SPOLEČNÉ PRINCIPY MEMRISTORU, MEMKAPACITORU A MEMINDUKTORU

Slaboproudý obzor Roč. 70 (2014) Číslo 4

Z. Biolek: Společné principy memristoru, memkapacitoru a meminduktoru

P1

SPOLEČNÉ PRINCIPY MEMRISTORU, MEMKAPACITORU A MEMINDUKTORU Ing. Zdeněk Biolek, Ph.D. Ústav mikroelektroniky; Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, VUT Brno, [email protected] Abstrakt

Abstract

Díky objevu prvku zvaného “HP memristor” v kalifornských laboratořích firmy Hewlett Packard v roce 2008 byl znovu „oprášen“ starý koncept paměťových prvků typu memkapacitor a meminduktor z 80. let minulého století. Cílem článku je ukázat společné rysy memristoru, memkapacitoru a meminduktoru, poukázat na projevy paměťového chování napříč různými fyzikálními platformami a poskytnout inspiraci pro další studium prostřednictvím počítačových modelů.

With the discovery of the element called "HP memristor" in California laboratories of Hewlett Packard in 2008, the old concept of memory elements called memcapacitor and meminductor from the eighties of last century has been restored. This article aims to show common features of memristor, memcapacitor and meminductor, to point out the signs of memory behavior across assorted physical platforms, and to provide inspiration for further study via computer models.

Klíčová slova: Memristor, memkapacitor, meminduktor, konstituční relace, modelování

Keywords: Memristor, memcapacitor, meminductor, constitutive relation, modeling

1

Úvod

Objev memristoru v pevné fázi, k němuž došlo v laboratořích Hewlett Packard v kalifornském Palo Altu v průběhu roku 2008, vyvolal značnou vlnu zájmu o problematiku tzv. memprvků, což jsou paměťové varianty RLC prvků klasické elektrotechniky. Hledají se další dva chybějící prvky, memkapacitor a meminduktor, a to hlavně v oblasti nanosvěta, často napříč různými fyzikálními platformami. Přes značnou různorodost fyzikálních principů dosud objevených součástek s paměťovým chováním mají všechny tyto prvky společný základ, který se projevuje i mimo oblast nanometrických rozměrů. Jednou z publikací, která na tento fakt upozorňuje, je rozsáhlá přehledová práce [1]. Ukazuje se, že nejrůznější paměťové principy zaujímají svá místa v objektivně existující hierarchii [2], a to bez ohledu na fyzikální rámec, v němž je paměťový efekt realizován. Integrál jako matematický operátor, který přirozeně vyjadřuje proces zápisu informace do živé i neživé hmoty, je zároveň „vstupenkou“ do vyššího patra této hierarchie. Hlavním cílem následujícího pojednání je poskytnout úvod do studia společných principů, na kterých jsou založeny memristor, memkapacitor a meminduktor. Je ukázáno, že projevy typické pro tyto paměťové prvky lze nalézt i v oblastech mimo elektrotechniku. Je poukázáno na modely, které umožňují efektivní studium chování těchto systémů formou počítačových simulací.

2

Hierarchie paměťových prvků

V roce 2008 bylo v [3] uveřejněno schéma, které představovalo vztah mezi základními pasivními prvky elektrotechniky. Jeho upravená podoba je na levé straně obr. 1. Mezi napětím u, proudem i a jejich časovými integrály tokem ϕ a nábojem q - existují tři známé vazby: Ohmův zákon pro rezistor u=Ri, vztah ϕ=Li pro induktor a relace q=Cu pro kapacitor. Na obr. 1 dosud není nakreslen prvek, který by

ϕ

q

p

q

∫

∫

∫

∫

u

i

F

v

Obr. 1.

Hierarchie tří pasivních prvků elektrotechniky a mechaniky.

vyjadřoval relaci mezi tokem ϕ a nábojem q. V roce 1971 odvodil vlastnosti tohoto čtvrtého chybějícího prvku Leon Chua [4] a nazval jej memristorem. Objev „HP memristoru“ roku 2008 pak vyvolal mohutnou vlnu zájmu o fundamentální otázku základních pasivních prvků. Kapacitor C a induktor L jsou (na rozdíl od rezistoru R) po právu vnímány jako paměťové prvky; z obr. 1 je patrné, proč tomu tak je. Na skladování informace v LC prvcích je možno pohlížet jako na skladování energie, ale také jako na skladování elektrického náboje q, případně magnetického toku ϕ. Náboj i tok se přirozeně nabízejí pro skladování informace, neboť jsou integrálními veličinami. Odezní-li zápisová veličina, kterou je proud (napětí), uskladněný náboj (tok) zůstává na poslední hodnotě a ideální induktor (kapacitor) se chová jako nevolatilní paměť. Kapacitor střádá náboj q(t) postupnou integrací protékajícího proudu i(t). Když proud přestane protékat např. kvůli odpojení od zdroje energie, náboj se přestane měnit a zůstane na posledně uložené hodnotě. Pro uchování náboje je ovšem nutné zamezit jeho úniku, tj. svorky kapacitoru musí po ukončení zápisu zůstat rozpojené. Každý reálný kapacitor má však svod, který způsobuje samovolné vybíjení. Paměti DRAM, které skladují elektrický náboj, proto musí být vybaveny přídavnými obvody pro vykompenzování tohoto nežádoucího jevu.

P2


Mechanické paměťové prvky jsou představeny v pravé části obr. 1. Mechanickou obdobou rezistoru může být tlumič, který zavádí pevnou vazbu mezi působící sílu F a rychlost pohybu v. Mechanickou obdobou kapacitoru může být pružina, resp. vzorek pružného materiálu např. v mikromechanickém systému. Mechanickým ekvivalentem elektrické kapacity je poddajnost, která zajišťuje relaci mezi vnější silou F a protažením materiálu q. V induktoru se střádá magnetický tok ϕ(t) integrací svorkového napětí u(t). Aby zůstal magnetický tok zachován i po ukončení zápisu, je nutno zajistit na svorkách induktoru nulové napětí, což znamená provést mezi svorkami dokonalý zkrat. Každý reálný induktor má ovšem nenulový odpor, který způsobí postupné utlumení proudu. Uskladnit energii ve formě magnetického toku lze v supravodivých cívkách, u kterých lze zajistit bezeztrátové kolování proudu. Mechanickou analogií induktoru je podle pravé části obr. 1 pohybující se hmota. Obdobou elektrické indukčnosti je hmotnost M, která zajišťuje vazbu mezi okamžitou rychlostí v a hybností p pohybující se hmoty. Mechanickou analogií supravodivé zkratované cívky je idealizovaný případ rovnoměrného pohybu hmoty. Reálným příkladem je např. pohyb objektů sluneční soustavy, který byl kdysi vzorem pro sestavení prvního stroje pro záznam historie proudu času neboli hodinového stroje jako důmyslné analogové paměti. Pokud jde o technické aplikace, mechanické paměťové prvky nacházíme v moderních systémech MEMS (Micro-ElectroMechanical Systems).

3


charakteristiky, které se běžně používají: ampérvoltová pro rezistor, weber-ampérová pro induktor, a coulomb-voltová pro kapacitor. Každá KR je výhradní vlastností prvku a jeho okolí ji nemůže nijak změnit. Uvažujme případ kapacitoru C, který je součástí obvodu buzeného velmi složitým signálem (podrobnosti k tomuto příkladu v kapitole Simulace). Na obr. 2 jsou uvedeny výsledky simulace pro napětí, proud, náboj a tok na kapacitoru C, tj. pro všechny čtyři veličiny z hierarchie naznačené na obr. 1.

Konstituční relace

V letech 1980 až 1984 byly publikovány zásadní články [5] – [7], v nichž se autor Leon O. Chua věnoval zásadám „správného modelování“ složitých nelineárních systémů. Když se později ukázalo, že tyto práce poskytují klíč k řešení potíží, které vznikají s matematickým popisem nanosoučástek, Chua aktualizoval toto téma v souhrnné práci [2]. Základní myšlenka „správného modelování“ je následující: lze-li jednoznačně definovat hranice systému, které jej oddělují od jeho okolí, pak „správný model“ systému nemůže záviset na tomto okolí. Jinými slovy - všechny informace, nutné k predikci chování systému při působení libovolných vlivů okolí, musí být obsaženy uvnitř modelu. V technické praxi se často setkáváme s modely, které sice nejsou „správné“, avšak plně postačují k popisu reality za předpokladu, že se okolí chová v rámci předem daných omezení. Při obvodových analýzách například běžně používáme modely RLC prvků, vedoucí k výpočtům svorkových impedancí a ke konstrukcím náhradních modelů, sestávajících z rezistorů a reaktančních prvků s kmitočtově závislými odpory, indukčnostmi či kapacitami. Tyto malosignálové modely mají svou cenu při analýze obvodů v harmonických ustálených stavech, avšak nemohou být využity k výpočtům odezev na signály libovolných časových průběhů a už vůbec nepostihují „velkosignálové“ nelineární chování obvodu. To je pouze jeden z příkladů, kdy model závisí na okolí, konkrétně na způsobu vnějšího buzení. „Správný model“ systému lze složit pouze ze „správných modelů“ jeho komponent. Pro jednoduchost se omezíme na komponenty typu elektrický dvojpól. „Správným modelem“ dvojpólu je jeho tzv. konstituční relace (KR). Chua ukazuje, že KR klasických součástek typu R, L a C jsou právě ty jejich

Obr. 2.

Napětí, proud, náboj a tok na kapacitoru C jako odezvy na audiosignál. Na obrázku je zachyceno pouze prvních 100 ms.

Podle zásad „správného modelování“ by měl kapacitor svazovat obvodové veličiny relací, která je typická pro kapacitor a nezávisí na vnějším buzení, nýbrž pouze na vlastnostech tohoto kapacitoru. To znamená, že zpětnou analýzou časových průběhů z obr. 2 bychom měli přijít nejen na to, že součástka, na které jsou veličiny změřeny, je kapacitor; z těchto křivek bychom dokonce měli být schopni zjistit i jeho fundamentální charakteristiku - konstituční relaci. Na první pohled je nemožné vyzkoumat přesnou zákonitost, která panuje mezi časovými průběhy z obr. 2. Případná korelace by se však objevila u grafu, který by měl na osách umístěny právě ty dvě veličiny, mezi které prvek vnáší vazbu. Přestože víme, že v případě kapacitoru by měly být těmito veličinami napětí a náboj, nezdá se na první pohled, že by mezi oběma křivkami existovala těsnější korelace. Pro ověření domněnky si vezmeme na pomoc následující experiment.


V roce 1971 byl axiomaticky zaveden další obvodový prvek, memristor [4], který svazuje jednoznačnou relací náboj q a tok ϕ. Memristor je tedy prvkem typu (-1, -1). V průběhu 80. let 20. století publikoval Leon Chua myšlenku, že všechny základní prvky elektrotechniky včetně rezistoru, kapacitoru, induktoru a memristoru lze uspořádat do tabulky [2], která je obdobou chemické Mendělejevovy periodické soustavy prvků [8]. V roce 2008 prezentuje L. Chua na konferenci [9] dva další prvky z periodické tabulky, které vykazují slibné paměťové vlastnosti. Je to prvek (-1, -2) zvaný memkapacitor a prvek (-2, -1) neboli meminduktor. Leon Chua vyzývá přítomné zástupce firmy Hewlett-Packard, aby zahájili výzkum pro jejich využívání v pamětech pro počítačový průmysl. Všechny tři „mem-prvky“ je možno graficky znázornit schématem v levé části obr. 4, které představuje rozšíření „základny“ klasických prvků R, L, C o „nadstavbu“ jejich paměťových variant. Podrobnosti je možno nalézt v [10]. σ

∫

ρ

ϕ

q

p

q

∫

σ

∫

ρ

∫

Zcela obecně platí, že dvojpól svazuje mezi sebou vždy dvě obvodové veličiny relací typu f(u(α), i(β)) = 0, kde veličiny u(α) a i(β) jsou odvozeny od svorkového napětí u a proudu i. Celočíselné indexy α a β udávají řád derivace (pro kladný index), resp. integrace (záporný index) podle času. Například napětí s indexem (-1) udává časový integrál napětí, index (-2) znamená integrál z integrálu, index (+1) první derivaci podle času, atd. Tímto způsobem je do konstitučních relací prvků R, L a C zaveden logický řád: rezistor je speciálním případem prvku typu (α, β) = (0, 0). Kapacitor je prvek typu (0, -1), protože jeho KR je vztahem mezi napětím (α = 0) a nábojem, který je časovým integrálem proudu (β = -1). Podobně induktor je prvkem typu (-1, 0), neboť jeho KR je vztahem mezi tokem, tj. časovým integrálem napětí, a proudem.

Memristor, memkapacitor a meminduktor

∫

Vzájemné relace napětí, proudu, náboje a toku na kapacitoru při buzení audiosignálem. Reakce na buzení o délce 620 ms.

4

∫

Obr. 3.

Z minulé ukázky lze odvodit, že zvolíme-li pro charakterizaci rezistoru jinou souřadnou soustavu než napětí a proud, pro charakterizaci kapacitoru jinou soustavu než napětí a náboj, a pro induktor jinou soustavu než tok a proud, pak při buzení prvku signálem obecného časového průběhu (například hudebního signálu) získáme změť zdánlivě chaoticky vykreslovaných křivek, které daný prvek jednoznačně necharakterizují. Získání KR prvku je tedy věcí správné volby dvojice svorkových veličin, resp. věcí správné volby indexů α a β.

∫

Na obr. 3 jsou vyobrazeny všechny kombinace vzájemných relací mezi veličinami z obr. 2, tj. napětím, proudem, tokem (tj. časovým integrálem z napětí – nezaměňovat s magnetickým tokem) a nábojem kapacitoru. Oproti obr. 2, na kterém je zachyceno pouze prvních 100 ms buzení, ukazuje obr. 3 odezvy na kompletní audiosignál o délce 620 ms. Jak napovídá použitá symbolika, na vodorovných osách grafů jsou vyneseny proud a náboj a na svislých osách jsou tok a napětí. Na první pohled je vidět, že veličinami, mezi které vnáší kapacitor jednoznačnou vazbu, jsou napětí a náboj. Konstituční relací pro kapacitor je tedy jeho volt-coulombová charakteristika, které se pracovní bod vytrvale drží a opakovaně po ní putuje bez ohledu na složitost vnějšího buzení. Vyjadřuje neměnnou vlastnost prvku; zbytek obvodu se přizpůsobuje prvku tak, aby umožnil platnost KR. Podle obr. 3 je kapacitor silně nelineární, neboť jeho KR je nelineární funkcí. Nelinearita prvku se dá vyjádřit jako závislost dominantního parametru (v tomto případě kapacity) na některé z konstitučních proměnných (v tomto případě na napětí nebo náboji). KR je lineární pouze tehdy, je-li dominantní parametr prvku nezávislý na konstitučních proměnných. Je-li KR (ne)lineární funkcí, pak je prvek také (ne)lineární. Konstituční relací pro rezistor je volt-ampérová charakteristika. Konstituční relací pro induktor je weber-ampérová charakteristika.

P3

∫


u

i

F

v

Obr. 4.

Paměťové varianty RLC prvků elektrotechniky a mechaniky.

Pravá část obr. 4 představuje mechanické ekvivalenty klasických RLC prvků a jejich paměťových variant. Již v roce 1972 vysvětlili Oster a Auslander [11], že mechanickým memristorem je každý tlumič, jehož odpor je závislý na poloze pístu. Zatímco mezi působící silou a okamžitou rychlostí pístu je možno sledovat typickou hysterezi, vztah mezi integrálem síly (hybností p) a integrálem rychlosti (polohou q) je jednoznačnou závislostí neboli konstituční relací.


P4


Tab. 1. Shodné znaky paměťových principů memristoru, memkapacitoru a meminduktoru.

Memristor

Memkapacitor

u

u

R(q)

i

u

D(σ)

i

Λ(ρ)

i

Ψ

i

∫

∫

∫

σ

Ψ = q = ∫ idt

magnetický tok u

i

G(ϕ) uR

i

C(ϕ)

∫

ϕ

uC napětí elektrostatického pole

Mechanickou analogií meminduktoru je např. oblíbená hračka – jojo. Při vertikálním pohybu se mění hmotnost joja díky hmotnosti navíjené nebo odvíjené niti. Hmotnost joja, která je mechanickým ekvivalentem elektrické indukčnosti, tedy závisí na jeho úhlovém natočení neboli poloze q, která je integrálem proměnlivé rychlosti otáčení v. Je to podobné jako u meminduktoru, jehož indukčnost je závislá na historii proudu. Jinou mechanickou analogii meminduktoru je možno nalézt v [12]. Mechanickým memkapacitorem by mohla být pružina vyrobená z paměťového materiálu, který mění svou poddajnost (obdoba elektrické kapacity) v závislosti na úsilí p (integrálu síly F), které je vkládáno do jeho deformace. Je pozoruhodné, že všechny tři paměťové prvky – memristor, memkapacitor i meminduktor – mají z hlediska stavového popisu jednotnou vnitřní strukturu, jak je patrné z tab. 1. Okamžitá hodnota dominantního parametru prvku (odpor, kapacita nebo indukčnost) je odvozena od okamžitého stavu paměti. Paměť je vždy realizována čistou jednostupňovou integrací fyzikální veličiny, která je pro daný typ prvku „nativní“. Oba řádky tabulky představují vzájemně duální vyjádření konstitučních relací všech tří paměťových prvků. Memristor se jako prvek fyzikálně zařazuje do proudového pole, ve kterém se volné nosiče náboje pohybují vodičem ve směru napěťového spádu (intenzita E) podél tohoto vodiče. Sám memristor působí v toku nábojů jako překážka projevující se jako elektrický odpor, takže mezi napětím a proudem stále platí vztah Ohmova zákona pro odpor u(t) = R(q) i(t), resp. pro vodivost i(t) = G(φ) u (t).

prvky řízené napětím (effort)

L(q)

iL

∫

∫

uR napětí proudového pole

u

uC ϕ

ρ

ϕ = ∫ udt

dielektrický tok u

prvky řízené tokem (flow)

ϕ

q i tok nosičů náboje

Poznámka

Meminduktor

q

iL magnetické napětí

Memkapacitor je prvkem patřícím do elektrostatického pole, jehož zdrojem je statický náboj vytvářející statický indukční tok Ψ. V teorii elektrostatického pole se indukční tok a náboj jednotkově ztotožňují, tj. indukční tok se udává v coulombech. V případě kapacitoru platí, že veškerý tok tekoucí skrze dielektrikum je roven tomuto náboji. Sám memkapacitor působí v tomto toku jako překážka a projevuje se jako elektrostatický odpor D rovný převrácené hodnotě kapacity. Platí zde KR u(t) = D(σ)q(t), resp. q(t)=C(φ)u(t), kde kapacita C je z fyzikálního hlediska elektrostatickou vodivostí. Meminduktor fyzikálně patří do elektromagnetického pole, jehož zdrojem je pohybující se elektrický náboj neboli elektrický proud. Proto v současné terminologii teorie elektromagnetického pole vystupuje elektrický proud v roli magnetického napětí, které s ním souhlasí i jednotkově, tj. magnetické napětí se udává v ampérech. Sám meminduktor působí jako překážka magnetickému indukčnímu toku a projevuje se jako magnetický odpor Λ rovný převrácené hodnotě indukčnosti. KR má tvar i(t)=Λ(ϱ)φ(t), resp. φ(t)=L(q)i(t), kde indukčnost L je z fyzikálního hlediska magnetickou vodivostí. Z tab. 1 je zřejmá podstata paměťového efektu memprvků. Informace je zapsána do proměnlivého parametru prvku (odpor, kapacita, indukčnost) prostřednictvím pole, které je generováno konstituční veličinou. Stálost paměti je pak dána tím, že hodnota tohoto parametru zůstává po odpojení od zdroje energie zachována. Toho může být dosaženo jedině zrušením fyzikálního pole, které je s tímto prvkem spojeno. Dokud toto pole existuje, dochází ke změnám parametrů neboli k zápisu do paměti.



V případě memristoru musí „vymizet“ proudové pole, což prakticky znamená zajistit nulové napětí nebo nulový proud memristorem zkratováním nebo rozpojením svorek. U memkapacitoru musíme zajistit zrušení elektrostatického pole. Prakticky to znamená odčerpání veškerého náboje z memkapacitoru, tj. zajistit svorky zkratem. Překvapením může být skutečnost, že nestačí pouze odpojit nabitý memkapacitor od zbytku obvodu. Meminduktor musí ztratit elektromagnetické pole, tj. musí dojít k zastavení nosičů proudu, které toto pole generují. Prakticky to znamená přivést proud tekoucí meminduktorem k nule a rozpojením svorek zajistit, že nulovým zůstane. Je dobré si uvědomit, že ideální meminduktor nelze takto „zajistit“ zkratováním svorek, neboť případný proud součástkou by takto nezanikl. Memprvky jako paměti se tedy zásadně liší od prvků klasických: zatímco paměťový efekt kapacitoru a induktoru spočíval ve schopnosti prvku udržet si energii, stav „pamatování“ memkapacitoru a meminduktoru je naopak podmíněn tím, že se prvek veškeré energie zbaví. Memprvky jsou unikátní tím, že si nepamatují energii, nýbrž parametry. Tato unikátní vlastnost z nich činí ideální kandidáty na pravé nevolatilní paměti.

5

P5

Všech šest základních pasivních prvků – rezistor R, kapacitor C, induktor L, memristor MR, memkapacitor MC a meminduktor ML – propojíme mezi sebou podle obr. 5 a výsledný obvod budeme budit ze zdroje napěťového signálu s velmi složitým časovým průběhem. Zapojení bylo z čistě formálních důvodů vybráno tak, aby napodobovalo hierarchickou strukturu podle obr. 4. Rezistor, kapacitor a induktor jsou nelineární prvky, jejichž konstituční relace budou patrné z výsledků simulace. Modely memristoru, memkapacitoru a meminduktoru jsou převzaty z [14], [16] a [17]. Obvod je buzen akustickým signálem, který byl získán digitalizací slova „memristor“ vysloveného Leonem Chuou na sympoziu o memristivních systémech v listopadu 2008 v Berkeley. Časový průběh signálu je zřejmý z obr. 6.

Simulace

Periodická tabulka základních prvků elektrotechniky umožňuje matematicky popsat všechny její elementy. Sestavením příslušného matematického modelu se nám tak otevírá pozoruhodná příležitost – můžeme provádět realistické počítačové experimenty s prvky, které dosud nebyly objeveny. Prostřednictvím počítačových simulací tak badatelé získávají v teoretické přípravě cenný náskok. Prakticky ihned po zveřejnění objevu „HP memristoru“ v r. 2008 vznikly modely memristoru ve formátu SPICE [13]-[15], dnes je možno experimentovat dokonce i s různými variantami modelů memkapacitoru a meminduktoru [16]-[18]. Podle následujících ukázek si může čtenář utvořit představu, jaké detaily o chování mnohdy hypotetických součástek lze zjistit pomocí precizních modelů a výkonného simulačního softwaru.

CM

LM

RM C

L R

Vaudio

Obr. 5.

Dvojpól tvořený šesticí základních pasivních prvků, buzený složitým signálem.

Obr. 6.

Složitý signál použitý k buzení obvodu podle obr. 5.

Výsledky simulace jsou uvedeny v tab. 2. Grafy jsou sestaveny pro všech šest základních pasivních prvků se všemi smysluplnými kombinacemi veličin u, i, ϕ, q, ρ a σ podle hierarchie z obr. 4. Většina trajektorií se jeví jako chaotické křivky, pouze jedna pro každý prvek je jednoznačnou křivkou - ta představuje konstituční relaci prvku. Konstituční relace pro všech šest fundamentálních prvků jsou v tab. 2 zvýrazněny barevným orámováním a doplněny názvem prvku. Zaměřme se na pravý sloupec tab. 2, který obsahuje memprvky. Všimněme si charakteristik, které se nacházejí o jednu buňku „napravo a nahoru“ od konstitučních relací. Tyto charakteristiky mají na svých osách časové derivace konstitučních proměnných daného prvku, takže v případě memristoru jde o i-u charakteristiku, u meminduktoru a memkapacitoru máme na mysli i-ϕ a q-u charakteristiku. Je zřejmé, že trajektorie pracovního bodu memprvku vykreslovaná v souřadné soustavě, která je nativní pro ten samý prvek bez paměti, tvoří smyčky, které jsou „skřípnuté“ v počátku souřadnic. „Skřípnutí“ vyplývá z toho, že u pasivních memristorů (memkapacitorů, resp. meminduktorů) dosahuje dvojice veličin i-u (i-ϕ, resp. q-u) nulových hodnot vždy souběžně. V případě ideálních mem-prvků se obě ramena smyčky v počátku souřadnic kříží, tj. jde o „skřípnutí“ typu I [1]. Existuje ještě skřípnutí typu II, které se může vyskytovat v obecnějším případě tzv. memristivních, memkapacitativních nebo meminduktivních prvků, o kterých se zmíníme dále. Smyčky jsou důležitým poznávacím znamením memprvků, neboť průvodním znakem paměti, která je založena na změně parametru prvku, je právě hystereze.

P6



Tab. 2. Průběhy napětí, proudů a jejich integrálů na všech pasivních prvcích v zapojení podle obr. 5.

Klasické prvky R, L, C

Memprvky MR, ML, MC

Ze srovnání pravé a levé strany tab. 2 názorně vyplývá, co se stane, když paměť memprvku vymizí: ztrátou paměti přechází memprvek na klasický prvek, jehož charakteristika je jednoznačná, tj. bez hystereze. Prvek je jednoznačně určen konstituční relací. Tato relace se prosazuje v okolní síti vždy a za všech okolností. Z toho vyplývá, že při buzení prvků napěťovými a proudovými zdroji existují kombinace, které jsou zakázány. Tak např. rezistor podle tab. 2 bude svazovat napětí a proud závislostí, která je vzhledem k napětí nejednoznačnou funkcí. Buzení takového rezistoru z paralelně připojeného zdroje napětí by se muselo

přizpůsobit jeho KR, neboť při pokusu o překročení bodů obratu KR by došlo ke konfliktu. KR není jedinou charakteristikou prvku. O další charakteristice pojednává následující kapitola.

6

Parameter vs. State Map (PSM)

Až dosud jsme se prakticky obešli bez matematiky. Pro popis klasických RLC prvků i jejich paměťových variant jsme vystačili s jejich konstitučními relacemi. Pro studium chování memprvků však existuje ještě jedna užitečná charakte-



ristika, takzvaná PSM, což je zkratka z Parameter-vs-StateMap. Jde o to, že všechny tři typy memprvků jsou v podstatě RLC prvky, jejichž parametry (odpor, indukčnost, kapacita) jsou funkcí stavu přidruženého dynamického systému, který tvoří paměť. PSM je právě ta funkce, která popisuje vztah mezi okamžitým stavem paměti a okamžitou hodnotou parametru. Ukážeme si to na příkladu tzv. HP memristoru. V případě HP memristoru je parametrem odpor R, který je závislý na okamžité poloze x rozhraní mezi dotovanou a nedotovanou vrstvou TiO2 [3]. Toto rozhraní je unášeno ve směru protékajícího proudu a jeho okamžitá poloha je úměrná množství proteklého náboje q. Paměť lze tedy v tomto zjednodušeném případě modelovat jako přidružený dynamický systém tvořený jednostupňovou integrací příčiny, kterou je proud (veličina způsobující zápis do paměti). Funkce, která mapuje vztah mezi okamžitým stavem x memristoru a okamžitou hodnotou parametru R, tedy může být buď R(x) nebo R(x(q)). Pokud zvolíme jiný úhel pohledu, přičemž považujeme za parametr vodivost G a za zápisovou veličinu napětí u, pak úlohu PSM přebírají funkce G(x), resp. G(x(φ)). PSM umožňuje studovat rovněž složitější typy memprvků, jejichž parametry závisí např. na vektorovém stavu. Více o této problematice viz např. [19]. Mezi KR a PSM existují jednoduché transformace. Ukážeme si to na příkladu memristoru. Uvažujme KR ve tvaru φ= φ(q). Derivací KR podle času dostaneme

dϕ dϕ dq . = dt dq dt

(1)

přičemž levá strana se rovná napětí u a druhý člen pravé strany je roven proudu i. Proto musí platit

R M (q ) =

dϕ , dq

(2)

kde RM je tzv. memristance neboli rezistance závislá na paměti, čemuž odpovídá index M. Vztah (2) je tedy speciální případ PSM a zároveň vyjadřuje jednoduché pravidlo pro zjištění okamžité hodnoty odporu memristoru z okamžité polohy pracovního bodu na KR: memristance RM je rovna směrnici tečny ke KR memristoru φ= φ(q) v pracovním bodě. Obdobně platí, že memduktance GM, tj. paměťově závislá vodivost, je rovna směrnici tečny ke KR memristoru q=q(φ) v pracovním bodě. Obdobné vztahy platí také pro další dva memprvky, tj. pro memkapacitor a meminduktor. Přehledně jsou uvedeny v tab. 3, kde najdeme také zpětné transformace z PSM na KR. Mírnou úpravou (2) totiž dojdeme k závěru, že v případě memristoru platí (3) ϕ (q ) = ∫ R M (q )dq , což se dá formulovat tak, že plocha pod křivkou RM(q) ohraničená dvěma sousedními pracovními body je rovna toku φ, který je nutný k přechodu mezi těmito pracovními body. Obdobné vztahy pro memkapacitor a meminduktor jsou rovněž uvedeny v tab. 3. Transformační vztahy mezi KR a PSM tvoří jakousi malou násobilku, kterou je nutno zvládnout, aby nám mohl před očima vyvstat ucelený obrázek o fungování memristoru, memkapacitoru a meminduktoru. To však většinou nestačí, chceme-li pracovat s modely reálných memprvků založených na konkrétních fyzikálních principech.

7

P7

Zvláštnosti reálných memprvků

Fyzikální principy, které by se daly beze zbytku popsat rovnicemi memristoru, memkapacitoru nebo meminduktoru a zároveň by byly vhodné k realizaci elektronické nevolatilní paměti, jsou v reálném světě velmi vzácné. Většina objevených principů spadá spíše do kategorie memristivních, memkapacitních a meminduktivních systémů. Ty se od memristorů, memkapacitorů a meminduktorů liší ve dvou praktických ohledech, které si přiblížíme na příkladu memristoru. Memristor je speciálním případem memristivního prvku zavedeného Leonem Chuou a jeho spolupracovníkem SungMo Kangem v roce 1976 [20]. Memristivní prvek je vlastně nelineární rezistor závislý na stavu přidruženého dynamického systému. Tato součástka tedy vzhledem k napětí a proudu vyhovuje Ohmovu zákonu ve formě

v = R M (x, i )i ,

(4)

kde x je stavový vektor podléhající pohybové rovnici

dx = f (x, i ) . dt

(5)

První odlišnost vůči memristoru je zjevná z podoby Ohmova zákona (4), tj. spočívá v nelinearitě součástky vzhledem k proudu, resp. napětí. Memristance prvku tedy nezávisí pouze na stavu systému, ale vliv na ni mají také okamžité hodnoty napětí či proudu. To však odporuje původní definici memristoru, jehož memristance musí záviset pouze na stavu systému. Nelinearita prvku vzhledem k napětí či proudu totiž znamená, že okamžitý stav prvku nemůže být automaticky považován za okamžitý stav paměti. U nevolatilních pamětí je předpokladem, že prvek si pamatuje svůj stav, i když je odpojen od zdroje vnější energie. Pokud by byl stav závislý na hodnotě napětí či proudu, znamenalo by to, že při odpojení od zdroje energie by se tento stav mohl změnit. Druhá odlišnost se týká dynamiky prvku. Rychlost změny stavu totiž většinou nezávisí pouze na hodnotách napětí a proudu, ale mnohdy je ovlivněna také okamžitým stavem prvku, jak to vyplývá z pohybové rovnice (5). U ideálního memristoru nezávisí rychlost změny stavu na stavu samotném. V opačném případě by po odeznění napěťového či proudového buzení docházelo vinou vlastní dynamiky k další změně stavu, což by znamenalo, že prvek by nemusel být použitelný jako analogová nevolatilní paměť. Dnes již víme, že tzv. HP memristor je ve skutečnosti složitým memristivním systémem, který lze podle všech dostupných zjištění použít jako nevolatilní paměť. Situace se obdobně zopakovala také u dalších objevů, kdy se buď ukázalo, že prvek se jako memristor chová pouze při setrvání pracovního bodu v předem vymezené oblasti, nebo vlivem nelinearity vzhledem k napětí nebo proudu naplatí ani to. Tyto obtíže vedou ke snahám některých badatelů revidovat původní definici memristoru tak, aby se striktně nerozlišovaly memristory od obecnějších memristivních systémů. Je to velmi citlivá otázka, na kterou se teprve hledá odpověď. Představa memristoru jako fundamentálního prvku, který logicky doplňuje chybějící prvek do mozaiky základních prvků elektrotechniky, je však natolik cenná, že je vhodné rozlišovat mezi "ideálním" memristorem ve smyslu jeho originální definice z r. 1971 [4] a jeho zobecněnými verzemi, které lze souhrnně nazvat memristivními systémy [20].



P8

Tab. 3. KR a PSM memristoru, memkapacitoru a meminduktoru.

Memristor

ϕ

R(q) =

Memkapacitor

ϕ

dϕ dq

D(σ ) =

q

ϕ

q

q

G (ϕ ) =

σ

q = ∫ Λ ( ρ ) dρ

ρ

dσ dϕ

L(q ) =

ρ

σ σ = ∫ C (ϕ )dϕ

Protože memristor ve smyslu [4] je v principu ideálním obvodovým prvkem, není v této práci přívlastek „ideální“ používán a pro čtvrtý fundamentální prvek používáme zkrácený termín "memristor". Naprosto stejná situace se opakuje v případě memkapacitoru a meminduktoru. Dosud zaznamenané projevy paměti [1] se týkají spíše memkapacitních a meminduktivních systémů, což jsou vlastně kapacitory a induktory závislé na stavu obecného dynamického systému a navíc nelineární vzhledem k budicí veličině.

Memprvky neelektrické povahy

Poté, co byla v r. 2008 publikována zpráva o úspěšné implementaci memristoru na bázi TiO2 [3], zájem o tento prvek neobyčejně vzrostl, avšak o memristoru se začíná uvažovat výhradně jako o prvku elektrické povahy. Navíc dle původní definice je stavem memristoru, od kterého se odvíjí okamžitá hodnota memristance, náboj (příp. tok). Postupem času se však zjistilo, že v reálných systémech může být paměťové chování způsobeno komplikovanými fyzikálními procesy, jejichž okamžitý stav může být dán celým vektorem veličin nejrůznějšího fyzikálního původu [1]. Příkladem může být paměť realizovaná např. magnetickým

dρ dq

prvky řízené napětím (effort)

L(q)

C(ϕ)

ϕ

ρ

q

ϕ

q

8

σ

C (ϕ ) =

ϕ

G(ϕ)

prvky řízené tokem (flow)

q

ϕ = ∫ D(σ )dσ

dq dϕ

dq dρ

Λ(ρ)

ϕ

q = ∫ G (ϕ )dϕ

Λ( ρ ) =

ρ

D(σ)

ϕ = ∫ R(q)dq

q

dϕ dσ

σ

R(q)

Poznámka

Meminduktor

ϕ

ρ = ∫ L(q)dq

q

spinem, procesy v TiO2 apod. Z hlediska rezistivní brány figurují sice v rovnici memristoru napětí a proud, avšak konkrétní fyzikální princip zajišťující paměťové chování je promítnut do stavové rovnice stavem x, kde x je obecně vektor neelektrických veličin. To je výrazné zobecnění původní definice memristoru, ve které byl za stav systému považován pouze elektrický náboj. Myšlenka zobecněného memristoru jako prvku obecně neelektrické povahy, jejíž užitečnost pro popis reálných systémů se prokázala ještě před objevem v Palo Alto, se tedy začíná pod tlakem okolností promítat do jedné ze dvou rovnic memristoru - stavové rovnice. Z hlediska branové rovnice je však memristor stále považován za elektrický prvek. Pamětníci však vědí, že s projevy memristivního chování se badatelé setkávali již dávno před objevem memristoru. Tyto projevy byly popisovány a modelovány pomocí prostředků, mezi kterými memristor chyběl. Bezprostředně po zavedení konceptu memristoru v roce 1971 se začal tento hypotetický prvek využívat k modelování některých procesů, které vykazovaly atributy paměťového chování. Memristor byl použit k modelování zařízení založených na různorodých a vzájemně nesouvisejících fyzikálních principech. Příkladem je práce Ostera [11], která ukazuje, že kónický tlumič nebo elektrolytický systém se dají modelovat jako memristory. Od 70. let minulého století má memristor své pevné místo jako



modelovací nástroj v oborech využívajících metod “network thermodynamics“ [21]. O memristoru jako o modelovacím nástroji v oblasti biotermodynamiky se lze dočíst např. v knize [22] napsané a vydané v bývalém Československu. Záhy se tedy ukázalo, že koncept memristoru je užitečný i pro jiné oblasti než je elektrotechnika. Memristor je definován konstituční relací mezi elektrickými veličinami „tok“ a „náboj“, které jsou časovými integrály napětí a proudu. Napětí a proud mají v různých vědních disciplínách (mechanika, hydraulika, termika, chemie aj.) své přesné, vědecky podložené obdoby v tzv. zobecněných veličinách effort (úsilí) a flow (tok). Jednotné přístupy založené na zobecněných veličinách vedly k tzv. vazebním grafům (Bond Graph), které jsou dnes nepostradatelné při studiu složitých celků složených z vzájemně propojených subsystémů rozdílných fyzikálních povah (např. mechatronické systémy). Součin veličin effort a flow má fyzikálně rozměr výkonu, graf ukazuje tok výkonu jednotlivými částmi systému bez ohledu na jejich fyzikální realizaci. Výzkumníci zabývající se modelováním systémů složených z podsystémů různé fyzikální povahy, jak je to běžné např. v elektromechanice, nyní pracují s tzv. zobecněným memristorem [23]. Ten zavádí vazbu mezi dvojici fyzikálních veličin, které jsou v daném fyzikálním oboru obdobou toku a náboje, což je např. v případě mechaniky úsilí (effort) a poloha. Pomocí memristoru tak lze modelovat procesy v systémech nejrůznější fyzikální povahy, ať už jsou to systémy mechanické [24], hydraulické [25], neuromorfní [26] a jiné. Díky tomuto obecnému pojetí lze na memristor pohlížet jako na prvek, který garantuje jednoznačnou závislost mezi nastřádaným úsilím (momentum, integrál z effort) a dosaženým stavem (displacement, integrál z flow). Tabulka 4 ukazuje, které veličiny mohou zastávat roli effort a flow v elektrotechnice, mechanice, hydraulice a termice. Pro oblast termiky je uvedena často používaná dvojice veličin „teplota – tepelný tok“, jejichž součin nemá rozměr výkonu – dvojice patří do tzv. pseudo Bond Graph [27]. Obrázek 4 se tak dá rozšířit o schémata platná pro další fyzikální platformy, které mají své vlastní ekvivalenty základních pasivních prvků. Do dnešní doby byly dobře popsány mechanické, termální, hydraulické a jiné verze rezistoru, kapacitoru, induktoru a v omezené míře dokonce i memristoru. Tab. 4. Role effort a flow v různých fyzikálních platformách.

doména elektrická hydraulická mechanická rotační pseudotermální

effort napětí [V] tlak [Pa] síla [N] moment [Nm] teplota [K]

flow proud [A] objem. průtok [m3s-1] rychlost [ms-1] úhlová rychlost [s-1] tepelný tok [W]

V roce 1961 vyšla práce [28], ve které byl zveřejněn tzv. stavový čtyřstěn (viz obr. 7) jako grafické vyjádření relací mezi veličinami effort (zobecněná síla), flow (zobecněný tok) a jejich časovými integrály p (zobecněný impuls) a q (zobecněná souřadnice). Díky tomu se hypotetický memristor začal používat k modelování jevů neelektrické podstaty ihned po zveřejnění Chuovy fundamentální práce [4].

Obr. 7.

P9

Stavový čtyřstěn (Tetrahedron of State) podle [28].

Krátce po objevu HP memristoru byla veřejnost seznámena s různými variantami působivého grafického vyjádření memristoru jako čtvrtého chybějícího prvku. Jeden z nich je na obr. 8, shoda se stavovým čtyřstěnem z r. 1961 je zjevná.

Obr. 8.

Memristor jako fundamentální pasivní prvek.

Chuova a Kangova práce [20] z r. 1976 uvádí memristivní chování z oblasti termiky (termistor), elektrochemie, resp. neurologie (Hodgkinův – Huxleyův model axonu) a fyziky plynů (výbojka). Dobře známa je práce [26] popisující projevy memristance u živého organismu – améby. V r. 2010 bylo objeveno memristivní chování lidské kůže [29], o rok později byl publikován článek [30] o analogickém chování lidské krve. Roku 2014 začala vycházet série článků o projevech memristivního chování v rostlinné říši, viz např. [31]. Hledání prakticky využitelných projevů memristance, memkapacitance a meminduktance probíhá napříč všemi známými fyzikálními platformami. Nově objevované projevy mem-chování jsou tedy založeny na celém spektru nejrůznějších fyzikálních principů. U jediné konkrétní realizace může jít o interakci několika procesů rozdílné fyzikální povahy. V současné době neexistuje racionální důvod, proč by se měl memristor (resp. memkapacitor nebo meminduktor) považovat za výhradně elektronický prvek. Jeden příklad za všechny je uveden dále. Jedná se o hydraulický memristor, jehož SPICE model lze využít k sérii zajímavých počítačových experimentů.

9

Hydraulický memristor

Zajímavý příklad memristivního chování lze nalézt v oblasti hydrauliky. Na obr. 9 je znázorněn dobře známý případ systému s plovákovým ventilem, který se postupně uzavírá

v důsledku stoupající hladiny. Okamžitá hodnota hydraulického odporu přívodního potrubí je jednoznačně dána objemem vody v nádobce, která funguje jako integrátor průtoku. Jakmile voda stoupne do určité výšky, plovák způsobí úplné zavření ventilu. Tento zpětnovazební systém se dá samozřejmě modelovat a zkoumat metodami teorie nelineární regulace v obvyklém rámci „regulátor – regulovaná soustava“. Systém však lze elegantně modelovat také jako hydraulický memristor. i(t)

i

Q

QLIM

in+ u GM

RAUX

in-

GINT

MLIM

RM(q)

q(t) Obr. 9.



P10

EMLIM

RINT

CINT EQLIM

M

EM

Radius

ERadius

Struktura dobře známého hydraulického memristoru.

Pro udržení přehlednosti použijeme pro hydraulické parametry elektrotechnickou symboliku. Ventil mění svůj odpor podle výšky hladiny v nádržce, která je úměrná časovému integrálu objemového průtoku i neboli celkového objemu q tekutiny, která protekla potrubím. Tím se z hydraulického odporu stává paměťový odpor RM(q). Za předpokladu laminárního proudění tekutiny platí mezi objemovým průtokem i [m3s-1] a tlakovým spádem u [Pa] na ventilu vztah Ohmova zákona u=RM(q)i. Pro jednoduchost předpokládejme, že veškerý hydraulický odpor kladený přitékající tekutině je soustředěn do ventilu, který se chová jako úsek potrubí o délce L s proměnným kruhovým průřezem o vnitřním poloměru r, který je závislý na objemu tekutiny q v nádržce. Pak pro odpor ventilu platí [32]

R M (q ) =

8µL . πr 4 (q )

(6)

Vztah (4) je PSM funkce hydraulického memristoru, jehož okamžitý stav může být jednoznačně určen objemem q vody v nádržce, který koresponduje se stavem plováku. Pro správnou funkci splachovače je nezbytné, aby se po naplnění nádržky objemem vody Q0 ventil zcela uzavřel, tj. aby funkce r(q) splňovala podmínku r(Q0)=0. V práci [25] je navrhována funkce je tvaru

 q r (q ) = r0 1 −  Q0

m

 ,  

(7)

kde r0 = r(0) a m je reálné kladné číslo, které pomáhá modelovat způsob uzavírání ventilu v závislosti na stoupání hladiny. Pro m → 0 dostáváme dvoupolohovou regulaci průtoku – parametry potrubí se nemění, potrubí je po dosažení požadované výšky hladiny skokově uzavřeno. Případ m = 1 popisuje plynulé uzavírání potrubí, kdy se jeho průměr zmenšuje lineárně s rostoucím objemem proteklé tekutiny. V [25] jsou odvozeny výsledné analytické vztahy pro PSM i CR. My půjdeme jinou cestou a ukážeme si, jak lze chování tohoto hydraulického memristoru studovat pomocí simulačního programu. Vztahy (6) a (7) postačí k sestavení SPICE mikroobvodu, jehož struktura je představena na obr. 10.

Obr. 10. Struktura SPICE modelu hydraulického memristoru.

Hydraulický memristor je tvořen řízeným zdrojem proudu GM a paralelním pomocným rezistorem RAUX, jeho svorky jsou označeny jako in+ a in-. Proudový zdroj GINT tvoří spolu s kapacitorem CINT integrátor pro výpočet objemu Q kapaliny v nádržce, odpor RINT zajišťuje stejnosměrné spojení uzlu Q a zemního uzlu. Na základě objemu kapaliny se vypočítá a následně ovlivní vodivost M ventilu (převrácená hodnota odporu RM). Veličiny QLIM a MLIM slouží pouze k zajištění konvergence výpočtu při dosažení mezních stavů ventilu. Výpis netlistu podobvodu SPICE je v tab. 5. Tab. 5. Podobvod SPICE hydraulického memristoru. * SPICE Model of „WC Memristor“ * * For Transient Analysis only ************************** * Qinit - Starting-point volume of the * liquid in water tank [m^3] * Q0 – Volume of the water tank - [m^3] * viskosity – visk. of the water [Pa s] * L - Length of the flow-pipe [m] * r0 – Starting-point radius of the * circular flow space[m] * m - Coefficient [-] * .subckt WC_memristor in+ in+ params: Qinit=0 viskosity=1m L=100m + r0=10m Q0=10m m=1 .param pi=3.1415926535 Raux=10MEG Gint 0 Q value={V(in+,in-)*V(MLIM)} Cint Q 0 1 IC={Qinit} Rint Q 0 1T EQLIM QLIM 0 +value={LIMIT(V(Q),0,Q0)} Eradius Radius 0 + value={r0*(1-V(QLIM)/Q0)^m} EM M 0 + value={(pi*V(Radius)^4)/(8*viskosity*L)} EMLIM MLIM 0 + value={if(V(Radius)<0,0,V(M))} Raux in+ in- {Raux} Gmem in+ in+ value={V(in+,in-)*(V(MLIM)-1/Raux)} .ends WC_memristor



Na obr. 11 jsou výsledky simulace, která zkoumá proces uzavírání ventilu v čase pro různé hodnoty parametru n = 4m. Podmínky simulace: konstantní vstupní tlak u = 100 kPa, r0 = 2 mm, L = 100 mm, µ = 10-3 Pa.s (viskozita vody), konečný objem vody v nádržce Q0 = 10-2 m3. 8m

i (m 3s -1 )

n = 0.001

6m

0.010 0.070

4m

0.200 0.500

2m

0

0.800

0

2

4

Time (s)

6

8

P11

PSM (Parameter vs. State Map) patří k základním charakteristikám memristoru, memkapacitoru i meminduktoru. „Malá násobilka“ potřebná pro vzájemné převody mezi PSM a KR uvedená v tab. 3 je jednoduchá a pro pochopení toho, jak memprvky pracují, je nezbytná. Bez důkladného pochopení principů fungování memristoru, memkapacitoru a meminduktoru nelze seriózně pracovat s reálnými memprvky, které jsou horkými kandidáty na paměťové prvky budoucnosti. Memristivní, memkapacitivní a meminduktivní systémy podléhají obecnějším zákonitostem a jejich teorie se bouřlivě vyvíjí. K dnešnímu dni je k tématu „memristor“ celosvětově evidováno více než 1600 vědeckých prací [33]. Je pozoruhodné, že téměř 500 z nich vyšlo v průběhu posledních deseti měsíců. Mezi autory jsou také mladí začínající vědci, kteří tíhnou k teoretické nebo experimentální práci. Jde o výzvu, která se již nemusí opakovat. A tak je tento článek zároveň pozváním pro ty, kteří chtějí být u toho, když se tvoří něco nového.

Obr. 11. Snižování průtoku ventilem v závislosti na čase. Převzato z [25].

Literatura

Čtenář může s modelem podle tab. 5 volně experimentovat. Jeden námět pro zajímavý pokus: vykreslete lalok hysterezní smyčky v rovině u-i pro případ vybuzení jednorázovým tlakovým impulzem ve tvaru kladné sinusové půlperiody. Experimentujte s amplitudou a délkou impulzu a ve výsledcích simulace identifikujte základní poznávací znamení memristoru.

[1] Pershin, Y. V., Di Ventra, M. Memory effects in complex materials and nanoscale systems. Advances in Physics, 2011, vol. 60, no. 2, p. 145–227. [2] Chua, L. O. Nonlinear Circuit Foundations for Nanodevices, Part I: The Four-Element Torus. Proceedings of the IEEE, 2003, vol. 91, no. 11, p. 1830–1859. [3] Strukov, D. B., Snider, G. S., Stewart, D. R., Williams, R.S. The missing memristor found. Nature (London), 2008, vol. 453, p. 80–83. [4] Chua, L. O. Memristor – The Missing Circuit Element. IEEE Transactions on Circuit Theory, 1971, vol. CT-18, no. 5, p. 507–519. [5] Chua, L. O. Device Modeling Via Basic Nonlinear Circuit Elements. IEEE Transactions on Circuit Theory, 1980, vol. CAS-27, no. 11, p. 1014–1044. [6] Chua, L. O., Szeto, E. W. High-Order Non-Linear Circuit Elements: Circuit-Theoretic Properties. Circuit Theory and Applications, 1983, vol. 11, p. 187–206. [7] Chua, L. O., Szeto, E. W. Synthesis of Higher Order Nonlinear Circuit Elements. IEEE Transactions on Circuit Theory, 1984, vol. CAS-31, no. 2, p. 231–235. [8] Biolek, D., Biolek, Z., Biolková, V. Memristor a jeho místo v teorii obvodů. Slaboproudý obzor, 2009, vol. 65, no. 2, P1-P16. [9] Memristor and Memristive Systems Symposium, Part 1. UC Berkeley Events, 2008. Online: http://www.youtube.com/watch?v=QFdDPzcZwbs (odkaz platný k 20.11.2014). [10] Biolek, D., Biolek, Z., Biolková, V. SPICE Modeling of Memristive, Memcapacitative and Meminductive Systems. Proceedings of the European Conference on Circuits Theory and Design, 2009, p. 249–252. [11] Oster, G. F., Auslander, D. M. The Memristor: A New Bond Graph Element. J. Dyn. Sys., Meas., Control, 1972, vol. 94, p. 249–252. [12] Jeltsema, D., Do`ria-Cerezo, A. Port-Hamiltonian Formulation of Systems With Memory. Proceedings of the IEEE, 2011, vol. 100, no. 6, p. 1928–1937.

10 Závěr Tento článek volně navazuje na Přílohu pro mladé inženýry [8] z roku 2009, která uváděla do povědomí odborné veřejnosti nově objevený memristor jakožto paměťovou variantu klasického rezistoru. Memkapacitor a meminduktor jsou paměťovými variantami kapacitoru a induktoru a jsou tudíž dalšími perspektivními kandidáty na nevolatilní paměti. Všechny tři mem-prvky jsou fundamentálními prvky elektrotechniky. Žádný z nich totiž nelze nahradit jakoukoliv kombinací jiných základních prvků. Článek ukazuje zásadní rozdíl mezi mechanismem paměti založené na ukládání energie (klasické LC prvky) a na ukládání parametru (memristor, memkapacitor, meminduktor). Poměrně jasné vysvětlení ukazuje tab. 1, která mj. uvádí vzájemně duální varianty memprvků, tj. prvky řízené tokem a napětím. Chceme-li mem-prvkům porozumět, musíme nejprve pochopit úlohu KR (konstituční relace). Ilustrativní příklad na základě počítačové simulace podle obr. 5 a obr. 6 si může čtenář obměnit sám v rámci nového experimentu, tj. s modely prvků dle vlastního výběru. Výsledek bude vždy stejný – v rovině „správných“ konstitučních proměnných bude pracovní bod opakovaně putovat po jednoznačné křivce KR, a to bez ohledu na míru chaosu budicího signálu. Naopak v rovině odpovídající konstitučním proměnným daného prvku bez paměti bude pracovní bod vždy vykreslovat smyčky skřípnuté kolem počátku. Poznamenejme, že vzhledem k vysoké náročnosti experimentu na simulační software je nutno věnovat zvýšenou pozornost nastavení parametrů simulátoru, které mají vliv na konvergenci výpočtů.

P12


[13] Benderli, S., Wey, T. A. On SPICE macromodelling of TiO2 memristors. Electronics Letters, 2009, vol. 45, no. 7, p. 377–379. [14] Biolek, Z., Biolek, D., Biolková, V. SPICE model of memristor with nonlinear dopant drift. Radioengineering, 2009, vol. 18, no. 2, p. 210–214. [15] Rák, A., Cserey, G. Macromodeling of the memristor in SPICE. IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 2010, vol. 29, no. 4, p. 632–636. [16] Biolek, D., Biolek, Z., Biolková, V. SPICE modelling of memcapacitor. Electronics Letters, 2010, vol. 46, no. 7, p. 520–522. [17] Biolek, D., Biolek, Z., Biolková, V. PSPICE modeling of meminductor. Analog Integrated Circuits and Signal Processing, 2011, vol. 66, no. 1, p. 129–137. [18] Biolek, D., Biolek, Z., Biolková, V. Behavioral modeling of memcapacitor. Radioengineering, 2011, vol. 20, no. 1, p. 228–233. [19] Biolek, D., Biolek, Z. Fourth Fundamental Circuit Element: SPICE Modeling and Simulation. Memristors and memristive systems, Springer New York, 2013, p. 105–162. [20] Chua, L .O., Kang, S. M. Memristive Devices and Systems. Proc. IEEE, 1976, vol. 64, no. 2, p. 209–223. [21] Mikulecky, D. C. Network thermodynamics and complexity: a transition to relational systems theory. Computers & Chemistry, 2001, vol. 25, p. 369–391. [22] Dvořák, I., Maršík, F., Andrej, L. Biotermodynamika. Academia, 1982, Nakladatelství Československé akademie věd. [23] Jeltsema, D., van der Schaft, A.J. Memristive portHamiltonian Systems. Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems, 2010, vol. 16, no. 2, p. 75–93. [24] Jeltsema, D., Dòria-Cerezo, A. Port-Hamiltonian Formulation of Systems With Memory. Proceedings of the IEEE, 2012, vol. 100, no. 6, p. 1928–1937.


[25] Biolek, Z., Biolek, D., Biolková, V. Analytical Solution of Circuits Employing Voltage- and Current-Excited Memristors. Circuits and Systems I: Regular Papers, IEEE Transactions on, 2012, vol. 59, no. 11, p. 2619–2628. [26] Pershin, Y. V., La Fontaine, S., Di Ventra, M. Memristive Model of Amoeba's Learning. Physical Review E, 2009, vol. 80, no. 2, p. 1–6. [27] Thoma, J., Bouamama, B. O. Modelling and Simulation in Thermal and Chemical Engineering: A Bond Graph Approach. Springer, 2000. [28] Paynter, H. M. Analysis and Design of Engineering Systems. The MIT Press, 1961, Cambridge, Mass. [29] Martinsen, Ø. G., Grimnes, S., Lütken, C. A., Johnsen, G. K. Memristance in human skin. International Conference on Electrical Bioimpedance, Journal of Physics: Conference Series, 2010, vol. 224, no. , p. 1–4. [30] Kosta, S. P., Kosta, Y. P., Bhatele, M., Dubey, Y. M., Gaur, A., Kosta, S., Gupta, J., Patel, A., Patel, B. Human blood liquid memristor. Int. J. of Medical Engineering and Informatics, 2011, vol. 3, no. 1, p. 16–29. [31] Volkov, A. G., Tucket, C., Reedus, J., Volkova, M. I., Markin, V. S., Chua, L. O. Memristors in plants. Plant Signaling & Behavior, 2014, 9: e28152. [32] Gendels, S., Jakovičs, A. Numerical modeling of hydraulic resistance in pipes of various shapes. Latvian Journal of Physics and Technical Sciences, 2004, vol. 41, p. 1–8. [33] Memelements. List of references. Online: http://memlinks.eu (odkaz platný k 20. 11. 2014).

Poděkování Tato práce vznikla za podpory projektu MŠMT kód LD14103 „Modelování a simulace mem-systémů“ a projektu GAČR č. 1419865S “Zobecněné prvky vyšších řádů“.

SPOLEČNÉ PRINCIPY MEMRISTORU, MEMKAPACITORU A MEMINDUKTORU

Recommend Documents