SZAKDOLGOZAT
Tar Gerg˝ o Feh´ erv´ ari Zolt´ an
Debrecen 2010
Debreceni Egyetem Informaikai Kar
´Ij modellez´ ese v´ egeselem m´ odszerrel
K´esz´ıtette: Tar Gerg˝o Feh´erv´ari Zolt´an M´ern¨ok informatikus
T´emavezet˝o: Dr. T´oth L´aszl´o egyetemi adjunktus
Debrecen 2010
Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es
2
2. Az ´ıj m˝ uk¨ od´ ese 2.1. Egy egyszer˝ u ´ıjmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Az egyenes ´ıj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. A visszacsap´ o ´ıj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 4 5
3. V´ egeselem m´ odszer 3.1. V´egeselem m´ odszer fizik´ aja . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Newtoni mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. R´eszecsk´ek rendszere . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Mozg´ as egyenletek le´ır´ asa ´altal´anos koordin´at´akkal 3.1.4. D’Alambert elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Lagrange f¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. P´elda a Lagrange f¨ uggv´eny alkalmazhat´os´ag´ara . . 3.1.7. Rugalmass´ agtan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. V´egeselem programoz´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. El˝ ofeldolgoz´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Peremfelt´etelek defini´ al´asa . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Algebrai egyenlet megold´asa . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Eredm´enyek ki´ert´ekel´ese . . . . . . . . . . . . . . . 4. V´ egeselem m´ odszer megval´ os´ıt´ asa Javaban [3] 4.1. V´egeselem anal´ızis f˝ obb l´ep´esei . . . . . . . . . . . . . . 4.2. A v´egeselem egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Galerkin m´ odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Vari´ aci´ os megk¨ ozel´ıt´es . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. P´elda alakf¨ uggv´eny meghat´aroz´as´ara . . . . . . . 4.3. A program m˝ uk¨ od´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. A modell fel´ep´ıt´es´ehez sz¨ uks´eges adatok . . . . . 4.3.2. A modellen v´egbemen˝ o er˝ohat´asok defini´al´as´ahoz 4.3.3. Eredm´enyek ´es a modell kirajzol´asa . . . . . . . 4.3.4. Egyenes ´ıj modell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
7 7 7 8 12 12 14 15 16 19 20 21 21 21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sz¨ uks´eges adatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
22 22 22 23 25 26 28 29 29 30 33
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
¨ 5. Osszefoglal´ as
34
6. Saj´ at munk´ ak le´ır´ asa
34
7. K¨ osz¨ onet ny´ılv´ an´ıt´ as
34
1
1.
Bevezet´ es
A dolgozatunkban az egyenes, illetve a visszacsap´o ´ıj m˝ uk¨od´es´evel foglalkoztunk. Az ´ıjak viselked´es´enek le´ır´ asa kapcs´ an foglalkoztunk a v´egeselem m´odszerrel ´es a v´egeselem programoz´assal. A v´egeselem programoz´ ast a Java programoz´ asi nyelven kereszt¨ ul val´os´ıtottuk meg, egy egyszer˝ u modellen kereszt¨ ul bemutattuk a program m˝ uk¨ od´es´et, illetve modellezt¨ unk egy kezdetleges, f´ab´ol k´esz¨ ult rudat. Tov´abb´a terveink k¨ oz¨ ott szerepel egy bonyolultabb egyenes, illetve visszacsap´o ´ıjmodell v´egeselem m´odszerrel t¨ort´en˝ o modellez´ese, illetve a statikus viselked´es mellett a dinamikus viselked´es vizsg´alata is. A felhaszn´altuk benne a Newtoni mechanik´ at, az ´ altal´ anos koordin´at´akbeli egyenleteket, a Lagrange f¨ uggv´enyeket ´es a rugalmass´ agtant is. Alkalmaztuk a Java 3D-t az eredm´enyek szeml´eltet´es´ere.
2
2. 2.1.
Az ´ıj m˝ uk¨ od´ ese Egy egyszer˝ u ´ıjmodell
A bonyolultabb szerkezet˝ u visszacsap´ o ´ıj t´argyal´asa el˝ott c´elszer˝ u tiszt´aban lenn¨ unk az egyszer˝ u egyenes ´ıj m˝ uk¨ od´es´enek f˝ obb t¨ orv´enyszer˝ us´egeivel. [2]
1. ´abra. Egyszer˝ u modell [2] Ennek ´erdek´eben tekints¨ unk egy igen egyszer˝ u modellt. Vegy¨ unk egy f´el ´ıjkart, azaz egy l hossz´ us´ ag´ u, minden¨ utt egyenl˝ o keresztmetszet˝ u homog´en anyageloszl´as´ u rudat, amelyet az egyik v´eg´en´el befogva f¨ ugg˝ oleges helyzetben r¨ ogz´ıt¨ unk, a m´ asik v´eg´et pedig v´ızszintes ir´anyban F er˝ovel h´ uzzuk. Ekkor, - ha a s´ ulyer˝ okt˝ ol eltekint¨ unk ´es csak a kism´eret˝ u kihajl´asok (s) eseteivel foglalkozunk - az ´ıjkar er˝ot¨orv´eny´ere az ad´ odik, hogy: F = ks, ahol k=
E ah3 4 l3
ahol F : h´ uz´ o er˝ o, k: az er˝ og¨ orbe meredeks´ege, vagy m´ask´eppen a rug´omerevs´eg, E : ny´ ujt´asi modulus (anyagi min˝ os´egt˝ ol f¨ ugg), a : a r´ ud sz´eless´ege, h : a r´ ud vastags´aga, l : a r´ ud hossza, valamint s : a r´ ud kihajl´ asa. L´ athat´ o, hogy az ´ıjkar hajl´ asa (s) egyenesen ar´anyos a fesz´ıt˝o er˝ovel (F ).
3
Az ´ıj erej´et a k rug´ omerevs´eg hat´ arozza meg, amit a linearit´as miatt az egy adott kihajl´as´an´ al (s) m´erhet˝ o fesz´ıt˝ o er˝ ovel (Fs ) is megadhatunk. A k viszont, amint m´ar l´athattuk, f¨ ugg az ´ıj anyag´at´ol (E), valamint annak alakj´ at´ ol (a, h, l), m´egpedig u ´gy, hogy a harmadik hatv´anyra emel´es miatt k¨ ul¨on¨ osen ´erz´ekeny az ´ıjkar vastags´ ag´ anak (h) ´es hossz´ us´ag´anak (l) a megv´altoz´as´ara. Az alkalmaz´ as szempontj´ ab´ ol n´ezve az ´ıjakat az energiaviszonyaikkal is jellemezni kell. Egyik ezek k¨ oz¨ ul a kifesz´ıt´es sor´ an az ´ıjba fektetett munka (Wf esz´ıt´es ), vagyis az ´ıj energiat´arol´o k´epess´ege, a vizsg´ alt f´el ´ıjkar eset´en a k¨ ovetkez˝ o alak´ u: Z s Z s ks2 Wf esz´ıt´es = F (s)ds = ksds = 2 0 0 Azonban a l¨ ov´es sor´ an a ny´ılvessz˝ onek a´tadott energia (Wvessz˝o ) a fell´ep˝o energiavesztes´egek (Wvesztes´eg ) miatt kevesebb lesz a befektetettn´el (Wf esz´ıt´es ): Wf esz´ıt´es = Wvessz˝o + Wvesztes´eg ´Igy az ´ıj hat´ asfoka (η): η=
Wvessz˝o 100% Wf esz´ıt´es
A vesztes´eget (Wvesztes´eg ) sz´ amos t´enyez˝o okozhatja, melyek k¨oz¨ ul a k´et legjelent˝osebb; az ´ıjkarok gyors´ıt´ as´ ara ford´ıtott munka, valamint mag´aban az ´ıj anyag´aban pl. az ´ıjkarban ´es az idegben- t¨ort´en˝ o energiaelnyel˝ od´es. Ezek cs¨ okkenthet˝ ok, ha a megfelel˝o alapanyag kiv´alaszt´asa mellett cs¨okkentj¨ uk az ´ıjkarok t¨ omeg´et, illetve a tehetetlens´egi nyomat´ek´at. Azaz, az ´ıjkaroknak k¨onny˝ unek kell lenni ´es a v´egek fel´e a megfelel˝ o m´ odon v´ekonyodniuk kell. Ezek ut´ an a kirep¨ ul˝ o vessz˝ o energi´ aj´anak (Wvessz˝o ), vagy m´ask´eppen az ´at¨ ut˝oerej´enek ´es t¨omeg´enek (m) ismeret´eben kisz´ amolhat´ o a vessz˝ o kezd˝osebess´ege (v), amit˝ol viszont a l˝ot´avols´ag f¨ ugg: Wvessz˝o = Wf esz´ıt´es − Wvesztes´eg azaz, 1 mv 2 = ks2 − Wvesztes´eg 2 ebb˝ ol a vessz˝ o kezd˝ osebess´ege (v) az ide´alis, vesztes´eg n´elk¨ uli esetben (Wvesztes´eg = 0): r k v=s m -nek ad´ odik. Mindezid´ aig egy er˝ osen leegyszer˝ us´ıtett, ”elm´eleti” egyenes ´ıjr´ol besz´elt¨ unk, ami azonban alkalmas volt arra, hogy a m˝ uk¨ od´es´enek az alapelveit meg´erts¨ uk.
2.2.
Az egyenes ´ıj
N´ezz¨ uk most meg, hogy hogyan viselkedik egy val´odi egyenes ´ıj. Mivel az egyenes ´ıj param´eterei (E, a, h, l), szemben az el˝ obb t´ argyalt esettel, az ´ıjkarok ment´en helyr˝ol helyre v´altozhatnak ´es az ´ıjkar v´egeire hat´ o er˝ o ir´ anya sem ´ alland´ o, ez´ert az egyenes ´ıj er˝ot¨orv´enye nem ´ırhat´o fel az 1. egyenlethez hasonl´o egyszer˝ u alakban. Ez´ert, vagyis a feladat bonyolults´aga miatt, kellett k´es¨obb haszn´alnunk a v´egeselem m´odszert. Ennek ellen´ere a viselked´ese kezdetben hasonl´o az el˝oz˝o esetben m´ar l´atottakhoz. Vagyis, er˝og¨ orb´eje a fesz´ıt´es kezdet´en j´ o k¨ ozel´ıt´essel egyenesnek mondhat´o, k´es˝obb a meredeks´eg (k) rohamosan n¨ovekedni kezd, majd az ´ıj bekem´enyedik, ´es az egyre nagyobb fesz´ıt˝oer˝o k¨ovetkezt´eben el is t¨orhet. Ezt a tartom´ anyt teh´ at ´erdemes elker¨ ulni a haszn´ alat sor´an, amit tov´abb er˝os´ıti az a t´eny, hogy egy a bekem´enyed´esi 4
2. ´ abra. A visszacsap´ o ´ıj er˝ og¨ orb´eje ´es energiat´arol´o k´epess´ege, ¨osszehasonl´ıtva az egyenes ´ıjjal.[2] pontj´ an t´ ulh´ uzott ´ıjban kevesebb energia (Wkem´eny ) halmoz´odik fel, mint egy m´asik, azonos h´ uz´ashosszon ugyanakkora fesz´ıt˝ oer˝ ovel megtartott, de csak az er˝og¨orbe k¨ozel line´aris szakasz´an m˝ uk¨odtetett ´ıjban. Nevezz¨ uk ez ut´ obbit ekvivalens egyenes ´ıjnak (We ). A megk´ıv´ ant er˝ oss´eg˝ u (Fll ) ´ıjat teh´ at u ´gy c´elszer˝ u elk´esz´ıteni, hogy azon tartom´any h´ uz´ashossza (ll ), amelyen az er˝ og¨ orbe m´eg k¨ ozel l´ıne´ aris fut´as´ u, az ´eppen az ´ıj´asz h´ uz´ashossz´ahoz igazodjon. Ezzel egyben m´ ar l´ athat´ ok az egyenes ´ıj korl´ atai is. Vagyis, az ´at¨ ut˝oer˝o (Wvessz˝o ) n¨ovel´ese a vesztes´egek (Wvesztes´eg ) cs¨ okkent´ese mellett a h´ uz´ ashossz (l), illetve az adott h´ uz´ashosszhoz tartoz´o fesz´ıt˝o er˝o (vagyis az Fl , azaz a k) n¨ ovel´es´evel ´erhet˝ o csak el. Ennek viszont hat´art szab az ember fizikai fel´ep´ıt´ese; karhossz´ us´aga ´es ereje.
2.3.
A visszacsap´ o ´ıj
Az azonos fesz´ıt˝ oer˝ o (Fl ) ´es h´ uz´ ashossz (l) melletti ´at¨ ut˝oer˝o (Wvessz˝o ) n¨ovel´es´ere megold´as lehet egy olyan ´ıj k´esz´ıt´ese, amelynek er˝ og¨ orb´eje (Fvisszacsap´o = Fvisszacsap´o (l)) a megk´ıv´ ant h´ uz´ ashosszon v´egig a fentebb m´ar defini´alt ekvivalens egyenes ´ıj er˝og¨ orb´eje (Fe = Fe (l)) felett halad. Ennek ´erdek´eben el˝ osz¨ or is k´esz´ıts¨ unk egy olyan r¨ovid egyenes ´ıjat, amely-nek az er˝og¨orb´eje meredekebben indul, mint az ¨ osszehasonl´ıt´ ask´eppen haszn´alt ekvivalens egyenes ´ıj´e. Ha egy ilyen kem´eny ´ıj karjainak a v´eg´ere el˝ orehajl´ o merev szarvakat szerel¨ unk, akkor l´etezik egy lf h´ uz´ashossz, ameddig az
5
3. ´abra. ´Ij m˝ uk¨od´es[2] ´ıjat megfesz´ıtve az ideg m´eg r´ asimul az ´ıjkarok v´eg´ere szerelt merev szarvakra, ´es ez´ert a viselked´ese az er˝ og¨ orbe szempontj´ ab´ ol az f fordul´ opontig gyakorlatilag megegyezik a r¨ovid kem´eny egyenes ´ıj´eval. Az lf h´ uz´ ashossz ut´ an azonban az ideg elt´avolodik a szarvakt´ol, aminek k¨ovetkezt´eben megn˝o az er˝ okar ´es az er˝ og¨ orbe meredeks´ege cs¨ okken, majd v´eg¨ ul az le h´ uz´ashosszn´al el´eri az ekvivalens egyenes ´ıjnak megfelel˝ o v´egs˝ o Fle fesz´ıt˝ oer˝ ot. Hogy az er˝og¨orbe e k¨ozel v´ızszintes szakasza min´el laposabb legyen, azt az ´ıjszarvak hossz´ us´ ag´ anak, illetve az ´ıjkarok ´altal er˝os hajl´ıt´asnak kitett ´ıjkar v´egek ”kem´enys´eg´enek” a megfelel˝ o cs¨ okkent´es´evel ´erhetj¨ uk el. Az ´ıjkar v´eg´enek ”kem´enys´eg´et” p´eld´aul az ´altal is cs¨okkenthetj¨ uk, ha az a v´ege fel´e megfelel˝ oen v´ekonyodik. Egy bizonyos h´ uz´ashossz ut´an, term´eszetesen a visszacsap´ o ´ıj is felkem´enyedik, amely tartom´ anyt, az egyenes ´ıjn´al m´ar t´argyalt k´et ok miatt itt is c´elszer˝ u elker¨ ulni.
6
3.
V´ egeselem m´ odszer
A v´egeselem m´ odszer (Finite Element Method) egy olyan numerikus m´odszer, mely seg´ıts´eg´evel az eredetihez nagyon hasonl´ o modellt tudunk l´etrehozni. A modellt felosztjuk tetsz˝oleges sz´am´ u csom´opontra, illetve a csom´ opontokat ¨ osszek¨ ot˝ o vonalak ´altal hat´arolt elemekre. Az egyes elemek ment´en a keresett attrib´ utum ´ert´ek´et el˝ ore felvett param´etereket tartalmaz´o f¨ uggv´enyekkel k¨ozel´ıtj¨ uk, majd a szomsz´edos elemek hat´ arai ment´en adott elvek alapj´an ¨osszeillesztj¨ uk. A v´egeselem m´ odszer onnan sz´ armazik, hogy sz¨ uks´eg volt megold´ast tal´alni a komplex rugalmass´ agi ´es szerkezeti elemz´es probl´em´ akra mind polg´ari mind rep¨ ul´estechnikai tervez´es szempontj´ab´ol. A kifejleszt´ese visszavezethet˝ o Alexander Hrennikoff (1941) ´es Richard Courant (1942) munk´ass´ag´ara.
3.1.
V´ egeselem m´ odszer fizik´ aja
Els˝ onek is ¨ osszefoglaljuk a v´egeselem m´odszer m˝ uk¨od´es´ehez sz¨ uks´eges fizikai fogalmakat, illetve ¨ osszef¨ ugg´eseket.[1] A klasszikus mechanik´ ab´ol indulunk ki. Ezen ¨osszef¨ ugg´eseken kereszt¨ ul juthatunk el az ´ıj m˝ uk¨ od´es´et szeml´eltet˝ o megold´ asokhoz (statikus, dinamikus), mivel ezeket az egyenleteket analitikus form´ aban nem lehet megoldani, ez´ert numerikus megold´asra lesz sz¨ uks´eg¨ unk. 3.1.1.
Newtoni mechanika
Klasszikus mechanikak´ent is ismert. A testek mozg´as´anak le´ır´as´aval ´es az azokat okoz´o t¨orv´enyekkel foglalkozik. A mozg´ asok le´ır´ as´ ara Euklideszi geometri´at haszn´al. A testek le´ır´as´ara t¨omegpontokat haszn´ alunk. Egy t¨ omegpont jellemezhet˝o: helyvektor, t¨omeg, sebess´eg, gyorsul´as. A tov´ abbiakban n´ezz¨ uk a sz´ amunkra fontos k´epleteket ´es ¨osszef¨ ugg´eseket! Sebess´ eg: A sebess´eg az elmozdul´ as id˝o szerinti deriv´altja. ~v =
d~r = ~r˙ dt
Gyorsul´ as: A gyorsul´ as a sebess´eg id˝ o szerinti deriv´altja. Ami egyenl˝o az elmozdul´as id˝o szerinti m´asodik deriv´ altj´ aval. d~r d~v = 2 = ~r¨ ~a = dt d t Lend¨ ulet: A lend¨ ulet a t¨ omeg ´es a sebess´eg szorzata. p~ = m~v = m~r˙ Newton 2. t¨ orv´ enye: Egy pontszer˝ u test gyorsul´asa egyenesen ar´anyos a testre hat´o, a gyorsul´ assal azonos ir´ any´ u er˝ ovel, ´es ford´ıtottan ar´ anyos a test t¨omeg´evel. Ami egyenl˝o a lend¨ ulet id˝o szerinti deriv´ altj´ aval. d~v dm~v d~ p F~ = m~a = m = = = m~r¨ dt dt dt Impulzusmomentum: Egy t¨ omegpont impulzusmomentuma egyenl˝o a forg´ask¨oz´eppontb´ol a t¨ omegk¨ oz´eppontra mutat´ o vektor ´es az impulzus vektori´alis szorzat´aval. ~ = ~r × p~ L Forgat´ onyomat´ ek: A forgat´ onyomat´ek az impulzusmomentum id˝o szerinti deriv´altja. ~ p ~ = dL = ~r × d~ N = ~r × F~ dt dt 7
Munka (V´ altoz´ o nagys´ ag´ u´ es ir´ any´ u er˝ o munk´ aja): Kezd˝o pontb´ol (1) a v´egpontba (2) vezet˝ ou ´t munk´ aja F er˝ o hat´ asa alatt: Z 2 W12 = F~ d~s 1
Mozg´ asi energia (kinetikus energia): A mozg´asi energia egy test mechanikai mozg´as´ab´ol ered˝ o munkav´egz˝ o k´epess´ege. Egy test mozg´ asi energi´aja egyenl˝o azzal a munk´aval, amit nyugalmi ´allapotb´ ol kell kifejtsen hogy el´erje a k´ıv´ ant sebess´eget ´es forg´ast. T ≡
mv 2 2
Potenci´ alis energia (helyzeti energia): Az az energia, amellyel egy test rendelkezik potenci´ alos er˝ ot´erben. F = −∇V (~r) ahol V a potenci´ alis energia. A munka ´ es a mozg´ asi energia fogalm´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 d~v F~ d~s = m~a d~s = m ~v W12 = ds = m ~v d~v = m ~v d~v = d~s 1 1 1 1 1 1 1 mv22 − mv12 = T2 − T1 2 2
A potenci´ alus energia fogalm´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy Z 2 W12 = F~ d~s = V1 − V2 1
Az el˝ oz˝ o k´ et ¨ osszef¨ ugg´ esb˝ ol k¨ ovetkezik a k¨ ovetkez˝ o: T1 + V1 = T2 + V2 3.1.2.
R´ eszecsk´ ek rendszere
Mivel a modelleket is csom´ opontokb´ ol ´es elemekb˝ol ´ep´ıtj¨ uk be, ez´ert az eddigi ¨osszef¨ ugg´eseket defini´alnunk kell a r´eszecsk´ek rendszer´eben is. R´ eszecsk´ ere hat´ o er˝ o: Egy r´eszecsk´ere hat´o er˝on´el megk¨ ul¨onb¨oztethetj¨ uk a r´eszecsk´ere hat´o bels˝ o, illetve a k¨ uls˝ o er˝ oket. Fi = p˙i X (e) Fi = Fji + Fi j
8
¨ A rendszerre hat´ o er˝ o: Osszegezz¨ uk a rendszerre hat´o bels˝o, illetve k¨ uls˝o er˝oket. X
Fi =
i
X
Fji +
X
i,j
(e)
Fi
X X (e) (Fji + Fij ) + Fi
=
i
i<j
i
A k¨ olcs¨ onhat´ as t¨ orv´enye (akci´ o-reakci´ o t¨orv´enye) miatt az (Fji + Fij ) kifejez´es elhagyhat´o. Ha egy testre egy m´ asik test F er˝ ovel hat, akkor a m´ asik test ugyanakkora, de ellenkez˝o ir´any´ u er˝ovel hat az el˝obbire. Fij = −Fji Ez´ert: X
X
Fi =
i
(e)
Fi
X
=
i
p˙i =
i
d2 X mi ri dt2 i
A rendszer t¨ omegk¨ oz´ eppontja: A t¨ omegk¨oz´eppont az a pont, mely u ´gy viselkedik, mintha a rendszer t¨ omege ebbe a pontba lenne koncentr´ alva. Egy r´eszekb˝ ol ´ all´ o rendszer t¨ omegk¨ oz´eppontj´anak helye: P P mi ri mi ri P R= = M mi A t¨ omegk¨ oz´eppont fogalm´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy ¨= MR
X
(e)
Fi
≡ F (e)
i
A teljes rendszer lend¨ ulete: P =
X
pi =
X
i
mi r˙i = M R˙
i
Megfigyelhetj¨ uk, hogy ha a rendszer lend¨ ulet´et id˝o szerint deriv´aljuk, akkor pontosan F (e) -t kapjuk ¨ = F (e) P˙ = M R A teljes rendszer impulzus momentuma: L=
X
Li =
X
i
ri × pi
i
Mivel p˙i = Fi =
X
(e)
Fji + Fi
j
Ez´ert, ha a rendszer impulzus´ at id˝ o szerint deriv´aljuk, a k¨ovetkez˝ot kapjuk: L˙ =
X
ri × Fji +
i,j
X i
9
(e)
ri × Fi
A k¨ olcs¨ onhat´ as t¨ orv´enye (akci´ o-reakci´ o t¨orv´enye) miatt a k¨ovetkez˝o kifejez´es elhagyhat´o: X
ri × Fji
i,j
´Igy megkapjuk a rendszer forgat´ onyomat´ek´at: L˙ =
X
(e)
ri × Fi
=
X
i
(e)
Ni
= N (e)
i
A teljes rendszer impulzus momentuma leegyszer˝ us´ıtve a t¨ omegk¨ oz´ eppont seg´ıts´ eg´ evel: Egy r´eszecske helyzete a t¨ omegk¨ oz´eppontban: ri = ri0 + R Egy a t¨ omegk¨ oz´eppontt´ ol r t´ avols´ agra l´ev˝o r´eszecske sebess´ege: vi0 = r˙i 0 T¨ omegk¨ oz´eppont sebess´ege: v = R˙ = vi − vi0 T¨ omegk¨ oz´eppontban l´ev˝ o r´eszecske sebess´ege: vi = v + vi ´ igazak a k¨ Es ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok: M=
X
X
mi
i
mi ri = 0
X
i
mi v i = 0
i
Ezekb˝ ol az ¨ osszef¨ ugg´esekb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy L=
X i
ri × pi =
X X (ri0 + R) × mi (vi0 + v) = R × M v + ri0 × mi vi0 i
i
Munka: W12 =
2
XZ
Fi dsi
1
i
W12 = T2 − T1 Kinetikus energia: A t¨ omegk¨ oz´eppont seg´ıts´eg´evel itt is k´et darabra tudjuk bontani az egyenletet, egy a t¨ omegk¨ oz´eppontba koncentr´ alt, illetve a t¨omegk¨oz´eppont k¨or´e koncentr´alt mozg´asra. T =
X1 i
2
10
mi vi2
T =
X1 2
i
mi (v + vi0 ) →
X1 1 M v2 + mi vi0 2 2 2 i
Potenci´ alis energia: A rendszer potenci´alis energi´aj´anak kisz´amol´as´an´al figyelembe kell venn¨ unk a rendszerre hat´ o bels˝ o, illetve k¨ uls˝ o er˝ oket! K¨ uls˝ o er˝ ok: (e)
XZ i
2
(e)
Fi dsi = −
Fi XZ
1
= −∇i Vi
2
∇i Vi dsi = −
i
i
X
(Vi )2 +
i
X (Vi )1 i
Bels˝ o er˝ ok: Fji = −∇i Vij 2
XZ i,j
Fji dsi =
1
1 2
XZ
2
[Fji dsi + Fij dsj ] = −
1
i,j
1X 2 i,j
Z
2
[∇i Vij dsi + ∇j Vij dsj ] 1
A k¨ olcs¨ onhat´ as t¨ orv´enye miatt igazak a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok:
Vij = Vij (|ri − rj |)
∇i Vij = −∇j Vij = ∇ij Vij
dsi − dsj = drij
Ez´ert: XZ i,j
1
2
1X Fji dsi = − 2 i,j
2
Z
∇ij Vij drij = − 1
1X 1X (Vij )2 + (Vij )1 2 i,j 2 i,j
Vagy: XZ i,j
2
Fji dsi = (V (I) )1 − (V (I) )2
1
Ahol bels˝ o er˝ okkel meghat´ arozott potenci´alis energia: V (I) ≡
1X Vij 2 i,j
´Igy a rendszer potenci´ alis energi´ aja: V ≡ V (e) + V (I) =
X i
11
Vi +
1X Vij 2 i,j
3.1.3.
Mozg´ as egyenletek le´ır´ asa ´ altal´ anos koordin´ at´ akkal
Sz´ amtalan mechanikai probl´ema megold´asa l´enyegesen egyszer˝ us¨odik, ha der´ek-sz¨og˝ u koordin´ata-rendszer koordin´ at´ ai helyett m´ as koordin´ at´ akat v´alasztunk. Ha az n sz´am´ u anyagi pontb´ol ´all´o mechanikai rendszer r sz´ am´ u k´enyszerfelt´etele holonom, vagyis fk (x1 , ..., x3n , t) = 0 (ahol k = 1,2,...,r) alakban adhat´o meg, a 3n der´eksz¨ og˝ u koordin´ ata k¨ oz¨ ul csup´ an 3n − r f¨ uggetlen, azaz a rendszer szabads´agi foka: f = 3n − r. Az ilyen rendszer helyzet´et f sz´ am´ u, egym´ast´ol f¨ uggetlen q1 , q2 , ...., qf adat egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. ri = ri (q1 , q2 , q3 , ..., t) A der´eksz¨ og˝ u koordin´ at´ ak helyett olyan, a rendszer f szabads´agi fok´aval megegyez˝o sz´am´ uu ´n. ´altal´ anos koordin´ at´ at (q1 , ..., qf ) vezet¨ unk be, amelyek haszn´alatakor a k´enyszerfelt´etelek m´ar eleve teljes¨ ulnek. pl.: Az (x,y,z) koordin´ at´ ak helyett v´ alaszthat´o ´altal´anos koordin´at´ak a θ ´es φ pol´ar-koordin´at´ak: x = c sinθ cosφ y = c sinθ sinφ z = c cosθ
Ismerj¨ uk teh´ at a mozg´ as egyenlet´et: (e)
mi r¨i = Fi = Fi
+
X
Fji
j (e)
ahol a Fi
a rendszer hat´ o k¨ uls˝ o er˝ oket,
P
j
Fji a rendszerre hat´o bels˝o er˝oket jelenti.
Hogyan tudn´ ank ´ atalak´ıtani a mozg´ as egyenlet´et az ´altal´anos´ıtott koordin´at´ak seg´ıts´eg´evel? Megold´ as: Lagrange f¨ uggv´eny! 3.1.4.
D’Alambert elv
A Lagrange f¨ uggv´eny ´ertelmez´es´ehez a D’Alambert elvb˝ol kell kiindulnunk. A r´eszecsk´ek mindegyik mozg´ ast v´egez. Virtu´ alis elmozdul´ as: ri → ri + δri qj → qj + δqj X ∂ri δri = δqj ∂qj j
12
A newtoni egyenletet egyens´ ulyi egyenlet alakj´aban ´ırjuk fel: Fi = p˙i → Fi − p˙i = 0 (a)
Fi = Fi
+ fi
(a)
Fi : alkalmazott er˝ o (a)
Fi
(a)
= Fi (r1 , r2 , ..., ri , ..., rN , t)
fi : k´enyszerer˝ o A k´enyszerer˝ o´ altal´ aban nem v´egez munk´at: - mozg´ as mer˝ oleges az er˝ ore: fi δri = 0 - kiv´etel: s´ url´ od´ as ´Igy teh´ at: (a)
Fi
+ fi − p˙i = 0
Megszorozzuk az egyenletet δri -vel, illetve ¨osszegezz¨ uk az eg´eszet i szerint. X (a) (Fi − p˙i )δri = 0 i
A k´enyszerer˝ o kiesik, mivel: fi δri = 0 Mivel a virtu´ alis elmozdul´ as: δri = Ez´ert:
X
Fi(a)
i
X ∂ri δqj ∂qj j
X ∂ri X ∂ri δqj − p˙i δqj = 0 ∂q ∂q j j j j
Igaz, hogy: X i
Fi
X ∂ri X X ∂ri δqj = Qj δqj → Qj ≡ Fi ∂qj ∂qj j j i
Qj : ´ altal´ anos´ıtott er˝ o X
Qj δqj −
X
j
p˙i
i
X ∂ri δqj = 0 ∂qj j
Mivel p˙i = mi r¨i , ez´ert: ∂ri δqj = 0 ∂qj j i,j 2 2 ∂ri d ∂ vi ∂ vi r¨i → − ∂qj dt ∂ q˙j 2 ∂qj 2 X
Qj δqj −
X
mi r¨i
13
2 2 d ∂ vi ∂ vi Qj δqj − mi − δqj = 0 dt ∂ q ˙ 2 ∂q 2 j j j i,j ( " # ) X X d ∂ X mi vi2 ∂ X mi vi2 Qj δqj − − δqj = 0 dt ∂ q˙j i 2 ∂qj i 2 j j X
X
T ≡
X mv 2 i
i
2
X d ∂T ∂T − − Qj δqj = 0 dt ∂ q˙j ∂qj j D’Alembert elve ´ertelm´eben a mozg´ o testre hat´o er˝ok a tehetetlens´egi er˝ovel egy¨ utt egyens´ ulyban vannak. Ezt az egyens´ ulyi ´ allapotot statikai egyens´ ulyt´ol megk¨ ul¨onb¨oztetve kinetikai egyens´ ulynak nevezz¨ uk. 3.1.5.
Lagrange f¨ uggv´ eny
A Lagrange-f¨ uggv´eny a fizikai rendszerek ´allapot´at jellemz˝o mennyis´eg. A mechanik´aban a kinetikus (mozg´ asi) ´es a potenci´ alis energia k¨ ul¨ onbs´ege adja a Lagrange-f¨ uggv´enyt. d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙j ∂qj L(q, q, ˙ t) ≡ T − V ahol T a rendszer kinetikus, V pedig a potenci´alis energi´aja. qj : ´ altal´ anos koordin´ ata q˙j : ´ altal´ anos koordin´ ata id˝ oszerinti deriv´altja X d ∂T ∂T − − Qj δqj = 0 dt ∂ q˙j ∂qj j Ha qj -k f¨ uggetlenek: d dt
∂T ∂ q˙j
−
∂T = Qj ∂qj
Konzervat´ıv er˝ ot´erben: Fi = −∇i V ´ Altal´ anos´ıtott er˝ o: Qj ≡
X i
Fi
X X ∂V ∂ri ∂ri ∂ri ∂V =− ∇i V =− =− ∂qj ∂qj ∂ri ∂qj ∂qj i i ∂T ∂V d ∂T − =− dt ∂ q˙j ∂qj ∂qj d ∂T ∂(T − V ) − =0 dt ∂ q˙j ∂qj
14
Tegy¨ uk fel, hogy V = V (qj , q˙j , t) nem tartalmazza a q˙j -t, azaz d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙j ∂qj
∂V ∂ q˙j
= 0 ekkor ´ırhatjuk, hogy
ahol L = T (qj , q˙j , t) − V (qj , t) 3.1.6.
P´ elda a Lagrange f¨ uggv´ eny alkalmazhat´ os´ ag´ ara
N´ezz¨ unk egy egyszer˝ u p´eld´ at a Lagrange f¨ uggv´eny alkalmazhat´os´ag´ara.
4. ´abra. P´elda rezg˝omozg´asra A fent megadott adatok seg´ıts´eg´evel az x,y-t a k¨ovetkez˝ok´eppen tudjuk ´atalak´ıtani: x = (l + r)cosαt y = (l + r)sinαt Ki tudjuk sz´ am´ıtani a rendszer potenci´ alis ´es kinetikus energi´aj´at:
T =
o mn m 2 x˙ + y˙ 2 = r˙2 + (l + r)2 α2 2 2 15
V =
K 2 r 2
Ezekb˝ ol k¨ ovetkezik a k¨ ovetkez˝ o:
L=
o K m n ˙2 r + (l + r)2 α2 − r2 2 2
A rendszer Lagrange egyenlete: d dt
∂L ∂ r˙
∂L = m¨ r − mα2 (l + r) + Kr = 0 ∂r mα2 l =0 m¨ r + (K − mα2 ) r − K − mα2 −
2
Ha K > mα , akkor harmonikus mozg´ ast kapunk, ahol
ω=
q
K−mα2 m
mα2 l Az ing´ as k¨ ozpontj´ at elmozd´ıtja: K−mα2 Ha K < mα2 , akkor a mozg´ as exponenci´alis lesz. Ha K = mα2 , akkor a sebess´eg ´ alland´ o lesz. 3.1.7.
Rugalmass´ agtan
A rugalmass´ agtan a testek terhel´esekre adott v´alasz´at vizsg´alja. A testet homog´ennek, izot´opnak ´es line´ arisan rugalmasnak tekintj¨ uk, tov´ abb´a terhel´es hat´as´ara deform´aci´ot szenved, ´ıgy rugalmass´agi t´enyez˝ ok k¨ othet˝ ok a terhel´es el˝ otti geometri´ ahoz. Fesz¨ ults´ egvektor: Pn fesz¨ ults´egvektor a testben terhel´es hat´as´ara fell´ep˝o, fel¨ ulet ment´en megoszl´o bels˝ o er˝ orendszer s˝ ur˝ us´egvektora (intenzit´ asvektora). Vizsg´ aljuk a test ´ allapot´ at a P pontban, amin ´at egy n norm´alis´ u s´ıkkal a testet k´et r´eszre v´agjuk. A metszet egyik oldal´ an l´ev˝ o r´eszre a m´asik oldal´an l´ev˝o r´esz ´altal kifejtett hat´ast ´altal´anos megoszl´ o er˝ orendszerk´ent modellez¨ unk, e megoszl´o er˝orendszer ir´anya ´es intenzit´asa a P pontban: a P -hez ´es az n norm´ alis´ ahoz tartoz´ o fesz¨ ults´egvektor ir´anya ´es nagys´aga. Fesz¨ ults´ egtenzor: σ fesz¨ ults´egtenzor seg´ıts´eg´evel b´armely n ir´anyhoz sz´am´ıthatjuk ki a megfelel˝ o fesz¨ uls´egvektort:
Pn = σn
16
5. ´abra. Kett´e v´agott test [4]
Valamely (x,y,z) koordin´ ata rendszerben a fesz¨ ult´esg tenzor m´atrixa: σx τxy τxz σ = τyx σy τyz τzx τzy σz Ahol az egyes sorok rendre az x, az y, ´es a z norm´alis metszetekhez tartoz´o fesz¨ ults´egvektorok komponenseit tartalmazz´ ak:
σx
Px = τyx ; τzx
τ yx Py = σ y ; τyz
τ zx Pz = τzy σz
Alakv´ altoz´ as: A vizsg´ alt test P pontja (melynek helyvektora r) elmozdul, eltol´od´asvektora u; a P ponthoz k¨ ozeli, r + dr helyvektor´ u pont szint´en elmozdul, eltorl´od´asa u + du: u u + du u = v u + du = v + dv w w + dw
17
6. ´abra. Alakv´altoz´as [4] Az u eltol´ od´ asmez˝ o gradienstenzor´ aval b´armely dr eset´en meghat´arozhat´o, hogy mekkora lesz az r ´es a r+dx pontok eltol´ od´ asa k¨ oz¨ otti du k¨ ul¨ onbs´eg: ∂u du ∂x ∂v du = dv = ∂x ∂w dw ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z dx
dy = B T dr ∂w dz ∂z
∂v ∂y
∂v ∂z
∂w ∂y
Az r ´es az r+dr helyvektor´ u pontok eltol´od´asa k´et ok miatt t´er el egym´ast´ol: • a P pont k¨ ornyezte deform´ al´ odik (dudef ) • a P k¨ ornyezete merevtest szerkezet˝ u elfordul´ast v´egez (durot ) dudef ´es durot k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on is kifejezhet˝ok, ha a B gradiestenzort sz´etv´alasztjuk szimmetrikus ´es aszimmetrikus o¨sszetev˝ oj´ere (B = B def + B rot ): du = (B def + B rot )T dx = (B def )T dr + (B rot )T dx = dudef + durot Alakv´ altoz´ astenzor: az eltol´ od´ asgradiens-tenzor szimmetrikus r´esze, P k¨ornyezet´enek deform´aci´ oj´ at fejezi ki:
∂u ∂x
= B def = 12 uy + xv 1 u w 2 z + x
1 2
v x
+
u y
∂v ∂y 1 2
v z
+
1 w 2 x 1 2
w y
w y
+
u z
+
v z
∂w ∂z
x
yxy = 2 yxz 2
yxy 2
y yyz 2
yxz 2 yyz 2
z
Statikai egyenletek: A Cauchy-egyenletek a test belsej´eben l´ev˝o elemi has´abok egyens´ uly´at fejezeik ki,
18
osszef¨ ¨ ugg´est teremtenek a test belsej´eben ´ebred˝o fesz¨ ults´egek ´es a testre hat´o t¨omeger˝ok k¨oz¨ott: ∂σx ∂τxy ∂τxz + + + gx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂σy ∂τyz ∂τyx + + + gy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τzx ∂τzy ∂σz + + + gz = 0 ∂x ∂y ∂z
Virtu´ alis elmozdul´ as: Virtu´ alis elmozdul´as rendszernek nevezz¨ uk azt, amikor a szerkezet egy tetsz˝ oleges geometriailag lehets´eges elmozdul´ asrendszer´enek v´altozatlan geometriai peremfelt´etelek mellett k´epezett differenci´ alisan kicsiny megv´ altoztat´ asa. Egy er˝orendszer akkor ´es csak akkor statikailag lehets´eges, ha b´ armely virtu´ alis elmozdul´ asrendszeren v´egzett munk´aja z´erus: δWku¨ls˝o + δWbels˝o = 0 ahol a t´enyleges k¨ uls˝ o er˝ oknek a virtu´ alis elmozdul´asokon v´egzett munk´aja: Z Z q T δudS + g T δudV δWku¨ls˝o = f T δe + (S)
(V )
´es a t´enyleges fesz¨ ults´egeknek a virtu´ alis alakv´altoz´asokon val´o bels˝o munk´aja: Z δWbels˝o = − σ T δdV (V )
Hook t¨ orv´ eny: Azt fejezi ki, hogy valamely testre hat´o er˝o ´es az ´altala el˝oid´ezett deform´aci´o egyenes ar´ anyban vannak egym´ assal. σij =
X
cijkl kl
kl
3.2.
V´ egeselem programoz´ as
A v´egeselem m´ odszer siker´enek a titka, hogy a teljes numerikus folyamat implement´alhat´o a sz´am´ıt´og´epre. Ezt az tette lehet˝ ov´e, hogy m´ ara m´ ar olyan hardver eszk¨oz¨ok ´allnak rendelkez´es¨ unkre, melyek a nagy modellek feldolgoz´ as´ at is lehet˝ ov´e teszik. Emellett olyan professzion´alis term´ekek jelentek meg, amelyek a sz´ am´ıt´ og´eppel seg´ıtett m˝ uszaki tervez´es ´es elemz´es f´azisait komplex m´odon tartalmazz´ak. E szoftverek seg´ıts´eg´evel a m´ern¨ ok p´ arbesz´edes form´aban k´epes kezelni a geometri´at, l´etre tudja hozni a v´egeselem
19
modellt, meg tudja oldani az el˝ o´ all´ıtott algebrai feladatot ´es v´eg¨ ul hat´ekonyan, szeml´eletes form´ aban ki tudja ´ert´ekelni az eredm´enyeket. Mindez a sz´am´ıt´og´ep virtu´alis vil´ag´aban t¨ort´enik an´elk¨ ul, hogy egy´ altal´ an k´esz¨ ult volna valamif´ele fizikailag megfoghat´o, m´erhet˝o darab vagy protot´ıpus. R´aad´asul az eredm´enyek birtok´ aban a folyamat u ´jrakezdhet˝o azokkal a m´odos´ıt´asokkal, melyekt˝ol javul´ast rem´el¨ unk. Tov´ abbiakban n´ezz¨ uk meg a v´egeselem m´odszer feldolgoz´asi folyamat f˝obb l´ep´eseit. 3.2.1.
El˝ ofeldolgoz´ as
Ebben a f´ azisban t¨ ort´enik a v´eges elem h´al´o el˝o´all´ıt´asa. Maga az elemh´al´o fel´ep´ıt´ese lehet n´egyzetekb˝ ol vagy h´ aromsz¨ ogekb˝ ol. Ez a folyamat a legmunkaig´enyesebb, b´ar sz´amos algoritmus seg´ıtheti a m´ern¨ ok munk´ aj´ at. A feladat szempontj´ ab´ ol l´enyeges r´eszeket s˝ ur˝ ubb, m´ıg a nem annyira l´enyegesebbeket ritk´ abb feloszt´ assal val´ os´ıtj´ ak meg. A k´esz v´egeselem h´al´o m´erete ´es min˝os´ege nagyban befoly´asolja az eredm´enyen
7. ´ abra. Volkswagen karossz´eria v´egeselem modelle[5] pontoss´ ag´ at, val´ os´ agh˝ us´eg´et. M´ıg a 80-as ´evekben n´eh´any ezer elem, csom´opont alkotott egy modellt, m´ ara t¨ obb milli´ o elemet is haszn´ alnak, amikhez nincs sz¨ uks´eg szuper sz´am´ıt´og´epekre.
20
3.2.2.
Peremfelt´ etelek defini´ al´ asa
A kiindul´ asi param´etereket ´es adatokat kell megadni ebben a r´eszben. Ilyen param´etereke p´eld´ aul a szerkezeti terhelts´eg, koncentr´ alt er˝ ok, fel¨ uleti terhel´es, t´erfogati terhel´es, id˝of¨ ugg˝o terhel´es, gerjeszt´es vagy ak´ ar folyad´ek´ araml´ as. 3.2.3.
Algebrai egyenlet megold´ asa
Ez a f´ azis a legjelent˝ osebb, seg´ıts´eget ad a m´ern¨oknek, hiszen t¨obb milli´o m˝ uveletet hajt v´egre a sz´am´ıt´ og´ep, melyre az ember nem lenne k´epes. A szoftver el˝o´all´ıtja az algebrai egyenlet m´atrixait, ´es azt az algebrai egyenletet, amely approxim´ aci´ o eredm´enye, amit megoldva k¨ozel´ıt˝o eredm´enyt kapunk az adott fizikai folyamatra. A fut´ asi id˝ o er˝ osen f¨ ugg a feladat t´ıpus´at´ol ´es a modell m´eret´et˝ol. P´eld´aul a ”crash” alkalmaz´ asok, ahogy g´epj´ arm˝ uvek viselked´es´et vizsg´alj´ak a t¨or´estesztek alatt. Ezekn´el a tesztekn´el 500 ezer feletti elem sz´ am az ´ altal´ anos, mivel ez egy id˝of¨ ugg˝o folyamat ez´ert a sz´am´ıt´as ¨osszetettebb folyamat. Fontos a precizit´ as, mivel ´eletek m´ ulhatnak a sz´am´ıt´asok pontoss´ag´an. 3.2.4.
Eredm´ enyek ki´ ert´ ekel´ ese
Ez a l´ep´es az utols´ o a v´egeselem feldolgoz´asban. Enn´el a f´azisn´al is n´elk¨ ul¨ozhetetlen a sz´am´ıt´og´ep, a sok sz´ am´ıt´ as miatt. A vizu´ alis megjelen´ıt´es fontos az ´ert´ekel´es ´es lehets´eges m´odos´ıt´asok szempontj´ ab´ ol. A kapott param´eterek ´ert´ek tartom´ any´at felosztva ´es hozz´a sz´ınt rendelve egyszer˝ uen lehet szeml´eltetni a modellben fell´ep˝ o fesz¨ ults´egeket. A felhaszn´al´o ´ıgy k¨onnyen eld¨ontheti, hogy a fesz¨ ults´eg eloszl´ as megfelel˝ o-e vagy sz¨ uks´eges m´ odos´ıt´ as a modellen. Ebben a f´azisban l´enyeges a gyors ´es hat´ekony ki´ert´ekel´es.
21
4.
V´ egeselem m´ odszer megval´ os´ıt´ asa Javaban [3]
Els˝ onek is ismertetj¨ uk, hogy mik is pontosan a v´egeselem anal´ızis f˝obb l´ep´esei. Majd bemutatunk k´et v´egeselem egyenletet megold´ o m´ odszert, a Galerkin m´odszert ´es az u ´gynevezett vari´aci´os megk¨ozel´ıt´est.
4.1.
V´ egeselem anal´ızis f˝ obb l´ ep´ esei
1. Tartom´ any diszkretiz´ al´ as. A v´eges elemek a csom´ opontokn´al csatlakoznak, ezek feloszt´asra ker¨ ulnek k¨ ul¨onb¨oz˝o megold´ astartom´ anyokra.
A nagy mennyis´eg˝ u adat miatt, a v´egeselem h´al´ot egy preprocesszorprogram
gener´ alja. A h´ al´ o csom´ oponti koordin´at´akb´ol ´es elemkapcsol´asokb´ol ´all. 2. Interpol´ aci´ os funkci´ ok haszn´ alata. Az elemen kereszt¨ ul interpol´ al´ asra ker¨ ulnek a mez˝ov´altoz´ok. Az interpol´aris funkci´ok polinomokat v´ alasztanak ki. Egy polinom ´ert´eke f¨ ugg az elemet fel´ep´ıt˝o csom´opontokt´ol. 3. Elemm´ atrixok ´ es vektorok kisz´ am´ıt´ asa. A m´ atrix egyenletek kisz´ am´ıt´ asa ut´ana tudjuk meg, hogy az ismeretlen funkci´oj´ u csom´oponti ´ert´ekek milyen ismert param´eterekkel kapcsolhat´oak ¨ossze. Erre k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´am´ıt´asi m´odok haszn´alatosak, ilyen p´eld´ aul a vari´ aci´ os megk¨ ozel´ıt´es ´es a Galerkin m´odszer is. 4. Elemegyenletek ¨ osszegy˝ ujt´ ese. Az o¨sszegy˝ ujt¨ ott elemegyenletek egyes´ıt´es´evel l´etre j¨on a glob´alis egyenletrendszer. Az egyenletrendszer megold´ asa el˝ ott megad´ asra ker¨ ulnek a rendszer ker¨ uleti felt´etelei. 5. Glob´ alis egyenletrendszer megold´ asa. A glob´ alis egyenletrendszer jellemz˝oen sz´orv´anyos, szimmetrikus ´es pozit´ıv-definit. K¨ozvetlen ´es ism´etl˝ od˝ o m´ odszerek alkalmazhat´ oak a megold´as´ara. A keresett f¨ uggv´eny csom´oponti ´ert´ekei adj´ ak a rendszer megold´ as´ at. 6. Tov´ abbi eredm´ enyek kisz´ am´ıt´ asa. Sok esetben tov´ abbi param´etereket kell kisz´am´ıtani.
4.2.
A v´ egeselem egyenlet
A v´egeselem egyenlet megfogalmaz´ as´ ara t¨obb ´atalak´ıt´asi m´od is lehets´eges. Mi a Galerkin m´odszert ´es a vari´ aci´ os megk¨ ozel´ıt´est mutatjuk be. Ha a probl´ema fizikai megval´os´ıt´asa differenci´al egyenletk´ent ismert, akkor a Galerkin m´ odszer haszn´ alatos. Ha a fizikai probl´ema funkcion´alisan minimaliz´alt, akkor ´altal´ aban
22
a vari´ aci´ os formula alkalmazand´ o. Mindk´et m´ odszert bemutatjuk a k¨ ovetkez˝o egyszer˝ u egydimenzi´os p´eld´an kereszt¨ ul:
8. ´ abra. K´et egydimenzi´ os line´ aris elem (a) ´es egy elmen bel¨ uli f¨ uggv´eny interpol´aci´o(b)
4.2.1.
Galerkin m´ odszer
A p´eld´ aban szerepl˝ o k´et line´ aris v´egeselem figyelembe v´etel´evel a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenletet kell megoldanunk:
a
d2 u + b = 0, dx2
0 ≤ x ≤ 2L,
a k¨ ovetkez˝ o ker¨ uleti felt´etelek figyelembe v´etel´evel: u |x=0 = 0, a
du |x=2L = R, dx
ahol u=u(x) egy ismeretlen f¨ uggv´eny. N´ezz¨ unk meg egy darab v´egeselemet (6. ´abra (b)). Az elem k´et darab csom´opontb´ol ´all, az u(x) f¨ uggv´eny k¨ ozel´ıt´ese a k¨ ovetkez˝ ok´eppen fog kin´ezni: u = N1 u1 + N2 u2 = [N ] {u} , [N ] = [N1 N2 ] , {u} = {u1 u2 } , ahol Ni az u ´gynevezett alak funkci´ o N1 = 1 −
x − x1 , x2 − x1
23
x − x1 , x2 − x1 amelyek u(x) f¨ uggv´eny interpol´ aci´ oj´ ara haszn´alatosak. Az u1 ´es u2 csom´oponti ´ert´ekek olyan ismeretlenek, N2 =
amelyeket a diszkr´et glob´ alis egyenletrendszer fog meghat´arozni. Ha a csom´oponti ´ert´ekekkel ´es alaki f¨ uggv´enyekkel kifejezett u-t behelyettes´ıtj¨ uk a differenci´alegyenletbe, akkor a k¨ovetkez˝o alakot kapjuk a
d2 [N ] {u} + b = ψ, dx2
ahol ψ egy nem nulla marad´ek. A Galerkin m´odszer marad´ekminimaliz´al´ast tesz lehet˝ov´e, a fenti egyenlet az adott elem szerint integr´ alva, az alak f¨ uggv´enyek ´es a felt´etelek figyelembe v´etel´evel a k¨ovetkez˝ok´eppen fog kin´ezni: x2
Z x2 d2 T [N ] a 2 [N ] {u} dx + [N ] bdx = 0, dx x1 x1 az egyenlet r´eszenk´enti integr´ al´ asa a differenci´alegyenlet diszkr´et form´aj´ahoz T Z x2 1 0 dN du dN T a dx {u} − [N ] bdx − a |x=x2 + 1 dx 0 dx dx x1 Z
T
vezet du a | = 0, dx x=x1
[k] {u} = {f } , Z
x2
k = x1
Z
x2
{f } = x1
dN dx
T
dN a dx, dx
1 du 0 du T + a | , [N ] bdx + a | 1 dx x=x2 0 dx x=x1
Szil´ ardtest mechanik´ aban [k]-t merevs´egm´atrixnak, az {f }-t pedig tehervektornak nevezik. A sz´ oban forg´ o k´et v´eges elem eset´en a merevs´eg a m´atrixok ´es a tehervektorok k¨onnyen kisz´amolhat´oak: a 1 −1 [k1 ] = [k2 ] = L −1 1 1 bL {f1 } = , 2 1
1 0 bL {f2 } = + 2 1 R
A fenti kapcsolatok adj´ ak a v´egeselem egyenleteit a k´et k¨ ul¨on´all´o v´egeselemnek. A k´et elemmel ´es h´ arom csom´ oponttal rendelkez˝ o tartom´anynak a glob´alis egyenletrendszere a v´egeselem egyenletekb˝ ol sz´ armaztathat´ o. A mi eset¨ unkben az elemek a csom´opontokn´al glob´alisan hatnak egym´asra. Az ¨osszekapcsolt glob´ alis egyenletrendszer:
1
a −1 L 0
−1 2 −1
u 1 1 bL = −1 u2 2 2 1 1 u3 0
24
0 + , 0 R
A peremfelt´etelek alkalmaz´ asa ut´ an u(x = 0) = 0, a glob´alis egyenletrendszer v´egs˝o megjelen´esi form´ aja: 0 0 1 0 0 u 1 bL a = + , 0 2 −1 u2 2 0 L 2 1 R 0 −1 1 u3 Amikor ´erv´enyes az u1 = 0 peremfelt´etel, akkor az egyenletrendszer m´atrix´anak els˝o sor´aba null´ ak ker¨ ulnek, ugyan´ ugy ezt t¨ ort´enik az egyenlet jobb oldal´aval is, null´ak ker¨ ulnek a m´atrix els˝o oszlop´aba is, illetve a f˝ o´ atl´ oba egy egys´eg´ert´ek ker¨ ul. Az ui csom´oponti ´ert´ekek lesznek a line´aris algebrai egyenletrendszer megold´ as´ anak eredm´enyei. Az u ´ert´eke a v´egeselemen bel¨ ul b´armely pontn´al kisz´amolhat´ o az alaki f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel. A differenci´ alegyenlet v´egeselem megold´asa (a = 1, b = 1, L = 1, R = 1):
9. ´ abra. A v´egeselem megold´as ´es az egzakt megold´as ¨osszehasonl´ıt´asa A megold´ as egy m´ asodfok´ u f¨ uggv´eny. Egy pontosabb megold´ast u ´gy tudunk kapni, hogy n¨ovelj¨ uk az egyszer˝ u elemek sz´ am´ at vagy bonyolultabb fel´ep´ıt´es˝ u elemeket haszn´alunk. 4.2.2.
Vari´ aci´ os megk¨ ozel´ıt´ es
10. ´ abra. Egydimenzi´ os r´ ud, ami egy eloszott terhel´esnek, illetve egy koncentr´alt tehernek van kit´eve 25
Itt is az el˝ oz˝ oekben felv´ azolt differenci´alegyenletb˝ol indulunk ki, a ker¨ uleti felt´etelek, illetve egy a=EA param´eter figyelembe v´etel´evel. Az a=EA param´eter az egydimenzi´os r´ ud fesz¨ ults´eg´et ´ırja le, A: tartom´ any keresztmetszete , E: valamilyen anyagnak a Young-modulusa. Az egydimenzi´os modellt egy elosztott terhel´esnek (b) ´es egy koncentr´al tehernek (R) vetj¨ uk al´a. Ilyen ´es ehhez hasonl´o probl´em´ ak oldhat´ oak meg a vari´ aci´ os megk¨ ozel´ıt´es seg´ıts´eg´evel. A differenci´ alegyenlet¨ unk ´ıgy fog kin´ezni a v´altoztat´asok ut´an: Z Π= L
1 a 2
du dx
2
Z dx −
budx − Ru|x=2L , L
u|x=0 = 0 Az u alakf¨ uggv´eny figyelembe v´etel´evel ´ırhatjuk: Z
x2
Πe = x1
T Z x2 0 1 T dN dN uT [N ]T bdx − uT au udx − R 2 dx dx x1
A Π minimum felt´etele: δΠ =
∂Π ∂Π δu1 + ... + δun = 0 ∂u1 ∂un
ami ekvivalens ∂Π = 0, ∂ui
i = 1..n
A Π ui -k szerinti differenci´ alisa v´eg¨ ul a k¨ovetkez˝o egyenys´ ulyi v´egeselem egyenletre vezet : T Z x2 Z x2 0 dN dN EA dx {u} − [N ]T bdx − R dx dx x1 x1 Ez a kifejez´es egybeesik azzal az egyenlettel, amit a Galerkin m´odszern´el kaptunk. 4.2.3.
P´ elda alakf¨ uggv´ eny meghat´ aroz´ as´ ara
N´ezz¨ uk a h´ arom csom´ oponttal rendelkez˝o egydimenzi´os, m´asodfok´ u elemre fenn´all´o alak f¨ uggv´enyeket, a lok´ alis koordin´ atarendszer seg´ıts´eg´evel. Megold´ as:
11. ´ abra. H´ arom csom´ oponttal rendelkez˝o egydimenzi´os m´asodfok´ u elem
26
Az alak f¨ uggv´enyekkel b´ armely ter¨ ulet kifejezhet˝o az elemen bel¨ ul: X
u(ξ) =
Ni ui ,
i = 1, 2, 3.
A k¨ ozel´ıt˝ o f¨ uggv´enyek minden csom´ opontn´al egyenl˝ok kell, hogy legyenek a csom´oponti ´ert´ekekkel u(−1) = u1 ,
u(0) = u2 ,
u(1) = u3 ,
Mivel az elem h´ arom csom´ opontb´ ol ´ all, ez´ert az alak f¨ uggv´enyek m´asodfok´ u polinomok lehetnek. Az N1 a k¨ ovetkez˝ ok´eppen ´ırhat´ o le: N1 = α1 + α2 ξ + α3 ξ 2 αi ismeretlen egy¨ utthat´ ok a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszerb˝ol nyerhet˝oek ki: N1 (−1) = α1 − α2 + α3 = 1, N1 (0) = α1 = 0, N1 (1) = α1 + α2 + α3 = 0 A megold´ as: α1 = 0, α2 = −1/2, α3 = 1/2. ´Igy, az alak f¨ uggv´eny N1 : 1 N1 = − ξ(1 − ξ) 2 hasonl´ oan hat´ arozzuk meg az N2 , N3 alak f¨ uggv´enyeket: N2 = 1 − ξ 2 , N3 =
1 ξ(1 + ξ). 2
Elker¨ ulhetj¨ uk az egyenletrendszer megold´as´at, ha le´ırjuk az alak f¨ uggv´eny keresett form´aj´at a k¨ovetkez˝ ok´eppen: Ni = a1 (a2 + ξ)(a3 + ξ) a1 , a2 ´es a3 egy¨ utthat´ ok abb´ ol a felt´etelb˝ol hat´arozhat´oak meg, hogy az alak f¨ uggv´enyek a saj´at csom´ opontjukn´ al azzal egyenl˝ o ´ert´eket, minden m´as csom´opontn´al nulla ´ert´eket kapnak. P´eld´aul k¨ onny˝ u megkapnunk N1 alak f¨ uggv´eny a2 ´es a3 egy¨ utthat´oj´at, ha 0-val egyenl˝ov´e tessz¨ uk a kifejez´eseket: ξ = 0 : a2 + 0 = 0, ξ = 1 : a3 + 1 = 0. Az a2 = 0, a3 = −1, ´ıgy az N1 alak f¨ uggv´eny megjelen´esi form´aja: N1 = a1 ξ(−1 + ξ) 27
Az a1 egy¨ utthat´ o a felt´etel alapj´ an meghat´arozva: ξ = −1 : a1 (−1)(−1 − 1) = 1. ´ıgy a1 = 1/2 ´es az N1 alak f¨ uggv´enyt meg is tal´altuk.
4.3.
A program m˝ uk¨ od´ ese
A program, illetve a programban fel´ep´ıtett modell teljes eg´esz´eben Gennadiy Nikishkov: Programming Finite Elements in Java c´ım˝ u k¨ onyv´en alapul. N´ezz¨ uk a program m˝ uk¨ od´es´et egy egyszer˝ u k´etdimenzi´os modellen kereszt¨ ul. Adott egy 2 elemb˝ol, elemenk´ent 8 csom´ opontb´ ol ´ all´ o modell, amelyet az x ir´anyba szeretn´enk megny´ ujtani, p=1.0 intenzit´ assal.
12. ´ abra. K´et 8 csom´opont´ u v´eges elemb˝ol ´all´o modell
28
4.3.1.
A modell fel´ ep´ıt´ es´ ehez sz¨ uks´ eges adatok
Els˝ onek is tiszt´ aznunk kell, hogy milyen adatok is sz¨ uks´egesek a modell¨ unk fel´ep´ıt´es´ehez. Meg kell tudnunk adni a modellhez sz¨ uks´eges csom´opontok sz´am´at, azok koordin´at´aj´at, a modellben l´ev˝ o v´eges elemek sz´ am´ at ´es azok fel´ep´ıt´es´et. Egy v´egese elem fel´ep´ıt´es´ehez tudnunk kell, hogy az adott elem milyen anyagb´ ol ´ all, h´ any csom´ opontb´ol ´ep¨ ul fel - a mi eset¨ unkben ez 8 db csom´opontot jelent - illetve, hogy a csom´ opontok hogyan, milyen sorrendben kapcsol´odnak egym´ashoz. Ezeket mind egy bemeneti f´ ajlban adjuk meg, amely a v´egeselem h´al´ot gener´alja, ennek a f´ajlnak a neve .mesh. A .mesh f´ ajl k¨ ovetkez˝ ok´eppen fog kin´ezni: nNod = 13 nEl = 2 # Csomopontok es elemek szama # csom´ oponti koordinatak nodCoord = 0 0 0 0,5 0 1 0,5 0 0,5 1 1 0 1 0,5 1 1 1,5 0 1,5 1 2 0 2 0,5 2 1 # Elem adatok: elem tipus, anyag, kapcsolatok elCon = QUAD8 1 1 4 6 7 8 5 3 2 QUAD8 1 6 9 11 12 13 10 8 7 end 13 csom´ opontunk ´es 2 elem¨ unk van, egy elem 8 csomp´ontb´ol ´all (t´ıpusuk: QUAD8), az anyagi tulajdons´ agn´ al az adott anyag neve van meg adva, ezt m´eg a v´eges elem h´al´o el˝ott defini´aljuk. Az anyagi tulajdons´ agot a Young-modulus, Poisson t´enyez˝o ´es a h˝ot´agl´asi egy¨ uthat´o seg´ıts´eg´evel defini´aljuk.
4.3.2.
A modellen v´ egbemen˝ o er˝ ohat´ asok defini´ al´ as´ ahoz sz¨ uks´ eges adatok
A modell¨ unk¨ on v´egbemen˝ o er˝ ohat´ as defini´al´as´ara k´et tov´abbi f´ajlra lesz sz¨ uks´eg¨ unk. A .load f´ ajlban adjuk meg, hogy melyik elemn´el, elemekn´el, ´es az adott elem, elemek mely csom´opontjain´ al, ott milyen er˝ ovel t¨ ort´enik az elmozdul´ as, k´etdimenzi´os modell eset´en ez az elmozdul´as csak az x vagy y ir´ anyba t¨ ort´enhet (ny´ ujt´ as, ¨ osszenyom´as, h´ uz´as, tol´as). Illetve itt adjuk meg az egyes csom´opontok h˝ om´ers´eklet´et is. A f´ ajl teh´ at a k¨ ovetkez˝ok´eppen n´ez ki: loadStep = 1 # Fel¨ uleti terhel´ es: irany, elemszam, elek szama # csomopontok sz´ ama, el csomopontok szama, intenzitas surForce = x 2 3 11 12 13 1 1 1 # csom´ oponti homerseklet nodTemp = 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 end A .fem f´ ajlban defini´ aljuk, hogy pontosan milyen t´ıpus´ u probl´em´aval is ´allunk szemben. Itt adjuk meg, hogy milyen anyagokb´ ol ´ep¨ ulj¨ onn fel a modell¨ unk. Itt defini´alhatjuk a k´enyszerfelt´eteleket, a mi
29
eset¨ unkben a modell v´egpontjait r¨ ogz´ıten¨ unk kell, hogy az ne mozduljon el. Enged´ezhetj¨ uk, hogy az elmozdul´ asn´ al figyelmbe vegye e a k¨ ul¨ onb¨oz˝o csom´opontok h˝om´ers´eklet´et. stressState = PLSTRESS # Sik feszultsegi allapot thermalLoading = Y # Hoterheles engedelyezes # Vegeselem halo includeFile f.mesh # Anyagi tulajdonsagok: material = 1 1 0,3 0,1 # K´ enyszerek constrDispl = x 0,0 2 1 -3 constrDispl = y 0,0 5 1 4 6 9 11 end # Load case includeFile f.load end A probl´ema t´ıpusa lehet, h´ aromdimenzi´os (THREED), illetve k´etdimenzi´os (PLSTRESS). Mint m´ ar fentebb eml´ıtett¨ uk, az anyagi tulajdons´agot a Young-modulus, Poisson eloszl´as ´es a h˝ot´agl´asi egy¨ uthat´ o seg´ıts´eg´evel defini´ alhatjuk. K´enyszerfelt´eteleket megad´asa u ´gy t¨ort´enik, hogy els˝onek megadjuk az ir´ anyt (x), majd egy ´ert´eket (0.0), meg adjuk, hogy az adott ir´anyban h´any darab csom´opontot szeretn´enk r¨ ogz´ıteni, v´eg¨ ul felsoroljuk a r¨ ogz´ıteni k´ıv´ant csom´opontok sz´am´at. A .fem f´ajlban hivatkoznunk kell a .mesh f´ ajlra, a v´eges elem h´ al´ o miatt, illetve a .load f´ajlra az elmozdul´as miatt. 4.3.3.
Eredm´ enyek ´ es a modell kirajzol´ asa
Ha mindegyik bemeneti f´ ajlal meg vagyunk ´es minden adat a hely´en van, akkor lefuttathatjuk a .fem f´ ajlt. A f´ ajl lefutat´ asa ut´ an kapunk egy .fem.lst f´ajlt, amely az eredm´enyeket tartalmazza, a mi eset¨ unkben ez ´ıgy fog kin´ezni: Elmozdulasok Node ux uy 1 1.666667e-65 2 6.666667e-65 3 1.666667e-65 4 1.000000e+00 5 1.000000e+00 6 2.000000e+00 7 2.000000e+00 8 2.000000e+00 9 3.000000e+00 10 3.000000e+00 11 4.000000e+00 12 4.000000e+00 13 4.000000e+00
2.951815e-80 3.500000e-01 7.000000e-01 3.373503e-80 7.000000e-01 2.951815e-80 3.500000e-01 7.000000e-01 0.000000e+00 7.000000e-01 -6.325319e-80 3.500000e-01 7.000000e-01
30
Stresses El
El
1 sxx syy sxy szz epi 1,00000000 0,00000000 1,00000000 0,00000000 1,00000000 0,00000000 1,00000000 -0,00000000 2 sxx syy sxy szz epi 1,00000000 0,00000000 1,00000000 -0,00000000 1,00000000 -0,00000000 1,00000000 0,00000000
0,00000000 -0,00000000 -0,00000000 0,00000000
0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
-0,00000000 0,00000000 -0,00000000 0,00000000
0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
A list´ aban felsorol´ asra ker¨ ulnek az elmozdult koordin´at´ak, illetve, hogy az egyes elemekn´el milyen fesz¨ ults´egek tapasztalhat´ oak. A programban lehet˝ os´eg¨ unk van kirajzoltatni a modelleket, a Java 3D seg´ıts´eg´evel. Igaz, hogy a modell¨ unk csak k´etdimenzi´ os, de a programban lehet˝os´eg¨ unk van h´aromdimenzi´os modellek ´ep´ıt´es´ere is, illetve a kirajzol´ as teljes m´ert´ekben a Java 3D-re ´ep¨ ul. A modell kirajzoltat´ asa miatt sz¨ uks´eg¨ unk van m´eg tov´abbi 2 bemeneti f´ajlra. K´esz´ıten¨ unk kell egy .res f´ ajlt, amely az elmozdul´asokat ´es az elemekn´el fell´ep˝o fesz¨ ults´egeket tartalmazza, ez a f´ ajl ugyan´ ugy n´ez ki mint az el˝ obb t´argyalt lista f´ajl, amely az eredm´enyeket tartalmazza. Illetve kell m´eg nek¨ unk egy .vis f´ ajl, amely a kirajzol´as´ert lesz felel˝os. N´ezz¨ uk, hogy az eredeti modell¨ unkn´el ezek, hogy fognak kin´ezni.
# f.res fajl Elmozdulasok Node ux uy 1 0 0 2 0 0,5 3 0 1 4 0,5 0 5 0,5 1 6 1 0 7 1 0,5 8 1 1 9 1,5 0 10 1,5 1 11 2 0 12 2 0,5 13 2 1
31
Stresses El
El
1 sxx syy sxy szz epi 1,00000000 0,00000000 1,00000000 0,00000000 1,00000000 0,00000000 1,00000000 -0,00000000 2 sxx syy sxy szz epi 1,00000000 0,00000000 1,00000000 -0,00000000 1,00000000 -0,00000000 1,00000000 0,00000000
0,00000000 -0,00000000 -0,00000000 0,00000000
0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
-0,00000000 0,00000000 -0,00000000 0,00000000
0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
# f.vis fajl meshFile = f.mesh resultFile = f.res parm = ux showEdges = Y showNodes = Y nContours = 8 fmin = 0,85 fmax = 3.0 end A .vis f´ ajl a .res ´es .mesh f´ ajlok megad´ asa ut´an az ux param´eter seg´ıts´eg´evel rajzolja ki a modellt. Nyolc f´ele sz´ınt haszn´ alunk a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o fesz¨ ults´egek jel¨ol´es´ere. Az eredeti modell¨ unk teh´ at a k¨ ovetkez˝ ok´eppen fog kin´ezni a beavatkoz´as el˝ott ´es ut´an:
13. ´abra. Az eredeti modell
14. ´abra. Modell a ny´ ujt´as ut´an
32
4.3.4.
Egyenes ´ıj modell
A programban egy egyszer˝ u r´ udat hajl´ıtunk meg ´es figyelj¨ uk annak viselked´es´et. A r´ ud anyaga teljes eg´esz´eben f´ ab´ ol (t¨ olgy) ´es az ennek megfelel˝o rugalmass´agi adatb´ol ´ep¨ ul fel , 65 cm hossz´ u, a modell vastags´ aga fokozatosan cs¨ okken. Ezen a modellen kereszt¨ ul egy egyszer˝ u ´ıj viselked´es´et is megvizsg´alhatjuk, el´eg csak az ´ıjjnak az egyik fel´et elk´esz´ıten¨ unk, mivel markolatt´ ol lefel´e, illetve felfel´e is hasonl´oan viselkedik h´ uz´askor az ´ıj, illetve modellez´es szempontj´ ab´ ol is sokkal k¨ onnyebb ennek megval´os´ıt´asa. Teh´at ezt n´ezhetj¨ uk, u ´gy mintha lenne egy t¨ olgyf´ ab´ ol k´esz¨ ult 130 cm hossz´ us´ ag´ u egyenes ´ıjjunk, amelynek markolatt´ol (3 cm) a h´ urtart´oig (1,5 cm) fokozatosan cs¨ okken a vastags´ aga. A modell 2041 darab koordin´at´ab´ol ´es 596 darab v´eges elemb˝ ol all. A programban ez ´ıgy n´ez ki: ´
15. ´abra. A modell A v´egeselemek sz´ am´ anak n¨ ovel´es´evel jobb eredm´eny kaphat´o. A modellt y ir´anyban elhajl´ıtjuk p=0,1 intenzit´ assal, u ´gy mintha egy ´ıjat fesz´ıten´enk. A modellen fell´ep˝o fesz¨ ults´eg szintek k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´ınk´ oddal vannak jel¨ olve. A modell a hajl´ıt´ as ut´ an a k¨ovetkez˝ok´eppen fog kin´ezni:
16. ´abra. A modell hajl´ıt´as ut´an
33
L´ athat´ o, hogy egy ilyen egyszer˝ u modellnek sem egyszer˝ u a fel´ep´ıt´ese, rengeteg koordin´at´ab´ ol ´es osszekapcsol´ ¨ asokb´ ol ´ all.
5.
¨ Osszefoglal´ as
A dolgozatunkban az egyenes, illetve a visszacsap´o ´ıj m˝ uk¨od´es´evel foglalkoztunk. Az ´ıjjak viselked´es´enek le´ır´ asa kapcs´ an foglalkoztunk a v´egeselem m´odszerrel ´es a v´egeselem programoz´assal.
A v´egeselem
m´ odszert annak fizik´ aj´ an kereszt¨ ul mutattuk be, a Newtoni mechanik´ab´ol kiindulva, az ´altal´anos koordin´ at´ ak seg´ıts´eg´e-vel eljutottunk a D’Alambert elvig, majd megismerkedt¨ unk a Lagrange f¨ uggv´enynyel, illetve foglalkoztunk a rugalmass´ agtannal is. A v´egeselem programoz´ast a Java programoz´asi nyelven kereszt¨ ul val´ os´ıtottuk meg, bemutattuk, hogy milyen m´odszereket is alkalmaz a program ennek megval´ os´ıt´ asa ´erdek´eben (Galerkin m´ odszer, Vari´aci´os megk¨ozel´ıt´es). Egy egyszer˝ u modellen kereszt¨ ul bemutattuk a program m˝ uk¨ od´es´et, illetve ´ep´ıtett¨ unk egy kezdetleges, f´ab´ol k´esz¨ ult rudat, amelyet siker¨ ult elhajl´ıtanunk. Tov´ abb´ a terveink k¨ oz¨ ott szerepelt egy bonyolultabb egyenes, illetve visszacsap´o ´ıjmodell v´egeselem m´ odszerrel t¨ ort´en˝ o modellez´ese is. Szerkezet¨ uk bonyolults´aga miatt, ezen modellek nem k´esz¨ ultek el.
6.
Saj´ at munk´ ak le´ır´ asa
A munkamegoszt´ as a k¨ ovetkez˝ ok´eppen zajlott Tar Gerg˝ o: • V´egeselem m´ odszer fizik´ aja • V´egeselem m´ odszer megval´ os´ıt´ asa Javaban • Egyszer˝ u modell fel´ep´ıt´ese Feh´erv´ ari Zolt´ an • ´Ijak m˝ uk¨ od´es´enek vizsg´ alata • V´egeselem programoz´ as • Egyszer˝ u modell fel´ep´ıt´ese
7.
K¨ osz¨ onet ny´ılv´ an´ıt´ as
K¨ osz¨ onet¨ unket fejezz¨ uk ki a t´emavezet˝ oknek, Dr. T´oth L´aszl´onak a dolgozatunk elk´esz´ıt´es´eben ny´ ujtott seg´ıts´eg´e´ert ´es u ´tmutat´ o tan´ acsai´ert. 34
Hivatkoz´ asok [1] Masahiro Morii, Physics 151 : Mechanics, Fundamental ideas of classical mechanics including contact with modern work and applications., Professor of Physics, Harvard University, 2003 ´ onyve 2004 ´ th La ´ szlo ´ , A visszacsap´ [2] To o ´ıj, A Debreceni D´eri M´ uzeum Evk¨ [3] Gennadiy Nikishkov, Programming Finite Elements in Java ´ r Imre, Tarnai Tibor, Rugalmass´ [4] Bagi Katalin, Bojta agtan alapk´erd´esek seg´edlet, 2006 [5] http://www.volkswagen.hu/volkswagen koeruel/innovacio/kutatas/ szimulacios rendszerek/vegeselem modszer/
35
