Sorozattal modellezhető problémák

SOROZATOK Sorozattal modellezhető problémák

H 4.2

Sorozattal modellezhető problémák 2. feladatcsomag Alapfeladat • tevékenységgel, képpel adott problémahelyzetek értelmezése • szöveggel adott problémák értelmezése • megértett probléma megoldása sorozatalkotással; annak elfogadása, hogy egy feltétel sorozatos változtatása által keletkező számsorozattal leírtuk a probléma megoldását • sorozatokhoz illeszthető helyzetek azonosítása

A feladatok listája 1. Teregetés (összefüggéslátás; tapasztalatszerzés, általánosítás; konkretizálás) 2. Vonalak a papíron (összefüggéslátás; tapasztalatszerzés, általánosítás; konkretizálás) 3. Terület-sorozatok (összefüggéslátás; tapasztalatszerzés, általánosítás; konkretizálás) 4. Árak sorozata (összefüggéslátás; tapasztalatszerzés, általánosítás; konkretizálás) 5. Ültessünk virágot! (összefüggéslátás; tapasztalatszerzés, általánosítás; alkalmazás)

Ajánlás Elkezdett sorozatokat nagyon sokféleképpen folytathatunk. Ha nem adjuk meg a követendő szabályt, akkor valamilyen összefüggést keresnek a gyerekek az adott elemek között, és a talált összefüggést fejezik ki a folytatással. Ha egy feladatban hiányzik egy adat, akkor a megoldás ennek a lehetséges megválasztásaihoz kapcsolódik: „attól függ...”. Ilyen esetekben sorjázzuk a lehetőségeket, és a képzett sorozat folytatásával vagy szabályának megfogalmazásával válaszolunk a kérdésre.

Fejlesztő matematika

1

SOROZATOK

H 4.2

Sorozattal modellezhető problémák

Ezek a sorozatok már nem követhetnek különféle szabályokat, csak egyféle folytatásuk lehetséges, így írják le a probléma megoldását. E feladatok közül sok főképpen a tehetséges tanulóknak való.

Megoldások, megjegyzések 1. Teregetés 1. A csipeszek száma attól függ, hogy hány ruhát teregetünk. Sorban: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... 2. 1-gyel több a csipesz, mint a kiterített ruha. 3. a) 4, 6, 8, 10, 12, ... b) 30 c) 15 d)

8

14

6

16

18

22

24

10

12

10

16

8

18

20

24

26

12

14

4

7

3

8

9

11

12

5

6

• A ruhák száma 2-vel kisebb a csipeszek számánál: 44 – 2 = 42 • Édesanya is 21-et teregetett, tehát együtt 42-t. Ennél 2-vel több a csipesz.

4. Anyanyelvi játék – jól megfér a matematikával 5. A hajtogatás során létrejövő részek száma: 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...; a hajtásvonalak száma: 1, 3, 7, 15, 31, 63, ..., mindig 1-gyel kevesebb az általuk elválasztott részek számánál. 2. Vonalak a papíron 1. 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ... – addig, amíg sikerül minden előbbi vonalon átfektetni a következőt úgy, hogy mindenütt új metszéspont keletkezzen. A korábban meghúzott vonalak számánál 1-gyel több tartományon fut át az új vonal, ezeket osztja két részre, tehát az eddig megrajzolt vonalak számánál 1-gyel többel nő a részek száma.

2



H 4.2

2. 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Az első vonal meghúzása után kettesével növő sorozat írja le a részek számát, hiszen most mindig 2 tartományon halad át az új vonal, ezeket osztja fel 2-2 részre. 3. 1, 3, 9, 15, 21, 27, ... A sorozat a második szám után mindig 6-osával növekszik. Az egyenlő szélességű párhuzamos csík két vonala ugyanis 3-3 részt vág ketté. 4. 1, 3, 5, 7, 9, ... kettesével növekvő sorozat; minden újabb vonalpár 2 tartományt szel ketté. 5. 2, 4, 8, 12, 16, 20, 25 (Itt nincs folytatás, de tovább is fejleszthető a rajz, például a második kör metszéspontjaiból.)

3. Terület-sorozatok 1. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ... A sorozat különbségsorozata nő egyesével. A 20. terület 210, a 100. terület 5050. Ezt – a sorozat tényleges folytatása nélkül – csak akkor tudjuk kiszámítani, ha felismerjük, hogy a téglalapok oldalhosszai egymást követő természetes számok, 1 és 2, 2 és 3, 3 és 4... Ha a kis négyzet területe lenne a mérőegység, akkor 1 · 2, 2 · 3, 3 · 4, ... szorzatokkal számolhatnánk a területeket. A kétszer ekkora egység feleekkora terület-mérőszámokat ad. [Például a 20. téglalap területe (20 · 21) / 2.] Fejlesztő matematika

3


H 4.2

2. A hosszúságok 2-szerezése a terület 4-szeresét eredményezi, a hosszméretek 3-szorozása a terület 9-szereséhez vezet... A nagyítás mértékét a hosszméretek arányával adjuk meg, a területek négyzetesen növekednek.

(A lefedés nem könnyű.) a) 1, 4, 9, 16, 25, ... b) 3, 12, 27, 48, 125, ... 3. A területek sorozata: 1, 4, 9, 16, 25, ... Ha a lefedés nem sikerül, de a 2. feladatban felismerték a gyerekek a kétféle egységgel való mérési eredmények kapcsolatát, akkor a kis négyzetek számából is következtethetnek: azok harmada ez a mérőszám. 4. Az „ugyanolyan alakot” – a hasonlóságot – biztosítja az, hogy az oldalak aránya állandó. A legkisebb téglalap itt 2 négyzetet tartalmaz, tehát a terület-sorozat a négyzetszámok kétszereseiből áll: 2, 8, 18, 32, 50, ... 4. Árak sorozata

1. a) 35-tel kezdődő, 35-ösével növekvő sorozat: 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, ... b) 12 csoki ára 35 Ft · 12 = 420 Ft. c) 300 Ft legfeljebb 8 csoki megvásárlásához elég. 8 csoki 280 Ft-ba kerül, visszajár 20 Ft. Lehet, hogy csak 6 vagy 7 csokit kérünk (3 százas!), 6 csoki 210 Ft, visszajár 90 Ft, 7 csoki ára 245 Ft, visszajár 55 Ft. 2. a) 200-zal induló, 200-asával növő sorozat: 200, 400, 600, 800, 1000, 1200, 1400, ... b) 18 gyerek belépője 200 Ft · 18 = 3600 Ft c) 4400 Ft 22 gyerek belépőjegyének ára: 4400 Ft : 200 Ft = 22 2 3 3. 3600, 1800, 1200, 900, 720, 600, (514 7), 450, 400, 360, (327 11), 300, ... Általában: 3600 osztva a sorszámmal. 4



H 4.2

4. a) 480, 660, 840, 1020, 1200, 1380, 1560, … b) 3900 – 300 az út díja; 3600 = 180 · 20; tehát 20 km-re volt a célállomás. c) Alapdíj: 300 Ft, várakozás: 450 Ft, útdíj 180 Ft · 8 · 2 = 2880 Ft. Összesen: 3630 Ft 5. Ültessünk virágot! 1.

... Bárhonnan indulunk, minden hatodik ugyanolyan színű és alakú lesz. Tehát a sárga tulipánok sorozata: 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, ... 2. a) 1., 5., 9., 13., ... 1-től 4-esével növő sorozat. b) 2., 3., 4., 6., 7., 8., 10., ... 2-vel indul, és a különbségsorozat 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, ... c) Az őszirózsák száma az utolsó kardvirág leszámítása után az összes virág 3 negyede. Ez tehát lehet 42, 45 vagy 48; az összes virág 57, 61 vagy 65. d) Ha 41 virág volt, akkor 30, ha 45 virág volt, akkor 33, ha 49 virág volt, akkor 36 őszirózsa volt köztük. 3. a) 4, 8, 10, 14, 18, 20, 24, 28, 30, ... b) 1, 7, 11, 17, 21, 27, 31, 37, 41, ... c) Piros kör (piros rózsa) Piros kör (piros rózsa) 4. 1/B; 2/B; 3/B; 4/A


5


Összefüggéslátás

H 4.2

1. Teregetés 1. 8–9. év

Édesanya egy hosszú kötélre teríti ki a kimosott ruhákat. Egymáshoz csípteti őket így:

Hány csipeszre van szüksége? Sári azt mondta erre: „Attól függ...” Te hogyan fejeznéd be Sári mondatát? .......................................................................................................... .......................................................................................................... Írd le sorban a csipeszek számát, ha 1, 2, 3, 4, 5, ... ruhadarabot tereget ki egymás mellé! 2, 3, ............................................................................................... 2.

a) Meg lehet-e mondani, hogy hány csipesz kellene 18 ruhadarabhoz, ha nem folytathatnánk addig a sorozatot? És 23-hoz? 35-höz? Vagy 100-hoz? 18-hoz ............., 23-hoz ............., 35-höz ............., 100-hoz .............. (ha elférnek egy kötélen). b) Hány ruhadarabot teregetett édesanya, ha 20, 23, 31, 17, 33 csipeszt használt? Ennyi csipesszel

20

23

ennyi ruhát csíptethetett fel 6


31

17

33


3.


H 4.1

Sári segít édesanyának. Két kötélen teregetnek, és mindig egyszerre csíptetnek fel egy-egy következő darabot.

a) Hány csipeszre van szükségük kettőjüknek 2, 4, 6, 8, ... ruhadarabhoz? ................................................................................................... b) Hány ruhadarabot csíptettek fel ketten, ha 32 csipesz került a két kötélre? ........................ c) Hány ruhadarabot csíptetett fel Sári, ha összesen 32 csipesz került a két kötélre? ........... d) Töltsd ki a következő táblázatot! (A felső sorba a két kötélre kiteregetett ruhák számát írjuk, alatta a felhasznált csipeszek számát és az alsó sorba az egy kötélre került ruhák számát.) 8

12 16

8

12 8

9

11

12

Mondd el a társadnak, hogyan számítod ki, hogy: • hány ruhát teregettek ketten 44 csipesszel, • mennyi a felhasznált csipeszek száma, ha Sári 21 ruhadarabot teregetett ki! Fejlesztő matematika

7

8–10. év



H 4.2

4.

A TEREGETÉS szó betűit felhasználva alkossatok magyar szavakat! Adott idő (például 6 perc) alatt ki talál többet? Versenyezzetek! Pontozhatjátok a szavakat a felhasznált betűk száma szerint. Úgy játszhatjátok, hogy 1 pontot ér az a szó, amit ketten vagy többen is írtak, 3-at az, amit csak egy gyerek talált meg.

5.

A kiteregetett ruhák és a csipeszek olyanok, mint egy hosszú papírcsík sok-sok helyen összehajtogatva. Ott vannak a csipeszek, ahol a hajtásvonalak, meg a papírcsík két végén:

7–10. év

9–10. év

Most egy hosszú papírcsíkot hajtsunk félbe, aztán ezt is félbe, és mindig tovább félbe:

Minden hajtogatás után kinyitjuk, és megnézzük, hány részre bontották a hajtásvonalak a csíkot, és hány hajtásvonal keletkezett. Mondhatjuk, hogy „attól függ...?” Haladj sorban, és jegyezd fel minden meghajtás után a részek és a hajtásvonalak számát! Részek száma: 2, ............................................... Hajtásvonalak: 1, ............................................... Amelyik sorozatot tudod, folytasd a füzetedben! 8




H 4.2

2. Vonalak a papíron 1.

Egy papírra húzz egyenes vonalat a lap egyik szélétől a másikig! Ez 2 részre osztja a papírlapot: A második vonal keresztezze az elsőt! Hány rész keletkezett? ....... A következő vonalak mindig keresztezzék az összes korábbit, de ne menjenek át egyetlen közös ponton se! A még üres papír 1 részt jelent. Az első vonal meghúzásával 2 rész keletkezett. Folytasd a részek számát kifejező sorozatot! 1, 2, ............................................................................................... Ha már van sejtésed, hogyan növekszik a részek száma, folytathatod a sorozatot tovább is! .......................................................................................................... Mondd el a társadnak (vagy a többieknek), miért gondolod, hogy ilyen szabály szerint változik tovább is a részek száma!

2.

Most is úgy kezdd a vonalak rajzolását, mint az előbb! A harmadik vonal azonban ugyanazon a ponton menjen át, amelyen az első kettő találkozott! Aztán minden további is ebben a pontban találkozzon a többivel! Írd le a részek számát kifejező sorozatot, és folytasd a megsejtett szabály szerint! Magyarázd meg sejtésedet! ..........................................................................................................


9

9–10. év


3. 8–10. év


H 4.2

Az egyenes vonalzód két szélénél rajzolj két vonalat! 1 A következő kettő keresztezze az előzőket! Ez után 2 mindig úgy helyezd el a 3 vonalzót, hogy csak az első két vonalat keresztezzék az új vonalak, és a többivel legyenek párhuzamosak! Írd le a részek számának alakulását! (Az első rajz előtt 1 részből áll a lap.) 1, 3, ............................................................................................... ..........................................................................................................

4.

Azt is tudod, hogyan alakulna a részek száma, ha az első helyzetet elhagynánk, és a vonalzó mindig párhuzamos vonalakat rajzolna? (Próbáld ki ezt is!) .......................................................................................................... .......................................................................................................... Magyarázd meg a két sorozatban talált szabályt! (Lehet, hogy az utóbbi könnyebben érthető! Aztán gondold ki az előbbinek a magyarázatát!)

5. 9–10. év

Egyenlő nagy köröket rajzolj a papírra! Az első kör vonalába szúrd be valahol a körződ hegyét, így rajzold meg a másodikat! Ahol a két kör találkozik, az legyen a következő kör középpontja! Így folytasd mindig tovább! Hogyan alakul a részek száma? ..........................................................................................................

10




H 4.2

3. Terület-sorozatok 1.

Folytasd a téglalapok rajzolását! Egy-egy kis négyzetoldallal növeld mindig az előző téglalap minden oldalát! 9–10. év

Legyen a területmérés egysége az első téglalap területe! Mérd meg mindegyik téglalap területét, és készíts sorozatot a mérőszámokból! Ha felismerted a számsorozat szabályát, folytathatod tovább is! 1 3 ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ Biztos vagy benne, hogy a sorozatod számai továbbra is ennek a téglalap-sorozatnak a területeiről szólnak? Hány egységnyi a 20. téglalap területe? ........ Hány egységnyi lenne a 100. terület? ........... Magyarázd el, hogyan számoltál! Fejlesztő matematika

11


2. 10. év


H 4.2

Folytasd a négyszögek rajzolását az elsőnek minden oldalát sorban a kétszeresére, háromszorosára, négyszeresére... növelve!

Mérd meg a négyszögek területét! a) Az első négyszög területét válasszuk egységnek! ................................................................................................... b) A kis háromszög területét válasszuk egységnek! ................................................................................................... Folytasd a füzetedben a két számsorozatot a felismert szabály szerint! Milyen kapcsolat van a két sorozat azonos sorszámú számai között? Magyarázd meg a kapcsolat okát!

12



3.


H 4.2

Rajzolj egyre nagyobb hatszögeket úgy, hogy az első hatszög oldalait előbb kétszeresére, aztán háromszorosára, majd négyszeresére... növeled! (A füzetben folytasd!) Próbáld lefedni az első hatszöggel a többit, így mérd az első területével a területüket!

A területek sorozata: 1 ..................................................................................................... 4.

Rajzolj ugyanilyen alakú téglalapokat, kisebbet és nagyobbat! (A rövidebb oldalnak mindig a kétszerese legyen a hosszabb oldal!)

Mérd meg a területüket! A kis négyzet területe legyen az egység! Állítsd a mérőszámokat növekvő sorrendbe, és folytasd a sorozatot! .......................................................................................................... Fejlesztő matematika

13

9–10. év



H 4.2

4. Árak sorozata 1. 8–10. év

Egy csoki-automatában a kis csoki ára 35 Ft. a) Hány forintot kell bedobni, ha 1, 2, 3, 4, ... csokit akarsz vásárolni? 35, ................................................................... b) Hány forintot kell bedobni, ha 12 csokit veszel? 12 csoki ára: ............. c) Hány csokit kap, aki 3 darab 100 forintost dob be az automatába? ........., vagy ........., vagy ......... csokit kap, és visszajár ........., vagy ........., vagy ......... forint.

2. 9–10. év

A Természettudományi Múzeumban a belépő csoportos diáklátogatáson személyenként 200 Ft. a) Hány forintot vigyenek magukkal a gyerekek az osztály pénztárából? A látogató gyerekek száma szerint így alakul a szükséges összeg: 200, .......................................................................................... ................................................................................................... b) Ha 18 gyerek tudott elmenni együtt a múzeumba, mennyit fizettek? ........... Mondd el, hogyan találod meg a 18. számot ebben a sorozatban! c) Ha 4400 Ft-ot fizettek, hányan voltak a múzeumlátogatók? ............ Mondd el, hogyan állapítod meg, hogy a 4400 hányadik szám ebben a sorozatban!

14



3.

4.


H 4.2

Régebben más volt az ára az állatkerti belépőjegynek. Aki a jegyeket vette, 3600 Ft-ot fizetett. Mennyi lehetett egy belépő ára? Add meg a belépő árát a látogató gyerekek száma szerint (amikor 1, 2, 3, 4, ... gyerek jegye került 3600 Ft-ba)! 3600 1800 ........... ........... ........... ........... ........... ......... ........... ........... ........... ........... .......... .......... ......... .......... Budapesten – ha telefonon hívják – az egyik taxi díjszabása a következő: Alapdíj: Útdíj: Várakozás:

300 Ft 180 Ft/km 45 Ft/perc

a) Mennyit kell fizetnie annak az utasnak, aki adott címre megy háztól házig, de nem kér várakozást? Add meg a fizetendő összeget a távolság kilométerenkénti növekedése szerint! 480 ......................................................................................... b) Milyen messze utazott az utas, ha 3900 Ft-ot kért a taxis?

c) Mennyit fizetett az utas, ha 8 km távol volt a célállomás, és 10 perc várakozás után haza is utazott a taxival?


15

9–10. év



H 4.2

5. Ültessünk virágot! 1. 7–9. év

Anna néni piros, sárga és kék virágot ültet az út mellé egy hosszú sorba. Mindig megtartja ugyanezt a sorrendet. Az első virág tulipán, a következő jácint, aztán ismét tulipán következik, és újra jácint. Folytasd a rajzolást a füzetedben színes ceruzával! Tulipán: , jácint: Hányadik helyre kerülnek a sárga tulipánok? ..............................................................................................................

2. 8–10. év

A kerítés mellé egy sorban kardvirágot és őszirózsát ültetett Karcsi bácsi. Az első és az utolsó virág kardvirág volt, és két-két szomszédos kardvirág mindig 3 őszirózsát fogott közre.

… a) Hányadik helyeken találunk kardvirágot? ....................................................................................................... b) Hányadik helyeken találunk őszirózsát? ....................................................................................................... c) Hány virág lehetett a kerítés mellett, ha 40 és 50 között volt az őszirózsák száma? d) Hány őszirózsa lehetett a kerítés mellett, ha 40 és 50 között volt a virágok száma?

16



3.


H 4.2

Ültess árvácskát és rózsát egy sorba! 2 árvácskát kövessen mindig 3 rózsa! A színek egyenként váltsák egymást: az első legyen sárga, a második piros, a harmadik sárga, a negyedik piros...!

Ebbe a parcellába ültesd a virágokat!

a) Hányadik helyeken lesz piros rózsa? ........................................................................................... b) Hányadik helyeken lesz sárga árvácska? ........................................................................................... c) Milyen virág kerül a 44. helyre? ......................... És a századikra? ...............................................


17

9–10. év


4.


H 4.2

Három sorozatot kezdtem: A) 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... B) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... C) 1, 4, 7, 10, 13, 16, ... Melyik feladat megoldását melyik sorozattal írhatjuk le? Írd mellé a sorozat betűjelét! 1) Hány méter kerítéssel lehet körbekeríteni a négyzet alakú kiskertet? Az oldala méterekben mérve egész szám. 2) A kerítés mellé egy sorba nárcisz, tulipán és jácint kerül. 2 nárciszt mindig 1 tulipán követ, aztán 1 jácint. Ismét 2 nárcisz, 1 tulipán, 1 jácint… Hányadik helyeken állnak a jácintok? ....................................................................................................... 3) A tulipánt szálanként 4 Ft-ért veszi át a virágbolt. Hány forintot kaphatunk a tulipánért? ....................................................................................................... 4) Egy papírlapot meghajtottunk keresztben: Kinyitás után 4 részt találtunk rajta. Visszahajtva mindig 1 további hajtást végeztünk, és újra megszámoltuk a részeket. Hány részre osztottuk fel így a lapot? ............................

18


Sorozattal modellezhető problémák

Recommend Documents