MATEMATIKA 9. ROČNÍK CZ.1.07/1.1.16/02.0079 Sada pracovních listů Resumé Sada pracovních listů zaměřená na opakování, procvičení a upevnění učiva 9. ročníku – racionální čísla, desetinná čísla, zlomky, výrazy, rovnice, soustavy rovnic, slovní úlohy, goniometrické funkce, kužel, válec, jehlan, koule. Může být využita jako samostatná práce, společná nebo skupinová práce v hodině či k domácí přípravě žáků. Součástí je i řešení jednotlivých pracovních listů. Sada byla ověřena během výuky od 4. 1. 2013 do 3. 1. 2015
Mgr. Bronislava Trčková, Daniela Trčková, Luboš Trčka
1
Obsah 1. Největší společný dělitel čísel, nejmenší společný násobek čísel .................. 4 2. Zlomky ......................................................................................................... 6 3. Celá čísla ...................................................................................................... 8 4. Číselné výrazy a jejich úpravy ..................................................................... 10 5. Opakování z 8. ročníku ............................................................................... 12 6. Číselné výrazy............................................................................................. 14 7. Lineární rovnice - 1..................................................................................... 16 8. Lineární rovnice 2 ....................................................................................... 18 9. Lineární rovnice, výrazy, složené zlomky .................................................... 21 10.
Statistika ................................................................................................. 25
11.
Číselné výrazy, mnohočleny, vzorečky .................................................... 28
12.
Slovní úlohy - lineární rovnice ................................................................ 32
13.
Rovnice se dvěma neznámými ................................................................ 35
14.
Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 1 ..................................... 38
15.
Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých – 2 .................................. 40
16.
Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 3 ..................................... 42
17.
Slovní úlohy - úlohy o pohybu ................................................................ 45
18.
Příprava na 2. kontrolní práci: ................................................................. 48
19.
Goniometrické funkce ............................................................................. 52
20.
Goniometrické funkce 2 ......................................................................... 54
21.
Podobnost, goniometrické funkce 3........................................................ 56
22.
Goniometrické funkce – slovní úlohy ...................................................... 58
23.
Goniometrické funkce ............................................................................. 60
2
24. Povrch jehlanu ........................................................................................... 62 25. Kužel – povrch a objem (rotační)- obrázek ................................................ 64 26. Kužel – povrch a objem (rotační)- obrázek ................................................ 67 27. Povrch a objem kuželu............................................................................... 69 28. Koule – 1 .................................................................................................... 71 29. Koule – 2 .................................................................................................... 73 30. Lomené výrazy – úpravy, podmínky.......................................................... 74 31. Lomené výrazy – výpočty +, -, ., :, podmínky .............................................. 76 32. Složené úrokování – 1 ................................................................................ 78 34. Slovní úlohy – 1 .......................................................................................... 80 35. Slovní úlohy - 2 ........................................................................................... 82 36. Opakování 1 ............................................................................................... 84 37. M9 – motivace ........................................................................................... 87 38. M9 - motivace ............................................................................................ 89 Zdroje:.............................................................................................................. 91
3
1. Největší společný dělitel čísel, nejmenší společný násobek čísel D(16, 6) = 16 = 6=
n(16, 6) =
D(24, 18) = 24 = 18 =
n(24, 18) =
D(42, 44) = 42 = 44 =
n(42, 44) =
D(12, 25) = 12 = 25 =
n(12, 25) =
D(20, 50) = 20 = 50 =
n(20,50) =
D(30, 45) = 30 = 45 =
n(30,45) =
D(21, 8) = 21 = 8=
n(21, 8) =
D(17, 9) = 17 = 9=
n(17,9) =
D(88, 22) =
n(88, 22) =
88 = 22 =
4
1. Největší společný dělitel čísel, nejmenší společný násobek čísel - řešení D(16, 6) = 2
n(16, 6) = 48
16 = 2 . 2 . 2 . 2 6=2.3 D(24, 18) = 6
n(24, 18) = 72
24 = 2 . 2 . 2 . 3 18 = 2 . 3 . 3 D(42, 44) = 2
n(42, 44) = 924
42 = 2 . 3 . 7 44 = 2 . 2 . 11 D(12, 25) = 1 12 = 2 . 2 . 3
n(12, 25) = 300
25 = 5 . 5 D(20, 50) = 10
n(20,50) = 100
20 = 2 . 2 . 5 50 = 2 . 5 . 5 D(30, 45) = 15
n(30,45) = 90
30 = 2 . 3 . 5 45 = 3 . 3 . 5 D(21, 8) = 1
n(21, 8) = 168
21 = 3 . 7 8=2.2.2 D(17, 9) = 1 17 = 17
n(17,9) = 153
9= 3.3 D(88, 22) = 22 88 = 2 . 2 . 2 . 11
n(88, 22) = 88
22 = 2 . 11 5
2. Zlomky Vypočítej:
+
2 7
1 6
4 5
1 4
2 5
1 4
3 7
3 8
2 9
1 5
3 8
1 10
4 3
3 5
4 9
3 10
5 3 8 5
5 3 8 5
. 7 4 8 3
: 5 6 5 2
6
2. Zlomky
- řešení
Vypočítej: + 41 21 66 35
33 18 53 30
37 15 4
23 12 37 20
19 15 30 25
17 12 27 20
26 21 41 35
31 24 49 40
-
Str. 4
. 7 18 16 27
7 20 8 15
21 32 1
7 40 4 15
5 8 15 8
25 18 3 2
15 8 45 8
25 9 25 3
:
7
3. Celá čísla 1.
Vyznač celá čísla na číselné ose: -4, 0, -2, -1, 1, 2
0
2. Porovnej celá čísla: -3
-4;
2
-4;
| -11 | 11;
3. Urči absolutní hodnotu: | -29| =
|12| =
|30| =
4. Vypočítej: | -11 | + 19 = |10 | . | 7 | = | -22 | : | -2 | =
| -32 | - |23 | = | -60 | : |- 6 | = | 0 | + |11 | =
5. Vypočítej |4|+ |-3| =
|-12| . |-7| =
5+2=
|-4| +16 =
|-8| - 3 =
|-13| + 0 =
6 . |-9| =
|-22| - |-17| =
|-22| + |-17| =
8 + |-7| =
| -21| – 23 = | -1| . 0 =
26 : 13 = |-4| + |- 7| =
8
| -12| =
4
-10;
3. Celá čísla - řešení 1. Vyznač celá čísla na číselné ose : -4, 0, -2, -1, 1, 2 2. Porovnej celá čísla: - 3 > - 4;
2 > - 4;
|-11| = 11;
4 > - 10
3. Urči absolutní hodnotu:
|-29| = 29
|12| = 12
|30| = 30
|-12| = 12
4. Vypočítej: (výsledky - po sloupcích) 5. Vypočítej:
30;
70;
11;
9;
10;
(výsledky – po sloupcích)
7; 7; 5; 54; 39; -2; 0; 84; 20; 13; 3; 15; 2; 11
9
11
4. Číselné výrazy a jejich úpravy
7 - 62 =
4 - 72 =
(7 – 6)2 =
(4 – 7)2 =
72 – 6 =
42 – 7 =
(7 + 4) . 32 = (8 + 3) . 22 = 8 + 42 . 3 = 9 + 32 . 4 = √(𝟒 . 𝟐𝟓) - 76 : 4 = √(𝟓𝟎 . 𝟐) - 72 : 4 = 4,3 + 3,1 . 3 – 4,4 = 9 . [(21,7 – 14,3) – 4,4] = 7,6 + 4,2 . 2 – 5,7 = 2 + [7 – 8 : (12 : 3 + 4)] = 3 . [(34,7 – 22,3) – 7,4] = (5 + 7 – 8) . [6 : (15 – 17)] = [(72 – 12) : 4] : [6 – 45 : 5] = 0,5 . {[(2 + 3)2 – (5 – 3)3] . 4 – 9} = 2 . {[80 . 0,1 + (√25 - √144)] – 3 } =
10
4. ČÍSELNÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY - řešení
7 - 62 =
4 - 72 = -45
-29
(7 – 6)2 = 1
(4 – 7)2 = 9
72 – 6 = 43
42 – 7 = 9
(7 + 4) . 32 = 99 (8 + 5) . 22 = 52 8 + 42 . 3 = 56 9 + 32 . 4 = 45 √(𝟒 . 𝟐𝟓) - 76 : 4 = -9 √(𝟓𝟎 . 𝟐) + 72 : 4 = 28 4,3 + 3,1 . 3 – 4,4 = 9,2 6 . [(21,7 – 14,3) – 4,4] = 18 7,6 + 4,2 . 2 – 5,7 = 10,3 2 + [7 – 8 : (12 : 3 + 4)] = 8 3 . [(34,7 – 22,3) – 7,4] = 15 (5 + 7 – 8) . [6 : (15 – 17)] = -8 [(72 – 12) : 4] : [6 – 45 : 5] = -5 0,5 . {[(2 + 3) . 2 – (5 – 3) . 3] . 4 – 9} = 3,5 2 . {[80 . 0,1 + (√25 - √144)] – 3 } = -4
11
5. Opakování z 8. ročníku 1. Umocni výrazy: 3
( 𝑢 + 0,2 v)2 = 4
(2b3 -
1 2
𝑐)2 =
1
( 𝑎 − + 3 b4)2 = 2
(0,09 x + 0,6 y2)2 =
2. Rozlož na součin: 9 a2 – 4 b4 = x2 – 6 x + 9 = 36x2 – 81 = c2 + 10 cd + 25 =
12
5. Opakování z 8. ročníku - řešení 1. Umocni výrazy: 0,5625u2 + 0,3uv + 0,04v2 4b5 – 2b3c + 9c2 0,25a2 – 3ab4 + 9b6 0,0081x2 + 0,108xy2 + 0,36y4
2. Rozlož na součin: (3a – 2b2) . (3a + 2b2) (x – 3)2 (6x – 9) . (6x + 9) (c + 5)2
13
6. Číselné výrazy
1. Vypočítej. 72 . 43 63 . 142
2 . 7 – 19 =
91 : 7 – 4 =
2. Pojmenuj výraz a vypočítej ho: 10 - 5 . 3 = (4 + 8) . (5 – 9) =
18 - 4 . 6 = (2 + 8)2 . (8 – 9) = 3. Vypočítej: √169 + √64 = √25 . 144 . 9 = 7 – √270 − 149 + 2 . 11 2 = 4. Vypočítej:
{[32 − 2. (12 − 8) + 6 ∶ 2] − 7 . 0} + 102 =
√225 − {[42 + 2. (4 − 5) + 2 . 6] − 2} − 5 . (2 − 6)2 =
√324 . √25 + √169 . 49 =
21 + √19 + 177 - 3 . 2 2 = 5. Vypočítej: {3 . 4[6 − 2. (4 − 9) + 1] + 2 . 5} − 12 ∶ 2 = √144 − {13 + [5 − 3 . (8 − 9) + 2 . 4] + 10} − (3 − 5)2 = 14
6. Číselné výrazy - řešení 1. Vypočítej: 72 . 43 63
.
142
𝟐 𝟐𝟕
2 . 7 – 19 = - 5
91 : 7 – 4 = 9
2) Pojmenuj výraz a vypočítej ho: 10 - 5 . 3 = (4 + 8) . (5 – 9) = 18 - 4 . 6 = (2 + 8)2 . (8 – 9) =
-5 (rozdíl) -48 (součin) -6 (rozdíl) 100 (součin)
3) √169 + √64 = 21 √25 . 144 . 9 = 180 7 – √270 − 149 + 2 . 11 2 = 238 4) Vypočítej: {[32 − 2. (12 − 8) + 6 ∶ 2] − 7 . 0} + 102 = 104 √225 − {[42 + 2. (4 − 5) + 2 . 6] − 2} − 5 . (2 − 6)2 = 71 √324 . √25 + √169 . 49 =
181
21 + √19 + 177 - 3 . 2 2 =
23
5) Vypočítej:
{3 . 4[6 − 2. (4 − 9) + 1] + 2 . 5} − 12 ∶ 2 = 208 √144 − {13 + [5 − 3 . (8 − 9) + 2 . 4] + 10} − (3 − 5)2 = 10 15
7. Lineární rovnice - 1 1) Vyřeš rovnice, proveď zkoušku 2x+1=5
3 x – 2 = 13
2 (x – 2) = 2
2) Urči koncentraci kyseliny octové, která vznikne smícháním 6 litrů 20% kyseliny s 8 litry 25% kyseliny a 4 litry 40% kyseliny.
3) Cukrář připravil 10 kg směsi bonbónů, 1kg za 250 Kč. Kilogram balených bonbónů stojí 260 Kč, 1 kg nebalených 220 Kč. Kolik kg balených a kolik kg nebalených bonbónů bylo ve směsi?
16
7. Lineární rovnice 1 - řešení 1) Vyřeš rovnice, proveď zkoušku 2x+1=5
x=2 3 x – 2 = 13
x=5 2 (x – 2) = 2
x=3
2) Urči koncentraci kyseliny octové, která vznikne smícháním 6 litrů 20% kyseliny s 8 litry 25% kyseliny a 4 litry 40% kyseliny.
26,7 % (26,66666…) 3) Cukrář připravil 10 kg směsi bonbónů, 1kg za 250 Kč. Kilogram balených bonbónů stojí 260 Kč, 1 kg nebalených 220 Kč. Kolik kg balených a kolik kilogramů nebalených bonbónů bylo ve směsi?
7,5 kg po 260 Kč ………….. 1950 Kč 2,5 kg po 220 Kč ………….. 550 Kč 2 500 Kč
17
8. Lineární rovnice 2 Vyřeš rovnice, proveď zkoušku
2x - 3 = 5 x + 9
8x + 11 = 6 + 3x
10y + 11 = 5y + 9 - 3y
18 + 12 x -10 = 27x + 7 - 13x
18
2.(y + 1) = 6
5 . (3 - y) = 12,5
3 . (5 -2x) + 5x = 5 - 3(x - 1)
3 . (4x + 3) = 1 - 6 . (1-x)
19
8. Lineární rovnice 2 - řešení Vyřeš rovnice, proveď zkoušku
2x - 3 = 5 x + 9 X=-4 8x + 11 = 6 + 3x X=-1 10y + 11 = 5y + 9 - 3y 𝟏
y = - 0,25 (- ) 𝟒
18 + 12 x -10 = 27x + 7 -13x 𝟏
X = 0,5 ( ) 𝟐
2.(y + 1) = 6 Y=2 5 . (3 - y) = 12,5 Y = 0,5 3 . (5 -2x) + 5x = 5 - 3(x - 1) X = - 3,5 3 . ( 4x + 3) = 1 - 6 . (1-x) X=-
𝟕 𝟑
20
9. Lineární rovnice, výrazy, složené zlomky 1. Vyřeš rovnice a proveď zkoušku:
a) 3 −
𝑥+3 4
-
𝑥+2 3
=
𝑥+1 2
b) -[⌊2 . (2 − 𝑦) − (2 − 𝑦)]– 2 = 0
c) 2𝑥 −
2+3𝑥 4
=2+
1+𝑥 2
d) 2 - 2.(3 − 2𝑦) = −4 + 4𝑦 21
Vypočítej
a)
b)
1 4 15 2 5 24 2 5 1 3 6 2 7 9 3 4
2
3 1 2 4 2 3 5 2 1 6 3
c)
3 6 1 5
7 d)
3. Umocni výrazy: 3
( 𝑢 + 0,2 v)2 =
(2b3 -
4
1
( 𝑎 − 3 b4)2 =
1 2
𝑐)2 =
(0,09 x + 0,6 y2)2 =
2
4. Rozlož na součin: 9 a2 – 4 b4 =
x2 – 6 x + 9 =
36x2 – 81 =
c2 + 10 cd + 25 =
22
9. Lineární rovnice, výrazy, složené zlomky 1. Vyřeš rovnice a proveď zkoušku: a) 3 −
𝑥+3
-
4
𝑥+2 3
=
𝑥+1 2
x=1 b) -[⌊2 . (2 − 𝑦) − (2 − 𝑦)]– 2 = 0 y=4 c) 2𝑥 −
x=
2+3𝑥 4
=2+
1+𝑥 2
4 3
d) 2 - 2.(3 − 2𝑦) = −4 + 4𝑦 0=0 Nekonečně mnoho řešení Vypočítej
1 4 15 2 5 24 2 5 1 3 6 2 3 1 2 4 2 3 5 2 1 6 3
𝟏 𝟖
7 9 𝟏𝟎𝟎 3 𝟐𝟕 4
2
3 6 1 5
7 𝟑 𝟒
23
𝟕𝟐 𝟐
3. Umocni výrazy: 3
𝟗
4
𝟏𝟔
1) ( 𝑢 + 0,2 v)2 = (2b3 -
1 2
𝑐)2 =
1
( 𝑎 − 3 b4)2 = 2
(0,09 x + 0,6 y2)2 =
u2 + 0,3 uv + 0,04 v2 𝟏
4 b6 - 2 b3 + c2 𝟒
𝟏 2 a - 3 ab4 + 9 b8 𝟒
0,0081 x2 + 0,108 xy2 + 0,36 y4
4. Rozlož na součin: 1)
9 a2 – 4 b4 = (3a + 2b2) . (3a - 2b2) = x2 – 6 x + 9 = (x – 3)2
36x2 – 81 = (6x + 9) . (6x + 9)
c2 + 10 cd + 25 = (c + 5)2
24
10.Statistika 1. Urči relativní četnost v procentech, aritmetický průměr, modus a medián písemky. Narýsuj graf známky
1
2
3
4
5
četnost
3
5
4
6
2
RČ v%
25
2. Urči relativní četnost v procentech, aritmetický průměr, modus a medián písemky. Narýsuj graf známky
1
2
3
4
5
četnost
2
7
6
4
1
RČ v%
26
10. Statistika
- řešení
1. Urči relativní četnost v procentech, aritmetický průměr, modus a medián písemky. Narýsuj graf
známky
1
2
3
4
5
četnost
3
5
4
6
2
RČ 15 % v%
25 %
20 %
30 %
10 %
Aritmetický průměr = 2,95
Známky z prověrky
10
Modus =
4
medián = 3 5
0 1
2
3
4
5
2. Urči relativní četnost v procentech, aritmetický průměr, modus a medián písemky. Narýsuj graf známky
1
2
3
4
5
četnost
2
7
6
4
1
RČ 10 % v%
35 %
30 %
20 %
Aritmetický průměr = 2,95
8
Modus =
6
2
medián = 3
5%
Známky z prověrky
4 2 0 1
27
2
3
4
5
11.Číselné výrazy, mnohočleny, vzorečky 1) (17 + 3.7) – 5 = 2) 3[(−5) − (3 + 1)] = 3) 3[(−5). 3 + 1] = 4) (((12 + 9) − 6): (13 − 8)) . (−3) = 5) 7 − {15 − [16 ∶ (204 − 14 . (11 + 3)) + 5] − 2} − (5 + 3) =
6) 18 − {2 + 3 . [21 − (√81 − 2)]} =
7) 15− [
(√144 + √25 − 11) − (|−7| + 1) ]=
3
8) 12 – {4 . [17,6 − (15 − 4)] + √0,16} =
9)
6.
5 −8 2 1 5 ( − ) 3 4
=
28
2) Mnohočleny, vzorečky (a + 3).[(a – 2) + (a – 4)].(a + 1) = (2a + 6)2 = (2a - 6)2 = (7 + a)2 = (7 - a)2 = (6 - b)2 = (6 + b)2 = (3a + 4b)2 = (3a - 4b)2 = (10 - t)2 = (10 + t)2 = (16 + b) . (16 - b) = Rozložte na součin vytýkáním:
6p3 – 3p2 + 9p = 3(a – 4) + b(a – 4) = a(x + 3) + 2x + 6 = 5x – y – 4z(y – 5x) =
29
11. Číselné výrazy, mnohočleny, vzorečky – řešení 1) (17 + 3 . 7) – 5 = 33 2) 3[(−5) − (3 + 1)] = - 27 3) 3[(−5) . 3 + 1] =
- 42
4) (((12 + 9) − 6): (13 − 8)) . (−3) =
-9
5) 7 − {15 − [16 ∶ (204 − 14 . (11 + 3)) + 5] − 2} − (5 + 3) = - 7 6) 18 − {2 + 3 . [21 − (√81 − 2)]} = - 26
7) 15 − [
(√144 + √25 − 11) − (|−7| + 1) ] = 15 3
8) 12 – {4 . [17,6 − (15 − )] + √0,16} = 1,15 4
9)
6.
5 −8 2 1 5 ( − ) 3 4
=1
30
2) mnohočleny
(a + 3).[(a – 2) + (a – 4)].(a + 1) = 2a3 + 2a2 – 18a -18 (2a + 6)2 = 4 a2 + 24 a + 36 (2a - 6)2 = 4 a2 - 24 a + 36 (7 + a)2 = 49 + 14 a + a2 (7 - a)2 = 49 - 14 a + a2 (6 - b)2 = 36 – 12 b + b2 (6 + b)2 = 36 + 12 b + b2 (3a + 4b)2 = 9 a2 + 24 ab + 16 b2 (3a - 4b)2 = 9 a2 + 24 ab + 16 b2 (10 - t)2 = 100 – 20 t + t2 (10 + t)2 = 100 + 20 t + t2 (16 + b) . (16 - b) = 256 – b2 (4x3 + 5y) . (4x3 - 5y) = 16 x6 – 25 y2
Rozložte na součin: 6p3 – 3p2 + 9p = 3p(2p2 – p + 3) 3(a – 4) + b(a – 4) = (a – 4) (3 + b) a(x + 3) + 2x + 6 = a(x + 3)+2(x + 3) = (x + 3)(a + 2) 5x – y – 4z(y – 5x) = (5x – y) + 4z(5x – y) = (5x – y)(1 + 4z)
31
12.Slovní úlohy - lineární rovnice 1. První obkladač by obložil bazén za 5 dní, druhý by to zvládl za 7 dní. Jak dlouho by jim trvala práce společně?
2. Dva pracovníci kopou výkop. První by to vykopal sám za 3 hodiny, druhý za 6 hodin. a) První kopal sám hodinu a půl, výkop pak dokončil druhý. Jak dlouho trvala práce.
b) Druhý pracoval sám 2 hodiny, výkop pak dokončil první. Jak dlouho trvala práce?
32
3. První písařka přepíše rukopis o 600 stranách za 20 hodin, druhá za 15 hodin. a) První psala sama 6 hodin, pak to přepisovaly spolu. Jak dlouho celý přepis trval?
b) Druhá písařka psala sama 9 hodin, pak jí pomohla první písařka. Jak dlouho trval přepis?
4. Dva dělníci hloubí příkop. První by to zvládl za 6 hodin, druhý za 3 hodiny. Jak jim to bude trvat společně?
33
12 Slovní úlohy - lineární rovnice - řešení 1. První obkladač by obložil bazén za 5 dní, druhý by to zvládl za 7 dní. Jak dlouho by jim trvala práce společně?
2
𝟏𝟏 𝟏𝟐
dne
2. Dva pracovníci kopou výkop. První by to vykopal sám za 3 hodiny, druhý za 6 hodin. a) První kopal sám hodinu a půl, výkop pak dokončil druhý. Jak dlouho trvala práce.
4,5 h b) Druhý pracoval sám 2 hodiny, výkop pak dokončil první. Jak dlouho trvala práce?
4h 3. První písařka přepíše rukopis o 600 stranách za 20 hodin, druhá za 15 hodin. a) První psala sama 6 hodin, pak to přepisovaly spolu. Jak dlouho celý přepis trval?
12 h b) Druhá písařka psala sama 9 hodin, pak jí pomohla první písařka. Jak dlouho trval přepis?
2
𝟑 𝟕
h
4) Dva dělníci hloubí příkop. První by to zvládl za 6 hodin, druhý za 3 hodiny. Jak jim to bude trvat společně?
2h
34
13.Rovnice se dvěma neznámými
Napiš 3 řešení rovnice ve tvaru [x0;y0] = [x; x-5] 1) 2x -3y = 4
2) 5x – 2y = 3
3) 3x + 5 y = 6
35
4) 3x + 2y = 6
5) 2x – 5y = -2
6) 4x + 2y = 4
36
13. Rovnice se dvěma neznámými
Napiš 3 řešení rovnice ve tvaru [x0;y0] = [x; x-5] 1) 2x -3y = 4
[x0;y0] = [
𝟒+𝟑𝒚 𝟐
; 𝒚] - [x0;y0] = [ 𝟓; 𝟐], [x0;y0] = [ 𝟖; 𝟒]
2) 5x – 2y = 3 𝟑+𝟐𝒚
[x0;y0] = [
𝟓
; 𝒚] ; [x0;y0] = [𝟏; 𝟏]
3) 3x + 5 y = 6 𝟔−𝟓𝒚
[x0;y0] = [
𝟑
; 𝒚] ; [x0;y0] = [−𝟑; 𝟑]
4) 3x + 2y = 6
[x0;y0] = [x;
𝟔−𝟑𝒙
] ; [x0;y0] = [2; 𝟎]
𝟐
5) 2x – 5y = -2 𝟓𝒚−𝟐
[x0;y0] = [
; y]; [x0;y0] = [𝟒; 2]
𝟐
6) 4x + 2y = 4
[x0;y0] = [x;
𝟒−𝟒𝒙 𝟐
] ; [x0;y0] = [2; −𝟐] 37
14.Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 1 řešení metodou dosazovací, sčítací nebo kombinovanou nezapomeň na zkoušky v tabulce najdi řešení – k výsledku připiš označení příkladu ___________________________________________________________________________ 1) 3𝑥 − 7𝑦 = −29 8𝑥 + 𝑦 = 21
2)
10𝑥 − 7𝑦 = 29 4𝑥 − 5𝑦 = 27
3) 11𝑥 + 8𝑦 = 4 7𝑥 − 4𝑦 = −52
38
4) 9) 2𝑥 + 7𝑦 = 2 −3𝑥 − 11𝑦 = −1
5) −5𝑥 + 60𝑦 = 0 4𝑥 − 8𝑦 = 40
[-2;-7]
[2;5]
[1;5]
[17;0]
[12;1]
[15;0]
[3;6]
[-1;13]
[-4;6]
[15;-4]
[-1;-2]
[8;-20]
[5;7]
[7;12]
[1;-1]
39
15.Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých – 2 řešení metodou dosazovací, sčítací nebo kombinovanou nezapomeň na zkoušky v tabulce najdi řešení k výsledku připiš označení příkladu 6) 0,4𝑥 − 0,6𝑦 = 15,2 1,2𝑥 + 0,4𝑦 = 1,6
7)
5𝑥 − 2𝑦 = −1 2𝑥 − 5𝑦 = 8
8) 2 𝑥 − 6 𝑦 = 30 7𝑥 + 5𝑦 = 105
40
9) 8𝑥 − 𝑦 = −21 3𝑥 + 2𝑦 = 23
10) 5𝑥 − 2𝑦 = 3 10𝑥 + 𝑦 = 36
[-2;-7]
[2;5]
[1;5]
[17;0]
[12;1]
[15;0]
[3;6]
[-1;13]
[-4;6]
[15;-4]
[-1;-2]
[8;-20]
[5;7]
[7;12]
[1;-1]
41
16.Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 3 řešení metodou dosazovací, sčítací nebo kombinovanou nezapomeň na zkoušky v tabulce najdi řešení k výsledku připiš označení příkladu 11) 𝑥 − 6 𝑦 = 17 7 𝑥 + 10 𝑦 = 119
12) 12 𝑥 + 2 𝑦 = 22 −3 𝑥 + 4 𝑦 = 17
13) 6 𝑥 − 7𝑦 = −19 −4 𝑥 + 2 𝑦 = −6
42
14)
−0,3𝑥 + 0,4𝑦 = 2,7 −1,5𝑥 − 0,9𝑦 = −21,3
15) 8 𝑥 − 10 𝑦 = 18 12 𝑥 − 12 𝑦 = 24
[-2;-7]
[2;5]
[1;5]
[17;0]
[12;1]
[15;0]
[3;6]
[-1;13]
[-4;6]
[15;-4]
[-1;-2]
[8;-20]
[5;7]
[7;12]
[1;-1]
43
14. – 16. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 1 – 3 – řešení 3𝑥 − 7𝑦 = −29 8𝑥 + 𝑦 = 21
8𝑥 − 10𝑦 = 18
[2;5]
12𝑥 − 12𝑦 = 24 [1;-1]
10𝑥 − 7𝑦 = 29 4𝑥 − 5𝑦 = 27
𝑥 − 6𝑦 = 17
[-2;-7]
7𝑥 + 10𝑦 = 119
[-4;6]
12𝑥 + 2𝑦 = 22
[17;0]
11𝑥 + 8𝑦 = 4 7𝑥 − 4𝑦 = −52
[1;5]
−3𝑥 + 4𝑦 = 17 2𝑥 + 7𝑦 = 2 −3𝑥 − 11𝑦 = −1 [15;-4]
6𝑥 − 7𝑦 = −19
[5;7]
−4𝑥 + 2𝑦 = −6 −5𝑥 + 60𝑦 = 0 4𝑥 − 8𝑦 = 40
7𝑥 − 10𝑦 = 1,8
[12;1]
[2,4;1,5]
−3𝑥 + 5𝑦 = 0,3 5𝑥 − 2𝑦 = −1 2𝑥 − 5𝑦 = 8
0,4𝑥 − 0,6𝑦 = 15,2
[-1;-2]
[8;-20]
1,2𝑥 + 0,4𝑦 = 1,6 2𝑥 − 6𝑦 = 30 7𝑥 + 5𝑦 = 105
−0,3𝑥 + 0,4𝑦 = 2,7
[15;0]
−1,5𝑥 − 0,9𝑦 = −21,3 [7;12] 8𝑥 − 𝑦 = −21 3𝑥 + 2𝑦 = 23
1,6𝑥 + 0,3𝑦 = −5,5
[-1;13]
0,4𝑥 − 𝑦 = −4
[-4;3]
5𝑥 − 2𝑦 = 3 10𝑥 + 𝑦 = 36
[3;6]
𝑥 − 10𝑦 = 11 𝑥 + 15𝑦 = 27
44
[12;-0,1]
17.Slovní úlohy - úlohy o pohybu 1) Avie vyjíždí z Prahy do Bratislavy průměrnou rychlostí 72
𝑘𝑚 ℎ
.
Za 40 minut za ním vyjelo osobní auto průměrnou rychlostí 88 Kdy a v jaké vzdálenosti od Prahy dostihne osobní auto Avii?
𝑘𝑚 ℎ
.
2) Dvě letadla startují současně z letišť A a B, které jsou od sebe vzdáleny 560 km. Letadla letí proti sobě a míjejí se za 20 minut. Vypočítejte rychlosti obou letadel, když je jejich rozdíl 60
45
𝑘𝑚 ℎ
.
3) Auto jelo z města A do města B 4 hodiny. Při zpáteční cestě jelo auto rychlostí o 15
𝑘𝑚 ℎ
větší, a tak zpáteční cesta trvala 0 48 minut méně než
cesta tam. Určete vzdálenost měst A a B.
46
17. Slovní úlohy - úlohy o pohybu - řešení 1) Avie vyjíždí z Prahy do Bratislavy průměrnou rychlostí 72 minut za ním vyjelo osobní auto průměrnou rychlostí 88
𝑘𝑚
𝑘𝑚 ℎ
ℎ
. Za 40
.
Kdy a v jaké vzdálenosti od Prahy dostihne osobní auto Avii? 𝟐
Za 1 h, 88 km od Prahy 𝟗
2) Dvě letadla startují současně z letišť A a B, které jsou od sebe vzdáleny 560 km. Letadla letí proti sobě a míjejí se za 20 minut. Vypočítejte rychlosti obou letadel, když je jejich rozdíl 60
𝑘𝑚 ℎ
.
V1 = 870 km/h, V2 = 810 km/h, 3) Auto jelo z města A do města B 4 hodiny. Při zpáteční cestě jelo auto rychlostí o 15
𝑘𝑚 ℎ
větší, a tak zpáteční cesta trvala 0 48 minut méně než
cesta tam. Určete vzdálenost měst A a B.
Vzdálenost měst A a B je 240 km
47
18. Příprava na 2. kontrolní práci: 1) Soustava rovnic o dvou neznámých x – 2y = 3 2x + y = 16
3x – 6y = 0 5x + 2y = 18
x – 3y = - 6 x+ y= 4
2y + 3t = - 8 -y + 1,5t = 2
x + 3y = 7 5x – 4y = - 22
x+y =-1 x + 5y = 3
2) Jana má v pokladničce 23 bankovek. Spoří si dvousetkoruny a pětisetkoruny. Kolik je kterých bankovek, když úspory činí 9 100 Kč?
Jaká bude výsledná koncentrace směsi, když smícháme 15 litrů 70 % lihu, 20 litrů 45 % kyseliny a 10 litrů 30 %.
3) Označ vrcholy, zapiš hodnoty ke stranám a dopočítej funkce a úhly v pravoúhlém trojúhelníku: 12 m 20 m
4) Vypočítej velikost druhé odvěsny a délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je – li dáno: a = 6 cm, β = 54° (nezapomeň obrázek) 48
5) Urči a) velikosti goniometrických funkcí úhlů sin 48°22´ = cos 48°22´ = sin 83°51´ = cos 53°23´ = b) úhly příslušné goniometrickým funkcím: sin α = 0,544 8 cos α = 0,544 8 α= α=
tg 48°22´ = tg 83°23´ =
tg α = 0,5444 8 α=
9. Lanovka spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 350 m. lanovka stoupá v úhlu 64°. Vypočítej vzdálenost stanic.
10. Jak je vysoká rozhledna vrhající stín dlouhý 53 m, dopadají-li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 43°
11. Do bazénu vedou celkem tři potrubí. Jedno naplní bazén za 60 minut, další za 40 minut a poslední za 25 minut. Za jak dlouho naplní bazén, když se budou napouštět ze všech tří trubek?
49
18. Příprava na 2. kontrolní práci: - řešení 1) Soustava rovnic o dvou neznámých x – 2y = 3 2x + y = 16
3x – 6y = 0 5x + 2y = 18
[x; y] = [7 ;2]
[x; y] = [3 ;1,5]
x – 3y = - 6 x+ y= 4
2y + 3t = - 8 -y + 1,5t = 2 𝟐
[x; y] = [1,5 ;2,5]
[x; y] = [- ; - 1] 𝟑
x + 3y = 7 5x – 4y = - 22
x+ y =-1 x + 5y = 3
[x; y] = [- 2; 3]
[x; y] = [-2 ; 1]
2) Jana má v pokladničce 23 bankovek. Spoří si dvousetkoruny a pětisetkoruny. Kolik je kterých bankovek, když úspory činí 9 100 Kč?
8 x 200 Kč = 1 600 15 x 500 Kč = 7 500 9 100 Kč Jaká bude výsledná koncentrace směsi, když smícháme 15 litrů 70 % lihu, 20 litrů 45 % kyseliny a 10 litrů 30 %.
50 % 3) Označ vrcholy, zapiš hodnoty ke stranám a dopočítej funkce a úhly v pravoúhlém trojúhelníku: B sin 30°57´ = 0,5143 sin 59° 3´ = 0,8576 12 m cos 30°57´ = 0,8576 cos 59° 3´ = 0,5143 tan 30°57´ = 0,6000 tan 59° 3´ = 1,668
c = 23,3 cm C
20 m
A
50
4) Vypočítej velikost druhé odvěsny a délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je – li dáno: a = 6 cm, β = 54° (nezapomeň obrázek)
b = 8,2 cm; c = 10,2 cm 5) Urči a) velikosti goniometrických funkcí úhlů
sin 48°22´ = 0,7474 cos 48°22´ = 0,2695 tg 48°22´ = 1,125 sin 83°51´ = 0,0,9942 cos 53°23´ = 0,0,1071 tg 83°23´ = 9,281 b) úhly příslušné goniometrickým funkcím: sin α = 0,544 8 cos α = 0,544 8
α = 33°
α = 56°59´
tg α = 0,5444 8
α =28° 35´
9. Lanovka spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 350 m. Lanovka stoupá v úhlu 64°. Vypočítej vzdálenost stanic.
389,4 m 10. Jak je vysoká rozhledna vrhající stín dlouhý 53 m, dopadají-li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 43°
49,4 m 11. Do bazénu vedou celkem tři potrubí. Jedno naplní bazén za 60 minut, další za 40 minut a poslední za 25 minut. Za jak dlouho naplní bazén, když se budou napouštět ze všech tří trubek?
12´ 15“ (12,24 min)
51
19.Goniometrické funkce Urči ( na 4 desetinná místa):
Urči α, když:
sin 69° = sin α = 0, 7 431 cos 69° =
α=
tg 69° =
cos α = 0, 4 125 α=
sin 37° 16´=
tg α = 12, 2 468 cos37° 16´=
α=
tg 37° 16´=
sin α = 0,1234 α=
Urči ( na 4 desetinná místa):
Urči β, když: sin β = 0, 2 431 β=
sin 26° =
cos β = 0, 9 125
cos 26° =
β= tg 26° =
tg β = 2, 2 468 β=
sin 52° 41´=
cos β = 0, 1256
cos 52° 41´=
β= tg 52° 41´=
52
19. Goniometrické funkce - řešení Urči ( na 4 desetinná místa):
sin α = 0, 7 431
sin 69° = 0,9336 cos 69° = 0,3584 tg 69° = 2,6051
α = 47° 59´ cos α = 0, 4 125 α = 65°38´
sin 37° 16´= 0,6055 cos37° 16´= 0,7958 tg 37° 16´= 0,7609
tg α = 12, 2 468 α = 85°19´ sin α = 0,1234 α = 7°5´
Urči α, když: Urči ( na 4 desetinná místa):
Urči β, když:
sin 26° = 0,4384
sin β = 0, 2 431
cos 26° = 0,8988
β = 14°4´ cos β = 0, 9 125
tg 26° = 0,4877
β = 24°8´
sin 52° 41´= 0,7953
tg β = 2, 2 468 β = 66°
cos 52° 41´= 0,6062
cos β = 0, 1256 tg 52° 41´= 1,3119
β = 82° 47´
53
20. Goniometrické funkce 2 1. Narýsuj ∆ ABC a urči sin 25° ( pomocí úhlu).
2. Urči ( na 4 desetinná místa): sin 47° 26´= cos 37° 46´= 3. Urči α, když: sin α = 0, 3 431 α=
cos α = 0, 9 125 α=
tg 67° 56´ = tg α = 4, 2 468 α=
4. V pravoúhlém ∆ ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je α = 54°, c = 72 mm, urči délky a, b obou odvěsen (výsledek v mm)
5. Urči přeponu pravoúhlého ∆ ABC, je – li dána odvěsna b = 8, 2 cm a úhel β = 66°.
6. Je dán pravoúhlý ∆ ABC, s pravým úhlem při vrcholu C. Vypočítej velikost obou ostrých úhlů, je – li dáno: b = 9,6 cm; c = 13,9 cm.
54
20. Goniometrické funkce 2 - řešení 1. Narýsuj ∆ ABC a urči sin 25° ( pomocí úhlu).
2. Urči ( na 4 desetinná místa): sin 47° 26´= 0,7365
cos 37° 46´= 0,7905
tg 67° 56´ = 2,4668
3. Urči α, když: sin α = 0, 3 431
α = 20° 4´
cos α = 0, 9 125
α = 24° 8´
tg α = 4, 2 468
α = 76° 45´
4. V pravoúhlém ∆ ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je α = 54°, c = 72 mm, urči délky a, b obou odvěsen (výsledek v mm)
a = 58 mm b = 42 mm 5. Urči přeponu pravoúhlého ∆ ABC, je – li dána odvěsna b = 8, 2 cm a úhel β = 66°.
c = 9,0 cm 6. Je dán pravoúhlý ∆ ABC, s pravým úhlem při vrcholu C. Vypočítej velikost obou ostrých úhlů, je – li dáno: b = 9,6 cm; c = 13,9 cm. 9,6 : 13,9 = 0,7059
β = 44° 54´ α = 45° 6´
55
21. Podobnost, goniometrické funkce 3 1. podobnost trojúhelníků Jsou trojúhelníky ABC a XYZ podobné? Dokaž, podobnost zapiš. Trojúhelník ABC má strany a = 5cm, b = 2,5 cm a c = 7,5 cm, trojúhelník XYZ má x = 9 cm, y = 3 cm a z = 6 cm.
2. Najdi v tabulkách nebo vypočítej na kalkulačce sin 36° 20´ = cos 86° 50´ = tg 12° 40´ 3. Jak dlouhá je nájezdová rampa, která svítá s vodorovnou rovinou 35° a překonává převýšení 1,2m. (Náčrt, zápis, vzorec, výpočet, odpověď)
4. Rozděl graficky úsečku AB, velikost této úsečky je 11 cm v poměru 8 : 5
5. Rozděl graficky úsečku XY o velikosti 9 cm na 7 stejných dílů.
56
21. Podobnost, goniometrické funkce - řešení 1. podobnost trojúhelníků Jsou trojúhelníky ABC a XYZ podobné? Dokaž, podobnost zapiš. Trojúhelník ABC má strany a = 5cm, b = 2,5 cm a c = 7,5 cm, trojúhelník XYZ má x = 9 cm, y = 3 cm a z = 6 cm.
ZYX ~
ABC , k = 1,2 z = 1,2 . a
y = 1,2 . b
x = 1,2 . c
2. Najdi v tabulkách nebo vypočítej na kalkulačce sin 36°20´ = 0,5925 cos 86°50´ = 0,0552 tg 12°40´ = 0,2247 3. Jak dlouhá je nájezdová rampa, která svítá s vodorovnou rovinou 35° a překonává převýšení 1,2m. (Náčrt, zápis, vzorec, výpočet, odpověď)
c = 2,09 m 4. Rozděl graficky úsečku AB, velikost této úsečky je 11 cm v poměru 8 : 5
5. Rozděl graficky úsečku XY o velikosti 9 cm na 7 stejných dílů.
57
22. Goniometrické funkce – slovní úlohy 1) Úsek lanovky spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 180 m. Lanovka stoupá v úhlu 56°. Vypočítej délku lana příslušného úseku.
2) Jak vysoká je rozhledna vrhající stín dlouhý 31 m; dopadají – li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 47°?
3) V pravoúhlém ∆ ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je β = 47°, c = 80 mm, urči délky a, b obou odvěsen (výsledek v mm)
58
22. Goniometrické funkce - řešení 1) Úsek lanovky spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 180 m. Lanovka stoupá v úhlu 56°. Vypočítej délku lana příslušného úseku. x 180 m sin 56° =
𝟏𝟖𝟎
0,8290 =
56°
𝒙 180 𝑥
x = 180 : 0,8290
x = 217 m
Lano je dlouhé 217 m.
2) Jak vysoká je rozhledna vrhající stín dlouhý 31 m; dopadají – li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 47°? x 47°
tg 47° = 1,0724 =
𝒙 𝟑𝟏
31 m
𝑥 31
x = 31 . 1,0724
x = 33,2 m
Rozhledna je vysoká 33,2 m 3) V pravoúhlém ∆ ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je β = 47°, c = 80 mm, urči délky a, b obou odvěsen (výsledek v mm) úhly – 43°, 47°; funkce sinus
a = 55 mm, b = 59 mm
59
23. Goniometrické funkce 1. Lanovka má přímou trať délky 550 m a stoupá pod úhlem 41°. Jaký je výškový rozdíl horní a dolní stanice?
2. Jak dlouhý musí být žebřík přistavený k místu, které je 12 m nad vodorovnou rovinou, má-li se svislým směrem svírat úhel o velikosti 42° (v metrech)
3. V pravoúhlém ∆ ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je β = 61°, b = 50 mm, urči délku druhé odvěsny a přepony (výsledek mm).
60
23. Goniometrické funkce - řešení 1. Lanovka má přímou trať délky 550 m a stoupá pod úhlem 41°. Jaký je výškový rozdíl horní a dolní stanice?
sin 41° =
550 m X
56°
0,6561 =
𝒙 𝟓𝟓𝟎 𝒙
𝟓𝟓𝟎
x = 0,6561 . 550 x = 361 m
Výškový rozdíl stanic je 361 m.
2. Jak dlouhý musí být žebřík přistavený k místu, které je 12 m nad vodorovnou rovinou, má-li se svislým směrem svírat úhel o velikosti 42° (v metrech)
42° x
cos 42° = 0,7431 =
12 m
𝟏𝟐 𝒙 𝟏𝟐 𝒙
x = 12 : 0,7431 x = 16,1 m
3. V pravoúhlém ∆ ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je β = 61°, b = 50 mm, urči délku druhé odvěsny a přepony (výsledek mm). Úhly 61°, 29°; funkce sinus, kosinus 28 mm; 57 mm
61
24. Povrch jehlanu Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 6 dm, v = 8 dm. (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty)
Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 4,4 cm, va = 11 cm (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty)
Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 4,5 cm, va = 12 cm (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty)
Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 32 mm, v = 51mm. (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty)
62
24. Povrch jehlanu - řešení Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 6 dm, v = 8 dm. (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty)
S = 138 cm2 Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 4,4 cm, va = 11 cm (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty)
S = 116,16 cm2 Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 4,5 cm, va = 12 cm (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty)
S = 128,25 cm2 Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 32 mm, v = 51mm. (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty)
S = 4 448 cm2
63
25. Kužel – povrch a objem (rotační)- obrázek 1. Vypočítej objem kužele o poloměru r = 45 mm a straně s = 75 mm.
2. Rovnostranný trojúhelník o straně 2 dm se otáčí kolem své výšky. Vypočítej povrch a objem vzniklého tělesa.
3. Obvod podstavy rotačního kužele je 22 cm, výška 5 cm. Vypočítej jeho objem.
4. Jak se změní objem vašeho modelu rotačního kužele, zdvojnásobíš-li jeho průměr, ale výšku zmenšíš na polovinu ?
64
5. Jak se změní povrch vašeho modelu rotačního kužele, zmenšíš-li průměr i výšku na polovinu?
6. Objem rotačního kužele je 462cm3, průměr podstavy je 14 cm. Vypočítej jeho výšku
65
25. Kužel – povrch a objem (rotační)- obrázek - řešení 1. Vypočítej objem kužele o poloměru r = 45 mm a straně s = 75 mm.
V = 127 cm3 2. Rovnostranný trojúhelník o straně 2 dm se otáčí kolem své výšky. Vypočítej povrch a objem vzniklého tělesa.
S = 9,4 dm2 V = 1,8 dm3 3. Obvod podstavy rotačního kužele je 22 cm, výška 5 cm. Vypočítej jeho objem.
V = 64 cm3 4. Jak se změní objem vašeho modelu rotačního kužele, zdvojnásobíš-li jeho průměr, ale výšku zmenšíš na polovinu ?
V se zvětší 2x ! 5. Jak se změní povrch vašeho modelu rotačního kužele, zmenšíš-li průměr i výšku na polovinu ?
S se zmenší 4x ! 6. Objem rotačního kužele je 462cm3, průměr podstavy je 14 cm. Vypočítej jeho výšku
v = 9 cm
66
26. Kužel – povrch a objem (rotační)- obrázek 1. Objem rotačního kužele je 924cm1,poloměr podstavy je 7cm. Vypočítej jeho výšku.
2. Obvod podstavy rotačního kužele je 44 cm jeho výška je 12cm. Vypočítej jeho Objem.
3. Vypočítej objem rotačního kužele, jehož osový řez má úhel při vrcholu ω 144° a průměr podstavy d = 20cm.
4. Osový řez rotačního kužele je rovnoramenný trojúhelník se základnou d = 14cm a přilehlým úhlem ω = 48°. Vypočítej plášť kužele.
67
26. Kužel – povrch a objem (rotační)- obrázek 1) Objem rotačního kužele je 924cm2 ,poloměr podstavy je 7cm. Vypočítej jeho výšku.
v = 18cm 2) Obvod podstavy rotačního kužele je 44 cm jeho výška je 12cm. Vypočítej jeho objem
V = 615 cm3 3)Vypočítej objem rotačního kužele , jehož osový řez má úhel při vrcholu ω = 144° a průměr podstavy d = 20cm.
V = 335cm3 4) Osový řez rotačního kužele je rovnoramenný trojúhelník se základnou d = 14cm a přilehlým úhlem ω = 48°. Vypočítej plášť kužele.
Spl = 229cm2
68
27. Povrch a objem kuželu Vypočítej povrch a objem kuželu, je- li dáno 1) r = 5 cm; v = 8 cm
2) r = 7 cm; s = 11 cm
3) r = 6 cm; α = 59°
4) v = 9 cm; α = 71°
69
27. Povrch a objem válce - řešení Vypočítej povrch a objem kuželu, je- li dáno: 1) r = 5 cm; v = 8 cm
s = 9,4 cm V = 209,3 cm3 S = 226,1 cm2 2) r = 7 cm; s = 11 cm
v = 8,5 cm V = 435,9 cm3 S = 392,6 cm2 3) r = 6 cm; α = 59° v = 10,0 cm s = 11,7 cm V = 376,8 cm3 S = 333,5 cm2 4) v = 9 cm; α = 71° r = 3,1 cm s = 9,5 cm V = 90,5 cm3 S = 122,6 cm2
70
28. Koule – 1 1. Vypočítej povrch a objem koule, která má průměr 6 dm.
2. Vypočítej povrch a objem koule, která má poloměr 2,8 cm.
3. Vypočítej objem koule, která má povrch 942 m2
4. Kolik barvy je potřeba na natření vodojemu ve tvaru koule o průměru 15 m, jestliže na 1 m2 je potřeba 150 g barvy? Kolik vody obsahuje vodojem?
5. Jaká je hmotnost ozdobné betonové koule, která má být umístěna na pilíři plotu, jestliže její průměr je 40 cm a hustota betonu je 1 700 kg/m3?
71
28. Koule – 1 - řešení 1. Vypočítej povrch a objem koule, která má průměr 6 dm.
S = 113,04 dm2 V = 113,04 dm3
2. Vypočítej povrch a objem koule, která má poloměr 2,8 cm.
S = 98,47 cm2 V = 91,91 cm3
3. Vypočítej objem koule, která má povrch 942 m2
V = 2 719 m3
4. Kolik barvy je potřeba na natření vodojemu ve tvaru koule o průměru 15 m, jestliže na 1 m2 je potřeba 150 g barvy? Kolik vody obsahuje vodojem?
S = 706,5 m2 106 kg barvy V = 1766,25 m3 = 176 625 l vody 6. Jaká je hmotnost ozdobné betonové koule, která má být umístěna na pilíři plotu, jestliže její průměr je 40 cm a hustota betonu je 1 700 kg/m3?
V = 0,03349 m3
m = 56,9 kg
72
29. Koule – 2 1. Vypočítej povrch a objem koule, která má poloměr 1,2 dm.
S = 18,09 dm2 V = 7,23 dm3
2. Vypočítej povrch a objem koule, která má průměr 22 cm.
S = 1 519,8 cm2 V = 5 572,5 cm3
3. Kolik látky je potřeba na ušití kulovitého horkovzdušného balónu o průměru 15 m? Kolik vzduchu je potřeba na naplnění balónu?
S = 706,5 m2 látky V = 1 766,3 m3 vzduchu
4. Povrch koule je 2 462 cm2. Vypočtěte poloměr koule.
r = 14 cm 5. Vodojem ve tvaru koule má průměr 16 m. Kolik plechu je potřeba na zhotovení tohoto vodojemu? Na spoje přidejte 8 %. Kolik vody obsahuje?
S = 803,84 m2 ; 108 % …. 868,15 m2 plechu V = 2 143,6 m3 73
30. Lomené výrazy – úpravy, podmínky 1) uprav lomený výraz a zapiš podmínky 𝟐𝒓𝒔𝟑 𝟑𝒓𝟐 𝒔
𝒂𝟐 +𝒂𝒃 𝟒𝒂
=
=0
2) Napiš, kdy je výraz roven nule: (𝑥+2)(3𝑥−6) 5𝑥+ 6
=0
3) Zkrať výrazy, urči podmínky: 𝒙+𝟏 𝒙²+𝒙
𝒃+𝟑 𝒃𝟐 −𝟗
=
=
74
30. Lomené výrazy – úpravy, podmínky- řešení 1) uprav lomený výraz a zapiš podmínky 𝟐𝒓𝒔𝟑 𝟑𝒓𝟐 𝒔
𝒂𝟐 +𝒂𝒃 𝟒𝒂
=
=
𝟐𝒔𝟐 𝟑𝒓
r ≠ 0; s ≠ 0
;
𝒂 +𝒃 𝟒
;
a ≠𝟎
2) Napiš, kdy je výraz roven nule: (𝑥+2)(3𝑥−6) 5𝑥+ 6
=0
→ (x + 2) . (3x – 6) = 0 X = - 2 nebo x = 2 ; x
3) Zkrať výrazy, urči podmínky: 𝒙+𝟏 𝒙²+𝒙
𝒃+𝟑 𝒃𝟐 −𝟗
=
=
𝟏 𝒙
; x ≠ 0; x ≠ -1
𝟏 𝒃 −𝟑
𝒃
≠ 3, b ≠-3
75
≠ − 𝟏, 𝟐
31. Lomené výrazy – výpočty +, -, ., :, podmínky Vypočítej a urči podmínky 1)
𝟕𝒙−𝟏 𝟒−𝒙𝟐
2)
+
𝟒−𝒂 𝟏𝟓𝒂𝟑 𝒃
𝟑)
𝟒)
𝒂+𝒃 𝟔𝒃𝟐
𝒙+𝒚 𝒙−𝒚
.
∶
𝟔 𝟐+𝒙
=
𝟏𝟔−𝒂𝟐 𝟐𝟓𝒂𝒃𝟐
𝟗𝒂𝒃 𝟑(𝒂+𝒃)
=
𝟐𝒙𝒚
+ 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 =
76
31. Lomené výrazy 2 – výpočty - řešení Vypočítej a urči podmínky 1)
2)
𝟕𝒙−𝟏
+
𝟒−𝒙𝟐
𝟒−𝒂 𝟏𝟓𝒂𝟑
𝟑)
4)
𝒃
𝒂+𝒃 𝟔𝒃𝟐
𝒙+𝒚 𝒙−𝒚
∶
.
𝟔 𝟐+𝒙
𝒙+𝟏𝟏
=
𝟏𝟔−𝒂𝟐 𝟐𝟓𝒂𝒃𝟐
𝟗𝒂𝒃 𝟑(𝒂+𝒃)
=
𝟐𝒙𝒚
𝟒−𝒙𝟐
=
𝟓𝒃 𝟑 𝒂𝟐
𝒂 𝟐𝒃𝟐
+ 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 =
;
x
≠ 2;
x
≠− 2
; a ≠ 𝟎; 𝒃 ≠ 𝟎; 𝒂 ≠ 𝟒; 𝒂 ≠ − 𝟒
; b ≠ 𝟎; 𝒃 ≠ − 𝒂
(𝒙+𝒚)𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐
77
; x ≠ 𝒚; 𝒙 ≠ −𝒚
32. Složené úrokování – 1 Nápověda (Ki = K0
. (1 + 0,85 . x)i)
1) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 20 000 Kč, na 5 let, s R. U. M. 1,2 %.
2) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil na spořící účet 100 000 Kč, na 3 roky, s R. U. M. 1,35 %.
3) Určete zisk pana Nováka, když vložil do banky 250 000 Kč, na 6 let, s R. U. M. 6 %.
4) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 80 000 Kč, na 4 roky, s R.U.M. 1,7 %.
5) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 200 000 Kč, na 8 let, s R. U. M. 1,9 %.
78
32. Řešení: vše se řeší pomocí vzorečku: Ki = K0 . (1 + 0,85 . x)i Ki – konečné částka ( zhodnocená) K0 - počáteční vklad 0,85 – zdanění 15 % x – roční úroková míra i – počet období 1) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 20 000 Kč, na 5 let, s R. U. M. 1,2 %.
21 041,02 Kč 2) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 100 000 Kč, na 3 roky, s R. U. M. 1,35 %.
103 482,15 Kč
3) Určete zisk pana Nováka, když vložil
do banky 250 000 Kč, na 6 let,
s R. U. M. 6 %.
86 942,90 Kč 4) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 80 000 Kč, na 4 let, s R. U. M. 1,7 %.
84 725,19 Kč 5) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 200 000 Kč, na 8 let, s R. U. M. 1,9 %.
227 348,75 Kč 6) Určete výši zdaněného úroku pana Nováka, když vložil do banky 1 000 000 Kč, na 10 let, s R.U.M. 2,2 %.
79
34. Slovní úlohy – 1 1) První obkladač by obložil bazén za 5 dní, druhý by to zvládl za 7 dní. Jak dlouho by jim trvala práce společně?
2) Dva kopou výkop. První by to vykopal sám za 3 hodiny, druhý za 6 hodin. a)První kopal sám hodinu a půl, výkop pak dokončil druhý. Jak dlouho trvala práce.
b) Druhý pracoval sám 2 hodiny, výkop pak dokončil první. Jak dlouho trvala práce?
3) Paní Fárová si koupila dluhopisy v celkové hodnotě 45 000 Kč na jeden rok, úroková míra činí 6,4 %, daň z úroku je 25 %. Kolik obdržela peněz při výplatě?
4) Paní Janatová si uložila na termínovaný vklad na jeden rok 30 000 Kč, úroková míra je 4,3%, daň z úroku je 15%. Kolik obdržela při výplatě?
80
34. Slovní úlohy – 1 - řešení 1) První obkladač by obložil bazén za 5 dní, druhý by to zvládl za 7 dní. Jak dlouho by jim trvala práce společně?
𝟑𝟓 𝟏𝟏 𝒉= 𝟐 𝒉 𝟏𝟐 𝟏𝟐
2) Dva kopou výkop. První by to vykopal sám za 3 hodiny, druhý za 6 hodin. a)První kopal sám hodinu a půl, výkop pak dokončil druhý. Jak dlouho trvala práce.
4,5 h
b) Druhý pracoval sám 2 hodiny, výkop pak dokončil první. Jak dlouho trvala práce?
4h
3) Paní Fárová si koupila dluhopisy v celkové hodnotě 45 000 Kč na jeden rok, úroková míra činí 6,4 %, daň z úroku je 25 %. Kolik obdržela peněz při výplatě?
4) Paní Janatová si uložila na termínovaný vklad na jeden rok 30 000 Kč, úroková míra je 4,3%, daň z úroku je 15%. Kolik obdržela při výplatě? 81
35. Slovní úlohy - 2 1. Pan Vrána si zakoupil depozitní certifikát hodnotě 55 000 Kč na jeden rok, úroková míra činí 4,9 %, daň z úroku je 25 %. Kolik obdržel peněz při prodeji?
2. Pan Datel si uložil na spořící účet s výpovědní lhůtou jeden rok 180 000Kč, úroková míra činí 3,4 %, daň z úroku je 15 %. Kolik obdržel peněz při výplatě?
3. První písařka přepíše rukopis o 600 stranách za 20 hodin, druhá za 15 hodin. a) První psala sama 6 hodin, pak to přepisovaly spolu. Jak dlouho celý přepis trval?
c) Druhá písařka psala sama 9 hodin, pak jí pomohla první písařka. Jak dlouho trval přepis?
4. Dva dělníci hloubí příkop. První by to zvládl za 6 hodin, druhý za 4 hodiny. Jak jim to bude trvat společně?
82
35. Slovní úlohy – 2 - řešení 1. Pan Vrána si zakoupil depozitní certifikát hodnotě 55 000 Kč na jeden rok, úroková míra činí 4,9 %, daň z úroku je 25 %. Kolik obdržel peněz při prodeji?
57 021,25 Kč (57 021) 2. Pan Datel si uložil na spořící účet s výpovědní lhůtou jeden rok 180 000 Kč, úroková míra činí 3,4%, daň z úroku je 15%. Kolik obdržel peněz při výplatě?
185 202 Kč 3. První písařka přepíše rukopis o 600 stranách za 20 hodin, druhá za 15 hodin. a) První psala sama 6 hodin, pak to přepisovaly spolu. Jak dlouho celý přepis trval? 12 h b) Druhá písařka psala sama 9 hodin, pak jí pomohla první písařka. Jak dlouho trval přepis?
𝟏𝟑
𝟒 𝟕
𝒉
4. Dva dělníci hloubí příkop. První by to zvládl za 6 hodin, druhý za 4 hodiny. Jak jim to bude trvat společně?
2, 4 h
83
36. Opakování 1 1. Vyřeš soustavu a proveď zkoušku: 3x - 2y = 12 (řešení, zkouška, zápis) 5x + y = - 6
2. Jana má v pokladničce 35 mincí. Spoří si padesátikoruny a dvacetikoruny. Kolik je kterých mincí, když úspory činí 1 090 Kč?
3. Jaká bude výsledná koncentrace směsi, když smícháme 12 litrů 80 % kyseliny, 8 litrů 65 % kyseliny a 20 litrů 42 %.
4. Vypočítej velikost druhé odvěsny a délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je – li dáno: a = 7 cm, β = 49° (nezapomeň obrázek)
84
5. Věž ústředny je vysoká 96 m. Pod jakým úhlem vidí pozorovatel vrchol věže, je-li jeho vodorovná vzdálenost od paty věže 144 m? (° ´ )
6. Lanovka spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 220 m. Lanovka stoupá v úhlu 51°. Vypočítej vzdálenost stanic.
85
36. Opakování
1. Vyřeš soustavu a proveď zkoušku: 3x - 2y = 12 (řešení, zkouška, zápis) 5x + y = - 6 [x; y] = [0; -6]
2. Jana má v pokladničce 35 mincí. Spoří si padesátikoruny a dvacetikoruny. Kolik je kterých mincí, když úspory činí 1 090 Kč?
22 dvacetikorun 13 padesátikorun 3. Jaká bude výsledná koncentrace směsi, když smícháme 12 litrů 80 % kyseliny, 8 litrů 65 % kyseliny a 20 litrů 42 %.
58 % 4. Vypočítej velikost druhé odvěsny a délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je – li dáno: a = 7 cm, β = 49° (nezapomeň obrázek)
C = 9,3 cm
a = 7,0 cm
5. Věž ústředny je vysoká 96 m. Pod jakým úhlem vidí pozorovatel vrchol věže, je-li jeho vodorovná vzdálenost od paty věže 144 m? (° ´ )
33° 41´ 6. Lanovka spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 220 m. Lanovka stoupá v úhlu 51°. Vypočítej vzdálenost stanic.
283,1 m 86
37. M9 – motivace
Šťastných deset A Obvod kruhu
Sin α
Povrch Jehlanu (prav.
Objem koule
Čtyřboký)
πr2 Pythagorova Věta
Může být tg α = 5?
(velikost přepony)
1/3 a2v
Přilehlá ku přeponě
87
Povrch kužele
37. M9 – motivace – řešení
Obvod kruhu
Sin α
Obsah kruhu
Povrch Jehlanu (prav.
Objem koule
Čtyřboký)
O = 2 πr
Objem jehlanu
Protilehlá ku přeponě Pythagorova Věta
S = 2Sp + 2Spl
𝑽 = 𝟒 𝟑 𝛑𝐫 𝟑
Cos α
Může být tg α = 5?
S= πr (r + s)
Přilehlá ku přeponě
ano
Povrch kužele
πr2
(velikost přepony)
C2 = a2 + b2 1/3 a2v
88
38. M9 - motivace
Šťastných deset B Obsah
tg α
Povrch koule
πr2 + πrs Může být Sin α = 5?
Objem Kužele
S=
(𝒂+𝒄). 𝒗 𝟐
3 4 5 Sin α = cos α = tg α =
ρ = m/V [kg/m3]
89
Obvod obdélníku
38. M9 – motivace
Š ť a s t n ý c h d e s e t B - řešení Obsah
tg α
𝒂 . 𝒗𝒂 𝟐
Protilehlá ku přilehlé Může být Hustota Sin α = 5? látky S=
Ne
ρ = m/V [kg/m3]
Povrh kuželu
πr2 + πrs Objem Kužele 𝑽 =
𝟏 𝛑𝐫 𝟐 𝒗 𝟑
90
Obsah lichoběžníku S=
3
(𝒂+𝒄). 𝒗 𝟐
C
4 5 A Sin α = 0,6 cos α = 0,8 tg α = 0,75
Povrch koule 𝑺 = 𝟒 𝛑𝐫 𝟐
Obvod obdélníku O= 2a + 2b
Zdroje: autor Microsoft Office 2013 Učebnice: prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. – Matematika 9 pro základní školy – algebra, SPN Praha 2010 prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. – Matematika 9 pro základní školy – geometrie, SPN 2010 PhDr. Ivan Bušek – PhDr. Vlastimil Macháček – Bohumil Kotlík – Milena Tichá – Sbírka úloh z matematiky pro 8. ročník základní školy Běloun, F. a kol – Tabulky pro základní školu, Prometheus Praha 2011 Pracovní sešity
prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. – Matematika 9 pro základní školy – algebra, SPN Praha 2010 prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. – Matematika 9 pro základní školy – geometrie, SPN 2010 Randáčková, Marie a kol. - Pracovní karty a šablony pro činnostní učení v matematice pro 8. a 9. ročník, Tvořivá škola Brno 2009 www.youtube.com
91
