ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b)
f ( x)
1 a
b a
F ( x)
b střední hodnota
distribuční funkce
0 x a b a 1
x
x a
E( X )
a
rozptyl
x b
x b
D( X )
a b 2 (b a ) 2 12
Exponenciální rozdělení
E(A, )
je vhodným modelem doby čekání do nastoupení určitého jevu, kde parametr A je počáteční doba, během níž tento jev nemůže nastat • např. doba čekání zákazníka na obsluhu, • pravděpodobná doba životnosti výrobku, • doba mezi odjezdy apod. hustota pravděpodobnosti
1 f ( x) 0
x A
e
x
A
x
A
distribuční funkce (udává pravděpodobnost, že jev nastane nejpozději v čase x)
x A
F ( x) 1 e Střední hodnota Rozptyl
x A E( X )
D( X )
A 2
Příklad : Průměrná životnost výrobku je 5 let. S jakou pravděpodobností náhodně vybraný výrobek nepřežije 3 roky?
• A=0 E(X) = δ = 5
0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0
P X
3
F 3
1 e
1
3 5
2
3
4
0, 451
5
6
7
45,1%
8
9
10
Normální rozdělení
•
N(µ, 2)
Gaussovo - Laplaceovo rozdělení
nejdůležitější rozdělení, je vhodným modelem všude tam, kde kolísání náhodné veličiny je způsobené velkým počtem nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů ze jím za určitých podmínek aproximovat některá jiná rozdělení (viz. centrální limitní věta) hustota pravděpodobnosti
f ( x)
1 .e 2
střední hodnota rozptyl
(x 2
)2 2
x E(X) = D(X) =
2
hustota pravděpodobnosti N(µ , 2) 3
5
5
3
0,15 0,12 0,09 0,06 0,03 0
0,08 0,06 0,04 0,02 0 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15
-10 -5
0
5
10 15 20
NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ N(0,1) • normovaná náhodná veličina U
X
E( X ) D( X )
X
hustota pravděpodobnosti
f (u )
1 e 2
(u ) -
u2 2
střední hodnota E(U) = 0 rozptyl
u
distribuční funkce
F (u )
(u )
1 2
u
D(U) = 1
t2 2
e dt
NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ N(0,1)
0,4 0,3 0,2 0,1 0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
!
4
V důsledku symetrie kolem nuly platí: distribuční funkce
u
p% kvantil
up
medián
u0 ,5
1
u
u1 0
p
!!!
Příklad 1: Výška lidí v určitém souboru má normální rozdělení se střední hodnotou = 175 cm a směrodatnou odchylkou = 8 cm. 1.Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude vyšší než 185 cm? 2. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude mít výšku v rozmezí 170-180 cm? 3. Jakou výšku překročí 10% lidí v souboru?
N(175;64)
150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200
ad 1/
P X 1
0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0
185 1,25
1 P( X
185 ) 1 F 185
1 0 ,894 0 ,106 10 ,6%
1
185 175 8
ad 2/
P 170 P
X
180
0, 625 U 0, 625
ad 3/
P( X
uP
x0,9
180 175 P U 8 0, 625
[1
xP )
xP
170 175 8
0, 625
0, 625
( 0, 625) 0, 734 [1 0, 734] 0, 468
P xP
uP
u0,9 175 8.1,282 185,25 cm
Důležité kvantily normovaného normálního rozdělení
u0,05
1,645
u0,95 1,645
u0,025
1,96
u0,975 1,96
PRAVIDLO 3 SIGMA • Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X s , 2 , , 3 padne do centrálních pásů 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -3
-2
P(µ P(µ - 2 P(µ - 3
-1
X X X
0
1
2
3
µ + ) = 0,6828 µ + 2 ) = 0,9545 µ + 3 ) = 0,9973
LOGARITMICKO-NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ LN
2
,
• model asymetricky rozdělených náhodných veličin • Jestliže má náhodná veličina Y ln X normální rozdělení s parametry , 2, pak náhodná veličina X má LN rozdělení s hustotou pravděpodobnosti 0,16
1
f (x )
0,12 0,08 0,04
x
E Y 2
0 0
4
8
12
16
20
24
.e
2
2
1 lg x 2
E ln X
D Y
D ln X
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny X
E X
exp
2
/2
D X
exp 2
2
exp
2
1
Další rozdělení důležitá v matematické statistice
• • •
2
( ) Rozdělení chí-kvadrát Rozdělení t – Studentovo t ( ) Rozdělení F - Fischerovo F ( 1 , 2 )
LIMITNÍ VĚTY • Tvrzení o vlastnostech pravděpodobnostních modelů v případě rostoucího počtu náhodných pokusů.
• •
zákon velkých čísel centrální limitní věta
• CLV se zabývá normálním rozdělením jako limitním rozdělením, k němuž se za určitých podmínek blíží řada jiných pravděpodobnostních rozdělení
Zákon velkých čísel (ZVČ) Zvětšujeme-li počet pokusů, lze za jistých podmínek docílit téměř jistoty, že se bude pozorovaná empirická charakteristika jen libovolně málo lišit od charakteristiky teoretické.
Centrální limitní věta (CLV) •CLV se zabývá normálním rozdělením jako limitním rozdělením, k němuž se za určitých podmínek blíží řada jiných pravděpodobnostních rozdělení
Moivre - Laplaceova věta X1 , X 2 ,... X n je posloupnost nezávislých náhodných veličin, které mají alternativní rozdělení A(π). Pak posloupnost náhodných veličin n Xi n i 1
n konverguje pro n
1 k náhodné veličině s rozdělením
N(0,1). podmínka aproximace
n (1- ) 9
Praktický význam M-L věty : Pro dostatečně velké n lze binomické rozdělení Bi(n,π) se střední hodnotou E(X) = n a rozptylem D(X) = n (1- ) aproximovat pomocí normálního rozdělení N
n ,
2
n
1
Příklad: Pravděpodobnost, že výrobek bude vyžadovat opravu během záruky je 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že z 800 prodaných kusů bude během záruky třeba opravit více než 170 kusů
•
= 0,2, n = 800
P(X >170) = 1 - P(X
= 1 - P(U
X .....Bi (800, 0,2) E(X) = n
= 160
D(X) = n
(1- ) = 128
170) = 1
P U
170 160 128
0,8339) = 1 - 0,812 = 0,188
Lindebergova - Lévyho věta •
Náhodná veličina, která vznikne jako součet (nebo průměr) n vzájemně nezávislých n.v., které mají stejné rozdělení se stejnými středními hodnotami E(Xi) = a konečnými rozptyly D(Xi), má pro dosti velké n přibližně normální rozdělení
• A) pro X • B) pro
X
=
Xi Xi n
N
N
2
nE X i ,
E Xi ,
2
nD X i
1 D Xi n
Příklad.Počet hodin, který posluchači věnují během týdne studiu určitého předmětu je náhodná veličina se střední hodnotou E(X) = = 2 hod. a směrodatnou odchylkou = 1 hod. Jaká je pravděpodobnost, že 100 náhodně vybraných posluchačů věnuje předmětu v průměru 1,75 až 2,25 hod. týdně E(Xi ) = µ = 2 ,
= 1,
n = 100
E( X )
2 D( X ) 1 100
P(1,75
X
= P(-2,5
1,75 2 U 2,25) = P 1 100
U
2,5 ) =
(u = 2,5) -
=
(2,5) - [1 -
2, 25 2 1 100
(u = - 2,5) =
(2,5)] = 0,498758
