STUDIJNÍ TEXT. Základy fyziky. Fakulta strojní. Eva Janurová

STUDIJNÍ TEXT Základy fyziky Fakulta strojní

Eva Janurová

VŠB – TU Ostrava, Katedra fyziky, 2016

1

OBSAH ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY ......................................................................................... 4 1.1. FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY ................................................... 4 1.2. ROZDĚLENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN ................................................................. 6 2. KINEMATIKA ................................................................................................................. 8 2.1. DĚLENÍ POHYBŮ .................................................................................................... 8 2.2. SLOŽENÉ POHYBY ............................................................................................... 12 2.3. POHYB PO KRUŽNICI .......................................................................................... 17 3. DYNAMIKA ................................................................................................................... 23 3.1. NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY A DRUHY SIL ..................................... 23 3.2. DRUHY SIL ............................................................................................................. 25 3.3. IMPULS SÍLY, HYBNOST .................................................................................... 33 4. PRÁCE, VÝKON, ENERGIE ....................................................................................... 35 4.1. MECHANICKÁ PRÁCE ......................................................................................... 35 4.2. VÝKON ................................................................................................................... 36 4.3. MECHANICKÁ ENERGIE ..................................................................................... 36 5. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA ................................................................................ 39 5.1. TRANSLAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA ......................................................... 39 5.2. ROTAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA ................................................................ 39 5.3. TĚŽIŠTĚ, HMOTNÝ STŘED ................................................................................. 40 5.4. MOMENT SETRVAČNOSTI ................................................................................. 41 5.5. MOMENT SÍLY ...................................................................................................... 43 5.6. MOMENT HYBNOSTI ........................................................................................... 45 5.7. POHYBOVÁ ROVNICE ROTAČNÍHO POHYBU ............................................... 46 5.8. PRÁCE, VÝKON, KINETICKÁ ENERGIE PŘI ROTAČNÍM POHYBU ............ 46 6. HYDROSTATIKA ......................................................................................................... 49 6.1. POVRCH KAPALINY ............................................................................................ 49 6.2. PASCALŮV ZÁKON .............................................................................................. 50 6.3. HYDROSTATICKÝ TLAK .................................................................................... 51 6.4. ARCHIMÉDŮV ZÁKON ........................................................................................ 53 7. HYDRODYNAMIKA .................................................................................................... 54 7.1. OBJEMOVÝ TOK, HMOTNOSTNÍ TOK ............................................................. 54 7.2. ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU ................................................. 55 7.3. BERNOULLIHO ROVNICE ................................................................................... 55 8. TEPELNÉ VLASTNOSTI LÁTEK ............................................................................. 56 8.1. TEPLO, TEPLOTA .................................................................................................. 56 8.2. FÁZOVÉ PŘEMĚNY .............................................................................................. 56 8.3. TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST LÁTEK ..................................................................... 58 8.4. TEPELNÁ VODIVOST ........................................................................................... 59 8.5. KALORIMETRICKÁ ROVNICE ........................................................................... 60 8.6. IDEÁLNÍ PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU .......................................................... 60 8.7. PRVNÍ HLAVNÍ VĚTA TERMODYNAMIKY (I. termodynamický zákon) ...... 63 9. ELEKTROSTATICKÉ POLE...................................................................................... 64 9.1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ ........................................................................................... 64 9.2. COULOMBŮV ZÁKON ......................................................................................... 64 9.3. INTENZITA ELEKTROSTATICKÉHO POLE ..................................................... 65 9.4. POTENCIÁL ELEKTROSTATICKÉHO POLE .................................................... 66 9.5. NÁBOJ V HOMOGENNÍM ELEKTROSTATICKÉM POLI ................................ 67 1.

2

9.6. KAPACITA VODIČE, KONDENZÁTORY .......................................................... 68 10. STACIONÁRNÍ ELEKTRICKÉ POLE ...................................................................... 70 10.1. VZNIK ELEKTRICKÉHO PROUDU VE VODIČI ........................................... 70 10.2. ODPOR VODIČE ................................................................................................ 72 10.3. OHMŮV ZÁKON ................................................................................................ 73 11. KMITAVÝ POHYB NETLUMENÝ …………………………………………………...74 12. MECHANICKÉ VLNĚNÍ……………………………………………………………….82

3

1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 1.1.

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY

Při pozorování a popisu libovolného objektu víme, že zaujímá určitý prostor, pohybuje se, mění se jeho vlastnosti, působí na jiná tělesa apod. Fyzikální vlastnosti těles, stavy i jejich změny, které je možné změřit, charakterizujeme fyzikálními veličinami. SOUSTAVY FYZIKÁLNÍCH VELIČIN A JEDNOTEK Každá fyzikální veličina souvisí s mnoha jinými fyzikálními veličinami a jejich změnami. Proto už od počátku 19. století vznikaly soustavy veličin a jednotek. Při tvorbě těchto soustav se na začátku volí určitý počet veličin za základní a k nim se stanoví základní jednotky. V České republice se podle zákona č. 35/62 Sb smějí používat pouze zákonné měřicí jednotky, které vycházejí z Mezinárodní soustavy jednotek označované SI (zkratka francouzského názvu Système International d`Unités). MEZINÁRODNÍ SOUSTAVA JEDNOTEK Mezinárodní soustavu jednotek (SI) tvoří: a) Sedm základních jednotek, které odpovídají sedmi základním veličinám. Základní veličina

Značka veličiny

Základní jednotka

Značka jednotky

délka hmotnost čas elektrický proud termodynamická teplota látkové množství svítivost

l m t I T n I

metr kilogram sekunda ampér kelvin mol kandela

m kg s A K mol cd

Každá základní jednotka má svou definici, uvedenou v české státní normě ČSN 01 1300. b) Dvě doplňkové jednotky Doplňková veličina rovinný úhel prostorový úhel

Značka veličiny α, β, γ, … ,, Ω, …

Doplňková jednotka radián steradián

Značkajednotky rad sr

4

c) Odvozené jednotky SI, které jsou určeny pro měření všech ostatních fyzikálních veličin (odvozených veličin). Odvozené jednotky jsou odvozovány pomocí definičních vztahů ze základních nebo již dříve odvozených jednotek. Vychází se při tom z definičních vztahů m odpovídajících veličin. Například hustota ρ je určena vztahem: ρ  . V kg Jednotka hustoty: ρ  3 . m Některé jednotky mají vlastní názvy a značky, zpravidla podle jmen vynikajících fyziků, např. newton  N, ampér  A, volt  V aj.1 Pro počítání se zápornými exponenty platí (podobně jako u exponentů kladných), že při násobení mocnin se exponenty sčítají a při dělení mocnin se exponenty odčítají, např. d) Násobky a díly jednotek SI, jejichž názvy se tvoří pomocí normalizovaných předpon z názvů základních jednotek. Výjimkou je pouze při tvorba násobků a dílů jednotky hmotnosti. V tabulce jsou uvedeny nejužívanější předpony spolu s mocninami deseti, pomocí nichž se násobky nebo díly vyjadřují. Předpona teragigamegakilomilimikronanopiko-

Značka T G M k m μ n p

Násobek 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 0,001 0,000 001 0,000 000 001 0,000 000 000 001

Mocnina deseti 1012 109 106 103 10-3 10-6 10-9 10-12

V některých případech se používají i další předpony, např. centi (značka c): 1 cm = 10-2 m. Abychom nemuseli odvozené jednotky zapisovat pomocí zlomkové čáry, píšeme záporné exponenty u značek jednotek, např.

kg m3

 kg  m  3,

m N  m  s 1,  N  kg 1 s kg

Mezi některé měřicí jednotky patří mimo jednotek SI i tzv. vedlejší jednotky (např. ºC, min apod.).

1

Některé z těchto značek jsou často odvozovány od počátečních anglických, řeckých nebo latinských termínů pro odpovídající veličiny a jednotky. Např délka l (z angl. lenght = délka), objem V (z angl. volume = objem). Slovo metr je odvozeno z řeckého metron = měřidlo, měřítko, míra. Slovo sekunda pochází z latinského secundus = druhý; „Secundus minuta hora“ = „druhá zmenšená hodina“, tj. druhé zmenšení hodiny. „Prvním zmenšením“ bylo pouhé „minuta hora“. Doslovným českým překladem „sekundy“ je „vteřina“ od staročeského „vterý“ = druhý (viz úterý tj. druhý den v týdnu).

5

1.2.

ROZDĚLENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN

Fyzikální veličiny dělíme podle jejich typu na: a) Skaláry (skalární fyzikální veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostí (číselnou hodnotou) a jednotkou, ve které se daná veličina měří (hmotnost m, čas t, práce W, výkon P, energie E, moment setrvačnosti J, atd.). Pracujeme s nimi podle pravidel pro počítání s reálnými čísly. Př. Na misce vah leží závaží o hmotnosti m1 = 5 kg. Přidáme závaží o hmotnosti m2 = 2 kg. Váha ukáže celkovou hmotnost závaží m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg. Podobně bychom postupovali, kdyby byla závaží odebírána. V tomto případě bychom hmotnosti závaží odečítali.  b) Vektory (vektorové fyzikální veličiny) jsou určeny velikostí a směrem (posunutí s ,     rychlost v , zrychlení a , síla F , hybnost p , atd.). V psaném textu nebo v grafickém vyjádření mohou být vektory značeny také tučným písmem. Považujeme je za orientované úsečky. Výhodou je, že s nimi můžeme pracovat jako se stranami trojúhelníka a používat přitom vztahy známé z goniometrie. POZNÁMKA: a)

Pythagorova věta → c2 = a2 + b2

b) Kosinova věta (používáme pro trojúhelníky určené podle vět sss, sus) → c2 = a2 + b2 2a·b·cosγ c) Sinova věta (používáme pro trojúhelníky určené podle vět usu, Ssu) → a sinα



b sinβ



c sinγ

d) Goniometricé funkce použité na pravoúhlý trojúhelník →

sin α 

tg α 

protilehlá přepona

protilehlá přilehlá





a c

a b

cos α 

přilehlá přepona

cot g α 



přilehlá protilehlá

b c



b a

6

Př. Řeka teče rychlostí v1 = 4 m.s-1. Kolmo k protějšímu břehu odrazil člun rychlostí v2 = 3 m.s-1.

a) Určete výslednou rychlost člunu. Řešení: Výsledný pohyb bude složený z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu řeky.   Výslednou rychlost v získáme tak, že útvar doplníme na rovnoběžník. Výsledná rychlost v pak bude tvořit úhlopříčku, která bude zároveň přeponou v pravoúhlém trojúhelníku.      Vektory v a v vektorově složíme v  v  v 1

2

1

2

Velikost výsledné rychlosti určíme pomocí Pythagorovy věty : 2 1

v  v v

2 2

v  32  42  25  5 m.s 1

b) Určete odklon člunu od původního směru. Řešení:

v 4 tgα  1   α = 53º v 3 2

Výsledná rychlost je 5 m.s-1, odklon od původního směru je 53º.

7

2. KINEMATIKA Slovo kinematika pochází z řeckého kineo, což znamená pohyb. Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho příčinu, tj. na působící sílu. POZNÁMKA: Často bývá v textu pojem tělesa nahrazen termínem hmotný bod. Hmotný bod je objekt, jehož rozměry a tvar můžeme při řešení určitého problému zanedbat a úlohu si tak zjednodušit. Nahrazujeme jím těleso, jehož rozměry jsou zanedbatelné vzhledem k uvažovaným vzdálenostem pohybu. Základními veličinami, které používáme k popisu pohybu, jsou :   polohový vektor r ,   rychlost v ,   zrychlení a .

2.1.

DĚLENÍ POHYBŮ

Pohyby dělíme podle: a) Trajektorie (křivky, po které se těleso pohybuje)  1) přímočaré – trajektorií pohybu je přímka, vektor rychlosti v má stále stejný směr

 2) křivočaré – trajektorií pohybu je křivka, vektor rychlosti v mění svůj směr. V každém okamžiku je tečnou k trajektorii. Typickými křivočarými pohyby jsou pohyb po kružnici, vrh vodorovný, vrh šikmý.

 Vektor  je směrový vektor, je orientovaný ve směru pohybu. Je vždy rovnoběžný s vektorem rychlosti.  Vektor n je normálový vektor, je vždy kolmý ke směru pohybu. Je kolmý k vektoru rychlosti.

b) Rychlosti 1) rovnoměrný  a  0 m.s-2 2) rovnoměrně proměnný (zrychlený, zpomalený)  a  konst. 3) nerovnoměrně proměnný (zrychlený, zpomalený)  a  konst. 8

RYCHLOST Při pohybu tělesa dochází ke změně jeho polohy. Jestliže zakreslíme pohyb tělesa do  souřadného systému, pak jeho polohu určuje v každém okamžiku polohový vektor r . Během pohybu opisuje koncový bod polohového vektoru trajektorii (křivku).

Těleso urazí za určitý časový interval  t dráhu  s . Dojde přitom ke změně polohového    vektoru  r  r  r . 2

1

Při svém pohybu má těleso rychlost, která je charakterizována změnou polohového vektoru, ke které dojde během časového intervalu    r změna polohového vektoru . v  t časový interval

Jednotkou rychlosti je m.s-1. POZNÁMKA: Pro určení okamžité rychlosti, kterou má těleso v daném časovém okamžiku, používáme infinitezimální počet (spojený se jménem matematika Leibnitze – derivace, integrál). Jestliže chceme určit průměrnou rychlost, pak  s celková dráha , . v  p  t celkový čas

ZRYCHLENÍ Jestliže se během pohybu mění vektor rychlosti, pak to znamená, že se těleso pohybuje se  zrychlením a . Zrychlení je změna vektoru rychlosti, ke které dojde během časového intervalu.    v změna rychlosti a  .  t časový interval

9

Jednotkou zrychlení je m.s-2.

ROVNOMĚRNÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantní rychlostí.  Za stejné časové intervaly urazí těleso stejnou dráhu.  Protože se rychlost nemění, je zrychlení pohybu nulové.  Potom v = konst., Grafickým znázorněním závislosti rychlosti na čase je přímka rovnoběžná s časovou osou.

Dráha roste přímo úměrně v závislosti na čase. Pro dráhu rovnoměrného pohybu platí vztah

s  vt  s0 , kde s0 je počáteční dráha Grafickým znázorněním závislosti dráhy na čase je přímka různoběžná s časovou osou.

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Těleso se pohybuje s konstantním zrychlením  Za stejné časové intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu,  Za stejné časové intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu,  Potom a = konst., Grafickým znázorněním závislosti zrychlení na čase je přímka rovnoběžná s časovou osou.

10

Rychlost roste přímo úměrně v závislosti na čase. Pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu platí vztah

v  a t  v0 , kde v0 je počáteční rychlost. Grafickým znázorněním je přímka různoběžná s časovou osou.

Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu roste kvadraticky v závislosti na čase. Platí vztah 1 2 a t  v0 t  s0 , kde s0 je počáteční dráha. 2 Proto grafickým znázorněním závislosti dráhy na čase je parabola. s

ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Zrychlení tohoto pohybu je orientováno proti směru vektoru rychlosti. Vzhledem k tomu, že používáme nevektorové vyjádření, zapíšeme do rovnice pro rychlost a dráhu zrychlení se záporným znaménkem. Platí vztahy 1 v  at  v0 , s   at 2  v0t . 2 VOLNÝ PÁD

11

Volný pád je zvláštním případem rovnoměrně zrychleného pohybu. Všechna tělesa volně puštěná se v tíhovém poli Země pohybují se stejným zrychlením. Toto zrychlení nazýváme tíhové zrychlení, značíme je g. Hodnota tíhového zrychlení v naší zeměpisné šířce je g = 9,81 m.s-2. Je-li počáteční rychlost volného pádu v0 = 0 m.s-1 a počáteční dráha s0 = 0 m, pak 1 2 s  gt . v  gt , 2

Na uvedeném obrázku vidíme, jak se rychlost padajících objektů zvětšuje v závislosti na čase. Grafickým znázorněním této závislosti je přímka různoběžná s časovou osou. Grafickým znázorněním závislosti dráhy na čase je, stejně jako u obecného rovnoměrně zrychleného pohybu, parabola. NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Vzhledem k tomu, že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolným způsobem, zavádíme ještě další typ pohybu – nerovnoměrně zrychlený. Zrychlení u tohoto pohybu není konstantní a  konst. V tomto případě nelze vyjádřit příslušné veličiny pomocí jednoduchých vzorců. Výpočty kinematických veličin (dráhy, rychlosti a zrychlení) řešíme pomocí derivování a integrování.

2.2.

SLOŽENÉ POHYBY

Zákon o nezávislosti pohybů Koná-li hmotný bod současně dva nebo více pohybů, je jeho výsledná poloha taková, jako kdyby konal tyto pohyby po sobě, a to v libovolném pořadí. Vrhy jsou složené pohyby. Těleso je vrženo v určitém směru počáteční rychlostí v0. Vlivem tíhového pole Země se těleso v každém okamžiku zároveň pohybuje volným pádem ve směru svislém.

12

VRH SVISLÝ VZHŮRU Při vrhu svislém vzhůru skládáme dva pohyby: 1. rovnoměrný přímočarý vzhůru  pro dráhu s1 a pro rychlost v1 platí vztahy v1 = v0 = konst. s1  v0t POZNÁMKA: Kdyby neexistovalo tíhové pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme), pak by se těleso pohybovalo konstantní rychlostí v0 stále vzhůru. Jenže tíhové pole Země existuje a těleso zároveň padá dolů.

2. rovnoměrně zrychlený (volný pád) dolů – pro dráhu s2 a pro rychlost v0 platí vztahy 1 s2  g t 2 v2  g t 2

Protože dráha jako posunutí a rychlost jsou vektorové veličiny, můžeme je vektorově skládat       s s s v v v . 1

2

1

2

Protože příslušné vektory drah a rychlostí jsou opačně orientované, budeme je odečítat. Výsledkem je okamžitá hodnota dráhy, kterou chápeme jako okamžitou výšku tělesa nad povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platí vztahy s  v0 t 

1 2 gt , 2

v  v0  g t

Rychlost se během pohybu mění. Postupně klesá, až v maximální výšce je rovna nule. Poté těleso padá volným pádem a rychlost opět roste. Doba výstupu Dobu výstupu tv určíme z podmínky pro rychlost. V době, kdy těleso dosáhne maximální výšky je jeho rychlost nulová, v  0 m.s -1 . Pak 0  v0  g tv . Odtud platí

v0 . g Stejnou dobu, po kterou těleso stoupá, zároveň i klesá. Pak doba letu tL je dvakrát větší než doba výstupu tv a tedy 2v t L  2 tv  0 . g tv 

13

Maximální výška Těleso vystoupí do maximální výšky za dobu výstupu t . Po dosazení do okamžité hodnoty v

pro výšku dostaneme v 1 1 v2 v2 1 v2 smax  v0 tv  g tv2  v0 0  g 02  0   0 . 2 g 2 g g 2 g Po úpravě je maximální výška smax

v02 .  2g

VRH VODOROVNÝ Je složen ze dvou pohybů: 1. rovnoměrný přímočarý ve směru osy x. Těleso je při vodorovném vrhu v určité výšce y vrženo počáteční rychlostí v0 ve vodorovném směru. Kdyby neexistovalo tíhové pole Země, pak by se těleso pohybovalo rovnoměrným pohybem ve směru osy x. Pro dráhu a rychlost platí: x  v0 t vx  v0  konst.

2. rovnoměrně zrychlený (volný pád) ve směru osy y. Vzhledem k existenci tíhového pole, je těleso v každém okamžiku nuceno se pohybovat volným pádem. Pro dráhu a rychlost ve směru svislém platí: 1 2 vy  g t . y  gt 2

Rychlost ve směru osy y lineárně roste v závislosti na čase. Tíhové zrychlení g a počáteční rychlost v 0 jsou konstanty.

14

Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovými veličinami. Jestliže je složíme, dostaneme    celkovou rychlost v  vx  vy .

Vzhledem k tomu, že tyto rychlosti jsou na sebe kolmé, pak okamžitou celkovou rychlost vypočteme pomocí Pythagorovy věty v  vx2  v y2 .

VRH ŠIKMÝ Tento vrh je složen ze dvou pohybů. Těleso je v tomto případě vrženo vzhledem k vodorovné rovině pod úhlem  rychlostí v0 .

 Při řešení rozložíme počáteční rychlost v jako vektor do dvou navzájem kolmých směrů. 0

Složky rychlosti pak budou vyjádřeny takto: v0y  v0 sin α v0x  v0 cos α Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu, pak bude rychlost ve směru osy x konstantní v x  v0 x  v0 cos α Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovaná silovým působením Země a zapíšeme ji takto v y  v0 sin   g t

y-ová složka rychlosti se bude zmenšovat. V maximální výšce bude nulová, pak opět poroste na maximální hodnotu. 15

    Celková rychlost v bude určena vektorovým součtem v  vx  vy . Její velikost určíme pomocí Pythagorovy věty

v  vx2  v y2 .

x-ová a y-ová souřadnice jsou dány vztahy

x  v0 t cos α ,

y  v0 t sin α 

1 2 gt . 2

Při zadaných hodnotách úhlu vrhu a počáteční rychlosti vrhu snadno určíme souřadnice tělesa v libovolném časovém okamžiku. Určení vybraných parametrů při šikmém vrhu s počáteční výškou h = 0. Doba výstupu Těleso stoupá do maximální výšky. Rychlost ve směru osy y postupně klesá, v maximální výšce je v y  0 . Pak určíme dobu výstupu tv ze vztahu 0  v0 sin α  g tv . Doba výstupu je v sin α . tv  0 g Doba letu t L  2 t v Maximální výška Maximální výšky ymax dosáhne těleso za dobu výstupu tv.

Určíme ji ze vztahu pro hodnotu y-ové souřadnice dosazením doby výstupu za čas t.

16

y max

v0 sin α 1 2 1 v02 sin 2 α .  v0 t v sin α  g t v  v0 sin α  g 2 g 2 g2

Po úpravě dostaneme

y max 

v02 sin 2 α . 2g

Maximální dolet Do maximální vzdálenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL. Určíme ji ze vztahu pro hodnotu x-ové souřadnice dosazením doby letu za čas t. 2 v sin α xmax  v0 t L cos α  v0 0 cos α g Po úpravě dostaneme xmax 

v02 2 sin α cos α . g

Jestliže použijeme goniometrický vzorec pro sinus dvojnásobného argumentu, pak maximální v 2 sin 2α dolet vyjádříme ve tvaru xmax  0 . g Za nulovou můžeme považovat počáteční výšku např. při kopu do míče. V praxi je zpravidla počáteční výška šikmého vrhu různá od nuly. To se týká trajektorie tělesa při většině hodů a vrhů, ale také trajektorie těžiště lidského těla při některých odrazech, např. při skoku dalekém.

2.3.

POHYB PO KRUŽNICI

Nejčastěji studovaným křivočarým pohybem je pohyb po kružnici. Trajektorií pohybu je kružnice. Jestliže se těleso pohybuje z bodu A, pak se po určité době dostane zpět do původního postavení.

17

Jedná se o pohyb periodický. Doba, za kterou se těleso dostane zpět do původní polohy, se nazývá perioda T. Jednotkou periody je sekunda. T   s Mimo periodu zavádíme veličinu, která se nazývá frekvence f. Frekvence představuje počet oběhů za sekundu. Jednotkou frekvence  f   s -1 . Často se používá jednotka s názvem hertz (Hz).V základních jednotkách je 1 Hz = s-1. Mezi periodou a frekvencí platí vztah f 

1 . T

Obvodové veličiny Obvodovými veličinami jsou:  dráha s – vzdálenost, kterou těleso urazí po obvodu kružnice,   obvodová rychlost v ,    dostředivé zrychlení a d , (můžeme též nazvat normálové zrychlení a n )    tečné zrychlení a t , (můžeme též nazvat tangenciální zrychlení a t )    celkové zrychlení a , (můžeme též nazvat absolutní zrychlení a ) Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici, pak vektor rychlosti bude v každém bodě pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmý na průvodič. Průvodič představuje spojnic tělesa se středem kružnice (v tomto případě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r).

Vektor rychlosti mění svůj směr. Změna směru rychlosti je způsobena dostředivým (normálovým) zrychlením an. Vektor dostředivého zrychlení je vždy kolmý k vektoru  rychlosti v . Platí: an 

v2 . r

Jednotkou normálového zrychlení je an   m.s -2 .

18

Normálové (dostředivé) zrychlení směřuje vždy do středu křivosti. 1. rovnoměrný pohyb po kružnici:  rychlost je konstantní, mění se jen její směr.  Platí vztahy pro rovnoměrný pohyb  v  konst, s  v t  s0 ,  

v2 , protože je rychlost konstantní, je i dostředivé zrychlení konstantní r at  0 m.s -2

ad 

2. rovnoměrně zrychlený po kružnici: rychlost není konstantní, mění velikost i směr,  platí vztahy pro rovnoměrně zrychlený pohyb,  v  at t  v 0 , 1  s  at t 2  v0 t  s 0 , 2 v2  an  , normálové (dostředivé) zrychlení se mění. Mění směr vektoru rychlosti. r v  at  , tangenciální (tečné) zrychlení je konstantní. Mění velikost vektoru t rychlosti.

 Tečné (tangenciální) zrychlení a t pohyb urychluje nebo zpomaluje. Tečné zrychlení má směr tečny ke kružnici.  U zrychleného pohybu má stejný směr jako vektor rychlosti v , u zpomaleného pohybu má  opačný směr vzhledem k vektoru rychlosti v .

19

Jednotkou tečného zrychlení je at   m.s -2 . S tečným a normálovým zrychlením pracujeme jako s vektorovými veličinami. Vektorovým  složením určíme celkové (absolutní, výsledné) zrychlení a .    a a a t

n

Velikost výsledného zrychlení určíme podle Pythagorovy věty 2

2

a  a a . t n

Úhlové veličiny Kromě obvodových veličin, je pohyb po kružnici často popisován pomocí veličin úhlových:   úhlová dráha  ,   úhlová rychlost  ,   úhlové zrychlení  . Jejich vektory leží v ose otáčení.  Úhlová dráha  představuje úhel, o který se těleso otočí za určitý čas při pohybu po kružnici. Jednotkou úhlové dráhy je radián, píšeme    rad . Obvodová dráha je úměrná úhlové dráze. O čím větší úhel se těleso otočí, tím větší dráhu po kružnici urazí.

20

 Úhlová rychlost  je charakterizována změnou velikosti úhlové dráhy, která nastane během

časového intervalu. Jednotkou úhlové rychlosti je    rad.s -1 .

O celý úhel 2  se těleso otočí za dobu jedné periody T. Úhlovou rychlost pak můžeme vyjádřit ve tvaru ω

2π  2π f . T

Čím vyšší je frekvence otáčení, tím je úhlová rychlost větší. Obvodová rychlost je úměrná úhlové rychlosti. Jestliže se úhlová rychlost během pohybu mění, pak se těleso pohybuje s úhlovým  zrychlením  .  Úhlové zrychlení  . představuje změnu velikosti úhlové rychlosti, ke které dojde během časového intervalu. Jednotkou úhlového zrychlení je    rad.s -2 .

Převodní vztahy mezi obvodovými a úhlovými veličinami s  r v  r at  r     Úhlová dráha  , úhlová rychlost  a úhlové zrychlení  jsou vektorové veličiny. Vektory leží v ose rotace a jsou kolmé k rovině rotace. Jejich směr je daný vektorovým součinem. Jsou       kolmé k příslušným obvodovým veličinám. Platí: v   x r , at   x r .

 Poloměr r je kolmým průmětem polohového vektoru r do roviny rotace.

21

Pro rovnoměrný a rovnoměrně zrychlený (zpomalený) pohyb můžeme použít známé vztahy: Rovnoměrný pohyb: s  v t  s0 Δ s s  s0 v  Δ t t  t0

  ω t  0 Δ    0 ω  Δt t  t0 kde t  0 s . 0

Rovnoměrně zrychlený pohyb: 1 s  a t t 2  v 0 t  s0 2 v  a t t  v0

   t 2  ω0 t   0

Rovnoměrně zpomalený pohyb: 1 s   a t t 2  v0 t 2 v   a t t  v0

   α t 2  ω0 t

1 2 ω  α t  ω0 Δ ω ω  ω0 Δ v v  v0   at   Δt t  t0 Δt t  t0 kde t0  0 s , a t je tečné zrychlení působící změnu velikosti rychlosti.

1 2 ω  α t  ω0

22

3. DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývá pouze popisem pohybu, si dynamika všímá důvodů a příčin pohybových změn  působících sil.

3.1.

NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY A DRUHY SIL

Příčiny pohybových změn studoval Sir Isaac Newton, který je popsal ve svém životním díle Matematické základy přírodních věd. Závěry je možné shrnout do tří pohybových zákonů, které mají platnost ve všech oblastech fyziky, v mikrosvětě, v makrosvětě i v megasvětě.



  Základní příčinou změny pohybu je působící síla F . Jednotkou síly je newton F  N .

Dosud jsme při řešení problémů neuvažovali význam hmotnosti pohybujících se těles. V dynamice má naopak hmotnost nezastupitelný význam. Každé těleso libovolného tvaru je charakterizováno veličinou, která se nazývá hmotnost m. Jednotkou hmotnosti je kilogram m  kg . Ze zkušenosti víme, že čím má těleso větší hmotnost, tím je obtížnější změnit jeho pohybový stav. Prázdný lehký vozík roztlačíme nebo naopak zastavíme snadno. Stejný vozík, na kterém je naloženo 500 kg materiálu, uvedeme nebo zastavíme s určitými problémy. Těleso má v závislosti na své hmotnosti menší, či větší, schopnost setrvávat ve svém původním stavu. Říkáme, že hmotnost je mírou setrvačných vlastností tělesa. Pohybový stav těles je určen kromě rychlosti i hmotností. Veličina, která v sobě obě  charakteristiky spojuje, se nazývá hybnost p . Je definovaná vztahem   p  mv .



 Jednotkou hybnosti je p  kg.m.s -1 .

23

ZÁKON SETRVAČNOSTI Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není přinuceno vnějšími silami tento pohybový stav změnit. V závislosti na rychlosti musí pro rovnoměrný přímočarý pohyb s konstantní rychlostí platit   p  m v  konst. Nemění se velikost ani směr rychlosti a hybnosti.

 F  0N

ZÁKON SÍLY Jestliže na těleso působí vnější síla, pak se jeho pohybový stav změní. Těleso se pohybuje se zrychlením.   F  ma

Působením síly se změní rychlost, a tím i hybnost tělesa. Změna se může projevit nejen změnou velikosti těchto veličin, ale i změnou směru příslušných veličin. Trajektorie pohybu může změnit v závislosti na směru působící síly svůj tvar. Platí

  

   p  m v  v  F  m  ma . t t t

Síla ve směru rychlosti pohyb zrychlí. Síla působící proti směru rychlosti pohyb zpomalí. Síla působící pod určitým úhlem změní trajektorii pohybu.

V závislosti na velikosti síly rozlišujeme pohyb: a) F  0 N , pak bude zrychlení a  0 m.s -2  pohyb je rovnoměrný. b) F  konst.  0 N , pak je zrychlení a  konst.  0 m.s -2  pohyb je rovnoměrně zrychlený (zpomalený). c) F  konst. , pak zrychlení a  konst.  pohyb je nerovnoměrně zrychlený (zrychlený).

ZÁKON AKCE A REAKCE Síly, kterými na sebe tělesa navzájem působí, jsou stejně veliké opačně orientované.

24

Tyto síly se ve svých účincích neruší, protože každá z nich působí na jiné těleso. Typickými silami akce a reakce jsou gravitační síly.

3.2.

DRUHY SIL

SÍLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI   Podle Newtonova zákonu síly platí F  m a . Aby se těleso pohybovalo se zrychlením, pak ve stejném směru musí působit příslušná síla.

  Ve směru normálového (dostředivého) zrychlení a působí normálová (dostředivá) síla Fn . n   Ve směru tangenciálního (tečného) zrychlení a působí tangenciální (tečná) síla F t t

Fn  m an  m

v2 , r

Ft  m at  m

v . t

Normálová síla působí kolmo ke směru pohybu a mění směr pohybu (mění trajektorii). Tangenciální síla působí ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje.

   Obě síly jsou na sebe kolmé. Složíme je jako vektorové veličiny F  Ft  Fn .

2 2 Velikost výsledné síly stanovíme výpočtem podle Pythagorovy věty. Pak F  Ft  Fn .

SÍLA TÍHOVÁ



  Jednou ze sil, se kterými se setkáváme v běžném životě, je síla tíhová FG nebo také G , která působí v tíhovém poli Země na každé hmotné těleso.

25

POZNÁMKA: Vznikne vektorovým složením síly gravitační F  

M m Z 2 RZ

g

, která je orientovaná do středu

2

v Země, a síly odstředivé F  m . Síla odstředivá souvisí s otáčením Země kolem osy a je od r kolmá k ose rotace.    F F F G g od Velikost tíhové síly závisí na zeměpisné šířce  .

. Ve směru příslušných sil jsou orientovaná zrychlení gravitační, odstředivé, kde m je hmotnost tělesa, M

Z

je hmotnost Země, R

Z

je poloměr

Země, r je vzdálenost tělesa od osy rotace,   6,67 .10 11 N.m2 . kg -2 je gravitační konstanta. Vektorovým složením gravitačního a odstředivého zrychlení a výpočtem podle kosinové věty dostaneme zrychlení tíhové g. Pak tíhová síla je

  FG  m g . Je orientovaná těsně mimo zemský střed, její směr považujeme za svislý. Způsobuje volný pád těles. Všechna tělesa padají k Zemi v určitém místě se stejným tíhovým zrychlením g. V našich zeměpisných šířkách je g  9,81 m . s -2 . Reakce podložky na působení tíhové síly je stejně veliká, ale opačně orientovaná. Jedná se o síly akce a reakce. Působiště reakční síly je v místě kontaktu tělesa s podložkou.

26

SÍLY TŘECÍ Třecí síly jsou důsledkem tření, které vzniká při pohybu tělesa po povrchu jiného tělesa. Třecí   síla Ftř nebo také T působí proti směru pohybu tělesa. Podle charakteru dotyku těles a jejich relativním pohybu hovoříme o smykovém tření nebo valivém tření.



Příčinou smykového tření je skutečnost, že styčné plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale hladké, jejich nerovnosti do sebe zapadají a brání vzájemnému pohybu těles. Přitom se uplatňuje i silové působení částic v dotykových plochách. Tyto skutečnosti jsou charakterizovány koeficientem smykového tření v pohybu f (někdy také značíme  ). Velikost třecí síly závisí na koeficientu smykového tření f a na síle kolmé k podložce – normálové síle  N. Určíme ji podle vztahu F  f N. tř

Pokud se těleso pohybuje po vodorovné rovině, pak je touto normálovou silou tíhová síla  FG . Síla smykového tření je určena vztahem F  f F . tř G

U rovin, které nejsou vodorovné (viz nakloněná rovina), musíme kolmou sílu nejdříve určit. Valivé tření je vyvoláno silou, která působí proti směru pohybu při pohybu valivém. Jestliže budeme uvažovat oblý předmět, např. kolo o poloměru r, můžeme stanovit sílu, kterou je nutné působit, aby se kolo pohybovalo rovnoměrným pohybem.

27

Kolo tlačí na rovinu kolmou silou N. Tím působí stlačení roviny. Deformovaná rovina naopak působí stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdálenosti ξ před osou kola. Síla N a její reakce N' tvoří dvojici sil s momentem M  Nξ . Aby se kolo otáčelo rovnoměrným pohybem, je nutné vyvolat stejně velký otáčivý moment ve směru pohybu M  F r . Síla F N překonávající valivé tření je určeno vztahem Ftřv   r Tato síla je zároveň svou velikostí rovna síle valivého tření Ftřv ;  se nazývá koeficientem valivého tření, ξ   m . Koeficient valivého tření je mnohem menší než součinitel smykového tření: SÍLY ODPOROVÉ Při pohybu tělesa v prostředí, např. ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině), musí těleso překonávat odpor prostředí. Při relativním pohybu tělesa a tekutiny dochází k přemisťování částic prostředí, uplatňují se třecí síly. Tento jev se nazývá odpor prostředí. Odporová síla vzniká při vzájemném pohybu a působí proti pohybu. Je úměrná velikosti rychlosti tělesa vzhledem k prostředí. Fodp  konst  v

Konstanta odporu prostředí se obvykle značí R. Pak F

odp

 Rv.

Při větších rychlostech je odporová síla úměrná druhé mocnině rychlosti. Platí vztah 1 Fodp  CS odp  v 2 , kde 2

28

C je součinitel odporu prostředí (závisí na tvaru tělesa), Sodp je průřez tělesa kolmý ke směru pohybu,  je hustota prostředí, v je relativní rychlost.

SÍLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNÉ ROVINĚ Budeme-li uvažovat libovolné těleso (např. lyžaře) na nakloněné rovině s úhlem náklonu  ,  bude se pohybovat smykovým pohybem vlivem vlastní tíhové síly F , která je orientovaná G

svisle dolů. Tíhovou sílu jako vektor rozložíme do dvou navzájem kolmých složek. Jedna   složka F1 je orientovaná ve směru pohybu, druhá F2 je kolmá ke směru pohybu, tzn., že je kolmá k nakloněné rovině.

 

 

Jejich velikosti určíme z pravoúhlého trojúhelníku s využitím funkcí sinus a cosinus takto:

F1  FG sin α  m g sin α ,

F2  FG cos α  m g cos α .

 Složka F ovlivňuje velikost třecí síly 2

F  fN f F . tř

2

Třecí síla je orientovaná proti pohybu a je rovna výrazu F  f F cos   f mg cos  . tř

G

29

  F1 , Ftř jsou opačně orientované, jejich výslednice je rovna jejich rozdílu. F  F  F  mg sin   f mg cos  . 1 tř

Síly

V případě, že F > F , zůstane těleso v klidu. tř

1

Jestliže F < F , pohybuje se těleso ve směru nakloněné roviny. tř

1

Výslednou sílu lze dále upravit na tvar





F  mg sin   f cos  . Pokud je hmotnost tělesa, úhel nakloněné roviny a koeficient smykového tření konstantní, pak je konstantní i výsledná síla  pohyb je rovnoměrně zrychlený. 1 v  at  v0 s  at 2  v0t  s0 2 POZNÁMKA: Pokud platí, že F  F , je výslednice sil nulová. Těleso se pohybuje rovnoměrně přímočaře. tř

1

f mg cos   mg sin  sin α f   tg α cos α Tento jev nastane tehdy, když koeficient smykového tření je roven tg .

SÍLY SETRVAČNÉ Platnost Newtonových zákonů je omezena na inerciální vztažné soustavy. Jsou to všechny soustavy, které se pohybují rovnoměrným přímočarým pohybem. Neinerciální vztažné soustavy jsou všechny soustavy, které se pohybují se zrychlením. V těchto soustavách Newtonovy zákony neplatí. Projevují se zde setrvačné síly. Setrvačné síly jsou vždy orientované proti směru zrychlení soustavy. Setkáváme se s nimi v běžném životě při změně rychlosti pohybu (rozjíždění, brždění) soustav. Klasickým případem je např. rozjíždějící se tramvaj. Zatímco tramvaj se rozjíždí (brzdí) se  zrychlením a , všechny objekty v tramvaji se pohybují směrem dozadu (dopředu) vlivem působení setrvačné síly   Fs  m a ,  kde m je hmotnost tělesa , a je zrychlení soustavy. Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působení vnější síly.

30

Podobný případ nastane v rozjíždějícím se nebo brzdícím výtahu. Při rozjezdu nahoru působí na osazenstvo kromě tíhové síly ještě síla setrvačná. Celková síla, která působí na člověka, bude rovna součtu obou sil F F F . G

s

Při rozjíždění výtahu směrem dolů je setrvačná síla orientovaná směrem vzhůru. Výsledná síla, která působí na člověka, je rovna rozdílu F F F . G

s

Setrvačné síly se projevují rovněž v soustavách, které se pohybují křivočarým pohybem. Normálové (dostředivé) zrychlení mění směr rychlosti a je orientováno do středu křivosti. Setrvačná síla je v tomto případě orientovaná opačným směrem  od středu na spojnici tělesa se středem. Typickým případem je pohyb po kružnici. Představte si tento pohyb i ve vodorovné rovině Setrvačná síla má stejnou velikost jako síla normálová (dostředivá). Nazýváme ji silou odstředivou. 2

v Fs  m an  m r

31

POZNÁMKA: Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou, která má působiště ve středu a jež je reakční silou na sílu dostředivou.

 Pokud navíc ještě soustava zrychluje vlivem tangenciální (tečné) síly F , pak proti této síle je t

orientovaná setrvačná tečná síla. Celou situaci si můžeme představit při jízdě automobilem do zatáčky. Automobil je neinercální vztažnou soustavou. Na cestující působí setrvačná odstředivá síla a tlačí je ven z auta. Šlápneme-li navíc na plynový pedál, automobil zrychlí a projeví se působení setrvačné tečné síly. Výsledná setrvačná síla je rovna jejich vektorovému součtu a její velikost určíme podle vztahu F  F 2  F 2 . s

s1

s2

SÍLY PRUŽNOSTI V předchozích oddílech byly uvažovány vnější síly, které měnily pohybový stav těles. Tělesa byla dokonale tuhá a neměnila účinkem vnějších sil svůj tvar. Ve skutečnosti se tělesa účinkem vnějších sil zároveň deformují. V tělesech naopak vznikají síly, které deformaci brání. Působením vnějších tahových sil dochází ke zvětšování vzdálenosti mezi jednotlivými částicemi tělesa. Proto ve vzájemném působení částic převládají přitažlivé síly, které

32

 nazýváme silami pružnosti F p . Jsou úměrné prodloužení nebo naopak zkrácení tělesa a můžeme je zapsat ve tvaru F p  k y ,

kde k je konstanta pružnosti materiálu, y je velikost prodloužení. Vzniklé síly pružnosti brání vnějšímu silovému působení a jsou orientovány „zpět do původní polohy“ (proto znaménko „minus“. V libovolném řezu tělesa o ploše S vzniká při deformaci při působení vnější síly F stav  napjatosti, který posuzujeme pomocí veličiny napětí  . Platí   F  . S Jednotkou napětí je pascal.

3.3.

 =Pa=N.m-2

IMPULS SÍLY, HYBNOST

Impuls síly představuje časový účinek síly.  Jestliže na těleso o hmotnosti m působí vnější síla F , pak se její účinek projeví změnou pohybového stavu tělesa, tzn. změnou rychlosti. Zároveň se změní i hybnost tělesa, která je   určena vztahem p  m v .

  V časovém okamžiku t má těleso hybnost p  m v , v časovém okamžiku t má těleso 1 2 1 1   hybnost p  m v . 2 2    v  p   Uvažujeme-li pohybovou rovnici F  m a  m , pak po úpravě na tvar t t    F t  m v  p vyplývá, že impuls síly je roven součinu síly a časového intervalu.

Platí

  I  F t .



 Jednotkou impulsu síly je I =N.s.

33

Zároveň platí, že impuls síly je roven změně hybnosti     I  p2  p1   p .

34

4. PRÁCE, VÝKON, ENERGIE 4.1.

MECHANICKÁ PRÁCE

Mechanická práce W je dráhový účinek síly. Jednotkou práce je joule W   J , podle anglického fyzika J. F. Joulea (1818-1889). Práce je skalární veličina. Posune-li síla těleso po určité dráze, pak tato síla vykoná práci. Tato síla může být konstantní nebo proměnná, může působit ve směru posunutí nebo pod určitým úhlem (ten se rovněž může měnit).

Pokud síla působí pod úhlem α, vzhledem ke směru pohybu, pak ji rozložíme do dvou   navzájem kolmých složek F , F . 1 2  Složka F posunuje těleso a tudíž vykonává práci. Její velikost určíme pomocí goniometrické 1

funkce kosinus F  F cos  . 1  Složka F je orientovaná vzhůru a těleso nadlehčuje, ovlivňuje třecí sílu. Její velikost určíme 2

vztahem F  F sin  . 2

 V případě, že je síla F  konst., pak platí W  F s  F s cos  . 1

    Podle vztahu pro skalární součin dvou vektorů a  b  a b cos  můžeme psát W  F  s ,   a říkáme, že práce je skalárním součinem síly F a posunutí s .

35

4.2.

VÝKON

Výkon je časové zhodnocení vykonané práce. Výkon značíme P, jednotkou výkonu je watt P  W . Jednotka byla nazvaná na počest anglického vynálezce parního stroje Jamese Watta (1736-1819). Výkon je to skalární veličina. Rozlišujeme výkon a) průměrný  sledujeme celkovou práci vykonanou za celkový čas. W t b) okamžitý – určíme jako práci vykonanou v daném časovém okamžiku. P

   Protože W  F  s , pak můžeme okamžitý výkon vyjádřit jako skalární součin síly F a  rychlosti v , kterou se v daném okamžiku působiště síly pohybuje.

  F s   P  F v . t

4.3.

MECHANICKÁ ENERGIE

Energie je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru schopnosti tělesa konat práci. Jinak řečeno – energie je všechno to, z čeho je možné získat práci nebo v co se práce přemění. Jednotkou energie je joule E   J . Energie je skalární veličina. KINETICKÁ ENERGIE Kinetická energie E pohybujícího se tělesa se rovná práci, která je potřebná k jeho uvedení k

z klidu do pohybového stavu s rychlostí v. Pokud se těleso pohybovalo rychlostí v a pod 1

vlivem působící síly se rychlost změnila na hodnotu v , pak je tato práce rovna právě změně kinetické energie E k tělesa.

2

36

Uvažujme sílu působící ve směru pohybu, pak cos   cos 0  1 . . Vzhledem k tomu, že hmotnost m je konstantní, pak po integraci je W

1 1 m v22  m v12  Ek2  Ek1   Ek . 2 2

Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m, které se pohybuje rychlostí v, určíme podle vztahu 1 2 E  mv . k 2 Se zvětšující se rychlostí tělesa kinetická energie roste, při poklesu rychlosti kinetická energie klesá. POTENCIÁLNÍ ENERGIE Potenciální energie závisí na vzájemné poloze dvou těles a na druhu síly, která jejich polohu ovlivňuje. Podle toho rozeznáváme potenciální energii a) tíhovou ( F ), G

b) gravitační

( F ), g

c) elektrostatická ( F ), e

d) pružnosti ( F ). p

Jestliže zvedáme těleso o hmotnosti m z výšky h do výšky h silou o velikosti tíhové síly 1

2

F  m g , ale opačně orientovanou, vykonáme nad povrchem Země práci G

.

37

Protože je síla orientovaná ve směru pohybu, pak cos   cos 0  1 . Potom platí. Protože síla je konstantní, vytkneme ji před integrál a po integraci dostaneme W  m g s  m g h 2  h1   m g h 2  m g h1  E p2  E p1  ΔE p . Potenciální energii tíhovou Ep tělesa hmotnosti m ve výšce h nad povrchem Země vyjádříme podle vztahu E  mg h. p

Jestliže těleso stoupá, potenciální energie tíhová roste. Pokud těleso klesá, potenciální energie tíhová se zmenšuje. Přírůstek kinetické energie se rovná úbytku energie potenciální

 E k   E p .  Ek  E p  0 ,

E k  E p   0 Součet kinetické energie a potenciální je konstantní.

E  E  E  konst. k

p

Tento zápis vyjadřuje zákon zachování energie. Platí v neodporujícím prostředí. V odporujícím prostředí se část mechanické energie přeměňuje vlivem tření v energii tepelnou.

38

5. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA Reálná tělesa pevného skupenství jsou uspořádané soubory částic (atomů, molekul, iontů), které jsou vázány působením vnitřních sil. Vnitřní síly nemají vliv na pohybový stav tělesa. Změnu pohybového stavu mohou způsobit pouze síly vnější. Tyto síly však mohou navíc způsobit deformaci tělesa. Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar a objem se nemění účinkem vnějších sil. Zavádíme ho jako abstraktní pojem, který zjednoduší řešený problém. Zavedení pojmu tuhé těleso má význam u těch problémů, kdy na řešení úlohy má vliv tvar tělesa a rozložení hmoty v tělese. Tento vliv se projevuje především u rotačních pohybů.

5.1.

TRANSLAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA

Při translačním pohybu se těleso posunuje po podložce přímočaře. Pro všechny body tělesa v daném okamžiku platí:  pohybují se stejnou rychlostí v,  na všechny působí stejná síla F,  během určitého časového intervalu urazí stejnou dráhu s (tvar trajektorie je stejný)

5.2.

ROTAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA

Při rotačním pohybu se těleso otáčí kolem osy, která může být umístěná libovolně (i mimo těleso). Všechny body opisují kružnice se středy v ose otáčení, jejichž roviny jsou kolmé k ose otáčení. Pro jejich pohyb dále platí:   

pohybují se stejnou frekvencí f, pohybují se stejnou úhlovou rychlostí ω  2  f , pohybují se různou obvodovou rychlostí v  ω r  2  f r , protože ta závisí na vzdálenosti libovolného bodu tělesa od osy otáčení,  trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležících v různé vzdálenosti od osy otáčení se liší,  na body v různé vzdálenosti od osy otáčení působí jiná odstředivá síla.

Fod  m

v2 ω2 r 2 m  m ω2 r  4  2 f 2 m r r r

39

Těleso je tak napínáno odstředivými silami. Při vysoké frekvenci otáčení může dojít k narušení reálného tělesa a jeho destrukci.

5.3.

TĚŽIŠTĚ, HMOTNÝ STŘED

Pojmy těžiště i hmotného středu mají stejný význam. Je to bod, do kterého je umístěna výslednice všech sil, které na těleso působí. Pokud na objekt působí pouze tíhová síla FG , pak to je působiště tíhové síly. Označení hmotný střed používáme u soustavy izolovaných bodů, které jsou v určitém vzájemném vztahu (např. ionty v modelu krystalu soli NaCl). Souřadnice hmotného středu xs, ys, zs určíme pomocí vztahů n

m x  m2 x2  ...  mn xn xs  1 1  m1  m2  ...  mn

 mi xi

i 1

m

,

n

m y  m2 y 2  ...  mn y n ys  1 1  m1  m2  ...  mn

 mi yi

i 1

,

m n

m z  m2 z2  ...  mn zn zs  1 1  m1  m2  ...  mn

 mi zi

i 1

m

,

kde mi  hmotnost i-tého bodu (segmentu); xi, yi  souřadnice i-tého bodu; m1 + m2 + … +mn = m. Při řešení souřadnic hmotného středu je vhodné umístit objekt do soustavy souřadných os tak, aby bylo jednoduché určit souřadnice jednotlivých bodů (segmentů). Označení těžiště používáme u spojitého kontinua (tělesa), které je tvořeno mnoha body. V tomto případě řešíme součet pomocí integrace. V praxi jsou pojmy hmotného středu a těžiště ztotožňovány.

40

5.4.

MOMENT SETRVAČNOSTI

Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačním pohybu. Závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Značíme J, jednotkou momentu setrvačnosti je J = kg.m2. Moment setrvačnosti je skalární veličina. POZNÁMKA: Má stejný význam jako hmotnost tělesa m při posuvném pohybu. Jestliže si představíme prázdný dobře namazaný vozík, pak ho roztlačíme a zastavíme snadno. Kdybychom naopak měli na vozíku 1000 kg materiálu, bude obtížné uvést ho do pohybu a naopak. Podobný pokus si můžeme představit při roztáčení a brzdění polystyrénového nebo železobetonového válce. Tušíme, že u železobetonového válce stejných rozměrů bude změna pohybu nesnadná. Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otáčející se kolem osy, která leží ve vzdálenosti r od těžiště. Jestliže nastane takový případ, že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdálenosti r zanedbat (hmotný bod), pak moment setrvačnosti bude J  m r2 .

Ze zápisu vyplývá, že moment setrvačnosti bude tím větší, čím dále bude hmota od osy otáčení.

Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejím pohybu kolem Slunce. Rozměry Země vzhledem ke vzdálenosti od Slunce je možné zanedbat.

V případě většího počtu navzájem izolovaných bodů bude moment setrvačnosti soustavy roven součtu momentů setrvačností jednotlivých bodů.

41

n

J  J 1  J 2  J 3  ...  J n  m1r12  m2 r22  m3r32  ...  mn rn2   J i . i 1

Př. Určete moment setrvačnosti Sluneční soustavy. Řešení: lunce. Pak vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty následně sečtěte.

Takto je možné řešit moment setrvačnosti v případě izolovaných bodů (rozměry těles jsou vzhledem ke vzdálenostem zanedbatelné). U tělesa (spojitého kontinua) s nekonečným počtem částic nahradíme prostý součet momentů setrvačností integrací. U pravidelných těles je možné výpočet stanovit snadno. Momenty setrvačnosti J

T

některých

pravidelných objektů hmotnosti m vzhledem k ose procházející těžištěm jsou uvedeny v tabulkách. Např.: válec koule obruč tyč

1 2 mr T 2 2 2 J  mr T 5 

J

J J

T

T

mr 

2

1 2 ml 12

kde r je poloměr válce, m je hmotnost válce kde r je poloměr koule, m je hmotnost koule kde r je poloměr obruče, m je hmotnost obruče kde l je délka tyče, m je hmotnost tyče

42

GYRAČNÍ POLOMĚR V některých případech v praxi je při výpočtech vhodné použít veličinu gyrační poloměr. Gyrační poloměr je taková vzdálenost od osy otáčení, do které bychom museli umístit všechnu hmotnost m tělesa, aby se moment setrvačnosti nezměnil J  m R 2 . Pak

R

J . m

STEINEROVA VĚTA Steinerova věta slouží k výpočtu momentů setrvačností těles, která se otáčejí kolem osy neprocházející těžištěm. 2 J  J  md , T

kde J

T

je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející těžištěm,

m je hmotnost tělesa, d je vzdálenost těžiště od okamžité osy.

5.5.

MOMENT SÍLY

Při otáčivém pohybu závisí otáčivý účinek síly působící na těleso na velikosti a směru síly, na vzdálenosti síly od osy otáčení (na umístění působiště síly).  Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment síly M .   Moment síly M je mírou otáčivého účinku síly F působící na těleso otáčivé kolem pevného bodu.

Působiště síly je ve vzdálenosti r od osy otáčení. Tuto vzdálenost nazýváme rameno síly.  Rameno síly je vektorová veličina r . Úhel  je úhel, který svírá síla s ramenem síly. Působící sílu rozložíme na dvě složky o velikostech: F1  F cos  , F2  F sin  .

43

  Z obrázku je zřejmé, že otáčivý účinek má složka F2 , která je kolmá k rameni síly r . Je to složka tangenciální (tečná). Je tečnou ke kružnici, po které se otáčí koncový bod polohového  vektoru. Vektorová přímka složky F1 prochází osou otáčení a na otáčení tělesa nemá vliv. Je to složka normálová (kolmá).

Velikost momentu síly určíme pomocí tangenciální složky pomocí vztahu M  F2 r . Po dosazení je M  r F sin  .

Jednotkou momentu síly je M = N.m. POZNÁMKA: Protože r, F jsou velikosti příslušných vektorů, můžeme v souladu s pravidly vektorové      algebry c  a . b . sin   c  a  b tento vztah zapsat jako vektorový součin vektorů r a F .



Pak platí



   M  r F

   Výsledný vektor M je kolmý k vektoru r i k vektoru F .

POZNÁMKA: Při vektorovém součinu vektorů je důležité dodržovat pořadí vektorů. Při jejich záměně získáme vektor opačný

 Kladný smysl vektoru M určíme podle pravidla pro vektorový součin:   Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r a F pravotočivý šroub tak, jak síla otáčí kolem bodu O ramenem, postupuje šroub v kladném směru vektoru momentu síly.  Souřadnice výsledného vektoru M určíme pomocí determinantu.

44

    Př. Určete vektor momentu síly M , který je zadán jako vektorový součin M  r  F .         Polohový vektor r  2 i  j  3 k , vektor síly F  i  3 j  2 k . Řešení:    i j k           M  2  1 3  2i  6k  3 j   k  9i  4 j  2  9i  3  4 j  6  1k



 



1 3 2     Pak M  7 i  7 j  7 k .

Moment síly při rotačním pohybu má stejný význam jako síla při translačním pohybu. Způsobuje změnu pohybového stavu tělesa. 1. M  0 N.m  těleso je v klidu nebo rovnoměrném otáčivém pohybu, 2. M  konst.  těleso je v rovnoměrně zrychleném (zpomaleném) otáčivém pohybu, 3. M  konst.  těleso je v nerovnoměrně zrychleném (zpomaleném) otáčivém pohybu. Předchozí zápis je shodný s II. Newtonovým pohybovým zákonem síly, který popisuje pohyb translační.

Na těleso může současně působit více sil s otáčivým účinkem. Výslednice jejich momentů je rovna vektorovému součtu jednotlivých momentů sil. n       M  M 1  M 2  M 3  ...  M n   M i i 1

5.6.

MOMENT HYBNOSTI

 Moment hybnosti b je vektorová veličina. Charakterizuje pohybový stav tělesa při rotačním pohybu, podobně jako hybnost charakterizuje pohybový stav tělesa při translačním pohybu.  Souvisí s momentem setrvačnosti J a úhlovou rychlostí  vztahem   b  J . Jednotkou momentu hybnosti je b = kg.m2.rad.s-1. Jestliže dojde ke změně úhlové rychlosti, změní se zároveň i moment hybnosti.  Vektor momentu hybnosti b je orientovaný stejným směrem jako vektor momentu síly  M. Podobně jako u translačního pohybu (zákon zachování hybnosti) můžeme vyslovit pro rotační pohyb zákon zachování momentu hybnosti. Jestliže na těleso otáčivé kolem osy nepůsobí vnější síla (izolovaná soustava), nebo jestliže je výsledný otáčivý moment vnějších sil roven nule, je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantní.

45

5.7.

POHYBOVÁ ROVNICE ROTAČNÍHO POHYBU

Pohybová rovnice rotačního pohybu je analogická pohybové rovnici translačního pohybu     Δv Δ p . F mam  Δt Δt

Pro rotační pohyb zapíšeme pohybovou rovnici ve tvaru:       b . M  J  J  t t Slovně můžeme tento zápis vyjádřit takto:  Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působí moment síly M , pak se těleso otáčí   s úhlovým zrychlením  . Tzn., že se změní úhlová rychlost  , a tím i moment hybnosti  b. Př. Válec o momentu setrvačnosti 20 kg.m2 se otáčí s frekvencí 6 Hz. Určete dobu, za kterou se válec rovnoměrně zpomaleně zastaví vlivem třecího momentu síly 8  N.m . Řešení: Protože se jedná o rovnoměrně zpomalený pohyb, pak je počáteční úhlová rychlost ω0  2 π f  2  π  6  12  rad.s -1 . Konečná úhlová rychlost je při zastavení tělesa

  0 rad.s -1 . Z rovnice pro úhlovou rychlost vyjádříme zrychlení  .   .    t   0   t   0      0 t Po dosazení do pohybové rovnice dostaneme M  J Pak t  J

5.8.

ω0  ω 12   0  20  30 s . M 8

0   t

. Z této rovnice vyjádříme čas.

PRÁCE, VÝKON, KINETICKÁ ENERGIE PŘI ROTAČNÍM POHYBU

PRÁCE MOMENTU SÍLY   V případě, že tangenciální složka síly F (označili jsme F2 ) svým působením na otáčivé  těleso změní polohový vektor o hodnotu r , vykoná práci   W  M

Jednotkou práce momentu síly je joule.

46

VÝKON MOMENTU SÍLY Výkon při rotačním pohybu představuje stejně jako při posuvném pohybu časové zhodnocení práce. W Platí P  , tedy po dosazení za práci momentu síly dostáváme t    M P  M . t Jednotkou výkonu momentu síly je watt. KINETICKÁ ENERGIE ROTAČNÍHO POHYBU Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedené do rotačního pohybu Momentem síly M. se pohybuje s úhlovou rychlostí . Moment síly M přitom vykoná práci W. Množství vykonané práce se projeví změnou kinetické energie. Souvislost mezi prací W a změnou kinetické energie Ek při rotačním pohybu můžeme vyjádřit vztahem: W E

k

2

E

k 1

 E . k

Odvozením získáme vztah pro kinetickou energii rotačního pohybu. W

1 J2. 2

Jednotkou je joule. Př.: Určete kinetickou energii valícího se válce o hmotnosti 4 kg a poloměru 0,5 m. Válec se valí rychlostí 2 m.s-1. Řešení:

Moment setrvačnosti válce vzhledem k ose procházející těžištěm je J 

1 2 mr . 2

47

Válec v příkladu se neotáčí kolem osy v těžišti, ale kolem okamžité osy, která leží na styku válce s podložkou. Moment setrvačnosti pak určíme podle Steinerovy věty. Vzdálenost osy otáčení od těžiště je rovna poloměru r. 1 3 2 2 2 2 J  J  md  m r  m r  m r . T 2 2 Kinetickou energii určíme podle vztahu Ek 

1 1 3 3 3 J ω2   m r 2 ω 2  m r 2 ω2  m v 2 . 2 2 2 4 4

Po dosazení dostaneme 3 Ek   4  0,52  0,75 J . 4

Srovnání vztahů popisujících translační a rotační pohyb Translační pohyb

Rotační pohyb

dráha s rovnoměrný pohyb:

úhlová dráha  rovnoměrný pohyb:

s  v t  s0 1 rovnoměrně zrychlený: s  a t 2  v0 t  s0 2 rychlost rovnoměrný pohyb: v= konst rovnoměrně zrychlený: v  at  v0 zrychlení a 

v t

hmotnost m síla F  m a hybnost p  m v   práce W  F  s 1 kinetická energie translační E  m v 2 k 2 W výkon P  t

   t  0

1 rovnoměrně zrychlený:    t 2   0 t   0 2 úhlová rychlost rovnoměrný pohyb:   konst rovnoměrně zrychlený:    t   0  úhlové zrychlení   t moment setrvačnosti J moment síly M  J  moment hybnosti b  J    práce W  M   1 kinetická energie rotační E  J 2 k 2 W výkon P  t

48

6. HYDROSTATIKA Hydrostatika zkoumá a popisuje zákonitosti kapalin ve stavu klidu. Kapalina má stálý objem, ale nemá stálý tvar. Zaujímá takový tvar jako je tvar nádoby, ve které je umístěná. Je velmi málo stlačitelná (ideální kapalina je nestlačitelná), dokonale pružná, nerozpínavá. Velmi malé stlačitelnosti kapalin se využívá v praxi. S rostoucí teplotou mění objem. K popisu mechanických dějů v kapalině (hydromechanice) se užívají veličiny, které jednoznačně určují v daném místě její stav.  tlak p v daném místě je představován normálovou tlakovou sílou působící na jednotku F plochy umístěnou v uvažovaném místě p  . Jednotkou tlaku je pascal (Pa). S  hustota  kapaliny (měrná hmotnost) je hmotnost jednotkového objemu kapaliny m Pro homogenní kapalinu můžeme psát   . Jednotkou je kg.m-3. V   s    rychlost v kapaliny v jejím daném místě je v  , kde s je element dráhy a  t t je doba pohybu částice po tomto elementu. Jednotkou je m.s-1.

6.1.

POVRCH KAPALINY

Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar), že je kolmá k výslednici sil, které na kapalinu působí. 1. Pokud je nádoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, působí na každou molekulu pouze tíhová síla FG  m g směrem svislým. Kapalina má tedy vodorovný povrch.

Povrch kapaliny v klidu 2. Při zrychleném pohybu nádoby působí na každou molekulu kapaliny kromě tíhové síly ještě síla setrvačná Fs  m a , která má opačný směr než je zrychlení a nádoby. Hladina je kolmá k výslednici F. Úhel  odklonu hladiny od horizontály je roven úhlu, který svírá tíhová síla FG s výslednicí F.

49

Povrch kapaliny při zrychleném pohybu.

Určíme ho pomocí funkce tan  

Fs ma a   . FG m g g

3. Při rotačním pohybu nádoby kolem vlastní osy působí na každou molekulu kromě v2  2r 2 tíhové síly ještě síla setrvačná odstředivá Fod  m  m  m  2 r , kde v je r r rychlost otáčení, r je poloměr otáčení a  je úhlová rychlost. Kapalina reaguje na tento pohyb tak, že se její povrch zakřiví.

Povrch kapaliny v rotující nádobě. Povrch kapaliny v rotující nádobě bude mít tvar paraboloidu.

6.2.

PASCALŮV ZÁKON

Pascalův zákon charakterizuje vliv působení vnější síly na kapalinu. Působí-li na kapalinu vnější síla, vyvolá v kapalině tlak, který je v každém bodě stejný a šíří se všech směrech rovnoměrně.

50

Uvažujeme nádobu uzavřenou dvěma volně pohyblivými písty o různých průřezech S1 , S 2 . U ideální kapaliny platí, že zmenšení objemu vlivem síly na jedné straně se rovná zvětšení objemu na straně druhé. Jestliže  s1 ,  s 2 jsou posunutí na jedné a druhé straně, pak  V1   V2 , S1 s1  S 2  s2 .  Podle zákona zachování energie se práce vykonaná tlakovou silou F1 při posunutí pístu S1 rovná práci síly F2 potřebné k posunutí pístu S 2 . Což zapíšeme F1  s1  F2  s2 . Dělením rovnic dostaneme

F1 F2   p  konst. S1 S 2 Tedy matematické vyjádření Pascalova zákona. Využívá se v hydraulice – hydraulické brzdy, hydraulické zvedáky, hydraulické posilovače řízení, lisy,….,.

6.3.

HYDROSTATICKÝ TLAK

Hydrostatickým tlakem rozumíme obecně tlak v kapalině způsobený vlastní tíhou kapaliny FG , kterou kapalina působí na libovolnou plochu S. Pak je p

FG m g V  g S h g ,    S S S S

kde m je hmotnost kapaliny, V je objem kapaliny,  je hustota kapaliny. Po vykrácení dostaneme vztah pro hydrostatický tlak ve tvaru p  h g .

POZNÁMKA:. Veličina h představuje výšku kapaliny, která je vždy nad plochou S, na které hydrostatický tlak určujeme.

51

SPOJENÉ NÁDOBY Z Pascalova zákona a hydrostatického tlaku vyplývají zákonitosti spojených nádob.  Jestliže je ve spojených nádobách v obou ramenech kapalina stejné hustoty, na plochu d S působí hydrostatické tlaky p1  p2 . Pak h1  g  h2  g , z toho plyne, že h1  h2 . Výška hladin v obou ramenech spojených nádob libovolného tvaru bude stejná.

Spojené nádoby se stejnou hustotou kapaliny 

Jestliže jsou ve spojených nádobách nemísitelné kapaliny (rozdílných hustot 1 ,  2 ), pak ve výšce h0 nad nejnižším místem jsou ve vodorovné rovině při stavu rovnováhy hydrostatické tlaky p1  p2 . Pak h1 1 g  h2  2 g . Odtud je

h1 1  . h2  2

Spojené nádoby s různou hustotou kapaliny

TLAKOVÁ SÍLA KAPALINY NA DNO NÁDOBY Pro tlakové síly na dno nádoby platí vztah F  p S  h  g S . Jestliže mají nádoby různý tvar, ale stejnou plochu dna, pak při stejné výšce kapaliny jsou takové síly na dno stejné (hydrostatické paradoxon).

Tlaková síla na dno nádoby

52

6.4.

ARCHIMÉDŮV ZÁKON

Každé těleso, které je umístěné v kapalině je ovlivňováno vztlakovou silou Fvz . Její velikost vyjadřuje známý Archimédův zákon. Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou, která je rovna tíze kapaliny vytlačené ponořeným objemem tělesa.

Archimédův zákon Uvažujme v kapalině předmět výšky h, jehož horní a dolní podstava o ploše S budou rovnoběžné (např. válec). Pak na horní podstavu bude působit tlaková síla F1  h1  g S a na dolní podstavu bude působit tlaková síla F2  h2  g S . Protože h1  h2 je F1  F2 . Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich výslednice F rovna vztlakové síle Fvz  F2  F1 . Pak postupnou úpravou dostaneme Fvz  h2  g S  h1  g S  h2  h1   g S Fvz  h  g S  h S  g  V  g  m g . Vztah pro vztlakovou sílu zapíšeme ve tvaru

Fvz  V  g . POZNÁMKA:  Je třeba mít na paměti, že V je objem ponořené části tělesa (může být ponořeno celé), což je rovno objemu vytlačené kapaliny,  je hustota vytlačené kapaliny, m je hmotnost vytlačené kapaliny.  Vztlaková síla je vždy orientovaná směrem vzhůru.  .Předešlé úvahy platí i pro těleso v plynu Kromě vztlakové síly působí na každé těleso v kapalině rovněž tíhová síla, která je orientovaná směrem svislým. Tyto dvě síly se skládají. Uvažujme vztlakovou sílu Fvz  V 1 g , kde 1 je hustota kapaliny a tíhovou sílu FG  m g  V  2 g , kde  2 je hustota tělesa, pak mohou nastat tyto případy:   2  1 , pak těleso klesá ke dnu   2  1 , pak se těleso v kapalině vznáší   2  1 , pak těleso stoupá k hladině.

53

7. HYDRODYNAMIKA Hydrodynamika se zabývá pohybem (prouděním) kapalin.

7.1.

OBJEMOVÝ TOK, HMOTNOSTNÍ TOK

Budeme uvažovat proudění kapaliny hustoty ρ potrubím libovolného průřezu S.

Objemový tok a hmotnostní tok Objemový tok QV (průtok) je objem kapaliny, která proteče průřezem S za jednu sekundu. QV 

V . t

Jednotkou objemového toku je m3.s-1. Jestliže při rychlosti proudění v se částice kapaliny posunou za dobu  t do vzdálenosti  s , pak V S s , a tedy QV   t t

QV  S v . Vektor rychlosti je kolmý k průřezu. Hmotnostní tok Qm představuje hmotnost kapaliny, která proteče průřezem S za jednotku času. Pro hmotnostní tok platí Qm 

m . t

Jednotkou je kg.s-1. Vzhledem k tomu, že mezi hmotností, objemem a hustotou platí vztah m   V , pak  m  V V Qm    . t t t

Qm   QV

54

7.2.

ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU

Při proudění ideální kapaliny využíváme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny. Proudění popisují dvě rovnice. Při jejich sestavení vycházíme ze zákona zachování hmotnosti a zákona zachování energie. Budeme uvažovat proudové vlákno rozdílného průřezu S1 , S 2 . Objemy kapalin, která projde jednotlivými průřezy budou konstantní. Pro nestlačitelnou kapalinu pak platí (viz Obr. výše) QV 1  QV 2 protože hustota  je v každém průřezu stejná, S1 v1  S 2 v2 . Obecně lze psát QV  S v  konst , což vyjadřuje rovnici kontinuity. V užším průřezu je rychlost kapaliny větší.

7.3.

BERNOULLIHO ROVNICE

Hmotností element kapaliny  m protékající proudovou trubicí je co do velikosti konstantní má v každé poloze kinetickou a potenciální energii vůči zvolené hladině. Při průtoku pak dojde k jejich změně.

Bernoulliho rovnice Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování energie pro proudící kapalinu. Upravíme ji na tvar 1 1  v12   g h1  p1   v22   g h2  p2 2 2 nebo 1  v 2   g h  p  konst . 2

Jednotlivé členy mají rozměr Pa. 1 Člen  v 2 představuje dynamický tlak, člen  g h statický tlak a člen p tlak. 2 POZNÁMKA: Bernoulliho rovnice odvozená pro ideální kapalinu platí přibližně i pro kapaliny reálné (skutečné).

55

8. TEPELNÉ VLASTNOSTI LÁTEK 8.1.

TEPLO, TEPLOTA

Tepelný stav látek je charakterizován veličinou termodynamická teplota T. Jednotkou je kelvin T   K . Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotní stupnicí existuje převodní vztah T  273,15C  t

Tepelný stav látek souvisí s termickým pohybem částic. Jestliže se teplota látky zvýší, pak se zrychlí termický pohyb částic. Při zahřívání se zvětší kinetická energie částic. Teplota látky se zvýší dodáním tepelné energie (tepla) Q. Jednotkou je joule Q  J . Teplo dodané pevné látce nebo kapalině nutné k zahřátí o určitý teplotní rozdíl  T vyjádříme vztahem Q  m c  T  m cT2  T1  , kde m je hmotnost látky, T1, T2 je počáteční a konečná teplota, c je měrná tepelná kapacita. Platí, že c

Q . m T

Měrná tepelná kapacita je množství tepla, které je třeba dodat 1 kg látky, aby se zahřála o jeden stupeň teplotního rozdílu. Jednotkou je J.kg-1.K-1. Při ochlazení musíme stejné množství tepla odebrat. Kromě měrné tepelné kapacity c zavádíme ještě tepelnou kapacitu K. K  mc ,

Q  k T2  T1 

Jednotkou K   J.K 1 .

8.2.

FÁZOVÉ PŘEMĚNY

Fázová přeměna je děj, při kterém dochází ke změně skupenství látky. Rozlišujeme tato skupenství:  pevné  kapalné  plynné

56

TÁNÍ, TUHNUTÍ Tání představuje fázovou přeměnu pevného tělesa na těleso kapalné. Vzniká při zahřívání.  Krystalické látky tají při teplotě tání Tt. Ke změně skupenství je třeba dodat skupenské teplo tání Q  lt m , kde lt je měrné skupenské teplo tání., jednotkou je J.kg-1. Je to množství tepla, které je nutné dodat 1 kg pevné látky, aby se přeměnila na kapalinu téže teploty. 

Amorfní látky postupně při zahřívání měknou. Konkrétní teplota tání neexistuje

Závislost teploty na dodaném teplotě při zahřívání Tuhnutí představuje změnu kapalného tělesa na pevné těleso. Je to opačný proces tání, který vzniká při ochlazování.  Krystalické látky mají pro chemicky čistá tělesa teplot tuhnutí rovnu teplotě tání za téhož vnějšího tlaku. Při tuhnutí je nutné látce odebrat teplo Q  lt m , aby se z ní stala pevná látka. Má stejnou hodnotu jako skupenské teplo tání pevného tělesa z téže látky a stejné hmotnosti  Amorfní látky tuhnou postupně. Většina látek při tání objem zvětšuje a při tuhnutí zmenšuje.

SUBLIMACE, DESUBLIMACE Sublimace je změna pevné látky na látku plynnou (např. jód, naftalen, kafr, suchý led (CO2) Během sublimace je nutné pevné látce dodat skupenské teplo sublimace

Q  ls m . ls je měrné skupenské teplo sublimace, jednotkou je J.kg-1. Desublimace je změna plynné látky na látku pevnou (např. jinovatka) VYPAŘOVÁNÍ, VAR, KONDENZACE Vypařování je přeměna kapalné látky na látku plynnou. Probíhá vždy a za jakékoliv teploty a jen z povrchu kapaliny (čím větší povrch, tím rychlejší vypařování). Různé kapaliny se vypařují za stejných podmínek různou rychlostí 57

Skupenské teplo vypařování

Q  lv m je teplo, které musí kapalina přijmout, aby se změnila na páru téže teploty. l v je měrné skupenské teplo vypařování. . Var je speciální případ vypařování. Kapalina se vypařuje nejen na svém volném povrchu (jako u vypařování), ale také uvnitř svého objemu. Přijímá-li kapalina teplo, var nastává při určité teplotě, tzv. teplotě varu. Var se projevuje vytvářením bublin syté páry uvnitř kapaliny, které se postupně zvětšují a vystupují k volnému povrchu.

8.3.

TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST LÁTEK

Při zahřívání látek libovolného skupenství dojde ke zvýšení kinetické energie částic látky a zvýšení jejich termického pohybu. U pevných látek a kapalin se zvýší frekvence kmitů částice kolem rovnovážné polohy a zvětší se jejich rozkmit. Tím dojde ke zvětšení střední vzdálenosti částic, pevná látka a většina kapalin zvětší své rozměry. DÉLKOVÁ TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST LÁTEK U některých těles převládá svou velikostí jeden z rozměrů (tyče, dráty), zbývající rozměry pak můžeme zanedbat. Uvažujme, že počáteční délka tyče při počáteční teplotě t 0 je l 0 . Potom při zahřátí tyče na teplotu t se tyč prodlouží na délku l . Zavedeme absolutní změnu délky tyče l  l  l0 . Tato absolutní změna délky je úměrná změně teploty t , původní délce l 0 a materiálové konstantě – součiniteli teplotní délkové roztažnosti -  . Pak platí, že

l   l0 t . Z toho plyne jednotka součinitele teplotní délkové roztažnosti l .  l 0 t Jednotkou je K-1. Po úpravě dostaneme vztah pro novou délku l  l0 1   t  . Kromě absolutního prodloužení l zavádíme ještě relativní prodloužení l  . l0 Je to bezrozměrné číslo.

58

PLOŠNÁ TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST LÁTEK Některá tělesa jsou určená dvěma rozměry (desky). Třetí rozměr zanedbáváme. Pak při zahřátí o teplotní rozdíl t dojde ke zvětšení obou hlavních rozměrů. Jestliže uvažujeme desku o rozměrech a 0 , b0 při teplotě t 0 , pak po zahřátí na teplotu t získají oba rozměry novou velikost a  a0 1   t  , b  b0 1   t  . Plocha při teplotě t pak bude





S  a b  a0 1   t b0 1   t   a0 b0 1   t   S 0 1  2 t   2 t 2 . 2

Vzhledem k malé hodnotě součinitele teplotní délkové roztažnosti  můžeme člen  2 t 2 zanedbat. Pak

S  S 0 1  2 t  . OBJEMOVÁ TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST PEVNÝCH LÁTEK A KAPALIN U pevných těles, jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelné, je a  a0 1   t  , b  b0 1   t  , c  c0 1   t  . Objem při teplotě t pak bude





V  a b c  a0 b0 c0 1   t   V0 1  3 t  3 2 t 2   3 t 3 . 3

Členy 3 2 t 2 ,  3 t 3 můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat. Pak

V  V0 1  3 t   V0 1   t  ,

kde   3 je součinitel teplotní objemové roztažnosti. Jednotkou je K-1. Je v poměrně širokém rozsahu teplot stálý, tj. nezávislý na teplotě. U kapalin, které nemají stálý tvar, lze vyjádřit změnu objemu vztahem V  V0 1   t  . Součinitel teplotní objemové roztažnosti kapalin není konstantní. Kapaliny se roztahují nerovnoměrně. Při změně teploty se zvětšuje objem a nemění se hmotnost, proto dochází ke změně hustoty těles. Platí



0 m m   . V V0 1   t  1   t

Změny hustoty s teplotou jsou celkem malé, v praxi je lze zanedbávat, avšak při přesných měření, zejména u kapalin, je nutné k nim přihlížet.

8.4.

TEPELNÁ VODIVOST

Důležitým pojmem je teplotní spád – pokles teploty v tělese, pak se tepelná energie Q přenáší z míst o vyšší teplotě T2 do míst o nižší teplotě T1 . Množství přeneseného tepla pak je

59

T2  T1 T Q S S , d d kde d je délka tělesa (šířka stěny) ve směru šíření, S je plocha kolmá ke směru šíření,  je čas, během kterého dochází k šíření tepla,  je součinitel tepelné vodivosti látky -1 -1 s jednotkou W.m .K . Q

8.5.

KALORIMETRICKÁ ROVNICE

Při vzájemném kontaktu si tělesa vyměňují tepelnou energii Q (teplo). Tato výměna trvá do té doby, než se teplota těles ustálí na stejné teplotě T. Při vzájemné styku dvou těles platí zákon zachování tepelné energie

m1c1 T  T1   m2 c2 T2  T  POZNÁMKA: Tato rovnice platí za předpokladu, kdy nedochází k žádným tepelným ztrátám. V ostatních případech je třeba rovnici pro jednotlivé případy sestavit.

8.6.

IDEÁLNÍ PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU

Stav plynu je charakterizován stavovými veličinami – teplotou T, objemem V a tlakem plynu p. Jednotkami, které používáme, jsou T   K, V   m 3 ,  p  Pa . Při vyšetřování stavu plynu předpokládáme, že se celkové množství plynu nemění. Tzn., že hmotnost m = konst., látkové množství n = konst. Platí vztah: n

m M

kde M je molární hmotnost plynu. Jednotkami jsou m  kg, n  mol, M   kg.mol 1 . Souvislost mezi stavovými veličinami je vyjádřena stavovou rovnicí plynu pV  n R T ,

pV 

m RT , M

kde R=8,314 J.kg-1.K-1. Změny stavu plynu (tzn. změny teploty, objemu a tlaku) mohou být nahodilé. Jestliže plyn přechází ze stavu 1. ( p1 ,V1 , T1 ) do stavu 2. ( p2 ,V2 , T2 ), Pak můžeme použít stavovou rovnici pro změnu stavu

60

p1 V1 p 2 V2  T1 T2 Pro určité technické účely je vhodné zavést pojmy ideálních dějů, které probíhají za zcela konkrétních podmínek. IZOCHORICKÝ DĚJ Při tomto ději udržujeme objem konstantní, V = konst. Plyn je uzavřen v nádobě konstantního objemu. Jestliže plyn zahříváme, pak s rostoucí teplotou roste tlak plynu.

Pak V1  V2 a rovnice je

p1 p 2 .  T1 T2

IZOBARICKÝ DĚJ Tlak plynu v nádobě udržujeme konstantní, p  konst . Při zahřívání plynu musíme zvětšovat objem nádoby, abychom tlak plynu v nádobě udrželi konstantní.

Pak p1  p2 a rovnice je

61

V1 V2 .  T1 T2

IZOTERMICKÝ DĚJ Teplotu plynu udržujeme konstantní, T  konst . Abychom při zahřívání plynu udrželi teplotu konstantní, zvětšíme objem nádoby a tím zmenšíme tlak plynu.

Pak T1  T2 a rovnice je

p1 V1  p2 V2 . ADIABATICKÝ DĚJ Při adiabatickém ději je plyn tepelně izolovaný od svého okolí. Žádné teplo nepřijímá ani neodevzdává. V některých případech může být zněna tak rychlá, že k tepelné výměně nedojde. Plyn zvětší svůj objem, tím vykoná práci, ale jeho vnitřní energie klesne. Říkáme, že při adiabatickém ději koná plyn práci na úkor vnitřní energie.

p1 V1  p2 V2 kde  je Poissonova konstanta. Pro dvouatomový plyn má hodnotu 1,4. Grafické znázornění připomíná izotermu, adiabata je strmější. POZNÁMKA: Výše uvedené děje byly zakresleny v pV diagramu (závislost tlaku na objemu). Můžeme je zakreslit např. i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jiných.

62

8.7.

PRVNÍ HLAVNÍ VĚTA TERMODYNAMIKY (I. termodynamický zákon)

Vyjadřuje zákon zachování energie pro plyny. Představme si plyn uzavřený v nádobě s pohyblivým pístem. Plyn je ve stavu p1 ,V1 , T1 . Plyn zahřejeme, a tím mu dodáme teplo Q. Stav plynu v nádobě se změní na hodnoty p2 ,V2 , T2 . Zvýší se teplota plynu, tím se zvětší rychlost molekul a jejich energie, a tím se zároveň zvětší tlak plynu v nádobě. Molekuly plynu narážejí na stěny nádoby větší silou. Mohou pohnout pístem a zvětšit tak objem nádoby. Při zahřátí plynu nastanou tedy dva případy:  zvětší se vnitřní energie plynu U  U 2  U1 , jednotkou je U   J ,  zvětší se objem a plyn tím vykoná práci W , jednotkou je W   J .

Pak I. termodynamický zákon zapíšeme ve tvaru: Q  U  W Teplo dodané plynu se spotřebuje na změnu vnitřní energie a na práci, kterou plyn vykoná. POZNÁMKA: Vnitřní energie závisí na změně teploty. Při zahřátí plynu roste. Práce plynu závisí na změně objemu. Při zvětšení objemu plyn vykoná práci. Pro každý z ideálních dějů má rovnice jiný tvar. děj izochorický izobarický izotermický adiabatický

U mění se mění se nemění se  0 klesá

W nekoná  0 koná koná koná

Q  U Q  U  W Q W  U  W

63

9. ELEKTROSTATICKÉ POLE Elektrické pole existuje v okolí každé elektricky nabité částice nebo každého elektricky nabitého tělesa. Pokud je náboj nebo těleso v klidu, hovoříme o elektrostatickém poli.

9.1.

ELEKTRICKÝ NÁBOJ

Je jednou ze základních charakteristik mikročástic. Značí se Q nebo q. Jednotkou je coulomb Q =C. V základních jednotkách to je 1 C = 1 A . 1 s. Elektrický náboj je kladný nebo záporný. Nejmenší hodnotu má elementární náboj e  1,602.10 19 C . Ostatní náboje jsou jeho celistvým násobkem. Platí tedy Q  n e , kde n  1, 2, 3, 4...  Elektron má záporný elektrický náboj ee  1,602.10 19 C , hmotnost me  9,1.10 31 kg , elektron je v obalu atomu, 

Proton má kladný elektrický náboj e p  1,602.10 19 C , hmotnost m p  1,672.10 27 kg , proton je v jádře atomu,



Neutron je bez náboje, hmotnost mn  1,674.10 27 kg , neutron je v jádře atomu.

Každý prvek můžeme charakterizovat takto A Z

X

Z je protonové číslo – určuje počet protonů v jádře, A je nukleonové číslo – určuje počet nukleonů v jádře, tzn. určuje dohromady počet protonů a neutronů. Pak počet neutronů v jádře určuje neutronové číslo N  A  Z .

9.2.

COULOMBŮV ZÁKON

Každé dva náboje Q, q na sebe navzájem působí silou  F

Qq  r0 , 4 0  r r 2 1

  0 r

kde r je vzdálenost nábojů,  je permitivita prostředí (charakterizuje elektrické vlastnosti prostředí, jednotka C2 .N -1 .m-2 ),  0  8,854.1012 C2 .N -1 .m-2 je permitivita vakua,  r je  relativní permitivita (bez jednotky), r0 je jednotkový vektor určující směr působící síly.

64

9.3.

INTENZITA ELEKTROSTATICKÉHO POLE

Elektrické pole znázorníme pomocí elektrických siločar. Jsou to křivky, které začínají na kladném náboji a v prostoru se naváží na záporný náboj (mají začátek a konec).

Siločáry elektrického pole

 Intenzita E je vektorová veličina:  v každém místě popisuje elektrické pole,  je tečnou k elektrické siločáře,  je orientovaná od kladného náboje k zápornému. Představme si elektrické pole tvořené nábojem Q. Do tohoto pole umístíme náboj q do vzdálenosti r. Pak bude centrální náboj Q působit na vložený náboj q působit silou  1 Qq  F r0 . 4 0 r r 2  Intenzita elektrického pole náboje Q ve vzdálenosti r je definovaná jako podíl síly F a vloženého náboje q

  F E . q Jednotkou intenzita je N.C-1. Po dosazení za sílu z Coulombova zákona dostaneme 1 Qq  r  4   0 r r 2 0 , pak E q  1 Q E r0 . 4  0  r r 2

65

Vektor intenzity elektrického pole Nehomogenní elektrostatické pole

 Vektor intenzity má v každém bodě jiný směr nebo velikost E  konst Pole na obrázku je radiální (paprsčité). Homogenní elektrostatické pole

 Vektor intenzity má v každém bodě stejný směr a stejnou velikost E  konst

9.4.

POTENCIÁL ELEKTROSTATICKÉHO POLE

Elektrostatické pole je v každém bodě popsáno potenciálem  . Potenciál je skalární veličina. Jednotkou je volt    1V . Množina bodů, které mají stejný potenciál tvoří tzv. ekvipotenciální plochu (množinu bodů stejného potenciálu).  Vektor intenzity E je v příslušném bodě kolmý k ploše.

66

Mezi dvěma body elektrostatického pole, které mají rozdílný potenciál, je zavedena veličina napětí U   2  1 . Jednotkou je volt U   1V .

Jestliže tyto dva body mají souřadnice x1 a x2 , pak pro napětí U a intenzitu E platí vztah

U  E x2  x1 

nebo

U  Ed

POZNÁMKA: Odtud je odvozena často používaná jednotka pro intenzitu V.m-1.

9.5.

NÁBOJ V HOMOGENNÍM ELEKTROSTATICKÉM POLI

 Budeme uvažovat elektrostatické pole o konstantním vektoru elektrické intenzity E . Do   tohoto pole vložíme náboj q. Pole na tento náboj bude působit silou F  qE a udělí mu podle II. Newtonova zákona zrychlení

   F qE , a  m m kde m je hmotnost náboje.

Dojde ke změně rychlosti náboje, a tím i ke změně kinetické energie. Elektrické pole přitom vykoná práci

67

1 1 W   Ek  m v22  mv12 . 2 2   Práce jakékoliv síly je určena jako skalární součin síly F a posunutí ds . W  F s  qEs. Pro součin intenzity E a vzdálenosti dvou míst s  d elektrostatického pole o rozdílném potenciálu U   2  1 platí U   2  1  E d . Pak W  q E d  qU . Jestliže byl náboj původně v klidu, pak 1 1 W  q U  m v 22  mv12 . 2 2

POZNÁMKA: Elektrostatické pole tak působí jako urychlovač elektricky nabitých částic.

9.6.

KAPACITA VODIČE, KONDENZÁTORY

Každý vodič je schopen pojmout určité množství náboje. Závisí na tvaru vodiče. Tato vlastnost se označuje jako kapacita vodiče. Značí se C, jednotkou je fahrad. C  =F. Praktický význam má soustava dvou vodičů – kondenzátor. Vodiče mají nejčastěji deskový tvar. Mají plochu S, jsou umístěné ve vzdálenosti d, na deskách je náboj Q stejné velikosti opačného znaménka, mezi deskami je nevodivé prostředí (dielektrikum). Mezi deskami vznikne elektrostatické pole o intenzitě E s napětím U  E d . Pro kapacitu deskového kondenzátoru platí vztahy: Q S C C  0 r U d ŘAZENÍ KONDENZÁTORŮ Sériové řazení - kondenzátory jsou řazeny za sebou.

Náboj nemůže přecházet přes toto nevodivé prostředí z jedné desky na druhou. Na jedné desce se shromáždí náboj kladný. Na druhé desce se elektrostatickou indukcí vytvoří náboj záporný. Na druhém kondenzátoru se obdobným způsobem shromáždí náboj stejně velký. Napětí na kondenzátorech je různé.

68

Výsledná kapacita je 1 1 1   C C1 C 2 Po úplném nabití elektrický proud ustane.

Paralelní řazení – kondenzátory jsou řazeny vedle sebe.

Elektrický proud se v uzlu rozdělí na dva podle velikosti kapacity jednotlivých kondenzátorů. Každý kondenzátor se nabije jiným nábojem. Napětí je na obou kondenzátorech stejné. Výsledná kapacita je

C  C1  C2 Po úplném nabití elektrický proud ustane.

69

10. STACIONÁRNÍ ELEKTRICKÉ POLE Stacionární elektrické pole je charakterizováno konstantním elektrickým proudem. Elektrický proud I je usměrněný pohyb elektrických nábojů. Jednotkou je ampér, I   A . K vzniku elektrického proudu je nutný rozdíl potenciálů ve vodiči – přítomnost zdroje napětí.

Z hlediska vodivosti rozdělujeme látky na:  Vodiče – vedou elektrický proud, obsahují volné nosiče náboje,  Polovodiče - vedou elektrický proud jen za určitých podmínek,  Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrický proud, neobsahují volné nosiče náboje.

10.1. VZNIK ELEKTRICKÉHO PROUDU VE VODIČI K pevným elektricky vodivým látkám patří kovy. Jsou to krystalické látky. Atomy jsou pravidelně uspořádány v krystalové mřížce, kde kmitají kolem rovnovážných poloh.

Elektrony z valenční (poslední) sféry jsou velmi slabě vázány k jádru a navíc jsou odstíněny elektrony, které jsou na vnitřních sférách. Záporné valenční elektrony se uvolní se z přitažlivosti kladného jádra a volně se mohou pohybovat kovem. Vytvářejí tzv. elektronový plyn.

Jestliže připojíme kovový vodič ke zdroji napětí elektrického pole (baterii), vytvoří se ve  vodiči délky l elektrické pole o intenzitě E .

70

  Na každý elektron (náboj q) začne pole působit elektrickou silou Fe  E q a přinutí elektrony pohybovat se směrem ke kladnému pólu zdroje. Pohybují se proti směru intenzity.

Vznikne elektrický proud I

I

Q t

Elektrický prou je definován jako celkový náboj Q, který projde vodičem za čas t. Celkový náboj Q  n . q nebo pro elektron Q  n . e ,

Kde e =1,602.10-19 C, je elementární náboj (velikost náboje elektronu).

71

Čím déle elektrický proud vodičem prochází, tím je množství prošlého náboje větší. POZNÁMKA: Dohodnutý směr proudu (technický proud) je proti směru pohybu elektronů od kladného pólu zdroje k zápornému pólu (ve směru intenzity elektrického pole).

10.2. ODPOR VODIČE Elektrony, které se pohybují vodičem, narážejí do kmitajících atomů krystalové mříže. Tím se jejich pohyb zbrzdí. Tyto srážky jsou příčinou elektrického odporu R. jednotkou je ohm R   . Velikost odporu je dána vztahem R

l S

Kde  je měrný odpor, l je délka vodiče, S je průřez vodiče. Jednotky jsou l   m, S   m 2 ,    .m . S rostoucí teplotou se zvětšují kmity atomů v krystalové mřížce. Zvětšuje se frekvence kmitů a roste rozkmit. Tím se zvyšuje pravděpodobnost srážky elektronu s kmitajícím atomem a roste odpor.

R  R0 1   T  Kde R0 je odpor při počáteční teplotě T0 , R je odpor při teplotě T ,  je teplotní součinitel odporu s jednotkou    K 1

R  R0 1   T  T0 

ŘAZENÍ REZISTORŮ Technický název odporové součástky je rezistor. Sériové řazení - rezistory jsou řazeny za sebou.

Každým rezistorem prochází stejný elektrický proud I, na každém rezistoru je jiné napětí U. Výsledný odpor je R  R1  R2

72

Paralelní řazení –rezistory jsou řazeny vedle sebe.

Proud se v uzlu dělí na dva proudy. Každým rezistorem podle velikosti jeho odporu prochází jiný proud. Napětí na obou rezistorech je stejné. Výsledný odpor je 1 1 1 .   R R1 R2

10.3. OHMŮV ZÁKON Charakterizuje souvislost mezi napětím, proudem a odporem vodiče. Pokud má kovový vodič konstantní teplotu, je proud procházející vodičempřímo úměrný napětí mezi konci vodiče. Poměr napětí a proudu je konstantní. Pak U R I Převrácená hodnota určuje elektrickou vodivost , G 

U  RI I 1  jednotkou je siemens, G   S . U R

JOULEOVO TEPLO Při průchodu elektrického proudu vodičem narážejí elektrony do atomů krystalové mřížky. Elektrony předají svou kinetickou energii atomům. Dochází ke tření a vodič se zahřívá. Vyvíjí se tak teplo Q. Jednotkou Jouleova tepla je joule, Q  J . Množství tepla závisí na  počtu prošlých elektronů – souvisí s velikostí proudu I,  rychlosti elektronů – souvisí s velikostí napětí U,  době t , po kterou proud prochází. Platí Q U I t VÝKON ELEKTRICKÉHO PROUDU Jouleovo teplo vyvinuté ve vodiči je jako forma energie rovna práci elektrického proudu. Pak výkon elektrického proudu je Q U It P  U I t t Jednotkou je watt, P  W .

73

11.

KMITAVÝ POHYB NETLUMENÝ

Kmitání je takový pohyb hmotného bodu (tělesa), při němž hmotný bod nepřekročí konečnou vzdálenost od určité polohy, kterou nazýváme rovnovážnou polohou RP. Pohybuje se periodicky z jedné krajní polohy (H) do druhé krajní polohy (S) a zpět. Jakýkoliv kmitající objekt se nazývá oscilátor. Mechanické kmity hmotných bodů prostředí mají tu výhodu, že jsou názorné, a proto je studujeme nejdříve.

Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakýkoliv opakující se periodický děj, při němž dochází k pravidelné změně libovolné fyzikální veličiny v závislosti na čase. Například při periodické změně velikosti a orientace intenzity elektrického pole nebo intenzity magnetického pole hovoříme o elektrických nebo magnetických kmitech. Popisují je stejné rovnice.

11.1. Síla pružnosti 11.2. Pružina je charakterizovaná veličinou k , kterou nazýváme tuhost pružiny. Jednotkou tuhosti pružiny je N.m-1. Při protažení pružiny vzniká v pružině síla pružnosti F p , jejíž velikost se v závislosti na prodloužení zvětšuje. Síla pružnosti je orientovaná proti protažení pružiny – výchylce z rovnovážné polohy y F  k y . p Po uvolnění tělesa vzniká kmitavý pohyb. Největší vzdálenost kuličky od rovnovážné polohy nazýváme amplitudou a značíme A . Okamžitá vzdálenost je okamžitá výchylka (elongace) a značíme ji y . Jednotkou amplitudy a okamžité výchylky je metr. Síla pružnosti je úměrná okamžité výchylce a je charakterizovaná vztahem Kmitavý pohyb je pohyb periodický. Lze jej srovnat s jiným periodickým pohybem, a sice pohybem po kružnici. 74

Doba, za kterou se kulička dostane z jedné krajní polohy do druhé a zpět, se nazývá perioda T, podobně jako doba jednoho oběhu hmotného bodu (kuličky) po kružnici. Převrácená hodnota doby kmitu (periody) je frekvence f. Jednotkou periody je sekunda, jednotkou frekvence je Hz=s-1. Platí, 1 že f  . T 2  2 f . Úhlová rychlost pohybu po kružnici je   T Při kmitavém pohybu používáme pro  termín úhlová frekvence a pro  označení fáze. Jednotkou  je rad.s-1, jednotkou fáze  je rad. Při rovnoměrném pohybu po kružnici je úhlová dráha    t .

11.2. Rovnice netlumeného kmitavého pohybu Síla pružnosti působící harmonický kmitavý pohyb je F   k y . p Tuto sílu lze podle Newtonova pohybového zákona zapsat ve tvaru m a   k y . Jejím řešením je rovnice charakterizující dráhu hmotného bodu (okamžitou výchylku y),





y  A sin  t   , 0

amplituda kmitu,  je úhlová frekvence netlumeného kmitavého k 2 pohybu   ,  je počáteční fáze. Jednotkou počáteční fáze je rad. Počáteční fáze určuje m 0 velikost okamžité výchylky v čase t  0 s. Výraz v závorce je fáze pohybu  kde

A je

Vzhledem k tomu, že se při kmitavém pohybu jedná o periodickou změnu okamžité výchylky y v závislosti na čase t, lze tuto veličinu v časovém rozvinutí popsat pomocí periodické funkce sinus.Takový pohyb nazýváme harmonickým pohybem. Příklad: Závaží o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu. Pružina se tím prodlouží o 16 cm vzhledem ke své nezatížené délce. a) Jaká je tuhost pružiny? 75

b) Dané závaží odstraníme a na tutéž pružinu zavěsíme závaží o hmotnosti 0,5 kg. Poté pružinu ještě poněkud protáhneme a uvolníme. Jaká bude perioda vzniklých kmitů? Řešení: m =4 kg, y = 0,16 , k = ? a) Na těleso působí síla pružnosti a tíhová síla, které jsou v rovnováze pak mg 4.9,81 k ymgk  k   k  245,25 N.m-1 y 0,16 -1 Tuhost pružiny je 245,25 N.m . b) Pro tuhost pružiny platí k  m  2  Perioda kmitů je 0,284 s.

4 T

2

2

m 0,5  2  0,284 s. k 245,25

T  2

11.3. Rychlost a zrychlení netlumeného kmitavého pohybu Rychlost, kterou se těleso při kmitavém pohybu pohybuje a její změnu, si velmi dobře představíme, když pozorujeme pohyb tenisty na zadní čáře tenisového kurtu. Provádí v podstatě kmitavý pohyb. Rychlost v krajních polohách (amplitudách), kdy se musí hráč zastavit, je nulová. Rychlost, kdy prochází středem (rovnovážnou polohou) je maximální. Rychlost jakéhokoliv pohybu, a tudíž i pohybu kmitavého, určíme derivací dráhy podle času. Protože drahou kmitavého pohybu je okamžitá výchylka, pak derivujeme rovnici pro výchylku podle času a dostaneme dy v  A  cos  t   , 0 dt kde výraz v  A  představuje maximální rychlost v , kterou kmitající objekt prochází





0

0

rovnovážnou polohou. V amplitudě je rychlost nulová. Pak rovnice



v  v cos  t   0

0



je rovnice rychlosti kmitavého pohybu. Zrychlení dostaneme derivací rychlosti podle času. Derivujeme tedy rovnici dále. Pak zrychlení je dv 2 a   A  sin  t   , 0 dt





2

kde výraz a0  A  je maximální zrychlení a 0 . Toto zrychlení má hmotný bod v amplitudě. V rovnovážné poloze je zrychlení nulové. Pak rovnice zrychlení je a   a sin  t   . 0 0





76

Příklad: Určete velikost rychlosti a zrychlení ve druhé sekundě kmitavého pohybu,   jestliže okamžitá výchylka je dána vztahem y  0,4 sin  5 t   (m,s). 6  Řešení:



Z rovnice pro výchylku y  A sin  t  

  5 rad.s -1 a počáteční fázi  0 

 6

0

 určíme amplitudu A = 0,4 m, úhlovou frekvenci

rad.





a) dosadíme do vztahu pro okamžitou rychlost v  A cos  t   . 0

Pak

    v  0,4.5 cos  5 2    0,4 .5 cos10   . 6 6   Protože cosinus je funkce periodická můžeme psát

v  0,4.5 cos

 6

 0,4. 5.3,14.

3  5,4 m.s-1 2 2



b) dosadíme do vztahu pro okamžité zrychlení a   A sin  t  

0



Pak

    a  0,4.5 2 sin 5 t    0,4.5 2 sin10   . 6 6   Protože sinus je funkce periodická můžeme psát

a  0,4.5 2 sin



1  0,4.5.3,142 .  49,3 m.s-2 6 2

Velikost rychlosti daného kmitavého pohybu ve druhé sekundě je 5,4 m.s-1, velikost zrychlení téhož pohybu je ve druhé sekundě 49,3 m.s-2.

77

11.4. Práce sil pružnosti Při vychýlení tělesa z rovnovážné polohy, působí na vychýlený objekt síla pružnosti Fp  k y . Při posunutí o dráhový element ds vykoná elementární práci dW.   dW  F ds  F ds cos  Protože síla pružnosti a vychýlení mají opačný směr, je úhel   180  cos180  1 Obecný dráhový element ds nahradíme elementem výchylky dy, k je konstanta pružnosti. Pak práce sil pružnosti je 1 W   Fp dy cos    ky dy 1   ky dy  k  y dy  k y 2 2 1 W  k y2 2

11.5. Potenciální energie pružnosti netlumeného kmitavého pohybu Potenciální energie závisí na vzájemné poloze dvou objektů a na práci, kterou je nutné při jejich vzdálení (přiblížení) vykonat. Podobně jako u potenciální energie tíhové (tíhová síla FG  m g ) je změna potenciální energie rovna práci. E p  W

Zde koná práci síla pružnosti Potenciální energii pružnosti získáme jako práci W, potřebnou k vychýlení hmotného bodu z rovnovážné polohy do vzdálenosti y . Při výchylce y působí na hmotný bod síla pružnosti F   k y . Potenciální energii pružnosti pak stanovíme výpočtem (viz výše) p

y

E p  W   ky dy  y0

 

1 k y2 2

y y0



1 2 1 2 ky  ky0 2 2

. kde y0  0 m , pak 1 k y2 2 Představuje přírůstek potenciální energie pružnosti hmotného bodu vzhledem k potenciální energii hmotného bodu v rovnovážné poloze při vychýlení do vzdálenosti y . Potenciální energie pružnosti (protože je ovlivňovaná silou pružnosti) mění během periody svou velikost v závislosti na výchylce y . V libovolném časovém okamžiku má hodnotu určenou vztahem Ep 

E  p





1 2 2 k A sin  t   . 0 2

Potenciální energie pružnosti závisí na okamžité výchylce. Mění v průběhu harmonického pohybu svou velikost.

78

Poznámka: V rovnovážné poloze je potenciální energie pružnosti nulová, v amplitudách je maximální a její hodnota je určená vztahem

E

p max



1 2 kA . 2

11.6. Kinetická energie netlumeného kmitavého pohybu 1 2 m v . Po dosazení odvozeného vztahu 2 pro rychlost v  A cos  t   harmonického pohybu dostaneme 0 1 2 2 2 E  m  A cos  t   . k 0 2 Použitím vztahu k 2  m zapíšeme kinetickou energii ve tvaru Kinetická energie je určena známým vztahem E 





k





E  k





1 2 2 k A cos  t   . 0 2

Kinetická energie je závislá na okamžité hodnotě rychlosti. Mění v průběhu harmonického pohybu svou velikost. Poznámka: Protože je určená rychlostí oscilátoru, je v amplitudách nulová, při průchodu rovnovážnou polohou je maximální. Maximální kinetická energie v rovnovážné poloze je stanovena výrazem 1 2 E  kA . k max 2

11.7.

Celková energie netlumeného kmitavého pohybu

Celková energie E harmonického pohybu je v každém okamžiku rovna součtu energie kinetické Ek a potenciální energie pružnosti Ep EE E . k

p

Jestliže sečteme okamžité hodnoty kinetické energie a potenciální energie pružnosti, dostaneme celkovou energii kmitavého pohybu.

79

EE E  k

p









1 1 2 2 2 2 k A cos  t    k A sin  t   . 0 0 2 2

Úpravou získáme

E

 







1 1 2 2 2 2 k A cos  t    sin  t    k A . 0 0 2 2

Pro celkovou energii kmitavého pohybu tedy platí vztah

E

1 2 kA . 2

Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantní a amplituda A netlumených kmitů je rovněž konstantní, je i celková energie harmonického pohybu konstantní.

Energie potenciální a kinetická jsou s časem proměnné a přeměňují se navzájem.

Příklad: Těleso hmotnosti 2 kg koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice

 

y  3 sin 2 t  m.s -1 . Určete jeho potenciální energii v bodě vratu.

Řešení: m = 2 kg, A = 3 m, ω = 2 rad.s-1,Ep = ?

1 2 Pro potenciální energii platí vztah E p  k y . V bodě vratu je výchylka rovna amplitudě, 2 1 2 2 1 2 2 E  m  A  2.2 .3  36 J. p 2 2 Potenciální energie je 36 J.

80

Příklad: Těleso hmotnosti 2 kg koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice y  0,2 sin3 t m.s  . Ve vzdálenosti 0,1 m od rovnovážné polohy má potenciální energii 0,09 J. Určete v této poloze jeho kinetickou energii. Řešení: m = 2 kg, A =0,2 m, ω =3 rad.s-1,Ep = 0,09 J, Ek = ? Celková

energie

E EE  k

p

E

1 2 kA 2

je

rovna

součtu

E E E. p

k

Pak

1 1 2 2 2 m  A  E  2.3 0,2  0,09  0,27 J. p 2 2

Kinetická energie je 0,027 J. Příklad: Těleso koná netlumený harmonický pohyb. Perioda pohybu je 2 s. Celková energie tělesa je 3.10-5 J a maximální síla působící na těleso má velikost 1,5.10-3 N. Určete amplitudu výchylky. Řešení: T = 2 s, E = 3.10-5 J, Fm =1,5.10-3 N, A = ?

1 2 k A , maximální síla je 2 Dosadíme do vztahu pro energii, pak Celková energie je

E

F  k A . Vyjádříme m

F k m. A

2 E 2.3.10 5 1 Fm 2 1 5 E A  E  F A A   4.10 m. m  3 2 A 2 F 1,5.10 m Amplituda výchylky je 4.10-5 m.

81

12.

MECHANICKÉ VLNĚNÍ

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonický pohyb izolované částice (hmotného bodu nebo tělesa), která konala kmitavý pohyb kolem rovnovážné polohy. Jestliže takový objekt bude součástí hmotného prostředí (tuhého, kapalného, plynného), pak se kmity neomezí jen na samotný hmotný bod, ale budou se přenášet i na sousední body tohoto prostředí. Z místa prvotního kmitu – zdroje – se bude přenášet rozruch i na ostatní body prostředí. Říkáme, že v prostředí vzniká vlnění, případně , že prostředím se šíří postupná vlna. Typickým příkladem vzniku vlnivého pohybu je vlnivý pohyb, který vzniká na vodní hladině po dopadu kamene. Molekuly vodní hladiny jsou postupně uvedeny do kmitavého pohybu. V tomto případě se šíří ze zdroje vlnění (místa rozruchu) rovinná vlna.

Dalším příkladem může být rozkmitání volného konce hadice rukou. Jednotlivé body pouze kmitají kolem rovnovážných poloh. Tato poloha zůstává stálá. Vlnění je jedním z nejrozšířenějších fyzikálních dějů. Šíří se jím zvuk, světlo, pohyby v zemské kůře při zemětřesení. Vlnění má různou fyzikální podstatu a může mít i složitý průběh. Základní poznatky o vlnění je možné nejsnadněji objasnit na vlnění mechanickém.

12.1. Popis mechanického vlnění Nejpřehlednější je vlnivý pohyb v bodové řadě, kdy jedna její částice začnkmitat. Vznikne lineární postupná vlna. Body prostředí mohou kmitat v libovolných směrech: 1. napříč ke směru šíření vlnění – příčná vlna,

82

2. podél směru šíření vlnění – podélná vlna.

12.2.

Rychlost šíření vlnění

V daném hmotném prostředí se vlnění šíří konstantní rychlostí v. To znamená, že pro popis rychlosti můžeme použít vztah pro rychlost rovnoměrného pohybu s v . t Vzdálenost, do které se rozruch rozšíří za dobu kmitu ( periodu ) T krajního bodu, se nazývá vlnová délka  . Jednotkou vlnové délky je m. Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady. Jednotkou je sekunda (s). Převrácenou hodnotou periody je frekvence f . Jednotkou je hertz (Hz=s-1). Platí 1 f  . T Jednotkou periody je s, jednotkou frekvence je s-1 nebo též Hz. Úhlová frekvence  (rad.s-1) je na základě teorie kmitavého pohybu daná vztahem 2   2f  T Pak rychlost šíření vlnění je možné vyjádřit vztahem

v

 T

nebo

v f

Rychlost v nazýváme fázovou rychlostí.

83

Pak vlnová délka  je nejkratší vzdálenost dvou bodů, které kmitají se stejnou fází.Při přestupu vlnění do jiného prostředí zůstává frekvence stejná, mění se fázová rychlost a vlnová délka. Příklad: Prostředím se šíří postupné vlnění, jehož úhlová frekvence je 12 rad.s-1 a rychlost šíření vlnění je 6 m.s-1. Určete vlnovou délku tohoto vlnění.

 =12 rad.s-1, v = 6 m.s-1, Pro vlnovou délku platí ze vztahu pro fázovou rychlost  

v . f

Frekvenci f kmitavého pohybu vyjádříme ze vztahu   2f . Pak f  Po dosazení do vztahu pro vlnovou délku je   Vlnová délka je 1 m.

v 2





6.2  1 m. 12

 . 2

12.3. Matematické vyjádření okamžité výchylky postupné vlny Budeme uvažovat řadu bodů. Krajní bod řady (droj vlnění) kmitá s výchylkou popsanou rovnicí u  A sin  t  . Poznámka: Okamžitá výchylka hmotného bodu z rovnovážné polohy při vlnivém pohybu se obvykle značí u. Bod řady ve vzdálenosti x bude uveden do kmitavého pohybu s časovým zpožděním  . Pak rovnice pro výchylku tohoto bodu bude zapsaná ve tvaru u  A sin  t -   . Protože vlnění se šíří konstantní rychlostí, pak x x v    .  v Dosadíme do vztahu pro výchylku  x u  A sin   t -  .  v Protože fázová rychlost je v 

 T

,

pak   x u  A sin   t     T

    A sin   t  T x  .      

84

2 , pak T 2  T x  u  A sin t  . T    Po úpravě získáme rovnici Vzhledem k tomu, že  

 t x u  A sin 2     . T   Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou výchylku bodu, který leží ve vzdálenosti x od zdroje vlnění v časovém okamžiku t. Jestliže nebudeme uvažovat útlum vlnění v daném prostředí, pak amplituda kmitů jednotlivých bodů řady bude stejná. Vlnění se šíří v kladném směru osy x. V případě, že by se vlnění šířilo opačným směrem, bylo by v rovnici kladné znaménko. Příklad: Jakou rovnici má vlna o frekvenci 40 Hz, amplitudě 2 cm, která postupuje rychlostí 80 m.s-1. a) v kladném směru osy x b) v záporném směru osy x Řešení: f = 40 Hz, A = 0,02 m, v = 80 m.s-1 a)Rovnice okamžité výchylky vlny je  t x u  A sin 2     . T   Vlnová délka v 80    2m f 40 Můžeme ji přepsat do tvaru

x x   u  A sin 2  f t    0,2 sin 40 t   m  2   b)V rovnici změníme pro orientaci znaménko

x x   u  A sin 2  f t    0,2 sin 40 t   m  2  

12.4. Fázový a dráhový rozdíl Jestliže rovnici pro okamžitou výchylku

85

 t x u  A sin 2     T   upravíme na tvar t x x   u  A sin  2  2   A sin  t  2  .    T  A srovnáme s rovnicí kmitavého pohybu u  A sin  t    ,

pak člen

  2

x



představuje fázový posuv bodu ve vzdálenosti x od zdroje vlnění vůči tomuto bodu. Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdálenostech x1 a x2, pak jejich fázový rozdíl bude    2  1  2

x2



 2

x1





2



x2  x1   2 x . 

Fázový rozdíl  bude úměrný dráhovému rozdílu x . Jestliže budeme uvažovat dva body řady, jejichž vzájemná x vzdálenost bude rovna sudému



to je x  k  , kde k  1,2,3,..., pak fázový 2 rozdíl  bude roven   2k a oba body budou kmitat ve fázi. Budou dosahovat maxima a minima současně. násobku polovin vlnových délek x  2 k

Příklad: Určete fázový rozdíl mezi dvěma body, které leží ve vzdálenostech x1  16 cm a x2  48 cm od zdroje vlnění, jestliže vlnění se šíří rychlostí v  128 m.s -1 s frekvencí f  400 Hz .

86

Řešení: x1 = 0,16 m, x2 = 0,48 m, v = 128 m.s-1, f = 400 Hz Fázový rozdíl je

 

2



x2  x1  .

K výpočtu je nutné určit vlnovou délku v 128    0,32 m . f 400 Pak 2 0,48  0,16  2 0,32  2 rad .   0,32 0,32 Body budou ve fázi.

87