SHORTEST PATH ALGORITHM (Dijkstra, Bellman-Ford)
SHORTEST PATH ALGORITHM Macam – macam shortest Path Shortest path dapat dibedakan menjadi : Single Source Shortest Path
Menentukan shortest path dari verteks sumber s Є V ke setiap verteks v Є V
Algoritma Dijkstra , Algoritma Bellman Ford
Single Destination Shortest Path Menentukan shortest path ke suatu tempat t dari tiap verteks v
Single Pair shortest path Menentukan shortest path dari u ke v jika diketahui pasangan u dan v
All pair shortest path Untuk semua pasangan (u,v) ditentukan kemungkinan shortest pathnya. Floyd-Warshall
2
Masalah Shortest Path Terdapat sebuah graph berbobot (weighted graph) dan dua vertices u dan v, kita ingin menemukan sebuah path dengan bobot minimum antara u dan v. panjang path adalah penjumlahan dari bobot sisi-sisinya (edges). Contoh : Shortest path antara jakarta surabaya Aplikasi Internet packet routing Flight reservations Driving directions 3
Pengertian Shortest Path Misalkan sebuah directed graph Bobot dari sebuah path adalah
p
G
v0 , v1 ,...., vk
k
w p
w vi 1 , vi i 1
Bobot shotest path dari u ke v adalah
4
V,E
Shortest Path Properties Jika G tidak memiliki bobot, maka shortest pathnya
diperoleh dari panjang path yang paling minimal (jumlah edgenya paling sedikit). Jika G merupakan graph dengan bobot tertentu, maka bobot dari p adalah
w p
w u, v u ,v
p
5
Shortest Path Properties Property 1: Sebuah subpath dari sebuah shortest path adalah sebuah shortest path Property 2: Terdapat sebuah tree dari shortest paths dari start vertex ke seluruh vertex lainnya
6
Syarat Syarat yang harus dipenuhi oleh sebuah shortest path: Shortest path tidak memiliki cycle. Sebuah shortest path memiliki
V
7
1
edge.
algoritma single source shortest path Ada 2 macam algoritma yang digunakan dalam memecahkan masalah single source shortest path, yaitu: Algoritma Bellman Ford ialah algoritma yang digunakan
untuk memecahkan masalah single shortest path yang memiliki edge dengan bobot negatif.
Algoritma Djikstra ialah algoritma yang digunakan untuk
memecahkan masalah single shortest path yang memiliki edge dengan bobot positif.
8
DJIKSTRA Edsger Wybe Dijkstra lahir di Rotterdam 11 May 1930.
ibunya seorang ahli metematika dan ayahnya seorang ahli kimia .
th 1956 Dijkstra lulus dari Universitas Leiden dalam
bidang mathematika dan teori fisika
Th 1959 Dijkstra menerima PhD Universitas
Amsterdam untuk thesisnya yg berjudul „Communication with an Automatic Computer‟,
9
algoritma DIJKSTRA Algoritma dijkstra adalah salah satu algoritma untuk
memecahkan masalah “ single source shortest path”
Pada algoritma dijkstra pemecahan masalah
diperuntukkan untuk sebuah Graph G=(V,E) yang berbobot non negatif.
Diasumsikan w(i,j) ≥0 untuk masing-masing edge (i,j) Є
E
10
Metode algoritma DIJKSTRA 1.
Inisialisasi s (sumber)
2.
Untuk masing-masing edge e Є E
11
Pilih salah satu vertex sebagai sumber Maka d(s) = 0 Beri label 0 pada vertex s Jika i adalah endpoint dari e yang sudah diberi label dan j adalah endpoint yang belum diberi label maka p(i,j) adalah = d(i) + w(i,j)
Metode algoritma DIJKSTRA 3. e adalah edge untuk T yang mempunyai nilai P terkecil
Jika i adalah endpoint dari e yang sudah diberi label dan j adalah endpoint yang belum diberi label maka tambahkan e dan vertex j ke tree T d(j)=P(ij) Beri label d(j) pada vertex j
4. Kembali ke no 2
12
Metode dijkstra Metode algoritma DIJKSTRA menggunakan metode relaksasi
Relaksasi (i,j,w) Jika d(j)>d(i)+w(i,j) Maka d(j) adalah d(i) + w(i,j) Beri label d(j) pada j
13
Metode algoritma DIJKSTRA Output algoritma dijkstra adalah spanning tree T, dimana
path dari vertex s (sumber) ke masing-masing vertex v adalah sebuah shortest path dari s ke v dalam sebuah graph G.
Label pada sebuah vertex adalah jarak dari s ke masing-
masing vertex
14
Contoh 1 Tentukan shortest path dari A ke setiap v pada graph G
berikut:
10
A 15
7
6 5
9 C
2 8
15
B
E
4
D
Contoh 1(cont) d(A)=0
A 7 C
B
15
Spanning tree T kosong 1.
6 2 E
4
D
Inisialisasi s (sumber)
5
9 8
16
10
2.
pilih vertex A sebagai sumber. S=A, maka d(A)=0. beri label 0 pada A
Untuk semua edge Є E,
i adalah endpoint yg sudah di label , i = A j adalah endpoint yg belum dilabel j= B,C,D,E P(AB)=10, P(AC)=7, P(AE)=15
Contoh 1(cont) d(A)=0
10
A
7 C d(C)=7
17
3 . AC yang mempunyai nilai P terkecil sehingga C ditambahkan ke spanning tree T B
15
6 5
9
2 8
E
4
D
d(c)=P(AC)=7 Beri label d (c) pada vertex c
Contoh 1(cont) d(A)=0
10
A 7 C d(C)=7
18
4. Kembali ke no 2
B
15
6 5
9
2 8
E
4
D d(D)=9
P(AB)=10,P(AE)=15, P(CB)=22,P(CD)=9,P(CE)=15 CD yg mempunyai nilai P terkecil, sehingga D ditambahkan ke T Beri label d(D)=9
Contoh 1(cont) 5. Kembali ke no 2 d(A)=0
10
A 7 C d(C)=7
19
d(B)=10
B
15
6
5
9
2 8
E
•
4
•
D d(D)=9
•
P(AB)=10,P(AE)=15, P(CB)=22,P(CE)=15,P(DB)=15 ,P(DE)=13 AB yg mempunyai nilai terkecil,sehingga B ditambahkan ke T Beri label d(B) =10
Contoh 1(cont) 5. Kembali ke no 2 d(A)=0 A 7 C d(C)=7
d(B)=10 B
10 15
6 5
9
2 8
E
4
d(E)=13
D d(D)=9
P(AE)=15, P(CB)=22, P(CE)=15,P(DB)=15, P(DE)=13, P(BE)=18 DE yg mempunyai nilai terkecil,sehingga E ditambahkan ke T Beri label d(E) =13
6. Semua vertex sudah
diberi label 7. selesai 20
Aplikasi dijkstra Dijkstra's algorithm determines the distances (costs) between a given
vertex and all other vertices in a graph.This may be useful to determine alternatives in decision making.
Dijkstra's algorithm is almost identical to that of Prim's.The algorithm
begins at a specific vertex and extends outward within the graph, until all vertices have been reached.
The only distinction is that Prim's algorithm stores a minimum cost edge whereas Dijkstra's algorithm stores the total cost from a source vertex to
the current vertex.
More simply, Dijkstra's algorithm stores a summation of minimum cost
edges whereas Prim's algorithm stores at most one minimum cost edge.
21
contoh
22
contoh
23
contoh
24
contoh
25
contoh
26
contoh
27
soal Tentukan shortest path dari A ke semua node pada graph berikut :
28
BELLMAN FORD Algoritma ini merupakan pengembangan dari algoritma Djikstra, Algoritma Bellman Ford akan benar jika dan hanya jika graph tidak terdapat cycle dengan bobot negatif yang dicapai dari sumber s.
No cycle Diasumsikan shortest paths tidak mempunyai cycles. shortest path maksimum mempunyai |V|-1 edge
29
Ciri – ciri Algoritma Bellman-Ford : Bekerja walaupun terdapat edge dengan bobot negative. Harus directed edge (jika tidak graph akan memiliki cycle dengan
bobot negatif) Iterasi i menemukan seluruh shortest path dengan menggunakan i edge. Dapat mendeteksi cycle dengan bobot negatif jika ada.
30
Contoh algoritma bellman ford
BF(G,w,s) // G = Graph, w = weight, s=source Determine Single Source(G,s); set Distance(s) = 0; Predecessor(s) = nil; for each vertex v in G other than s, set Distance(v) = infinity, Predecessor(v) = nil; for i <- 1 to |V(G)| - 1 do //|V(G)| Number of vertices in the graph for each edge (u,v) in G do if Distance(v) > Distance(u) + w(u,v) then set Distance(v) = Distance(u) + w(u,v), Predecessor(v) = u; for each edge (u,r) in G do if Distance(r) > Distance(u) + w(u,r); return false; //This means that the graph contains a cycle of negative weight //and the shortest paths are not well defined return true; //Lengths of shortest paths are in Distance array
31
Algoritma :
Bellman-Ford(G,w,s) Inisialisasi single source(G,s) for i=1 to |V[G]|-1 do for each edge (u,v) E[G] do RELAX(u,v) for each edge (u,v) E[G] ; untuk mencek apakah ada atau tidak cycle dgn bobot negatif
do if d[v] > d[u] +w ((u,v))
jika hasil algoritma yang diinginkan belum didapat
then return FALSE return TRUE;
32
;
Teknik relaksasi Untuk setiap vertex v Є V, d (v) adalah bobot upper bound sebuah shortest path dari s ke v, d(v) disebut estimasi shortest-path
33
relaksasi 1.
pada algorithm Dijkstra dan algoritma shortest-paths untuk directed acyclic graphs (DAG), setiap edge direlaksasi sekali.
2. pada algoritma Bellman-Ford, setiap edge direlaksasi beberapa kali.
34
Triangle Inequality Lemma 1
Untuk setiap edge (u; v) Є E, mempunyai δ(s;v) ≤ δ(s;u)+w(u;v)
35
Upper-bound Property Lemma 2 Kita selalu mempunyai d[v] ≥ (s;v) untuk seluruh vertices vЄV dan satu d[v] achieves the value (s;v), yang tidak pernah berubah Corollary 1 Jika tidak terdapat path dari s ke v, maka kita selalu mempunyai d[v] = δ(s;v) = ∞.
36
Convergence Property
Lemma 3 If s u v is a shortest path in G for some u; v ЄV and if d[u] = δ(s;u) at any time prior to relaxing edge (u;v), then d[v] = δ(s;v) at all times afterward.
37
Path-relaxation Property
38
Applications in routing A distributed variant of Bellman-Ford algorithm is used in the
Routing Information Protocol (RIP). The algorithm is distributed because it involves a number of nodes (routers) within an Autonomous system, a collection of IP networks typically owned by an ISP. It consists of the following steps: Each node calculates the distances between itself and all other
nodes within the AS and stores this information as a table. Each node sends its table to all neighbouring nodes. When a node receives distance tables from its neighbours, it calculates the shortest routes to all other nodes and updates its own table to reflect any changes.
39
Applications in routing The main disadvantages of Bellman-Ford algorithm in this
setting are Does not scale well Changes in network topology are not reflected quickly since
updates are spread node-by-node. Counting to infinity
40
algoritma Bellman Ford Ada dua hal yang harus menjadi catatan pada algoritma
Bellman-Ford, yaitu :
Shortest path tidak akan terdiri lebih dari V-1 edge dari graph yang
bersangkutan, dengan asumsi tidak ada negative cycle.Jika terdapat lebih dari V-1 edge pada shortest path, maka ada node yang dilewati lebih dari satu kali.Hal tersebut akan mengakibatkan shortest path tidak optimal.
Pada tiap iterasi, harus dipertimbangkan edge mana yang akan
digunakan terlebih dahulu.
41
contoh • develop algorithm using the following working example • use a table to show changes in estimates of distances and predecessors • initialize table — no predecessors
42
contoh Revise estimates of distances Ulangi sebanyak v-1 kali Untuk masing-masing edge (u, v) dalam graph, set d(v) = min[d(v), d(u) + w(u, v)] Jika jarak direvisi, tentukan vertex predecessor baru edges dapat diambil dengan berbagai cara misalnya sesuai dengan urutan abjad: (a, b), (a,c), (a, d), (b, a), (c, b), . . . , (s, b)
43
contoh
show how we can use predecessor information to trace paths from source 44
penjelasan
45
46
47
48
49
50
51
52
HAPPY LEARNING !!
