Sbírka příkladů z elektřiny a magnetismu

Roman Kubínek

Sbírka příkladů z elektřiny a magnetismu Tato sbírka příkladů slouží k procvičení učiva přednášeného v rámci přednášek KEF/EMG Elektřina a magnestimus. K  

U P  O

Obsah 1. Elektrostatika 1.1. Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 11

2. Stacionární elektrický proud 2.1. Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 28

3. Stacionární magnetické pole 3.1. Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 36 40

4. Nestacionární elektromagnetické pole 4.1. Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 43 48

verze z 30. října 2011

© volně šířitelný text

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci projektu Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky (CZ.1.07/2.2.00/07.0018).

1.

Elektrostatika

1.1. Řešené příklady Příklad 1.1

Jakou silou by na sebe působily dvě koule ve vzdálenosti 1 km, má-li každá náboj 1 C?

Q1

Q2 r

F21

F12

Řešení 2 F = k Qr1 Q 2 F = 9 · 109 1016 = 9 · 103 N

Q1 = Q2 = 1 C r = 103 m

Příklad 1.2 Jaká je odpudivá síla, která by působila mezi atomovým jádrem atomu zlata a jádrem atomu hélia (částice α) při vzájemné vzdálenosti r = 10−14 m? Určete zrychlení částice α. 79

2

Au

He

r

a

Řešení Q1 = −79e = −1,266 · 10−17 C Q2 = −2e = −3,204 · 10−19 C

2 F = k Qr1 Q 2 −36 = 365 N F = 9 · 109 1,266·3,204·10 10−28

r = 10−14 m mα = 6,64 · 10−27 kg

a= a=

F mα

365 6,64·10−27

= 5,5 · 1028 m · s−2

Příklad 1.3 V Bohrově modelu atomu vodíku obíhá elektron po kruhové dráze o poloměru r = 5,28 · 10−11 m kolem protonu. Vypočtěte: • počet oběhů kolem jádra za 1 s, • jaká je obvodová rychlost pohybu elektronu na této dráze.

p

+

e r

-

Fd

Řešení e = 1,602 · 10−19 C me = 9,109 · 10−31 kg

Fe = Fdostř 2 2 m vr k er2 =√

r = 5,28 · 10−11 m

v=e

k mr

√

v = 1,602 · 10−19 f= f=

9·109 9,109·5,28·10−42

v 2πr

2,19·106 2·3,14·5,28·10−11

= 6,6 · 1015 Hz

2

= 2,19 · 106 m · s−2

Příklad 1.4 Dva bodové náboje 1,5·10−7 C opačných znamének jsou vzdáleny 10 cm. Vypočtěte intenzitu elektrického pole v bodě, který je od kladného náboje vzdálen 20 cm a od záporného 15 cm.

-Q

+Q

r r1

r2 E1

E2

E Řešení Q = 1,5 · 10−7 C r = 0,1 m r1 = 0,2 m

r 2 = r12 + r22 − 2r1 r2 cos α r 2 +r 2 −r 2 cos α = 1 2r12r2 cos α = 0,04+0,0225−0,01 = 0,875 0,06

r2 = 0,15 m

E1 = k rQ2 = 9 · 109 1,5·10 0,04

−7

= 3,375 · 104 V·m−1

−7

4 −1 E2 = k rQ2 = 9 · 109 1,5·10 0,0225 = 6 · 10 V·m √ E = E12 + E22 − 2E1 E2 cos α √ E = 3,3752 · 108 + 62 · 108 − 2 · 3,375 · 6 · 108 · 0,875 = 3,457 · 104 V · m−1

Příklad 1.5 Intenzita elektrického pole mezi dvěma rovnoběžnými deskami nabitými nesouhlasnými náboji je E = 10 V·m−1 . Je-li plocha každé desky S = 10−2 m2 , určete jejich náboje (nepřihlížejte k rozptylu siločár na okrajích desek a uvažujte homogenní pole).

+Q

S E

-Q

S

Řešení E = 10 V·m−1 S = 10−2 m2

E = εσ0 Q = Sσ = SEε0 Q = 10−2 · 10 · 8,854 · 10−12 = 8,854 · 10−13 C

Příklad 1.6 Ve vertikálním homogenním elektrickém poli deskového kondenzátoru, mezi jehož deskami je napětí U = 6 000 V, se vznáší záporně nabitá kapka oleje o hmotnosti m = 10−8 g. Je-li vzdálenost desek d = 2cm, vypočtěte: • náboj kapky, • počet volných elektronů v kapce.

d

Fm

q m

Fg 3

U

Řešení U = 6 000 V m = 10−11 kg d = 0,02 m

Fe = FG QE = mg, E = Ud Q = mgd U −11 ·9,81·0,02 Q = 10 6000 = 3,33 · 10−15 C n=

Q e

=

3,33·10−15 1,602·10−19

= 2 083

Příklad 1.7 Tenký drát je stočený do tvaru kružnice o poloměru R = 5 cm a nabit rovnoměrně rozloženým nábojem Q = 6 · 10−7 C. Vypočtěte: • intenzitu elektrického pole na kolmici k rovině závitu vztyčené ve středu závitu v bodě vzdáleném 10 cm od středu závitu, • jaká je intenzita ve středu závitu, • v kterém bodě na výše uvedené kolmici má intenzita největší hodnotu.

Q

y

dl

r x

d E

R z Řešení Q = 6 · 10−7 C R = 5 · 10−3 m d = 0,1 m

− → − → − → − → r =√ i x − j y − k z r = x2 + R2 y = R cos α, z = R sin α dl = Rdα ) ( → − −→ − → − → 1 τdl i x − j y − k z dE = 4πε 3 0 (x 2 +R 2 ) 2 ) ( −→ − → − → − → 1 dE = 4πε0 2τRdα2 3 i x − j R cos α − k sin α (x +R ) 2 ) ∫ 2π (− − → − → ∫ 2π −→ → → − 1 τR i x − j R cos α − k R sin α dα E = 0 dE = 4πε 3 0 0 (x 2 +R 2 ) 2 − → − → − → 1 Q 1 τR E = 4πε0 2 2 3 i 2πx = i 4πε0 2 2 3 x (x +R ) 2 .(x +R ) 2 −7 E(x = d) = 9 · 109 26·10 2 3 0,1 = 3,86 · 105 V · m−1 (0,1 +0,05 ) 2

E(x = 0) = 0 V · m−1 dE dx dE dx

= =

Q d x 4πε0 dx ( (x 2 +R 2 ) 32 0 ⇔ x = √R2 m

)=

Q −2x 2 +R 2 4πε0 (x 2 +R 2 ) 25

Příklad 1.8 Mezi dvěma rovnoběžnými deskami vzdálenými od sebe d = 2 cm je napětí U = 1 000 V. Vypočtěte, jakou rychlostí by dopadl na kladnou desku elektron, který vystoupil ze záporné desky s nulovou počáteční rychlostí.

-q

Fm

d

4

U

Řešení d = 0,02 m U = 1 000 V

E = Ud , F = eE, a = eU a = md 1 2 d = 2 at√ , v = at √ v=

eU

F m

2d 2eU a = m 2·1,602·10−19 ·103 = 9,109·10−31

md √

v=

1,88 · 107 m · s−1

Příklad 1.9 Plocha tvaru polokoule o poloměru R je nabita kladným nábojem rozloženým s konstantní plošnou hustotou σ . Vypočtěte intenzitu a potenciál elektrického pole ve středu polokoule.

y dS[x’,y’,z’] r

E

x R

z Řešení σ R

− → − → → − − → r = i x ′ + j y′ + k z ′ ′2 ′2 ′2 2 x +y +z =R sférické souřadnice: x ′ = R cos α, y′ = R sin α cos β, z ′ = R sin α sin β dQ = σdS dS = R 2 αβ ) ( −→ → ′ → ′ − → ′ − 1 dQ − 1 σ dS − → dE = 4πε r = i x + j y + k z 3 3 0 r ) (4πε0 R −→ − → → → − 1 σ R 2 dαdβ − dE = 4πε0 R 3 i R cos α + j R sin α cos β + k R sin α sin β ) ∫ π2 ∫ 2π (− − → − → ∫ ∫ −→ → − → σ i cos α + j sin α cos β + k sin α sin β dαdβ E = dE = 4πε 0 0 0 − → − →σ E = i 2ε0 1 dQ = 1 σRdαdβ dϕ = 4πε ∫ ∫ 0 r σR4πε∫0 π2 ∫ 2π ϕ= dϕ = 4πε0 0 0 dαdβ =

π 4ε0 σ R

Příklad 1.10 Záporný bodový náboj −Q je umístěn v bodě o souřadnicích (0, −a, 0), kladný bodový náboj +Q je umístěn v bodě (0, +a, 0). Vypočtěte tok Φe vektoru elektrické intenzity plochami kruhu o poloměru R se středem v počátku souřadné soustavy a ležícím v rovině (x, 0, z).

y +Q r1 dS r

E1 E2

r2

z

x

-Q 5

E

Řešení Q

⃗ = −⃗j2E1 sin α = −⃗j2 1 Q2 a = −⃗j 1 E 4πε0 r r1 2πε0 1

a

⃗ = −⃗jrdrdα dS ⃗ · dS ⃗= dΦe = E Φe =

∫R 1 2πε0 Qa 0

1 2πε0 Qa rdr

Qa 3

(a2 +r2 ) 2

rdrdα 3

(a2 +r2 ) 2 ∫ 2π 3 0 dα =

(a2 +r2 ) 2

∫ √a2 +R 2

Qa ε0

a

dt t2

=a−

√

) √ ( R )2 =a 1− 1+ a (

a2

+

R2

Příklad 1.11 Tenký, velmi dlouhý, přímý drát je nabit nábojem rozloženým s konstantní lineární hustotou τ. Pomocí Gaussovy elektrostatické věty vypočtěte intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti r od drátu.

E t

r

Řešení Gaussova plocha (válec)

∆S = 2πr∆l Qc = τ∆l E∆S = Qε0c τ E = 2πrε 0

Příklad 1.12 Velmi dlouhá, válcová plocha o poloměru R je nabitá nábojem rovnoměrně rozloženým s konstantní plošnou hustotou σ . Pomocí Gaussovy elektrostatické věty vypočtěte intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti r od osy válcové plochy.

E r

R Řešení ∆S = 2πr∆l ∆Φ = E∆S = 2πr∆lE ∆Q = σ 2πR∆l

∆Φ = ∆Q ε0 2πr∆lE = E = σε0Rr

2πR∆lσ ε0

Příklad 1.13 Jak velký by musel být poloměr osamocené vodivé koule, která by se elektrickým nábojem Q = 5 · 10−6 C nabila na potenciál ϕ = 104 V?

f

Q r Řešení ϕ = 104 V Q = 5 · 10−5 C

1 Q ϕ = 4πε 0 r 1 Q r = 4πε 0 ϕ

−6

r = 9 · 109 5·10 = 4,5 m 104

6

Příklad 1.14 Z vodivé mýdlové bubliny poloměru R = 2 cm a nabité na potenciál ϕ1 =1 000 V vznikne po prasknutí kapka o poloměru R2 = 0,05 cm. Jaký je potenciál kapky?

C1

Q

Q

R1

C2 R2

Řešení ϕ1 = k rQ1 , ϕ2 = k rQ2 ϕ2 = ϕ1 RR21 2·102 4 ϕ2 = 103 5·10 −4 = 4 · 10 V

R1 = 0,02 m R2 = 5 · 10−4 m ϕ1 = 103 V

Příklad 1.15 Vzduchový kondenzátor se skládá ze dvou rovnoběžných blízkých desek a má kapacitu C = 1 000 pF. Náboj každé desky je Q = 1 µC. Vypočtěte: • jaké je napětí mezi deskami, • zůstává-li náboj stejný, jaké bude mezi deskami napětí, jestliže jejich vzdálenost zdvojnásobíme, • jakou práci musíme vykonat, aby bylo dosaženo zdvojnásobení vzdálenosti desek.

+Q +Q

C2

C1 U1

d

2d

U2

-Q -Q Řešení C1 = 10−9 F Q = 10−6 C

C= U=

Q U Q C1

=

10−6 10−9

= 103 V

S C1 = ε0 Sd , C2 = ε0 2d = C21 Q Q U2 = C2 = 2 C1 = 2 · 103 V 2

W = E2 − E1 , E = 12 QC W = 12 Q 2 ( C12 − C11 ) = 21 Q 2 ( C21 − W = 21 10−12 109 = 5 · 10−3 J

1 C1 )

= 12 Q 2 C11

Příklad 1.16 Desky kondenzátoru o ploše 20 cm2 jsou ve vzdálenosti 1 mm. Mezi deskami kondenzátoru je napětí 400 V. Jak velká přitažlivá síla působí mezi deskami?

S F12

d

F21

7

U

Řešení S = 2 · 10−3 m2 d = 10−3 m U = 400 V

2

w = 12 ED = 12 ε0 E 2 = 12 ε0 Ud2 2 dW = wdV = wSdx = 12 ε0 Ud2 Sdx 2 1 U F = dW dx = 2 ε0 d2 S 4 1 F = 2 8,85 · 10−12 16·10 2 · 10−3 = 1,42 · 10−3 N 10−6

Příklad 1.17 Kondenzátor o kapacitě C1 = 20 µF byl nabit na napětí 1 000 V a pak byl připojen paralelně k nenabitému kondenzátoru o kapacitě C2 = 5 µF. Vypočtěte: • celkový náboj na soustavě kondenzátorů, • konečné napětí na každém kondenzátoru, • úbytek energie po připojení nenabitého kondenzátoru.

C1

C2

U1

U2

C U

U

Řešení C1 = 2 · 10−5 F

Q = C1 U = 2 · 10−5 103 = 2 · 10−2 C

C2 = 5 · 10−6 F U = 103 V

C = C1 + C2 = 2,5 · 10−5 F 2·10−2 U1 = U2 = Q C = 2,5·10−5 = 800 V E = 12 CU12 = 12 2,5 · 10−5 6,4 · 105 = 8 J E1 = 21 C1 U 2 = 12 2 · 10−5 106 = 10 J ∆E = E1 − E2 = 10 − 8 = 2 J

Příklad 1.18 Jak velká je výsledná kapacita soustavy kondenzátorů C1 = 1 200 pF, C2 = 600 pF, C3 = 300 pF, C4 = 200 pF, C5 = 500 pF zapojených podle obrázku.

C2

C1 C3

C5

C4 Řešení C1 C2 C3 C4

= 1,2 · 10−9 F = 6 · 10−10 F = 3 · 10−10 F = 2 · 10−10 F

C ′ = C3 + C4 = 5 · 10−10 F 1,2·6·10−19 C2 −10 C ′′ = CC11+C = 1,2·10 F −9 +6·10−10 = 4 · 10 2 ′ −20 C C5 5·5·10 ′′′ −10 C = C ′ +C5 = (5+5)10−10 = 2,5 · 10 F C = C ′′ + C ′′′ = (4 + 2,5)10−10 = 6,5 · 10−10 F= 650 pF

C5 = 5 · 10−10 F

8

Příklad 1.19 Vypočtěte hustotu polarizačních nábojů na povrchových rovinách slídové destičky (ε r = 6) o tloušťce 2 mm, která je izolátorem v rovinném kondenzátoru nabitém na napětí 400 V.

-

-

-

d

U +

+

+

Řešení U = 400 V d = 2 · 10−3 m εr = 6

400 5 −1 E = Ud = 2·10 −3 = 2 · 10 V·m D = ε0 E + P, D = ε0 εr E P = (εr − 1)ε0 E = σp σp = 5 · 8,85 · 10−12 2 · 105 = 8,85 · 10−6 C · m−2

Příklad 1.20 Dvě rovnoběžné vodivé desky, každá o ploše 2·10−2 m2 jsou ponořeny do petroleje (ε r = 2) ve vzájemné vzdálenosti 4 mm. Určete sílu, kterou na sebe působí, je-li mezi nimi napětí U = 200 V.

F12

d

U

F21 Řešení U = 200 V S = 2 · 10−2 m2 d = 4 · 10−3 m εr = 2 Příklad 1.21 Vypočtěte:

2

2·10 4 −1 E = Ud = 4·10 −3 = 5 · 10 V · m 1 2 w = 2 εE , dV = Sdx, dW = wdV 1 U2 F = dW dx = 2 ε0 εr d2 S 4·104 −2 = 4,42 · 10−4 N F = 12 8,85 · 10−12 2 16·10 −6 2 · 10

Bodový náboj q se nachází ve vzdálenosti a od nekonečné vodivé desky (uzemněné).

• plošnou hustotu náboje indukovaného na vodivé rovině, • celkovou velikost indukovaného náboje na vodivé rovině, • jakou práci vykonáme, vzdálíme-li náboj q do nekonečna.

Řešení q a

1 E = − 2πε 0

+q a

qa 3

(a2 +r2 ) 2 qa 1 σ = ε0 E = − 2π 3 (a2 +r2 ) 2 qa 1 dQ = σ dS = − 2π 3 rdrdα 2 (a +r2 ) ∫2 ∫ ∫∞ ∫ ∞ rdr ∞ 2π 1 rdr qa 0 Q = − 2π 3 3 = −qa h 0 dα = −ga 0 2 2 2 2 2 2 a +r ) (a +r ) ∫ a 1 q2 ( 1 q2 Wp = ∞ 4πε dh = − 2 4πε0 4h 0 4h

9

dt t2

= −q

Příklad 1.22 Dvě rovnoběžné desky jsou nabity náboji opačných znamének. Desky jsou odděleny dielektrikem o relativní permitivitě ε r = 5. Intenzita elektrického pole v dielektriku je 2·105 V·m−1 . Vypočtěte: • elektrickou indukci D v dielektriku, • plošnou hustotu volného náboje na deskách, • velikost vektoru polarizace P dielektrika, • plošnou hustotu vázaného polarizačního náboje na povrchu dielektrika, • složku intenzity elektrického pole E0 od volného náboje, • složku intenzity elektrického pole Ep od vázaného náboje.

Ei Řešení Ei = 2 · 105 V·m−1

D = ε0 εr E = 8,85 · 10−12 5 · 2 · 105 = 8,85 · 10−6 C · m2

εr = 5

E=

σ ε0 εr , σ

= ε0 εr E = D = 8,85 · 10−6 C · m2

D = ε0 E + P, P = 8,85 · 10−6 − 8,85 · 10−12 2 · 105 = 7,08 · 10−6 C · m−2 σp = P = 7,08 · 10−6 C · m−2 E0 = εr E = 5 · 2 · 105 = 106 V · m−1 Ep =

σp ε0

=

P ε0

=

7,08·10−6 8,85·10−12

= 8 · 105 V · m−1

Příklad 1.23 Rovinný deskový kondenzátor je zpola zaplněn dielektrikem o relativní permitivitě εr podle obrázku. Určete kapacity v obou případech, je-li kapacita nezaplněného kondenzátoru rovna C0 .

Řešení C0 εr

C0 = C1 =

Q Q U0 = E 0 d Q Q U = E 0 d + E0 2

C2 =

C0 2

d εr 2

=

Q E0 d

1 1 1 2 + 2εr

r = C0 ε2ε r +1

r + εr C20 = C0 1+ε 2

Příklad 1.24 Mezera mezi deskami rovinného kondenzátoru má šířku d a je vyplněna dvěma dielektriky. První má šířku d1 a relativní permitivitu εr1 , druhé εr2 . Plocha každé desky je S. Určete kapacitu kondenzátoru.

C1

S C

S d

e r1

e r1

d1

C2

S

e r2

e r2 10

d1

d2

Řešení Q U0

=

Q E0 d

S

C0 =

d, d1

U = E1 d1 + E2 (d − d1 ) =

εr1 , εr2

C=

Q U

=

Qd E0 d

d1 εr1

1 + ε1 (d−d1 )

E0 εr1 d1

=

E0 εr2 (d − d1 ) r1 εr2 C0 εr1 d1dε +εr2 (d−d1 )

+

( = E0

d1 εr1

+

d−d1 εr2

)

r2

Příklad 1.25 Válcový kondenzátor o poloměrech elektrod r1 = 1 mm, r2 = 5 mm se vzduchovým dielektrikem je nabitý na napětí U = 500 V. Určete: • náboj připadající na délkovou jednotku kondenzátoru, • plošnou hustotu náboje na každém z válců, • jaké budou tyto hodnoty, bude-li prostor mezi válci vyplněn dielektrikem o relativní permitivitě εr = 5 a kondenzátor bude opět nabit na napětí U = 500 V.

U r2

r1

er Řešení 2πε0 r ln r2

U = 500 V

C1 =

r1 = 10−3 m

Q1 = C1 U =

r2 = 5 · 10−3 m l = 1m

S1 = 2πr1 l, S2 = 2πr2 l 1,73·10−8 −6 C · m−2 σ1 = QS11 = 6,28·10 −3 = 2,75 · 10

εr1 = 1

σ2 =

εr2 = 5

C2 = εr2 C1 Q1′ = C2 U = εr C1 U = εr Q1 = 5Q1

1

σ1′ = σ2′ =

Q1 S2

Q1′ S1 q′1 S2

=

2π8,85·10−12 5 ln 5

1,73·10−8 3,14·10−2

· 102 = 1,73 · 10−8 C

= 5,5 · 10−7 C · m−2

= 5σ1 = 5σ2

1.2. Neřešené příklady Coulombův zákon Příklad 1.26 Dvě kuličky mají náboje Q1 = 2 · 10−5 C, Q2 = −4 · 10−5 C. Jak velkou silou se přitahují, jsou-li ve vakuu ve vzdálenosti 4cm od sebe? Příklad 1.27 Jak velký je elektrický náboj na každé z kuliček, které se po dotyku odpuzují ve vakuu ze vzdálenosti r = 6 cm silou F = 0, 1 N? Příklad 1.28 Jak velké náboje Q je třeba umístit na dvě stejné kuličky o hmotnostech m = 10 g, aby gravitační síly, kterými se kuličky navzájem přitahují, byly v kompenzovány elektrickými silami? Příklad 1.29 Na dvou stejných kapkách vody je po jednom volném elektronu, přičemž síla elektrického odpuzování je stejná jako gravitační síla, kterou se přitahují. Jaké jsou poloměry kapek? Příklad 1.30 Dvě malé kuličky, každá o hmotnosti m = 3 · 10−5 kg jsou zavěšeny na vláknech délky l = 20 cm ve společném bodě. Mají-li kuličky stejné souhlasné náboje, je jejich vzdálenost r = 5 cm. Určete náboj kuličky. 11

Příklad 1.31 Dvě malé vodivé kuličky jsou zavěšeny na dlouhých nevodivých nitích na jednom háčku. Kuličky jsou nabity stejnými náboji a jsou ve vzdálenosti r = 5 cm od sebe. Co se stane, když jedna z kuliček ztratí náboj? Příklad 1.32 Dvě kuličky zanedbatelného průřezu jsou od sebe vzdáleny 1 m. Jedna z nich je nabita nábojem 1 · 10−3 C, druhá nábojem −3 · 10−3 C. Určete: • jak velkou silou se budou kuličky přitahovat, • jak velkou silou na sebe budou kuličky působit, jestliže se před umístěním do předepsané vzdálenosti dotkly. Příklad 1.33 Ve vrcholech čtverce o straně a jsou stejné náboje e. Jaký náboj Q opačného znaménka musíme umístit doprostřed čtverce, aby síly působící na každý náboj byly rovny nule? Je tato rovnováha stabilní? Příklad 1.34 V jistém dielektriku působí na sebe dva bodové náboje Q1 a Q2 vzdálené od sebe r vzájemnou silou stejně velkou, jako na sebe působí ve vzduchu, změníme-li jejich vzdálenost o ∆r. Určete relativní permitivitu dielektrika, znáte-li relativní permitivitu vzduchu. Příklad 1.35 Dvě stejně velké kuličky s náboji Q1 , Q2 , zavěšené na společném závěsu, se přitahují ve vzájemné vzdálenosti r1 silou F1 . Dotknou-li se, budou se odpuzovat ve vzdálenosti r2 silou F2 . Vypočítejte velikost nábojů kuliček. Příklad 1.36 Na tenkých dlouhých nevodivých vláknech jsou na témže závěsu zavěšeny dvě stejné kuličky, nabité stejnými elektrickými náboji. Vzdálenost středů kuliček je r. Jedné kuličce odejmeme náboj. Jaká bude potom vzdálenost mezi kuličkami? Příklad 1.37 Dvě stejně velké kovové kuličky jsou elektricky nabité náboji Q1 = 20 · 10−6 C a Q2 = −16 · 10−6 C. Jaký bude elektrický náboj na kuličkách po jejich dotyku a jaká síla bude mezi nimi působit, bude-li jejich vzdálenost po dotyku 6 cm? Příklad 1.38 Dva stejně velké bodové náboje ve vakuu ve vzdálenosti 0, 2 cm působí na sebe určitou silou F0 . Do jaké vzdálenosti by bylo potřeba umístit tyto náboje v oleji o relativní permitivitě εr = 5, aby na sebe působily stejnou silou? Příklad 1.39 Tři kuličky nabité stejným nábojem Q jsou ve vakuu rozmístěny ve vrcholech pravoúhlého trojúhelníku s přeponou AC. Vzdálenost kuliček A a B je a = √23 cm a kuliček B a C b = 1 cm. Víte-li, že kulička C působí na kuličku B silou FC B = 4 · 10−6 N, vypočítejte: • náboj Q na kuličce, • velikost síly FAB , kterou působí kulička A na B • výslednou sílu FB působící na kuličku B Příklad 1.40 Dva stejné bodové náboje 2 · 10−6 C působí na sebe ve vzduchu silou 4 N. Ponoříme-li je do oleje, síla působící mezi nimi bude 1 N. Jaká je vzdálenost nábojů a jaká je relativní permitivita oleje? Příklad 1.41 Dvě uhlíkové kuličky o hmotnosti m = 1 g jsou nabity záporným nábojem Q a jsou pověšeny v jednom bodě na nitích délky l = 0, 1 m. Silové působení má za následek, že nitě budou svírat úhel α = 60◦ . Určete • jakou elektrickou silou působí na sebe kuličky, • jaký náboj je na kuličkách, • jakou gravitační silou působí na sebe kuličky.

12

Příklad 1.42 Ve vrcholech A, B, C rovnostranného trojúhelníka se stranou a jsou umístěny stejné náboje Q = 1,73 · 10−8 C. Jaký náboj Q ′ je třeba umístit do středu trojúhelníka, aby výsledná síla působící na náboje ve vrcholech trojúhelníka byla nulová? Příklad 1.43 Jak velké náboje Q je třeba dát na dvě stejné kuličky o hmotnosti m = 10 g, aby elektrostatické síly, kterými budou navzájem na sebe působit, kompenzovaly gravitační síly, kterými na sebe kuličky působí. Příklad 1.44 silou 10 N?

V jaké vzdálenosti se ve vakuu přitahují dva bodové náboje Q1 = 2·10−5 C a Q2 = −5·10−4 C

Příklad 1.45

Dvě stejně velké kuličky jsou nabité náboji Q1 = 3,2 · 10−6 C a Q2 = −5,4 · 10−6 C. Určete:

• jakou silou se přitahují ze vzdálenosti 6 cm, • jakou silou se budou odpuzovat po vzájemném dotyku ve vzdálenosti 8 cm. Intenzita elektrostatického pole Příklad 1.46 Určete velikost intenzity elektrického pole v bodě, který leží uprostřed mezi dvěma náboji Q1 = 5 · 10−5 C, Q2 = 7 · 10−5 C, které jsou od sebe vzdáleny d = 0,2 m. Příklad 1.47 Ve dvou vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně r = 0, 5m jsou umístěny náboje Q1 = 25 · 10−9 C a Q2 = −25 · 10−9 C. Určete velikost intenzity elektrostatického pole ve třetím vrcholu. Příklad 1.48 Určete elektrickou intenzitu pole v bodě, který je ve vzdálenosti r1 = 0,4 m od náboje Q1 = −4 · 10−7 C a r2 = 0,3 m od náboje Q2 = 5 · 10−7 C, je-li vzájemná vzdálenost nábojů r = 0,5 m. Příklad 1.49 Dva bodové opačné náboje 2 · 10−7 C jsou od sebe vzdáleny r = 0,1 m. Jaká je intenzita elektrického pole v bodě, který je ve vzdálenosti r1 = 0,2 m od prvního náboje a r2 = 0,15 m od druhého náboje? Příklad 1.50

Vypočtěte intenzitu elektrického pole v bodě na ose elektrického dipólu.

Příklad 1.51

Vypočtěte intenzitu elektrostatického pole v bodě na přímce kolmé k ose dipólu.

Příklad 1.52 Elektron vlétne počáteční rychlostí v0 = 107 m·s−1 do homogenního pole mezi dvěma rovnoběžnými deskami. Elektron vstupuje do pole uprostřed mezi deskami. Určete elektrickou intenzitu mezi deskami za předpokladu, že elektron vystupuje z pole na okraji spodní desky. Délka desek je l = 2 cm, vzdálenost desek je d = 1 cm. Příklad 1.53 Vypočtěte intenzitu elektrického pole vybuzeného nábojem rozděleným rovnoměrně na nekonečně dlouhém přímém vodiči. Lineární hustota náboje je τ. Příklad 1.54 Vypočtěte intenzitu elektrického pole v bodě na ose kruhového prstence nabitého rovnoměrně s lineární hustotou náboje τ. Příklad 1.55

Prstenec o poloměru 5 cm je rovnoměrně nabit nábojem Q = 5 · 10−8 C. Vypočtěte:

• elektrickou intenzitu E v bodě na ose prstence ve vzdálenosti 10 cm od středu, • ve kterém bodě je E maximální a jakou má hodnotu. Příklad 1.56 Vypočtěte intenzitu elektrického pole v okolí nekonečné roviny nabité s plošnou hustotou σ.

13

Příklad 1.57 Kulička o hmotnosti m = 0,1 g má náboj Q = 6 · 10−9 C a je zavěšena na vláknu, jehož druhý konec je připevněn k velké svislé desce nabité s hustotou náboje σ = 25 · 10−7 C · m−2 . Jaký úhel svírá vlákno se svislým směrem? Příklad 1.58 Kruhová destička o poloměru a = 8 · 10−2 m je rovnoměrně nabitá s plošnou hustotou σ = 2 · 10−5 C · m−2 . Určete: • elektrickou intenzitu v bodě na ose ve vzdálenosti b = 6 · 10−2 m od středu desky, • dokažte, že odvozený vztah přejde ve vzorec pro intenzitu elektrického pole nekonečné roviny pro b → 0 a ve vzorec pro intenzitu bodového náboje pro b → ∞, b ≪ a. Příklad 1.59 Dva bodové náboje Q a −Q jsou umístěné ve vzájemné vzdálenosti 2a. Vypočtěte tok intenzity elektrického pole kruhovou plochou o poloměru R, jejíž střed leží na poloviční vzdálenosti nábojů a plocha je kolmá na spojnici nábojů. Příklad 1.60

Pomocí Gaussovy věty elektrostatiky odvoďte:

• elektrickou intenzitu v okolí nekonečně dlouhého nabitého vodiče, • elektrickou intenzitu v okolí nekonečné nabité roviny. Příklad 1.61 V bodech A, B jsou po řadě umístěny 2 bodové náboje −Q1 , Q2 vzdáleny od sebe o délku r. V bodě C, vzdáleném od A o délku r1 a od bodu B o délku r2 , zkoumáme intenzitu elektrického pole v případě, že: • body A, B, C tvoří pravoúhlý trojúhelník s přeponou AB, • body A, B, C tvoří kosoúhlý trojúhelník, • výslednou práci, kterou je nutno vykonat k přenesení kladného bodového náboje Q3 ze středu strany AB do bodu C. Příklad 1.62 Vypočtěte intenzitu elektrického pole v okolí kovové kulové plochy nabité rovnoměrně rozděleným nábojem. Příklad 1.63 Určete intenzitu elektrického pole a velikost náboje Q1 , který ve vakuu elektrické pole vytvořil, víte-li, že ve vzdálenosti 10 cm od náboje Q1 působí síla 10−2 N na náboj velikosti 10−8 C. Příklad 1.64 Dva bodové náboje 2 · 10−8 C a 8 · 10−8 C jsou ve vakuu uloženy ve vzdálenosti 21 cm. Vypočtete, ve kterém místě na jejich spojnici bude intenzita elektrického pole nulová? Příklad 1.65

V homogenním elektrickém poli E = 11,4 V · m−1 se nachází elektron. Vypočítejte:

• zrychlení elektronu, je-li jeho počáteční rychlost nulová, • jeho kinetickou energii v čase t = 10−5 s, • napětí v místech, kterými projde za t = 10−5 s. Příklad 1.66 Mezi dvěma svislými rovinnými vodivými deskami, jejichž vzdálenost je 8 mm padá rovnoměrně kapka o hmotnosti m = 9 · 10−14 kg, nabitá elektrickým nábojem 1, 6 · 10−17 C. Pokud není na deskách U, padá kapka svisle dolů. Po připojení U = 450 V padá pod úhlem α od svislého směru. Určete velikost úhlu za předpokladu, že rychlost kapky je úměrná působící síle. Příklad 1.67 Jak velké zrychlení získá proton, jestliže se pohybuje v homogenním elektrickém poli s intenzitou E = 36 400 V · m−1 a jakou dráhu urazí za čas t = 10−8 s, byla-li jeho počáteční rychlost nulová?

14

Příklad 1.68 Jak velkou práci je třeba vykonat, aby se v homogenním elektrickém poli intenzity E = 5 · 105 V · m−1 posunul náboj Q = 1 C o vzdálenost l = 0,1 m je směru odchýleném o úhel α = 60◦ od směru E? Příklad 1.69 Tenký kovový kroužek o poloměru R byl ve vakuu nabit kladným, rovnoměrně rozloženým nábojem Q. Rotační osa kroužku nechť je osou x vztažné soustavy s počátkem umístěným ve středu kroužku. Vypočítejte: • elektrickou intenzitu v libovolném bodě osy x, • ve kterých bodech osy x bude E největší a určete její velikost, • jak velkou počáteční rychlost v0 musíme udělit kladně nabité částici o náboji q, hmotnosti m, která se nachází na ose x ve značné vzdálenosti od středu kroužku, aby dosáhla středu kroužku; co nastane, bude-li počáteční rychlost nepatrně větší nebo menší než vypočtená hodnota. Potenciál elektrostatického pole Příklad 1.70 Dva náboje Q1 = 8 · 10−6 C a Q2 = 4 · 10−6 C jsou ve vzájemné vzdálenosti d = 24 cm od sebe. Ve kterém bodě na jejich spojnici jsou potenciály buzené oběma náboji stejné? Příklad 1.71 Každá ze dvou vodivých koulí o poloměru r1 = 1 cm a r2 = 2 cm má náboj Q = 1,5 · 10−8 C. Jaký je výsledný náboj a potenciál na každé z koulí, spojíme-li je vodivým drátem? Příklad 1.72 Koule o poloměru r1 = 1 cm má náboj Q = 10−8 C a je připojena vodivým drátem ke kouli o poloměru r2 = 9 cm, která byla původně bez náboje. Vypočtěte náboj obou koulí po vyrovnání potenciálů a potenciál. Příklad 1.73 Jakou kapacitu má těleso, které se nábojem Q = 6 · 10−3 C nabije na potenciál ϕ = 3 kV? Jaký by musel být poloměr koule, aby měla stejnou kapacitu? Příklad 1.74 Desky kondenzátoru mají plošný obsah 2 m2 a jsou od sebe vzdáleny 5 mm. Desky jsou ve vakuu. Na kondenzátoru je napětí 104 V. Vypočtěte kapacitu kondenzátoru, náboj každé desky, plošnou hustotu náboje a intenzitu mezi deskami. Příklad 1.75 Kondenzátor o kapacitě C = 1 µF je nabit na napětí U = 200 V. Vypočtěte energii elektrického pole kondenzátoru. Příklad 1.76 Kondenzátor se skládá ze dvou rovnoběžných desek a má kapacitu C1 = 1 000 pF. Náboj každé desky je 1 µC. Určete: • napětí mezi deskami, • napětí, jestliže při stálém náboji vzdálenost desek zdvojnásobíme, • práci, která je zapotřebí ke zdvojnásobení vzdálenosti desek. Příklad 1.77 Desky rovinného kondenzátoru s plochou S = 500 cm2 vzdálené od sebe d1 = 1 cm jsou nabité na potenciálový rozdíl U1 = 5 000 V. Jakou práci musíme vykonat, chceme-li desky oddálit na vzdálenost d2 = 4 cm? Příklad 1.78 Tři kondenzátory mají kapacity C1 = 2 µF, C2 = 4 µF, C3 = 4 µF. Jaká je výsledná kapacita, spojíme-li je: • vedle sebe, • za sebou. Příklad 1.79 Tři kondenzátory o kapacitách C1 = 2 µF, C2 = 4µF, C3 = 6 µF jsou zapojeny do série a připojeny na baterii o napětí 220 V. Vypočtěte náboj a napětí na každém kondenzátoru. 15

Příklad 1.80 Kondenzátory o kapacitách C1 = 2 µF, C2 = 3 µF, C3 = 5 µF, C4 = 10 µF jsou zapojeny podle obrázku. Určete výslednou kapacitu soustavy.

C1

C3

C2

C4

Příklad 1.81 Tři kondenzátory o kapacitách C1 = 2 µF, C2 = 4 µF jsou zapojeny podle obrázku. Určete výslednou kapacitu soustavy.

C1

C1

C2 C2

C2 C2

Příklad 1.82 Kondenzátory o kapacitách C1 = 6 µF, C2 = 3 µF, C3 = 2 µF jsou zapojeny podle obrázku. Určete kapacitu soustavy.

C1 C1 C1 C2

C2

C3

Příklad 1.83 Kondenzátory o kapacitách C1 = 12 µF, C2 = 6 µF, C3 = 3 µF, C4 = 2 µF, C5 = 5µF jsou zapojeny podle obrázku. Určete kapacitu soustavy.

C1 C2 C3 C4

C5

Příklad 1.84 Elektron se pohyboval v elektrickém poli elektronky tak, že v určitém bodě P1 , ve kterém měl elektrický potenciál hodnotu 5 V měla jeho rychlost velikost 4 · 105 m · s−1 . V bodě P2 své dráhy měl elektron rychlost 9 · 105 m · s−1 . Určete: • přírůstek kinetické energie na úseku dráhy P1 P2 , • práci elektrické síly působící na elektron v tomto úseku, • elektrické napětí mezi body P1 a P2 , • potenciál ϕ2 v bodě P2 . Příklad 1.85 Jak velký náboj jsme přenesli z jednoho izolovaného vodiče na druhý, je-li při přenesení vykonaná práce 8 · 10−5 J? Potenciály obou vodičů vzhledem k zemi jsou −18 V a 62 V.

16

Příklad 1.86 Dva bodové náboje Q1 , Q2 opačné polarity jsou umístěny ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti d. Pro jejich velikost platí |Q1 | = k|Q2 |, k > 1. Zjistěte, jakou křivku tvoří body nulového potenciálu elektrického pole, tvořeného náboji v libovolné rovině obsahující uvedené náboje. Příklad 1.87 Vypočtěte potenciál, na který lze nabít vodivou kulovou plochu o poloměru r = 0,1 m, aby nebyla překročena dielektrická pevnost vzduchu 3 · 106 V · m−1 . Příklad 1.88 Vypočtete, jak velký náboj je dodán kouli Van de Graaffova generátoru. Při každém výboji je napětí mezi koulemi U, jejich vzdálenost l a poloměr r. Jaký náboj je kouli dodáván za sekundu, je-li frekvence výbojů 0,1 s−1 ? Příklad 1.89

Vypočtete potenciál elektrického pole dipólu o délce l v bodě P(x, y) v rovině xy.

Příklad 1.90 Vypočtěte potenciál elektrického pole v okolí velmi dlouhého tenkého drátu, nabitého rovnoměrně rozděleným nábojem o délkové hustotě τ. Příklad 1.91 Vypočtěte potenciál elektrického pole na ose kovového prstence s rovnoměrně rozděleným nábojem. Příklad 1.92 Vypočtěte potenciál elektrického pole v okolí rozlehlé kovové roviny nabité rovnoměrně rozděleným nábojem. Příklad 1.93 Vypočtěte potenciál elektrického pole v okolí kovové vodivé kulové plochy nabité rovnoměrně rozděleným nábojem. Příklad 1.94 Vypočtěte potenciál v mezeře mezi dvěma rovnoosými dutými válci o poloměrech R1 , R2 a potenciálech ϕ1 , ϕ2 . Příklad 1.95 Elektrický dipól je umístěn v homogenním elektrickém poli intenzity E tak, že osa dipólu je kolmá ke směru elektrických siločár. Vypočtěte velikost otáčivého momentu M, kterým působí pole na dipól, a práci, kterou vykoná pole při natočení dipólu do směru čar pole. (p = 1,8 · 10−28 C · m, E = 5 · 104 V · m−1 ) Příklad 1.96 Mezi dvěma bodovými náboji Q1 , Q2 je vzdálenost d. Najděte ekvipotenciální hladinu nulového potenciálu elektrického pole těchto nábojů ve vakuu. (Q1 = −3 · 10−6 C, Q2 = 2 · 10−6 C, d = 5 · 10−2 m) Příklad 1.97 Dvě rovnoběžné kolmé desky vzdálené od sebe d tvoří homogenní elektrické pole, v němž se pohybuje nabitá kapka vody o hmotnosti m. Určete náboj kapky, jestliže při potencionálním rozdílu U padá kapka pod úhlem α k vertikálnímu směru. (m = 2 · 10−9 kg, U = 800 V, α = 7◦ 15′ , d = 6 · 10−6 m) Příklad 1.98 Dva bodové náboje Q a −Q jsou umístěné ve vzájemné vzdálenosti 2d. Vypočtěte tok intenzity elektrického pole procházející kruhovou plochou o poloměru R kolmou na spojnici nábojů a procházející středem této spojnice. Příklad 1.99 V rovině xy jsou lokalizovány kladné náboje Q v bodě A(0,d), B(0,−d) a záporný náboj −2Q v počátku souřadné soustavy. Vypočtěte potenciál v bodě P(x, y, z). Příklad 1.100 Jakou práci je třeba vykonat při přenesení kladného náboje Q = 3 · 10−8 C z bodu A, v němž je potenciál elektrického pole ϕA = 300 V do bodu B ϕB = 1 200 V. Příklad 1.101 Jak velký poloměr musí mít koule, která by se nábojem Q = 5 · 10−6 C nabila na potenciál ϕ = 105 V? Příklad 1.102 Jak velký je potenciál ve vzdálenosti 10 cm od povrchu koule o poloměru 5 cm, je-li koule nabita nábojem 2 · 10−7 C? 17

Kapacita, spojování kondenzátorů Příklad 1.103 Čtyři stejné kondenzátory tvoří soustavu podle obrázku. Vypočtěte výslednou kapacitu v obou případech a podmínku, za níž lze dosáhnout při nezměněném zapojení rovnosti kapacit soustav, užijeme-li 4 různé kondenzátory.

C1 C2 C3

C1 C2

C4

C3 C4

Příklad 1.104 Z kulové povrchové vrstvičky Země o objemu 1 cm3 odebereme všechny elektrony. Určete změnu elektrického potenciálu Země a sílu, která by pak působila na jednotkový náboj blízko povrchu Země. Předpokládejte, že povrch Země je zcela tvořen vodou. Příklad 1.105 Na jaký potenciál by se nabila Země nábojem 1 C, jestliže ji pokládáme za kouli o poloměru 6 378 km? Příklad 1.106 Mezi deskami rovinného kondenzátoru je homogenní elektrické pole intenzity E = 2 × 106 V · m−1 . Plošný obsah desky kondenzátoru je 7,2 dm2 a tloušťka dielektrika je 2 mm. Dielektrikum má εr = 2. Určete: • kapacitu deskového kondenzátoru, • plošnou hustotu náboje na deskách, • velikost náboje na každé z desek, • napětí mezi deskami kondenzátoru. Příklad 1.107 Jaká musí být plocha polepů rovinného kondenzátoru s izolační skleněnou vrstvou tloušťky 1 mm, aby kapacita kondenzátoru byla 150 pF? (εr = 7) Příklad 1.108 Dvě rovnoběžné desky o ploše 1 m2 mají stejné náboje 30 µF opačného znaménka. Prostor mezi nimi je vyplněn dielektrikem o εr = 1,7. Vypočtěte: • intenzitu elektrického pole v dielektriku, • plošnou hustotu polarizačního náboje v dielektriku, • složku intenzity buzenou volným nábojem, • složku intenzity buzenou polarizačním nábojem. Příklad 1.109 Kondenzátor, jehož dielektrikum má relativní permitivitu εr = 5, má kapacitu C1 = 500 pF a je nabitý na napětí U1 = 5 000 V. Jak se změní napětí na kondenzátoru, odstraníme-li dielektrikum? Jaká práce je třeba k odstranění dielektrika? Příklad 1.110 Dielektrikum v deskovém kondenzátoru má εr = 3. Intenzita elektrického pole v dielektriku E = 106 V · m−1 . Vypočtěte: • elektrickou indukci D, • plošnou hustotu volného náboje σ0 , • velikost vektoru polarizace P, • plošnou hustotu vázaného náboje σi , • složku intenzity volného náboje E0 , • složku vázaného náboje Ei . 18

Příklad 1.111 Vypočtěte kapacitu deskového kondenzátoru s plochou desek S = 200 cm2 , je-li mezi deskami sklo o tloušťce d1 = 1 mm z obou stran pokryté vrstvou parafinu o tloušťce d2 = 0,2 mm. Pro sklo εr = 7, parafín εr = 2. Příklad 1.112 Rovinný deskový kondenzátor o ploše desek S a jejich vzdálenosti d je připojen na napětí U. Do kondenzátoru vložíme dvě desky z dielektrik εr1 , εr2 tloušťky d1 , d2 a plochy S. Vypočtěte: • intenzitu elektrických polí a napětí v obou dielektrikách, • kapacitu a hustotu náboje na deskách. Příklad 1.113 Dielektrikum mezi deskami kondenzátoru se skládá ze dvou vrstev. První vrstvu tvoří vzduch tloušťky 0,4 mm, druhou plexisklo o tloušťce 2 mm, jehož εr = 3,4. Určete kapacitu kondenzátoru, je-li plošný obsah jedné desky 2 dm2 . Příklad 1.114 Dva kondenzátory s kapacitami 1 µF a 10 µF jsou zapojeny do série. Na svorky kondenzátorové baterie přiložíme napětí 200 V. Určete: • výslednou kapacitu, • napětí U1 , U2 na kondenzátorech C1 , C2 , • energii Ee každého z kondenzátorů. Příklad 1.115 Vzduchový kondenzátor s rovinnými deskami má kapacitu 10 pF a vzdálenost desek 1 cm. Do středu mezi desky vložíme plech tloušťky 1 mm. Jaká bude nová kapacita kondenzátoru? Příklad 1.116 Dva kondenzátory o stejné kapacitě zapojíme jednou do série, podruhé paralelně. Rozdíl v kapacitách obou kombinací je 3 µF. Určete kapacitu těchto kondenzátorů. Příklad 1.117 Jaké napětí musí být připojené na kondenzátor s kapacitou 0,2 µF, aby jeho elektrické pole mělo energii 2 J? Jaký bude náboj na deskách kondenzátoru? Příklad 1.118 Určete výslednou kapacitu zapojení podle obrázku. (C = 10 µF, C1 = 6 µF, C2 = 2 µF, C3 = 1 µF, C4 = 3 µF)

C

C4

C

C

C C1 C2

C3

C C

Příklad 1.119 Kondenzátorová baterie má dvě paralelní větve. V každé je jeden kondenzátor s kapacitou 20 pF a jeden kondenzátor s proměnnou kapacitou od 20 pF do 500 pF. V jakém rozsahu lze měnit kapacitu baterie? Příklad 1.120 Záporně nabitá kapka oleje hustoty ρ = 0,955 · 103 kg · m−3 a poloměru r = 10−3 mm se vznáší v homogenním elektrickém poli deskového kondenzátoru, mezi jehož vodorovnými deskami vzdálenými od sebe d = 4,1 · 10−2 m je napětí U = 103 V. Určete: • jaký je celkový počet volných elektronů na kapce a která z desek má záporný náboj, • jak je třeba změnit napětí na kondenzátoru, aby se kapka po ztrátě 1 elektronu opět nehybně vznášela. 19

Příklad 1.121 Na jaký potenciál se nabije kulový vodič, který má kapacitu C = 2 µF, nábojem Q = 100 µC a jaký je jeho poloměr? Příklad 1.122 Kondenzátor s kapacitou C = 5µF je připojen ke zdroji napětí U = 220 V. Jak velký je náboj nabitého kondenzátoru a jakou má energii? Příklad 1.123 Vypočtěte kapacitu 3 paralelně zapojených Leydenských lahví (válcových kondenzátorů) o vnějších poloměru b, vnitřním poloměru a a výšce polepů l. Odvoďte vztah pro kapacitu válcového kondenzátoru a pak numericky pro b = 0,08 m, a = 0,075 m, l = 0,2 m, εr = 6. Příklad 1.124 Vypočtěte kapacitu dvou rovnoběžných válcových vodičů, vzájemně izolovaných, o délce l, je-li jejich poloměr r a vzájemná vzdálenost a. Příklad 1.125 Mějme k dispozici dvě rovnoběžné, opačně nabité desky o ploše S, vzdálené r, nesoucí náboj Q. Vypočítejte: • sílu, kterou se desky přitahují, • jaké napětí musíme přiložit k deskám, aby se vzdálenost desek neměnila. Příklad 1.126 UAB .

Určete náboje Q1 , Q2 , Q3 na kondenzátorech zapojených podle obrázku, známe-li napětí

C1

C2

A

B C3

Příklad 1.127 Rovinný deskový kondenzátor o ploše desek S a jejich vzdálenosti d, je připojen na napětí U. Do kondenzátoru vložíme dvě desky z dielektrik o relativních permitivitách εr1 , εr2 a tloušťkách d1 , d2 a ploše S. Vypočítejte: • intenzitu elektrických polí a napětí v obou dielektrikách, • kapacitu a hustotu náboje na deskách kondenzátoru. Příklad 1.128 Deskový kondenzátor o kapacitě C s dielektrikem o εr je nabitý na napětí U. Jakou práci musíme vykonat k odstranění dielektrika z kondenzátoru? Příklad 1.129 ze 3 vrstev?

Vypočtěte kapacitu deskového kondenzátoru o ploše S, je-li jeho dielektrikum složené

Příklad 1.130 Vnitřní koule o poloměru R1 kulového kondenzátoru je polepena vrstvou dielektrika o tloušťce d a relativní permitivitě εr . Zbylý prostor mezi tímto dielektrikem a vnější koulí poloměru R2 je vyplněn vzduchem εr0 . Vypočtěte kapacitu kulového kondenzátoru. Příklad 1.131 Deskový kondenzátor o kapacitě C0 a ploše desek S byl připojen ke zdroji napětí U0 . Po nabití nábojem Q byl kondenzátor odpojen od zdroje a byl zcela vyplněn dielektrikem, čímž jeho kapacita vzrostla na hodnotu C . Vypočítejte intenzitu pole v dielektriku a napětí mezi elektrodami kondenzátoru, pokud: • kondenzátor není připojen ke zdroji napětí, • kondenzátor je připojen ke zdroji napětí, stanovte hustotu volného náboje na elektrodách. Příklad 1.132 Rovnoběžné vodivé roviny A, B, C tvoří deskový kondenzátor. Na rovině B je hustota náboje σ . Roviny A a C jsou vodivě spojeny a nenabity. Určete plošné náboje na vnitřních plochách rovin A a C. 20

2.

Stacionární elektrický proud

2.1. Řešené příklady Příklad 2.1 Měděným vodičem o průřezu S = 1 mm2 prochází proud I = 5 A. Vypočítejte průměrnou rychlost vp pohybu elektronů ve vodiči za předpokladu, že počet volných elektronů v 1 m3 je n0 = 8,5·1028 . Řešení I = 5A I = dQ dt , dQ = n0 edV , dV = Sdx −6 2 S = 10 m I = n0 eS dx dt = n0 eSvp . n0 = 8, 5 · 1028 vp = n0IeS = 8,5·1028 ·10−65·1,602·10−19 = 3,672 · 10−4 m · s−1 Příklad 2.2 Určete:

Uhlíková tyč o průřezu S = 10 mm2 má délku l = 0,1 m a je připojena na napětí U = 10 V.

• intenzitu stacionárního elektrického pole Est v tyči, • hustotu elektrického proudu J, • celkový odpor R tyče, • proud I v tyči. Měrná vodivost uhlíku je γ = 1,6 · 104 Ω−1 m−1 . Řešení 10 = 100 V · m−1 U = 10 V Est = Ul = 0,1 S = 10−5 m2

J = γEst = 1,6 · 104 · 102 = 1,6 · 106 A · m−2

l = 0,1 m

R=

1 l γS

=

10−1 = 0,625 Ω 1,6·104 ·10−5 6 −5

I = JS = 1,6 · 10 · 10 Příklad 2.3 ∆R2 .

= 16 A

Určete změnu ∆R paralelního spojení odporů R1 a R2 způsobenou změnou odporu R2 o

Řešení R1 R2 R2 + ∆R2

R2 R = RR11+R 2 R1 (R2 +∆R2 ) ′ 2 +R1 ∆R2 R = R1 +(R2 +∆R2 ) = RR11R+R 2 +∆R2 2 )(R1 +R2 )−R1 R2 (R1 +R2 +∆R2 ) ∆R = R ′ − R = (R1 R2 +R1 ∆R (R1 +R2 +∆R2 )(R1 +R2 )

∆R =

R12 ∆R2 (R1 +R2 +∆R2 )(R1 +R2 )

Příklad 2.4 Jakou změnu odporu (způsobenou změnou rozměrů vodiče) můžeme očekávat, když napneme měděný drát tak, že se prodlouží o 0,1 % své délky? Řešení V =konst Sl = S ′ l′ S ′ l = 1,001l S ′ = Sl l′ = 1,001 ′ R ′ = ρ Sl ′ = ρ 1,001l = (1,001)2 ρ Sl = (1,001)2 R S 1,001 . R ′ = 1,002R

21

Příklad 2.5 Na svorky zdroje o napětí U = 100 V je měděným dvoudrátovým vedením připojen spotřebič o příkonu P1 = 100 W při napětí 100 V. Vedení má délku l = 100 m a průřez drátu S = 1 mm2 . Měrný odpor mědi je ρ = 1,7 · 10−8 Ω·m. Určete: • napětí na svorkách spotřebiče, • napětí na svorkách spotřebiče, připojíme-li k němu paralelně další spotřebič, který při napětí 100 V má příkon P2 = 200 W.

Rv

Rv P1

U

P1

U

P2

Řešení U = 100 V P1 = 100 W P2 = 200 W ρ = 1,7 · 10−8 Ω·m l = 100 m

= 3,4 Ω Rv = ρ Sl = 1,7 · 10−8 2·100 10−6 2 4 R1 = UP1 = 10 = 100 Ω 102 100 . I = UR = Rv U+R1 = 103,4 = 0,967 A R = Rv + R1 = 103,4 Ω . U1 = R1 I = 100 · 0,967 = 96,7 V

S = 10−6 m2

10 R2 = UP2 = 200 = 50 Ω 103,4·50 . R2 = 3,4 + 103,4+50 = 37,1 Ω R ′ = Rv + RR11+R 2 . . U 100 ′ I = R ′ = 37,1 = 2,70 A R2 . 100·50 U1′ = I ′ RR11+R = 90 V = 2,70 100+50 2

2

4

Příklad 2.6 Metodou postupného zjednodušování řešte elektrickou síť na obrázku, kde Ue = 22 V, R1 = 5 Ω, R2 = 15 Ω a R3 = 10 Ω.

I1 R 1 I3 R 3 R 2 I2

Ue Řešení Ue = 22 V R1 = 5 Ω R2 = 15 Ω

R3 15·10 R ′ = RR22+R = 15+10 = 6Ω 3 ′ R = R1 + R = 5 + 6 = 11 Ω 22 I = I1 = URe = 11 = 2A

R3 = 10 Ω

10 3 I2 = I R2R+R = 2 15+10 = 0,8 A 3 15 2 I3 = I R2R+R = 2 15+10 = 1,2 A 3

Příklad 2.7 obrázku?

Jak velké je napětí Us na svorkách spotřebiče, zapojeného na odbočku děliče napětí podle

U R2 R1

I Rs

Us

22

Řešení U = 300 V R1 = 3 · 104 Ω R2 = 2 · 103 Ω Rs = 5 · 103 Ω

. Rs 3·5·107 3 R ′ = RR11+R = (30+5)10 3 = 4,286 · 10 Ω s . R = R2 + R ′ = (2 + 4,286)103 = 6,286 · 103 Ω . . 300 −2 I = UR = 6,286·10 A 3 = 4,773 · 10 . 3 −2 U2 = R2 I = 2 · 10 · 4,773 · 10 = 95,46 V . Us = U − U2 = 300 − 95,46 = 204,54 V

Příklad 2.8 Na spotřebitelskou síť o napětí U = 220 V jsou připojeny dvě žárovky zapojené v sérii na napětí 110 V. Vypočtěte napětí na každé ze žárovek, jestliže první je 25W a druhá 100W. Řešení ′2 2 U = 220 V R1 = UP1 = 110 25 = 484 Ω ′2 2 U ′ = 110 V R2 = UP2 = 110 100 = 121 Ω P1 = 25 W R = R1 + R2 = 484 + 121 = 605 Ω . P2 = 100 W I = UR = 220 = 0,364 A 605 . . U1 = R1 I = 484 · 0,364 = 176 V . . U2 = R2 I = 121 · 0,364 = 44 V Příklad 2.9 Připojíme-li ke svorkám baterie rezistor o R1 = 10 Ω, protéká obvodem proud I1 = 3 A. Je-li na svorky téže baterie připojen rezistor o odporu R2 = 20 Ω, prochází obvodem proud I2 = 1,6 A. Vypočtěte elektromotorické napětí a vnitřní odpor baterie.

Ri

Ri R1

Ue

R2

Ue

I1

I2

Řešení R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω I1 = 3 A I2 = 1,6 A

U1 = R1 I1 = 10 · 3 = 30 V U2 = R2 I2 = 20 · 1,6 = 32 V U = Ue − Ri I 32−30 . 1 Ri = UI21 −U = 1,43Ω −I2 = 3−1,6 . . Ue = U1 + I1 Ri = 30 + 3 · 1,4 = 34,3V

Příklad 2.10 Odpor vlákna žárovky při teplotě t0 = 0 ◦ C je R0 = 35 Ω. Připojíme-li žárovku ke zdroji o napětí U = 220 V, bude teplota vlákna t = 2 000 ◦ C. Vypočítejte: • odpor vlákna žárovky při teplotě t1 = 2 000 ◦ C, je-li závislost jeho odporu na teplotě dána konstantou B = −815 K; • jaký bude výkon elektrického proudu, připojíme-li žárovku na napětí U = 220 V; • jaká je okamžitá hodnota proudu bezprostředně po jejím připojení ke zdroji o napětí U = 220 V; • jaká by vyšla hodnota odporu vlákna žárovky při teplotě t = 2 000 ◦ C, kdybychom uvažovali lineární závislost odporu na teplotě s teplotním součinitelem odporu α T = − TB2 . Řešení t0 = 0 ◦ C

B( T1 − T1 )

t1 = 2 000 ◦ C

R1 = R0 e 2 . P = UR1 =

R0 = 35 Ω

I0 =

U = 220 V

αT = − TB2 =

U R0

=

0

. 1 1 = 35e−815( 2 273 − 273 ) = 484 Ω

2202 484 = 100 W 220 . 35 = 6,29 A 815 2 2732

. = 1,577 · 10−4

1 . R1′ = R0 + αT (T1 − T0 ) = 35 + 1,577 · 10−4 (2 273 − 273) = 35,32 Ω

23

Příklad 2.11 Za jak dlouho ohřeje ponorný vařič 2 litry vody 20 ◦ C teplé na teplotu 90 ◦ C? Vařič je připojen na napětí U = 220 V, jeho odpor R = 100 Ω. Účinnost je 75 % (změnu odporu vařiče s teplotou zanedbejte). Řešení m = 2 kg Q = mc∆t ∆t = 70 ◦ C W = ηPτ . 186·70·100 . U = 220 V τ = mc∆tR = 2·40,75·220 = 1 614 s = 26,9min 2 ηU 2 R = 100 Ω η = 0, 75 c = 4 186 J·kg−1 ·K−1 Příklad 2.12 Ke zdroji Ue = 100 V a vnitřním odporu Ri = 5 Ω je připojena paralelní kombinace proměnného odporu R a pevného odporu R1 = 10 Ω. Nalezni takovou hodnotu odporu R, aby výkon dodaný zdrojem do tohoto odporu byl 100 W.

Ri R1

Ue

R

I Řešení Ue = 100 V Ri = 5 Ω R1 = 10 Ω P = 100 W

Příklad 2.13

RR1 R ′ = R+R 1 Ue (R+Ri ) e I = R ′U+R = Ri (R+R i 1 )+RR1 U = Ue − Ri I = Ue (1 − RR12

2

Ri R+Ri R1 Ri R+Ri R1 +RR1 )

RR1 = Ue R(Ri +R 1 )+Ri R1

P = UR = Ue2 [R(Ri +R1 )+Ri R1 ]2 R 2 P(Ri + R1 )2 + R[2P(Ri + R1 )Ri R1 − Ue2 R12 ] + PRi2 R12 = 0 2,25 · 104 R 2 − 8,5 · 105 + 2,5 · 105 = 0 9R 2 − 340R + 100 = 0 √ 2 −4·9·100 . 340±334,66 . R = 340± 340 = = 37,48 Ω 2·9 18

Zdroj Ue = 100 V má vnitřní odpor Ri = 10 Ω. Vypočtěte:

• jaký proud bude procházet odporem R = 90 Ω připojeným ke svorkám zdroje a jaké bude svorkové napětí zdroje, • nahraďte zdroj Ue ekvivalentním zdrojem proudu (určete proud zdroje Iz a jeho vnitřní vodivost Gi ), • vypočtěte proud, který by procházel odporem R = 90 Ω připojeným ke svorkám zdroje proudu, určete též v tomto případě napětí na svorkách zdroje proudu.

Ri R1

Ue

Iz

I1

Gi I1

24

R1

Řešení Ue Ri +R

100 100

Ue = 100 V

I1 =

Ri = 10 Ω

U1 = Ue − Ri I = 100 − 1 · 10 = 90 V

R1 = 90 Ω

Iz =

=

= 1A

Ue 100 Ri = 10 = 10 A Gi = R1i = 0,1 S Ri 10 I = Iz R+R = 10 90+10 = 1A i R 90 Ii = Iz R+Ri = 10 90+10 = 9 A

U = RI = 9 · 10 = 90 V Příklad 2.14

Řešte elektrickou síť znázorněnou na obrázku:

• pomocí Kirchhoffových zákonů, • metodou smyčkových (obvodových) proudů, • změňte hodnotu odporu R5 (zapojeného mezi body A a B) tak, aby výkon na tomto odporu byl maximální (doporučení: elektrickou síť vzhledem k A, B nahraďte náhradním zdrojem napětí),

I3

R 2 I1 R3

R1

R5

I s1

Ue1

R4 A

I2

I s2

Ue2 B

Řešení

`

Ue1 = 10 V Ue2 = 6 V R1 = 10 Ω R2 = 6 Ω R3 = 8 Ω R4 = 5 Ω

KZ

I1 + I2 = I3 I1 (R1 + R2 ) − I2 R3 = Ue1 − Ue2 I2 R3 + I3 (R4 + R5 ) = Ue2 16I1 − 8I2 = 4 20I1 + 28I2 = 6 . . . I1 = 0,263 A, I2 = 0,026 A, I3 = 0,289 A

SP

Is1 (R1 + R2 + R3 ) − Is2 R3 = Ue1 − Ue2 −Is1 R3 + Is2 (R3 + R4 + R5 ) = Ue2 24Is1 − 8Is2 = 4 −8Is1 + 28Is2 = 6 24 −8 = 608 D = −8 28

R5 = 15Ω

4 −8 = 160 D1 = 6 28 24 4 = 176 D2 = −8 6 160 . = 0,263 A Is1 = 608 176 . Is2 = 608 = 0,289 A . I1 = Is1 = 0,263 A . I2 = Is2 − Is1 = 0,026 A . I3 = Is2 = 0,289 A

25

TV

+R2 )R3 Ri = R4 + R(R11+R 3 +R3 (10+6)8 . Ri = 5 + 10+6+8 = 10,3 Ω . R5′ = Ri = 10,3 Ω

Příklad 2.15

Na obrázku je znázorněn nevyvážený Wheatstoneův můstek. Vypočtěte:

• metodou smyčkových proudů proudy ve větvích, • nahraďte můstek vzhledem k A, B a vypočtěte proud miliampérmetrem s R5 = 1 Ω, • jaký proud by procházel galvanometrem o vnitřním odporu R5′ = 500 Ω, který by byl zapojen v můstku místo miliampérmetru.

I3 R

I s1

I6 I R 1 1

R4 I4

A

3

I5

mA

R5

B

I s3

I s2

R2 I2

Ue Řešení R1 = 14 Ω R2 = 15 Ω R3 = 15 Ω R4 = 14 Ω R5 = 2 V

SP

Is1 (R1 + R3 + R5 ) − Is2 R5 − Is3 R1 = 0 −Is1 R5 + Is2 (R2 + R4 + R5 ) − Is3 R2 = 0 −Is1 R1 − Is2 R2 + Is3 (R1 + R2 ) = 2 30Is1 − Is2 − 14Is3 = 0 −Is1 + 30Is2 − 15Is3 = 0 −14Is1 − 15Is2 + 29Is3 = 2 30 −1 −14 30 −15 = 13 021 D = −1 −14 −15 29 30 0 −14 D2 = −1 0 −15 = 928 −14 2 29 . 0,0668 A Is1 = DD1 = 13870 021 = . D2 928 Is2 = D = 13 021 = 0,0713 A 1 790 . Is3 = DD3 = 13 021 = 0,1381 A . I1 = Is3 − Is1 = 0,713 A . I3 = Is1 = 0,668 A . I5 = Is1 − Is2 = −0,0045 A

I’ R

3

A

R4

D1 = D3 =

B

R3 R1

Ue TV

A

R4

Ri R2

R2 R4 14·15 . Rin = RR11+R + RR33+R = 2 14+15 = 14,48Ω 2 4. Ue 2 ′ I = R1 +R3 = 14+15 = 0,0690 A I ′ (R3 − R1 ) = Uen . Uen = 0,0690(15 − 14) = 0,0690 V . 0,0690 . en = 14,48+1 I5 = RinU+R = 4,46 · 10−3 A 5 . 0,0690 . −4 en I5′ = RinU+R A ′ = 14,48+500 = 1,34 · 10 5

26

= 870 = 1 790

. I2 = Is3 − Is2 = 0,0668 A . I4 = Is2 = 0,0713 A . I6 = Is3 = 0,1381 A

Uen I’ R1

0 −1 −14 0 30 −15 2 −15 29 30 −1 0 −1 30 0 −14 −15 2

B

R2

Příklad 2.16 Dva stejné rezistory o odporu R1 = R2 = 10 kΩ jsou zapojeny v sérii a připojeny ke svorkám zdroje o napětí Uz = 100 V. Vypočtěte: • napětí na každém rezistoru, • jaký bude údaj voltmetru o vnitřním odporu Rv1 = 105 Ω připojeného ke svorkám jednoho R, • jaký bude údaj voltmetru o vnitřním odporu Rv2 = 104 Ω připojeného ke svorkám jednoho R.

R1

R1

Uz

Uz Rv V

R2

R2 Řešení

4

1 2 U1 = U2 = Uz R1R+R = Uz R1R+R = 100 10410+104 = 50 V 2 2 5 Rv1 104 . 3 R1′ = RR22+R = 10105 +10 4 = 9,09 · 10 Ω v1 . . Uz 100 I1 = R1 +R ′ = 104 +9,09·103 = 5,2 · 10−3 A 1 . . Uv1 = I1 R1′ = 5,2 · 10−3 · 9,09 · 103 = 47,3 V

R1 = R2 = 104 Ω Uz = 102 V Rv1 = 105 Ω Rv2 = 104 Ω

4

4

Rv2 10 3 R2′ = RR22+R = 10104 +10 4 = 5 · 10 Ω v2 . 100 z I2 = R1U+R = 6,7 · 10−3 A ′ = 104 +5·103 2 . Uv2 = I2 R2′ = 6,7 · 10−3 5 · 103 = 33,5 V

Příklad 2.17 Napětí na neznámém rezistoru Rx měříme paralelně připojeným voltmetrem o vnitřním odporu Rv = 1 000 Ω na rozsahu 20 V. Třída přesnosti je 2. Proud v obvodu měříme ampérmetrem třídy přesnosti 1 na rozsahu 0,1 A. Vypočtěte: • jaká je hodnota Rx neznámého odporu, je-li údaj voltmetru U = 10 V a údaj ampérmetru I = 0,03 A, • stanovte chybu naměřené hodnoty odporu Rx .

IA

A

Ue

IV

Rx Ix Rv

V

Řešení UV = 10 V IA = 0,03 A RV = 103 Ω

IA = Ix + IV IV = URVV , Ix = URVx 10 Rx = UVUV = 0,03− 10 = 500 Ω

Uăm = 20 V Im = 0, 1 A pV = 2

δV = = 4% δA = = 3% δR = δV + δA = 4 % + 3 % = 7 %

pA = 1

Rx = (500 ± 35) Ω

IA − R V Um 20 UV pV = 10 2 0,1 Im IA pA = 0,03 1

103

Příklad 2.18 Vypočtěte, v jakém poměru budou hustoty nasyceného emisního proudu z wolframové katody při teplotách T1 = 2 500 K a T2 = 3 000 K. Výstupní práce elektronů pro W je Wv = 4,54 eV. Řešení Wv T1 = 2 500 K J = BT12 e kT T2 = 3 000 K

J2 J1

=

T22 − Wkv ( T1 − T1 ) 2 1 e T12

Wv = 7,26 · 10−19 J

J2 J1

=

3 0002 − 1,38·10−23 ( 3 000 − 2 500 ) e 2 5002

7,26·10−19

1

27

1

. = 48

Příklad 2.19 Vypočtěte, za jak dlouho se vytvoří při galvanickém pokovování ve vodním roztoku CuSO4 na rovinné katodě vrstva mědi tloušťky d = 0,01 mm, je-li hustota proudu J = 1 A · m−2 . (ρ = 8 900 kg · m−3 , Mm = 63,5 · 10−3 kg · mol−1 ) Řešení m J = 1 A·m−2 m= M zF Iτ, I = JS −5 d = 10 m m = Sdρ ρ = 8,9 · 103 kg·m−3 τ = dρzF Mm J . −5 3 ·2·9,6487·104 . Mm = 6,35 · 10−2 kg·mol−1 τ = 10 ·8,9·10 = 2,7 · 105 s= 75 h 6,32·−2 ·1 F = 9,6487 · 104 C·mol−1 z=2 Příklad 2.20 Poniklování kovového předmětu, který má plochu S = 120 cm2 , trvalo 5 hod při elektrickém proudu I = 0,3 A. Nikl je dvojmocný, molární hmotnost niklu Mm = 58,69 · 10−3 kg · mol−1 , hustota ρNi = 8 800 kg · m−3 . Vypočtěte tloušťku d niklové vrstvy. Řešení m I = 0,3 A m= M zF Iτ −4 −2 S = 1,2 · 10 m m = Sdρ m Iτ τ = 1,8 · 104 s d= M zF Sρ . 58,69·10−3 0,3·1,8·104 −5 ρ = 8,8 · 103 kg·m−3 d = 2·9,6487·10 m = 15,5 µm 4 1,2·10−2 ·8,8·103 = 1,55 · 10 −3 −1 Mm = 58,69 · 10 kg·mol F = 9,6487 · 104 C·mol−1 z=2

2.2. Neřešené příklady Elektrický odpor, Kirchhofovy zákony Příklad 2.21

Jak velký elektrický náboj projde průřezem vodiče za dobu 1 min

• při stálém proudu 1 A, • roste-li proud rovnoměrně od 0 A do 1 A. Příklad 2.22 Proud ve vodiči se mění s časem podle vztahu I(t) = 4 + 3t 2 [A]. Určete, jak velký náboj projde vodičem za čas od t1 = 5 s do t2 = 10 s a jaká je střední hodnota proudu v tomto časovém intervalu. Příklad 2.23 Jakou rychlostí se pohybují elektrony v měděném drátu o průřezu S = 1 mm2 , prochází-li jím proud I = 6 A? Počet volných elektronů v 1 m3 je n = 8,5 · 1028 . Příklad 2.24 Na vytvoření elektrického vedení bylo spotřebováno 400 m měděného drátu o průřezu 6 mm2 . Jaký odpor má vedení, je-li měrný odpor ρCu = 1,8 · 10−8 Ω · m? Příklad 2.25 Měděné vedení má průřez S1 = 20 mm2 . Jaký průřez musí mít vedení Al stejné délky, aby mělo stejný odpor? (ρCu = 1,8 · 10−8 Ω · m, ρAl = 2,7 · 10−8 Ω · m) Příklad 2.26 Určete rychlost elektronů v drátu o l = 10 m, S = 1 mm2 , ρ = 1,7 · 10−8 Ω · m, U = 2,3 V a v 1 cm3 drátu je 8,5 · 1022 volných elektronů. Příklad 2.27 Měděné vedení má při teplotě 15 ◦ C odpor 20 Ω. Jaký je odpor vedení při teplotě 30 ◦ C, je-li teplotní součinitel odporu α = 4 · 10−3 K−1 ? Příklad 2.28 Elektrický vařič má při provozní teplotě 750 ◦ C odpor 46 Ω. Jaký je jeho odpor při teplotě 0 ◦ C, je-li α = 2 · 10−4 K−1 ? Příklad 2.29 Cívka navinutá z měděného drátu má při teplotě 20 ◦ C odpor 8 Ω. Jaká je teplota cívky, byl-li v provozu změřen její odpor R = 14,4 Ω? Teplotní součinitel odporu α = 4 · 10−3 K−1

28

Příklad 2.30 Žárovkou zapojenou na U = 220 V prochází při teplotě vlákna t = 2 500 ◦ C proud I = 0,27 A. Jak velký je nárazový proud při teplotě 0 ◦ C, pokud α = 4,5 · 10−3 K−1 ? Příklad 2.31 Dvě žárovky určené pro totéž napětí mají výkony P1 = 100 W, P2 = 60 W. Je-li odpor první žárovky R1 = 480 Ω, jaký je odpor R2 ? Příklad 2.32 Svíčková žárovka na vánoční stromeček má příkon P = 9,8 W a R = 20 Ω. Kolik svíček je nutné zapojit do série při zapojení na U = 220 V? Příklad 2.33 Žárovka s W vláknem má údaje 40 W/220 V. Jak velký je odpor vlákna zastudena a jaký je proud zastudena a za provozu, je-li provozní teplota vlákna 2 500 ◦ C? (α = 4 · 10−4 K−1 ) Příklad 2.34

Odpory R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 4 Ω jsou zapojeny:

• sériově, • paralelně Vypočtěte výsledný odpor. Příklad 2.35 Jaký je výsledný odpor zapojení podle obrázku, jsou-li odpory R1 = 10 Ω, R2 = 30 Ω, R3 = 60 Ω, R4 = 100 Ω, R5 = R6 = R7 = 90 Ω?

R1

R2

R5 R4

R3

R6 R7

Příklad 2.36 Jak velký je odpor zapojení podle obrázku, jsou-li odpory R1 = 3 Ω, R2 = 30 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 60 Ω, R5 = 12 Ω, R6 = 6 Ω?

R2 R1 R3

R4

R6

R5 Příklad 2.37 Síť tvořena 9 vodiči téhož odporu R, které tvoří strany a úhlopříčky šestiúhelníka. Určete odpor mezi dvěma protějšími vrcholy. Příklad 2.38 Odebíráme-li proud z baterie I1 = 3 A, je její svorkové napětí U1 = 24 V. Odebíráme-li proud I2 = 4 A, je svorkové napětí U2 = 20 V. Určete vnitřní odpor zdroje a elektromotorické napětí baterie. Příklad 2.39 V zapojení podle obrázku určete proud tekoucí každým odporem a napětí mezi body A a B. Elektromotorické napětí Ue = 12 V, vnitřní odpor zdroje Ri = 1 Ω, vnější odpory R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 12 Ω, R4 = 8 Ω, R5 = 1 Ω.

29

Ue Ri R4 R1 A

R5

R2

B

R3 Příklad 2.40 Voltmetr s vnitřním odporem RV = 3 000 Ω má rozsah 12 V. Jaký předřadný odpor je nutno připojit, aby se rozsah voltmetru zvětšil na 60 V? Příklad 2.41 Ampérmetr má vnitřní odpor RA = 0,02 Ω a rozsah 1,2 A. Jaký musí být odpor bočníku, aby se rozsah ampérmetru zvětšil na 6 A? Příklad 2.42 Vodičem o odporu 15 Ω prošel za 2 min náboj 30 C. Kolik elektronů prošlo vodičem, jak velké bylo napětí na koncích vodiče a jaký proud prošel vodičem? Příklad 2.43 Rezistory o odporech R1 = 1 kΩ, R2 = 4 kΩ, R3 = 2 kΩ jsou zapojeny podle obrázku a připojeny ke zdroji Ue = 14 V. Určete celkový odpor a proudy procházející jednotlivými rezistory, pokud: • klíč je sepnut, • klíč je rozpojen

Ue R1

R3

R2 Příklad 2.44 Rezistory zapojené podle obrázku R1 = 50 Ω, R2 = 150 Ω, R3 = 50 Ω, R4 = 80 Ω. Napětí mezi body AB je 240 V. Jaké je napětí mezi body CD, jaký proud prochází rezistory?

R3 D

A B R1 R2 C R2

Příklad 2.45 Ke kondenzátoru C = 10 µF je připojen akumulátor o Ue = 2 V přes odpor R = 1 000 Ω. Za jak dlouho se kondenzátor nabije na U = 1,98 V? Vnitřní odpor akumulátoru je zanedbatelný. Příklad 2.46

Zdroj Ue = 36 V má Ri = 4 Ω. Zdroj je připojen k vnějšímu odporu R = 2 Ω. Vypočtěte:

• proud, • proud, jsou-li k R připojeny 4 zdroje zapojené sériově, • proud, jsou-li k R připojeny 4 zdroje zapojené paralelně. 30

Příklad 2.47 Tři galvanické články o Ue1 = 1,3 V, Ue2 = 1,5 V, Ue3 = 2 V mají Ri = 0,2 Ω a jsou zapojeny podle obrázku. Vnější odpor R = 0,55 Ω. Vypočtěte proudy v jednotlivých větvích.

Ue Ri Ue Ri Ue Ri R Příklad 2.48 Jak velké proudy procházejí jednotlivými odpory v obvodu zapojeném podle obrázku, je-li Ue1 = 2 V, Ue2 = 4 V, R1 = 5 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 10 Ω. Vnitřní odpory jsou zanedbatelně malé.

R1 Ue1

R2

Ue2

R3

Příklad 2.49 V obvodu znázorněném na obrázku jsou Ue1 = 20 V, Ue2 = 18 V, Ue3 = 7 V, Ri = 1 Ω, R1 = 6 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 2 Ω. Vypočtěte proudy ve větvích.

Ue1 Ri

R1

Ue2 Ri

R2

Ue3 Ri

R3

Příklad 2.50 Vypočtěte proudy jdoucí jednotlivými odpory v obvodu podle obrázku. (Ue1 = 8 V, Ue2 = 6 V, Ue3 = 5 V, R1 = 20 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 5 Ω)

Ue1 R1 Ue2 R2 Ue3 R3 Příklad 2.51 Čtyři žárovky, každá o odporu R. Reostat je nastaven na hodnotu Rp a svorkové napětí zdroje je U. Na jakou hodnotu odporu Rx je potřeba nastavit reostat při vypálení jedné žárovky, aby byly proudy v ostatních žárovkách stejně velké jako předtím?

31

R R

Rp

R R

Ue

Příklad 2.52 Odpor Rx rezistoru jsme měřili voltmetrem a ampérmetrem. Voltmetr měl rozsah 120 V a vnitřní odpor 500 Ω. Ampérmetr měl rozsah 3 A a vnitřní odpor 4 Ω. Když byl voltmetr zapojen podle prvního schématu, naměřené hodnoty byly 98,2 V a 0,75 A. Určete: • neznámý odpor Rx rezistoru, • Ue zdroje, • údaje voltmetru a ampérmetru, pokud je obvod zapojen podle druhého schématu. Příklad 2.53 V homogenním kovovém vodiči délky 5 m a průměru 1,2 mm, jehož konce jsou připojeny ke svorkám zdroje s Ue = 4,5 V, je stálý proud 5 A. Určete: • směr pohybu elektronů ve vodiči a jejich počet n, který projde průřezem vodiče za 1 ms, • odpor R a měrný odpor ρ vodiče. Příklad 2.54 Drát délky 8 m má průměr 0,5 mm a elektrický odpor 2 Ω. Jakou délku musí mít drát ze stejného materiálu o průměru 0,4 mm, aby jeho odpor byl 2,5 Ω? Příklad 2.55 Vláknem wolframové žárovky o teplotě 0 ◦ C prochází při napětí 10 V proud 0,3 A. Určete teplotní součinitel odporu wolframu, bude-li po připojení žárovky na napětí 220 V procházet proud 0,5 A a vlákno se ohřeje na 2,5 · 103 ◦ C. Příklad 2.56 Ue zdroje je 1,1 V. Po připojení spotřebiče s odporem 5 Ω je svorkové napětí jen 0,6 V. Jaký je vnitřní odpor zdroje a jaký proud prochází obvodem? Příklad 2.57 Svorkové napětí baterie má při vnějším zatěžovacím odporu 17 Ω hodnotu 4,4 V a při 9 Ω hodnotu 4,3 V. Jaké je Ue a Ri zdroje? Příklad 2.58 Mezi dvěma body silnoproudého vedení z měděného drátu o průřezu 70 mm2 vzdálenými od sebe 6 m bylo naměřeno napětí U = 0,23 V. Jaký proud prochází vedením? Měrný odpor mědi je 1,78 · 10−8 Ω · m Příklad 2.59 Vypočtěte, jak velký je vnitřní odpor akumulátoru, jestliže voltmetrem změříme naprázdno Ue = 13,1 V a při zatížení akumulátoru spotřebičem o odporu Rs = 4,5 Ω je napětí na svorkách Us = 12,9 V. Příklad 2.60 byl nulový.

Stanovte podmínku pro odpory R1 , R2 zapojené podle obrázku, aby proud rezistorem R0

Ue1

Ue2

R0 R2

R1 32

Příklad 2.61 Tenký rovinný prstenec o poloměrech R1 , R2 a tloušťky h na jedné straně rozřízneme a k plochám řezu přiložíme kontakty zdroje. Je-li znám materiál prstence, vypočtěte jeho odpor. Příklad 2.62 Na kolik n stejných částí je potřeba rozřezat drát, který má odpor R = 192 Ω, abychom při paralelním zapojení všech těchto n částí dostali výsledný odpor R = 3 Ω? Příklad 2.63 Vypočtěte proudy v jednotlivých větvích elektrického obvodu na obrázku, kde odpory rezistorů jsou R1 = 10 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 5 Ω a elektromotorická napětí zdrojů jsou Ue1 = 6 V, Ue2 = 2 V, Ue3 = 3 V.

Ue2 R2

Ue1 R1

Ue3 R3 Příklad 2.64 Soustava čtyř rezistorů s odpory R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω, R3 = 200 Ω, R4 = 400 Ω zapojených podle obrázku je připojena k baterii s elektromotorickým napětímUe = 18 V. Určete: • celkový odpor rezistorů R a celkový proud I v elektrickém obvodu, • proudy procházející jednotlivými rezistory. Příklad 2.65 Tři odpory R1 , R2 , R3 jsou zapojeny do odporového trojúhelníku. Vypočtěte hodnoty náhradních odporů Ra , Rb , Rc , změníme-li odporový trojúhelník v odporovou hvězdu. Příklad 2.66 Síť na obrázku je tvořena třemi stejnými zdroji o Ue a čtyřmi rezistory R1 , R2 = 2R1 , R3 = 4R1 , R4 = 8R1 . Uzel A je uzemněný. Určete: • proudy, které procházejí jednotlivými rezistory a elektrický potenciál uzlu E (U = 60 V, R1 = 1 kΩ), • jak bychom museli změnit odpor rezistoru R3 , aby rezistorem R2 neprocházel proud; jaké proudy budou v tomto případě procházet rezistory R1 , R3 a R4 .

R1 Ue

R2

Ue

R3

Ue

R4

Příklad 2.67 Kostka ve tvaru krychle se skládá ze stejných vodičů (hran) téhož odporu R. Vypočtěte odpor krychle, přiložíme-li zdroj stejnosměrného napětí ke dvěma protějším vrcholům. Příklad 2.68 Vytvořme elektrickou síť tak, že postupně spojujeme trojice za sebou zapojených odporů stejných hodnot R. Bude-li počet takových trojic nekonečně velký, pak se poměry v síti nezmění, odpojíme-li za sítě jednu či konečný počet trojic. Vypočtěte proud v síti, je-li k ní připojen zdroj o Ue a vnitřním odporu Ri .

33

Faradayovy zákony Příklad 2.69 Jaký proud protékal roztokem skalice modré CuSO4 , jestliže se za 15 min vyloučilo z roztoku 3 g mědi? (Mm = 63,54, v = 2) Příklad 2.70 Předmět plochy S = 20 dm2 je třeba postříbřit vrstvou tloušťky d = 0,2 mm. Kolik stříbra se musí vyloučit a jak dlouho bude pokovování trvat, je-li možné 1 dm2 zatížit proudem 0,4 A? (ρ = 10,5 · 103 , v = 1, α = 108) Příklad 2.71 Vypočtěte elektrochemický ekvivalent Cu, prochází-li coulometrem na měď proud I = 4 · 10−1 A a vyloučí-li se za půl hodiny 2,36 · 10−4 kg mědi. Příklad 2.72 Jestliže víme, že v coulometru na stříbro se nábojem 1 C vyloučí 1,118·10−3 kg Ag, vypočtěte velikost proudu procházejícího coulometrem po dobu n minut, jestliže se vyloučila hmotnost m Ag. Příklad 2.73 Vypočtěte energetickou spotřebu při elektrolytickém pokrytí plochy S vrstvou Ag při napětí U. Příklad 2.74 Vypočtěte množství stříbra, které se vyloučí z roztoku AgNO3 proudem 1,3 A za dvě hodiny. (AAg = 1,118 · 10−6 kg · C−1 ) Příklad 2.75 Poniklování kovového předmětu, který má povrch 120 cm2 , trvalo 5 hodin při elektrickém proudu 0,3 A. Vypočtěte množství vyloučeného niklu a tloušťku vrstvy, která se na předmětu vytvořila. Hustota niklu je 8,8 · 103 kg · m3 a molární hmotnost niklu je 58,69 · 10−3 kg · mol−1 . Nikl je dvojmocný. Příklad 2.76 Baterie n galvanických článků, každý o elektromotorickém napětí Ue a vnitřním odporu Ri , je vytvořena zapojením p paralelních skupin po q v sérii. Ve vnějším obvodu je odpor R. Vypočtěte množství mědi vyloučené z roztoku CuCl při zapojení po dobu t. Řešte pro Ue = 0,09 V, Ri = 0,6 Ω, n = 30, p = 5, q = 6, R = 200 Ω, t = 8,3 min, α = 63,57 kg · mol−1 . Elektrická práce, výkon Příklad 2.77 Vypočtěte práci proudu v části obvodu, ve které nejsou zdroje Ue a která má odpor R = 12 Ω, jestliže se elektrický proud po dobu t = 5 s rovnoměrně zvětšuje od I1 = 2 A do I2 = 10 A. Příklad 2.78 Na vařiči s elektrickým příkonem 800 W jsme ohřáli 4 l vody z teploty 20 ◦ C na 100 ◦ C za 30 min. Jaká je účinnost vařiče? Měrné teplo vody je 4,2 · 103 J · kg−1 K−1 . Příklad 2.79 Žárovka s údaji 12 V a 40 W se má zapojit tak, aby pracovala s výkonem, na který byla zhotovena. K dispozici máme reostat a dvě stejné baterie, ze kterých každá má Ue = 12 V a Ri = 0, 5 Ω. Odpor spojovacích vodičů zanedbáme. Určete: • s jakým výkonem by žárovka pracovala, kdybychom ji připojili jen k jednomu ze zdrojů, • hodnotu odporu reostatu, který musíme do obvodu zapojit, když žárovku připojíme k oběma bateriím zapojeným do série a požadujeme, aby žárovka pracovala s předepsanými hodnotami. Příklad 2.80 V elektrickém obvodu, který je připojený ke zdroji napětí 220 V, jsou do série zapojeny dva spotřebiče: žárovka s údaji 220 V/100 W a elektrický vařič. Na žárovce jsme naměřili napětí 200 V. Jaký odpor má vařič? Příklad 2.81 Ke zdroji o Ue = 24 V a vnitřním odporu Ri = 1 Ω máme připojit žárovku s předepsanými hodnotami 12 V/60 W. Určete: • jaký odpor musíme zapojit do série se žárovkou, aby bylo na žárovce předepsané napětí a měla předepsaný výkon, • jaké bude svorkové napětí a výkon zdroje. 34

Příklad 2.82 Polním telefonem s pracovním napětím 24 V telefonujeme na vzdálenost 6 km. Kabel je hliníkový. Určete: • jaká je střední rychlost elektronu v kabelu, • za jak dlouho elektron „doletí“ z jednoho konce na druhý (jak je možné, že lze telefonovat).

35

3.

Stacionární magnetické pole

3.1. Řešené příklady Příklad 3.1 Vypočtěte magnetickou indukci B ve středu S čtvercového závitu o straně a = 0,05 m, kterým prochází proud I = 10 A.

S d

a 2

1

I Řešení I = 10 A a = 0,05 m

B = 4B1 µ0 I (cos α2 − cos α1 ) B1 = 4π d √ µ0 I µ0 I B1 = 4π a (cos 45◦ − cos 135◦ ) = 2π 2 a 2√ √ µ0 I 4π·107 10 −4 B = π a 2 2 = π 5·10−2 2 2 = 2 · 10 T

Příklad 3.2 Podle Bohrova modelu atomu vodíku obíhá elektron kolem jádra po kruhové dráze o poloměru a = 5,3 · 10−11 m. Frekvence oběhů elektronu je f = 6,6 · 1015 Hz. Pohyb elektronu kolem jádra představuje elektrický proud kruhovým závitem. Vypočtěte hodnotu magnetické indukce v místě jádra atomu. Řešení a = 5,4 · 10−11 m I = Qt = ef f = 6,6 · 1015 Hz B = µ20 aI = µ20 ef a −7 1,6·10−19 6,6·1015 B = 4π·10 = 10 T 2 5,3·10−11 Příklad 3.3 Vodič má tvar znázorněný na obrázku a protéká jím proud I = 10 A. Vzdálenost a = 0,05 m. Určete velikost a směr magnetické indukce v bodě S.

a

I

S Řešení I = 10 A a = 0,05 m α = 60◦

B = 16 B1 B1 = µ20 aI −7 10 = 2 · 10−5 T B = 4π·10 12 5·10−2

Příklad 3.4 Vodič má tvar znázorněný na obrázku. Úseky AA′ a CC ′ jsou velmi dlouhé, body A, B, C , D jsou vrcholy čtverce o straně a, bod S je střed čtverce. Vodičem prochází proud I. Určete velikost a směr magnetické indukce: • v bodě S, • v bodě D.

36

B a

I A’

A

C

S

C’

D Řešení I a

BS = 2B1 µ0 I (cos α2 − cos α1 ) = B1 = 4π d√ BS = µπ0 aI 2

µ0 I 2π a

√

2

BD = 2 (BAA′ + BAB ) µ0 I (cos α2 − cos α1 ) = BAA′ = 4π d

µ0 I√ µ0 I (cos 135◦ − cos 180◦ ) = 4π 4π a 2 a 2 √ µ0 I µ0 I 2 µ0 I ◦ ◦ BAB = 4π a (cos 45 −)cos 90 ) = 4π a 2 (√ α2 − cos√α)1 ) = 4π a ((cos √ µ0 I µ0 I 2 BD = 2 4π 2 − 1 + = 3 2 −2 a 2 4π a

(√

) 2−1

Příklad 3.5 Dvě identické částice se stejnými náboji q se pohybují vedle sebe ve vzdálenosti r stejnými konstantními rychlostmi v. • Dokažte, že se částice odpuzují elektrickými silami Fe a že se přitahují magnetickými silami Fm ; vypočtěte obecně tyto síly, • vypočtěte poměr

Fm Fe

Fe

q

Fm

r

Fm

j

v k

v

i

q Fe Řešení q v r

dQ ⃗ r) µ0 dt (d⃗l×⃗r) ⃗ = µ0 I (dl×⃗ dB = 4π = 4π r3 r3 r) µ0 qv ⃗ ⃗ = µ0 q(⃗v×⃗ B = k 4π r 3 4π r 2 ⃗m = q⃗ ⃗ = − µ0 q22v ⃗j F v ×B

( ) d⃗l µ0 dQ dt ×⃗r 4π r3

=

v ×⃗r) µ0 dQ(⃗ 4π r3

4π r

⃗e = F Fm Fe

=

1 q2 r 4πε0 r 3 ⃗ µ0 q2 v 4π r 2 1 q2 4πε0 r 2

=

1 q2 ⃗ 4πε0 r 2 j

= µ0 ε0 v 2 =

v2 c2

Příklad 3.6 V rovině čtvercového závitu o straně a = 0,1 m je umístěn ve vzdálenosti d = 0,05 m od jedné jeho strany přímý dlouhý vodič s proudem I1 = 10 A. Čtvercovým závitem protéká proud I2 = 5 A. Vypočtěte výslednou magnetickou sílu působící na závit s proudem.

37

F3 F1

I1 d

F2

a I2

F4

Řešení a = 0,1 m d = 0,05 m

⃗3 = −F ⃗4 F F = F1 − F2 =

I1 = 10 A

F=

4π10−7 2π 10

·

(

)

µ0 µ0 1 1 a2 2π I1 I2 a d − d+a = 2π I1 I2 d(d+a) 10−2 −5 5 7,5·10 N −3 = 1,3 · 10

I2 = 5 A Příklad 3.7 Dlouhým přímým vodičem ve tvaru tyče s kruhovým průřezem o poloměru r = 10 mm prochází proud I = 100 A. Vypočtěte hodnotu magnetické indukce: • uvnitř vodiče ve vzdálenosti

r 2

od osy tyče,

• na povrchu vodiče (ve vzdálenosti r od osy tyče), • vně vodiče ve vzdálenosti 2r od osy tyče. Řešení I = 100 A r = 0,01 m

∮ ∫ ⃗ · d⃗l = µ0 ⃗J · dS, ⃗ l kružnice s poloměrem a Ampérův zákon: l B S ∮ ∮ ⃗ ⃗ LS = l B · dl = B l dl = 2πaB ∫ ∫ ⃗ = µ0 J dS = µ0 πa2 J PS = µ0 S ⃗J · dS S πa2 J = µ02a J B = µ02πa ( ) 2 µ0 I B a = 2r = µ02a πa1 2 ar2 I = 4πr = 10−3 T µ0 a I µ0 I −3 T 2 πa2 = 2πr = 2 · 10 µ0 I µ0 a I −3 = 2 πa2 = 4πr = 10 T

B (a = r) = B (a = 2r)

Příklad 3.8 Vypočtěte magnetickou indukci na ose Helmholtzových cívek (dvě velmi krátké cívky o poloměru a ve vzdálenosti a, každá o N závitech, zapojených tak, že magnetická indukce od obou cívek se sčítá) • v bodě S (uprostřed mezi cívkami), • v bodě P (v rovině jedné z cívek). Počet závitů každé cívky je N = 100, poloměr a = 0,1 m, proud cívkami I = 1 A.

N

N S

I

a

38

P

a

Řešení I = 1A N = 100 a = 0,1 m

B1 (d) =

a2

µ0 2 I

3

2 2 2 ((a +d ) ) BS = 2NB1 a2 = 2N µ20 I (

a2

2 a2 + a4

2

8 −4 √ BS = 4π10−7 100 T 0,1 5 5 = 9 · 10

BP = N (B1 (a) + B1 (0)) = BP =

√ 100 2 √ 2+1 4π10−7 2·0,1 2 2

8 √ = µ0 NI a 5 5

)3

(

) a2

µ0 NI 2

(

3 a2 +a2 2

−4

= 8,5 · 10

)

+

a2

√

2 √ 2+1 = µ0 NI 2a 2 2

3 a2 2

( )

T

Příklad 3.9 Dvěma dlouhými přímými vodiči, vedenými rovnoběžně ve vzdálenosti d, prochází stejné proudy I. Určete hodnotu a směr magnetické indukce v bodě P: • jsou-li směry obou proudů ve vodičích souhlasné, • jsou-li směry obou proudů ve vodičích opačné.

B P

B

d P d

d d d

I

I

I

d

I

Řešení I d

µ0 I B1 = 2π d √ µ I 0 Bs = 2B1 cos 30◦ = 3 2π d µ0 I ◦ Bo = 2B1 cos 60 = 2π d

Příklad 3.10 V rovině čtvercového závitu o straně a = 0,1 m je umístěn dlouhý přímý vodič s proudem I = 10 A ve vzdálenosti d = 0,05 m od jedné jeho strany. Čtvercovým závitem neprochází proud. Určete magnetický indukční tok Φm plochou závitu.

dx

x

dS

I

a

d Řešení I = 10 A a = 0,1 m d = 0,05 m

µ0 I dΦm = BdS = 2π x adx ∫ d+a µ0 µ0 dx (ln (a + d) − ln d) = Φm = 2π Ia d x = 2π Ia 4π10−7 Φm = 2π 10 · 0,1 ln 3 = 2,2 · 10−7 Wb

µ0 a+d 2π Ia ln d

Příklad 3.11 V homogenním magnetickém poli o magnetické indukci B = 0,2 T je umístěna plochá obdélníková cívka s počtem závitů N = 50. Rozměry cívky jsou a = 5 cm, b = 3 cm. Magnetické pole je rovnoběžné s kratší stranou cívky. Jak velký je moment dvojice sil působících v magnetickém poli na cívku, jestliže jí prochází proud I = 5 A?

39

Řešení B = 0,2 T I = 5A N = 50

D1 = BIS sin α D = ND1 = NBIS sin α D = 50 · 0,2 · 5 · 0,0015 = 7,5 · 10−2 N · m

S = 0,0015 m2 α = 90◦ Příklad 3.12 Dvěma dlouhými přímými vodiči prochází stejné proudy I = 200 A opačnými směry. Vzdálenost mezi vodiči je d = 0,1 m. Určete velikost a směr síly, působící na délku a = 10 m každého z vodičů.

I d

Fm a

I

Fm

Řešení I = 200 A d = 0,1 m

I1 I2 F = µ0 2πd a 2002 F = 4π10−7 2π0,1 10 = 0,8 N

a = 10 m

3.2. Neřešené příklady Magnetická indukce, magnetický indukční tok, síly v magnetickém poli Příklad 3.13 Jaká síla působí na vodič délky l = 30 cm v homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,8 T, protéká-li jím proud 10 A, přičemž vodič je kolmý k magnetické indukci. Příklad 3.14 V homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,2 T je obdélníkový závit o rozměrech a = 6 cm a b = 4 cm. Magnetické pole je rovnoběžné s kratší stranou závitu. Jak velký je moment dvojice sil působících na závit, protéká-li jím proud I = 10 A? Příklad 3.15 Kruhová smyčka o poloměru r = 0,1 m je umístěna v homogenním magnetickém poli o indukci B = 1,4 T. Vypočtěte magnetický indukční tok smyčkou, je-li její rovina: • kolmá k vektoru magnetické indukce, • svírá s vektorem magnetické indukce úhel α = 60◦ . Příklad 3.16 Vypočtěte magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti a = 5 cm od velmi dlouhého přímého vodiče, kterým teče proud I = 5 A. Příklad 3.17 Vodičem kruhového tvaru o poloměru a = 0,1 m protéká proud I = 2 A. Vypočtěte velikost vektoru magnetické indukce: • ve středu vodiče, • v bodě na ose vodiče ve vzdálenosti b = 0,1 m od středu. Příklad 3.18 Dlouhým vodičem, který je ohnut do pravého úhlu, prochází proud I = 40 A. Vypočtěte magnetickou indukci v bodě P, je-li a = 2 cm. Příklad 3.19 Vypočtěte magnetickou indukci ve středu závitu tvaru čtverce o straně a = 0,1 m, kterým protéká proud I = 5 A.

40

Příklad 3.20 Závitem tvaru šestiúhelníka o straně a = 0,1 m protéká proud I = 5 A. Vypočtěte magnetickou indukci ve středu závitu. Příklad 3.21 Kolik závitů má solenoid délky l = 30 cm, jestliže se průchodem proudu I = 0,5 A v dutině vytvořilo magnetické pole o intenzitě H = 833 A · m−1 ? Příklad 3.22 Elektron vlétne do magnetického pole o indukci B = 10 T rychlostí v = 3 · 107 m · s−1 ve směru kolmém k poli. Vypočtěte sílu, kterou pole působí na elektron. Příklad 3.23 Elektron vlétne rychlostí v = 4,8 · 107 m · s−1 do magnetického pole o indukci B = 0,01 T kolmo k indukčním čarám. Vypočtěte poloměr dráhy elektronu. Příklad 3.24 Elektron vlétne do magnetického pole kolmo k indukčním čarám a koná kruhový pohyb s periodou T = 10−8 s. Vypočtěte magnetickou indukci pole. Jaký poloměr má dráha elektronu, získá-li rychlost potenciálovým rozdílem U = 3 000 V? Příklad 3.25 Elektron, který byl urychlen potenciálovým rozdílem U = 320 V a vlétl kolmo do homogenního magnetického pole o indukci B = 6·10−4 T, opisuje kruhovou dráhu o poloměru r = 0,1 m. Určete měrný náboj elektronu. Příklad 3.26 Jaká je intenzita homogenního magnetického pole, v němž je přímý vodič o délce l = 0,15 m, kolmý na směr magnetické indukce, vytlačován silou F = 0,2 N, protéká-li vodičem proud I = 10 A? Příklad 3.27 Jakou silou přitahuje vodič protékaný proudem I1 = 25 A délky 20 cm rovnoběžný vodič, jímž teče proud I2 = 30 A, je-li vzdálenost vodičů 1 cm? Příklad 3.28 Jaká je rychlost elektronů, jestliže současného vlivu elektrického pole o intenzitě E = 34 · 104 V · m−1 a magnetického pole o indukci B = 2 · 10−3 T nenastává výchylka elektronů, přičemž obě pole jsou kolmé vzájemně i ke směru pohybu elektronů? Jaký bude poloměr dráhy elektronů, jestliže elektrické pole odstraníme? Příklad 3.29 Vypočtěte velikost přitažlivé síly na délku 30 cm mezi dvěma dlouhými rovnoběžnými vodiči, jimiž prochází stejný proud 50 A, je-li vzájemná vzdálenost vodičů 5 cm? Příklad 3.30 Při zasunutí jádra do solenoidu vzrostla magnetická indukce z hodnoty B1 = 2,5 · 10−3 T na hodnotu B2 = 1,25 T při nezměněném proudu. Určete relativní permitivitu jádra. Příklad 3.31 Určete magnetický indukční tok v železe o průřezu S = 4 cm2 , je-li intenzita magnetického pole H = 8 000 A · m−1 Příklad 3.32 Dvěma dlouhými přímými mimoběžnými vodiči tečou proudy 12 A a 8 A. První vodič prochází osou x kartézské souřadné soustavy, druhý je rovnoběžný s osou y, ale je od roviny xy posunut ve směru osy z o vzdálenost 50 mm. Vypočtěte: • magnetickou indukci pole buzeného vodičem V1 v bodě P, • magnetickou indukci výsledného pole v bodě P, jestliže bod P leží na ose z ve vzdálenosti 85 mm od počátku soustavy (ve vakuu). Příklad 3.33 V rozvodu nízkého napětí jsou přímé sběrné vodiče upevněné vedle sebe rovnoběžně ve vzdálenosti 10 cm. Při krátkém spojení prochází nimi zkratový proud 104 A. Jakou silou se při zkratu přitahují dva sousední vodiče? Příklad 3.34 V homogenním magnetickém poli je vložený přímý vodorovný vodič kolmý na indukční čáry. Délková měrná hmotnost vodiče je 10 kg · m−1 . Vodičem protéká proud 2 A. Vypočtěte, jaká musí být indukce magnetického pole, aby vodič nepadal, ale vznášel se?

41

Příklad 3.35 Deuterium probíhá kruhovou dráhu o R = 40 cm v magnetickém poli o indukci B = 1,5 Wb · m2 . Určete: • rychlost deuteria, • za jakou dobu vykoná polovinu oběhu, • jakého napětí by bylo třeba k urychlení, aby získal tuto rychlost. Příklad 3.36 Svazek elektronů urychlených napětím U = 2 000 V a pohybujících se ve směru osy x vstupuje do příčného elektrického pole o intenzitě E = 3 · 104 V·m−1 (vektor E má směr osy y) a současně do příčného magnetického pole o magnetické indukci B (vektor B má směr osy z). Určete: • při jaké hodnotě magnetické indukce B nedojde k vychýlení svazku elektronů od původního směru, • poloměr kružnice, po níž se budou elektrony pohybovat, odstraníme-li elektrické pole, • o jaký úhel se svazek elektronů odchýlí od osy x v případě, že odstraníme magnetické pole a rozlehlost elektrického pole ve směru osy x je l = 50 mm (délka vychylovacích destiček).

B

Fe q

v

q

v

B

v Fe

Fm q v

E Fm

42

E

4.

Nestacionární elektromagnetické pole

4.1. Řešené příklady Příklad 4.1 Kovová tyč AB délky l = 0,5 m se vodivě dotýká dvou rovnoběžných drátů, které jsou na jednom konci spojeny. Homogenní magnetické pole o magnetické indukci B = 0,5 T je kolmé k rovině drátů. • vypočtěte velikost indukovaného napětí v tyči AB, pohybuje-li se tyč rychlostí v = 4 m·s−1 , • určete, jak velká vnější síla udrží tyč v pohybu, je-li v daném okamžiku odpor celého obvodu R = 0,2 Ω, • porovnejte výkon vnější síly s výkonem elektrického proudu v obvodu. Tření ve všech případech zanedbejte.

A

B

v

l B Řešení B = 0,5 T v = 4 m·s−1

dΦm = BdS = Blvdt m Ui = dΦ dt = Blv = 0,5 · 0,5 · 4 = 1 V

l = 0,5 m

1 Fv = Fm = BIl = B URi l = 0,5 0,2 0,5 = 1,25 N

R = 0,2 Ω

Pe =

Ui2 R

=

1 0,2

= 5W

Pv = Fv v = 1,25 · 4 = 5 W Příklad 4.2 Kovový kotouč o poloměru R rotuje s frekvencí f v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci B, která je kolmá k rovině kotouče. Jaké bude indukované napětí mezi středem a okrajem kotouče?

v B r

Řešení B R f

dUi = Bvdr = Bωrdr = B2πfωrdr ∫ ∫R Ui = dUi = Bω 0 rdr = 12 BωR 2

Příklad 4.3 Na železné obruči čtvercového průřezu s vnějším poloměrem r1 a vnitřním poloměrem r2 je hustě navinutá jednovrstvá toroidní cívka o N závitech. Předpokládejme, že µr železa je konstantní a že r1 − r2 ≪ r2 . • Vypočtěte vlastní indukčnost L toroidní cívky za předpokladu, že magnetická indukce B má v celém průřezu jádra konstantní hodnotu. • Vypočtěte vlastní indukčnost L toroidní cívky v případě, že velikost magnetické indukce B se bude měnit se vzdáleností od středu toroidní cívky. 43

(Návod: Pro výpočet B v jádře cívky využijte Ampérova zákona celkového proudu) Řešení ∮ ∮ ⃗ ⃗l = B dl µr µ0 µr NI = l Bd l 2 = π(r1 + r2 ) N délka střední indukční čáry l = 2π r1 +r 2 µ0 µr NI r1 , r2 B = π r1 +r2 plocha průřezu jádra S = (r1 − r2 )2 (r1 − r2 )2 Φm1 = BS = µ0πµr r1NI +r2 µ0 µr 2 (r1 −r2 )2 π N I (r1 +r2 ) µ0 µr 2 (r1 −r2 )2 π N r1 +r2

Φm = L=

= LI

µ0 µr NI = 2πrB 0 µr NI B = µ2π ∫ r ∫ ⃗ S ⃗ = µ0 µr NI (r1 − r2 ) r2 Φm1 = S Bd r1 2π Φm = NΦm1 = LI 0 µr L = µ2π N 2 (r1 − r2 ) ln rr21

dr r

=

µ0 µr 2π NI

(r1 − r2 ) ln rr12

Příklad 4.4 Velmi krátká kruhová cívka o 50 závitech má průřez 4 cm2 a je umístěna ve středu velmi krátké kruhové cívky s poloměrem 20 cm a se 100 závity. Osy obou cívek splývají. Určete: • jaká je vzájemná indukčnost cívek, • jaká bude hodnota indukovaného napětí v první cívce, jestliže proud v druhé cívce klesne rovnoměrně za 2 s o 10 A. Řešení N1 = 50 N2 = 100 S1 = 4 · 10−4 m2 r2 = 0,2 m

B = µ20 aI B2 = µ20 rI2 N2 Φm1 = B2 S1 N1 = µ20 N1r2N2 S1 I = MI −7 50·100 −4 M = µ20 N1r2N2 S1 = 4π10 = 6,28 µH 2 0,2 4 · 10

∆I = 10 A, ∆t = 2 s

∆I −5 Ui = M ∆t = 6,28 · 10−6 10 V 2 = 3,14 · 10

Příklad 4.5 Délka střední kružnice toroidní cívky je l = 50 cm, počet závitů N = 1 000 a příčný průřez S = 4 cm2 . Jádro cívky má relativní permeabilitu µr = 5 000. Vypočtěte: • koeficient vlastní indukčnosti cívky, • energii magnetického pole Wm , prochází-li vinutím cívky proud I = 10 A, • napětí indukované v cívce, jestliže při vypnutí zdroje proud ve vinutí cívky klesne na nulovou hodnotu za dobu t = 0,01 s. Řešení I = 10 A N = 1 000 µr = 5 000

B = µ0 µr NIl 2 Φm = BSN = µ0 µr Nl SI = LI 2 0002 L = µ0 µr Nl S = 4π10−7 5 000 1 0,5 4 · 10−4 = 5,026 H

l = 0,5 m

Wm = 12 BHV =

S = 4 · 10−4 m2

10 Ui = L ∆tI = 5 0,01 = 5 000 V

µ0 µr N 2 I 2 2 l S

=

4π10−7 5·103 106 102 2 0,5 4

· 10−4 = 251,3 J

∆t = 0,01 s Příklad 4.6

Cívka má odpor vinutí RL = 1 Ω a indukčnost L = 1 H. Určete:

• časovou konstantu obvodu, • proud v obvodu v čase t = 1 s od připojení obvodu ke zdroji Ue = 10 V, • ustálenou hodnotu proudu v obvodu,

44

• napětí, indukované v cívce, jestliže po odpojení zdroje klesne proud z ustálené hodnoty na nulu za dobu ∆t = 0,01 s. Řešení L RL

1 1

L = 1H

τ=

RL = 1 Ω

I = I0

Ue = 10 V

I0 =

Ue RL

Ui =

∆I −L ∆t

t = 1s

(

=

= 1s ( )) 1 − exp − τt = =

10 1

Ue RL

(

( )) 1 − exp − τt =

10 1

(1 − exp (−1)) = 6,32 A

= 10 A

10 = −1 0,01 = 1 000 V

∆t = 0,01 s Příklad 4.7 Kondenzátor o kapacitě C = 10 µF je připojen přes odpor R = 1 MΩ ke zdroji elektromotorického napětí Ue = 100 V. Vypočtěte: • časovou konstantu obvodu, • nabíjecí proudy v časech t1 = 0 s, t2 = 5 s, t3 = 20 s, t4 = 30 s od připojení obvodu ke zdroji napětí, • napětí na kondenzátoru v časech t1 až t4 , • vybíjecí proud kondenzátoru přes odpor R = 1 MΩ v časech t1 až t4 od odpojení zdroje poté, co byl nabit na napětí 100 V, • určete napětí UC na kondenzátoru v časech t1 až t4 . Řešení C = 10−5 F R = 106 Ω Ue = 100 V

τ = RC = 106 10−5 = 10 s ( ) ( ) In = I0 exp − τt = URe exp − τt In1 = 100 exp (0) = 10−4 A 106 ) ( 100 −5 In3 = 106 exp − 20 A 10 = 10 ( ( t )) Un = Ue 1 − exp − τ Un1 = 100 (1 − exp (0)) = 0 V )) ( ( = 86,5 V Un3 = 100 1 − exp − 20 10 ( t ) Ue ( t) Iv = I0 exp − τ = R exp − τ exp (0) = 10−5 A Iv1 = 100 106 ) ( −5 Iv3 = 100 A exp − 20 10 = 1 · 10 106 ( t) ( t) Uv = U0 exp − τ = Ue exp − τ Uv1 = 100 exp (0) = 100 V ( ) Uv3 = 100 exp 20 10 = 13,5 V

In2 = In4 =

100 106 100 106

( 5) exp − 10 = 6 · 10−5 A ( 30 ) exp − 10 = 5 · 10−6 A

( ( 5 )) Un2 = 100 1 − exp − 10 = 39 V ( ( 30 )) Un4 = 100 1 − exp − 10 = 95,0 V Iv2 = Iv4 =

100 106 100 106

( 5) exp − 10 = 6 · 10−5 A ( 30 ) exp − 10 = 5 · 10−6 A

(5) Uv2 = 100 − exp 10 = 60,6 V ( 30 ) Uv4 = 100 exp 10 = 5,0 V

Příklad 4.8 Rámeček o stranách a = 10 cm, b = 20 cm ovinutý N = 100 závity drátu se otáčí v homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,5 T kolem osy rovnoběžně se stranou b jdoucí středem strany a. Přitom koná 50 ots . Jaká je amplituda napětí indukovaného v závitu? Řešení N = 100 S = 0,02 m2 B = 0,5 T

Φm = NBS cos (ωt) m (ωt) Ui = − dΦ dt = NBSω sin Um = NBSω = NBS2πf = 100 · 0,5 · 0,02 · 2π50 = 314 V

f = 50 Hz Příklad 4.9 Ke zdroji stejnosměrného napětí Uef = 220 V frekvence f = 50 Hz je připojeno elektrické zařízení, které má činný příkon P = 500 W. Zařízení se skládá z činného odporu R a indukčnosti L. Ampérmetrem naměříme proud Ief = 2,5 A. Jaká je hodnota R a L?

45

Řešení Uef = 220 V f = 50 Hz P = 500 W Ief = 2,5 A

P = UI cos ϕ P 500 ϕ = arccos UI = arccos 220·2,5 = 24,6◦ UR = U cos ϕ UL = U sin ϕ ϕ 24,6◦ R = UIR = U cos = 220 cos = 80 Ω I 2,5 Lω = UIL L = UωIL =

U sin ϕ 2πfI

=

220 sin 24,6◦ 2π50·2,5

= 0,117 H

Příklad 4.10 V cívce s odporem vinutí RL = 10 Ω vznikne při frekvenci připojeného napětí f = 50 Hz fázový posun ϕ = 60◦ . Jaká je indukčnost cívky? Řešení ωL RL = 10 Ω tan ϕ = UURL = ωLI RL I = RL 10 f = 50 Hz L = RωL tan ϕ = 2π50 tan 60◦ = 0,055 H ϕ = 60◦ Příklad 4.11 podmínek:

Vypočítejte ztráty výkonu na elektrickém vedení z elektrárny ke spotřebiči za těchto

• přenášený výkon P = 100 kW, napětí na svorkách zdroje U = 22 kV, odpor vedení Rv = 10 Ω, fázový posun napětí vzhledem k proudu ϕ = 30◦ , • jaké by byly ztráty výkonu, bude-li napětí U = 220 V a ostatní podmínky zůstanou stejné. Řešení P = 105 W U = 2,2 · 104 V

P = UI cos ϕ P I = U cos ϕ

Rv = 10 Ω

10 P Pv = Rv I 2 = Rv U 2 cos 2 ϕ = 10 2,22 ·108 cos2 30◦ = 275,5 W

ϕ = 30◦

Pv′ = Rv I ′2 = Rv U ′2 Pcos2 ϕ = 10 220210 = 2,75 MW cos2 30◦

10

2

2

10

U ′ = 220 V Příklad 4.12 Jaký proud bude procházet kondenzátorem o kapacitě C = 20 µF a odporu R = 150 Ω, které jsou zapojené do série a připojeny ke zdroji napětí Uef = 110 V? Jaké napětí bude na kondenzátoru a na odporu při frekvenci f = 50 Hz? Řešení √ ( 1 )2 √ ( )2 1 Uef = 110 V Z = R 2 + ωC = 1502 + 2π502·10 = 219 Ω −5 Uef 110 f = 50 Hz Ief = Z = 219 = 0,5 A R = 150 Ω C = 2 · 10

−5

UR = RIef = 150 · 0,5 = 75 V F

UC =

I ωC

=

0,5 2π50·2·10−5

= 79,6 V

Příklad 4.13 Cívkou a kondenzátorem o kapacitě C = 10 µF, které jsou zapojeny do série, prochází proud I = 1 A při f = 50 Hz. Odpor cívky je RL = 120 Ω, napětí zdroje je U = 120 V. Jaký je koeficient vlastní indukčnosti cívky? Řešení √ ( ) 1 2 U = 120 V Z = UI = RL2 + ωL − ωC ) (√ ) (√ U2 1 1202 1 1 1 2 2 − RL + ωC = 2π50 − 120 + 2π50·10−5 = 1,01 H I = 1A L= ω I2 12 f = 50 Hz RL = 120 Ω C = 10−5 F

46

Příklad 4.14 Ke zdroji střídavého napětí U = 120 V, f = 50 Hz je připojen kondenzátor o kapacitě C = 20 µF a cívka o indukčnosti L = 0,5 H a odporu vinutí RL = 100 Ω. Kondenzátor a cívka jsou zapojeny paralelně. Vypočítejte proud kondenzátorem, proud cívkou a celkový proud. Řešení √ √ U = 120 V f = 50 Hz L = 0,5 H RL = 100 Ω

ZL = RL2 + (ωL)2 = 1002 + (2π50 · 0,5)2 = 186 Ω 1 1 ZC = ωC = 2π50·2·10 −5 = 159 Ω ZL ZC 186·159 Z = ZL +ZC = 186+159 = 85,7 Ω 120 I = UZ = 85,7 = 1,4 A

C = 2 · 10−5 F

IL = IC =

ZC 159 ZL +ZC I = 186+159 1,4 = 0,65 A ZL 186 ZL +ZC I = 186+159 1,4 = 0,54 A

Příklad 4.15 Spotřebič, jenž představuje RL zátěž, má příkon P = 3 kW a účiník cos ϕ = 0,6 a je připojený na elektrickou síť s napětím U = 220 V o frekvenci f = 50 Hz. Jak velký kondenzátor je třeba připojit paralelně ke spotřebiči, aby cos ϕ2 = 1? Řešení P = 3 · 103 W P = UI1 cos ϕ1 P cos ϕ1 = 0,6 I1 = U cos ϕ1 P U = 220 V IC = I1 sin ϕ2 = U cos ϕ1 sin ϕ2 U f = 50 Hz IC = ZC = UωC IC P 3·103 1 1 C = Uω = Uω U cos ϕ1 sin ϕ2 = 220·2π50 220·0,6 1 = 329 µF Příklad 4.16 Sériový obvod složený z kondenzátoru o kapacitě C = 8 µF, indukčnosti L = 2 H a rezistoru o odporu R = 30 Ω je připojený ke zdroji o napětí U = 100 V a frekvenci f = 50 Hz. Stanovte impedanci obvodu, proud obvodem, napětí na kondenzátoru, indukčnosti a rezistoru a účiník cos ϕ. Řešení √ √ )2 ( ) ( 1 2 1 = 232,38 Ω U = 100 V Z = R 2 + ωL − ωC = 302 + 2π50 · 2 − 2π50·8·10 −6 U Z

f = 50 Hz

I=

R = 30 Ω

UR =

L = 2H C = 8 · 10−6 F

UL = UC =

=

R ZU ZL Z U ZC Z

cos ϕ = Příklad 4.17

100 232,38

= 0,43 A

=

30 232,38 100

=

ωL Z U

U= R Z

=

=

= 12,9 V

2π50·2 232,38 100

= 270,4 V

1 ωC

1 Z = 2π50·8·10−6 232,38 100 30 232,38 = 0,13

= 171,2 V

Sériový obvod RLC se skládá z RL = 40 Ω, L = 1 H, C = 0,5 µF. Vypočtěte:

• rezonanční frekvenci obvodu, • proud v obvodu při rezonanci, je-li napájen napětím U = 100 V, • napětí na kondenzátoru a cívce při rezonanci. Řešení 1 1 √ = 2π √5·10 −7 2π LC U 100 A = = 2,5 RL 40

U = 100 V

fr =

RL = 40 Ω

Ir =

L = 1H

UL = ZL I =

C = 5 · 10−7 F

UC = ZC I =

= 225 Hz

√ √ RL2 + (ωL)2 I = 402 + (2π225)2 2,5 = 3,5 kV I ωC

=

2,5 2π225·5·10−7

= 3,5 kV

Příklad 4.18 K cívce o indukčnosti L = 0,1 H a odporu vinutí RL = 20 Ω je paralelně připojen kondenzátor o kapacitě C = 1 µF. Určete: • rezonanční frekvenci obvodu,

47

• impedanci obvodu při rezonanci, • proud cívkou a kondenzátorem, je-li obvod napájen napětím U = 100 V. Řešení U = 100 V RL = 20 Ω L = 0,1 H C = 10−6 F

fr =

1 √ 2π LC

IL =

U ZL U ZC

√1

= 503 Hz −6 0,1·10√ √ ZL = RL2 + (ωL)2 = 202 + (2π503 · 0,1)2 = 316 Ω 1 1 ZC = ωC = 2π503·10 −6 = 316 Ω ZL ZC Z = ZL +ZC = 158 Ω IC =

=

2π

100 316 = 0,32 A = 100 316 = 0,32 A

=

Příklad 4.19 K rezistoru R = 1 000 Ω je paralelně připojen kondenzátor o kapacitě C1 = 5 µF a do série s touto paralelní kombinací je zapojen kondenzátor C2 = 2 µF. Určete komplexní impedanci obvodu, je-li napájen střídavým napětím s frekvencí 50 Hz. Řešení R = 103 Ω ZˆR = R = 103 Ω 1 −6 C1 = 5 · 10 F ZˆC1 = − ωC1 1 j = − 2π50·5·10 −6 j = −636,6j Ω 3 3 ˆ ˆ −636,6·10 j Z Z −6 ′ R C1 ˆ = 3 = 636,6·10 3 = (4,0 − 63,4j) Ω C2 = 2 · 10 F Z = ZˆR +ZˆC 1

10 −636,6j

636,6+10 j

1 ZˆC2 = − ωC1 2 j = − 2π50·2·10 −6 j = −1591,5j Ω ′ ˆ ˆ ˆ Z = Z + ZC 2 = 4,0 − 63,4j − 1591,5j = (4,0 − 1654,9j) Ω

Příklad 4.20 Vypočtěte délky elektromagnetické vlny příslušející vlastním kmitům v paralelním LC obvodu v těchto případech: • indukce cívky L = 1 mH, kapacita kondenzátoru C = 3·10−2 µF a odpor vinutí cívky je zanedbatelně malý, • stanovte totéž v případě, že L = 2 µH a C = 50 pF. Řešení L1 = 1 · 10−3 H

fr1 =

C1 = 3 · 10−8 F

λ1 =

L2 = 2 · 10−6 H

fr2 =

C2 = 5 · 10−11 F

λ2 =

√1 = 2π √10−31 ·3·10−8 = 2,91 · 104 Hz 2π L1 C1 3·108 c 4 fr1 = 2,91·104 = 1,03 · 10 m 1 √1 = 2π √2·10−6 = 1,59 · 107 Hz 2π L2 C2 ·5·10−11 3·108 c fr2 = 1,59·107 = 18,9 m

4.2. Neřešené příklady Indukčnost Příklad 4.21 Vodič ve tvaru kruhového závitu o poloměru r = 10 cm je v homogenním magnetickém poli o indukci B = 1 T a jeho rovina je kolmá k vektoru magnetické indukce. Jaké indukované napětí vznikne ve vodiči, jestliže magnetické pole rovnoměrně vymizí za dobu t = 0,5 s? Příklad 4.22 Závit o plošném obsahu S = 500 cm2 se otáčí v homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,8 T s frekvencí f = 50 Hz. Osa otáčení je kolmá k B a leží v rovině závitu. Určete maximální hodnotu indukovaného elektromotorického napětí v závitu. Příklad 4.23 Vypočtěte Ue , které se indukuje v cívce s indukčností L = 0,6 H, jestliže v ní proud roste rovnoměrně tak, že se za ∆t = 1 s zvýší o ∆I = 1 A. Příklad 4.24 Dva obvody mají vzájemnou indukčnost M = 1,8 H. Jak velké napětí se indukuje v jednom z obvodů, jestliže proud ve druhém obvodu klesne z hodnoty I = 35 A na nulu během doby t = 0,7 s?

48

Příklad 4.25 Určete indukčnost cívky, která má průřez S = 1,25 · 10−3 m2 , délku l = 0,08 m a počet závitů N = 400, je-li relativní permeabilita jádra µr = 4 000. Příklad 4.26 Cívka s 500 závity má délku 20 cm a průřez 4 cm2 . Indukčnost cívky s jádrem je 0,8 H. Určete µr jádra. Příklad 4.27 Kolik závitů má cívka délky 0,2 m s průřezem 10 cm2 , jestliže se v ní rovnoměrnou změnou proudu o 10 A za 1 s indukuje napětí 0,014 V a cívka je bez jádra? Příklad 4.28 Vypočtěte energii magnetického pole cívky, jejíž indukčnost L = 60 mH, prochází-li cívkou proud I = 0,5 A. Příklad 4.29 Em = 50 J?

Jaký proud prochází tlumivkou o indukčnosti L = 4 H, má-li magnetické pole energii

Příklad 4.30 Cívka má odpor 1 Ω a indukčnost 0,1 H. Určete časovou konstantu cívky a vypočtěte okamžitou hodnotu proudu v čase t = 0,5 s po odpojení cívky od napětí Ue = 10 V. Příklad 4.31 Prstencové jádro o středním poloměru 0,1 m, průřezu 5 · 10−4 m2 a relativní permeabilitě µr = 800 je ovinuto 1 500 závity, jejichž odpor je 2 Ω. Určete časovou konstantu obvodu. Příklad 4.32 Rovinný kondenzátor s parafínovým papírem jako dielektrikem ztratil z původního náboje Q0 za dobu t = 10 s náboj Q = 0,1Q0 . Za předpokladu, že ztráty nastaly vedením v papíru, vypočtěte měrný odpor parafínu. Příklad 4.33 Kruhová cívka C1 o 50 závitech jemného drátu má průřez S1 = 4 cm2 a je umístěna ve středu kruhové cívky C2 o délce 20 cm, mající 100 závitů. Osy obou cívek splývají. Určete: • jaká je vzájemná indukčnost cívek, • jaké je indukované elektromotorické napětí v cívce C1 , když proud v cívce C2 klesne o 40 A za 1 s. Příklad 4.34 Přímá tyč o délce 20 cm se otáčí kolem jednoho svého konce v rovině kolmé k indukčním čarám homogenního magnetického pole o indukci 1 T. Jak velké je indukované napětí mezi oběma konci tyče, otočí-li se 10krát za sekundu? Příklad 4.35 Obdélníkový vodič se otáčí 1200krát za minutu ve stejnorodém magnetickém poli o indukci B = 0,5 T. Indukční čáry jsou kolmé k ose otáčení. Konce vodiče jsou připojeny ke dvěma sběrným kroužkům. Určete napětí na kroužcích a jeho maximum, je-li a = 60 cm, b = 30 cm. Příklad 4.36 Prstenec z lité oceli má střední průměr 150 mm a průřez 20 × 20 mm2 . V jednom místě je proříznut mezerou 1 mm širokou. Jak velký proud musí procházet 1 000 závity, jimiž je prstenec ovinut, má-li se v něm vzbudit indukční tok 540 µWb? Příklad 4.37 Podkovový elektromagnet o délce 1 m s jádrem z měkké oceli, jehož magnetické vlastnosti jsou dány (µr = 1 250), má průřez 20 cm2 a 200 závitů drátu, jímž prochází proud 5 A. Určete magnetickou energii v jádře. Příklad 4.38 Kovová tyč se pohybuje stálou rychlostí v = 2 m · s−1 rovnoměrně s dlouhým přímým drátem, jímž prochází proud I = 40 A. Vypočtěte indukované elektromotorické napětí v tyči. Který konec tyče je na vyšším potenciálu? Příklad 4.39 Mezi póly elektromagnetu je homogenní magnetické pole o indukci B = 0,5 T. Jaké napětí se indukuje ve vodiči délky l = 0,1 m, který je kolmý k vektoru magnetické indukce a pohybuje se rychlostí v = 1 m · s−1 ve směru kolmém k B i ke své délce?

49

Příklad 4.40 Vodivá tyč je v homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,5 T. Určete velikost indukovaného elektromotorického napětí v tyči, pohybuje-li se rychlostí v = 4 m · s−1 . Určete proud procházející obvodem, je-li odpor obvodu R = 2 Ω a sílu, která působí na pohybující se tyč. Vzájemná vzdálenost drátů je l = 0,5m. Příklad 4.41 Ve kterých okamžicích je v kmitajícím obvodu energie elektrického pole kondenzátoru stejně velká jako energie magnetického pole cívky? Střídavý proud Příklad 4.42

Určete efektivní hodnotu harmonického střídavého proudu a napětí.

Příklad 4.43

Určete střední hodnotu harmonického střídavého proudu.

Příklad 4.44

Vypočtěte výkon střídavého proudu.

Příklad 4.45 napětím.

Vypočtěte průběh proudu v obvodu s indukčností L napájeném harmonickým střídavým

Příklad 4.46 Vypočtěte průběh proudu v obvodu s kapacitou C napájeném harmonickým střídavým napětím. Příklad 4.47 Jaká je indukčnost cívky se zanedbatelným odporem, jestliže po zapojení na střídavé napětí 110 V a 50 Hz propouští proud 10 A? Příklad 4.48 Jakou kapacitanci představuje kondenzátor o kapacitě 8 µF po připojení na střídavé napětí o frekvenci 50 Hz? Příklad 4.49 Při jakém napětí bude procházet cívkou, která má odpor 35 Ω a indukčnost 0,1 H proud 3 A při frekvenci 50 Hz? Příklad 4.50 Jaký proud protéká obvodem s L = 4 H, C = 16 µF, které jsou paralelně spojeny a připojeny na zdroj střídavého napětí s U = 220 V a f = 50 Hz? Příklad 4.51 Kondenzátor o kapacitě C = 16 µF a rezistor o odporu R = 200 Ω jsou zapojeny do série a připojeny ke zdroji střídavého napětí U = 220 V, f = 50 Hz. Určete impedanci obvodu, proud v obvodu, fázový posuv mezi proudem a napětím, napětí na kondenzátoru a na odporu. Příklad 4.52 V obvodu střídavého proudu jsou zapojeny za sebou odpor 400 Ω, cívka o indukčnosti 0,1 H a kondenzátor o kapacitě 0,5 µF. Vypočtěte impedanci a fázový posuv v obvodu pro frekvenci 1 000 Hz. Příklad 4.53 Sériový obvod složený z cívky s odporem R = 0,2 Ω, indukčností L = 50 µH a z kondenzátoru o C = 300 pF je připojen na střídavé napětí U = 4 V. Vypočtěte rezonanční frekvenci, rezonanční proud a napětí na indukčnosti a kapacitě při rezonanci. Příklad 4.54 Odpor R = 3 Ω a kondenzátor o kapacitanci XC = 5 Ω jsou spojeny paralelně a připojeny ke zdroji střídavého napětí U = 10 V, f = 50 Hz. Vypočtěte impedanci obvodu, proud jdoucí kondenzátorem a proud jdoucí odporem, celkový proud a fázový posuv mezi proudem a napětím. Příklad 4.55 Na střídavé napětí U = 100 V, f = 50 Hz jsou paralelně zapojeny odpor R = 20 Ω, cívka o induktanci XL = 25 Ω a kondenzátor o kapacitanci XC = 50 Ω. Určete proud v obvodu, proud v jednotlivých větvích a fázový posuv mezi proudem a napětím. Příklad 4.56 Na zdroj střídavého napětí je připojen otevřený kabel, který představuje válcový kondenzátor o velké kapacitě. Generátor představuje indukčnost L. Celý obvod má určitý odpor jako obvod RLC . Nechť je vrcholové napětí generátoru 6 000 V, celková indukčnost obvodu L = 32 H, kapacita kabelu C = 1,5 µF, kmitočet proudu f = 50 Hz a celkový odpor vedení 2 Ω. Určete napětí při rezonanci. 50

Příklad 4.57 Ke zdroji střídavého napětí 220 V s frekvencí f = 50 Hz je připojen kondenzátor s kapacitou 6 pF. Vypočítejte, jaký proud teče obvodem a jaký proud by procházel, kdyby se frekvence zvýšila desetinásobně. Příklad 4.58 Jak velké je výsledné střídavé napětí v obvodu, v němž jsou zapojeny za sebou dva zdroje střídavého napětí U1 = 30 V, U2 = 40 V, jestliže U1 předbíhá U2 o fázový úhel 60◦ . Jak velká je hodnota napětí v okamžiku, když U1 je maximální? Příklad 4.59 Určete fázový posuv a velikost proudu, který dodává zdroj do dvou paralelních větví, mají-li jednotlivé proudy velikost I1 = 3 A, I2 = 4 A a fázové posuvy ϕ1 = 30◦ , ϕ2 = 60◦ . Příklad 4.60 Při otáčení závitu v homogenním magnetickém poli je amplituda střídavého napětí 100 V a perioda 0,02 s. Určete okamžitou hodnotu napětí v časech 0,005 s, 0,01 s, 0,015 s, 0,02 s. Příklad 4.61 Maximální hodnota střídavého napětí je 300 V, frekvence je 50 Hz. Za jaký čas po nulové hodnotě dosáhne okamžitá hodnota napětí 30 V, respektive 150 V? Příklad 4.62 V obvodu střídavého napětí 500 V, 50 Hz jsou zařazeny za sebou činný odpor 300 Ω, induktivní odpor 400 Ω a kapacitní odpor 500 Ω. Určete: • indukčnost a kapacitu, • impedanci, • proud v obvodu, • fázový posuv mezi proudem a napětím, • jak velká musí být kapacita, aby nastala rezonance a jaký proud protéká obvodem v tomto případě. Příklad 4.63 Solenoid o délce l = 50 cm, průřezu S = 10 cm2 s počtem závitů N = 3 000 a odporem R = 20 Ω je zapojen na střídavé napětí 100 V. Vypočtěte hodnotu proudu, je-li frekvence 50 Hz, 250 Hz a 500 Hz. Příklad 4.64 Jaký proud bude procházet kondenzátorem C = 20 µF a odporem R = 150 Ω, které jsou spojeny za sebou, je-li na nich napětí U0 = 110 V při frekvenci 50 Hz? Jaké napětí bude na kondenzátoru a jaké na odporu? Příklad 4.65 Na papírový válec dlouhý l = 50 cm o průměru d2 = 6 cm je navinuto N = 500 závitů měděného drátu o průměru d1 = 0,05 mm. Při jaké frekvenci f je impedance takové cívky 2krát větší než odpor samotného drátu? Příklad 4.66 Primární cívka nezatíženého síťového trafa má N závitů a je připojena k síťovému napětí o efektivní hodnotě U a frekvenci f. Cívkou prochází magnetizační proud o efektivní hodnotě I. Jádro transformátoru složené z magneticky měkkých ocelových plechů má průřez S a délku střední indukční čáry l. Určete: • indukčnost primární cívky trafa, • amplitudu Bm kmitů magnetické indukce v jádře transformátoru, • relativní permitivitu jádra. (N = 900, U = 220 V, I = 115 mA, S = 10,5 cm2 , l = 41 cm)

... Poděkování Autor textu děkuje studentu Marku Nedvědovi za převod rukopisu do elektronické formy. 51