STNB222 segédlet a PTE Polláck Mihály Műszaki Kar hallgatóinak. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK

V A S B E T O N S Z E R K E Z E T E K II.

STNB222 segédlet a PTE Polláck Mihály Műszaki Kar hallgatóinak

„Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése” HEFOP/2004/3.3.1/0001.01

Összeállította: Orbán Zoltán és Kiss Rita 1. gyakorlat Kiss Rita (előadások és többi gyakorlat) Műszaki rajzoló: Szabó Imre Gábor ISBN szám: 978-963-7298-14-1 Kézirat lezárva: 2007. november 20. A tananyagot e-példatárként, ingyen bocsátjuk a hallgatók rendelkezésére.

Tartalomjegyzék és ütemterv Hét 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Előadás anyaga Lemezek –Bevezetés Egyirányban teherviselő lemezek Rugalmas lemezelmélet Lemezrendszerek számítása. Oszlopokkal alátámasztott lemez Vasbeton lemezek képlékeny teherbírása Lemezek törőterhének meghatározása Keretek definíció, közelítő számítás Szünet Keretek számítása vízszintes teherre Keret méretezése Oszlopok méretezése Rövid konzol és az erő bevezetés méretezése Merevítő rendszer közelítő számítása Zárthelyi dolgozat írása Merevítő rendszer közelítő számítása Felkészülést segítő példák Lemezszerkezetek Keretszerkezetek

Gyakorlat Egyirányban teherviselő lemezek Kétirányban teherviselő lemez Lemez tervezési feladat

Oldal 5. 26. 34.

Lemez tervezési feladat

35.

Lemezek törőterhének meghatározása Lemez tervezési feladat

36.

Szünet Lemez tervezési feladat bevétele

45. 46.

Keret igénybevételeinek számítás vízszintes teherre Keret tervezési feladat Oszlop méretezése

47. 53. 60.

Keret tervezési feladat

64.

Keret tervezési feladat Tervezési feladat beadása

65. 66.

44.

67. 68. 78.

3

Bevezetés Az oktatási segédlet a Pécsi Tudományegyetem Polláck Mihály Műszaki KarÉpítőmérmöki alapképzésében oktatott Vasbetonszerkezetek II. tantárgyhoz készült. Az oktatási segédlet tartalmazza az előadások és a gyakorlatok tematikáját, valamint az előadáson és gyakorlaton bemutatott példákat részletesen. Az elméleti anyagot részletesen Kiss Rita M.: Vasbetonszerkezetek II – Lemez és keretszerkezetek című jegyzet tartalmazza. Az oktatási segédlet végén a zárthelyi dolgozatra és a vizsgára való felkészüléshez példákat mutatunk be.

4

1. hét 1. előadás: Lemezszerkezetek I. Tematikája: Definíciók: Lemez és osztályozása Anizotrópia-izotrópia Megtámasztás Teherviselés iránya Egyirányban teherviselő lemezek számítása Gerenda elmélet Tervezési szabályok Kétirányban teherviselő lemezek Hajlított lemez terheléstörténete Háttéranyag: Jegyzet 1 és 2. fejezete (3-13.oldalig)

1. gyakorlat: Egyirányban teherviselő lemez számítása Tematikája: Harántfalas épület lemezszerkezetének számítása, vasalása Gerenda modellezés Többtámaszú tartók igénybevétel számítása AXIS-sal Kéttámaszú tartók igénybevétel számítása Lemez vasalásának számítása és ellenőrzése Vasalási vázlat

5

6

TERVEZÉSI FELADAT: Harántfalas épület két- és többtámaszú monolit vasbeton födémlemezének tervezése kiadott feladatlap alapján. Feladatok: 1. Tervezzük meg a harántfalas épület egyirányban teherhordó monolit vasbeton lemezfödémét! 2. Készítsünk vasalási vázlatot a lemezfödém vasalásáról! 3. Készítsük el a lemezfödém vasalási tervét! 1.1 Kiindulási adatok: Anyagok, anyagjellemzõk: Beton:

C16/20 N

fck := 16

Betonacél:

fyk := 500

γ c := 1.5

2

B60.50

fck

fctm := 1.9

N

fcd = 10.7

γc

γ s := 1.15

2

mm

mm fcd :=

N

fyd :=

2

mm

fyk

fyd = 435

γs

N 2

mm

N Kengyelek, szerelõvasak:

2

B38.24

mm

fyk.w := 240

N 2

mm 1 cm kerámia lapburkolat

1.2 Födém rétegerend:

2 cm ágyazó habarcs 6 cm simított aljzatbeton 4 cm Nikecell D táblás hõszigetelés 15 cm monolit vasbeton födémlemez 2 cm vakolat Egyszerűsítésképpen az egész alapterületen ezzel a rétegrenddel számolunk. 1.3 Terhek: Válaszfalterhelés:

g vf := 1.5

kN 2

m q h := 2.0

Hasznos teher:

kN 2

m 1.4 Geometriai adatok: l1n := 4.2m l2n := 11.24m b ger := 0.3m Betonfedés:

cmin.dur := 15mm

Környezeti osztály: XC1

20 mm-es fővas acélbetét átmérővel számolva:

(

)

cnom := 10mm + max cmin.dur , cmin.b , 10mm

cmin.b := 20mm cnom = 30 mm

7

A tervezés menete: 2.1 Geometriai adatok kigyûjtése a mellékelt tervrõl: Szabad nyílás(a falak belsõ felületeinek távolsága):

l1n = 4.2 m

Feltámaszkodás hossza szélsõ falon:

t1 := 0.3m

Feltámaszkodás hossza közbensõ falon:

t2 := 0.38m

2.2 Lemezvastagság közelítõ felvétele: v lemez :=

l1n

v lemez = 140 mm

30

v min := 100mm 2.3 Elméleti támaszközök: Támaszvonal és a feltámaszkodás széle közötti távolságok: Szélen:

⎛ vlemez t1 ⎞ , ⎟ 2⎠ ⎝ 2

a1 = 70 mm

⎛ vlemez t2 ⎞ , ⎟ 2⎠ ⎝ 2

a2 = 70 mm

a1 := min⎜ Középen: a2 := min⎜

Csak véletlen, hogy a két távolság ugyanaz. Elméleti támaszközök: Szélsõ mezõ: l1eff.1 := l1n + a1 + a2

l1eff.1 = 4.34 m

Közbensõ mezõ: l1eff.2 := l1n + a2 + a2

l1eff.2 = 4.34 m

3. A födémlemez méretezése: 3.1 Terhek: Állandó terhek: Súlyelemzés: testsûrûség kerámia lapburkolat

kg

ρ r1 := 2200

3

térfogatsúly

vastagság

kN

v r1 := 1cm

γ r1 := 22

m ágyazó habarcs

kg

ρ r2 := 2100

3

kg

ρ r3 := 2200

3

γ r2 := 21

ρ r4 := 50

kg 3

m

r1 = 0.22

kN 3

γ r3 := 22

kN 3

v r2 := 2cm

r2 := v r2⋅ γ r2

r2 = 0.42

kN 3

2

kN 2

m v r3 := 6cm

r3 := v r3⋅ γ r3

r3 = 1.32

m γ r4 := 0.5

kN m

m

m Nikecell D táblás hõszigetelés

r1 := v r1⋅ γ r1

m

m simított aljzatbeton

3

súly

kN 2

m v r4 := 4cm

r4 := v r4⋅ γ r4

r4 = 0.02

m

kN 2

m

8

monolit vasbeton födémlemez

ρ r5 := 2500

kg 3

γ r5 := 25

m vakolat

ρ r6 := 1750

kg 3

kN

v r5 := 15cm

3

r5 := v r5⋅ γ r5

r5 = 3.75

m γ r6 := 17.5

m

kN 2

m

kN 3

v r6 := 2cm

r6 := γ r6⋅ v r6

r6 = 0.35

m

kN

g r := r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6

g r = 6.08

kN 2

m

A válaszfalteher vonalmenti teher, de a válaszfalak elhelyezkedését nem ismerjük, ezért a válaszfalterhet "szétkenjük" és felületi megoszló teherként vesszük figyelembe. g vf = 1.5

kN 2

m

Állandó terhek biztonsági tényezõje:

γ G := 1.35

Esetleges terhek: q h := 2.0

kN 2

m

Esetleges terhek biztonsági tényezõje:

γ Q := 1.5

A födém súlyának alapértéke: p F := g r

p F = 6.08

kN 2

m 3.2 Mértékadó teher meghatározása: Teherbírási határállapotban:

(

)

p M := g r + g vf ⋅ γ G + q h ⋅ γ Q

p M = 13.23

kN 2

m

3.3 A lemez igénybevételeinek kiszámítása a többtámaszú szakaszokon: Statikai váz: 5 támaszú lemez. Elméleti támaszköz hosszirányban: l2.eff := l2n + Feltétel:

b ger 2

+

l2.eff l1eff.1

b ger 2 ≥ 2.0

l2.eff = 11.54 m l2.eff l1eff.1

= 2.659 > 2.0

2

m

Tehát a lemez egyirányban teherhordó.

9

3.3.1 Terhelési esetek: I. terhelési eset: Hatásábra a szélsõ mezõközépi nyomatékra:

0,015

0,171

Szabvány : Eurocode Lineáris számítás Eset : HA1 E (W) : 1,17E-16 E (P) : 1,17E-16 E (ER) : 4,44E-16 : PZ`1` [m] Komp.

-0,867

-0,046

My

4,340

4,340

4,340

4,340

Z

X

Szabvány : Eurocode : H1 Eset

-13,23

-13,23 -6,08

4,340

4,340

-6,08

4,340

4,340

Z

X

10

19,48

19,48 12,99

M y [kNm]

x

1,85 -6,18

-14,91 -22,11

II. terhelési eset: Hatásábra a második támasz feletti nyomatékra

0,030

0,342

0,446

Szabvány : Eurocode Lineáris számítás Eset : HA2 E (W) : 1,17E-16 E (P) : 1,17E-16 E (ER) : 4,44E-16 Komp. : PZ`1` [m]

-0,093

My

4,340

4,340

4,340

4,340

Z

X

11

Mértékadó leterhelés: Szabvány Lineáris Eset E (W) E (P) E (ER) Komp.

: Eurocode számítás : H2 : 1,21E-16 : 1,21E-16 : 4,44E-16 : Nx [kN]

-13,23

-13,23

-13,23 -6,08

4,340

4,340

4,340

4,340

Z

X

28,50 20,09 10,58

M y [kNm]

x

0,64

-12,15 -18,50

-21,87

12

III. terhelési eset: Hatásábra a bal oldali közbensõ födém mezõközépi nyomatékra:

0,139

0,164


4,340

-0,751

-0,045

My

4,340

4,340

4,340

Z

X

Szabvány Lineáris Eset E (W) E (P) E (ER) Komp.


-13,23 -6,08

4,340

-13,23 -6,08

4,340

4,340

4,340

Z

X

13

19,48

19,48 12,99

M y [kNm]

x

1,85 -6,18

-14,91 -22,11

IV. terhelési eset: Hatásábra a harmadik támasz feletti nyomatékra:

0,372

0,372


4,340

-0,119

-0,119

My

4,340

4,340

4,340

Z

X

14

Szabvány Lineáris Eset E (W) E (P) E (ER) Komp.


-13,23

-13,23

-6,08

-6,08

4,340

4,340

4,340

4,340

Z

X

22,61 17,08

17,08

M y [kNm]

x

-6,91

-6,91 -11,30

-11,30

15

V. terhelési eset: Totális leterhelés Szabvány : Eurocode Eset : Totális

-13,23

-13,23

-13,23

-13,23

4,340

4,340

4,340

4,340

Z

X

26,70

26,70 17,80

M y [kNm]

x

-8,90 -19,22

-8,90 -19,22

16

3.3.2 Nyomatéki burkológörbe: Jelen esetben a maximális és a minimális értékeket is tartalmazza.

28,50

26,70 22,61

17,08

17,08 10,58

M y [kNm]

1,85

x

1,85

-6,18

-6,18 -14,91

-14,91

-22,11

-22,11

3.3.3 Mértékadó igénybevételek a többtámaszú szakaszokon: Mezõközép: M Ed.1 := 22.11kNm

1-es és a 4-es mezõ

M Ed.2 := 14.91kNm

2-es és 3-as mezõ, itt mezõközépen felsõ vasalás is szükséges, mert M Ed.2.plusz := 1.65kNm

Támaszok fölött: M Ed.3 := 28.50kNm

1-es és 2-es, valamint 3-as és 4-es mezõk közötti falakon

M Ed.4 := 22.61kNm

2-es és 3-as mezõ közötti falon

17

3.4 A lemez igénybevételeinek kiszámítása a kéttámaszú szakaszokon: Statikai váz: Kéttámaszú lemez. Elméleti támaszköz:

l1n + a1 + a1 = 4.34 m

4,340 m

Terhelés: Szabvány : Eurocode Lineáris számítás Eset : Gerenda teher E (W) : 8,54E-17 E (P) : 8,54E-17 E (ER) : 4,44E-16 : Nx [kN] Komp.

-13,23

4,340

Z

X

18

Igénybevételek kiszámítása:

M y [kNm]

x

-31,15

Mértékadó igénybevétel a kéttámaszú szakaszokon: M Ed.5 := 31.15kNm A maximális igénybevétel a lemezek kéttámaszú szakaszán adódik, ehhez a nyomatékhoz határozom meg a mértékadó lemezvastagságot, szabad tervezéssel. 4. Lemezek méretezése: 4.1 Kéttámaszú szakaszok: Mértékadó igénybevétel: ξ c := 0.3

d 5 :=

b 5 := 1000mm

M Ed.5

d 5 = 107 mm

ξc ⎞ ⎛ b 5 ⋅ ξ c⋅ fcd⋅ ⎜ 1 − ⎟ 2 ⎠ ⎝

x c5 := ξ c⋅ d 5

As5 :=

M Ed.5 = 31.15 kNm

x c5 = 32.1 mm

x c5⋅ b 5 ⋅ fcd fyd 2

As5.alk := 808mm

2

As5 = 788 mm φ12/140

φ5.alk := 12mm

19

a5 := cnom +

φ5.alk

a5 = 36 mm

2

v 5 := a5 + d 5

v 5 = 143 mm

v 5.alk := 140mm Elosztó vasalás: 2

As5.elosztó := 0.2⋅ As5.alk

As5.elosztó = 161.6 mm

2

φ8/300

As5.elosztó.alk := 168mm

Vasmennyiség ellenõrzése: b t5 := b 5 fctm ⎛ ⎞ As.min := max⎜ 0.26 ⋅ b t5⋅ d 5 , 0.0013b t5⋅ d 5⎟ fyk ⎝ ⎠

Minimális vasalás:

2

As.min = 139 mm

A fõvasalás és az elsztóvasalás is megfelel a minimális vasmennyiség követelményének. A vasbeton lemezfödém egységes vastagsága: v lemez.alk := v 5.alk

v lemez.alk = 140 mm

4.2 Többtámaszú szakaszok: A további szakaszok vasalásának meghatározása kötött tervezéssel (mert vlemez-t már kiszámoltuk) történik.

4.2.1 Szélsõ mezõk: Mértékadó igénybevétel:

M Ed.1 = 22.11 kNm

b 1 := 1000mm v lemez.alk = 140 mm

φ1.alk := φ5.alk

(

d 1 := v lemez.alk − cnom + φ1.alk

ξ c1 := 1 −

1 − 2⋅

As1 :=

)

M Ed.1

ξ c1 = 0.246

2

b 1 ⋅ d 1 ⋅ fcd

x c1 := ξ c1⋅ d 1 b 1 ⋅ x c1⋅ fcd fyd

φ1.alk = 12 mm

x c1 = 24.1 mm 2

As1 = 592 mm

20

2

As1.alk := 754mm

φ12/150

a szerkesztési szabályok betartása: s max = 150mm

Alsó elosztó vasalás: 2



2

φ8/300


Vasmennyiség ellenõrzése: b t1 := b 1 fctm ⎞ ⎛ As.min.1 := max⎜ 0.26 ⋅ b t1⋅ d 1 , 0.0013b t1⋅ d 1⎟ fyk ⎝ ⎠


2

As.min.1 = 127 mm

A fõvasalás és az elsztóvasalás is megfelel a minimális vasmennyiség követelményének.

4.2.2 Középsõ mezõk: M Ed.2 = 14.91 kNm

Mértékadó igénybevétel: b 2 := 1000mm v lemez.alk = 140 mm

φ2.alk := φ5.alk

(


ξ c2 := 1 −

ξ c2 = 0.158

2

b 2 ⋅ d 2 ⋅ fcd

x c2 := ξ c2⋅ d 2

As2 :=

)

M Ed.2

1 − 2⋅

φ2.alk = 12 mm

x c2 = 15.5 mm

b 2 ⋅ x c2⋅ fcd fyd

2

As2 = 380 mm

2

As2.alk := 754mm

a szerkesztési szabályok betartása: s max = 150mm

φ12/150

Alsó elosztó vasalás: 2



2

φ8/300


Vasmennyiség ellenõrzése: b t2 := b 2 Minimális vasalás:

fctm ⎛ ⎞ As.min.2 := max⎜ 0.26 ⋅ b t2⋅ d 2 , 0.0013b t2⋅ d 2⎟ fyk ⎝ ⎠

2

As.min.2 = 127 mm

21


4.2.3 A 2-es és a 3-as mezõ mezõközépi plusz (felsõ oldal is bizonyos mértékben húzott) vasalása: Mértékadó igénybevétel:

M Ed.2.plusz = 1.65 kNm

b 2 = 1000 mm v lemez.alk = 140 mm

φ2.p.alk := φ5.alk

(

d 2.p := v lemez.alk − cnom + φ2.p.alk

ξ c2.p := 1 −

1 − 2⋅

As2.p :=

)

M Ed.2.plusz

ξ c2.p = 0.016

2

b 2 ⋅ d 2.p ⋅ fcd

x c2.p := ξ c2.p⋅ d 2.p

φ2.p.alk = 12 mm

x c2.p = 1.6 mm

b 2 ⋅ x c2.p⋅ fcd

2

As2.p = 39 mm

fyd 2

φ12/300

As2.plusz.alk := 377mm Felsõ elosztó vasalás:

As2.plusz.elosztó := 0.2⋅ As2.plusz.alk

2

As2.plusz.elosztó = 75.4 mm

2

φ6/300

As2.plusz.elosztó.alk := 94mm Vasmennyiség ellenõrzése: b t2 = 1000 mm

Az alsó és a felsõ vasalás között a távolságot φ12 -es átmérõjû betonacélból hajlított támasztóbakokkal kell biztosítani.

4.2.4 1-es és 2-es lemez közötti támasz fölötti vasalás: Mértékadó igénybevétel:

M Ed.3 = 28.5 kNm


(

φ3.alk := φ5.alk


φ3.alk = 12 mm

)

22

ξ c3 := 1 −

M Ed.3

1 − 2⋅

x c3 := ξ c3⋅ d 3

As3 :=

ξ c3 = 0.334

2

b 3 ⋅ d 3 ⋅ fcd x c3 = 32.7 mm

b 3 ⋅ x c3⋅ fcd

2

As3 = 803 mm

fyd

A támasz mindkét oldaláról felhajlított acélbetétek futnak a támasz fölé, kialakítva a f12/150 - es vasalási rendszert, ehhez adódik még a 12/300 - as plusz vasalás mely kiadja a szükséges acélmennyiséget.

2

As3.alk := 1131mm

Felso elosztó vasalás: 2



2

φ8/300


Vasmennyiség ellenõrzése: b t3 := b 3 fctm ⎛ ⎞ As.min.3 := max⎜ 0.26 ⋅ b t3⋅ d 3 , 0.0013b t3⋅ d 3⎟ fyk ⎝ ⎠


2

As.min.3 = 127 mm


4.2.5 2-es és 3-as mezõ közötti támasz fölötti vasalás: Mértékadó igénybevétel:

M Ed.4 = 22.61 kNm


φ4.alk := φ5.alk

(


ξ c4 := 1 −

ξ c4 = 0.253

2

b 4 ⋅ d 4 ⋅ fcd

x c4 := ξ c4⋅ d 4

As4 :=

)

M Ed.4

1 − 2⋅

φ4.alk = 12 mm

x c4 = 24.8 mm

b 4 ⋅ x c4⋅ fcd

2

As4 = 607 mm

fyd 2

As4.alk := 1508mm

A támasz mindkét oldaláról felhajlított acélbetétek futnak a támasz fölé, kialakítva a f12/150 - es vasalási rendszert, ehhez adódik még a 12/300 as plusz vasalás mindkét mezőből, mely kiadja a szükséges acélmennyiséget.

Felso elosztó vasalás:

23

2



2

φ8/300


Vasmennyiség ellenõrzése: b t4 := b 4 Minimális vasalás:

fctm ⎞ ⎛ As.min.4 := max⎜ 0.26 ⋅ b t4⋅ d 4 , 0.0013b t4⋅ d 4⎟ fyk ⎝ ⎠

2

As.min.4 = 127 mm


5. Vasalási vázlatok: Fõvasalás:

12/140

12/150 12/150

12/150

12/150

12/300

12/150

12/150

12/300

12/150

12/140

24

Felhajlított vasakkal:

12/140

12/150 12/150

12/150

12/150

12/150

12/150

12/300

12/300

12/150

12/140

Elosztó vasalás:

8/300

8/300

8/300

6/450 felső

8/300 8/300

6/300 felső

8/300

8/300

8/300

8/300 25

2. hét 2. előadás: Lemezszerkezetek II. Tematikája: Rugalmas lemezelmélet Rugalmas lemez vizsgálata derékszögű koordináta-rendszerben Kirchoff-féle lemezegyenlet felírása Peremfeltételek Speciális kérdések Lemezek pontos megoldása Lemezek közelítő számítása Tartókereszt-eljárás Marcus mószer Háttéranyag: Jegyzet 3.1. fejezete (14-25.oldalig)

26

2. gyakorlat: Kétirányban teherviselő vasbeton lemezek közelítő számítása a rugalmasságtan szerint Határozza meg az 1 jelű lemez maximális igénybevételeit sávmódszerrel és Marcus módszerrel! Geometria B

4

1

1

4

A

A 3

2

2

3

4

1

1

4

B

Terhek Egyenletesen megoszló: állandó teher hasznos teher

1

szélső lemez

2

belső lemez

3

szélső lemez

4

sarok lemez

g = 18,52 kN/m2 p = 33,33 kN/m2

γg = 1,35 γp = 1,50

Sávmódszer Statikai váz A maximális nyomatékok meghatározásához hatásábrák szerint kell terhelnünk. A legnagyobb negatív nyomatékot (lsd. előadás vázlat) a totális leterheléssel, a legnagyobb pozitív nyomatékot a sakktábla szerinti leterheléssel nyerjük. Ezen értékek meghatározásához kétfajta statikai vázzal rendelkező lemez veendő figyelembe. Negatív nyomaték (támasznyomaték) meghatározása, totális leterhelést alkalmazva, akkor három oldalán befogott lemezt veszünk figyelembe. Ezt alkalmazzuk állandó (g) teherre és a hasznos (p) teher esetén is.

27

4

e ya = α y p ya l y EI 2 αy= 384

4

e xa = α x p'xa l x EI

αx=

1 384

Nyomatékokat állandó (g) teherből totális leterhelésből Alapfeltevéseink: (lsd. előadás kiegészítő anyaga) I. e xa = e ya

II. g = g' x + g' y

g' y *l 4 y g' x *l 4 x αx = αy E*I E*I ly α m= x ; és ε= lx αy m *g , m + ε4 ε4 g' x = *g . m + ε4

g' y =

és

Állandó (önsúly) teher: 0,5 g' y = * g = 0,717 *1,35 * 18,52 = 17,92 kN/m 2 és 4 ⎛4⎞ 0,5 + ⎜ ⎟ ⎝6⎠ 4 ⎛4⎞ ⎜ ⎟ 6 g' x = ⎝ ⎠ 4 * g = 0,283 *1,35 *18,52 = 7,08 kN/m 2 ⎛4⎞ 0,5 + ⎜ ⎟ ⎝6⎠

28

Esetleges (hasznos) teher: 0,5 p' y = * p = 0,717 *1,50 * 33,33 = 35,84 kN/m 2 4 ⎛4⎞ 0,5 + ⎜ ⎟ ⎝6⎠ 4 ⎛4⎞ ⎜ ⎟ 6 p' x = ⎝ ⎠ 4 * p = 0,283 * 1,50 * 33,33 = 14,16 kN/m 2 ⎛4⎞ 0,5 + ⎜ ⎟ ⎝6⎠ A nyomatékok az állandó teherből: g' x *l 2 x 7,08 * 36 + m'gx = = = 10,62 kNm/m 24 24 g' y *l 2 y 17,92 * 16 + m'gy = = = 17,92 kNm/m (középen) 16 16 9 9 m + gym = * g' y *l 2 y = *17,92 *16 = 20,16 kNm/m 128 128 2 g' x *l x (−) + m gx = = −21,24 kNm/m m gymax =20,16 kNm/m 12 2 + g' y *l y (-) (−) m gy =17,92 kNm/m = −35,84 kNm/m m'gy = m'gx =-21,24 kNm/m 8 +

m'gx =10,62 kNm/m (-)

m gy =-35,84 kNm/m

A nyomatékok az esetleges teherből: p' *l 2 x 14,16 * 36 + m' px = x = = 21,24 kNm/m 24 24 p' y *l 2 y 35,84 * 16 + = = 35,84 kNm/m (középen) m' py = 16 16 9 9 m + pym = * p' y *l 2 y = * 35,84 *16 = 40,32 kNm/m 128 128 +

m pymax =40,32 kNm/m

2

p' *l m px = x x = −42,48 kNm/m 12 2 p' y *l y (−) = −71,68 kNm/m m' py = 8 (−)

+

(-)

m'px =-42,48 kNm/m

m py =35,84 kNm/m

+

m'px =21,24 kNm/m (-)

m py =-71,68 kNm/m

29

Támasznyomatékok mindkét terherből: (q = g + p)

m qx

(−)

= m gx

(−)

+ m px

(−)

= −21,24 − 42,48 = −63,72 kNm/m

m qy

(−)

= m gy

(−)

+ m py

(−)

= −35,84 − 71,68 = −107,52 kNm/m

A maximális mezőnyomatékot úgy kapjuk, hogy önsúlyból (előző részben) keletkező mezőnyomatékhoz hozzáadjuk a hasznos teherrel mértékadóan leterhelt (sakktábla szerint) lemezrendszer nyomatékait a következő elv szerint: q

q/2

q/2

II.

szélein megtámasztott lemezelemek q/2

I.

közbülső megtámasztásnál befogott lemez

I. teherállás esetén a totális leterhelést kell alkalmazni, p* = p/2 = 25 kNm Az előző pont alapján: p*I’= 17,92 p*I” = 7,08 Nyomatékok: (+) m P*Ix = 8,63 kNm/m

m P*Iy

(+)

m P*Iy

(+)

= 15,24 kNm/m max

(középen)

= 17,15 kNm/m

30

l y =4,00m

A II. teherállás esetén a statikai váz: Négy oldalon feltámaszkodó lemezt, a parciális sakktábla szerű leterhelésnél csak a hasznos teherből származó max. mezőnyomaték számításánál vesszük figyelembe.

e xb = α x p'xb l x EI

4 ; 6

ε=

m=

1

p' IIy =

4

4

e yb = α y p'yb l y EI

αx= αy=

4

5 384

ab = 1 és p II = 25 kN/m 2 bb

* p II = 0,835 * P * = 20,88 kN/m 2

⎛4⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ p' IIx = 4,12 kN/m 2

Nyomatékok: 2 p' Iy *l y 20,88 * 16 (+) = = 41,76 kNm/m m' yI = 8 8 m' xI

(+)

(középen)

2

p' *l 4,12 * 36 = Ix x = = 18,54 kNm/m 8 8

Mezőnyomatékok mindkét leterhelésből: (+) (+) (+) (+) m x ser = m gx + m Ix + m IIx = 8,63 + 12,81 + 8,63 = 30,07 kNm/m

my

(+)

ser

+

= m gy + m Iy

(+)

+ m IIy

(+)

= 15,24 + 28,84 + 15,24 = 59,32 kNm/m (középen)

31

Összesített ábra (+)

mymax ~63,8 kNm/m

(-)

m xmax =63,72 kNm/m

(+)

my =59,32 kNm/m

(+)

1

m x =30,07 kNm/m

(-)

mymax =107,52 kNm/m

Oldjuk meg ugyanezt a feladatot a Marcus féle módszerrel Marcus─féle módosítás g = g x + g xy + g y ahol g xy = g x "+ g y " g x = g' x −g" x (g”x a csavarással egyensúlyozott teherrész Marcus szerint.)

5 ⎛l g" x = * ⎜ x 6 ⎜⎝ l y

m’x mox

2

⎞ m' x ( + ) ⎟ * * g' x ; ahol ⎟ m ox ⎠ a sávmódszer alapján meghatározott érték, a kéttámaszú tartóból meghatározott érték:

Jelen számpélda esetén: 2 g * lx 25 * 36 = = 112,5 kNm/m m ox = 8 8 A módosított állandó terhek: 2

5 ⎛ 4 ⎞ 10,62 *⎜ ⎟ * * 7,08 = 1,25 kN/m 2 6 ⎝ 6 ⎠ 112,5 g x = 7,00 − 1,25 = 5,75 kN/m 2 g" x =

5 ⎛ ly g" y = * ⎜⎜ 6 ⎝ lx

2

megfelel a 18%─os különbségnek!

(+)

⎞ m' y max 25 *16 ⎟⎟ * * g' y , ahol m oy = = 50 kNm/m 8 m oy ⎠ 2

5 ⎛ 4 ⎞ 20,16 g" y = * ⎜ ⎟ * *17,92 = 2,68 kN/m 2 6 ⎝6⎠ 50 2 g y = 15,24 kN/m

megfelel 15%─kal kisebbnek!

Nyomatékok az állandó teherből: 2 g *l 5,75 * 36 (+) mg x = x x = = 8,63 kNm/m , 24 24 2 g y * ly 15,24 * 16 (+) m gy = = = 15,24 kNm/m (középen), 16 16

32

m gy

(+)

max

=

9 2 * g y * l y = 17,15 kNm/m . 128

Marcus─féle módosítás a hasznos terhek esetén 2 (+) 2 5 ⎛ 4 ⎞ 41,76 5 ⎛ l y ⎞ m' y * p' Iy = * ⎜ ⎟ * * 20,88 = 6,46 kN/m 2 p" y = * ⎜⎜ ⎟⎟ * m oy 6 ⎝6⎠ 50 6 ⎝ lx ⎠ 2 p Iy = p' Iy − p"Iy = 20,88 − 6,46 = 14,42 kN/m 2

5 ⎛ 6 ⎞ 18,54 p"Ix = * ⎜ ⎟ * * 4,12 = 1,27 kN/m 2 6 ⎝ 4 ⎠ 112,5 p Ix = 4,12 − 1,27 = 2,85 kN/m 2 Nyomatékok a hasznos teherből: 2,85 * 36 (+) m Ix = = 12,81 kNm/m 8 14,42 *16 (+) m yI = = 28,84 kNm/m 8

(középen)

33

3. hét 3. előadás: Lemezszerkezetek III.

Tematikája: Vasbeton lemezrendszerek vizsgálata Definíció Közelítő számítás Bares-táblázatokkal Pontos számítás végeselem módszerrel Szerkesztési szabályok Oszlopokkal alátámasztott lemezek Háttéranyag: Jegyzet 3.2. és 4. fejezete (25-39 oldalig)

3. gyakorlat: Tervezési feladat

Tematikája: Strobl András - Koris Kálmán – Péczely Attila: Kétirányban teherviselő lemez tervezése. BME Hidak és Szerkezetek Tsz, 2000. Tervezési segédlet alapján méretfelvétel, igénybevétel számítás.

34

4. hét 4. előadás: Lemezszerkezetek IV.

Tematikája: Vasbeton lemezek képlékeny teherbírása Definíciók Számítási módszerek, főtételek Törésvonalak szerkesztése, meghatározása Külső és belső munkák felírása Virtuális munkatétel alkalmazása Háttéranyag: Jegyzet 5. fejezete (39-45 oldalig) 4. gyakorlat: Tervezési feladat

Tematikája: Strobl András - Koris Kálmán – Péczely Attila: Kétirányban teherviselő lemez tervezése. BME Hidak és Szerkezetek Tsz, 2000. Tervezési segédlet alapján igénybevételek számítása Bares-táblázatokkal, vasalás kialakítása, vasalási vázlat

35

5. hét 5. előadás: Lemezszerkezetek V. -Példamegoldás

1. példa: Egyenletesen megoszló teherrel terhelt négy oldalon feltámaszkodó izotrop lemez tönkremenetelének meghatározása kinematikai módszerrel. Adott: Izotrop lemez: a határnyomaték: m xR = m yR = m R x

m R = 1,8 kNm/m

m xR

Keressük: a teher határértékét q s = ?

y

m yR

q s =?

Kinematikai módszer lépési A megoldás lépései: (a kinetikai tétel értelmében): a.) a geometriai kerületi feltételeket kielégítő törési mechanizmus megválasztása; b.) az energia egyensúly meghatározása a virtuális elmozdulások tételének felhasználásával, azaz a külső és belső munkák felírása: Lk=Lb c.) a határ teher minimumának meghatározása. a) A törésmechanizmus felvétele x

η

1/3

y

y

1

x

4/l y 1/2

η

η

x

1

1

2/l y

mR

mR

x

1/3

1/ηl x

36

b.) A külső munka felírása

Általában: L k = ∑ Fi * w i = ∑ qA i * w i = ∫ qwdA ly 1 ⎤ ly 1 1 ⎡ l 1 L k = q R ⎢l y * η x * * 2 + ηl x * * * * 4 + (l x − 2η * l x ) * * 2⎥ = 2 2 ⎦ 2 2 3 2 3 ⎣

ly * lx (1 − 2η) * lx * ly ⎤ 1 − 2η ⎞ ⎡ lx * ly ⎛2 = q R ⎢η +η + = q R * lx * ly * ⎜ η + ⎟= ⎥ 2 ⎠ 3 3 2 ⎝3 ⎣ ⎦ ⎛1 1 ⎞ = q R * lx * ly * ⎜ − η ⎟ ⎝2 3 ⎠ A belső munka felírása

Általában: + t/2

L b = ∑ ∫ σ ij * ε ij * dz = ∑ m i s i * ϕ i − t/2

Lb = mR * lx *

ly 1 2 * 2 + mR * * * 4 = mR ly 2 ηl x

⎛ l ly *⎜4* x + 2* ⎜ l ηl x y ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

A külső és belső munka egyenlőségéből

qR = 8*

mR * l2 y

⎛l 6*⎜ x ⎜l ⎝ y ⎛l 6*⎜ x ⎜l ⎝ y

2

⎞ ⎟ *η + 3 ⎟ ⎠

2

⎞ ⎛ ⎟ * η − 4 * ⎜ lx ⎟ ⎜l ⎠ ⎝ y

2

⎞ ⎟ * η2 ⎟ ⎠

c.) A teher minimális értékének megkeresése (törőteher meghatározása) ' ∂q R ⎛ u ⎞ u' v − uv' {u ' v − uv'} = 0 ; = 0; ⎜ ⎟ = ∂η v2 ⎝v⎠

⎛l 0=⎜ x ⎜l ⎝ y amiből

2

⎞ ⎟ * η2 + η − 3 ⎟ 4 ⎠

⎛ ⎛ lx ⎜ ⎜ η= * 1 3 * + ⎜ 2 ⎜l ⎛ lx ⎞ ⎜ ⎝ y ⎟ ⎝ 2*⎜ ⎜ ly ⎟ ⎠ ⎝ 1

2 ⎞ ⎞ ⎟ − 1⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠

és számszerűen

37

η = 0,33 Ezt visszahelyettesítve a b pontban megadott teher függvénybe: m 1 qR = 8* 2R * (ami a teherintenzitás felső korlátja) 4 l y 1− η 3 1 1,8 qR = 8* 2 * = 6,43 kN/m 2 4 2 1 − * 0,33 3 A lemez tényleges határterhe 6,43 kN/m2 2. példa: Két szomszédos peremén befogott, másik két peremén szabad lemez ellenőrzése Adatok -

my -

m' +

mx

8/30

8/30

my

x

α

-

m'x

Állapítsuk meg határteher─intenzitást.

-

8/30

mx

8/30

8/30

8/30 −

a

+

+

m x = m y = m R = 6,86 kNm/m −

m x = m y = m R = 6,86 kNm/m −

−

támasznál: m x ' = m y ' = νm R = 13,12 kNm/m A lemezen két féle törésmechanizmus tud kialakulni.

38

I. törésmechanizmus a) A törésmechanizmus felvétel 1/ α l

α

1/3 1/2

1

η

1

1 1/ η l

1/3

b.) Külső munka felírása

(l − ηl) * α * l ⎤ ⎡ ηl * αl 1 LK = qR * ⎢ * *2 + ⎥⎦ 3 2 ⎣ 2 Belső munka felírása

⎡ 1 1 1 1⎤ L B = m R * ⎢ ν * αl * + ν * l * + αl * + ηl * ⎥ = m R ηl αl η*l αl ⎦ ⎣

⎡ α ν α η⎤ * ⎢ν * + + + ⎥ ⎣ η α η α⎦

Külső és belső munka egyenlőségéből: LK = LB

6 * m R α 2 + να 2 + η 2 + νη qR = 2 2 * l α 3η − η 2 c.) A teher minimális értékének megkeresése (törőteher meghatározása) ∂q R =0 ∂η (2η + ν ) * 3η − η 2 − (3 − 2η) * α 2 + να 2 + η 2 + νη = 0 rendezés után: η 2 * (3 + ν ) + η * 2α 2 * (1 + ν ) − 3α 2 * (1 + ν ) = 0 2,8 α= = 0,8 behelyettesítve: 3,5 η 2 + 0,758η − 1,135 = 0 η = 0,751 〈 1,0

(

)

(

)

39

Törőteher értéke: 6 * 6,86 0,64 + 2,91 + 0,7512 + 1,434 * qR = = 12,05 kN/m 2 0,751 * (3 − 0,751) 2,8 2 II. törésmechanizmus a.) A törésmechanizmus felvétele 1/ α l

α

νm νm 1

1 1/l

b.) Külső munka felírása q * l * αl 1 * 2 3 Belső munka felírása 1 1 L B = l * ν * m * + αl * νm αl l LK =

c.) A teher minimális értékének megkeresése (törőteher meghatározása). 6νm * 1+ α2 l2α 2 6 * 1,91 * 6,86 q= * 1 + 0,8 2 = 16,50 kN/m 2 2 2,8 q=

(

)

(

)

(

Tehát az I. típusú törésmechanizmus a mértékadó. q R = 12,05 < q = 16,5 kN/m 2

)

40

5. gyakorlat: Törőteher meghatározása

Három oldalán befogott lemez méretezése Adatok ν3 m

t = 120mm

g = 3,26 kN/m 2 p = 7,80 kN/m 2

γg = 1,35 γp = 1,50

m

ν2 m ν1 m

g = 1,35 * 3,25 + 1,5 * 4,80 = 16,1 kN/m 2

ν3 m α

ν 1 = 2;

A nyomatékok arányait önkényesen vesszük fel, tekintettel a lemez méreteire. ν 2 = 5;

ν3 = 4

η

a) Törési mechanizmus felvétele

1

1

η

1/3 1/ηl

α 1 1/ α l

1/3

1/2

b) A külső és belső munka felírása Általában LK = ∑ p * w L B = ∑ ms *ϕ

41

Külső munka felírása 1 1 1⎤ ⎡ L K = q R * ⎢αl * ηl * * * 2 * 2 + (l − 2ηl ) * αl * ⎥ = q R 2 3 2⎦ ⎣

⎡2 αl 2 ⎤ * ⎢ * αηl 2 + (1 − 2η) * ⎥ 2 ⎦ ⎣3

Belső munka felírása ⎤ ⎡ 1 1 1 1 L B = m * ⎢αl * ν 3 * * 2 + l * ν 2 * + ηl * * 2 + αl * ν 1 * * 2⎥ = ηl αl αl ηl ⎦ ⎣

⎤ ⎡ α 1 = m * ⎢2 * * (ν 1 + ν 3 ) + * (2η + ν 2 )⎥ α ⎦ ⎣ η A külső és a belső munka egyenlőségéből a határteher értéke 12m 3 + 2η 2 + 5η qR = 2 * l 1,5η − η 2 A teher minimális értékének megkeresése (törőteher meghatározása) dq R =0 dη d ⎡ 3 + 2η 2 + 5η ⎤ ⎢ ⎥=0 dη ⎣ 1,5η − η 2 ⎦ Csak a derivált számlálóját megtartva, kapjuk: (4η + 5) * 1,5η − η 2 − 3 + 2η 2 + 5η * (1,5 − 2η) = 0

(

) (

)

8η + 6η − 4,5 = 0 η1 = 0,463 2

(Ha η > lenne mint 0,5 akkor a feltételezett töréskép nem alakul ki.) Visszahelyettesítve: 12m ⎡ 3 + 2 * 0,463 2 + 5 * 0,463 ⎤ m qR = 2 * ⎢ ⎥ = 2 * 143,2 2 l ⎣ 1,5 * 0,463 − 0,463 ⎦ l azaz q 2 = 16,1 kN/m 2 mR = ? mR =

q R * l 2 16,1 * 4 2 = = 1,789 kNm/m 143,2 143,2

42

A nyomatéki arányokkal a mértékadó nyomatéki ábra: -7,196 -8,995

1,799

3,598

-7,196

kNm/m

43

6. hét 6. előadás: Keretszerkezetek I.

Tematikája: Keretek definíciója, osztályozása Keretek pontos számítása számítógépes programokkal. Keretek közelítő számítása függőleges teherre Háttéranyag: Jegyzet 6. fejezete (45-59. oldal) 6. gyakorlat: Tervezési feladat

Tematikája: Strobl András - Koris Kálmán – Péczely Attila: Kétirányban teherviselő lemez tervezése. BME Hidak és Szerkezetek Tsz, 2000. Tervezési segédlet alapján a lemez törőterhének meghatározása.

44

7. hét Oktatási szünet

45

8. hét 8. előadás: Keretszerkezetek II.

Tematikája: Keretek közelítő számítása vízszintes teherre Gerendák méretezése Háttéranyag: Jegyzet 6. fejezete (59-67.oldal) 8. gyakorlat: Tervezési feladat

Tematikája: Lemez tervezési feladat beadása

46

9. hét 9. előadás: Keretszerkezetek III.

Tematikája: Oszlop méretezése Véletlen eltérésből származó erők meghatározása Külpontosság és külpontosság növekmények számítása Oszlop vasalása, szerkesztési szabályok Keretsarok méretezése Keretsarok teherbírásának meghatározása Keretsarok vasalásának tervezése Háttéranyag: Jegyzet 7. fejezete (67-75. oldal)

47

9. gyakorlat: Közelítő igénybevételi ábrák vízszintes teherre

1. példa: Határozza meg és alakhelyes ábrán rajzolja le az alábbi, vízszintes teherrel terhelt keretszerkezet (közelítő) nyomatéki ábráját! (Megjegyzés: A közelítő számításnál vegye figyelembe, hogy a keretgerendák sokkal merevebbek a keretoszlopnál, valamint, hogy az oszlopok vízszintes teherből származó közvetlen hajlítástól eltekinthetünk.) Ig

Io lo

wd,1=1,8 kN/m

wd,2=0,9 kN/m

ly

>>

Megoldás: A tartó és a

elmozdult alakja reakcióerők: P1

wd,1=1,8 kN/m

wd,2=0,9 kN/m

P2

3 = 4,05 kN 2 p 2 = (1,8 + 0,9 ) * 3 = 8,10 kN

p1 = (1,8 + 0,9) *

P1 1,35

1,35

1,35

2,03

2,03

2,03 1,01

1,35

11,14 1,35

1,35

1,35

1,35 2,03

6,07

9,11

2,03

2,03

9,11

1,01

6,07 11,14

6,07

6,07 9,11

9,11

48

2,03

1,01

2,03

2,03

9,11

2,03

9,11 2,03

11,14

1,01

2,03

11,14

1,01

2,03

1,01

2,03

A nyomatéki ábra:

9,11

9,11

M [kNm]

2. példa: Határozza meg az adott tartó (M) ábráját! [Az oszlopok merevsége jóval nagyobb a gerendák merevségnél.] 3F Ig

Ig

Io

Io

Io

Io

Ig

Ig

Ig

Ig

F

F = 50 kN I o /l o >> I g /l g

49

Megoldás: A tartó elmozdult alakja és a reakcióerők: 150 kN Ig Io

Io

Io

Io

Ig 50 kN

100 kN 200 kN 150 50

50

25

50

75

25

50

50

75

25

25

75

75

100 200

75

150

225

A nyomatéki ábra:

225 225

75

150

75

150

150 150

225

225

150

225

225

M [kNm]

225

150

75

150

50

3. példa: Határozza meg az alábbi keret nyomatéki ábráját portál─módszer alkalmazásával! 100 kN

60 kN

40 kN

Megoldás:

30

20

30

30

30

20

12

36 40

24 60

24

8

16 8

40

16

8

8

8

40

20

36 12

12

40

20

60

12

60

60

100 kN

8

24

24

16

16

51

40

60

A nyomatéki ábra:

60

100

40

24 60

56

84

60

40

40

40

16

24

40

16

24

16

24

84

56

100

16

M [kNm]

52

10. hét 10. előadás: Oszlop méretezése

Vasbetonszerkezet központosan nyomott oszlopának ellenőrzése (ENV előírásaival a feladat megoldása a [Kollár L.: Vasbetonszerkezetek I. Vasbetonszilárdságtan az EUROCODE 2 szerint. Műegyetem Kiadó] jegyzetben található). Az ábrán látható épület oszlopait a terv szerint központos normálerő terheli.

N=100 kN

N=100 kN

0,45

0,45

0,30

0,30

53

Ellenőrizzük az alsó oszlopszakasz teherbírását az EUROCODE szerint, ha a keresztmetszet vasalása: hosszvasak: 4Φ 25, As = 1963 mm 2 kengyel: Φ12 / 300, betonfedés: 20 mm 20 fcd = = 13,3 N/mm 2 beton: C25/20 1,5

betonacél: S 500 B, d = 245,5 mm

fyd =

500 = 435 N/mm 2 1,15

Megoldás: Igénybevételek: a) Függőleges teherből A keret oszlopában 1000 kN nagyságú nyomóerő lép fel.

b) Véletlen eltérésből származó vízszintes teher Ni =

N i − N i −1 2000 = = 10 kN 200 200

Meghatározott vízszintes terhet x és y irányban is működtetni kell, de y irányban a meghatározott terhet az alkalmazott merevítő rendszerre kell terhelni. Az oszlopok igénybevételei a H = 10 kN nagyságú vízszintes erőből (számítógéppel meghatározva): 10 kN

8,13

2,7

-2,7

6,91 7,50 -7,5

7,5

M [kNm]

N [kN]

9,98

(nyomás)

Kihajlási hossz meghatározása A keret x irányban kilendülő, y irányban nem kilendülő. a) y irány: (nem kilendülő) 1. oszlop k 1 = 0, k 2 = ∞ , y

l o1 = 0,8 * l = 0,7 * 350 = 245

2. oszlop k a = k f = ∞ y

l o2 = 1 * l = 1 * 300 = 300

54

β=1

2

2

β=0,8

1

1

b) x irány: (kilendülő) 0,3 4 = 675 * 10 −6 m 4 I col = 12 0,3 * 0,45 4 = 2278 * 10 −6 m 4 Ib = 12 1. oszlop: k1 = 0 I col

675 675 + 3,5 3,0 col k2 = = = 1,10 αI b 2278 1* ∑l 6,0 eff

∑l

1 + 10 * β = max

0 *1,10 =1 0 + 1,10

1,10 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1+ ⎜ ⎟ = 1*1,524 = 1,52 ⎟ * ⎜1 + ⎝ 1 + 0 ⎠ ⎝ 1 + 1,10 ⎠ x

l o1 = 1,52 * 3,50 = 5,32 m

55

2. oszlop: k a = 1,10 675 3,0 = 0,59 kf = 2278 1* 6,0 1 + 10 * β = max

1,10 * 0,59 = 2,2 1,10 + 0,59

0,59 ⎞ ⎛ 1,10 ⎞ ⎛ 1+ ⎜ ⎟ = 2,18 ⎟ * ⎜1 + ⎝ 1 + 1,10 ⎠ ⎝ 1 + 0,59 ⎠ x

l o1 = 2,2 * 3,00 = 6,60 m

A külpontosságok számítása: Az oszlop inerciasugara: i=

0,3 4 = 0,0866 m 12 * 0,3 2

Karcsúságok: 2,45 3,00 = 28,29 λ o2y = = 34,6 0,0866 0,0866 5,32 6,60 = = 61,43 λ o2x = = 76,21 0,0866 0,0866

λ o1y = λ o1x λ > 25, λ < 140,

így az oszlop karcsúnak tekintendő, így alkalmazható az EUROCODE számítása.

A külpontosságot az x irányban az alábbiakban az 1. oszlopra határozzuk meg: Kezdeti külpontosság: 7,5 = −0,0074 m e o1 = − 1008 9,98 = 0,0099 m e o2 = 1008

e o = max

0,6e o2 + 0,4e 01 = 0,0030 m 0,4e o2 = 0,0040 m

56

Véletlen ferdeségből származó külpontossági növekmény: l 5,32 ea = 0 = = 0,0133 mm 400 400 Másodlagos hatásból származó külpontossági növekmény: 1 1 = kR * kf * r0 r kf = 1 N' − N Ed kR = u N' u − N bal N' u = 13,33 * 300 2 + 1963 * 435 = 2053,605 kN N Ed = 1008 kN N bal = 0,4 *13,33 * 300 2 = 480 kN 2053,6 − 1008 = 0,664 kR = 2053,6 − 480 1 1 εyd 435/200 *10 3 = = = 1,969 *10 − 2 m r0 0,45d 0,45 * 245,5 1 = 0,664 *1 * 1,969 *10 − 2 = 1,31 *10 − 2 r 2 2 1 ⎛ l0 ⎞ ⎛ 5,32 ⎞ e 2 = * ⎜ ⎟ = 0,0131 * ⎜ ⎟ = 0,0375 mm r ⎝π⎠ ⎝ π ⎠ Teljes külpontosság: e tot = e 0 + e a + e 2 = 0,0040 + 0,0133 + 0,0375 = 0,0548 mm Az oszlop végén nem veszünk figyelembe másodrendű hatásokból nyomatékot. Ott a külpontosság két tagból számítható: e o2 + e a = 0,0099 + 0,0101 = 0,020 < e tot , vagyis az oszlop közbenső keresztmetszete a mértékadó.

57

A külpontosságok számítását az alábbi táblázatban foglaltuk össze: l2 oszlop l1 oszlop x irány y irány x irány y irány kihajlási hossz: lo 5,32 2,45 6,60 3,00 karcsúság: λ 61,43 28,29 76,21 34,6 eo1 -0,0074 0 -0,0069 0 eo2 0,0099 0 0,0081 0 eo 0,0040 0 0,0032 0 ea 0,0133 0,006125 0,0165 0,0075 kR 0,664 0,664 0,667 0,667 -2 -2 -2 1/ro 1,969*10 1,969*10 1,969*10 1,969*10-2 1/r 1,31*10-2 0,0131 0,0131 0,0131 e2 0,0375 0,00797 0,0578 0,01196 etot 0,0548 0,0141 0,0775 0,0195 Az oszlop mértékadó igénybevételei:

1. oszlop: N sd = 1007,5kN

M 1sdx = 1007,5 * 0,0548 = 55,21 kNm M 1sdy = 1007,5 * 0,0141 = 14,21 kNm

2. oszlop: N sd = 1002,75 kN

M 2 sdx = 1002,75 * 0,0775 = 77,71 kNm M 2 sdy = 1002,75 * 0,0195 = 19,55 kNm

A keresztmetszet ellenőrzése Számítógéppel meghatároztuk a keresztmetszet teherbírási vonalát. A határnyomaték: N = 1007,5 kN esetén : M Rd = 88,1 kNm N = 1002,75 kN esetén : M Rd = 88,5 kNm

Az 1. oszlop ellenőrzése: 55,21 14,21 + = 0,79 < 1 88,1 88,1 A 2. oszlop ellenőrzése: 77,71 19,55 + = 1,09 > 1 → nem felel meg! 88,5 88,5

58

Teherbírási vonal 2000 1500

1

1

(Nsd,Msdy)

1

1

(Nsd,Msdx)

N [kN]

1000 2

500

2

2

2

(Nsd,Msdx)

(Nsd,Msdy)

0 -500 -1000 0

20

40

60

80

100

120

140

M [kNm]

A második oszlop nem felel meg!

10. gyakorlat: Tervezési feladat

Tematika: Ódor Péter-Kóris Kálmán: Vasbeton keretvázas épület erőtani számítása. BME Hidak és Szerkezetek Tsz. Tervezési segédlet alapján a méretek közelítő számítása

59

11. hét 11. előadás: Keretszerkezetek IV.

Tematikája: Rövid konzol méretezése Definíció Fővasalás számítása Kengyelek számítása Koncentrált erő bevezetése Pecsétnyomás Keresztirányú vasalás részleges terhelés alatt Háttéranyag: Jegyzet 8 és 9. fejezete (76-82. oldal)

60

11. gyakorlat: Oszlopok méretezése

Vasbeton keret nyomott és hajlított oszlopának ellenőrzése Ellenőrizzük a 10. előadáson bemutatott keret alsó oszlopát, ha a keret gerendáit p = 100 kN/m nagyságú megoszló teher terheli. (Ez a teher tartalmazza az önsúlyt, a hasznos terhet és a biztonsági tényezőket.) (ENV előírásaival a feladat megoldása a [Kollár L.: Vasbetonszerkezetek I. Vasbetonszilárdságtan az EUROCODE 2 szerint. Műegyetem Kiadó] jegyzetben található.) Megoldás: Keret igénybevételei A keret igénybevételei (kis elmozdulásokkal és rugalmas anyagmodellel dolgozó) keretprogram alapján: p=100 kN/m 181,40

p

keretprogram alapján

227,80 73,90

153,90

M [kNm] 37,25

Normálerő az alsó oszlopokban:

N = p * 6 = 600 kN

Az épület ferdeségéből: 600 = 3 kN 2 nagyságú vízszintes erő keletkezik. Az alsó oszlopban számítógéppel határozzuk meg az ebből a teherből szármató igénybevételeket: H=

3 kN

3 kN 4,70

4,70

-3,06

3,06

M [kNm] 5,82

N [kN] 5,82

(nyomás)

61

Normálerő az alsó oszlopban (nyomás): N = 6 *100 + 3,06 = 603 kN Nyomatékok: 73,90 + 4,70 = 78,60 kNm − 37,25 − 5,82 = −43,07 kNm A kihajlási hosszak: megegyeznek az 1. Mintapéldában számítottakkal A külpontosságok számítása: x irány:

43,07 = −0,0714 , 603 78,6 = = 0,1303 , 603

e o1 = − e o2

eo =

0,6 * 0,1303 − 0,4 * 0,0714 = 0,0496

0,4 * 0,1303

= 0,0521

A részletek mellőzésével:

e tot

e a = 0,0133 m , k f = 1, k r = 0,921, 1 = 1,969 * 10 − 2 r0 1 = 1,81 *10 − 2 r e 2 = 0,0520 m = 0,0521 + 0,0133 + 0,0520 = 0,1174 m

A számítás szerint etot < eo2. Ez azt jelenti, hogy az oszlop egy közbenső keresztmetszetében a másodrendű hatásokat figyelembe véve számított külpontosság kisebb, mint az oszlop végén számított külpontosság. Ekkor az oszlop végén fellépő külpontosságot kell figyelembe venni, amely eo2─t és ea─t tartalmaza: e = 0,1303 + 0,101 = 0,1404 m .

62

y irány: A részletek mellőzésével: e a = 0,006125 m , k r = 0,921 , 1 = 1,969 * 10 − 2 r0 1 = 0,0181 r e 2 = 0,0110 m , e tot = 0,0171 m . A mértékadó igénybevételek:

N sd = 603 kN

M sdx = 603 * 0,1404 = 84,7 kNm M sdy = 603 * 0,0171 = 10,32 kNm

A teherbírási vonal szerint az N = 603 kN nyomóerőhöz tartozó határnyomaték M Rd = 117,1 kNm , így 84,7 10,32 + = 0,81 < 1 , 117,1 117,1 vagyis a keresztmetszet megfelel.

63

12. hét 12. előadás: Keretek merevítő rendszerének számítása

Tematikája: Definíció Arányos, el nem csavarodó (elmozduló) keretek számítása Háttéranyag: Jegyzet 10. fejezete (82-92. oldal)

12. gyakorlat: Keret tervezési feladat

Tematikája: Ódor Péter-Kóris Kálmán: Vasbeton keretvázas épület erőtani számítása. BME Hidak és szerkezetek Tsz. Tervezési segédlet alapján a keret pontos számítása, gerenda, oszlop méretezése

64

13. hét 13. előadás: Zárthelyi dolgozat

13. gyakorlat: Keret tervezési feladat

Tematikája: Ódor Péter-Kóris Kálmán: Vasbeton keretvázas épület erőtani számítása. BME Hidak és szerkezetek Tsz. Tervezési segédlet alapján a keret vasalása

65

14. hét 14. előadás: Keretek merevítő rendszerének számítása

Tematikája: Arányos, elcsavarodó (elmozduló és elforduló) keretek számítása Háttéranyag: Jegyzet 10. fejezete (92-101. oldal)

14. gyakorlat: Keret tervezési feladat beadása

66

F E L K É S Z Ü L É S T P É L D Á K

S E G Í T Ő

67

Lemezszerkezetek – Törőteher meghatározása Koris Kálmán gyűjtése alapján

68

a=5m

1. Határozza meg az ábrán megadott, négy oldalán szabadon felfekvı izotróp vasbeton lemez törıterhét! A lemez fajlagos nyomatéki teherbírása: mRx = mRy = 25 kNm/m

a=5m

Megoldás:

A lemez törésképe (középen egységnyi eltolódást feltételezve):

1 2/a

2/a

pozitív törésvonal

y

I

2/a

1 2/a

2/a

x

2/a

a.) Egyensúlyi módszer alkalmazása A külsı erık nyomatéka az x tengelyre az I. lemezdarabon: 3

( )

a 1 a 1 Mk pt = a⋅ ⋅ ⋅ pt⋅ ⋅ 2 3 2 2

=

a

⋅p 24 t

A belsı erık nyomatéka az x tengelyre az I. lemezdarabon:

Mb = a⋅ mRx = 125 kNm

A külsı és belsı erık egyensúlya alapján:

Mk = Mb 3

a

24

pt = a⋅ mRx⋅

⋅ pt = a⋅ mRx

24 3

a

= 24

kN 2

m

b.) Energia módszer alkalmazása A külsı erık által végzett munka a töréskép alapján:

( )

1

Lk pt = a⋅ a⋅ 1⋅ ⋅ pt = 3

2

a

3

⋅ pt

-1-

69

A belsı erık által végzett munka a töréskép alapján:

2 2 Lb = 2⋅ a⋅ ⋅ mRx + 2⋅ a⋅ ⋅ mRy = 4⋅ mRx + 4⋅ mRy = 200 kN a a

A külsı és belsı munka egyenlısége alapján:

Lk = Lb 2

a

3

(

)

pt = 4⋅ mRx + 4⋅ mRy ⋅

⋅ pt = 4⋅ mRx + 4⋅ mRy

3 2

= 24

a

kN 2

m

a=6m

2. Határozza meg az ábrán látható, négy oldalán befogott izotróp vasbeton lemez törıterhét! A lemez fajlagos nyomatéki teherbírása: - pozitív nyomatékra: mRx.p = mRy.p = 5 kNm/m - negatív nyomatékra: mRx.n = mRy.n = 3 kNm/m a=6m

Megoldás: A lemez törésképe (középen egységnyi eltolódást feltételezve): 2/a


1 2/a

negatív törésvonal

y

I 2/a

x

2/a

1 2/a

2/a

a.) Egyensúlyi módszer alkalmazása A külsı erık nyomatéka az x tengelyre az I. lemezdarabon:

( )

a 1 a 1 Mk pt = a⋅ ⋅ ⋅ pt⋅ ⋅ 2 3 2 2

3

=

a

⋅p 24 t

A belsı erık nyomatéka az x tengelyre az I. lemezdarabon:

Mb = a⋅ mRx.p + a⋅ mRx.n = 48 kNm

-2-

70


Mk = Mb 3

a

24

pt = 48kNm⋅

⋅ pt = 48kNm

24 3

kN

= 5.33

2

m

a


( )

2

a

1

⋅p Lk pt = a⋅ a⋅ 1⋅ ⋅ pt = 3 t 3 A belsı erık által végzett munka a töréskép alapján:

2 2 2 2 Lb = 2⋅ a⋅ ⋅ mRx.p + 2⋅ a⋅ ⋅ mRy.p + 2⋅ a⋅ ⋅ mRx.n + 2⋅ a⋅ ⋅ mRy.n= a a a a

= 4⋅ mRx.p + 4⋅ mRy.p + 4⋅ mRx.n + 4⋅ mRy.n = 64 kN


Lk = Lb 2

a

3

pt = 64kN ⋅

⋅ pt = 64kN

3 2

a

= 5.33

kN 2

m

3. Határozza meg az ábrán látható, csuklós megtámasztású izotrop lemez koncentrált Pt törıterhét! 2m

kNm mRx= mRy= mR0 = 4 m

t = 0.12m ν = 0.2

4m

Megoldás: A lemez törésképe:

1/2


II III

1 1/2

2m

2m

Pt

IV

y

I 1/2

x

A koncentrált erı alatt egységnyi eltolódást veszünk fel.

1/2

1 1/2

1/4

-3-

71

a.) Egyensúlyi módszer alkalmazása Írjuk fel a nyomatéki egyensúlyi egyenleteket az egyes lemezdarabokra (a szimmetria miatt a II. lemezdarabot nem szükséges vizsgálni)! A külsı és belsı erık egyensúlya az I. lemezdarabon:

ξ ⋅ Pt⋅ 2m = 6m⋅ mR0 A külsı és belsı erık egyensúlya a III. lemezdarabon:

ζ ⋅ Pt⋅ 2m = 4m⋅ mR0 A külsı és belsı erık egyensúlya a IV. lemezdarabon:

χ ⋅ Pt⋅ 4m = 4m⋅ mR0 Az egyes lemezdarabokra mőködı rész-erık összegére vonatkozó feltétel:

2⋅ ξ ⋅ P t + ζ ⋅ P t + χ ⋅ P t = P t Összességében tehát van 4 db ismeretlenünk (ξ, ζ, χ, Pt) és hozzá 4 db egyenletünk. Az ismeretlen Pt törıteher az egyenletrendszer megoldásából nyerhetı: Az egyes lemezdarabokra mőködı rész-erık: ξ ⋅ Pt = kN ζ ⋅ Pt = kN χ ⋅ Pt = kN

Pt = kN

A törıteher:


( )

Lk pt = Pt⋅ 1m A belsı erık által végzett munka a töréskép alapján:

1 1 1  1  Lb =  2m⋅ ⋅ mR0 + 2m⋅ ⋅ mR0 ⋅ 2 + 2m⋅ ⋅ mR0⋅ 2 + 4m⋅ ⋅ mR0⋅ 2 = 36 kNm 2 4 2  2 


Lk = Lb

Pt⋅ 1m = 36kNm

Pt =

36kNm 1m

= 36 kN

-4-

72

4. Határozza meg az ábrán látható, két oldalán csuklós megtámasztású, két oldalán befogott vasbeton lemez koncentrált Pt törıterhét! 2m

kNm mRx = 16 m kNm mRy = 8 m

4m

Megoldás: A lemez törésképe:

1/2


II


III

1 1/2

2m

2m

Pt

IV

y

I 1/2

x

A koncentrált erı alatt egységnyi eltolódást veszünk fel.

1/2

1 1/2

1/4

a.) Egyensúlyi módszer alkalmazása Írjuk fel a nyomatéki egyensúlyi egyenleteket az egyes lemezdarabokra (a szimmetria miatt a II. lemezdarabot nem szükséges vizsgálni)! A külsı és belsı erık egyensúlya az I. lemezdarabon:

ξ ⋅ Pt⋅ 2m = 6m⋅ mRx A külsı és belsı erık egyensúlya a III. lemezdarabon:

(

ζ ⋅ Pt⋅ 2m = 4m⋅ mRy + mRy

)

A külsı és belsı erık egyensúlya a IV. lemezdarabon:

(

χ ⋅ Pt⋅ 4m = 4m⋅ mRy + mRy

)

Az egyes lemezdarabokra mőködı rész-erık összegére vonatkozó feltétel:

2⋅ ξ ⋅ P t + ζ ⋅ P t + χ ⋅ P t = P t Összességében tehát van 4 db ismeretlenünk (ξ, ζ, χ, Pt) és hozzá 4 db egyenletünk. Az ismeretlen Pt törıteher az egyenletrendszer megoldásából nyerhetı: Az egyes lemezdarabokra mőködı rész-erık: ξ ⋅ Pt = kN ζ ⋅ Pt = kN χ ⋅ Pt = kN

Pt = kN

A törıteher:

-5-

73


( )

Lk pt = Pt⋅ 1m A belsı erık által végzett munka a töréskép alapján:

1 1  1   1  Lb =  2m⋅ ⋅ mRx + 2m⋅ ⋅ mRy ⋅ 2 +  4m⋅ ⋅ mRx + 2m⋅ ⋅ mRy ⋅ 2 ... 4 2  2   2  1 1 + 4m⋅ ⋅ mRy + 4m⋅ ⋅ mRy 4 2

Lb = 144 kNm A külsı és belsı munka egyenlısége alapján:

Lk = Lb

Pt⋅ 1m = 144kNm

Pt =

144kNm 1m

= 144 kN

5. Határozza meg az alábbi, három oldalán befogott, egy oldalán szabad peremmel rendelkezı négyszög alakú vasbeton lemez megoszló törıterhét! A pozitív törésvonalak az ábrán látható módon futnak (a lehetséges negatív törésvonalakat az ábrán nem tüntettük fel). kNm mR0 = 8 m 4m

-ν1·mR0

+mR0 -ν2·mR0

3m

+mR0

5m

-ν2·mR0

ν 1 = 1.785

3m

ν 2 = 0.41

11 m

Megoldás: y 1/4

A lemez törésképe:



α x

1

1

1/3

1/3

1

I

1/3

1/3

-6-

74

a.) Egyensúlyi módszer alkalmazása A külsı erık nyomatéka az y tengelyre az I. lemezdarabon, figyelembe véve a kiegyensúlyozatlan csavarónyomatékokból származó erıt:

 4m    3m 

α = atan 

α = 53.13 °

( )

1 3m ⋅ p + 3⋅ m⋅ mR0⋅ cot ( α ) Mk pt = 3m⋅ 4m⋅ ⋅ 2 3 t

A belsı erık nyomatéka az y tengelyre az I. lemezdarabon:

Mb = 4⋅ m⋅ mR0 + 4⋅ m⋅ ν 2⋅ mR0 = 45.12 kNm


Mk = Mb

pt =

45.12kNm − 3⋅ m⋅ mR0⋅ cot ( α ) 1 3⋅ m 3⋅ m⋅ 4⋅ m⋅ ⋅ 2 3

= 4.52

kN 2

m


1 1  Lk pt = 3m⋅ 4m⋅ 1m⋅ ⋅ 2 + ( 11m − 2⋅ 3m) ⋅ 4m⋅ 1m⋅  ⋅ pt 2 3

( )






1 1 1 1 Lb = 4m⋅ ⋅ ν 2⋅ mR0⋅ 2 + 11m ⋅ ν 1⋅ mR0 + 4m ⋅ mR0⋅ 2 + 3m ⋅ mR0⋅ 2 4 3 4 3

Lb = 81.35 kNm A külsı és belsı munka egyenlısége alapján:

pt =

Lb

1 1 3⋅ m⋅ 4⋅ m⋅ 1⋅ m⋅ ⋅ 2 + ( 11⋅ m − 2⋅ 3⋅ m) ⋅ 4⋅ m⋅ 1⋅ m⋅ 2 3

pt = 4.52

kN 2

m

-7-

75

6. Határozza meg az alábbi ábrán látható, két oldalán befogott, két oldalán szabad peremmel rendelkezı négyszög alakú vasbeton lemez megoszló törıterhét! A lemez fajlagos nyomatéki teherbírása: - pozitív nyomatékra: mRx.p = mRy.p = 12 kNm/m

4m

mRy

- negatív nyomatékra: mRx.n = mRy.n = 15 kNm/m

mRx

szabad perem

5m

Megoldás:

1/4

y

A lemez törésképe:

II negatív törésvonal

I


x

t

1

α

ctgα =

1/t

1

1/t

t 4m

ctg (180 o − α ) = −

t 4m

a.) Egyensúlyi módszer alkalmazása A külsı és belsı erık egyensúlya az y tengelyre az I. lemezdarabon:

(

t 1 t = 4m⋅ mRy.p + mRy.n t⋅ 4m⋅ ⋅ ⋅ pt + t⋅ mRx.p⋅ 4m 2 3

)

A külsı és belsı erık egyensúlya az elfordulási tengelyre a II. lemezdarabon:

t 4m 1 4m − 4m⋅ mRy.p⋅ = t⋅ mRx.p + 5m⋅ mRx.n ⋅ pt + ( 5m − t) ⋅ 4m⋅ pt⋅ t⋅ 4m⋅ ⋅ 4m 2 2 3

-8-

76

A fenti két egyenletben a t távolság és a pt törıteher ismeretlenek, melyek értékét az egyenletrendszer megoldásával számíthatjuk: kN pt = t= 2 m


1 1  Lk t , pt = t⋅ 4m⋅ 1m⋅ + ( 5m − t) ⋅ 4m⋅ 1m⋅  ⋅ pt 2 3

( )






Lb ( t) = 4m⋅

1 1m 1 ⋅ mRy.p + t⋅ ⋅ mRx.p ⋅ mRy.n + 5m⋅ ⋅ mRx.n + 4m⋅ 4 t 4 t

1m

A külsı és belsı munka egyenlısége alapján a törıteher a t távolság függvényében:

4m⋅ pt ( t) =

1 1m 1 ⋅ mRy.p + t⋅ ⋅ mRx.p ⋅ mRy.n + 5m⋅ ⋅ mRx.n + 4m⋅ 4 t 4 t 1 1 t⋅ 4⋅ m⋅ 1⋅ m⋅ + ( 5⋅ m − t) ⋅ 4⋅ m⋅ 1⋅ m⋅ 2 3

1m

A fenti kifejezés minimumát deriválással kereshetjük meg:

d dt

pt ( t) = 0

A deriváltra vonatkozó egyenletbıl a t távolság értéke:

t = 3.624 m A törıteher t ismeretében számítható a külsı-belsı munka egyenlıségébıl:

pt ( t) = 7.84

kN 2

m

-9-

77

Keretszerkezetek

78

K1. példa Ellenőrizze az ábrán látható keretszerkezet „K” jelű keresztmetszetének teherbírását az alábbiak szerint: a.) Rajzolja fel a „K” keresztmetszetre vonatkozó alakhelyes nyomatéki és normálerő hatásábrákat (η(Mk), η(Nk))! b.) Mutassa meg, hogy milyen teherelrendezés esetén lesz a nyomaték értéke maximális a „K” keresztmetszetben! A mértékadó leterheléssel számítsa ki a közelítő modell alkalmazásával a „K” keresztmetszetben ébredő hajlítónyomaték és (egyidejű) normálerő értékét a keret síkjában!

K

Oszlopok

Terhek:

Gerendák

g = 10 kN/m, γ G = 1,35 q = 16 kN/m, γ Q = 1,5

Oszlop km. hasznos magasság: d x = d y = 250 mm Megoldás: g = 10 kN/m, γ G = 1,35

q = 16kN/m, γ Q = 1,5

79

2

1 K

a.) nyomatéki hatásábra

normálerő hatásábra

K

K

η(M )

η(N )

k

k

b.) p1

p2

p1

p2 K

p1 = γ G * g + γ Q * q p 2 = γ G * g (a tervezési feladat alapján) p1 = 1,35 * 10 + 1,5 * 16 = 37,5 kN/m p 2 = 13,5 kN/m

80

p2⋅4 12

p1⋅6 12

2

2

∆M = 112,5 − 18 = 94,5 kNm Merevségek: I o 300 ∗ 300 3 = 2,25 ∗ 10 5 = 12 ∗ 3000 lo I g 300 ∗ 500 3 = 5,21 ∗ 10 5 = 12 ∗ 6000 l1 I g 300 ∗ 500 3 = 7,81 ∗ 10 5 = 12 ∗ 4000 l2 Nyomatékkülönbség szétosztása az oszlopokra: Io l 2,25 ∗ 10 5 = 12,14 kNm M oszlop = ∆M o = 94,5 Ii (2 ∗ 2,25 + 5,21 + 7,81)10 5 ∑l i 1─es gerendára jutó nyomaték: ∆M * M1 = Ii

∑l

Ig l1

Ii

∑l

=

94,5 * 7,81 *10 5 = 42,12 kNm 17,52 * 10 5

i

= (2 ∗ 2,25 + 7,81 + 5,21)10 5 = 17,52 ∗ 10 5

i

2─es gerendára jutó nyomaték: Ig ∆M * l 2 94,5 * 5,21 *10 5 = = 28,10 kNm M2 = Ii 17,52 *10 5 ∑l i

81

42,12 v2

14,05

v1 21,06 28,10

V1 =

42,12 + 21,06 = 15,8 kN, 4

V2 =

28,10 + 14,05 = 7,02 kN 6

Egyidejű normálerő: nyomatékosztás előtt: p 1 * l 2 p 2 * l1 p 2 * l 2 + + 2 2 2 ⎛l +l ⎞ N = (p1 + p 2 ) * ⎜ 1 2 ⎟ = 51 * 5 = 255 kN ⎝ 2 ⎠

normálerő a nyomatékosztás után: A gerenda reakcióerejét felhasználva: 28,10 + 14,05 42,12 + 21,06 = 15,8 kN, V2 = = 7,02 kN V1 = 6 4 N e = 255 + 15,8 − 7,02 = 263,78 kN (a felső csomópont nyomatékosztásától eltekintünk)

82

K2. példa Határozza meg és alakhelyes ábrán ábrázolja az alábbi háromszintes keretszerkezet közelítő hajlítónyomatéki (M) és normálerő (N) ábráit a portál─módszer alkalmazásával! 45 kN

90 kN

Megoldás: 22,5 22,5

22,5

45 kN 11,25

11,25

11,25

11,25

11,25

11,25

11,25

11,25

90

33,75

90 67,5

67,5 22,5 33,75

22,5

33,75

90 135

33,75 67,5 67,5

33,75

33,75

33,75

33,75

33,75

22,5

33,75

33,75

33,75

67,5

67,5

22,5

90 33,75

22,5

135

67,5 67,5

67,5

67,5

67,5 67,5

33,75

33,75

135

33,75 67,5

135

67,5

67,5

67,5

83

22,5

45

22,5

90

22,5

22,5

90

22,5

A nyomatéki ábra:

67,5

135

67,5 22,5

135

135

90

90

45

22,5

67,5

135

67,5 67,5

135

135

67,5

135

67,5

67,5

M [kNm]

33,75 11,25

67,5

7,5 +

7,5 22,5

+

+

30 30

45

45

84

K3. példa Határozza meg az alábbi tartó alakhelyes közelítő nyomatéki ábráját a jellemző értékek feltüntetésével! P=70 kN

Ig

Ig

Io

Io

Io

Io

Ig

Ig

Ig

Ig

Io Ig

Ig

Merevségiviszonyok : E * I o /l o << E * I g /l g Megoldás: A tartó elmozdult alakja és a reakcióerők: P=70 kN

RB=17,5 kN RA=52,5 kN 70

8,75

13,12 26,24

13,13

13,12

13,12 13,12

13,12

8,75

26,24

26,24

39,38

8,75

13,13

13,12

39,38 39,38

8,75

26,24

26,24 39,38

8,75

13,12

8,75

13,12

26,24

39,38

8,75

8,75

13,12

39,38

26,25

8,75

13,12

26,25

8,75

13,12

26,25

8,75

8,75

13,12

26,25

M [kNm]

85

K4. példa a.) Határozza meg és alakhelyes ábrán rajzolja le az alábbi, vízszintes teherrel terhelt keretszerkezet közelítő nyomatéki (M) ábráját Portál módszerrel! b.) Milyen módon kell a keretgerendákat a qd hasznos födémteherrel leterhelni ahhoz, hogy a „K1” keresztmetszetben maximális legyen a hajlítónyomaték értéke? 20 kN

40 kN

K

Megoldás: a.) 20 kN 6,66

6,66

6,66

6,66

6,66

6,66

6,66

5

6,66

6,66

40 kN

6,66

10

10

10

6,66

10

10

10

6,66 30

6,66

6,66

6,66

6,66

15 10

K

K

20

20 6,66

6,66

6,66

10

10

6,66

6,66

15

6,66

6,66

20

30 6,66

20

20

20

A nyomatéki ábra:

86

10 5

10

10

10

5

10

10

10

30

15

10

20

20

20 10

10

10

30

15

K

20

20

20

b.) Mértékadó leterhelés

K

87

K5. példa Határozza meg az alábbi Vierendeel─tartó nyomatéki ábráját közelítő módszerrel! 3P

P Ig

Ig

Ig

Io

Io

Io

Io Ig

Ig

Ig

a = 6m k = 4m P = 30 kN I o >> I g Megoldás: 90 kN 30 kN Ig

Ig

Ig

Ig

Io

Io

Io

Io

Ig

Ig

50 kN

70 kN 90 kN 30 kN 10

25

10

25 25

35 35

10 25

50 kN

35

10

35 70 kN

A nyomatéki ábra:

88

105 30

75

105

75

105

30

105

105

75

75

105

105

30

75

75

105

30

75 75

M [kNm]

89

K6. példa a.) Határozza meg és alakhelyes ábrán rajzolja le az alábbi, vízszintes teherrel terhelt keretszerkezet közelítő nyomatéki (M) ábráját! b.) Milyen módon kell a keretgerendákat a qd hasznos födémteherrel leterhelni ahhoz, hogy a K1 keresztmetszetben maximális legyen a hajlítónyomaték értéke? 40 kN

100 kN K

Megoldás: 30

40 kN

30

20

20

100

20

20

50 70

70

100 kN

70

30 46,67

46,67

30

46,67

50 122,5

46,67

46,67

61,25

46,67

61,25 52,5

52,5 70

35

35

35

35

35

35

35

52,5

52,5

70

70

61,25

61,25

52,5

35

52,5

52,5

52,5

52,5

A nyomatéki ábra:

90

30

30

50

30

100

30

30

52,5

70 61,25

52,5

52,5

70 61,25

70

61,25

52,5

61,25

52,5

122,5

50

30 K

70

70

52,5

70

52,5

52,5

70

52,5

M [kNm] b.) Mértékadó leterhelés

qd

K

K qd

η (M ) k

91

K7. példa Határozza meg és alakhelyes ábrán rajzolja le az alábbi, vízszintes teherrel terhelt keretszerkezet (közelítő) nyomatéki ábráját! (Megjegyzés: A közelítő számításnál vegye figyelembe, hogy a keretgerendák sokkal merevebbek a keretoszlopoknál.) 150 kN

60 kN

Megoldás: 150 kN

150 kN

60 kN

150 kN

75

75

75 37,5

50

50

50 232,5

50

50

50 75

157,5

60 kN 75

105

157,5 75

37,5

105 232,5

105

262,5

105 105

105

70

70

70

157,5

52,5

105

157,5

262,5

70

70

70

105

105

105

A nyomatéki ábra:

92

75

37,5

75

75

75

262,5

52,5

232,5

157, 75

37,5

75

232,5

157,5

37,5

75

37,5

75

105

105

262,5

52,5

105 157,5

105 157,5

105

105

M [kNm]

93

K8. példa Határozza meg az alábbi keret nyomatéki ábráját közelítő módszerrel! P

2P

Io

2Io

2Io

Io

Megoldás: 53,33

26,66

40 kN

13,33 13,33

26,66 26,66 42,66 16 26,66

8

16

8

16

42,66

42,66

16

32

32 53,33

16 56

56 40

80 kN

16 40

20 20

40

40 40

32

32

56

20

40

80

80

56

56

20

40

80

80

40

94

26,66

53,33

32

42,66 32

16 26,66

32

56

56

42,66

42,66

53,33

16

56

56 80

40

32

32

56 40

80

80

40

40

26,66

53,33

A nyomatéki ábra:

80

40

95

STNB222 segédlet a PTE Polláck Mihály Műszaki Kar hallgatóinak. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

Recommend Documents