SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN BIDANG KEAHLIAN TEKNIK MESIN PROGRAM KEAHLIAN TEKNIK PEMESINAN
MELAKUKAN PERHITUNGAN MATEMATIS
BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 2004
SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN BIDANG KEAHLIAN TEKNIK MESIN PROGRAM KEAHLIAN TEKNIK PEMESINAN
MELAKUKAN PERHITUNGAN MATEMATIS
PENYUSUN TIM FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 2004
ii
KATA PENGANTAR Matematika adalah Ratu dan Pelayan Sains (E.T. Bell), maka peserta diklat di tingkat SMK yang berhubungan langsung dengan sains dan teknik sangat mutlak harus mempelajari matematika. Modul matematika berisi uraian singkat dan soal yang sangat mudah dipahami oleh peserta diklat. Setiap kegiatan belajar diawali dengan penjelasan singkat. Setelah itu dengan beberapa contoh dan soal tugas diharapkan peserta diklat dapat memahami lebih mendalam uraian materi yang dibahas. Peserta diklat diharapkan aktif belajar sendiri dengan tuntunan modul ini. Peran guru adalah membantu peserta diklat yang kurang dapat memahami uraian materi maupun tugas, sehingga proses belajar berjalan lancar. Peserta diklat diharapkan mempelajari modul ini dari awal hingga akhir, dan mengerjakan semua tugas (tugas sebaiknya jangan dikerjakan sebagian saja). Guru sebagai nara sumber utuk pemelajaran modul ini diharapkan menambah wawasan dengan membaca buku-buku dalam daftar pustaka, dan buku penunjang lainnya. Dengan demikian peserta diklat yang bisa dengan cepat menyelesaikan belajarnya dapat diberikan soal pengayaan. Tugas yang diberikan pada modul ini telah diusahakan sebagian besar berhubungan langsung dengan bidang keahlian para peserta diklat. Sebagian besar soal diambil dari buku Technical Mathematics for the Metal Trade karangan Siegbert Hollger. Yogyakarta, Desember 2004 Penyusun, Tim Fakultas Teknik Universitas Negeri Yogyakarta
iii
DAFTAR ISI Halaman SAMPUL ............................................................................................... i HALAMAN FRANCIS ............................................................................... ii KATA PENGANTAR................................................................................. iii DAFTAR ISI .......................................................................................... iv PETA KEDUDUKAN MODUL..................................................................... vii GLOSSARIUM........................................................................................ viii BAB I A. B. C.
PENDAHULUAN ........................................................................... DESKRIPSI................................................................................ PRASYARAT ............................................................................. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL ............................................... 1. Bagi Peserta Diklat ................................................................ 2. Bagi Guru ............................................................................. D. TUJUAN AKHIR ......................................................................... E. KOMPETENSI ............................................................................ F. CEK KEMAMPUAN ......................................................................
1 1 1 2 2 3 4 5 7
BAB II PEMELAJARAN........................................................................ A. RENCANA BELAJAR PESERTA DIKLAT .......................................... B. KEGIATAN BELAJAR................................................................... 1. Kegiatan Belajar 1 Rasio Trigonometri....................................... a. Tujuan Kegiatan ............................................................... b. Uraian Materi .................................................................. c. Rangkuman...................................................................... d. Tugas.............................................................................. e. Tes Formatif..................................................................... f. Kunci Jawaban Tes Formatif ...............................................
8 8 9 9 9 9 11 13 15 16
2. Kegiatan Belajar 2 Menghitung Keliling..................................... a. Tujuan Kegiatan ............................................................... b. Uraian Materi .................................................................. c. Rangkuman...................................................................... d. Tugas..............................................................................
17 17 17 19 20
iv
e. Tes Formatif..................................................................... f. Kunci Jawaban Tes Formatif ...............................................
21 21
3. Kegiatan Belajar 3 Transposisi Persamaan ................................ a. Tujuan Kegiatan ............................................................... b. Uraian Materi .................................................................. c. Rangkuman...................................................................... d. Tugas.............................................................................. e. Tes Formatif..................................................................... f. Kunci Jawaban Tes Formatif ...............................................
21 21 22 23 24 26 27
4. Kegiatan Belajar 4 Sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan segitiga............................................................................... a. Tujuan Kegiatan ............................................................... b. Uraian Materi .................................................................. c. Rangkuman...................................................................... d. Tugas.............................................................................. e. Tes Formatif..................................................................... f. Kunci Jawaban Tes Formatif ..............................................
29 29 29 30 30 31 32
5. Kegiatan Belajar 5 Bidang dan volume menurut Aturan Guldin (Guldin’s Rule) ..................................................................... a. Tujuan Kegiatan ............................................................... b. Uraian Materi .................................................................. c. Rangkuman..................................................................... d. Tugas.............................................................................. e. Tes Formatif..................................................................... f. Kunci Jawaban Tes Formatif ..............................................
33 33 33 34 35 36 37
BAB III EVALUASI.............................................................................. A. PERTANYAAN............................................................................ B. KUNCI JAWABAN....................................................................... C. KRITERIA KELULUSAN ...............................................................
38 38 40 40
BAB IV PENUTUP................................................................................ DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................
41 42
v
PETA KEDUDUKAN MODUL A. DIAGRAM PENCAPAIAN KOMPETENSI Diagram ini menunjukan tahapan atau tata urutan kompetensi yang diajarkan dan dilatihkan kepada peserta didik dalam kurun waktu yang dibutuhkan serta kemungkinan multi exit-multi entry yang dapat diterapkan. M9.2A
M7.10A
M12.3A
M7.15A
M7.16A
M1.3FA M18.1A
M7.8A
M7.18A
M7.7A
M7.11A
M7.6A
M7.21A
M1.2FA M7.5A M7.32A
M1.3FA
M1.4FA
M2.5C11 A
M2.7C10
M2.8C10
M7.24A M7.28A
Keterangan: M12.3A
Mengukur dengan alat ukur mekanik presisi
M18.1A
Menggunakan perkakas tangan
M2.5C11A
Menggunakan alat ukur
M2.7C10
Melakukan perhitungan - dasar
M7.24A
Mengoperasikan dan mengamati mesin/proses
M2.8C10
Melakukan perhitungan - lanjut
M2.13C5
Melakukan perhitungan matematis
M9.2A
Membaca gambar teknik
vi
M7.28A
Mengoperasikan mesin NC/CNC (dasar)
M7.32A
Menggunakan mesin untuk operasi dasar
M7.5A
Bekerja dengan mesin umum
M7.6A
Melakukan Pekerjaan dengan mesin bubut
M7.7A
Melakukan pekerjaan dengan mesin frais
M7.8A
Melakukan pekerjaan dengan mesin gerinda
M7.15A
Mengeset mesin dan program mesin NC/CNC (dasar)
M7.10A
Menggerinda pahat dan alat potong
M7.11A
Mengefrais (kompleks)
M7.21A
Membubut (kompleks)
M7.16A
Mengeset dan mengedit program mesin NC/CNC
M7.18A
Memprogram mesin NC/CNC (dasar)
B. KEDUDUKAN MODUL Untuk
mempelajari
mempelajari
modul
Melakukan
ini
peserta
diklat
perhitungan-dasar
Melakukan perhitungan-lanjut (M2.8C10).
vii
harus
(M2.7C10)
sudah dan
GLOSSARIUM
Rasio
: perbandingan
Adjacent
: sisi segitiga yang berdekatan dengan sudut
Hypotenuse : sisi miring Opposite
: sisi segitiga di depan sudut yang dimaksud
viii
BAB I PENDAHULUAN A. DESKRIPSI Modul Melakukan Perhitungan Matematis (M2. 13 C 5) dibuat untuk membantu peserta diklat dalam melaksanakan belajar berdasarkan Kurikulum 2004. Modul ini bekaitan dengan dua modul sebelumnya yaitu Melakukan perhitungan dasar dan Melakukan perhitungan lanjut (modul dengan kode M). Ruang lingkup modul ini sesuai dengan GBPP meliputi Rasio trigonometri; Aplikasi sinus dan cosinus; Aljabar sederhana; Sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan lingkaran; dan Bidang dan Volume. Setelah menyelesaikan modul ini peserta diklat diharapkan memiliki kompetensi melakukan perhitungan matematis yang meliputi : ? Menunjukkan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri ? Mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal ? Menunjukkan/ melakukan operasi aljabar yang sederhana ? Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal ? Mengkalkulasi bidang
dan
volume
dari
bentuk-bentuk yang
kompleks B. PRASYARAT Untuk
mempelajari
modul
ini
sebaiknya
peserta
diklat
sudah
menguasai dua buah kompetensi yaitu: Melakukan perhitungan dasar dan Melakukan perhitungan lanjut.
1
C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL 1. Bagi Peserta diklat a. Langkah-langkah belajar yang harus ditempuh oleh peserta diklat adalah : ?
Membaca petunjuk penggunaan modul
?
Mencoba mengerjakan soal pada Sub bab F (Cek kemampuan), apabila telah bisa menyelesaikan soal-soal tersebut (minimal 70% benar), peserta diklat dipersilahkan langsung mengerjakan tes formatif.
?
Apabila cek kemampuan tidak bisa mengerjakan, peserta diklat mempelajari modul ini dari awal sampai akhir mulai Kegiatan belajar 1.
?
Setiap Kegiatan belajar dilakukan dengan cara membaca penjelasan singkat setiap sub kompetensi, memahami penjelasan tersebut (bisa meminta pertolongan guru apabila belum jelas), kemudian mengerjakan soal latihan.
?
Soal tugas sebaiknya dikerjakan semua, apabila waktu di sekolah tidak mencukupi maka dikerjakan di rumah sebagai tugas.
?
Setelah selesai mengerjakan soal tugas hasilnya dilaporkan pada guru untuk dinilai.
?
Apabila nilai yang diperoleh belum 70, maka peserta diklat harus mengulang mempelajari kegiatan belajar yang sama sampai nilai yang diperoleh minimal 70.
?
Setelah soal tugas dikuasai( nilai >70), kemudian mengerjakan Tes Formatif.
?
Peserta diklat dinyatakan menguasai sub kompetensi apabila nilai test formatif yang dicapai minimal 70.
2
?
Setelah kegiatan belajar 1 selesai dilanjutkan dengan kegiatan belajar selanjutnya dengan langkah-langkah seperti yang telah dijelaskan di atas.
?
Peran guru dalam mempelajari modul adalah sebagai nara sumber, yaitu orang yang menguasai kompetensi yang selalu siap ditanyai oleh peserta diklat dalam mempelajari kompetensi tertentu.
b. Perlengkapan yang harus dipersiapkan Setiap
peserta
diklat
dalam
mempelajari
modul
sebaiknya
menggunakan perlengkapan : ballpoint, pencil, karet penghapus, buku tulis, kertas buram, dan kalkulator. 2. Peran Guru Antara Lain a. Membantu peserta diklat dalam merencanakan proses belajar b. Membimbing peserta diklat melalui menjelaskan materi yang dirasa sulit dan menjelaskan tugas yang dijelaskan dalam tahap belajar c. Membantu peserta diklat dalam memahami konsep dan praktek baru dan menjawab pertanyaan peserta diklat mengenai proses belajar peserta diklat d. Membantu peserta diklat untuk menentukan dan
mengakses
sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan f. Merencanakan seorang ahli/pendamping guru dari tempat kerja untuk membantu jika diperlukan g. Merencanakan proses penilaian dan menyiapkan perangkatnya h. Melaksanakan penilaian i. Menjelaskan kepada peserta diklat tentang sikap, pengetahuan dan ketrampilan dari suatu kompetensi yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pemelajaran selanjutnya. j. Mencatat pencapaian kemajuan peserta diklat
3
D. TUJUAN AKHIR 1. Kinerja
yang
diharapkan:
Peserta
diklat
mampu
melakukan
perhitungan matematis secara mandiri. 2. Kriteria keberhasilan: Peserta diklat dikatakan telah menguasai kompetensi apabila telah mampu mengerjakan semua soal latihan, dan sol tes formatif, dan evaluasi sumatif dengan nilai minimal 70. 3. Kondisi
atau
variabel
yang
diberikan:
Kompetensi
melakukan
perhitungan matematis ini diharapkan dapat diselesaikan peserta diklat dalam waktu 160 jam pelajaran (@ 45 menit).
4
E. KOMPETENSI KOMPETENSI KODE DURASI PEMELAJARAN LEVEL KOMPETENSI KUNCI
KONDISI KINERJA
SUB KOMPETENSI
: : :
Melakukan perhitungan matematis M2. 13 C 5 160 Jam @ 45 menit A 2
B 1
C 1
D 1
E 1
F 1
G -
1. Sumber Informasi : ? Kode standar ? Buku-buku pedoman 2. Kegiatan : ? Menunjukkan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri ? Mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal ? Menunjukkan operasi aljabar yang sederhana ? Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal ? Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks
KRITERIA KINERJA
LINGKUP BELAJAR
1. Menunjukkan penghitungan yang menyangkut ke-enam rasio trigonometri
? Kalkulasi untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan segitiga siku-siku, dengan mengguna-kan perbanding-an yang sesuai dapat ditunjuk-kan.
2. Mengaplikasikan aturan sin dan cosin dalam penyelesaian soal
? Kalkulasi yang ditunjukkan pada bukan segitiga sikusiku yang memanfaatkan aturan sin dan cosin dapat diaplikasikan.
MATERI POKOK PEMELAJARAN SIKAP
PENGETAHUAN
? Rasio trigonometri
? Rasio trigono-metri
? Memahami cara menghitung dengan menggu-nakan rasio trigonome-tri
? Aplikasi sinus dan cosinus
? Hati-hati mengidentifi-kasi bentuk segitiga apakah siku-siku atau bukan
? Memahami cara mengaplikasikan sinus dan cosinus dalam menyele-saikan soal
5
KETERAMPILAN
SUB KOMPETENSI
KRITERIA KINERJA
LINGKUP BELAJAR
3. Menunjukkan operasi aljabar yang sederhana
? Transposisi rumus sederhana untuk memisahkan variabel yang diminta, yang menyang-kut penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dapat ditunjukkan. ? Rumus dibuat untuk menye-lesaikan soal yang menyang-kut bentuk atau konsep sederhana. ? Persamaan sederhana yang menyangkut satu nilai yang tidak diketahui dapat dihitung. ? Penyelesaian soal dipermudah dengan menggunakan sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan lingkaran dalam kalkulasi.
? Rumus sederhana pada aljabar ? Rumus penyelesaian bentuk soal dan konsep yang sederhana ? Persamaan sederhana
? Formula yang diberikan untuk pengkalkulasian bidang dan volume dapat dipahami.
? Bidang dan volume
4. Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal
5. Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks
? Sifat-sifat geometri untuk sudut segi tiga dan lingkaran
MATERI POKOK PEMELAJARAN SIKAP
PENGETAHUAN ? Memahami rumus aljabar yang sederhana ? Menerapkan cara meng-gunakan rumus untuk menyelesaikan bentuk dan konsep soal ? Memahami cara persamaan sederhana
? Membagi bentuk kompleks menjadi bentuk-bentuk sederha-na
? Memahami prinsipprinsip geometri untuk sudut, segitida dan lingkaran
? Memahami cara mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk komplek
6
KETERAMPILAN
F. CEK KEMAMPUAN Isilah tabel di bawah dengan cek list (v ) dengan sikap jujur dan dapat dipertanggung jawabkan untuk mengetahui kemampuan awal yang telah anda miliki. Sub Kompetensi
Pernyataan
Saya telah menguasai sub kompetensi ini Ya Tidak
Bila Jawaban Ya Kerjakan
Menunjukkan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri Mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal
Dapat melakukan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri
Tes Formatif 1
Dapat mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal
Tes Formatif 2
Menunjukkan operasi aljabar yang sederhana
Dapat melakukan transposisi untuk semua operasi aljabar
Tes Formatif 3
Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal
Dapat menggunakan prinsip-prinsip geometri segitiga dan lingkaran dalam menyelesaikan soal
Tes Formatif 4
Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks
Dapat mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks dengan aturan Guldin
Tes Formatif 5
Apabila anda menjawab tidak pada salah satu pernyataan di atas, maka pelajarilah modul ini.
7
BAB II PEMELAJARAN A. RENCANA BELAJAR PESERTA DIKLAT Rencanakanlah setiap kegiatan belajar anda dengan mengisi tabel di bawah ini dan mintalah bukti belajar guru jika telah selesai mempelajari setiap kegiatan belajar.
Jenis Kegiatan
Tanggal
Waktu
Menunjukkan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri Mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal Menunjukkan operasi aljabar yang sederhana Menggunakan prinsipprinsip geometri dalam menyelesaikan soal Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks
8
Tempat Belajar
Alasan Perubahan
Tanda Tangan Guru
B. KEGIATAN BELAJAR 1. Kegiatan Belajar 1 Rasio Trigonometri a. Tujuan kegiatan pemelajaran 1 Memahami cara menghitung dengan menggunakan rasio trigonometri. b. Uraian materi 1 Segitiga ABC memiliki sudut siku di C dan panjang sisi a,b,c. Fungsi trigonometri untuk sudut A didefinisikan sebagai berikut :
Nama ketiga sisi untuk segitiga di atas : ?
Sisi berhadapan (opposite = sisi di depan sudut yang dimaksud)
?
Sisi berdekatan ( adjacent = sisi yang berdekatan dengan sudut)
?
Sisi miring (hypotenuse = sisi miring) Harga dari rasio trigonometri tersebut dapat diperoleh melalui tabel, grafik atau dengan menggunakan kalkulator. Untuk harga rasio trigonometri dengan sudut A lebih dari 900, digambarkan sebagai berikut :
9
Gambar Grafik rasio trigonometri y=sin x, dan y= cos x, dengan sudut dalam derajad digambarkan di bawah ini. y= sin x
1,0 0,5
sudut
0,0 0
90
180
270
360
-0,5 -1,0
y=cos x
1,0 0,5 0,0 -0,5
0
90
180
270
360 sudut
-1,0
Dari definisi dan gambar di atas dapat dicari rasio trigonometri berdasarkan harga sinus dan cososinusnya, yaitu : ? ?
sin ? cos ? 1 csc ? ? sin ?
?
tan ? ?
?
10
1 cos ? cos ? cot ? ? sin ? sec ? ?
Nilai-nilai keenam rasio trigonometri untuk sudut istimewa dicantumkan dalam tabel berikut : No. 1.
Sudut a 00
sin a 0
cos a 1
tan a 0
1 3 3
Tidak didefinisikan
2.
300
1 2
3.
450
4.
600
1 2 2 1 3 2
1 3 2 1 2 2 1 2
5.
900
1
0
csc a Tidak didefinisikan
sec a 1
2
1
Tidak didefinisikan
2 3
2
3
cot a
2
3 1
2 3
2
1 3 3
1
Tidak didefinisikan
1
Berdasarkan tabel dan grafik keenam rasio trigonometri coba lanjutkan tabel di atas untuk sudut istimewa sampai dengan 3600. c. Rangkuman 1 Rasio sisi pada suatu segitiga siku dinamakan fungsi trigonometri, yang terdiri dari sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan. Dengan demikian untuk sebuah segitiga jika diketahui dua harga dapat dicari empat harga yang lain.
Contoh 1 Untuk panjang 40 cm pada suatu baji tingginya 30 cm, hitunglah panjang dari sisi miringnya dan sudut kenaikannya .
30
Penyelesaian :
a 40 Ditanyakan : L dan a Diketahui : l = 40 cm dan h = 30 cm
11
Jawab :
tan ? ?
h 30 ? ? 0,75 l 40
? ? 36 o 52' (diperoleh dari tabel atau dari kalkulator dengan cara : tulis 30,
kemudian dibagi 40 = , sehingga tertulis 0,75. Setelah itu tekan inv (atau shift) , tekan tan , tekan shift DEG). NB : mintalah petunjuk guru untuk pemakaian kalkulator mencari sudut tersebut.
sin ? ?
30 30 ? 0,6 , sehingga L ? ? 50 L 0,6
Sehingga jawabanya adalah : panjang sisi miring = 50 cm, sudut kenaikannya 36o52’. Contoh 2 Suatu penyangga dari plat baja berbentuk segitiga siku-siku digunakan untuk menahan suatu papan. Panjang dua sisi yang pendek adalah 50 cm dan 50 cm. Berapakah panjang sisi miringnya ? Dicari : c Diketahui : Panjang dua sisi yang lain
50
a=b=50 Penyelesaian : 50 c
ß
Perhitungan dengan teorema Phytagoras c2 ? a2 ? b2
c2=502+50 2 c=50v2 = 70,71 cm Perhitungan dengan rasio trigonometri 50 ? 1 , sehingga dari tabel di atas 50 1 50 diperoleh ß=45 0. Maka, sin 450 = 2? 2 c 100 100 Sehingga, c ? ? 2 ? 70,71 cm. 2 2
Dari gambar dapat dirumuskan tan ? ?
12
d. Tugas 1 Kerjakan soal di bawah ini 1. Jika 00< a <90 0, carilah nilai kelima rasio trigonometri yang lain a. cos ? ?
3 5
f.
b. sin ? ?
1 3
g. cos ? ? u
c. cos ? ?
1 3
u 0
h. tan ? ?
u o
sin ? ?
1 0
i.
d. tan ? ? 2
sin ? ?
e. sec ? ? 2 2. Untuk gambar di bawah carilah : sin
C
3. Jika cos a = x, nyatakan rasio trigonometri lainnya dalam x.
12
4 A 3
B
4. Jika tan a = x, nyatakan rasio trigonometri lainnya dalam x 5. Dengan menggunakan tabel atau
kalkulator carilah a untuk : a. b. c. d.
sin ? cos ? tan ? cot ?
? 0 ,5 ? 0,5 ?1 ?1
e. Adakah hubungan antara a. dan b ? f. Adakah hubungan antara c. dan d. ?
6. Sebuah kubus dengan potongan melintang ukuran 40 x 40 mm. Pada setiap ujungnya akan dichamfer ukuran 5X450. Berapakah panjang bagian yang dipotong ?
13
7. Apabila benda kerja pada nomer 3 setiap ujungnya dichamfer satu sisi 10 mm dan sisi yang lain 5 mm, berapakah sudut
5x45 0
c
chamfernya ? dan
berapakah panjang bagian yang dipotong ? 8. Sebuah pintu dari baja berukuran 2,1 m x 1,2 m akan dipotong sepanjang diagonalnya. Berapakah panjang potongnya ? 9. Sebuah tangga panjangnya 5 meter, apabila jarak kaki tangga terhadap tembok 1,25 m, berapa tinggi yang dapat dipanjat ? 10. Sebuah kotak dengan panjang 2,5 m akan
h
digantung menggunakan rantai dengan panjang 2 x 2 m. Berapakah tinggi h ?
11. Sebuah tangga untuk naik ke lantai dua akan dibuat sesuai dengan segitiga siku-siku. Panjang bagian alas 7 m dan tinggi tembok lantai dua yang akan dinaiki 4 m. Berapakah panjang yang harus dilalui ketika melewati tangga tersebut ? 12. Berapakah panjang sisi persegi maksimal (ujungnya runcing) yang mungkin dibuat pada lubang diameter 60 mm ?
14
e. Tes formatif 1 Petunjuk
: Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit
Kondisi
: Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator
1. Hitunglah b dan x.
2. Hitunglah D.
3. Hitunglah h dan x.
15
4. Hitunglah L bila panjang bagian yang menempel di tembok 0,96 m.
5. Hitunglah c.
6. Berdasarkan grafik sinus dan cosinus buatlah grafik y=tan x, dengan ketentuan bahwa tan x=sin x/cos x.
f. Kunci jawaban formatif 1 1. 2. 3. 4. 5.
x= 135, b= 222,72 D = 41,23 h=8,62 , x=1,83 L= 1,83 m c= 651,9
16
2. Kegiatan Belajar 2 Aturan Cosinus Dan Aturan Sinus Untuk Segitiga Tidak Siku a. Tujuan kegiatan pemelajaran 2 Memahami cara mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam menyelesaikan soal. b. Uraian materi 2 Untuk segitiga di samping dengan nama dan notasi tersebut maka berlaku aturan cosinus, yaitu : a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ?
B ß
c A
h
a
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ?
a ?
c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ab cos ?
C
b
Untuk segitiga yang sama berlaku juga aturan sinus : a b c ? ? sin ? sin ? sin ?
Contoh 1 Pada suatu segitiga diketahui a=5, b=6 dan ?=600, seperti tampak pada gambar, carilah bagian-bagian lainnya. Diketahui : segitiga dengan notasi dan ukuran pada gambar. Ditanyakan : c, a, dan ß Jawab : C dapat dicari dengan aturan cosinus :
B ß c
a=5
600 C
c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? c 2 ? 5 2 ? 6 2 ? 2.5.6. cos 60 0 1 c 2 ? 61 ? 60 .( ) ? 31 2 c= 31 ? 5,6
a b=6
A
Aturan cosinus dapat pula digunakan untuk mendapatkan a :
17
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ?
cos ? ?
b 2 ? c 2 ? a 2 36 ? 31 ? 25 ? ? 0,6250 2bc 2.( 6).(5,6)
? ? 51,317 0 Sudut ß dapat dicari juga dengan aturan cosinus. Akan tetapi karena kita tahu bahwa jumlah sudut pada suatu segitiga adalah 1800, maka : ? ? 180 0 ? 60 0 ? 51,317 0 ? 68,6830 Contoh 2 Carilah bagian-bagian lain dari segitiga ABC seperti gambar di atas jika diketahui : c=10, a=400, dan ß=600. Ditanyakan : a,b, dan ? Diketahui : c=10, a=400, dan ß=600. Jawab : Jumlah sudut pada segitiga ABC adalah 1800. Sehingga ? = 1800-400-600= 800. a b c ? ? sin ? sin ? sin ?
Sisi a dan b dapat dicari dengan Dari rumus tersebut diperoleh b?
c sin ? 10 sin 60 0 ? ? 6,53 sin ? sin 80 0
dan a ?
c sin ? 10 sin 40 0 ? ? 8,79 sin ? sin 80 0
18
c. Rangkuman 2 Untuk mencari harga bagian-bagian segitiga tidak siku-siku dapat digunakan Aturan cosinus a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ab cos ?
Aturan sinus : a b c ? ? sin ? sin ? sin ?
d. Tugas 2 Kerjakan soal di bawah ini 1. Carilah bagian-bagian segitiga ABC lainnya jika diketahui : a. a=45, b= 47, ?=350. b. a=20, b= 40, ?=280. c. a=10, b= 40, ?=1200. 2. Carilah sudut terbesar pada segitiga ABC, jika a. a=7, b=6, dan c=8 b. a=16, b=17, dan c=18 3. Panjang dua sisi yang berdampingan suatu jajaran genjang masingmasing adalah 125 mm dan 162 mm. Carilah panjang kedua diagonal jajaran genjang itu, jika sudut yang dibentuk kedua sisi tadi adalah 42020’. 4. Carilah nilai bagian-bagian lain dari segitiga ABC : 5. a=320, ß=480, dan a= 10 6. a=600, ß=450, dan a= 3 7. a=450, a=8, dan b= 5
19
e. Tes formatif 2 Petunjuk
: Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit
Kondisi
: Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator
1. Carilah bagian-bagian segitiga ABC lainnya jika diketahui : a. a=10, b= 10, ß=300. b. a=7, b= 9, a=118,45 0. c. a=8, b= 7, ?=63,470. 2. Carilah sudut terbesar pada segitiga ABC, jika a=17, b=25, dan c=12 3. Titik A dan B adalah dua tempat di sisi sebuah sungai. Titik C adalah satu tempat di sisi sungai seberang. Apabila
20
3. Kegiatan Belajar 3 Transposisi Persamaan a. Tujuan kegiatan pemelajaran 3 ?
Memahami rumus aljabar yang sederhana
?
Menerapkan cara menggunakan rumus untuk menyelesaikan bentuk dan konsep soal
?
Memahami cara mengaplikasikan persamaan sederhana.
b. Uraian Materi 3
Persamaan dapat dibandingkan dengan suatu timbangan seperti gambar di atas. Misal : Sisi kiri timbangan 9 dan sisi kanan 5+x, maka dalam kondisi setimbang menjadi persamaan :
9=5+x
Apabila bagian kiri dikurangi 5, maka supaya setimbang bagian kanan juga dikurangi 5, sehingga : 9-5=5+x-5, maka 4=x atau x = 4 Dengan cara lain :
21
5 + x = 9 ( 5 dipindah ke kanan tanda + menjadi -) maka, x=9-5 atau x=4 Dengan demikian dapat dikatakan bahwa jika berpindah ruas tandanya dibalik. Timbangan yang telah kita bahas terdahulu bisa juga diterapkan untuk transposisi persamaan yang melibatkan perkalian dan pembagian. Misalnya dalam keadaan setimbang ruas kiri berharga 20, dan ruas kanan berharga 4.x, maka persamaannya menjadi : 20= 4.x 4.x=20 Selanjutnya kita memperlakukan kedua sisi persamaan dengan cara yang sama : ?
mengalikan dengan besaran yang sama untuk kedua ruas atau
?
Membagi dengan besaran yang sama untuk kedua ruas.
Untuk persamaan tersebut di atas apabila kedua ruas kita bagi 4 (atau dikalikan ¼), maka : 4.x 20 ? 4 4
sehingga x = 5 , adalah penyelesaiannya. Dengan cara lain : 4.x=20 , bilangan 4 (perkalian thd x) dipindah ke ruas kanan menjadi pembagian terhadap 20, sehingga : x ?
22
20 4
Contoh 1 Seorang pengendara sepeda menempuh perjalanan dari kilometer 7,2 sampai dengan kilometer 10,5. Berapa kilometer yang telah ditempuh ? Dicari : s Diketahui s1 = 7,2 km dan s2= 10,5 km Solusi :
0
7,2
10,5
S1 S2 s2= s1+s s= s2- s1 s=10,5-7,2=3,3 km Contoh 2 Suatu plat baja panjang 385 mm harus dilubang pada tengahnya berjumlah 6 buah, dengan jarak yang sama antara pinggir dan sumbusumbu lubangnya. Hitunglah berapa jarak lubang tersebut ? Jawab : Dicari : t Diketahui : L = 385 mm, dan n = 6 lubang Solusi : L=(n+1).t t?
L 385 ? ? 55 mm n?1 7
t L
Jarak antar lubang 55 mm. c. Rangkuman 3 ? Kita harus memperlakukan dua
23
ruas persamaan dengan cara yang sama ?
Kita bisa memindah ruas ke dua arah
?
Kita harus meletakkan harga yang kita cari di ruas kiri.
?
Pemindahan ruas menyebabkan tandanya berubah : + menjadi – -
?
menjadi +
Pada waktu memindah ruas suatu bilangan atau variabel : perkalian menjadi pembagian pembagian menjadi perkalian
d. Tugas 3 Kerjakan semua soal tugas di bawah 1. Hitung x untuk : a. 6+x =18
f. d+x=18
b. 18-x=24
g. g-x=a
c. x-6=24
h. x-z=t
d. x+30=90
i. x+t=h
e. x-56=100
j. x+e=a
Contoh : x+r=100, maka x=100-r 2. Hitung x untuk a. 44=x+6
e. 8=7+x
b. 65=x+9
f. g=x-7
c. 75=x-t
g. 85=x-10
d. m=k+x
h. z=7-x
3. Selesaikan persamaan berikut untuk semua huruf dalam persamaan : a. k-d=r b. d-k=t c. f+g=t Contoh :
d. h-p=t e. h-u=w
a+b=c , maka a=c-b
24
b=c-a c=a+b 4. Selesaikan persamaan berikut untuk semua huruf dalam persamaan : a. a+b=c b. k-d=v c. 1+m=-d d. l1+l2=L e. g1-g2=G f. F1-F2=F3 g. R1=R-R2 h. C2=C-C1 i. T=t1+t2 5. Selesaikan untuk semua huruf a. a+b=76
f. W-49=37+K
b. c-t=-85
g. -29+F=136+x
c. F-G=89 d. 654-G=68+K
h. V-81=-142+L
e. 476+H=Z-67
i. -106+W=Z+316
6. Joko mempunyai uang Rp. 35400,-. Sesudah ia belanja uangnya tinggal Rp.17150,-. Berapa uang yang telah ia belanjakan ? 7. Suatu ruangan memiliki panjang 2,95 m. Ruang yang lain lebih pendek 0,75 mm. Berapa panjang ruang tersebut ? 8. Tiga buah sisi sebuah segitiga memiliki panjang total 318 mm. Berapa panjang sisi ke tiga, apabila sisi pertama panjangnya 114 mm dan sisi ke dua panjangnya 62 mm ? 9. Carilah x a. b. c. d.
3x=24 6x=65 4x=400 66=11x
e. f. g. h.
25
b.x=a a.x=p 7x=U 8x=72
10. Selesaikan harga x a. 0,3x ?
d. 0,4 x ? b 18 x e. ? R 8 G.x f. 102 ? L g. D.x ? C
3 4
18 x ? 72 8 34 x c. 102 ? 6
b.
11. Selesaikan harga x
P Z1 ? P1 x G1 x b. ? G P1 s c. v ? x F x d. ? Q s
G .r x 2.s.x f. v ? 60 F A g. ? s x G .x h. R ? F .2.?
e. F .i ?
a.
12. Selesaikan untuk semua variabel g. F ? f .n 7240.P h. W ? c 1 D? d i. ? x l 1 j. V ? I .R. c
a. A ? 2.a.b b. m ? 4 .V .? c. V ? a.h b.r d. A ? 4 e. V ? 2 .A.h 6
f. V ?
? .d.n 1000
e. Tes formatif 3 Petunjuk
: Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit
Kondisi
: Boleh Buka Buku
1. Hitung x untuk a. 94=x+7 b. 75=x+20 c. 85=x-j
26
d. m=2k+x e. 81=17+x f. g=x-37 g. 185=x+100 h. 2z=7-x 2. Pada awal suatu perjalanan pencatat jarak di mobil terbaca 312,4 km. Sesudah perjalanan terbaca 618,7 km. Berapa jauh perjalanan yang ditempuh ? 3. Enam kali tekanan dibagi dua menghasilkan tekanan 16 bar. Berapa tekanan yang dimaksud ? 4. Selesaikan harga x a. 0,3x ? b.
30 42
18 x ? 72 2
c. 120 ?
34 x 9
d. 10, 4 x ? b 5. Sebuah mur segi enam tingginya 28,8 mm. Ukuran tersebut adalah 8/10 dari diameter baut. Berapakah ukuran baut ? 6. Hanya ¾ dari panjang profil I yang diperlukan. Potongan yang tersisa adalah 3,2 m. Berapakah panjang awal profil I ? f. Kunci jawaban formatif 3 1. a. x=87 b. x=55 c. x=85+j d. x=m-2k e. x=64
27
f. x=g+67 g. x=7-2z 2. L= 306, 3 3. P = 5,333 4. a. x=2,38 b. x=8 c. x=31,76 d. x=0,096 b 5. d=23,04 6. L=42,667 m
28
4. Kegiatan Belajar 4 Sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan segitiga a. Tujuan kegiatan pemelajaran 4 Memahami prinsip-prinsip geometri untuk sudut, segitiga dan lingkaran b. Uraian materi 4 ?
Lingkaran berdiameter D yang mengelilingi sebuah Persegi Dengan menggunakan teorema Phythagoras diperoleh :
s 2 ? r 2 ? r 2 ? 2r 2
r?
s2 s ? 2 1,414
D s ? 2 1, 414 maka : D ? 1,414.s ?
Lingkaran berdiameter D yang mengelilingi sebuah Heksagonal
D D 2 ? s 2 ? ( )2 2 D2 3 2 s2 ? D2 ? ? D 4 4 2 4 .s 2 .s D? ? 3 1,732 D ? 1,155.s Lingkaran berdiameter D yang mengelilingi sebuah Segitiga
D D 2 ? a 2 ? ( )2 2
a ? s pada heksagonal, sehingga D ? 1,155.a
29
Contoh Berapakah kemungkinan ukuran heksagonal terbesar yang dapat difrais dari sebuah baja berdiameter 48 mm. Jawab : Dicari : s Diketahui D= 48 mm (lihat gambar di atas) Solusi : D ? 1,155.s s?
D 48 ? ? 41,56 mm 1,155 1,155
c. Rangkuman 4 Diameter lingkaran pada suatu Persegi
: D ? 1,414.s
Heksagonal : D ? 1,155.s Segitiga
: D ? 1,155.a
d. Tugas 4 Kerjakan semua soal tugas di bawah 1. Berapakah diameter sebuah poros apabila sisi persegi yang dibuat diujungnya 35 mm ? 2. Kemungkinan terbesar persegi yang dapat dibuat diujung poros yang berdiameter 60 mm, berapakah ukuran sisinya ? 3. Sebuah luasan lingkaran 44,18 cm 2, akan diubah menjadi persegi dengan luas yang sama. Berapa ukuran sisinya ?
30
4. Ujung dari sebuah poros berdiameter 85 mm akan difrais berbentuk persegi. Berapa persen bagian yang dibuang ? 5. Lebar W sebuah heksagonal adalah 75 mm. Berapakah diameter poros asalnya ? 6. Sebuah segitiga sama sisi difrais di ujung sebuah poros yang berdiameter 40 mm. Berapakah luas potongan melintang segitiga yang terbentuk ? 7. Sebuah baja silindris dengan diameter 56 mm difrais untuk membuat poros dengan potongan melintang heksagonal. Hitunglah lebar heksagonal tersebut dan berapakah luas potongan melintangnya ?
e. Tes formatif 4 Petunjuk
: Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit
Kondisi
: Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator 1. Hitunglah D.
2. Hitunglah s.
3. Hitunglah D.
31
4. Hitunglah x.
5. Hitunglah D.
6. Hitunglah x.
f. Kunci jawaban formatif 4 Kunci jawaban bisa ditanyakan pada guru, beserta langkah-langkah perhitungannya.
32
5. Kegiatan Belajar 5 Bidang dan volume menurut Aturan Guldin (Guldin’s Rule) a. Tujuan kegiatan pemelajaran 5 Memahami cara mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk komplek b. Uraian materi 5 1. Curved-surface area 1. Garis mengelilingi suatu sumbu membentuk luas permukaan kurva (curvedsurface area), sehingga : Luas permukaan Kurva sama dengan putaran l dikalikan dengan jalur titik tengahnya atau :
M ? l .d s .? 2. Garis keliling mengelilingi suatu sumbu menghasilkan permukaan (surface), maka permukaan sama dengan putaran keliling kali jalur titik tengahnya :
O ? U .d s .? 3. Luasan potongan melintang mengelilingi suatu sumbu menghasilkan volume, sehingga : V
33
? A.d s .?
c. Rangkuman 5 Aturan Guldin dapat menghitung : ?
Luas permukaan Kurva = putaran l . jalur titik tengahnya.
?
Permukaan = putaran keliling . jalur titik tengahnya.
?
Volume = putaran luasan. jalur titik tengahnya.
Contoh Sebuah bush memiliki tinggi 70 mm, diameter dalam 30 dan diameter luar 50 mm. Hitunglah luas permukaan kurva dalam cm 2 dan volumenya dalam cm 3. Ditanyakan : M dalam cm 2 dan V dalam cm 3. Diketahui : l = 70 mm, d = 30 mm, dan D=50 mm (lihat gambar) Solusi :
M ? l .d s .?
= 7 cm.5cm.3,14 = 109,9 cm 2
V ? A.d s .?
=(7 cm. 1 cm).4 cm.3,14=87,92 cm 3
34
d. Tugas 5 Kerjakan semua soal di bawah 1. Sebuah gasometer dengan diameter luar 22 m dan tinggi 12 m akan dicat bagian luarnya. Berapakah luas daerah yang akan dicat ? 2. Sebuah roller cat diameter 320 mm dan panjang 0,65 mm berputar 125 kali /menit. Berapakah luas yang ditutupi cat dalam satu menit ? 3. Sebuah kontainer silindris dengan diameter dalam 600 mm dan tinggi 955 mm akan dibuat dengan plat baja tebal 3 mm. Berapa m 2 plat yang diperlukan ?
4. Sebuah kolom dengan diameter 800 mm, akan diperkuat dengan ring yang terbuat dari batang baja persegi ukuran 20 mm. Berapa meter batang baja diperlukan ? 5. Hitunglah tebal dinding yang diperlukan untuk melapisi pipa mild steel dengan diameter rata-rata 68 mm dan luas potongan melintang 17,1 cm 2. 6. Pipa baja berukuran 4 inchi memiliki ketebalan dinding 4,5 mm. Berapakah luas potongan melintangnya ? 7. Pipa Alluminium tipis dengan tebal dinding 4 mm memiliki diameter luar 80 mm. Hitunglah luasnya. 8. Sebuah gasket dengan lebar 25 mm digunakan untuk sebuaf flens dengan diameter lubang baut 120 mm. Hitunglah luas (dalam cm 2) gasket tersebut, setelah dikurangi 6 lubang baut dengan diameter 11 mm. 9. Sebuah corong memiliki diameter 80 mm dan tinggi 140 mm. Berapa banyak lembaran plat yang diperlukan ?
35
10. Sebuah ring dari besi beton 16 mm memiliki diameter luar 444 mm. Berapa luas permukaannya dan volumenya ? 11. Sebuah corong memiliki diameter terkecil 160 mm dan diameter terbesar 240 mm, tingginya 420 mm. Hitunglah kebutuhan bahan yang diperlukan untuk membuatnya. 12. Pipa dari besi tuang dengan diameter dalam 320 mm, diameter luar 440 mm, dan panjangnya 650 mm. Berapakah volumenya ( dalam cm 3) ? 13. Sebuah soket kuningan memiliki diameter kecil 60 mm, diameter besar 80 mm, dan volumenya 329,7 cm3. Berapakah tingginya ( dalam mm) ? 14. Dari gambar, berapa V (dalam cm 3) ?
e. Tes formatif 5 Petunjuk Kondisi
: Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit : Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator
1. Hitunglah L (m), apabila ukuran yang tercantum di gambar dibesarkan dua kalinya.
2. Hitunglah M ( m 2) apabila diameternya 200 mm.
36
3. Hitunglah O (m 2)
4. Hitunglah V (cm 3), bila daerah yang diarsir 30 x 45
f. Kunci jawaban formatif 5 Kunci jawaban bisa ditanyakan pada guru, beserta langkah-langkah perhitungannya.
37
BAB III EVALUASI A. PERTANYAAN Petunjuk
: Kerjakan semua soal di bawah ini
Kondisi
: Boleh buka Buku
Waktu
: 120 menit
1. Jika 00< a <90 0, carilah nilai kelima rasio trigonometri yang lain a. cos ? ?
3 5
b. cos ? ?
1 3
c. sec ? ? 2 d. sin ? ?
u 0
e. tan ? ?
u o
2. Jika cos a = x, nyatakan rasio trigonometri lainnya dalam x. 3. Jika tan a = x, nyatakan rasio trigonometri lainnya dalam x 4. Dengan menggunakan tabel atau kalkulator carilah a untuk : a. sin ? ? 0,5 b. cos ? ? 0,5 c. tan ? ? 1 d. cot ? ? 1 5. Panjang dua sisi yang berdampingan suatu jajaran genjang masingmasing adalah 125 mm dan 162 mm. Carilah panjang kedua diagonal jajaran genjang itu, jika sudut yang dibentuk kedua sisi tadi adalah 42020’.
38
6. Carilah nilai bagian-bagian lain dari segitiga ABC : a. a=320, ß=480, dan a= 10 b. a=600, ß=450, dan a= 3 c. a=450, a=8, dan b= 5 d. a=750, a=20, dan b= 10 7. Hitunglah b dan x, apabila ukurannya dua kali ukuran dalam gambar
8. Hitunglah D, apabila ukurannya dua kali ukuran dalam gambar
9. Lebar W sebuah heksagonal adalah 75 mm. Berapakah diameter poros asalnya ? 10. Sebuah baja silindris dengan diameter 56 mm difrais untuk membuat poros dengan potongan melintang heksagonal. Hitunglah lebar heksagonal tersebut dan berapakah luas potongan melintangnya ?
39
11. Hitunglah L (m), jika ukuran benda 3 kali ukuran pada gambar
12. Hitunglah M ( m 2), jika ukuran benda setengah kali ukuran pada gambar.
13. Hitunglah O (m 2), jika ukuran benda dua kali ukuran pada gambar.
B. KUNCI JAWABAN Kunci jawaban bisa ditanyakan pada guru, beserta langkah-langkah perhitungannya. C. KRITERIA KELULUSAN 70 – 79 : Memenuhi kriteria minimal. Dapat bekerja dengan bimbingan. 80 – 89 : Memenuhi kriteria minimal. Dapat bekerja tanpa bimbingan. 90 – 100 : Di atas kriteria minimal. Dapat bekerja tanpa bimbingan.
40
BAB IV PENUTUP
Demikianlah modul yang telah tersusun untuk membantu para peserta diklat mempelajari Melakukan Perhitungan Matematis sesuai dengan Kurikulum 2004. Sesudah lulus mempelajari modul ini diharapkan peserta diklat sudah memiliki bekal untuk mempelajari Kompetensi M7.11A. Sebaliknya apabila peserta diklat belum lulus modul ini, maka harus mengulang mempelajari modul ini sampai lulus, yaitu sekor minimal 70.
41
DAFTAR PUSTAKA EMCO, 1980, A Center Lathe, EMCO Maier+Co , Hallein Austria Holger,S., tt, Technical Mathematics for the Metal Trade, GTZ GmbH, Eschborn, Federal Republic of Germany Nasution,AH., 1997, Matematika 1 untuk Sekolah Menengah Umum Kelas 1, Balai Pustaka, Jakarta Nasution,AH., 1997, Matematika 2 untuk Sekolah Menengah Umum Kelas 2, Balai Pustaka, Jakarta Spiegel, M.R., 1968, Mathematical Handbook of Formulas and Tables, McGraw-Hill Book Company, New York Weber,J.E., 1982, Mathematical Analysis Bussiness and Economic Applications, Fourth Edition, Harper and Row Publisher Inc, New York.
42
