Stacionárius töltésáramlás

1

BEVEZETÉS

Stacionárius töltésáramlás 1

Bevezetés

Stacionárius (id®független) konduktív töltésáramlást ('egyenáram') megengedve, de minden más id®beli változást kizárva jellemz®k és ~J árams¶r¶ség.

~ eltolási vektor nem függ az id®t®l, ezért a D ρ=

1 ~ div D 4π

térfogati töltéss¶r¶ség is id®független.

id®független tér-

2

2

A KONTINUITÁSI EGYENLET

A kontinuitási egyenlet

Töltéss¶r¶ség id®ben állandó

a V tartományon belüli ˆ Q = ρ(~r) d3~r V

teljes töltés megmarad ˛ ∂V

V -b®l nem áramlik ki töltés ˆ ~J(~r) · d~s = div ~J d3~r = 0 V

Összehúzva V -t egy pontra kapjuk a

div ~J = 0 kontinuitási egyenletet.

2


Vizsgáljuk két különböz® közeg határfelületét, melyet egy L magasságú, a határfelületet mer®legesen metsz® V hengeres test oszt két részre. Jelölje

P1 és P2 a henger fed®-, illetve alaplapját.

2


Mivel V -b®l nem áramlik ki töltés, ezért ˛ ~J(~r) · d~s = 0 ∂V

Az L magasságot csökkentve (a határfelületre összenyomva a hengert), mind P2 és P1 rásimul P -re, V metszetére a határfelülettel, és ˆ ˆ ˆ ˛ ˆ ~J · d~s → ~J · d~s + ~J · d~s → ~J2 · d~s − ~J1 · d~s ∂V

P1

P2

P

mivel a palást járuléka elt¶nik: innen

ˆ

ˆ ~J2 · d~s =

P

~J1 · d~s P

P

2


ahol ~J1 és ~J2 jelöli az árams¶r¶séget a határfelület két oldalán ugyanazon pontban. P -t egy pontra zsugorítva

~J2 · ~n = ~J1 · ~n ahol ~n a határfelület normális egységvektorát jelöli. Két közeg határfelületén az árams¶r¶ség normális komponense folytonosan változik, míg tangenciális komponense ugrást szenvedhet. Vezet®-szigetel® határfelületen (mivel nincs töltésáramlás a szigetel®ben, így ott az árams¶r¶ség normális komponense elt¶nik) a konduktív árams¶r¶ség mindig tangenciális.

2


P1 és P2 jelölje két keresztmetszetét egy szigetel®be ágyazott vezet® cs®nek. Egységnyi id® alatt Pi -n keresztül átáramló töltés mennyisége ´ Ii = ~J · d~s. Mivel stacionárius áramlás során a keresztmetszetek közti Pi

cs®darab belsejében a teljes töltésmennyiség nem változhat, ezért I2 = I1 . Az egységnyi id® alatt átáramló töltés mennyisége ('áramer®sség') ugyanakkora minden keresztmetszetre.

3

3

A JOULEH

A Jouleh®

Elektromos vezetés disszipatív folyamat: lokális inhomogenitásokon történ® szórási folyamatok révén a mikroszkopikus töltéshordozók kinetikus energiája h®vé (termikus uktuációk energiája) alakul át. H®mozgás energiájának forrása az elektromos mez® által a mikroszkopikus töltéshordozókon végzett munka. Tekintsünk egy ρ(~r) térfogati töltéss¶r¶séggel jellemzett folytonos töltéseloszlást, amely vákuumban mozog ~v(~r) sebességgel.

Az elektromos

~, mez® által az egységnyi térfogatban található töltésekre kifejtett er® ρE így a ∆t innitezimális id®tartam alatt rajtuk végzett munka (mivel a

3

A JOULEH

térfogat elmozdulása ezalatt ~v∆t)

~ v ∆t = E· ~ ~Jkonv ∆t ρE·~ ahol ~Jkonv = ρ~v a konvektív árams¶r¶ség. Elektromos mez® nem tesz különbséget konduktív és konvektív áramok között, így általában az egységnyi id® alatt egységnyi térfogaton végzett

~ , és tisztán konduktív áramok esetén ez a h®termelés forrása. munka ~J·E Konduktív töltésáramlás által egységnyi id® alatt egységnyi térfogatban termelt h® mennyisége (Joule-h®)

~ ~Jkond W = E·

Joule-törvény

4

4

ELEKTROMOTOROS ER

Elektromotoros er®

Töltésáramlás disszipatív folyamat

stacionárius áramlás fenntartásához

szükség van áramforrásra, amely egy lokalizált elektromos mez® által felgyorsítva a mikroszkopikus töltéshordozókat kompenzálni képes a h®termelés okozta energiavesztességet. A teljes elektromos mez® térer®ssége

~ tot = E ~ +E ~0 E ~ a térer®sség az áramforráson kívül, míg E ~ 0 az áramforráson belüli ahol E (lokalizált) térer®sség.

~ 0 helyfüggése általában igen bonyolult, de a részletek érdektelenek E

4

ELEKTROMOTOROS ER

áramforrás jellemezhet® az

´

~ 0 (~r) · d~r E= E elektromotoros er® segítségével. Áramforrások típusai: 1. Kémiai (galvánelemek, akkumulátorok): kicsiny elektromotoros er®. 2. Optikai (napelemek): nagyon kicsiny elektromotoros er®, csak megfelel® fényintenzitás (pl. er®s napfény) esetén m¶ködik. 3. Mechanikai (er®m¶vek): nagy elektromotoros er®, de igen alacsony hatékonyság (jelent®s energiavesztesség). 4. Termikus, radioaktív, MHD, stb.

5

5

STACIONÁRIUS ÁRAMOK ELEKTROMOS MEZEJE

Stacionárius áramok elektromos mezeje

Elektromos mez® okozta konduktív töltésáramlás

nem túl nagy tér-

er®sségek esetén általánosított Ohm-törvény ('lineáris válasz')

~Jkond = σ E ~ tot = σ(E ~ +E ~ 0) ahol σ a közeg vezet®képessége.

~ mez® konzervatív, míg az áramforrás belsejére Az áramforráson kívüli E ~ 0 mez® kompenzálja a h®termelés során disszipált energiát. lokalizált E ~ = ~0 következtében létezik Φ(~r) potenciál-függvény, amellyel rot E ~ r) = −grad Φ E(~

5


Mivel nincsenek konvektív áramok, ezért a div ~J = 0 kontinuitási egyenlet és az általánosított Ohm-törvény következtében

~0 div σgrad Φ = div σ E

Homogén vezet®re, az áramforrásokon kívül

ρ=

1 ~ = ε div ~J = 0 div(εE) 4π 4πσ

Nincs makroszkopikus töltéss¶r¶ség: fémes vezet®ben a negatív töltés¶ elektronok a pozitív töltés¶ atomtörzsek rácsában kvázi-szabadon mozognak, míg egy elektrolitban pozitív és negatív töltés¶ ionok ellentétes irányú áramlása kompenzálja egymást. Potenciál meghatározása általában rendkívül bonyolult.

5


Drótvezet®: szigetel® közegbe ágyazott vezet® cs®, melynek átmér®je elhanyagolható a hosszához képest. Számítás jelent®sen leegyszer¶södik elektromos hálózatokra (drótvezet®k által összekötött áramforrások rendszerére), mivel

• áramforrások teljes mértékben jellemezhet®k elektromotoros erejükkel, az áramforrás szerkezete irreleváns;

• töltésáramlás lokalizálódik az áramforrásokat összeköt® drótvezet®kre, és jellemezhet® a (keresztmetszet-független) áramer®sséggel, az árams¶r¶ség pontos helyfüggése érdektelen.

6

6

AZ OHMTÖRVÉNY

Az Ohmtörvény

Tekintsünk egy ` hosszúságú és A keresztmetszet¶ homogén, egyenes drótvezet®t, amelyen I er®sség¶ stacionárius áram folyik át.

Legyen az x-tengely a drótvezet®vel párhuzamos (töltésáramlás iránya), és tegyük fel, hogy az erre mer®leges irányokban az áram egyenletes eloszlású

~Jkond = I ~ex A

6

AZ OHMTÖRVÉNY

Az általánosított Ohm-törvény alapján a stacionárius konduktív áramot

1~ I ~ ~ex E = Jkond = σ σA statikus elektromos mez® tartja fenn a drótvezet® belsejében, amely a

Φ(x) = Φ0 −

I x σA

lineáris potenciál-függvénynek felel meg. Innen a potenciálkülönbség ('feszültség') a drótvezet® két vége között

I` U = Φ(0)−Φ(`) = σA A feszültség arányos az áramer®sséggel!

6

AZ OHMTÖRVÉNY

U = RI

Ohm-törvény

ahol

` R= σA a drótvezet® elektromos ellenállása, amely csak az anyagi összetételt®l és a mértani alaktól függ, de független a drótvezet®n keresztül folyó áram er®sségét®l. Az egységnyi id® alatt termelt Joule-h® mennyisége

ˆ W=

I I 2 I ` ~ ~Jkond d ~r = ~ex · ~ex A` = E· = I 2 R = IU σA A σA 3

7

7

KIRCHHOFF TÖRVÉNYEI

Kirchho törvényei

Elektromos hálózat: drótvezet®kkel összekötött áramforrások rendszere.

Elektromos hálózat jellemzése áramforrások Ei elektromotoros ereje és a drótvezet®k Ri elektromos ellenállása segítségével.

7


G. Kirchho (1845): az egyes drótvezet®kön átfolyó Ii áramer®sségek meghatározása visszavezethet® egy lineáris egyenletrendszer megoldására.

Kirchho els® törvénye (csomóponti szabály): egy elektromos hálózat bármely csomópontjába (drótvezet®k találkozása) befolyó áramok összege megegyezik ugyanezen csomópontból kifolyó áramok összegével (kontinuitási egyenlet integrális alakja).

7


Kirchho második törvénye (hurok-szabály):

egy elektromos hálózat

bármely zárt hurka esetén, a hurokban el®forduló drótvezet®kre felösszegezve az adott drótvezet® ellenállásának és a rajta átfolyó áram er®sségének szorzatát, az összeg megegyezik a hurokban el®forduló egyes áramforrások elektromotoros erejének összegével.

csomóponti szabály ! töltésmegmaradás hurok-szabály ! energiamegmaradás

Fenti összefüggések lineáris egyenletrendszerre vezetnek az áramer®sségek meghatározására, melynek alakját a komponensek Ri ellenállása és Ei

7


elektromotoros ereje mellett a hálózat topológiája határozza meg gráfelméleti módszerek az elektromos hálózatok vizsgálatában. A példában:

I1 = I2 + I3

Észrevétel.

csomóponti szabály

E2 = R1 I1 + R2 I2

hurok-szabály els® hurokra

E3 = R2 I2 − R3 I3

hurok-szabály második hurokra

a harmadik (1-es és 3-as drótvezet®b®l alkotott) hurok, illetve

a másik csomópont gyelembevétele nem ad semmi újat.

7


Mátrix alakban

 1  R  1  0

−1 R2 R2

    −1  I1   0          0   I2  = E2      −R3 I3 E3

aminek megoldása

  I1    1 I  =  2  R1 R2 + R1 R3 + R2 R3   I3

  (R2 + R3 )E2 − R2 E3      R3 E2 + R1 E3     R2 E2 − (R1 + R2 )E3

8

8

VEZETÉSI MECHANIZMUSOK

Vezetési mechanizmusok

Különféle eredet¶ és jelleg¶ mikroszkopikus töltéshordozók az anyag halmazállapotától és a küls® körülményekt®l függ®en:

• szupravezet®knél Cooperpárok; • elektrolitokban anionok és kationok; • fémekben delokalizált elektronok; • félvezet®kben elektronok és lyukak. Sok esetben a vezetés klasszikusan modellezhet® mikroszkopikus töltéshordozókból álló ideális gáz (vagy plazma, ill. folyadék) segítségével.

8


Szupravezet®k Kamerlingh Onnes (1911): a h®mérséklet csökkenésével több anyag fajlagos elektromos ellenállása elt¶nik (szupravezet®vé válik).

Meissner és Ochsenfeld (1933): szupravezet®k kiszorítják belsejükb®l a mágneses mez®t (ideális diamágnesek). Bardeen, Cooper és Schrieer (1957): mikroszkopikus magyarázat.

8


Abrikosov (1956): szupravezet®k típusai. Bednorz és Müller (1986): magas h®mérséklet¶ szupravezetés.

8


Mikroszkopikus magyarázat (BCS elmélet):

• a rácsrezgésekkel történ® kölcsönhatásuk következtében köztük fellép® gyenge vonzás miatt az elektronok Cooperpárokat alkotnak;

• a Cooperpárok szuperfolyadékként viselkednek (nincs disszipáció bizonyos h®mérséklet alatt). BCS elmélet nem magyarázza a magas h®mérséklet¶ szupravezet®k létét (kurrens magyarázat: paramagnonok közvetítette elektron-kölcsönhatás). Adott (kritikus alatti) h®mérsékleten a szupravezet® fázis megsz¶nik elég er®s (kritikus térer®sség feletti) mágneses térben.

8


Fémes vezet®k Fémes kristályokban az elektronok egy része delokalizált, a kristály egészéhez köt®dik, és nem az egyes atomokhoz/molekulákhoz

kvázi-szabadon

mozognak küls® elektromos mez®ben. Magyarázat: energiaszintek sávszerkezete makroszkopikus kristályokban.

8


Az EF Fermi-energia alatt minden energiaszint telített elektronokkal (alapállapotban)

ha a Fermi-energia két sáv közé esik, akkor a kristály

szigetel®, mert túl nagy energiaátadás szükséges az elektronok mozgatásához. Ha a Fermi-energia egy sáv belsejében található, akkor már igen csekély energia elegend® az elektronokat mozgásba hozni, így a kristály jó vezet®. H®vezetést fémekben többnyire a vezetési elektronok okozzák

kapcso-

lat az elektromos és h®vezetési képességek között. Fémes kötés: elektrosztatikus vonzás a pozitív ionok alkotta kristályrács és a delokalizált elektronok között.

8


Félvezet®k Ha a Fermi-energia két sáv között fekszik, de közel az egyikhez, akkor a termikus uktuációk elegend® energiát szolgáltathatnak ahhoz, hogy az elektronok mozgásba jöjjenek: félvezet®k. Félvezet®k vezet®képessége exponenciálisan n® a h®mérséklettel. Töltéshordozók lehetnek lyukak vagy elektronok attól függ®en, hogy a Fermi-energia egy sáv tetejéhez vagy aljához közel található. Fontos alkalmazások az elektronikában: diódák és tranzisztorok, integrált áramkörök, stb.

8


Folyadékok Folyékony anyagok általában szigetel®k: csak akkor vezetik az áramot, ha elég nagy koncentrációban tartalmaznak ionokat (elektromosan töltött atomokat és/vagy molekulákat). Az anionok (negatív töltés¶ ionok) az anód (pozitív elektróda), míg a kationok (pozitív töltés¶ ionok) a katód (negatív elektróda) irányába mozognak küls® elektromos mez® hatására. Rekombináció:

az ellentétes töltés¶ ionok kölcsönös semlegesítését

eredményez® folyamat, amely dinamikus egyensúlyban van az ionizációs mechanizmusokkal (a megfelel® ionkoncentráció fenntartására).

8


Ionizációs mechanizmusok folyadékokban: 1. ionkristályok olvadékaiban a h®mozgás (ionok elhagyják helyüket a rácsban); 2. elektrolitokban (ionkristályok oldatai poláros oldószerekben, pl.

NaCl vizes oldata) a releváns ionizációs mechanizmus az

elektrolitikus disszociáció: a poláros oldószer molekulái aggregálódnak az ionokkal, ezáltal szeparálva ®ket és leárnyékolva elektromos töltésüket, így csökkentve a köztük fellép® elektrosztatikus kölcsönhatást és a rekombinációra való hajlamot.

8


Elektrolízis: elektromos mez® által indukált kémiai reakció (amikor az ionok elérik az elektródákat elvesztik töltésüket, és elektromosan semleges molekulák válnak ki rajtuk). Faraday törvényei az elektrolízisr®l: az elektrolízis során kiváló elemek mennyisége arányos az átfolyó töltéssel, és fordítva arányos az elemek vegyértékével.

8


Gázok és plazmák Folyadékokhoz hasonlóan a gázok általában szigetel®k, kivéve ha elég nagy a mozgékony ionok koncentrációja (ionok rekombinációját valamely ionizációs mechanizmus kompenzálja). Ionizációs mechanizmusok gázokban: 1. h®mozgásból származó ütközések magas h®mérsékleten; 2. nagy energiájú sugárzások (radioaktív, röntgen, kozmikus) hatása; 3. elektromos mez® által felgyorsított ionok ütközése a gázt határoló fal atomjaival/molekuláival, melynek során elektronok lök®dnek ki onnan (felületi ionizáció);

8

VEZETÉSI MECHANIZMUSOK 4. elektromos mez® által nagy sebességre gyorsított elektronok ütközése a gázt alkotó semleges atomokkal és/vagy molekulákkal, melynek során utóbbiak ionizálódnak (térfogati ionizáció).

Utóbbi esetben el®fordulhat, hogy az ütközések során az elektronok száma megsokszorozódik (Townsendkaszkád), így a kezdeti ionizációt létrehozó hatás megsz¶nte után is makroszkopikus mennyiség¶ ion marad a gázban önfenntartó gázkisülés.

8


Önfenntartó gázkisülések típusai növekv® nyomás mellett: 1. alacsony nyomáson, meghatározott minimális átütési feszültség felett létrejöv®, gyenge fényeektussal kísért ködfénykisülés; 2. közepes nyomáson, er®sen inhomogén térben létrejöv® koronakisülés (pl. Szent Elmo tüze magas póznák csúcsán); 3. kritikus térer®sség felett létrejöv® szikrakisülés (pl. villámlás), melynek során szerteágazó, plazmával bélelt ionizációs csatornák jelennek meg a gázban (rekombinációt jelent®s h®termelés és fényhatás kíséri); 4. nagyon er®s tereknél ívkisülés (pl. higanyg®z-lámpa).

8


Plazma: olyan er®sen ionizált, kvázi-semleges gáz, melyben az ionok koncentrációja meghaladja az elektromos árnyékolást jellemz® Debyekorlátot

mozgékony mikroszkopikus töltéshordozók nagy száma miatt

a plazma jó vezet®. Az Univerzumban a 'látható anyag' meghatározó része plazma ('negyedik halmazállapot'): a Nap, a csillagok és csillagködök, a Föld magja és ionoszférája, az elektromos ívek, a villámcsatornák, stb.

8


Plazmák jellemzése elektron-s¶r¶ség és h®mérséklet alapján.

Stacionárius töltésáramlás

Recommend Documents