SYSTÉMY HROMADNÉ OBSLUHY Teorie front
Systémy hromadné obsluhy (SHO) Teorie hromadné obsluhy (THO) se zabývá kvantitativním hodnocením soustav schopných uspokojiť požadavky hromadného charakteru na nejakou obsluhu. SHO představují systémy (fyzické, společenské) sloužící k uspokojování potřeb jedinců, zákazníků, požadavků vstupujících do systému za účelem jejich uspokojení. OBSLUŽNÝ KANÁL
VSTUPNÍ LINKA FRONTA
vstup požadavků do systému
zařízení provádějící obsluhu, uspokojování požadavků shromažďování požadavků
Historie vzniku teorie front
zakladatel – dánský matematik Agner Krarup Erlang (1878 - 1929) řešení problému zaměřeného na zkrácení čekací doby vyřizování telefonních hovorů pro firmu Copenhagen Telephone (1908) THO – využívá teorii pravděpodobnosti, matematické statistiky a teorii náhodných funkcí
Cíl THO 1. 2.
Analýza stávajících systémů hromadné obsluhy Návrh optimalizace systému hromadné obsluhy
Tak aby se nevytvářely před obslužnými kanály příliš dlouhé fronty a zároveň
byla obslužná zařízení dostatečně využitá
Schéma SHO Zákazníci, jednotky, požadavky – subjekty či objekty vyžadující obsluhu. (čekací prostor)
Zdroj jednotek – množina jednotek přicházející v úvahu pro hromadnou obsluhu
Vstupní tok – časová posloupnost vstupu jednotek do SHO. Fronta – množina jednotek čekajících na obsluhu. Kanál obsluhy – zařízení či osoby realizující obsluhu, jeden nebo několik paralelně zapojených kanálů tvoří uzel obsluhy. Výstupní tok – časová posloupnost výstupu jednotek ze SHO. Je tvořen požadavky odcházejícími z SHO. Zajímá nás, je-li vstupem do dalšího SHO.
THO se zabývá především studiem těch případů kdy jednotky vstupují do systému nepravidelně a kdy délky obsluhy jednotlivých jednotek (požadavků) nejsou stejné
Jaké základní info o SHO potřebujeme popis zákonitostí vzniku a příchodů požadavků do systému vstupní tok popis osudu vstoupivších zákazníků v případě, že nemohou být ihned obslouženy frontový režim počet obslužných linek a popis průběhu vlastní obsluhy organizace obsluhy
Ukazatele efektivnosti práce SHO průměrný počet požadavků v systému; průměrná délka fronty, průměrná doba setrvání požadavku v systému; průměrná doba čekání ve frontě, průměrný počet obsazených (volných) kanálů; koeficient využití (prostoje) kanálů, pravděpodobnost, že všechny kanály jsou obsazené (pravděpodobnost čekání); pravděpodobnost, že všechny kanály jsou volné; pravděpodobnost, že je obsazených (volných) právě k kanálů, pravděpodobnost, že v systému je n požadavků; pravděpodobnost, že počet požadavků v systému je větší (menší) než n, pravděpodobnost, že doba setrvání požadavku v systému bude menší (větší) než daná hodnota; pravděpodobnost, že doba čekání bude menší (větší) než daná hodnota.
Přístupy k modelování SHO Matematický aparát teorie pravděpodobnosti - sestavení
matematického modelu a analytickém řešení tohoto modelu, na jehož základě se pak získají vztahy pro výpočet charakteristik systému. ☺ exaktní popis chování systému hromadné obsluhy. mat. aparát dostupný pouze pro úzkou třídu systémů
Počítačová simulace - vytvoření programu pro simulaci zkoumaného systému
☺ postup lze aplikovat na většinu tříd systémů. získané výsledky jsou postaveny pouze na odhadech
ROZDĚLENÍ SHO (charakterizace základních částí SHO)
Zdroj požadavků otevřené – obsloužená jednotka se nevrací do zdroje (holičství, krematorium, …).
Odchod zákazníků ⇒ proud odmít. nebo neobsl.zákazníků
uzavřené – obsloužená jednotka se vrací do zdroje
Zdroj požadavků uzavřené – obsloužená jednotka se vrací do zdroje otevřené – obsloužená jednotka se nevrací do zdroje (holičství, krematorium, …). konečný – typický pro uzavřené systémy, nekonečný – aproximace situace, kdy potenciální počet požadavků, je velmi velký a značně převyšuje kapacitu systému.
Vstupní tok požadavků dle počtu příchozích požadavků jednotlivě, skupinově.
dle okamžiků příchodů požadavků deterministické, náhodné, smíšené.
Čekací prostor (fronta) Čekací prostor – místo mezi zdrojem jednotek a obsluhující stanicí nulový – prvek, který nemůže být ihned obsloužen, je odmítnut, nenulový neomezený – provozní situace dovoluje čekací systém jakékoliv délky, omezený – vstoupí-li prvek v době, kdy má systém maximální přípustnou délku, je odmítnut.
se ztrátami – systémy s tzv. odmítnutím, kdy požadavek musí opustit systém, nebo do něj vůbec nestoupí, tj. systémy s omezenou délkou fronty nebo s omezeným počtem požadavků v systému, nebo s omezenou dobou čekání, beze ztrát – žádný požadavek není odmítnut.
Frontový režim FIFO – (first in – first out), LIFO – (last in – first out), SIRO – náhodný, PRI – dle priorit.
Disciplina fronty absolutně netrpělivá – prvek do systému, jehož všechna zařízení jsou
obsazena, nevstoupí a rezignuje na obsluhu, bez netrpělivosti – prvky čekají bez ohledu na čas tak dlouho, dokud není obsluha realizovaná, částečně netrpělivá – prvek čeká ve frontě po určitou dobu a pak opouští systém, nezačala-li jeho obsluha.
Počet kanálů a jejich uspořádání omezený (pokladny v obchodě) neomezený
jednokanálové vícekanálové paralelní
Počet kanálů a jejich uspořádání s jednofázovou obsluhou – pouze jeden uzel obsluhy (jeden nebo několik paralelně zapojených kanálů) s vícefázovou obsluhou – několik uzlů obsluhy uspořádaných sériově nebo v nějaké síťové struktuře
Doba obsluhy deterministická náhodná
Klasifikace modelů SHO Kendallova klasifikace: A / B / N A – typ pravděpodobnostního rozdělení popisující intervaly
mezi
příchody požadavků do systému
B – typ pravděpodobnostního rozdělení popisující dobu trvání obsluhy N – počet kanálů obsluhy Rozšířená klasifikace: A / B / N / K / S / Y K – maximální počet požadavků v systému (omezení délky fronty) S – počet zdrojů požadavků (omezení vstupního proudu) Y – režim fronty (FIFO, LIFO, SIRO, …)
Symboly použité pro označení typu vstupu a obsluhy Typ vstupu určuje typ rozdělení dob mezi příchody dvou po sobě následujících požadavků.Typ obsluhy určuje rozdělení dob obsluhy. D … Deterministický vstup nebo obsluha (konst. interval) M … Exponenciální rozdělení Ek … Erlangovo rozdělení k-tého řádu N … Normální rozdělení U … Rovnoměrné rozdělení G … Obecné rozdělení Příklad M/D/1/0 − − − −
exponenciální rozložení intervalů mezi příchody (systém s poissonovským vstupním tokem) doba obsluhy je konstantní jedna obslužní linka počet míst pro čekající R=0
velké množství variant systému SHO
⇒ tvorba specifických funkčních vztahů pro každý SHO
Elementární SHO s Poissonovským vstupním proudem Nejčastěji využívaným způsobem matematického popisu vstupního proudu je zadání distribuční funkce pravděpodobnostního rozdělení. Nejčastěji využívaným typem vstupního proudu je tzv. poissonovský vstupní proud, ve kterém má interval příchodů požadavků do systému exponenciální rozdělení.
Předpoklady použití Poissonova vstup.proudu Stacionární proces
–
Ordinární proces
–
charakteristiky vstupního (výstupního) toku se s časem nemění, tj. střední intenzita vstupu (výstupu) je konstantní během určitého dostatečně dlouhého časového intervalu pravděpodobnost výskytu více než jednoho požadavku na obsluhu je v daném okamžiku nulová (je-li tento interval dostatečně malý)
Ergodický proces – pravděpodobnost jevu, že proces se bude v následujícím okamžiku tn+1 nacházet ve stavu xn+1 závisí pouze na současném stavu procesu a nezávisí na předcházejících procesech.
Konstrukce modelu Nalezení funkčních vztahu mezi veličinami charakterizujícími čekací systém T – průměrný čas, který stráví zákazník v systému (prodejně) Tf – průměrný čas, který stráví zákazník ve frontě N – průměrný počet jednotek v systému Nf – průměrný počet jednotek ve frontě
a
parametry systému λ – střední intenzita vstupu tj.
průměrný počet požadavků, které do systému vstoupí za jednotku času. μ – střední intenzita obsluhy, průměrný počet požadavků obsloužených za jednotku času.
Určení vztahu pro pravděpodobnostní rozdělení počtu jednotek v systému
nalezení pravděpodobnosti, p0, p1, p2, …, že v systému je v daném okamžiku 0, 1, 2, …požadavků vyjádření pravděpodobnosti p1, p2, …, jako funkci intenzity provozu η a p0
Základní podmínka stabilizace systému Pokud nemá fronta narůstat nade všech meze, musí platit
η – střední intenzita provozu (koeficient čekacího systému) % využití provozu pravděpodobnost, že linka pracuje pravděpodobnost, že požadavek bude muset čekat
m – počet kanálů obsluhy
Jednokanálový SHO M/M/1/../FIFO ZADÁNÍ Prodejna s jedním pultem (1 prodavač), do prodejny přichází průměrně 18 zákazníků/hod, prodavač je schopen obsloužit zákazníka průměrně za cca 2,4 min. CÍL ? průměrný čas, který stráví zákazník (požadavek) v systému (prodejně) ? průměrný čas, který stráví zákazník ve frontě ? průměrná délka fronty v prodejně ? průměrný počet jednotek v systému
Jednokanálový SHO M/M/1/../FIFO Intervaly mezi příchody požadavků a doba obsluhy je dána exponenciálním rozdělením DANÉ λ - intenzita vstupu - průměrný počet požadavků, který vstoupí do systému za čas. jednotku (18 zákazníku/hodinu)
μ - intenzita obsluhy - průměrný počet požadavků obsloužených za čas. jednotku (25 zákazníku/hodinu, 60:2,4)
ŘEŠENÍ η – střední intenzita provozu p0 – pravděpodobnost, že žádný požadavek nebude v systému pn – pravděpodobnost, že v systému je n požadavků
Jednokanálový SHO M/M/1/../FIFO ŘEŠENÍ T – průměrný čas, který stráví zákazník v systému (prodejně) Tf – průměrný čas, který stráví zákazník ve frontě
N – průměrný počet jednotek v systému
Nf – průměrný počet jednotek ve frontě
Vícenokanálový SHO M/M/S/../FIFO T – průměrný čas, který stráví zákazník v systému Tf – průměrný čas, který stráví zákazník ve frontě
N – průměrný počet jednotek v systému
Nf – průměrný počet jednotek ve frontě
Optimalizace SHO malá intenzita obsluhy
velká intenzita obsluhy
⇒
⇒
velká fronta
nevyužití fronty
⇒
⇒
↓ zisk
↑ náklady CÍL
? optimální kapacita obsluhy ? optimální počet obslužných kanálů
⇒
maximální zisk, minimální náklady
Optimalizace zisku pro jednokanálový SHO PŘEDPOKLAD OPTIMALIZACE Schopnost vyčíslit výši nákladů na obsluhu a tržby získané za obsluhu.
E –
náklady na obsluhu jednoho požadavku za jednotku času μE – průměrné náklady na obsluhu G – tržba za obsluhu jedné jednotky λG – průměrné tržby na obsluhu
Zisk za jednotku času
Maximalizace zisku
Pro E>G neexistuje řešení, nutno hledat jiné kritérium optimality
Přístupy k řešení vícefázových SHO Systémy složené z většího počtu individuálních SHO(tzv. fází) seřazených v sérii. Fáze se může skládat z více paralelně uspořádaných kanálů obsluhy.
zdroj požadavků
λ
λ
λ
λ ……….
μ1
μ2
μ3
FÁZE 1
FÁZE 2
FÁZE 3
Analytický každou fázi lze chápat jako samostatný a nezávislý SHO typu M/M/1/∞/FIFO nebo M/M/S/∞/FIFO splnění určitých předpokladů, které výrazně omezují použití analytického modelování a zjednodušují model
FÁZE N
Simulační tvorba simulačního modelu SHO a experimentování s ním
Podmínky pro aplikaci analytického přístupu modelování vícefázového SHO stabilita systému – tj. střední intenzita výstupů větší než střední intenzita vstupů Poissonův vstup požadavků (pro první fázi) zdroj požadavků - neomezený délka front v jednotlivých fázích – neomezená režim fronty - FIFO časy obsluhy v jednotlivých fázích - exponenciální rozdělení stejná intenzita obsluhy pro jednotlivé kanály v rámci jedné fáze požadavky plynule přechází z jedné fáze do druhé - systém bez blokování
přijímání zjednodušujících předpokladů
Řešení příkladu Zadání Lékař ošetřuje jednoho pacienta průměrně 20 minut. Za jednu hodinu přichází průměrně 5 pacientů.
Úkol 1 Bude tento systém fungovat? Bude splněna podmínka stabilizace systému?
Úkol 2 Jak musí lékař zkrátit dobu ošetření, aby systém fungoval?
Úkol 3 Jak musí lékař zkrátit dobu ošetření, aby systém fungoval i když pracuje maximálně 80 procent času pracovní doby?
Řešení příkladu Úkol 1 Lékař ošetřuje jednoho pacienta průměrně 20 minut. Za jednu hodinu přichází průměrně 5 pacientů. Bude tento systém fungovat? Bude splněna podmínka stabilizace systému?
Řešení příkladu Úkol 2 Jak musí lékař zkrátit dobu ošetření, aby systém fungoval?
Řešení příkladu Úkol 3 Jak musí lékař zkrátit dobu ošetření, aby systém fungoval i když pracuje maximálně 80 procent času pracovní doby?
Literatura Hušek, R., Lauber,J. Simulační modely, SNTL/Alfa Praha 1987 Kuneš, J., Vavroch, O., Franta,V. Základy modelování, SNTL Praha 1989 Rábová, Z., Češka, M., Zendulka, J. Modelování a simulace, SNTL Praha 1982 Dlouhý, M., Fábry, J., Kuncová, M., Hladík, T. Simulace podnikových procesů, Computer Press, a.s. Brno, 2007 Keřkovský, M., Moderní přístupy k řízení výroby, C. H. Beck Praha 2001 Havrila, M., Počítačové projektovanie, Prešov, 2008, ISBN 978-80-553-0047-4 Havrila, M., Trendy v počítačovom projektovaní výrobných systémov, online cit. [201303-30], dostupné z http://www.fvt.tuke.sk/journal/pdf09/1-str-88-91.pdf Havrila, M., Tendencie v rozvoji počítačovej simulácie výrobných systémov. Manufacturing Engineering/Výrobné inžinierstvo, FVT TU Prešov, č. 3, 2008, VII, str. 21-23, ISSN 1335-7972 Geta Centrum s.r.o, Optimalizace pracoviště v digitální továrně, Baumbruk, M., Výhody integrace komponent digitální továrny: od PLM až k virtuálnímu ověřování, Siemens PLM software Lacko, B., Navrhování systémů řízení, Studijní text, Brno, 2006 Leeder, E., Digitální továrna – mocný nástroj pro průmyslovou výrobu, AUTOMA 7/2008, s.56-58, Mareček, P., Virtuální simulace výroby aneb Digitální továrna, IT SYSTEMS 9/2006, on-line cit. [2013-12-4], dostupné z http://www.systemonline.cz/rizeni-vyroby/virtualni-simulace-vyroby-aneb-digitalni-tovarna.htm PLM Siemens, online cit. [2014-02-28], https://www.plm.automation.siemens.com/en_us/academic/resources/tecnomatix/index.shtml
