakra megoldani a feladatot. 22
Jelöljük az egyenlő szárú háromszög alapját -val, szárait -vel.(10. ábra)
10. ábra
Felírhatók a következő összefüggések:
2 j állandó 2! * ,
és Pitagorasz tételéből:
* 5 K
2! 5 K
ahol
√l
4
1 1 >4 K √2 √2 K 4 2 2
1 √j√j K 2 2
pozitív konstans.
√j √√√j K 2 2
A A -cal jelölt tétel alapján írjuk fel √, √, √j K 2 pozitív kifejezésekre a
mértani és négyzetes közép közötti összefüggést:
j √ √ √j K 2 6√√√j K 2 : 5 5 . 3 3
y
Állandó négyzetes közép esetén a mértani közép akkor veszi fel a maximumát, ha a két közép egyenlő. Ez akkor és csak akkor teljesül, ha √ √j K 2, j K 2 3 j.
Vagyis adott kerületű háromszögek közül a szabályos háromszögnek maximális a területe. 23
A harmadik feladatnak egyféle megoldását jegyeztem le, melyben fontos szerepet játszott, hogy a háromszöget ellipszisben helyeztük el, ezek után a terület ötletes felírásával alkalmazni tudtuk az < db pozitív szám mértani és négyzetes közepére vonatkozó tételt.
IV.
feladat Bontsunk fel egy adott számot két nem negatív szám összegére úgy, hogy a tagok négyzetösszege a lehető legkisebb legyen!24 Vezessük be a következő jelöléseket és írjuk le a feladatban megfogalmazott összefüggések: { adott, C, r Z F .
Mennyi C r minimuma?
{ Cr
1. megoldás
Írjuk fel C-re ésr-ra a 8 -ben megfogalmazott számtani és négyzetes közép
közötti összefüggést!
Cr C r :5 2 2 { C r :5 2 2
Állandó számtani közép esetén a négyzetes közép akkor veszi fel a minimumát, ha a két közép egyenlő. Ez akkor és csak akkor teljesül, ha Cr
Vagyis a tagok négyzetösszege akkor minimális, ha a számot felezzük. 2. megoldás
Alkalmazzuk a B -cel jelölt tételt:
C, r Z F ,
az
C r { állandó, C r
négyzetösszeg értéke C r esetén a legkisebb.
24
Mozaik 10. 102.o. 6. feladat alapján
24
3. megoldás Tekintsük a
C 2{ K C3 2C K 2{C {
kifejezést C másodfokú függvényének. Ennek a másodfokú függvénynek
keressük a minimumát. Alkalmazzuk a M -es tételt! A másodfokú függvény szélsőértékhelye: 2{ 1 {. 4 2
Mivel 2 U 0, ezért C { helyen a függvénynek minimuma van. +
1 r{K { 2 r C,
vagyis a négyzetösszeg akkor a legkisebb, ha a számot felezem. 4. megoldás
A négyzetösszeg felírható C másodfokú függvényeként: 42C3 2C K 2{C { .
Ennek a másodfokú függvénynek keressük a minimumát. 42C3 folytonos az
V0, {W intervallumon, és kétszeresen differenciálható a 20, {3 intervallumon. Alkalmazzuk a -as tételt.
Az 42C3-szel jelölt függvénynek ott lehet szélsőérték, ahol az első derivált nulla.
4[2C3 4C K 2{ 0 ({ konstans)
1 { 2 A szélsőérték fajtája a második derivált segítségével állapítható meg: C
4[[2C3 4 4 U 0,
ezért C {-nél minimum van, értéke: +
1 1 1 1 4 # {% 2 { K 2{ { { { . 2 4 2 2
Ellenőrizzük a végpontokban a függvényértékeket! 4203 0 K 2C0 { {
42{3 2{ K 2{{ { { 25
1 { { , 2
minden esetben. C { valóban minimum. +
Azaz a négyzetösszeg akkor a legkisebb, ha a számot felezzük.
A feladatot geometriai példára is átfogalmazhatjuk: Egy szakasz fölé két négyzetet rajzolunk. Mekkora oldalhosszúság esetén lesz a két négyzet területe minimális.25 (11. ábra)
11. ábra
Legyen a szakasz hossza {, a négyzetek oldalának hossza C és r. minimumát keressük.
! C r
5. megoldás26
12. ábra
Az előző megoldások alapján az a sejtés, hogy egybevágó négyzetek esetén lesz a terület a lehető legkisebb. Ennek bizonyításához a 12. ábrán pirossal jelöltem az adott szakasz tetszőleges felosztásához tartozó négyzeteket, kékkel a két egybevágó négyzetet, melyek oldalhosszúsága {. A pirossal és kékkel +
kiemelt négyzetek közös részét szürkére színeztem. A két, sárgával jelölt téglalap egybevágó, a két kék négyzet együttes területe a zöld téglalap területével kisebb a piros négyzetek területénél. A zöld téglalap egyik oldala az adott szakasz felosztásakor keletkezett részek különbsége, a másik oldala 25 26
Hódi 10.17. feladat U.a. 46.o.
26
ennek a fele. Látható, hogy az adott szakasz kétféle felosztásához tartozó négyzetek területe annál kevésbé különbözik egymástól, minél kisebb a különbség az adott szakasz két része között.
A IV. feladat 1. megoldásánál azt használtuk ki, hogy a két szám ( C és r )
számtani közepe éppen az adott szám ({) fele. A 2. 3. 4. megoldásnál a szükséges
átalakítások után az 1. rész megfelelő tételeit alkalmaztuk. Az 5. megoldás ötlete az volt, hogy az algebrai példa átfogalmazható geometriai feladattá. Ezután sejtésünket átdarabolással bizonyítottuk. Vizsgálhatjuk a feladatot szabályos háromszögek esetén. V.
feladat Adott hosszúságú szakaszt két részre vágunk, mindkét rész fölé egy-egy szabályos háromszöget rajzulunk. Milyen hosszúságú szakaszoknál lesz a két szabályos háromszög területének összege minimális?27 (13. ábra)
13. ábra
Az V. feladatnál is alkalmazható a IV. feladat 1. 2. 3. és 4. megoldási menete, és az 5. feladathoz hasonló átdarabolás, melynek megoldási ötlete konzultáción hangzott el: 5. megoldás
14. ábra
Az a sejtés, hogy egybevágó szabályos háromszögek esetén lesz a terület a lehető legkisebb. Ennek bizonyításához a 14. ábrán pirossal jelöltem az adott
27
Matematika 10. 69. o. 5. példa (Eredetileg a szakasz hossza 20 cm.)
27
szakasz tetszőleges felosztásához tartozó háromszögeket (oldalhosszúságaik C
és r, C U r3, és kékkel a két egybevágó háromszöget ( { oldalhosszúsággal ). +
A pirossal és kékkel kiemelt háromszögek közös részét szürkére színeztem. A két, sárgával jelölt paralelogramma egybevágó, mert a megfelelő szögeik megegyeznek, és rövidebb oldaluk
1 1 1 C K { 2{ K r3 K { { K r, 2 2 2
a hosszabbik r hosszúságú.
A két egybevágó háromszög együttes területe a zöld paralelogramma területével kisebb a piros háromszögek területénél. A zöld paralelogramma mindkettő oldala
+
{ K r hosszúságú. Vagyis az adott szakasz kétféle
felosztásához tartozó részek területe annál kevésbé különbözik egymástól minél kisebb a zöld paralelogramma területe. VI.
feladat
Adott a síkban egy | egyenes és az egyenes ugyanazon oldalán és pontok.
Hogyan lehet az -ból -be az | egyenes érintésével az alakú legrövidebb úton eljutni?
1. megoldás
15. ábra
A 15. ábrán kékkel jelöltem az | egyenesen tetszőlegesen felvett ponthoz tartozó útvonalat. Tükrözzük az pontot az | egyenesre. A tengelyes tükrözés távolságtartó tulajdonsága miatt képe, [ ugyanakkora távolságra van az |
egyenestől, mint . Az [ útvonal, vagyis a vele megegyező hosszúságú
útvonal akkor lesz a legrövidebb (pirossal jelölve [ ), ha egyenes, vagyis az érintési pont az [ szakasz és az | egyenes metszéspontja.(15. ábra) 28
2. megoldás28
16.ábra
Alkalmazzuk a 16. ábrán látható jelöléseket. Pitagorasz tétele alapján felírhatók a következő összefüggések:
J+ > C
J > 2} K C3 ,
vagyis az útvonal hossza kifejezhető C függvényeként (} az és pontok
| egyenesre való merőleges vetületeinek távolsága):
E2C3 J+ J > C > 2} K C3 +
+
2 C 3 2 2} K C3 3
Ennek az E2C3 függvénynek keressük a minimumát. Alkalmazzuk a -as
tételt.
Az E2C3 függvénynek ott lehet szélsőérték, ahol az első derivált nulla (, , } konstans).
+ + 1 1 E X 2C3 2 C 3t · 2C 2 2} K C3 3t · 2K2} 2C3 2 2 2C K2} 2C 2√ C 2> 2} K C3
C
√ C
K
}KC
> 2} K C3
cos ^ K cos e 0 cos ^ cos e ^e
28
Beke 79.o. 5. kidolgozott példa
29
Vagyis az útvonal akkor a legrövidebb, ha az útszakasz ugyanakkora
szöget zár be az | egyenessel, mint a .
(Az A pontból induló | tükörből visszaverődő -be érkező fénysugár is ugyanezt az utat járja be.)
A VI. feladat 1. megoldása elemi matematika szemináriumon is elhangzott, 2. megoldása szögfüggvényekre való ötletes visszavezetése miatt keltette fel a figyelmemet. A következő feladat megoldásával együtt konzultáción hangzott el. VII.
feladat
Egy épületben egy 1,6 * széles és egy 2,4 * széles folyosó keresztezi egymást.
Be tudunk-e fordulni 6 * hosszú létrával a 2,4 * széles folyosóról az 1,6 *
széles folyosóra.(17. ábra)
17. ábra
Befordulás közben a létra a 16. ábrán látható módon érinti a folyosó sarokélét. Ebben a helyzetben meghatározható, hogy mekkora lehet a létra minimális hosszúságú. A két egyvonalas szög egyállású. A jelölt derékszögű háromszögekre felírhatók a következő összefüggések.
1,6 cos ^ 2,4 r sin ^ 1,6 2,4 E2^3 C r cos ^ sin ^ C
minimumát keressük.
30
Alkalmazzuk a -as tételt. Az E2^3-val jelölt függvénynek ott lehet szélsőérték, ahol az első derivált nulla.
E X 2^3 21,62cos ^3t+ 2,42sin ^3t+ 3X
K1,62cos ^3t · 2K sin ^3 K 2,42sin ^3t cos ^
1,6 sin ^ 2,4 cos ^ K 0 2cos ^3 2sin ^3
1,62sin ^3, 2,42cos ^3, 2tan ^3,
2,4 1,6
2tan ^3, 1,5
tan ^
1,1447 ^
48,86°
A szélsőérték fajtája a második derivált előjeléből állapítható meg: E XX 2^3 K1,6 · 2K232cos ^3t, · 2K sin ^3 · 2K sin ^3 K 1,6
· 2Kcos ^32cos ^3t K 2,4 · 2K232sin ^3t, cos ^ · cos ^ 2,4 · sin ^ · 2sin ^3t
3,22sin ^3 1,6 cos ^ 4,82cos ^3 2,4 sin ^ 2cos ^3, 2cos ^3 2sin ^3, 2sin ^3
3,22sin 48,86°3 1,6 cos 48,86° 4,82cos 48,86°3 2,4 sin 48,86° 2cos 48,86°3, 2cos 48,86°3 2sin 48,86°3, 2sin 48,86°3
6,37 2,43 4.86 3,19
16,85 U 0,
vagyis ^
48,86° -nál valóban minimum van, értéke:
1,6 2,4
2,43 3,19
5.62 6 cos 48,86° sin 48,86°
azaz 6 *-es létrával nem tudunk befordulni.
Az eredeti feladat megoldásához a differenciálszámítást használtuk, mivel itt elemi megoldást nem ismerünk. Ha azonban a két folyosó keresztmetszete egyforma méretű, akkor a következő szép elemi megoldás adódik. E2e3 C r minimumát keressük.
1 1 cos e sin e
Felhasználva a 9 -ban jelölt összefüggést felírható sin e -ra és cos e -ra a harmonikus és négyzetes közép közötti összefüggés.
31
2
1 1 sin e cos e
:5
2sin e3 2cos e3 √2 2 2
Állandó négyzetes közép esetén a harmonikus közép akkor veszi fel a maximumát, ha a két közép egyenlő. Ez akkor és csak akkor teljesül, ha sin e cos e e 45°
1 1 1 1 4
2,83, cos 45° sin 45° √2 √2 √2 2 2
azaz 1 *-es folyosók kereszteződésébe legfeljebb 2,83 * hosszú létrával lehet befordulni.
VIII.
feladat Adott felszínű egyenes hengerek közül melyiknek maximális a térfogata?(18. ábra)
18. ábra
Vezessük be az alábbi jelöléseket: legyen az egyenes henger alapkörének sugara , magassága *, a felszíne , térfogata .
Tudjuk, hogy
2 2* és
*.
Mennyi maximuma, ha állandó? 1. megoldás
így
2 2* 22 *3 *
K , 2
# K % K , # K %. 2 2 2 32
Szorozzuk be mindkét oldalt 2-vel:
2 2 # K 2 % # K % 2 2
ugyanott maximális, ahol 2 .
2 # K % # K % 2 2
három olyan pozitív tényező szorzata, melynek összege állandó:
2 # K 2 % # K % . 2 2
Alkalmazzuk a B . tételt.Akkor lesz a térfogat maximális, ha
2 # K 2 %. 2
Ebből:
3
2
5 6
és
A maximális térfogat pedig
* 25 . 6
1
5 # K % 5 . 29 6 2 6 3 6
2. megoldás
Fejezzük ki újra *-et az első egyenletből: *
így 23 #
29
K , 2
K % K , K , 2 2 2
Hódi 77.o.
33
A
térfogat harmadfokú
függvénye. 23 folytonos
az 0, 6
intervallumon, és kétszeresen differenciálható a 0, 6 intervallumon.
Alkalmazzuk a -as tételt.
A 23 függvénynek ott lehetséges szélsőértéke, ahol [23 0.
X 23 K3 , 2
mert és állandó.
0 2
6
K3
5
6
A szélsőérték fajtája a második derivált előjeléből állapítható meg: XX 23 K6
XX 5
K65 0 6 6
ezért 6 estén a függvénynek maximuma van, értéke:
5
5 # K % 5 . 6 6 2 6 3 6
Ellenőrizzük a végpontokban a függvényértékeket!
203 0 # K 0% 0 2
5
5 # K % 0 2 2 2 2
vagyis , 6 valóban maximum.
5 U 0, 3 6
Az ehhez a sugárhoz tartozó magasság: 34
* 25 . 6
Adott felszínű egyenes hengerek közül az 6
maximális a térfogata.
,
sugarú és 26
magasságú hengernek
A VIII. feladat 1. elemi megoldása egyszerűbb, mint a differenciálszámítás módszereit alkalmazó 2., előbbihez azonban ismerni kell a B -cel jelölt tételt.
35
Befejezés Szakdolgozatomban bemutattam a szélsőérték-feladatok megoldási módszerei közül a két pozitív, és n darab pozitív számra felírható számtani, mértani, harmonikus és négyzetes közép
közötti
egyenlőtlenségekre,
a
másodfokú
függvény
vizsgálatára
és
a
differenciálszámításra vonatkozó tételeket, melyeket egyéb elemi matematikából ismert módszerekkel együtt a feladatok megoldásánál alkalmaztam. Nem definiáltam, csak analízis tanulmányaim alapján felhasználtam az intervallum, monotonitás, abszolút szélsőérték, korlátosság, határérték, folytonosság és a differenciálhatóság fogalmát, mert nem a differenciálszámítás bevezetése volt a célom. Szakdolgozatom mindkét részéből kihagytam az ún. optimalizálási módszereket, mert ezeket eddigi egyetemi tanulmányaim alatt nem tanultam a szakdolgozat szintjének megfelelő részletességgel. A feladatokat igyekeztem nehézségi sorrendben, egymásra épülve közölni, kezdve véleményem szerint a témakör alapfeladatával. A megoldásoknál a bevezetőben megfogalmazott célkitűzésemet követtem: a módszerek többsége gimnáziumi tananyagra épít, ezek mellett a feladatok többségénél megtalálható a differenciálszámítással történő megoldás is. Szakdolgozatom anyaggyűjtése során sok új példával és ötlettel találkoztam, ezeket minden bizonnyal a későbbiekben is tudom majd alkalmazni.
36
Felhasznált irodalom Analízis 1.
Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis. 1. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005.
Beke
Dr. Beke Manó: Bevezetés a differenciál- és integrálszámításba. 3. kiadás. Gondolat, Budapest, 1965.
Hódi
Hódi Endre: Szélsőérték-feladatok elemi megoldása. 3., átdolg. kiadás. Typotex, Budapest, 1994.
Matematika. 10.
Hajnal Imre - Számadó László - Békéssy Szilvia: 10. Matematika a gimnáziumok számára. 2. kiadás. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2003.
Mozaik 10.
Kosztolányi József - Kovács István - Pintér Klára - Dr. Urbán János - Vincze István: Sokszínű matematika. 10. Mozaik, Szeged, 2008.
Reiman
Reiman István: A geometria és határterületei. Gondolat, Budapest, 1986.
Szikszai
Dr. Szikszai József: A hatványközepek. Középiskolai szakköri füzet. Tankönyvkiadó, Budapest, 1987.
GeoGebra
GeoGebra rajzolóprogram, In: www.geogebra.org (telepítve: 2010. 04. 08)
37
