ˇ Sroubov´ e plochy
ˇ Sroubov´ a plocha Φ(k) vznik´a sˇroubov´ym pohybem kˇrivky k, kter´a nen´ı trajektori´ı dan´eho sˇroubov´eho pohybu. Je-li pohyb levotoˇciv´y, resp. pravotoˇciv´y je i plocha Φ levotoˇciv´a, resp. pravotoˇciv´a. Kˇrivku k naz´yv´ame tvoˇr´ıc´ı kˇrivka plochy Φ, osa o sˇroubov´eho pohybu je osou plochy Φ. Jestliˇze kˇrivka k leˇz´ı na rotaˇcn´ı v´alcov´e ploˇse s osou o, pak spl´yv´a sˇroubov´a plocha s touto v´alcovou plochou. Tento pˇr´ıpad nebudeme d´ale uvaˇzovat. Kaˇzd´y bod tvoˇr´ıc´ı kˇrivky neleˇz´ıc´ı na o vytv´aˇr´ı sˇroubovici plochy. Plocha se sˇroubuje ˇ sama v sebe, toho vyuˇz´ıv´ame v technick´e praxi. Sroubov´ e plochy jsou zobecnˇen´ım rotaˇcn´ıch ploch — rotaˇcn´ı pohyb je nahrazen sˇroubov´ym pohybem. Rovnobˇezˇ k´am rotaˇcn´ıch ploch odpov´ıdaj´ı na sˇroubov´ych ploch´ach sˇroubovice. Na sˇroubov´e ploˇse jsou dvˇe v´yznamn´e soustavy kˇrivek. Jednou z nich je soustava vyˇsroubovan´ych poloh tvoˇr´ıc´ı kˇrivky, druhou soustava sˇroubovic bod˚u tvoˇr´ıc´ı kˇrivky. Kaˇzd´a kˇrivka, kter´a prot´ın´a vˇsechny tyto sˇroubovice, vytvoˇr´ı pˇri stejn´em sˇroubov´em pohybu touˇz sˇroubovou plochu. Speci´alnˇe lze sˇroubovou plochu vytvoˇrit sˇroubov´ym pohybem rovinn´eho ˇrezu, jehoˇz rovina proch´az´ı osou sˇroubov´eho pohybu, tzv. osov´y rˇez. Naz´yv´ame jej meridi´an sˇroubov´e plochy. Zvol´ıme-li osu sˇroubov´e plochy rovnobˇezˇ nou s pr˚umˇetnou, pak meridi´an, jehoˇz rovina je rovnobˇezˇ n´a s touto pr˚umˇetnou ˇ ast meridi´anu, leˇz´ıc´ı v jedn´e polorovinˇe urˇcen´e v jeho rovinˇe se naz´yv´a hlavn´ı meridi´an. C´ osou o , se naz´yv´a polomeridi´an. Kaˇzd´y polomeridi´an je tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou. Vˇsechny osov´e ˇrezy sˇroubov´e plochy jsou vz´ajemnˇe shodn´e kˇrivky. Kaˇzd´y osov´y ˇrez je sloˇzen z nekoneˇcnˇe mnoha shodn´ych cˇ a´ st´ı, kter´e posunut´ım o celistv´y n´asobek v´ysˇky z´avitu ve smˇeru osy plochy spl´yvaj´ı. ˇ sˇroubov´e plochy rovinou kolmou k ose se naz´yv´a norm´aln´ı rˇez. Norm´aln´ı ˇrez sˇrouRez bov´e plochy je, na rozd´ıl od norm´aln´ıho ˇrezu rotaˇcn´ı plochy, tak´e tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou. V´ysˇka z´avitu, redukovan´a v´ysˇka z´avitu plochy jsou definov´any stejnˇe jako u sˇroubovice cˇ i rozvinuteln´e plochy sˇroubov´e. Prot´ın´a-li tvoˇr´ıc´ı kˇrivka k osu o, naz´yv´a se plocha Φ uzavˇren´a, neprot´ın´a-li k osu o, naz´yv´a se plocha Φ otevˇren´a. U otevˇren´ych ploch m˚uzˇ e na kˇrivce exisˇ tovat bod, jehoˇz vzd´alenost od osy je (v jeho okol´ı) minim´aln´ı, resp. maxim´aln´ı. Sroubovici takov´eho bodu naz´yv´ame hrdeln´ı, resp. rovn´ıkov´a sˇroubovice. V technick´e praxi se nejv´ıce vyuˇz´ıv´a ploch, kter´e vzniknou sˇroubov´ym pohybem pˇr´ımky – pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy – nebo kruˇznice – cyklick´e sˇroubov´e plochy.
1
´ Z´akladn´ı ulohy na sˇroubov´ych ploch´ach
1
Uvedeme nˇekolik z´akladn´ıch u´ loh, kter´e uˇz´ıv´ame pro konstrukce na sˇroubov´ych ploch´ach. ˇ Sroubov´ y pohyb bude d´an orientac´ı (ˇsipkou), osou o a redukovanou v´ysˇkou z´avitu v0 . Budeme ˇreˇsit v Mongeovˇe projekci, osa sˇroubov´eho pohybu bude kolm´a k p˚udorysnˇe. Nejprve si pˇripomeneme d´Ocagneovu rektifikaci oblouku kruˇznice pˇr´ısluˇsn´eho stˇredov´emu u´ hlu menˇs´ımu neˇz 60◦ . M´ame-li rektifikovat oblouk AB kruˇznice k, rozdˇel´ıme tˇetivu AB body 1 a 2 na tˇri stejn´e d´ıly. Bod 2 prom´ıtneme ze stˇredu S kruˇznice k do pomocn´eho bodu P na kruˇznici. Vedeme koncov´ym bodem B dan´eho oblouku rovnobˇezˇ ku s polopˇr´ımkou SP a urˇc´ıme pr˚useˇc´ık B 0 t´eto rovnobˇezˇ ky s polopˇr´ımkou AP . Plat´ı, zˇ e velikost oblouku AB je pˇribliˇznˇe rovna velikosti u´ seˇcky AB 0 . M´ame-li obr´acenˇe na danou kruˇznici k od jej´ıho bodu A navinout u´ seˇcku AB 0 d´elky m, urˇc´ıme na kruˇznici k bod P tak, aby velikost u´ seˇcky AP byla rovna dvˇema tˇretin´am velikosti u´ seˇcky AB. Na spojnici AP urˇc´ıme B 0 tak, aby velikost u´ seˇcky AB 0 byla m. Vedeme bodem B 0 rovnobˇezˇ ku s SP a tato rovnobˇezˇ ka kruˇznici k protne v bodˇe B. Velikost oblouku AB je pˇribliˇznˇe rovna m.
Obr. 1 Pˇr´ıklad 1 Pˇreˇsroubujte kˇrivku k do polohy k 0 , je-li nejprve zn´am u´ hel otoˇcen´ı ω, potom do polohy k 00 , je-li zn´ama velikost posunut´ı z. ˇ sen´ı: Mˇejme d´an napˇr. pravotoˇciv´y sˇroubov´y pohyb. Kaˇzd´y bod kˇrivky k se pˇreˇsroubuje o Reˇ u´ hel ω, tj. i vˇsechny body kˇrivky se otoˇc´ı o stejn´y u´ hel a tedy i posunou o stejnou vzd´alenost. Urˇc´ıme velikost posut´ı pro bod A. Oznaˇcme h sˇrouibovici bodu A a r jej´ı polomˇer. Sestroj´ıme z´akladn´ı troj´uheln´ık t´eto sˇroubovice.1 Sestroj´ıme podobn´y troj´uheln´ık, jeho odvˇesny budou m´ıt velikost rωA a zA . Tj. urˇc´ıme velikost oblouku A1 A01 kruˇznice h1 a naneseme ji na odvˇesnu z´akladn´ıho troj´uheln´ıku. Rektifikaci oblouku m˚uzˇ eme prov´est napˇr´ıklad d´Ocagneovou konstrukc´ı.2 Pˇreˇsroubujeme dostateˇcn´y poˇcet bod˚u a urˇc´ıme kˇrivku k 0 . 1 2
Odvˇesny m´a velikosti r a v0 . Pokud je u´ hel ω vˇetˇs´ı neˇz 60◦ rozdˇel´ıme ho napˇr´ıklad na poloviny nebo cˇ tvrtiny a rektifikujeme jen cˇ a´ st.
2
Je-li naopak zn´ama velikost posunut´ı, urˇc´ıme ze z´akladn´ıho troj´uheln´ıku velikost otoˇcen´ı a opˇet pˇreˇsroubujeme dostateˇcn´y poˇcet bod˚u kˇrivky k. Oblouk rω mus´ıme nan´asˇet na p˚udorys sˇroubovice bodu A, odtud zjist´ıme velikost u´ hlu ω.
Obr. 2 Pˇr´ıklad 2 Pˇreˇsroubujte rovinu ρ do polohy kolm´e k n´arysnˇe. ˇ sen´ı: Reˇ Rovina je d´ana stopami, pohyb je pravotoˇciv´y. Rovinu pˇreˇsroubujeme do polohy ρ0 , v´ıme-ˇze ρ0 m´a b´yt kolm´a k n´arysnˇe. Sp´adov´a pˇr´ımka sρ prvn´ı osnovy roviny ρ bude po 0 pˇreˇsroubov´an´ı rovnobˇezˇ n´a s n´arysnou. Zn´ame tedy p˚udorys sρ i pˇreˇsroubovan´e sρ . Protoˇze 0 je ρ0 kolm´a k n´arysnˇe, je sρ2 = ρ2 .
3
Obr. 3 Pˇr´ıklad 3 Urˇcete hlavn´ı meridi´an sˇroubov´e plochy Φ(k) dan´e tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou k. ˇ sen´ı: Reˇ Pravotoˇciv´a sˇroubov´a plocha je d´ana kˇrivkou k. Hlavn´ı meridi´an leˇz´ı v rovinˇe µ proch´azej´ıc´ı osou a rovnobˇezˇ n´e s n´arysnou. Dostateˇcn´y poˇcet bod˚u kˇrivky k pˇreˇsroubujeme do roviny µ podle pˇr´ıkladu 1. Pro kaˇzd´y bod tak dost´av´ame r˚uznou velikost otoˇcen´ı a t´ım i posunut´ı. Nen´ı vˇsak nutn´e sestrojovat pro kaˇzd´y bod z´akladn´ı troj´uheln´ık. Sestrojme napˇr. z´akladn´ı troj´uheln´ık pro bod A, m´a odvˇesny r, v0 , kde r je polomˇer sˇroubovice l bodu A. Pˇreˇsroubujeme bod A do bodu A0 leˇz´ıc´ıho v rovinˇe π. Pro otoˇcen´ı ωA sestroj´ıme ze z´akladn´ıho troj´uheln´ıku posunut´ı zA . Pro bod B zjist´ıme velikost posunut´ı takto: Sestroj´ıme bod 1 B leˇz´ıc´ı na sˇroubovici l bodu A tak, zˇ e 1 B1 je pr˚useˇc´ık l1 a o1B1. Urˇc´ıme velikost otoˇcen´ı ω1 B = ωB a k nˇemu z jiˇz sestrojen´eho z´akladn´ıho troj´uheln´ıku urˇc´ıme posunut´ı z1 B = zB .
4
Obr. 4 Pˇr´ıklad 4 Sestrojte norm´aln´ı ˇrez sˇroubov´e plochy Φ(k). ˇ sen´ı: Reˇ ˇ Sroubov´ a plocha je d´ana kˇrivkou k, sestroj´ıme ˇrez rovinou ρ kolmou k ose o. Jako v pˇr´ıkladˇe 1 pˇreˇsroubujeme dostateˇcn´y poˇcet bod˚u kˇrivky k do roviny ρ, pro kaˇzd´y bod jsou r˚uzn´a posunut´ı a t´ım i otoˇcen´ı. Opˇet nemus´ıme sestrojovat z´akladn´ı troj´uheln´ıky sˇroubovic vˇsech bod˚u, staˇc´ı sestrojit z´akladn´ı troj´uheln´ık sˇroubovice l bodu A a v z´akladn´ım troj´uheln´ıku pak ke konkr´etn´ım posunut´ım bod˚u B dost´av´ame u´ seˇcky d´elky rωB , kter´e nan´asˇ´ıme na kruˇznici l1, z´ısk´ame body 1 B a na polopˇr´ımk´ach o11 B1 pak leˇz´ı p˚udorysy bod˚u B.
5
Obr. 5 Pˇr´ıklad 5 Urˇcete teˇcnou rovinu v bodˇe M plochy Φ(k), kter´y je zad´an p˚udorysem M 1. ˇ sen´ı: Reˇ ˇ Sroubov´ a plocha je d´ana kˇrivkou k. Bod M leˇz´ı na sˇroubovici l. Abychom mohli urˇcit jeho n´arys, sestroj´ıme na kˇrivce k bod 1 M , kter´y sˇroubov´ym pohybem pˇrejde do bodu M . M´ame tak d´ano otoˇcen´ı ωM , urˇc´ıme odpov´ıdaj´ıc´ı posunut´ı podle pˇredchoz´ıho. Teˇcnou rovinu v bodˇe M urˇc´ıme r˚uzn´ymi teˇcnami ke dvˇema kˇrivk´am proch´azej´ıc´ım bodem M . Sestroj´ıme teˇcnu t sˇroubovice l bodu M a teˇcnu t0 ke kˇrivce k 0 , kter´a vznikne pˇreˇsroubov´an´ım kˇrivky k do bodu M . Kˇrivku k 0 nemus´ıme sestrojovat. V bodˇe 1 M urˇc´ıme teˇcnu 1 t kˇrivky k a tu pˇreˇsroubujeme do pˇr´ımky t0 proch´azej´ıc´ı bodem M . Teˇcnu t sˇroubovice l v bodˇe M sestroj´ıme uˇzit´ım smˇerov´e kuˇzelov´e plochy t´eto sˇroubovice. Pˇr´ımky t a t0 urˇcuj´ı teˇcnou rovinu τ plochy Φ(k) v bodˇe M .
6
Obr. 6 Pˇr´ıklad 6 Sestrojte bod a teˇcnu druh´eho zd´anliv´eho obrysu Φ(k). ˇ sen´ı: Reˇ V libovoln´em bodˇe M tvoˇr´ıc´ı kˇrivky k plochy Φ(k) urˇc´ıme teˇcnou rovinu podle pˇr´ıkladu 5. Abychom dostali bod druh´eho skuteˇcn´eho obrysu, mus´ı pˇreˇsroubovan´a teˇcn´a rovina patˇrit ˇ teˇcnou rovinu bodu M pˇreˇsroubujeme do polohy smˇeru osvˇetlen´ı, tj. b´yt kolm´a k ν. Cili kolm´e k ν 3 , bod dotyku je bodem druh´eho skuteˇcn´eho obrysu. Pˇr´ıklad 7 Sestrojte p˚udorys hrany vratu rozvinuteln´e sˇroubov´e plochy, kter´a se dot´yk´a Φ(k) pod´el sˇroubovice l. ˇ sen´ı: Reˇ V bodˇe M tvoˇr´ıc´ı kˇrivky k urˇc´ıme teˇcnou rovinu τ plochy Φ(k). Bod M vytvoˇr´ı sˇroubovici l a rovina τ obal´ı dotykovou rozvinutelnou sˇroubovou plochu Ω. Tato plocha se dot´yk´a Φ(k) pod´el sˇroubovice l. Hranu vratu h rozvinuteln´e plochy Ω sestroj´ıme stejnˇe jako v kapitole Rozvinuteln´a plocha sˇroubov´a, pˇr´ıklad 1. Jej´ı p˚udorys h1 je kruˇznice o stˇredu o1, dot´ykaj´ıc´ı 3
Pˇr´ıklad 2.
7
0
se p˚udorysn´e stopy p1τ , teˇcn´a rovina plochy Φ(k) v bodˇe M je urˇcena teˇcnou t tvoˇr´ıc´ı kˇrivky k a teˇcnou p sˇroubovice l.
Obr. 7 Konstrukci p˚udorysu sˇroubovice h je moˇzno zjednoduˇsit: Uvaˇzujme ot´acˇ en´ı kolem o1 o u´ hel velikosti 90◦ proti sˇipce ud´avaj´ıc´ı kles´an´ı sˇroubov´eho pohybu. Jestliˇze P, Q jsou po ˇradˇe p˚udorysn´e stopn´ıky pˇr´ımek p0 , t0 , pak v tomto otoˇcen´ı pˇrejde P 1 do M 1 a Q1 do Q1∗ . Pˇr´ımka 0 p1τ = P 1Q1 proto pˇrejde do teˇcny m1 = M 1Q1∗ kruˇznice 1. Pˇr´ısluˇsn´e zjednoduˇsen´ı je provedeno na obr´azku 8.
8
Obr. 8 Pˇr´ıklad 8 Na Φ(k) urˇcete bod meze vlastn´ıho st´ınu pˇri rovnobˇezˇ n´em osvˇetlen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ V bodˇe M plochy Φ(k) sestroj´ıme teˇcnou rovinu τ , kterou podˇr´ıd´ıme dan´emu sˇroubov´emu pohybu. Podle pˇredchoz´ıho bod M vytvoˇr´ı sˇroubovici l plochy Φ(k) a rovina τ obal´ı rozvinutelnou sˇroubovou plochu Ω. Plochy Φ(k), Ω se pod´el sˇroubovice l dot´ykaj´ı tzn. maj´ı ve vˇsech jej´ıch bodech spoleˇcn´e teˇcn´e roviny. Sestroj´ıme mez vlastn´ıho st´ınu na Ω, kter´a je sloˇzena z pˇr´ımek. Spoleˇcn´e body tˇechto pˇr´ımek a sˇroubovice l jsou body meze vlastn´ıho st´ınu na Φ(k), nebot’ teˇcn´e roviny k ploˇse Φ(k) v tˇechto bodech jsou svˇeteln´e. Rovnobˇezˇ n´e osvˇetlen´ı je d´ano orientovanou pˇr´ımkou s. Bod M leˇz´ı na tvoˇr´ıc´ı kˇrivce k. Sestroj´ıme p˚udorys h hrany vratu rozvinuteln´e sˇroubov´e plochy Ω a urˇc´ıme p˚udorysy u1, v1 pˇr´ımek meze vlastn´ıho st´ınu na Ω. Pˇr´ımky u, v a sˇroubovice l, h leˇz´ı na Ω. Otoˇc´ımeli m1 do u1, resp. v1 kolem o1, pak bod X1 , resp. Y1 , do kter´eho pˇrejde M , je p˚udorysem pr˚useˇc´ıku X, resp. Y pˇr´ımky u, resp. v, se sˇroubovic´ı l. N´arysy bod˚u X, Y sestroj´ıme tak, zˇ e k u´ hl˚um ]M1 o1 X1 , ]M1 o1 Y1 stanov´ıme pˇr´ısluˇsn´a posunut´ı.4 Body X, Y patˇr´ı podle pˇredchoz´ıho mezi vlastn´ıho st´ınu na Φ(k), pˇritom ovˇsem X1 , Y1 jsou p˚udorysy nekoneˇcnˇe mnoha bod˚u meze vlastn´ıho st´ınu, leˇz´ıc´ıch na r˚uzn´ych z´avitech plochy Φ(k). Na jednom z´avitu sˇroubovice l leˇz´ı dva, jeden nebo zˇ a´ dn´y bod meze vlastn´ıho st´ınu. Popsanou konstrukci 4
V obr´azku nejsou sestrojena.
9
m˚uzˇ eme pouˇz´ıt tak´e ve speci´aln´ım pˇr´ıpadˇe k urˇcen´ı bod˚u druh´eho obrysu sˇroubov´e plochy, pak je smˇer osvˇetlen´ı kolm´y k ν, body V10 , V1∗ jsou nevlastn´ı a pˇr´ımky u1 , v1 jsou rovnobˇezˇ n´e se z´akladnic´ı.
Obr. 9 Konstrukce bod˚u meze vlastn´ıho st´ınu sˇroubov´e plochy se zjednoduˇs´ı, jestliˇze tvoˇr´ıc´ı kˇrivka k je norm´aln´ım ˇrezem. Pak je totiˇz p˚udorys bodu meze vlastn´ıho st´ınu na k patou norm´aly ke k1 veden´e bodem V1∗ .5 Prok´azˇ eme to aplikac´ı pˇredch´azej´ıc´ı obecn´e konstrukce: Je d´ana sˇroubov´a plocha norm´aln´ım ˇrezem k v rovinˇe π 0 . K pˇr´ımce s urˇcuj´ıc´ı smˇer osvˇetlen´ı jsou sestrojeny body V10 , V1∗ , z bodu V1∗ je vedena norm´ala ke kˇrivce k1 prot´ınaj´ıc´ı k1 v bodˇe M1 , M2 leˇz´ı na k2 . Na sˇroubovici l bodu M urˇc´ıme body meze vlastn´ıho st´ınu. Teˇcna ke kˇrivce k v bodˇe M je rovnobˇezˇ n´a s π a proto jsou body Q, Q∗ nevlastn´ı. Z konstrukce bodu M pak plyne, zˇ e je m1 = M1 V1∗ . Vzhledem k tomu, zˇ e m1 je teˇcna ke kruˇznici h1 , plat´ı u1 = m1 a bod M je tedy bodem meze vlastn´ıho st´ınu. 5
Mez vlastn´ıho st´ınu je tedy u´ patnic´ı kˇrivky k1 s p´olem V1∗ .
10
Obr. 10
2
Pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy
Pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy Φ(p) vznikaj´ı sˇroubov´ym pohybem pˇr´ımky p, kter´a nen´ı rovnobˇezˇ n´a s osou o sˇroubov´eho pohybu. Jestliˇze je pˇr´ımka p kolm´a, resp. kos´a k ose o, naz´yv´a se plochaΦ(p) pravo´uhl´a, resp. koso´uhl´a pˇr´ımkov´a sˇroubov´a plocha. Jestliˇze pˇr´ımka p je s osou o r˚uznobˇezˇ n´a, resp. mimobˇezˇ n´a, naz´yv´a se plochaΦ(p) uzavˇren´a, resp. otevˇren´a pˇr´ımkov´a sˇroubov´a plocha. Jeda z pˇr´ımkov´ych sˇroubov´ych ploch je rozvinuteln´a plocha – rozvinuteln´a sˇroubov´a plocha, kter´a je je zvl´asˇtn´ım pˇr´ıpadem koso´uhl´e otevˇren´e pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy. Vˇsechny ostatn´ı pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy jsou zborcen´e, a tedy nerozvinuteln´e. Pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy Φ(p) budeme nyn´ı zobrazovat v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı, osa o sˇroubov´eho pohybu bude kolm´a k p˚udorysnˇe, budeme zn´at v0 a orientaci. Budeme uˇz´ıvat jiˇz zn´am´ych konstrukc´ı na sˇroubov´ych ploch´ach, pˇr´ıpadnˇe na zborcen´ych ploch´ach.
11
2.1
´ a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a sˇroubov´a plocha Pravouhl´
Plocha je vytvoˇrena sˇroubov´ym pohybem pˇr´ımky p, kter´a prot´ın´a pravo´uhle osu sˇroubov´eho pohybu. Zobraz´ıme z´avit pravotoˇciv´e sˇroubov´e plochy Φ(p), kter´a vznik´a sˇroubov´an´ım pˇr´ımky p rovnobˇezˇ n´e s π. P˚udorysy pˇr´ımek plochy Φ(p) vytv´aˇrej´ı svazek o stˇredu o1 . Jejich n´arysy jsou pˇr´ımky rovnobˇezˇ n´e se z´akladnic´ı, vyjma pˇr´ımek kolm´ych k ν, kter´e se zobrazuj´ı v n´aryse jako body. Vˇsechny body pˇr´ımky p vytv´aˇrej´ı sˇroubovice plochy, kter´e maj´ı stejnou v´ysˇku z´avitu. Na obr´azku 11 je zobrazena cˇ a´ st sˇroubovice l, kterou opisuje bod A pˇr´ımky p. Sestrojme teˇcnou rovinu τ plochy Φ(p) v bodˇe M pˇr´ımky m plochy Φ(p): Bodem M vedeme dvˇe kˇrivky plochy Φ(p) – pˇr´ımku m a sˇroubovici g bodu M . Sestroj´ıme teˇcnu t sˇroubovice g v bodˇe M pomoc´ı povrchov´e pˇr´ımky t0 smˇerov´e kuˇzelov´e plochy o vrcholu V . Rovina τ je urˇcena pˇr´ımkami m, t.
Obr. 11 Vzhledem k tomu, zˇ e uveden´a plocha je tak´e plochou zborcenou plat´ı, zˇ e kaˇzd´a rovina proch´azej´ıc´ı pˇr´ımkou m, je teˇcnou rovinou plochy Φ(p). Jej´ı bod dotyku se d´a sestrojit s vyuˇzit´ım nˇekter´e dotykov´e zborcen´e kvadriky Ω dot´ykaj´ıc´ı se Φ pod´el pˇr´ımky m. Pravo´uhl´a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a sˇroubov´a plocha se nˇekdy naz´yv´a pˇr´ım´y sˇroubov´y konoid – dvˇe tvoˇr´ıc´ı kˇrivky jsou pˇr´ımkami, z nichˇz jedna je vlastn´ı a druh´a nevlastn´ı. Jej´ı tˇri ˇr´ıd´ıc´ı u´ tvary jsou 12
napˇr. osa o, nevlastn´ı pˇr´ımka c∞ p˚udorysny π a sˇroubovice l nˇekter´eho bodu tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky (v obr´azku 12 sˇroubovice l bodu A). Pˇr´ımky o, c∞ a teˇcna d sˇroubovice l v pr˚useˇc´ıku D pˇr´ımky m se sˇroubovic´ı l urˇcuj´ı hyperbolick´y paraboloid Ω.6 Ten se dot´yk´a plochy Φ(p) pod´el pˇr´ımky m. Teˇcnou rovinu τ v bodˇe M plochy Ω sestroj´ıme podle pˇr´ıkladu 4 v kapitole Zborcen´e plochy. Rovinu τ urˇcuj´ı pˇr´ımky m, a r˚uzn´ych regul˚u, proch´azej´ıc´ı bodem M . Ploˇse Ω patˇr´ı pˇr´ımka n kolm´a k ν, jej´ızˇ n´arys proch´az´ı pr˚useˇc´ıkem o2 , d2 . N´arysy pˇr´ımek prvn´ıho regulu tedy proch´az´ı n2 , proto a2 = M2 n2 je n´arysem pˇr´ımky a prvn´ıho regulu plochy Ω proch´azej´ıc´ı bodem M . Pˇr´ımky o, d jsou rovnobˇezˇ n´e s touˇz ˇr´ıd´ıc´ı rovinou λ hyperbolick´eho paraboloidu Ω a vzhledem k tomu, zˇ e o je kolm´a k π je rovina λ rovnˇezˇ kolm´a k π. Pˇr´ımka a je tedy rovnobˇezˇ n´a s ˇr´ıd´ıc´ı rovinou λ, proto je p˚udorys pˇr´ımky a je rovnobˇezˇ n´y s λ1 a samozˇrejmˇe proch´az´ı M1 . Pˇr´ımky a, m urˇcuj´ı teˇcnou rovinu τ v bodˇe M plochy Φ(p).
Obr. 12 Uˇzit´ım dotykov´e kvadriky Ω m˚uzˇ eme tak´e sestrojit asymptotickou a centr´aln´ı rovinu pˇr´ımky m. Asymptotick´a rovina α pˇr´ımky m obsahuje pˇr´ımku c∞ a je tedy rovnobˇezˇ n´a s π. Centr´aln´ı rovina γ 7 pˇr´ımky m je tedy kolm´a k π a proto m1 = γ1 . Protoˇze pˇr´ımky m, o leˇz´ıc´ı v γ patˇr´ı 6 7
Pˇr´ımky o, d, m patˇr´ı jednomu regulu, pˇr´ımka m patˇr´ı druh´emu regulu plochy Ω. Tj. rovina proch´azej´ıc´ı danou pˇr´ımkou a kolm´a k asymptotick´e
13
r˚uzn´ym regul˚um hyperbolick´eho paraboloidu Ω je jejich pr˚useˇc´ık C bodem dotyku centr´aln´ı roviny γ a tedy bodem strikˇcn´ı kˇrivky plochy Φ(p), kter´a je proto osou o. Tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka p plochy je norm´aln´ım rˇezem, m˚uzˇ eme proto pro konstrukci meze vlastn´ıho st´ınu pˇri rovnobˇezˇ n´em osvˇetlen´ı uˇz´ıt zjednoduˇsen´ı uveden´e v kapitole 1. Na obr´azku 13 je zn´azornˇena situace v p˚udorysnˇe. Rovnobˇezˇ n´e osvˇetlen´ı je d´ano orientovanou pˇr´ımkou s a jsou vyznaˇceny body V10 , V1∗ . Paty kolmic, sestrojen´ych z bodu V1∗ na p˚udorysy pˇr´ımek plochy, tzn. na pˇr´ımky svazku o stˇredu o1 , vytv´aˇrej´ı p˚udorys m1 meze vlastn´ıho st´ınu m. Kˇrivka m1 je kruˇznice o pr˚umˇeru o1 V1 , jako mnoˇzina vrchol˚u prav´ych u´ hl˚u, jejichˇz ramena proch´azej´ı body V1∗ , o1 . Kˇrivka m je pak pr˚unik rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy Ω0 o ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznici m1 a ose o0 , s plochou Φ(p). Na obr´azku jsou vyznaˇceny p˚udorysy A1 , B1 bod˚u A, B meze vlastn´ıho st´ınu, leˇz´ıc´ıch na pˇr´ımk´ach p, q plochy Φ(p). Pˇritom pˇredpokl´ad´ame, zˇ e A, B leˇz´ı na tomt´ezˇ z´avitu plochy. Sv´ıraj´ı-li p1 , q1 u´ hel velikosti ω, pak je zB = v0 ω. Z vlastnost´ı stˇredov´ych a obvodov´ych u´ hl˚u kruˇznice plyne |]A1 o01 B1 | = 2ω. Mez´ı m vlastn´ıho st´ınu je proto sˇroubovice na v´alcov´e ploˇse Ω0 kter´a m´a poloviˇcn´ı v´ysˇku z´avitu neˇz sˇroubov´y pohyb, urˇcuj´ıc´ı Φ(p).
Obr. 13 Na obr´azku 14 je v pravo´uhl´e axonometrii zobrazen z´avit pravotoˇciv´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy Φ(p) omezen´e osou o a sˇroubovic´ı l. Tato plocha tedy vznikne sˇroubov´an´ım u´ seˇcky. Ke konstrukci obrazu sˇroubovice l je vyuˇzitou afinity mezi axonometrick´ym p˚uddorysem sˇroubovice a otoˇcen´ym p˚udorysem. K urˇcen´ı viditelnosti pouˇzijeme rovnobˇezˇ n´e osvˇetlen´ı plochy Φ(p) jehoˇz smˇer je shodn´y se smˇerem prom´ıt´an´ı, tj. kolm´y k axonometrick´e pr˚umˇetnˇe. Jestliˇze zachov´ame oznaˇcen´ı z pˇredchoz´ıho obr´azku, pak je V = V 08 K dalˇs´ım konstrukc´ım vyuˇz´ıv´ame obrazu kruˇznice k ve vodorovn´e rovinˇe. Napˇr. vzhledem k |OV 0 | = |OV ∗ | je V 0 V ∗ rovnobˇezˇ n´e s AB. Kruˇznice m1 o pr˚umˇeru OV ∗ se zobrazuje jako elipsa homotetick´a s k. Obrys m dostaneme pomoc´ı pr˚useˇc´ık˚u pˇr´ımek dan´e schodov´e plochy s rotaˇcn´ı v´alcovou plochou o ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznici m1 . 8
Axonometrick´e pr˚umˇety jsou oznaˇceny stejnˇe jako v prostoru.
14
Obr. 14 Plocha se v praxi cˇ asto vyskytuje na toˇcit´ych schodech, proto je rovnˇezˇ naz´yv´ana schodov´a plocha. Jin´y uˇz´ıvan´y n´azev je tak´e helikoid.
15
Obr. 15
2.2
´ a otevˇren´a pˇr´ımkov´a sˇroubov´a plocha Pravouhl´
Plocha vznik´a sˇroubov´an´ım pˇr´ımky p, kter´a je mimobˇezˇ n´a s osou o sˇroubov´eho pohybu a kolm´a k o.
Obr. 16 16
Je zobrazena cˇ a´ st jednoho z´avitu pravotoˇciv´e plochy Φ(p) omezen´a sˇroubovicemi a, b bod˚u A, B pˇr´ımky p stejnˇe vzd´alen´ych od o. Bod M pˇr´ımky p nejbliˇzsˇ´ı k o, vytv´aˇr´ı hrdeln´ı sˇroubovici k. Plocha Φ(p) je mnoˇzina pˇr´ımek prot´ınaj´ıc´ıch sˇroubovice a, b a rovnobˇezˇ n´ych s π. Teˇcnou rovinu v bodˇe plochy a bod dotyku teˇcn´e roviny sestrojujeme podobnˇe jako u schodov´e plochy. P˚udorys m1 meze vlastn´ıho st´ınu pˇri rovnobˇezˇ n´em osvˇetlen´ı sestrojujeme opˇet pomoc´ı pat kolmic k p˚udorys˚um norm´aln´ıch ˇrez˚u plochy. Na obr´azku je zobrazena jen situace v p˚udorysu. Jsou d´any p˚udorysy hrdeln´ı sˇroubovice k, pˇr´ımky s smˇeru osvˇetlen´ı, vrˇzen´y st´ın V 0 vrcholu smˇerov´e kuˇzelov´e plochy a jeho otoˇcen´ı V ∗ . P˚udorysy pˇr´ımek plochy Φ(p)9 , jsou teˇcny p˚udorysu k1 sˇroubovice k a paty kolmic sestrojen´ych z V1∗ na tyto teˇcny vytv´aˇrej´ıc´ı tzv. u´ patnici kruˇznice k1 .
Obr. 17 Plocha Φ(p) je rovnˇezˇ zborcen´a plocha a je urˇcena napˇr. ˇr´ıd´ıc´ımi sˇroubovicemi a, b a nevlastn´ı pˇr´ımkou p˚udorysny π.10 Teˇcnou rovinu sestroj´ıme podobnˇe jako u pˇr´ım´eho sˇroubov´eho konoidu. Asymptotick´a rovina kaˇzd´e pˇr´ımky plochy je rovnobˇezˇ n´a s π, a proto je centr´aln´ı rovina γ pˇr´ımky kolm´a k π. Oznaˇc´ıme-li C pr˚useˇc´ık pˇr´ımky p plochy s hrdeln´ı sˇroubovic´ı k, pak teˇcn´a rovina plochy Φ(p) v bodˇe C je urˇcena pˇr´ımkou m a teˇcnou t sˇroubovice h. Protoˇze je m1 = t1 a pˇr´ımky m a t jsou r˚uznobˇezˇ n´e, je tedy rovina urˇcen´a pˇr´ımkami m a t kolm´a k π, tj. jedn´a se o centr´aln´ı rovinu γ. Bod C, jako bod dotyku roviny γ, je centr´aln´ı bod a hrdeln´ı sˇroubovice je strikˇcn´ı kˇrivkou plochy Φ(p). 9 10
Norm´aln´ıch ˇrez˚u. Jedn´a se tedy o cylindroid nebo t´ezˇ Catalanovu plochu.
17
Obr. 18
2.3
´ a uzavˇren´a pˇr´ımkov´a sˇroubov´a plocha Kosouhl´
Plochu Φ(p) vytvoˇr´ı pˇr´ımka p, prot´ınaj´ıc´ı osu o, kter´a sv´ır´a s osou o u´ hel r˚uzn´y od prav´eho. Sestrojme napˇr. 12 poloh 1 p,2 p, . . . ,12 p pˇr´ımky p, pˇriˇcemˇz 1 p a 7 p jsou rovnobˇezˇ n´e s ν. Pˇr´ımka 1 p, kter´a prot´ın´a osu o v bodˇe C leˇz´ı v rovinˇe µ rovnobˇezˇ n´e s ν a proch´azej´ıc´ı osou o. Norm´aln´ım ˇrezem koso´uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy je Archimedova spir´ala. Pˇr´ımky 1 p a 7 p se prot´ınaj´ı v bodˇe A, kter´y vytvoˇr´ı sˇroubovici a. Kaˇzd´ym bodem sˇroubovice a proch´azej´ı vˇzdy dvˇe pˇr´ımky plochy Φ(p), kter´e vznikaj´ı sˇroubov´ym pohybem pˇr´ımek 1 p ˇ a 7 p. Sroubovice a je tedy dvojn´asobnou kˇrivkou plochy Φ(p). P˚udorysem plochy Φ(p) je cel´a pr˚umˇetna. Druh´y zd´anliv´y obrys l2 je obalov´a kˇrivka n´arys˚u tvoˇr´ıc´ıch pˇr´ımek plochy. Body kˇrivky l zkonstruujeme podle pˇr´ıkladu 8, smˇer osvˇetlen´ı je kolm´y k ν: Oznaˇcme opˇet V vrchol smˇerov´ych kuˇzelov´ych ploch sˇroubovic¨plochy Φ(p), V leˇz´ı na ose o ve v´ysˇce v0 nad p˚udorysnou.11 Pˇr´ımky p0 rovnobˇezˇ n´e s pˇr´ımkami p plochy Φ a proch´azej´ıc´ı V leˇz´ı na kuˇzelov´e ploˇse Ω. P˚udorysn´e stopn´ıky U pˇr´ımek p0 leˇz´ı na kruˇznici, oznaˇc´ıme ji u. Otoˇc´ıme v p˚udoryse stopn´ık U kaˇzd´e pˇr´ımky p0 o 90◦ kolem o1 proti sˇipce do bodu U ∗ . Bodem U ∗ vedeme rovnobˇezˇ ku se z´akladnic´ı, kter´a prot´ın´a p1 v p˚udoryse L1 bodu L hledan´e kˇrivky l. Z konstrukce je vidˇet, zˇ e pro polohy pˇr´ımek 1 a 7 jsou body 1 L a 7 L nevlastn´ı, a tedy Vrˇzen´y st´ın V 0 bodu V i otoˇcen´y V ∗ jsou tedy nevlastn´ı, V je d´an smˇerem rovnobˇezˇ n´ym se z´akladnic´ı. 11
18
0
∞
je d´an smˇerem kolm´ym k z´akladnici a v ∗∞
teˇcny kruˇznice u rovnobˇezˇ n´e se z´akladnic´ı jsou asymptotami p˚udorysu l1 kˇrivky l. P˚udorys l1 kˇrivky l se naz´yv´a kappa kˇrivka. Protoˇze jsou body 1 L a 7 L nevlastn´ı, jsou i pˇr´ımky 1 p a 7 p asymptotami kˇrivky l, a tedy i v n´aryse 1 p2 a 7 p2 jsou asymptotami l2 .
Obr. 19 Tato plocha se tak´e pouˇz´ıv´a na v´yvrtk´ach, proto je naz´yv´ana i v´yvrtkov´a plocha.
2.4
´ a otevˇren´a pˇr´ımkov´a sˇroubov´a plocha Kosouhl´
Plocha je vytvoˇrena sˇroubov´ym pohybem pˇr´ımky p, kter´a neprot´ın´a osu o a nen´ı k n´ı kolm´a. Na obr´azku 20 je zobrazena jen cˇ a´ st z´avitu koso´uhl´e otevˇren´e pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy vytvoˇren´a sˇroubov´an´ım u´ seˇcky A0 M0 tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky p0 , M0 je bod hrdeln´ı sˇroubovice h plochy. V bodˇe A tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky p je sestrojena teˇcn´a rovina plochy, je urˇcena pˇr´ımkou p a teˇcnou t sˇroubovice s v bodˇe A. Prvn´ım zd´anliv´ym obrysem plochy je p˚udorys h1 hrdeln´ı sˇroubovice h. Druh´ym zd´anliv´ym obrysem je ob´alka n´arys˚u pˇr´ımek plochy.
19
Obr. 20 Jestliˇze je d´ana sˇroubovice h a teˇcna p v nˇekter´em jej´ım bodˇe, pak ve stejn´em sˇroubov´em pohybu, jak´ym je urˇcena sˇroubovice h, vytvoˇr´ı pˇr´ımka p rozvinutelnou plochu sˇroubovou, kter´a je rovnˇezˇ koso´uhlou otevˇrenou pˇr´ımkovou sˇroubovou plochou. Tato plocha je rozvinuteln´a, ostatn´ı koso´uhl´e otevˇren´e pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy jsou zborcen´e a je moˇzn´e je urˇcit tˇremi ˇr´ıd´ıc´ımi kˇrivkami.
2.5
Uˇzit´ı pˇr´ımkov´ych sˇroubov´ych ploch
Pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy se pouˇz´ıvaj´ı jak ve stavebn´ı tak ve strojn´ı praxi. Schodov´a plocha se uˇz´ıv´a jako spodn´ı cˇ a´ st toˇcit´eho schodiˇstˇe, spojov´an´ı podlaˇz´ı v gar´azˇ´ıch, u sˇroub˚u, u p´ıstov´eho sˇoup´atka, korunov´eho vrt´aku, l´ıcn´ıch ploch kˇr´ıdel korunov´ych vrtul´ı, list˚u jednoduch´ych ventil´ator˚u, plochy sˇroubov´eho transport´eru, jako dekorativn´ı plocha apod. Otevˇren´a pravo´uhl´a pˇr´ımkov´a sˇroubov´a plocha se uˇz´ıv´a u svidˇr´ıku, jehoˇz norm´aln´ım ˇrezem je cˇ tverec nebo obd´eln´ık, u nebozez˚u (norm´aln´ı ˇrez je sloˇzen z cˇ a´ st´ı pˇr´ımkov´ych i cyklick´ych sˇroubov´ych ploch), u sˇroub˚u , sˇroubov´ych dopravn´ık˚u apod. V´yvrtkov´e plochy se kromˇe sˇroub˚u pouˇz´ıv´a i na v´yvrtk´ach.
20
Obr. 21 ˇ 2.5.1 Srouby ˇ Srouby jsou tvoˇreny cˇ a´ stmi uzavˇren´ych pˇr´ımkov´ych sˇroubov´ych ploch, slouˇz´ı bud’ k pˇrevodu rotace v posuvn´y pohyb (ˇsrouby pohybov´e) nebo ke spojen´ı (upevnˇen´ı) dvou nebo v´ıce cˇ a´ st´ı (ˇsrouby spojovac´ı cˇ i upevˇnovac´ı). U pohybov´ych sˇroub˚u se uˇz´ıv´a bud’ ploch´eho z´avitu nebo lichobˇezˇ n´ıkov´eho. Na obr´azku 22 vlevo je zn´azornˇen osov´y ˇrez tzv. ploch´eho sˇroubu. Je tvoˇren cˇ a´ stmi pravo´uhl´e uzavˇren´e pˇr´ımkov´e sˇroubov´e plochy a cˇ a´ stmi rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy. Je zde vyznaˇcen pr˚umˇer d sˇroubu a pr˚umˇer d1 j´adra. Veliˇcina h = 21 (d–d1 ) se naz´yv´a hloubka z´avitu. Vzd´alenost s dvou sousedn´ıch obd´eln´ık˚u se naz´yv´a rozteˇc. V´ysˇka v z´avitu pˇr´ısluˇsn´eho sˇroubov´eho pohybu mus´ı b´yt celistv´ym n´asobkem rozteˇce. V pˇr´ıpadˇe v = ns ˇr´ık´ame, zˇ e z´avit je n-chod´y. Na obr´azku 22 vlevo je profil ploch´eho dvojchod´eho sˇroubu, na obr´azku 22 vpravo je zobrazen v Mongeovˇe projekci trojchod´y ploch´y sˇroub.
Obr. 22 Osov´e ˇrezy sˇroub˚u mohou b´yt sloˇzeny z lichobˇezˇ n´ık˚u (lichobˇezˇ n´ıkov´e sˇrouby), rovnoramenn´ych troj´uheln´ık˚u (ostr´e sˇrouby).
21
Obr. 23 Lichobˇezˇ n´ıkov´e sˇrouby jsou potom sloˇzeny z cˇ a´ st´ı v´yvrtkov´ych, pˇr´ıpadnˇe i schodov´ych ploch a z cˇ a´ sti rotaˇcn´ıch v´alcov´ych ploch. Ostr´e sˇrouby jsou sloˇzeny z cˇ a´ st´ı v´yvrtkov´ych ploch.
Obr. 24
3
Cyklick´e sˇroubov´e plochy
Cyklick´e sˇroubov´e plochy vznikaj´ı sˇroubov´ym pohybem k ruˇznice. Cyklick´e sˇroubov´e plochy dˇel´ıme podle polohy roviny ρ kruˇznice k, kter´a vytv´aˇr´ı plochu Φ(k), vzhledem k ose o sˇroubov´eho pohybu nebo vzhledem ke sˇroubovici l, kterou vytv´aˇr´ı stˇred kruˇznice k. Jestliˇze je rovina ρ kruˇznice k kolm´a k ose o sˇroubov´eho pohybu, naz´yv´a se plocha Φ(k) norm´aln´ı cyklick´a sˇroubov´a plocha. Jestliˇze rovina ρ kruˇznice kobsahuje osu o sˇroubov´eho pohybu, naz´yv´a se plocha Φ(k) osov´a cyklick´a sˇroubov´a plocha. Jestliˇze je rovina ρ kruˇznice k kolm´a ke sˇroubovici l vytvoˇren´e stˇredem tvoˇr´ıc´ı kruˇznice k, naz´yv´a se plocha Φ(k) Archimedova serpentina. 22
Cyklick´e sˇroubov´e plochy budeme nyn´ı zobrazovat v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı, osa o sˇroubov´eho pohybu je kolm´a k p˚udorysnˇe, zn´ame v0 a orientaci. Budeme uˇz´ıvat jiˇz zn´am´ych konstrukc´ı na sˇroubov´ych ploch´ach.
3.1
Norm´aln´ı cyklick´a sˇroubov´a plocha
Plocha vznik´a sˇroubov´an´ım kruˇznice k leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ kolm´e k ose o sˇroubov´eho pohybu.12 Tvoˇr´ıc´ı kruˇznice je tedy norm´aln´ım rˇezem plochy.
Obr. 25 Sestroj´ıme pravotoˇcivou norm´aln´ı cyklickou sˇroubovou plochu, tvoˇr´ıc´ı kruˇznice k leˇz´ı v π. Stˇred S kruˇznice k vytv´aˇr´ı sˇroubovici l stˇred˚u vˇsech pˇreˇsroubovan´ych kruˇznic, je12
Jestliˇze ve speci´aln´ım pˇr´ıpadˇe leˇz´ı S stˇred kruˇznice k na ose sˇroubov´eho pohybu, pak je Φ(k) rotaˇcn´ı v´alcov´a plocha. Tento pˇr´ıpad neuvaˇzujeme.
23
jichˇz p˚udorysy jsou kruˇznice a n´arysy u´ seˇcky. Koncov´e body A, B pr˚umˇeru kruˇznice k, kter´y prot´ın´a osu o, vytv´aˇrej´ı pˇri sˇroubov´em pohybu rovn´ıkovou, resp. hrdeln´ı sˇroubovici m, resp. n, kter´e jsou prvn´ım skuteˇcn´ym obrysem plochy Φ(k). Prvn´ım zd´anliv´ym obrysem jsou kruˇznice m1 , n1 – ob´alky p˚udorys˚u kruˇznic plochy. Druh´y zd´anliv´y obrys tvoˇr´ı dvˇe zobecnˇel´e sinusoidy a2 , b2 shodn´e se sinusoidou l2 , jako koncov´e body druh´ych pr˚umˇet˚u kruˇznic plochy Φ(k). Kˇrivka a2 , resp. b2 vznikne posunut´ım v rovinˇe (n´arysnˇe) kˇrivky l2 o vektor kolm´y na o2 , jehoˇz velikost je rovna polomˇeru kruˇznice k. P˚udorysem kˇrivky a, resp. b je tedy kruˇznice a1 , resp. b1 , kterou dostaneme posunut´ım kruˇznice l1 ve smˇeru rovnobˇezˇ n´em se z´akladnic´ı o polomˇer kruˇznice k. Druh´ym skuteˇcn´ym obrysem jsou sˇroubovice a, b, kter´e sice leˇz´ı na dan´e ploˇse, ale nejsou vytvoˇreny ve sˇroubov´em pohybu o ose o, ale vzniknou v prostoru posunut´ım sˇroubovice l o vektor kolm´y k ose o velikosti rovn´e polomˇeru kruˇznice k. Mez vlastn´ıho st´ınu plochy Φ(k) pˇri rovnobˇezˇ n´em osvˇetlen´ı urˇc´ıme opˇet podle pˇr´ıkladu 8: Vrcholem V smˇerov´e kuˇzelov´e plochy vedeme pˇr´ımku s urˇcuj´ıc´ı smˇer osvˇetlen´ı a sestroj´ıme podle body V10 , V1∗ . Je-li o stˇred kruˇznice q plochy, pak pr˚useˇc´ıky X1 , I1 pˇr´ımky V1∗ O1 s q1 jsou body p˚udorysu meze vlastn´ıho st´ınu. P˚udorysem meze vlastn´ıho st´ınu je tedy kruhov´a konchoida o ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznici l1 a o p´olu V1∗ . Podle polohy kruˇznice k vzhledem k ose dostaneme r˚uzn´e tvary plochy. Vzhledem k jej´ımu vyuˇzit´ı jako ozdobn´eho prvku ve stavebn´ı praxi se plocha tak´e naz´yv´a vinut´y sloupek.
Obr. 26
3.2
Osov´a cyklick´a sˇroubov´a plocha
Tato plocha je vytvoˇrena sˇroubov´an´ım kruˇznice k jej´ızˇ rovina ρ proch´az´ı osou o sˇroubov´eho pohybu. Sestroj´ıme pravotoˇcivou plochu vytvoˇrenou sˇroubov´ym pohybem kruˇznice k leˇz´ıc´ı v rovinˇe µ rovnobˇezˇ n´e s n´arysnou. Stˇred kruˇznice k opisuje sˇroubovici l. Jednotliv´e polohy kruˇznice k se v prvn´ım pr˚umˇetu jev´ı jako u´ seˇcky, jejich druh´e pr˚umˇety jsou obecnˇe elipsy a ve zvl´asˇtn´ıch pˇr´ıpadech kruˇznice nebo u´ seˇcky. P˚udorysem plochy je mezikruˇz´ı, jehoˇz hranic´ı jsou kruˇznice a1 , b1 , p˚udorysy rovn´ıkov´e, resp. hrdeln´ı sˇroubovice a, resp. b, kter´e vzniknou sˇroubov´an´ım koncov´ych bod˚u A, B pr˚umˇeru kruˇznice k kolm´eho k ose o. Druh´y zd´anliv´y obrys je ob´alkou druh´ych pr˚umˇet˚u tvoˇr´ıc´ıch kruˇznic plochy. Skl´ad´a se ze 24
dvou vˇetv´ı m2 , n2 . Sestroj´ıme jej jako n´arys meze vlastn´ıho st´ınu pˇri rovnobˇezˇ n´em osvˇetlen´ı smˇerem kolm´ym k n´arysnˇe podle pˇr´ıkladu 8. Zvolme bod K kruˇznice k, kter´y opisuje sˇroubovici g. Vrcholem V smˇerov´e kuˇzelov´e plochy vedeme pˇr´ımku t0 rovnobˇezˇ nou s teˇcnou t ke kruˇznici k ve zvolen´em bodˇe K. P˚udorysn´y stopn´ık q pˇr´ımky t0 otoˇc´ıme proti smˇeru sˇipky ud´avaj´ıc´ı kles´an´ı sˇroubov´eho pohybu o u´ hel 90◦ do bodu Q∗ a sestroj´ıme kruˇznici h1 o stˇredu o1 , dot´ykaj´ıc´ı se pˇr´ımky K1 Q∗1 . Teˇcny k h1 rovnobˇezˇ n´e se z´akladnic´ı, prot´ınaj´ı g1 v p˚udorysech X1 , Y1 bod˚u druh´eho skuteˇcn´eho obrysu. N´arysy bod˚u X, Y urˇc´ıme pomoc´ı kruˇznic plochy, kter´e jimi proch´azej´ı.
Obr. 27 25
Ke kˇrivk´am m, n existuj´ı teˇcny kolm´e k ν.13 N´arysy jejich bod˚u dotyku U, V jsou body vratu druh´eho zd´anliv´eho obrysu m2 , , n2 . Na obr´azku 27 je vyznaˇcena konstrukce jednoho z nich: Ke kˇrivce n1 je vedena teˇcna kolm´a k z´akadnici, jeden jej´ı bod dotyku je oznaˇcen U1 . N´arys U2 bodu vratu U kˇrivky n sestroj´ıme opˇet pomoc´ı kruˇznice plochy, kter´a proch´az´ı bodem U . Opˇet podle polohy kruˇznice k vzhledem k ose dost´av´ame r˚uzn´e tvary plochy. Pokud stˇred kruˇznice k leˇz´ı na ose sˇroubov´eho pohybu, naz´yv´a se plocha tak´e kadeˇr (viz obr 28). Tˇret´ı z ploch na obr´azku 28 zn´azorˇnuje tzv. plochu klenby sv. Jilj´ı. Tento n´azev poch´az´ı podle stejnojmenn´eho opatstv´ı ve Francii, kde tato plocha byla poprv´e pouˇzita.
Obr. 28
3.3
Archimedova serpentina
Tato plocha vznik´a sˇroubov´ym pohybem kruˇznice k, kter´a leˇz´ı v rovinˇe ρ kolm´e ke sˇroubovici l vytvoˇren´e stˇredem S kruˇznice k. Sestroj´ıme pravotoˇcivou plochu. Bod S je zvolen tak, aby teˇcna t k jeho sˇroubovici l byla rovnobˇezˇ n´a s n´arysnou. Rovina ρ je pak kolm´a k n´arysnˇe. Jestliˇze polomˇer kruˇznice k oznaˇc´ıme r, pak k1 je elipsa s hlavn´ı poloosou velikosti r. Je-li tg α sp´ad sˇroubovice l, pak rovina ρ a tak´e vˇsechny jej´ı polohy pˇri sˇroubov´an´ı, maj´ı konstantn´ı odchylku 90◦ − α od p˚udorysny. Z toho vypl´yv´a, zˇ e p˚udorysy vˇsech tvoˇr´ıc´ıch kruˇznic plochy jsou shodn´e elipsy. Archimedova serpentina m˚uzˇ e vzniknout i jako ob´alka kulov´ych ploch se stˇredem na sˇroubovici l a polomˇerem r. Prvn´ım skuteˇcn´ym obrysem plochy jsou rovn´ıkov´a a hrdeln´ı sˇroubovice a, b vytvoˇren´e koncov´ymi body A, B pr˚umˇeru kruˇznice k, kter´y je kolm´y k o. Prvn´ım pr˚umˇetem plochy je mezikruˇz´ı, kter´e je omezen´e kruˇznicemi a1 , b1 , tvoˇr´ıc´ımi souˇcasnˇe prvn´ı zd´anliv´y obrys. Druh´y zd´anliv´y obrys je ob´alkou shodn´ych kruˇznic se stˇredy na sinusoidˇe l2 , druh´ych obrys˚u kulov´ych ploch vytv´aˇrej´ıc´ıch danou Archimedovu serpentinu. Body druh´eho zd´anliv´eho obrysu tedy leˇz´ı na kolmic´ıch k teˇcn´am sinusoidy l2 ve vzd´alenosti r od l2 . Druh´y zd´anliv´y obrys se rozpad´a na dvˇe cˇ a´ sti m2 , n2 a je ekvidistantou sinusoidy 2 . Jestliˇze je 1 k tvoˇr´ıc´ı kruˇznice serpentiny se stˇredem 1 S, pak body druh´eho skuteˇcn´eho obrysu na 1 k leˇz´ı souˇcasnˇe na hlavn´ı kruˇznici kulov´e plochy 1 g o stˇredu 1 S a polomˇeru r v rovinˇe rovnobˇezˇ n´e s n´arysnou. 13
Tj. patˇr´ıc´ı smˇeru osvˇetlen´ı.
26
Obr. 29 Jestliˇze tedy vedeme bodem 1 S1 pˇr´ımku 1 b1 rovnobˇezˇ nou se z´akladnic´ı, pak jej´ı pr˚useˇc´ıky 1 X1 , 1 Y1 s elipsou 1 k1 n´aleˇzej´ı prvn´ımu pr˚umˇetu m1 , n1 druh´eho skuteˇcn´eho obrysu. Body 1 X1 , 1 Y1 m˚uzˇ eme urˇcit tak´e bez vyr´ysov´an´ı elipsy 1 k1 . Staˇc´ı otoˇcit bod 1 S1 spolu s pˇr´ımkou 27
1
b1 kolem o1 do bodu S1 a pˇr´ımky b1 , urˇcit pr˚useˇc´ıky X1 , Y1 pˇr´ımky b1 a jiˇz sestrojen´e elipsy k1 a tyto body otoˇcit nazpˇet do bod˚u 1 X1 , 1 Y1 na 1 b1 . N´arysy bod˚u 1 X1 , 1 Y1 urˇc´ıme napˇr. pomoc´ı hlavn´ı kruˇznice kulov´e plochy 1 g. Jestliˇze v nˇekter´ych bodech kˇrivek m, n existuj´ı jejich teˇcny kolm´e k n´arysnˇe, pak n´arysy tˇechto teˇcen jsou body vratu kˇrivek m2 , n2 . Na obr´azku je vyznaˇcena konstrukce jednoho z nich. Ke kˇrivce m1 je vedena teˇcna kolm´a k z´akladnici, jej´ızˇ bod dotyku je U1 . Z konstrukce bod˚u kˇrivky m vypl´yv´a, zˇ e U leˇz´ı na tvoˇr´ıc´ı kruˇznici plochy κ o stˇredu O.14 Souˇcasnˇe ovˇsem leˇz´ı U na hlavn´ı kruˇznici kulov´e plochy κ o stˇredu O a polomˇeru r v rovinˇe rovnobˇezˇ n´e s n´arysnou. Z toho snadno urˇc´ıme n´arys U2 bodu U , coˇz je bod vratu kˇrivky m2 . Na z´avˇer si uk´azˇ eme princip konstrukce meze vlastn´ıho st´ınu pˇri rovnobˇezˇ n´em osvˇetlen´ı Archimedovy serpentiny. Na obr´azku 30 je situace zobrazena jen v p˚udorysnˇe, oznaˇcen´ı je voleno stejnˇe jako na pˇredchoz´ım obr´azku. Archimedova serpentina je urˇcena kruˇznic´ı k leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ, jej´ızˇ stˇred S vytv´aˇr´ı sˇroubovici l. Osvˇetlen´ı je d´ano pˇr´ımkou s proch´azej´ıc´ı vrcholem V smˇerov´e kuˇzelov´e plochy a prot´ınaj´ıc´ı p˚udorysnu v bodˇe V 0 . Uvaˇzujme kulovou plochu κ o stˇredu S, kter´a obsahuje kruˇznici k. Mez vlastn´ıho st´ınu na κ15 prot´ın´a tvoˇr´ıc´ı kruˇznici k v bodech M, N vlastn´ıho st´ınu plochy. Body M, N leˇz´ı na pr˚useˇcnici n rovin ρ a γ. Je-li t teˇcna sˇroubovice l v bodˇe S, pak je pˇr´ımka n kolm´a k obˇema pˇr´ımk´am t, s.
Obr. 30 Vedeme-li bodem V rovnobˇezˇ ku t0 s pˇr´ımkou t, pak jej´ı stopn´ık P leˇz´ı na l1 . Oznaˇc´ıme-li σ rovinu urˇcenou pˇr´ımkami s, t0 , pak pσ = V 0 P je jej´ı p˚udorysn´a stopa a n je kolm´a k σ, 14 15
U1 O1 je rovnobˇezˇ n´a se z´akladnic´ı. Coˇz je hlavn´ı kruˇznice p v rovinˇe γ kolm´e k s.
28
tedy n1 je kolm´a k pσ1 . Nyn´ı uvaˇzujme otoˇcen´ı o stˇredu 1 o prav´y u´ hel proti sˇipce ud´avaj´ıc´ı kles´an´ı dan´eho sˇroubov´eho pohybu. Bod V10 pˇrejde v tomto otoˇcen´ı do bodu V1∗ , bod P1 do S1 a pˇr´ımka pσ1 do S1 V1∗ . Souˇcasnˇe vˇsak vzhledem k tomu, zˇ e S1 leˇz´ı na n1 a n1 je kolm´a k p1 σ pˇrejde pˇr´ımka pσ1 do n1 a proto plat´ı V1∗ leˇz´ı na n1 . Jestliˇze je 0 p1 elipsa, kterou dostaneme jako obraz elipsy p1 v posunut´ı bodu S1 do V1∗ , pak pˇr´ımka n1 prot´ın´a p1 v bodech 0 M1 , 0 N1 , pro kter´e plat´ı |0 M1 V1∗ | = |0 N1 V1∗ | = |S1 M1 | = |S1 N1 |. Tento v´ysledek nen´ı z´avisl´y na volbˇe bodu S a t´ım ani na konkr´etn´ı tvoˇr´ıc´ı kruˇznici plochy a vypl´yv´a z nˇeho n´asleduj´ıc´ı konstrukce prvn´ıch pr˚umˇet˚u bod˚u meze vlastn´ıho st´ınu: Na kruˇznici l1 zvol´ıme bod 1 S1 , urˇc´ıme pr˚useˇc´ıky 0 R1 , 0 Q1 pˇr´ımky V1∗ S1 s elipsou 0 p1 a body R1 , Q1 na V1∗ S1 takov´e, zˇ e |1 S1 R1 | = |1 S1 Q1 | = |0 R1 V1∗ |, pak patˇr´ı p˚udorysu meze vlastn´ıho st´ınu. T´ımto p˚udorysem je potom kisoida kˇrivek p1 , l1 pro p´ol V1∗ .
3.4
Uˇzit´ı cyklick´ych sˇroubov´ych ploch
Cyklick´ych sˇroubov´ych ploch se pouˇz´ıv´a jako skluz˚u pro sypk´e materi´aly a tak´e jako dopravn´ıch zˇ lab˚u. V architektuˇre najdeme tyto plochy pˇrev´azˇ nˇe na ozdobn´ych motivech a slouˇ s´ı je vˇsak vyuˇzit´ı ve stroj´ırensk´e praxi. Vinut´y sloupek se pech, vˇetˇsinou v dobˇe baroka. Sirˇ uˇz´ıv´a u sˇroubov´ych vrt´ak˚u, jejichˇz pˇr´ıcˇ n´y profil se skl´ad´a z u´ seˇcek a oblouk˚u kruˇznic. Rovnˇezˇ pˇr´ıcˇ n´e profily sˇroubov´ych cˇ erpadel se skl´adaj´ı z oblouk˚u kruˇznic. Osov´e cyklick´e plochy se ˇ asti t´eto plouˇz´ıv´a u tzv. metrick´ych, Whitworthov´ych z´avit˚u nebo u z´avit˚u obj´ımek zˇ a´ rovek. C´ chy, kter´a vznikne sˇroubov´an´ım p˚ulkruˇznice, je moˇzno pouˇz´ıt tak´e jako plochy klenby nad schodiˇstˇem. Archimedova serpentina se vyskytuje u sˇroubov´ych potrub´ı, sˇroubov´ych pruˇzin, sˇroubov´ych kuliˇckov´ych loˇzisek.
Obr. 31 Jak jsme uv´adˇeli u pˇr´ımkov´ych sˇroubov´ych ploch, nebozez vznikne sˇroubov´an´ım profilu tvoˇren´eho u´ seˇckami i cˇ a´ stmi kruˇznic, n a obr´azku je zobrazen´a cˇ a´ st v Mongeovˇe pro´ cky AB, DE vyjekci, v p˚udoryse je vidˇet profil, jehoˇz sˇroubov´an´ım ploch vznik´a. Useˇ tvoˇr´ı pˇri sˇroubov´an´ı cˇ a´ sti pravo´uhl´ych otevˇren´ych pˇr´ımkov´ych ploch, oblouky BC, EF cˇ a´ sti norm´aln´ıch cyklick´ych sˇroubov´ych ploch a oblouky CD, AF cˇ a´ st rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy.
29
Obr. 32 Na obr´azku 33 jsou zn´azornˇeny osov´e ˇrezy Whitworthova, pilov´eho a obl´eho z´avitu. Povrch tˇechto z´avit˚u je sloˇzen z cˇ a´ st´ı koso´uhl´ych uzavˇren´ych pˇr´ımkov´ych sˇroubov´ych ploch a z cˇ a´ st´ı osov´ych cyklick´ych sˇroubov´ych ploch, v pˇr´ıpadˇe b) potom tak´e z cˇ a´ st´ı rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy.
Obr. 33 Obl´y sˇroub
Obr. 34 30
